Исследование и разработка сценарных методов управления рисками

Бершадский, Андрей Вячеславович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование и разработка сценарных методов управления рисками

кандидата физико-математических наук: Бершадский, Андрей Вячеславович
город: Москва
год: 2002
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Исследование и разработка сценарных методов управления рисками»

Автореферат диссертации по теме "Исследование и разработка сценарных методов управления рисками"

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(государственный университет)

на правах рукописи

БЕРШАДСКИЙ Андрей Вячеславович

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА СЦЕНАРНЫХ МЕТОДОВ

УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ

Специальность 05.13.18 - "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2002

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Московского

физико-технического института (Государственного университета)

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., проф. Столяров Лев Николаевич

Официальные оппоненты:

д.т.н., проф. Новиков Дмитрий Александрович к.ф.-м.н. Занин Виталий Витальевич

Ведущая организация:

Вычислительный центр (ВЦ) РАН

Защита состоится

"_" декабря 2002г. в _час. в аудитории 903 КПМ

на заседании диссертационного совета К 212.156.02 в Московском физико-

техническом институте по адресу:

г.Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан "_" ноября 2002 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.156.02

к.ф.-м.н. Федько О.С.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена разработке новых формально-математических методов оценки и управления финансовыми, операционными, экологическими и иными видами рисков в экономических и социальных системах.

Предложенная в работе методология сценарного моделирования может быть также использована и в решении задачи проведения экспертиз сложных экономических и научно-исследовательских проектов.

Проблема принятия эффективных управленческих решений в условиях возможности наступления неблагоприятного события, приводящего к потерям (финансовый риск), занимает одно из центральных мест в современной теории и практике финансов. Создание математических методов управления финансовым риском (с конца 50-х до начала 90-х гг. прошлого столетия) заложило теоретическую основу для бурного роста индустрии инструментов защиты от финансовых потерь на всех видах биржевых рынков - товаров, валют, акций, облигаций. Эти инструменты, являющиеся производными по отношению к названным традиционным объектам свободной торговли - базовым активам, суть специфические ценные бумаги, предоставляющие своему владельцу-инвестору права на совершение сделок купли-продажи базовых активов по фиксированным или рассчитываемым по специальным алгоритмам ценам в фиксированные моменты или интервалы времени. В математической теории риска среди таких инструментов особое место занимают опционы. В последнее время опционы стали активно применяться не только в биржевой торговле, но и в проектах по добыче природных ресурсов, в оценке предприятий индустрии "высоких технологий". Расчет справедливой стоимости производных инструментов с учетом оценки риска покупателя и продавца составляет основной предмет современной финансовой математики.

Настоящая работа представляет собой развитие трех фундаментальных экономических идей, определивших все развитие теории риска в XX-начале XXI в. (все идеи были отмечены Нобелевскими премиями):

• Идея оптимального портфеля финансовых инструментов, выдвинутая Г.Марковицем. Марковиц ввел понятие финансового риска через дисперсию колебаний рыночной стоимости портфеля ценных бумаг, которыми владеет инвестор и предложил задачу оптимизации структуры портфеля по двум критериям - математическому ожиданию дохода портфеля и дисперсии стоимости портфеля. Марковиц рассматривал од-нопериодную стратегию управления портфелем в предположении гаус-совского распределения приращений рыночных цен.

• Идея динамического хеджирования опционов, принадлежащая

Ф.Блэку, Р.Шоулсу и М.Мертону. В основе хеджа лежит представление о возможности точного воспроизведения продавцом опциона потока выплат покупателю согласно договору опционного контракта при помощи динамического управления портфелем, составленным из базового актива и безрискового банковского кредита или депозита. Стратегия хеджа обеспечивает все предусмотренные договором опционного контракта выплаты с вероятностью 1 в каждый момент времени до истечения срока действия опциона. Блэк и Шоулс, и, независимо от них -Мертон, рассчитали стоимость премии за риск, выплачиваемой покупателем опциона его продавцу, исходя из предположения о виде случайного процесса движения рыночной цены как геометрического броуновского движения (модель Блэка-Шоулса) и как пуассоновского потока (модель Мертона).

• Идея эвристической вероятности и несовершенных рыночных механизмов Д.Канемана, А.Тверски и В.Смита. Эти авторы экспериментально показали, что 1) люди принимают решения на рынках, руководствуясь не рациональным анализом, а эвристиками, что приводит к появлению зависимости рыночного равновесия от механизма проведения торгов на рынке, 2) эти эвристики - в частности, субъективные оценки неопределенности, - противоречат фундаментальным положениям классического исчисления вероятностей. Например, вероятность конъюнкции двух событий субъективно оценивается выше, чем вероятность каждого события в отдельности, что находится в противоречии с правилом умножения вероятностей.

Анализ статистики финансовых рынков (в т.ч. проведенный в настоящей работе на примере российского фондового рынка) показывает, что процесс движения рыночных цен не соответствует предположениям Блэка-Шоулса-Мертона; установлено, что на рынки влияют внешние политические, макроэкономические и др. события. События приводят к таким явлениям, как кризисы и бумы (достижение ценами экстремальных значений), смена трендов, скачки межрыночных корреляций. Распределение динамики цен далеко от нормального.

В связи с этим особую важность приобретают экспертные оценки. Рыночные аналитики в своих исследованиях неявно формулируют логические сценарные модели, описывающие движение рынка под действием цепочек событий. Модели такого типа показывают лучшие прогностические результаты по сравнению со стохастическими моделями, однако отсутствие разработанных методик формализации таких моделей препятствует их широкому внедрению в практику торговли и управления рисками.

В задачах управления рыночным риском всё чаще встречаются платёжные обязательства с функцией выплат, отличной от опционов европей-

ского типа, рассмотренных Блэком и Шоулсом; опционы на коммерческие кредиты, купонные облигации, опционы, встроенные в инвестиционные проекты, часто имеют очень сложную функцию выплат. Такие опционы получили название экзотических (exotic options). Единой методологии расчета таких опционов не предложено.

Модель хеджа по Блэку-Шоулсу-Мертону предполагает существование на рынке безрисковых возможностей заимствования или кредитования (т.н. безрискового актива). Однако, на практике редко удается найти подходящий безрисковый актив. Г.А.Агасандян предложил расширение модели Блэка-Шоулса для ценообразования опциона европейского типа в отсутствие безрискового актива в предположении, что процессы движения цен рискового и "безрискового" активов подчиняются стохастическим уравнениям Ито и эквивалентны в смысле коэффициентов сноса и диффузии. Исследование статистики рынков показывает, что реальные рынки этому предположению не удовлетворяют.

Таким образом, является актуальной разработка новых методов управления финансовым риском:

• Опирающихся на логико-вероятностные событийные модели динамики рынков,

• Предполагающих построение многошаговых стратегий хеджа по критериям "эффективность - риск",

• Учитывающих отсутствие на рынке безрисковых активов,

• Предоставляющих механизмы принятия решений по управлению риском через междисциплинарные экспертизы в коллективах экспертов.

Цель работы

Цель настоящей диссертации состоит в разработке новых методов сценарного логико-вероятностного моделирования и оценки риска в финансовых и организационных системах. Для реализации поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. Формализация среды для решения задач управления финансовыми рисками, в т.ч. создание аппарата сценарных событийных моделей риска

2. Постановка и решение задачи динамического хеджирования платежных обязательств произвольного вида при отсутствии безрискового актива и в предположении событийного дискретного рынка

3. Анализ статистики рыночных данных и разработка алгоритмов идентификации событий и построения логико-вероятностной модели финансового рынка

4. Постановка и решение многопериодной задачи управления портфелем платежных обязательств с ограничением величины потерь ресурсов и возможности разорения инвестора

5. Разработка методики междисциплинарных экспертиз для оценки риска

Научная новизна и практическая ценность работы

Научная новизна работы состоит:

- В создании единой и универсальной системы понятий и формальных объектов для описания предметной области задач управления финансовыми рисками;

- В формулировке и решении задачи динамического хеджирования платежных обязательств, отличающейся от известных постановок тем что: а) допустима функция выплат произвольного вида (в т.ч. заданная алгоритмически), б) рынок описывается событийной моделью в форме недетерминированного конечного автомата, в) на рынке отсутствуют безрисковые активы;

- В формулировке и решении многопериодной задачи управления портфелем платежных обязательств, отличающейся а) новым критерием оптимальности - максимальной скорости прироста капитала инвестора, б) ограничением на максимальные потери ресурсов за время управления;

- В разработке механизма экспертизы для построения логико-вероятностных моделей дискретных событийных систем и реализации человеко-машинной процедуры принятия решений по этому механизму, отличающихся а) использованием субъективно-вероятностных оценок неопределенности, б) методом обработки противоречивых и пропущенных данных, полученных от коллектива экспертов.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при расчетах экзотических опционов, управлении рисками инвестиционных проектов, проведении экспертиз риска проектов в производстве, финансах, научных исследованиях.

Результаты, полученные в работе, имели следующие научно-практические приложения:

• в программно-методическом комплексном решении компании "Про-грамБанк", г. Москва - "СУБИР - Система Управления Банком, Использующая Информацию о Рисках", 1999-2001 гг.

• при оценке рисков инвестиционного проекта РАО "Норильский Никель", г.Москва, 2000 г.

• при оценке рисков инвестиционного проекта в области электронной коммерции - Интернет-портала по продажам климатического оборудования, компания "АльтерМедиа", г.Москва, 2001 г.

• в экспертизе уровня энергетической безопасности Восточно-Сибирского региона - Институт систем энергетики СО РАН, Институт динамики систем управления СО РАН, Правительство Иркутской обл., г. Иркутск -оз. Байкал, 2001 г.

• в практике управления портфелем ценных бумаг хеджевого фонда,

г.Москва, 2GG1-2GG2 гг.

• в практике Отдела по управлению финансовыми рисками Департамента операций на финансовых рынках ОАО ИМПЭКСБАНК, г.Москва, 2002г Апробация работы

Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на следующих научных семинарах и конференциях: семинары:

- семинары Отдела Информационно-вычислительных систем Вычислительного центра РАН в 2GG1-2GG2 гг.

- семинары лаборатории активных систем Института Проблем Управления РАН в 2GG2 г.

- Summer School "Advanced Course on Mathematical Finance: Further Models" MATFIN-2GG2, Universitat Autonoma de Barcelona, Centre de Recerca Matematica, Bellaterra, Spain, июль 2GG2 (под руководством - Prof. Ole E. Barndorff-Nielsen, University of Aarhus, Дания, Prof. Neil Shephard, Oxford University, Великобритания, Prof. Thomas Mikosch, University of Copenhagen, Дания, Prof. Thomas Bjork, Stockholm School of Economics, Швеция)

- семинар кафедры "Математическое моделирование экономических процессов" Финансовой Академии при Правительстве РФ, 2GG2 г.

научные конференции:

- Третий Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, 1-6 октября 2GG2, г. Сочи

- Международная научно-практическая конференция "Теория активных Систем", ИПУ РАН, г.Москва, 19-21 ноября 2GG1

- The 3rd Moscow International Conference On Operation Research (ORM2GG1), ВЦ РАН, г.Москва, 4-6 апреля 2GG1 г.

- Байкальская Международная конференция "Информационные и телекоммуникационные технологии в науке и образовании Восточной Сибири", Институт Систем Энергетики им. Мелентьева Сибирского отделения РАН, г.Иркутск, 2GG1 г.

- Научно-практическая конференция "Корпоративное финансирование и финансовый инжиниринг", ВЦ РАН, Финансовая Академия при Правительстве РФ, г.Москва, 2GGG г.

- Пятый Всероссийский форум молодых ученых и студентов "Конкурентоспособность территорий и предприятий - стратегия экономического развития страны", Институт экономики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург, 2GG2 г.

- XXXIX Юбилейная научная конференция "Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики", МФТИ, г.Долгопрудный, 1997 г.

Диссертационная работа поддержана грантами РФФИ - инициативный проект №01-07-90277, а также персональным грантом по конкурсу молодых ученых РАН в 2002 г. Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах. Структура и объем диссертации

Работа состоит из Введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 156 страниц. Список литературы включает 125 наименований.

Содержание работы

Во Введении к настоящей работе дана новая универсальная система понятий для описания предметной среды решения задач управления финансовым риском.

Определение 1 Экономический субъект (инвестор, трейдер, портфельный управляющий и т.д.) - лицо, принимающее решения на финансовом рынке. Экономический субъект располагает разными видами ресурсов (наличными денежными средствами, акциями, облигациями, производными контрактами и т.д.), он также может привлекать эти виды ресурсов из внешней среды и размещать их вовне, преследуя при этом некоторые собственные экономические цели.

Определение 2 Разные виды ресурсов, доступные экономическому субъекту суть финансовые инструменты.

Для каждого финансового инструмента существует финансовый рынок, на котором можно разместить имеющееся количество данного финансового инструмента либо взять взаймы требуемое количество. Тип рынка обозначается буквенным префиксом (например, рынок акций будет обозначаться как S-рынок - от англ. stock). Разновидность ресурса на данном рынке будет обозначаться индексом i.

Определение 3 Единица инструмента i-го вида на соответствующем этому ресурсу S-рынке в каждый момент времени t имеет цену S\. Стоимость at единиц ресурса в момент t суть Vt=atSt.

Операции размещения и привлечения конкретного вида ресурса на рынке порождают поток выплат от экономического субъекта и к нему. Определение 4 Моделью потока выплат по этим операциям является платежное обязательство; если обозначить через Vt стоимость ресурса у экономического субъекта в момент времени t, то платежное обязательство - это последовательность {Vt}, t=0,1,...,T расходов (Vt<0) и поступлений (Vt>0) ресурса (в стоимостном выражении), упорядоченная во времени. Определение 5 Если у экономического субъекта до момента t0 ресурс отсутствовал (Vt=0 Vt<t0), затем в момент t0 ресурс в объеме V0 (Vt0=V0) и количе-

стве п единиц был получен субъектом на условиях займа, т.е. под обязательство вернуть этот ресурс в момент tj>t0 в объеме Vj (Vt1 = Vj) и количестве п единиц - Рис.1 - то такое платежное обязательство называется короткой позицией по данному ресурсу.

Определение 6 Если у экономического субъекта до некоторого момента t0 имелся ресурс стоимостью V0 (Vt=V0 Vt<t0), в момент t0 этот ресурс в объеме V0 (Vt0=V0) и в количестве п единиц был размещен субъектом на рынке с целью получить (путем продажи п единиц ресурса на рынке или от другого субъекта, с которым проводится эта операция) этот ресурс в момент tj>t0 в объеме Vj (VtJ = VJ) - Рис.3 - то такое платежное обязательство называется длинной позицией по ресурсу.

Операции, определенные в (5) и (6), составляют исчерпывающий набор операций над любыми видами ресурсов на финансовых рынках. Любая операция может быть представлена как комбинация длинной и короткой позиции.

Пример 1 Экономический субъект может занять короткую позицию по одному ресурсу и длинную - по другому; например, в момент t=0 он может взять в кредит V0 наличных денег со сроком погашения T и купить на них п акций по цене S0. Тогда в момент t=0 его позиции будут {+V0, -kS0}, а в момент погашения кредита t=T - соответственно, {-Vo, +лST}. Позицию по акциям назовем S-позицией, позицию по кредиту - B-позицией. Определение 7 Множество позиций экономического субъекта в каждый

11 О О

момент времени t по m различным видам ресурсов - п={п tS t, п tS t,..., пт^™}={ VJt,V2t,..., Vmt } называется портфелем в момент t. В условиях Примера 1 имеем позиции на B- и S-рынке 7zt={-V0, +7rStj, t>0. Определение 8 Стоимость портфеля в каждый момент времени t называется

капиталом -Xt = YJVt' .

i=1

Определение 9 Последовательность портфелей {п}, te[0,T] называется инвестиционной стратегией.

Пример 2 В условиях Примера 1 X0= V0-^S0=0, XT=лST-V0, X^^S-Vo. Стратегия Примера 1 - щ=п=сош1 Это стратегия "buy-and-hold" - "купил-и-держи".

Определение 10 Наличный остаток ресурса в стоимостном выражении к моменту t с учетом изъятий и поступлений ресурса до момента t согласно платежному обязательству {Vt}, t=t0,...,t,...,tn называется кэшем (cash):

cash(t) = £VT . Кэши для платежных обязательств Рис.1 и Рис.3 изображены

T=to

на Рис.2 и Рис.4 соответственно.

С формальной точки зрения кэш является интегралом платежного

обязательства по времени и представляет собой модель "аккумулятора" ресурсов. Для непрерывного кэша (например, для позиции по банковскому счету с непрерывным начислением процентов - B-рынку Bt = B0 er (t -to)) мож-

но определить cash(t) = JVtdt. Если Vt содержит неопределенность (например, Vt суть стохастический процесс), то интеграл выше понимается как интеграл по траекториям стохастического процесса. В частном и хорошо изученном в финансовой математике случае, когда Vt представляет собой броуновское движение со сносом ¡у и диффузией <у , кэш может быть опреде-

лен как интеграл типа Ито cash(t) = cash(t0) + Jлу (s)ds + J<у (s)dws , где wt -

to to

обобщенный винеровский процесс.

Пример 3 В условиях Примера 1 обозначим приращения цены акции ASt=St-St-1, AS0=0. Тогда для позиции на S-рынке акций

cashs (t) = ^X(S0 + AST) = nS0(t +1) +n^ASt, для позиции по кредиту (будем счи-

т=0 т=1

тать ее позицией на условном B-рынке) cashB (t) = £(- У0) = -(t + 1)У0.

т=0

Определение 11 Кэши в соответствии с логикой операций обмена потоками стоимостей в конкретной задаче объединяются в потоковую сеть Cash Flow Net: если C={c1,c2,...,cN} - кэши, то выделенное подмножество множества их пар (ci,cJ) CFN с СхС называется сетью ресурсных потоков. При этом над любой парой кэшей из CFN может быть определен путем обычной операции

7 Л

интегрирования кэш второго уровня: \lсhc2 (c1,c2)eCFN с (t)=c1(t)+c2(t). Объединение пар кэшей 2-го уровня даст сеть 2-го уровня CFN . Продолжая по индукции, можно выстроить иерархию кэшей и соответствующих ресурсных сетей (Рис.5).

Пример 4 В условиях Примера 1 определим кэш 2-го уровня:

Cash(BS)(t) = cashB(t) + cashs(t) = n£AS и сеть B- и S-кэшей: CFN={CashB,CashS}.

т=0

Центральными для данной работы являются определения риска и рисковой ситуации.

С содержательной точки зрения, риск связан с попаданием некоторого управляемого объекта в неблагоприятную ситуацию. Далее естественно формализовать меру возможности (шансы) попадания в эту ситуацию, меру "неблагоприятности" ситуации, причину попадания в рисковую ситуацию. Определение 12 Для кэша 2-го уровня ci]: ^(tj^/tj+c/t), (ci,cj) eCFN рисковой ситуацией называется множество Sit={t: cij(t)<0}.

Пример 5 В условиях Примера 1 рисковые ситуации соответствуют падению цены акций ниже S0 к моменту погашения кредита T, что означает бан-

кротство экономического субъек-

та: Cash(B,S)(T) = cashB(T) + cashs(T) = ASz < 0 о ST < S0 На Рис.9 штриховкой

т=0

показана область неблагоприятных ситуаций для CFN из двух B- и S-кэшей Примера 1.

Важно отметить, что так определенные рисковые ситуации строго ассоциированы с логикой операций экономического субъекта, выраженной в CFN и иерархии их объединений на все более высоких уровнях абстракции. Определение 13 Риском называется мера возможности попадания кэша dJ(t) в рисковую ситуацию. Так, если dJ(t) - случайная величина с известной функцией плотности распределения f(ct), то риск есть Rc = J f (u)du -

ct <0

Рис.10.

Как правило, цены St заранее неизвестны экономическому субъекту, поэтому он действует в ситуации неопределенности. Неопределенность цены есть отсутствие достоверной информации о изменениях во внешней по отношению к рынкам среде. Изменение во внешней среде наделяется следующими свойствами:

а) с достоверностью известно, что оно влияет на рыночные цены St,

б) факт его появления должен распознаваться экономическим субъектом. Определение 14 Такое изменение называется событием.

Именно, относительно событий мы предполагаем их принципиальную измеримость - возможность, по крайней мере, их распознавания и именования экономическим субъектом. Так, цена акций корпорации Microsoft может оказаться чувствительной к таким событиям, как ^^выступления первого лица Microsoft (Билла Гейтса), ¿^публикация цифр финансовой отчетности компании, ¿^начало войны США в Ираке и т.д.

Определение 15 Множество выделенных экономическим субъектом событий E={E1,E2,...,EN}={Ei}, ieI=[1,2,...,N] образует алфавит событий в каждой конкретной задаче.

Можно конструировать логические комбинации событий из алфавита - сложные события. Например, в алфавите событий {E1,E2,E3} сложное событие E=(E1&E2vE3) означает, что произошли одновременно события E1 и E2, или только E3.

Временные последовательности E1E2E3 и E3E2E1 приводят к разным изменениям цен St.

Определение 16 Временную последовательность (цепочку) событий ©k={E/}, t=0,..,k, iel назовем сценарием.

Определение 17 . Множество Q всех возможных сценариев для некоторого целого k>0 назовем пространством сценариев.

Пример 6 (Биномиальная модель) Рассмотрим событийную модель, в ко-

торой алфавит состоит из двух событий. Моделируется движение цены на 8-рынке Я; в дискретном времени. В каждый момент времени ; цена может принять только два возможных значения. Именно, существуют два положительных числа й и и такие, что 0 < й < и и если в начальный момент ¿0 акция стоила 80, то в следующий момент ¿1 её цена будет либо й80, либо и80. Выберем 0 < й < 1 < и; тем самым й80 моделирует падение, а и80 - рост цены ресурса. Пусть для определения направления движения цены (й или и) некто подбрасывает монету: если выпадает "герб" (это событие обозначим Г), то цена растет, если выпадает "решка" (соответственно, это событие Р) - цена падает. Алфавит событий внешней среды в таком исследуемом случае будет состоять из двух элементов Е={Г,Р}, также, как и алфавит приращений цен рынка - 8={и,й}. Так, на первом такте 81(Г)=и80, 81(Р)=й80, на втором такте 82(ГГ)=и81 (Г)=и2Яо, 82(ГР)=й81 (Г)=йи8о, 82(РГ)=и81 (Р)=ий80,

82(рр)=с181(р)=с128о.

Ясно, что после трех последовательных событий (бросков монеты) мы будем иметь 8 значений цены 83, причем необязательно различных. Оборвем последовательность простых событий-исходов бросаний монеты на третьем такте (¿=3) - тогда множество всех возможных исходов-цепочек длины 3 имеет вид: О={ГГГ;ГГР;ГРГ;ГРР;РГГ;РГР;РРГ;РРР}. На Рис.6 показаны сценарии для модели {80=4, й=1/2, и=2}.Каждый исход длины к ю=(ю1, ю2,..., ®к} в такой модели и есть сценарий, здесь - элементарные события (результаты отдельных подбрасываний монеты). Так, для сценария ю={ГРГ} ю1=Г, ю2=Р, ю3=Г. Интересующее нас значение цены на к-ом шаге модели обозначим 8к(ю). Событийный сценарий внешней среды порождается причинно-следственной моделью, связи в которой суть только бинарные. Эквивалентными записями такой модели являются: матрица инциденций, дерево вывода, ярусно-параллельная форма, регулярное выражение. Так, например, для внешней среды с алфавитом событий Е={Г,Р} причинно-следственная модель записывается матрицей Еу или соответствующим ей бинарным графом (Рис.8). Пространство возможных сценариев представлено ярусно-параллельной формой-ЯПФ (Рис.7 - показаны ярусы с № от 0 до

к=3, глубина ЯПФ к=3 считается от корня дерева) и регулярным выражени-

* *

ем вида Я=(ГГчГР) & (РГчРР) ("*" обозначает операцию итерации - см. ниже Определение 21).

Пусть в ЯПФ-представлении пространства сценариев на к-м ярусе Ык вершин. В частном случае биномиальной модели (см. Пример 6) Ык=2к. Пусть для каждой ¡-ой вершины к-го и у-ой вершины к-1 -го ярусов заданы уверенности цк и у^'1 попадания в эту вершину. Каждой из вершин ЯПФ сопоставлен путьск длины к (цепочка из к событий) из корня в эту вершину. По определению 16, со¡к - сценарий. Множество уверенностей {^к, уЫ [0,1]} задает распределение уверенностей на пространстве сценариев О. Имеет

место правило сложения (дизъюнкции): для любой вершины г на к-1-м ярусе

уверенность у^-1 суть сумма уверенностей всеху-х вершин к-го яруса (Рис.11), инцидентных вершине г. При этом сумма уверенностей всех вершин одного яруса необязательно равна 1 (если она равна 1 для каждого яруса, то такое распределение уверенностей называется байесовским, а сами уверенности могут рассматриваться как классические вероятности). На сценариях и Юj длины к задана попарное модифицированное расстояние по Хэммингу Гу=|тг-ту|, где тг и т, - взвешенные на глубину к яруса двоичные коды wi и Wj сценариев и Юj. Сценарии рассматриваются в данном контексте как двоичные векторы длины к (см. Рис.11 - коды wi показаны справа). Вводятся функции распределения уверенности у^Иу^Ту). Выдвигая гипотезу о характере распределения /(г,) - например, гипотезу нор-

-( г,- Г,)2 2а, а,

мальности /(г, ) = . г е а'а' , можно даже при отсутствии эксперт-

.к

ных оценок или статистики V, для некоторых вершин на к-м ярусе восстановить эти значения по известным уверенностям в остальных вершинах. Для байесовских распределений уверенности потребуется перенормировка

XV= 1, где знак "тильда" обозначает восстановленные значения уверен-

г=1

ностей.

В Главе 1 рассматривается задача динамического хеджирования в специфицированной выше среде. Конкретизируем событийную модель рынка финансового инструмента следующим образом. Пусть Е={Е1,Е2,...,Еп} - алфавит событий. Сценарий юк есть последовательность событий {Е}, 1=0,..,к. Последовательность событий (сценарий) образует входную ленту для автомата, описанного в следующем определении.

Определение 18 Внешней средой называется недетерминированный конечный автомат, определенный на алфавите событий Е, получающий на такте ? на входную ленту событие Еь и, в зависимости от распознанного к этому такту сценария юг-1 и полученного на входной ленте события Еь переходящий в состояние Е{+1: ю1+1=Е(Б1|ю1-1).

Рассматриваются только регулярные сценарии, которые есть результат применения к сценариям юг конечного числа следующих операций: Определение 19 Объединение V - для т сценариев с1к , г=1,2,...,т, к=кьк2,...,кт объединение есть множество О состоящее из всех этих сценариев. Операция соответствует логической дизъюнкции "ИЛИ". Определение 20 Конкатенация & - для двух сценариев со1к1 и сСк2 конкатенация со12к1+к2 есть результат приписывания справа к первому сценарию

7 9 7 9

второго: с к1+к2=с к1с к2. Для множеств сценариев О1 и О2 конкатенацию О

образуют все сценарии, получающиеся приписыванием справа к любому сценарию из П1 любого из сценариев из П2. Операция соответствует логической конъюнкции "И"

Определение 21 Итерация * - Для множества сценариев П итерацию П образуют все сценарии, получающиеся приписыванием справа к любому сценарию из П любого из сценариев из того же множества (в частности, того же самого выбранного сценария) любое конечное число раз. Согласно Первой теореме Клини, для любого регулярного сценария следующие представления эквивалентны: конечный автомат, регулярное выражение, дерево вывода, ЯПФ, контекстно-свободная грамматика. Определение 22 Регулярная внешняя среда - которая описана регулярным автоматом.

Пример 7 Введем внешнюю среду с алфавитом событий Е={Е1,Е2,Е3,Е4} и

правилом переходов е = ^ (е. )=|\е.

0 1 1 0

0 0 1 0

0 1 0 1

1 0 0 0

. Граф переходов приведен

на Рис.12. Пространству сценариев этого автомата соответствует ЯПФ, изображенная на Рис.13.

Определение 23 Рынком называется отображение сценариев юь порожденных регулярной внешней средой, в последовательность цен финансового инструмента Б,: = Б(Е.,®,) = {, либо йБ1,0< й < 1 < и}. По определению,

= б(е, , Б, ) = Б, [1 [,+1 (е, ) ] ()е{и -1, й -1}. Рассматривается упрощенный рынок, когда на каждое событие рынок реагирует повышением и или падением й цены. Вместе с тем, это не ограничивает общности последующих выводов.

Для дальнейшего рассмотрения введем следующие рынки:

• Б-рынок - рынок базового актива (напр., рынок акций) с рыночной ценой Б, за единицу ресурса, и

• 5-рынок - рынок денежного ресурса (напр., рынок кредитов или просто банковский счет, по которому можно брать денежные ресурсы в кредит или помещать их на депозит) с рыночной ценой Ъг за единицу ресурса.

Пусть у экономического субъекта имеется короткая позиция по платежному обязательству У^Б^^Х:,®^), ,=0,...,Т. Это означает, что в момент ,=0 им была получен денежный ресурс в объеме У0 (см. Рис.1) в обмен на обязательство произвести поток выплат У(Бг)=/(1:,юьЕ0 в будущем. Выплата У0 называется премией по данному платежному обязательству.

Короткая (ркаН) позиция по капиталу

Время £

Маржа Уг У0 по платежному о бяз атель ству

Рис. 1 Платежное обязательство с образованием короткой позиции по ресурсу

Рис. 3 Платежное обязательство с образованием длнной позиции

Рис. 2 Кэш для платежного обязательства на Рис.1

Рис. 4 Кэш Саякр) для платежного обязательства на Рис.3

а Зз(ГР)=4

<Э ■Я-" \ Ч / \

0 0 0 © ;33(Р.Р) = 1

Бремя ?

Маржа по

платежному

обязательству

+ о=.

^ Время £

Длинная (1оп£) позиция по ресурсу

Рис. 5 Иерархия кэшей на 2-м и 3-м

Рис. 7 Пространство сценариев биномиальной модели

Рис. 6 Пространство сценариев биномиальной модели, k=3, S0=4, u=2, d=1/2

Г Р

Г 1 1

Р 1 1

Рис. 8 Граф и матрица событийного сценария биномиальной модели с алфавитом событий A={Г,Р}

¿=0 ¿=т

Рис. 9 Неблагоприятные ситуации для двух кэшей из Примера 1

пары кэшей (c1,c2)=cеCFN сходства сценариев. Для выделенных штри-

ховкой сценариев с кодами Хэмминга ■^={000} и -№2={101} имеем:

т1=22*0+21*0+20*0=0, т2=22*1+21*0+20*1=5, Г12=5-0=5

Начиная с момента ¿0 и вплоть до момента Т экономический субъект должен осуществить такое управление премией У0 (а также, если необходимо, управление дополнительным кредитом) на 8- и в-рынках, которое гарантирует невозможность попадания в рисковую ситуацию в любой момент ¿е [0,Т] с наперед заданной уверенностью а. Это управление осуществляется посредством хеджирующего портфеля со стоимостью X из двух позиций на

B- и S-рынках, такого, что Vt=0,...,T Xt\a>t)>V(a)t) с заданным уровнем уверенности а. Для определения рисковой ситуации в данном случае вводятся два кэша - кэш хеджирующего портфеля cashX(t)=cashB(t)+cashs(t) и кэш платежного обязательства cashV(t) (ср. с Примерами 3,4,5). Рисковая ситуация задается на кэше 2-го уровня Cash(t)=cashX(t)+cashV(t) согласно Определению 12.

Определение 24 Хеджирующей стратегией [щ] называется количество акций, купленных (п>0) или проданных в короткую позицию (п<0) на S-рынке в момент t. Стоимость Xt хеджирующего портфеля в момент t складывается из рыночной стоимости позиции на S-рынке nt-1St и рыночной стоимости позиции на B-рынке bt(Xt-1-nt-1St-1). Управляющее решение nt-1 экономический субъект принимает на шаге t-1, имея хеджирующий портфель стоимостью Xt-1, состоит в реструктуризации хеджирующего портфеля: покупке или короткой продаже акций на сумму 7Tt-1St-1, и займе либо депозите на банковском счете недостающего или избыточного объема ресурсов Xt-1 -

nt-1St-1.

Пусть П - множество всех таких хеджирующих стратегий п для платежного обязательства V(St)=/(t,®t,Et), te [0,T] с премией V0, что

(1) Xon=Vo ,

(2) Vt=0,.,T Xtn>Vt(®t) с уверенностью а=1

Определение 25 Любая стратегия {п}еП называется (динамическим) хеджем.

Пусть теперь в (2) все неравенства заменены на точные равенства. Соответствующее множество стратегий обозначим П'.

Определение 26 Совершенным хеджем называется стратегия {п}еП'. Пусть задан выпуклый функционал ¥(Vt, п).

Определение 27 ^хеджем называется хедж п такой, что он доставляет минимум функционала ¥ ж, = arg min x¥(Vt ,ж,).

{п }еП

Пример 8 Пусть за каждую операцию реструктуризации хеджирующего портфеля на S-рынке платится комиссия и c одной проданной или купленной акции. Введем суммарную стоимость комиссии за весь период управления [0,T] - ¥ = хИп -nJ.

t=i

Пусть каждому неравенству в (2) приписана некоторая уверенность pte [0,1]. Превратим каждое неравенство (2) в равенство (2), добавив в левую часть невязку 5{:

• Vt=0,.,T Xtn+ St= Vt(®t) с достоверностью pt (2)

Определение 28 Хеджем в среднем называется стратегия п такая, что она удовлетворяет (1) и (2), и при этом доставляет минимум функционалу взвешенной суммы невязок ("математическое ожидание"):

F{ж0,ж1,...,жт) = tpt(x; - Vt(wmin

t=0

Определение 29 Хеджем в среднеквадратичном называется стратегия щ такая, что она удовлетворяет (1) и (2), и при этом доставляет минимум функционалу взвешенной суммы квадратов невязок {"вариации"):

F{п0,П1, -,Пт ) = £Р,(x - Vt{w))2 ^ min

t=0

Определение 30 Стоимостью риска по платежному обязательству { Vt (®t)}, t=0,...,T, называется величина C = inf{V0 >0:П(Vt,V0,T)^ 0}. Множество стратегий П здесь понимается в смысле одного из определений хеджа, данных выше.

Рис. 12 Внешняя среда из Примера 7 Рис. 13 Пространство сценариев из Примера 7

Наиболее широко в практике управления рисками применяются платежные обязательства специального вида, называемые опционами. Определение 31 Европейским опционом "колл" называется платежное обязательство вида УТ(оТ)=Мах{0,8Т(оТ)-К}, где К - цена исполнения опциона "колл", Т - срок исполнения.

Определение 32 Европейским опционом "пут" называется платежное обязательство вида УТ(оТ)=Мах{0,К-БТ(оТ)}, где К - цена исполнения опциона "пут", Т - срок исполнения.

Классическая теория расчета опционов предполагает наличие безрискового банковского счета (8-рынка) со ставкой г на 1 период, так, что длинная позиция на в-рынке объема У0, открытая в момент =0, приносит ее обладателю вне зависимости от сценария внешней среды о безрисковую

Т Т

выплату настоящей работе в-рынок считается риско-

вым и аналогичен 5-рынку, поэтому ставка Ъг принята зависящей от сценария внешней среды: Ъ,+1 = Ъ(Ео,, Ъ,) = {иьЪ1, либо йьЪ{,0 < йь < 1 < иь}. По определению, Ъ+1 = Ъ(Е.,о,,Ъ)= Ъ[1 + ДЪМ ((,о,)] ](Е,,о,) { -1,йь -1}. Рассматриваются хеджи, состоящие из позиций на и в-рынках. Тем са-

мым, для каждого г=0,1,...,Т имеет место система (линейных) уравнений динамического хеджа (1), (2):

X = 0: V (0)= X 0 = п 80 + (К-п 80)

X = 1: V (Е , ) = X, (Е ,) = п81 (Е ,) + Ь (Е , XV - п80), ¡ = |Е| X = 2: К (Е Е]) = Х2 ((Еу) = п (Еу >)я (е Е.)+ К ( Еу ) (()- п ( ) ( )

г = Т : К (е |Ст-1 )= Хт (е |Ст-1 )= Пт-1 (ст-1 )8т (е |Ст-1)+ Ьт (е |Ст-1 Х^т-1 (ст-1 )-^Т-1 (ст-1 К-1 (ст-1 )

В работе рассматривается случай, когда внешние среды для В- и 8-рынков идентичны (т.е. порождающие автоматы совпадают).

Взаимосвязь между системой уравнений хеджа (1,2) и структурой ЯПФ внешней среды устанавливают следующие леммы.

Лемма 1 Пусть в ЯПФ внешней среды (В,8)-рынка на г-м ярусе имеется М вершин. Тогда в системе (1,2) этому ярусу соответствуют стратегий п 1(с г-1), Ыг-1 капиталов Хг-1(с г-1) и М уравнений связи. Лемма 2 На каждом г-м моменте времени в систему (1,2) добавляются неизвестных и М уравнений связи.

Определение 33 Индексом разрешимости хеджа для опциона европейского типа со сроком исполнения т, определенного на (В,8)-рынке, описанном

автоматом внешней среды, называется величина хт = Х(е, - 2Мг-1).

г=1

Доказана следующая

Теорема 1 (основная теорема динамического хеджирования платежных обязательств) Для любого регулярного (В,8)-рынка и определенного на нем опциона европейского типа со сроком исполнения т существует динамический хедж. При этом, если для срока т

а) ХТ<0, то существуют 1) бесконечно много динамических хеджей (1,2) и и) единственный ^-хедж,

б) ХТ>0, то существуют хеджи в среднем и в среднеквадратичном,

в) ХТ=0, то существует единственный совершенный хедж.

Во всех трех случаях существует стоимость риска К0, понимаемая в смысле соответствующего хеджа.

Теорема 1 обобщает ряд широко известных результатов теории ценообразования опционов. В частности, из условия (в) Теоремы 1 получается, как следствие

Утверждение 1 (модель Кокса-Росса-Рубинштейна) Для внешней среды, управляемой двумя событиями Е1="Г" и Е2="Р" и автоматом

Е. = Е(е 1 )= 1 1 (см. Рис.8) на безрисковом В-рынке со ставкой Ь и рисковом 8-рынке 8М(Е., 8,) = {, либо й81,0 < й < 1 < и} и для определенного на

них опциона европейского типа со сроком исполнения T существует единственный совершенный хедж со стоимостью риска, определяемой по формуле Кокса-Росса-Рубинштейна. Применение Теоремы 1 иллюстрирует следующий

Пример 9 Для внешней среды, описанной в Примере 7, рассмотрим уравнения динамических хеджей для опционов европейского типа на акции S со сроками исполнения T=1,2,3,4. Ниже выписана система уравнений хеджа, где, как обычно, Et и œt - событие и сценарий на момент t, St(Et, со) - цена акции-базового актива в момент t, bt(Et, ш)-ставка на 5-рынке, п - стратегия хеджа (число акций в хеджирующем портфеле в момент t), Vt - стоимость опциона, Xt - капитал хеджа, V0 - премия по опциону: t=0: Vo=Xo=noSo+(Vo-noSo) t=1: Vi(Ei)=Xi(Ei)=noSi(Ei)+b(Ei)(Xo-noSo) Vi(E2)=Xi(E2)=noSi(E2)+b(E2)(Xo-noSo) Vi(E3)=Xi(E3)=noSi(E3)+b(E3)(Xo-noSo)

V1(E4)=X1(E4)=noS1(E4)+b(E4){Xo-noSo) t=2: V2(E2Ei)=X2(E2Ei)=ni(Ei)S2(E2Ei)+b(E2Ei)(Xi(Ei)-ni(Ei)Si(Ei))

V2(E3Ei)=X2(E3Ei)=ni(Ei)S2(E3Ei)+b(E3Ei)(Xi(Ei)-ni(Ei)Si(Ei))

V2(E3E2)=X2(E3E2)=ni(E2)S2(E3E2)+b(E3E2)(Xi(E2)-ni(E2)Si(E)

V2(E2E3)=X2(E2E3)=ni(E3)S2(E2E3)+b(E2E3)(Xi(E3)-ni(E3)Si(E3)) V2(E4E3)=X2(E4E3)=ni(E3)S2(E4E3)+b(E4E3)(Xi(E3)-ni(E3)Si(E3)) V2(E4Ei)=X2(E4Ei)=ni(E4)S2(E4Ei)+b(E4Ei)(Xi(E4)-ni(E4)Si(E4))

t=3:

V3(E3E2E) =X2(E3E2Ei)=k2(E2E1)S3(E3E2E1) +b(E3E2E1)(X2(E2E)-K2(E2Ei)S2(E2Ei)) V3(E2E3E) =X2(E2E3E)=n2(E3E)S3(E2E3E) +b(E2E3E1)(X2(E3E)-n2(E3E)S2(E3E)) V3(E4E3E) =X2(E4E3Ei)=K2(E3E1)S3(E4E3E1) +b(E4E3E1)(X2(E3E)-K2(E3Ei)S2(E3Ei)) V3(E2E3E2) =X2(E2E3E2)=n2(E3E2)S3(E2E3E2) +b(E2E3E2)(X2(E3E2)-n2(E3E2)S2(E3E2)) V3EEE2) =X2(E4EE2)=n2(EE2)S3(EEE2) + b (E4E3E2XX2 (E3E2) - П2 (E3E2)S2 (E3E2) ) V3(E3E2E3) =X2(E3E2E3)=n2(E2E3)S3(E3E2E3) +b(E3E2E3)(X2(E2E3)-n2(E2E3)S2(E2E3)) V3(E1E4E3) =X2(EiE4E3)=n2(E4E3)S3(E1E4E3) +b(EiE4E3)(X2(E4E3)-n2(E4E3)S2(E4E3))

V3(E2E1E4) =X2(E2EiE4)=n2(E1E4)S3(E2E1E4) +b(E:E1E4)(X2(E^4)-n2(E1E4)S2(E1E4))

V3E3E1E4) =X2(E3EiE4)=n2(EiE4)S3(E3EiE4) +b(E3EiE4)(X2(EiE4)-n2(EiE4)S2(EiE4))

В этом примере:

Ярус Nt Добави- Добави- Всего Добавилось Всего Xt

t лось лось ка- неизвест- уравнений уравнений

стратегий питалов ных

0 1 1 1 0 0 0

1 4 1 1 2 4 4 +2

2 6 4 4 10 6 10 0

3 9 6 6 22 9 19 -3

4 13 9 9 40 13 32 -8

Из таблицы видно, что существуют а) бесконечно много хеджей для опциона со сроком исполнения Т=3 такта и более, б) хеджи в среднеквадратичном

и среднем для опциона со сроком т=1 (на 1-м ярусе - переопределенная система из 4-х уравнений с 2-мя неизвестными), и в) для опциона со сроком т=2 существует совершенный хедж.

Определение 34 Внешняя среда называется бинарной, если ЯПФ описывающего ее автомата - бинарное дерево. При этом класс бинарных сред обозначается Б(к), где к - мощность алфавита событий (или, что эквивалентно, состояний автомата). Следующая теорема устанавливает существование хеджей в классе В(к).

Теорема 2 В классе В(к) существуют хеджи в среднем и среднеквадратичном для любого натурального к>0. В классе В(к) не существует совершенных хеджей при к>2.

Определение 35 Пусть мощность алфавита событий внешней среды \Е\=а и в дереве ЯПФ на каждом ярусе X число вершин Ыг=а+(г-1)х, г=1,2,... Такая внешняя среда называется арифметической. Класс таких сред обозначается как А(а,х).

Теорема 3 В классе А(а,х) существует европейский опцион со сроком исполнения т-1, для которого возможен совершенный хедж. При этом т определяется как один из строго положительных корней уравнения хт2+(2а-7х)т+2(3х-2а+2)=0.

Пример 10 В условиях Примера 9 т1=0 и т2=3, что соответствует ярусу г=2, на котором, как показано в Примере 9, существует совершенный хедж. В работе также сформулированы аналогичные теоремы для случая, когда внешние среды В- и 8-рынков различны.

До сих пор рассматривались стационарная внешняя среда. Для такой среды описывающий её событийный недетерминированный автомат имеет неизменные во времени уверенности (или вероятности) переходов р.: (Е ¡,Е) ргу=сопв1 Уге [0,Т]. Рассмотрим нестационарную внешнюю среду. Для этого необходимо ввести последовательность из т автоматов Е с одними и теми

же алфавитом Е и правилами переходов Е. = Е(Е . ) = ||е.. , но с меняющимися

во времени уверенностями переходов р.(Х), г=1,...,т. Фундаментальным является следующий результат.

Теорема 4 (о существовании хеджа в нестационарной внешней среде)

Результаты Теоремы 1 остаются справедливыми в условиях нестационарной внешней среды.

В Главе 2 в заданной выше системе понятий переформулируется ряд известных постановок однопериодных задач оптимального управления портфелем платежных обязательств по критерию "ожидаемая эффективность -риск". Сформулированы и решены новые задачи многопериодного управления портфелем рисковых инструментов с ограничением на максимальные финансовые потери внутри временного интервала Хе[г0, г0+Т], на котором

осуществляется управление.

Предложена постановка задачи управления портфелем, использующая критерий оптимальности Марковица (максимизацию математического ожидания стоимости портфеля на момент прекращения управления - t=T) при новом типе ограничений в форме максимальных финансовых потерь за период управления портфелем [t0, t0+T].

Рассмотрим задачу управления инвестиционным портфелем экономического субъекта на интервале [t0, t0+T] с начальным собственным капиталом V0. Прирашения капитала в результате изменения стоимости инвестиционного

портфеля Xt суть V, = X, = X0 + £ АХ = X0 + £ (( - Х-).

T=1 T = 1

Следующее определение вводит математический критерий оценки финансовых потерь за период управления портфелем рисковых инструментов. Определение 36 Функцией потерь по портфелю за период [t0,t0+t] называется функция DD01 = Max {Vt} - Vt. Тем самым функция потерь DDt0,t определена на отдельной реализации процесса изменения рыночной стоимости портфеля Vt и равна максимальной достигнутой к моменту t величине падения стоимости инвестиционного портфеля после того, как в прошлом эта стоимость достигла своего пика.

Процесс изменения рыночной цены инструмента St, te[t0,t0+T] суть исторический сценарий цены. Исторические сценарии являются выборками из доступной базы данных за период ^начДкон]: {St, te^^t^]}, параметризованными началами отсчета t0 и длиной T- см. Рис.14.

Варьируя начало отсчета t0 (перебирая сценарии St во временных окнах te[t0,t0+T]), мы искусственно получаем множество реализаций одного и того же (это - гипотеза стационарности) процесса Vt,t0 на единственной реализации процесса {St, te^^t^]}. Этим приемом (называемым бутстре-пом) мы моделируем формирование экономическим субъектом портфеля в разные моменты времени и в разных режимах рынка.

Анализировать функцию потерь можно в двух временных разрезах - вдоль одного сценария DDt0,t, t e[t0,t0+T] по параметру t, t0 при этом фиксировано, и на всем множестве сценариев t0e [tmH, t^-T] для какого-то конкретного момента t (т.е. по одному сценарию процесса DDt0,t и по ансамблю сценариев для фиксированного t, левый конец t0 не закреплен). В частности, нас будет интересовать распределение функции потерь по сценариям и его характеристики - среднее, экстремальные значения, квантили (аналог меры Value-At-Risk).

Определение 37 Потери в худшем случае определим как

MaxDD = Min { Min {DD, t}}, t0 e [t ,t -T]

»0e[C ,t„ -T] te[t„ +t A +T Л <0.'JJ' 0 L нач' кон J

Это - потери в самом худшем случае, наблюдавшемся в истории.

1 ,0 +Т

Определение 38 Средние потери суть ЛуББ = — { {ВВч ф

Т <0е[,„ -Т ] ,0+г "

Здесь происходит усреднение как вдоль одного сценария (по ,), так и по всем сценариям (по ,0).

Определение 39 Потери с риском 1-у, уе [0,1] - аналог меры УаШе-ЛиЯмк -определим как соответствующий квантиль уровня у распределения ЛД^,:

В°аК(У) = 7л-)1Т—Т Я

(1 -Г)(Т -т) о

О= {(,0,,) е [^,Кон - Т] х [,0 + т,,0 + Т]: < ш(Г)}

Здесь ш(у) - верхняя граница потенциальных потерь, такая, что (1-у) значений меньше ш (у). Например, нас может интересовать 95%-ный квантиль, т.е. потери будут превышать ВВаЩ95%) только в у=5% случаев. 2.1 Формулировка задач управления портфелем инвестиций с учетом ограничений на риск

Рассматривается 5-рынок, на котором имеются п видов инструментов. Стратегия управления портфелем предполагает размещение начального капитала в объеме У0 на 5-рынке в момент времени ,0 пропорционально долям х, '=1, ...,п в 1-й инструмент на срок Т=Т-,0. Портфель не реструктурируется до момента ,Т=0+Т (тем самым применяется стратегия управления типа "Ьиу-апё-ИоШ" - см. Пример 2). Если г,1=8,1-8,1 .1 - приращения цен 1-го инструмента на 5-рынке, то эффективность портфеля на конец горизонта Т определяет-

1 п Л +Т Л 1 / \ II и Хг

ЩХ1) =—X X К х1 =—((, х), где векторы =-т=0— , Х| = х.. Второй

У ' 5, '

ся как

У 1=1

, = ,0

критерий управления суть ограничение функции потерь. Предлагаются следующие разновидности ограничений:

(3) МахОО(х) <у1У0 - ограничение максимальных потерь

(4) ЛуВВ(х)<у2У0 - ограничение на средние потери

(5) ООаЩх,у)<у3У0 - ограничение на потери с риском 1-у "Аппетит" или "избегание" риска задается экспертами в виде весовых множителей у1,у2,у3е[0,1]. На практике задаются также ограничениями на максимальный и минимальный размер инвестиций в каждый инструмент 5-рынка; именно, задача выбора оптимального портфеля {х,} решается в прямоугольном параллелепипеде

(6) Х= {х-хт'п < х' < xmax, V ¿=1,^,п}

Целью управления является максимизация эффективности портфеля Я(Х)^тах к моменту завершения инвестиций ,Т при одном из трех типов ограничений потерь в форме (3), (4) или (5) и ограничения на допустимые стратегии (6). А именно, имеем следующие задачи математического программирования:

(8)

(9)

max R( X)

MaxDD(X) < v1 V0 - задача с ограничением на максимальные потери,

X е X

max R( X)

AvDD(X) < v2 V0 - задача с ограничением на средние потери,

X е X

max R( X)

DDaR(X) < v3 V0 - задача с ограничением на потери с риском 1-у.

X е X

1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0

0-!ГООСМСОО-!ГООСМСОО-!ГОО<МСОО-!ГОО<МСОО-!ГООСМСОО ОООт-т-СЧСМСМСОСО-^-^-^ЮЮСОСОСО^^ООООООСПСПО

о о о о

0000

Рис. 14 Сценарии процесса изменения рыночной стоимости портфеля У^о

2.2 Дискретизация задач и их численное решение

Разбивая временной интервал [г0, г0+Т] на М дискретных моментов времени г=г0+1*Т/М, имеем дискретные представления вектора г(г)=г1 и функции потерь ВВ(х)=Мах{0<<М:(г]-,х)}-(г1,х), а также целевой функции эффективности Я(х) = —(гм,х). Задачи (7)-(9) переформулируются так:

(10)

MaX

i = 1 ,.., M

V = 1 ,■

X ) - (rt • X ) ]< v iV

е X

Мах

V п

■ГМ ■ х

М V (■ х) - (г ■ х)}

(12)

М - *

х е X

Мах

^ v2Vп

V п

'ГМ ' х

Ш + -V

(1 -г)М £ х е X

Мах (г, • х) - (гг • х) }=1,..., г

-Ш

< V 3 V п

где в последней формулировке принято обозначение (/(х))+=тах{0,/}. Следующая теорема устанавливает класс методов решения задач (8)-(1П). Теорема 5 Задачи (8)-(10) являются задачами линейного программирования независимо от распределения процесса цен В пространстве [Я(х), ВВ(х^)] существуют оптимальные портфели {хг}, ¡=1,..,п.

В работе также рассмотрена многопериодная стратегия Келли для динамического управления портфелем по критерию наибыстрейшего геометрического прироста его стоимости м \ е С 1п ( x г (а г) ^, 3 ц , где фильтрация

1п

г - 1

3 соответствует пространству сценариев цен биномиальной модели (см. Пример 6). В работе предложены три численных метода поиска оптимальной (по Келли) стратегии управления портфелем.

Следующее предложение устанавливает распределение вероятности < х, 1< п< Ы} сокращения исходного капитала V0=1 до величины VN=xV0 на сценариях длины N в предположении, что эти сценарии суть реализации винеровского процесса.

Теорема 6 Для броуновского сценария Vt из N ставок при достаточно большом N вероятность когда-либо потерять долю (1-х) капитала экономического субъекта оценивается функцией

Р\ В^) < 1п(х) -

1 < t < Ыа2 !> = хе

2 т 2

В Главе 3 рассматривается проблема идентификации событий, влияющих на финансовый рынок. В работе предложен механизм идентификации модели реакций рынка на эволюцию внешней среды, описанной недетерминированным конечным автоматом (см. Определение 18) по временным рядам цен

финансовых инструментов. В качестве критерия идентификации модели выбран минимум энтропии по Шеннону.

Решается задача классификации макроэкономических и корпоративных событий в кластеры, объединяющие эти события по критерию "близости" порожденных их появлением реакций рынка. Реакция рынка суть эмпирическое распределение выборки логарифмических приращений цены

Р, =1п

Я,

V У

[11,11+^, где ,1 - моменты переломов трендов на графике цен

(см. Рис.16).

Пусть задан временной ряд логарифма относительных приращений цен р,, ,=/,..п:{рь...,рп} рискового инструмента Я-рынка. Предположим, что этот ряд представляет собой реализацию нестационарного процесса, т.е. распределение ряда меняется во времени под действием внешних событий -

Рис.15. Введем маску Ж/ =

гр,л

V Р-/ У

порождающую вырезку длины / из всей выборки {рь...,рп}. Все вырезки получаются сдвигом исходной маски Ж/ на / тактов времени вправо.

Рис. 15 Нестационарный процесс изменения цены

Тем самым, пройдя по всей выборке, образуем [п//] вырезок (через [х] обозначена целая часть х). Маска играет роль шаблона, накладываемого на исходный временной ряд {рг}. На Рис.16 прямоугольником показан пример маски. Пусть теперь £ - функция распределения для вырезки, попавшей в маску Ж/.

Объединим неразличимые (или близкие) с точки зрения некоторого критерия функции / в класс Ск. Ск для вырезок, порождаемых масками длины /, называется состоянием модели рынка. Поскольку модель нестационарна, то она описывается функцией поведения (С-,С,-)^[0,1]}, определяющей вероятность или уверенность перехода модели из состояния С в состояние С-.

Все наблюденные переходы С^С, можно записать в виде матрицы. Каждый такой переход обозначим через ек. Пусть Ск - булевский вектор, в

котором на ¡-м и ,-м местах стоят 1, а остальные его компоненты - нули. Индекс к пробегает по всем наблюденным различным переходам. Подсчита-

ем число наблюдений перехода С^С, соответствующего некоторому ск -пусть это будет Ы(ск). Тогда, по определению, значение функции поведения Р на этом переходе будет относительная частота Еъ(ск)=К(ск)/1 Щсц). Тем самым р является функцией распределения переходов между состояниями С. Для каждой маски получаем соответствующие модель переходов и функцию поведения. Вообще говоря, обе они для разных масок разные. Какую модель предпочесть? Сразу же следует отметить, что наилучшей маски не существует. Конечно, это имеет место при отсутствии у исследователя какой бы то ни было априорной информации о законе поведения системы. И тем не менее, предпочтительнее та модель, которая 1) имеет минимальное число состояний, и 2) содержит наименьшую неопределенность. Неопределенность функции поведения предлагается измерять через ее шенноновскую

Т рь (с1) 1оё 2 (ск) , где |С| - число различных

энтропию

н (рь (с)) = -

1о§ 2 С

векторов ск. По построению, И(Рь(с))е [0,1].

Идентификация трендов и событий-переломов предполагает введение масок и расчет распределений процесса изменения цен в вырезках, порожденных наложением маски. В работе введена адаптивная маска, выделяемая специальным алгоритмом пилообразного приближения трендов временного ряда. Результатом работы алгоритма является покрытие исходной выборки вырезками переменной длины, соответствующими трендам заданного порядка. Трендом 0-го порядка считается тренд, проведенный от первой точки выборки до ее последней точки. Трендами 1-го порядка будет пилообразное приближение, соединяющее начальную и конечную точки выборки через экстремумы - минимум и максимум по всей выборке. Например, на Рис.16 показан временной ряд дневных цен закрытия акций ОАО Сургутнефтегаз за 2001 год и соответствующее этой выборке пилообразное приближение 10-го порядка (номера событий-переломов, отграничивающих соответствующие им вырезки, также указаны на Рис.16). Пример одной из вырезок показан на Рис.16 прямоугольником

Пилообразное приближение Ю-го порядка - ОАО Сургутнефтегаз

Рис. 16 Разбиение временного ряда на вырезки. Цифрами помечены номера событий-переломов трендов. Вырезка 6 показана прямоугольником.

Рис. 17 Функция кумулянты (кривая) и плотности (гистограмма) распределения приращений цен для вырезок №1 и №6

Каждая из 10-ти вырезок на Рис.16 определяет некоторое состояние системы; точнее, состояние мы определим (как и в примере предыдущего пункта) через функцию распределения процесса изменения цен для подвыборки, задаваемой своей вырезкой. Примеры получившихся функций распределения для вырезок №1 и №6 приведены на Рис.17.

Теперь необходимо произвести сравнение реакций системы на события переломов; для этого понадобится ввести меру близости между функциями распределения, соответствующими каждой реакции. В качестве такой меры взят максимум поточечного отклонения функций распределения двух реакций: 1л(С1, С}) = т ах{с. (х) - С} (х)}. Такое расстояние симметрично, для него

имеет место неравенство треугольника, но оно не аддитивно (т.е. если

д(СьС2)=Л,

ц(С2,Сз)=В, то д(СьСз)*А+Б)

С: С2 Сз С4 С5 С6 С7 С8 С9 Сю

С1 0 0.33 0.24 0.38 0.19 0.38 0.31 0.37 0.26 0.35

С2 0 0.38 0.06 0.27 0.06 0.41 0.14 0.22 0.20

Сз 0 0.41 0.30 0.42 0.40 0.51 0.26 0.34

С4 0 0.28 0.06 0.38 0.12 0.17 0.15

С5 0 0.29 0.27 0.34 0.17 0.21

Сб 0 0.40 0.10 0.21 0.19

С7 0 0.42 0.29 0.29

С8 0 0.27 0.19

С9 0 0.09

С10 0

Рис. 18 Матрица парных расстояний между вырезками ряда на Рис.16

Матрица попарных расстояний ||ц(СьС|)|| для 10 вырезок Рис.16 приведена на Рис.18 (т.к. матрица симметрична, показана только верхняя треугольная форма). Для этой матрицы, задав пороговые значения в для расстояний ц(СьС|), можно выделить классы Ск. "близких" событий. При в=1 все вы-

резки неразличимы и есть только один класс С0: ¡л(СиС)<1. Если 6=0,

то каждая вырезка выносится в отдельный уникальный класс. Промежуточные значения порога дают нетривиальные классы. Так, при 6=0,23 имеем классы С7={1>, С2=(2,4,6,8,9,10}, С5={3>, С4={5}, С5={7}. При 6=0,10 имеем С7={1}, С2={2,4,6}, С={3}, С4={5}, С5={7}, Сб={8}, С7={9}, С={10}.

По результатам идентификации С строится событийный автомат, моделирующий поведение рынка под действием событий внешней среды - для приведенных примеров 6\ и 62 автоматы приведены на Рис.19.

Рис. 19 Автоматы внешней среды для 61=0,23 и 6—0,10

Как показано в Главе 1, для платежных обязательств на событийном рынке существует хедж. Таким образом, построена полная среда решения задач управления рисками в дискретных событийных системах, включающая в себя конструктивную процедуру идентификации классов событийных моделей факторов риска и метод расчета хеджа для моделей названного класса. Глава 4 посвящена разработке механизмов экспертиз для сценарного программирования и оценки рисков сложных производственных и научно-исследовательских проектов. Предложены процедуры взаимодействия экспертов в процессе проектирования сценариев внешней среды и реакций управляемой системы. Приведены результаты применения данного подхода к задаче анализа рисков энергетической безопасности Восточно-Сибирского региона.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты работы

1. В работе предложена новая формализация для описания предметной области широкого спектра задач управления финансовыми рисками, основанная на логико-вероятностной сценарной методологии. Предложено исчисление неопределенности на алгебре формальных сценариев,

включающее в себя как вероятностные, так и нечеткостные меры.

2. Предложены новые определения динамических хеджей для платежных обязательств произвольного вида - ^-хеджа, хеджей "в среднем" и "в среднеквадратичном". Впервые в мировой практике сформулирована и решена задача динамического хеджирования в предположении событийного дискретного рынка. Доказано существование стратегии динамического хеджирования платежных обязательств для событийной модели рынка ресурса, описываемой конечным автоматом. Предложен механизм расчета платежных обязательств типа опционов на сценарных событийных рынках в отсутствие безрисковых ресурсов.

3. Предложены многопериодные постановки задач выбора стратегии управления портфелем с учетом мер риска - 1) заданной с некоторым уровнем уверенности границей потенциальных потерь (drawdown) по критерию ожидаемой терминальной эффективности, и 2) по критерию наибыстрейшего геометрического прироста капитала экономического субъекта. Показана сводимость первой задачи к задаче выпуклого программирования и доказано существование эффективного множества инвестиционных портфелей, для второй задачи получены граничные оценки прироста капитала и максимальных потерь в биномиальном и броуновском приближении поведения рынка.

4. Построена статистическая процедура идентификации автоматной модели внешней по отношению к рынку среды по временным рядам рыночных данных с событиями-переломами тенденций. Приведен пример практического применения данной процедуры для решения задачи идентификации макроэкономических и политических событий, влияющих на российский рынок акций.

5. Разработана методология коллективных экспертиз для оценки рисков в плохо формализуемых организационно-экономических системах (в частности, в управлении проектами). На основе предложенных в работе формальных процедур реализованы компоненты системы проведения "мозговых штурмов", примененные в задачах оценки рисков производственных и научно-исследовательских проектов (в частности, в задаче оценки рисков инвестиционного проекта и оценки рисков энергетической безопасности региона).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих 9 работах:

1. Бершадский А.В. Что могут дать технологии управления рисками современному бизнесу? // Управление и обработка информации: модели процессов: Сб.ст./ Моск. физ.-техн. ин-т. - М., 2001. - с.34-51

2. Бершадский А.В. Реинжиниринг систем на модели потоковой сети // Моделирование процессов управления и обработки информации: Сб.ст./ Моск. физ.-техн. ин-т - М., 1999. - с.166-187

3. Столяров Л.Н., Бершадский А.В., Новик К.В., Комаревцев А. Сценарное программирование рисков: механизм коллективного принятия решений и его применение к проблеме оценки уровня энергетической безопасности региона // Информационные технологии в науке и образовании / Труды Всероссийской конференции "Информационные и телекоммуникационные технологии в науке и образовании Восточной Сибири. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2002. - с. 14-35.

4. Stolyarova E.M., Stolyarov L.N., Bershadsky A. V. A New Approach for Estimation of the Risk in the Financial Engineering Abstracts: The 3rd Moscow International Conference On Operation Research ( ORM2001) / CC RAS -M., 2001, - p. 112-113

5. Бершадский А.В., Л.Н. Столяров Реинжиниринг банковского продукта c гарантированным финансовым результатом // Теория активных Систем / Труды международной научно-практической конференции / ИПУ РАН - М., 2001. - Том 2, с. 17-20

6. Бершадский А.В. Статистическая модель рыночных событий // Электронный журнал "Исследовано в России" ", 132, стр. 1476-1488, 2002 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/132. pdf.

7. Бершадский А.В. Управление ресурсами в среде с геометрическим ростом // Ж. Обозрение прикладной и промышленной математики - 2002 -Т.9, вып.3, с.211-213

8. Бершадский А.В. Сценарные модели в управлении рисками // Конкурентоспособность территорий и предприятий - стратегия экономического развития страны - Сб. тез. V Всероссийского форума молодых ученых и студентов / УрГЭУ, ИЭ УрО РАН - г. Екатеринбург, 2002. - Ч.3, с.17-18

9. Бершадский А.В. Система тренажеров Battle for Money для консалтинговых фирм. Планирование обороны банка в кризисных ситуациях // Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ - Сб. тез. докл. / Моск. физ.-техн. ин-т - Долгопрудный, 1999. - с.121

Бершадский Андрей Вячеславович

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА СЦЕНАРНЫХ МЕТОДОВ

УПРАВЛЕНИЯ РИСКОМ

Изд. лиц. ИД №05403 от 16.07.2001 Подписано в печать 06.11.2002. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ.л. 1,4.

Тираж 70 экз. Заказ №

Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем "ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ" 141700, Московская обл., Долгопрудный, Институтский пер., 9

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Бершадский, Андрей Вячеславович

ВВЕДЕНИЕ.

1. Постановка задачи.

1.1 Актуальность темы.

1.2 Цель исследования.

1.3 Предмет и объект исследования.

1.4 Научная новизна.

1.5 Практическая значимость.

1.6 Структура диссертации.

2. Классические теории и методы управления риском, их критика и пересмотр

2.1 Подходы к определению понятия "риск".

2.2 "Экономика оптимальности " и концепция рационального выбора.

2.3 Гипотеза Башелье и концепция эффективного рынка.

2.4 Фрактальная гипотеза. Эконометрические модели.

2.5 Концепция динамического хеджирования и теория расчетов.

2.6 Критика и пересмотр классических подходов в концепции несовершенных рынков и бихевиористской теории риска.

3. Ключевые объекты и структуры в задачах управления рисками.

3.1 Сетевая модель объекта управления - Cash Flow Net.

3.2 Событийная модель риска.

3.3 Оценки неопределенностей, учитывающие логическую структуру сценариев

ГЛАВА 1 ХЕДЖИРОВАНИЕ НА СОБЫТИЙНЫХ РЫНКАХ.

1. Определения и примеры.

2. Фундаментальная теорема хеджирования.

3. Примеры применения теории хеджирования к построению процедур управления рыночным риском. Метод трансфертных опционов.

ГЛАВА 2 ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОРТФЕЛЬ НА СОБЫТИЙНЫХ РЫНКАХ.

1. Управление портфелем по критерию финансовых потерь.

1.1 Формулировка задач управления портфелем инвестиций с учетом ограничений на риск.

1.2 Дискретизация задач и их численное решение.

1.3 Пример применения методики на российском фондовом рынке.

2. Управление портфелем с учетом потребления.

2.1 Параметры задачи - входные данные.

2.2 Переменные задачи - характеристики инвестиционного портфеля.

2.3 Постановка задачи.

2.4 Математическая модель.

2.5 Метод разделения переменных.

2.6 Лагранжево ослабление соединённых ограничений.

2.7 Двойственная задача.

2.8 Приближенное решение двойственной задачи методом субградиента.

3. Управление портфелем по критерию скорости роста капитала.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Поиск оптимальной по Келли стратегии управления капиталом для механической торговой системы.

3.3 Управление риском в среде с геометрическим ростом.

ГЛАВА 3 ИДЕНТИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙНЫХ МОДЕЛЕЙ РЫНКА.

1. Эмпирические свидетельства в пользу событийных моделей рынка.

1.1 Описательные статистики индекса российского рынка акций.

1.2 Эмпирические распределения - отличия от нормальности и "тяжелые хвосты ".

1.3 Вид "хвостов "распределения и высшие квантили.

1.4 Кластеризация экстремумов.

2. Явление корреляционного скачка. Действие на рынок внешних факторов.

2.1 Примеры двухконцептных моделей рыночного риска.

3. Влияние внешних событий. Метод (м,а) - диаграмм.

3.1 Эмпирические доводы в пользу динамического изменения концептуальной модели рынка акций.

4. Идентификация событийных моделей рынка.

4.1 Задача идентификации системы с поведением.

4.2 Статистическая идентификация событий.

4.3 Статистическая классификация событий.

4.4 Интерпретация классов рыночных событий. Построение автоматной модели.

4.5 Выводы.

ГЛАВА 4 МЕХАНИЗМЫ ЭКСПЕРТИЗ ПРИ УПРАВЛЕНИИ РИСКАМИ В СОБЫТИЙНЫХ СРЕДАХ.

1. Экспертные концептуальные модели в задачах управления рисками.

1.1 Экспертизы.

1.2 Предметная область. Концепты. Концептуальная модель системы.

1.3 Взаимосвязи между концептами.

1.4 Состояния концептов. Рейтинги.

1.5 Построение концептуальной модели по данным опроса экспертов.

1.6 Анализ сценариев концептуальной модели. Стресс- и фарт-сценарии.

1.7 Внешние тормозящие и возбуждающие факторы.

1.8 Нахождение парирующих факторов.

1.9 Механизм ы экспертиз.

2. Пример применения экспертиз в задаче оценки уровня энергетической безопасности региона.

2.1 Основные исходные положения.

2.2 Особенности энергетической системы региона.

2.3 Основные характеристики ситуации для экспертизы.

2.4 Концептуальная модель энергетической системы: построение и анализ.

3. Пример организационно-методической схемы управления рисками инвестиционных проектов в банке.

3.1 Планирование проектов с учетом рисков.

3.2 Идентификация рисков.

3.3 Оценка рисков.

3.4 Разработка сценариев реагирования.

3.5 Управление исходами.

Введение 2002 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Бершадский, Андрей Вячеславович

Диссертация "Исследование и разработка сценарных методов управления рисками" обобщает теоретические модели и эмпирические факты, полученные автором за 5 лет исследований и практической деятельности в области управления рисками в организационных системах и на финансовых рынках. Настоящая работа содержит систематическое и полное изложение взгляда автора на физическую природу, математическую теорию и количественные методы управления рыночным риском. Все задачи, сформулированные и решенные в диссертации, суть попытка формализации практического опыта автора как финансового инженера-математика.

1. Постановка задачи

Результатами процессов глобализации и дерегулирования в экономике, финансах, обществе стали взрывной рост сложности современных финансовых и социально-организационных систем, и, как следствие, возрастание их неустойчивости и неопределенности. Социальные и экономические институты все чаще подвергаются воздействию внешних и внутрисистемных событий, приводящих к значительным и даже катастрофическим потерям. В связи с этим является актуальным повсеместное внедрение в процедуры управления этими институтами механизмов регулирования чувствительности к событиям риска и ограничения вызванных рисками потерь.

Теория управления рисками (страхование и риск-менеджмент) занимается выявлением источников потерь, исследованием логики и вероятности возникновения событий риска, а также разрабатывает механизмы компенсации сопутствующих им потерь. В классической финансовой и страховой математике источником риска является случайность. Эмпирические данные показывают неслучайность событий-рисков: финансовые и социальные кризисы последних десятилетий развивались согласно определенным логическим сценариям. Внешняя событийная среда кризисов демонстрирует, хотя и недетерминированное, поведение.

Основным механизмом управления рисками и потерями от них является хеджирование. Под хеджированием понимается динамическая стратегия управления объектом, подверженным влиянию рисков (стратегия хеджа), обеспечивающая с заданной степенью точности количественную оценку возможности попадания объекта управления в рисковую ситуацию и ограничивающая в случае реализации риска размеры потенциальных потерь до заданного уровня (вплоть до полного устранения потерь с вероятностью 1 - это т.н. совершенный хедж).

В настоящей диссертации ставятся задачи a) теоретического обоснования возможности хеджирования в дискретной событийной среде с недетерминированным поведением, описанным конечным набором правил, b) идентификации модели рисков по статистическим данным и экспертным оценкам, c) разработки методов поиска стратегий хеджа.

1.1 Актуальностьтемы

Главной причиной внедрения в практику методов управления рисками (в том числе VaR) явилось резкое возрастание неопределенности финансовых результатов инвестиций на рынках ценных бумаг и в предприятия реального сектора экономики, и, как следствие, рисков устойчивости финансовых институтов. Движущими факторами роста неопределенности доходов стали: глобализация финансовых операций и интеграция национальных экономик, резкий рост числа торгуемых на мировых рынках инструментов, увеличение частоты экономических кризисов, сокращение времени финансовых транзакций за счет использования электронных средств передачи информации. В результате возникла острая необходимость в методах измерения и управления риском неблагоприятного движения рыночных цен финансовых инструментов.

Методология VaR позволила менеджерам самых разных специализаций заговорить на едином языке, наладить стандартизованный обмен информацией о рисках и четкий механизм подготовки и принятия решений по управлению риском на ежедневной основе. Окончательной победой математического моделирования как основного инструмента риск-менеджмента стало его признание международными регулирующими органами в качестве стандарта де-факто при расчете требований на размер резервов под потери от рисков. В 1996 соответствующие рекомендации были впервые выпущены Базельским Комитетом BIS (Bank for International Settlements) [2]. В 2001 г. BIS предложил новые, существенно расширенные именно в направлении математического моделирования рекомендации по внедрению в практику количественных методов оценки рыночных, кредитных, операционных рисков [3]. На сегодняшний день обязательными к публикации являются десятки отчетных форм VaR для финансовых корпораций. Многие крупнейшие корпорации самостоятельно раскрывают для инвесторов дополнительную информацию, характеризующую риски, принимаемые корпорацией, и качество постановки риск-менеджмента.

Границы применимости статистических моделей риска (в т.ч. упомянутой выше методологии Value-At-Risk) были осознаны во кризиса 1998-99 гг., сопровождавшегося крахом некоторых крупных финансовых организаций, полагавшихся на статистические модели риска и не применявших методологии сценарного стресс-анализа экстремальных рисковых событий. Классическим примером является крах хеджевого фонда Long Term Capital Management (получившим в литературе название "кризиса LTCM") в 1998 г. [4] Следует особо отметить, что в команду LTCM входили авторы современной теории хеджирования - лауреаты Нобелевской премии Р.Мертон и М.Шоулс.

Алан Гринспен, Председатель Федеральной Резервной Системы США, комментируя итоги международных финансовых кризисов 1998-99гг., сказал: " Мы должны избегать слепого применения механических или "формульных" подходов к проблеме оценки рисков, которые, намеренно или нет, надолго замыкают нас в рамки отдельного метода, -дольше того критического момента, когда этот метод перестал быть адекватным реальной жизни. Это должна быть методология, в которой каждый из нас должен быть уверен на 100%, пусть даже ее применение на первых порах окажется очень примитивным и грубым, но впоследствии она станет давать все более тонкие результаты " [5].

В свете этого высказывания и опыта недавних финансовых кризисов одним из перспективных подходов к управлению рисками является стресс-тестирование. Стресс-тестирование - второе, дополнительное (но не взаимоисключающее!) к статистическим подходам направление в риск-менеджменте, предполагающее существование на рынке событий, резко меняющих его состояние и поведение. Стресс-тестирование использует сценарии возникновения рыночных кризисов для оценки чувствительности портфеля финансовых инструментов к факторам риска событиям, и размера потенциальных потерь от реализации риска. Особую актуальность стресс-тестирование приобретает при управлении рисками на развивающихся рынках, в т.ч. в России. Для России экстремальные ситуации воспринимаются как норма.

Анализ эмпирических данных статистики финансовых рынков [6,7,8,9] (в т.ч. проведенный в настоящей работе на примере российского фондового рынка) показывает, что свойства процесса движения рыночных цен противоречат базовой гипотезе статистической финансовой математики о случайном блуждании; установлено, что на рынки влияют внешние политические, макроэкономические и др. события. События приводят к таким явлениям, как кризисы и бумы (достижение ценами экстремальных значений), смена трендов, скачки межрыночных корреляций. Распределение динамики цен далеко от нормального.

В задачах оценки уровней безопасности в социально-организационных системах и при проектировании военных операций сталкиваются с еще одной важной особенностью риск-менеджмента - его мулътипредметностъю. Разнообразие рисков (как чисто финансовых, так и технологических, страновых, и т.п.) заставляет риск-менеджера задействовать в процессе их оценки коллектив экспертов из самых разных областей. Формализовать этот процесс, превратить его в стройную методологию, набор инструкций, информационную технологию для его поддержки - чрезвычайно трудная и при этом столь же актуальная задача. Она предполагает качественно иной, не статистический подход моделирования.

Создание математических методов управления финансовым риском (с конца 50-х до начала 90-х гг. прошлого столетия) и, в частности, теории хеджирования, заложило теоретическую основу для бурного роста индустрии инструментов защиты от финансовых потерь на всех видах биржевых рынков - товаров, валют, акций, облигаций. Эти инструменты, являющиеся производными по отношению к названным традиционным объектам свободной торговли - базовым активам, суть специфические ценные бумаги, предоставляющие своему владельцу-инвестору права на совершение сделок купли-продажи базовых активов по фиксированным или рассчитываемым по специальным алгоритмам ценам в фиксированные моменты или интервалы времени. В математической теории риска среди таких инструментов особое место занимают опционы. В последнее время опционы стали активно применяться не только в биржевой торговле, но и в проектах по добыче природных ресурсов, в оценке предприятий индустрии "высоких технологий". Расчет справедливой стоимости производных инструментов с учетом оценки риска покупателя и продавца составляет основной предмет современной финансовой математики.

В задачах управления рыночным риском всё чаще встречаются платёжные обязательства с функцией выплат, отличной от опционов европейского типа, рассмотренных Блэком и Шоулсом [10]; опционы на коммерческие кредиты, купонные облигации, опционы, встроенные в инвестиционные проекты, часто имеют очень сложную функцию выплат. Такие опционы получили название экзотических {exotic options). Единой методологии расчета таких опционов не предложено.

Модель хеджа по Блэку-Шоулсу-Мертону [10,11] предполагает существование на рынке безрисковых возможностей заимствования или кредитования (т.н. безрискового актива). Однако, на практике редко удается найти подходящий безрисковый актив. Г.А.Агасандян [12] предложил расширение модели Блэка-Шоулса для ценообразования опциона европейского типа в отсутствие безрискового актива в предположении, что процессы движения цен рискового и "безрискового" активов подчиняются стохастическим уравнениям Ито и эквивалентны в смысле коэффициентов сноса и диффузии. Исследование статистики рынков показывает, что реальные рынки этому предположению не удовлетворяют.

Таким образом, является актуальной разработка новых методов управления финансовым риском:

• Опирающихся на логико-вероятностные событийные модели динамики рынков,

• Предполагающих построение многошаговых стратегий хеджа по критериям "эффективность - риск",

• Учитывающих отсутствие на рынке безрисковых активов,

1.2 Цель исследования

5. Разработка методики междисциплинарных экспертиз для оценки риска

Заключение диссертация на тему "Исследование и разработка сценарных методов управления рисками"

4.5 Выводы

В этом разделе предложен механизм идентификации рыночных событий по временным рядам котировок финансовых инструментов. Процедура основана на статистической идентификации модели рынка в форме машины состояний с минимальной энтропией по Шеннону. В качестве состояний выбраны распределения подвыборок (называемых масками) нестационарного процесса изменения котировки финансового инструмента.

Решается задача классификации макроэкономических и корпоративных новостей в кластеры, объединяющие новости по критерию "близости" порожденных их появлением "откликов" рынка. Выделены специфические для финансового рынка маски, отграничивающие подвыборки моментами переломов трендов. Для построения таких адаптивных масок использован алгоритм пилообразного приближения временного ряда. В пространстве "откликов" рынка введено расстояние, представляющее собой максимум поточечного модуля отклонения функций распределения реакций рынка на события.

ГЛАВА 4 Механизмы экспертиз при управлении рисками в событийных средах

Динамика социально-экономических систем определяется как объективными (выпуск продукции, объем продаж, цена и т.п.), так и субъективными факторами (политические новости, целенаправленные РЯ-акции, слухи и ожидания событий). Хорошо известны примеры значительных реакций финансовых рынков на высказывания политиков в средствах массовой информации, военные конфликты, публикацию существенно отличных от ожидаемых рынком результатов финансовой отчетности крупных компаний. Крупные инвесторы при планировании своих проектов и оценке рисков должны учитывать влияние субъективных факторов. Особую роль при этом приобретают экспертные оценки и модели риска, основанные на формализованных суждениях экспертов.

Если при управлении рисками на финансовых рынках часто удается собрать достаточно статистических количественных данных о событиях и факторах риска для обоснованного применения частотных методов, то риск-менеджмент в страховании (строительство нетиповых сооружений) и проектном финансировании (напр., при разработке нефтяных месторождений) сталкивается с уникальностью событий рисков. В таких ситуациях статистика отсутствует или ее сбор сопряжен со значительными затратами. Однако, как показывает практический опыт, команды экспертов из разных областей знаний способны сформулировать модель управляемой технической, экономической или организационной системы (часто при помощи специально выделенного набора частей управляемой системы- т.н. концептов, и отношений между ними типа "лучше-хуже", "зависит-не зависит"), выделить события и факторы риска.

Содержанием этой главы является изложение подхода к сценарному моделированию и оценке риска в системах, модели которых получены путем обработки неколичественной субъективной информации от экспертов. Для этого необходимо решение следующих подзадач:

• Создание легко понимаемого экспертами-неспециалистами простого понятийного аппарата описания дискретных событийных систем с поведением,

• Разработка методики и математического обеспечения для имитационного моделирования сценариев создаваемых моделей и оценки рисков "на лету" (в процессе коллективного принятия решений вплоть до режима реального времени).

При большом количестве экспертов экспертиза может заменить статистические методы. В риск-менеджменте уникальных проектов это оказывается оправданным. В данной работе статистические методы и механизмы экспертиз применяются "на равных" и только в рамках концептуальных моделей поведения изучаемых систем. Поведение описывается отношениями вида а) причина-следствие, б) стимул-ре акция, в) входное событие - выходное событие, г) аргументы - функция, д) состояние - переход и т.п. Модели поведения отличаются друг от друга точкой зрения на время, которое фиксирует изменения в системе и тем самым позволяет говорить о поведении. Различают следующие типы моделей с поведением [73]:

• Последовательностные (машины состояний, конечные автоматы)

• Синхронные

• Асинхронные (сети Петри)

В настоящей работе рассматриваются только последовательностные концептуальные модели.

Изложение методики формальных экспертиз в этой главе ведется на примере задачи по оценке рисков энергетической безопасности региона РФ.

1. Экспертные концептуальные модели в задачах управления рисками

В настоящем разделе будут даны необходимые определения ключевых объектов и структур в экспертизах событийных систем с поведением. Методологией моделирования в настоящей работе выбрано сценарное программирование, с формально-математической точки зрения представляющее собой логико-возможностное расширение системы когнитивных карт Вонд-Хао - Э.А.Трахтенгерца [75] и модели скрытых воздействий А.Кофмана [76].

1.1 Экспертизы

Экспертизой называется формализованная процедура, имеющая конечной целью построение формальной модели заданной системы и правил ее поведения на основе множества (вообще говоря, необязательно согласованных) экспертных оценок (мнений).

Подобная задача может решаться статистикой (статистическими методами). Статистика подразумевает наличие значительного объема экспериментальных данных об изучаемой системе; кроме того, такие данные должны составлять репрезентативную выборку, т.е. отражать все аспекты (прецеденты) поведения системы. Только в этом случае можно пользоваться статистическими методами проверки гипотез о законе (правилах) поведения исследуемой системы; говорят, что выводы, получаемые с помощью этих методов, являются статистически значимыми.

Статистика измеряет и группирует факты. Эксперты измеряют факты, одновременно производя дедуктивные выводы и индуктивные обобщения, тем самым восстанавливая концептуальную (содержательную) модель системы и законы ее функционирования. Эксперты "перерабатывают" факты, и продукт их деятельности гораздо более ценен, чем просто статистические выводы. Механизмы экспертиз направлены на эффективное получение этого продукта.

1.2 Предметная область. Концепты. Концептуальная модель системы.

В основе всякого моделирования лежит понятие предметной области - минимального набора понятий (концептов), из которого, как из конструктора, "собирается" модель исследуемой системы. Так, модель жилого дома может быть построена с позиций нескольких предметных областей - механики (строительства), инженерных коммуникаций (водопровод, канализация), электроэнергетики (электрические сети) и др. Важно, что набор концептов в каждой предметной области свой; в строительстве это физические свойства стройматериалов и законы механики, в коммуникациях это гидродинамика трубопроводов, в энергетике это электромагнитные законы и свойства электротехнических устройств. Концепты - это сущности (характеристики, переменные состояния и т.п. - все это синонимы из разных областей математического моделирования), которые определяют и отличают изучаемую систему от других систем. Из этих сущностей состоит (концептуальная) модель системы. Концепты могут быть организованы в иерархию, упорядоченную отношением "состоит из" (в работе рассматривается только первый уровень иерархии):

Система : (состоит из) {сущность = концепт 1, концепт2, . и т.д.}

Экспертиза и статистика применяются для описания поведения систем, формализованных в виде концептуальных моделей. Эти модели строятся при помощи концептов и их логических связей.

Статистика и экспертизы могут применяться одновременно и дополнять друг друга; если, с одной стороны, имеется богатый экспериментальный материал, полно характеризующий изучаемую систему, и, с другой стороны, исследователь располагает объемной базой знаний (высказываний, оценок) экспертов в данной предметной области, то логично применить оба метода и попытаться найти и объяснить возможные расхождения между результатами статистических выводов и экспертиз. Мнение эксперта ставится а-рпоп выше выводов, полученных из статистики, т.к. эксперт всегда неявно подразумевает иные воздействия и факторы, чем те, которые он явно упоминает в своих рассуждениях. Поиск неявных факторов и неучтенных взаимодействий концептов по теперь уже статистике высказываний экспертов - вновь статистическая задача, только теперь статистика работает не с фактами, а с экспертными высказываниями и оценками. 1.3 Взаимосвязи между концептами.

Концепты связаны друг с другом отношениями поведения; поведение системы как целого описывается этими отношениями. Примеры таких отношений: а) причина-следствие, б) стимул-реакция, в) состояние-переход. Рассматриваются только бинарные причинно-следственные связи, т.к. это самые примитивный тип взаимодействия, который хорошо "ухватывается" экспериментатором или экспертом.

Взаимодействие всегда имеет направленный характер для концепта, на который передано воздействие ("возбуждение") всегда можно указать концепт-источник этого воздействия (концепт-причину). Поэтому концептуальную модель изображают ориентированным графом отношения причинности между парами концептов. На Рис.95 изображены примеры инциденций, порождаемых этим отношением.

•— —>о у зависит (является следствием) х

X У х влечет либо у, либо г. Может быть записано как х у либо г)=(х —>у) \/(х —¿г)

У г зависит (является следствием) либо х, либо у (но не одновременно х и у !)

У — г ^А. Демонстрирует существование циклов (каналов)

Рис. 95 Концепты и инциденции отношения причинности

Цепочки передачи возбуждения в концептуальной модели суть сценарии. Сценарием называется цепочка, где каждая пара концептов связана отношением причинности. Циклические сценарии в концептуальной модели (последний пример на Рис.95) могут записываться в форме рекурсий. Например, последний образец на Рис.95 может быть рекурсивно изображен так, как показано на Рис.96.

Рис. 96 Рекурсивные сценарии в концептуальной модели

Здесь Иь 1^4, Из рекурсии (повторяющиеся цепочки-подмножества). В форме регулярных логических выражений Рис.96 перепишется в виде: = х*(г*м?*Къ V у * Я4) у *(-и/*7?3 V у*Я4)

Рассмотрим пример концептуальной модели.

Пусть список концептов, выделенный экспертами на первом этапе механизма экспертизы, суть множество С={с],с2,сз,с4,с;}. Граф концептуальной модели показан на Рис.97.

Рис. 97 Граф концептуальной модели

Матрица взаимодействия концептов (МВК) при этом имеет вид, показанный в Табл.27. с, <л с- с4 с\

С, 0 1 0 0 1

С: 0 0 1 1 0

О 0 С) 0 11® 0 с4 1 0 0 0 1 о 0 0 0 0 0

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Практика риск-менеджмента и анализ эмпирических данных рынка, проведенный в настоящей работе, показывает, что никакая из общепринятых на сегодняшний день методологий управления рыночным риском не может считаться оптимальной. Для построения адекватной все возрастающей волатильности финансовых рынков системы мониторинга рисков необходимо применять комплексный подход. Процесс мониторинга рыночных рисков не должен быть отделен от принятия решений и управления позициями на открытых финансовых рынках.

При практическом использовании предложенных в работе моделей следует обратить особое внимание на границы их применимости. Финансы - это не физика и не математика. Математики и физики, попав в сферу влияния финансовой математики, грезят о фундаментальных моделях и прогнозах с точностью до 6-ти знаков после запятой. В то же время, большинство финансовых моделей - феноменологические, это скорее "игры с аналогиями". Они никогда не дадут такой точности расчетов; для столь приблизительных моделей это просто бессмысленно. От финансовых моделей требуются скорее качественные, нежели количественные прогнозы. Именно на этот результат была нацелена настоящая работа.

Финансовая индустрия использует модели рынка для получения приближенных решений. Весь мир следует идеям Блэка-Шоулза в ценообразовании опционов. Всем известно, что приращения цен не логнормальны, что волатильность изменчива, репликация опциона стоком и бондом не свободна от транзакционных издержек. И тем не менее, эти модели используются на практике.

Не существует "всеобщей теории" социально-экономических систем. Нет ее и в финансах. Нет универсальных моделей, пригодных для всех групп финансовых инструментов. Чем больше факторов и параметров заложено в модель, тем она бессмысленнее с практической точки зрения. В финансах каждый сценарий, порождаемый моделью - заведомо ложен. Бессмысленно оптимизировать то, что толком неизвестно. Усреднение даст некоторое основание для оптимизации, но в финансах интересны "краевые эффекты", соответствующие экстремальным ситуациям именно в них мы зарабатываем или теряем больше всего. В этом направлении уже получены определенные результаты, приведенные в настоящей работе, и мы предполагаем развивать идеи и методы работы с "краевыми эффектами" в экономике в последующих исследованиях.

По сложившейся традиции, экономическая наука в ее "оптимизационном" изложении т.н. "экономика оптимальности" - базируется на гипотезе существования экономических субъектов, движимых четко сформулированным интересом и принимающих решения на основе рациональных моделей. Экономика до сих пор рассматривалась как неколичественная наука, базирующаяся на наблюдении за экономическим объектами реального мира, а не на математическом моделировании. Практики финансовой индустрии признали необходимость модификации и пересмотра фундаментальных предположений классической экономической теории; более того, современный стиль экономического исследования в гораздо большей степени предполагает использование обработанных лабораторных данных и данных математических моделей, нежели просто сырых данных реального мира. Этот стиль берет свое начало в двух интегригрующихся ныне друг в друга новых методологиях экономического исследования:

• анализе механизмов человеческого суждения и принятия решения, учитывающем психологию субъектов, осуществляющих управление на финансовых рынках,

• тестировании на данных реального мира предсказаний математических моделей, предлагаемых математиками-экспериментаторами.

Неслучайно, что Нобелевские лауреаты по экономике 2002 года - пионеры исследований в этих двух областях. Таким образом, настоящая диссертация находится в русле самых современных тенденций в экономико-математическом моделировании.

Целью диссертации являлось создание новых методов сценарного логико-вероятностного моделирования и оценки риска в финансовых и организационных системах. Для реализации этой цели в диссертации впервые:

1. Предложена новая формализация для описания предметной области широкого спектра задач управления финансовыми рисками, основанная на логико-вероятностной сценарной методологии. Предложено исчисление неопределенности на алгебре формальных сценариев, включающее в себя как вероятностные, так и нечеткостные меры.

2. Предложены новые определения динамических хеджей для платежных обязательств произвольного вида - Т-хеджа, хеджей "в среднем" и "в среднеквадратичном". Впервые в мировой практике сформулирована и решена задача динамического хеджирования в предположении событийного дискретного рынка. Доказано существование стратегии динамического хеджирования платежных обязательств для событийной модели рынка ресурса, описываемой конечным автоматом. Предложен механизм расчета платежных обязательств типа опционов на сценарных событийных рынках в отсутствие безрисковых ресурсов.

3. Предложены многопериодные постановки задач выбора стратегии управления портфелем с учетом мер риска 1) заданной с некоторым уровнем уверенности границей потенциальных потерь (drawdown) по критерию ожидаемой терминальной эффективности, и 2) по критерию наибыстрейшего геометрического прироста капитала экономического субъекта. Показана сводимость первой задачи к задаче выпуклого программирования и доказано существование эффективного множества инвестиционных портфелей, для второй задачи получены граничные оценки прироста капитала и максимальных потерь в биномиальном и броуновском приближении поведения рынка.

Предложенный в работе подход к моделированию факторов рыночного риска посредством конечных событийных автоматов является новым, а выведенное в его рамках доказательство существования хеджа опционов европейского типа на дискретном неполном рынке суть важный теоретический результат. В работе также снято жесткое предположение о наличии на рынке безрисковых инструментов, идущее еще со времен работ Блэка-Шоулза. Анализ торговой стратегии по критерию Келли, представленный в работе, мог бы стать хорошей отправной точкой для первичного тестирования торговых систем. В работе путем анализа эмпирических рыночных данных подтверждена неэффективность рынка и влияние на него внешних событий, затем, через рассмотрение дискретной событийной модели рынка, теоретически обоснована возможность хеджирования платежных обязательств типа опционов на таких рынках, и, наконец, разработаны методы идентификации событий, влияющих на рынок, путем анализа а) статистических данных и б) экспертных оценок. Новым для финансовой математики методическим приемом является применение теории нечетких свидетельств Шафера и исчисления уверенностей для оценки неопределенности на пространстве регулярных событийных сценариев. Это особо актуально для расчетов хеджа при неполных (с пропусками) статистических данных, а также по данным экспертиз.

Библиография Бершадский, Андрей Вячеславович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Risk Management A Practical Guide 11 J.P. Morgan-Reuters RiskMetrics,LLC, - 1998

2. Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks // Basel Committee on Banking Supervision, Bank for international settlements, January, 1996http i //www, b is.org

3. The New Basel Capital Accord // Basel Committee on Banking Supervision at the Bank for International Settlements, January, 2001 http://www.his.org

4. Шульц P., Печальная история фонда LTCM почему риск-менеджмент не похож на точные науки? // Financial Times, 27 июня 2000 г.

5. Greenspan A., The evolution of bank supervision, speech to the American Bankers Association, Phoenix, Arizona, - October 11, 1999 http://www.bog.frb .fed.us/boarddocs/speeches/1999/

6. Ширяев, A.H. Основы стохастической финансовой математики. Том I: Факты. Модели, М., ФАЗИС, 1998

7. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая вола-тильность // Обозрение прикладной и промышленной математики, том 3, вып. 6, 1996

8. Black F., Scholes М. The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy, v.3, 1973.

9. Merton R. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. J. Financ. Econom. v.3, 1976

10. Агасандян Г.А. Ценообразование опционов в отсутствие безрисковых активов. -Сообщения по прикладной математике, М., ВЦ РАН, 2000

11. Банковская энциклопедия/Под ред. С.И. Лукаш, Л.А. Малютиной. — Днепропетровск: Баланс-Аудит, 1994

12. Crouhy М., Galai D., Mark R. Risk Management. McGrow Hill, N.Y., 2001

13. Мелкумов Я.С. Экономическая оценка эффективности инвестиций. — М.: ИКЦ "ДИС", 1997

14. Челноков В.А. Букварь кредитования. М., Антидор, 1996

15. Финансовый менеджмент/Под ред. акад. Г.Б. Поляка. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 1997

16. Vaugham E.J. Risk management. — John Wiley, N.Y., 1997

17. Bachelier,L. Theory of Speculation (1900) // The Random Character of Stock Market Prices, P.H.Cootner, Ed., Cambridge, MA MIT Press, 1964

18. Knight F. Risk, Uncertainty, and Profit, Boston Houghton Miffin Co. 1921

19. J. fon Neumann, Morgenstern O. Theory of Games and economic behavior, John Wiley, N.Y. 1944

20. Arrow K. Social Choice and individual values, 2nd ed., John Wiley, N.Y. - 1963

21. Markowitz H. Portfolio Selection// Journal of Finance, 7, no. 1, March 1952

22. Taylor S.J. Modelling financial time series John Wiley, Chichester, - 1986

23. Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosch T. Modelling extremal events for insurance and finance. Springer-Verlag, Berlin, 1991

24. Крамер X. Полвека с теорией вероятностей: наброски воспоминаний. — М.: Знание, 1979.

25. Kendall M.G. The analysis of economic time series. Part 1. Prices // Journal of the Royal Statistical Society. V.96, 1953

26. Samuelson P. A. Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly // Industrial Management Review, v.6, 1965

27. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции М., Инфра-М, 1998

28. Hurst Н. Long-term storage capacity of reservoirs // Transactions of American Society of Civil Engineers, v. 116, 1951

29. Дубров A. M., Мхитарян В. С., Трошин JI. И. Многомерные статистические методы, М., Финансы и статистика, 1998

30. Mikosch Т., Starica С. Limit theory for the sampole autocorrelations and extremes of a GARCH(1,1) process // Ann. Statist. 28, 1427-1451, www.math.kii.dk/~mikosch

31. Бершадский A.B. Риски и спекулятивный потенциал рынка ГКО-ОФЗ. Аналитический отчет// компания "ПрограмБанк", технические доклады, М., 2001

32. Сох, J.C., Ross, R.A., Rubinstein, М. Option pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics, v.7, no.3, 1979

33. Smith V.L. Experimental Economics: Induced value theory // American Economic Review, Papers and Proceedings, 1976

34. Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An analysis of decision under risk // Econo-metrica, v.47, 1979

35. Kahneman D., Tversky A., eds. Choices, Values and frames, Cambridge University Press, Cambridge, 2000

36. Айзерман M.A., Гусев A.A., Розоноэр Jl.И., Смирнова И.М., Таль А.А. Логика. Автоматы. Алгоритмы. М., Физматгиз, 1963

37. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В., Слядзь Н.Н., Глушков В.И. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений, М., Радио и связь,1989

38. Критцмен М.П., Браун Дж.С. (ред.) Количественные методы финансового анализа -М., Инфра-М., 1996

39. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. М., Физматлит, 2001

40. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., Лаборатория Базовых Знаний, 2001

41. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления М., Мир, 1999

42. RiskMetrics™ Technical Document Fourth Edition. Part II: Statistics of Financial Market Returns, pp. 43-100, Morgan Guaranty Trust Company of New York, Reuters Ltd, New York, 1996

43. Мину M. Математическое программирование: Теория и алгоритмы М., Наука,1990

44. Таха X. Введение в исследование операций М., Мир, 1985

45. Kelly, J.L. Jr. A new interpretation of information rate // Bell System Technical Journal, 35, 1956

46. Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol.1, John Wiley, New York, - 1966

47. Omega TradeStation 2000i User's Guide, Omega Research, Inc., 1999

48. Grossman S.J., Zhou Z. Optimal investment strategies for controlling drawdowns // Math. Finance 3 (3), 1993

49. Karatzas, I., Shreve, S.E., Methods of Mathematical Finance, Columbia Univ. Press, New York, 1995.

50. Brockwell P. J., Davis R.A. Time Series: Theory and Methods, 2nd edition Springer Verlag, N.Y., 1991

51. Айвазян С.А. Основы эконометрики т.2 М., ЮНИТИ-ДАНА, 2001

52. Чистяков, В.П., Курс теории вероятностей, М., Наука, 1982

53. Система интернет-трейдинга "Альфа-Директ" httpi//www.alfadirect.ru

54. Embrechts P. (ed.) Extremes and Integrated Risk Management Risk Books, London, -2000

55. Resnick S.I. Modeling data networks // Extreme Value Theory and Applications, 2002

56. Scott L. Pricing stock options in a jump-diffusion model with stochastic volatility and interest rates // Mathematical Finance, v.7 1997

57. Allan M. Malz "Financial crises, implied volatility and stress testing", Working Paper #01-01, RISKMETRICS GROUP LLC., New York, October, 2001

58. Вайн С. Особенности управления рисками в критический период, или Как не попасть между кризисом и бонусом // Рынок Ценных Бумаг, №23 (182), 2000

59. Миркин Я.М. Сверхконцентрация рыночного риска // Рынок Ценных Бумаг, №2 (185), 2001

60. Malz A.M., Mina J. Risk Measurement in the aftermath of the terrorist attack", Research Technical Note, RISKMETRICS GROUP LLC., New York, September 19, 2001

61. Ежедневный утренний брифинг по фондовому рынку // Альфа-Банк Daily, М., Альфа-Банк, 2001-2002 http:// www.alfabaiik.rn

62. Ежедневные обзоры рынка ATON-Daily И М., ИГ "АТОН", 2001-2002 http: //www. atoii- line .ru

63. Ежедневный бюллетень по фондовому рынку Брокерская компания "Ренессанс-Капитал"//М., Ренессанс-Капитал, 2001-2002 http:// www.rencap.ru

64. Аналитические отчеты ALFA-BANK Desk Notes'. Si РЫНОК АКЦИЙ М., Альфа-Банк, 2001-2002 http://www.alfabank.ra

65. Аналитические отчеты ALFA-BANK Special Notes'. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ЭКОНОМИКА И ПОЛИТИКА; Альфа-Банк, Управление рынков и акций, Аналитический отдел, система "Альфа-Директ", М., Альфа-Банк, 2001-2002

66. Рынок акций: сценарии и прогнозы // Инвестиционная компания "Финанс-Аналитик", 2001 http: //www. Fiiiam. R.u

67. Меладзе В.Э. Курс технического анализа М., Серебряные нити, 1997

68. Mark-To-Future: Technical Document, ALGORITHMICS Incorporated, Toronto, Canada - 1998-2000,

69. Dembo R. Mark-To-Future: A Consistent firm-wide Paradigm for Measuring Risk and Return, in: // Risk Management and Analysis, v. 1: Measuring and modelling Financial Risk, Carol Alexander (ed.), New York, John Wiley & Sons, 1998

70. Dembo R. Scenario optimization // Annals of Operation Research, v.8, 1991

71. Клир Дж. Системология: Автоматизация решения системных задач М., Радио и связь, 1990

72. Вентцель Е.С. Теория вероятностей М., Наука, 1964

73. Трахтенгерц Э. А. Компьютерная поддержка принятия решений М., Синтег, 1998

74. Кофман А., Хил Алуха X. Модели для исследования скрытых воздействий -Минск, Вышейшая школа, 1993

75. Первозванский A.A., Гайцгори Г.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация М., Наука, 1979

76. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения М., Наука, 1975

77. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений М., Наука, 1966

78. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: Расчет и риск М., Инфра-М., 1994

79. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации -М., Наука, 1981

80. Буш Р., Мостеллер Ф. Стохастические модели обучаемости М., Физматлит, 1962

81. Беляев И.П., Капустян В.М. Процессы и концепты М., ТОО "Симе", 1997

82. Беер Р., Бергер Ф. Без страха перед "черной пятницей" М., Финстатинформ, 1998

83. Де Ковни Ш., Такки К. Стратегии хеджирования М., Инфра-М, 1996

84. Романов А.Н., Одинцов Б.Е. Советующие информационные системы в экономике -М., Юнити, 2000

85. Йенсен Б. А., Нильсен Й. А. Расчет цены в отсутствие арбитража // Обозрение прикладной и промышленной математики, т.З, вып.6, 1996

86. Мельников A.B. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг М., Теория вероятностей и применения, 1997

87. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные контракты М. Тривола, 1995

88. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и применения, т.39, вып. 1, 1994

89. Ширяев А.Н. Вероятность М., Наука, 1989

90. Вероятность и математическая статистика М., Большая российская энциклопедия, 1999

91. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов М., Наука, 1977

92. Рудаков К.В. О некоторых классах алгоритмов распознавания (общие результаты) Сообщения по прикладной математике, М., ВЦ РАН, - 1980

93. Журавлев Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания или классификации // Сб. "Проблемы кибернетики", вып. 33, М., Наука, 1978

94. Столяров J1.H. Введение в теорию дискретного прецедентного анализа динамических систем // Сб. "Финансовая аналитика", МФТИ, Долгопрудный, 1998

95. Занин В.В. Иерархический кластерный анализ сложных программных систем Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.17. МФТИ, 1999

96. Хохлов E.H. Какой должна быть аналитическая система для крупного коммерческого банка? // Сб. "Финансовая аналитика", МФТИ, Долгопрудный, 1998

97. Хохлов E.H. Физические принципы управления банком // Банковские технологии, №3, 2001

98. Хохлов E.H. Рис к-менеджмент специальное интервью // Аналитический банковский журнал, №12, 2001

99. Хохлов E.H. Риск-менеджмент: российские особенности // Тез. докл. на VII Форуме разработчиков аналитических интегрированных банковских систем, М., 2001

100. Соложенцев Е.Д. Кредитные риски как государственная проблема: логико-вероятностная оценка и анализ риска, управление банком по критерию риска // Жизнь и безопасность, №1-2, 2001

101. Маршалл Дж. Ф. и др. Финансовая инженерия: Полное руководство по финансовым инновациям М., Инфра-М, 1998

102. Рэй К. Рынок облигаций: Торговля и управление рисками М., Дело, 1999

103. Dembo R. Seeing Tomorrow John Wiley, New York, - 1999

104. Hull J., White A. Value At Risk When daily changes of market variables are not normally distributed // The Journal of Derivatives, Spring, 9-19, 1998

105. Berkowitz J. A Coherent Framework for Stress Testing // Trading Risk Analysis, Federal Reserve Board, Washington, DC, 1999

106. Йохансен С. Основанные на правдоподобии статистические выводы для коинте-грации некоторых нестационарных временных рядов // Обозрение прикладной и промышленной математики, том 3, вып. 6, 1996

107. Bjork T. Interest Rate theory working paper, Stockholm School of Economics, 1996

108. Alexander C. Financial Risk management and analysis John Wiley, N.Y., 1996

109. Агасандян Г.А. Обобщенные опционы Сообщения по прикладной математике, М., ВЦ РАН, 2000

110. Бершадский A.B. Российские особенности организации управления рыночным риском в банке // Тез. докл. на Семинаре Клуба Банковских аналитиков М., Финансовая Академия при Правительстве РФ, ноябрь 2002

111. Бершадский A.B. Что могут дать технологии управления рисками современному бизнесу? // Управление и обработка информации: модели процессов: Сб.ст./ Моск. физ.-техн. ин-т. М., 2001

112. Бершадский A.B. Реинжиниринг систем на модели потоковой сети // Моделирование процессов управления и обработки информации: Сб.ст./ Моск. физ.-техн. ин-т -М., 1999

113. Stolyarova Е.М., Stolyarov L.N., Bershadsky A.V. A New Approach for Estimation of the Risk in the Financial Engineering Abstracts: The 3rd Moscow International Conference On Operation Research ( ORM2001) / CC RAS M., 2001

114. Бершадский A.B., JI.H. Столяров Реинжиниринг банковского продукта с гарантированным финансовым результатом Ii Теория активных Систем / Труды международной научно-практической конференции / ИПУ РАН М., 2001. - Том 2, с. 17-20

115. Бершадский A.B. Статистическая модель рыночных событий // Электронный журнал "Исследовано в России" ", 132, стр. 1476-1488, 2002 г. http: //zhurnal. аре. re larn. ru/arti cles/2002/132.pdf.

116. Бершадский A.B. Управление ресурсами в среде с геометрическим ростом // Ж. Обозрение прикладной и промышленной математики 2002 Т. 9, вып.З

117. Бершадский A.B. Сценарные модели в управлении рисками // Конкурентоспособность территорий и предприятий стратегия экономического развития страны - Сб. тез. V Всероссийского форума молодых ученых и студентов / УрГЭУ, ИЭ УрО РАН - г. Екатеринбург, 2002

118. Бершадский A.B. Система тренажеров Battle for Money для консалтинговых фирм. Планирование обороны банка в кризисных ситуациях // Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ Сб. тез. докл. / Моск. физ.-техн. ин-т - Долгопрудный, 1999

119. Бершадский A.B. О применимости методов Фурье-анализа и хаотической динамики к прогнозированию временных радов с топологически эквивалентными участками // Сб. "Финансовая аналитика", МФТИ, Долгопрудный, 1998

120. Бершадский A.B. Методы анализа временных рядов в эконометрике // Сб. "Финансовая аналитика", МФТИ, Долгопрудный, 1998

121. Бершадский A.B. Нелинейная динамика в социальных системах // "Круг идей" -Сб. трудов Ассоциации "История и компьютер", М., МГУ, 1997

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00