автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование переноса внутренних масс Земли приливными деформациями

На правах рукописи

СКРЯБИНА Ольга Евгеньевна

Математическое моделирование переноса внутренних масс Земли приливными деформациями

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 4 июн 2012

Якутск-2012

005045766

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Физико-техническо института ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный федеральный университет ими М.К. Аммосова»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, Григорьев Юрий Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Воеводин Анатолий Федорович Институт гидродинамики СО РАН (г. Новосибирск)

доктор физико-математических наук Быков Виктор Геннадьевич Институт тектоники и геофизики ДВО РАН (г. Хабаровск)

Ведущая организация:

Институт вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск)

Защита состоится 28 июня 2012 года в 16 часов на заседани диссертационного совета И212.306.04 при ФГАОУ ВПО «Северо-Восточны федеральный университет им. М.К. Аммосова» по адресу: 677000, г. Якутск, у. Белинского, 58, зал Ученого Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ ВП «Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова». Автореферат разослан « мая 2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета, . * /

д.ф.-м.н., профессор (уихугЬ/И Саввинова H.A.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многими авторами высказывались гипотезы о возможности накопления необратимых деформаций внутри Земли от приливного воздействия со стороны Луны (Всгснср А., Штауб Р.. Надаи А.). В Институте горного дела СО РАН (г. Новосибирск) на модельных экспериментах показана справедливость этой гипотезы (Рсвуженко А.Ф., Шемякин Е.И., Бобряков А.П., Косых В.П.) для плоской и пространственной моделей. В частности, показано, что в зависимости от параметров материала модели и области, возможен как западный (скорость вращения ядра немного меньше скорости вращения Земли), так и восточный дрейф ядра Земли (скорость ядра немного больше скорости Земли).

Движения жидкого и твердого ядер Земли играют существенную роль в различных геофизических процессах. В частности, по теории «геомагнитного динамо» магнитное поле Земли образуется за счет этого движения проводящих масс. В 1996 г. (Song X., Richards P.G.) было открыто явление дифференциального вращения твердого ядра Земли, приведена оценка явления - ядро проворачивается относительно мантии примерно на 2 градуса за год. Изучению этого и других явлений, происходящих внутри Земли, посвящено множество работ. Есть три подхода к изучению проблем динамики внутренних масс Земли. Первое - обработка сейсмических данных. Именно этим подходом получены данные, которые интерпретированы как результат дифференциального вращения твердого ядра Земли (Song X., Richards P.G., Овчинников В.М., Адушкин В.В., Ан В.А. и др.). Однако возможны и другие интерпретации этих жо данных (Кузнецов В.В.), из которых не следует факт дифференциального вращения ядра Земли. Ряд авторов придерживается мнения, что имеет место западный дрейф твердого

ядра Земли. Второй подход - упомянутое выше лабораторное моделирование. Такой метод позволяет получать только качественные результаты. И наконец, третий подход, который выбран в диссертации - метод математического моделирования (Овчинников В.М., Адушкин В.В., Ан В.А., Решстняк М.Ю., Ревуженко А.Ф., Григорьев Ю.М., Жаров В.Е., Пасынок В.Е., Вилькс В.Г., Баркин Ю.В.'и др.). Только такой подход может дать какие то количественные результаты по данной проблематике. Для получения полной картины ситуации представляется необходимым учитывать результаты всех трех методов, как взаимодополняющих друг друга. Судя по последним публикациям, оценка величины скорости дифференциального вращения ядра Земли, получаемая сейсмическими методами, упала до долей минут в год. Теоретических оценок данного явления практически ист.

В связи с этим актуальным является разработка математических моделей приливных деформаций Земли, которые вызывают перенос сс внутренних масс.

Цель исследования. Целью исследования является разработка двумерных математических моделей и комплекса программ для изучения путем вычислительных экспериментов приливных деформаций Земли с учетом сс неоднородной структуры.

Задачи исследования. Для достижения цели исследования необходимо решить следующие задачи:

- разработать двумерные математические модели переноса внутренних масс Земли с учетом сс неоднородной структуры;

- на основе метода малого параметра разработать алгоритм приближенного решения получаемых краевых задач;

- развить метод комплексных функций для решения краевых задач для системы Стокса в двухсвязной области;

- построить аналитические выражения для приближенного решения задач математических моделей до второго порядка малости;

- исследовать значения параметров дифференциального вращения твердого ядра Земли.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются: матсматичсскос моделирование на основе законов физики, методы математической физики, методы аналитических функций комплексного переменного, метод малого параметра, проведение вычислительных экспериментов.

Научная новизна полученных результатов. Новыми в диссертационной работе являются:

- на основе кинематического подхода разработаны двумерные математические модели переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с условиями полного прилипания п частичного проскальзывания на границе твердого и жидкого ядер, при котором форма деформированного жидкого ядра задастся в виде эллипса с малым эксцентриситетом, твердое внутреннее ядро моделируется круговым отверстием, жидкое ядро Земли моделируется вязкой несжимаемой жидкостью, подчиняющейся системе Стокса.

- развиты алгоритмы и методы решения краевых задач для системы Стокса внутри эллиптической области с круговым отверстием, основанные на разложении по естественному малому параметру - эксцентриситету эллипса, и использовании метода аналитических функций комплексного переменного.

- получены явные аналитические выражения, связывающие угловые скорости твердого ядра и мантии Земли при условиях полного прилипания и частичного проскальзывания на границе раздела твердого и жидкого ядер.

- проведена оценка параметров дифференциального вращения твердого

ядра Земли, визуализированы линии тока переноса масс жидкого ядра Земли приливными деформациями.

Научная значимость результатов. Результаты данного исследования имеют теоретическое значение в понимании явлений глубинной геодинамики.

На защиту выносятся.

- двумерные математические модели переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с условиями полного прилипания и частичного проскальзывания на границе твердого и жидкого ядер, основанные на кинематическом подходе;

- алгоритмы и методы решения краевых задач для системы Стокса внутри эллиптической области с круговым отверстием, основанные на разложении по малому параметру и методе аналитических функций комплексного переменного;

- вычислительная реализация математических моделей до второго порядка малости с визуализацией линий тока переноса масс жидкого ядра Земли приливными деформациями; явные аналитические выражения, связывающие угловые скорости твердого ядра, и мантии Земли и оценка величины дифференциального вращения внутреннего ядра с восточным направлением 0,39 мин/год; .

- программы для ЭВМ для вычислительной реализации разработанных математических моделей.

Личный вклад соискателя. Личный вклад соискателя состоит в:

- разработке двумерных математических моделей, описывающих перенос внутренних масс Земли под воздействием приливных деформаций с учетом се неоднородной структуры;

- развитии метода малого параметра для численного решения краевых задач математических моделей;

б

- развитии аналитических методов решения полученных краевых задач для системы Стокса;

- разработка программ для ЭВМ для проведения вычислительной реализации моделей и анализа полученных результатов;

- оценке параметров дифференциального вращения твердого ядра Земли.

Достоверность. Достоверность научных положений и выводов

обеспечивается:

- корректным использованием в математических моделях известных физических законов (движение внутренних масс Земли подчиняется законам механики, движение жидкого ядра Земли описывается системой Стокса);

- согласованностью полученных параметров дифференциального вращения твердого ядра Земли с данными, полученными с помощью обработки сейсмических данных, а также теоретическими результатами других авторов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты докладывались и обсуждались на ХЫ1 международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», г.Новосибирск (2004, 2007 г. г.); Международной конференции по математическому моделированию, г. Якутск (2004 г.); Международной конференции, посвященной 100-лстию со дня рождения академика С.Л. Соболева, г. Новосибирск (2008 г.); Всероссийской научной конференции, посвященной 80-лстию профессора Кузьмина А. И. «Космо- и геофизические явления и их математические модели», г. Якутск (2002 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные аспекты естественных наук в изучении, освоении и промышленном развитии северных регионов России», МГТУ им. Баумана, г. Москва (2003 г.); Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование

развития северных территорий в условиях рынка», г. Якутск (2004, 2005, 2007 г. г.); Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий РФ (ММРСТ)», г. Якутск (2004, 2007, 2008 г. г.); Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике», г. Якутск (2005, 2008 г. г.); Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, г. Нижний-Новгород, г. Пермь (2006, 2009 г. г.); Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ), г. Екатеринбург, г. Москва, г. Ростов-на-Дону (2003, 2004, 2008 г. г.); Всероссийской объединенной научной сессии Научных советов РАН по механике деформируемого твердого тела и по проблемам горных наук, г. Якутск (2008 г.); Всероссийской конференции, приуроченной 90-лстшо академика Л.В. Овсянникова, г. Новосибирск (2009 г.); Лаврснтьсвских чтениях молодых ученых и специалистов, г. Якутск (2003, 2005, 2008 г. г.) и в 3 республиканских научных конференциях.

Участие в грантах и проектах. Работа поддержана конкурсами грантов в качестве руководителя: республиканская стипендия им. проф. А.И.Кузьмина (2003 г.); грант ректора ЯГУ (2004 г.); грант ФТИ (2004, 2005 г. г.); проект «Математическое моделирование некоторых физических процессов» программы МО и Н РФ «Развитие научного потенциала высшей школы» подпрограммы 3 «Исследования в области инфраструктуры научно-технической и инновационной деятельности высшей школы» (2005 г.); Федеральная целевая научно-технической программа «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» на 2002-2006 годы по теме: РИ-111/001 «Выполнение НИР по теме «Математическое моделирование переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с учетом ее неоднородной

структуры» во время проведения стажировки в Новосибирском государственном университете» (2005 г.); государственная стипендия РС(Я) аспирантам, молодым ученым (2007 г.); грант Президента РС(Я) для молодых ученых и специалистов (200G г.); стипендия Президента РФ для обучения за рубежом на 2007/2008 уч.г.

Работа поддержана конкурсами грантов в качестве исполнителя', грант Е02-4.010 Моделирование приливных деформаций Земли (2004 г.) Министерства образования РФ по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (2004 г.), инициативный научный проект РФФИ 09-01-00301-а «Математическое моделирование движений твердого и жидкого ядер Земли, вызванных приливными деформациями» (2009 г.).

Публикации. Основные положения и результаты исследований отражены в 25 работах: 8 статей, в том числе 2 статьи [1] - [2] в журналах из Перечня ВАК, 6 в сборниках и материалах конференций, 1 электронный ресурс в ОФЭРНиО и 16 тезисах докладов конференций.

Структура диссертации.Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 134 наименований и изложена на 107 страницах, содержит 33 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определена цель работы, поставлены задачи, указана научная новизна работы, перечислены основные защищаемые положения.

В первой главе диссертации — приведен обзор литературы и представлены основные понятия приливных деформаций Земли, дифференциального вращения твердого ядра и их физические характеристики, необходимые при построении математических моделей.

Рассмотрены работы Song X., Richards P.G., Овчинникова В.М., Адушкина

В.В., Ana В.А., Рсвужснко А.Ф., Шемякина Е.И., Бобрякова А.П., Косых В.П., Григорьева Ю.М., Кузнецова В.В., Жарова В.Е., Пасынка В.Е., Вилькс В.Г., Баркина Ю.В. и других ученых, изучающих проблему движения внутренних масс Земли.

На основании рассмотренных работ, можно сделать выводы о том, что современные исследования оценки вязкости внешнего ядра Земли у разных авторов различаются на много порядков и лежат в диапазоне 10~3 - 1022 Па-с. Практически всеми учеными признается факт существования явления дифференциального вращения твердого ядра Земли в восточном направлении. Оценки скорости дифференциального вращения ядра в научных публикациях имеют тенденцию к уменьшению от 3 до 0,05 градус/год, однако, теоретических оценок скорости дифференциального вращения ядра практически нет.

Во второй главе диссертации — построены математические двумерные модели переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с учетом ее неоднородной структуры с различными условиями на внутренней границе: полного прилипания и частичного проскальзывания.

Для моделирования приливных деформаций применяется кинематический подход А.Ф. Рсвужснко : пусть наблюдатель находится на вершине приливного горба и движется вместе с ней. Тогда он наблюдает неподвижную область в виде вытянутого тела, граничные и внутренние точки которого плывут под ним с некоторыми скоростями. В этом случае необходимо заранее задать форму деформированной приливными силами внешней оболочки и решать краевую задачу для системы Стокса внутри такого тела с полостью в виде формы внутреннего твердого ядра.

При построении математических моделей предполагаем Землю в виде тонкой оболочки с твердым внутренним ядром, между которыми находится вязкая

несжимаемая жидкость (жидкое ядро).

В первой модели на внутренней границе ядро-жидкость задастся условие полного прилипания. Для описания движения масс жидкого ядра при достаточно малых высотах приливной волны и малой скорости движения можно ограничиться ползущим приближением, тогда уравнение Навье-Стокса линеаризуются и сводится к системе Стокса:

/лДУ = Ур, V • V = 0, (1)

где у(г) — вектор скорости, р(г) — давление, /л — динамический коэффициент вязкости.

Тогда в рамках принятой кинематической постановки для моделирования приливных деформаций необходимо решить первую краевую задачу для системы Стокса внутри эллипса с круговым отверстием (рис.1).

Рис. 1: Эллипс с круговым отверстием

На внешней границе (эллипсе) заранее задастся граничная скорость, имитирующая направленное движение приливной волны:

vr = const, vT = 0. (2)

На внутренней границе (окружности) задастся постоянная касательная скорость, которая является заранее неизвестной угловой скоростью вращения

внутреннего ядра Земли. Такая задача решается методом малого параметра. Естественным малым параметром Л является эксцентриситет эллипса, равный Л = е2/2.

При построении второй модели Землю также представляем в виде тонкой оболочки с твердым внутренним ядром, между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость (жидкое ядро), но на внутренней границе ядро-жидкость задаем условие частичного проскальзывания, которое имеет вид:

a(3vT + (1 — се)апт = —apuiRi, при г = Hi, (3)

где и — неизвестная заранее угловая скорость вращения твердого ядра, а — безразмерный параметр, принимающий значения 0 < а < 1; /3 — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность (Па • с)/м.

Условие (3) при различных значениях параметра а принимает вид:

при а = О, опт = 0 — полное отсутствие трения на границе,

при а = 1, vT — —wRi — условие полного прилипания.

Следовательно, при 0 < а < 1 условие (3) можно принять как условие частичного проскальзывания. Таким образом, в рамках принятой выше кинематической модели, необходимо решить первую краевую задачу для системы Стокса внутри эллипса с круговым отверстием:

fiAv — Vp — 0, V • v = 0,

vn = 0, vT — const, при г = Н.2,

a/3vr + (1 — а)апт = —apwRi, при г = Hi.

В третьей главе диссертации развит метод малого параметра для решения задач, возникающих в разработанных моделях. Решение поставленных задач задачи ищем в виде:

оо

v(r) = ^AV"'(r). (5)

п=О 12

Кроме этого по параметру А разлагаются краевые условия, уравнение внешней границы. Затем приравниваются множители при одинаковых степенях А. В силу линейности задачи каждая поправка у'"' удовлетворяет системе Стокса внутри кругового кольца, а граничные условия для них вычисляются с помощью предыдущих поправок. Когда параметр А достаточно мал, следует ожидать достаточно быструю сходимость этих рядов, в связи с чем ограничиваемся вторым порядком приближения. После решения краевой задачи с помощью результатов кинематической модели можно оценить реально наблюдаемые эффекты.

Таким образом, возникает необходимость последовательного решения ряда краевых задач для системы Стокса внутри кругового кольца. В работе показана возможность эффективного применения комплексного представления общего решения системы Стокса, которое является частным случаем кватернионного представления и аналогично формулам Колосова-Мусхслиш- вили из теории упругости:

ц(и-\-т) = <р{г) — г(р'(г) + ф(г), р = -4Де (р'{г), (6)

где и, V — декартовы компоненты вектора скорости, <р{г), — аналитические функции комплексной переменной г = х + {у. Выявлена степень определенности аналитических функций в представлении (6). Решения первой краевой задачи для системы Стокса, внутри круга и кругового кольца получены в виде разложений по степеням г. В этих задачах функции ищутся в виде разложений Тейлора и Лорана с неизвестными коэффициентами. Для определения неизвестных коэффициентов из краевых условий получаются системы алгебраических уравнений, которые решаются в явном виде.

В четвертой главе проведены вычислительные реализации построенных двумерных моделей переноса внутренних масс Земли приливными

деформациями с учетом ее неоднородной структуры и различными условиями на внутренней границе: условием полного прилипания и частичного проскальзывания. Для первой модели получены приближенные решения до второго порядка малости, для второй — до первого порядка.

Послс определения поля скоростей ставится задача определения траекторий частиц жидкости. Для этого необходимо решить задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Для ап]юбации метода комплексных функций для решения первой краевой задачи для системы Стокса внутри крута и кругового кольца решены задачи о круговой и кольцевой кавернах, которые является классическими модельными задачами о плоском стационарном течении в круговой полости (каверне), стенки которой движутся в своей плоскости с постоянной скоростью и.

Выражения для компонент скорости получаются с неизвестным параметром в виде угловой скорости твердого ядра и. которую можно определить из условия стационарности движения системы. Это условие заключается в следующем: суммарный момент М всех сил, приложенных к ядру, должен быть равен нулю:

Для первой модели в первом приближении получена явная формула, связывающая угловые скорости твердого ядра и мантии, в виде:

ж(0) = х0, 2/(0) = у0-

(7)

Д?(А-2) + Д22(А + 2)

во вто}хш приближении эта формула имеет следующий вид:

ш = П

(Д? - Щ) [ЩЩ - Щ) + 8А(Я? + Щ) + Х\Щ + 7Д?)] 16 [ - {Щ - Щ)2 + А- Щ) - ЗА2.ВД]

Проведена оценка дифференциального вращения твердого ядра. Для этого формулу (10) разложили по малому параметру Л до второго порядка малости:

Высота приливной волны для реальной Земли составляет 0,36 м., но так как областью нашего исследования является жидкое ядро с твердым внутренним ядром, лх> эту цифру мы берем порядка 0,2 - 0,25 м. Тогда малый параметр Л получается порядка Ю-'. Таким образом, согласно формуле (11) получаем, что опережение внутреннего твердого ядра составляет 0,39 минут в год. Эта цифра хорошо согласуется с оценкой из работы Вильке В.Г., полученной другим, более сложным методом.

Проведена вычислительная реализация поставленной задачи. На рис. 2 приведены траектории частиц жидкости после одного полного оборота внешней частицы. На рис. 3 представлены положения частиц, находившихся на большой полуоси у = 0 в момент времени £ = 0 после 30 оборотов внешней частицы.

Решение задачи для модели с условием частичного проскальзывания получено до первого порядка приближения. Получена явная формула, связывающая угловые скорости и мантии Земли в первом приближении в виде:

Проведена оценка скорости вращения твердого ядра. Для этого разложили выражение (12) в ряд по А до первого порядка:

(И)

и = П

аI

фВ.1 [^(А - 2) + Щ(А + 2)] + 2Щ(а - 1)(А + + Д?(А - 1)] + Щ{а - 1)р

(12)

Рис. 3: Положения частиц, находившихся в начальный момент времени на большой полуоси, после 30 оборотов А = 0.08, а = 3, Ь ш 2.598

Выражение (13) аналогично разложению, полученному в первом приближении в модели с условием полного проскальзывания на внутренней границе. Отсюда можно сделать вывод о том, что в рамках нашей модели значение вязкости жидкого ядра Земли в первом приближении не оказывает влияния на угловую скорость дифференциального вращения твердого ядра.

Основные результаты работы. В заключении приведены основные результаты работы:

1. Разработаны двумерные математические модели переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с условиями полного прилипания и частичного проскальзывания на границе твердого и жидкого ядер Земли, основанные на кинематическом подходе.

2. Развиты алгоритмы и методы решения краевых задач для системы I Стокса внутри эллиптической области с круговым отверстием, основанные на разложении по малому параметру и методе аналитических функций комплексного переменного.

Рис. 2: Траектории частиц после одного оборота внешней частицы Л = 0.08, а = 3, Ь = 2.598

3. Проведена вычислительная реализация математических моделей до второго порядка малости с визуализацией линий тока переноса масс жидкого ядра Земли приливными деформациями; получены явные аналитические выражения, связывающие угловые скорости твердого ядра и мантии Земли и оценка величины дифференциального вращения внутреннего ядра с восточным направлением 0,39 мин/год.

4. Разработаны программы для ЭВМ для вычислительной реализации разработанных математических моделей.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Скрябина, O.E. Математическое моделирование относительной динамики твердого и жидкого ядер Земли [Текст] / Григорьев Ю.М., Скрябина O.E. // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. М.Ф. Решетнева. - 2008. -№4(21). - С. 68 - 72.

2. Скрябина, O.E. О вкладе приливного деформирования на дифференциальное вращение внутреннего ядра земли [Текст] / Григорьев Ю.М., Мохначевский А.Н., Скрябина O.E. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. -№4, часть 5. - С. 2118-2119.

3. Скрябина, O.E. Математические проблемы моделирования направленного переноса внутренних масс Земли приливными деформациями [Текст] / Григорьев Ю.М., Скрябина O.E. / Динамика сплошной среды,- Выпуск 122. - Новосибирск, 2004. - С. 57 - 62.

4. Скрябина, O.E. Моделирование направленного переноса внутренних масс Земли приливными деформациями [Текст] / Григорьев Ю.М., Скрябина

O.E. / Сборник статей VII Лаврснтьсвских чтений, 7-11 апреля 2003, г. Якутск. - Якутск, 2003 г. - С. 33 - 38.

5. Скрябина, O.E. Математическая модель приливных деформаций для слоистой Земли [Текст] / Скрябина O.E. // Сборник лучших докладов научной конференции студентов Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова, 15 мая 2004, г. Якутск. - Якутск: ЯГУ, 2005. - С. 117 - 122.

6. Скрябина, O.E. Математическое моделирование переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с учетом неоднородной структуры [Текст] / Григорьев Ю.М., Скрябина O.E. / Сборник статей IX Лаврснтьсвских чтений, посвященных Международному году физики, 17 - 22 апреля 2006, г. Якутск. - Якутск: ГУ «РОНПО», 2006. - Т. I. - С. 44-50.

7. Скрябина, O.E. Математическое моделирование переноса внутренних масс Земли приливными деформациями [Текст] / Григорьев Ю.М., Скрябина O.E. / Труды Всероссийской объединенной научной сессии Научных советов РАН по механике деформируемого твердого тела и по проблемам горных наук «Неклассические задачи геомеханики», 16-20 июня 2008, г. Якутск. -Якутск: Изд. ЯНЦ СО РАН, 2008. - С. 172-177.

8. Скрябина O.E. Математическое моделирование дифференциального вращения земного ядра [Текст] / Григорьев Ю.М., Скрябина O.E. // Всероссийская научная конференция «Информационные технологии в науке, образовании и экономике», 10 - 14 ноября 2008, г. Якутск. - Якутск, 2008. - С. 12 - 16.

9. Скрябина, O.E. Оценка вклада приливного деформирования на величину дифференциального вращения внутреннего ядра Земли [Текст] / Григорьев Ю.М., Мохначсвский А.Н., Скрябина O.E. / Гсомсханичсскис н гсотсхнологическнс проблемы эффективного освоения месторождений

твердых полезных ископаемых северных и северо-восточных регионов России. Труды Всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти чл.-корр. РАН Новопашина М.Д. (г. Якутск, 13-15 сентября). - Якутск: Изд-во ИМЗ СО РАН, 2011. - С. 237-238.

10. Скрябина O.E., Григорьев Ю.М. Электронный информационный образовательный ресурс: Программа для ЭВМ «Математическое моделирование переноса внутренних масс Земли приливными деформациями» [Электрон, ресурс] / Скрябина O.E., Григорьев Ю.М. // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование», № 4. - 2012. — Режим доступа: http://ofernio.ni/portal/newspaper/ofernio/2012/4.doc

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ВНУТРЕННИХ МАСС ЗЕМЛИ ПРИЛИВНЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ

автореферат

СКРЯБИНА Ольга Евгеньевна

Подписано в печать 25.05.2012 г. Формат 60x84/16. Печ.л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,19. Тираж 100 экз. Заказ 14.

Отпечатано в филиале издательства СВФУ, Институт математики и информатики СВФУ. Адрес: г. Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112) 496833

ВВЕДЕНИЕ

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

1.1. Модели строения Земли.

1.2. Приливное деформирование Земли и направленный перенос ее внутренних масс.

1.3. О механизме генерации магнитного поля Земли.

1.4. Дифференциальное вращение ядра Земли.

1.5. Система уравнений Навье-Стокса

1.6. Вязкость жидкого ядра Земли.

1.7. Изучение динамики внутренних масс Земли методом математического моделирования

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА ВНУТРЕННИХ МАСС ЗЕМЛИ ПРИЛИВНЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ 36 2.1. Математическая модель с условием полного прилипания на внутренней границе

2.2. Математическая модель с условием частичного проскальзывания на внутренней границе.

3. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

3.1. Геометрия метода малого параметра.

3.2. Сущность метода малого параметра и постановка краевых задач

3.3. Метод комплексного представления общего решения системы Стокса

3.3.1. Решение первой краевой задачи для системы Стокса внутри круга.

3.3.2. Решение первой краевой задачи для системы Стокса внутри кругового кольца.

4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННЫХ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

4.1. Математическая модель с условием полного прилипания на внутренней границе

4.1.1. Решение задачи в первом приближении.

4.1.2. Решение задачи во втором приближении

4.2. Математическая модель с условием частичного проскальзывания на внутренней границе.

4.2.1. Решение задачи в нулевом приближении

4.2.2. Решение задачи в первом приближении.

Актуальность темы.

Многими авторами высказывались гипотезы о возможности накопления необратимых деформаций внутри Земли от приливного воздействия со стороны Луны (Вегенер А., Штауб Р., Надаи А.). В Институте горного дела СО РАН (г. Новосибирск) на модельных экспериментах показана справедливость этой гипотезы (Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И., Бобряков А.П., Косых В.П.) для плоской и пространственной моделей. В частности, показано, что в зависимости от параметров материала модели и области, возможен как западный (скорость вращения ядра немного меньше скорости вращения Земли), так и восточный дрейф ядра Земли (скорость ядра немного больше скорости Земли).

Движения жидкого и твердого ядер Земли играют существенную роль в различных геофизических процессах. В частности, по теории «геомагнитного динамо» магнитное поле Земли образуется за счет этого движения проводящих масс. В 1996 г. (Song X., Richards P.G.) было открыто явление дифференциального вращения твердого ядра Земли, приведена оценка явления - ядро проворачивается относительно мантии примерно на 2 градуса за год. Изучению этого и других явлений, происходящих внутри Земли, посвящено множество работ. Есть три подхода к изучению проблем динамики внутренних масс Земли. Первое - обработка сейсмических данных. Именно этим подходом получены данные, которые интерпретированы как результат дифференциального вращения твердого ядра Земли (Song X., Richards P.G., Овчинников В.М., Адушкин В.В., Ан В.А. и др.). Однако возможны и другие интерпретации этих же данных (Кузнецов В.В.), из которых не следует факт дифференциального вращения ядра Земли. Ряд авторов придерживается мнения, что имеет место западный дрейф твердого ядра Земли. Второй подход - упомянутое выше лабораторное моделирование. Такой метод позволяет получать только качественные результаты. И наконец, третий подход, который выбран в диссертации - метод математического моделирования (Овчинников В.М., Адушкин В.В., Ан В.А., Решетняк М.Ю., Ревужен-ко А.Ф., Григорьев Ю.М., Жаров В.Е., Пасынок В.Е., Вильке В.Г., Баркин Ю.В., Шайдуров В.В. и др.). Только такой подход может дать какие то количественные результаты по данной проблематике. Для получения полной картины ситуации представляется необходимым учитывать результаты всех трех методов, как взаимодополняющих друг друга. Судя по последним публикациям, оценка величины скорости дифференциального вращения ядра Земли, получаемая сейсмическими методами, упала до долей минут в год. Теоретических оценок данного явления практически нет.

В связи с этим актуальным является разработка математических моделей приливных деформаций Земли, которые вызывают перенос ее внутренних масс.

Цель исследования. Целью исследования является разработка двумерных математических моделей и комплекса программ для изучения путем вычислительных экспериментов приливных деформаций Земли с учетом ее неоднородной структуры.

Задачи исследования. Для достижения цели исследования необходимо решить следующие задачи:

- разработать двумерные математические модели переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с учетом ее неоднородной структуры;

- на основе метода малого параметра разработать алгоритм приближенного решения получаемых краевых задач;

- развить метод комплексных функций для решения краевых задач для системы Стокса в двухсвязной области;

- построить аналитические выражения для приближенного решения задач математических моделей до второго порядка малости;

- исследовать значения параметров дифференциального вращения твердого ядра Земли.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются: математическое моделирование на основе законов физики, методы математической физики, методы аналитических функций комплексного переменного, метод малого параметра, проведение вычислительных экспериментов.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

- на основе кинематического подхода разработаны двумерные математические модели переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с условиями полного прилипания и частичного проскальзывания на границе твердого и жидкого ядер, при котором форма деформированного жидкого ядра задается в виде эллипса с малым эксцентриситетом, твердое внутреннее ядро моделируется круговым отверстием, жидкое ядро Земли моделируется вязкой несжимаемой жидкостью, подчиняющейся системе Стокса.

- развиты алгоритмы и методы решения краевых задач для системы Стокса внутри эллиптической области с круговым отверстием, основанные на разложении по естественному малому параметру - эксцентриситету эллипса, и использовании метода аналитических функций комплексного переменного.

- получены явные аналитические выражения, связывающие угловые скорости твердого ядра и мантии Земли при условиях полного прилипания и частичного проскальзывания на границе раздела твердого и жидкого ядер.

- проведена оценка параметров дифференциального вращения твердого ядра Земли, визуализированы линии тока переноса масс жидкого ядра Земли приливными деформациями.

Научная значимость результатов. Результаты данного исследования имеют теоретическое значение в понимании явлений глубинной геодинамики.

На защиту выносятся

- двумерные математические модели переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с условиями полного прилипания и частичного проскальзывания на границе твердого и жидкого ядер, основанные на кинематическом подходе;

- алгоритмы и методы решения краевых задач для системы Стокса внутри эллиптической области с круговым отверстием, основанные на разложении по малому параметру и методе аналитических функций комплексного переменного;

- вычислительная реализация математических моделей до второго порядка малости с визуализацией линий тока переноса масс жидкого ядра Земли приливными деформациями; явные аналитические выражения, связывающие угловые скорости твердого ядра и мантии Земли и оценка величины дифференциального вращения внутреннего ядра с восточным направлением 0,39 мин/год;

- программы для ЭВМ для вычислительной реализации разработанных математических моделей.

Личный вклад соискателя. Личный вклад соискателя состоит в:

- разработке двумерных математических моделей, описывающих перенос внутренних масс Земли под воздействием приливных деформаций с учетом ее неоднородной структуры;

- развитии метода малого параметра для численного решения краевых задач математических моделей;

- развитии аналитических методов решения полученных краевых задач для системы Стокса;

- разработке программ для ЭВМ для проведения вычислительной реализации моделей и анализа полученных результатов;

- оценке параметров дифференциального вращения твердого ядра Земли.

Достоверность. Достоверность научных положений и выводов обеспечивается:

- корректным использованием в математических моделях известных физических законов (движение внутренних масс Земли подчиняется законам механики, движение жидкого ядра Земли описывается системой Стокса);

- согласованностью полученных параметров дифференциального вращения твердого ядра Земли с данными, полученными с помощью обработки сейсмических данных и лабораторного моделирования, а также теоретическими результатами других авторов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты докладывались и обсуждались на ХЫ1 международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», г.Новосибирск (2004, 2007 г.г.); Международной конференции по математическому моделированию, г.Якутск (2004 г.); Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика С.Л. Соболева, г. Новосибирск (2008 г.); Всероссийской научной конференции, посвященной 80-летию профессора Кузьмина А.И. «Космо- и геофизические явления и их математические модели», г. Якутск (2002 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные аспекты естественных наук в изучении, освоении и промышленном развитии северных регионов России», МГТУ им. Баумана, г. Москва (2003 г.); Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка», г. Якутск (2004, 2005, 2007 г.г.); Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий РФ (ММРСТ)», г. Якутск (2004, 2007, 2008 г.г.); Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике», г. Якутск (2005, 2008 г.г.); Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, г.Нижний-Новгород, г. Пермь (2006, 2009 г.г.); Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ), г. Екатеринбург, г. Москва, г. Ростов-на-Дону (2003, 2004, 2008 г.г.); Всероссийской объединенной научной сессии Научных советов РАН по механике деформируемого твердого тела и по проблемам горных наук, г. Якутск (2008 г.); Всероссийской конференции, приуроченной 90-летию академика Л.В. Овсянникова, г. Новосибирск (2009 г.); Лаврентьевских чтениях молодых ученых и специалистов, г.Якутск (2003, 2005, 2008 г.г.) и в 3 республиканских научных конференциях.

Участие в грантах и проектах. Работа поддержана конкурсами грантов в качестве руководителя: республиканская стипендия им. проф. А.И.Кузьмина (2003); грант ректора ЯГУ (2004 г.); грант ФТИ (2004, 2005 г.г.); проект «Математическое моделирование некоторых физических процессов» программы МОиН РФ «Развитие научного потенциала высшей школы» подпрограммы 3 «Исследования в области инфраструктуры научно-технической и инновационной деятельности высшей школы» (2005 г.); Федеральная целевая научно-технической программа «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» на 2002-2006 годы по теме: РИ-111/001 «Выполнение НИР по теме «Математическое моделирование переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с учетом ее неоднородной структуры» во время проведения стажировки в Новосибирском государственном университете» (2005 г.); государственная стипендия РС(Я) аспирантам, молодым ученым 2007 г.; грант Президента PC (Я) для молодых ученых и специалистов 2006 г.; стипендия Президента РФ для обучения за рубежом на 2007/2008 уч.г.

Работа поддержана конкурсами грантов в качестве исполнителя: грант Е02-4.010 Моделирование приливных деформаций Земли (2004 г.) Министерства образования РФ по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (2004 г.), инициативный научный проект РФФИ 09-01-00301-а «Математическое моделирование движений твердого и жидкого ядер Земли, вызванных приливными деформациями» (2009 г.).

Публикации. Основные положения и результаты исследований отражены в 25 работах [111] - [133]: 8 статей, в том числе 2 статьи [130], [132] в журналах из Перечня ВАК, 6 в сборниках и материалах конференций, 1 электронный ресурс в ОФЭРНиО и 16 тезисах докладов конференций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 134 наименований и изложена на 107 страницах, содержит 33 рисунка.

Выводы по четвертой главе:

1. Разработан алгоритм приближенного решения до второго порядка малости для математической модели с условием полного прилипания и первого порядка малости для модели с условием частичного проскальзывания.

2. Получены аналитические выражения модели с условием полного прилипания, связывающие угловые скорости ядра и мантии Земли в первом и втором порядке малости.

3. Проведена оценка величины дифференциального вращения твердого ядра Земли модели с условием полного прилипания, которая составила 0,39 минут/год с восточным направлением. Второй порядок приближения не вносит ощутимого вклада в оценку скорости супервращения ядра.

4. Получены приближенные решения математической модели с условием частичного проскальзывания до первого порядка приближения.

5. Получены аналитические выражения модели с условием частичного проскальзывания, связывающие угловые скорости ядра и мантии Земли в первом порядке приближения.

6. Проведена оценка величины дифференциального вращения твердого ядра Земли модели с условием частичного проскальзывания, которая составила 0,39 мин/год с восточным направлением.

7. В рамках модели с условием частичного проскальзывания значение вязкости жидкого ядра Земли в первом приближении не оказывает влияния на угловую скорость дифференциального вращения твердого ядра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена математическому моделированию переноса внутренних масс Земли, вызванных приливными деформациями, с учетом ее неоднородной структуры. Основные научные результаты сводятся к следующему:

1. Разработаны двумерные математические модели переноса внутренних масс Земли приливными деформациями с условиями полного прилипания и частичного проскальзывания на границе твердого и жидкого ядер Земли, основанные на кинематическом подходе.

2. Развиты алгоритмы и методы решения краевых задач для системы Стокса внутри эллиптической области с круговым отверстием, основанные на разложении по малому параметру и методе аналитических функций комплексного переменного.

3. Проведена вычислительная реализация математических моделей до второго порядка малости с визуализацией линий тока переноса масс жидкого ядра Земли приливными деформациями; получены явные аналитические выражения, связывающие угловые скорости твердого ядра и мантии Земли и оценка величины дифференциального вращения внутреннего ядра с восточным направлением 0,39 мин/год.

4. Разработаны программы для ЭВМ для вычислительной реализации разработанных математических моделей.

1. Прохоров А.П. Физическая энциклопедия Текст]. В 5 т. Т. 2. Добротность Магнитооптика / Гл. ред. А.П. Прохоров; Ред. кол. Д.М. Алексеев, А.М.Балдин, A.M. Бонч-Бруевич, A.C. Боровик-Романов и др. -М.: Сов. энциклопедия. - 1990. - 703 с.

2. Гаврилов, В. П. Геотектоника Текст] : Учебник для вузов / Виктор Гаврилов. — М.: ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2005. 368 с.

3. Магницкий, В.А. Модели Земли Текст] / Владимир Магницкий. М.: Знание. - 1978. - 64 с.

4. Джеффрис, Г. Земля, ее происхождение, история и строение Текст] / Гарольд Джеффрис; пер. с 4-го англ. изд. В.Я. Барласа, В.Н. Жаркова, Е.А. Любимовой и др. М.: Иностранная литература. - 1960. - 485 с.

5. Магницкий, В.А. Внутреннее строение и физика Земли Текст]. В 2 т. Т. 1. Внутренее строение и физика Земли / Владимир Магницкий. -М.: Недра. 1965. - 376 с.

6. Ботт, М. Внутреннее строение Земли Текст] / Мартин Ботт; пер. с англ. Москва: Изд-во «Мир», 1974. - 373 с.

7. Булкин, П.С. Общий физический практикум. Молекулярная физика: Учебное пособие Текст] / Петр Булкин, Ирина Попова. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 215 с.

8. Secco, R.A. Viscosity of the outer core, in Mineral Physics and Crystallography: a handbook of physical constants Текст] / R.A. Secco

9. AGU Reference Shelf. Vol.2. - Ed. T J Ahrens . - Washington, DC: American Geophysical Union, 1995. - P. 218.

10. Loper, D.E. On the motion of an iron-alloy core containing a slurry Текст] / D.E. Loper, P.H. Roberts //I. General Theory. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn V. 9.-1978. - P. 289-321.

11. Currie, R.G. Pasific region anomaly in the geomagnetic spectrum at 60 years Текст] / R.G. Currie // South African Journal of Science. V. 69.1973. P. 379 - 383.

12. Минеев, B.H. Об измерении вязкости расплавов металлов при высоких давлениях и расчетах вязкости применительно к ядру Земли Текст] / В.Н. Минеев, А.И. Фунтиков // Успехи физических наук. том 174. -№ 7. - 2004. - С. 727-742.

13. Gilliland, J.M. Meanfield electrodynamics and dynamo theories of planetary magnetic fields Текст] / J. M. Gilliland // Ph. D. Thesis, University of Alberta. 1973.

14. Dagley, P. Paleomagnetic evidence for the transitional behaviour of the geomagnetic field Текст] / P. Dagley, E. Lawley // Geophys. J. V. 36.1974. P. 577 - 598.

15. Жарков, B.H. Физика планетных недр Текст] / Владимир Жарков, Валерий Трубицын М.: Наука. - 1980. - 448 с.

16. Malin, S.R.C. Rotation of the geomagneticfield Текст] / S.R.C. Malin, I. Saunders // Nature. V. 248. - 1973. - P. 403 - 405.

17. Жарков, В. H. Внутреннее строение Земли и планет Текст] / Владимир Жарков. М.: Наука. - 1983. - 415 с.

18. Сорохтин, О.Г. Развитие Земли Текст] / Олег Сорохтин, Сергей Ушаков,- М: Изд-во МГУ. 2002 - 506 с.

19. Смайли, Д.Е. Прямые наблюдения вязкости внешнего ядра Земли и экстраполяции измерений вязкости жидкого железа Текст] / Д.Е. Смайли, В.В. Бражкин, А. Палмер // Успехи физических наук. том 179. - №1.- 2009. С. 91-105.

20. Жарков В.Н. Об оценке молекулярной вязкости внешнего ядра Земли Текст] / Владимир Жарков // Успехи физических наук. том 179. -№1. - 2009. - С. 106-108.

21. Greff-Lefftz, М. Influense of the inner core viscosity on the rotational eigen models of the Earth Текст] / M. Greff-Lefftz, H. Legros, V. Dehant // Physics of the Earth and Planetary Interiors. V. 122. - 2000. - P. 187 -204.

22. Nakada, M. Core-mantle coupling including a viscoelastic inner core: an application to the axial rotation associated with the quaternary glacial cycles Текст] / M. Nakada // Physics of the Earth and Planetary Interiors.- V. 138. 2003. - P. 289 - 315.

23. Бялко, А.В. Наша планета Текст] / Алексей Бялко. Земля. М.: Наука.- 1983. 208 с.

24. Вегенер, А. Происхождение континентов и океанов Текст] / Альфред Вегенер. Л.: Наука - 1984. - 285 с.

25. Штауб, Р. Механизм движений земной коры в приложении к строению земных горных систем Текст] / Рудольф Штауб. М.: Главная редакция геологоразведочной и геофизической литературы, 1938. - 271 с.

26. Надай, А. Пластичность и разрушение твердых тел Текст] / А. Надай.- М., 1969. т. 2. - 863 с.

27. Ревуженко, А.Ф. Механика упруго-пластических сред и нестандартный анализ Текст] / Александр Ревуженко. Новосибирск: НГУ. - 2000 г.- 428 с.

28. Кузнецов, В.В. Анизотропия и супервращение внутреннего ядра Земли Текст] / Виктор Кузнецов // Науки о Земле: Современные проблемы сейсмологии: сб. ст. М., 2001. - С. 68 - 83.

29. Cheng, A. F. Implications of Io's Magnetic Signature Текст] / A.F. Cheng, C. Paranicas // Geophys. Res. Lett. 23- 1996. - P. 2879 -2882.

30. Яновский, Б.М. Земной магнетизм Текст] / Борис Яновский. ч.1. -Изд. ЛГУ. - 1964.

31. Blackett, P.M.S. The magnetic field of massive rotating bodies Текст] / Patrick Blackett// Nature. 1947. - 159. - P. 658-666.

32. Weiss, R.J. Origin of the Earth's Magnetic Field Текст] / R.J. Weiss // Nature. 1963. - 197. - P. 1289-1290.

33. Vestine, Б.Н. Winds in the upper atmospherededuced from the dynamo theory of geomagnetic disturbance Текст] / E.H. Vestine //J. Geophys. Res. 1954. - 59. - P. 93 - 128.

34. Паркинсон, У. Введение в геомагнетизм Текст] / У. Паркинсон; пер. с англ. М.: Мир. - 1986 - 528 с.

35. Джекобе Дж. Земное ядро Текст] / Дж. А. Джекобе; Пер. с англ. А. О. Глико и А. И. Лутикова ; Под ред. Л. Н. Рыкунова. М. : Мир, 1979. -305 с.

36. Паркер, Ю. Космические магнитные поля Текст]. В 2 ч. Ч. 1. / Ю. Паркер; пер. с англ. — Москва: Мир. 1982. - 608 с.

37. Рикитаки, Т. Электромагнетизм и внутреннее строение Земли Текст] / Т. Рикитаки; пер. с англ. Г.Е. Валуевой [ и др.]. JL: Недра. - 1968.- 331 с.

38. Каулинг, Т. Магнитная гидродинамика Текст] / Т. Каулинг; пер. с англ. Э. Л. Бурштейн ; ред. пер. М. А. Леонтович. М.: Изд-во иностр. лит.- 1959. 132 с.

39. Паркер, Е. Н. Динамические процессы в межпланетной среде Текст] / E.H. Паркер; пер. с англ. М.: Мир. - 1965. - 363 с.

40. Кузнецов, В.В. Физика горячей Земли Текст] / Виктор Кузнецов. -Новосибирск. 2000. - 365 с.

41. Краузе, Ф. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо Текст] / Ф. Краузе, К.-Х. Радлэр; пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 320 с.

42. Соколов, Д.Д. Современное состояние и перспективы лабораторного динамо-эксперимента Текст] /Д.Д. Соколов // Соросовский образовательный журнал. 2001. — № 4. - С. 111 - 115.

43. Petrelis, F. Simple Mechanism for Reversals of Earth's Magnetic Field Текст] / Francois Petrelis, Stephan Fauve, Emmanuel Dormy, Jean-Pierre Valet // Physical Review Letters. V. 102. - 2009. - 144503.

44. Косыгин, Ю.А. О физических полях вращающихся планет Текст] / Юрий Косыгин, Леонид Маслов // Геотектоника. 1989. - №1. - С. 8-11.

45. Бобряков, А.П. Приливное деформирование планет: опыт экспериментального моделирования Текст] / А.П. Бобряков, А.Ф. Ревуженко, Е.И. Шемякин// Геотектоника. 1991. - №6. - С. 21-35.

46. Хаббарт, У. Внутреннее строение планет Текст] / Ульям Б. Хаббарт. -М.: Мир.- 1987. 327 с.

47. Маров, М.Я. Планеты солнечной системы Текст] / Михаил Маров. -М.: Наука, 1986. 320 с.

48. Орленок, В.В. Основы геофизики Текст] / Вячеслав Орленок. Калининград: Калинингр. гос. университет., 2000. - 446 с.

49. Никитин, J1.B. Течение внутри Земли, создаваемое относительным вращением мантии и твердого ядра Текст] / Александр Рузмайкин, Лев Никитин // Геомагнетизм и аэрономия. том 30. - №1. - 1990. - С. 127 -131.

50. Song, X. Seismplogical evidence for differential rotation of the Earth's inner core Текст] / Xiaodong Song, Paul G. Richards // Nature. 1996. V.382.- P. 221-224.

51. Wang, X. Gaoxiao dizhi xuebao Текст] / Wang Xin-yuan, Sun Yan, Zhang Xi-hui, Tanwi Richard Ghogomu, Yang Zhao-zhu. // Geol. J. China Univ.- 2000. № 4. - P. 561 - 565.

52. Glatzmaier, G.A. A three-dimensional self-consistent computer simulation of a geomagnetic field reversal Текст] / Garry A. Glatzmaier, Paul H. Roberts // Nature. V.377. - 1995. - P. 203 - 209.J

53. Parry, R.D. Gravitational core mantle coupling and the aaceleration of the Earth Текст] / Rubincam David Parry //J. Geophys. Res. B. - 2003.- 108.- № 7. P. ET 64/1 - ET 64/5.

54. Овчинников, B.M. О скорости относительного вращения внутреннего ядра Земли Текст] / Владимир Овчинников, Виталий Адушкин, Владимир Ан // Доклады академии наук. 1998. - т. 362. - №5. - С. 10001003.

55. Laske, G. Limits on differential rotation of the inner core from an analysis of the Earth's free oscillations Текст] / Gabi Laske, Guy Masters // Nature (Gr. Brit.). 1999. - 402. - N 6757. - P. 66 - 69.

56. Souriau, A. Inner core rotation: a test at the wordwide scale Текст] / Souriau A., Poupinet G // Physics of the Earth and Planetary Interiors. -2000. V. 118. - p. 13 - 27.

57. Glatzmaier, G.A. A three-dimentional convective dynamo solution with rotating and finitely conducting inner core and mantle Текст] / Garry A. Glatzmaier, Paul H. Roberts // Physics at the Earth and planet interiors.- № 91. 1995. - P. 63 - 75.

58. Song, X. Support for differential inner core superrotation from earthquakes in Alaska recorded at South Pole station Текст] / X. Song, A. Li// Journal of geophysical research. 2000. - V. 105. - Bl. - P. 623 - 630.

59. Song, X. Joint inversion for inner core rotation, inner core anisotropy and mantle heterogeneity Текст] / Xiaodong Song //J. Geophys. Res. B. -2000. 105. - № 4. - P. 7931 - 7943.

60. Xu, X. Evidence for inner core super-rotation from time-dependent differential PKP traveltimes observed at Beijing Seismic Network Текст] / X. Xu, X. Song // Geophys. J. Int. 2003. - 152. - N 3. - P. 509 - 514.

61. Glatzmaier, G.A. Rotation and magnetof Earth's inner core Текст] / G.A. Glatzmaier, P.H. Roberts// Science, vol. 274, 1996, P. 1887 1891.

62. Su, W.-L. Planet within a planet: rotation of the inner core of Earth Текст] / W.-L. Su, A.M. Dziwonski, R. Jeanloz // Science. 1996. - v. 274. - P. 1883 - 1887.

63. Creager, K.C. Inner core differential rotation rate from small-scale heterogeneity and travel times Текст] / K.C. Creager // Science. 1997.- V. 278. P. 1284 - 1288.

64. Souriau A., Roudil P., Moynot B. Inner core differential rotation: facts and artefacts Текст] / A. Souriau, P. Roudil, B. Moynot // Geophys. Res. Let.- 1997. V. 24 - N 16. - P. 2103 - 2106.

65. Souriau, A. Le noya de la terre rourne-t-il vraiment Текст] / Souriau Annie // Recherche (фр.). 1998. - № 315. - P. 38 - 40.

66. Poupinet G., Souriau A., Coutant O. The existence of an inner core superrotation questioned by teleseismic doublets Текст] / G. Poupinet, A. Souriau, 0. Coutant // Physics of the Earth and Planetary Interiors. -118. 2000. - P. 77 - 88.

67. Vidale, J.E. Slow differential rotation of the Earth's inner core indicated by temporal changes in scattering Текст] / J.E. Vidale, D.A. Dodge, P.S. Earle // Nature. vol. 405. - 2000. - P. 445 - 447.

68. Решетняк, М.Ю. Вращение внутреннего ядра Земли в модели геодинамо Текст] / М.Ю. Решетняк // Доклады академии наук. 2001. - том 380. - №5. - С. 685-690.

69. Tromp J. Inner core anisotropy and rotation Текст] / J. Tromp // Annual Review of Earth and Planetary Science. 29. - 2001. - P. 47 - 69.

70. Collier, J.D. Estimate of inner core rotation from United Kingdom regional seismic network data and consequences for inner core dynamical behaviour Текст] / J.D. Collier, G. Helffrich // Earth and Planetary Science Letters. 193. - 2000. - P. 523 - 537.

71. Isse, T. Inner-core anisotropy beneath Australia and differential rotation Текст] / Isse Т., Nakanishi I. // Geophys. J. Int. 151. - 2002. - P. 255 -263.

72. Cao A., Masson Y., Romanowicz B. Short wavelength topography on the inner-core boundary Текст] / A. Cao, Y. Masson, B. Romanowicz // Proceedings of the National Academy of Science of the United States of America. 104 (1). - 2007. - P. 31 - 35.

73. Ревуженко, А.Ф. О локализованном пластическом течении геосреды вокруг жесткого включения Текст] / А.Ф. Ревуженко, В.П. Косых, А.П. Бобряков // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. №6. - 1998. - С. 27 - 34.

74. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя Текст] / Герман Шлихтинг. -М.: Наука. 1974. - 390 с.

75. Биркгоф, Г. Гидродинамика Текст] / Гаррэт Биркгоф; пер. с англ И.Б. Погребысского, под ред. М.И. Гуревича, В.А. Смирнова. М.: Изд-во иностран. литературы. - 1960. - 238 с.

76. Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса Текст] / Джон Хаппель, Говард Бреннер; пер с англ. B.C. Бермана, В.Г. Маркова. М.: Мир. - 1976. - 623 с.

77. Солонников, В.А. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений Навье-Стокса Текст] / В.А. Солонников, В.Е. Щадилов // Труды МИАН СССР. том CXXV. - 1973. - С. 196 - 210.

78. Ступялис, J1. Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса Текст] / Людвикас Игнапович Ступялис. Вильнюс: Мокслас. - 1992. - 403 с.

79. Бицадзе, А.В. Об одной системе линейных уравнений в частных производных Текст] / Андрей Васильевич Бицадзе // Докл. АН СССР. -1972. т. 204. - № 5. - С. 1031 - 1033.

80. Виноградов, B.C. Об одном новом методе решения краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Навье Стокса в случае плоскости Текст] / B.C. Виноградов // Доклады АН СССР. - 1962. - т. 145. - № 6. - С. 1202 - 1204.

81. Антоновский Л. К. Комплексное представление решений Навье Стокса Текст] / Л.К. Антановский // Докл. АН СССР. - 1981. - т.261. - №4. -С. 829 - 832.

82. Fujita, Н. On the Navier-Stokes initial value problem Текст] / H. Fujita, T. Kato // Arch. Rational Mech. Anal. № 16. - 1964. - P. 264 - 315.

83. Литвинов, В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости Текст] / Вильям Литвинов. М.: Наука, 1982. - 376 с.

84. Beirao da Veiga, Н. Fluid flows in elastic vessels Текст] / H. Beirao da Veiga // Topics of regularity in Partial Differential Equations workshop. -2001. P. 9 - 13.

85. Malek, J. Mathematical issues concerning the Navier-Stokes equations and some of its generalizations Текст] / J. Malek, K. R. Rajagopal // Handbook of differential equations evolutionary equations. V. 2. - 2005. - P. 371-459.

86. Kravtsov S. A highly nonlinear coupled mode of decadal variability in a mid-latitude ocean-atmosphere model Текст] / S. Kravtsov, W.K. Dewar, P. Berloff, J.C. McWilliams, M. Ghil // Dynamics of atmospheres and oceans. № 43. - 2007. - P. 123 - 150.

87. Hayat, T. Stokes' first problem for Sisko fluid over a porous wall Текст] / Т. Hayat, R.J. Moitsheki, S. Abelman // Applied Mathematics and Computation. 217(2). - 2010. - P. 622-628.

88. Вяткин, A.B. Численное сферически-симметричное модилрование глубинной динамики Текст] / Александр В. Вяткин, Владимир В. Шайдуров, Галина И. Щепановская // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - том XII. - № 1(37). - С. 40 - 48.

89. Исаева, С.И. Математическая модель движения твердого ядра Земли Текст] / Исаева С.И. Шайдуров В.В. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2011.- № 1. С. 40-46.

90. Жаров, В.Е. Вращение Земли Текст] / В.Е. Жаров, C.JI. Пасынок // Земля и Вселенная. № 4. - 2004. - С. 28 - 38.

91. Молоденский, С.М. О вынужденной нутации Земли Текст] / С.М. Мо-лоденский // Физика Земли. № 9. - 2000. - С. 65 - 79.

92. Решетняк, М.Ю. Вращение твердого ядра с учетом экмановского слоя Текст] / М.Ю. Решетняк // Даклады академии наук. 2002. - т. 384.- № 1. С. 103 - 107.

93. Чуйкова, H.A. Учет внутренних гравитационного и магнитного полей в анализе полярных колебаний внутреннего ядра Земли Текст] /H.A.

94. Чуйкова, С.А. Казарян, С.Л. Пасынок // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. № 2. - 1997. - С. 40 - 43.

95. Спиридонов, Е. А. Чандлеровское качание полюса, инициированное движением внутреннего ядра Земли Текст] / Е.А. Спиридонов, Я.В. Аки-менко // Физика Земли. № 11. - 2003. - С. 74 - 78.

96. Баркин, Ю.В. К динамике твердого ядра Земли Текст] / Ю.В. Бар-кин // Труды государственного астрономического института им. П.К. Штернберга. Москва, 1996 г. том ЬХУ, Москва, 1996.

97. Баркин, Ю.В. Относительная динамика ядра и мантии Земли и фундаментальные проблемы тектоники, геодезии и геофизики / Сборник тезисов IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г. С.

98. Григорьев, Ю.М. Плоская задача о переносе масс приливными волнами Текст] / Ю.М. Григорьев // Математические заметки ЯГУ. 1999. -т. 6. - Вып.2. - С. 9 - 20.

99. Григорьев, Ю.М. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами Текст] /Ю.М. Григорьев, А.Ф. Ревуженко. препринт № 8. - Новосибирск, 1999 г.

100. Григорьев, Ю.М. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами Текст] / Ю.М. Григорьев, А.Ф. Ревуженко // Вычислительные технологии. 2000. - т. 5. - № 4. - С. 40- 54.

101. Вильке, В.Г. Об относительном движении ядра и оболочки планеты в гравитационном поле точечной массы Текст] / В.Г. Вильке // Прикладная математика и механика. 2006. - том 70. - вып. 4. - С. 617 -630.

102. Мусхелишвилли, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости Текст] / Николай Львович Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 708 с.

103. Ивлев, Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела Текст] / Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов. М.: Наука. - 1978. - 208 с.

104. Валландер C.B. Лекции по гидроаэромеханики Текст] / Сергей Васильевич Валландер. Ленинград: издательство ЛГУ, 1978 г. 296 с.

105. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: учеб. для вузов Текст] / Лев Герасимович Лойцянский. изд. 6-е, перераб. и доп. - М.: Наука, 1987. - 840 с.

106. Скрябина, O.E. Математические проблемы моделирования направленного переноса внутренних масс Земли приливными деформациями Текст] /O.E. Скрябина , Ю.М. Григорьев // Динамика сплошной среды. Вып. 122. - Новосибирск, 2004. - С. 57 - 62.

107. Скрябина, O.E. Математическое моделирование относительной динамики твердого и жидкого ядер Земли Текст] / O.E. Скрябина , Ю.М. Григорьев // Вестник СибГАУ. 2008. - №4(21). - С. 68-72.