автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы решения задач моделирования деформаций тел и электромагнитной совместимости

Па правах рукописи

ГРИГОРЬЕВ Юрий Михайлович

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ТЕЛ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2000 г.

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Аннин Б. Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, академик РАН Крымский Г. Ф.,

доктор физико-математических наук, профессор Бондарь В. Д.,

доктор физико-математических наук, профессор Воеводин А. Ф.

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск Защита диссертации состоится 29 февраля 2000 г. в 15^ часов на заседании диссертационного совета Д 002.10.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск-90, пр. Лк. Лаврентьева, 6, ИВМиМГ).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ. Автореферат разослан 18 января 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.и.

£ 2-Г'Л Юс о 3 В 2$П V -ЗО г ГЗ

¡¡34-0Й.и о

Сорокин с.в.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Методы математического моделирования широко применяются при решении научных и прикладных задач. Триада А.А.Самарского "модель -алгоритм - программа" отражает суть этого метода. На каждом этапе этой триады возникают проблемы разного рода. Переход от модели к алгоритму требует максимального использования возможностей имеющихся точных аналитических методов. На основе такой предварительной аналитической проработки вырабатывается оптимальный алгоритм численной реализации модели.

Классическим примером аналитического аппарата является кюрия аналитических функций комплексной переменной (ТФКП), или комплексный анализ, имеющий многочисленные применения в самых разных областях математической физики. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решепия основных задач плоской теории упругости (Мусхелишвили). В осесимметричиых задачах математической физики нашли применение различпые классы обобщенных аналитических функций комплексного переменного (Векуа, Соловьев, Данилюк), р- и (р^)-аналитические функции (Положий). На основе таких подходов выработаны эффективные методы численного моделирования двумерных процессов.

При моделировании трехмерных процессов возникают особые трудности, отчасти объяснимые отсутствием трехмерного аппарата, эквивалентного ТФКП. Успехи методов комплексных функций в двумерных задачах вызвали попытки использовать комплексные функции и их обобщения при решении задач моделирования пространственных стационарных процессов. В частности, может оказаться полезной пока еще не исследованная возможность применения б пространственных задачах аппарата фупкций кватерниоаной переменпой. Это связано с тем, что, папример, регулярные кватерни-онные фупкции неполной кватернионной переменной связаны с решениями уравнений, используемых в моделях упругой среды и вязкой несжимаемой жидкости.

Модели, как правило, основаны на дифференциальных уравнениях. Качественные свойства решений этих уравнений, полученные аналитическими средствами, могут определить алгоритм из указанной выше триады. Примеры таких результатов дают различные теоремы о среднем для решений дифференциальных уравнений. На таких

теоремах основываются численные методы Монте-Карло для решения краевых задач (Елепов, Кронберг, Михайлов, Сабельфельд), сумматорные схемы и др.

Математическое моделирование позволяет изучать физический процесс, когда невозможно проводить непосредственные измерения величин, характеризирующих данный процесс. Это отпосится, в частности, изучению деформаций небесных тел под действием приливных волн. В ряде работ (Шемякин, Ревуженко) была выдвинута гипотеза о внутреннем переносе масс под воздействием приливных волп. Для оценки величины такого переноса масс необходима пространственная математическая модель, проведенные лабораторные эксперименты и построенные плоские математические модели дают только качественные результаты, а натурные измерения невозможны.

Результаты математического моделирования могут быть применены и для решения различных технических проблем. Примеры можно найти в проблемах электромагнитной совместимости различных электрических, электронных и др. устройств, размещенных и действующих в ограниченном пространстве, т.е. функционирующих под действием излучаемых ими переменных электромагнитных полей. Конкретным примером такого рода является проблема защиты проводных линий передач от электрических перенапряжений, возникающих при близком разряде молнии. На момент начала наших исследований разработанные математические модели грозовых электрических перенапряжений в проводных линиях передач не учитывали некоторые существенные физические обстоятельства, например, наличие слоя многолетней мерзлоты. Без учета таких обстоятельств разработка методов эффективной защиты кабелей связи от ударов молнии в зоне многолетней мерзлоты затруднительна, а такая проблема в настоящий момент чрезвычайно актуальна. Наличие адекватной математической модели грозовых перенапряжений, се аналитический анализ и исследование разных вариантов задачи позволят выработать методы защиты линий передач от грозовых воздействий.

Отмеченное выше широкое применение математического моделирования для решения задач науки и техники вызывает необходимость разработки новых методов исследования возникающих при этом задач и построения математических моделей конкретных физических процессов для детального анализа ситуации и численных оценок физических величин, характеризирующих данные процессы. Этим объясняется актуальность темы диссертации.

Цель работы. Диссертационная работа посвящается развитию новых аналитических методов моделирования упругих и вязких деформаций трехмерных тел, построению новых математических моделей некоторых физических процессов и их численной реализации. В соответствии с этим п работе были поставлены следующие основные задачи:

- разработка математического аппарата регулярных кватернионных функций;

- исследование аналитических свойств уравнений, моделирующих упругую среду;

- исследование возможностей использования кватернионного аппарата для решения задач моделирования упругой среды и вязкой несжимаемой жидкости;

- построение пространственной модели приливных деформаций;

- построение математических моделей для описания грозовых электрических перепа-пряжений в линиях передач в условиях многолетней мерзлоты;

- численная реализация построенных моделей;

- решение некоторых конкретных задач моделирования упругих и вязких деформаций трехмерных тел.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются:

1. Результаты по теории регулярных кватернионных функций неполной кватернионной переменной (решений системы Моисила- Теодореску) - аналоги теорем Коши о гомото-пии, Коши-Гаусса, интегральной формулы для производных, теорем Абеля и Лорана, аппроксимационной теоремы Рунге, свойства регулярных кватернионных полиномов, теорема о представлении первообразной, метод граничных элемспгов для моделирования регулярных функций с примером численной реализации.

2. Кватернионное представление общего решепия уравнения Ламе в виде пространственного аналога формул Колосова-Мусхелишвили в звездной области, анализ кватернионных представлений в двумерных случаях, представление общего решения уравнения Ламе через три гармонические функции, представления типа Уиттекера-Бергмана для решений политармонического уравнения и уравнения Ламе.

3. Метод решения основных задач о равповесии упругого шара, состоящий в их сведении к гармоническим задачам, и решение этих задач в квадратурах. Полиномиальные решения уравнения Ламе, базиспая система гармонических полиномов.

4. Корректно разрешимое кватернионное интегральное уравнение 1-го рода относи-

телыю граничного значения кватернионного потенциала, через которое выражается решение первой основной задачи теории упругости в произвольной области.

5. Кватернионные представления общего решения системы Стокса, анализ этих представлений в двумерных случаях, представление общего решения системы Стокса через три гармонические функции, метод решения основных задач о течениях Стокса внутри сферы, состоящий в их сведении к гармоническим задачам.

6. Прямые и обратные теоремы о среднем для неоднородных уравнений Гельмгольца и Ламе, обратная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца.

7. Пространственная кинематическая модель приливных деформаций небесных тел, чи-слепные реализации модели, позволившие оценить эффект внутреннего переноса масс для приливных волн реальных размеров.

8. Математические модели грозовых электрических перенапряжений в многопроводных линиях передач в условиях многолетней мерзлоты, учитывающие зависимость тока молнии от времени, численные реализации этих моделей. Понятие о многопроводных неискажающих линиях передач.

Достоверность полученных в работе результатов. Выводы и положения, сфор-мулированпые в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах и в частных случаях из них следуют известпые результаты. Математические модели, предложенные в работе, основаны на разумных физических гипотезах и являются дальнейшими раэвитиями апробированных известных моделей. Результаты численных расчетов достаточно хорошо описывают экспериментальные результаты и в частных случаях совпадают с известными.

Практическая ценность. Изученная базисная система трехмерных гармонических полиномов, являющихся компонентами регулярных кватернионных полиномов, обладают простыми и полезными для численных расчетов свойствами. Предложенный метод решепия краевых задач для шара обладает определенными преимуществами по сравнению с известными и позволяет сравнительно просто получать решения в квадратурах. Предложенная кинематическая модель приливных деформаций может оказаться полезной в теории приливов Земли и других планет. На основе математических моделей грозовых перенапряжений можно разработать защитные мероприятия для кабелей связи в условиях многолетней мерзлоты.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на V Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применения ЭВМ в механике горных пород" (Новосибирск, 1985), IX Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Саратов, 1985), семинаре по механике твердого тела (рук. член.-корр. АН Каз.ССР Ш.М.Айталиев) Института сейсмологии АН КазССР (Алма-Ата, 1985), На VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкепт, 1986), научно-практической конференции молодых ученых (Якутск, 1992, 1993), научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1993), международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 1994, 1997), международных конференциях ИНПРИМ-96, 98 (Новосибирск, 1996, 1998), международной конференции " Всесибирские чтепия по математике и механике (Томск, 1997), МП Сибирских школах-семинарах по математическим проблемам механики сплошных сред (Новосибирск, 1997, 1998, 1999), международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999), международных симпозиумах по ЭМС (Вроцлав, 1990, 1992, 1994; Сендай, 1994), а также на семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела НГУ (рук. академик РАН Е.И .Шемякин, проф. В.Д.Аннин), семинарах лаборатории динамической прочности ИГиЛ СО РАН (рук. проф. В.Д.Аннин), семинаре отдела механики деформируемого твердого тела (рук. проф. О.В.Соснин) ИГиЛ СО РАН, ца объединенном семинаре кафедр теоретической механики (зав. член корр. РАН В.Н.Монахов) и механики твердого тела (зав. проф. В.Д.Аннин) НГУ, па объединенном семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН и кафедры вычислительной математики НГУ (рук. члеп-корр. РАН А.Н.Коновалов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-37].

Работа частично поддержана: Программой "Университеты России" (проект УР-25 ЦПИ при ММФ МГУ, 1992-93 гг.); Госкомитетом по науке, высшей школе и технической политике при Правительстве РС(Я) (1992-95 гг.); госбюджетной темой по ЕЗН (ЯГУ, 1993-98 гг.); Федеральной целевой программой "Интеграция" (грант №17.7, 1997 г.); грантом РФФИ 98-01-03699; конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ (1рацт Л'» 28 Грантового центра

НГУ, 1998-99 гг.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, б глав, заключения, списка литературы, списка обозначений и сокращений, изложенных на 284 страницах, включает 32 рисунка. Список цитируемой литературы на 24 страницах содержит 271 наименований.

Краткое изложение содержания диссертации.

Во введении обоснована актуальность выбрацной темы, сформулированы цели исследования, приведено краткое содержание работы, приведены необходимые предварительные сведения и освещено современное состояние рассматриваемой проблематики.

Первое обобщение комплексного анализа на четырехмерное пространство было предпринято Р.Фуэтером (1932-36). Для этого он развил теорию регулярных кватернион-ных функций. Ои показал такие кватернионные функции сохраняют многие свойства аналитических функций комплексного переменного: для них выполняются аналоги теоремы Коши, интегральной формулы Коши, теоремы Лорана и др. В дальнейшем теорию Р.Фуэтера развивали и обобщали многие авторы (Байков, Виноградов, Гуссв, Кристалинский, Кудяшев, Рубцов, Вгаскх, Всауоигз, Магк1, Меэка, 8и<1Ьегу, Сиг1еЬек).

Напомним понятие о кватернионах. Алгебра кватернионов <(]) - алгебра четвертого ранга с делением над цолем действительных чисел К. Каждый кватернион (т.е. элемент алгебры О) обладает однозначной записью д = до + ¿<?х + ЗЯу + кдг, где <?у, <уг -

действительные числа, а 1, к - специальные кватернионы (вместе с 1 они являются элементами базиса <(5), подчиняющиеся следующим правилам умножения:

¿2 = з2 = к2 = -1, ч - -ji = к, ]к = -к] = г, Ы = -гк - (1)

Элемент 1 является единицей алгебры <0>. Из (1) следует, что алгебра (Ц? некоммутативна, однако алгебра (¡2 ассоциативна, т.е. для любых р, д, г £ <0> справедливо р((/г) = (рд)г, но рд ф др. Яса1ц = до называется скалярной частью кватерниона, \'е<Лд = \дх + ¡¡(¡^ 4- = ч - векторной частью кватерниопа <7. Кватернион д — до — Ч называется сопряжеппым кватерниону д. С помощью (1) можно вывести следующее правило умножения кватернионов:

РЯ = (Ро + Р)(ф> + ч) = Ро?о - Р • д + РоЯ + Р?о + Р х ч, где "х" означают соответственно обычные скалярное и векторное умножения век-

торов.

По обобщению комплексного анализа на трехмерный случай первые результаты получены Г.Моисилом и Н.Теодореску. Пусть х, у, z - декартовы координаты в евклидовом пространстве R?; оператор гамильтова V = idx -f jdy + кдг рассматриваем как кватерниояпый. Кватернионная функция

/(г) = /о(г) + f(r) = f0(x, у, z) + ifx(x, у, z) + jfy(x, y, z) + kfz(x, y, z) e C1

неполной кватернионной переменной г = ix + jy + ЬбК3 называется леворегулярной в точке г0 6 К3, если она удовлетворяет в некоторой окрестности По С И? точки г уравнению

V/(r) = -V-f(r) + V/0(r) + Vxf(r) = 0, г € fio, Vr0 6 П0, (2)

где

V/o = ifo.x + jlо,у + z/0,t, V • f = fx,x + fy.y + fz¿, V x f = ¿(a, - /„.,) + j(/*,2 - /г,х) + fc(/y,x - /,.,)

- соответственно обычные градиент, дивергенция и ротор. Функция f называется лево-регулярной в области Í1 С К3, если она леворегулярна в каждой точке г 6 П. Уравнение (2) эквивалентно системе уравнений в частных производных первого порядка эллиптического типа, являющейся пространственным обобщением системы Коши-Римана (СКР) и называющейся системой Моисила-Теодореску (СМТ):

V • f(r) = 0, V/„(r) + V х f(r) = 0 (3)

или

fx,x "i" Iy,y "Ь fz,z — О, /о,х + fz,y - fy,z = О,

(3')

fa,у + fx,Z ~~ fz,X = О, /о,г + fy,x - fx,у = 0.

Моисил и Теодореску ввели систему (3) и показали, что для ее решений справедливы аналоги многих теорем комплексного анализа: Коши, интегральной формулы Коши и др. Из условия регулярности (3) сразу следует, что компоненты /0, f регулярных

функций являются гармоническими. Поэтому для регулярных функций справедливы 'теоремы о гармонических функциях: теорема о среднем, теорема Гарцака, принадлежность классу C°°(fI) и т.д.

В дальнейшем леворегулярные кватернионные функции неполной кватернионной перемснпой г или, что то же самое, решения СМТ часто будем называть просто регулярными функциями.

А.В.Бицадзе, называя решения СМТ пространственным голоморфным вектором, изучал свойства аналога, интеграла типа Коши для СМТ, в частности, ввел формулы типа Сохоцкого-Племсля, рассмотрел аналог задачи сопряжения для СМТ.

Теорию краевых задач для СМТ разрабатывал В.И.Шевченко. Краевые задачи для СМТ и ее обобщений, различные вопросы теории СМТ рассмотрены рядом авторов (Абдушукуров, Валабаев, Джураев, Курбанов, Муртазаев, Оболашвили, Саидов, Самойленко, Тарханов, Токибетов, Хуан Ле-до, Янушаускас). И.С.Аржаных называл решения СМТ сопряженными функциями в и изучал такие функции. Особый интерес в связи с приложениями вызывает задача аналитического продолжения решения СМТ с куска границы (Ярмухамедов, Тарханов).

Отмстим, что во всех этих работах но теории СМТ кватернионный аппарат не применялся, а использовалась матричная алгебра.

Помимо вышеуказанного развивается различные варианты теорий гиперкомплексных функций: - клиффордов анализ (Brackx и др., Бурлаков, Lounesto, Pezzaglia, Ryan, Sano,Straubel), теория кватернионных функций многих комплексных переменных (Bharathi), теория функций со значениями в некоммутативной алгебре (Rosculet), теории функций со значениями в алгебре октонионов (Datta, Imaeda, Nono) и др. (Cagliyan, Kwasniewski, Marinov, Pertici, Sasayama, Vasilcvsky).

Самые различные гиперкомплексные алгебры (кватернионы, бикватернионы, спиноры, алгебры Клиффорда) и функции на пих находят приложения в физических задачах. Например, решения уравнений Максвелла классической электродинамики связываются с бикватернионными (комплексными кватернионными) функциями (Imaeda), с некоторой коммутативной гиперкомплексной системой (Шпилькер). Гиперкомплексные и кватернионные функции применяются при решении задач о течении жидкости (Мельниченко, Krzywoblocki, Misicu, Sasic, Voronjec). В пространственных задачах те-'

ории упругости применены гиперкомплексные функции специального вида (Penrod). Для известных решений задач теории упругости получены их представления в гиперкомплексных функциях, однако примеров решения новых задач пе приводится. Ма-зья и Сапожникова (1964), существенно используя результаты А.В.Бицадзе по теории интеграла типа Копти для СМТ, построили явное представление регуляризирующего оператора для системы сингулярпых интегральных уравнений теории упругости. В работе М.Мишику (1957) получено представление решения уравнения Ламе через две регулярные функции. Отметим цикл работ Богашова (1993-1998), где развивается теория пространственной комплексной переменной для решения задач теории упругости и гидродинамики. Существенные результаты получены в работе Наумова (1993), где развиты некоторые вопросы теории регулярных функций и с их помощью решен ряд задач теории упругости, в частности, для решения первой краевой задачи в произвольной ограниченной области получено новое интегральное уравнение в предположении, что известна функция Грина гармонической задачи. В работах Шваба (1989-1996) результаты теории СМТ использованы для решения неклассической задачи теории упругости.

Традиционные аналитические методы могут вырабатывать алгоритмы реализации моделей. Это касается прямых и обратных теорем о среднем для уравнений математической физики. На таких, чисто аналитических, результатах могут быть развиты методы приближенного решения краевых задач, например, методы Монте-Карло (Елецов, 1980; Сабельфельд, 1989, 1997). Для миогих основных уравнений и систем уравнений такие теоремы установлены (Бицадзе, 1981; Купцов, 1978; Половинкин, 1993; Fulks, 1964; Sabelfeld, Shalimova, 1997). Теорема о среднем для однородного уравнения Ламе доказана разными способами (Купрадзе, 1976; Михлип, 1952; Diaz, 1958), известны различные варианты прямых и обратных теорем (Bramble, 1965; Sabelfeld, Shalimova, 1997), доказана теорема о среднем для уравнения гармонических упругих колебаний (Наумов, 1987). Отметим, что обратная теорема о среднем для однородного уравнения Гельмгольца доказана недавно (Sabelfeld, Shalimova, 1997). В монографии Sabelfeld, Shalimova (1997) систематически изложены практически все известные результаты по теоремам о среднем.

Обратимся к вопросу о моделировании приливных деформаций небесных тел. В ряде работ (см. Ревуженко, 1991 и ссылки в ней) выдвинута гипотеза о том, что движение

приливной волны может приводить к направленному переносу внутренних масс тела. В работе Бобрякова и др. (1991) описан эффект направленного переноса масс, полученный на трехмерной экспериментальной модели в лабораторных условиях. Такой подход дал качественный результат, подтверждающий эту гипотезу. Ревуженко (1991) рассма-трел количественное описание эффекта в рамках плоской постановки. При достаточно малых высотах приливной волны и малой скорости ее движения можпо ограничиться ползущим приближением. Тогда задача сводится к решению системы уравнений Стокса, описывающей медленные течения вязкой несжимаемой жидкости, с кинематическим условием на границе - вектор скорости V направлен по касательной к границе и его величина постоянна.

Второй конкретный пример математической модели, рассматриваемый в диссертации, касается защиты проводных линий передач от ударов молний, которая отпосится к проблематике электромагнитной совместимости. Задача математического моделирования возникающих при этом перенапряжений в проводниках линий передач является начальным этапом решения этой проблемы.

При разряде молнии вблизи линии передач возникают кратковременные перенапряжения или индуцированные или вызванные прямым попаданием тока молпии в линиии. Способы защиты от прямого попадания молнии, особенно в регионах с хорошо проводящими грунтами, разработаны достаточно хорошо. Известная методика приближенного расчета индуцированных перенапряжений па воздушных линиях учитывает лишь электромагнитную волну, испущенную каналом молпии, при этом граничные условия на поверхностях проводов воздушной линии пе накладываются (Базелян и др., 1978). Также не учитывается наличие на проводах зарядов, индуцированным электростатическим полем грозового облака. Для подземных кабелей расчет по такой методике представляется затруднительным, особенно в зоне с многолетней мерзлотой. Однако известно, что подземные кабеля подвергаются действиям сильных индуцированных перенапряжепий (Базеляы и др, 1978; Михайлов и др., 1979). При быстром разряде грозового облака заряды на линии передач, "подтянутые" электростатическим полем грозового облака, растекаются по проводникам линии, образуя волну тока и напряжения (ВТН). Разработанные математические модели грозовых перенапряжений не учитывают явление ВТН, хотя ее существование бесспорно (Михайлов и др., 1979; Костенко и др. 1988).

Все известные математические модели перенапряжений в многопроводных линиях передач, в том числе и наши, базируются па системе телеграфных уравнений. Это система уравнений с частными производными первого порядка, гиперболического типа. Задачи моделирования приводят к различным начально-краевым задачам для этой системы. Математическая корректность таких задач исследована (Мизохата, 1977; Смирнов, 1981). Но их исследование с целью выявления классов систем с наиболее простыми решениями, выражаемыми в квадратурах, в литературе отсутствует. Такие решение были бы тестовыми для апробирования численных методов.

Основное содержание диссертации можно разбить на три части. Первая часть посвящена задачам моделирования упругих деформаций, к этой части относятся первые три главы. Во второй части, состоящей из 4-й и 5-й глав, разрабатывается пространственная кинематическая модель приливных деформаций небесных тел. Третья часть, включающая 6-ю главу, посвящена разработке математических моделей электрических перенапряжений в проводниках линий передач, возникающих при близком разряде молнии. В каждой части имеются решения конкретных задач моделирования.

В первой главе развивается аналитический аппарат, который может быть применен при моделировании трехмерных стационарных процессов. Для этого разработаны некоторые вопросы теории регулярных кватернионных функций, обобщающей комплексный анализ иа трехмерное пространство. Разработанный аппарат в последующих главах применен при моделировании упругих и вязких деформаций трехмерных тел.

Пусть и - вектор упругого перемещения, т.е. решение уравнения Ламе

(А 4 2р)У(У • и) - /IV х (V х и) = 0. (4)

Если ввести кватернионную функцию / = /о + Г такую, что

/о = (А + 2/,)(У-и), { = (5)

то из (4) и (5) следует, что / будет регулярной функцией. Наоборот, если / - произвольная регулярная функция, то решая систему (5) по / находим и - решение уравнения Ламе (4). Аналогичная связь имеется между регулярными функциями и решениями системы Стокса, описывающей медленные течения вязкой несжимаемой жидкости.

Первый и второй параграфы первой главы носят методический характер. В них приводятся необходимые сведения об операторе радиальпого интегрирования I", который

систематически применятся в работе. Оператор I" действует по правилу:

) 1 /•/=/" Дг) = =

о о

здесь г,0,ц>- сферические координаты. С помощью оператора I" удобно решать задачи в звездных областях, которые будем обозначать П". Приведены явные формулы решения уравнений Вольтерра 1-го и 2-го рода, общее решение бигармонического уравнепия в К3 и К? и некоторые другие полезные результаты.

В третьем параграфе рассматриваются некоторые вопросы теории регулярных ква-терниоппых функций. Приведены интегральная формула Коши, теорема Коши, доказаны аналоги теорем Коши о гомотопии, Коши-Гаусса, теоремы об общем представлении представлении первообразной регулярной функции.

В четвертом параграфе введены и изучены аналоги степеней комплексной переменной. Аналогами положительных степеней являются однородные полиномы Р',т(г) порядка I + т = п (1,т — 0,1,... ,п;п = 0,1,...), которые определяются но рекуррентной формуле, изучены их свойства. Показано, что компоненты регулярных полиномов, названные Т- и А' - полиномами, образуют базис пространства однородных скалярных гармонических полиномов от трех переменных. По аналогии с формулой комплексного анализа введены регулярные везде, за исключением начала координат, аналоги Я_'_1,-т_1(г) отрицательных степеней комплексного переменного доказан аналог интегральной формулы для производных. Приведены примеры построения некоторых регулярных функций с помощью аналитических функций комплексной переменной.

В пятом параграфе доказаны слабый аналог теоремы Абеля, аналоги теорем Тейлора и Лорана о разложениях регулярных функций в ряды по введенным в предыдущем параграфе аналогам степеней комплексной переменной.

В шестом параграфе доказан аналог аппроксимационной теоремы Рунге.

В седьмом параграфе подробно изучены свойства Г- и Х- полиномов, для доказаны теоремы сложения, получены явные формулы и установлена их связь с известной системой гармонических полипомов.

В восьмом параграфе приведены основы кватерпионного метода граничных элементов для моделирования регулярных функций. Метод основан па аналоге интегральной формулы Коши. Для треугольных граничных элементов нулевого порядка все

возникающие интегралы вычислены аналитически. Пример численного расчета в пространственной области показывает хорошую обусловленность разрешающей системы линейных алгебраических уравнений.

Вторая глава посвящена применению регулярных кватернионных функций при решении уравнения Ламе теории упругости.

В первом параграфе приведено кватернионное представление общего решения уравнения Ламе в ГГ, выраженное через две регулярные функции с использованием оператора 1а в виде

причем / = (А + 2/х)У • и — /¿V х и.

Во втором параграфе показано, что в случае плоской деформации кватернионное представление (6) переходит в формулы Колосова-Мусхелишвили, а в осесимметрич-ном случае - в общее решение Соловьева Ю.И., выраженное через две обобщенные аналитические функции.

Во третьем параграфе в П* получено кватернионное представление общего решения уравнения Ламе в виде прямого пространственного аналога формул Колосова-Мусхелишвили

где в качестве Ф - можно взять любую первообразную функции подчинив ф условию хФо = г ■ <р + ф0. Функция Ф называется первообразной регулярной функции <р, если УФ = <р.

В четвертом параграфе из кватернионного представления (6) получено представление общего решения уравнения Ламе, выраженное через три гармонические функции. Установлена его связь с представлением Папковича-Нейбера.

В пятом параграфе приведено кватернионное представление общего решения уран-нения Ламе в произвольной ограниченной области. Показано, что в случае плоской деформации оно переходит в формулы Колосова-Мусхелишвили, а в осесимметричпом случае - в общее решение Соловьева Ю.И., выраженное через две обобщенные аналитические функции.

(6)

2/ш(г) = *Ф(г) - гу»(г) - ф(г), Х=

Л "Г и

(7)

В шестом параграфе установлено, что на каждой плоскости в К1 система Моисила-Теодореску на функциях специального вида переходит в систему Коши-Римана. Используя эту связь регулярных кватернионных функций и аналитических функций комплексного переменного, получено представление типа Уиттекера-Бергмана дря решений полигармонического ураыения в К3. Затем, при помощи полученного представления и известного представления общего решения уравнения Ламе Буссинеска-Гклеркина, получено представление типа Уиттекера-Бергмана и для решений уравнения Ламе.

Третья глава посвящена решению некоторых пространственных задач теории упругости.

В первом параграфе рассмотрена задача о равновесии упругого шара при заданных на границе нормальных перемещениях. Используя представление решения уравнения Ламе из второй главы решение задачи выражено через одну гармоническую функцию, которая является решением задачи Дирихле с граничным условием исходной задачи. Решение задачи также выражено в квадратурах через элементарные функции и гипергеометрическую функцию Аппеля.

В втором параграфе рассмотрена задача о равновесии упругого шара при заданных на границе нормальных усилиях. Используя представление решения уравнения Ламе из второй главы решение задачи выражено через одну гармоническую функцию, которая является решением задачи Дирихле с граничным условием исходной задачи. Решение задачи также выражено в квадратурах через элементарные функции и пшергеометри-ческую функцию Аппеля. В частном случае осевой симметрии получено совпадение с известным результатом.

В третьем параграфе рассмотрены 3-я и 4-я основные задачи о равновесии упругого шара. В 3-й задаче па границе задаются нормальная компонента перемещения и касательные компоненты усилий, в 4-й задаются нормальная компонента усилия и касательные компоненты перемещения. Используя представление решения уравнения Ламе из второй главы решения задач выражены через три гармонические функции, которые является решением независимых задач Неймана и Дирихле. Решения задач также выражены в квадратурах через элементарные функции и гипергеометрическую функцию Аппеля.

В четвертом параграфе с помощью результатов предыдущей главы построена новая

система полиномиальных решений уравнения Ламе. Как приложение аналога теоремы Рунге получена теорема об аппроксимации решений уравнения Ламе полиномиальными решениями.

В пятом параграфе рассмотрена первая основная задача теории упругости для произвольной ограниченной области. Решение задачи ищется в виде прямого пространственного аналога формул Колосова-Мусхелишвили (7). Для граничных значений ква-тернионных потенциалов получены кватериионное интегро-дифференциальное уравнение и кватериионное интегральное уравнение 1-го рода с ядром, имеющим слабую особенность. Показало, что последнее уравнение эквивалентно уравнению 2-го рода с вполне непрерывным оператором и корректно разрешимо.

В шестом и седьмом параграфах для неоднородных уравнений Гельмгольца и Ламе доказаны прямые и слабые обратные теоремы о среднем. Приведем к примеру теорему о среднем для неоднородного уравнения Ламе. Пусть П - произвольная область, и 6 С2(П) - решение неоднородного уравнения (4) с правой частью в виде функции Тогда для любого шара ¿//¡(г0) С П справедливо равенство:

Ю

Вдго) 3-2У

32тг/г3//(1 - г/)(2 - Зу)

+

16я>(1 ■

где г = д — Го. В обратной теореме утверждается, что если функция и € С2(П) в каждом шаре из области П удовлетворяет приведенному выше соотношению среднего, то она является решением неоднородного уравнения Ламе.

В восьмом параграфе доказана обратпая теорема о среднем для уравнения Гельмгольца.

Четвертая глава посвящена методам решения системы Стокса с помощью регулярных функций.

В первом параграфе приведепо кватериионное представление общего решения уравнения системы Стокса в П", выраженное через две регулярные функции с использова-

нием оцератора I", аналогичное (6). С его помощью решение первой краевой задачи внутри шара выражено через решения гармонических задач.

Во втором параграфе показано, что в случае плоской деформации кватернионпое представление переходит в известное решение в комплексной форме, а в осесиммегрич-ном случае получается повое представление общего решения, выраженное через две обобщенные аналитические функции

В третьем параграфе получено кватернионпое представление общего решения системы Стокса в произвольной области, аналогичное (7), и проведен его анализ в двумерных случаях.

В четвертом параграфе рассмотрена неклассическая задача для системы Стокса, когда на части границы области заданы переопределенные граничные условия, а на другой части граничные условия неизвестны. Эта задача относится к классу условно корректных задач. С помощью теории регулярных функций задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений.

В пятом параграфе приведено кватернионпое представление общего решения системы Стокса в случае плоских течений. Показано, что решения основных задач внутри круга выражаются через решения гармонических задач.

В пятой главе строится пространственная математическая модель для расчета внутреннего переноса масс в небесных телах приливными волнами.

В первом параграфе приводится кинематическая постановка задачи моделирования приливных деформаций. Модель основала на трехмерной системе Стокса, форма при-ливпой волны задается в виде вытянутого эллипсоида вращения.

Любое тело, которое находится в гравитационном поле некоторой массы, испытывает действие приливных сил. Приливные силы приводят к растяжению тела в направлении к возмущающей массе и к сжатию его в ортогональных направлениях. Если тело при этом поворачивается относительно указанных направлений, то по нему бежит приливная волна.

Движение приливной волны может приводить к направленному переносу внутренних масс тела. В работе Бобряков и др. (1991) описан эффект направленного переноса масс, полученный на трехмерной экспериментальной модели Б лабораторных условиях. Так как в эксперименте невозможно было выдержать критерии подобия и воспроизве-

сти приливные силы, то был использован кинематический подход. Идея этого подхода состоит в том, что на границе образца, по форме близкого к шару, задавались скорости, имитирующие направленное движение приливной волны. Через определенное число оборотов волны образец вскрывался и исследовалось перемещение его внутренних масс. Ясно, что такой подход мог дать только качественный результат.

Здесь ставится задача оценить только один возможный эффект приливного взаимодействия, а именно, направленный перенос масс приливными волнами. Поэтому все остальные факторы, которые играют существенную роль в процессе деформирования (температуру, неоднородность, слоистое строение тела, фазовые переходы и т.д.), здесь учитываться не будут. Будем предполагать, что тело является однородным и линейно вязким. В кинематической постановке самогравитация и неоднородность температуры не учитываются. Поэтому конвективные течения здесь также исключены. При достаточно малых высотах приливной волны и малой скорости ее движения можно ограничиться ползущим приближением. Тогда задача сводится к решению системы уравнений Стокса внутри вытянутого эллипсоида вращения П (так выбирается форма приливной волны)

V • v = 0, Vp — fiAv = 0, reil, ре С'(П),у е C2(ii). (8)

Здесь р = р(г) = р(х,у, г) - давление, v(r) - вектор скорости, fi - динамический коэффициент вязкости.

Для моделирования приливных деформаций поставим первую краевую задачу для системы Стокса в П. Граничное поле скоростей принимается таким, что каждая точка па границе эллипсоида S двигается горизонтально (ось z направлена вертикально вверх), причем частицы находящиеся на одном меридиане (ip = const) все время остаются на одном меридиане, а частицы экватора (i) = тг/2) имеют' постояппую по величине скорость vo-

Во втором параграфе с целью отработки метода решения пространственной задачи рассмотрена задача о переносе масс в плоской постановке, полученные результаты качественно совпадают с известными.

В третьем параграфе методом малого параметра, развитым в предыдущем параграфе, в первом приближении аналитически найдено поле скоростей для пространственной

задачи о переносе масс, поставленной в нервом параграфе, в виде

V, = -у + А{ - -у + (Зх2у - у3)фг + (1 - г2)[уф2 + (у3 - Зх2у)^з]}, Vy = X + А{ - JX + (3ху2 - x3)V>i + (1 - г2)[хф2 + (х3 - 3xy2)V>3]}, vz = А(1 - г2)хуф4,

где

4fc + 3

4 ^к{к + 1 )(fc + 2)(4fc2 - 1)(2Л + 3) sin3 ú 2k+1

(cosí?),

4/c + 3 r2'"2 , лч

8^A:2(2fc + l)smt?

1 °°

4ib + 3

¿1-4-3

-^^(coetf),

fc2(4fc2-l)s¡n2tf

Л = £2/2 - малый параметр, е- эксцентриситет эллипсоида, Р"(сов 15) присоединенные функции лежапдра 1-го рода.

В четвертом параграфе численно решается задача о восстановлении траекторий по полю скоростей. Для этого решается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

' ¿х(1)

dt dy(t)

dt dz(t)

dt

= vx{x(t),y{t),z(t)), t> 0,

= »»(*('). V(0. *(<))>

= üz(x(t),y(í),2(i)),

(10)

x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = zu.

Результаты численных решений задачи (10) с полями скоростей (9) показывают, чти все частицы двигаются по замкнутым траекториям на плоскостях, параллельных экваториальной плоскости (г) — тг/2). Полученные численные результаты полностью соответствуют эксперименту: траектории частиц являются замкнутыми, обращение происходит вокруг одного центра, но периоды обращения для различных точек различит» (эффект дифференциального вращения). На основании расчетоп проведены оценки эффекта переноса масс для Земли при разных высотах приливной волны.

2«—4

Интересно отметить, что при больших значениях А для поля скоростей (9) частицы описывают замкнутые эллипсоподобные траектории, но вблизи экваториальной плоскости образуются два отдельных симметричных объемных вихря, которые исчезают на некоторой высоте. На приведением здесь рисуцке показаны эти линии тока для А = 0.95 на экваториальной плоскости

В шестой главе строятся математические модели грозовых перенапряжений в линиях передач с учетом наличия мпоголетпей мерзлоты. Такое название имеют электрические перенапряжения, возникающие между проводниками линий передач при близком разряде грозового облака. Защита от них представляет достаточно трудную техническую задачу. Наши модели основаны на физическом явлении, названного волна тока и напряжения (ВТН), возникающего вследствие растекания зарядов, подтянутых электростатическим полем грозового облака. ВТН может дать объяснение физических причин появления экстремально больших перенапряжений между проводниками линий передач при близком грозовом разряде.

В первом параграфе приводится постановка задачи. Описывается физический эффект, названный волной тока и напряжения (ВТН), которую описывают разрабатываемые модели.

Во втором параграфе строится математическая модель ВТН без учета зависимости тока молнии от времени. Модель основана на системе телеграфных уравнений без правой части, эффект ВТН моделируется специальными начальными условиями.

В третьем параграфе предложена математическая модель ВТН в однопроводной

линии с учетом зависимости тока молнии от времени. Для этого показала, что ВТН эквивалентна действию некоторого источника зарядов, распределенного по линии. В этом случае в систему телеграфных уравнений добавляется правая часть специального вида, которая учитывает зависимость тока молнии от времени

их ы, + т = о

ёО (")

1* + а, + Си = сф(х)-~-ч ах

Здесь функция ф выражается через электростатический потенциал грозового облака и

его изображения (они моделируются точечными зарядами), а ¿(¿/(И - это ток молнии

как функция времени. Добавляя к (11) нулевые начальные условия

¿(1,0) = 0, и(х,0) = 0, (12)

для определения силы тока г(х, () и напряжения и(х, £) в кабеле получаем задачу Коши (11)+(12). Здесь Я, С, Ь, О - сопротивлением, емкостью, индуктивностью и коэффициентом утечки, рассчитанные на единицу длины. Приведен пример численного расчета для линии с реальными значениями погонных параметров.

В четвертом параграфе построены математические модели грозовых перенапряжений в многопроводных линиях передач. В этих моделях главными физическими характеристиками этой линии являются погошше параметры - С^, Оц, И., - соответственно емкостные, индуктивные коэффициенты, коэффициенты утечки заряда и погонные сопротивления проводников, = 1,2, ...,п. Можно показать, что эта система телеграфных уравнений имеет вид:

и, = Аих + Ви + Г, (13)

где и = и(и|, и2, ...,ип, 1х, ¿2,..., :„)' - искомый вектор-столбец, состоящий из напряжений и} и токов 1] в проводниках; ()Т означает транспонирование; А а В блочные 2п х 2п матрицы, составленные специальным образом из погонпых параметров; Г - заданный вектор-столбец. Блочные матрицы А, В размера 2п х 2п имеют вид:

А=- , В =-

здесь С, ¿ - симметричные положительно определенные п х п матрицы погонных емкостных и индуктивных коэффициентов Сд и

С =

( С\ 1 С12

Сп 1 с„ 2

г N

bin

/

¿ =

^ ¿11 ¿12 ¿21 ¿22

Ьщ

¿2n

¿„

/

R и. G - матрицы n X n, составленные из погонных параметров Д, и G,^, а именно, Д -диагональная, a. G - симметричная:

/

Д =

Ri О О Я2

О ...

G =

Gifc — G12

t=l

— £»21 X/ *=1

\

-Gn

-Gn2

-с,.

—Gin

t=i /

В системе (13) заданная неоднородность в виде вектор-столбца f(x,t) описывает действие источников зарядов, распределенных вдоль проводников линии передачи или действие внешних полей. Эта функция получается такими же рассуждениями, как и в §3.

Изучены математические свойства обобщенной системы телеграфных уравнений (13). На этой оспове введено понятие многопроводной неискажающей линии передач, погонные параметры которого связаны матричными соотношениями

RC = LG, CR = G¿. (14)

Соотношения (14) представляют собой систему из п2 алгебраических соотношений между погонными параметрами такой линии и обобщают известное скалярное условие Хе-висайда.

В пятом параграфе показано, что для неискажающей многопроводной линии все основные начально-краевые задачи решаются аналитически.

В шестом параграфе приведены результаты численных расчетов величин ВТН в од-нопроводной линии, в пеискажаклцем коаксиальпом кабеле (двухпроводная линия) и неискажающей трехпроводной линии. Расчеты показывают, что характеристики ВТН достигают величин, достаточных для выхода из строя линии передачи. Приведем для

примера расчет для неискажающего коаксиального кабеля. Выбраны следующие значения погонных параметров для пеискажающего кабеля (в системе СИ) реальных размеров:

Сц = Ю"10, С22 = 5 • КГ10, Сп = -2 • Ю-10, Ln = 2.4 • Ю-6, L22 = 0.45 • 10~6, Li2 = Ю-6, Gn = -48.75 • 10"6, G22 = 115 • 10"6, Gn = 85 • 10~6, Й! = 2 • 10~2, Н2 = 10~2. Другие параметры равны (в СИ):

Q = 1, / = 250, h = 1500, 1 = 5 ■ 10~5.

Форма импульса молнии взята прямоугольной формы с амплитудой Qo/to- Параметры / и h входят в функцию в правой части обобщенной системы системы телеграфных уравнений. На приведенном ниже рисунке показано распространение перенапряжепия и = их — и2 вдоль коаксиального кабеля, графики построены для 9 моментов времени h = [ii + (к — 1)А'] • Ю-5, ¿1 = 2, Д t = 3, к = 1,2, ...9. Максимальное значение перенапряжения 1.8 Мв достигнуто в отметке х = 0 во время t — 5 • Ю-5, после этоп> по обе стороны распространяются два локальных убывающих максимума перенапряжения и (прямая и обращая волны). Видно, что достигаются высокие напряжения в

u,MV

оболочке кабеля. Такое напряжение может вызвать пробой изоляции между оболочкой и жилами кабеля, т.к. пробивное напряжение используемых изоляционных материалов имеет порядок 20 -40 кВ/мм. Причем перенапряжения между оболочкой кгибеля и центральным проводником, распространяются вдоль кабелю, что может вызвать многочисленные пробои диэлектрика кабеля вдали от места разряда молнии.

Заключение

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. В качестве аппарата для моделирования трехмерных процессов развивается теория регулярных кватерниоппых функций неполной кватернионной переменной (решений системы Моисила-Теодореску). Доказаны аналоги теорем Коши о гомотопии, Коши-Гаусса, интегральной формулы для производных, теорем Абеля и Лорана, ап-проксимационной теоремы Рунге из теории аналитических функций комплексной переменной. Изучены свойства регулярных кватернионнмх полиномов, являющхся аналогами положительных степеней. Доказана теорема о представлении первообразной регулярной функции. Разработаны основы метода граничных элемептов для моделирования регулярных функций при этом для треугольных граничных элементов нулевого прядка все возникающие интегралы вычислены аналитически, численный пример показывает хорошую сходимость метода.

2. Получено кватернионное представление общего решения уравнения Ламе в виде пространственного аналога формул Колосова- Мусхелпшвили п звездной области, показано, что в частных случаях из него вытекают известные представления. Получено новое представление общего решепия уравнения Ламе, выраженное через три гармонические функции. Показано, что на плоскости в № система Моисила-Теодореску на функциях специального вида переходит в систему Коши-Римана и на этой оспове получены представления тина Уиттекера-Бсргмана для решений пол и гармонического уравнения и уравнения Ламе.

3. С помощью кватернионного представления разработан метод решения основных задач о равновесии упругого шара, состоящий в их сведении к независимым гармоническим задачам. Получены в квадратурах решения задач о равновесии упругого шара с заданными нормальными перемещениями, при нормальном нагружении, также в квадратурах решены 3-я (на границе заданы нормальные компоненты церемещепий и

касатсльпые компоненты напряжений) 4 -я (на границе заданы нормальные компонента напряжений и касательные компоненты перемещений) основные задачи о равновесии упругого шара. Получена новая система полиномиальных решений уравнения Ламе, построена новая базисная система гармонических полиномов с удобными для численных расчетов свойствами.

4. С помощью пространственного аналога формул Колосова-Мусхелишвили для решения первой основной задачи теории упругости в произвольной области получено кватернионное интегральное уравнение 1-го рода для граничного значения кватерни-онного потенциала и показана его корректная разрешимость.

5. Получены кватерниопные представления общего решения системы Стокса и проведен анализ этих представлений в двумерных случаях, получено представление общего решения системы Стокса через три гармонические функции, предложен метод решения основных задач о течениях Стокса внутри сферы, состоящий в их сведении к гармоническим задачам.

6. Доказаны прямые и слабые обратные теоремы о среднем для неоднородных уравнений Гельмгольца и Ламе, обратная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца.

7. Предложена пространственная кинематическая модель приливных деформаций небесных тел на основе системы Стокса. Методом малого параметра в первом приближении аналитически найдено поле скоростей для системы Стокса внутри вытянутого эллипсоида вращения. Численные реализации модели показали хорошее качественное совпадение с результатами лабораторных экспериментов. Проведены числепные оценки эффекта внутреннего переноса масс внутри Земли для приливных волн разной высоты.

8. Построены математические модели грозовых перенапряжений в многопроводных липиях передач в условиях многолетней мерзлоты, учитывающие зависимость тока молнии от времени. При этом принят во впимание эффект разбегания индуцированных на проводниках зарядов, названный волна тока и напряжепия (ВТН). Численными расчетами показано, что характеристики ВТП достигают величин, достаточных для объяснения причин выхода из строя кабелей, многократных пробоев изоляции в них при близком разряде грозового облака. Введено понятие многопроводпых нсискажающих линий передач, погонные параметры которых связаны матричными соотношениями, обобщающими условия Хевисайда.

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах:

Литература

[1] Аннин Б.Д., Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Решение пространственных статических задач теории упругости методами теории кватернионных функций // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы IX Всесоюз. конференции, Саратов, 26-30 июня 1985 г.- Новосибирск, 1986.- 35-42.

[2] Григорьев Ю.М. Некоторые решения пространственных статических уравнений Ламе // Динамика сплошной среды,- Новосибирск, 1984.- Вып. 67.- С. 29-36.

[3] Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Аппроксимационные теоремы для системы Моисила-Теодореску // Сибирский математический журнал,- 1984.- Том 25, N 5.- С. 9-19.

[4] Григорьев Ю.М. Решение одной задачи для упругого шара в замкнутой форме // Динамика сплошной среды - Новосибирск, 1985,- Вып. 71.- С. 50-54.

[5] Григорьев Ю.М. Решение пространственных статических задач теории упругости методами теории кватернионных функций: Автореферат ... канд. физ.-мат. наук,-Новосибирск, 1985.- 13 с.

[6] Григорьев Ю.М., Кренделев С.Ф. Представления типа Уиттекера-Бергмана для решений иолигармоничсского уравнения и пространственных задач теории упругости // Динамика сплошной среды,- Новосибирск, 1985,- Вып. 73.- С. 42-52.

[7] Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Решение пространственных статических задач теории упругости методами теории кватернионных функций // Аннотации докладов: Шестой Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механике, Ташкент, 24-30 сентября 1986 г.- Ташкент, 1986,- С. 222.

[8] Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Решение третьей и четвертой основных задач о равновесии упругого шара в замкнутой форме // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1988 - Вьш. 87.- С. 54-66.

[9] Григорьев Ю.М., Наумов В.В., Николаев П.И. Исследование влияния электромагнитного воздействия на кабельные линии // Физика высокошир. ионосф. и распр. электромагн. волн.- Якутск, 1988.- С. 126-132.

[10] Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Поправка к работе: Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Аппроксимационпые теоремы для системы Моисила-Теодореску // Сиб. матем. журнал.- 1984,- Т. 25,- № 5.- С. 9-19. / Ред. Сиб. матем. журн.- Новосибирск, 1989.- 8 е.- Дел. в ВИНИТИ 11.05.89, № 5739-В89.

[11] Григорьев Ю.М., Еремеев С.Н., Наумов В.В., Семенов A.A. Расчет волны тока и напряжения, индуцированной разрядом молнии в кабельных линиях // 10-й Международный Вроцлавский симпозиум по ЭМС, ч. 1.- Вроцлав (Польша), 1990.- С. 247-251.

[12] Григорьев Ю.М. О n-проводпых линиях без искажений // Научно-практическая конф. молодых ученых: Сборник тезисов. Математика. Физика.- Якутск, 1992.-С. 32.

[13] Григорьев Ю.М. Грозовые перенапряжения в 3-проводных линиях передач // Научно-практическая конференция молодых ученых. Сборник тезисов.- Якутск, 1993.- С. 4.

[14] Григорьев Ю.М. Условия Хевисайда для обобщенной системы телеграфных уравнений // Международная конференция по математическому моделированию (тезисы докладов), Якутск, 15-19 сентября 1994 г.- Якутск, 1994.- С. 24.

[15] Григорьев Ю.М., Еремеев С.Н., Наумов В.В., Семенов A.A., Яковлев Б.В. Способ защиты подземных кабелей от грозовых разрядов. (Патент РФ, per. № 5065411/21) // Изобретения. - Москва: ВНИИПИ, 1994 - Т. 17.- С. 158.

[16] Григорьев Ю.М. Кватернионный анализ и его приложения в математической теории упругости // Ученые зап. ЯГУ. Сер.: Математика. Физика.- Якутск, 1994.-С. 110-119.

[17] Григорьев Ю.М. О редукции векторных краевых задач теории упругости к скалярным краевым задачам // Тез. докл. 2-го межд. конгресса по прикл. и индустр. матем.- Новосибирск, 1996 - С. 250.

[18] Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Грозозащита линий передач в условиях многолетней мерзлоты // Наука и образование.- Якутск, 1996.- №3 - С. 145-153.

[19] Григорьев Ю.М. Теорема о среднем для неоднородного уравнения Ламе // 2-я междун. конф. по мат. моделир. Тезисы докладов.- Якутск, 1997.- С. 19-20

[20] Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Обратная теорема о среднем для уравнения Гельм-гольца // Междун. конф. "Всесиб. чтения по магем. и мех." Том 1. Матем.- Томск: ТГУ, 1997.- С. 54-55

[21] Григорьев Ю.М., Еремеев С.Н., Наумов В.В., Шарин Е.П. Электромагнитная совместимость в регионах Крайнего севера / Отчет НИР. Инвентарный № ВНТИЦ 02.9.70002023, 14.07.1997 г. - 25 с.

[22] Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Обратная теорема о среднем для уравнения Гельм-гольца // Выч. технологии,- 1998.- Т. 3, № 3 - С. 15-18.

[23] Григорьев Ю.М., Наумоз В.В. Обратпая теорема о среднем для уравнения Гельм-гольца // Сборник тезисов международной конферепщш ИНПРИМ-98. Частг. 2.-Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998.- С. 12.

[24] Григорьев Ю.М. Кватернионный метод граничных элементов // Сборник тезисов международной конференции ИНПРИМ-98. Часть 2,- Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998.- С. 94-95.

[25] Григорьев Ю.М., Наумов В.В. К теоремам о среднем для уравнений Ламе и Гель-мгольца // Доклады РАН,- 1998.- Т. 362., № 1,- С. 51-52.

[26] Григорьев Ю.М. Теоремы о среднем для неоднородных уравнений Гельмгольца и Ламе // Динамика спл. среды,- Новосибирск, 1998.- Вып. 113.- С. 53-59.

[27] Григорьев Ю.М. Пространственный аналог интегрального уравнения Мусхелишви-ли // Динамика сил. среды,- Новосибирск, 1999.- Вып. 114.- С. 161-165.

[28] Григорьев Ю.М., Алехин В.В. Кватернионпый метод граничных элементов // Сиб. журнал и иду стр. математики,- 1999.-Т. 2., № 1.- С. 47-52.

[29] Григорьев Ю.М. Кватерниопные потенциалы для системы Стокса // Математические модели и методы их исследования. Межд. Конференция, 18-24 августа, 1999 г., Красноярск. Тезисы докладов.- Красноярск: 1999, КраснГУ.- С. 81-82.

[30] Григорьев Ю.М., Еремеев С.Н., Шарин Е.П., Яковлев Б.В. и др. Теория конденсированных сред / Заключительный отчет НИР, выполненной по ЕЗН. Инвентарный № ВНТИЦ 02.9.90000224, 18.02.1999 г.- 61 с.

[31] Григорьев Ю.М., Ревуженко А.Ф. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами.- Новосибирск, 1999.- 23 е.- (Препринт / Новосибирский государственный университет; № 8).

[32] Еремеев С.Н., Наумов В.В., Григорьев Ю.М. Теоретические исследования электродинамических эффектов в околоземном прострапстве / Научный отчет ВНТИЦ. Инв. № 02.90.0039366, 19.09.1990 г. - с.

[33] Еремеев С.Н., Семенов С.С., Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Теория конденсированных сред / Научный отчет ВНТИЦ. Инв. № 02910040294, 12.06.1991 г.- 26 с.

[34] Наумов В.В., Григорьев Ю.М. Ряд Лорана для системы Моисила-Теодореску // Динамика сплошной среды - Новосибирск, 1982.- Вып. 54.- С. 115-126.

[35] Grigoriev Yu.M., Eremeev S.N., Nauinov V.V., Semenov A.A. On the thunderstorm overvoltages in a coaxial cables //XI Intern. Symp. EMC-92, P.2.- Wroclaw (Poland), 1992,- P. 424-428.

[36] Yu. Grigoriev, V. Naumov, S. Eremeev, E. Sharin - On the Thunderstorm Overvoltages in 3-wire Transmission lines // Twelfth International Wroslaw Symposium and Exhibition on Electromagnetic Compatibility, June 28-July 1, 1994.- Wroclaw (Poland), 1994.- P. 137-141.

[37] Yu. Grigoriev. On a Nondistorting Transmission line // 1994 International Symposium on Electromagnetic Compatibility EMC'94/Sendai, May 16-20, 1994.- Sendai (Japan), 1994.- P. 29-31.

Введение.

Глава 1. Некоторые вопросы теории регулярных кватернионных функций.

§1. Оператор радиального интегрирования

§2. Оператор радиального интегрирования на плоскости.

§3. Некоторые свойства регулярных кватернионных функций

§4. Аналоги степеней комплексной переменной

§5. Аналоги теорем Тейлора и Лорана.

§6. Аналог теоремы Рунге.

§7. Свойства Т- и ^-полиномов.

§8. Кватернионный метод граничных элементов

Глава 2. Пространственный аналог формул Колосова-Мусхелишвили

§1. Кватернионное представление общего решения уравнения Ламе в П*

§2. Осесимметричная и плоская деформация

§3. Пространственный аналог формул Колосова-Мусхелишвили

§4. Общее решение уравнения Ламе, выраженное через три гармонические функции

§5. Решение Наумова В.В.

§6. Представления типа Уиттекера-Бергмана.

Глава 3. Решение некоторых пространственных задач теории упругости.

§1. 1-я основная задача о равновесие упругого шара

§2. Нормальное нагружение упругого шара

§3. 3-я 4-я основные задачи теории упругости для шара.

§4. Полиномиальные решения уравнения Ламе

§5. Пространственный аналог интегрального уравнения Мусхелишвили

§6. Теорема о среднем для неоднородного уравнения Гельмгольца

§7. Теорема о среднем для неоднородного уравнения Ламе

§8. Обратная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца

Глава 4. Кватернионные потенциалы для системы Стокса.

§1. Кватернионное представление общего решения системы Стокса в звездной области

§2. Плоские и осесимметричные течения

§3. Кватернионное представление общего решения системы Стокса в произвольной области

§4. Неклассическая задача для системы Стокса

§5. Кватернионное потенциалы для системы Стокса на плоскости

Глава 5. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами

§1. Постановка задачи.

§2. Плоская задача о переносе масс приливными волнами

§3. Аналитическое решение пространственной задачи методом малого параметра.

§4. Результаты расчетов

Глава 6. Грозовые перенапряжения в линиях передач в условиях многолетней мерзлоты

§1. Постановка задачи о волне тока и напряжения (ВТН)

§2. Математическая модель ВТН, не учитывающая зависимость тока молнии от времени

§3. Математическая модель ВТН, учитывающая зависимость тока молнии от времени

§4. Математическая модель ВТН в многопроводной линии передачи

§5. ВТН в многопроводной неискажающей линии передач.

§6. Численные результаты

Актуальность темы. Методы математического моделирования широко применяются при решении научных и прикладных задач. Триада А.А.Самарского "модель -алгоритм - программа" отражает суть этого метода. На каждом этапе этой триады возникают проблемы разного рода. Переход от модели к алгоритму требует максимального использования возможностей имеющихся точных аналитических методов. На основе такой предварительной аналитической проработки вырабатывается оптимальный алгоритм численной реализации модели.

Классическим примером аналитического аппарата является теория аналитических функций комплексной переменной (ТФКП), или комплексный анализ, имеющий многочисленные применения в самых разных областях математической физики. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных задач плоской теории упругости [134]. В осесимметричных задачах математической физики нашли применение различные классы обобщенных аналитических функций комплексной переменной [2, 36, 82], р- и (р^)-аналитические функции [147]. На основе таких подходов выработаны эффективные методы численного моделирования двумерных процессов.

При моделировании трехмерных процессов возникают особые трудности, отчасти объяснимые отсутствием трехмерного аппарата, эквивалентного ТФКП. Успехи методов комплексных функций в двумерных задачах вызвали попытки использовать комплексные функции и их обобщения при решении задач моделирования пространственных стационарных процессов. В частности, может оказаться полезной пока еще не исследованная возможность применения в пространственных задачах аппарата функций кватернионной переменной. Это связано с тем, что, например, регулярные кватерни-онные функции неполной кватернионной переменной связаны с решениями уравнений, используемых в моделях упругой среды и вязкой несжимаемой жидкости.

Модели, как правило, основаны на дифференциальных уравнениях. Качественные свойства решений этих уравнений, полученные аналитическими средствами, могут определить алгоритм из указанной выше триады. Примеры таких результатов дают различные теоремы о среднем для решений дифференциальнь1х уравнений. На таких теоремах основываются численные методы Монте-Карло для решения краевых задач [84, 250], сумматорные схемы и др.

Математическое моделирование позволяет изучать физический процесс, когда невозможно проводить непосредственные измерения величин, характеризирующих данный процесс. Это относится, в частности, изучению деформаций небесных тел под действием приливных волн. В ряде работ (см. [151]) была выдвинута гипотеза о внутреннем переносе масс под воздействием приливных волн. Для оценки величины такого переноса масс необходима пространственная математическая модель, проведенные лабораторные эксперименты и построенные плоские математические модели дают только качественные результаты, а натурные измерения невозможны.

Результаты математического моделирования могут быть применены и для решения различных технических проблем. Примеры можно найти в проблемах электромагнитной совместимости различных электрических, электронных и др. устройств, размещенных и действующих в ограниченном пространстве, т.е. под действием излучаемых ими переменных электромагнитных полей. Конкретным примером такого рода является проблема защиты проводных линий передач от электрических перенапряжений, возникающих при близком разряде молнии. На момент начала наших исследований разработанные математические модели грозовых электрических перенапряжений в проводных линиях передач не учитывали некоторые существенные физические обстоятельства, например, наличие слоя многолетней мерзлоты. Без учета таких обстоятельств разработка методов эффективной защиты кабелей связи от ударов молнии в зоне многолетней мерзлоты затруднительна, а такая проблема в настоящий момент чрезвычайно актуальна. Наличие адекватной математической модели грозовых перенапряжений, ее аналитический анализ и исследование разных вариантов задачи позволят выработать методы защиты линий передач от грозовых воздействий.

Отмеченное выше широкое применение математического моделирования для решения задач науки и техники вызывает необходимость разработки новых методов исследования возникающих при этом задач и построения математических моделей конкретных физических процессов для детального анализа ситуации и численных оценок физических величин, характеризирующих данные процессы. Этим объясняется актуальность темы диссертации.

Цель работы. Диссертационная работа посвящается развитию новых аналитических методов моделирования упругих и вязких деформаций трехмерных тел, построению новых математических моделей некоторых физических процессов и их численной реализации. В соответствии с этим в работе были поставлены следующие основные задачи:

- разработка математического аппарата регулярных кватернионных функций;

- исследование аналитических свойств уравнений, моделирующих упругую среду;

- исследование возможностей использования кватернионного аппарата для решения задач моделирования упругой среды и вязкой несжимаемой жидкости;

- построение пространственной модели приливных деформаций;

- построение математических моделей для описания грозовых электрических перенапряжений в линиях передач в условиях многолетней мерзлоты;

- численная реализация построенных моделей;

- решение некоторых конкретных задач моделирования упругих и вязких деформаций трехмерных тел.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются:

1. Результаты по теории регулярных кватернионных функций неполной кватернионной переменной (решений системы Мои сила-Теодореску) - аналоги теорем Коши о гомото-пии, Коши-Гаусса, интегральной формулы для производных, теорем Абеля и Лорана, аппроксимационной теоремы Рунге, свойства регулярных кватернионных полиномов, теорема о представлении первообразной, метод граничных элементов для моделирования регулярных функций с примером численной реализации.

2. Кватернионное представление общего решения уравнения Ламе в виде пространственного аналога формул Колосова-Мусхелишвили в звездной области, анализ кватернионных представлений в двумерных случаях, представление общего решения уравнения Ламе через три гармонические функции, представления типа Уиттекера-Бергмана для решений полигармонического уравнения и уравнения Ламе.

3. Метод решения основных задач о равновесии упругого шара, состоящий в их сведении к гармоническим задачам, и решение этих задач в квадратурах. Полиномиальные решения уравнения Ламе, базисная система гармонических полиномов.

4. Корректно разрешимое кватернионное интегральное уравнение 1-го рода относительно граничного значения кватернионного потенциала, через которое выражается решение первой основной задачи теории упругости в произвольной области.

5. Кватернионные представления общего решения системы Стокса, анализ этих представлений в двумерных случаях, представление общего решения системы Стокса через три гармонические функции, метод решения основных задач о течениях Стокса внутри сферы, состоящий в их сведении к гармоническим задачам.

6. Прямые и обратные теоремы о среднем для неоднородных уравнений Гельмгольца и Ламе, обратная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца.

7. Пространственная кинематическая модель приливных деформаций небесных тел, численные реализации модели, позволившие оценить эффект внутреннего переноса масс для приливных волн реальных размеров.

8. Математические модели грозовых электрических перенапряжений в многопроводных линиях передач в условиях многолетней мерзлоты, учитывающие зависимость тока молнии от времени, численные реализации этих моделей. Понятие о многопроводных неискажающих линиях передач.

Достоверность полученных в работе результатов. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах и в частных случаях из них следуют известные результаты. Математические модели, предложенные в работе^ основаны на разумных физических гипотезах и являются дальнейшими развитиями апробированных известных моделей. Результаты численных расчетов достаточно хорошо описывают экспериментальные результаты и в частных случаях совпадают с известными.

Практическая ценность. Изученная базисная система трехмерных гармонических полиномов, являющихся компонентами регулярных кватернионных полиномов, обладают простыми и полезными для численных расчетов свойствами. Предложенный метод решения краевых задач для шара обладает определенными преимуществами по сравнению с известными и позволяет сравнительно просто получать решения в квадратурах. Предложенная кинематическая модель приливных деформаций может оказаться полезной в теории приливов Земли и других планет. На основе математических моделей грозовых перенапряжений можно разработать защитные мероприятия для кабелей связи в условиях многолетней мерзлоты.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на V Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применения ЭВМ в механике горных пород" (Новосибирск, 1985), IX Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Саратов, 1985), семинаре по механике твердого тела (рук. член.-корр. АН Каз.ССР Ш.М.Айталиев) Института сейсмологии АН КазССР (Алма-Ата, 1985), На VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), научно-практической конференции молодых ученых (Якутск, 1992, 1993), научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1993), международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 1994, 1997), международных конференциях ИНПРИМ-96, 98 (Новосибирск, 1996, 1998), международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике (Томск, 1997), I-III Сибирских школах-семинарах по математическим проблемам механики сплошных сред (Новосибирск, 1997, 1998, 1999), международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999), международных симпозиумах по ЭМС (Вроцлав, 1990, 1992, 1994; Сендай, 1994), а также на семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела НГУ (рук. академик Е.И.Шемякин, проф. Б.Д.Аннин), семинарах лаборатории динамической прочности ИГиЛ СО РАН (рук. проф. Б.Д.Аннин), семинаре отдела механики деформируемого твердого тела (рук. проф. О.В.Соснин) ИГиЛ СО РАН, на объединенном семинаре кафедр теоретической механики (зав. член-корр. РАН В.Н.Монахов) и механики твердого тела (зав. проф. Б.Д.Аннин) НГУ, на обьединенном семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН и кафедры вычислительной математики НГУ (рук. член-корр. РАН А.Н.Коновалов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 37 работах [3], [47-76], [85-86], [135], [216-218].

Работа частично поддержана: Программой "Университеты России" (проект УР-25 ЦПИ при ММФ МГУ, 1992-93 гг.); Госкомитетом по науке, высшей школе и технической политике при Правительстве РС(Я) (1992-95 гг.); госбюджетной темой по ЕЗН (ЯГУ, 1993-98 гг.); Федеральной целевой программой "Интеграция" (грант №17.7, 1997 г.); грантом РФФИ 98-01-03699; конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ (грант № 28 Грантового центра НГУ, 1998-99 гг.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка литературы и списка обозначений и сокращений, изложенных на 284 страницах, включает 32 рисунка. Список цитируемой литературы на 24 страницах содержит 271 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена развитию аналитических методов исследования задач, возникающих при моделировании деформаций тел, построению новых математических моделей некоторых физических процессов и их численной реализации. В соответствии с этим в работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту.

1. В качестве аппарата для моделирования трехмерных процессов развивается теория регулярных кватернионных функций неполной кватернионной переменной (решений системы Моисила-Теодореску). Доказаны аналоги теорем Коши о гомотопии, Коши-Гаусса, интегральной формулы для производных, теорем Абеля и Лорана, ап-проксимационной теоремы Рунге из теории аналитических функций комплексной переменной. Изучены свойства регулярных кватернионных полиномов, являющхся аналогами положительных степеней. Доказана теорема о представлении первообразной регулярной функции. Разработаны основы метода граничных элементов для моделирования регулярных функций при этом для треугольных граничных элементов нулевого прядка все возникающие интегралы вычислены аналитически, численный пример показывает хорошую сходимость метода.

2. Получено кватернионное представление общего решения уравнения Ламе в виде пространственного аналога формул Колосова-Мусхелишвили в звездной области, показано, что в частных случаях из него вытекают известные представления. Получено новое представление общего решения уравнения Ламе, выраженное через три гармонические функции. Показано, что на плоскости в Е3 система Моисила-Теодореску на функциях специального вида переходит в систему Коши-Римана и на этой основе получены представления типа Уиттекера-Бергмана для решений полигармонического уравнения и уравнения Ламе.

3. С помощью кватернионного представления разработан метод решения основных задач о равновесии упругого шара, состоящий в их сведении к независимым гармоническим задачам. Получены в квадратурах решения задач о равновесии упругого шара с заданными нормальными перемещениями, при нормальном нагружении, также в квадратурах решены 3-я (на границе заданы нормальные компоненты перемещений и касательные компоненты напряжений) 4-я (на границе заданы нормальные компонента напряжений и касательные компоненты перемещений) основные задачи о равновесии упругого шара. Получена новая система полиномиальных решений уравнения Ламе, построена новая базисная система гармонических полиномов с удобными для численных расчетов свойствами.

4. С помощью пространственного аналога формул Колосова-Мусхелишвили для решения первой основной задачи теории упругости в произвольной области получено кватернионное интегральное уравнение 1-го рода для граничного значения кватернионного потенциала и показана его корректная разрешимость.

5. Получены кватернионные представления общего решения системы Стокса и проведен анализ этих представлений в двумерных случаях, получено представление общего решения системы Стокса через три гармонические функции, предложен метод решения основных задач о течениях Стокса внутри сферы, состоящий в их сведении к гармоническим задачам.

6. Доказаны прямые и слабые обратные теоремы о среднем для неоднородных уравнений Гельмгольца и Ламе, обратная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца.

7. Предложена пространственная кинематическая модель приливных деформаций небесных тел на основе системы Стокса. Методом малого параметра в первом приближении аналитически найдено поле скоростей для системы Стокса внутри вытянутого эллипсоида вращения. Численные реализации модели показали хорошее качественное совпадение с результатами лабораторных экспериментов. Проведены численные оценки эффекта внутреннего переноса масс внутри Земли для приливных волн разной высоты.

8. Построены математические модели грозовых перенапряжений в многопроводных линиях передач в условиях многолетней мерзлоты, учитывающие зависимость тока молнии от времени. При этом принят во внимание эффект разбегания индуцированных на проводниках зарядов, названный волна тока и напряжения (ВТН). Численными расчетами показано, что характеристики ВТН достигают величин, достаточных для объяснения причин выхода из строя кабелей, многократных пробоев изоляции в них при близком разряде грозового облака. Введено понятие многопроводных неискажающих линий передач, погонные параметры которых связаны матричными соотношениями, обобщающими условия Хевисайда.

1. Абдушукуров А. Интегральные представления решений системы Мойсила-Теодореску с особенностями в младших членах // Докл. АН Тадж. ССР.- 1989.Т. 32,- № 10,- С. 647-649.

2. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости.-М.: Наука, 1978.- 464 с.

3. Антановский JI.K. Комплексное представление решений уравнений Навье-Стокса // Докл. АН СССР.- 1981.- Т. 261,- № 4.- С. 829-832.

4. Аржаных И.С. Обращение волновых операторов.- Ташкент: Изд. АН Уз. ССР, 1962,- 164 с.

5. Аржаных И.С. Сопряженные функции трехмерного пространства // Дифференциальные уравнения с частными производными.- Ташкент: Фан, 1977.- С. 129-153.

6. Аржаных И.С. Многомерная теория поля.- Ташкент: Фан, 1978.- 166 с.

7. Аржаных И.С., Бондаренко Б.А. Приложение теории функций комплексного переменного к трехмерным задачам математической теории упругости // Труды Ин-та математики им. В.И.Романовского.- Ташкент: 1961.- Вып. 23.- С. 35-52.

8. Ашыралыев Ч., Монахов В.Н. Итерационный алгоритм решения двумерных сингулярных интегральных уравнений // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1991.- Вып. 101.- С. 21-30.

9. Базелян Э.М, Горин Б.Н., Левитов В.И. Физические и инженерные основы молниезащиты.- Л.: Гидрометеоиздат, 1978.- 218 с.

10. Байков В.А. Теорема П.Фату для регулярных кватернионных функций // ДАН СССР.- 1969.- Т. 185.- № 5.- С. 977-980.

11. Балабаев В.Е. Многомерный комплексный аналог системы Моисила-Теодореску // Качеств, методы исслед. операторных уравнений.- Ярославль, 1988.- С. 78-85.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра.- М.: Наука, 1965.- 296 с.

13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены.- М.: Наука, 1966.- 296 с.

14. Бергман С. Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными.- М.: Мир, 1969.- 305 с.

15. Березин A.B., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивисткой физике.- Минск: Наука и техника, 1989.- 200 с.

16. Бицадзе A.B. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его применения // Докл. АН СССР.- 1953 Т. 93.- № 3.- С. 389-392.

17. Бицадзе A.B. Обращение одной системы сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН СССР.- 1953.- Т. 93.- № 4.- С. 595-597.

18. Бицадзе A.B. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его приложения // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1953.- Т. 17.- № 6.- С. 525-538.

19. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка,-М.: Наука, 1966.- 320 с.

20. Бицадзе A.B. Об одной системе линейных уравнений в частных производных // Докл. АН СССР.- 1972.- Т. 204.- № 5.- С. 1031-1033.

21. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М.:Наука, 1981.- 448 с.

22. Блох В.И. Теория упругости.- Харьков: изд. Харьк.ГУ, 1964.- 483 с.

23. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Приливное деформирование планет: опыт экспериментального моделирования // Геотектоника.- 1991.- № 6.- С. 21-35.

24. Богашов Ф.А. Представление бигармонической функции в комплексном пространстве <С2 // Докд. РАН.- 1993.- Т. 332.- № 2,- С. 135-137.

25. Богашов Ф.А., Угодчиков А.Г. Развитие методологии Мусхелишвили применительно к решению пространственных задач теории упругости. Часть II // Научные труды.- Нижегородский госуниверситет, 1995.- № 2.- С. 161-178.

26. Богашов Ф.А. Пространственные комплексные потенциалы течения идеальной несжимаемой жидкости. Сообщение II // Прикл. пробл. прочности и пластичн,-Горький, 1998.- № 59.- С. 41-61.

27. Бондарева В.Ф. О действии осесимметричной нормальной нагрузки на упругий шар // ПММ 1969.- Т. 33.- Вып. 6.- С. 1029-1033.

28. Бондаренко Б.А. Полигармонические полиномы.- Ташкент: Фан, 1968.- 171 с.

29. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела.- М.: Наука, 1973.- 320 с.

30. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике.- М.: Мир, 1982.- 248 с.

31. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике.- М.: Наука, 1980 688 с.

32. Бурлаков М.П., Показеев В.В., Фрейдензон Л.Е. Клиффордов анализ. I. В-алгебры Клиффорда / Чеч.-Инг. университет.- Грозный, 1988.- 22 е.- Деп. в ВИНИТИ 11.03.88, № 1959-В88.

33. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.- М.-Л.: Гостехиз-дат, 1948.- 296 с.

34. Векуа И.Н. О полноте системы гармонических полиномов в пространстве // Докл. АН СССР,- 1951.- Т. 90.- № 4.- С. 495-498.

35. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции.- М.: Наука, 1988.- 510 с.

36. Виноградов B.C. Об одном новом методе решения краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса в случае плоскости // Докл. АН СССР.-1962,- Т. 145.- № 6.- С. 1202-1204.

37. Виноградов B.C. Об одном аналоге системы Коши-Римана в четырехмерном пространстве // Докл. АН СССР.- 1964.- Т. 154.- № 1- С. 16-19.

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1981.- 512 с.

39. Глебов A.JI. Классическая частица со спином и алгебра Клиффорда // Теор. и матем. физика.- 1981- Т. 48.- № 3.- С. 340-345.

40. Глебов A.J1. К классической теории частицы со спином // Изв. вузов. Физика,1981.- № 10.- С. 88-89.

41. Глебов A.JI. Континуальный интеграл и теория Паули // Изв. вузов. Физика,1982,- № 2.- С. 116-117.

42. Глебов A.JI. Применение клиффордовых аналитических функций в теории упругости // Тезисы докладов Всесоюзной конф. по теории упругости.- Тбилиси, 1984.-С. 70.

43. Гобсон Е.В. Теория сферических и сфероидальных функций.- М.: ИЛ, 1952.- 476 с.

44. Гоман О.Г. Аналог формул Колосова-Мусхелишвили для пространственного напряженного состояния // ПММ 1983.-Т. 47 - вып. 1- С. 89-93.

45. Гоман О.Г. Представление общего решения уравнений неосесимметричного движения вязкой несжимаемой жидкости c. помощью р-аналитических функций // ДАН УкрССР. Сер. А.- 1984,- № 6.- С. 38-41.

46. Григорьев Ю.М. Некоторые решения пространственных статических уравнений Ламе // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1984.- Вып. 67.- С. 29-36.

47. Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Аппроксимационные теоремы для системы Моисила-Теодореску // Сибирский математический журнал.- 1984.- Том 25, N 5,- С. 9-19.

48. Григорьев Ю.М. Решение одной задачи для упругого шара в замкнутой форме // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1985.- Вып. 71.- С. 50-54.

49. Григорьев Ю.М. Решение пространственных статических задач теории упругости методами теории кватернионных функций: Автореферат . канд. физ.-мат. наук.-Новосибирск, 1985.- 13 с.

50. Григорьев Ю.М., Кренделев С.Ф. Представления типа Уиттекера-Бергмана для решений полигармонического уравнения и пространственных задач теории упругости // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1985.- Вып. 73.- С. 42-52.

51. Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Решение третьей и четвертой основных задач о равновесии упругого шара в замкнутой форме // Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1988.- Вып. 87.- С. 54-66.

52. Григорьев Ю.М., Наумов В.В., Николаев П.И. Исследование влияния электромагнитного воздействия на кабельные линии // Физика высокошир. ионосф. и распр. электромагн. волн.- Якутск, 1988.- С. 126-132.

53. Григорьев Ю.М., Еремеев С.Н., Наумов В.В., Семенов A.A. Расчет волны тока и напряжения, индуцированной разрядом молнии в кабельных линиях // 10-й Международный Вроцлавский симпозиум по ЭМС, ч. 1.- Вроцлав (Польша), 1990.- С. 247-251.

54. Григорьев Ю.М. О n-проводных линиях без искажений // Научно-практическая конф. молодых ученых: Сборник тезисов. Математика. Физика.- Якутск, 1992.— С. 32.

55. Григорьев Ю.М. Грозовые перенапряжения в 3-проводных линиях передач // Научно-практическая конференция молодых ученых. Сборник тезисов.- Якутск, 1993.- С. 4.

56. Григорьев Ю.М. Условия Хевисайда для обобщенной системы телеграфных уравнений // Международная конференция по математическому моделированию (тезисы докладов), Якутск, 15-19 сентября 1994 г.- Якутск, 1994.- С. 24.

57. Григорьев Ю.М., Еремеев С.Н., Наумов В.В., Семенов A.A., Яковлев Б.В. Способ защиты подземных кабелей от грозовых разрядов. (Патент РФ, per. № 5065411/21) // Изобретения.- Москва: ВНИИПИ, 1994.- Т. 17.- С. 158.

58. Григорьев Ю.М. Кватернионный анализ и его приложения в математической теории упругости // Ученые зап. ЯГУ. Сер.: Математика. Физика.- Якутск, 1994.— С. 110-119.

59. Григорьев Ю.М. О редукции векторных краевых задач теории упругости к скалярным краевым задачам // Тез. докл. 2-го межд. конгресса по прикл. и индустр. матем.- Новосибирск, 1996.- С. 250.

60. Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Грозозащита линий передач в условиях многолетней мерзлоты // Наука и образование.- Якутск, 1996.- №3.- С. 145-153.

61. Григорьев Ю.М. Теорема о среднем для неоднородного уравнения Ламе // 2-я междун. конф. по мат. моделир. Тезисы докладов.- Якутск, 1997.- С. 19-20

62. Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Обратная теорема о среднем для уравнения Гельм-гольца // Междун. конф. "Всесиб. чтения по матем. и мех." Том 1. Матем.- Томск: ТГУ, 1997.- С. 54-55

63. Григорьев Ю.М., Еремеев С.Н., Наумов В.В., Шарин Е.П. Электромагнитная совместимость в регионах Крайнего севера / Отчет НИР. Инвентарный № ВНТИЦ 02.9.70002023, 14.07.1997 г. 25 с.

64. Григорьев Ю.М., Наумов B.B. Обратная теорема о среднем для уравнения Гель-мгольца // Выч. технологии.- 1998.- Т. 3, № 3.- С. 15-18.

65. Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Обратная теорема о среднем для уравнения Гельм-гольца // Сборник тезисов международной конференции ИНПРИМ-98. Часть 2.-Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998,- С. 12.

66. Григорьев Ю.М. Кватернионный метод граничных элементов // Сборник тезисов международной конференции ИНПРИМ-98. Часть 2.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998.- С. 94-95.

67. Григорьев Ю.М., Наумов В.В. К теоремам о среднем для уравнений Ламе и Гель-мгольца // Доклады РАН.- 1998.- Т. 362., № 1- С. 51-52.

68. Григорьев Ю.М. Теоремы о среднем для неоднородных уравнений Гельмгольца и Ламе // Динамика спл. среды.- Новосибирск, 1998.- Вып. 113.- С. 53-59.

69. Григорьев Ю.М. Пространственный аналог интегрального уравнения Мусхели-швили // Динамика спл. среды.- Новосибирск, 1999.- Вып. 114.- С. 161-165.

70. Григорьев Ю.М., Алехин В.В. Кватернионный метод граничных элементов // Сибирский журнал индустриальной математики.- 1999.-Т. 2., № 1.- С. 47-52.

71. Григорьев Ю.М. Кватернионные потенциалы для системы Стокса // Математические модели и методы их исследования. Международная конференция, 18-24 августа, 1999 г., Красноярск. Тезисы докладов.- Красноярск: 1999, КраснГУ,- С. 81-82.

72. Григорьев Ю.М., Еремеев С.Н., Шарин Е.П., Яковлев Б.В. и др. Теория конденсированных сред / Заключительный отчет НИР, выполненной по ЕЗН. Инвентарный № ВНТИЦ 02.9.90000224, 18.02.1999 г.- 61 с.

73. Григорьев Ю.М., Ревуженко А.Ф. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами.- Новосибирск, 1999.- 23 е.- (Препринт / Новосибирский государственный университет; № 8).

74. Грозозащита в районах с высоким удельным сопротивлением грунта.- Апатиты: Кольский филиал АН СССР, 1981 146 с.

75. Громадка Т.И, Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов.- М.: Мир, 1990.- 304 с.

76. Гусев В.А. О некоторых классах кватернионных моногенных функций // Матем. сборник.- 1964 Т. 63(105).- № 2.- С. 321-328.

77. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применения к основным задачам математической физики М.: ГИТТЛ, 1953 - 416 с.

78. Данилюк И.И. Обобщенная формула Коши для осесимметричных полей // Сибирский математический журнал.- 1963.- Т. 4, № 1.- С. 48-85.

79. Данилюк И.И. Исследование пространственных осесимметричных краевых задач // Сибирский математический журнал.- 1963.- Т. 4, № 6.- С. 1271-1310.

80. Джураев А.Д. О формулах Гильберта для системы Моисила- Теодореску // Докл. АН Тадж. ССР.- 1977.- Т. 20.- № 10.- С. 3-5.

81. Елепов B.C., Кронберг A.A., Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К. Решение краевых задач методом Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1980. - 175 с.

82. Еремеев С.Н., Наумов В.В., Григорьев Ю.М. Теоретические исследования электродинамических эффектов в околоземном пространстве / Научный отчет ВНТИЦ. Инв. № 02.90.0039366, 19.09.1990 г. с.

83. Еремеев С.Н., Семенов С.С., Григорьев Ю.М., Наумов В.В. Теория конденсированных сред / Научный отчет ВНТИЦ. Инв. № 02910040294, 12.06.1991 г.- 26 с.

84. Жданов М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей,- М.: Наука, 1984.- 326 с.

85. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.- Москва: Наука, 1978.- 206 с.

86. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела,-М.: Наука, 1978.- 208 с.

87. Ионеску Д.Г. К общему решению уравнений осесимметричных движений вязких жидкостей // ПММ.- 1967.- Т. 31.- Вып. 3.- С. 586-589.

88. Ишанкулов Т. О задаче Коши для линейной стационарной системы Навье-Стокса // Сибирский математический журнал 1997 - Т. 38, № 5.- С. 1089-1097.

89. Казанова Г. Векторная алгебра.-М.: Мир, 1979.- 120 с.

90. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.-М.: Наука, 1984.- 752 с.

91. Келдыш М.В., Лаврентьев М.А. Sur les suites convergentes de polynomes harmoniques // Тр. мат. ин-та Груз, филиала АН СССР.-1937- Т. 1.- С. 165184.

92. Колбенгайер Г. Решение пространственной прямой гравиметрической задачи при помощи интегралов Бицадзе // Contribr. Cïeophys. Inst. Slovak. Acad. Sci.- 1976.-V. 6.- N 1.- P. 9-17.

93. Колбенгайер Г. О аналитическом продолжении внешнего гравитационного поля трехмерного тела во внутрь его // Geophysikalische interpretations-metoden.- Br.: Veda-Veri. Slovak. Acad. Wiss., 1978.- P. 89-100.

94. Костенко M.В., Кадомская К.П., Левинштейн М.Л., Ефремов И.А. Перенапряжения в высоковольтных воздушных и кабельных линиях и защита от них.- Л.: Наука, 1988.- с.

95. Кошляков Н.С., Глинер Э.В., Смирнов М.М. Основные уравнения с частными производными математической физики- М.: Физматгиз, 1962.- 768 с.

96. Кренделев С.Ф. Представление решений однородных уравнений типа Уиттекера-Пенроуза-Бергмана // Комплексные методы в математической физике,- Донецк, 1984.- С. 152 с.

97. Кристалинский Р.Х. О некоторых аппроксимационных теоремах в теории регулярных кватернионных функций // Ученые записки Смоленского гос. пед. ин-та.-1969.- Вып. 20.- С. 71-74.

98. Кудяшев Ю.А. О полных системах в пространстве регулярных в шаре функций кватернионного переменного // Сообщ. АН Груз.ССР.- 1972,- Т. 68 № 2 - С. 301-304.

99. Кузнецов C.B. Построение тензора Грина и Неймана в теории упругости анизотропного тела // Прикл. мех.- Киев, 1991.- Т. 27.- 7.- С. 58-62.

100. Купрадзе В.Д. и др. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.- М.: Наука, 1976.- 664 с.

101. Купцов Л.П. Свойство среднего и принцип максимума для параболических уравнений // Докл. АН СССР.- 1978.- Том 242,- № 3.- С. 56-59.

102. Курант Р. Уравнения с частными производными.- Москва: Мир, 1964.- 830 с.

103. Курбанов М. Об одной краевой задаче для вектора, голоморфного в полупространстве // Аналитические методы в теории эллиптических уравнений,- Новосибирск, 1982,- С. 21-34.

104. Курбанов М. Задача Римана-Гильберта для голоморфного вектора и его обобщений // Дифф. уравнения.- 1983.- Том 19.- № 1.- С. 78-85.

105. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.- М.: Наука, 1973.- 400 с.

106. Кутрунов В.Н. Кватернионный метод регуляризации интегральных уравнений теории упругости // ПММ.-1992.- Т. 56.- Вып. 5.- С. 864-868.

107. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики-Новосибирск: СО АН СССР, 1962.- 92 с.

108. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.- Москва: Наука, 1980.- 286 с.

109. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.- М.: Наука, 1970,- 288 с.

110. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- М.: Наука, 1973.- 576 с.

111. Ламб Г. Гидродинамика.- М.-Л: ОГИЗ, 1947.- 928 с.

112. Леонова Э.А. О некорректных задачах статики теории упругости // Изв. АН. Мех. тв. т.- 1997.- № 6.- С. 71-77.

113. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа,- М: Наука,1987.-840 с.

114. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости.- М: Гостехиздат, 1955.492 с.

115. Лурье А.И. Теория упругости М.: Наука, 1970.- 940 с.

116. Лурье А.И. Полиномиальное представление решений уравнений теории упругости // Проблемы механики твердого деформированного тела- Л.: Судостроение, 1970,- С. 251-256.

117. Мазья В.Г., Сапожникова В.Д. Замечание о регуляризации сингулярной системы изотропной теории упругости // Вестн. Ленингр. универс. Сер. мат., мех. и астр.-1964,- № 7,- Вып. 2.- С. 165-167.

118. Марчук Н.Г. Сведение задачи Коши для волнового уравнения к задаче Коши для системы уравнений первого порядка // Дифф. уравнения.- 1984.- Т. 20.- № 4.- С. 653-659.

119. Махмудов О. Задача Коши для системы уравнений пространственной теории упругости в перемещениях // Изв. вузов. Математика.- 1994.- № 1(380).- С. 54-61.

120. Мельниченко И.П., Пик Е.М. Кватернионные переменные и гиперкомплексные потенциалы в механике сплошной среды // Прикл. механика.- 1973.- Т. 9.- Вып. 4.- С. 45-50.

121. Мельниченко И.П., Пик Е.М. Кватернионные потенциалы осесимметричных течений идеальной несжимаемой жидкости // Прикл. механика.- 1975.- Т. 11.- Вып. 1.- С. 125-128.

122. Мергелян С.Н. О теореме М.А.Лаврентьева // Докл. АН СССР.- 1951.- Т. 77.- № 4,- С. 565-568.

123. Мергелян С.Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного // Успехи мат. наук 1952,- Т. 7.- Вып. 2.- С. 31-122.

124. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.- М.: Мир, 1977.- 504 с.

125. Михайлов М.И. Разумов Л.Д., Соколов С.А. Влияние внешних электромагнитных полей на цели проводной связи.- М.: Связьиздат, 1979.- с.

126. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1983.- 424 с.

127. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала.- Москва: Госте-хиздат, 1952.- 216 с.

128. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.- 254 с.

129. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.- М.: Высшая школа, 1977.- 432 с.

130. Муртазаев Д. К системе уравнений Моисила-Теодореску // Докл. АН Тадж. ССР.- 1983.- Т. 26 № 8.- С. 482-485.

131. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.- М.: Наука, 1966.- 708 с.

132. Наумов В.В., Григорьев Ю.М. Ряд Лорана для системы Моисила-Теодореску // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1982.- Вып. 54.- С. 115-126.

133. Наумов В.В. Решение двух основных задач о равновесии упругого шара в замкнутой форме // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1986.- Вып. 78.- С. 96-108.

134. Наумов В.В. Об общем решении уравнения гармонических колебаний упругого тела // Динамика сплошной среды,- Новосибирск,1987.- Вып. 80.- С. 102-112.

135. Наумов В.В. Теоремы о среднем для уравнения гармонических колебаний упругого тела //Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1987.- Вып. 82.- С. 147-153.

136. Наумов В.В. Аналитические результаты в математической теории упругости. Автореферат дисс.к.ф.-м.н.- Якутск, 1993.- с.

137. Новацкий В. Теория упругости.- М.: Мир, 1975 872 с.

138. Оболашвили Е.И. Пространственные обобщенные аналитические голоморфные векторы // Дифф. уравнения.- 1975.- Т. 11, № 1.- С. 108-115.

139. Овчинников В.М., Адушкин В.В., Ан В.А. О скорости относительного вращения, внутреннего ядра Земли // Докл. РАН.- 1998.- Т. 362, № 5.- С. 683-686.

140. Партон В. 3., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости.- М.: Наука, 1977.- 312 е.

141. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости.- М.: Наука, 1981.- 688 с.

142. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.- М.: Наука, 1965.128 с.

143. Половинкин И.П. К теореме о среднем для волнового уравнения // Неклассические уравнения математической физики.- Новосибирск: НГУ, 1993 г.- С. 50-62.

144. Положий Г.Н. Теория и применение р-аналитических и (р^)-аналитических функций.- Киев: Наукова думка, 1973.- 424 с.

145. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции М.: Наука, 1981 - 800 с.

146. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для одного уравнения типа Гельмгольца со многими сингулярными поверхностями // Аналитические методы в теории эллиптических уравнений.- Новосибирск, 1982.- С. 34-46.

147. Развитие теории контактных задач в СССР М.: Наука, 1976.- 493 с.

148. Ревуженко А.Ф. О приливном механизме переноса масс // Изв. АН СССР. Физика Земли.- 1991,- № 6.- С. 13-20.

149. Ревуженко А.Ф. Функции со структурой математические объекты для описания пластической деформации твердых тел // Изв. вузов. Физика,- 1995.- № 11.- С. 70-85.

150. Ревуженко А.Ф. О математическом аппарате для описания структурных уровней геосреды // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.-1997.- № 3.- С. 22-36.

151. Ревуженко А.Ф., Бобряков А.П., Косых В.П. О течении сыпучей среды с возможным неограниченным скольжением по поверхностям локализации // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.- 1997,- № 3,- С. 37-42.

152. Ревуженко А.Ф., Косых В.П., Бобряков А.П. О локализованном пластическом течении геосреды вокруг жесткого включения // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.- 1998.- № 6.- С. 27-34.

153. Рубцов В.К. Пространство ограниченных регулярных кватернионных функций // Матем. анализ и теория функций.- Москва, 1974.- Вып. 4.- С. 190-198.

154. Руководство по защите подземных кабелей связи от ударов молний,- М.: Связь, 1975.- 64 с.

155. Сабельфельд К.К. Решение одной краевой задачи для метагармонического уравнения методом Монте-Карло // Журн. выч. матем. и матем. физики.- 1979.- Т. 19.- № 4.- С. 961-969.

156. Сабельфельд К.К. Векторные алгоритмы метода Монте-Карло для решения систем эллиптических уравнений // Докл. АН СССР.- 1982.- Т. 262 № 5,- С. 1076-1080.

157. Сабельфельд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах.- Новосибирск: Наука, 1989.- 280 с.

158. Саидов К. О задаче Римана-Гильберта для голоморфного вектора в трехмерном пространстве // Дифф. ур. и их применения.- Вильнюс, 1989.- № 44.- С. 54-65.

159. Самойленко И.С., Шевченко В.И. О задаче Римана-Гильберта для голоморфного вектора с псевдодифференциальными краевыми условиями // Матем. физика.-1973.- Вып. 13.- С. 153-159.

160. Семов A.M. Кватернионные и комплексные потенциалы в механике сплошной среды // Избр. вопр. мех. тверд, и деформ.тела.- Москва, 1985.- С. 50-55.

161. Ситарова А. Аналитическое продолжение гравитационного поля внутрь масс тяготения через произвольную поверхность второго порядка // Труды геофиз. ин-та Словацкой акад. наук.- 1977.- Т. 8.- С. 93-103.

162. Смагин С.И. Интегральные уравнения задач дифракции.- Владивосток: Дальна-ука, 1995.- 204 с.

163. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4, ч.2.- М.: Наука, 1981.- 552 с.

164. Солонников В.А., Щадилов В.Е. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений Навье-Стокса // Труды МИАН СССР.- 1973,- Т. CXXV- С. 196-210.

165. Ступялис JI. Краевые задачи для уравнений Навьев-Стокса.- Вильнюс: Мокслас, 1992.- 403 с.

166. Тамм И.Е. Основы теории электричества.- М.: Наука, 1976.- 616 с.

167. Тарханов H.H. О матрице Карлемана для эллиптических систем // Докл. АН СССР.- 1985.- Т. 284.- № 2.- С. 294-297.

168. Тарханов H.H. Замечание о системе Моисила-Теодореску // Сиб. матем. журн.-1987.- Т. 28.- № 3.- С. 208-213.

169. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики,- Москва: Наука, 1977 736 с.

170. Токибетов Ж. О задаче Римана-Гильберта для одной системы, являющейся обобщением голоморфного вектора // Теория функц., ур.матем. физики и их прилож.-А-Ата, 1988,- С. 62-66.

171. Треффц Е. Математическая теория упругости.- JI.-M.: Гостехиздат, 1934.- 182 с.

172. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963.- 516 с.

173. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре.- Москва: Наука, 1984.- с.

174. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. Москва: Наука, 1966 - 800 с.

175. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса- Москва: Мир, 1976,- 632 с.

176. Хорн P.A., Джонсон С.Р. Матричный анализ.- М.: Мир, 1989 с.

177. Хуан Ле-дэ. Некоторые основные теоремы о голоморфном векторе // Science Record. New Ser.- 1958.- Vol. 2,- No 2.- P. 53-58.

178. Цалик A.M. Некоторые свойства кватернионных функций и их приложения к трехмерным задачам теории упругости // Тезисы докл. Всесоюз. конф. по теории упругости.- Тбилиси, 1984 С. 287.

179. Цалик A.M. Кватернионные функции, их свойства и некоторые приложения к задачам механики сплошных сред // Докл. АН Укр. ССР. Сер. А.- 1986.- № 12.- С. 21-24.

180. Цалик A.M. Кватернионные преобразования в задачах механики стержневых систем // Изв. АН СССР. МТТ.- 1991,- № 1. С. 176-184.

181. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1.- М.: Наука, 1976.

182. Шваб А.Н. Об одной задаче локального продолжения в теории упругости // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1989.- Вып. 92.- С. 132-141.

183. Шваб А.H. Решение обратной задачи теории упругости методом граничного интегрального уравнения для голоморфного вектора // Физика Земли.- 1994.- № 4.-С. 62-67.

184. Шваб А.Н. Неклассические квазистатические задачи механики деформируемого твердого тела. Автореферат дисс,.д.ф.-м.н.- Новосибирск, 1996.- 46 с.

185. Шевченко В.И. Об одной краевой задаче для вектора, голоморфного в полупространстве // Докл. АН СССР.- 1964,- Т. 154.- № 2.- С. 276-278.

186. Шевченко В.И. О некоторых краевых задачах для голоморфного вектора // Ма-тем. физика.- 1970.- Вып. 8.- С. 172-187.

187. Шевченко В.И. Гомотопическая классификация задача Римана-Гильберта для голоморфного вектора // Матем. физика.- 1975.- Вып. 17.- С. 184-187.

188. Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений.- М.: Изд. МГУ, 1979.-184 с.

189. Шмаков А.П. Представление общего решения в теории упругости // Упругость и неупругость.- М.: МГУ, 1975.- Вып. 4.- С. 5-12.

190. Шпилькер Г.Л. Гиперкомплексные решения уравнений Максвелла // Докл. АН СССР.- 1983.- Т. 272.- № 6.- С. 1359-1363.

191. Ягода А.М. Возможности применения аппарата дифференцируемых кватернион-ных функций для решения пространственных задач математической физики и механики / Киевский инж.-строит, ин-т.- Киев, 1988.- 17 е.- Деп. в УкрНИИНТИ 15.02.88, № 463-Ук88.

192. Янушаускас. А.И. Некоторые обобщения голоморфного вектора // Дифф. уравнения. 1982.- Т. 18.- № 4.- С. 699-705.

193. Янушаускас А.И. Некоторые задачи аналитической теории уравнений с частными производными // Аналитические методы в теории эллиптических уравнений.-Новосибирск, 1982 С. 63-75.

194. Ярмухамедов Ш. Об аналитическом продолжении голоморфного вектора по его граничным условиям на куске границы // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук.-1980.- № 6.- С. 34-40.

195. Ярмухамедов Ш.Я., Ишанкулов Т.И., Махмудов О.И. О задаче Коши для системы уравнений теории упругости в пространстве // Сиб. матем. журн,- 1992.- Т. 33.-№ 1.- С. 186-190.

196. Ярмухамедов Ш.Я. Теория Коши в математических задачах теории упругости // Докл. РАН.- 1997.- Т. 357.- № 5.- С. 628-630.

197. Bergman S. Uber die Bestimmungen der elastischen Spannungen und Vershiebungen in einem Konvexen Korper // Math. Annalen.- 1927.- T. 28.

198. Bergman S., Schiffer M. Kernel functions and elliptic differential equations in mathematical physics.- New York: Acad. Press, 1953.- 432 p.

199. Bharathi K., Nagaraj M. Regularity for quaternionic functions of several complex variables // Indian J. Pure and Appl. Math.- 1987.- V. 18.- N 8.- P. 697-704.

200. Brackx F.F. The exponential function of a quaternion variable // Appl. Analysis.-1979.-V. 8.-N 3.-P. 265-276.

201. Brackx F., Delanghe R., Sommen F. Clifford analysis. (Research notes in math., 76).-Boston: Pitman Adv. Publ. Pr., 1982,- 308 p.

202. Bramble J.H., Payne L.E. Some converses of mean value theorems in the theory of elastisity // Journal of Mathematical Analysis and Applications.- 1965.- Vol. 10.-N 3.- pp. 553-567.

203. Cagliyan M. On the hypercomplex areolar monogenic functions // Rad. Mat.-1990.-N 6. P. 119-127.

204. Datta В., Nag S. Zero-sets of quaternionic and octonionic analytic functions with central coefficients // Bull. London Math. Soc- 1987. V. 19.- N 4,- P. 329-336.

205. Deavours C.A. The quaternion calculus // Amer. Math. Monthly.- 1973.- V. 80.- P. 995-1008.

206. Diaz J.B., Payne L.E. Oil a mean value theorem, and its converse, for the displacements in the theory of elastisity // Portugaliae mathematica.- 1958.- Vol. 17.- Fasc. 4,- pp. 123-126.

207. Edmonds J.D. Quaternion Quantum Theory: New Physics or Number Misticism // Amer. J. Phys.- 1974.- V. 42.- P. 220-223.

208. Fueter R. Uber die analytischen Darstellungen der regularen Funktionen einer Quaternionenvariablen // Com. Math. Helv- 1932.- V. 4 P. 9-20.

209. Fueter R. Die Theorie der regularen funktionen einer Quaternionenvariablen // Com. Ren. Con. Int., t. 1- Oslo, 1936.- P. 75-91.

210. Fueter R. Integralsatze fur regularen Funktionen einer Quaternionenvariablen // Com. Math. Helv.- 1937-38.- V. 10.- N 4,- P. 306-315.

211. Fulks W. A mean value theorems for the heat equation // Proceedings of the American Mathematical Society 1964.- Vol. 17.-N 1.- pp. 6-11.

212. Grigoriev Yu.M., Eremeev S.N., Naumov V.V., Semenov A.A. On the thunderstorm overvoltages in a coaxial cables //XI Intern. Symp. EMC-92, P.2.- Wroclaw (Poland), 1992,- P. 424-428.

213. Yu. Grigoriev. On a Nondistorting Transmission line // 1994 International Symposium on Electromagnetic Compatibility EMC'94/Sendai, May 16-20, 1994.- Sendai (Japan), 1994,- P. 29-31.

214. Gunayadin M., Gursey F. Quark structure and octonions //J. Math. Phys.- 1973.-V. 14,- N 11.- P. 1651-1667.

215. Gurlebeck K., Sprobig W. Quaternionic Analysis and Elliptic Boundary Value Problems.- Berlin: Akademie-Verlag, 1989.- 254 pp.

216. Gursey F. Quaternion methods in field theory // Proc. Johns Hopkins Univ.- 1980.-V. 4.-P.

217. Gursey F., Tze H.C. Complex and quaternionic analyticity in chiral and gouge theories I // Ann. Phys.- 1980.- V. 128.- P. 29-130.

218. Haefeli H. Hyperkomplexe Differentiate // Com. Math. Helv.- 1947.- V. 20.- P. 382420.

219. Imaeda K. A new formulation of classical electrodynamics // JL. Nuovo Cim.- 1976.-V. 32 В.- N 1.- P. 138-162.

220. Imaeda K., Tachibana H., Imaeda M., Ohta S. Solutions of the octonion wave equation and the theory of an octonion variable // Nuovo Cim.-1987 V. B100.- N 1.- P. 53-71.

221. Jyfarizadeh M.A.,Snyder M., Tze H.C. Quaternionic mult-s4 instantions in general covariant SU(n) Jang-Mills and HP(n) a-models // Nucl. Phys. Bull.- 1980.- V. 1-P. 221-.

222. Krzywoblocki M., Roht H. Three dimensional stream functions on terms of quaternions // Applikate Matematiky- 1963.- V. 8.-.N 2.- P. 129-149.

223. Kwasniewski A.K. Generalization of Cauchy-Riemann equations // Repts. Math. Phys.- 1985.- V. 22.- N 1.- P. 133-148.

224. Lounesto P. Functions on Clifford algebras // Simon Stevin.- 1988.- V. 62,- N 3-4-P. 243-251.

225. Lukierski J. Complex and quaternionic supergeometry // Supergravity Pros. Workshop, Stone Brook, 1975.- Amsterdam e.a. 1979.- P. 85-92.

226. Lukierski J. Quaternionic and supersimmetric «т-models // Lect. Notes Math.- 1980.— V. 836,- P. 221-245.

227. Marinov M.S. On a class of hyperholomorphic functions // Докл. Болг. АН.- 1988.-V. 41.- N. 9.- P. 15-17.

228. Markl M. Regular functions over conformal quaternionic manifolds // Comm. math, univ. Carol.- 1981.- V. 22.- N 3.- P. 579-583.

229. Marques-Bonham S. The Dirac equation in a non-Riemannian manifold. III. An analysis using the algebra of quaternion and octonions //J. Math. Phys.- 1991.-V. 32.- N 5.- P. 1383-1934.

230. Meska J. Regular functions of complex quaternionic variable // Czechosl. Math. Journ.- 1984,- V. 34 N 1- P. 130-145.

231. Mignani R. Quaternionic form of Superluminal Lorentz transformation // Lett. Nuovo Cimento.- 1975.- V. 13.- N 4,- P. 134-138.

232. Misicu M. Repsolverea unor problème de echilibru in spatii a medulor continue. I. Procedee de calcul eu functii cuaterninoniu // Comun. Acad. RPR.- 1956.- V. 6.- N 1- P. 71-82.

233. Misicu M. Repsolverea unor problème de echilibru in spatii a medulor continue. II. Represeritarea miscarii eluidelor ideale incompresibile // Comun. Acad. RPR.- 1956.-V. 6.-N 1.-P. 83-86.

234. Misicu M. Representarea ecuatilor echilibrului elastic prin functii monogene de cuaterninoni // Bull. Stiint. Acad. RPR. Sect. st. mat.fiz 1957.- V. 9.- N 2.- P. 457-470.

235. Moisil Gr.C. Sur une classe de systèmes d'équations aux derivees partielles de la physique mathématique // Jmp. Gob.- Bucuresti, 1931.- 40 p.

236. Moisil Gr.C., Theodoresco N. Fonctions holomorphes dan's l'espase // Mathematica.-1931.- V. 5.- P. 141-153.

237. Nono K. Runge's theorem for complex valued harmonie and quaternion valued hyper-holomorphic functions // Rev. Rouin. Math, pures et appl.- 1987.- V. 32.- N 2.- P. 155-158.

238. Nono K. On the octonionic linearization of Laplacian and octonionic function theory // Bull. Fukuoka Univ. Educ.: Math., Natur. Sei. and Technol.- 1988.- V. 37.- P. 1-15.

239. Penrod D.D. An analogue of the Kolosoff-Muskhelishvili formulae in three dimensions // Quart, of Appl. Math.- 1966.- V. 23.- N 4.- P. 313-322.

240. Pertici D. Traces de fonctions regulieres de plusieurs variables quaternionniennes // C. R. Acad. sei. Ser. 1,- 1990.- V. 311.- N 1,- P. 37-40.

241. Pezzaglia J.W. Multivector solution to harmonic systems // Clifford Algebras and Appl. Math. Phys.: Proc. NATO and SERC Workshop, Canterbury, 15-27 Sept., 1985.- Dordrecht etc., 1986.- P. 445-454.

242. Rosculet M.N. Functii monogene pe algebre comutative.- Bucuresti: Acad. RSR, 1975.- 339 p.

243. Rosculet M.N. Functii monogene pe algebre necomutative II. Functii monogene pe algebre u8 = At x A2 x N^ // Stud, si cerc. mat.- 1991. V. 43.- N 5-6.- P. 317-325.

244. Ryan J. Complex Clifford analysis and domains of holomorphy //J. Austr. Math. Soc.- 1990.- V. 48.- N 3.- P. 413-433.

245. Sabelfeld K.K., Shalimova I.A. Spherical means for PDEs.- Utrecht, The Netherlands: VSP, 1997. 188 p.

246. Sano K. Cauchy's integral formula in complex Clifford analysis // Simon Stevin.-1991.- V. 65.- N 3-4.- P. 293-317.

247. Sasayama H. On the Cauchy-Riemann equations for the generalized R.Fueter's regularity in the abstract quaternionic normed linear spaces // J. Spat. Math. Sasayama Res. Room.- 1985-87.- V. 22.- N 1. P. 43-56.

248. Sasic M. Application of nonanalytic complex functions and monogen quaternions in fluid mechanics / Ph. D. Thesis.- Belgrad, 1966.

249. Sasic M. Pseudo-zweidimensionale und pseudo-achsensymmetrische Strömungen in Kompressibler Flüssigkeit mit Wirbelpotential // Pabl. Inst. Math.- Beograd, 1968.-V. 8(22).- P. 130-137.

250. Sasic M. Some solutions of the fluid flow equations // Z. Angew. Math. Mech.- 1978.-V. 58.- P. T340-T342.

251. Sasic M. Application of quaternion functions for solving approximate fluid flow equations // Z. Angew. Math. Mech.- 1980.- V. 60.- N 7.- P. T216-T218.

252. Scolarici G., Solombrino L. Quaternionic representation of magnetic groups // J. Math. Phys.- 1997.- V 38(2), February.- P. 1147-1160.

253. Snyder H.H. A theorem of generalized Cauchy-Pompeiu type on finite-dimensional associative algebras // Rend. Circ. mat. Palermo. Ser. 2.- 1990.- V 39.- N 1.- P. 153-168.

254. Sommen F. Martinelli-Bochner type formulae in complex Clifford analysis // Z. Anal, und Anvend.- 1987.- V. 6.- N 1.- P. 75-82.

255. Sommen F. Special functions in Clifford analysis and axial symmetry //J. Math. Anal, and Appl.- 1988.- V. 130.- N 1.- P. 110-133.

256. Sousek V. Complex-quaternionic analysis applied to spin-1 massless fields // Compl. Variables.- 1983.- V 1.- N 4. P. 327-346.

257. Stefano D.L. Quaternions and special relativity // J. Math. Phys 1996.- V 37.- N 6.-P. 2955-2968.

258. Straubel K.P. A note on some monogenicity criterions arising in Clifford analysis // Simon Stevin.- 1990.- V. 64.- N 3-4.- P. 209-220.

259. Sudbery A. Quaternionic analysis // Math. Proc. Cambr. Phil. Soc 1979.- V. 85-N 2.- P. 199-225.

260. Tsalik A.M. Quaternionic. representation of the 3D elastic and thermoelastic // Math. Methods Appl. Sci.- 1995.- V 18.- N 9.- P. 697-708.

261. Valasec M., Stejskal V. The comparison of matrixs and quaternion approaches towards kinematics // Acta techn. CSAV 1988.- V 33.- N 1,- P. 118-136.

262. Vargova E. Solutions of three direct inhomogeneous magnetic problems by means of analytical four-vectors // Contribs. Geophys. Inst. Slowak Acad. Sci.- 1977.- V 8.- P. 63-67.

263. Vasilevsky N., Shapiro M. Some questions of hypercomlex analysis // Complex Analysis and Appl.'87: Pap. Int. Conf., Varna, May 10-16, 1987.- Sofia, 1989,- P. 523-531.

264. Voronjec K. Sur l'appliation des quaternions monogenes dans la mecanique des fluides // Extr. du GLAS CCXLYII de l'Acad. Serbe Sei. Arts.- Belgrede, 1961.- V. 5,- P.

265. Voronjec K. Sur l'appliation de quaternions monogenes dans l'ecoulement a potentiels de tourbillons // Publ. de l'inst. math. Nouv. ser 1967.- V. 7(21).- P. 69-79.

266. Список обозначений и сокращений

267. К множество вещественных чисел; С - множество комплексных чисел; <0> - множество кватернионов;

268. К" п-мерное вещественное евклидово пространство;1. П область в К3;90 граница области О;

269. П = П и дП замыкание области области О;

270. НпДП) множество гармонических в области Q функций / : fi ^ Е х R х ••• х К;1. А(П) = Я(П) Л С0(ft);1. И = Hi;

271. Г оператор радиального интегрирования, действующий по правилу:о1. СКР система Коши-Римана;

272. СМТ система Моисила-Теодореску;

273. ВТН волна тока и напряжения.