автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование неустановившегося движения жидкости в сложных системах

РГГ) ОА

О 3 т Ш

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. МИРЗО УЛУГБЕКА

На правах рукописи

УДК 532.5:534.681.3

АБДУРАИА10В МУРАТ

МАТЕМАТИЧ ЕС КОЕ ЛЮД ЕЛ И РОВАН И Е 1ЕУ СТА" Ю В И В Ш Е ГО СЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В СЛОЖНЫХ СИСТЕД1АХ

05.13.18.— теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ—1998

Работа .выполнена на механнко-математическом факультета ТашГУ им. М. Улугбека.

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор МУЗАФАРОВ X. А.

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н., профессор МАМБЕТОВ У. М„ к. ф.-м. н., доцент ХАИДАРОВ А.

Ведущая организация — Институт Математического моделирования Российской Академии наук.

в . /. часов на заседании Специализированного Совета К 067-02-03 по присуждению ученой степени кандидата физико-ма-тематически;; наук в Ташкентском Государственном университете по адресу: 700095, Ташкент—95, Вузгородок, ТашГУ, механико-математический факультет, ауд. 205, отсек А.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научной библиотеки ТашГУ им. М. Улугбека.

Защита диссертации состоится «¿Г» . 199^

г.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного Совета к. ф.-м. н., доцент

АБДУКАДЫРОВ А. А

Актуальность темы. В последние годы проблема охраны окружающей срады приобретает особую актуальность, масштабы человеческого воздействия на природу настолько велики, что трудно предсказать' вса последствия по преобразованию природы. Поэтому необходимо уже сейчас научиться оценивать результаты этих воздействий на природу для решения насущных задач по развитию народного хозяйства. С этой точки зрения первостепенное значение приобретает математическое моделирование природных ярзцессов, в частности математическое моделирование неустановившегося течения жидкости в топологически сложных водохозяйственных системах. С помошью системы математических моделей можно проводить различные численные эксперименты для оценки преобразования природы, натурные' аналоги которых невозможны в силу глобальности их масштабов и необратимости, В системе таких моделей важное место имеет математическое моделирование гидрологических процессов.

Для решения вопросов рационального использования водных ресурсов необходимо создать имитационную систему движения жидкости со системе рак и каналов во взаимодействии с другими гидрологическими процессами. Так как эти процессы крупномасштабны, сложнн и взаимосвязаны, применение математического моделирования имеет важное значение, для их математического описания необходимо решать систзму дифрераяциальных уравнений в частных производных.

Цель работы. Для решения проблемы рационального использования водных ресурсов необходимо создание имитационной.системы динамики стока по речной сета со сложной топологической структурой во взаимодействии с другими гидрологическими процессами, которая детально зййсываат эти процессы* достаточна- универсальна я удобна при решении задач управления водными ресурсами.

Методы исследования. В диссертационная работе описаны принципы построения имитационной системы движения воды по рачной caía со сложной геометрической структурой. Приведены методы математической формализации объема моделирования, а также в качества математической модели не.^-установившегося течения мдкости в сложной водохозяйственной системе выбрана система,дифференциальных уравнений Оен-Венана достаточно точно описывающие физические процессы динамики стока до рачной сети. Попользованы различные типы граничных условий.

Разработан вычислительный алгоритм и выбраны экономичные методы для численного решения дифференциальных уравнений в конечно-разностном виде с применением неявной схемы и метода дробных шагов на разнесенной расчетной сетке, вычислительный процесс для решения задачи на графе типа "дерево" и др. решались одновременно с Использованием метода "сквозной" прогонки с ее модификациями и с использованием метода сшивания в целом для всего комплекса одновременно. Для решения, .краевой задачи на объектах больших размеров применен метод "декомпозиций", который позволяет решать общую краевую задачу по частяс, сопрягая их друг с другом по граничным условиям в каждый момент времени, .

Научная новизна работы. Созданная имитационная система математических модалай слокнзй водохозяйственной системы является оригинальным инструментом для решения задач динамики водобаланса по речной сети. 1йатод "декомпозиции" позволяет моделировать объекты на ограниченных размеров. В работе изложены методы математической формализации объектов моделирования. Уравнения стока по рачной свти аппроксимировались .в конечно-разностном виде по неявной разностной схема на разнесенной расчетной сэтке и решались

модифицированным методом "сквозной" прогонка одновременно для всей системы от истока до устья, что отличает эту работу от других. Из условий сопряжения получены формулы вычисления прогоноч-ных коэффициентов для случаев слияния рак, сосредоточенного бокового притока и различных типов задания граничных условий. Приведена классификация граничных условий с их унификацией для вычисления прогоночных коэффициентов на язвой и правой границе. Разработан экономичный алгоритм для численных расчетов созданных математических моделей. Решены различные типы "задач, позволяющие аппробировать созданную имитационную систему.

Достоверность и обоснованность результатов работы базируется на использовании численных методов и сравнении численных расчетов с реальным протеканием процесса.

Проведенные расчеты показали принципиальную возможность использования созданной математической модели речного бассейна для решения задач рационального использования водных ресурсов с учетом экологических'требований и других задач прогнозирования.

Практическое значение работы. Созданные математические модели для топологически сложных водохозяйственных систем охватывают все реально возможные случаи в природе. Результаты работы можно применять для решения различных водохозяйственных задач: для оценки запасов воды, для прогнозирования состояния водотока в нижних частях системы в зависимости от состояния водотока в верхних частях системы, определения изменения величины потока воды ог изменения его параметров, решать задачи рационального распределения воды как для всей системы, так я для ей этдельннх частей, с учетам расйрэдйлешш между отдельными, потребителями, рационального управления попусками воды из водохранилища, т.е. оптй-

мадьной его работой в др. Прячем это монно применять как для всей системы в целом, гак и для отдельных частей, ври любых территориальных масштабах и в любых регионах, «.е. возможно применение результатов работы для решения широкого круга задач в системе АСУ водных проблем, а также для решения глобальных проблем водохозяйственных задач в природе. Кроме того, разработанная имитационная система может быть использована для взаимосвязи поверхностных и подземных.вод, отдельно для стока ио речной сета. Система юдолей может быть включена для проведения имитационных экспериментов на ЗШ. Разработанная система может развиваться, усложняться и совершенствоваться, но даже в созданном вида она ужа универсальна и проста для использования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались:

- на семинарах в «шституте Кибернетики с иЦ РУз;

- на кнфздре "математического моделирования" Университета Мировой Экономики и дипломатий (Ташкент, Хй^б г.);

- на ежегодных научно-отчетных конференциях преподавателей ТашГУ; ■ '

- на научной конференции "Численных методов решений дифференциальных уравнений" в ЛатГУ (Рига, 1У36);

- на конференции "Экологической проблемы и высшей школы" (Ташкент, ХЬуЬ); '

- на семинара лаборатории ."Математического моделирования"-В Щ РАН (Москва, 1^0); '' -':."'•-'

- на семинаре кафедры 'Мнформатики р прикладного программирования н "¿'ыиС/ (Х'ашкенг,

- на семинара кафедры "Вычислительной математики и лаборатории математического моделирования" ТашГУ (Ташкент, 199о,1УЭ6);

- на объединенном семинара кафздр "Высшей математики", "Прикладной математики", "Теоретической механики", "Сопротивления материалов и математического моделирования" ТИЛТ11 (Ташкент, 1995);

- на семинара в Институте Годных Проблей АН РУз (Ташкент, 1996);

- на Междунарэднэм симпозиуме по эксперименту, моделям, численным методам в газовой динамика (открытые течения, разрешенный газ, турбулентность, гораниа, экология) (Ташкент, 1996).

.' ■ Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 работ.

Структура и объем работы, диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, использованной литературы. В работе 112. листов, 17 рисунков, 4 таблицы, 2 схемы, список литературы, содержащий 67'наименований.

ОСНОШОК СОДьЕЛНИЗ РАЬОТЫ

Во введений обосновывается актуальность и важность темы диссертационной роботы, дается обзор литературы* посвящанной приме-неняго численных методов к решению краэвых задач математической физики (неустановившегося течения эдкости в сложных системах), кратко излагается содержание работы.

Б первой главе приводятся различные степени приближения уравнений Сен-Ванана и их особенности, и выбирается наиболее удобная форма уравнений Сен-Банана для решения задач моделирования для неустановившегося течения жидкости в топологически сложных водохозяйственных системвх* Обосновывается выбор математической модели уравнзяий Сен-Ванана. В зависимости от цели моделирования выбирается математическая модель, делается аяалйз лодгэ-

товки исходной информации. Формулируется постановка краевой задачи .

Иыбраннад математическая мода,ль неустановившегося течения жидкости в слокних водохозяйственных системах в виде уравнений Сен-Венана имеет вид:

° Т* * 1 х ~ а 0

/у ■/

д ь~с

гда ^ - ускорение силы тяжести, t - время, х - координата" вдоль русла, г(х,-ь) - глубина, $ (Х,ъ) - расход через водереч-ноэ сечениа, «(г), х(г) - смоченный лериматр, В(2) - ширина ш 'поверхности, к(а) - модуль расхода, определяемый до эмперичес-кой формула йаннинга, п(Х,-ь) - .коэ^фйциант шероховатости, 1(Х) - уклон дна, ¿(Х,-ь) - распре да данный боковой приток.

Для ъешяанш краевой задачи для сложной водохозяйственной системы необходимо задать,, нрома системы уравнений Сен-Венана на каждом ребре, начальные условия в свободных вершинах, крома того условия сопряжения во'внутренних вершинах. Начальные' условия :.

I) н,/х, о) = 7*; м. о)* (?;(*) , /7"; *<= Сод

Граничные условия:.,

1} г! н) _

[ ^ ii.fi-о^О

4) « , ала

Условия сопряжения:

п & = Iс,

ым --

После чего переходят к численному рэщэняю. Вторая глава по-свяшена математической формализация обьекталярования. Водохозяйственная система, состоящая аз речной сети и система оросительных каналов, имеет сложную геометрлчаскуго структуру. Такая структура схематизируется в виде графа типа "дерево". Для рачной сети, имевшей специальный вид, предлагается ее формализация в вида двух "деревьев" Д I и Д 2, соединенных между собой "корнями". Описываются условия формализации рачной сем, в связи с этой формализацией графу типа "дерево" ставятся В соответствие управляющий вектор, который однозначно задав! топологическую структуру графического комплекса. <&а формализация водохозяйственной системы обобщается для сложной структура речной сети в вадэ двух улравляющях

вакторов. Предлагается математическая формализация произвольного графа речной сети, которая является более простой схемой и задается в виде управляющей матрицы. Так, организованная матрица взаимооднозначно определяет геометрическую структуру сети водотоков, связь между ее отдельными участками, типом граничных усло-

о

вий на участках во внешних и внутренних узлах речной сети.

В параграфе 5 главы Ш предлагается комбинированный метод формализации геометрической структуры со сложной топологией. В графическом комплексе "Г" выделяются древовидные подструктуры, представляющие собой типа "дерево" и кольцевая структура. Таким образом, комплекс "Г" прообразуется в "приведенный" комплекс "Г". Для "приведенного" комплекса "Г" строится управляющая матрица, а для "деревьев" управляющие вектора. Комплект из управляющих вакторов и управляющей матрицы определяют математическую формализацию-заданной сложной речной сети.

Каждый алгоритм расчета привязан к формализации объекта моделирования. Для увеличения экономичности расчетов, эти алгоритмы используются в различных сочетаниях. О этой целью создана математическая формализация сети водотоков произвольной структуры с ориентацией на использование комбинированных методов решения задачи.

а глава т дается анализ разностных,схам, применяемых для ра-шания уравнений Оан-^енана, условие их применимости, преимущества в ограничения. Обосновывается праимушестйо неявных схем, по сравнению с явными схемами. Для решения ?адач с уравнениями Сен-¿анана используется метод "сквозной" прогонки, устанавливаются условия корректности и устойчивости метода, условия сходимости, аналогичные этим же условиям прогонки. Приводится метод прогонки

для уравнений Сен-^енана, условна сходимости метода. Для решения поставленной задачи методом прогонки для двух участков на каждом временном слоа после вычисления искомых величин проводится процедура сопряжения (сшивания) решений, в параграфа 2 предлагается метод "левой" прогонки для решения уравнений Сен-йенана на графе типа "дерево". На графа "дерево" Д решается нестационарная краевая задача, моделирующая течение води по речной сети системой уравнения Сен-Банана. Рассматриваются 4 различных айда граничных условий сопряжения, а параграфе Ъ рассматривается граф перевернутого "дерева" Д2, для которого ¡чспздьзуется метод "правой" прогонки, дадзе рассматриваются условия сопряжения "деревьев" Д1 и №. Это определяет метод встречных прогонок, для графического комплекса Г, состоящего из двух "деревьев" Д1 и Д2. Этот алгоритм сочетает в себе модифицированный алгоритм "сквозной" прогонки для графа типа "дерево" я алгоритм встречных прогонок для сшивания решений на "деревьях" дХ и что в совокупности позволяет избежать итерационных процедур и значительно сократить время счета на ЭШ для сложных систем по сравнению с итерационными методами. Рассматривается условие наличия гядросо-оружзний во внутренних узлах комплекса, при этом задача распадается на насколько независимых задач. В параграфе 4 главы Ш рассматривается унифицированный метод прогонки для графа произвольной структуры. Предлагается алгоритм численного решения уравнений Оен-ианана в конечно-разностном вида по неявной разностной

с

схеме на разнесенной расчетной сетке методом прогонки с параметром на произвольном графическом комплексе, но баз итерационных процедур в узлах. Этот алгоритм позволяет, с одной стороны, рассчитывать тпчаниэ воды в произвольных речных сетях достаточно

точно.

С другой стороны, этот метод объединенный с методом "сквозной" прогонки дает максимальный эффект быстродействия.в оперативной памяти ЭШ. Проиллюстрирован унифицированный метод прогонки для графического комплекса, состояаего из двух участков. Аналогично, при увеличении количества участков, задача остается замкнутой. Преимуществом метода является унифицированная процедура расчета на каждом участке возможности осуществления прогонки без итераций для произвольного графа. Недостатком этого метода является увеличение времени счета в 1,5 раз по сравнению со "сквозной" прогонкой, трудности разрешения системы алгебраических уравнений в узлах при большом количестве участков. Поэтому целесообразно объединение мотодов параграфов 2 и 4 глава Ш, которое рассматривается в параграфе 5, как комбинированный метод численного решения уравнений Сон-Ванана, Для этого проводится анализ конкретной сети, выделяются "деревья" (участка) и кольцевые структуры. "Деревья" замешаются обобщенными ребрами. Строится приведенный граф речной свтя. Формализация в этом случае осуществляется с помошыо управляющей матрицы и управляющих векторов,описанной в параграфе 5 главы П. /1 решается задача на приведенном графе. Методом прогонки с параметром объединенный с методом "сквозной" прогонки. Такая модификация позволяет, во-первых, исключать из второго этапа счета все "деревья", во-вюрых, в 1,5 раза сократить объем вычислений за счет использования "сквозной" прогонка, в-третьих, пользоваться на них более простыми $рмула-ьш прогонки, в-четвертых, сохранить для всего комплекса чисто , неявную схему без привлечения итераций в узлах комплекса. Все это дает еще больший выигрыш в смысле эффекта, времени счета на

ЭШ.

Аочется отметить, что имея набор различных методов формализация и расчата для сложного водохозяйственного комплекса можно всегда подобрать такую комбинацию методов расчата, которая для конкретной структуры наиболее целесообразна.

Глава ХУ посвящена математическому обеспечению. Созданная имитационная система основана на методе "декомпозиции", которая имеет модельную блочно-вложенную структуру, которую объединяет управляющий блок, осуществляющий общий вычислительный процесс. Каждый модуль рассчитывает опраделенный физический процесс. Та-к*я структура программы позволяет свободно маневрировать блоками-модулями, на нарушая общности программы. Пакет прикладных программ Р^КА применен для решения практических задач. Рассмотрены задачи прохождения паводковой волны по одной реке, задача о "времена добегания" волны, имеющее важное значение для практических целей, прохождение волны попуска по речной сети сложного водохозяйственного комплекса. Подученные при численном моделировании результаты, их достоверность и обоснованность базируется на сравнении результатов счета с реальным протеканием физического процесса. Проведенные расчеты показали-принципиальную возможность использования созданной имитационной системы.

В заключении делаются выводы а рассматриваются перспективы развития и возмояности практического применения результатов диссертационной работы в народном хозяйства,

. 'ОСЖМШ РйЗУЛЬТШ л выводы

1. Создан математический инструмент для решения задач стока по речной сета в ах взаимодействии для объектов топологически сложной геометрической структуры, больших размеров и конфигураций.

2, Проведана классификация граничных условий и их унификация для решания системы уравнений Сен-Венана в конечно-разностном виде.

о. Разработаны методы формализации объектов моделирования в виде управляющих векторов и управляющих матриц в их совокупности, управляющие всем вычислительным процессом.

4. Разработан экономичный алгоритм метода "сквозной" прогонки для рашения задач неустановившегося течения жидкости в топологически сложной одохозяйственной системе для всей сети одновременно, имеющий различные виды формализации.

0. Построенная имитационная система моделирующая речную систему с использованием метода "декомпозиций", позволяет моделировать крупномасштабные объекты.

6. Решались задачи, имевшие практическое значение в вопросах рационального использования водных ресурсов с помощью пакета прикладных программ, разработанных для численного решения неустановившегося течения жидкости в сложных системах. Математическое ойаспзчение легко мянаврируема.

Результаты диссертационной работы достаточно полно отражены в с.ледуамх работах:

1. К вопросу оптимального распределения водных ресурсов ■ //Вопросы вычислительной и прикладной математики. - Ташк.,1976,-Jfc 36. - С .23-25 (соавтор Алимов Ш.А.),

2. Программа расчета времени дзбегения при моделировании речного стока//Алгоритмы и программы. - Ташк., 1977. - kcó. -С,53-55 (соавтор Алимов ÚJ.A.).

3. К вопросу рационального использования водных ресурсов //Изв.АН РУз, сер.техн.наук. - .1977.6. - С.49-52 (соавтор

Алимов HI,А.).

4. «tatод численного расчета уравнений Сен-йанана на графе специального вида/Дашк., 1384. - Деп. в УзШШТЙ, Й 246, -С.15.

5. Математическая модель и метод численного расчета уравнений Сан-Банана на графе специального вида/Д!зв.АН РУз, сэр.техн. наук. iito. Л о, - <J.od-60.

6. ¡/^тематическая модель й метод численного расчета неустановившегося движения воды в сложных водных сйстамах//Изв.АН РУз, сер.техн.наук. - 1986. - » 6. - С.1X^X6.

V, Вычислительный алгоритм для численного решения уравнений Сен-йанана на графе произвольной структуры а ее модификация для расчета тачания, по реальной речной сати/Дашк., ХЬ86. - Деп. в УзЙИИНТИ, S 43Х. - С.Х2.

8. Об одном экономичном алгоритма для расчета уравнений Сан-Ванана//Ташн8нт, - Дед.в УзНЛШТИ. J 430. - С.1а.

9. К вопросу реального использования водных ресурсов/Дези-сы Республиканской научно-педагогической конференции по' вопросам экологии я высшей Школы. - Ташкент, Х993. - О.91.

XQ, Математическое модели сложных водохозяйственных систем //Ташкент, Х995, - Дап. в.ГШХЙ ШТ РУз, № 2462. - 0.9,

Автор выражает глубокую благодарность профессорам Платову А.Н, и Музафарову за постановку задачи а пооюяннр помощь ори выполнении диссертационной работы, ; -

. ШТАККАБ иУЗ ТАРШШРДАГИ

МУШДКЛ БПШМ1 ЦУЩЛШ СВД1ШШ ЖЕ1,¡АТ1Ж

тътштш

абдура];;.;ов мурат

Диссертпцияда тур ли гео.«ехрик гузялшли мпологвк дгурак-ксб буягея сув ^ухплик гераокларияи форыелавгирип усуллари берилгяя. Сувдликларнпиг муътадил булмгви одаи вд иупга ухшаш бойца яереёялпр и?вкуд булгея бундей системе учуя иртематик иоделни танлеш есослоирди. Ьундой мвсалаии берча емаллври Силен ечиш учун "сквозная прогонка" усулн цуллпнилг.ди. Сув аплигкни турлк формалпри учун здособлаш влгоришлпри иилвб чи-чилган. ¿¡уракксб сув ууг.рлик тарионларида сувкпикяи муътадил оулмвган окими ^исоблии учуя вокт буйича техаллироч алгорптии тузилгвл.

SUMMARY

Of Master's thesis on the these "The Mathematical Modeliration of non-established flows af liquids in complex watermanaging systems" The author of thesis is Murat Abduraimov. The author of this thesis tries to use the methods of formalization topological^ complex watermanaging systems with different geometrical structures.

It is settled down the choice of mathematical models for such systems with non-established flows of liquids and in .connection with other processes of water changes. To discuss such problems the author uses the'nethod for all complexes. .

Different computational algorithms are worked out for different formalizations of uatermanaging systems. He also worked out economically (In time)the algorithm of calculation of non-established flows of water for complex watermanaging systems.