автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель и комплекс программ для исследования пластической деформации скольжения в материалах с гранецентрированной кубической структурой

На правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ СКОЛЬЖЕНИЯ В МАТЕРИАЛАХ С ГРАНЕЦЕНТРИРОВАННОЙ КУБИЧЕСКОЙ

СТРУКТУРОЙ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Томск 2005

Работа выполнена в Томском государственном архитектурно-строительном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Колупаева Светлана Николаевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кистенев Юрий Владимирович

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук Князева Анна Георгиевна

Томский политехнический университет

Защита состоится 26 января 2005 года в 1 Оч.ЗОмин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан 21 декабря 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, доцент

Скворцов А.В.

сп\

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пластическое поведение и свойства кристаллических материалов существенно определяются совместным, как правило, нелинейным влиянием текущего дефектного состояния, типа и параметров деформирующего воздействия, характеристик материала и упрочняющих фаз. Для исследования закономерностей пластической деформации в широком спектре характеристик материалов и параметров приложенного воздействия одним из наиболее перспективных подходов является математическое моделирование с учетом механизмов и процессов, определяющих основные явления пластичности. Одним из основных явлений пластической деформации (в широком спектре условий и доминирующим), обеспечивающих макроскопическое формоизменение материалов, является кристаллографическое скольжение. Процессы пластичности скольжения обусловлены, главным образом, образованием, движением, взаимодействием и аннигиляцией дефектов, прежде всего дислокаций и точечных дефектов, поэтому весьма эффективно при описании закономерностей пластической деформации скольжения использование математических моделей, основу которых составляют обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) баланса деформационных дефектов (Н.С. Акулов, Дж. Гилмен, Р. Лагнеборг, Б.А. Гринберг, Ш.Х. Ханна-нов, Дж. Бергстрём, В. Эссман и X. Муграби, Л.Е. Попов, B.C. Кобытев, С.Н. Ко-лупаева, В.А. Старенченко, Т.А. Ковалевская и др.). Работа с такими моделями осложняется тем, что системы ОДУ в них входящие, являются, как правило, жесткими, а их решение - весьма нетривиальной задачей. Актуальность автоматизации вычислений при исследовании закономерностей пластической деформации при современном уровне развития вычислительной техники несомненна.

В настоящее время существует ряд мощных математических пакетов программ широкого назначения (MAPLE, MATLAB), позволяющих решать системы ОДУ. Для проведения исследования процессов пластической деформации с использованием математических пакетов пользователь должен иметь достаточное представление о методах решения ОДУ, навыки работы с программой и, как правило, программирования на внутреннем языке пакета. Создание комплекса программ с развитым интерфейсом пользователя, реализующих математические модели пластической деформации для различных материалов и воздействий, позволяет проводить исследования пользователю, не имеющему опыта программирования и работы с численными методами решения ОДУ.

Целью диссертационной работы является модификация математических моделей пластической деформации скольжения для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных сплавов и создание специализированного комплекса программ с развитым интерфейсом, предназначенного для исследования закономерностей пластической деформации и эволюции дефектной среды в условиях деформации с постоянной скоростью деформирования, постоянного напряжения и постоянной нагрузки при растяжении и сжатии.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: 1. На основе анализа моделей пластической деформации, а также частных моделей процессов генерации и аннигиляции деформационных дефектов выбрать

структуру математических моделей пластическ«

БИБЛИОТЕКА ' CHiMffcrpr at

09 то *яСГ

металлов с гранецентрированной кубической (ГЦК) структурой и дисперсно-упрочненных сплавов на их основе. Модифицировать математические модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах с некогерентной упрочняющей фазой на основе единых предположений с учетом основных деформационных дефектов, образующихся в процессе кристаллографического скольжения, механизмов их генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации.

2. Выбрать численный метод интегрирования жестких систем ОДУ, к которым относятся математические модели пластической деформации скольжения, основанные на системах уравнений баланса деформационных дефектов.

3. Разработать алгоритмы реализации численного метода с учетом особенностей физической системы и провести их тестирование.

4. Разработать комплекс программ, реализующий разработанные модели, с возможностью формирования модели (выбора учитываемых деформационных дефектов, механизмов их генерации и аннигиляции) в интерактивном режиме и провести его тестирование.

5. С использованием комплекса программ провести исследование влияния различных характеристик материала, упрочняющей фазы, деформирующего воздействия и исходного дефектного состояния на закономерности деформационного упрочнения и развития деформационной дефектной подсистемы в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах с некогерентной второй фазой для различных воздействий. Рассчитать латентную энергию пластической деформации ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с некогерентной второй фазой.

В качестве материалов для исследования закономерностей пластической деформации скольжения в работе выбраны ориентированные для множественного скольжения монокристаллы ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с ГЦК матрицей и некогерентными недеформируемыми частицами второй фазы.

Научная новизна. Сформирована база частных моделей генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации деформационных дефектов, сформулированных на основе единых предположений, и записаны базовые модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах на их основе, включающие наиболее полный набор деформационных дефектов (сдвигообразующие дислокации, дислокации в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, дислокационные призматические петли ва-кансионного и межузельного типа, межузельные атомы, моно- и бивакансии), механизмов их образования, аннигиляции и релаксационной трансформации.

Разработан алгоритм решения жесткой системы ОДУ модели, учитывающий физические особенности исследуемых процессов (включение/отключение процессов при достижении некоторых физических условий, неотрицательность переменных модели). Впервые разработан специализированный комплекс программ SPFCC, позволяющий автоматизировать исследование закономерностей пластической деформации скольжения в широком спектре условий. Комплекс программ обеспечивает возможность в интерактивном режиме выбирать учитываемые де-

формационные дефекты и механизмы их генерации и аннигиляции (формировать модель).

Теоретическая и практическая значимость работы. Записанные в работе базовые математические модели для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с некогерентными частицами позволяют проводить исследования процессов пластической деформации скольжения при различных приложенных воздействиях для широкого спектра характеристик материала и приложенного воздействия. С использованием разработанного комплекса прикладных программ проведено исследование закономерностей деформационного упрочнения, эволюции дефектной подсистемы и латентной энергии пластической деформации для меди, никеля и алюминия и дисперсно-упрочненных сплавов на их основе. Полученные результаты компьютерного моделирования для деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном напряжении и постоянной нагрузке в условиях растяжения и сжатия согласуются с экспериментальными данными.

Структура комплекса программ предусматривает возможность расширения альтернативными методами решения систем ОДУ, моделями пластической деформации для других материалов либо других приложенных воздействий.

Полученные в работе результаты могут быть использованы для целенаправленного планирования экспериментов по исследованию закономерностей пластической деформации. Разработанные модели и комплекс прикладных программ могут быть использованы для комплексных расчетов совместно с моделями механики и моделями технологических процессов обработки материалов. Вычислительный модуль комплекса программ может быть использован для решения жестких систем ОДУ в различных предметных областях.

По результатам работы на защиту выносятся:

1. Математическая модель пластической деформации скольжения в монокристаллах металлов с ГЦК структурой, включающая уравнения баланса сдвигообра-зующих дислокаций, дислокаций в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, межузельных атомов, моно- и бивакансий и основные механизмы их генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации, учитывающая полный набор взаимодействий между точечными дефектами.

2. Алгоритмы численного метода интегрирования жесткой системы ОДУ модели пластической деформации скольжения, учитывающие физические особенности процесса.

3 Структура комплекса прикладных программ, обеспечивающая простоту сопровождения, модификации и расширения добавлением деформирующих воздействий и математических моделей материалов различного типа.

4. Комплекс программ БРРСС для моделирования закономерностей пластической деформации скольжения для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов в условиях деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном напряжении и постоянной нагрузке для растяжения и сжатия, предоставляющий пользователю графический интерфейс с возможностью автоматического формирования модели, выбора деформирующего воздействия и значений параметров, сохранения полученных результатов в базе данных с возможностью их импорта и экспорта.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Всероссийская конференция молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов» (Томск, 2001, 2003), The Eight International Scientific and Practical Conference of Students, Post Graduates and Young Scientists «Modern Technique and Technologies» (Tomsk, 2002), Современные проблемы физики и технологии и инновационного развития (Томск, 2002, 2003), II Всероссийская конференция молодых ученых «Материаловедение, технологии и экология в третьем тысячелетии» (Томск, 2003), Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая) (Екатеринбург, 2003), VIII Всероссийская научно-техническая конференции «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, 2002), The 7th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology (Korea, Ulsan, 2003), 11th International Conference on Fracture (Turin, Italy, 2005), XIII международная научно-практическая конференция «Прикладные задачи математики и механики» (Севастополь, 2005), Межгосударственный семинар «Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий (MHT-VIII)» (Обнинск, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, в том числе 11 статей, получено свидетельство об официальной регистрации программы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, заключения и списка использованной литературы из 187 наименований. Диссертация изложена на 203 страницах, включая 62 рисунка и 20 таблиц.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель исследования, дается краткая характеристика разделов работы, приведены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава содержит обзор литературы, посвященной математическому моделированию пластической деформации ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с использованием уравнений баланса деформационных дефектов. Вводятся необходимые определения жестких систем ОДУ и проводится анализ численных методов, пригодных для их решения. На основе результатов проведенного анализа сформулированы цели и основные задачи исследования.

Различные математические модели пластической деформации, включающие уравнения баланса деформационных дефектов, отличаются, прежде всего, набором учитываемых дефектов и механизмов их образования и аннигиляции. Одной из наиболее последовательно и детально разработанных моделей такого типа (JI.E. Попов, B.C. Кобытев, С.Н. Колупаева, В.А. Старенченко, Т.А. Ковалевская и др.) является математическая модель пластической деформации скольжения (а точнее система математических моделей, разрабатываемых в рамках единой концептуальной модели, для различных материалов) в основе которой лежит сформулированная в конце 30-х годов прошлого столетия М.А. Большаниной концепция упрочнения как атермического процесса накопления деформационных дефектов и отдыха в результате термоактивируемого залечивания деформационных повреждений. Уравнения модели построены на основе анализа процессов, проис-

ходящих при формировании элементарного скольжения и зоны кристаллографического сдвига.

Математическая модель в общем виде включает: 1) уравнение, связывающее скорость деформации с напряжением и плотностью дислокаций; 2) уравнение, описывающее приложенное воздействие; 3) уравнения баланса деформационных дефектов. Математические модели для монокристаллов чистых ГЦК металлов, сформулированные в работах JI.E. Попова, В.А. Старенченко, С.Н. Колупаевой, требуют существенного развития с учетом более полного набора деформационных дефектов, механизмов их генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации. Математическая модель для дисперсно-упрочненных материалов требует уточнения распределения точечных дефектов между стоками различного типа.

* В общем виде систему уравнений баланса деформационных дефектов можно

представить следующим образом:

Щ- = G(X, Y, а, /)- А(Х, Y, а, t)~ R{x, Y, а, t), (1)

da

где х- вектор переменных, характеризующих дефектную среду, F- вектор переменных, характеризующих внешнее воздействие, а - степень деформации сдвига, t - время, G(x, Y, а, t), а(х, Y, а, г), R(x, Y, а, t) - функции генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации деформационных дефектов соответственно. В качестве независимой переменной модели может быть выбрана степень деформации сдвига или время.

При численном решении систем ОДУ моделей пластической деформации скольжения возникают сложности, связанные с тем, что процессы генерации и аннигиляции деформационных дефектов являются разноскоростными, переменные системы являются разнопорядковыми величинами и изменяются на интервале интегрирования на порядки величины. В этом случае, как правило, приходится иметь дело с жесткими системами ОДУ, поэтому используемые вычислительные методы должны быть пригодными для их решения. При этом следует учитывать трудности, связанные с вычислением начального приближения, выбором начального шага интегрирования, управлением размером шага при сохранении необходимой точности решения; кроме того для различных деформирующих воздействий и материалов может отличается число уравнений, сами уравнения могут быть кусочно-сшитыми.

► Вторая глава посвящена обоснованию, общему описанию, выбору перемен-

ных и развитию математических моделей пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных сплавах на их основе. Все параметры моделей имеют ясный физический смысл.

При пластической деформации скольжения образуются, преимущественно, дислокации различного типа и точечные дефекты, определяющими механизмами их генерации являются процессы производства дефектов при формировании зон кристаллографического сдвига. Частные модели процессов генерации и аннигиляции деформационных дефектов получены в предположении, что: 1) процессы генерации дефектов происходят при формировании зон кристаллографического

сдвига и связаны с динамическими и масштабными характеристиками их формирования; 2) процессы аннигиляции носят преимущественно диффузионный характер, реализуются в дефектной среде, создаваемой совокупностью дефектов, порожденных скольжением в большом числе зон сдвига; 3) деформационная дефектная среда является однородной и содержит то же число дефектов, что и все зоны кристаллографического сдвига вместе взятые. Учтен полный набор взаимодействий между точечными дефектами, как деформационными, так и термодинамически равновесными.

Различными авторами рассмотрен ряд механизмов аннигиляции дислокаций и показано, что основными механизмами аннигиляции дислокаций являются переползание невинтовых дислокаций в результате осаждения на их экстраплоскостях точечных дефектов и аннигиляция винтовых дислокаций при их поперечном скольжении. В настоящей работе в частных моделях аннигиляции деформационных точечных дефектов рассмотрены следующие стоки: 1) для межузельных атомов - невинтовые дислокации, moho-, бивакансии; 2) для моновакансий - невинтовые дислокации, межузельные атомы, моновакансии; 3) для бивакансий - невинтовые дислокации, межузельные атомы. Образующиеся при встрече двух бивакансий или моно- и бивакансии комплексы точечных дефектов в настоящей работе не рассматриваются. Для аннигиляции дипольных дислокационных конфигураций рассмотрены следующие механизмы: 1) уменьшение плеча дислокационных диполей вакансионного типа до их аннигиляции при осаждении на них межузельных атомов и дислокационных диполей межузельного типа при осаждении на них моно- и бивакансий; 2) увеличение плеча дислокационных диполей вплоть до потери их устойчивости. Аналогичные механизмы аннигиляции рассмотрены для дислокационных призматических петель при осаждении на них точечных дефектов.

Частные модели механизмов генерации и аннигиляции деформационных дефектов создают основу для формирования моделей пластической деформации скольжения с различным набором уравнений баланса деформационных дефектов и учитываемых механизмов генерации и аннигиляции деформационных дефектов и дают возможность исследования роли различных механизмов и процессов в закономерностях пластического поведения и эволюции деформационной дефектной среды в монокристаллах ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных сплавов на их основе при различных условиях деформирования и приложенных воздействиях.

В качестве переменных модели (1), характеризующих деформационную дефектную среду выбраны для металлов с ГЦК структурой сдвигообразующие дислокации (рт), дислокации в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа (p¿,p¿), межузельные атомы (с,), моно- (с„) и бивакансии (c2v), учитывается полный набор взаимодействий между точечными дефектами. Математическая модель пластической деформации скольжения ГЦК металлов может быть представлена в виде:

^г = 0 -0).Р^ТГи -\р»-co,)pm b2(c,Q, + 2c2vQ1v) + da Db ab

+ W»:e„ +2c,„ +clclum,:Q, +

+г^гш+ ^¿-^[«х ¿,2+2с,„+с,)Й„++

+ 2с,„рл 62ег„ + 2 ю1"с2„с(е, + с,рл 62£> + а»; с, с 1и@2и ]

= л—ТТль -+ + «*&) +

¿а Ьул1л{р)Ь аСЬ (2 - V)

+ в>%сы((рт Ь2 + 2с,„ + с,)Й„ + с,0)+ 2с2„(р>2 + с,)е2„ + гш^^с.а ] ¿а 6у/,Др)6 авь2 (2 - у)

+ 2с2„р>202„ + 2ю^с2„с,е, +с,р>2й +со^,(с1„а„ + с2„02„)] аа С а

™ ^т - т (р„, ь2+2с,„+с, )а„+с, (с11( - с2„ )а - с,с2„е2„ ],

аа ой а

= _ 2 [ ( Ь2 + ^ + е) _ с е ], аа 6 в а

ЙП1/2Лг т 1.2/3_1/3 7} _

ехр

и -{х- т0)А.(т, р)р_|/262

¿Г

Здесь Г/<"" - энергия миграции точечного дефекта у'-го типа, со5 - доля винтовых

дислокаций, со^ - доля точечных дефектов у'-го типа, ушедших на стоки и-го типа, значение определяется формой дислокационных петель и их распределением в зоне сдвига, рл - доля реагирующих дислокаций леса, к - постоянная Больцмана, т0 - атермическая составляющая сопротивления движению скользящей дислокации, хЛуп - разность между деформирующим напряжением и сопротивлением движению дислокаций при формировании зоны сдвига, для статических условий деформации = а^Сгбр"2, т - деформирующее напряжение, т/- напряжение

трения, С? - модуль сдвига, а - деформация сдвига, ~ ^^ ехр(-[/^т) / кТ), у0 -частота Дебая, Ъ - модуль вектора Бюргерса, рш = ((1 - ю,)рп + р,,), £> = Вгх!{СЬр)

- диаметр зоны сдвига, Вг - вычисляемый параметр, V - коэффициент Пуассона, %

- доля дислокаций леса, д - параметр интенсивности генерации точечных дефектов, - длина пробега винтовых компонент дислокации, ¡7 - энергия активации преодоления стопора. Уравнение для скорости деформации записано в предположении, что время формирования зоны сдвига определяется временем термоакти-вируемого продвижения дислокационного сегмента-источника до преодоления им критической конфигурации. Для дисперсно-упрочненных материалов система уравнений (2) включает также уравнения баланса для дислокационных призматических петель вакансионного и межузельного типа (р*, р'р).

Система уравнений (2) должна быть дополнена уравнением (или уравне-

ниями), описывающим физическое воздействие, которое является причиной деформации. Для случая деформирования кристалла с постоянной скоростью деформации это уравнение имеет вид à =const и позволяет найти значение приложенного напряжения т. В работе также приведены результаты для' 1) деформации при постоянном приложенном напряжении (т = const); 2) деформации при постоянной нагрузке (P=const). В последнем случае действующее напряжение определяется как т = т0 ехр (а/к,) (растяжение) или т = т0 exp (~a/ks) (сжатие), где к, -множитель Захса.

Проведенный анализ показывает, что решения системы (2) не существует при ö=0, tdyn =0, т=0, т/=0, 74), G =0, Ля=0, 8=0, рт=0; решение не единственное при р<0. При любых физически реальных значениях переменных и параметров модели решение системы (2) существует и является единственным.

В третьей главе описана структура и интерфейс комплекса SPFCC, выбран численный метод для решения системы ОДУ математической модели пластической деформации (2), разработаны алгоритмы его реализации, выбрана система управления базой данных результатов расчетов, способ подключения клиентского приложения к базе данных.

Для реализации математической модели пластической деформации скольжения (2) разработан комплекс прикладных программ Slip Plasticity of Face-Centered Cubic vl.O (SPFCC). Все модули программного комплекса написаны на языке программирования Object Pascal в среде Delphi 6. Комплекс работает под управлением Microsoft Windows 2000/ХР. Пакет прикладных программ позволяет проводить расчеты для случая деформирования кристалла с постоянной скоростью деформации, при постоянном приложенном напряжении, при постоянной нагрузке для растяжения и сжатия. При написании пакета программ использован объектно-ориентированный подход, который обеспечивает разработчику гибкую возможность дальнейшей модификации, расширения пакета новыми программными модулями, предназначенными для описания различных типов материалов и воздействий (в настоящее время для этих целей в пакет заложено 8 модулей) или альтернативными численными методами решения задач.

Целевая аудитория: студенты, аспиранты, специалисты, занимающиеся исследованиями в области пластичности и прочности. Для работы с пакетом необходимо знакомство с основами работы приложений под управлением Microsoft Windows. Пользователь имеет возможность сформировать явный вид системы (1) в диалоговом режиме или выбрать по умолчанию (в этом случае учитывается максимальный возможный набор дефектов и механизмов).

Разработанный программный комплекс SPFCC включает следующие блоки: 1) исходные данные модели (инициализация значений параметров модели); 2) расчетный блок (обеспечивает численное решение системы ОДУ); 3) база данных (организация упорядоченного хранения данных и методы доступа к ним); 4) справка (отвечает за информационное обеспечение пользователя в ходе работы с программой); 5) головной модуль (осуществляет загрузку/выгрузку ресурсов программы, управление модулями, взаимодействие с пользователем).

■ МЫ - соге«

В Сдвигоовразующие дислокации ¿1 механизмы аннигиляции Й Механизм генерации @ Статический О Динамический О Не учитывать ф Бивакансии

ф Механизм генерации О Статический

ф Динамический

1о Не учитывать в- Механизмы аннигиляции

| 0 На вакансионных призматических петлях I 0 на межузельных призматических петлях ¡-0На вакансионных дислокационных диполях )- 0 На межузельных дислокационных диполях

Си100_1 06.11 2005 0 00 05 ИЦ

Си200_1 0611 2005 0 00 05 Н

СиЭОО_1 0811 2005 0 00 06

Си400_1 0611 2005 0 00 07

Си500_1 0611 2005 0 00 07

Си0ОО_1 0611 2005 оооов

Си700_1 06.11 2005 0 00 00

Си800_1 0611 2005 0 00.09

Си900_1 0611 2005 000 10 I

Си100_2 06.11 2005 о-оою а

Си200_2 0611 2005 0 0011

Си300_2 0611 2005 0 0012 |

Си400_2 06 11 2005 00012 |

Си500_2 0611 2005 0 0013

Рис. 1. Главное окно комплекса программ БРИСС.

Взаимодействие с программой происходит через графический интерфейс (рис. 1), где в ходе диалога определяются значения параметров модели и начальные условия. Входными данными программы являются исходная плотность дислокаций различного типа и концентрации точечных дефектов; значения параметров, характеризующих материал (модуль сдвига, энергия образования и миграции точечных дефектов, коэффициент Пуассона, модуль вектора Бюргер-са и т.п.); условия деформирования; нефизические (вспомогательные) величины (минимальный и максимальный шаги интегрирования, интервал интегрирования, погрешность вычислений). В случае задания пользователем неверных значений параметров (например, значение параметра не имеет физического смысла) происходит автоматическая корректировка. Все значения параметров сохраняются в базе данных, при необходимости эту информацию можно просмотреть в ходе работы программы или выгрузить в текстовый файл.

Расчетный блок комплекса БРРСС состоит из 16 основных подпрограмм. На рис. 2 приведена принципиальная схема взаимодействия процедур внутри Расчетного блока. Линии, соединяющие две процедуры, показывают, что «верхняя» процедура вызывает «нижнюю».

Для нахождения решения системы (2) в программе использованы: явный линейный многошаговый метод Адамса (нахождение точек разгона) и линейный многошаговый метод Гира переменного порядка (в форме формул дифференцирования назад), который устойчив при любой величине шаге интегрирования, и поэтому шаг интегрирования можно выбирать, руководствуясь лишь соображениями точности, а не устойчивости. Метод Гира неявный, поэтому на каждом шаге вычислений строится прогноз:

12

г™ = г. ,А,

„О!

=о,

который затем сопровождается коррекцией:

здесь г. =(г„-ЛК-Лу^-Лг^ 2! о!

7И = 0,1,...,М-1,

вектор Нордсика в точке х„, А - матри-

ца Паскаля, - начальное приближение в точке х„, У'т> - аппроксимация решения в точке х„, У„'"' - производная д-то порядка, е„ - вектор ошибок коррекции, т - номер итерации, (. - вектор коэффициентов численного метода, Р - итерационная матрица.

Рис. 2. Схема взаимодействия процедур внутри Расчетного блока. Алгоритм численного метода интегрирования жесткой системы ОДУ

1. Инициализация начальных данных.

2. Построить точки разгона У„.],..., У„.„+[.

3. Сформировать (скорректировать) вектор Нордсика

4. Построить вектор прогноза 7п'0'. Если тест на положительность вектора прогноза У]01 пройден, то перейти на шаг 5, иначе уменьшить шаг И„ и перейти на шаг 3.

5. Вычислить Якобиан / и обратить итерационную матрицу Р = Е- И„ I о/

6. Провести итеративное уточнение вектора прогноза F„lml, т= 1,2, ..., М-1. Это может потребовать повторного использования шагов 4, 5 в случае уменьшения шага h„.

7. Если заданная точность достигнута, то перейти на шаг 8, иначе уменьшить шаг интегрирования h„ и перейти на шаг 3.

8. Если достигнут правый предел интегрирования, то запомнить решение Y„ и выход, иначе перейти на шаг 9.

9. Запомнить решение Yn перейти в новую точку хи+1 = х„ + h„ и на шаг 3.

Якобиан системы (2), необходимый на этапе коррекции, вычисляется по

формулам численного дифференцирования. Результаты тестирования расчетного блока на жестких задачах, аналитическое или табличное решения которых известны из литературы (задача Ван дер Поля, модель Робертсона, задача Крога), свидетельствуют о надежности методов и алгоритмов, используемых в программе SPFCC.

Для различных деформирующих воздействий (постоянная нагрузка, постоянная скорость деформирования, постоянное напряжение) и материалов (ГЦК металлы, дисперсно-упрочненные материалы) набор учитываемых деформационных дефектов и механизмов их образования и аннигиляции пользователь может задать через выбор переключателей на панели «Дефекты», или воспользоваться выбором по умолчанию. Для хранения информации о выбранных механизмах генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации дефектов используется вектор коэффициентов С[к], к = 1,2, ..., т, где т - общее количество механизмов в базовой (включающей полный набор механизмов) математической модели пластической деформации скольжения (для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов на их основе т различно). На входе процедуры обхода дерева «Дефекты» элементы вектора коэффициентов С равны нулю, после обхода дерева (на выходе) С[£]=1, если механизм включен в модель (пользователь выделил соответствующий переключатель или кнопку выбора дерева «Дефекты» (рис. 1)).

В ходе вычислительных экспериментов полученные результаты автоматически сохраняются в локальной реляционной СУБД Microsoft Access (блок база данный). Пользователь не обременен рутинными операциями по работе с файлами, кроме того, благодаря использованию базы данных, у него есть возможность вернуться к ранее сохраненным результатам вычислений и провести сравнение и анализ данных, относящихся к различным наборам значений параметров математической модели пластической деформации скольжения. Предусмотрена возможность просмотра и сохранения результатов моделирования в графическом виде (формат Windows Metafile) либо выгрузки результатов в текстовый файл.

Программа позволяет проводить серии расчетов, для этого необходимо выбрать варьируемый параметр модели (например, температуру, скорость деформирования или начальную плотность сдвигообразующих дислокаций), нижний и верхний предел его изменения и шаг.

В четвертой главе приведены результаты использования комплекса программ SPFCC для описания закономерностей пластической деформации и эволюции деформационной дефектной среды при деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном приложенном напряжении и при постоянной

нагрузке (в условиях растяжения и сжатия) для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с недеформируемыми частицами второй фазы.

Проведены расчеты кривых деформационного упрочнения, эволюции дефектной подсистемы и латентной энергии пластической деформация ГЦК металлов в различных условиях. Проведен анализ влияния характеристик материала, деформирующего воздействия и исходного дефектного состояния материала на закономерности деформационного упрочнения и развитие деформационной дефектной подсистемы в ГЦК металлах. Использованы значения параметров, характерных для наиболее полно представленных теоретическими и экспериментальными исследованиями монокристаллов меди, а также никеля и алюминия: F=4,7, cüs=0,3, q=8, ул=10'3с', ßr=0,14, xj=\ МПа, £=0,5, Z= 12, ß=800, v=0,33, 6=2,5,10"10м"2, ä=1,38-10"23Дж/К, d=10V.

На рис. 3 приведены кривые деформационного упрочнения для монокристалла меди при различных температурах, полученные с помощью компьютерного эксперимента, и экспериментальные данные.

Рис. 3. Кривые деформационного упрочнения монокристалла меди при различных температурах: 1 - модельные данные, 2 - экспериментальные данные [Seeger A., Diehl J., Mader S., Rebstock H. // Phil. mag. - 1957. -№. 15,- P. 323-350].

На рис. 4 приведена зависимость квадратного корня из плотности дислокаций от степени деформации (расчетные и экспериментальные данные).

Кривые ползучести, полученные в случае испытания при постоянной нагрузке, существенно отличаются от кривых ползучести, полученных при постоянном напряжении (рис. 5). Кроме стадии I неустановившейся ползучести и следующей за ней стадии II с приблизительно постоянной скоростью деформации, которую можно условно отождествить со стадией установившейся ползучести, при постоянной нагрузке (растяжение) появляется еще и стадия III с катастрофически нарастающей скоростью.

На рис. 6 приведены вклады дислокаций различного типа в суммарную плотность дислокаций при различных температурах деформации для дисперсно-упрочненного материала на основе меди. При средних температурах на разных этапах деформации преобладают различные составляющие дислокационной подсистемы. Существуют интервалы деформации, где их вклад примерно одинаков. При высоких температурах деформации (693-893К), когда дислокации в диполь-ных конфигурациях не образуются, сдвигообразующие дислокации и дислокационные призматические петли вакансионного и межузельного типа вносят соизмеримый вклад в общую плотность дислокаций.

too

50

а 2Jf " 6 Г м : в

78 К 1 . 1 f 200 К fl г . 1 300 к 1 1

0,0 0,3 0,6 0,9 0,3 0,6 0,9 0,3 0,6 0,9

Рис. 4. Зависимость квадратного корня из плотности дислокаций от степени деформации. 1 - экспериментальные данные [Попов Л.Е., Кобытев B.C., Ковалевская Т.А. Пластическая деформация металлов. - М.: Металлургия, 1984. - 182 е.], 2 - модельные кривые. Монокристалл меди, р^)=10'2м"2

200 400 600 800 1000 с

Рис. 5. Кривые ползучести при постоянном напряжении 23,25МПа (1) и при постоянной нагрузке 23,25МПа (2 - растяжение, 3 - сжатие). Монокристалл меди, напряжение трения 0,75МПа, Т=400К.

а а а

Рис.6. Вклад дислокаций различного типа в общую плотность при различных температурах деформации (а>гр,/р): 1 - доля сдвигообразующих дислокаций, 2, 3 - доля дислокаций в призматических петлях вакансионного и межузельного типа, 4, 5 - доля дислокаций в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа. Дисперсно-упрочненный материал яа основе меди с частицами диаметром 0,05 мкм и расстоянием между ними 1мкм,я =10"2с''.

Полученные с использованием программы SPFCC результаты исследования закономерностей деформационного упрочнения и эволюции деформационной дефектной подсистемы в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах согласуются с данными реального и вычислительного эксперимента, имеющимися в литературе. Комплекс программ SPFCC может быть легко расширен новыми модулями с альтернативными методами решения систем ОДУ или моделями пластической деформации для других материалов либо других приложенных воздействий.

Основные результаты и выводы

1. Сформулирована математическая модель пластической деформации скольжения в монокристаллах чистых металлов с ГЦК структурой, включающая уравнения баланса сдвигообразующих дислокаций, дислокаций в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, межузельных атомов, моно- и би-вакансий, в которой учтены основные механизмы генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации и полный набор взаимодействий между точечными дефектами.

2. Для разработки комплекса программ для исследования пластической деформации скольжения на основе анализа существующих математических моделей механизмов генерации и аннигиляции деформационных дефектов в ГЦК материалах сформирована система частных моделей механизмов генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации деформационных дефектов для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов, записанных на основе единых предположений, и базовые модели, включающие наиболее полный набор деформационных дефектов (сдвигообразующие дислокации, дислокации в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, дислокационные призматические петли вакансионного и межузельного типа, межузельные атомы, моно- и бивакансии) и механизмов их образования и аннигиляции.

3. Показано, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений различной жесткости с заданной точностью может быть обеспечено при использовании для старта многошагового метода прогноза-коррекции Адамса, далее для адаптации к локальному поведению решения и сокращению объема вычислений при соблюдении требуемой точности используется жесткоустойчивый неявный метод Гира переменного порядка с автоматическим выбором шага интегрирования. Проведенное тестирование вычислительного модуля на системах уравнений различной жесткости, имеющих аналитическое или табличное решение, известное по литературным данным, свидетельствует о его надежности и точности.

4. Разработаны алгоритмы реализации численных методов интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений модели пластической деформации скольжения, учитывающие, что модель является кусочно-сшитой и при достижении в процессе расчетов некоторых условий изменяется число уравнений либо их правая часть, учтены физические ограничения на переменные. Предусмотрена возможность получать и визуализировать в реальном времени информацию о состоянии вычислений.

5. Разработана структура специализированного пакета прикладных программ для исследования пластической деформации скольжения SPFCC, которая включает в себя клиентское приложение и базу данных. Пакет позволяет проводить исследования для деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном приложенном напряжении и при постоянной нагрузке (в условиях растяжения и сжатия). В программе предусмотрена возможность проведения серий вычислений, выбора учитываемых деформационных дефектов (переменных модели), включения/отключения механизмов генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации деформационных дефектов.

6. Программный продукт SPFCC разработан с использованием языка программирования Object Pascal под управлением операционной системы Microsoft Windows. Пакет предоставляет пользователю графический интерфейс для проведения активного вычислительного эксперимента (компьютерной имитации) и исследования закономерностей пластической деформации в монокристаллах ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных сплавов с некогерентной упрочняющей фазой. На уровне интерфейса пользователя проводится проверка корректности задания значений параметров модели.

7. База данных, входящая в состав пакета прикладных программ, обеспечивает удобную среду хранения, выборки и представления полученных результатов (в том числе относящихся к различным условиям внешнего воздействия) как в текстовом, так и визуальном (графическом) виде.

8. С использованием пакета SPFCC для широкого спектра значений параметров модели исследованы закономерности деформационного упрочнения, эволюции дефектной подсистемы и латентной энергии пластической деформации для монокристаллов меди, никеля и алюминия и дисперсно-упрочненных материалов на их основе для активной деформации с постоянной скоростью деформирования, постоянного приложенного напряжении и постоянной нагрузки (в условиях растяжения и сжатия). Полученные результаты компьютерного моделирования согласуются с данными реальных и вычислительных экспериментов, имеющимися в литературе.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Semenov М. Е About one approach of research endurance of heterogeneous material and structure. // The eight International Scientific and Practical Conference of Students, Post Graduates and Young Scientists «Modern Technique and Technologies». - Tomsk: Tomsk polytechnic university, 2002. - P. 124.

2. Семенов ME Разработка информационной системы по оптимизации механических свойств гетерогенных материалов и структур // В сборнике: Современные проблемы физики и технологии. - Томск: Издательство ТГУ, 2002. - С. 34-36.

3. Семенов М.Е. Разработка пакета программ для описания эволюции дефектной подсистемы в деформируемых г.ц.к. материалах // В сборнике: Современные проблемы физики и технологии и инновационного развития. - Томск: Издательство ТГУ, 2003. - С. 43-47.

4. Семенов М.Е., Колупаева С.Н. Выбор метода расчетов для жестких систем дифференциальных уравнений при моделировании закономерностей пластиче-

ской деформации скольжения // Тезисы докладов V Всероссийской конференции молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов». - Томск: ИФПМ СО РАН, 2003.-С. 67-68.

5. Семенов М.Е., Колупаева С.Н. Разработка пакета программ для моделирования закономерностей пластической деформации скольжения в ГЦК-материалах // Материалы П Всероссийской конференции молодых ученых «Материаловедение, технологии и экология в третьем тысячелетии». - Томск: ИФПМ СО РАН, 2003. -С. 336-337.

6. Semenov М.Е., Koîupaeva S.N. Development of computer program for the description of plastic déformation by slip // The 7th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology (KORUS 2003), 2003. - P. 401-404.

7. Колупаева C.H., Семенов M.E. Латентная энергия пластической деформации дисперсно-упрочненных материалов с недеформируемыми частицами / Том. гос. архит.-строит. ун-т. - Томск, 2004. - 41 с. - Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004, № 1372-В2004.

8. Семенов ME., Колупаева С.Н. Автоматизация расчетов закономерностей пластической деформации в г.ц.к. материалах при деформации // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования. - Томск, 2003. - Т.8. - С.127-133.

10. Koîupaeva S N., Puspesheva S.I., Semenov M.E. Mathematical modeling of température and rate dependences of strain hardening in f.c.c. metals // Abstract Book. 1 lth International Conférence on Fracture. - Turin (Italy), 2005. - P. 847.

И. Колупаева С.Н, Семенов M.E. Пакет прикладных программ для исследования пластической деформации скольжения в г.ц.к. материалах // Вестник ТГАСУ. - 2005. - № 1. - С.Зб-46.

12. Колупаева С.Н., Семенов М.Е. Пакет прикладных программ исследования пластической деформации скольжения // Прикладные задачи математики и механики. Материалы ХП1 международной научно-практической конференции. Севастопольский национальный технический университет, 12-16 сентября 2005. - Севастополь: Издательство СевНТУ, 2005. - С.3-7.

13. Семенов М.Е., Колупаева С.Н. Математическое моделирование пластической деформации скольжения в г.ц.к. металлах // Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий (МНТ - VIII). Тезисы докладов. - Обнинск: 2005. - С.94-95.

Изд.лиц. № 021253 от 31.10.97. Подписано в печать /9. 2005

Бумага офсет. Гарнитура Тайме, печать офсет. Уч.-изд.л. 1,0 Тираж 100 экз.

Заказ №

Изд-во ТГАСУ, 634003, Томск, пл.Соляная, 2 Отпечатано с оригинал-макета ООП ТГАСУ 634004, Томск, ул.Партизанская, 15

гоо err i

671

Введение

1 Математическое моделирование пластической деформации в материалах с ГЦК структурой. Проблемы автоматизации исследований

1.1 Модели пластической деформации скольжения в ГЦК материалах.

1.1.1 Математические модели пластической деформации, основанные на

§ уравнениях баланса деформационных дефектов.

1.1.2 Уравнение для скорости пластической деформации.

1.2 Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1.2.1 Жесткие дифференциальные уравнения. Вводные понятия и определения

1.2.2 Обзор существующих подходов к нахождению численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.2.3 Область устойчивости методов, А-устойчивость. Жестко устойчивые методы.

• 1.3 Обзор программных средств, пригодных для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.4 Постановка задачи.

2 Математические модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных сплавах на их основе

2.1 Концептуальная модель, выбор переменных модели, структура математической модели однородной пластической деформации скольжения

• 2.2 Интенсивность генерации деформационных дефектов при формировании зоны кристаллографического сдвига.

2.2.1 Интенсивность генерации сдвигообразующих дислокаций при формировании зоны сдвига.

2.2.2 Интенсивность генерации дипольных дислокационных конфигураций при образовании зоны сдвига.

2.2.3 Интенсивность генерации точечных дефектов при пластической деформации

2.2.4 Генерация призматических дислокационных петель у частиц в дисперсно-упрочненных материалах.

2.3 Математическое моделирование процессов аннигиляции деформационных дефектов.

2.3.1 Математическое моделирование аннигиляции точечных дефектов

2.3.2 Механизмы аннигиляции дислокаций.

2.4 Математические модели однородной пластической деформации скольжения в

ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных сплавах на их основе.

2.4.1 Система дифференциальных уравнений баланса деформационных дефектов.

2.4.2 Математические модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах на их основе.

2.4.3 Существование и единственность решения, ограничения модели

3 Разработка комплекса программ SPFCC для моделирования пластической деформации скольжения в ГЦК материалах

3.1 Переменные и параметры математической модели. Физические ограничения

3.2 Выбор численного метода решения задачи Коши для жестких систем ОДУ

3.2.1 Линейные многошаговые методы численного интегрирования жестких систем ОДУ

3.2.2 Итерационный метод коррекции для многозначных методов.

3.2.3 Матричное представление методов прогноза-коррекции Адамса и Гира

3.2.4 Оценка локальной ошибки усечения и ее контроль.

3.2.5 Алгоритм управления порядком метода и размером шага.

3.3 Интерфейс и структура комплекса программ SPFCC.

3.4 Тестирование методов и алгоритмов вычислительного модуля программы SPFCC

4 Моделирование пластической деформации скольжения с использованием комплекса программ SPFCC

4.1 Математическое моделирование пластической деформации скольжения в условиях деформации с постоянной скоростью деформирования.

4.2 Математическое моделирование пластической деформации скольжения в условиях ползучести.

4.3 Формирование модели с использованием комплекса программ SPFCC. Исследование роли различных механизмов аннигиляции дефектов в деформационном упрочнении ГЦК металлов.

Автоматизация исследований при анализе сложных систем различной природы в условиях стремительного развития вычислительной техники является актуальной задачей для любой области исследований. С необходимостью она возникает и при исследовании закономерностей пластической деформации в различных материалах. Такие исследования при их несомненной актуальности являются чрезвычайно сложной задачей, как для экспериментального изучения, так и для математического моделирования, поскольку пластическая деформация металлов и сплавов является сложным динамическим процессом, определяемым как свойствами деформируемого материала, так и способом внешнего воздействия на него. Одним из наиболее эффективных способов описания сложных систем (к каким, несомненно, относится и деформируемый кристалл) является математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Математические модели, достаточно полно отражающие механизмы возникновения деформационных дефектов, их движения, взаимодействия и аннигиляции, позволяют исследовать явление пластической деформации скольжения кристаллов во всей области условий, в которой оно существует, включая такие условия деформирования, состояния кристалла и масштабы проявления пластичности, которые трудно или невозможно осуществить в реальном физическом эксперименте.

При исследовании процессов пластической деформации в кристаллических материалах широко используются математические модели, основанные на уравнениях баланса деформационных дефектов. Такие модели развивались в работах Н.С. Акулова [1], Дж. Гилме-на [2], А.Н. Орлова [3], Р. Лагнеборга [4], Ш.Х. Ханнанова [5], Дж. Бергстрёма [6], В. Эссмана и X. Муграби [7]. Различные модели отличаются, прежде всего, набором деформационных дефектов и рассматриваемыми механизмами их образования и аннигиляции. Одной из наиболее последовательно и детально проработанных моделей, основанных на уравнениях баланса деформационных дефектов, является математическая модель пластической деформации скольжения, разрабатываемая Томской школой металлофизиков [8-57]. В основе математической модели пластической деформации скольжения (а точнее системы математических моделей для различных материалов, разрабатываемых на основе единой концептуальной модели) лежит сформулированная в конце 30-х годов прошлого столетия М.А. Большани-ной концепция упрочнения как атермического процесса накопления деформационных дефектов и отдыха в результате термоактивируемого залечивания деформационных повреждений [58-62]. Математическая модель кинетики пластичности скольжения, основанная на концепции упрочнения и отдыха, была детально разработана в 70-90-х годах в работах JI.E. Попова, B.C. Кобытева, С.Н. Колупаевой, В.А. Старенченко, Т.А. Ковалевской и других [8-57]. Уравнения модели построены как результат последовательного рассмотрения процессов, происходящих при формировании элементарного скольжения и зоны кристаллографического сдвига.

При использовании математических моделей, включающих уравнения баланса деформационных дефектов, исследователю приходится работать с системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые, как правило, являются жесткими, а их решение - весьма нетривиальной задачей. В настоящее время существует ряд математических пакетов прикладных программ общего назначения (Maple, Mathematica, MathCad, MATLAB и другие), позволяющих решать системы дифференциальных уравнений. В пакеты программ заложены, как правило, классические методы из семейства методов Рунге-Кутты, а также специализированные методы для решения жестких систем ОДУ. Для проведения комплексного полномасштабного исследования закономерностей пластической деформации скольжения с использованием математических пакетов программ пользователь должен иметь достаточное представление о методах решения ОДУ, а также навыки работы с пакетом программ и, как правило, программирования на внутреннем языке пакета. Создание специализированного комплекса программ, реализующих математическую модель пластической деформации скольжения для различных материалов и воздействий, позволит исследовать процессы пластической деформации скольжения пользователю, не имеющему опыта программирования и работы с численными методами решения систем ОДУ. Это тем более актуально, поскольку закономерности пластической деформации и эволюции деформационной дефектной среды существенно определяются типом и параметрами воздействия, характеристиками материала и упрочняющих фаз и т.д.

При разработке математических моделей для исследования процессов пластической деформации в металлах с гранецентрированной кубической (ГЦК) структурой и дисперсно-упрочненных сплавах на их основе и комплекса прикладных программ в настоящей работе используются математические модели, базирующиеся на системах обыкновенных дифференциальных уравнений баланса деформационных дефектов, сформулированные в работах [36-40,42,43,54,56,63-67].

Математическая модель в общем виде включает: 1) уравнение, связывающее скорость деформации с напряжением и плотностью дислокаций; 2) уравнение, описывающее приложенное воздействие; 3) уравнения баланса деформационных дефектов. Математическая модель для монокристаллов чистых ГЦК металлов, сформулированная в работах [36-38,63-66], требует существенного развития с учетом более полного набора деформационных дефектов, механизмов их генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации.

Целью настоящей диссертационной работы является модификация математических моделей пластической деформации скольжения для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных сплавов и создание специализированного комплекса программ с развитым интерфейсом, предназначенного для исследования закономерностей пластической деформации и эволюции дефектной среды в условиях деформации с постоянной скоростью деформирования, постоянного напряжения и постоянной нагрузки при растяжении и сжатии.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. На основе анализа моделей пластической деформации, а также частных моделей процессов генерации и аннигиляции деформационных дефектов выбрать структуру математических моделей пластической деформации скольжения для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных сплавов. Модифицировать математические модели кинетики пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах с некогерентной упрочняющей фазой на основе единых предположений с учетом основных деформационных дефектов, образующихся в процессе кристаллографического скольжения, механизмов их генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации.

2. Выбрать численный метод интегрирования жестких систем ОДУ, к которым относятся математические модели пластической деформации скольжения, основанные на системах уравнений баланса деформационных дефектов.

3. Разработать алгоритмы реализации численного метода с учетом особенностей физической системы и провести их тестирование.

4. Разработать комплекс программ, реализующий разработанные модели, с возможностью формирования модели (выбора учитываемых деформационных дефектов, механизмов их генерации и аннигиляции) в интерактивном режиме и провести его тестирование.

5. С использованием комплекса программ провести исследование влияния различных характеристик материала, упрочняющей фазы, деформирующего воздействия и исходного дефектного состояния на закономерности деформационного упрочнения и развития деформационной дефектной подсистемы в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах с некогерентной второй фазой для различных воздействий. Провести анализ роли различных механизмов и процессов генерации и аннигиляции деформационных дефектов при пластической деформации скольжения. Рассчитать латентную энергию пластической деформации ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с некогерентной второй фазой.

В качестве материалов для исследования закономерностей пластической деформации скольжения в работе выбраны ориентированные для множественного скольжения монокристаллы ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с ГЦК матрицей и некогерентными недеформируемыми частицами второй фазы.

Научная новизна. Сформирована база частных моделей генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации деформационных дефектов, сформулированных на основе единых предположений, и записаны базовые модели пластической деформации скольжения в ГЦК металлах и дисперсно-упрочненных материалах на их основе, включающие наиболее полный набор деформационных дефектов (сдвигообразующие дислокации, дислокации в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, дислокационные призматические петли вакансионного и межузельного типа, межузельные атомы, моно- и бивакансии), механизмов их образования, аннигиляции и релаксационной трансформации.

Разработан алгоритм решения жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений модели, учитывающий физические особенности исследуемых процессов (включение/отключение процессов при достижении некоторых физических условий, неотрицательность переменных модели). Впервые разработан специализированный комплекс программ SPFCC, позволяющий автоматизировать исследование закономерностей пластической деформации скольжения в широком спектре условий. Комплекс программ обеспечивает возможность в интерактивном режиме выбирать учитываемые деформационные дефекты и механизмы их генерации и аннигиляции (формировать модель).

Теоретическая и практическая значимость работы. Записанные в работе базовые математические модели для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов с некогерентными частицами позволяют проводить исследования процессов пластической деформации скольжения при различных приложенных воздействиях для широкого спектра характеристик материала и приложенного воздействия. Проведено исследование закономерностей деформационного упрочнения, эволюции дефектной подсистемы и латентной энергии пластической деформации для меди, никеля и алюминия и дисперсно-упрочненных сплавов на их основе. Полученные результаты компьютерного моделирования для деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном напряжении и постоянной нагрузке в условиях растяжения и сжатия согласуются с экспериментальными данными.

Разработанный комплекс прикладных программ, включающий клиентское приложение и базу данных, в настоящее время позволяет автоматизировать исследование закономерностей пластической деформации скольжения для деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном напряжении и постоянной нагрузке в условиях растяжения и сжатия. Структура комплекса программ предусматривает возможность расширения альтернативными методами решения систем ОДУ, моделями пластической деформации для других материалов либо других приложенных воздействий.

Полученные в работе результаты могут быть использованы для целенаправленного планирования экспериментов по исследованию закономерностей пластической деформации. Разработанные модели и комплекс прикладных программ могут быть использованы для комплексных расчетов совместно с моделями механики и моделями технологических процессов обработки материалов. Вычислительный модуль комплекса программ может быть использован для решения жестких систем ОДУ в различных предметных областях.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной постановкой решаемых в диссертационной работе задач; использованием современных физических представлений и математических и вычислительных методов; проведенным тестированием вычислительного модуля на ОДУ различной жесткости; анализом литературных данных и сопоставлением последних с результатами, полученными в ходе выполнения настоящей работы.

По результатам работы на защиту выносятся: • Математическая модель пластической деформации скольжения в монокристаллах металлов с ГЦК структурой, включающая уравнения баланса сдвигообразующих дислокаций, дислокаций в дипольных конфигурациях вакансионного и межузелыюго типа, межузельных атомов, моно- и бивакансий и основные механизмы их генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации, учитывающая полный набор взаимодействий между точечными дефектами.

• Алгоритмы численного метода интегрирования жесткой системы ОДУ модели пластической деформации скольжения, учитывающие физические особенности процесса.

• Структура комплекса прикладных программ, обеспечивающая простоту сопровождения, модификации и расширения добавлением деформирующих воздействий и математических моделей материалов различного типа.

• Комплекс программ SPFCC для моделирования закономерностей пластической деформации скольжения для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов в условиях деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном напряжении и постоянной нагрузке для растяжения и сжатия, предоставляющий пользователю графический интерфейс с возможностью автоматического формирования модели, выбора деформирующего воздействия и значений параметров, сохранения полученных результатов в базе данных с возможностью их импорта и экспорта.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1) Всероссийская конференция молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов» (Томск, 2001, 2003),

2) The Eight International Scientific and Practical Conference of Students, Post Graduates and Young Scientists «Modern Technique and Technologies» (Tomsk, 2002),

3) Современные проблемы физики и технологии и инновационного развития (Томск, 2002, 2003),

4) II Всероссийская конференция молодых ученых «Материаловедение, технологии и экология в третьем тысячелетии» (Томск, 2003),

5) Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая) (Екатеринбург, 2003),

6) VIII Всероссийская научно-техническая конференции «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, 2002),

7) The7th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology (Korea, Ulsan, 2003),

8) 11th International Conference on Fracture (Turin, Italy, 2005),

9) XIII международная научно-практическая конференция «Прикладные задачи математики и механики» (Севастополь, 2005),

10) Межгосударственный семинар «Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий (МЫТ-VIII)» (Обнинск, 2005).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения,

Основные результаты и выводы

1. Сформулирована математическая модель пластической деформации скольжения в монокристаллах чистых металлов с ГЦК структурой, включающая уравнения баланса сдвигообразующих дислокаций, дислокаций в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, межузельных атомов, моно- и бивакансий, в которой учтены основные механизмы генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации и полный набор взаимодействий между точечными дефектами.

2. Для разработки комплекса программ для исследования пластической деформации скольжения на основе анализа существующих математических моделей механизмов генерации и аннигиляции деформационных дефектов в ГЦК материалах сформирована система частных моделей механизмов генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации деформационных дефектов для ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных материалов, записанных на основе единых предположений и базовые модели, включающие наиболее полный набор деформационных дефектов (сдвигообразующие дислокации, дислокации в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, дислокационные призматические петли вакансионного и межузельного типа, межузельные атомы, моно- и бивакансии) и механизмов их образования и аннигиляции.

3. Показано, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений различной жесткости с заданной точностью может быть обеспечено при использовании для старта многошагового метода прогноза-коррекции Адамса, далее для адаптации к локальному поведению решения и сокращению объема вычислений при соблюдении требуемой точности используется жесткоустойчивый неявный метод Гира переменного порядка с автоматическим выбором шага интегрирования. Проведенное тестирование вычислительного модуля на системах уравнений различной жесткости, имеющих аналитическое или табличное решение, известное по литературным данным, свидетельствует о его надежности и точности.

4. Разработаны алгоритмы реализации численных методов интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений модели пластической деформации скольжения, учитывающие, что модель является кусочно-сшитой и при достижении в процессе расчетов некоторых условий изменяется число уравнений либо их правая часть, учтены физические ограничения на переменные. Предусмотрена возможность получать и визуализировать в реальном времени информацию о состоянии вычислений.

5. Разработана структура специализированного пакета прикладных программ для исследования пластической деформации скольжения SPFCC, которая включает в себя клиентское приложение и базу данных. Пакет прикладных программ позволяет проводить исследования для деформации с постоянной скоростью деформирования, при постоянном приложенном напряжении и при постоянной нагрузке (в условиях растяжения и сжатия). В программе предусмотрена возможность проведения серий вычислений, выбора учитываемых деформационных дефектов (переменных модели), включения/отключения механизмов генерации, аннигиляции и релаксационной трансформации деформационных дефектов.

6. Программный продукт SPFCC разработан с использованием языка программирования Object Pascal под управлением операционной системы Microsoft Windows. Пакет предоставляет пользователю графический интерфейс для проведения активного вычислительного эксперимента (компьютерной имитации) и исследования закономерностей пластической деформации в монокристаллах ГЦК металлов и дисперсно-упрочненных сплавов с некогерентной упрочняющей фазой. На уровне интерфейса пользователя проводится проверка корректности задания значений параметров модели.

7. База данных, входящая в состав пакета прикладных программ, обеспечивает удобную среду хранения, выборки и представления полученных результатов (в том числе относящихся к различным условиям внешнего воздействия) как в текстовом, так и визуальном (графическом) виде.

8. С использованием пакета SPFCC для широкого спектра значений параметров модели исследованы закономерности деформационного упрочнения, эволюции дефектной подсистемы и латентной энергии пластической деформации для монокристаллов меди, никеля и алюминия и дисперсно-упрочненных материалов для активной деформации с постоянной скоростью деформирования, постоянного приложенного напряжении и постоянной нагрузки (в условиях растяжения и сжатия). Полученные результаты компьютерного моделирования согласуются с данными реальных и вычислительных экспериментов, имеющимися в литературе.

191

1. Акулов Н. С. Дислокации и пластичность. — Минск: Издательство АН БССР, 1961. — 109 с.

2. Гилман Док. Микродинамическая теория пластичности // Микропластичность. — 1972. С. 18-37.

3. Orlov А. К. Kinetics of dislocations // Theory of crystals defects. — Prague: Publishing

4. House of the Czechoslovak Academy of Sciences, 1966. — 317-338 pp.

5. Lagneborg R. Dislocation mechanisms in creep // Intern. Metals. Rev. — 1972. — Pp. 130146.

6. Ханнанов Ш. X. Кинетика дислокаций и неоднородная деформация кристаллов при одиночном скольжении // Математические модели пластичности. — Томск: Издательство ТПУ, 1991.- С. 11-16.

7. Bergstrom J. A dislocation model for the stress strain behaviour of polycrystalline c*-Fe withspecial emphasis on the variation of the densities of mobile and immobile dislocations //

8. Mater. Sci. and Eng. — 1970. — no. 4. — Pp. 193-200.

9. Essmann V., Mughrabi H. Annihilation of dislocations during tensile and cyclic deformationand limits of dislocation densities // Phil. Mag. (a).— 1979.— no. 6.— Pp. 731-756.

10. Попов Л. E., Кобытев В. С., Ковалевская Т. А. Концепция упрочнения и динамическоговозврата в теории пластической деформации // Известия вузов. Физика. — 1982. — № 6. С. 56-82.

11. Попов Л. Е., Кобытев В. С., Ковалевская Т. А. Пластическая деформация металлов. —

12. М.: Металлургия, 1984. — 182 с.

13. Попов Л. Е., Конева Н. А. Деформационное упрочнение сплавов с гранецентрированнойкубической решеткой // Известия вузов. Физика. — 1976.— № 8.— С. 132-150.

14. Попов Л. Е., Конева Н. А., Терешко И. В. Деформационное упрочнение упорядоченныхсплавов. — М.: Металлургия, 1979.— 256 с.

15. Колупаева С. Н., Стпаренченко В. А., Попов Л. Е. Неустойчивости пластической деформации кристаллов.— Томск: Издательство Томского университета, 1994. — 301 с.

16. Попов Л. Е., Старепченко В. А., Шалыгин И. И. Интенсивность генерации точечныхдефектов при пластической деформации // ФММ.— 1990.— № 6.— С. 31-36.

17. Математическое моделирование пластической деформации / JI. Е. Попов, JI. Я. Пудан,

18. С. Н. Колупаева и др. — Томск: Издательство Томского университета, 1990. — 185 с.

19. Ковалевская Т. А., Виноградова И. В., Попов Л. Е. Математическое моделирование пластической деформации гетерофазных сплавов. — Томск: Издательство Томского университета, 1992. — 167 с.

20. Влияние некогереитных частиц второй фазы на параметры деформационного упрочнения интерметаллического соединения №зА1 / JI. Е. Попов, Т. А. Ковалевская, Н. А. Конева, В. Л. Попов // ФММ. — 1979. — № 2. — С. 396-403.

21. Попов Л. Е., Кобытев В. С., Баумгартпэп М. И. и др. Аннигиляция дислокаций в процессе пластической деформации, деформационное упрочнение и ползучесть металлов исплавов. — Том. инж.-строит. иы-т. Томск, 1980. - 82 с. - Деп. в ВИНИТИ 4.06.81, 2720-81.

22. Попов Л. Е. Актуальные проблемы физики пластичности // Известия вузов. Физика. —1982. Д'« 6. - С. 2-4.

23. Кобытев В. С., Попов Л. Е. Теория пластической деформации сплавов // Структура и пластическое поведение сплавов. — Томск: Издательство Томского университета,1983. С. 45-73.

24. Колупаева С. П., Лазарева Л. И., Пудан Л. Я. Выделение запасенной энергии деформации при неизотермическом отжиге монокристаллов меди. — Том. инж-строит. ин-т.

25. Томск, 1985. 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.08.85, № 6302-85.

26. Виноградова И. В., Колупаева С. Н., Ковалевская Т. А. Моделирование высокотемпературной деформации гетерофазных сплавов с частицами // Планарные дефекты в упорядоченных сплавах и интерметаллидах. — Барнаул: Издательство АПИ, 1989. — С. 20-26.

27. Попов Л. Е., Пудан Л. Я., Терентъева И. Ф. Аннигиляция дислокаций и деформационное упрочнение сплавов с дальним атомным порядком // ФММ.— 1986.— JV® 5.— С. 871-875.

28. Старенченко В. А., Абзаев Ю. А., Черных Л. Г. Феноменологическая теория термического упрочнения сплавов со сверхструктурой Ь12 // Металлофизика. — 1987. — № 12. — С. 22-28.

29. Лазарева Л. И., Колупаева С. Н., Пудан Л. Я. Накопление деформационных дефектов и поглощенной энергии адиабатической деформации // Математические моделипластической деформации. — Томск: Изательство ТПИ, 1989.— С. 71-78.

30. Колупаева С. Н., Матющенко А. В. Математическое моделирование сдвиговых процессов пластической деформации. И. Пластическая деформация при различных деформирующих воздействиях // Пластическая деформация сплавов. — Томск: Издательство

31. Томского университета, 1986. — С. 37-50.

32. Иванова О. В., Пудан Л. Я. Математическое моделирование деформационного упрочнения ГЦК твердых растворов // Математические модели пластичности. — Томск: Изательство ТПИ, 1991.- С. 44-49.

33. Иванова О. В., Пудан Л. Я. Твердо-растворное и деформационное упрочнение ГЦКсплавов // Пластическая деформация сплавов. — Томск: Издательство Томского университета, 1986.— С. 51-55.

34. Modelling of shear and diffusional plastic deformation in solids / L. E. Popov,

35. V. A. Starenchenko, S. N. Kolupaeva, T. A. Kovalevskaya // Material Scince Forum. — 1990.-Pp. 731-732.

36. Моделирование деформации малых частиц / В. А. Подопригора, Б. В. Дудка, JI. Е. Попов и др. // Известия вузов. Физика. — 1995. — № 3.— С. 56-60.

37. Моделирование деформации малых частиц в аттриторе / В. А. Подопригора, Б. В. Дудка, С. Н. Колупаева, Л. Е. Попов // Заводская лаборатория, — 1997.— № 6.— С. 39-43.

38. Кобытев В. С., Кобытева Г. В., Колупаева С. Н. Динамика дислокаций и пластичностьполикристаллов // Математические модели пластичности. Межвузовский национальнотехнический сборник. — Томск: Издательство ТПИ, 1991. — С. 32-37.

39. Дислокационная кинетика г.ц.к. металлов, деформируемых при различных видах нагружения / Л. Е. Попов, С. Н. Колупаева, Н. А. Вихорь, С. И. Пуспешева // Труды

40. НГАСУ.- 1999. — № 4(7).- С. 32-42.

41. Черепанов Д. Н., Колупаева С. Н., Кобытев В. С. Термоактивируемая пластическаядеформация и релаксация напряжений // Вестник ТГУ. — 2000. — № 2-3. — С. 279-280.

42. Колупаева С. Н., Пуспешева С. И., Попов Л. К Математическое моделирование деформации скольжения // Известия РАН. Серия физическая. — 2003.— № 10.— С. 12671276.

43. Колупаева С. Н., Пуспешева С. И., Попов Л. Е. Математическая модель пластичности скольжения в г.ц.к. монокристаллах. — Том. гос. архит.-строит. ун-т. Томск, 2001.36 с. Деп. в ВИНИТИ 26.11.01, № 2454-В2001.

44. Пуспешева С. И., Колупаева С. Н. Деформация скольжением в меди при циклическихвоздействиях // Вестник Тамбовского университета. — 2003.— № 4.— С. 665-668.

45. Математическая модель кинетики деформационного упрочнения монокристаллов гетерофазных сплавов / Т. А. Ковалевская, О. И. Данейко, С. Н. Колупаева, В. А. Старенченко // Известия РАН. Серия физическая.— 2003. — JV® 6.— С. 892-896.

46. Ковалевская Т. А., Колупаева С. Н., Данейко О. И. Модель пластической деформации при низких температурах дисперсно-упрочненных кристаллических материалов снекогерентной фазой // Вестник ТГАСУ. — 2000. — № 2(3). — С. 41-50.

47. Колупаева С. Н., Комаръ Е. В., Ковалевская Т. А. Математическое моделированне деформационного упрочнения дисперсно-упрочненных материалов с некогерентной упрочняющей фазой // Физичсская мезомехапика (Спец. выпуск). — 2004.—- Т. 7, № 1.— С. 23-26.

48. Генерация точечных дефектов в сплавах со сверхструктурой Ll2 / В. А. Старенченко, С. В. Старенченко, С. Н. Колупаева, О. Д. Пантюхова // Известия вузов. Физика. —2000. — .\« 1. — С. 66-70.

49. Деформационное разрушение дальнего атомного порядка в сплавах со сверх структурой

50. Ыг, связанное с генерацией точечных дефектов / В. А. Старенченко, О. Д. Пантюхова, С. В. Старенченко, С. Н. Колупаева // Известия вузов. Черпая металлургия. — 2000. — № 12. С. 54-56.

51. Старенченко В. А., Пантюхова О. Д., Старенченко С. В. Моделирование процесса деформационного разрушения дальнего порядка в сплавах со сверхструктурой Ы2 //

52. ФТТ. 2002. - № 5. - С. 950-957.

53. Попов Л. Е., Старенченко В. А., Шалыгин И. И. Модель сдвигово-диффузионной деформации кристаллических материалов // Известия вузов. Черная металлургия. —1990. — .\« 10.-С. 91-94.

54. Модель термического упрочнения г.ц.к. монокристаллов, содержащих частицы 7'фазы / В. А. Старенченко, Т. А. Ковалевская, Т. А. Шалыгина, О. А. Сергеева //

55. ФММ. 1996. - № 4. - С. 31-38.

56. Шалыгина Т. А., Ковалевская Т. А., Сергеева О. А. Математическая модель термического упрочнения гетерофазных сплавов с некогерентными частицами // Математические модели пластической деформации. — Томск: Издательство ТПИ, 1989.— С. 110— 115.

57. Математическая модель пластической деформации гетерофазных материалов с деформируемой упрочняющей фазой / Т. А. Ковалевская, Т. А. Шалыгина, О. А. Сергееваи др. // ФММ. 1992. - № 4. - С. 339-343.

58. Шалыгина Т. А., Ковалевская Т. А., Сергеева О. А. Совместная деформация системы твердых тел // Дефекты и физико-механические свойства металлов и сплавов. —1. Барнаул, 1987. С. 89-94.

59. Шалыгина Т. А., Ковалевская Т. А., Сергеева О. А. Моделирование пластической деформации системы твердых тел // Субструктура и механические свойства металлов исплавов. — Томск: Издательство ТПИ, 1988. — С. 116-123.

60. Колупаева С. Н., Ковалевская Т. А., Виноградова И. В., Попов Л. Е. Математическоемоделирование сдвиговой пластической деформации сплавов с некогерентными частицами в области высоких температур. — Том. нпж-строит. ин-т. Томск, 1989. 59 с.

61. Деп. в ВИНИТИ 07.06.89, № 3788-В89.

62. Русса в 2 т. — № ll.— Новгород: НовГУ, 2003. — С. 244-250.

63. Большанина М. А. Упрочнение и отдых как основные явления пластической деформации // Известия АН СССР. Серия Физическая. — 1950. — № 2. — С. 223-231.

64. Большанина М. А., Большанина Н. А., Горелов И. К. Влияние скорости деформациина механические свойства олова // ЖЭТФ.— 1934.— С. 1084-1089.

65. Большанина М. А. Влияние температуры и скорости деформации на пластичность ипрочность поликристаллических металлов // Кузнецов В.Д. Физика твердого тела. —

66. Т. 2. Томск: Красное знамя, 1941. - С. 431-488.

67. Никитина А. Н., Болыиа7Ш71а М. А. Влияние скорости деформации на разупрочнениемеди // Исследования по физике твердого тела. — М.: Изательство АН СССР, 1957. — С. 193-234.

68. Большанина М. А., Панин В. Е. Скрытая энергия деформации // Исследования пофизике твердого тела. — М.: Изательство АН СССР, 1957.— С. 146-151.

69. Пуспешева С. И., Колупаева С. П., Попов Л. Е. Время формирования зоны кристаллографического сдвига в г.ц.к. монокристаллах и скорость пластической деформации скольжения // Математическое моделирование систем и процессов. — 2002. — JV2 10. — С. 103-111.

70. Попов Л. Е., Колупаева С. П., Сергеева О. А. Скорость кристаллографической пластической деформации // Математическое моделирование систем и процессов. — 1997. — № 5. С. 93-104.

71. Попов Л. Е., Сергеева О. А., Ковалевская Т. А., Колупаева С. Н. Скорость кристаллографической пластической деформации. — Том. гос. архит.-строит. акад. Томск, 1994.- 13 с. Деп. в ВИНИТИ. У'- 1975-В1994.

72. Попов Л. Е., Колупаева С. Н., Сергеева О. А. Скорость кристаллографического сдвига // Эволюция дефектных структур в металлах и сплавах (сб. докладов). — Барнаул:1. АГТГУ, 1994. С. 198-199.

73. Попов Л. Е., Колупаева С. Н., Коротаева П. В. Скорость термоактивируемого кристаллографического сдвига // Эволюция дефектных структур в металлах и сплавахсб. докладов). Барнаул: АГТГУ, 1994. - С. 199-200.

74. Владимиров В. И. Физическая природа разрушения. — М.: Металлургия, 1984. — 280 с.

75. Дамаск А., Дине Док. Точечные дефекты в металлах. — М.: Мир, 1966. — 291 с.

76. Фриделъ Ж. Дислокации. — М.: Мир, 1967. — 643 с.

77. Бернер Р., Кронмюллер Г. Пластическая деформация монокристаллов.— М.: Мир, 1969.-272 с.

78. Хиртп Дж., Лоте И. Теория дислокаций. — М.: Мир, 1972. — 600 с.

79. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. — М.: Мир, 1972. — 402 с.

80. Влияние неперерезаемых частиц на скорость накопления дислокаций и кривые деформирования интерметаллида МзА1 / JI. Е. Попов, Т. А. Ковалевская, JI. А. Белицкая, А. В. Матющенко // Физика деформационного упрочнения сплавов и сталей. — Томск:

81. Издательство Томского университета, 1980. — С. 173-183.

82. Попов Л. Е., Кобытев В. С., Ганзя Л. В. Теория деформационного упрочнения сплавов. — Томск: Издательство Томского университета, 1981. — 176 с.

83. Попов Л. Е., Кобытев В. С., Пудан Л. Я., Колупаева С. Н. Теоретическое описание ползучести г.ц.к. монокристаллов при постоянной нагрузке и постоянном напряжении. —

84. Том. инж-строит. ин-т. Томск, 1984. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.05.84, № 3433-84.

85. Колупаева С. Н., Попов Л. Е., Кобытев В. С., Пудан Л. Я. Кинетика аннигиляциидислокаций и деформационное упрочнение г.ц.к. монокристаллов. — Том. инж.-строит.ин-т. Томск, 1984. - 41 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.06.84, № 4152-84.

86. Кобытев В. С. Математическая модель сдвиговой пластической деформации однофазных г.ц.к. металлов: Автореф. дне. . докт. физ.-мат. наук. — Томск, 1986. — 38 с.

87. Johston W. G., Gilman J. J. Dislocation velocities, dislocation densities, and plastic flow inlithium fluoride crystals //J. Appl. Phys.— 1959.— no. 2.— Pp. 129-144.

88. Колупаева С. H., Шалыгин И. И., Попов Л. Е. Стационарная плотность дислокацийпри статической деформации. — Том. инж.-строит. ин-т. Томск, 1988. — 25 с. - Деп. в

89. ВИНИТИ 11.07.88, №5533-В88.

90. Деформационное разрушение атомного порядка в Ь1г сплавах, связанное с переползанием краевых дислокаций / В. А. Старенченко, О. Д. Пантюхова, С. В. Старенчен-ко, С. Н. Колупаева // Вестник Тамбовского университета.— 2000.— Т. 5, jY« 2-3.— С. 270-272.

91. Надгорный Э. М. Динамические свойства изолированных дислокаций // Несовершенства кристаллического строения и мартенситные превращения. — М.: Наука, 1972. — С. 151-175.

92. Валъковскгш С. Н. Подвижность дислокаций в ионных кристаллах с решеткой флюорита // Динамика дислокаций. — Киев: Наукова думка, 1975. — С. 62-68.

93. Попов Л. Е., Стпаренченко В. А. Формирование динамической дислокационной структуры зоны сдвига // Математические модели пластической деформации. — Томск: Издательство ТПИ, 1989. С. 12-23.

94. Павлов В. А. Физические основы пластической деформации металлов. — М.: Издательство АН СССР, 1962. 199 с.

95. Старцев В. И., Ильичев В. Я., Пустовалов В. И. Прочность и пластичность металлови сплавов при низких температурах. — М.: Металлургия, 1975. — 328 с.

96. Слободской М. И., Попов Л. Е. Исследование явления скольжения в кристаллах методами имитационного моделирования.— Томск: Издательство Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2004. — 450 с.

97. Издательство СевНТУ, 2000. С. 28-32.

98. Кобытев В. С., Слободской М. И., Руссияи А. А. Моделирование на ЭВМ процессоввзаимодействия и скольжения дислокаций. — Томск: Издательство Томского университета, 1990. 178 с.

99. Слободской М. И., Матющенко А. В. Эволюция дислокационной петли от источника в поле случайно расположенных препятствий с дискретным спектром прочностей //

100. Известия вузов. Физика. — 1997. — № 7.— С. 113-118.

101. Слободской М. И., Попов Л. Е. Особенности работы источника франка-рида в полеслучайно расположенных препятствий // Известия АН. Серия Физическая. — 1998.— № 7. — С. 1339-1344.

102. Дислокационная динамика кристаллографического скольжения / JI. Е. Попов, С. Н. Колупаева, Н. А. Вихорь, С. И. Пуспешева // Известия вузов. Физика. — 2000.— JV® 1.— С. 37-42.

103. Пуспешева С. И., Колупаева С. Н., Попов Л. Е. Временные характеристики элементарного кристаллографического скольжения // Физическая мезолгеханика. — 2000. — -У» З.-С. 61-68.

104. Время формирования зоны сдвига в ГЦК материалах / JI. Е. Попов, С. Н. Колупаева,

105. М. И. Слободской, С. И. Пуспешева // Вестник ТГУ. — 2000.— Х« 2-3. — С. 214-216.

106. Пуспешева С. И., Колупаева С. Н., Попов Л. Е. Динамика кристаллографическихскольжений в меди // Металловедение. — 2003.— .\« 9. — С. 14-19.

107. Orowan E. Condition for dislocation passage of precipitations // Proc. Syrup, on Intern.

108. Stresses in Metalls. 1948. - Pp. 451-454.

109. Колупаева С. H.t Семенов M. E. Латентная энергия пластической деформациидисперсно-упрочненных материалов с недеформируемыми частицами. — Том. гос.архит.-строит. ун-т. Томск, 2004. - 41с. - Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004, № 1372-В2004.

110. Верж.бицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов.— М.: Высшая школа, 2001.— 382 с.

111. Вержбицкий В. М. Основы численных методов: Учебник для вузов. — М.: Высшая школа, 2002. — 840 с.

112. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. — 320 с.

113. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. — М.:1. Мир, 1998. 320 с.

114. Ракитский 10. В., Устинов С. М., Чернорудский И. Г. Численные методы решенияжестких систем. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 208 с.

115. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Издательство Мир, 1980. — 279 с.

116. Comparing Numerical Methods for Ordinary Differential Equations / Т. E. Hull, W. H. Enright, В. M. Fellen, A. E. Sedgwic // SI AM Journal on Numerical Analysis. — 1972. — Dec. —

117. Vol. 9, no. 4. Pp. 603-637.

118. Shampine L. F., Gear C. W. A User's View of Solving Stiff Ordinary Differential Equations //

119. SI AM Review. — 1979. — Jan. — Vol. 21, no. 1.- Pp. 1-17.

120. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткиеи дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999.— 685 с.

121. Mazzia F., lavemaro F. Test Set for Initial Value Problem Solvers. — Department of Mathematics, University of Bari, 2003. Available at www.dm.uniba.it/ testset.

122. Curtiss C. F., Hirschfelder J. 0. Integration of Stiff Equations // Proceedings of the National

123. Academy of Sciences of the United States of America. — Vol. 38. — 1952. — March. — Pp. 235243.

124. Mott D., Oran E., Leery B. A Quasi-Steady-State Solver for the Stiff Ordinary Differential Equations of Reaction Kinetics // Journal of Computational Physics. — 2000. — no. 164. — Pp. 407-428.

125. Чуа Л. О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем. — М.: Энергия, 1980. — 640 с.

126. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986. 288 с.

127. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математическойфизики / Под ред. К.И.Бабенко. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1979.— 295 с.

128. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейныхдифференциальных уравнений: Пер. с англ.— М.: Мир, 1988.— 295 с.

129. Cohen S. D., Hindmarsh А. С. Cvode, a stiff/nonstiff ODE solver in С // Conference Processing SciCADE95: Scientific Computing and Differential Equations. — 1995. — March.

130. Enright W. H., Pryce J. D. Two FORTRAN Packages for Assessing Initial value Methods //

131. Association for Computing Machinery Transaction on Mathematical Software. — 1987. —

132. Vol. 13, no. 1(3).-Pp. 1-23.

133. Розенброк X., Стори С. Вычислительные методы для инженеров химиков.— М.: Мир,1968. 443 с.

134. Petcu D., Dragan М. Designing an ODE solving environment // Lectures Notes in Computational Science and Engineering 10: Advances in Software Tools for Scientific Computing /

135. Ed. by H. Langtangen, A. Bruaset, E. Quak. — Berlin: Springer-Verlag, 2000. — Pp. 319-338.

136. Арушаняп О. Б., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. — М.: Издательство МГУ, 1990. — 336 с.

137. Gear С. W. Numerical Initial Value Problem in Ordinary Differential Equations. Englewood

138. Cliffs. N. J.: Prentice-Hall, Inc., 1971.- 12.

139. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ / Под ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. — М.: Мир, 1979. — 312 с.

140. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем:

141. Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1988. — 560 с.

142. Gear С. W. The automatic integration of ordinary differential equations // Communicationsof the ACM. — 1971. March. - Vol. 14, no. 3. — Pp. 176-179.

143. Gear C. W. The Algorithm 407: DIFSUB for solution of ordinary differential equations

144. D2. // Communications of the ACM. — 1971. — March. — Vol. 14, no. 3. — Pp. 185-190.

145. Nordsieck A. On Numerical Initegration of Ordinary Differential Equations // Mathematicsof Computation. — 1962. Jan. — Vol. 16, no. 77. — Pp. 22-49.

146. Miranker W. L. The Computation Theory of Stiff Diffential Equations. Serie III no. 102. —

147. Roma: IAC. Istitute per Le Applicazioni Del calcolo «Mauro Picone», 1975. — 120 pp.

148. Miranker W. L. Numerical method for stiff equations and singular perturbation problem. —

149. Reidel: Reidel Publishing Company, 1981.— Vol. 5 of Mathematics and its applications.— 205 pp.

150. Брайтон P., Густавсон Ф. Новый эффективный алгоритм для решения дифференциальных систем // Труды института электро- и радиоинженеров.— 1972.— Т. 60,1.-С. 124-132.

151. Lee H. J., Schiesser W. E. Ordinary and Partial Differential Equation Routines in C, С++, Fortran, Java®, Maple®, and MATLAB®.- N.Y.: Chapman and Hall/CRC, 2004.800 pp.

152. Говорухин В. H., Цибулип В. Г. Введение в Maple математический пакет для всех.— М.: Мир, 1997.-328 с.

153. Потемкин В. Г. MATLAB 6: среда проектирования инженерных приложений. — М.:1. ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. 448 с.

154. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990.— 512 с.

155. Инденбом В. Л., Орлов А. Н. Физическая теория пластичности и прочности // УФН.—1962.—.\«3.-С. 557-591.

156. Indenbom V. L. Theory of dislocations present state and future // Theory of crystalsdefects. — Prague: Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, 1966. — Pp. 216.

157. Kuhlmann- Wilsdorf D. A new theory of work hardening // Trans. AIME. — 1962. — no. 5. — Pp. 1047-1061.

158. Слободской M. И., Попов Л. E. Математическое моделирование систем и процессов //

159. Известия вузов. Черная металлургия.— 1997.— № 5. — С. 105-114.

160. Панин В. Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. — 1998. —1. С. 5-22.

161. Панин В. Е. Современные проблемы пластичности и прочности твердых тел // Изв.вузов. Физика. — 1998. — Л'2 1. — С. 7-34.

162. Новиков И. И. Дефекты кристаллического строения металлов.— М.: Металлургия,1983.-232 с.

163. Pjeffer К. Н., Schiller P., Seeger A. Fehlstellener Zengung durch aufgespaltene Verset-zungsspr unge in kubischfl a chenzentrientrierten Metallen // Phys. Status Solidi. — 1965. — no. 2.- Pp. 517-532.

164. Ashby M. F. Work hardening of dispersion-hardened crystals // Phil. Mag.— 1966.— no. 132.-Pp. 1157-1178.

165. Ashby M. F. Results and consequences of a recalculation of the Frank-Read and Orowanstress // Acta met. 1966. - no. 132. — Pp. 679-681.

166. Xupui П. В., Хэмпфри Ф. Дж. Пластическая деформация двухфазных сплавов, содержащих малые недеформируемые частицы // Физика прочности и пластичности. — М.:

167. Металлургия, 1972. С. 158-186.

168. Ковалевская Т. А., Данейко О. И., Колупаева С. Н. Влияние масштабных характеристик упрочняющей фазы на закономерности пластической деформации дисперсно-упрочненных материалов // Известия РАН. Серия физическая.— 2004.— Л'2 10.— С. 1412-1418.

169. Kolupaeva S. N., Puspesheva S. I., Semenov M. E. Mathematical modeling of temperatureand rate dependences of strain hardening in f.c.c. metals // Abstract Book. 11th International

170. Conference on Fracture. — Turin (Italy): March 20-25, 2005.— P. 847.

171. Electronic data. —Turin (Italy): March 20-25, 2005.

172. Попов Л. E., Колупаева С. H., Графкова А. В. Генерация дислокаций в условиях сдвиговой неустойчивости кристаллической решетки. — Том. гос. архит.-строит. акад. Томск,1994. 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 06.07.94, Л"» 1693-В94.

173. Попов Л. Е., Колупаева С. Н., Коротаева Н. В. Динамическое торможение дислокацийи генерация точечных дефектов в ГЦК металлах // Математические модели пластичности. — Томск: Изательство ТПИ, 1991. — С. 3-10.

174. Bonneville J., Escaig В. Cross-slipping process and the stress-orientation dependence in purecopper // Acta met. — no. 9,— Pp. 1477-1486.

175. Escaig B. Sur le glissement divie des dislocations dans la structure cubique a faces centrees //

176. J. de Phys. 1968. - no. 2-3. - Pp. 225-239.

177. Westmacott К. H., Barnes R. S., Smallman R. E. The observation of a dislocation climbsource // Phil. Mag. — 1962, —no. 81.- Pp. 1585-1596.

178. Изучение тонкой структуры деформированного высокопрочного сплава Al-Zn-Mg /

179. Н. А. Григорьева, Т. А. Ковалевская, Э. В. Козлов, Б. Д. Чухин // Пластическая деформация сплавов. — Томск: Издательство Томского университета, 1986.— С. 184-193.

180. Колупаева С. Н., Ерыгина Е. В., Ковалевская Т. А. Моделирование эволюции дислокационной подсистемы при деформации гетерофазных сплавов с некогерентной упрочняющей фазой // Математическое моделирование систель и процессов.— 1998.— № 6.— С. 43-50.

181. Колупаева С. Н., Ерыгина Е. В., Ковалевская Т. А. Моделирование дислокационной подсистемы при деформации дисперсно-упрочненных гцк сплавов // Вестник Тамбовского университета. — 1998. — № 3. — С. 281-283.

182. Бабичев А. П., Бабушкина Н., Братковский А. И. Физические величины: Справочник /

183. Под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова.— М.: Энергоатомиздат, 1991.— 1232 с.

184. Yoo М. Н. Growth kinetics of dislocation loops and voids the role of diva-cancies // Phil.

185. Mag. 1979. — no. 2. - Pp. 193-211.

186. Лариков JI., Юрченко Ю. Тепловые свойства металлов и сплавов.— Киев: Науковадумка, 1985. — 438 с.

187. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980. — 279 с.

188. Gear С. W. The Numerical Integration of Ordinary Differential Equations // Mathematicsof Computation. — 1967. — April. — Vol. 21, no. 98. — Pp. 146-156.

189. Semenov M. E., Kolupaeva S. N. Development of computer programm for the descriptionof plastic deformation by slip // The 7th Korea-Russia International Symposium on Scienceand Technology (KORUS 2003). — 2003. — June. — Pp. 401-404.

190. Семенов М. Е., Колупаева С. Н. Пакет прикладных программ для исследования пластической деформации скольжения в г.ц.к. материалах // Вестник ТГАСУ.— 2005.— № 1.- С. 36-46.

191. Brown P. N., Hindmarsh A. C. Reduced storage matrix methods in stiff ODE system //

192. Journal of Applied Mathematics and Computation. — 1989. — May. — Vol. 31.— Pp. 40-91.

193. Workhardening and work-softening of face-centered cubic metal crystals / A. Seeger, J. Diehl,

194. S. Mader, H. Rebstock // Phil. mag. 1957. - no. 15. - Pp. 323-350.

195. Basinski Z., Basinski S. Dislocation disrtibution in deformed copper single cristals // Phil.1. Mag. 1964. - Pp. 51-80.

196. Seeger A., Kronmuller H. Stored energy and recovery of deformed f.c.c. metals // Phil.

197. Mag. — 1962. no. 5. — Pp. 897-913.

198. Юрченко Ю. Ф. Изменение объема пластически деформированных чистых металлов //

199. УФЖ. 1980. - № 5. - С. 725-730.

200. Юрченко Ю. Ф., Кононенко В. Л. Энергия дислокационных ансамблей в пластически деформированных никеле, железе и титане (обзор) // Металлофизика. — 1979. — № 75. С. 68-74.

201. Владимиров В. И. Физическая теория пластичности и прочности. I. Дефекты кристаллической решетки. — Д.: ЛПИ, 1973.— 119 с.

202. Коттрел А. Теория дислокаций. — М.: Мир, 1969. — 95 с.

203. Пуарье Ж. П. Высокотемпературная пластичность кристаллических тел. — М.: Металлургия, 1982. — 272 с.

204. Орлов А. К., Степанов В. А., Шпейзман В. В. Ползучесть // Физика металлов иметалловедение. Труды ЛШ.— 1975.— № 341.— С. 3-34.

205. Розенберг В. М. Ползучесть // Металловедение и термическая обработка.— 1973.—1. С. 89-134.

206. Могилевский М. А., Мынкин И. О. Влияние точечных дефектов на одномерное сжатиерешетки // ФГВ. 1978. - № 5. - С. 159-164.

207. Alers G., Thompson D. Dislocation contribution to the modulus and damping in copper atmegacycle frequencies // J. Appl. Phys.— 1961. — no. 2.— Pp. 283-293.

208. Stern R., Granato A. Overdamped resonance of dislocations in copper // Acta Met.—1962.- no. 4.- Pp. 358-381.

209. Popov L., Koneva N. Work-Hardening of Ordered Alloys / Ed. H. Wali-mont. — Berlin,

210. Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1974. — Pp. 404-432.