автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование одномерных и двумерных схем электронно-волнового взаимодействия

гч.

СГ}

ет о* о

<г"=>-

со

си см На правах рукописи

СЕРГЕЕВ Александр Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ СХЕМ ЭЛЕКТРОННО-ВОЛНОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород — 1997

Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН (г. Нижний Новгород)

Научные руководители: доктор физико-математических

наук Н.С. Гинзбург

кандидат физико-математических наук А.Д. Юнаковский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Ю.В. Чугунов

кандидат физико-математических наук, доцент A.B. Калинин

Ведущее предприятие: СГУ им. Н. Г. Чернышевского

(г. Саратов)

Защита состоится г. в часов на

заседании Специализированного совета К 003.38.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте прикладной физики РАН (603600 г. Нижний Новгород , ул. Ульянова, 46)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной физики РАН

Автореферат разослан ✓v^flg/7 1997 г.

Ученый секретарь Специализированного совета д.ф.-м.н. а

А.Г. Лучинин

Общая характеристика диссертации.

В настоящее время общепризнанным является тот факт, что без применения вычислительного эксперимента практически невозможно провести сколько-нибудь исчерпывающего исследования сложных физических процессов. При этом следует выделить две, наиболее важные черты современного математического моделирования. Это, во-первых, нелинейность рассматриваемых моделей, которая очень часто влечет за собой, «непредсказуемость» основных направлений протекания процесса как результат отсутствия принципа суперпозиции, характерного для задач линейной математической физики. И, во-вторых, это эволюционность явлений на всех макро - и микромасштабах, которая вместе с нелинейностью приводит к появлению большого многообразия возможных путей эволюции и в конечном итоге к своеобразной «неединственности» направления развития процесса.

Появление и дальнейшее совершенствование такого мощного инструмента, как ЭВМ, дало сильный импульс развития численных методов. На сегодняшний день вычислительная математика ' располагает широким арсеналом численных методов для решения различных нелинейных задач. В настоящее время интенсивно развиваются алгоритмы, учитывающие распараллеливание вычислительных операций. Тем не менее, проблема создания эффективных вычислительных алгоритмов остается актуальной, поскольку совершенствование алгоритмов и их оптимизация представляют собой косвенный способ увеличения быстродействия ЭВМ.

Настоящая диссертационная работа посвящена математическому моделированию процессов индуцированного излучения ансамблей заряженных частиц в той части, в которой исследование этих процессов приводит к необходимости решения нелинейных нестационарных многомерных задач.

Актуальность темы.

Теория взаимодействия потоков заряженных частиц с электромагнитными полями традиционно является областью активных исследований в электронике СВЧ. Разработка и создание

мощных источников электромагнитных колебаний, таких как, мазеры на циклотронном авторезонансе (МЦАР), лазеры на свободных электронах (ЛСЭ), гиротроны со сверхразмерными электродинамическими системами, в которых во взаимодействие вступает значительное количество мод, является одним из приоритетных направлений в электронике СВЧ. Исследование конкуренции и селекции мод в таких системах представляет безусловный интерес в плане анализа предельных возможностей этих генераторов. Сложность исследования математических моделей процессов конкуренции мод заключается, главным образом, в нелинейности и многомерности. Поэтому достаточно полное исследование возможно только с помощью численных расчетов на ЭВМ . В этой связи важным вопросом является выбор оптимальных и разработка новых вычислительных методов и алгоритмов. В то же время, при исследовании новых физических систем, таких как, например, рассматриваемые в диссертации генераторы с двумерной распределенной обратной связью, весьма актуальными представляются и задачи линейного анализа, которые могут быть решены аналитически. Такие решения, с одной стороны, позволяют определить ряд существенных физических характеристик (электродинамические параметры резонаторов, стартовые токи), а с другой стороны, обеспечивают базу для тестирования вычислительных алгоритмов, позволяющих моделировать нелинейную стадию процессов.

Цель работы и основные задачи.

Целью настоящей работы является исследование математических моделей процессов взаимодействия электромагнитных полей с потоками заряженных частиц с использованием как аналитических, так и численных методов. Рассмотрены математические модели следующих физических процессов:

1) конкуренции и селекции мод в ЛСЭ - генераторах с одномерными брэгговскими резонаторами;

2) сверхизлучения электронного сгустка, движущегося в брэгговской решетке;

3) взаимное рассеяние волн на двумерной брэгговской структуре;

4) установления автоколебаний в ЛСЭ с двумерной распределенной обратной связью;

5) канализации электромагнитного излучения в усилительных и генераторных схемах ЛСЭ;

Научная новизна.

1. Проведено численное моделирование многочастотных процессов в ЛСЭ-генераторах с одномерными брэгговскими резонаторами. Предложен вычислительный алгоритм, основанный на интегрировании вдоль характеристик уравнений для амплитуд волн в сочетании с использованием кубической сплайн-интерполяции, которая позволяет применять методы высокого порядка точности для численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, опибывающих движение электронов.

2. Проведено исследование электродинамических характеристик двумерных брэгговских резонаторов планарной и коаксиальной геометрии. Найден спектр собственных мод и доказана высокая селективность данных систем.

3. Проведено численное моделирование процессов установления автоколебаний при возбуждении двумерных брэгговских резонаторов планарной и коаксиальной геометрии релятивистскими электронными пучками с использованием вычислительного алгоритма, основанного на приближенном интегрировании вдоль характеристик нестационарных уравнений для амплитуд парциальных волн и применении метода Нистрема для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей движение электронов.

4. На основе решения неоднородного параболического уравнения описывающего эволюцию амплитуды волнового пучка и линеаризованных уравнений движения электронов аналитически исследована линейная стадия канализации электромагнитного излучения ленточным электронным пучком в усилительной схеме ЛСЭ.

5. Проведено численное моделирование нелинейной стадии процесса канализации излучения в усилительных схемах ЛСЭ с использованием вычислительного алгоритма, основанного на

интегральном представлении решения параболического уравнения для амплитуды волнового пучка и методе Рунге-Кутта для приближенного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей движение электронов.

6. Проведено численное моделирование нестационарных процессов в генераторах встречной волны с канализацией излучения электронным потоком. Найдены области стационарных и автомодуляционных режимов генерации.

Практическая значимость.

Представленные в работе результаты численного моделирования использованы при разработке ЛСЭ-генераторов с одномерными брэгговскими зеркалами, реализованных в совместных экспериментах ОИЯИ (Дубна) - ИПФ РАН и ИЯФ СО РАН -ИПФ РАН.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-21] и докладывались на X Всесоюзной конференции по электронике СВЧ (Минск 1983), XIX Международной конференции по явлениям в ионизированных газах (Белград, 1989), VI и VII Семинарах "Высокочастотная релятивистская электроника" (Свердловск 1989, Томск 1991), на VII и VIII Всесоюзных симпозиумах по сильноточной электронике (Новосибирск 1988, Свердловск 1990), Всесоюзном семинаре "Волновые и колебательные явления в электронных приборах О-типа" (Ленинград 1990), Всесоюзной школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (Москва 1991), IX Международном симпозиуме по сильноточной электронике (Екатеринбург- Москва 1992), Международной конференции по новым лазерным технологиям (Москва 1992), Всесоюзных школах-семинарах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов 1992 и 1994), XVI Международном симпозиуме "Явления электрического разряда и изоляции в вакууме" (Москва-С.Петербург 1994), 2-ом Азиатском симпозиуме по лазерам на свободных электронах (Новосибирск 1995), X и XI Международных конференциях по мощным пучкам частиц

(США, Сан-Диего 1994, Чехия, Прага 1996), II и III Международных совещаниях "Мощные микроволны в плазме" (Н.Новгород 1993 и 1996), 19-й, 20-й и 21-й Международных конференциях по инфракрасным и миллиметровым волнам (Япония, Сендай 1994, США, Орландо 1995, Германия, Берлин 1996), XIV- XVIII Международных конференциях по лазерам на свободных электронах (Япония, Коба 1992, Голландия, Гаага 1993, США, Стэнфорд 1994, США, Нью-Йорк 1995, Италия, Рим 1996), 2-й международной школе по динамическим и стохастическим волновым явлениям (Н. Новгород - Москва, 1994), X Всероссийской конференции « Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (Москва, 1994), V Крымской осенней математической школе по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 1994), XXV Генеральной ассамблеи Международного радиофизического общества (Франция, Лилль 1996), Всероссийском семинаре по физике микроволн (Н.Новгород, 1996), а также на внутренних семинарах ИПФ РАН.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Объем диссертации составляет 184 страницы, включая 122 страницы основного текста, 45 рисунков и списка литературы, состоящего из 136 наименования.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы и сформулирована цель работы. Кратко по главам изложено содержание диссертации. В начале каждой из трех глав определяется круг рассматриваемых вопросов.

Первая глава посвящена проблеме численного моделирования многочастотных процессов в генераторах электромагнитного из- лучения с одномерными брэгговскими структурами.

В разд. 1.1 приводится система уравнений, описывающая взаимодействие электронов с полем синхронной электромагнитной волны и взаимную трансформацию попутной и встречной волны

на брэгговской решетке. Рассмотрены две конфигурации пространства взаимодействия. В первой конфигурации электроны взаимодействуют с синхронной волной только в секции регулярного волновода, заключенной между брэгговскими зеркалами. Во второй конфигурации такое взаимодействие осуществляется по всей длине системы. Результаты численного моделирования многочастотных процессов показывают, что расширение области взаимодействия положительно влияет на процесс установления режима одномодовой генерации при умеренных превышениях стартового тока над порогом генерации. Для второй конфигурации найдена область параметров, в которой генерация остается одномодовой для всего процесса установления автоколебаний, в то время как для первой конфигурации на начальной стадии переходного процесса возбуждается несколько мод. Вместе с тем, По мере роста коэффициента связи между волнами и существенном превышении над порогом генерации обе исследуемые системы демонстрируют переход к автомодуляционным режимам.

Используемые вычислительные алгоритмы, основаны на интегрировании вдоль, характеристик уравнений для амплитуд волн, а также в случае второй конфигурации применении кубической сплайн-интерполяции с целью использования метода Рунге-Кутта четвертого порядка для приближенного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение электронов.

Разд. 1.2 посвящен численному моделировнию процессов конкуренции мод с различными продольными и поперечными (азимутальными) индексами в ЛСЭ коаксиальной геометрии с одномерными брэгговскими зеркалами. В отличие от разд. 1.1 рассмотрена двумерная модель, в которой поле эволюционирует вдоль продольной и поперечной (азимутальной) координат. При этом с учетом эффектов дифракции эволюция поля в регулярной части резонатора описывается параболическим уравнением. Показано, что в рассмотренной схеме пространственная синхронизация излучения достигается за счет нелинейной конкуренции мод, когда одна из азимутальных мод подавляет остальные моды. Проведенные исследования позволяют сделать сравнительный анализ ЛСЭ с одномерными и двумерными брэгговскими резонаторами.

Вычислительный алгоритм основан на применении быстрого преобразования Фурье, интегрировании вдоль характеристик уравнений для амплитуд волн и использовании кубической сплайн-интерполяции, что дает возможность численного решения уравнений движения электронов методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Разд. 1.3 посвящен численному моделированию процессов сверхизлучения электронного сгустка, движущегося в брэгговской решетке. В рамках линейной теории получено характеристическое уравнение, с помощью которого найдены временные инкременты развития неустойчивости. Вычислительный алгоритм, основан на тех же принципах, что и алгоритм, описанный в разд. 1.1. Результаты численного моделирования и аналитические исследования показывают, что наличие брэгговской решетки позволяет увеличить инкремент сверхизлу-чательной неустойчивости в условиях, когда параметр усиления мал по сравнению с параметром связи волн.

Вторая глава посвящена моделированию ЛСЭ с двумерной распределенной обратной связью.

В разд. 2.1 проведены исследования электродинамических характеристик двумерных брэгговских резонаторов планарной геометрии. Получена система двух трансцендентных характеристических уравнений, допускающая при условии сильной связи волн асимптотическое решение, которое прзволяет определить спектр собственных мод. Показано, что выделенными по добротности оказываются моды, собственные частоты которых совпадают с брэгговской частотой.

Рассмотрена задача о возбуждении двумерного брэгговского резонатора внешним электромагнитным сигналом. Получено решение на основе разложения по системе собственных функций несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора второго порядка, образующей базис Бари. Найдены коэффициенты отражения, прохождения и рассеяния в поперечном направлении.

Проведен анализ дополнительных брэгговских зеркал, обеспечивающих однонаправленный вывод излучения. С этой целью с помощью преобразования Лапласа решена задача о взаимном рассеянии двух связанных волн, распространяющихся в ортогональных направлениях.

Разд. 2.2 посвящен численному моделированию процессов установления автоколебаний при возбуждении двумерных брэгговских резонаторов планарной геометрии сильноточными пучками. Показано, что при умеренных превышениях тока пучка над порогом имеет место установление стационарного одно-частотного режима генерации, в котором пространственное распределение полей близко к распределению наиболее высокодобротной моды резонатора. Важно подчеркнуть, что, как в случае планарной, так и в случае коаксиальной геометрии (п. 2.3), для мод, обладающих максимальной добротностью, распределение поля синхронной волны не зависит от поперечной координаты. Это обеспечивает одинаковую эффективность энергообмена с высокочастотным полем для всех фракций электронного потока. На основе численного моделирования показано, что режим од-номодовой генерации сохраняет устойчивость при поперечных размерах электронного пучка и пространства взаимодействия, превышающих длину волны в 102 - 103 раз. Это открывает новые возможности для увеличения мощности релятивистских СВЧ -генераторов.

Приведенный в этом же разделе вычислительный алгоритм, основан на интегрировании вдоль характеристик уравнений для амплитуд парциальных волн и опирается на метод трапеций при аппроксимации интегралов от правой части, зависящей от значений амплитуды высокочастотного электронного тока. Значения высокочастотного тока определяются путем численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), описывающих движение электронов, с помощью явного метода Нистрема, использующего двукратное обращение к правой части, что требует, в свою очередь, двукратного решения полученной системы линейных алгебраических уравнений на каждом временном слое.

В разд. 2.3 найдены собственные моды и собственные частоты коаксиального двумерного одноэеркального брэгговского резонатора на основе решения трансцендентного характеристического уравнения. Приведены результаты численного моделирования процессов установления автоколебаний при возбуждении такого резонатора сильноточным электронным пучком. Эти результаты показывают, что уже на начальной линейной стадии переходного процесса усиливается азимутально - симметричная

мода, и затухают азимутально - несимметричные, что обусловлено эффективной электродинамической селекцией мод.

Рассмотрены также двухзеркальные схемы ЛСЭ с двумерными брэгговскими отражателями. Проведено сравнение с ЛСЭ с одномерными брэгговскими зеркалами (п. 1.2). Показано, что если для первой схемы селекция мод по азимутальному индексу носит электродинамический характер и происходит на линейной стадии переходного процесса, то для второй (традиционной) схемы добротности различных мод практически одинаковы и селекция возможна только как результат нелинейной конкуренции мод.

Третья глава посвящена моделированию эффектов канализации излучения ленточными потоками электронов-осцилляторов.

В разд. 3.1 в рамках квазиоптического приближения рассмотрены процессы канализации в усилительных схемах ЛСЭ. Исследована линейная стадия взаимодействия на основе аналитического решения с помощью преобразования Лапласа системы, состоящей из неоднородного параболического уравнения для амплитуды волнового пучка и линеаризованного уравнения движения электронов. Анализ асимптотики этого решения при достаточно больших длинах пространства взаимодействия позволил сделать вывод о том, что излучаемое электронным пучком поле имеет структуру усиливающейся локализованной моды. Результаты численного моделирования нелинейной стадии взаимодействия, показали, что в области линейного усиления реализуется режим канализации излучения электронным пучком, а на нелинейной стадии взаимодействия существует достаточно протяженная область дифракционного высвечивания излучения в свободное пространство. При этом реализуется механизм стохастического торможения частиц, когда по мере потери энергии электроны взаимодействуют с волнами, излучающимися под все меньшими и меньшими углами к оси системы. Показано, что вследствие имеющего место в таком процессе адаптивного подбора фазовой скорости синхронной с электронами волны эффективность энергоотдачи электронного потока в этих условиях оказывается существенно больше, чем в традиционных системах, в которых поперечная структура излучения задается внешним волноведущим трактом.

Для численного решения задачи первоначально находятся значения продольного распределения амплитуды высокочастотного тока пучка в узлах сетки. С этой целью система уравнений, описывающая электронно-волновое взаимодействие в плоскости пучка сводится к системе ОДУ, для интегрирования которой используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, в результате чего и вычисляются искомые величины. Поперечное распределение поля находится затем из интегрального представления решения неоднородного параболического уравнения с правой частью, зависящей от значений амплитуды высокочастотного тока. Это представление записывается в виде суммы интегралов, каждый из которых после проведения линейной интерполяции по уже известным значениям амплитуды ВЧ - тока пучка в узлах сетки и соответствующей замены независимой переменной выражаются через интегралы Френеля и тригонометрические функции.

Разд. 3.2 посвящен исследованию эффектов канализации излучения электронными пучками в ЛСЭ - генераторах с двухзер-кальными резонаторами. Численное моделирование в рамках итерационной схемы Фокса-Ли позволило найти профиль поля в стационарном режиме генерациии, реализующемся при умеренных превышениях тока пучка над порогом. При достаточно болыцих превышениях наблюдались автомодуляционные режимы, в которых поперечная структура мод эволюционировала с 2" -тактным циклом или стохастически. В случае малых параметров Френеля получена приближенная формула для зависимости приведенной ширины зеркал от расстояния между ними в стартовом режиме генерации.

В разд. 3.3 проведено численное моделирование нестационарных процессов в генераторах встречной волны с канализацией излучения электронным потоком, результаты которого показали что при умеренной надкритичности устанавливается стационарный одночастотный режим генерации и канализации излучения. При увеличении тока пучка над порогом генерации происходит переход к автомодуляционным режимам. Вычислительный алгоритм, на основе которого прводилось моделирование, использует интегральное представление для амплитуды волнового пучка и численное интегрирование методом Нистре-ма вдоль характеристик системы дифференциальных уравнений, описывающих движение электронов.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы, которые одновременно являются положениями, выносимыми на защиту;

1. Построен вычислительный алгоритм, позволивший провести численное моделирование многочастотных процессов в электронных генераторах с одномерными брэгговскими резонаторами цилиндрической и коаксиальной геометрии. Алгоритм основан на приближенном интегрирования вдоль характеристик системы уравнений связанных волн, а также применения кубической сплайн-интерполяции с целью использования метода Рунге-Кутта высокого порядка для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение электронов.

2. Исследованы электродинамические характеристики двумерных брэгговских резонаторов планарной и коаксиальной геометрии. Найден спектр собственных мод и доказана высокая селективность подобных резонаторов как по продольному, так и по поперечному индексам.

3. Предложен вычислительный алгоритм для решения самосогласованной системы уравнений, описывающей электронно-волновое взаимодействие в ЛСЭ с двумерной распределенной обратной связью. С помощью этого алгоритма, основанного на интегрировании вдоль характеристик системы уравнений для амплитуд парциальных волн и методе Нистрема для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение электронов, проведено численное моделирование процессов установления автоколебаний.

4. Исследована линейная стадия процесса канализации электромагнитного излучения ленточным потоком электронов-осцилляторов на основе аналитического решения с помощью преобразования Лапласа системы, состоящей из неоднородного параболического уравнения и линеаризованного уравнения движения электронов.

5. С помощью вычислительного алгоритма, основанного на интегральном представлении для амплитуды волнового пучка и методе Рунге-Кутта для решения системы уравнений, описывающей движение электронов, проведено численное моделиро-

вание нелинейной стадии процесса канализации излучения в усилительных и генераторных схемах ЛСЭ.

Список публикаций по теме диссертации.

1. Я.Л Богомолов, Н.С. Гинзбург, А.С. Сергеев . Численное моделирование нестационарных процессов в лазерах на свободных электронах с распределенной обратной связью// Препринт ИПФ АН СССР. -N82.-1983.-26C.

2. Я.Л Богомолов, Н.С. Гинзбург, А.С. Сергеев Динамика лазеров на свободных электронах с распределенной обратной связью //Радиотехника и электроника. -1986.-T.31.-N1.-C.102- 107.

3. N.S Ginzburg, A.S. Sergeev, N.Yu Peskov, G.R.M. Robb and A.D.R. Phelps Mode competition and control in free electron lasers with one - and two dimensional Bragg resonators// IEEE Transactions on Plasma Science.-1996. -Vol. 24,- N3., - P. 770 - 780.

4. Н.С. Гинзбург, А.С. Сергеев Сверхизлучение сгустка электронов-осцилляторов, движущихся в брэгговской решетке // Письма в ЖТФ. -1995. - т.21. - N9. - С. 7 - 12.

5. Н.С Гинзбург, Н.Ю. Песков , А.С. Сергеев Использование в ЛСЭ двумерной распределенной обратной связи //Письма в ЖТФ. - 1992.-T.18-N9.- С.23

6. N. S Ginzburg, N. Yu. Peskov, A. S. Sergeev Two - dimension double -periodic Bragg resonators for free - electron lasers//Optics Communications. - 1993. -Vol.96.- N1-2,- p. 254

7. Н.С Гинзбург, Н.Ю. Песков , А.С. Сергеев Электродинамические свойства двумерных брэгговских резонаторов //Радиотехника и электроника. - 1995. - т. 40. - N3. - С. 401-414.

8. Н.С Гинзбург, Н.Ю. Песков , А.С. Сергеев Пространственная синхронизация излучения широких ленточных электронных потоков в ЛСЭ с двумерной распределенной обратной связью // Письма в ЖТФ. -1993. -Т.19. -N18. - С.54

9. Н.С Гинзбург, Н.Ю. Песков , А.С. Сергеев Динамика лазеров на свободных электронах с двумерной распределенной обратной связью// Изв. вузов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. - 1994. - т.2, N6, С. 39-47.

10. A.S. Sergeev Numerical simulation of synchronisation process of ribbon electron beam radiation in a system with two dimensional distributed feedback//CSAM'93.- Abstracts. - St. Peterburg, 1993. - P. 144 -145.

11. Я.Л. Богомолов, A.C. Сергеев , АД. Юнаковский Построение схем численного интегрирования для обыкновенных дифференциальных

уравнений специального вида// Препринт ИПФ АН СССР.- N125,-1985.-16С.

12. Н.С Гинзбург, A.C. Сергеев Использование двумерной распределенной обратной связи в ЛСЭ с коаксиальными резонаторами и трубчатыми РЭП большого диаметра// Письма в ЖТФ. - 1994. - Т.20. - N15. -С. 1-7.

13. N.S. Ginzburg, N.Yu. Peskov , A.S. Sergeev Dynamics of free electron lasers with two-dimensional distributed feedback //Optics Communications.-1994,-Vol Л12,- NN3-4.-P. 151- 156.

14. Н.С. Гинзбург, И.В. Коноплев. A.C. Сергеев Использование двумерной распределенной обратной связи для синхронизации излучения в ЛСЭ с трубчатым РЭП большого диаметра// ЖТФ,- 1996.-Т. 66- N5,-С.108-117

15. Н.С Гинзбург, A.C. Сергеев Индуцированное излучение ленточного потока электронов-осцилляторов в свободном пространстве // Письма в ЖТФ,- 1988,- T.14.-N20.-C. 1844-1849.

16. Н.С Гинзбург, A.C. Сергеев Линейная теория эффекта канализации излучения ленточными электронными релятивистским пучками в лазерах на свободных электронах //ЖТФ,- 1989,- Т.59,- N3,- С. 126-134.

17. N.S. Ginzburg , A.S. Sergeev Canalization of radiation by ribbon electron beam in free-electron lasers // Optics Commun. 1989,- V.70.- N3,-P.218-222.

18. Н.С. Гинзбург , M.А. Горшкова, A.C. Сергеев Теория ндуцирован-ного ондуляторного излучения ленточного релятивистского электронного пучка в свободном пространстве// Препринт ИПФ АН СССР,-N216,- 1988.-22C.

19. Н.С Гинзбург, A.C. Сергеев Коллективное индуцированное излучение пространственно-ограниченных ансамблей электронов-осцилляторов. Эффекты канализации и сверхизлучения //ЖТФ,- 1990.-Т.60,- N8. - С.40-52.

20. Н.С Гинзбург, Н.Ю. Песков , A.C. Сергеев Канализация излучения ленточным электронным пучком в ЛСЭ - генераторах с двухзеркаль-ными резонаторами//Радиотехника и электроника. - 1992. - Т.37,- N9,-С.1669-1676.

21. Н.С Гинзбург, A.C. Сергеев Нелинейная нестационарная теория генераторов встречной волны с канализацией излучения сильноточным релятивистским электронным потоком/ЛПисьма в ЖТФ.- 1989.- Т. 15,-N9,-С. 78-83