автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование, оценка и выбор многопериодных инвестиционных проектов в условиях риска

На правах рукописи

НЕФЁДОВ Алексей Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ОЦЕНКА И ВЫБОР МНОГОПЕРИОДНЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В УСЛОВИЯХ РИСКА.

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ии3460114

Тверь 2008

003460114

Работа выполнена на кафедре математической статистики и системного анализа факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета

Научный руководитель

доктор техн. наук, профессор

Михно Владимир Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор доктор техн. наук, профессор

Язенин Александр Васильевич Заложнев Алексей Юрьевич

Ведущая организация

Тверской государственный технический университет.

Защита состоится 30 января 2009г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Желябова, д. 33, ауд. 52.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Володарского, д. 44а.

Текст автореферата и объявление о защите размещены на сайте Тверского государственного университета

http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/

Автореферат разослан «30» декабря 2008 г. Ученый секретарь

диссертационного совета

Михно В. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследований. Проблема принятия эффективных инвестиционных решений в условиях неопределенности занимает одно из центральных мест в современной теории и практике инвестирования. К настоящему времени разработано множество методов решения задач оценки и выбора инвестиционных проектов. Однако все многообразие возникших в последнее время явлений, часть из которых еще не изучена, не может быть "втиснуто" в узкие рамки постулатов разработанных методов, что приводит к получению ошибочных результатов и выводов. .

Одно из основных направлений учета неопределенности в методах инвестиционного анализа определяется предположением о ее стохастической природе. Диссертационная работа ограничена рамками указанного направления. Слабым местом разработок в этой области является достоверность используемых вероятностных распределений количественных критериев оценки проекта, а также возможность реального получения статистических данных. Последнее привело к ориентированности основной массы исследований на инвестиции в нематериальные активы. Анализ показал, что оценка инвестиций в материальные активы, как правило, осуществляется узкоспециализированными методами, неприменимыми к широкому классу задач современного инвестиционного анализа, что требует совершенствования общего методического аппарата выбора долгосрочных инвестиционных альтернатив. Кроме того, при решении задач выбора проектов, как правило, используются упрощенные подходы, не учитывающие особенности предпочтений лица, принимающего решения (ЛПР), либо требующие заведомо недоступную исходную информацию. Еще одним объектом критики известных подходов является отсутствие учета финансовых ограничений, сопровождающих реализацию проекта в среднесрочной и долгосрочной перспективе в условиях стохастической неопределенности. Важно подчеркнуть, что последствия принятого инвестиционного решения отложены во времени и для проверки достоверности решения необходимо применение математического моделирования.

Указанные обстоятельства определяют актуальность задачи развития математических моделей и методов оценки и выбора многопериодных инвестиционных проектов (МИП).

Цель диссертационной работы. Целью диссертации является разработка математических моделей, методов, алгоритмов и программной системы поддержки принятия инвестиционных решений в условиях ограниченного рынка капитала, различных типов отношения ЛПР к риску и стохастической неопределенности при неизвестности вероятностных распределений исходов МИП.

Для достижения сформулированной цели в работе решаются следующие задачи:

1) определение критериев качества МИП, отражающих многопериодные аспекты реализации проекта, и разработка методов и алгоритмов оценки критериев;

2) разработка обобщенных моделей выбора МИП в условиях риска на основе концепции ожидаемой полезности;

3) разработка метода и алгоритмов восстановления функции полезности, учитывающих различные типы отношения ЛПР к риску;

4) разработка метода решения задач выбора МИП в условиях неизвестности вероятностных распределений исходов МИП с использованием имитационного моделирования;

5) разработка метода генерирования (моделирования) вариантов исходного множества инвестиционных альтернатив;

6) разработка комплекса программ поддержки принятия инвестиционных решений.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался аппарат теории вероятности, математической статистики, теории случайных процессов, теории полезности, методы и алгоритмы теории инвестиционного анализа, методы многокритериальной оптимизации, элементы теории сложных систем, теории проектирования и разработки кроссплатформенного программного обеспечения.

Основные результаты, выносимые на зашиту:

1) критерий оценки и учета динамики капитализации МИП, а также метод и алгоритм его расчета, основанные на понятии инвестиционного коридора и операциях дисконтирования и наращения капитала;

2) метод решения задачи выбора МИП в условиях неизвестности вероятностных распределений исходов МИП при ограниченных финансовых ресурсах с учетом критериев остатрчной стоимости, уровня финансовых изъятий на потребление и оценки динамики капитализации МИП;

3) метод генерирования (моделирования) вариантов исходного множества МИП;

4) комплекс программ поддержки принятия инвестиционных решений на базе разработанных методов и алгоритмов.

Научная новизна результатов состоит в том, что в отличие от известных подходов, выбор оптимальных с точки зрения ЛПР МИП осуществляется при отсутствии информации о структуре и свойствах вероятностного распределения исходов МИП. Разработанные новые постановки задач и методы их решения обеспечивают учет свойств динамики капитализации МИП.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением аппарата теории инвестиционного анализа, теории полезности, теории вероятностей и математической статистики, и подтверждается верификацией результатов, полученных путем численных экспериментов при выполнении условий применения традиционных подходов, а также численной аттестацией с использованием стресс-тестирования.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации модели, методы и алгоритмы оценки и выбора МИП, а также портфельной оптимизации развивают современную теорию инвестиционного анализа в части расширения инструментария по выбору МИП в условиях стохастической неопределенности и позволяют расширить круг решаемых практических задач.

Разработанный методический аппарат, а также созданный на его основе программный комплекс обеспечивают решение задач оценки и выбора МИП в. условиях доступной исходной информации.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 14-й и 15-й всероссийских научных конференциях "Современное телевидение" (ФГУП МКБ "Электрон", г. Москва 2006 и 2007гг.); на научных семинарах факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета и заседаниях кафедры математической статистики и системного анализа.

Публикации. Основные положения диссертации отражены в 6 научных публикациях, среди которых 2 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения, списка литературы, перечня условных обозначений и двух приложений. Содержание работы изложено на 156 страницах (включая 14 страниц приложений) и содержит 35 рисунков и 18 таблиц. Список литературы включает 107 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулирована его цель, описана структура и дан краткий обзор работы, приведены основные научные результаты, выносимые на защиту, раскрыта новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе раскрыта сущность задачи оценки и выбора инвестиционных проектов, проведен критический анализ классических и современных методов теории инвестирования: теории оптимального портфеля Марковица, модели САРМ (Capital Assets Pricing Model), модели APT (Arbitrage Pricing Theory), модели случайных блужданий и концепции расчета опционов, метода Value-at-Risk.

Сформулирован перечень проблем, составляющих существо исследования, на основе которых проведена общая математическая постановка задачи оценки и выбора МИП в условиях риска.

Пусть имеется некоторое множество I = {/j,...,/^} инвестиционных альтернатив и задано отображение Ä:I-»R, такое, что выбор проекта /е I приводит к результату /?(/) е R, который характеризуется набором H = {/?,,...,/!„,} критериев количественного измерения целей ЛПР.

В условиях неопределенности состояния инвестиционной среды выбор решения /е I не гарантирует достижения конкретного результата /?(/). Согласно предположениям теории риска альтернатива / е I характеризуется вероятностным распределением (р1 (/?), а множество альтернатив I

порождает множество распределений Ф = )■ Для сравнения

распределений воспользуемся концепцией ожидаемой полезности. Пусть и (И) функция полезности (ФП), отражающая предпочтения ЛПР на

критериях Н. Тогда проблема выбора наилучших альтернатив 1ер> сводится к решению следующей задачи:

= (1)

На основе поставленной задачи формируется структура исследования, которая включает следующие этапы:

1) определение перечня Н количественных критериев, характеризующих МИП согласно наиболее распространенным целям ЛПР;

2) уточнение формального представления МИП и определение необходимых исходных данных, обеспечивающих оценку критериев Н;

3) разработка методов восстановления функции полезности отражающей предпочтения ЛПР на критериях Н;

4) разработка методов и алгоритмов оценки критериев Н;

5) разработка методов и алгоритмов численного решения поставленной задачи в условиях отсутствия информации о распределениях из Ф;

6) разработка метода генерирования вариантов 1,,12,...,14 исходного множества I инвестиционных альтернатив и исследование устойчивости полученного решения;

7) создание комплекса программ на базе разработанных методов и алгоритмов, и проведение численных экспериментов.

Вторая глава содержит изложение основных теоретических результатов, полученных автором в процессе исследования.

Наиболее распространенной измеримой целью инвестирования является стремление ЛПР к увеличению благосостояния, что выражается в одновременном стремлении к максимальной остаточной стоимости (ОС) МИП и максимальному уровню потребления. Таким образом, задача (1) является двухкритериальной. Рост финансовых изъятий на потребление приводит к сокращению ОС. Для исключения противоречия осуществляется фиксация одного из критериев на требуемом ЛПР уровне, то есть рассматриваются два варианта выбора МИП: с позиций максимальной ОС при требуемом уровне изъятий на потребление; с позиций максимального потребления при достижении требуемой ОС.

Исходные данные по МИП представляются в виде финансового плана /(г), содержащего следующую информацию: запланированный денежный

поток с? (?); пессимистичный и оптимистичный с точки зрения ЛПР сценарии развития МИП в рамках инвестиционного горизонта Г; временную структуру /(/) предполагаемых финансовых изъятий (т.е. при определенном на момент /0 = 0 уровне изъятий К, их объем, в момент времени составит

/«п

В каждый момент времени г состояние МИП характеризуется капитализацией (остаточной стоимостью) С(г,/(г),К) или С/(У), которая

зависит от капитализации в предыдущий момент, от данных финансового плана и уровня изъятий У. В условиях стохастической неопределенности динамика капитализации МИП в период [I,Т] представляет собой случайный процесс С,, реализация С, которого характеризует исход МИП. Зависимость ОС Ст е Л1 МИП от всей траектории С, представим в виде функции Ст (с,).

Наличие пессимистичного С(/) и оптимистичного С(?) сценариев, в совокупности формирующих инвестиционный коридор позволяет выработать дополнительную информацию характеризующую расположение С, относительно На основе

этой информации МИП ранжируются по предпочтению при прочих равных условиях. Данный тезис опирается на очевидное обстоятельство,

проиллюстрированное на рис. 1, где

Реализация МИП 1

Реализация МИП 2

Реализация МИП 3

А

С.

о" т ' о

сш

Г*!

Рис. 1

Зависимость значения от всей траектории С, символически

представим в виде функции

С учетом введенных критериев при стремлении ЛПР к ОС задача (1) конкретизируется в следующем виде:

Г"' ^цвт»| |М(сг(с/(г)),9(с/(7"')))/(с/(г)ус/(г)|, (2)

где I = (?),/2 ('),••■, 1ц (?)} - множество инвестиционных

альтернатив, 7й' - требуемый уровень изъятий, <р! (с/1 - распределение

случайной функции С/, м(Сг,<у) - ФП ЛПР, определенная на показателях ОС и оценки траектории МИП.

Постановка задачи при стремлении ЛПР к максимальному потреблению имеет вид:

1°^=^гётюс| (з)

здесь У' - обеспечиваемый проектом / уровень изъятий, такой что

|сг(с/(у;))-с"'|<л,

С" - требуемая ОС МИП на момент Т, А - заданное ЛПР допустимое отклонение от С"", и,(к/) - распределение случайной величины У/,

г^К/.^У/- ФП, определенная на показателях обеспечиваемого уровня

изъятий и оценки траектории ?(!/*) = <?(с/(У/*)) МИП.

Если ЛПР способно предоставить информацию ¿(7) о своих кредитных ограничениях, то в задачах (2), (3) возможен учет события провала МИП во избежание выбора потенциально нереализуемых альтернатив. Необходимость в привлечении заемных средств появляется, когда С(г)<0, то есть требуемый объем заимствования на момент / равен -С(/) и МИП провален, если возникает событие

А = {3/е [1,74 :-<:(/)>£(;)}.

Очевидно, что полезность исхода МИП при событии А должна быть равна О, поэтому в данном случае в задачах (2), (3) используются ФП вида: %(СГ(С,),9(С,)) = ^(С,)»(СГ(С,),9(С,)),

.ЛМПН^МММО).

О, С, е А,

где JA (С,) - индикатор события А: 3А (С,)

[1, С, г А.

Задача (2) может быть обобщена на портфельный случай, где инвестиционной альтернативой является вектор г = долей

капитала, распределенного между проектами из I, а множество альтернатив И = : ^Г^г, =1| есть множество допустимых портфелей. Однако

задача в такой постановке обладает существенной вычислительной емкостью, которая для большинства портфелей может быть излишней. Это касается оценивания траекторий С, портфеля х при очевидно неудовлетворительной его ОС. Поэтому предлагается упрощенная постановка, где каждый портфель оценивается только с позиций ОС:

Zop' = /Irgmaxi J uL(CT(z))g(CT(z))dCT\, (4)

zeZ [ctM J

здесь «¿(Cr(z)) - ФП, определенная на показателе Cr(z) ОС портфеля, g(Cr( z)) - плотность распределения вероятностей величины Ст(г) = Ст(С,(z)) = Xh^(ci(ziУ"))> z<,i" ~ множество оптимальных портфелей. Предполагается, что бремя финансовых изъятий распределяется на проекты портфеля в соответствии с их долей, то есть z,F" - уровень финансовых изъятий из проекта /, е I. В случае, если решение не

единственно, для множества Zopl решается задача (2), где I = Z"pl. Для решения поставленных задач необходимо:

1) построитьФПЛПР: и(СГ), u{CT,q), v[y'

2) разработать метод оценки траектории С, МИП (расчета д(с,));

3) определить процедуру Ст [С,) расчета ОС МИП;

4) определить распределения ср' (с/ j, Uj (}/*), g(C7(z)), V/s I, VzeZ. Пусть далее x — один из рассмотренных выше критериев (х-Ст или

х = д, или x = Y*). Восстановление ФП на критерии х осуществляется с использованием известных методов, основанных на интервальных оценках предпочтений ЛПР, представляемых областями [х" ,xf] расположения детерминированных эквивалентов х, лотерей Л(х,,/г) = (х, -h,xi + /г,0.5,0.5), h> Ос неопределенным выигрышем х, = { jc, - h,x, + h\. На основе анализа

множества {л^й)]^ лотерей устанавливается параметрическое семейство U ФП, зависящее от вектора параметров X = (Л,,...,Л„), то есть проводится структурная идентификация ФП. Параметрическая идентификация ФП г/(х,).)е U осуществляется с использованием метода наименьших квадратов, что формализуется в виде задачи условной оптимизации

("' 2 хХ j = arg min ^(м (х,,Х) — ,

где г7(х,,>.) - ожидаемая полезность лотереи Л(х,,й), m - число лотерей. Двухкритериальная ФП и(х,у) представляется в аддитивной форме и(х,у) = кхих(х) + к}:иу(у), в предположении о независимости по полезности критериев х и у, где кх,ку >0, кх +ку-\ - шкалирующие константы, ых(х), иу(у) - условные

однокритериальные ФП. Для задачи (2) х = Ст, у = ц, а для задачи (3)

Траектория МИП оценивается при помощи разработанного метода компенсации, учитывающего выходы траектории за границы .

Пусть далее С(/) - траектория (реализация случайного процесса С,), описывающая динамику капитализации исхода МИП, АС(/) = С(/)-С(г) и ДС(/) = С(/)-С(?) - отклонения от границ

(с(г),с(г)), ЛС(/)<0 -

упущенный капитал в момент времени Соответственно ДС(/)>0 — дополнительный капитал. Непрерывные множества таких моментов есть негативный М~ = {/| ДС(/)<0} и позитивный Л/+ = {/|ДС'(/)>0} периоды

реализации МИП (рис. 2), а М = |м~| — множество негативных и М = |л/+|

- множество позитивных периодов на [^Г].

д\М I д!М*\

Тогда совокупный упущенный капитал цуМ j в период М равен

<?(М") = | АС(г)сЛ,

а совокупный дополнительный капитал ) в период М+

я(м+) = | ДС(/)сЙ.

/с=ЛГ

Оба показателя представляют собой оценку траектории МИП в период М~ и М+ соответственно. Компенсация при помощи

осуществляется с использованием операции дисконтирования. Объем совокупного капитала, предназначенного для компенсации, определяется соотношениями

<7(аГ,М+)= | АС{т,т + Ы)с1т,

ГбМ'

ДС(г,/) = ДС(г,/) \ г-х{т^)у(г{т,1)Щт,1),

ДС(г,/) = тщ{ДС(г), ДС(/)}, где ДС(г,?) - дисконтированный к моменту времени г капитал, полученный в момент /, Д? = тГМ+ -infМ~, г(т— норма дисконта между моментами г и /(г(г,/)) - плотность распределения нормы дисконта.

Величина л(г,/) рассчитывается по формуле сложных процентов

г(г,0 = П(1 + *(/)),

/=г

где коэффициент дисконтирования к{1) в момент времени / определяется с использованием уравнения Фишера

*(/) = *(/) + /(/) + *(/)/(/), где з(1) - кредитная процентная ставка, а /(/) - уровень инфляции.

В случае обратного расположения периодов М~ и М+ на временной оси компенсация осуществляется с использованием операции наращения: <7(М',М+)= _[ АС(т,т + А()с1т,

теМ*

ДС(г,0 = ДС(т,/) / г(лОЯгМ>*М»

К'.') _

АС(т,г) = шт{ДС(г), ДС(*)}, где ДС(г,/) - наращенный к моменту времени I капитал, момента т.

Компенсация символически представляется в виде следующих соотношений:

где ) - остаточный упущенный капитал компенсируемого периода М~, а - остаточный дополнительный капитал компенсирующего

периода М+, Если в результате компенсации 0, то Мн = М/М+

(рис. 3), если = 0, то Мн = М/М~.

Компенсация завершается, когда Мн =0 или Ми - 0. В итоге формируется траектория С(/) с выходами только за одну из границ (с(0'<--,(0)' л"бо полностью лежащая в его рамках.

д(М'М+1 дIМ' ) Ч\М*\ = О /

си\

т I Рис. 3

Для корректного сравнения МИП остаточный или упущенный капитал траектории С(() каждого МИП дисконтируется к начальному моменту времени. В итоге оценка ц траектории МИП равна

X I Щ*) 1 г-1(о,/)у(г(о,/)>гг(о,^, Л/Я=0,

'+=Л/Я 1еМ+ г(0,1)

9 = 1 X / г-1(0,/)г(г(0,/))яег(0,/>й, Мя=0,

М'^МН К0-')

гН _ГЯ > гН _ 0

о, м" = 0, лг

где ДС(г) = С(/) - С(*) < 0, ДС(?) = С(/) - С(*) > 0.

Критерий qeRl положительно ориентирован и представляет собой денежную оценку расположения траектории МИП относительно Важно отметить, что по своему смыслу он близок к критерию

ОС, что делает его понятным для ЛПР, в той степени, при которой становится возможным выявить его предпочтения на данном показателе.

Определить распределения иДу/), g(C7.(z)), V/е I, \fzeZ,

а также /(г(г,г)) аналитически не представляется возможным. В этих условиях решение задач (2), (3), (4) осуществляется с использованием имитационного моделирования (ИМ). Модель реализации каждого МИП описывается парой (С,,0), где - расчетный метод ОС

МИП, а © = {/?!,...,ри} - совокупность вероятностных моделей параметров инвестиционной среды, обуславливающих исход МИП. Примером такого метода может служить следующий известный подход:

С,-

А, — С,_| > Ьп

(5)

где параметрами среды являются: /?, - процентная ставка для дополняющих инвестиций; я, - ставка для дополняющих заимствований на период [/ -1,/].

Динамика среды представляется векторным процессом х(/) = (х,(/),...,дгп(/)) с независимыми компонентами в предположении, что каждый процесс х1 (/) стационарен и описывается моделью € фубых ошибок с плотностью:

Р, (*,) = (1 - ^Ж(я„с7,2) + е,ф(х,), (6)

где Ы(а1, <т,2) — плотность усеченного нормального распределения с математическим ожиданием а, и дисперсией а}, ф(х,) - плотность равномерного распределения на отрезке [<аг, -Запа1 +3сг,] или [0, а1 + Зо", ], если я, -3<х, < 0, а е, е [0,1] - вероятность того, что реализация величины х, принадлежит равномерному закону ф{х^. Параметры а1,а1,е1 оцениваются с использованием критериев математической статистики на основе статистических данных.

Процесс решения задач (2—4) представим следующим образом: к ИМ <(5,У,Р> и у

-><Х> -> <Ф,Р,У>->1ор', здесь 8 - совокупность статистических данных;

С , к< N - множество выбранных ЛПР

расчетных моделей ОС МИП; К - процедура параметрической идентификации распределения (6); Е = - совокупность

вероятностных моделей параметров инвестиционной среды; Х = {х(/)|?е[1,Г]}"1 - множество сгенерированных реализаций

инвестиционной среды; О - алгоритм оценки траектории МИП; У - алгоритм поиска обеспечиваемого МИП уровня изъятий; Р - процедура поиска

оптимального портфеля МИП; Ф = Г^/;^')}^,

- выборочные распределения ОС, оценки траектории МИП и обеспечиваемого уровня изъятий соответственно; и,у - оценки ожидаемых полезностей на т имитациях. Число имитаций для задач (2), (3) определяется известными статистическими методами. Для задачи (4) предложен метод последовательного наращения числа имитаций до достижения устойчивого решения.

В данной главе также предложены алгоритмы проверки допустимости использования модели (6) для ОС МИП по информации о распределениях

{/>,(х,)}"=), путем формирования с использованием ИМ набора двумерных сеток, содержащих допустимые значения параметров апри которых распределение ОС может быть описано моделью (6).

Третья глава посвящена экспериментально-вычислительным аспектам и содержит описание разработанного комплекса программ (КП), метода генерирования вариантов исходного множества инвестиционных альтернатив, а также описание условий и процесса проводимых вычислительных экспериментов, анализ полученных результатов.

КП включает в себя пользовательский интерфейс, базу методов расчета ОС МИП, базу статистических данных и функциональные модули, решающие следующие задачи: восстановление ФП ЛПР; имитационное моделирование, расчет и оценку траекторий МИП; выбор МИП с позиций ОС; выбор МИП с позиций обеспечиваемого уровня изъятий; поиск оптимального портфеля МИП. Структура КП представлена на рис. 4.

Программный продукт, разработан на языке С++ в среде Microsoft VisualStudio.NET 2005 на основе объектно-ориентированного и обобщенного подходов. Код программной системы собран под операционные системы семейства Microsoft Windows с использованием компилятора Visual С++ 8.0. Также возможна сборка под операционные системы на ядре Linux с использованием компилятора GNU С++ compiler 4.2. Пользовательский интерфейс разработан на основе средств кроссплатформенной библиотеки TrolltechQt 4.2.3.

По причине большой вычислительной емкости задач (2), (3), (4) в рамках реализации КП проведена модификация разработанных алгоритмов к использованию параллельных вычислений. Предложена процедура гибридного поиска оптимального портфеля, а также проведено сравнение эффективности параллельных и последовательных вычислений на численном

Также затронуты вопросы моделирования псевдослучайных величин с равномерным, нормальным и распределением вида (6). Рассмотрены применяемые в работе генераторы псевдослучайных величин: поставляемый со стандартной библиотекой языка С++, модифицированный генератор Парка-Миллера с использованием метода перетасовки Байса-Дюрхема и генератор на основе алгоритма Л'Экюера. Осуществлена оценка их быстродействия.

Проведен эксперимент по решению поставленных задач с целью апробации и аттестации разработанных методов и алгоритмов. В качестве множества альтернатив рассматривались следующие МИП: «Сбор и переработка сильнозагрязненных полиэтиленовых бутылок в чистые хлопья вторичного полиэтилентерефлата» (Проект А); «Переоборудование самолёта Ту-134 в вариант УЛ.Р.» (Проект В); «Производство стабилизатора эластомерных изделий» (Проект С); «Приобретение оборудования для замены действующей техники в целях энергосбережения» (Проект О). Информация по МИП предоставлена бизнес-порталом «ВеНпуеБЬ). Исходные данные приведены в таблице 1.

В качестве метода оценки ОС для всех МИП применялась модель (5). Параметры распределений процентных ставок и уровня инфляции оценивались на базе статистической информация за период с 1995 по 2006 год по данным Центрального Банка РФ (таблица 2). В результате решения задачи (2) МИП были ранжированы по предпочтению следующим образом: БуА>СуВ.

Таблица 1. Инвестиционные альтернативы (тыс. Ц5Р).

Момент времени 0 1 2 3 4 5 6

Проект А (денежный поток) -572 378,9 352,2 306,4 278,9 277,5 276,8

Структура изъятии 1.00 1.10 1.21 1.33 1.46 1.53 1.64

Пессимистичный сценарий -572 -442 -190 117 305 573 850

Оптимистичный сценарии -572 -342 -90 217 405 673 950

Кредитные ограничении 600 600 600 600 600 600 600

Проект В (денежный поток) -74 -426 229,9 229,9 229,9 229,9 229,9

Структура изъятий 1.00 1.10 1.21 1.33 1.46 1.53 1.64

Пессимистичный сценарий -74 -750 -520 -290 -160 20 100

Оптимистичный сценарий -74 -650 -420 -190 -60 120 200

Кредитные ограничении 600 600 600 600 600 600 600

Проект С (денежный поток) -500 209 544,5 544,5 544,5 544,5 544,5

Структура изъятий 1.00 1.10 1.21 1.33 1.46 1.53 1.64

Пессн и исти чны й сцена ри й -500 -541 -97 447 891 1135 1379

Оптимистичный сценарий -500 -441 3 547 991 1235 1479

Кредитные ограничения 600 600 600 600 600 600 600

Проект 0 (денежный поток) -500 401,2 401,2 401,2 411,8 411,8 411,8

Структура изъятий 1.00 1.10 1.21 1.33 1.46 1.53 1.64

Пессимистичный сценарий -500 -346 58 462 771 1080 1189

Оптимистичный сценарий -500 -246 158 562 871 1180 1289

Кредитные ограничения 600 600 600 600 600 600 600

Таблица 2. Статистические данные (%).

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Депозитная ставка 71 44,4 16,8 17,1 24,2 6,5 4,9 5,0 4,5 3,8 4,0 4,1

Ставка по кредитам 147,4 91,4 32,0 41,8 45,5 24,4 17,9 15,7 13,0 11,4 10,7 10,5

Уровень инфляции 131,3 21,8 11,0 84,4 36,5' 20,0 18,6 15,1 12,0 11,7 10,9 9

При проведении численной аттестации исследовалась устойчивость полученного решения на эталонных данных (табл. 1). Для этого был разработан метод генерирования множества I альтернатив, в котором отношение между элементами денежных потоков МИП на каждом временном срезе соответствует эталону I.

Пусть ¿'=(</,',...,¿г) _ эталонный денежный поток МИП /,е1, г, = {¿;оД2оД3о3,...,оЛ,^д'%_ДЛ') - отношение между элементами денежных потоков на I на временном срезе /, где е {<,>,=}, V/ = 1, Л' -1. Тогда К = {г,}^, эталонное отношение денежных потоков на I.

Элемент денежного потока с?/ рассматривается как случайная величина с распределением (6) при параметрах а\ = , £¡=0,5, а су', определяется следующим образом:

1) ранжируются элементы эталонных потоков г?,1 < <... < ;

2) для каждого рассчитывается величина А<5/:

0,5(¿;+1-<5;), /=1,

0,5^;-С1), / = ЛГ;

3) используя правило трех сигм, рассчитывается а', = М', / 3.

В результате модель денежного потока (1' представляется набором {б'а, <?, с,} 0 • Инвестиционный коридор (с;,С/) для сгенерированного потока 5' формируется путем корректировки эталонного коридора [с'^с'^, Уг = 1 ,Т. Для этого на основе д' и 3' вычисляются траектории МИП без учета влияния инвестиционной среды:

Далее вычисляются отклонения траектории С,' от граниш С,',С/):

лс; = с;-с;, лс; =с;-с;,

отклонения траектории С,' от фаниц :

дс;=с;-с;, ас;=С;-С;,

и восстанавливается :

С =й' +(ас;-АС;), <?; =с;-(АС;- АС;).

Данный метод позволяет частично снять предположение об известности будущих денежных потоков МИП и исследовать результаты, получаемые в этих условиях. Для проводимого эксперимента (табл. 1) была сформирована статистика (табл. 3) решений задачи (2) на сгенерированном потоке 1^12,множеств МИП. Результаты аттестации подтвердили устойчивость полученного решения, так как ему соответствует 81% полученных результатов, а выбранному оптимальному МИП (проект Б) -88%. Остальные 12% порождаются вероятностной природой описанного метода (пофешность аттестации).

Таблица 3. Результаты аттестации.

Результат Доля имитаций, % (с учетом динамики) Доля имитаций, % (без учета динамики)

Б>- А>-С > В 81 35

А>й>С>-В 12 37

БуА>-В>С 4 21

И>С>А>В 3 7

Далее исследовалась корректность разработанных методов и алгоритмов путем сравнения результатов задачи (2) с результатами традиционной задачи выбора, т.е. задачи (2) с использованием метода (5) при отказе от критерия оценки траектории МИП и использовании нормального распределения для параметров инвестиционной среды вместо модели (6). Сравнение результатов (табл. 4) показало их совпадение, однако ожидаемые полезности проектов А и Б, во втором случае, практически одинаковы, т.е. необходима дополнительная информация во избежание неоднозначности выбора. Использование таковой осуществляется при учете оценки траектории МИП, что подтверждается при проверке устойчивости решений классической задачи на потоке тестовых МИП (табл. 3).

Таблица 4. Результаты валидации.

йл(Сг)

Проект А 1301.417 597.172

Проект В 856.387 396.237

Проект С 932.724 488.011

Проект й 1773.051 608.123

Таким образом, подтверждена корректность разработанных методов и алгоритмов для решения задачи выбора МИП с позиций максимальной ОС.

Аналогичным образом проведена аттестация для остальных задач.

Заключение

Таким образом, в диссертационной работе:

1. Проведен анализ текущих результатов по проблематике исследования, сформулирована обобщенная математическая постановка задачи выбора МИП в условиях риска и определена структура исследования (глава 1);

2. Конкретизированы математические постановки задач выбора МИП и портфелей в условиях неизвестности вероятностных распределений исходов МИП при ограниченных финансовых ресурсах и стремлении ЛПР к максимальной остаточной стоимости или обеспечиваемой доходности с учетом нового критерия динамики капитализации МИП (глава 2);

3. Разработан метод и алгоритм оценки динамики капитализации МИП, алгоритмы оценки обеспечиваемой доходности и поиска оптимального портфеля МИП (глава 2);

4. Разработан метод решения обобщенных задач оценки и выбора в постановках (2), (3) и (4) с использованием имитационного моделирования;.

5. Разработан метод генерирования (моделирования) тестовых МИП и аттестованы предложенные в работе методы и алгоритмы. Подтверждена достоверность полученных результатов (глава 3).

6. Разработан комплекс программ поддержки принятия инвестиционных решений, описана его структура, принципы работы, предоставляемые возможности и пользовательский интерфейс (глава 3);

7. Проведены адаптация разработанных алгоритмов к применению параллельных вычислений и сравнение эффективности с последовательными решениями на численном эксперименте (глава 3);

Перечисленные результаты определяют совокупность математических моделей, методов, алгоритмов, описывающих единый подход к оценке и выбору различных по структуре и свойствам МИП, и составляют основу разработанного комплекса программ поддержки принятия инвестиционных решений.

Публикации по теме диссертации

в изданиях, рекомендованных ВАК России:

1) Нефедов А.Н. Применение имитационного моделирования к решению задачи многопериодного портфельного анализа в условиях риска // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика» - № 27 (55). - 2007. - Вып. 7. - Тверь: ТГУ. - С. 139 - 147.

2) Михно В.Н., Нефедов А.Н. Методы оценки и выбора инвестиционных проектов в условиях риска // Международный журнал «Проблемы теории и

практики управления» Международное научно-практическое приложение «Программные продукты и системы».-2007-№4 (80). - С. 73 -75;

другие издания:

1) Катулев А.Н., Нефедов А.Н. Введение в математические основы моделирования экономических процессов: Учеб. пособие. - Тверь: ТвГУ, 2007.-156 с.

2) Нефедов. А.Н. Идентификация распределения искажений телевизионного сигнала на выходе тракта Н Труды 15-й Всероссийской научно-технической конференции «Современное телевидение», Москва: ФГУП МКБ «Электрон», март 2006г. - С. 169 - 172.

3) Нефедов. А.Н. К вопросу об оценке распределения многомерного информационного потока // Труды 15-й Всероссийской научно-технической конференции «Современное телевидение», Москва: ФГУП МКБ «Электрон», март 2007г.-С. 185- 188.

4) Нефедов А.Н. Выбор оптимальных инвестиционных проектов в условиях риска // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика» II (39). - 2007. - Вып.5. - Тверь: ТГУ. - С. 97 -104.

Технический редактор А.В. Жильцов Подписано в печать 26.12.2008. Формат 60 х 84 V|6-Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ № 472. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63.

Список используемых сокращений.

Введение.

Глава 1. Постановка задачи исследования

1.1. Основные положения.

1.2. Критический анализ текущих результатов по проблематике исследования.

1.3. Постановка задачи. Структура исследования.

Глава 2. Математические модели, методы и алгоритмы оценки и выбора инвестиционных проектов в условиях риска.

2.1. Постановка задач выбора инвестиционных проектов.

2.1.1. Определение целей инвестора.

2.1.2. Форма представления многопериодного инвестиционного проекта.

2.1.3. Постановка задачи выбора проектов с позиций остаточной стоимости.

2.1.4. Постановка задачи выбора проектов на основе обеспечиваемого дохода.

2.1.5. Постановка задач выбора с учетом кредитных ограничений инвестора.

2.1.6. Задача формирования оптимального портфеля.

2.2. Механизмы выбора проектов на основе предпочтений инвестора.

2.2.1. Восстановление одномерной функции полезности на неопределенных исходах.

2.2.2. Восстановление двумерной функции полезности на неопределенных исходах.

2.3. Методы оценки критериев инвестиционного проекта.

2.3.1. Метод оценки остаточной стоимости многопериодного проекта с использованием имитационного моделирования.

2.3.2. Метод оценки динамики капитализации многопериодного инвестиционного проекта.

2.3.3. Определение нормы дисконта.

2.4. Дискретизация задач и их численное решение.

2.4.1. Алгоритм оценки траектории проекта.

2.4.2. Алгоритм поиска обеспечиваемого уровня изъятий.

2.4.3. Процедура поиска оптимального портфеля.

2.4.4. Определение числа имитаций для задач выбора проектов.

2.4.5. Определение числа имитаций при решении портфельной задачи.

2.5. Структурная идентификация распределения показателя остаточной стоимости проекта.

2.5.1. Одномерный случай.

2.5.2. Многомерный случай.

Глава 3. Описание программной системы.

3.1. Общая характеристика программной системы.

3.2. Краткое описание пользовательского интерфейса.

3.2.1. Главное окно. Базы данных.

3.2.2. Восстановление функции полезности.

3.2.3. Оценка и выбор проектов с позиций капитализации.

3.2.4. Оценка и выбор проектов с позиций обеспечиваемого дохода.

3.2.5. Определение ограничений на параметры распределений входных данных.

3.3. Моделирование псевдослучайных величин.

3.4. Параллельные вычисления.

3.4.1. Оценка проектов.

3.4.2. Поиск оптимального портфеля.

3.4.3. Построение системы ограничений на параметры распределений.

3.5. Численное тестирование.

3.5.1. Метод формирования тестовых инвестиционных проектов.

3.5.2. Описание входных данных.

3.5.3. Восстановление функции полезности.

3.5.4. Создание имитационной модели для генерации тестовых проектов.

3.5.5. Создание имитационной модели для параметров инвестиционной среды.

3.5.6. Оценка и выбор инвестиционного проекта с позиций остаточной стоимости.

3.5.7. Оценка и выбор инвестиционного проекта с позиций обеспечиваемого дохода.

3.5.8. Поиск оптимального портфеля.

Современное состояние и актуальность темы исследований.

Проблема принятия эффективных управленческих решений в условиях возможности наступления неблагоприятного события, приводящего, прежде всего, к финансовым потерям, занимает одно из центральных мест в современной теории и практике инвестирования. К настоящему времени разработано множество методов, составляющих основу теории инвестиционного анализа [19, 33, 60, 86], содержание которых указывает на актуальность и эффективность применения соответствующего математического аппарата для оценивания последствий инвестиций. Однако в последнее время адекватность результатов, получаемых с использованием классических методов, реальности вызывает большие сомнения. Причиной, тому стало резкое возрастание неопределенности финансовых результатов инвестиций на рынках ценных бумаг и в предприятия реального сектора экономики. Как отмечено в [9], движущими факторами роста неопределенности доходов стали: глобализация финансовых операций и интеграция национальных экономик, резкий рост числа торгуемых на мировых рынках инструментов, увеличение частоты экономических кризисов, сокращение времени финансовых транзакций за счет использования электронных средств передачи информации. Стало очевидным, что этот, далеко не полный перечень обстоятельств, не может быть "втиснут" в узкие рамки постулатов и предположений традиционных подходов, и в современной практике инвестирования возникает существенно больше постановок задач, чем предлагается решений в теории инвестиционного анализа.

Немаловажен и такой аспект. Ряд явлений, прежде всего экономического характера, возникших в последнее время и влияющих на результаты инвестирования, являются принципиально новыми, и их еще предстоит изучить.

Одно из основных направлений учета неопределенности в методах инвестиционного анализа определяется предположением о ее стохастической природе. Диссертационная работа ограничена рамками указанного направления.

Отмеченные выше обстоятельства стимулируют исследования в этом направлении, интенсивность которых не утихает [2, 9, 66, 79, 83]. Разрабатываются модели оценивания многопериодных инвестиционных проектов и портфелей [14, 15, 18, 41, 63, 93, 94], а также исследуются проблемы, связанные с выбором оптимального времени инвестирования [4, 5, 6]. Широкий пласт проблем был поднят в условиях переходной экономики России [32, 36, 52]. Отечественными учеными строятся и исследуются инвестиционные модели в реальном секторе экономики с учетом специфики российской системы налогообложения [4, 5, 6, 7].

Бурное развитие и повсеместное внедрение персональных компьютеров стало дополнительным катализатором исследовательского процесса. Появилась возможность полноценного использования уже созданного математического аппарата: метода Монте-Карло [55] и имитационного моделирования [61], различных методов многокритериальной оптимизации [8, 20, 23, 54]. Особую актуальность приобрела задача обеспечения высокой точности получаемых результатов.

Компьютерные методы исследования стохастических задач инвестирования касаются, прежде всего, вопросов связи распределений результата решения с вероятностными свойствами исходных данных. Известно, что в основе большинства существующих методов оценки и выбора инвестиций лежит предположение о принадлежности распределения количественных критериев оценки проекта (например, остаточной стоимости) к некоторому (как правило, нормальному) закону. С этим связано две проблемы. Во-первых, это привело к ориентированности основной массы исследований на работу с инвестициями в нематериальные активы, так как только для последних имеется возможность реального получения статистических данных. Анализ показал, что оценка инвестиций в материальные активы, в, ряде случаев, осуществляется узкоспециализированными методами, неприменимыми к широкому классу задач современного инвестиционного анализа, что требует совершенствования общего методического аппарата выбора инвестиционных альтернатив. Во-вторых, остается под вопросом устойчивость результатов к нарушениям предположений относительно вероятностных законов. Как показано в [18], на практике, исследователь далеко не всегда имеет дело с нормальным распределением. Анализ эмпирических данных статистики финансовых рынков [9, 62, 63, 90] показывает, что свойства процесса движения рыночных цен противоречат и базовой гипотезе статистической финансовой математики [63] о случайном блуждании в силу явного влияния экономических и геополитических факторов.

Кроме того, при решении задач выбора проектов, как правило, используются упрощенные подходы, не учитывающие особенности предпочтений лица, принимающего решения, либо требующие заведомо недоступную исходную информацию. Еще одним объектом критики известных подходов является отсутствие учета возможностей успешной реализации проекта в среднесрочной и долгосрочной перспективе в условиях ограниченности финансовых ресурсов инвестора при решении задач выбора многопериодных проектов. Важно подчеркнуть, что последствия принятого инвестиционного решения отложены во времени и для проверки достоверности решения необходимо применение математического моделир ов ания.

Указанные обстоятельства определяют актуальность задачи развития математических моделей и методов оценки и выбора многопериодных инвестиционных проектов (МИЛ):

1) учитывающих многопериодные аспекты реализации в условиях стохастической неопределенности;

2) ориентированных на оценку инвестиций в материальные и нематериальные активы;

3) не критичных к нарушению допущений классических подходов о распределениях количественных критериев оценки МИП;

4) учитывающих особенности предпочтений ЛПР и ограниченность его финансовых ресурсов.

Цель диссертационной работы. Целью диссертации является разработка математических моделей, методов, алгоритмов и программной системы поддержки принятия инвестиционных решений в условиях ограниченного рынка капитала, различных типов отношения ЛПР к риску и стохастической неопределенности при неизвестности вероятностных распределений исходов МИП.

Для достижения сформулированной цели в работе решаются следующие задачи:

1) определение критериев качества МИП, отражающих многопериодные аспекты реализации проекта, и разработка методов и алгоритмов оценки критериев;

2) разработка обобщенных моделей выбора МИП в условиях риска на основе концепции ожидаемой полезности;

3) разработка метода и алгоритмов восстановления функции полезности, учитывающих различные типы отношения ЛПР к риску;

4) разработка метода решения задач выбора МИП в условиях неизвестности вероятностных распределений исходов МИП с использованием имитационного моделирования;

5) разработка метода генерирования (моделирования) вариантов исходного множества инвестиционных альтернатив;

6) разработка комплекса программ поддержки принятия инвестиционных решений.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался аппарат теории вероятности, математической статистики, теории случайных процессов, теории полезности, методы и алгоритмы теории инвестиционного анализа, методы многокритериальной оптимизации, элементы теории сложных систем, теории проектирования и разработки кроссплатформенного программного обеспечения.

В работе получены следующие результаты, выносимые на защиту:

1) критерий оценки и учета динамики капитализации МИП, а также метод и алгоритм его расчета, основанные на понятии инвестиционного коридора и операциях дисконтирования и наращения капитала;

2) метод решения задачи выбора МИП в условиях неизвестности вероятностных распределений исходов МИП при ограниченных финансовых ресурсах с учетом критериев остаточной стоимости, уровня финансовых изъятий на потребление и оценки динамики капитализации МИП;

3) метод генерирования (моделирования) вариантов исходного множества МИП;

4) комплекс программ поддержки принятия инвестиционных решений на базе разработанных методов и алгоритмов.

Научная новизна результатов состоит в том, что в отличие от известных подходов выбор оптимальных с точки зрения ЛПР МИП осуществляется при отсутствии информации о структуре и свойствах вероятностного распределения исходов МИП. Разработанные новые постановки задач и методы их решения обеспечивают учет свойств динамики капитализации МИП.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением аппарата теории инвестиционного анализа, теории полезности, теории вероятностей и математической статистики и подтверждается верификацией результатов, полученных путем численных экспериментов при выполнении условий применения традиционных подходов, а также численной аттестацией с использованием стресс-тестирования.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации модели, методы и алгоритмы оценки и выбора МИП, а также портфельной оптимизации, развивают современную теорию инвестиционного анализа в части расширения инструментария по выбору МИП в условиях стохастической неопределенности и позволяют расширить круг решаемых практических задач.

Разработанный методический аппарат, а также созданный на его основе программный комплекс, обеспечивают решение задач оценки и выбора МИП в условиях доступной исходной информации.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 14-й и 15-й всероссийских научных конференциях "Современное телевидение" (ФГУП МКБ "Электрон", г. Москва 2006 и 2007гг.); на научных семинарах факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета и заседаниях кафедры математической статистики и системного анализа.

Публикации. Основные положения диссертации отражены в 6 научных публикациях, среди которых 2 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения, списка литературы, перечня условных обозначений и двух приложений. Содержание работы изложено на 156 страницах (включая 14 страниц приложений) и содержит 35 рисунков и 18 таблиц. Список литературы включает 107 наименований.

Заключение

Таким образом, в диссертационной работе:

1. Проведен анализ текущих результатов по проблематике исследования, сформулирована обобщенная математическая постановка задачи выбора МИП в условиях риска и определена структура исследования (глава 1).

2. Конкретизированы математические постановки задач выбора МИП и портфелей в условиях неизвестности вероятностных распределений исходов МИП при ограниченных финансовых ресурсах при стремлении ЛПР к максимальной остаточной стоимости или обеспечиваемому доходу с учетом нового критерия динамики капитализации МИП (глава 2).

3. Разработаны метод и алгоритм оценки динамики капитализации МИП, алгоритмы оценки обеспечиваемого дохода и поиска оптимального портфеля МИП (глава 2).

4. Разработан метод решения обобщенных задач оценки и выбора в постановках (2.4), (2.5), (2.7) с использованием имитационного моделирования.

5. Разработан метод генерирования (моделирования) тестовых МИП и аттестованы предложенные в работе методы и алгоритмы. Подтверждена достоверность полученных результатов (глава 3).

6. Разработан комплекс программ поддержки принятия инвестиционных решений, описана его структура, принципы работы, предоставляемые возможности и пользовательский интерфейс (глава 3).

7. Проведены адаптация разработанных алгоритмов к применению параллельных вычислений и сравнение эффективности с последовательными решениями на численном эксперименте (глава 3).

Перечисленные результаты определяют совокупность математических моделей, методов, алгоритмов, описывающих единый подход к оценке и выбору различных по структуре и свойствам МИП, и составляют основу разработанного комплекса программ поддержки принятия инвестиционных решений.

1.Агасандян Г.А. Ценообразование опционов в отсутствие безрисковых активов // Сообщения по прикладной математике. - М.: ВЦ РАН, 2000. -С. 38-72.

2. Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и континуальный критерий VAR на рынке опционов // Экономика и математические методы. Т 41. № 4. 2005.-С. 80-90.

3. Аныпин В.М. Инвестиционный анализ. М.: Дело, 2004. - 280 с.

4. Аркин В.И., Сластников А.Д. (Москва) Оптимизация амортизационной политики для привлечения инвестиций в условия неопределенности // Экономика и математические методы. Т 40. № 2. 2004. С. 17-34.

5. Аркин В.И., Сластников А.Д. Влияние имущественных налогов на создание новых предприятий в условиях риска и неопределенности // Экономика и математические методы. Т 41. № 4. 2005. С. 68 - 80.

6. Аркин В.И., Сластников А.Д. Оптимизация налоговых каникул в стохастической модели создания нового предприятия // Экономика и математические методы. Т 42. № 1. 2006. С. 68 - 80.

7. Аркин В.И., Сластников А.Д. Инвестиционное ожидание, стимулирование инвестиций и налоговые реформы // Экономика и математические методы. Т 43. № 2. 2007. С. 76 - 100.

8. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. К.: Вища школа. Головное изд-во, 1983. - 512 с.

9. Бершадский A.B. Исследование и разработка сценарных методов управления рисками. Дис. канд. физ.-мат. наук. Москва: МФТИ, 2002. -156 с.

10. Боровков A.A. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. — М.: Наука, 1984. 472 с.

11. П.Бригхэм Ю. Ф., Эрхардт М. С. Финансовый менеджмент. 1-е изд., СПб.: Питер, 2006. 960 с.

12. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. 2-е изд. доп. М.: Наука, 1996.-399 с.

13. Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. - 708 с.

14. Домбровский В.В., Герасимов Е.С. Динамическая сетевая модель управления портфелем ценных бумаг в непрерывном времени при квадратичной функции риска // Вестник Томского государственного университета. № 269, 2000. С. 71 - 74.

15. Домбровский В.В., Егорычев Ф.Н. Сравнение стратегий управления портфелем ценных бумаг // Вестник Томского государственного университета. № 271, 2000. С. 138 - 141.

16. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. - 296 с.

17. Дубров А.М., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 1998. - 352 с.

18. Тамбовски Б., Рачев С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 2. № 4. 1995. С. 556 - 604.

19. Гитман Л.Дж., Джонк М.Д. Основы инвестирования. М.: Дело, 1999. -991 с.

20. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы / Под ред. В.М. Курейчика. 2-е изд., испр. и доп. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2006.-320 с.

21. Губарев B.B. Вероятностные модели: Справочник. В 2 т. -Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1992. Т. 2. - 188 с.

22. Гэри В., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. 416 с.

23. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. -М.: Наука, 1976.-320 с.

24. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.-296 с.

25. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. -М.: Филин, 1998.- 144 с.

26. Катулев А.Н., Михно В.Н., Виленчик JI.C. и др. Современный синтез критериев в задачах принятия решений. М.: Радио и связь, 1992. - 120 с.

27. Катулев А.Н., Нефедов А.Н. Введение в математические основы моделирования экономических процессов: Учеб. пособие. Тверь: ТвГУ, 2007.- 158 с.

28. Кейнс Дж. Общая теория занятости, процента и денег. Антология экономической классики. М.: Экономика, 1993. Т. 2.-430 с.

29. Кини Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М: Радио и связь 1981. - 560 с.

30. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. Т. 2. М.: Статистика, 1978. - 335 с.

31. Кошечкин С.А. Развитие экономического инструментария учета риска в инвестиционном проектировании. Дис. канд. экономических наук. Н. Новгород, 2000.- 191 с.

32. Крушвиц Л. Инвестиционные расчеты. СПб.: Питер, 2001. - 432 с.

33. Кузнецова O.A., Лившиц В.Н. Структура капитала. Анализ методов ее учета при оценке инвестиционного проекта // Экономика и математические методы. Т 31. №. 4. 1995. С. 12 - 30.

34. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений: Учебник. Изд. второе, перераб. и доп. М.: Логос, 2002. - 392 с.

35. Лившиц C.B. О методологии оценки эффективности производственных инвестиционных проектов в Российской переходной экономике // Экономика и математические методы. Т 40. № 2. 2004. С. 49 - 58.

36. Лившиц В.Н. Проектный анализ: методология, принятая во всемирном банке // Экономика и математические методы. Т 30. № 3. 1994. С. 37 -50.

37. Лившиц В.Н., Косов В.В., Шахназаров А.Г. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов: (2-ая редакция)/официальное издание Минфина РФ. М.: Экономика, 2000. -421 с.

38. Липсиц И.В., Косов В.В. Экономический анализ реальных инвестиций: 2-е изд., доп. и перераб. М.: Экономистъ, 2003. - 347 с.

39. Лоэв М. Теория вероятностей. Москва, 1962. - 720 с.

40. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг // Экономика и математические методы. 1994. Т 31. № 1. С. 138- 150.

41. Маховикова Г.А., Терехова В.В., Бузова И.А., Коммерческая оценка инвестиций. СПб.: Питер 2004. - 432 с.

42. Милосердов A.A., Герасимова Е.Б., Рыночные риски: формализация, моделирование, оценка качества моделей: Учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. - 116 с.

43. Милосердов A.A., Герасимова Е.Б., Анализ рисков инвестиционно-финансовой деятельности: принципы классификации и построения моделей. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2006. - 80 с.

44. Нефедов. А.Н. Идентификация распределения искажений телевизионного сигнала на выходе тракта // Труды 14-й Всероссийской научно-технической конференции «Современное телевидение», М.: МКБ «Электрон», 2006. - С. 169 - 172.

45. Нефедов. А.Н. К вопросу об оценке распределения многомерного информационного потока // Труды 15-й Всероссийской научно-технической конференции «Современное телевидение», М.: МКБ «Электрон», 2007. - С. 185 - 188.

46. Нефедов А.Н. Выбор оптимальных инвестиционных проектов в условиях риска // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика» № 11 (39). - 2007. - Вып.5. - Тверь: ТГУ.-С. 97-104.

47. Новоселов A.A. Понятие риска и методы его измерения // Proceedings of the International Scientific School "Modeling and Analysis of Safety, Risk and Quality in Complex Systems", St.-Petersburg, 2001. - P. 77 - 80.

48. Первозванский A.A. Математические методы на финансовом рынке // Соросовский образовательный журнал, 1998. №9 С. 121 - 127.

49. Первозванский A.A. Оптимальный портфель ценных бумаг на нестационарном неравновесном рынке // Экономика и математические методы. Т 35. № 3. 1999. С. 63 - 68.

50. Помадин С.С. Исследование распределений статистик многомерного анализа данных при нарушении предположений о нормальности. Дис. канд. тех. наук. Новосибирск: НГУ, 2004. - 136 с.

51. Растригин JI.A. Адаптация сложных систем. Рига: Зинатне, 1981. -375 с.

52. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. 4-е изд. М.: Наука, 1973. - 311 с.

53. Сорос Дж. Алхимия финансов. Рынок: как читать его мысли. М.: Инфра-М, 2001.-416 с.

54. Фишер И. Покупательная сила денег. М.: Дело, 2001. - 209 с.

55. Хортон A. Microsoft Visual С++ 2005: Базовый курс. М.: Диалектика, 2007.- 1152 с.

56. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984. - 304 с.

57. Шарп У.Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж.В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2003.- 1027 с.

58. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. -М.: Мир, 1978.-420 с.

59. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая волатильность // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 3, № 6, 1996. С. 765 - 812.

60. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. - 512 с.

61. Ширяев В.И. Модели финансовых рынков: Оптимальные портфели, управление финансами и рисками: Учеб. пособие. М.: КомКнига, 2007. -216 с.

62. Alexandrescu A. Modem С++ Design: Generic Programming and Design Patterns Applied. Addison-Wesley. 2001. - 352 p.

63. Allen S.L. Financial Risk Management: A Practitioner's Guide to Managing Market and Credit Risk. John Wiley & Sons, 2003. - 288 p.

64. Bennet T. McCallum. Monetary economics: theory and policy. New York: Macmillan publishing company, 1989. - 480 p.

65. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economy, 1973. V 3. P. 637 - 654.

66. Blanchette J., Summerfield M. С++ GUI Programming with Qt 4. New Jersey: Prentice Hall Ptr. 2006. - 560 p.

67. Bulka D., Mayhew D., Efficient С++ Performance Programming Techniques. Addison Wesley. 1999. - 336 p.

68. Clark J.M.C. The representation of fimctionals of Brownian motion by stochastic integrals // Annals of Mathematical Statistics. 1970. V. 41. №4. -P. 1282- 1295.

69. Chandra R., Dagum L., Kohr D., Maydan D., McDonald J., Melon R. Parallel Programming in OpenMP. Morgan Kaufmann Publishers, 2000. -231 p.

70. Chen Nai Fu, Richard W. Roll, Stephan A. Ross. Economic forces and the stock market // Journal of Business. 1986. V 59. P. 368 - 403.

71. Copeland T., Koller T., Murrin J. Valuation: Measuring and Managing the Value of Companies. 3rd ed. John Wiley & Sons, 2000. - 420 p.

72. Culler D., Singh J.P., Gupta A. Parallel Computer Architecture: A Hardware/Software Approach. Morgan Kaufmann, 1998. - 1100 p.

73. Eisenfuhr F., Weber M. Rationales Entscheiden. Springer, 1999. - 430 p.

74. Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosch T. Modelling extremal events for insurance and finance. Berlin:Springer-Verlag, - 2004. - 655 p.

75. Griffith A. GCC: The complete reference. McGraw-Hill/Osborne, 2002. -647 p.

76. Holton G.A. Value-at-Risk: Theory and Practice. Academic Press, 2003. -405 p.

77. Hull J.C. Options, Futures and Other Derivatives. New Jersey: Prentice Hall, 2005.-816 p.

78. Josuttis M. The C++ Standard Library: A Tutorial and Reference. Addison Wesley. 1999.-832 p.

79. Knight F. Risk, uncertainty and Profit. Boston Houghton Miffin Co., 1971 -397 p.

80. Laubsch A J. Risk Management A Practical Guide // J.P. Morgan-Reuters RiskMetrics, LLC, 1998. - 156 p.

81. L'Ecuyer P. Efficient and Portable Combined Random Number Generators // Communications of the ACM, 1988. V 31, P. 742 - 749.

82. L'Ecuyer, P., Software for Uniform Random Number Generation: Distinguishing the Good and the Bad \\ Proceedings of the 2001 Winter Simulation Conference, 2001. P. 95 - 105.

83. Markowitz. H.M. Portfolio selection//Journal of Finance. V. 7. №1. 1952. -P. 77-91.

84. Merton R. Continuous-Time Finance. Cambridge: Blackwell, 1992. - 752 P

85. Merton R. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous // Journal of Finance, 1976. V 3. P. 125 - 144.

86. Mize, J. H., J. G. Cox. Essentials of simulation. New Jersey: Prentice Hall Ptr. 2 ed. 1968.-234 p.

87. Barndorff-Nielsen O.E., Shephard N., Mikosch Т., Resnick S. Modelling by Levy processess for financial econometrics // Levy Processes Theory and Application, 2001.-P. 283 -318.

88. Park S., K. Miller. Random Number Generators: Good Ones are Hard to Find//Communications of the ACM. 1988. V 31. № 10.-P. 1192-1201.

89. Richard W. Roll, Stephan A. Ross. An empirical investigation of the arbitrage pricing theory // Journal of Finance. 1980. V 35. № 5 P. 1073 -1103.

90. Samuelson P.A. Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly // Industrial Management Review, V. 6, 1965. P. 41 - 49.

91. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. V. 6.-P. 13-31.

92. Stroustrup B. The С++ Programming Language. 3rd. ed. Addison-Wesley Publishing Company, 1997. - 1040 p.

93. Taylor S.J. Modelling financial time series. John Wiley, Chichester, 1986. -268 p.

94. Tobin D. Liquidity preference as behavior toward risk // The Review of Economic Studies. Vol. 25. №2. 1958. P. 65 - 86.

95. Tocher K.D. The Art of Simulation. London: The English Universities Press, 1963.- 184 p.

96. Vandevoorde D., Josuttis N. С++ Templates: The Complete Guide. -Addison Wesley. 2002. 552 p.

97. Zomaya A.Y. Parallel and Distributed Computing Handbook. -McGraw-Hill/Osborne, 1996. 1232 p.

98. Сайт центрального банка Российской Федерации http://www.cbr.ru.

99. Сайт Росстата http://www.gks.ru.

100. Сайт компании Microsoft http://www.microsoft.com.

101. Сайт компании Trolltech http://www.trolltech.com.

102. Сайт разработчиков компилятора GCC http://gcc.gnu.org.

103. Сайт компании Intel www.intel.com.

104. Белорусский бизнес-портал http://www.belinvest.info.

105. Перечень основных обозначений

106. Т система целей лица, принимающего решения (ЛПР); /,/(/) - инвестиционный проект;1.= (/),/2 ),/дг (/)} множество инвестиционных альтернатив;1ор' множество выбранных инвестиционных альтернатив; II- механизм выбора; Т- инвестиционный горизонт;

107. А(х,/г) двузначная лотерея с опорной точкой л; и размахом /г; п - надбавка за риск;область, содержащая детерминированный эквивалент лотереи А(х,к);

108. С(7), С, траектория реализации проекта;

109. С(Т), Ст итоговая остаточная стоимость;

110. С" желаемая остаточная стоимость; <гр(Ст) - распределение итоговой капитализации;р(С/) распределение случайной функции С(/);с1{ денежный поток;структура финансовых изъятий;

111. С(?) пессимистичный сценарий развития проекта;

112. С7 (7) оптимистичный сценарий развития проекта;д, q{Ct) оценка траектории проекта;

113. У* обеспечиваемый уровень финансовых изъятий;- функция полезности ЛПР;иь ~ функция полезности с учетом кредитных ограничений;- кредитные ограничения инвестора;

114. М = множество негативных периодов;

115. М+ = ^ | АС(?) > О} позитивный период;140

116. М = |М+| множество позитивных периодов; г (г,/) - норма дисконта между моментами т и Г;

117. А- дисконтированный к моменту времени г капитал, полученный в момент

118. АС (г,?) наращенный к моменту времени Г капитал, полученный в моментт;= { совокупность вероятностных моделей параметровинвестиционной среды;

119. X = 11 е множество реализаций векторного процесса х(/);2 — алгоритм оценки траектории проекта; У алгоритм поиска обеспечиваемого уровня изъятий; Р - процедура поиска оптимального портфеля;