автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование оптимальной тепловой защиты при гиперзвуковых режимах течения

На правах рукописи

БИЛЬЧЕНКО Наталья Григорьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ ПРИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ РЕЖИМАХ ТЕЧЕНИЯ '

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (механика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 1995

Работа выполнена на кафедре специальной математики Казанского государственного технического университета имени А.Н.Туполева.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор К.Г.Гараев

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Чугунов

кандидат физико-математических наук, доцент Г.Н.Яковенко

Институт математического моделирования РАН (Москва)

Защита состоится " декабря 1995г. а /}6ч. на заседании диссертационного совета Д.063.43.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук по специальности 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (механика, авиационная и ракетно-космическая техника, машиностроение и машиноведение, энергетика) по физико-математическим наукам в Казанском государственном техническом университете им.А.Н.Туполева по адресу: 420111, г.Казань, ул.К.Маркса, 10, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ им.А.Н.Туполева.

Автореферат разослан "21 " ноября 1995г.

Ученый секретарь диссертационного л

совета, кандидат физ.-мат.наук '■> ' П.Г.Данилаев

Общая характеристика шботы

Актуальность теш. Интенсивное развитие космической зхншш привело к рассмотрению вопросов взаимодействия ■гсокотешературных и высокоскоростных тазовых потоков с эверхностями различных тел и вызвало бурное развитие в эследние годы целого научного направления тепломассообмена -зории тепловой защиты. Взаимодействие горячего газа с эверхностыо тела связано с протеканием многочисленных и заимозависимых процессов. Теоретическое изучение этой проблемы общем случае должно основываться на решении системы 1фференциальных уравнений, описывающих явление нестационарного зпломассопереноса в системе газ - тело: уравнений внешней эзодинашки, конвективного и радиационного переноса тепла к злу. переноса массы во многокомпонентной реагирующей газовой леей; кинетики, разрушения и движения материалов тела в зердом, жидком и газообразном состояниях и т.д.

Используемые в настоящее время в инженерной практике аствмы тепловой защиты можно разделить на две группы, татывающие их основные свойства и принципы работы: . Активные системы - использующие искусственное уменьшение чешних тепловых потоков, действующих на поверхность тела:

- конвективного охлаждения, основанного на циркуляции зплоносителя;

- массообменные (на основе пористого, пленочного или зградительного охлаждения);

- с разрушением (уносом) материала, использующие физико-«мические превращения на поверхности тел;

- электромагнитного регулирования теплообмена, ятользующие метода электрического или магнитного воздействия з плазму, обтекающую тело.

. Пассивные системы - не использующие искусственное уменьшение ■гешних тепловых потоков:

- использующие радиационное охлаждение (экраны);

- теплоаккуыулирующие:

а) на основе теплоизолирующих материалов (обмазок) из теплостойких материалов с низкой температуропроводностью - "холодная" конструкция;

б) на основе жаропрочных материалов с рабочей

температурой 1800К и выше - "горячая" конструкция.

Для более эффективной теплозащиты могут использоваться комбинированные системы, основанные на использовании двух или более указанных выше способов. В настоящей работе рассматривается один из видов активной тепловой защиты -массообменный, когда навстречу потоку подается охладитель - газ с теми же свойствами, что и в набегающем потоке. Преимущества систем теплозащиты, использующих массообменный принцип охлаадения, перед другими обусловлены тем, что в этом случае может быть сохранена внешняя форма защищаемого тела и, в известной степени, возможно поддержание температуры поверхности на желаемом уровне с помощью . соответствующего расхода охладителя.

. Так как энергетические ресурсы (суммарный расход охладителя, мощность системы охлаждения) на борту летательного аппарата ограничены, то возникает задача построения оптимальной тепловой защиты, которая укладывается в вариационную схему типа Иайера.

В настоящее время существует три основополагающих подхода к оптимизации процессов управления: принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования Беллмана е современное вариационное исчисление.

Все эти подхода равноправны, но когда речь идет ос оптимизации процессов, описываемых нелинейным!

дифференциальными уравнениями в частных производных, то да отыскания оптимального управления приходится обращаться з третьему подходу: формализму Лагранжа, так как принца максимума, например, доказан только для ограниченного класс систем, а применение метода Беллмана наталкивается н "проклятие размерности". Следует подчеркнуть, что использование формализма Лагранжа приводит к проблем совместного интегрирования исходной и сопряженной систем которая для практически важных задач является чрезвычай-сложной с математической точки зрения: эта сложной усугубляется еще и тем, что некоторые множители Лагранжа, кг правило, терпят разрывы первого рода в угловых точках гранах области, где протекает управляемый процесс. Для решения эт< проблемы возможны два пути:4

I. Дальнейшее развитие собственно теории уравнений

¡тными производными, точнее - теории краевых задач.

2. Создание специальных методов решения вариационных ¡ач, к которым следует отнести теорию инвариантных иационных задач, созданную известным немецким математиком и Нетер.

Говоря о применении этой теории, следует выделить два нципиальных направления.

Первое из них связано с конструированием законов ранения физических полей, моделируемых с помощью различных иационных принципов.

Второе направление связано с работами К.Г.Гараева. ность этого направления заключается в конструировании ергентных форм (законов сохранения), а в некоторых случаях и еых интегралов для некоторых классов оптимальных систем, что ественно упрощает задачу построения управляющих воздействий задачах оптимального управления пограничным слоем такой ход позволяет получить оптимальное управление в литическом виде).

Целью работы является математическое моделирование имальной неразрушающейся тепловой защита с целью минимизации егрального теплового потока, передаваемого от пограничного я газа к обтекаемой поверхности при гиперзвуковых режимах ения; в качестве управления выступает удельный расход адителя, подаваемого навстречу потоку через пористый или $орированный участок обтекаемой поверхности; мощность темы охлаждения считается заданной.

Научная новизна. За последние 20-30 лет в механике кости и газа нашли широкое применение методы теории групп и ебр Ли. В настоящее время направление исследований, занное с приложением групп Ли к дифференциальным уравнениям лассификации соответствующих инвариантных решений, развитое работах Л.В.Овсянникова, получило название современного ппового анализа. Инфанитезимальный аппарат Ли-Овсянникова нется аффективным средством отыскания частных (инвариантных частично инвариантных)' решений уравнений математической яки.

В проблеме управления теоретико-групповые методы впервые а использованы в работах Павлова В.Г., Кухтенко А.И., енова В.Н., Павловского D.H., Яковенко Г.Н., Гараева К.Г.,

Можаева Г.В., Борецкого И.Ф. и других исследователей. Сред зарубежных авторов первые публикации в этой направлена: принадлежат Арбибу М., Брокету'Р., Барнету С., Херману Р. Калкану Р. и другим ученым. Использование группового подход позволяет представить свойства и закономерности систе] управления в форме законов симметрии, выражающих инвариантност: моделей объектов управления относительно групп преобразований и тем самый реализовать идеи зрлангенской программы Ф.Клейна : проблеме управления.

Следует отметить, что наиболее интересных результатов (ка! было показано в работах Гараева К.Г.) можно добиться пр> совместном использовании теории групп Ли и теории инвариантны: вариационных задач Э.Нетер.

Исследования по развитию и применению теории инвариантны: вариационных задач к проблеме управления системами распределенными параметрами (к числу которых принадлежит : данная диссертация) носят оригинальный характер; число работ : этом направлении в мировой литературе незначительно.

В райках точных уравнений пограничного слоя (т.е. когд движение жидкости или газа описывается уравнениями в частны производных) типа Прандтля большинство работ посвящен оптимальному управлению движением несжимаемой жидкости оптимальный же задачам динамики вязкого сжимаемого газ посвящены единичные публикации.

В диссертации получены следующие новые научные результаты

- проведена групповая классификация, построены закон сохранения и доказана теорема о существовании первого интеграл в задаче оптимального управления ламинарным пограничным слое электропроводящего газа при наличии магнитного поля;

- поставлены и решены задачи оптимизации тепломассообмена ламинарном пограничном слое электропроводящего газа при наличи магнитного поля в плоском и осесимметричном случаях;

- вычислена группа симметрии, построены законы сохранения получен первый интеграл в задаче оптимизации тепломассообмена ламинарном пограничном слое неравновесно диссоциирующего газа

- поставлена и решена задача оптимизации тепломассообмена ламинарном пограничном слое равновесно диссоциирующего газа.

Основными методами исследования , являются мето; вариационного исчисления и оптимального управления, теорс

рупп и алгебр Ли, теории инвариантных вариационных задач втер, теории ламинарного пограничного слоя и теплопередачи, этод обобщенных интегральных переменных Дородницына.

'Объектом исследова~ния являются системы дифференциальных равнений в частных производных параболического типа, гшсывающие оптимальные режимы течения ламинарного пограничного лоя сжимаемого газа при гиперзвуковых режимах течения.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные теоре-ические.. результаты могут стимулировать появление работ по оделированию оптимальной тепловой защиты гиперзвуковых етательных аппаратов с дальнейшим продвижением в область более ысоких температур и скоростей.

Для использования в инженерной практике разработана рограммз расчета на ЭВМ минимизирующей последовательности начений конвективного теплового поток? и соответствующей ослеДовательности оптимальных законов . вдува. Программа тличается универсальностью (заложена альтернатива: плоский лучай - тело вращения), простотой (используется диалоговый ежим работы) и наглядностью (предусмотрен шэрокий спектр рафического представления результатов расчета).

Достоверность исследований вытекает из математической строгости постановки рассматриваемых задач и применяемых [етодов, а также сравнения полученных результатов с ранее ^полненными работами по оптимальному управлению пограничным :лоем.

Публикации и апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры специальной !атематики Казанского государственного технического гниверситета им.А.Н.Туполева, факультета математики ниверситета Биргама Янга (г.Прово, США), аэрокосмического ¡акультета университета штата Вашингтон (г.Сиэтл, США); на XI всероссийском коллоквиуме по современному групповому анализу [г.Самара), на IV Международной конференции по математике, «еханике и физике, посвященной 95-летию М.А.Лаврентьева (г.Казань), на Международной научно-технической конференции ''Гиперзвуковые течения и гиперзвуковые технологии" (г.Жуковский, ЦАГИ), на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования а автоматизированного проектирования в машиностроении"

(г.Казань),, на 3-й межведомственной научно-техническо конференции "Проблемы управления и навигации авиационно космических систем" (г.Киев), на юбилейной научно-техническо конференции, посвященной 50-летию НИЧ КАИ (г.Казань).

Результаты исследований опубликованы в 2 статьях ( журналах "Известия вузов, математика" и "Известия вузов Авиационная техника"), в материалах хи Национального Конгресс по тепломассообмену (т.Л'Акуила, Италия) и в тезисах различны .конференций. В автореферате приведен список из 10 работ по тек диссертации.

Работа выполнялась в рамках гранта Конкурсного Центр фундаментального естествознания при Санкт-Петербургскс . государственном университете по теме "Группы Ли и теория Нете в проблеме управления с приложением к задаче оптимально: управления пограничным слоем злектропроводяще

жидкости" (1994-95гг.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введенш трех глав, заключения и библиографического списка, включающе] 96 наименований. Работа содержит 137 страниц машинописно) текста, в том числе 10 рисунков и 4 таблицы.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается краткий обзор литературы, по те] диссертации, излагаются структура работы и основные результат) выносимые на защиту.

В первой главе диссертации поставлена и решена зада построения оптимальной неразрушающейся тепловой защиты несущ поверхностей, обтекаемых гиперзвуковым потоком вязко сжимаемого электропроводящего газа при наличии магнитного пол

В первом параграфе рассматривается система уравнен ламинарного пограничного слоя электропроводящего газа . цилиндрическом теле при обтекании его под нулевым углом атаки

Г с?и , аи 1 др д Г ¿и 1 2

' р[ и ^ + у ) * ' & + I ^ Щ } - и;

ш ">и> * §у = 0

( т ан 1 1 э г ¿н ^

^ Г « 1 "I а Г

+ [ 1 " РГ ]"Зу [ ^ Эу \ * и '

р = рБТ , ,и = ^е0тЬ(т) > (I)

с граничными условиями:

и = О, V - (тУр)^, Н = Н^, у = О;

и = и<х>, Н = Н(х>, у * (с; (2)

е е

и г и0<У>, Н = Н0( у), х = О.

Ставится следующая вариационная задача. Среди непрерывных равлений (удельных расходов охладителя) требуется найти

кое. которое доставляет минимальное значение количеству тепла

редаваемому в единицу времени от , пограничного слоя к верхности тела, при заданном ограничении на мощность системы лавдения, оценивающуюся с помощью фильтрационного закона реи,

хк

N = J э^<х)с1х (4)

О

и заданной температуре стенки и связях (1),(2).

Для решения оптимальной задачи осуществляется переход к ременным типа А.А.Дородницына:

у'у-1 У (1 - с£>

? = | { 1 - оО с1х , Г) = X --- <1У

О О

дальнейшим применением преобразований:

, V- = 1 - & ,

и V V л

е еО

? иг?

= ¿"Т. / "е ' Е =

/у

щах еО

,-- ¿1 Ей

* = / V £ & * —-

тах ц

и " О" '

приводящих систему (I), граничные условия (2), функционал (3) изопериметрическое условие (4) к безразмерному виду, дальнейшем вариационная задача рассматривается в безразмерна постановке.

Во втором ~ параграфе получены необходимые услови оптимальности - уравнения Зйлера-Лагранка-Остроградского:

ах.

_ —. ах^ ах.

гриХ. * - и -з---—— - » -тг-

' 1 зав аз. аэ <н.

дщ

агх

1 + а*2

- 2о.

С-г И

А.

дЬ

дХ

ах.

«П.

Йи 1 аК3~<1.,

Рг

Л.

зг ЭГ- + 2о,в [ р^ " 1\ и

д\.

+ А( б>В2( б, I >( 1 - и. - За2и2) +

1 I-

+ ии< 1 - ш - го^и2) = о;

3 ^ е

♦ ^ - ^ = о ;

аь

"

+ 1 *Лз

1 дЬ

ах Ж

зэ! " Ж~

1 + га2

Зи

■п

а аз

м - 1т {V • ь ?}

- \ А(г)В2(в,Ои - Хзаз1Вг|5Д)и2 = О ,

где хлв,(1 = Г7з> - множители Лагранжа, и соответствуиц условия трансверсальности:

= О , = Рг , 1=0;

1 ' ✓

Х"1 = ° * хг ~ ° ' = ° ' *">с0 '

\ = ^ = о ,

5к •

Оптимальное управление определяется по формуле:

s, О)

2«qf(l -

В третьем параграфе найдены группы Ли непрерывных точечных эобразований рассматриваемой задачи при некоторых эциализациях произвольных элементов.

В случае отсутствия магнитного поля ядро основных алгебр образовано бесконечномерным оператором:

X = Г<з)2т- + . (6)

эт оператор и соответствующие ему преобразования допускаются. I любой распределении скорости на внешней границе и любой зисимости вязкости от температуры. Приводится таблица 1устимых операторов.

Сказалось, что основная алгебра Ли операторов системы (I) злагается в прямую сушу ь"®^, где - ядро основных алгебр осматриваемой системы, состоящее аз операторов (6), а - г-мерная подалгебра (г зависит от ¿ида специализации).

При произвольных функциях ме),с(5),в(& д > рассматриваемая дача допускает лишь тождественное преобразование. При эеделенных видах (специализациях) этих функций возможно ллирение группы (конкретные виды функций приведены в таблице дассертации). Б каждом из приведенных в этой таблице случаев гратор допускаемой группы имеет вид:

+ |f(s> + (g'(s) otj^j- - uCgls) + 2C)¿- +

|\j (f' 1 s) + g"(s)L! - w(g'(s) + + 1 - v,>

В четвертом параграфе построены все законы сохранения на цгскаемых операторах.

Доказана следующая ТЕОРЕМА. Вариационная задача оптималь-'о управления ламинарным пограничным слоем электропроводящего ta при любом распределении скорости на внешней границе /к х >, 5ой зависимости вязкости от температуры ь<т}, любых значениях 'нитной индукции Btx,и) и числа Прандтля Рг допускает первый ;еграл.

Показано, что закон сохранения, построенный на ¡конечномерном операторе (6),превращается в первый интеграл

для сопряженной системы (5):

Ж (>"] * Ж [>"] ♦ [ - Мк1хз + Ыт)ч№ +

♦ V«*» ж - Й - [ N ♦ Рг - 0й]?- = 9'5) ' <7>

где д(е) - произвольная функция интегрирования; показано, что

д( з)=0 V г е (О. г, 1.

к .

Отметим, что уравнением (7) можно заменить первое или третье уравнение сопряженной системы (5), что эквивалентно понижению ее порядка на единицу и дает возможность упрощения проблемы поиска оптимальных управлений.

Получено следствие из первого интеграла (7)

__1 4. 1__3 ¿V

¿П. д1 Рг Л Л '

устанавливающее точную явную связь между множителями Латранжа на произвольной поверхности при любых числах Прандтля и произвольной зависимости вязкости от температуры.

В пятом параграфе дана алгоритмизация вариационной задачи: проблема поиска оптимального управления с помощью метода обобщенных интегральных соотношений А.А.Дородницына сводится к рекуррентному интегрированию двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрешимыми особенностями в точке торможения.

В шестом параграфе для случая обтекания прямого круговогс цилиндра гиперзвуковым потоком электропроводящего газа пр! наличии магнитного поля получена аналитическая' формула доы оптимального управления в первом приближении, предназначеита для использования в инженерной практике.

В седьмом параграфе приведены расчетные формулы для случа. зависмости вязкости от температуры по закону Сазерленда.

В восьмом параграфе проведен вычислительный эксперимент п построению оптимального расхода охладителя через пористу стенку прямого кругового цилиндра при различных значения мощности системы охлаждения, безразмерной температур поверхности, значений магнитной индукции, радиуса цилиндр« Зависимость вязкости от температуры предполагалась линейное Минимизирующая последовательность строилась комбинированна

собой: на первой итерации оптимальное управление геделялось методом типа Пикара, последующие приближения -■одой наискорейшего спуска. Выла обнаружена быстрая »дамость итерационного процесса. Проведено сравнение (ультатов вычислений итерационного процесса с полученными по 1Литаческой формуле.

Вторая глава диссертации посвящена минимизации тепловых [■оков на проницаемых телах вращения в гиперзвуковом потоке гктропроводящего газа при наличии магнитного поля. В еретическом плане она аналогична первой главе.

В первом параграфе рассматривается система уравнений эерзвукоБого ламинарного пограничного слоя на теле вращения а обтекании' его под нулевым углом атаки. По форме она алогична системе (I), за исключением уравнения неразрывности:

~ (pru) + — tprv) = О . öx öy '

e г(х) - текущий радиус тела вращения.

Минимизируемый функционал - удельный тепловой поток от граничного слоя к поверхности тела вращения с длиной ¡разующей - имеет вид:

Q = 2п Г г Г л *L 1 dx . i 1

Мощность систеш охлаждения оценивается функционалом:

^ х ^

к

£

N = 2т Г arv (x!dx , J w

О

С помощью преобразований Степанова-Манглера-Дородницына:

f/y-i

х 2 Г/У-1 2 У (1 - о£> г

f = J (1 - ае> г dx , 7j = J" --- dy

О О

перехода к новым независимым переменным:

?

7з

. W 57

s = ; и*d? ' £ = -7==

max О /У V /

шах ©О

где

2

/7

V = V . . . -_

шах со . . ...2

< -у - 1 )М

и новым безразмерным функциям:

оо

—— , у = 1 - & , « = — ил +

и

и = 0~ ' ^ =. ,--

© .. У ■ и

где

2 и ^ 5 т г и V = ( 1 - а > —Т. —!. + - , Т = , а = Т + О , С* = 57-

е- 2 <*х тг 1 „ * V

г еО пгах

получим уравнения в безразмерном виде, по форме совпадающие с полученными в первой главе.

Во втором параграфе отмечено, что аналогично первой главе могут быть получены необходимые условия оптимальности, построен первый интеграл сопряженной системы, получен оптимальный закон вдува в первом приближении (в аналитической формё), разработан итерационный подход к построению последовательности оптимальных управлений. Указаны отличия в реализации алгоритма решения для плоского и осесимыетричного случаев.

В третьем параграфе приведены результаты вычислительного эксперимента для случая обтекания сферы гиперзвуковым потоком.

На . рис.1 представлены результаты вычислительного эксперимента по построению оптимального управления - графики зависимостей оптимальных законов вдува для случая обтекания сферического носка радиуса й = 0.1м гиперзвуковым потоком

(м^ =10), хк = I, тж = 0.25, = Ю3Тл2/0мм (параметры

стандартной атмосферы соответствовали высоте н = 10000м): кривая I соответствует постоянному вдуву т°(х) - 0.3; кривая 2 - оптимальному управлению т1(х); кривая 3

оптимальному управлению т9(х). При этом значения интегрального

теплового потока следующие: о0 = 6.687641 10"г;

о1 ■ = 3.110443-Ю-2; Од = 3.110438-10"2. Выигрыш в значении функционала по сравнению с постоянным вдувом составляет 5555.

Рис.1. Зависимость оптимальной скорости вдува от координаты

Третья глава диссертации посвящена задаче построения оптимальной активной тепловой защиты поверхностей, обтекаемых гиперзвуковым потоком диссоциирующего газа.

В первом параграфе рассматривается система уравнений гиперзвукоЕого ламинарного пограничного слоя неравновесно диссоциирующего газа:

<?и <?и с!р Г <>10.

ж + 37 3 - а* + 37 1>*3у)'

ш 1ри) + Ь 1рч> = '° ;

За да _ а г да 1 . ы .

р = РКТ , К = Л- (1 + а > .

С граничными условиями:

и = о, V = (тн = н^, а - о с каталитическая стенка),

= 0 'некаталитическая стенка), <у = о; х > о>;

и = I) , Н = Н, а = сх, (у = сю): ^

е е в ' '

и = II,, Н = Н , а - ап, (х = О; у > О). О' о О

Мощность, затрачиваемая системой охлаждения на вдув газа через пористую стенку единичной. ширины на участке 1°>хк' с учетом закона Дарси оценивается функционалом:

N = х)с!х , (Ю)

' О

Суммарный расход охладителя оценивается функционалом: хк

Е = I (/*)„< . (II)

О

Ставится следующая вариациожая задача. Среди непрерывных управлений т < х) требуется найти такое, которое реализует минимальное значение количества тепла

хк

о = X , (12)

о

передаваемого в единицу времени от пограничного слоя к обтекаемой поверхности единичной ширины при заданном ограничении на мощность системы охлаждения (10) и расход охладителя (II) и связях (8), (9). Здесь ч^ - удельный тепловой поток к стенке от ламинарного пограничного слоя идеально диссоциирующего газа, определяемый теплопроводностью н диффузионным переносом тепла:

- я = «П ♦ <1_е - 1ИЬ - ьм,«П ,

^у» дyJу-0 А М <?у^=0

Учитывая, что удельные теплоемкости атомарного с в

а

молекулярного с компонентов примерно равны и что 5

Р- •

м

атомарного компонента энтальпия включает энергию, необходимук для диссоциации единицы массы, а энтальпия молекулярногс компонента этой величины не включает, окончательно получаем-*

у=0

Для решения оптимальной задачи осуществляется переход к ременным типа А.А.Дородницына:

у

? = X, 77 = | рйу

О

вводятся обозначения

А(Н,о< ) = Б(Н,а ) = р^О. _ < ЬА - Ь„>;

1с: 3 А М

1 - • "а

КН, а ) = - 5 'Р< Н, о > = рр; V* ( Н, с. ) = - .

Р А Р

Во втором параграфе получены необходимые условия тимальности - уравнения Эйлера-Лагранжа-Остроградского:

. ди „ , Ген г 1 э г 1 -

Л13Г + Ьзг + Х4[5Г + I1 " РГ|—] " эг {'1й * хг) "

3

с»7

Л + х + л - - о '\d-it ' ЗОт} 4дг) '

, £1.£Е - х !!* + 1 <>« ¿г эл.

<»7

££.£Н + (тз)

Ш ¿г)

<?х_

Рг ^г) <?« <?г> <?У) За СГ/

[' - У

^4 <Ю да Фу да <?г?

' ж {ХЗи} ' Щ + Х7Х + = °

, да.лр яа

13н ЗГ " зан~

ах, ,

4 др дН

Рг ТРгГ ЭЙ вт)

д\

4 ЭО да

1 ""4 дН 3 ЙА <?сс Г, . 1_|___

" " <?Г) дН дп I " ^ <?Н дп

- §г М - к {V « °

где

ах, ^ ах

~

X«. = ^ - - а] ,

1 ^ ахз Г 1 1

РГ Щ- ' к7 = Щ- ' кв - I.1 " Щи соответствующие условия трансверсальности:

[сё ~ 1}"(Н'С! > (каталитическг

Щ-

х6 =

X. = 0, Х4 = 1, Х3 = ин,с ) 4 стенка), х * + а = о <некаталитическая стенка), <п=о> ?>о>

ха = х^ = х3 = = о Iг,-со); Х1 - лз = <4 = 0 «^к» • Здесь О(н,о.) гйи- 1)ь° цн,<.1 = . й<н.«> =

г а( н, о) АС н, а

Оптимальное управление определяется по формуле:

<\_<?, О) - с«р>Р^ т(?,0) = —Г-£—_

В третьем параграфе проведена групповая классификац рассматриваемой задачи. Приводится таблица специализац функций, расширяющих допускаемую группу. Ядро основных алге Ли образовано бесконечномерным оператором:

х = е< ? >£- + ив' (¡г . (I

да вГ) <?»» 4

В четвертом параграфе построены законы сохранения д сопряженной системы (13).

Доказана следующая ТЕОРЕМА. Вариационная зада оптимального управления ламинарным пограничным слс неравновесно диссоциирующего газа для любых непрерьи дифференцируемых функций р(н,а), а<н Бен.со, *д(н,с ан, а), р(?) и параметров рг и ье допускает первый интеграл.

. Показано, что закон сохранения, построенный бесконечномерной операторе (14), превращается в первый интег] для сопряженной системы (13):

к Н♦ щ Н ♦ - + +

♦ 1У'* + V* щ ♦ М^ - *) - \|Лг -

х гж - аи

" г^ - ^ + " \Ыг = ' <15>

! д<?> - постоянная интегрирования (д(Пй V ( е СО, ?к1).

Уравнением (15) можно заменить первое, третье или вертое уравнение системы уравнений Эйлера-Лагранжа-Остро-дского (13), что эквивалентно понижению ее порядка на ницу и дает возможность упрощения проблемы поиска ■имальных управлений.

В пятом параграфе рассматривается постановка задачи ¡троения оптимальной массобменной тепловой защиты шолинейной стенки, обтекаемей потоком равновесно :социиругацего газа.

В шестом параграфе проводится алгоритмизация :сматриваемой вариационной задачи. Получены необходимые ювия оптимальности, построен первый интеграл сопряженной :темы, получена аналитическая формула для нахождения гадального управления в первом приближении.

В седьмом параграфе обсуждаются результаты проведенного шелительного эксперимента по построению оптимального расхода гадателя через пористую стенку прямого кругового цилиндра в гокв равновесно диссоциирующего газа. Проводится сравнение гученных результатов со случаем обтекания стенки терзвуковым потоком совершенного газа.

Завершают диссертацию заключение и список литературы, держащий 96 наименований.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

Дана конкретизация . теоретико-группового подхода, -гованного на инфинитезимальном аппарате Ли-Овсянникова и эрии инвариантных вариационных задач Нетер-Ибрагимова, к пению оптимальных задач гиперзвуковой аэродинамики с учетом зико-химических превращений.

I. Проведена групповая классификация, построены законы «ранения в доказана теорема о существовании первого интеграла задаче оптимального управления ламинарный пограничным слоем

электропроводящего газа при наличии магнитного поля.

2. Поставлены и решены задачи оптимизации тепломассообмена в ламинарном пограничном слое электропроводящего газа при наличии магнитного поля в плоском и осесинметричном случаях.

3. Вычислена группа симметрии, построены законы сохранения и получен первый интеграл в задаче оптимизации тепломассообмена в ламинарном пограничном слое неравновесно диссоциирующего газа.

4. Поставлена и решена задача оптимизации тепломассообмена в ламинарном пограничном слое равновесно диссоциирующего газа.

5. Разработана универсальная программа для инженерных расчетов на ЭВМ минимизирующей последовательности значений конвективного теплового потока и соответствующей последовательности оптимальных законов вдува, отличающаяся удобным сервисом (диалоговый режим) и богатыми графическими возможностями представления результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

I, Bilchenko N. G. , Garaev К. О. On existence of first integral . in the problem of heat and mass transfer optimization in laminar boundary layer in conditions of nonequilibrium dissociation ✓✓ "MODERN GROUP ANALYSIS AND PROBLEMS OF MATHEMATICAL MODELLING", XI Russian Colloquium Samara, 7-II June 1993- Abstracts. - Publishers . "Samara University", 1993." - P. 162. Бильченко Н.Г., Гараев К.Г. О существовании первого интеграла в одной оптимальной задаче с распределенными параметрами // Известия вувев. Математика. - 1993. - N12. -С.31-34.

3. Бильченко Н.Г., Гараев К.Г., Дербенев С.А. Интеграл.Нетер в одной оптимальной задаче с распределенными параметрами // Тезисы докладов научно-технической конференции по итогам работы за 1992-1993 гг. НИЧ 50 лет. - Казань. - 1994. -С.207.

4. Бильченко Н.Г., Гараев К.Г. Об оптимальном управлении ламинарным пограничным слоем электропроводящего газа при сверхзвуковых режимах движения // Тезисы докладов 3-межввдомственной научно-технической конференции "Проблемы

управления и навигации авиационно-космических систем".. -Киев. - 1994. - С.63.

BilchenJco N. G. , G.iraev К. G. On optimum control of laminar boundary layer of electroconducti gas by supsr ¡¡onic flow conditions ✓✓ Proceedings of 12- h NATIONAL HEAT TRANSFER CONFERENCE (UIT). - L'Aquila, It.ny. - 1994. - P. 37-50-

Бильченко Н.Г., Гараев К.Г., Дербенев С.А. К задаче оптимального управления пограничным слоек электропроводящей жидкости в магнитном поле // Известия вузов» Авиационная техника. - 1994. - wi. - С.23-2?.

Bilchwriko N.(7., Garaov К. G. Opt-rnizatj on of ht-at anrl masr> tran'if or on permeable <~ ylindei unofi ъирегъотг. flow of i'Liir.t.roooiKlMclivp gar. // Interna I. i'.nftj ! r»ut сгегм "RESEARCH IN HYPERSONIC FLOWS AND HYPERSONJ: IIXHNOU xVT ES". Sclion 3. Vl'KDU«, hypcrsonir flow. - TsAGI. - 1994- - P. 10-12-Бильченко Н.Г., Гараев К. Г Оптимальное управление ламинарным пограничным слоем электропроводящего газа на телах вращения при сверхзвуковых режимах обтекания // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении". Секция 3. Моделирование и оптимизация процессов управления в машиностроении. - Казань. - 1995. -С.29-31.

Bilchenko N. О. Conservation laws for an optimal problem with distributed parameters''/' International Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" 3_8 July, 1995-Abstracts. - Kiev. - 1995- - P-58-

Бильченко Н.Г., Гараев К.Г. Оптимизация теплообмена на проницаемом сферическом носке в сверхзвуковом потоке при наличии магнитного поля // Тезисы докладов iv Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике а физике". - Новосибирск. - 1995. - С.94.