автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование поведения системы дислокаций для исследования пластической деформации кристаллических материалов.

005010752

ПАНИН ИГОРЬ ГРИГОРЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ

СИСТЕМЫ ДИСЛОКАЦИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 МАР Ш

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург - 2011

005010752

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Костромской государственный технологический университет»

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Благовещенский Владимир Валерьевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шашихин Владимир Николаевич

доктор технических наук, доцент Дегтярев Александр Борисович

доктор физико-математических наук, профессор Наими Евгений Кадырович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Тульский государственный

университет"

Защита состоится 29 марта 2012 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д212.229.10 при ФГБОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" по адресу: 194021, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 21, ауд. 121.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет".

Автореферат разослан «___»_2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кудряшов Э.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы:

Современная техника совершенствуется в направлении использования новых материалов в автомобильной, авиационной, космической промышленности. Тенденция повышения качества, надежности связана с новыми материалами и технологиями их обработки. Экспериментальные исследования по разным причинам не позволяют полностью анализировать все возможные варианты реализации технологических процессов. Для этого необходимо развивать надежные и достаточно точные математические модели управления физическими процессами, происходящими при обработке материалов, изучения динамики поведения материалов при различных способах нагружения.

Исследования кристаллических твердых тел показывают, что их механические свойства (прочность, пластичность, внутреннее трение, дефект модуля, усталость) определяются дефектной структурой твердого тела, в том числе дислокациями. В последнее время большое внимание уделяется нанотехнологиям, имеющим дело с величинами порядка 10~9. Размеры дислокаций аналогичного порядка, их поведение на поверхности образца наблюдают с помощью современных электронных микроскопов. Вопрос о динамике дислокаций, находящихся внутри образца, можно исследовать только методами математического моделирования.

Использование математического моделирования для изучения пластических свойств материалов интенсивно развивается с конца 50 годов прошлого столетия в России и за рубежом. Построены математические модели на различных уровнях (микро, макро, мезо), на основе различных подходов (континуальное моделирование, молекулярная динамика, квантово -механическое моделирование, моделирование движения дислокаций), с использованием адекватного математического аппарата. Но до сих пор остается множество открытых вопросов о влиянии дислокаций на процесс деформирования кристаллических материалов. Моделирование движения дислокаций шло по двум направлениям: квазистатическое, не учитывающее дислокационную вязкость материала, и динамическое, с учетом дислокационной вязкости. В первом случае дислокационные сегменты представляются дугами окружностей, при этом переход из одного состояния к другому происходит без учета времени, что не позволяет изучать скоростные характеристики пластического деформирования. Во втором случае новое положение дислокации рассчитывается исходя из условия равновесия всех сил в каждой точке дислокации, процесс деформации описывают интегральные уравнения, для решения которых требуются

значительные ресурсы ЭВМ. Исходя из вышесказанного, приходим к актуальной научной проблеме создания математического и программного аппарата динамического движения дислокаций для изучения механических свойств кристаллических материалов, выполняющего необходимые расчеты с приемлемой скоростью.

Для более полного анализа деформации кристаллического материала необходимо предусмотреть возможность приложения к образцу нагрузок различной природы, в том числе и гармонической, включая ультразвук (эмпирически было обнаружено, что ультразвук существенно влияет на пластическую деформацию). Исследования взаимодействия ультразвука с твердым телом являются важными для прикладных задач, поскольку знакопеременные нагрузки оказывают значительное влияние, которое может быть использовано, например, в технологических целях - для облегчения холодной обработки и упрочнения материалов, или же при устранении нежелательных последствий различного рода вибраций, возникающих при работе различных машин и механизмов. Отсюда возникает другая актуальная проблема - изучения поведения дислокационной структуры кристаллов под воздействием постоянных, знакопеременных нагрузок, или их совокупности.

Цель работы:

разработка математического аппарата, программного обеспечения для исследования динамики поведения материалов кристаллической структуры под действием различного рода нагрузок путем моделирования вязкого движения дислокаций через систему дефектов.

Задачи исследования:

- разработка методов, математических модулей, разностных схем, алгоритмов и их программная реализация для моделирования эволюции источника дислокаций Франка-Рида; исследование поведения источника Франка-Рида под действием различного рода нагрузок;

- разработка методов, математических модулей, алгоритмов и программная реализация двумерной задачи вязкого движения единичной дислокационной линии через систему дефектов на площадке моделирования; исследование движения дислокаций при нагружениях различного вида;

- разработка методов, математических модулей, алгоритмов и программная реализация двумерной задачи вязкого движения совокупности дислокаций через систему дефектов на площадке моделирования с одновременным зарождением новых дислокаций; исследование движения множества дислокаций при различных нагрузках без учета изменения температуры процесса деформации и без учета взаимодействия между дислокациями; построение кривой деформации;

- исследование задач моделирования динамики дислокаций с использованием программного комплекса:

- расчет внутреннего трения в материалах кристаллической структуры;

- исследование пластической деформации кристаллического образца при одновременном воздействии постоянной и знакопеременной нагрузок.

Научная новизна:

- предложен новый подход и новый метод решения известной задачи эволюции источника Франка-Рида, учитывающие дислокационную вязкость материала и реализованные на основе метода конечных разностей; разработаны непротиворечивые, устойчивые алгоритмы и построена математическая модель источника Франка-Рида;

- предложен новый подход для осуществления динамического, вязкого движения дислокационных сегментов, составляющих дислокационные линии, основанный на уравнении эволюции источника Франка-Рида; такой подход обеспечивает следующие возможности: исследование временных характеристик движения дислокаций при любом постоянном внешнем напряжении, учет взаимодействия с другими дислокациями, учет размножения дислокаций, учет знакопеременной нагрузки, достаточную скорость расчетов, взаимодействие движущейся дислокации с неподвижной дислокацией леса;

- предложены новые периодические граничные условия для движущихся дислокаций, обеспечивающие их равномерное расположение и движение по площадке моделирования;

- на основе вышеперечисленных подходов, методов и алгоритмов разработана математическая модель непрерывного плоского движения единичной дислокации через систему дефектов и математическая модель одновременного зарождения и непрерывного плоского движения множества дислокаций через систему дефектов с учетом дислокационной вязкости материала;

- создан комплекс программ для решения различных задач пластического деформирования материалов на основе предложенных подходов и разработанных алгоритмов;

- предложен новый метод теоретического расчета зависимости напряжение-деформация, которая качественно отражает известные закономерности пластической деформации кристаллических материалов; метод основан на компьютерном моделировании;

- дана обоснованная интерпретация причины появления "зуба текучести" на основе компьютерного моделирования;

- предложен новый способ расчета внутреннего трения под действием знакопеременной нагрузки с помощью разработанного комплекса программ; установлены амплитудно-независимые и амплитудно-зависимые участки кривой зависимости внутреннего трения от амплитуды знакопеременной нагрузки;

- разработанный комплекс программ позволяет исследовать деформацию кристаллического материала под действием ультразвука; установлена зависимость скорости деформации от частоты ультразвука; установлены зоны влияния ультразвука на кривую деформации при одновременном воздействии постоянной и знакопеременной нагрузок; установлено существование частоты ультразвука, при которой деформация в образце максимальна.

Достоверность полученных результатов и выводов основана на строгом описании разработанных численных алгоритмов, их оценках, подтверждается путем сравнения с данными экспериментальных исследований, с известными аналитическими и численными данными, приведенными в научной литературе, с результатами, полученными при использовании различных расчетных моделей, а также с экспертными оценками специалистов в области математического моделирования и механики твердого тела при обсуждении результатов работы на научных конференциях и семинарах.

Практическая значимость состоит в использовании созданного математического, алгоритмического и программного обеспечения для изучения свойств и поведения материалов кристаллической природы при различных видах нагружения, для прогнозирования свойств новых материалов. Программный комплекс в целом или его отдельные части могут быть использованы в учебном процессе, в научно-исследовательской деятельности студентов и аспирантов при изучении пластического деформирования материалов. Приложены акты использования данного комплекса программ на промышленных предприятиях и в учебной деятельности.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на XVII международной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (2004г., КГТУ, Кострома), на III и IV международной конференции по физике кристаллов "Кристаллофизика 21-го века" (2006г., МИСиС, г. Черноголовка Московской обл.; 2010 Москва, ПК РАН), на IV,V,VI,VII,VIII международных семинарах "Физико-математическое

моделирование систем" (2007г., 2008г., 2009г., 2010г., 2011г., ВГТУ, г. Воронеж), на 48 и 51 международной конференции "Актуальные проблемы прочности" (2009г., ТГУ, г.Тольятти; 2011г., физ.-тех. ин-т низких температур НАНУ, г.Харьков, Украина), на IV международной школе "Физическое материаловедение" (2009г., ТГУ, г.Тольятти), на Первых московских чтениях по проблемам прочности материалов (2009г., Институт кристаллографии РАН, г.Москва), на XIX петербургских чтениях по проблемам прочности (2010г., г.Санкт Петербург).

Основные результаты опубликованы в 24 работах, из них 8 - в журналах, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций. Получены 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ПЭВМ.

Структура работы. Диссертации состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка из 179 наименований и приложения. Основной текст включает 156 страниц, 98 рисунков и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава состоит их двух частей. В первой части ставится цель работы и дано обоснование выбора методов решения поставленной задачи. Дается обзор литературы о методах моделирования пластической деформации, работы источников дислокаций по типу Франка-Рида и движения дислокаций. В этой же части содержится обзор литературных источников, теоретических и экспериментальных, в которых уделено внимание изучению деформации материалов на основе движения дислокаций, а также рассмотрены направления моделирования для обеспечения этого процесса.

Во второй части главы производится постановка задачи для выполнения данной работы, намечаются пути и этапы ее решения. Задача сводится к построению модели одновременного зарождения и движения на площадке моделирования нескольких дислокационных линий (ДЛ). Площадка моделирования расположена в плоскости легкого скольжения дислокаций в образце с кристаллической структурой. Для этого необходимо сначала построить модели работы источника Франка-Рида (ФР) и вязкого движения единичной ДЛ через систему дефектов на площадке моделирования, которые входят в основную модель как составные части, но могут быть использованы и самостоятельно. Во всех моделях предусматривается как постоянное, так и гармоническое внешнее воздействие. Построенные модели должны быть адекватны либо аналитическим моделям, либо какими-либо теоретическим или экспериментальным положениям. Качественная адекватность подтверждается с помощью проведения различных вычислительных

экспериментов на моделях. Окончательно сформированные модели используются для решения задач вычисления внутреннего трения в кристаллическом материале с заданными параметрами и изучения пластической деформации материала при одновременном воздействии на образец постоянной и знакопеременной (ультразвук) нагрузок.

Во второй главе рассмотрен новый метод реализации алгоритма работы модели эволюции дислокационного источника. В качестве источника размножения дислокаций взят источник ФР, работа которого ранее рассматривались многими исследователями (Стратан И.В., Предводителев A.A., Слободской М.И., Попов Л.Е., Коботев B.C., Инденбом В.Л., Судзуки Т. и др.) в режиме квазистатики. Начало для динамической модели было положено в работах В.Д. Нацика и К.А. Чишко. В этой модели для малых перемещений U при переходе из одной конфигурации 1 в соседнюю с ней 2 (Рис.1) получено в континуальном приближении и используется уравнение:

В 8 U ^ дги Gb

---Gb -— = а--

Ъ dt дЛ2 R(Ä,t)

U (0,/) = U (L ,0 = О V t, U(Ä, 0) = О Vi

Здесь t - время, G - модуль сдвига, b - модуль вектора Бюргерса, В -коэффициент динамической вязкости, R(k, х) - радиус кривизны ДС, а -величина внешнего напряжения, Л - криволинейная координата вдоль ДС, L -длина сегмента в криволинейных координатах. Постоянные величины G, Ь, В характеризуют изучаемый материал и являются параметрами модели. Среда считается неограниченной, однородной и изотропной, силы инерции не учитываются. Уравнение (1) справедливо для таких смещений сегмента U, что U « L для одного временного шага, при этом суммарное перемещение точек ДС за конечный интервал времени может быть значительным.

2

Рис. 1. Последовательные конфигурации дислокационного сегмента.

Это уравнение, адаптированное Тяпуниной H.A. и Благовещенским В.В. для работы источника ФР, является неоднородным линейным уравнением в частных производных параболического типа. Оно допускает

решение в виде ряда Фурье, при этом Фурье-образ сил, стоящих в правой части уравнения, выражается через интегралы, которые могут быть вычислены только численно, поскольку численно задается функция К(Х, г).

В данной работе предлагается алгоритмическое решение уравнения (1), при котором каждая итерация позволяет перейти из положения 1 кривой АВ в соседнее положение 2 (Рис.1) на основе численного решения уравнения (1) в виде конечных разностей. Для каждого шага итерации решение строится в криволинейной системе координат, где одна ось совпадает с кривой АВ, а вторая ось перпендикулярна к первой оси, точка А - начало координат. Для построения сеточной области по координате X разбивается первоначально прямолинейный отрезок АВ на N-1 равные части. При движении сегмента координаты узлов по X меняются, могут меняться и расстояния между узлами сетки. Таким образом, задача решается на неравномерной сетке, меняющейся со временем.

Уравнение (1) переводится в безразмерное разностное уравнение:

дт ~ др2 (2)

Рассмотрены три шаблона двухслойной разностной схемы (явный четырехточечный, неявный четырехточечный, неявный шеститочечный). Произведен анализ работы схем с каждым из шаблонов и показано, что наиболее приемлемым для решения данной задачи является неявный четырехточечный (схема с опережением) шаблон, при котором в каждом узле используется следующее уравнение:

-¿„^' + (1 + к„ + к21)Г/ + > - к21У,^ =

V/ + А т{Р - -!—) ...

4> У (3)

где I = 2,..., N - 1

Здесь [ - номер точки на кривой АВ,} - номер временного слоя (¡' =1,х),Ат-

2Аг 2Аг

величина временного шага, *„ ~ ^ + ¡^ , ~ {к>+1гм)1гм' '' "

расстояние между точками г и /+7 (переменный шаг по Я) (Рис.1), -

радиус кривизны в точке / кривой АВ слоя), . величина смещения точки / временного слоя у. В уравнениях (1) и (2) существуют две особенности,

которые не дают возможности решения уравнения стандартными методами.

Во-первых, направление смещения Vj точки i должно быть по нормали к кривой АВ временного слоя j, а во-вторых, при составлении уравнений

системы необходимо знать радиус кривизны для каждой точки /'. Оба эти вопроса могут быть решены одновременно следующим образом. По любым трем точкам i-I, i, i+1 временного слоя j кривой АВ строится окружность с

центром в точке 0¡ . за радиус кривизны ^V принимается радиус этой окружности на временном уровне j:

г=p:,,-xi)2-{yi-yi)2 (4)

а за направление смещения точки i принимается направление от центра 0¡ к точке /'. В результате составляется система N-2 линейных уравнений

относительно N-2 величин Vj , решая которую получаем величины смещения каждой i-ой точки для ее перехода с j-ого временного слоя на j+1 слой, причем эта система имеет трехдиагональный лснгочиый вид и может решаться методом прогонки.

В этой же главе исследуется вопрос о сходимости, точности и устойчивости как самого численного метода, так и решения системы линейных уравнений методом прогонки. Показано, что для численного метода с использованием неявной четырехточечной схемы с опережением на неравномерной сетке для малых величин h и Дт существует единственное решение, которое абсолютно устойчиво в С2 и сходится со скоростью 0(г + |А|2)>где|А| = 11МХ1А<.

Для метода прогонки существует условие диагонального преобладания, при выполнении которого существует единственное решение системы, которое сходится и устойчиво по входным данным. Для данной системы оно выполняется всегда, т.к.

|1 + ки + k2¡ | >|Ус„| + \k2¡\ ПрИ ¡ = 3) Д/.2,

|l + ки + k2i | >|¿2¡| при i~ 2, (5)

\l + ku+k2¡\>\ku\ при / = N-l .

Точность решения метода прогонки определяется мерой обусловленности V исходной матрицы С, составленной по уравнениям (2):

V = сопс!(С) = ЦсЦс-'! (6)

Поскольку процесс вычисления точного значения С' трудоемкий, то для приближенной оценки точности все величины шагов заменяются одним значением, равным минимальному значению шага /г, и вводится величина

от которой в этом случае и будет зависеть обусловленность матрицы С. После преобразований получаем, что

т.е. при любом <5 > 0 величина обусловленности у изменяется в пределах от 1 до 2. Таким образом показано, что матрица С хорошо обусловлена при любых значениях И и Ах, но для достижения наибольшей точности

необходимо, чтобы выполнялось неравенство Аг « /г2.

Реализация алгоритма может быть произведена двумя способами. При первом способе после каждой итерации решения уравнения (1) рассчитывается и новое положение точек дислокационного сегмента. При втором способе (аддитивном) новые координаты точек вычисляются только после нарушения условия применения уравнения, т.е. в том случае, если максимальное смещение точек сегмента и становится значительным по отношению к длине сегмента Ь. Скорость работы алгоритма во втором случае существенно выше, чем в первом.

Дополнительное гармоническое нагружение реализуется добавлением в правую часть уравнения (1) слагаемого

2 л)'1) (9)

сь

В этом случае к параметрам модели добавляется амплитуда ап и частота/

На основе данного алгоритмического итерационного процесса написана и испытана программа, моделирующая движение точек ДС, закрепленного между двумя стопорами, и позволяющая наблюдать и

исследовать его развитие. На данную программу получено авторское свидетельство [9]. Произведено тестирование программы при использовании разных шаблонов и способов реализации алгоритма работы модели источника ФР, выполнено сравнение результатов работы данной модели с результатами, полученными при помощи аналитической модели (ряды Фурье). Показано, что точность решения при всех методах решения примерно одинакова, а скорость работы алгоритма при аддитивном способе решения уравнения значительно выше.

В этой же главе производится ряд исследований источника ФР, из которого наиболее значимыми являются зависимость числа дислокационных петель, произведенных источником в единицу времени от длины основания источника (Рис.2а) и зависимость минимального усилия продавливания ДС критического положения от длины основания источника (Рис.2б). Показано, что для любого напряжения, прикладываемого к источнику, существует длина основания, при котором количество генерируемых источником петель

а) б)

Рис.2. Исследования модели источника Франка-Рида.

за единицу времени будет максимально, а при увеличении длины основания источника минимальное напряжение, необходимое для продавливания источника ФР, уменьшается.

В третьей главе представлены схема организации и алгоритмы работы модели движения единичной ДЛ через систему дефектов с учетом вязких сил (Рис.3). ДЛ состоит из последовательно соединенных между собой ДС, и располагается на квадратной площадке (площадка моделирования) со сторонами, равными а (а = 35-10* м). Предполагается, что площадка лежит в плоскости скольжения ДЛ и на ней случайным образом, согласно равномерному закону распределения, располагаются неподвижные точечные дефекты. Все ДС опираются своими концами на заданные дефекты. Движение дислокаций происходит под действием приложенной нагрузки Р, которая представляет из себя совокупность нагрузок различного рода

Рис.3. Движение дислокационной линии на площадке моделирования.

(постоянная, знакопеременная и т.д.). Вся модель, как система, разбивается на несколько подсистем:

- подсистема начальных условий;

- подсистема движения ДЛ;

- подсистема взаимодействия ДЛ с дефектами. Данная подсистема также разбита на подсистемы:

- подсистема выбора типа дефекта;

- подсистема взаимодействия с "атермическими" дефектами;

- подсистема взаимодействия с "термоактивационными" дефектами;

- подсистема взаимодействия с дефектами по механизму Орована;

- подсистема граничных условий;

- подсистема самопересечения ДЛ;

- подсистема отображения результатов работы;

- подсистема окончания работы.

Подсистема начальных условий (НУ) служит для выбора и построения первоначального положения ДЛ на площадке моделирования и выбора значений различных параметров. НУ выбирается исходя из решаемой задачи. В одних случаях (например, при расчете скорости движения дислокаций) принимается, что это один сегмент, расположенный на нижней границе площадки (Рис.4а). В других (например, для расчета внутреннего трения) -

на площадке моделирования строится ломанная линия, узлы которой совпадают с точками дефектов (Рис.4б).

В подсистеме движения ДЛ рассчитывается новое положение ДЛ для каждого временного шага. Движение ДЛ определяется как и в

а)

б)

Рис.4. Варианты начальных условий.

квазистатическом подходе, при котором отдельные сегменты перемещаются независимо от остальных, встречаются с дефектами и срываются с них. Но в отличие от квазистатического подхода, в данной модели принимается, что перемещение каждого сегмента происходит на основе уравнения развития источника ФР (глава 2). Тем самым движение ДЛ является динамическим, хотя масса дислокации и инерционные эффекты не учитываются. Основание каждого сегмента берется равным соответствующему отрезку между дефектами, на которые он опирается. Поскольку ДЛ состоит из отдельных сегментов, то новое положение ДЛ складывается из совокупности новых положений ДС. Движение ДЛ возможно как под действием постоянной нагрузки, так и знакопеременной. В этой же подсистеме рассчитывается заметенная дислокацией площадь, необходимая для дальнейших расчетов. Например, скорость движения ДЛ определяется как площадь, заметаемая дислокацией за единицу времени.

Подсистема взаимодействия ДЛ с дефектами. Все дефекты О^ в модели разбиты на три типа:

1) Д« - "атермические" дефекты, удерживающие ДЛ с заданной мощностью, которая задается углом <р срыва с него ДЛ. Условием атермического отрыва от стопора является равенство внешней нагрузки силам линейного натяжения дислокационной струны:

где Тр - значение внешней нагрузки, при котором дислокация отрывается со стопора, /я - среднее расстояние между точечными дефектами, -коэффициент жесткости, Ь - модуль вектора Бюргерса. В данной подсистеме решаются две задачи: определение момента встречи ДЛ с дефектом и определение момента срыва ДЛ с дефекта. При встрече движущейся дислокации с дефектом данного вида (Рис.5а,б), ДЛ захватывается и удерживается им. Момент встречи дислокационного отрезка АВСБ с дефектом 5 (Рис.6) определяется сменой знака векторного произведения векторов ВС и ВБ за один временной шаг от положения а) к положению б):

Dj, = DMl)DTl)D

о

(10)

Sign {ВС х BS ),. ф Sign {ВС х BS )

(И)

«

а)

б)

Рис.5. Определение

в

г)

моментов встречи и срыва ДЛ с дефектами.

Текущий ДС разбивается на несколько, каждый из которых продолжает развиваться

самостоятельно. При дальнейшем движении ДЛ удерживается дефектом до тех пор, пока угол у/ между касательными к ДС в точке дефекта (Рис.7) не будет меньше его мощности (р. В результате образуется один новый сегмент, состоящий из точек бывших двух сегментов (Рис.5в,г). 2) От - "термоактивационные" дефекты. Столкновении ДЛ с дефектом данного типа происходит, как и в предыдущем случае. Срыв дислокации

может происходить либо как в предыдущем случае, либо в момент активации дефекта. Активация происходит согласно принципу "минимального времени" жизни неизменной конфигурации ДЛ:

Рис.6. Определение момента встречи ДЛ с дефектом.

Е

Рис.7. Определение угла срыва со стопора.

где Уо , к - параметры, А Ж - энергия активации отрыва с дефекта, представляющая из себя величину, определяемую либо из опыта, либо на основании молекулярной динамики, Т - температура, при которой производится эксперимент. Т.е. при повышении температуры вероятность срыва дислокации со стопора увеличивается, а время активации уменьшается.

3) Дэ - дефекты, которые ДЛ обходит по механизму Орована. В данном случае происходит взаимодействие двух дислокаций, одна из которых находится в плоскости скольжения (движущаяся ДЛ), а вторая -перпепдикулярна к плоскости скольжения и представляет собой неподвижную дислокацию леса (Рис.8а), пересекающую плоскость скольжения в точке С. Движущаяся дислокация Дл 1 встречает сопротивление со стороны дислокации Дл2 и постепенно огибает точку С (Рис.8б). Это взаимодействие можно представить как суммарное взаимодействие между

ж

/ с /

___/

а) б)

Рис.8. Взаимодействие дислокаций по механизму Орована.

отрезками, составляющими обе дислокации. Дислокация Дл2 прямолинейная, поэтому ее можно представить в виде одного отрезка с максимально удаленными концами от плоскости скольжения. Дл1 состоит из ДС, которые, в свою очередь, состоят из прямолинейных отрезков. Таким образом, взаимодействие между дислокациями в данном случае можно представить (Рис.9) в виде совокупности сил, действующих на каждый отрезок дислокации Дл1 со стороны отрезка у1у2, дислокации Дл2:

= ёГ{у],х])

(13).

Функция дР(х,у), полученная Дж. Хиртом и И. Лоте из уравнения Пича-Кёлера, определяет силу, действующую на единицу дислокации с/1/ со

Рис.9. Взаимодействие перпендикулярных отрезков дислокаций.

стороны отрезка dl2 другой дислокации:

SF(y,x) = \[{Ъ2 xb,) V{V2R)](dl, х di)

4 я J

£ 8л-

J{[b2 х V(V 2Л)] х <//,)(&, dl2)~ О4)

А J[(6~ X dl2) • V ]( X Fj) +

4ж(1 - v) fJ

Агг{\ -v)

¡[(b2xdI2)-V(V2R)]( dT, х )

где b, , b2 - вектора Бюргерса дислокаций Дл1 и Дл2 соответственно, /г -модуль Юнга, v— коэффициент Пуассона.

В общем случае при произвольном расположении отрезков дислокаций оператор градиента равен

„ ■=■. 1 Э cos © 5 .

V = £.(----+----) +

sin 2 © dx sin 2 0 ду

cos 0 8 1 8 _ 5 '

sin 2 0 dx sin 2 © 8у въ ~8z

где и & - единичные вектора вдоль осей х и у соответственно, угол между осями х и у, ё"3 = -—— х ) - единичный вектор оси г,

направленной вдоль оси наименьшего расстояния между дислокациями Дл1 и Дл2. Компоненты тензора Т равны

„ гГГ,С082Эд2 сое 0 д2 1 д2

Т = 14 2% Л ■ . 2 +2 • + ■ +

БШ 0 ох 8111 © дхду вт 0 ду

77 (- С0Б 0 5 2 1 + соб2© д2 срь 0 дг

ьт4вдх2 5т40 дхду ~ ею 4 © ду2) + (16)

г г сое © а2 1 д2

(е^2 +£2е3)(~ . 2 _ . .---- 2 _ - я ) +

вш © длгог вш 0 дудг

Г- / 1 " сое © а2 ч _ _ д: , „ Т7ГТ-Г-+ . 2_ . . )+е3е,—Т]Я бш 0 дхдг эт © дудг дг

где Я = (х2 + у2 - 2ху сое © + г2)1^1 , величины х, у, г вычисляются вдоль своих осей.

После преобразований в случае перпендикулярного расположения отрезков дислокаций (Рис.9) получено для функции дР(х,у) следующее выражение:

__,~Г7 2

дР{х,у) =-(г5ш 0 , + хСоз © , )ё"3 <М, , (17)

4 яр Я

где Ь - модуль вектора Бюргерса дислокации Дл1, 0/ - угол наклона оси х к оси а общей системы координат а/?у, и - модуль Юнга. Все отрезки всех сегментов движущейся дислокации Дл1 взаимодействуют с дислокацией Дл2, пересекающей плоскость скольжения в точке С согласно (17). Эти усилия взаимодействия дислокаций должны быть добавлены в правую часть уравнения (1).

При дальнейшем движении дислокация Дл1 сначала охватывает точку С (Рис. 10а,б), тем самым замедляя свое движение, а затем в некоторый момент охватившие дислокацию леса Дл2 участки дислокации Дл1 аннигилируют (Рис.Юв) и дислокация Дл1 продолжает свое движение. Момент прорыва зависит от величины приложенного усилия, от длины основания сегмента, от мощности стопора.

Хотя в модели реализовано взаимодействие со всеми тремя типами дефектов, все дальнейшие представленные в данной работе исследования учитывают только дефекты первого, "атермического" типа, причем мощность всех дефектов на площадке моделирования одинакова. Количество дефектов (плотность) и их мощность - основные параметры модели.

Подсистема граничных условий строится исходя из предположения, что за границами площадки моделирования дефекты располагаются с таким же распределением по типу и мощности, как и внутри площадки. Тем самым

а) о)

Рис. 10. Взаимодействие двух дислокаций по механизму Орована.

достигается равномерность скорости движения дислокаций внутри площадки и на ее границах. Крайние сегменты ДЛ строятся таким образом, чтобы их внешние концы опирались на стопоры, находящиеся за границами площадки как можно ближе к границе и поведение крайних сегментов при движении должно быть аналогично поведению внутренних сегментов. Для этого, во-первых, необходимо обеспечить столкновение движущегося ДС со стопором как внутри площадки (Рис. 11 а,б), так и за ее пределами (Рис. 11 в,г), во-вторых, срыв сегмента с внешнего стопора (половинный угол заданной мощности дефекта). При срыве в качестве нового внешнего стопора выбирается дефект за границей, но ближе всех к ней.

Подсистема самопересечения ДЛ введена для обработки нестандартных ситуаций, которые могут возникнуть во время работы программы. Обрабатываются варианты самопересечения ДЛ и ее пересечение с границами.

а) б) в) г)

Рис.11. Взаимодействие граничных отрезков со стопорами.

Подсистема отображения результатов работы производит, во-первых, реализацию изображения движения ДЛ на экране дисплея, во-вторых осуществляет вывод промежуточных и конечных результатов расчетов программы в систему MS Excel, где по окончании исследования происходит их обработка в автоматическом режиме и построение необходимых графиков.

В подсистеме окончания работы определяется момент времени для завершения расчетов, который зависит от решаемой задачи (выход ДЛ за верхнюю границу, окончание времени расчетов).

Реализация этих подсистем и связей между ними дает возможность моделирования движения ДЛ через систему дефектов на исследуемой площадке. Работа модели организована по методу At, и все расчеты в подсистемах производятся для данного момента времени /. На основе представленной системы написана и испытана программа для ПЭВМ, моделирующая движение ДЛ по площадке моделирования. Программа I позволяет наблюдать движение ДЛ и исследовать необходимые характеристики этого движения при различных способах нагружения. На данную программу получено авторское свидетельство [10].

В этой же главе приводятся результаты экспериментальных исследований, полученных с помощью программы. Для всех расчетов материальные константы были выбраны следующие: G = 1.8*10'" н/м2, b = 4*10 10 м, В = 8.1*10'5 па-сек, акр = 2.89*106 н/м2, что примерно соответствует образцу NaCl. Усилие, прикладываемое к образцу, задается в долях критического напряжения акр . Наиболее значимые результаты следующие.

1. Построена зависимость напряжения продавливания через площадку моделирования (достижение дислокацией верхней границы площадки моделирования) от количества дефектов (Рис. 12а). Кривая представляет из себя степенную функцию вида а=0,5р0 4 (где р - плотность дислокаций).

2. Построена зависимость скорости движения ДЛ от нагрузки при различной плотности дефектов (Рис.126). Средняя скорость движения ДЛ вычислялась как результат деления размера стороны площадки моделирования на время, в течении которого ДЛ достигает верхней границы этой площадки. Скорость распространения ДЛ растет с увеличением

04

о даЯШВЯМ|Ш818МИЯр1ЯМИИМрММИЩ о 2

О 50 №0 156 200 О

Количество стопоров о 5 10 Í5 20 25

о, МШ

а) б)

Рис.12, а) зависимость усилия продавливания от количества стопоров; б) зависимость скорости распространения ДЛ от прикладываемого усилия для разного количества

стопоров.

нагрузки и наклон всех кривых при больших напряжениях становится практически одинаковым, что согласуется с известной теоретической линейной зависимостью скорости распространения ДЛ от приложенной нагрузки а для больших величин а.

3. Построена упругая зона кривой деформации (до точки текучести). Для этого в модель вводится модуль деформации с постоянным усилием погружения. Деформация s записывается как сумма двух составляющих:

£ = £у +£д £у -

' ¿ /G ' (18)

где 8у - упругая составляющая деформации, изменяющаяся по закону Гука, а £,) ~ дислокационная составляющая. Дислокационная составляющая деформации ед и заметаемая одной ДЛ площадь S, на площадке моделирования с общей площадью Sm связаны линейным соотношением:

AKSJ

Зависимости o-t:„ построены для различного количества дефектов (РисЛЗа), по которым видно, что чем больше дефектов в образце, тем дислокационная составляющая деформации меньше для одной и той же нагрузки, и, как следствие, тем больше угол наклона этой кривой. На основании дислокационных и упругой составляющих построены кривые результирующей деформации а-е для разного количества дефектов (Рис.136), по которым видно, что влияние дислокационной составляющей в упругой зоне деформации уменьшается с ростом количества дефектов.

0.0 1,0 2.0 3.0 4,0 5.0 €■ 10* 0,0 5,0 (0,0 15,0 £ 10Ъ

а) б)

Рис.13. а)дислокационная составляющая деформации б)результирующая деформация.

Построение продолжения найденных зависимостей (зоны пластичности) с помощью только данной модели невозможно, т.к. при

достаточно больших нагрузках (например, при а > 2,16 МПа для 150 дефектов), практически все ДЛ достигают верхней границы площадки моделирования. Это говорит о том, что нельзя описать пластические свойства материала, рассматривая только движение ДЛ. Необходимо вводить в рассмотрение механизмы размножения дислокаций.

В четвертой главе представлены схема организации и алгоритмы работы модели одновременного зарождения и движения совокупности ДЛ i через систему дефектов (Рис.14). Данная модель основана на одновременном использовании

Рис.14. Деформируемый образец с дислокацией и источником Франка-Рида.

двух ранее представленных моделей: модели дислокационного источника ФР (Глава 2) и модели скольжения единичной ДЛ на площадке моделирования с системой дефектов (Глава 3). В этой модели, по сравнению с предыдущей, добавлены следующие подсистемы:

- подсистема генерации ДЛ источниками ФР;

- подсистема взаимодействия между дислокациями;

- модуль нагружения при постоянной скорости деформации.

Также расширены функции подсистемы начальных условий и подсистемы движения ДЛ.

Подсистема начальных условий расширена вследствие того, что задаются начальные ДЛ и действующие источники дислокаций. Модель содержит две площадки: на первой располагаются несколько (от 1 до 5) источников ФР, на второй происходит движение множества ДЛ, движущихся друг за другом. В начальный момент времени на второй площадке моделирования появляются и начинают движение заданное количество ДЛ (от 1 до 3), расположенных случайным образом по высоте площадки, а на первой площадке начинают работу источники ФР со случайной длиной основания, расположенные по высоте площадки так же случайно.

Подсистема движения ДЛ расширяется вследствие того, что появляется необходимость хранить и обрабатывать информацию о большом количестве ДЛ и ДС. При движении ДЛ постоянно меняет свою конфигурацию, поскольку меняют конфигурацию составляющие ее сегменты, появляются новые и удаляются отработавшие.

Подсистема генерации ДЛ источниками ФР построена следующим образом. В начальный момент времени на случайной высоте первой площадки располагаются источники ФР со случайной длиной основания. Если напряжение достаточно, то источники начинают свое развитие и генерируют новые дислокации. В момент самопересечения ("отшнуровывания") ДС какого-либо источника, находящегося на первой площадке, на нижней границе второй площадке появляется новая ДЛ, которая сразу начинает движение.

Подсистема взаимодействия между дислокациями на плоскости построена аналогично взаимодействию перпендикулярных дислокаций (глава 2) на основе суммарного взаимодействия между отрезками дислокаций. Расчет взаимодействия отрезков производится также на основании формул (13,14,15,16) для случая, когда обе дислокации Дл1 и Дл2 (и составляющие их отрезки) лежат в одной плоскости скольжения и имеют одинаково направленный вектор Бюргерса (Рис.15). После подстановки значений переменных в формулы (13,14,15) и преобразования получаем в данном

Рис.15. Взаимодействие двух отрезков дислокаций, лежащих в одной плоскости, случае для функции ЗР(х,у) выражение

Р

о

С!

<5Р(х,у) = —[бш(© + 0,)(Х8Ш08Ш ©2 - сое ©2) +

4 я/Г р

хэш ©

где b - модуль векторов Бюргерса дислокаций Дл1 и Дл2, 0¡ , 02 - углы наклона осей х и у к оси а общей системы координат а/Зу, 0 - угол между осями х и у, р - модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона,

? p = (y + R)-xcos® p' = x-{y + R) cos0

sin ©

Если одну дислокацию остановить (Рис.16), то другая, взаимодействующая с ней дислокация, при подходе к ней начинает постепенно уменьшать скорость своего движения и, в конце концов, останавливается перед первой дислокацией на расстоянии, зависящем, в основном, от прикладываемой нагрузки. Эта подсистема реализована в программе, но все

Р=0.3 Р=0.5 Р=0. <)

Рис.16. Взаимодействие дислокаций при различных нагрузках.

последующие эксперименты и расчеты произведены без учета взаимодействия между дислокациями.

В данной модели реализовано два способа нагружения: нагружение с постоянной скоростью деформации и с постоянным значением усилия | нагружения. Модуль деформации с постоянным усилием нагружения \ совпадает с аналогичным модулем предыдущей модели. Модуль нагружения при постоянной скорости деформации создан в виде рекуррентного алгоритма для расчета напряжения, действующего на площадке моделирования в каждый момент времени для поддержания постоянной | скорости деформации в виде:

1

К = пМ , ^ = - 6'1Х =а1п- , СТП = С, (21) ;

где п - номер итерации по времени, а - коэффициент скорости деформации. I На основании приведенных подсистем и модулей реализована программа для ПЭВМ, позволяющая наблюдать и исследовать зарождение и движение дислокаций на площадке моделирования. На программу получено авторское свидетельство [11]. С помощью данной программы был проведен ряд

вычислительных экспериментов, результаты наиболее значимых из них приведены ниже.

Первый эксперимент - построение кривой деформации при постоянном усилии нагружении. При данном способе задается промежуток времени Т, в течение которого наблюдается процесс деформации для каждого значения величины напряжения а, меняющегося пошагово на интервале от 0 до 4,5 МРа. Для каждого значения а этого ряда с помощью программы рассчитывается значение деформации е. Полученная таким образом пара значений (<т,е) соответствует одной точке на кривой зависимости а-е. После нахождения точек кривой для всех значений а из заданного интервала строится кривая деформации. Все величины е находятся при проведении вычислительного эксперимента с моделью за заданный промежуток времени Т.

На рис.17 представлена типичная деформационная кривая для данного способа нагружения. Кривая построена при 2 начальных ДЛ, 2 источниках с длиной основания I = 5-Ю'6 м, количестве дефектов на площадке N = 100 и их мощности М = 90°. Мощность дефектов для всех дальнейших расчетов остается неизменной.

0 -1-1-1-*■

О 0,005 0,01 0,015 £

Рис.17. Кривая деформации при 2х начальных ДЛ и 2х источниках ФР

На данной кривой можно выделить три характерных участка. Первый участок, до точки А - упругая деформация, имеющиеся на площадке дислокации остаются закрепленными на первоначальных стопорах. Второй участок (от точки А до точки Б) кривой соответствует срыву ДЛ с первоначальных стопоров и ее движению по площадке моделирования. На этом участке источники еще не открылись. Точка Б кривой соответствует началу открытия дислокационных источников, после чего увеличивается количество движущихся ДЛ на площадке моделирования и, как следствие, значительно увеличивается заметаемая площадь и, соответственно, необратимая (пластическая) деформация Угол наклона кривой на этом

участке становится меньше, чем на втором участке, т.е. скорость деформации увеличивается.

Исследовано изменение кривой деформации в зависимости от количества источников ФР, количества начальных ДЛ, плотности дефектов, длин основания источника ФР. В результате проведенных машинных экспериментов сделан вывод, что кривая деформации при постоянном одноосном нагружении мало зависит от плотности дефектов на площадке моделирования.

Второй эксперимент с моделью произведен при постоянной скорости деформации с использованием одноименного модуля. Построены несколько кривых при разных скоростях и при различном количестве начальных дислокаций (Рис.18). Все кривые получены при двух источниках ФР.

§ о.з te

о .г

Рис. 18. Кривые деформации о-е (I - 1 начальная дислокация; II - 2 начальные дислокации;

III - 3 начальные дислокации; IV - 2 начальные дислокации).

Первые три кривые были вычислены при значении коэффициента скорости ; а=0.2, первая кривая - при одной начальной ДЛ, а вторая - при двух начальных ДЛ, третья - при трех начальных ДЛ. Четвертая кривая - при двух i начальных ДЛ с коэффициентом скорости а в пять раз меньше (0.04). По результатам эксперимента можно сделать следующие выводы: 1) Если скорость деформации значительна, а начальная плотность дислокаций мала, i то существующие дислокации не могут обеспечить заданную скорость деформации. Вследствие этого напряжение повышается, появляется "зуб i текучести", источник начинает генерировать в единицу времени большее число дислокаций до тех пор, пока их количество не станет достаточным для обеспечения заданной скорости деформации. Переходной процесс 1

заканчивается и устанавливается стационарное пластическое течение. Длительность "зуба текучести" определяется временем, необходимым для генерации достаточного числа 'свежих" дислокаций; 2) Если скорость деформации незначительна, то источники успевают генерировать достаточное число дислокаций для обеспечения устойчивого пластического течения; 3) Пластическое течение может осуществляться без "зуба текучести" и при большой скорости деформации, если начальная плотность дислокаций значительна; 4) Обнаружен эффект отсутствия влияния ультразвука на процесс деформирования при таком способе нагружения.

Полученные в этой главе результаты согласуются с различными теоретическими и экспериментальными исследованиями (Петухов Б.В., Полухин П.И.), что подтверждает адекватность модели.

В пятой главе производится решение задачи расчета внутреннего трения. Внутреннее трение измеряется двумя способами. Во-первых, с помощью модели дислокационного источника ФР (глава 2), во-вторых, с помощью модели движения единичной ДЛ через систему дефектов (глава 3). Измерение производится под действием только знакопеременной нагрузки (от звуковых до ультразвуковых частот).

При измерении внутреннего трения по первому способу, были повторены расчеты Благовещенского В.В. и Тяпуниной H.A. и получено совпадение результатов. Вклад во внутреннее трение.от одного сегмента с расстоянием / между точками закрепления определяется выражением

2ЕЫг г к~х

Q1 =-

Со Т , М (22)

здесь Е=3.69-10'° - модуль Юнга, I, - длина г-го отрезка сегмента, м,- - его смещение. Подинтегральное выражение - площадь, "заметенная" всеми отрезками сегмента за период Т. Построены кривые зависимости внутреннего трения от амплитуды прикладываемой гармонической нагрузки для различных частот и длин оснований источника ФР. Показано, что в области за критической нагрузкой с кривыми для разных частот происходит инверсия частотной зависимости внутреннего трения.

Для измерения внутреннего трения по второму способу использовалась методика, предложенная Гранато и Люкке, в которой изучалось движение ДЛ, "зависающей" на системе дефектов, расположенных равномерно на прямой линии в плоскости скольжения. При помощи представленной в данной работе модели появилась возможность расширить методику Гранато -Люкке и вычислять внутреннее трение при помощи движущейся по

площадке моделирования ДЛ (РисЛ9). При действии знакопеременной нагрузки ДС, "зависшие" на стопорах, совершают вынужденные колебания. Величина внутреннего трения для каждого из сегментов ДЛ рассчитывается по формуле (22). Исходными данными для расчета будут период Т, амплитуда с0 и частота/колебаний.

заметаемая площадь

Типичная зависимость внутреннего трения от амплитуды внешнего знакопеременного напряжения для одной дислокации, полученная при помощи модели, представлена на Рис.20. На этой кривой наблюдаются три участка, один амплитудо-независимый и два амплитудо-зависимые. Первый участок, амплитудно-независимый, соответствует малым колебаниям

8 7 6 „ 5 ? 4 2 1

У

■У

/

1 •¡с 1Ра 6

Рис.20.3ависимость внутреннего трения от амплитуды знакопеременного напряжения при

N = 50,/= 20 КНг, а = 90°.

дислокационных сегментов, при которых стрела прогиба значительно меньше его длины, ДС держатся за первоначальные стопоры, сохраняя первоначальную конфигурацию и заметаемая площадь незначительна. Амплитудная зависимость внутреннего трения второго участка может быть

объяснена нелинейностью колебаний дислокационного сегмента, когда стрела прогиба становится соизмеримой с длиной дислокационного сегмента и увеличивается заметаемая площадь. На третьем участке ДЛ полностью отрывается от первоначального ряда стопоров и начинает взаимодействовать со следующим рядом, преодолевая их сопротивление, скорость роста заметаемой площади несколько уменьшается.

Построены зависимости внутреннего трения от амплитуды при разных параметрах модели. Показано, что внутреннее трение увеличивается при увеличении амплитуды знакопеременной нагрузки, при уменьшении частоты знакопеременной нагрузки, количества дефектов на площадке моделирования, мощности дефектов. Для всех зависимостей построены петли гистерезиса. Произведен анализ перечисленных зависимостей, который, в основном, совпадает с полученными ранее результатами различных теоретических и экспериментальных исследований.

В шестой главе рассматривается применение всех трех представленных моделей для исследования пластической деформации кристаллических материалов под действием ультразвука. Деформация рассматривается в трех уровнях, соответствующих моделям.

На первом уровне с помощью модели работы дислокационного

источника ФР (глава 2) были проведены вычисления числа образующихся

петель N в единицу времени ^для широкого диапазона частот от

звуковых до ультразвуковых. На источник действует суммарное напряжение, зависящее от времени

а = а П + а 0 зт( 2 я//) (23)>

задаваемое в долях окр. На рис.21 приведены данные для значений параметров постоянного напряжения ап~(). 95 акр =2.72МПа и амплитуды знакопеременного напряжения (тп=0.1 акр = 0.29МПа для источников с длиной основания / = 7.5-10 6 и / = 5-10'6 соответственно, из которых видно,

М

что при малых частотах порядка звуковых зависимость от частоты слабая, но начиная с частоты 45 кГц происходит значительный рост ——,

который достигает максимума при частоте 154 кГц. При частоте 175 кГц генерация прекращается. Дано объяснение и наглядная интерпретация эффекта воздействия ультразвука на процесс деформации кристаллических материалов, при котором количество дислокаций, рождающихся при незначительном дополнительном нагружении ультразвуком, увеличивается в

несколько раз, облегчая пластическую деформацию материала.

I I

Рис.21. Зависимость числа образовавшихся петель по ФР в единицу времени от частоты ультразвука для двух разных длин I источника (7.5-10б и 5-10 * соответственно)

На втором уровне с помощью модели движения единичной ДЛ через систему стопоров (глава 3) были поставлены вычислительные эксперименты с добавлением к внешней нагрузке гармонической составляющей и I вычислены скорости движения ДЛ в зависимости от различных звуковых и 1 ультразвуковых частот. Показано (Рис.22), что при постоянном напряжении, меньшем напряжения продавливания, влияние гармонической составляющей является существенным, хотя и ослабевающим с ростом частоты (две пары 1 нижних графиков, пунктирная линия - постоянное напряжение).

160

140

п 120

сэ 100

«г 80

г 60

■в

4и

20

0

/1

У 1

У

У 1

.(И Л/ У

I/

* <£> # # ^ ,<£ Г.кНг

Рис.22. Зависимость скорости распространения ДЛ от частоты гармонической составляющей для разных постоянных составляющих нагрузки.

При постоянной нагрузке, значительно большей напряжения продавливания, влияние ультразвука незначительно (два верхних графика).

На третьем уровне с помощью модели одновременного размножения и движения множества дислокаций через площадку моделирования (глава 4) произведены эксперименты по измерению деформации образца при приложении к нему постоянной и знакопеременной нагрузки для широкого диапазона частот, от звуковых до ультразвуковых. Приведены изменения кривой деформации, полученной в главе 4 для постоянного напряжения при воздействии на образец одновременно постоянной и знакопеременной нагрузки (Рис.23). Выявлена зона (АВ) на кривой деформации, которая меняется при одновременном приложении постоянной и гармонической нагрузок по сравнению с только постоянной нагрузкой, причем эта зона увеличивается при увеличении амплитуды знакопеременной нагрузки и при увеличении времени нагружения образца.

Рис.23. Кривые деформации при разных амплитудах знакопеременной нагрузки (I - постоянная нагрузка, II - амплитуда 0.1- о>„ III - амплитуда 0.2- о>„ IV - амплитуда 0.3- ак,)

Построена зависимость деформации от частоты знакопеременной нагрузки (Рис.24). Параметры нагружения выбраны как на первом уровне: постоянная нагрузка ап=0.95-Ок, амплитуда знакопеременной нагрузки а0=0.1■ ак. , время эксперимента Т = 8.5- /О'5сек. Зависимость 1 на рис.24 похожа на зависимость числа образующихся петель в единицу времени, полученную на первом уровне. При частоте 163 кГц источники с длиной основания генерируют новую дислокацию в каждый период знакопеременной нагрузки (время генерации источником новой ДЛ совпадает с периодом ультразвука), вследствие чего происходит значительный рост количества дислокаций, генерируемых источником. Данный результат показывает эффект воздействия ультразвука, а также существование частоты, при котором воздействие будет максимальным.

Рис.24. Зависимость деформации от частоты знакопеременной нагрузки (Т = 8.5-10"5sec).

Кривая I - два источника с длинами оснований I = 510 6 м\ кривая II - два источника с

длинами I = 510' м и I = 610~бм; кривая III - два источника с длинами оснований / =

5-10'6 м ul= 7-lff6 м; кривая IV -три источника с длинами оснований I = 5-lff6 м, 1 =

6-Iff6 м и I = 7-10'6 м\ кривая V - три источника с длинами оснований / = 51ff6 м, I =

610~л м и I = 710'6 м, распределенные по нормальному закону.

I

Зависимость деформации от частоты для других длин источников аналогичны кривой 1 (кривые 2, 3, 4 Рис.24), при этом максимальная деформация на любой из них достигается при частоте ультразвука, близкой к , частоте, обеспечивающей критическое напряжение для источника с длиной основания / = 5-lff6м. Пик деформации и форма зависимости определяются источником, для которого прикладываемое среднее напряжение является критическим, а средняя величина деформации и расположение кривой по вертикали определяются источниками, у которых критическое напряжение меньше ак. Зависимость 5 построена для трех источников с разной длиной основания, распределенных по нормальному закону с центром в I - 510'6 м и стандартным отклонением 2-Iff6 м. Максимум на кривой деформации будет более выраженным за счет превалирования источников с критической длиной. Представленный результат наглядно демонстрирует эффект воздействия ультразвука на кристаллический материал, при котором пластическая деформация значительно увеличивается за единицу времени | при незначительном дополнительном нагружении ультразвуком. Показано влияние амплитуды и частоты знакопеременной нагрузки на изменение кривой деформации. Впервые выделена частота ультразвука, при которой его воздействие на процесс деформации кристаллического материала максимально.

Основные результаты и выводы.

1. Предложен новый подход и новый метод решения известной задачи эволюции источника Франка-Рида, учитывающие дислокационную вязкость материала и реализованные на основе метода конечных разностей; разработаны непротиворечивые, устойчивые алгоритмы и построена математическая модель источника Франка-Рида Показаны устойчивость, сходимость, точность решения для численного метода и метода прогонки. С помощью программы, написанной на основе модели, проведен ряд вычислительных экспериментов с источником ФР.

2. Предложен новый подход для динамического, вязкого движения дислокационных сегментов, составляющих дислокационные линии, основанный на уравнении эволюции источника Франка-Рида.

3. Предложены новые периодические граничные условия для движущихся дислокаций.

4. На основе предложенных подходов, методов и алгоритмов разработана математическая модель непрерывного плоского движения единичной дислокации через систему дефектов и математическая модель одновременного зарождения и непрерывного плоского движения множества дислокаций через систему дефектов с учетом дислокационной вязкости материала. С помощью программ, написанных на основании моделей, проведены вычислительные эксперименты, показывающие адекватность модели.

5. Создан комплекс программ для решения различных задач пластического деформирования материалов на основе предложенных подходов и алгоритмов.

6. Предложен новый метод теоретического расчета зависимости напряжение-деформация, которая качественно отражает известные закономерности пластической деформации кристаллических материалов. Метод основан на компьютерном моделировании.

7. Дана обоснованная интерпретация причины появления "зуба текучести" на основе компьютерного моделирования.

8. Предложен новый способ расчета внутреннего трения под действием знакопеременной нагрузки с помощью разработанного комплекса программ; установлены амплитудно-независимые и амплитудно-зависимые участки зависимости внутреннего трения от амплитуды знакопеременной нагрузки, дан их анализ, получены зависимости внутреннего трения при изменении параметров моделирования.

9. Разработанный комплекс программ позволяет исследовать деформацию кристаллического материала под действием ультразвука; установлена зависимость скорости деформации от частоты ультразвука; установлены зоны

влияния ультразвука на кривую деформации при одновременном воздействии постоянной и знакопеременной нагрузок; установлено существование частоты ультразвука, при которой деформация в образце максимальна.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Увеличение скорости пластической деформации под действием ультразвука, ФММ, 2007, т.ЮЗ, №4, с.445-448.

2. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Построение и исследование динамической модели преодоления дислокацией дефектов в кристалле, Известия ВУЗов, Материалы электронной техники, 2007, № 2, с.51-53.

3. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Построение динамической модели дислокационного источника Франка-Рида, Вычислительные технологии, 2008, т. 13, №5, с.5-10.

4. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Исследование упругих и пластических свойств кристаллических материалов при помощи математической модели движения дислокационной линии, ФММ, 2009, т. 108, №2, с.222-224.

5. Андрианов Д.С., Благовещенский В.В., Панин И.Г. Измерение пластических характеристик кристаллических материалов с помощью математического моделирования движения дислокаций, Приборы и системы. Измерения, контроль, диагностика, 2009, №11, с.50-52.

6. Благовещенский В.В., Панин И.Г. К вопросу о зубе текучести, ФММ, 2010, т.109, №3, с.310-313.

7. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Компьютерное моделирование амплитудно-зависимого внутреннего трения, ФТТ, 2010, т.52, в.8, с.1513-1516.

8. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Исследование воздействия ультразвука на деформацию кристаллических материалов, ФТТ, 2011, т.53, в.10, с.2005-2010.

9. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2009612355 "Модель работы дислокационного источника Франка - Рида под действием постоянной и знакопеременной нагрузки", 2009.

10. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2009616108 "Модель движения единичной дислокационной линии через систему дефектов", 2009.

11. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010610723 "Модель зарождения и движения нескольких дислокационных линий через систему дефектов", 2010.

Подписано в печать 13.02.2012. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100. Заказ 8800b.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812)550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Введение.

Глава I. Методы исследования процесса движения дислокаций в кристаллических телах. Обзор литературы. Постановка задачи.

1.1. Методы исследования движения дислокаций.

1.2. Описание принципов работы источника Франка - Рида.

1.3. Подходы к моделированию движения дислокаций.

Глава И. Алгоритмы работы модели источника Франка - Рида.

2.1. Построение численных уравнений.

2.2. Выбор разностной схемы, исследование ее сходимости, устойчивости, точности.

2.3. Исследование сходимости, устойчивости, точности метода прогонки.

2.4. Расчет условия самопересечения ДС.

2.5. Описание алгоритма работы программы, интерфейса программы, этапов работы.

2.6. Добавление знакопеременной нагрузки.

2.7. Исследования модели источника Франка-Рида.

2.7.1. Результаты тестирования и адекватность модели.

2.7.2. Зависимость числа образующихся дислокационных петель от величины основания источника.'.

2.7.3. Изменение скорости движения дислокационной петли в процессе эволюции источника ФР.

2.7.4. Зависимость числа образующихся дислокационных петель от величины приложенного усилия.

2.7.5. Зависимость минимального напряжения образования дислокационной петли от величины основания источника.

2.7.6. Зависимость минимальной амплитуды образования дислокационной петли от частоты знакопеременной нагрузки.

Глава III. Схема организации и алгоритмы работы модели вязкого движения единичной дислокации через систему дефектов.

3.1. Общее описание системы движения дислокаций.

3.2. Подсистема начальных условий.

3.3. Подсистема движения дислокаций.

3.4. Подсистема взаимодействия дислокаций с дефектами.

3.5. Подсистема граничных условий.

3.6. Подсистема самопересечения дислокаций.

3.7. Подсистема отображения результатов работы.

3.8. Подсистеме окончания работы.

3.9. Алгоритм работы модели и его программная реализация.

3.10. Обработка результатов экспериментов.

3.11. Исследование модели движения единичной дислокации.

3.11.1. Зависимость напряжения продавливания от плотности дефектов.

3.11.2. Зависимость скорости движения дислокаций от нагрузки при разной плотности дефектов.

3.11.3. Зависимость скорости движения дислокаций от мощности дефектов.

3.11.4. Построение и исследование упругой зоны кривой деформации (до точки текучести).

Глава IV. Модель одновременного размножения и вязкого движения множества дислокаций через систему дефектов.

4.1. Общее описание модели.

4.2. Подсистема начальных условий.

4.3. Подсистема движения дислокаций.

4.4. Подсистема генерации дислокаций источниками

Франка-Рида.

4.5. Подсистема взаимодействия между дислокациями.

4.6. Модуль для деформации с постоянным усилием нагружения.

4.7. Модуль для нагружения при постоянной скорости деформации.

4.8. Алгоритм работы модели и его программная реализация.

4.9. Исследования модели одновременного зарождения и движения множества дислокаций.

4.9.1. Построение кривой деформации при постоянном одноосном нагружении.ИЗ

4.9.2. Построение кривой деформации при постоянной скорости деформации. Зуб текучести. Влияние знакопеременной нагрузки.

Глава V. Расчет внутреннего трения при помощи моделей.

5.1. Подходы к расчету внутреннего трения.

5.2. Расчет внутреннего трения с помощью модели эволюции источника Франка-Рида.

5.3. Расчет внутреннего трения с помощью модели движения единичной дислокации.

Глава VI. Исследование воздействия ультразвука на деформацию материалов кристаллической структуры.

6.1. Исследование с помощью модели работы дислокационного источника Франка-Рида.

6.2. Исследование с помощью модели движения единичной дислокации через систему стопоров.

6.3. Исследование с помощью модели одновременного размножения и движения множества дислокаций через площадку моделирования.

Современная техника совершенствуется в направлении использования новых материалов в автомобильной, авиационной, космической промышленности. Тенденция повышения качества, надежности связана с новыми материалами и технологиями их обработки. Экспериментальные исследования по разным причинам не позволяют полностью анализировать все возможные варианты реализации технологических процессов. Для этого необходимо развивать надежные и достаточно точные математические модели управления физическими процессами, происходящими при обработке материалов, изучения динамики поведения материалов при различных способах нагружения.

Исследования кристаллических твердых тел показывают, что их механические свойства (прочность, пластичность, внутреннее трение, дефект модуля, усталость) определяются дефектной структурой твердого тела, в том ч числе дислокациями. В последнее время большое внимание уделяется нанотехнологиям, имеющим дело с величинами порядка 10-9. Размеры ' дислокаций аналогичного порядка, их поведение на поверхности образца наблюдают с помощью современных электронных микроскопов. Вопрос о динамике дислокаций, находящихся внутри образца, можно исследовать только методами математического моделирования.

Использование математического моделирования для изучения пластических свойств материалов интенсивно развивается с конца 50 годов прошлого столетия в России и за рубежом. Построены математические модели на различных уровнях (микро, макро, мезо), на основе различных подходов (континуальное моделирование, молекулярная динамика, квантово -механическое моделирование, моделирование движения дислокаций), с использованием адекватного математического аппарата. Дислокации действуют на микро-уровне и оказывают существенное влияние на процесс деформирования кристаллических материалов. Моделирование движения дислокаций проводилось по двум направлениям: квазистатическое, при котором дислокационные сегменты представляются дугами окружностей, и динамическое, при котором все дислокационные сегменты взаимодействуют со всеми другими сегментами образца. В первом случае нет возможности изучать скоростные характеристики пластического деформирования, т.к. переход из одного состояние в другое происходит дискретно, без учета временного интервала. Во втором случае процесс описывают интегральные уравнения, которые решаются только для частных случаев. Моделирование этих явлений требует больших ресурсов ЭВМ. Возникает вопрос о разработке модели динамического движения дислокаций с приемлемой скоростью расчетов. Для этого необходимо предусмотреть возможность приложения к образцу нагрузок различной природы, в том числе и гармонической, включая ультразвук (эмпирически обнаружено, что ультразвук существенно влияет на пластическую деформацию).

Исследования взаимодействия ультразвука с твердым телом являются важными для прикладных задач, поскольку знакопеременные нагрузки ч " \ оказывают значительное влияние, которое может быть использовано, например, в технологических целях - для облегчения холодной обработки и упрочнения материалов, или же при устранении нежелательных последствий различного рода вибраций, возникающих при работе различных машин и механизмов. На сегодняшний день остается актуальной проблема изучения поведения дислокационной структуры кристаллов под воздействием нагрузок различной природы.

Диссертация состоит из шести глав, имеющих следующее содержание.

Заключение

Во второй главе предложен новый подход и новый метод решения известной задачи эволюции источника Франка-Рида, учитывающие дислокационную вязкость материала и реализованные на основе метода конечных разностей; разработаны непротиворечивые, устойчивые алгоритмы и построена математическая модель источника Франка-Рида Показаны устойчивость, сходимость, точность решения для численного метода и метода прогонки. Дано описание алгоритма движения дислокационной линии источника ФР и программного продукта, выполненного по данному алгоритму. С помощью программы показана адекватность модели и произведен ряд исследований источника ФР:

1. Исследована зависимость числа образующихся петель от величины основания источника и показано, что для любого усилия, прикладываемого к источнику, существует длина основания, при котором количество < генерируемых источником петель за единицу времени будет максимально:' .

- 2. Исследовано »изменение скорости движения дислокации:;:;в г процессе 1 > И '" , '/ , , . * ' ' 1 'с'; 1V I , эволюции источника ФР и показано, что при работе источника дислокация проходит некоторое критическое положение, форма которого и момент прохождения зависит от соотношения длины основания источника и приложенной нагрузки. Данные исследования стали возможны благодаря использованию динамического уравнения движения дислокаций.

3. Показано, что зависимость минимального напряжения продавливания от длины основания источника - гиперболическая.

4. Показано, что при воздействии на источник ФР только знакопеременной нагрузки, зависимость между частотой знакопеременной нагрузки и минимальным значением амплитуды, необходимой для продавливания источника, близка к линейной.

В третьей главе предложен новый подход для динамического, вязкого движения дислокационных сегментов, составляющих дислокационные линии, основанный на уравнении эволюции источника Франка-Рида. Дано описание всех подсистем, составляющих модель вязкого движения единичной дислокации, их взаимосвязь. Предложены новые периодические граничные условия для движущихся дислокаций. Дано описание алгоритма движения дислокаций через систему дефектов и программного продукта, выполненного по данному алгоритму. Проведен ряд вычислительных экспериментов, показывающих качественную адекватность модели:

1. Усилие продавливания через площадку зависят от плотности дефектов согласно зависимости у=0.19х04;

2. При достаточно больших усилиях скорость движения дислокаций линейно зависит от нагрузки при любой плотности дефектов;

3. Скорость движения дислокаций сильно зависит от мощности дефектов при небольшом ее значении, и практически не зависит при больших значениях (угол срыва больше 120 градусов).

4. Построены кривые упругости, имеющие на первом этапе "гуковский характер", который при увеличении нагрузки становится нелинейным, причем нелинейность возрастает при увеличении плотности стопоров.

5. Показано, что при больших нагрузках необходимо вводить в рассмотрение механизмы размножения дислокаций.

В четвертой главе предложен новый подход для динамического, вязкого движения дислокационных сегментов, составляющих дислокационные линии, основанный на уравнении эволюции источника Франка-Рида с одновременным размножением дислокаций. Дано описание всех подсистем, составляющих модель движения множества дислокаций, их взаимосвязь. Дано описание алгоритма движения множества дислокаций через систему дефектов с одновременным размножением и программного продукта, выполненного по данному алгоритму.

Создан комплекс программ для решения различных задач пластического деформирования материалов на основе предложенных подходов и алгоритмов.

Предложен новый способ теоретического расчета зависимости напряжение-деформация, которая качественно отражает известные закономерности пластической деформации кристаллических материалов. Метод основан на компьютерном моделировании и может быть применен в различных техпическихприложениях для расчета механических свойств кристаллических материалов. /' - , ,

Проведен ряд вычислительных экспериментов, показывающих качественную адекватность модели:

1. Показано, что при постоянном напряжении нагружения образца кривая деформации в существенной мере зависит от количества источников ФР, от длин основания этих источников, от количества первоначальных дислокаций в образце и в меньшей степени зависит от плотности дефектов на площадке моделирования.

2. Дана обоснованная интерпретация причины появления "зуба текучести" на основе компьютерного моделирования нагружения образца с постоянной скоростью деформирования. Обнаружен эффект отсутствия влияния ультразвука на процесс деформирования при таком способе нагружения.

В пятой главе предложен новый теоретический способ расчета внутреннего трения под действием знакопеременной нагрузки с помощью разработанного комплекса программ; установлены амплитудно-независимые и амплитудно-зависимые участки зависимости внутреннего трения от амплитуды знакопеременной нагрузки, дан их анализ, получены зависимости внутреннего трения при изменении параметров моделирования.

Показано, что величина петли гистерезиса зависит в большей степени от параметров ультразвука и в меньшей степени - от дефектной структуры материала.

Поскольку поиск величины внутреннего трения (или обратной ему величины - добротности) является технически актуальной задачей, то предложенный метод расчета может быть применен при расчете акустических потерь.

В шестой главе с помощью всех трех представленных в работе моделей исследуется деформация кристаллического материала под действием ультразвука; установлена зависимость скорости деформации от частоты ультразвука; установлены зоны влияния ультразвука на кривую деформации при одновременном воздействии постоянной и знакопеременной нагрузок; установлено существование частоты ультразвука, при которой деформация в образце максимальна.

Разработанные модели и программное обеспечение могут быть использованы в различного рода технических задачах для поиска диапазона частот ультразвука, на котором возможно его воздействие на обрабатываемый кристаллический материал.

1. Orovan E.Z. Phys., 1934, 89, p. 605-659.

2. Polanyi M.Z. Phys., 1934, 89, p. 660-664.

3. Taylor G.Y. Proc. Roy. Soc., 1934, v. A145, p. 362-387.

4. Коттрелл A.X. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. М.: Металлургиздат, 1958, 270с.

5. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Физматгиз, 1963, 79 с.

6. Фридель Ж. Дислокации. М.:Мир,1967,

7. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972.

8. Коттрелл А.Х. Теория дислокаций в кристаллах. М.: Мир, 1968.

9. Инденбом В.Л., Орлов А.Н. Физическая теория пластичности и прочности. Успехи физических наук, 1962, т.76, в.З., с. 557-691.

10. Косевич A.M. Теория кристаллической решетки. Харьков: Вищ. шк., 1988.

11. Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела, М.: МГТУ им. Баумана, 2008, 360 с.

12. Арзамасов Б.Н. и др. Материаловедение. М.: Машиностроение, 1986, 384с;

13. Ганато ? А., Люкке К. Ультразвуковые методы исследования дислокаций. М.:Наука, 1978. , 1 / ; ' 1 ;

14. Тяпунина H.A., ■ ■ Зиненкова Г.М., Штром Е.В. Дислокационная структура кристаллов KCl, деформированных ультразвуком. // Вестн. Моск. ун-та, физ. астр., 1978,19, №2, с. 33-39.

15. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985.-229 с.

16. Панин В.Е. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / В.Е. Панин. Новосибирск: Наука, СО РАН, 1995.- Т. 1. - 297 е.; Т. 2.-317 с.

17. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Псахье С.Г. Физическая мезомеханика: достижения за два десятилетия развития, проблемы и перспективы / Физическая мезомеханика, 7, спец. выпуск 4.1 (2004), с. 25-40.

18. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики / Физическая мезомеханика 1 (1998), с. 5-22.

19. N.M. Ghoniem et al. Multiscale modelling of nanomechanics and micromechanics: an over-view / Phil. Magazine. 2003. - Vol. 83. - No. 31-34. -P. 3475-3528.

20. Кравчук A.C. Численное моделирование деформаций и разрушения на наноуровне / А.С. Кравчук, С.В. Карлышков // Вестник СамГУ, №4 (54), 2007.

21. Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир нанорасчета / М. Рит. М.; Ижевск: RCD, 2005. - 159 с.

22. S. Ando, К. Takashima, Н. Tonda. Mater. Trans., 1996, s.37.

23. M. Koyanagi, К. Ohsawa, E. Kuramoto. J. Nucl. Mater., 1999, p. 271-272.

24. D.L. Olmsted, L.G. Hector, Jr., W.A. Curtin. J. Mech. Phys., 2006, Sol. 54, p. 1763.

25. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1989.

26. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. -М.:Иностр.лит.,1963. ,

27. С. Denoual. Phys. Rev. В, 2004, v. 70, № 24, p. 106.

28. S. Qu, V. Shastry, W.A. Curtin, R.E. Miller. Model. Simul. Mater. Sci. Eng., 2005, №13, p. 1101.

29. P. Gumbsch, G.E. Beltz. Model. Simul. Mater. Sci. Eng., 2005, № 3, p.597.

30. E.M. Martinez, J. Marian, A. Arsenlis, M. Victoria, J.M. Perlado,J. Mech. Phys. Sol., 2008, № 56, p. 869.

31. Ю.А. Баимова, С.В. Дмитриев, A.A. Назаров, А.И. Пшеничнюк. Фундам. пробл. соврем, материаловедения, 2008, № 2, с. 66.

32. Судзуки Т., Ёсинага X., Такеути С. Динамика дислокаций и пластичность: пер. с япон. М.: Мир, 1989,

33. Е. Van der Giessen and A. Needleman. Discrete dislocation plasticity: a simple planar model. Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 1995, № 3, p. 689-735.

34. Gullouglu A.N. and Hartley C.S. Simulation of dislocation microstructures in two dimensions. Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 1992, № 1, p. 1-17.

35. Вако В., Groma I., Gyorgyi G., Zimanyi G. Dislocation patterning: The role of climb in meso-scale simulations. Computational Materials Sci., 2006, № 38, p. 2228.

36. Amodeo R.J. and Ghoniem N.M. Dislocation dynamics. I. A proposed methodology for deformation micromechanics. Phis. Rev. B, 1990, V. 41, № 10, p. 6958-6967.

37. Косевич A.M. Дислокации в теории упругости. Киев: Наукова думка, 1978.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М: Наука, 1987.

39. Paierls R.E. Proc. Phys. Soc., London, 1940, 52, p.34.

40. Nabarro F. R. N. Theory of Crystal Dislocatios. Clarendon Press, Oxford, 1967, p. 175.

41. Косевич A.M. Физическая механика реальных кристаллов. Киев.: Наукова думка, 1981.

42. Frank F.C., Read W.T. // Phys. Rev., 1953, 89, p.663.

43. Формен А., Мэйкин M. Движение дислокации сквозь хаотические сетки препятствий//Актуальные вопросы теории дислокаций. М.: Мир, 1968, с. 200к-215.

44. Зайцев С.И. Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ. Л.: Наука, 1980, с. 178-191.

45. Слободской М.И., Попов Л.Е., Математическое моделирование систем и процессов, 2003, № 11, с.94-103.

46. Peach М.О., Koehler J.S., Phys. Rev., 1950, № 80, p. 436.

47. Nabarro F.R.N., Adv. Phys., 1952, № 1, p. 271.

48. Eshelby J.D., Phil. Trans. Roy. Soc., 1951, A244, p.87.

49. Schmid E., Proc. Int. Cong. Appl. Mech. Delft., 342 (1924).

50. Предводителев A.A., Тяпунина H.A., Зиненкова Г.М., Бушуева Г.В. Физика кристаллов с дефектами. М:Изд. МГУ, 1986.

51. Орлов А.Н. Введение в теорию дефектов в кристаллах. М.: Высшая школа, 1983.

52. Благовещенский В.В. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.м.н. "Особенности размножения дислокаций и образование полос скольжения под действием ультразвука" Москва, Московский государственный университет. Физический факультет, 1982.

53. Благовещенский В.В. Диссертация на соискание ученой степени доктора ф.м. наук "Эволюция дислокационной структуры под действием ультразвука и неупругость кристаллов" Кострома, Костромской государственный технологический университет, 2001. - 237 с.

54. Дэш В.В., В кн.: Дислокации и механические свойства кристаллов. М.: HJI, 1960,с.60-65.

55. Амеликс С., Ван-Дер-Ворст В. В кн.: Дислокации и механические свойстваt 'r-Nn/l,кристаллов. М.: ИЛ, 1960, с.59. . < >' Г

56. Электронно микроскопические изображения дислокаций' и дефектовт I г 1 * < 1 ' ' \lfупаковки. Справочное руководство. Под ред. В.М. Косевич \ иЛ.С. Полатника. М.: Наука, 1976, 223с.

57. Предводителев A.A., Тяпунина H.A. // ФММ, 1959, 7, с. 855-861.

58. Предводителев A.A., Тяпунина H.A., Быстриков A.C. // Кристаллография, 1960, 5, с. 432-436.

59. Нацик В.Д., Чишко К.А. В сб.: Физика конденсированного состояния. Харьков, ФТИНТ АН УССР, 1976, вып. 33, с. 44.

60. Нацик В.Д., Чишко К.А. Динамика и звуковое излучение дислокационного источника Франка-Рида. И. Формирование дислокационного скопления. Препринт, Харьков, ФТИНТ АН УССР, 1976.

61. Нацик В.Д., Чишко К.А. // ФТТ, 1977, 17, с.342.

62. Stieif P.S., Clifton RJ. // Mat. Sei. and Eng., 1979, 41, p.251.I

63. Orovan E.Z. Dislocation in metals. Ed.by Coheu M., New York, 1954, p.69-188.

64. Jle Ван. Влияние ультразвукового облучения на пластичность, прочность и внутреннее трение монокристаллов хлористого натрия. Автореф. канд. дисс. физ.-мат. наук. М. Изд-во МГУ, 1966.

65. Shvidkovsky E.G., Tyapunina N. A., Belozerova Е.Р., Le Van. Defect in ionic crystals due ultrasonic irradiation // Acta crystal., 1966, 21 18.

66. Благовещенский В.В. Моделирование процесса пластической деформации под действием ультразвука. В кн.: Пластическая деформация сплавов / В.В. Благовещенский, Н.А. Тяпунина, А.Л. Ломакин Томск: Издательство Томского университета, 1986. - с. 66-80.

67. Тихонов А.А., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

68. ХеммингР.В. Численные методы. М.: Наука, 1968.

69. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высшая школа, 1990.

70. Wynblatt P. Rate Process in Plastic Deformation of Materials. Am.' Soc. Met.,

71. Metals Park, ¿hio, 1975, p. 156. ,l' i • , , t , t „j,,,.

72. Suzuki T. Dislocation Dynamics, McGraw-Hill, N.Y., 1967/1968, p.*551.

73. Labusch R., Phys.,Stat. Solid.; 1970,41, p.659.

74. Schwarz R. В., Labusch R. J. Appl. Phys., 1978, v. 49, № 10, p. 5174-5187.

75. Зайцев С.И., Надгорный Э.М. ФТТ, 1973, т.15, № 9, с. 2569-2675.

76. Струнин Б.М. В кн.: Динамика дислокаций, Киев, Наукова думка, 1975, с. 98-120.

77. Струнин Б.М. ФТТ, 1973, т.15, №11,с.3481-3484.

78. Landau A.I. Phys. Stat. Sol. (a), 1975,v.30, №2, p.659-669.

79. Hanson K., Morris J.W. Jr. J. Appl., 1975, v.45, №3, p.983-990.

80. Hanson K., Morris J.W. Jr. J. Appl., 1975, v.46, №5, p.2378-2383.

81. Labush R.J. Appl. Phys., 1977, v.48, №11, p.4550-4556.

82. Zaitsev S.I., Nadgornyi E.M. Nuclear Metallurgy, 1976, v.20, p.707-720.

83. Выдашенко B.H., Ландау А.И. Физ. низ. тем., 1979, т.5, с. 511-517.

84. Ландау А. И., Выдашенко В. М. Термоактивированное движение дислокаций через хаотическую сетку точечных препятствий. Харьков, 1981.46 с. Препринт ФТИНТ АН УССР, 1981: 4.

85. Arsenault R.J., Cadman T.W. Nuclear Metallurgy, 1976, v.20, p.658-671.

86. Orovan E. The Symposium on Internal Stresses in Metal and Alloys, Inst. Metals, London, 1948, p. 451.

87. Предводителев A.A. Возможности моделирования процессов, связанных с движением и размножением дислокаций в кристаллах // Динамика дислокаций. -Киев : Наукова думка, 1975.- С. 178-190.

88. Предводителев A.A., Бушуева Г.В., Полисар Л.М. Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ / A.A. Предводителев, Г.В. Бушуева, Л.М. Полисар -Л.: Наука, 1980. с. 192-209.

89. Игонин С.И. Исследование процесса расширения полос скольжения в -кристаллах типа NaCl с помощью моделирования, Автореф. канд. дисс., М.,1978. ; . '

90. Стратан И.В., Предводителев A.A. Моделирование процесса движения , дислокации в дислокационном ансамбле / И.В. Стратан, A.A. Предводителев-М.: ФТТ, 1970. т. 12, с.1729 ■ •

91. Горячев С.Б., Пашнин В.Г. Образование и распад скопления дислокационных диполей. В кн.: Моделирование на ЭВМ дефектов в кристаллах / С.Б. Горячев, В.Г. Пашнин Л.: ФТИ, АН СССР, 1979. - с.148.

92. Выдашенко В.Н., Ландау А.И. Статистические характеристики конфигурации дислокации, движущейся при низких температурах // Физ. низких темпер.1979. Т.5,N7.-С. 794-805.

93. Голосова Т.Н., Слободской М.И., Попов Л.Е. Моделирование источника дислокаций в поле активируемых и неактивируемых дискретных препятствий // Изв. вузов. Физика. 1992. - №10. - С. 20-24.

94. Слободской М.И., Попов Л.Е. Выбор значений параметров модели зарождения и распространения элементарного кристаллографического скольжения II Математ. моделир. систем и проц. 2002. №10. - С. 112-124. :

95. Слободской М.И. Исследование явления скольжения в кристаллах методами имитационного моделирования / М. И. Слободской, JI. Е. Попов. Томск : Изд-во ТГАСУ, 2004. 450 с.

96. Попов JI.E. Моделирование элементарного скольжения в ГЦК-металлах / JL Е. Попов, М. И. Слободской, С. Н. Колупаева// Изв. вузов. Физ., 2006, Т. 49, №1, с. 57-68.

97. Van der Giessen, Е., Needleman, A. Discrete dislocation plasticity: a simple planar model. Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 1995, №3, p.689-735.

98. Benzerga, A.A., Brechet, Y., Needleman, A., Van der Giessen, E. (2004). Incorporating three-dimensional mechanisms into two-dimensional dislocation dynamics. Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 2004, № 12, p. 159-196.

99. Hirth, J.P, Rhee, M. and Zbib, H.M. Modeling of Deformation by a 3D Simulation of Multipole, Curved Dislocations, J. Computer-Aided Materials Design, 1996, №3, p. 164-166. v

100. H.M. Zbib, T. Diaz de la Rubia A multiscale model of plasticity / International Journal of Plasticity, 2002, 18, p. 1133-1163.

101. Полисар JI.M., Бушуева Г.В., Предводителев A.A. В кн.: Некоторые методические особенности моделирования на ЭВМ процессов взаимодействия и движения дислокаций. Деп. в ВИНИТИ, 15.06.78, № 200178, 1978.

102. Бушуева Г.В., Исса Х.М., Предводителев А.А., ФММ, 1978, т.45, с.184-191.

103. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1983, 616с.

104. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений // А.А. Самарский, Е.С. Николаев. М.: Наука, 1978, 592с.

105. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М: Мир, 1984,264с.

106. Справочник по математике. Г. Корн, Т. Корн, М.: Наука, 1978,832с. .

107. Orovan Е. The Symposium on Internal Stresses in Metal and Alloys, Inst. Metals, London, 1948, p. 451.

108. Попов JI.E. Пластическая деформация сплавов / Л.Е. Попов, B.C. Коботев, Т.А.Ковалевская -М.: Металлургия, 1984.

109. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. М.: Высш. школа, 2001.343 с.

110. Волынцев А.Б. Наследственная механика дислокационных ансамблей. Компьютерные модели и эксперимент. Иркутск: изд-во Иркутского ун-та, 1990.

111. Петухов Б.В. Различные типы динамики дислокаций как следствие их динамического старения. ЖТФ, 2003, т.73, в.7, с.82-87.

112. Алыпиц В.И., Даринская Е.В., Колдаева М.В. Особенности динамики при импульсном нагружении кристаллов NaCl. ФТТ, 2001, т.43, в.9.

113. Ермолаев Г.Н. Атермическое движение дислокаций в кристаллах NaCl при низких импульсных нагружениях. ФТТ, 1996, т.38, №11, с.3375-3380.

114. Петухов Б.В. Закономерности влияния примесей на предел текучести кристаллов кремния. Физика и техника полупроводников, 2004, т.38, в.4, с. 385-390.

115. Полухин П.И., Гун Г.Я., Галкин A.M. Сопротивление пластической деформации металлов и сплавов. М.: Металлургия, 1983, 352 с.

116. Геллер Ю.А. Материаловедение / Ю.А. Геллер, А.Г. Рахштадт, М.: Металлургия, 1975.

117. Жуховец И.И. Механические испытания металлов, М.: Высшая школа, 1986, 199с.

118. Лахтин Ю.М. Материаловедение / Ю.М. Лахтин, В.П. Леонтьева, М.: Машиностроение, 1990, 528 с.

119. Дубнова Г.Н., Иденбом В.Л., Штольберг A.A. // ФТТ.-1968.-Т.10.-С. 17601768.

120. Попов Л.Е., Коботев Т.А., Ковалевская B.C. Пластическая деформация сплавов. М.: Металлургия, 1984.

121. Белан В.И., Ландау А.И. Сеточно-статистическая модель дислокационного амплитудно-зависимого внутреннего трения. ФММ, т.65, в.2, 1988.

122. Инструментальные стали: справочник / JI.A. Позняк, Ю.М. Скрынченко и др., М.: Металлургия, 1977, 168с.

123. Полухин П. И., Гун Г. Я., Галкин А. М. Сопротивление пластической деформации металлов и сплавов. М.: Металлургия, 1983

124. Журавлев В.Н. Машиностроительные стали: справочник / В.Н. Журавлев, О.И. Николаева, М.: Машиностроение, 1992, 480 с.

125. Петухов Б.В. Теория зуба текучести в малодислокационных кристаллах // ЖТФ. 2001. т. 71, № 11, с. 42-47.

126. Мс Queen H.J., Jonas J.J. Plastic Deformation of Materials. New York: Academic Press, 1975.

127. Balance J.B. The Hot Deformation of Austenite. New York: AIME, 1977.

128. Johnston W.G., Gilman J.J. // J. Appl. Phys. 1959. V. 30.№ 2. P. 129-144.

129. Alexander H., Haasen P. // Sol. St. Phys. 1968. V. 22.P. 22-158.

130. Лихачев B.A., Малинин В.Г., Малинина H.A. Теория разрушения, основанная на механизмах трансляционно-ротационного массопереноса, вещества. Сб. статей. Пластическая деформация сплавов. Томск: Изд-во Том.ун-та, 1986. С.'6-22.» v i

131. Ниблетт Д., Уилкс Дж. Внутреннее трение в металлах, связанное с дислокациями // Успехи физических наук, 1963 г., T. LXXX, вып. 1

132. Физическая акустика, под ред. У. Мэзона, пер. с англ., т. 3, ч. А Влияние дефектов на свойства твердых тел, М., 1969;

133. Постников B.C. Внутреннее трение в металлах. М.: Металлургия, 1969.

134. Чернов В.М., Индебом В.Л. Преодоление дислокаций упругого поля точечных дефектов как механизм внутреннего трения. В кн.: Внутреннее трение в механических материалах / В.М. Чернов, В.Л. Индебом М.: Наука, 1970. - с. 26-32.

135. Новик А., Берри Б. Релаксационные явления в кристаллах. М.: Атомиздат, 1975.

136. Блантер М.С., Пигузов Ю.В. и др. Метод внутреннего трения вiметалловедческих исследованиях. М.: Металлургия, 1991.

137. БлантерМ.С., Головин И.С, Головин С.А. и др. Механическая спектроскопия металлических материалов. М.: Инж. акад.,1994.

138. В.П. Митрофанов. Колебательные системы с малой диссипацией (от макро-до наноосциляторов). М.: Физ. фак. МГУ, 2010.-74 с.

139. Д.В. Куликов, Н.В. Мекалова, М.М. Закирничная Волновые процессы в механике разрушения электронный ресурс. / Д.В. Куликов, Н.В. Мекалова, М.М. Закирничная // http://rusnauka.narod.ru/lib/phisic/destroy/glava7.htni

140. Ван Бюрен. Дефекты в кристаллах. М.:ИЛ, 1962.

141. А. Гранато, К. Люкке. Струнная модель дислокации и дистанционное поглощение ультразвука.// Физическая акустика. М.: "Мир". 1969, т. 4, ч. А, с. 261-321.

142. M. Gabbay, A. Vincent, G. Fantozzi. Phys. Status Solidi A 100, 121 (1987).

143. R.B. Shwarz. Acta Mater. 29, 311 (1981).

144. Tyapunina N.Á. Dislocation Behaviour and Multiplication under Ultrasound/ N.A. Tyapunina, V.V. Blagoveshchenskii // Phys. Stat. Sol. (a), 1982, V.69, p.7783. ,( ; • » ' " ( •

145. Тяпунина H.A., Благовещенский B.B. Особенности работы источника Франка-Рида под действием ультразвука' / H.A. Тяпунина, В.В. Благовещенский // ДАН СССР 1980, 254, № 4 с.869.

146. F. Blaha, В. Langenecker. Naturwissenschaften V.42, 20, 556 (1955).

147. А.И. Марков. Резание труднообрабатываемых материалов при помощи ультразвуковых и звуковых колебаний. Машгиз, М. (1962). 332 с.

148. В.П. Северденко, В.В. Клубович, A.B. Степаненко. Прокатка и волочение с ультразвуком. Наука и техника, Мн. (1970). 288 с.

149. В.П. Северденко, В.В. Клубович, A.B. Степаненко. Ультразвук и пластичность. Наука и техника, Мн. (1976). 446 с:

150. Нацик В.Д. Динамика и звуковое излучение дислокационного источника Франка Рида / В.Д. Нацик, К.А. Чишко - Л.: ФТТ - 1975. - №17 - с. 342.

151. H.A. Тяпунина, В.В. Благовещенский, Г.М. Зиненкова, Ю.А. Ивашкин. Особенности пластической деформации под. действием ультразвука. Изв. вузов. Физика. 6, 118 (1982).

152. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Математическое моделирование движения дислокационного сегмента, XVII международная научная конференция ММТТ, Сб. трудов, Кострома: КГТУ, 2004, т.5, с.96-97.

153. Благовещенский В.В., Панин И.Г., Цветков H.A. Преодоление дислокацией системы стопоров в динамическом режиме. Вестник КГТУ, 2005, Кострома: КГТУ, №11, с.

154. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Динамическая модель преодоления дислокацией дефектов в кристалле. Третья Международная конференция по физике кристаллов "Кристаллофизика 21 -го века" Москва: МИСиС, 2006,

155. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Увеличение скорости пластической деформации под действием ультразвука. ФММ, 2007, т. 103, №4, с.445-448.

156. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Построение и исследование динамической модели преодоления дислокацией дефектов в кристалле. Известия ВУЗов. Материалы электронной техники, 2007, № 2, с.51 -53: i v f i

157. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Построение кривой упругости с помощью модели движения дислокационной линии. IV Международный семинар "Физико математическое моделирование систем" - Воронеж: ВГТУ, 2007,

158. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Построение динамической модели дислокационного источника Франка-Рида, Вычислительные технологии, 2008, т. 13, №5, с.5-10.

159. Благовещенский В.В., Панин И.Г., Исследование внутреннего трения в кристаллических материалах с помощью модели движения дислокационной линии, V Международный семинар "Физико-математическое моделирование систем" Воронеж: ВГТУ, 2008.

160. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Исследование упругих и пластических свойств кристаллических материалов при помощи математической модели движения дислокационной линии. ФММ, 2009, т. 108, №2, с.222-224.

161. Андрианов Д.С., Благовещенский В.В., Панин И.Г. Измерение пластических характеристик , кристаллических материалов с ,'помощью* , г» * ¡> 1 * 1 > I* ! 1 т .математического моделирования движения дислокаций. Приборы и системы. , ' 11.( 1) х | 4 л > А

162. Управление, контроль, диагностика. 2009, №11, с.50-52. 1 5

163. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Модель зарождения и движения нескольких дислокационных линий через систему стопоров, VI Международный семинар "Физико-математическое моделирование систем" Воронеж: ВГТУ, 2009.

164. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Моделирование пластической деформации в случае, когда скорость деформации постоянна, 48 международная конференция "Актуальные проблемы прочности'-Тольятти: ТГУ, 2009.

165. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Моделирование пластической деформации при постоянном одноосном нагружении, IV международная школа "Физическое материаловедение'-Тольятти: ТГУ, 2009.• 1 ' ' , , г " ' С' 168

166. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Моделирование пластической деформации. Первые московские чтения по проблемам прочности материалов Москва: ИК РАН, 2009.

167. Благовещенский В.В., Панин И.Г. К вопросу о зубе текучести. ФММ, 2010, т. 109, №3, с.310-313.

168. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Компьютерное моделирование амплитудно-зависимого внутреннего трения. ФТТ, 2010, т.52, в.8, с.1513-1516.

169. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Исследование влияния ультразвука на пластическую деформацию путем моделирования движения дислокаций. XIX Петербургские чтения по проблемам прочности г.Санкт Петербург, СПбГУ, 2010.

170. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Моделирование преодоления дислокации леса дислокацией, движущейся в плоскости скольжения, VII Международный семинар "Физико-математическое моделирование систем" Воронеж: ВГТУ, 2010.

171. Благовещенский В.В., Панин И.Г., Суслина . С.Н. Моделирование образования дислокационного скопления источником Франка Рида. IV Международная конференция по физике кристаллов "Кристаллофизика 21-го века" - Москва: ИК РАН, 2010.

172. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Исследование воздействия ультразвука на деформацию кристаллических материалов. ФТТ, 2011, т.53, в. 10, с. 20052009.

173. Благовещенский В.В., Панин И.Г. Моделирование образования дислокационного скопления источником Франка-Рида, VIII Международныйсеминар "Физико-математическое моделирование систем" Воронеж: ВГТУ, 2011.

174. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2009612355 "Модель работы дислокационного источника Франка Рида под действием постоянной и знакопеременной нагрузки", 2009.

175. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2009616108 "Модель движения единичной дислокационной линии через систему дефектов", 2009.

176. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010610723 "Модель зарождения и движения нескольких дислокационных линий через систему дефектов", 2010.