автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нелинейных процессов массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости

На правах рукописи

Демидов Денис Евгеньевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ РАЗНОПЛОТНОСТНОЙ

ЖИДКОСТИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2006

Работа выполнена в Отделении механики Научно-исследовательского института математики и механики им Н. Г. Чеботарева государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В. И. Ульянова-Ленина.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук Егоров Андрей Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Бадриев Ильдар Бурханович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Беляев Алексей Юрьевич

Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук

Защита состоится 13 апреля 2006 г. в 14 ч. 30 мин. в аудитории 217 2-го корпуса на заседании Диссертационного совета Д 212.081.21 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 13 марта 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета О

кандидат физико-математических наук, доцентО. А. Задворнов

гообД 5445"

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Подземные каменно-соляные формации традиционно рассматриваются в качестве объектов, перспективных для расположения в них хранилищ радиоактивных отходов. Во-первых, каменная соль почти непроницаема в силу своих пластических свойств и отсутствия трещиноватой пористости. Вследствие этого внутри каменно-соляных формаций практически отстутствует циркуляция подземных вод. Во-вторых, высокая теплопроводность соли позволяет рассеивать тепло, порождаемое высокорадиоактивными отходами.

В случае утечки из такого хранилища наиболее вероятным механизмом доставки загрязнений к поверхности является перенос подземными водами. Следовательно, для каждого потенциального места захоронения должна быть проведена оценка последствий возможного выброса изотопов. Такая оценка должна учитывать тот факт, что в подземных водах вблизи соляных формаций наблюдаются высокие концентрации соли (вплоть до предела насыщения КаС1), соответствующие большим значениям плотности (до 1200 кг/м3). Наличие возникающих при этом больших градиентов концентрации вызывает вопрос о применимости в рассматриваемой ситуации классических линейных реологических соотношений, лежащих в основе стандартных моделей фильтрационного переноса примеси: закона Дарси, связывающего скорость фильтрации и градиент давления, и зависимости Фика между дисперсионным потоком примеси и градиентом концентрации.

Цель диссертации заключается в выводе макроскопических уравнений, адекватно описывающих процессы массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости в условиях ее устойчивой стратификации. Выделяются два этапа такого исследования. На первом этапе необходимо провести осреднение базовых уравнений с масштаба пор до масштаба лабораторного эксперимента. Второй этап исследования предполагает осреднение уравнений фильтрации и массопереноса с масштаба лабораторных экспериментов (однородные пористые среды) до масштаба полевых испытаний

(микронеоднородные среды).

Научная новизна работы состоит в

1. последовательном применении методов теории гомогенизации к выводу новых макроскопических уравнений, описывающих процессы переноса разноплотностной жидкости в однородных и микронеоднородных пористых средах;

2. вычислении коэффициентных зависимостей этих уравнений для модельных пористых сред различной периодической и стохастической структуры;

3. верификации указанных моделей на основе известных лабораторных и вычислительных экспериментов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается обоснованностью применяемых математических моделей гидромеханики и строгостью используемого математического аппарата, а также верификацией полученных макроскопических моделей путем сравнения с результатами натурных и вычислительных экспериментов.

Практическая ценность. Полученные в работе математические модели нелинейных процессов массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости могут использоваться для оценки экологических рисков создания подземных хранилищ радиоактивных отходов в каменно-соляных формациях и при прогнозировании засоления водоносных пластов в результате интрузии морской воды, утечки высокоминерализованных попутных вод разрабатываемых нефтяных месторождений и т.п.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на XVI сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2002); на семинаре отделения Hydrology and Ecology; Faculty of Civil Engineering and Geosciences, Delft University of Technology (Delft, 2003); на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004); на Международной конференции Gordon Research Conference on Flow and Transport in Permeable Media (Oxford, 2004); на Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004); на международной конференции American Geophysical Union Fall Meeting (San Francisco, 2005); на IV сессии

молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2005); на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета; на семинарах отделения механики НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 7 статьях и тезисах, список которых приведен в конце автореферата.

Содержание, структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованных источников, содержит 137 страниц сквозной нумерации, в том числе 30 рисунков, 2 таблицы. Список использованной литературы насчитывает 77 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, дается обзор литературных источников по изучаемой тематике. На основании этого формулируются цели исследования. Кратко излагается содержание работы и формулируются выносимые на защиту положения.

Первая глава работы посвящена осреднению с масштаба пор до масштаба лабораторного эксперимента базовых уравнений, описывающих фильтрационное движение и массоперенос на уровне пор. Рассматривается два типа процессов, реализуемых в лабораторных экспериментах при нахождении продольных (вдоль направления потока) и поперечных коэффициентов фильтрации и массопереноса. В первой группе экспериментов организуется одномерное вертикальное движение горизонтального фронта между пресной водой и высококонцентрированным рассолом и проводится наблюдение за динамикой размазывания этого фронта (рис. 1(а)). Соответствующую задачу далее будем называть продольной; коэффициенты соответствующих макроскопических уравнений снабжать индексом ||. Во второй группе экспериментов изучается горизонтальный стационарный пограничный слой (рис. 1(Ь)) между смешивающимися жидкостями различной плотности (поперечная задача; индекс ±). В обоих случаях рассматривается устойчивая ситуация др/дг > 0 расположения менее плотной жидкости над более плотной.

Базовые уравнения в этом случае представляют собой связанную си-

(а) (Ь)

Рис 1. Макроскопическая схема рассматриваемых в данной работе процессов. (а) вертикальное движение концентрационного фронта; (Ь) горизонтальный стационарный пограничный слой между смешивающимися жидкостями различной плотности.

стему уравнений Стокса и уравнения конвективно-диффузионного массо-переноса. Постановка соответствующей задачи, анализ размерностей и схематизация исследуемых процессов приведены в параграфе 1.1. В результате анализа размерностей выделены управляющие параметры — число Релея и число Пекле изучаемого процесса

цаь а

Здесь д - ускорение свободного падения, Ар — характерное изменение плотности, /х — вязкость жидкости, в, — коэффициент молекулярной диффузии, ио - характерная скорость движения жидкости, величины I и Ь определяют соответственно характерные масштабы пор и процесса.

В параграфе 1.2 проводится процедура гомогенизации базовых (микроскопических) уравнений, состоящая в их асимптотическом анализе при стремлении к нулю малого параметра е = 1/Ь. Результатом этой процедуры является взаимосвязанная система нелинейных макроскопических уравнений фильтрации и массопереноса. В отличие от классических моделей, коэффициенты этой системы — тензоры фильтрации и дисперсии

« (Ь)

Рис 2. Модели пористой среды, используемые для определения эффективного коэффициента дисперсии 2?ц. (а) — решетчатая модель, (Ь) — модель идеального перемешивания.

оказываются функциями локальных чисел Пекле и Релея

Ре, .Mi, Ra,-^. а ца, az

Здесь через z обозначена вертикальная координата, а угловые скобки означают операцию осреднения. Показано, что в предельных случаях Ре; —> 0 и Ra/ —> 0 полученная макроскопическая модель переходит в известные модели. Для вычисления зависимости тензоров фильтрации и дисперсии от Реь Ra; в результате процедуры гомогенизации оказываются сформулированными так называемые задачи на ячейке. В следующих трех параграфах эти задачи конкретизируются и решаются для различных типов пористых сред.

В параграфе 1.3 рассмотрены простейшие модельные пористые среды в виде связки одинаковых вертикально расположенных капилляров ще-левидной или круглой формы. Такие модели позволяют явно вычислить эффективный коэффициент дисперсии £>ц в продольной задаче в виде

Ц (Реь Ra,) = А (с + Ц (Ре,) /, (йц)) , Ra, = (1)

Здесь С — постоянный коэффициент извилистости, Z^Pe,) — коэффициент дисперсии трассера, вычисленный в пренебрежении плотностными эффектами, /||(Ra;) представляет собой поправочный на действие гравитации

множитель.

Монотонно убывающая функция /ц принимает значение

1 (0) при Ra( = 0 (оо).

В параграфе 1.4 рассмотрена более реалистичная решетчатая модель пористой среды (рис. 2(a)). Задачи на ячейке в этом случае двумерны; они решались численно с помощью специально разработанной вычислительной процедуры. Реализовывался итерационный метод расчета с последовательным решением гидродинамической (записанной в терминах функция тока — завихренность) подзадачи на заданном поле плотности и концентрационной подзадачи на заданном поле скоростей. Эта процедура позволяет рассчитать коэффициенты дисперсии и фильтрации не только для продольной, но и для поперечной задачи (Т>± и К±).

Из общих соображений и качественного анализа лабораторных данных следовало ожидать уменьшения Т>± и tC L с ростом числа Релея. Априори, однако, было неясно, какие физические процессы лежат в основе этой закономерности и лишь расчеты обнаружили весьма специфичный механизм ее реализации. Оказалось, что с ростом Ла/ происходит существенная перестройка внутрипорового течения с образованием и развитием зон возвратных течений. Динамика их развития показана на рис. 3 для умеренных (Ре = 10) значений критерия Пекле. Именно они, с одной стороны, сужают живое сечение поровых каналов, а с другой стороны, препятствуют эффективному массообмену в жидкости. Результаты расчетов Kj_ (Ре;, Raj), "D± (Ре;, Raj) в наиболее интересном диапазоне больших значений Ре; оказалось возможным апроксимировать простыми зависимостями, аналогичными (1):

Как и раньше, поправочные на действие гравитации множители /х, Д монотонно уменьшаются от 1 до 0 с ростом числа Релея. Как видно из рис. 4, в широком диапазоне изменения Ре, в расчетные данные группируются

(2)

(3)

(4)

(а) (Ь)

Рис. 3. Линии тока для поперечной задами при умеренных (Ре = 10) значениях критерия Пекле.

вблизи общих кривых, которые могут быть аппроксимированы формулами

1 + 0.08(3

H-0.09G-t-0.05G3/2' 1 + 0.1(5

Д =

(5)

(6)

1 + 0.25С3/2

Аналогичные апроксимации коэффициента дисперсии в продольной задаче привели к результату, полностью аналогичному (1). Более того, как коэффициент дисперсии трассера 2Э{|(Ре/), так и поправочный на действие гравитации множитель /¡¡(11а/) оказались практически теми же самыми, что и в одномерном случае. Зависимость /ц(11а) может быть аппроксимирована формулой

1 + 3.4- 10-6Яа2

/| =

(7)

1 + 4 • 10~311а + 10-711аи/4" Сравнение зависимостей /ц(Йа) для одномерных и для решетчатой моделей представлено на рис. 5.

Хорошее согласование коэффициентных зависимостей для одномерных и решетчатой моделей объясняется однотипностью этих моделей в части продольного массопереноса. Однотипность находит свое отражение, в частности, в одинаковом, тейлоровском, поведении коэффициента диспер-

А 0.8

0.6

0.4

0.2

вт п Ре = 10 » Ре-20 ▼ Ре-30 а р0 -50 « Ре= 100

Л 0.8

0.6

0.4

0.2

о Ре = 10

♦ Ре = 20

▼ Ре = 30

А Ре = 50

4 Ре-100

10"

10'

10'

10"

10'

102

(а)

(Ь)

Рис 4. Зависимости Л (в) и /±(б) при фиксированных значениях Ре. Сплошные линии соответствуют апроксимационным формулам (5) и (6).

сии трассера при больших значениях критерия Пекле (Х^(Ре) ос Ре2). Известно, что в реальных пористых засыпках наблюдается иной закон роста коэффициента дисперсии трассера ос Реа, 1 < а < 1.2. Возникает вопрос о степени универсальности найденной зависимости /ц(11а^).

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, в параграфе 1.5 рассматривается принципиально иная модель пористой среды в виде «цепочки бусинок» (рис. 2(Ь). Эта модель отличается наличием зон идеального перемешивания в точках контакта бусинок и обладает «реальным» (Т>® ос Ре1пРе), а не тейлоровским видом зависимости коэффициента дисперсии трассера от средней скорости фильтрации. Численные расчеты, проведенные для этой модели, показали, что и в этом случай продольный коэффициент дисперсии может быть представлен в виде (1); поправочный множитель /ц при этом начинает существенно отличаться от вычисленного ранее

лишь при /ц < 0.3. Последнее является следствием различного характера

- -3/4

затухания /ц(11а) с ростом Ла;: /ц ос 11аг для одномерных и решетчатой моделей, и /ц ос 11а~2/3 для модели бусинок.

Для проверки адекватности построенных макроскопических моделей в параграфе 1.6 проводится сравнение полученных с их помощью ре-

1

II

0.2

0.4

0.(

0.«

0,

0 200 400 600 800 йа

Рис 5. Зависимость /ц(Яа) для одномерных и решетчатой моделей.

зультатов с данными лабораторных экспериментов С. Ватсон и др. по одномерному замещению пресной воды концентрированным рассолом. При этом для всех типов моделей коэффициент извилистости и коэффициент дисперсии трассера брались из экспериментов. Единственным параметром для согласования экспериментальных кривых с теоретическими был характерный размер I пор, участвующий в определении безразмерного градиента концентрации Яа;. На рис. 6 представлены результаты сравнения экспериментальных и теоретических (полученных для моделей тейлоровского типа) кривых изменения концентрации. Оказалось, что оба класса моделей, как «тейлоровские», так и модель идеального перемешивания, вполне удовлетворительно согласуются с экспериментами. Это объясняется тем, что эксперименты были проведены в области малых и средних градиентов плотности, там, где обе модели дают практически одинаковые результаты. Окончательный выбор, очевидно, требует дополнительных экспериментов в области больших На/. В то же время отмечается, что преимуществом модели идеального перемешивания является ее хорошее согласование с экспериментами также и в части зависимости эффективного коэффициента дисперсии трассера от критерия Пекле.

Наконец, в параграфе 1.7 проводится обсуждение развиваемой теории и намечаются перспективы дальнейших исследований.

(а) (Ь)

Рис 6. Сравнение теоретических (сплошные линии) и экспериментальных (пунктир) кривых изменения безразмерной концентрации со временем в датчиках, расположенных на малом (а) и большом (Ь) растоянии от точки входа. Кривые 1-3 отвечают различным экспериментам.

Вторая глава диссертационной работы посвящена осреднению уравнений фильтрации и массопереноса с масштаба лабораторных экспериментов (однородные пористые среды) до масштаба полевых испытаний (микронеоднородные среды).

В параграфе 2.1 проводится постановка соответствующей задачи. Базовыми уравнениями выступают закон сохранения массы в приближении Буссинеска, закон Дарси для описания фильтрации рассола и уравнение конвективно-дисперсионного переноса примеси. Управляющими параметрами по-прежнему являются числа Пекле и Релея, построенные на этот раз по характерному размеру неоднородностей I. Последние считаются связанными с пространственным масштабом флуктуаций проницаемости и малыми по сравнению с характерным пространственным масштабом Ь изучаемого процесса. Здесь же в предположении малости параметра е = 1/Ь проводится процедура гомогенизации базовых уравнений. Результатом ее является макроскопическое уравнение типа конвективной диффузии для описания процессов переноса примеси. Коэффициент дисперсии, как и в

7г(|К|) =ехр(-|У|) л(И) = вхр(-|УП

п = 3

Щг) 2у/2/тг (1 + г2) 2 (1 — Иа + йа1пЯа) (1 - Яа)2 Во 1-—ехр(11а/4) Е1 (На/4)

п = 2

Щг) /||(На) (1 + г2)~3/2 \/Ёа \/1 - Яа 1--, ап£е —==— л/1 - Иа \/Ёа ^ ехр (-г2/4)

1 — И.а 2 2

Таблица 1. Расчетные соотношения для экспоненциальной и гауссовской корреляционных функций; п указывает на размерность пространства.

предыдущей главе, оказывается функцией безразмерного градиента плотности 11а;. Для определения вида этой функциональной зависимости формулируются задачи на ячейке.

В параграфе 2.2 эти задачи конкретизируются и решаются для двух- и трехмерных слабонеоднородных сред. Для этого привлекается техника, развитая Л. Гелхар при изучении массопереноса трассера. В результате коэффициент продольной дисперсии оказывается возможным представить в том же универсальном виде (1), но с иными функциями Х^Ре;) и /ц(11аг). Коэффициент дисперсии трассера "РЦ линейно зависит от критерия Пекле, а поправочный на действие гравитации множитель /ц (11а) (/ц(0) = 1) определяется как

М^^МШ ю

о

Здесь % — образ Фурье корреляционной функции % поля проницаемости К,

П (У - У") - {К. (У - У) К {У- У"))у.

На практике чаще всего используют экспоненциальную либо гауссовскую корреляционные функции. Для них интеграл (8) может быть подсчитан явно. Соответствующие зависимости /ц(й.а) приведены в таб. 1.

Рис. 7. Теоретические (пунктирные линии) и экспериментальные (сплошные линии) профили градиента плотности dp/dz и их огибающие. Результаты представлены для значений разности плотностей пресной воды и рассола Др = 100 кг/м3 (а) и Др — 200 кг/м3 (Ь).

Для проверки адекватности выведенной в предыдущих параграфах этой главы макроскопической модели в параграфе 2.3 проводится сравнение полученных на ее основе результатов с результатами тщательно проведенных А. Дж. Ландман вычислительных экспериментов. Показано, что теоретические и экспериментальные результаты хорошо согласуются друг с другом (рис. 7).

В завершающем вторую главу параграфе 2.4 обсуждается возможность практического использования полученных теоретических результатов и заостряется внимание на трудностях, которые могут возникнуть при переходе от рассмотрения слабонсоднородных сред к общему случаю. Наиболее существенная из них заключается в том, что дисперсионный потенциал F(Ra¡) = РЦ(Ra,)Ra, может оказаться на некотором интервале изменения Raí убывающей функцией безразмерного градиента плотности Ra¡. Вследствие этого задача, поставленная на основе полученного макроскопического уравнения, окажется некорректной. При этом встает проблема физически обоснованной регуляризации макроскопического уравнения. Вы-

]К[>к1)Я«

О Я»,

К*

Рис. 8. Зависимость 7 от Ла для простейшего реологического соотношения. Здесь (1 и £> -- коэффиценты молекулярной диффузии и дисперсии для случая трассера.

сказывается предположение о том, что следующие по порядку малости е члены, отброшенные при выводе макроскопического уравнения, окажутся его естественными регуляризаторами.

Для проверки этого предположения в третьей главе, завершающей диссертацию, рассматривается специальный случай одномерных слабонеоднородных сред, когда, во-первых, немонотонность дисперсионного потенциала Р(Лаг) заведомо имеет место, а, во-вторых, регуляризационные члены могут быть вычислены в явном виде.

В параграфе 3.1 формулируется исходная постановка задачи, строится макроскопическое уравнение общего вида и ставятся задачи на ячейке, определяющие коэффициенты этого уравнения.

В параграфе 3.2 демонстрируется, что удержание лишь главных по е членов в макроскопическом реологическом соотношении, связывающем средний поток примеси со средним градиентом концентрации, приводит к немонотонной по Ла; равновесной зависимости 3 = (рис. 8). Учет

следующих по порядку величины е членов в указанном реологическом соотношении позволяет регуляризовать его, приводя при этом к нелокальной как по времени, так и по пространству связи 3 с Ла;

3 - Зо + е

дЗ Жаг

)] + {еМЪн^МЕъ) | = 0. (9)

Рис. 9. Эволюция профиля плотности со временем для одномерной слабонеоднородной пористой среды. Профили представлены для безразмерных времен т = 1,5,20,40,75; г — подвижная координата.

Здесь ах, а2, > 0, /2 — монотонно возрастает. Для коэффициентов сц, аг и для функций /1, /2 получены явные выражения. Соотношение (9), совместно с уравнением сохранения примеси, составляет систему нелинейных уравнений, аналогичную той, что используется в так называемой теории фазового поля. Последняя активно развивается в последнее время и применяется для описания процессов солидификации/плавления, задач типа Хеле-Шоу, задач обработки изображений и т.д.

Для проверки работоспособности полученной регуляризованной модели массопереноса в параграфе 3.3 проводится сравнение полученных на ее основе результатов с результатами специально проведенного вычислительного эксперимента. Сравнение в целом указывает на адекватность описания полученной макроскопической моделью исследуемых процессов (рис. 9).

Далее, в параграфе 3.4 аналогия между макроскопической моделью массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости в слоистой среде и моделями теории фазового поля обсуждается более детально. В частности, выводится упрощенная модель эволюции концентрационного фронта, соотносящаяся с исходной так же, как соотносятся между собой упрощенная стефановская модель фазового перехода с общими уравнениями фазового поля.

В заключительном параграфе 3.5 очерчивается круг применимости полученных результатов, обсуждается возможность их обобщения и демонстрируется плодотворность отмеченной аналогии между построенной макроскопической моделью и уравнениями фазового поля. В частности, обнаруживается аналог известного в теории обработки изображений парадокса Перона-Малика состоящий в обострении со временем изначально гладкого концентрационного фронта.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построены макроскопические математические модели массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости в однородной пористой среде. Показано хорошее согласование полученных моделей с результатами известных лабораторных экспериментов.

2. Найдены коэффициентные зависимости этих моделей от управляющих параметров процесса. Показано, что их вид слабо зависит от внутренней структуры порового пространства.

3. Построены макроскопические математические модели массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости в микронеоднородной пористой среде. Коэффициент продольной дисперсии представлен в аналитической интегральной форме и явно вычислен для случайно-неоднородных сред с различными корреляционными функциями поля проницаемости. Показано хорошее согласование полученных моделей с результатами известных и специально проведенных вычислительных экспериментов.

4. Предложена процедура регуляризации немонотонной реологической зависимости дисперсионного потока от градиента концентрации. Показана аналогия получающейся таким образом макроскопической модели массопереноса известным уравнениям фазового поля.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Демидов, Д. Е. Осреднение уравнений фильтрации рассолов в микронеоднородных пористых средах / Д. Е. Демидов, А. Г. Егоров // Труды

Математического центра имени Н. И. Лобачевского. — Т. 16. — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2002. — С. 163174.

[2] Демидов, Д. Е. Обобщение закона Фика для фильтрации рассола при наличии высоких градиентов плотности / Д. Е. Демидов // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 25. — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2004. — С. 100101.

[3] Демидов, Д. Е. Влияние гравитационных сил на дисперсионное размазывание фронтов при фильтрации рассола в микронеоднородной пористой среде / Д. Е. Демидов, А. Г. Егоров // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Т. 27. — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2004. - С. 107-114.

[4] Egorov, A. G. On the interaction between gravity forces and dispersive brine fronts in micro-heterogeneous porous media / A. G. Egorov, D. E. Demi-dov, R. J. Schotting // Advances in Water Resources. — 2005. — January. — Vol. 28, no. l.-Pp. 55 68.

[5] On the interaction between gravity forces and hydrodynamic dispersion in heterogeneous porous media / R. Schotting, A. Landman, A. Egorov, D. Demidov // Eos Trans. AGU2005. - Vol. 86, no. 52. Fall Meet. Suppl., Abstract H51F-0436.

[6] Демидов, Д. E. Макроскопическая модель фильтрации и массопереноса в однородных пористых средах / Д. Е. Демидов // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. — Т. 31. — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2005. — С. 53-54.

[7] Демидов, Д. Е. Осредненное описание процессов разноплотностной фильтрации и массопереноса. 1. Уровень пор / Д. Е. Демидов, А. Г. Егоров // Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки. - 2005. Т. 147, № 3. - С. 91112.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В .И.Ульянова-Ленина Тираж 100 экз. Заказ 3/29

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 231-53-59,292-65-60

(

1

и

I

SM5~ '

- 5 4 1 !>

Введение

1 Макроскопическая модель фильтрации и массопереноса в однородных пористых средах

1.1 Постановка задачи.

1.2 Процедура гомогенизации.

1.3 Одномерные модели.

1.4 Решетчатая модель.

1.5 Модель идеального перемешивания

1.6 Сравнение с экспериментом.

1.7 Обсуждение результатов.

2 Макроскопическая модель фильтрации и массопереноса в микронеоднородных пористых средах

2.1 Постановка задачи и процедура гомогенизации.

2.2 Многомерные слабонеоднородные среды.

2.3 Сравнение с вычислительным экспериментом.

2.4 Обсуждение результатов .,.

3 Макроскопическая модель массопереноса в слоистых пористых средах

3.1 Постановка задачи и вывод макроскопических уравнений

3.2 Решение задачи на ячейке.

3.3 Сравнение с вычислительным экспериментом.

3.4 Фазовый переход в процессах массопереноса при фильтрации разноплотностной жидкости

3.5 Обсуждение результатов.

Список иллюстраций

Список таблиц

Безопасное захоронение химических и радиоактивных отходов является сегодня ключевой экологической проблемой. По общему мнению наиболее приемлемым методом конечного захоронения высокорадиоактивных, генерирующих тепло отходов является их размещение в подземных геологических формациях. Такой способ имеет ряд преимуществ перед наземным складированием. Геологические образования, такие как соляные формации, существовали на протяжении многих миллионов лет. Они не терпели существенных изменений на протяжении длительных периодов вре мени. Таким образом, они позволяют изолировать высокорадиоактивные отходы (с крайне продолжительными периодами полураспада) на время, превышающее 100 ООО лет. Более того, благодаря глубине залегания таких образований и малым скоростям фильтрации в них, радиоактивные изотопы при возможной утечке потеряют свою активность к тому времени,

I» когда они достигнут биосферы.

Подземные каменно-соляные формации имеют ряд преимуществ в качестве возможных хранилищ радиоактивных отходов [65]. Во-первых, каменная соль практически непроницаема в силу своих пластических свойств * и отсутствия трещиноватой пористости. Вследствие этого внутри каменно-соляных формаций практически отстутствует циркуляция подземных вод. Во-вторых, высокая теплопроводность позволяет рассеивать тепло, порождаемое высокорадиоактивными отходами.

В случае утечки из такого хранилища наиболее вероятным механизмом доставки загрязнений к поверхности является перенос подземными водами [59,01]. Следовательно, для каждого потенциального места захоронения должна быть проведена оценка последствий возможного выброса изотопов [74]. Такая оценка должна учитывать тот факт, что в подземных водах вблизи соляных формаций наблюдаются высокие концентрации соли (вплоть до предела насыщения NaCl), соответствующие большим значениям плотности (до 1200 кг/м3) [34]. При этом возникают большие градиенты концентрации. Так, например, вблизи Горлебенского соляного купола в Германиии наблюдалось изменение плотности в 150 кг/м3 на расстояниях менее 30 м [21]. Наличие больших градиентов концентрации вызывает вопрос о применимости в рассматриваемой ситуации классических линейных реологических соотношений, лежащих в основе стандартных моделей фильтрационного переноса примеси: (г) закона Дарси, связывающего скорость фильтрации и градиент давления, и (И) зависимости Фика между дисперсионным потоком примеси и градиентом концентрации.

В более общем виде проблема заключается в построении математических моделей фильтрации и массопереноса разноплотностных жидкостей, учитывающих наличие больших градиентов концентрации. Ее решение принципиальным образом должно зависеть от того, рассматривается ли неустойчивая (градиент плотности направлен против силы тяжести) либо устойчивая (градиент плотности сонаправлен силе тяжести) ситуация. В первом случае развитие неустойчивости приводит за счет процессов пальцеобразования к активному макроскопическому перемешиванию жидкостей; при этом концентрационные фронты размываются со скоростью, на много порядков превышающей предсказанную линейной теорией. Возможные подходы к моделированию таких процессов предложены в работах [12,13,56,60]. Вторая ситуация реализуется вблизи соляных формаций и представляет основной интерес с точки зрения оценки экологических рисков создания подземных хранилищ радиоактивных отходов. Именно она и будет рассматриваться в данной работе. Ранние лабораторные эксперименты [46,66,68] качественно подтвердили тот физически ожидаемый факт, что увеличение градиентов концентрации при устойчивом расположении высококонцентрированного рассола и пресной воды приводит как к существенному снижению скорости размазывания концентрационных фронтов, так и к некоторому ухудшению фильтрационных свойств среды. В целом это дает отрицательный ответ на вопрос о возможности использования классических линейных реологических соотношений. Последующие тщательные лабораторные эксперименты [18,35,39,43,51] подтвердили это заключение. Авторы пришли к выводу, что наблюдаемые эффекты вызваны стабилизирующим влиянием силы тяжести и могут быть учтены зависимостью коэффициентов дисперсии и фильтрации от градиента концентрации. Вопрос о виде соответствующей зависимости, однако, до сих пор остается открытым. Наиболее популярная полуэмпирическая формула Hassanizadeh-Leijnse [28] i + p\j\)j = -mP, связывающая между собой величину дисперсионного потока примеси J, градиент плотности Vp и заданный (классический) тензор дисперсии В, требует экспериментального определения в каждом конкретном случае параметра модели (3. В свою очередь, этот параметр оказывается [64,72] зависящим от скорости фильтрации и других параметров среды и процесса.

Подчеркнем, что указанные лабораторные эксперименты имели дело с однородными пористыми средами. Подавление дисперсивности здесь происходит уже на уровне пор. Аналогичные, но более масштабные эффекты имеют место и в реальных неоднородных пористых средах. Дисперсив-ность потока, вызванная неоднородностью среды, и здесь должна стабилизироваться гравитационными силами. Результаты, полученные в [76,77] на основе методов стохастической гидрогеологии, подтвердили это предположение. Для частного случая слабонеоднородных сред с экспоненциальной корреляционной функцией поля проницаемости были получены зависимости продольного [76] и поперечного [77] коэффициентов дисперсии от градиента концентрации. Полученные результаты, однако, нуждаются как в экспериментальной проверке, так и в обобщении на другие типы неодно-родностей.

Изложенное выше определяет цель диссертационной работы. Она заключается в выводе макроскопических уравнений, адекватно описывающих процессы фильтрационного переноса примеси при наличии больших градиентов плотности в устойчивой ситуации. Вообще говоря, выделяются два этапа такого исследования. На первом этапе необходимо провести осреднение базовых уравнений с масштаба пор до масштаба лабораторного эксперимента. Второй этап исследования предполагает осреднение уравнений фильтрации и массопереноса с масштаба лабораторных экспериментов (однородные пористые среды) до масштаба полевых испытаний (микронеоднородные среды). На обоих этапах средством построения макроскопических уравнений служит метод осреднения дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами (метод гомогенизации). Он был разработан в 70-х годах прошлого века в работах Н. С. Бахвалова, С. М. Козлова, В. В. Жикова, О. А. Олейник, J. L. Lions [2,11,17,20], и с тех пор неоднократно применялся для анализа процессов, происходящих в пористых средах [4,15,38]. Процессы разноплотностной фильтрации, однако, с этих позиций до сих пор не рассматривались.

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Она состоит из введения, трех глав и списка использованных источников, содержит 137 страниц сквозной нумерации, в том числе 30 рисунков, 2 таблицы. Список использованной литературы насчитывает 77 наименований.

1. Барепблаттп, Г. И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. — Москва: Недра, 1972. - 288 с.

2. Бахвалов, Н. С. Осреднение дифференциальных операторов с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами / Н. С. Бахвалов // ДАН СССР. 1975. - Т. 221, № 3. - С. 249-252.

3. Бахвалов, Н. С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. — Москва: Наука, 1984. — 352 с.

4. Беляев, А. Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации / А. Ю. Беляев. — Москва: Наука, 2004. — 200 с.

5. Козлов, С. М. Осреднение дифференциальных операторов с почти периодическими быстроосциллирующими коэффициентами / С. М. Козлов // ДАН СССР. 1977. - Т. 236, № 5. - С. 1068-1071.

6. Котохов, В. М. Моделирование распространения тяжелых жидких загрязнений в слоистом водоносном пласте / В. М. Конюхов, М. Г. Храмченков, А. Н. Чекалин // ВАНТ. Сер.: Математическое моделирование физических процессов. — 1998. — Т. 4. — С. 36-43.

7. Котохов, В. М. Фильтрационно-диффузионная модель миграции рассолов в неоднородных водоносных пластах / В. М. Кошохов, М. Г. Храмченков, А. Н. Чекалин // МЖГ. 2004. - 2. - С. 140-151.

8. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — Изд. 4-е, испр. изд. — Москва: Наука, 1973. 736 с.

9. Панфилов, М. Б. Осредненные модели фильтрационных процессов с неоднородной структурой / М. Б. Панфилов, И. В. Панфилова. — Москва: Наука, 1996.

10. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. — Москва: Наука, 1978. — 592 с.

11. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов / В. В. Жиков, В. М. Козлов, О. А. Олейник, Ха Тьен Нгоан // УМЕ. 1979. - Т. 34, № 5. - С. 65-133.

12. Anderson, S. J. An experimental investigation of high concentration displacements in saturated porous media: Ph.d. thesis / The university of Western Australia. — 1985.

13. Bear, J. Dynamics of fluids in porous media / J. Bear. — New York: Elsevier, 1972.

14. Bensoussan, A. Asymptotic Analysis for Periodic Structures / A. Bensoussan, J. L. Lions, G. Papanicolau. — Amsterdam: North-Holland, 1978.— 301 p.

15. Boehme, J. Grundwasserbewegung im Deckgebirge liber dem Salzstock Gorleben, Datenermittlung, Interpretation und Modellrechnungen: Report KWA 5107/3 / J. Boehme. — Hanover: Federal Institute for Geosciences and Natural Resources, 1985.

16. Caginalp, G. The dynamics of a conserved phase field system — Stefanlike, Hele-Shaw, and Cahn-Hilliard models as asymptotic limits / G. Caginalp // IMA Journal of Applied Mathematics. — 1990.— Vol. 44, no. 1.— Pp. 77-94.

17. Caginalp, G. Phase Field methods for interfacial boundaries / G. Caginalp, P. C. Fife // Phys. Rev. 1986. - Vol. B, no. 33. - Pp. 7792-7794.

18. Cross-correlated random field generaiotn with the direct fourier transform method / M. J. L. Robin, A. L. Gutjar, E. A. Sudicky, J. L. Wilson // Water Resources Research. 1993. - Vol. 29, no. 7. - Pp. 2385-2397.

19. Dagan, G. Solute transport in heterogeneous porous formations, / G. Da-gan // Journal of Fluid Mechanics. — 1984.- Vol. 145. — Pp. 151-177.

20. Dagan, G. Lagrangian analysis of transport in heterogeneous formations under transient flow conditions / G. Dagan, A. Bellin, Y. Rubin // Water Resources Research. 1996. - Vol. 32, no. 4. — Pp. 891-899.

21. Egorov, A. G. On the interaction between gravity forces and dispersive brine fronts in micro-heterogeneous porous media / A. G. Egorov,D. E. Demidov, R. J. Schotting // Advances in Water Resources. — 2005. — January. — Vol. 28, no. 1. Pp. 55-68.

22. Experimental study of brine transport in porous media: RIVM Report 728514005 / S. M. Hassanizadeh, A. Leijnse, W. J. de Vries, R. A. M. Stap-per. — Bilthoven, The Netherlands: Delft University of Technology, 1990.

23. Fein, E. D3f — ein Programmpaket zur Modellierung von Dicht-estroinungen: Tech. Rep. GRS-139 / E. Fein. — Braunschweig, Germany: GRS, 1998.

24. Fife, P. C. Models for phase separation and their mathematics / P. C. Fife // Electronic Journal of Differential Equations. — 2000.— Vol. 2000, no. 48. Pp. 1-26.

25. Fife, P. C. Interfacial dynamics for thermodynamically consistent phase field models with nonconserved order parameter / P. C. Fife, O. Penrose // Electronic Journal of Differential Equations. — 1995. — Vol. 16. — Pp. 1-49.

26. Gelhar, L. W. Stochastic Subsurface Hydrology / L. W. Gelhar. — Prentice Hall, 1993. 390 p.

27. Gelhar, L. W. Three-dimensional stochastic analysis of macrodispersion in aquifers / L. W. Gelhar, C. L. Axness // Water Resources Research. — 1983. Vol. 19, no. 1. - Pp. 161-180.

28. Giesel, W. Evaluation of groundwater salinity from well logs and conclusions on flow of highly saline water: Report 11656/83 / W. Giesel, K. Fielitz. — Hanover: Federal Institute for Geosciences and Natural Resources, 1983.

29. Hassanizadeh, S. M. A non-linear theory of high-concentration-gradient dispersion in porous media / S. M. Hassanizadeh, A. Leijnse // Advances in Water Resources. 1995. — Vol. 18, no. 4.- Pp. 203-215.

30. High order ENO schemes applied to two- and three- dimensional compressible flow / C.-W. Shu, T. A. Zang, G. Erlebacher et al. // Applied Numerical Mathematics. 1992. - Vol. 9. - Pp. 45-71.

31. Hohenberg, P. C. Theory of dynamical critical phenomena / P. C. Hohen-berg, В. I. Halperin // Rev. Modern Phys.- 1977. Vol. 49.— Pp. 435479.

32. Hornung, U. Homogenization and Porous Media / U. Hornung. — New York: Springer, 1997. 279 p.

33. Jiao, C.-Y. An experimental study of miscible displacements in porous media with variation of fluid density and viscosity / C.-Y. Jiao, H. Hotzl // Transport in Porous Media. — 2004. — Vol. 54. — Pp. 125-144.

34. Johanssen, K. On the validity of the Boussinesq approximation for the Elder problem / K. Johanssen // Computational Geosciences. — 2003. — Vol. 7, no. 3.-Pp. 169-182.

35. Kapoor, V. Transport in heterogeneous aquifers 1. Dynamics of concentration fluctuations / V. Kapoor, L. W. Gelhar // Water Resources Research.- 1994.-Vol. 30, no. 6.- Pp. 1775-1788.

36. Kapoor, V. Transport in heterogeneous aquifers 2. Predictions and observations of concentration fluctuations / V. Kapoor, L. W. Gelhar // Water Resources Research. 1994. - Vol. 30, no. 6. - Pp. 1789-1801.

37. Kempers, L. J. Т. M. The dispersion zone between fluids with different density and viscosity in a heterogeneous porous medium / L. J. Т. M. Kempers, H. Haas // Journal of Fluid Mechanics. 1994. - Vol. 267. - Pp. 299-324.

38. Kichenassamy, S. The Perona-Malik paradox / S. Kichenassamy // SIAM Journal of Applied Mathematics. — 1997. — October. — Vol. 57, no. 5. — Pp. 1328-1342.

39. Kitanidis, P. K. Introduction to GEOSTATISTICS: Application in Hy-drogeology / P. K. Kitanidis. — New York: Cambridge University Press, 1997.

40. Krupp, H. K. Density effects in miscible displacement experiments / H. K. Krupp, D. E. Elrick // Soil Science. 1969. - Vol. 107, no. 5. -Pp. 372-380.

41. Landman, A. J. Analysis of physical mechanisms underlying density-dependent transport in porous media: Ph.d. thesis / Technische Universiteit Delft. 2005.

42. Leroy, C. Tracer dispersion in stratified porous media: Influence of transverse dispersion and gravity / C. Leroy, J. P. Hulin, R. Lenormand // Journal of Contaminant Hydrology. — 1992. — Vol. 11. — Pp. 51-68.

43. Lunati, I. Macrodispersivity for transport in arbitrary nonuniform flow fields: Asymptotic and preasymptotic results / I. Lunati, S. Attinger, W. Kinzelbach // Water Resources Research. — 2002, — Vol. 38, no. 10.— P. 1187.

44. Moser, H. EinfluC der Salzkonzentration auf die hydrodynamische Dispersion im porosen Medium: Mitteilung nr. 128 / Technische Universitat Berlin. 1995.

45. Multigrid Course / A. Brandt, W. Joppich, J. Linden et al. GMD-690. -St. Augustin: Gesellschaft fiir Mathematik und Datenverarbeitung, 1992.

46. Novick-Cohen, A. On the viscous Cahn-Hilliard equation / A. Novick-Cohen // Material Instabilities in Continuum and Related Mathematical Problems / Ed. by J. M. Ball. 1988. - Pp. 329-342.

47. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing / W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. — second edition. — New York: Combridge University Press, 1992.

48. On the interaction between gravity forces and hydrodynamic dispersion in heterogeneous porous media / R. Schotting, A. Landman, A. Egorov, D. Demidov // Eos Trans. AGU.- 2005.- Vol. 86, no. 52.- Fall Meet. Suppl., Abstract H51F-0436.

49. Otto, F. Evolution of microstructure in unstable porous media flow: a re-laxational approach / F. Otto // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1999. - Vol. 52. - Pp. 873-915.

50. Perona, P. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion / P. Perona, J. Malik // IEEE Transactions on Pattern Aanalysis and Machine Intelligence. 1990. - Vol. 12. - Pp. 629-639.

51. Ritzi, R. W. Behavior of indicator variograms and transition probabilities in relation to variance in lengths of hydrofacies / R. W. Ritzi // Water Resources Research. 2000. - Vol. 36, no. 11.- Pp. 3375-3381.

52. Roxburg, I. S. Geology of high-level nuclear waste disposal / I. S. Rox-burg. — London: Chapman and Hall, 1987.

53. Ruith, M. Miscible rectilinear displacements with gravity override. Part 1. Homogeneous porous medium / M. Ruith, E. Meiburg // Journal of Fluid Mechanics. 2000. - Vol. 420. - Pp. 225-257.

54. Sander, W. NaCl crystallization at the MgCl2/NaCl solution boundary — a possible natural barrier to the transport of radionuclides / W. Sander, H. J. Herbert // Mineralogical Magazine. 1985. - Vol. 49. — Pp. 265-270.

55. Schotting, R. J. Mathematical aspects of salt transport in porous media: Ph.D. thesis / Delft University of Technology. The Netherlands, 1991.

56. Schotting, R. J. High-concentration-gradient dispersion in porous media: experiments, analysis and approximations / R. J. Schotting, H. Moser,S. M. Hassanizadeh // Advances in Water Resources. — 1999. — Vol. 22, no. 7. Pp. 665-680.

57. Site selection factors for repositories of solid high-level and alpha-bearing wastes in geological formations: Technical Report 177. — Vienna: International Atomic Energy Agency, 1977.

58. Slobod, R. L. The effects of gravity segregation in laboratory studies of miscible displacement in vertical unconsolidated porous media / R. L. Slobod, W. E. Howlett // Society of Petroleum Engineers Journal — 1964. — Vol. 4. Pp. 1-8.

59. Spitz, K. Dispersion in Porosen Medien: EinfluB von Inhomogenitiaten und Dichteunterschieden: Mitteilungen heft 60 / Institut fiir Wasserbau. — 1985.

60. Starr, J. L. Solute dispersion in saturated soil columns / J. L. Starr, J. Par-lange // Soil Science. 1976. - Vol. 121, no. 6. - Pp. 364-380.

61. Temporal behavior of a solute cloud in a heterogeneous porous medium 1. Point-like injection / M. Dentz, H. Kinzelbach, S. Attinger, W. Kinzel-bach // Water Resources Research. — 2000. — Vol. 36, no. 12. — Pp. 35913604.

62. Thiele, M. Gravity affected lateral dispersion and diffusion in a stationary horizontal porous medium shear flow / M. Thiele // Transport in Porous Media. 1997. - Vol. 26. - Pp. 183-204.

63. Trottenberg, U. Multigrid / U. Trottenberg, C. Oosterlee, A. Schiiller.— London: Academic Press, 2001.— 631 p.

64. The viscous Cahn-Hilliard equation. Part I: computations / F. Bai, С. M. Eliot, A. Gardiner, A. M. Stuart // Nonlinearity. — 1995. — Vol. 8. -Pp. 131-160.

65. Welty, C. Stochastic analysis of the effect of fluid density and viscosity variability on macrodispersion in heterogeneous porous media / C. Welty, L. Gelhar // Water Resources Research.— 1991.— Vol. 27, no. 8.— Pp. 2061-2075.

66. Welty, C. Simulation of large-scale transport of variable density and viscosity fluids using a stochastic mean model / C. Welty, L. Gelhar // Water Resources Research. 1992. - Vol. 28, no. 3. - Pp. 815-827.

67. Welty, C. Stochastic analysis of transverse dispersion in density-coupledtransport in aquifers / C. Welty, A. C. Kane III, L. J. Kauffman // Water Resources Research. — 2003. — Vol. 39, no. 6. — Art. No. 1150.