автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование негауссовых случайных процессов на основе моментных функций высших порядков

На правах рукописи

Кузнецов Владимир Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕГАУССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

804604542

Самара 2010

004604542

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Кудииов Василий Александрович

Защита состоится «29» июня 2010 г., в 9 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 ГОУ ВПО Самарский государственный технический университет (СамГТУ) по адресу: г. Самара, ул. Галактионовская, 141, корпус №6, аудитория 28

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: г. Самара, ул. Первомайская, 18

Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 443100, г. Самара, Молодогвардейская ул. 244, СамГТУ, главный корпус, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.217.03; факс: (846) 278-44-00; e-mail: D21221703@list.ru

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор,

Радченко Владимир Павлович

Заслуженный работник высшей школы РФ, доктор технических наук, профессор Прохоров Сергей Антонович

Ведущая организация

Самарский государственный университет, г. Самара.

Автореферат разослан «_.. мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.217.03

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Интерес к стохастическому описанию всевозможных динамических систем закономерен и обусловлен возрастающими требованиями к прогнозированию поведения таких систем. Наиболее разработанным и часто применяемым методом исследования стохастических систем является так называемое «корреляционное решение», суть которого заключается в том, чтобы для неизвестной случайной функции получают моменты первого и второго порядков - математическое ожидание случайного процесса (СП) и корреляционную функцию (КФ2) соответственно. Корреляционное решение является точным решением лишь тогда, когда исследуемый процесс является нормальным (гауссов процесс), а в других случаях - оно дает лишь приближение к решению. Для негауссовых процессов актуальной является разработка методов уточнения корреляционного приближения.

При анализе стохастических задач важной составной частью исследований является получение необходимого статистического материала (выборки), необходимого для нахождения оценок требуемых параметров и моментов случайных функций (СФ). Обычно выборка получается путем измерения («оцифровки») некоторых величин, связанных с реализациями случайных процессов.

Современные измерительные средства, позволяющие достаточно просто получать в натурном эксперименте данные о СП, сами по себе являются некоторыми фильтрами, искажающими (преобразующими) статистические свойства реальных СП. В некоторых случаях эти искажения незначительны, но иногда, во избежание больших ошибок, эти искажения нужно учитывать. Одно из наиболее распространенных преобразований, используемых при обработке реализаций случайного процесса - нахождение так называемого «скользящего среднего» значения реализации, также называемой «осреднением реализации».

Разработка способов учета искажений статистических свойств реальных СП, появляющихся в процессе измерений (преобразования) СП, является также весьма актуальной проблемой.

Целью диссертационной работы является построение математических моделей негауссовых случайных процессов, позволяющих получать необходимые уточнения (моменты высших порядков) к корреляционному приближению, исследование и анализ на их основе преобразований СП при помощи операции интегрального осреднения с целью корректировки моментных функций различного порядка преобразованного СП.

Для достижения данной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- разработка математической модели для установления связи характеристик ос-редненного случайного процесса, полученного путем нахождения интегрального среднего значения исходного (реального) СП, с вероятностными характеристиками самого реального случайного процесса;

- исследование корректности найденных решений, нахождение условий, при которых данные решения адекватно отражают реальные свойства СП;

- исследование свойств корреляционных функций третьего (КФЗ) и л-го (КФл) порядков и их использование в качестве поправок к корреляционному приближению;

- разработка методов описания негауссовых случайных процессов, учитываю-1"'

щих информацию о моментах высшего порядка и позволяющих существенно обобщить и уточнить решения задач в корреляционном приближении;

- разработка программного комплекса для моделирования негауссовых СП на основе моментных функций высших порядков.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

- разработаны новые математические модели описания стационарных негауссовых процессов, позволяющие (в отличии от существующих методов) уточнить и обобщить корреляционное решение задачи за счет использования моментных функций более высокого порядка;

- разработаны математические модели учета погрешностей корреляционных функций любого порядка, возникающие при преобразовании осреднения стационарной случайной функции; получены расчетные формулы, позволяющие корректировать аналитические выражения корреляционных функций стандартных типов, в зависимости от параметра осреднения; проведено изучение области изменения параметра осреднения стационарных случайных процессов (ССП) и установлена допустимая область, в которой модификация корреляционных функций является корректной;

- впервые выполнен детальный математический анализ свойств корреляционных функций л-го порядка и установлено иерархическое строение множества корреляционных функций различных порядков; на основе свойства иерархической структуры КФя разработан эффективный способ нахождения корреляционных функций произвольного порядка с помощью экспериментального материала (выборки);

- предложена методика использования информации, предоставленной корреляционными функциями высших порядков, для нахождения совместного закона распределения ординат {Д/|), хи2),..., Х(1„)} стационарного случайного процессаЩ).

- разработан пакет прикладных программ, реализующий быстрое и эффективное получение информации о корреляционных функциях произвольного порядка, и корректировки данных, прошедших преобразование осреднения, который апробирован на конкретных данных, связанных с потреблением электрической нагрузки промышленных предприятий, рассмотрены конкретные примеры из практики, показывающие преимущества разработанного в диссертационной работе подхода.

Практическая и научная ценность представленной работы заключается в применении новых подходов к описанию стационарных случайных процессов, являющихся негауссовыми. Предложенная методика позволяет (в отличие от существующих методов) уточнить корреляционное решение задачи за счет использования моментных функций более высоких порядков.

Повышение точности и адекватности решения поставленных задач достигается путем разработанной методики определения статистических моментов высших порядков. Это позволяет достаточно хорошо аппроксимировать совместные законы распределения ординат искомой ССФ путем представления совместной плотности распределения частичной суммой некоторого бесконечного ряда.

Исследовано влияние операции осреднения ССП на статистические свойства получаемых затем оценок параметров случайных функций и предложены достаточно простые формулы и соотношения для исправления погрешностей, вносимых измерительной аппаратурой. Применение этих соотношений показывает их высокую эффективность в инженерной практике статистических расчетов.

Разработанный пакет прикладных программ позволяет использовать полученные в работе результаты, обеспечивая тем самым более полное описание встречающихся на практике ССП, а также получать все необходимые данные о реальных случайных функциях из достаточно представительной выборки.

Достоверность основных полученных результатов подтверждается следующим:

- корректностью вводимых гипотез и допущений, использующихся при построении математической модели, и строгостью в использовании математического аппарата;

- сравнением полученных теоретических результатов и следствий из них с известными аналитическими решениями, тестовыми примерами и имеющимися экспериментальными данными;

- использованием полученных теоретических моделей для численного моделирования реальных стохастических систем, встречающихся в инженерной практике, в частности, при расчете случайных электрических нагрузок;

- преемственностью полученных новых теоретических и практических результатов с известными сведениями, когда существующие классические знания являются частным случаем новых теоретических представлений.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- математические модели описания стационарных негауссовых процессов, позволяющие уточнить и обобщить корреляционное решение задач за счет использования моментных функций более высокого порядка;

- методика оценки погрешностей преобразования осреднения ССП, приводящих к погрешностям в определении корреляционной функции я-го порядка;

- методика исследования свойств корреляционных функций высших порядков, взаимосвязи корреляционных функций различных порядков с целью уточнения информации о статистических свойствах ССП, не являющихся гауссовыми;

- методика аппроксимации законов распределения ординат ССП на основе использования корреляционных функций высших порядков;

- программное и математическое обеспечение и вычислительный комплекс обработки выборочных данных для получения корреляционных функций высших порядков и учета погрешностей осреднения ССП.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты, методы, выводы и рекомендации диссертационной работы использованы в учебном процессе ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» на кафедре «Прикладная математика и информатика», в ЗАО «ОРГНЕФТЕХИМЭНЕРГО» г. Самары (предприятие ОАО «Сызранский НПЗ») и в ООО «Меридиан Групп» г. Самара.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались:

- на 8-й Международной конференции (3-го Международного форума) молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2007 г.);

- на 5-й Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2008 г.);

- на 9-й Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2008 г.);

- на 2-й Международной научно-практической конференции «Современные проблемы гуманитарных и естественных наук» (г. Москва, 2010 г.);

- на Х-й Международной конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» (г. Воронеж, 11-12 февраля, 2010 г.);

- на VIII Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования в системе образования» (г. Тамбов, 26 февраля, 2010 г.).

- на 7-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ (из них 3 работы в изданиях из перечня ВАК).

Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, принадлежат в равной степени постановки задач, а также результаты выполненных исследований. Лично автору принадлежит также разработка практических приложений, алгоритмизация и разработка программного комплекса.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений, в которых приведены используемые экспериментальные данные и акты внедрений. Общий объем диссертации 241 страниц, включая 86 рисунков и 5 таблиц. Библиографический список содержит 162 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследуемых проблем, сформулированы цели, основные научные и прикладные задачи диссертационной работы. Аргументируется научная новизна и практическая значимость работы, приводятся основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводится аналитический обзор и постановка задач исследования. Рассмотрение стохастических проблем в прикладном смысле выделено как основная цель работы.

В пункте 1.1 кратко анализируются возникающие во многих областях практической деятельности стохастические задачи, история их становления, заслуги отечественных ученых, таких как А.Н. Колмогоров, B.C. Пугачев, И.Н. Синицын, Р.Л. Стратонович, В.И. Бунимович, В.И. Тихонов, А.Н. Малахов и многих других в создании и развитии раздела знаний - «Стохастические системы».

Отмечены ученые и научные школы, имеющие большие заслуги в исследовании стохастических систем в различных областях. Так например, в механике сплошных сред известны школы, сформировавшиеся под влиянием работ В.В. Болотина, В.А. Ломакина, Ю.П. Самарина, Ю.В. Соколкина, В.П. Радченко и многих других.

В разработке стохастических систем для моделирования электроснабжения промышленных предприятий отмечены работы Э.Г. Куренного, А.К. Шидловского, Г.М. Каялова, С.Д. Волобринского, Г.Я. Вагина и других.

Изложены аспекты корреляционного решения задач, как наиболее употребляемого в настоящее время математического инструмента. Отмечено, что простота модели в корреляционной теории зачастую идет в ущерб точности решения. Априорное предположение о «гауссовости» исследуемого СП допустимо лишь в частных случаях. Предположение же о том, что исследуемый СП не является нормальным, вносит несоответствие в годами налаженные инженерные схемы и документацию, которые были ориентированы на использование только корреляционной

теории.

Таким образом, в современных условиях идеализация классической корреляционной теории уже не всегда соответствует требованиям к точности решения стохастических задач. В предлагаемой диссертационной работе для негауссовых стохастических систем предлагается уточнять корреляционную теорию нахождением корреляционных функций высших (чем второй) порядков:

К(и, /2,..., Г„) = М[(Д/,)-т{и)) (Х((2) -т((2)) - (Д/„)-т(Г„))], где Х(12), ...,Х(1„)} - совокупность сечений случайной функции Х(1).

В пункте 1.2 рассмотрена проблема искажения корреляционных функций процедурой регистрации СП. Формулируется общая постановка задачи учета искажения стохастических характеристик СП, прошедшего преобразование осреднения.

В пункте 1.3 предлагается план построения приближения для законов распределения ординат негауссова СП, основанный на использовании корреляционных функций высших порядков.

Во второй главе рассмотрены основные аспекты первичной обработки данных, применительно к теории случайных функций в электроэнергетике. Рассмотрены реальные модели случайных процессов потребления электрической нагрузки промышленными предприятиями, сформулированы основные теоретические проблемы, возникающие при моделировании случайных процессов, и пути их преодоления.

В пункте 2.1 в строгом соответствии с нормами математической статистики исследуются различные статистические гипотезы (о нормальности СП, о стационарности СП). Анализируются различные модели, определяющие структуру СП, и эти модели апробируются на имеющемся экспериментальном материале. Для каждой модели составляется методика выделения стационарной составляющей случайного процесса.

Результаты статистической обработай позволяют утверждать, что, вообще говоря, процесс изменения электрической нагрузки не является стационарным в широком смысле. Это можно объяснить тем, что потребление электрической нагрузки зависит от многих факторов, не все из которых имеют стационарный характер (сезонность, сменность работы, нестационарность отдельных производственных операций и т.д.). Отмечается, что и в других стохастических системах часто можно встретить ситуации, когда исследуемый процесс не является стационарным. В этом случае становится важной возможность представления случайных процессов в аналитическом виде, содержащем стационарные случайные функции. Результаты статистических исследований позволяют утверждать, что для случайного процесса потребления электрической нагрузки такие представления могут иметь место.

Проверка случайных функций на нормальность для разных моделей показала, что в некоторых случаях можно считать их нормальными; тем не менее, в целом это утверждение не имеет твердой статистической обоснованности. Это обстоятельство делает актуальной задачу уточнен™ корреляционного решения стохастических задач, по крайней мере, для расчета и проектирования систем электроснабжения.

В пункте 2.2 предложена методика определения оценки корреляционной функции стационарного случайного процесса с использованием методов спектрального анализа. Кроме большей точности, по сравнению с традиционными способами,

данная методика позволяет найти также и функцию спектральной плотности. Здесь также предложены математические модели для выделения стационарной составляющей процессов потребления электрической нагрузки.

В третьей главе изучается изменение вероятностных свойств случайных процессов, прошедших преобразование осреднения.

В пункте 3.1 анализируется математическая конструкция одного из аналого-цифровых преобразований ССП при его регистрации, которое имеет вид

. 1+е

(1)

где ДО - реальная (измеряемая) СФ, Уд (О - интегральное среднее от ДО за интервал времени в с переменной точкой и Функция Уд (/) называется осредненным или сглаженным СП. Имеющаяся всегда возможность изменять в (параметр осреднения) вносит тем самым коррективы в конструкцию преобразования (1).

Обычно на практике известны вероятностные свойства случайной функции Ув(/), которые получены после обработки данных, согласно (1). Свойства же реальной случайной функции ДО неизвестны. Возникает задача определения (пересчета) статистических характеристик реального ССП ДО по известным характеристикам осредненного ССП Ув (/). Так как математическое ожидание (постоянная величина) отрабатывается преобразованием (1) без искажений, то рассматривается искажение корреляционной функции К(т) ССП ДО-

В пункте 3.2 при помощи (1) получено разностное уравнение К(т-в)-2К(т) + К(т+ в) = в2К"в{т) для определения КФ2 К(т) по известной КФ2 К0(г) для ССП Уо(1), решение которого имеет вид:

К(т) = 02^пК"0(т + п0). (2)

И=1

Решение (2) по сути является решением обратной задачи, когда по известной характеристике выходного сигнала динамической (стохастической) системы определяется (восстанавливается) входная характеристика системы. Поэтому требуется проверка корректности решения (2). Частным случаем (2) является искажение данным линейным преобразованием дисперсии (г= 0) некоторого сечения ССП ДО-

В пункте 3.3 рассмотрены преобразования стандартных видов КФ2 процедурой осреднения (1), используемых в различных приложениях при прогнозировании случайных процессов. Стандартными считаются следующие КФ2:

Кв(т) = а20е~а1т1, (3)

Кв(т) = а2ее-а1г1 со5/?г, (4)

/

Кв(т) = а2е~аМ со? (1т + —йп /3\т\ ч Р

(5)

Кв{т) = о2ве-а^(\+а\г\), (6)

Кв(т) = (тве

соб/ЗГ - Iт I

(7)

Кв{т) = о20е-а^{\-сс\т\). (8)

В (2)- (8) считается, что а> 0, /?> 0.

Пусть, например, КФ2 осредненного процесса Y0 (/) имеет вид (4). Тогда при помощи соотношений (2) и (4), получим:

К(т) = D( cos/?r + с sin Р \ т \)е~т, (9)

где обозначено:

а = (l + е~2х ] cos у - 2е~х, b = {\- е'2х ) sin у,

с =

2 xya-(x2-y2)b 2

j-z-тт-d = {\- 2е cos у+с )

(x2-y2)a + 2xyb х '

Выражение для отношения корреляционных функций будет иметь вид:

(10)

b-OKi) Uд

Соотношение (10) может быть источником поправочных коэффициентов для исправления погрешности осреднения.

Из (10) легко получить отношение дисперсий.

AY0) (jr2-/)r(l+e-2x)cos^-2e-Il + 2iy(l-e-ix)sin>

—- = я(х,у) = е х-----;-—-•

(\-2е-хы$у + е-2х)

В пункте 3.4 предлагается методика проверки корректности решения (2), основанная на свойствах КФ2. Не всякая функция (2), являющаяся решением разностного уравнения, будет на самом деле корреляционной функцией какой-то ССФ. Она, кроме того, должна удовлетворять условиям: 1) К{0) > 0, 2) К(- г) = К(т), а также,

. +СО

3)|K(r)j < Х(0), 4)S(a>) = — Г e'jmK(r)dr > 0. (11)

2 к i

—СО

Выбор физически реализуемых решений (2) основывался на использовании условий (11). Эта задача впервые была рассмотрена для КФ2 стандартных видов, а именно, найдены области допустимых значений параметра осреднения в, которые проиллюстрированные графически.

Так, например, если осредненная корреляционная функция имеет вид (4), то условие сохранения свойств (11) после преобразования (1), приводит к системе неравенств относительно параметра осреднения

|cos /?г + с sin /? | г |j < еа,А, х[(х2 - y2)a + 2xybj> у\2хуа-(х2 -y2)b\,

некоторые решения которой для конкретных значений параметров а и /3 изображены на рис. 1.

В пункте 3.5 полученные общие теоретические результаты применяются для одной из задач, важной для расчетов электрических нагрузок - для вычисления расчетного максимума Р„ нагрузки:

Рт~ Рср + Р с,

где Рср - среднее значение стационарной электрической нагрузки P(t) (для примера

оно взято равным 100 квт.), а2 - дисперсия нагрузки. ¡5 - так называемая кратность меры рассеяния.

15 2» 25 30

0(л=О.4,^=1) в (а=1, /3—1)

Рисунок 1 - Области допустимых значений в

В частности, если конкретная КФ2 осредненного процесса равна

Кв{г) = 1500е-°'41" cos 0,7т и мера рассеяния взята равной 1,73, то расчетный максимум Ртд для осредненной нагрузки Рд (/), равен:

Ртв= 100+ 1,73^1500= 167.

Учитывая искажения при осреднении КФ2, соотношение для вычисления расчетного максимума Рт процесса P(t) будет выглядеть так:

100 +

./l 500е~°,4в Г{(0,4£)2 -(0,1в)2)а + 0,56в2Ь

1 73-1--------:

1 _ /л па\ ■ „-».ее

1 - 2е cos (0,16) + е~'

где

а = (1 + е"0'8") cos (0,1в) - 2е^6, Ь = (l - е"0'8* ) sin (0,70). На рис. 2 показано изменение относительной погрешности

8{9) = \Рт0-Рп\1Рт

т dm

0.025

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 20.5 21.0 21.5

Рисунок 2 - Изменение относительной погрешности для расчетного максимума

при разных величинах в для приведенного примера. Для других корреляционных функций относительная погрешность 8 (0), зависящая от параметра осреднения в,

может достигать величин равных 0,6 при больших значениях параметра осреднения.

В примерах, рассмотренных в главе 3, показано также завышение расчетной дисперсии при игнорировании погрешностей осреднения. Это завышение может быть значительным и приводит к неоправданному перерасходу материальных затрат, связанных, например, с увеличением площади сечения электрических проводников.

В четвертой главе рассматриваются негауссовы ССП и вводятся корреляционные функции произвольного порядка.

В пункте 4.1 вводятся корреляционные функции третьего порядка, указываются способы их получения, их роль для получения более полной информации о случайном процессе.

В пункте 4.2 исследуются корреляционные функции третьего порядка. Подробно обсуждаются их свойства с целью установления взаимосвязи корреляционных функций разных порядков. Устанавливается глубокая связь между корреляционными функциями, например, второго и третьего порядков. Знание КФ2 К(т) позволяет получить семейство линий уровня КФЗ К(а, ß), которые имеют вид:

К(а) + K(ß) + K(ß-a) = const. (12)

Аналогичные соотношения выполняются и для КФ других порядков. Основываясь на данной иерархии корреляционных функций, в работе предложен новый метод обработки статистических данных, основанный на использовании понятия линий уровней для КФл и алгебраических свойств самой КФ«. Этот метод позволяет минимизировать объем необходимых вычислений для определения оценки КФя при наличии представительной выборки реализаций ССП. Например, для нахождения КФЗ достаточно найти оценки

K(a¡, 0) = М[(ЛВД - mf (X(t + а,) - m)] при различных (достаточно только положительных) значениях a¡. Проводя серию экспериментов, можно с достаточной для приложений подробностью идентифицировать К(а, ß).

В пункте 4.3 подробно описана конфигурация линий уровня КФЗ при заранее заданных КФ2 стандартных типов. Проанализированы свойства симметрии поверхностей КФЗ.

В пункте 4.4 впервые поставлена и решена задача об оценке изменения функции КФЗ К(а, ß) для ССП, прошедшего операцию осреднения (1). Получено соотношение связи между К(а, ß) и Ke(a, ß):

& D¡

+[ß-\t2-tl\][K(ß-2\t2-ti\-9,y-2\t1-tl\-e)+K{ß-e,r-e)]+

x[K(ß,y-e) + K(ß-2\t2-tl\,r-2\t3-tl I-6)]}dßdy = Ke(f2-tuh-fi), причем область интегрирования определяется так:

А = {(Ätf: ß+h-h-{h-t{)<Y<(h-t{) + в, tz-tx<ßZt2-tx + ffj.

Частным случаем этого соотношения является выражение для третьего центрального момента осредненного ССП (К0 (0,0) = ft3g):

Им = ¿г - Г)К(Р,Г)+рк{р -в,г-в)+(у—р)к(р,у- в)\ар<1у,

" о

где область О задается условием: И = {(Д />< у< в, О <р< в}.

Для иллюстрации этого соотношения рассмотрена КФЗ неосредненного стационарного СП в виде

=//з ехр[-а(|/? | + |Г| +1- г |)], для которой получено соотношение (х - ад)

3_ 2х3

th

(13)

связывающее центральные моменты третьего порядка осредненного и неосредненного ССП. Проанализированы тенденции изменения асимметрии распределения осредненного ССП при различных значениях параметра в\ зависимость (13) проиллюстрирована на рис. 3.

Соотношения вида (13) могут служить основой для рекомендаций по коррекции коэффициента асимметрии для ССП, прошедших операцию осреднения.

В пункте 4.5 в качестве иллюстрации теории на основании реальных экспериментальных данных рассмотрена тестовая задача о ССП электрической мощности P{t) = l\f), когда ток I(t) является нормальной ССФ. Для этой задачи найдены точное выражение КФЗ К(а, р), которое определяется корреляционной функцией второго порядка R{a) для СП 7(i), а также средним значением тока /5Г:

К{а, р) = 8{R(a)R(P)R(P- а) + + ll [R(a)R(p) + R(a)R(P~ а) + R(P)R(P~ «)]}• (14)

(¿3 в/МЗ

2 4 6 8 10

Рисунок 3 - График отношения третьих центральных моментов

В диссертации подробно анализируются симметрии функции К(а, Р) для различных стандартных видов функции Р(а) для конкретных экспериментальных данных.

Для примера на рис. 4 приведены КФЗ, соответствующие КФ2 вида (5), для параметров а = 0,85; Д(0) = 0,7; 4 = 1,9; Р= 1,6 (левый рис.) и а= 1,6; /?(0) = 1,5; Лг = 5,76; р = 2,5 (правый рис.). Показано, что использование корреляционных функций третьего порядка дает возможность использовать более полную информацию о свойствах СП, что повышает точность расчетов характеристик случайных функций.

В пункте 4.6 диссертационной работы делается следующий шаг - обобщение полученных результатов на корреляционные функции порядка выше, чем третий. В

работе поставлена и решена задача о восстановлении корреляционной функции К(г2, г3, ..., т„) произвольного порядка п по ее известному образу К»(г2, г3, ..., г„) относительно преобразования осреднения (1):

^=1 «з=1 т„ =1 *г=0

£1дт1дт3...дтк...дтп

Рисунок 4 - Корреляционные функции третьего порядка

Соотношение (15) позволяет получить КФ п - го порядка неосредненного ССП К(т2, г3, ..., г„), если известна соответствующая КФ п - го порядка Кв(г2, г3, ..., г„) осредненного ССП.

В пятой главе введены понятия радиусов корреляции по отношению к корреляционной функции третьего порядка, которые могут быть использованы при рассмотрении трех сечений ССП. С этих позиций рассмотрены основные стандартные корреляционные функции и порождаемые ими КФЗ. В качестве конкретной задачи рассматривается задача о случайном процессе потребления электрической мощности Р(1) = /2(0, когда сила тока 1{1) - ССП с нормальным распределением ординат. Все расчеты основывались на реальных данных потребления электроэнергии предприятиями ОАО «Оренбургнефть».

В пункте 5.1 показывается, что корреляционное приближение «не различает» случайные процессы Р(() и 1(1), так как их КФ2 практически одни и те же, хотя отличие самих СП существенно: один из них является нормальным, а второй таковым не является.

В пункте 5.2 вводятся радиусы корреляции для КФЗ. Они определяются из условия уменьшения величины (нормированная КФЗ)

Я(а, р) = К(а, {?)/,]К"«)) в е раз относительно ее максимума:

5к = К(0, 0)/ ^К3 (0).

В качестве радиуса корреляции можно принять расстояние от любой точки замкнутой линии 5(а, р) = Зк/е до начала координат. Среди этих расстояний есть наибольшее и наименьшее: Ттш и Ттт; они и определяют глобальные характеристики

статистической зависимости для ординат трех сечений {Р(0, P(t + a), P(t + ß)}. Для этих сечений условие для проверки их некоррелированности выглядит так;

4а1+ßl> Ттах.

Пусть, например, КФ2 для нормального ССП I(t) имеет вид:

Ä(r) = К(0)<Г*м cos ат.

Рассматривая соответствующий ССП P(t) = I 2(0, получим уравнение линии уровня, определяющей радиусы корреляции Ттах и Ттп:

R(0) ехр(-А(| а | +1 ß \ +1 ß - а |)) cos юа cos coß cos а(ß - a) +

+ll exp {-к I a j)cos©ar(exp(-£ | ß \) cos aß + exp(~/c | ß-a |)cosiu(/? - a))) + +11 exp(-A-(| ß\ + \ß-a\))cos<oß cosm(ß -a)]= [R( 0) + 3 ]/e.

Для этого случая на рис. 5 в качестве примера приведены линии уровня, построенные для двух наборов параметров:

£ = 0,58;/?(0) = 0,6;/5Г = 1, <э= 1 и ¿=1,7; Ä(0)=l,8; 7^ = 2,4,0 = 2 соответственно для левой и для правой частей рисунка. По данным линиям вычислялись радиусы корреляции, оказавшиеся равными: Ттах^ 1,050 и Tmi„= 0,562 (слева)

а а

Рисунок 5 - Линии уровня КФЗ

В пункте 5.3 при помощи корреляционных функций высших порядков построена и апробирована методика построения приближенных выражений для плотностей совместных распределений сечений ССП, причем в качестве примера использованы данные по электрической нагрузке P(f) на предприятии ОАО «Оренбургнефть».

Для этой цели используется характеристическая функция системы сечений Е(щ, и2,..., и„, /], t2,..., /„), имеющая вид (/'-мнимая единица):

Е{иь иь ..., и„, tu t2,..., t„) = M[exp[/(WlJP(i,) + u2P(t2) + ... + unP(tM =

+00 +-00 +00

= f J- |/(р,,р2,...р„^1^2,...,.'„)ехр[Лр1ы|+р2и2+...+ р„мл)]ф1ф2---фл,

связанная с совместной плотностью вероятностей/(pi, ...,р„, t\, ..., t„) обратным преобразованием Фурье.

В пункте 5.4 с использованием описанной выше методики рассмотрен конкретный пример ССП реальной электрической нагрузки P(t) предприятия ОАО «Орен-

бургнефть», для которого были найдены приближенные и точные законы распределения и проанализированы погрешности приближений.

Под расчетным максимумом (и минимумом) при статистическом методе расчета электрических нагрузок P(t) обычно понимается не только величина расчетной нагрузки Рт, но и вероятность того, что эта величина будет превзойдена (не превзойдена). При этом предполагается, что закон распределения ординат ССФ P(t) является нормальным.

Если Р> 0 - кратность меры рассеяния, a D - дисперсия Pit), то принимается, что максимальная (отвечающая знаку «+») и минимальная (отвечающая знаку «-») нагрузки Рт задаются в виде

Pm = Psr±/3jD = Psr±j3a,

причем

Р(/'(0>^±у5ст) = Р| Р,г > ±ß

= 1-Ф m = Bep{±p) = gn(j}),

где Ф(х) - стандартная нормальная функция распределения. При этом график функции gn{p) называется интегральной кривой нормального распределения (упорядоченной диаграммой).

Допустим теперь, что ССП Pit) не является нормальным. Очевидно, что тогда К(0, 0) * 0 и ДО, 0, 0) * 0. В этом случае, используя (16), можно получить нужное приближение (удерживая нужное число членов в (17)). Приближение f4(x) (были использованы корреляционные функции вплоть до четвертого порядка) для одномерной плотности вероятностей ординат нагрузки P(t) в момент времени / равно

1 w

М.х) =— J Elt(u)exp[-jxu]du,

—30

где Еи{и) - приближение характеристической функции первого порядка

£,4(и) =ехр

JPsrii-—K(0)u2 -^Х(0,0)ы3 +—-(лГ(0,0,0)-3/Г2(0))г/ 2 6 24

Вероятность превышения максимальной и занижения минимальной нагрузок для несимметричного распределения ССП P(t) теперь равна:

Р(Р{1) > Psr ± ßd) = 1 - F,(Psr ± ßö) = Bep4(±ß) = giß),

F<(x)=\f4(u)du.

Для рассматриваемого примера, когда Р{1) = /2(г), существует точное решение для плотности вероятностей/(х) ординат ССП:

ch

fix)"

т)

yßлЩх

ехр

2Я(0)

Ыг)

где Isr - среднее значение тока /(г), Я(0) - дисперсия тока /(/). Для точного решения получим расчетные нагрузки

Р iPit) > Psr ± ßa) = 1 - FiPsr ±ßa) = g(ß),

F(x) = jfiu)du.

Используя конкретные экспериментальные данные для параметров распределения, были проанализированы погрешности, которые могут быть допущены при расчетах нагрузок для разных подходов. На рис. 6 слева показаны интегральные кривые, причем сплошной линией показана нормальная кривая g„(ß), коротким пунктиром показана точная интегральная кривая giß), а длинный пунктир соответствует приближенной интегральной кривой g4(ß)- Задавая различные значения Д можно по графику найти вероятности превышения или непревышение соответствующей величины нагрузки.

Справа на рис. 6 приведены графики точной f(x) плотности вероятностей ординат нагрузки Pit) (сплошная линия) и приближение f4(x) для плотности (пунктирная линия). Начиная примерно с х = Р.5Г приближение f4(x) достаточно хорошо аппроксимирует точную плотность вероятности f(x).

и одномерной плотности вероятности (справа)

Легко видеть, что использование нормальной кривой gn(p) для расчетов нагрузок (при данных значений параметров) оправдано при Д > - 1 и дает значительные ошибки при других значениях Д

Если взять, например, Д= - 1, то из рис. 6 легко видеть, что для нормального распределения (сплошная линия) вероятность #4(Д) равна, примерно, 0,85; в то время как точное значение этой вероятности (короткий пунктир) равно 1. Также ясно, что приближенная интегральная кривая $А{Р) при конкретных значениях Д е [1, 3] будет завышать вероятность события Р(Р(/) > Рср + До), причем абсолютная погрешность ошибки может достигать величины 0,15.

В шестой главе описывается программный комплекс «КОИ1Р1Ж», созданный на основе результатов, полученных автором диссертации. Программный комплекс предназначен для обработки экспериментальных данных, которые представляют собой выборку значений некоторого ССП, позволяет получать и корректировать, на основе имеющейся выборки, оценки для корреляционных функций второго и третьего порядков, а также корректировать свойства ССП, прошедшего преобразование осреднения.

В пункте 6.1 содержится подробное описание интерфейса программы, назначения разных пунктов меню.

В пункте 6.2 описывается та часть программного комплекса, которая ответственна за получение оценок КФ2 на основе выборочного материала.

В пункте 6.3 объясняется работа программного комплекса при аппроксимации

КФ2 тем или иным стандартным выражением, с использованием полученных ранее оценок для КФ2.

В пункте 6.4 описывается вычисление и аппроксимация КФЗ на основе стандартных выражений для КФ2 и с учетом оценок, полученных из выборки статистического материала. В качестве примера на рис. 7 показана одна конкретная реализация КФЗ.

Рисунок 7 - Корреляционная функция третьего порядка

В пункте 6.5 описывается работа программного комплекса, выполняющего учет искажений корреляционной функции второго порядка в зависимости от интервала осреднения. Корректировка данных происходит с учетом конкретной математической модели корреляционной функции.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработана математическая модель механизма искажения корреляционной функции ССП, включающая в себя соотношение между известной корреляционной функцией Кв(т) осредненного ССП и неизвестной корреляционной функции неос-редненного (реального) ССП К(т). На основе данной модели рассмотрены типовые корреляционные функции, для которых получены расчетные формулы оценки погрешности осреднения в зависимости от параметра осреднения в. Выполнено детальное исследование области допустимых значений параметра осреднения для различных типов КФ2 и указаны области, в которых решение обратной задачи имеет вероятностный смысл.

2. В рамках математической модели получены общие формулы для нахождения корреляционных функций порядка п (КФи) и исследованы их свойства. Показано, что множество корреляционных функций высших порядков связано иерархическими соотношениями, позволяющими последовательно из экспериментов находить, начиная с КФ2, корреляционные функции любого порядка. В рамках уточнения корреляционного приближения детально рассмотрены корреляционные функции

третьего порядка для стохастических задач с негауссовыми случайными процессами. Проанализированы свойства КФЗ, показана их связь с КФ2, упрощающая получение оценок для КФЗ на практике.

3. Разработана методика восстановления корреляционной функции произвольного порядка для ССП, прошедшего операцию осреднения. Найдены соотношения, позволяющие получать КФп неосредненного процесса по известной КФи процесса, прошедшего операцию осреднения. Детально решена и исследована задача о влиянии преобразовании осреднения на КФЗ. Получено соотношение, связывающее КФЗ неосредненного сигнала и КФЗ стационарного случайного процесса, прошедшего операцию осреднения с параметром осреднения в. Проанализировано влияние операции осреднения на асимметрично распределенные случайные процессы в зависимости от параметра в и получены расчетные формулы для корректировки коэффициента асимметрии ССП после его осреднения.

4. Введены понятия радиусов корреляции по отношению к корреляционной функции третьего порядка, которые использованы при рассмотрении трех и более сечений ССП. С этих позиций рассмотрены основные стандартные корреляционные функции, используемые в приложениях; в частности, в задачах электроснабжения промышленных предприятий. Полученные результаты использованы в реальных практических ситуациях.

5. При помощи корреляционных функций высших порядков (в конкретных примерах брались корреляционные функции второго, третьего и четвертого порядков) указан способ построения приближенных выражений для плотностей совместных распределений на примере одномерного распределения сечений электрической нагрузки Для численной реализации методики рассмотрены конкретные задачи, возникающие в электроснабжении промышленных предприятий, и показано преимущество новой методики по сравнению с классическим подходом, используемым в настоящее время для расчета систем электроснабжения. Найдены приближенные и точные решения для максимума электрической нагрузки и проанализированы погрешности приближений.

6. Разработан программный комплекс «КОКИРиМ», реализованный в среде МАТЬАВ, предназначенный для обработки данных натурных экспериментов, а также для анализа корреляционных моментов высших порядков и корректировки данных о сигналах, прошедших операцию осреднения. На основе реальных экспериментальных данных о работе предприятий ОАО «Оренбургнефть», потребляющих электрическую нагрузку, проведено тестирование программного комплекса, показавшее его эффективность при выполнении указанных задач.

Список основных публикаций

Статьи в изданиях из перечня ВАК

1. Евдокимов М. А., Кузнецов В. А., Кузнецов В. В. Математические аспекты преобразования случайных процессов. // Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки» № 1 (21) - 2008, С. 69 - 73.

2. Кузнецов В. В. Использование моментов третьего порядка в расчетах электрических нагрузок. // Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки» № 2 (24) - 2009, С. 166-171.

3. Евдокимов М. А., Кузнецов В. А., Кузнецов В. В. Корреляционные функции третьего порядка и их приложения. // Вестник СамГТУ. № 2 (26) - 2010, С. 37 -43.

Статьи в других научных изданиях

4. Кузнецов В. А., Кузнецов В. В., Степанов В. П. Статистический анализ графиков электрической нагрузки района добычи нефти. // Оптимизация режимов работы электротехнических систем. Межвузовский сборник научных трудов. / - Красноярск: СФУ, 2008, С. 171 - 180.

5. Кузнецов В. В. Об одном линейном преобразовании несимметричных распределений вероятностей. // Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара, СамГТУ, 2008. С. 61 - 66.

6. Кузнецов В. А., Кузнецов В. В. Об осреднении стационарных случайных функций. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 6-й Всероссийской конференции с международным участием. Ч. 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2009. С. 80 - 85.

7. Кузнецов В. В. О нахождении корреляционных функций высших поряд-ков.//Актуальные проблемы современной науки. Труды 4-го Международного форума (9-й Международной конференции ) 20 - 23 ноября 2008 г. Естественные науки. Части 1-3. Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: Изд - во СамГТУ, 2008. С. 99 - 104.

8. Кузнецов В. А., Кузнецов В. В. Некоторые вопросы применения корреляционных функций высших порядков. // Актуальные проблемы современной науки. Части 1,2. Математика и математическое моделирование. Труды 3-го Международного форума (8-й Международной конференции), 20 - 23 ноября 2007 г. Самара 2007, изд-во СамГТУ, 2007, С. 36 - 39.

9. Кузнецов В. В. Исследование одной модели «скользящего среднего». // Современные проблемы гуманитарных и естественных наук. Материалы второй международной научно-практической конференции. 15 - 25 января 2010 г., т. II. М:. Литера, 2010.-16- 18 с.

10. Кузнецов В. В., Радченко В. П. Нахождение высших моментов случайных функций // Материалы научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования в системе образования», Тамбов, 2010, с. 123 - 128.

11. Кузнецов В. В. Корреляционные функции высших порядков в прикладных задачах. // Материалы X Международной научно-технической конференции «Информатика: проблемы, методологии, технологии», т 1, Воронеж: ВГУ, - 2010 г., с. 403-406.

12. Кузнецов В. В. Скользящее среднее случайных функций с различными параметрами осреднения // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 4. Самара: СамГТУ, 2010, с 107 -111.

Личный вклад автора. В работах [1], [3], [4] ,[6], [8], [10] написанных в соавторстве, соискателю принадлежат: разработка математических моделей, расчетная

часть и выводы.

Разрешено к печати диссертационным советом Д 212.217.03. _Протокол № 6 от 25 мая 2010 г._

Заказ № 526. Формат 60x84 1/16. Бумага тип. №1. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз.

Самарский государственный технический университет. Типография СамГТУ. 443100, г. Самара, Молодогвардейская ул. 244, Главный корпус

Введение.

1. Аналитический обзор и постановка задач.

1.1. Стохастические системы и корреляционное приближение.

1.2. Преобразование случайных процессов и искажение их : статистических свойств.

1.3. Оценка законов распределения ординат негауссова случайного процесса.

2. Некоторые вероятностные свойства реальных стохастических процессов.

2.1. Исследование стационарности и нормальности процесса потребления электрической нагрузки.

2.2. Получение оценки корреляционной функции методами спектрального анализа.

2.3. Выводы по главе 2.

3. Влияние операции осреднения случайного процесса на корреляционную функцию второго порядка.

3.1. Обзор аппаратных средств регистрации случайных процессов, постановка задачи.

3.2. Анализ погрешности осреднения ССП.

3.3. Искажение корреляционных функций стандартных видов процедурой осреднения.

3.4. Исследование области допустимых параметров осреднения

3.5. Погрешности нахождения расчетного максимума случайного процесса изменения электрических нагрузок.

3.6. Выводы по главе

4. Методика применения моментов высшего порядка для уточнения корреляционного приближения.

4.1. Корреляционные функции третьего порядка.

4.2. Свойства корреляционной функции третьего порядка.

4.3. Линии уровня корреляционной функции третьего порядка.

4.4. Искажение корреляционной функции третьего порядка операцией осреднения случайного процесса.

4.5. Пример нахождения корреляционной функции третьего порядка.

4.6. Корреляционные функции п — го порядка.

4.7. Задача о восстановлении корреляционной функции порядка п.

4.8. Выводы по главе 4.

5. Использование корреляционных функций высших порядков в

Актуальность работы. К настоящему времени известно много работ, посвященных приложениям теории случайных процессов к различным задачам механики, теории управления, радиотехники, электроэнергетики, теории связи и т. п. Спектр приложений, охватывающийся этими работами таков, что невозможно даже простое перечисление этих публикаций. Можно привести наиболее известные источники (подробно об этом будет вестись речь в главе 1), которые, тем не менее, не будут исчерпывающими, но будут давать хорошее представление о проблематике стохастических задач в различных областях науки и техники.

Интерес к стохастическому описанию всевозможных динамических систем закономерен и обусловлен возрастающими требованиями к прогнозированию поведения таких систем. Дело в том, что очень часто в приложениях встречаются ситуации, когда системы работают в условиях неполной информации. Внутреннее устройство самих систем обладает зачастую вероятностной природой, а условия их работы таковы, что внешние воздействия на систему являются случайными функциями.

Методы исследования стохастических систем опираются на аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций. К настоящему времени накоплен немалый опыт в исследовании подобных систем. Многие сложные частные задачи, которые были важны для приложений, получили свое разрешение. Существует также много задач, которые все еще ждут своего решения. На горизонте можно увидеть очертания новых проблем, которые будут играть большую роль в будущем. Отчетливо проявляется тенденция: в различных сферах науки и техники появляются новые стохастические задачи, которые невозможно решать с использованием старых представлений о стохастических системах и классического аппарата их исследования.

Отметим одну важную особенность, присущую методам решения сто5 хаотических задач. Наиболее разработанным и часто применяемым методом исследования стохастических систем является так называемое «корреляционное решение», суть которого заключается в том, чтобы для неизвестной случайной функции получить моменты первого и второго порядков — математическое ожидание случайного процесса (СП) и корреляционную функцию (КФ) соответственно. Корреляционное решение является точным решением, когда исследуемый процесс является нормальным (гауссов процесс). Для всех же других случаев (такие случайные процессы называют негауссовыми) данное решение будет лишь некоторым приближением, точность которого в большинстве случаев трудно оценить.

Следует отметить, что функции, закон распределения которых отличен от нормального распределения, составляют значительную часть встречающихся в приложениях случайных функций (СФ).

Разработка методов решения стохастических задач, позволяющих уточнять корреляционное приближение при помощи статистических моментов высших порядков, является актуальной и важной задачей, которая частично решается в данной диссертации.

При анализе стохастических задач важной составной частью исследования является получение необходимого статистического материала (выборки), необходимого для нахождения оценок требуемых параметров и моментов СФ. Обычно выборка получается путем измерения («оцифровки») некоторых величин, связанных с реализациями случайных процессов.

Современные измерительные средства, позволяющие достаточно просто получать в натурном эксперименте данные о СП, сами по себе являются некоторыми фильтрами, искажающими (преобразующими) статистические свойства реальных СП. В некоторых случаях эти искажения незначительны, но иногда, во избежание больших ошибок, эти искажения нужно учитывать.

Разработка способов учета искажений статистических свойств реальных

СП, появляющихся в процессе измерений (преобразования) СП, является также весьма актуальной проблемой. Данная диссертационная работа рас6 сматривает одно из наиболее распространенных преобразований, используемых при обработке реализаций случайного процесса — нахождение так называемого «скользящего среднего значения» реализации, также называемой «осреднением реализации». Разработан комплекс программного обеспечения для корректировки оценок СП, полученных преобразованием осреднения.

Целью диссертационной работы является построение математических моделей негауссовых случайных процессов, позволяющих получать необходимые уточнения (моменты высших порядков) к корреляционному приближению, исследование и анализ на их основе преобразований СП при помощи операции интегрального осреднения с целью корректировки мо-ментных функций различного порядка преобразованного СП.

Для достижения данной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- разработка математической модели для установления связи характеристик осредненного случайного процесса, полученного путем нахождения интегрального среднего значения исходного (реального) СП, с вероятностными характеристиками самого реального случайного процесса;

- исследование корректности найденных решений, нахождение условий, при которых данные решения адекватно отражают реальные свойства СП;

- исследование свойств корреляционных функций третьего (КФЗ) и п-го (КФи) порядков и их использование в качестве поправок к корреляционному приближению;

- разработка методов описания негауссовых случайных процессов, учитывающих информацию о моментах высшего порядка и позволяющих существенно обобщить и уточнить решения задач в корреляционном приближении;

- разработка программного комплекса для моделирования негауссовых СП на основе моментных функций высших порядков.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов 7 заключается в следующем:

- разработаны новые математические модели описания стационарных негауссовых процессов, позволяющие (в отличии от существующих методов) уточнить и обобщить корреляционное решение задачи за счет использования моментных функций более высокого порядка;

- разработаны математические модели учета погрешностей корреляционных функций любого порядка, возникающие при преобразовании осреднения стационарной случайной функции; получены расчетные формулы, позволяющие корректировать аналитические выражения корреляционных функций стандартных типов, в зависимости от параметра осреднения; проведено изучение области изменения параметра осреднения стационарных случайных процессов (ССП) и установлена допустимая область, в которой модификация корреляционных функций является корректной;

- впервые выполнен детальный математический анализ свойств корреляционных функций п-то порядка и установлено иерархическое строение множества корреляционных функций различных порядков; на основе свойства иерархической структуры КФи разработан эффективный способ нахождения корреляционных функций произвольного порядка с помощью экспериментального материала (выборки);

- предложена методика использования информации, предоставленной корреляционными функциями высших порядков, для нахождения совместного закона распределения ординат (Д^), Д?г), Д^)} стационарного случайного процесса X{t).

- разработан пакет прикладных программ, реализующий быстрое и эффективное получение информации о корреляционных функциях произвольного порядка, и корректировки данных, прошедших преобразование осреднения, который апробирован на конкретных данных, связанных с потреблением электрической нагрузки промышленных предприятий, рассмотрены конкретные примеры из практики, показывающие преимущества разработанного в диссертационной работе подхода. 8

Практическая и научная ценность представленной работы заключается в применении новых подходов к описанию стационарных случайных процессов, являющихся негауссовыми. Предложенная методика позволяет (в отличие от существующих методов) уточнить корреляционное решение задачи за счет использования моментных функций более высоких порядков.

Повышение точности и адекватности решения поставленных задач достигается путем разработанной методики определения статистических моментов высших порядков. Это позволяет достаточно хорошо аппроксимировать совместные законы распределения ординат искомой ССФ путем представления совместной плотности распределения частичной суммой некоторого бесконечного ряда.

Исследовано влияние операции осреднения ССП на статистические свойства получаемых затем оценок параметров случайных функций и предложены достаточно простые формулы и соотношения для исправления погрешностей, вносимых измерительной аппаратурой. Применение этих соотношений показывает их высокую эффективность в инженерной практике статистических расчетов.

Разработанный пакет прикладных программ позволяет использовать полученные в работе результаты, обеспечивая тем самым более полное описание встречающихся на практике ССП, а также получать все необходимые данные о реальных случайных функциях из достаточно представительной выборки.

Достоверность основных полученных результатов подтверждается следующим:

- корректностью вводимых гипотез и допущений, использующихся при построении математической модели, и строгостью в использовании математического аппарата;

- сравнением полученных теоретических результатов и следствий из них с известными аналитическими решениями, тестовыми примерами и имеющимися экспериментальными данными; 9

- использованием полученных теоретических моделей для численного моделирования реальных стохастических систем, встречающихся в инженерной практике, в частности, при расчете случайных электрических нагрузок;

- преемственностью полученных новых теоретических и практических результатов с известными сведениями, когда существующие классические знания являются частным случаем новых теоретических представлений.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- математические модели описания стационарных негауссовых процессов, позволяющие уточнить и обобщить корреляционное решение задач за счет использования моментных функций более высокого порядка;

- методика оценки погрешностей преобразования осреднения ССП, приводящих к погрешностям в определении корреляционной функции п-то порядка;

- методика исследования свойств корреляционных функций высших порядков, взаимосвязи корреляционных функций различных порядков с целью уточнения информации о статистических свойствах ССП, не являющихся гауссовыми;

- методика аппроксимации законов распределения ординат ССП на основе использования корреляционных функций высших порядков;

- программное и математическое обеспечение и вычислительный комплекс обработки выборочных данных для получения корреляционных функций высших порядков и учета погрешностей осреднения ССП.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты, методы, выводы и рекомендации диссертационной работы использованы в учебном процессе ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» на кафедре «Прикладная математика и информатика», в ЗАО «ОРГ-НЕФТЕХИМЭНЕРГО» г. Самары (предприятие ОАО «Сызранский НПЗ») и в ООО «Меридиан Групп» г. Самара.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались

10 и обсуждались:

- на 8-й Международной конференции (3-го Международного форума) молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2007 г.);

- на 5-й Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2008 г.);

- на 9-й Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2008 г.);

- на 2-й Международной научно-практической конференции «Современные проблемы гуманитарных и естественных наук» (г. Москва, 2010 г.);

- на Х-й Международной конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» (г. Воронеж, 11-12 февраля, 2010 г.);

- на VIII Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования в системе образования» (г. Тамбов, 26 февраля, 2010 г.).

- на 7-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ (из них 3 работы в изданиях из перечня ВАК).

Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, принадлежат в равной степени постановки задач, а также результаты выполненных исследований. Лично автору принадлежит также разработка практических приложений, алгоритмизация и разработка программного комплекса.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений, в которых приведены используемые экспериментальные данные и акты внедрений. Общий объем диссертации 241 страниц, включая 86 рисунков и 5 таблиц. Библиографический список содержит 162 наименования.

6.6 Выводы по главе 6

1. Разработан программный комплекс «KORRFUN», реализованный в среде MATLAB, предназначенный для обработки данных натурных экспериментов, а также для анализа корреляционных моментов высших порядков и корректировки данных о сигналах, прошедших операцию осреднения.

2. На основе реальных данных о работе предприятий, потребляющих электрическую нагрузку, проведено тестирование программного комплекса, показавшее его эффективность при выполнении указанных задач.

3. Приведено подробное алгоритмическое описание возможностей программного комплекса «KORRFUN», пояснено назначение различных окон и пунктов меню, а также показаны способы взаимодействия пользователя с программой в интерактивном режиме.

Заключение

В диссертационной работе все усилия направлялись, в основном, на постановку задач (и их решение), относящихся к двум проблемам, возникающим при стохастическом анализе динамических систем.

Первая проблема связана с наличием искажений корреляционной функции, а также других вероятностных характеристик при некотором преобразовании ССП. В частности исследовалось такое влияние на корреляционные функции различных порядков при интегральном преобразовании (3.1) стационарного случайного процесса.

Вторая проблема, известная всем исследователям, - недостатки (неполнота) классического корреляционного приближения для негауссовых стохастических систем. Известно, что такое приближение в большинстве своем дает результаты весьма далекие от точных оценок.

В результате выполнения исследований по указанным проблемам были получены результаты:

1. Разработана математическая модель механизма искажения корреляционной функции ССП, включающая в себя соотношение между известной корреляционной функцией Кв (г) осредненного ССП и неизвестной корреляционной функции неосредненного (реального) ССП К{т). На основе данной модели рассмотрены типовые корреляционные функции, для которых получены расчетные формулы оценки погрешности осреднения в зависимости от параметра осреднения в. Выполнено детальное исследование области допустимых значений параметра осреднения для различных типов КФ2 и указаны области, в которых решение обратной задачи имеет вероятностный смысл.

2. В рамках математической модели получены общие формулы для нахождения корреляционных функций порядка п (КФи) и исследованы их свойства. Показано, что множество корреляционных функций высших порядков связано иерархическими соотношениями, позволяющими последо

201 вательно из экспериментов находить, начиная с КФ2, корреляционные функции любого порядка. В рамках уточнения корреляционного приближения детально рассмотрены корреляционные функции третьего порядка для стохастических задач с негауссовыми случайными процессами. Проанализированы свойства КФЗ, показана их связь с КФ2, упрощающая получение оценок для КФЗ на практике.

3. Разработана методика восстановления корреляционной функции произвольного порядка для ССП, прошедшего операцию осреднения. Найдены соотношения, позволяющие получать КФи неосредненного процесса по известной КФи процесса, прошедшего операцию осреднения. Детально решена и исследована задача о влиянии преобразовании осреднения на КФЗ. Получено соотношение, связывающее КФЗ неосредненного сигнала и КФЗ стационарного случайного процесса, прошедшего операцию осреднения с параметром осреднения в. Проанализировано влияние операции осреднения на асимметрично распределенные случайные процессы в зависимости от параметра в и получены расчетные формулы для корректировки коэффициента асимметрии ССП после его осреднения.

4. Введены понятия радиусов корреляции по отношению к корреляционной функции третьего порядка, которые использованы при рассмотрении трех и более сечений ССП. С этих позиций рассмотрены основные стандартные корреляционные функции, используемые в приложениях; в частности, в задачах электроснабжения промышленных предприятий. Полученные результаты использованы в реальных практических ситуациях.

5. При помощи корреляционных функций высших порядков (в конкретных примерах брались корреляционные функции второго, третьего и четвертого порядков) указан способ построения приближенных выражений для плотностей совместных распределений на примере одномерного распределения сечений электрической нагрузки P(t). Для численной реализации методики рассмотрены конкретные задачи, возникающие в электроснабжении промышленных предприятий, и показано преимущество новой методики по

202 сравнению с классическим подходом, используемым в настоящее время для расчета систем электроснабжения. Найдены приближенные и точные решения для максимума электрической нагрузки и проанализированы погрешности приближений.

6. Разработан программный комплекс «KORRFUN», реализованный в среде MATLAB, предназначенный для обработки данных натурных экспериментов, а также для анализа корреляционных моментов высших порядков и корректировки данных о сигналах, прошедших операцию осреднения. На основе реальных экспериментальных данных о работе предприятий ОАО «Оренбургнефть», потребляющих электрическую нагрузку, проведено тестирование программного комплекса, показавшее его эффективность при выполнении указанных задач.

1.Адамиан, Дж. Стохастические системы Текст. I Дою. Адамиан. — М.: Мир, 1987.-376 с.

2. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: основы моделирования и первичная обработка данных Текст. / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, ЛД. Мешалкин. -М.: Финансы и статистика, 1983. — 471 с.

3. Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов Текст. / Т. Андерсон. М.: Мир, 1976. - 756 с.

4. Андронов, А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем

5. Текст. / А.А. Андронов, А.А. Витт, JT.C. Понтрягин //ЖЭТФ. 1933. - Т.З. - вып.З. - С. 165 - 180.

6. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Текст. / С.И. Баскаков. — М.: Высш. школа, 1988. 448 с.

7. Беляков, И.В. Негауссовские процессы Текст. / И.В. Беляков, О.И Шелухин. — СПб.: Политехника, 1992. 312 с.

8. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных Текст. / Дж. Бендат, А. Пирсол. Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 540 с.

9. Бендат, Дж. Применения корреляционного и спектрального анализа

10. Текст. I Дж. Бендат, А. Пирсол. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 312 с.

11. Березин, И.С. Методы вычислений. Т. 1 Текст. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Физматгиз, 1962. - 312 с.

12. Болотин, В.В. Ресурс машин и конструкций Текст. / В.В. Болотин. —

13. М.: Машиностроение, 1990. 448 с.204

14. Болотин, В.В. Статистические методы в строительной механике Текст. / В.В. Болотин. М.: Наука, 1970. - 208 с.

15. Болотин, В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений Текст. / В.В. Болотин. — М.: Стройиздат, 1982. -352 с.

16. Болотин, В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций Текст. / В.В. Болотин. — М.: Машиностроение, 1984. — 312 с.

17. Боровков, А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания Текст. / А.А. Боровков. — М.: Наука, 1980. 381 с.

18. Брандт, 3. Анализ данных. Статистические и вычислительные методы для научных работников Текст. / Брандт, 3. М.: Мир, 2003. -264 с.17Булинский, А.В. Теория случайных процессов Текст. / А.В. Булин-ский, А.Н. Ширяев. — М.: Физматлит, 2005. — 408 с.

19. Бунгшович, В.И. Флуктуационные процессы в радиоприемных устройствах Текст. / В.И. Бунгшович. М.: Сов. радио, 1951. - 354 с. '

20. Вагин, Г.Я. Расчеты электрических нагрузок систем электроснабжения промышленных предприятий Текст. / Г.Я. Вагин, Э.Г. Куренный, А.К. Шидловский. -М.: Энергоатомиздат, 1992. 320 с.

21. Вентцелъ, Е.С. Теория вероятностей Текст. / Е.С. Вентцелъ. — М.: Наука, 1964. 564 с.

22. Волгин, В.В. Оценка корреляционных функций в промышленных системах управления Текст. / В.В. Волгин, Р.Н. Каримов. -М.: Энергия, 1979.-80 с.

23. Волков, И.И. Анализ статистических погрешностей при аппаратурной аппроксимации корреляционных функций однопараметрическими моделями Текст. / И.И. Волков, С.А. Прохоров II Информационно-измерительные системы и их элементы. Куйбышев, 1974. - С. 151 -156.

24. Волков, И.И. Способ построения аппаратуры для определения мето205дических погрешностей аппроксимации корреляционных функций Текст. / И. И. Волков, С.А. Прохоров, В.И. Батищев И Изв. Вузов СССР «Приборостроение». т. XXI. - №8 - 1978. - С. 24 - 29.

25. Волков, С.Д. Статистическая механика композитных материалов Текст. I С.Д. Волков, В.П. Ставров. Минск: БГУ, 1978. - 208 с.

26. Гайдукевич, В.И. Вероятностная обработка осциллограмм электрических величин Текст. / В.И. Гайдукевич, А.А. Мельникова. — М.: Энергия, 1972.-112 с.

27. Гиббс, Дж.В. Термодинамика. Статистическая механика Текст. / Дж.В. Гиббс. М.: Наука, 1982. - 584 с.

28. Гихман, ИИ. Теория случайных процессов Текст. / ИИ Гихман, И.В. Скороход, т. 1, М.: Наука, 1971.-664 с.

29. Гордеев, В.И. О причинах завышения расчетного максимума электрической нагрузки Текст. / В.И. Гордеев // Промышленная энергетика. 1983. - №6. - С. 31 - 33.

30. Гордеев, В.И. Регулирование максимума нагрузки промышленных электрических сетей Текст. / В.И. Гордеев. М.: Энергоатомиздат, 1986.- 182 с.

31. Горяинов, В. Т. Статистическая радиотехника (примеры и задачи) Текст. / В. Т. Горяинов, А.Г. Журавлев, В.И. Тихонов. — М.: Сов. радио, 1970.-544 с.

32. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Текст. / И.С. Градштейн, ИМ. Рыжик. -М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

33. Давенпорт, В.В. Введение в теорию случайных сигналов и шумов Текст. I В.В. Давенпорт, В.Л. Рут. М.: ИЛ, 1960. - 468 с.

34. Дашевский, МЛ. Уравнения семиинвариантов нелинейной динамической системы Текст. / М.Л. Дашевский И Автомат, и телемех. 1968. -№10.-с. 63-71.

35. Дэюенкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения Текст. / Г.206

36. Дженкинс, Д. Ватте. — М., Мир, 1971. 275 с.

37. Долженков, B.JJ. Microsoft Excel 2000 Текст. / B.JJ. Долженков, Ю.В. Колесников. Спб.: БХВ, 1999. - 1088 с.

38. Должковой, А.А. Разработка методов решения краевых задач ползучести для стохастически неоднородных сред и элементов конструкций Текст. / Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. А.А. Должковой. — Самара, 2005. 16 с.

39. Должковой, А.А. Решение нелинейной стохастической задачи ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра Текст. / А.А. Должковой, Н.Н. Попов II Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки, 2002. № 16. - С. 84-89.

40. Должковой, А.А. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра Текст. / А.А. Должковой, Н.Н. Попов, В.П. Радченко II ПМТФ, 2006.-Т. 47.-№ 1.-е. 161-171.

41. Дьяконов, В.П. MATLAB7.*/R2006/2007: Самоучитель Текст. / В.П. Дьяконов. М.: ДМК Пресс, 2008. - 768 с.

42. Евдокимов, М.А. Математические аспекты преобразования случайных процессов Текст. / М.А. Евдокимов, В.А. Кузнецов, В.В. Кузнецов207

43. Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки» № 1 (21) 2008. - С. 69-73.

44. Евдокимов, М.А. Корреляционные функции третьего порядка и их приложения Текст. / М.А. Евдокимов, В.А. Кузнецов, В.В. Кузнецов // Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки» № 1 (26) 2010. - С. 37-43.

45. Евланов, Л.Г. Системы со случайными параметрами Текст. / Л.Г. Ев-ланов, В.М. Константинов. — М.: Наука, 1976. — 568 с.

46. Ермаков, С.М. Курс статистического моделирования Текст. / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. М.: Наука, 1976. — 320 с.

47. Жарков, Ф.П. Использование виртуальных инструментов Lab VIEW / Текст. / Ф.П. Жарков; Под ред. К. С. Димирчяна и В. Г. Миронова. -М.: Солон-Р, Радио и связь, Горячая линия Телеком, 1999. - 268 с.

48. Жежеленко, И.В. Методы вероятностного моделирования в расчетах характеристик электрических нагрузок потребителей Текст. / И.В., Жежеленко, Е.А. Кроткое, В.П. Степанов. — Самара: СамГТУ, 2001. -196 с.

49. Жовинский, А.Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов Текст. / А.Н. Жовинский, В.И. Жовинский. — М.: Энергия, 1979. 113 с.

50. Ильин В.И. Ползучесть элементов конструкций со случайными параметрами Текст. / В.И. Ильин, В.В. Кашелкин, С.А. Шестериков. // Изв. АН СССР. МТТ, 1982. № 4. С. 159 - 167.

51. Кетков, Ю.Л. Матлаб 7: программирование, численные методы

52. Текст. / Ю.Л. Кетков, А.Ю. Кетков, М.М. Шульц М.М. СПб.: БХВ208- Петербург, 2005. — 752 с.

53. Колмогоров, А.Н. Основные понятия теории вероятностей Текст. /

54. A.II. Колмогоров. М.: Наука, 1974. - 120 с.

55. Колмогоров, А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей Текст. / А.Н. Колмогоров II Успехи мат. наук. 1938. № 5. - С. 5 - 41.

56. Кузнецов, В.А. Статистический анализ графиков электрической нагрузки района добычи нефти Текст. / В.А. Кузнецов, В.В. Кузнецов,

57. B.П. Степанов В.П. II Межвузовский сборник научных трудов. Красноярск СФУ: 2008, С. 171 - 180.

58. Кузнецов, В.В. Корреляционные функции высших порядков в прикладных задачах Текст. / В.В. Кузнецов II Материалы X Международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методологии, технологии», т. 1, Воронеж: ВГУ, 2010. С. 403 -406.

59. Кузнецов, В.В. Использование моментов третьего порядка в расчетах электрических нагрузок Текст. / В.В. Кузнецов II Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки» № 2 (24) 2009. - С. 166 - 171.

60. Изд во СамГТУ, 2008. - 258 с. - С. 99 - 104.209

61. Ланге, Ф. Корреляционная теория Текст. / Ф. Ланге. М.: Судпром-гиз, 1963.-260 с.

62. Лебедев, В.Л. Случайные процессы в электрических и механических системах Текст. / В.Л. Лебедев. — М.: Физматгиз, 1958. 176 с.

63. Леей, 77. Стохастические процессы и броуновское движение Текст. / 77. Леей. -М.: Наука, 1972. 376 с.

64. Левин, Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники Текст. / Б.Р. Левин. М.: Сов. радио, 1969. - 658 с.

65. Линейная фильтрация и прогнозирование процессов в системах электроснабжения Текст. / Е. Н. Дмитриева, А. Д. Коломытцев, Э. Г. Ку210ренный, Ю. И. Чепкасов, А. К. Шидловский. — Киев.: предпр. АН УССР, ин-т Электродинамики, 1988. 36 с.

66. Липцер, Р.Ш. Статистика случайных процессов Текст. / Р.Ш. Jlun-цер, А.Н. Ширяев. -М.: Наука, 1974. 696 с.

67. Ломакин, В.А. Проблемы механики структурно-неоднородных тел Текст. / В.А. Ломакин И Изв. АН СССР. МТТ, 1978. № 6. - С. 45 -52.

68. Ломакин, В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел Текст. / В.А. Ломакин. — М.: Наука, 1970. 139 с.

69. Ломакин, В.А. Об одном классе статистических задач механики твердых деформируемых тел Текст. / В.А. Ломакин, З.Г. Тунгузкова II Упругость и неупругость. М.: МГУ, 1975. Вып. 4. - С. 252 - 262.

70. Малахов, А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований Текст. / А.Н. Малахов. — М.: Советское радио, 1978.-376 с.

71. Мальчиков, С.В. Определение закона распределения выходных переменных многомерной нелинейной системы Текст. / С.В. Мальчиков II Автоматика и телемеханика. 1973. — №1. — С. 16-21.

72. Марасанов, А.Н. К вопросу о стохастическом анализе упругих систем Текст. I А.И. Марасанов И Вестн. МИИТа, 2003. № 9. - С. 121 -125.

73. Маслов, В.П. Операторные методы Текст. / В.П. Маслов. — М.: Наука, 1973.-544 с.

74. Мидлтон, Д. Введение в статистическую теорию связи Текст. / Д. Мидлтон. -М.: Советское радио, 1961 (т. 1). 782 е., 1962 (т. 2). - 750 с.

75. Мирский, Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов Текст. / Г.Я. Мирский. — М.: Наука, 1972. — 455 с.

76. Митрополъский, А.К. Техника статистических вычислений Текст. /

77. А.К. Митрополъский. — М.: Наука, 1971. 576 с.211

78. Монин, А.С. Статистическая гидромеханика Текст. / А.С. Монин, A.M. Яглом. М.: Наука, ч. 1, ч. 2, 1965, 1967. - 4.1 - 640 с, ч. 2 - 720 с.

79. Мощук, Н.К. О флуктуациях в случайной среде тела с неподвижной точкой Текст. / Н.К. Мощук, И.Н. Синщын II Механика деформируемого твердого тела. 1993. - №1. - С. 39 - 44.

80. Назайкинский, В.Е. Методы некоммутативного анализа Текст. / В.Е. Назайкинский, Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов. — М.: Техносфера, 2002. -336 с.

81. Никитин, Н.Н. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей Текст. / Н.Н. Никитин, В.Д. Разевиг II Журн. вычислит, матем. и мат. физики, 1978. Т.18. - №1. - С. 106 - 117.

82. Новожилов, В.В. Микронапряжения в конструктивных материалах Текст. / В.В. Новожилов, Ю.И. Кадашевич. — Л.: Машиностроение, 1990.-223 с.

83. Основы построения промышленных электрических сетей Текст. / Г. М. Каялов, А.Э. Каждан, И.Н Ковалев, Э.Г. Куренный. — М.: Энергия, 1978.-352 с.

84. Острём, К.Ю. Введение в статистическую теорию управления Текст. I К.Ю. Острём. М.: Мир, 1973. - 324 с.

85. Очков, В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров Текст. / В.Ф. Очков. — М.: КомпьютерПресс, 1998. 384 с.

86. Перец, ИМ. Вероятностное прогнозирование длительной прочности без использования информации о виде функции распределения Текст. / ИМ. Перец, JT.H Шур II Машиноведение, 1987. № 6. - С. 89-92.

87. Перец, ИМ. Модель разрушения материала при высокотемпературной ползучести и ее реализация на ЭВМ Текст. / ИМ. Перец, Л.И.

88. Шур II Точность и надежность механических систем. Стохастический212анализ определяющих параметров. Рига: Рижский политехи, ин-т, 1987.-С. 125-136.

89. Повышение эффективности использования электроэнергии в системах электротехнологии Текст. / Б. П. Борисов, Г.Я. Вагин, А.Б. Лоскутов, А.К. Шидловский. Киев: Наук. Думка, 1990. - 240 с.

90. Подалков, В.В. Некоторые статистические характеристики поля деформаций микронеоднородных сред Текст. / В.В. Подалков, В.А. Романов II Труды Московского энергетического института, 1975. Вып. 260.-С. 114-122.

91. Поздеев, А.А. К статистическому анализу вязкоупругих свойств полимеров Текст. / А.А. Поздеев, С.В. Мельников, Ф.И. Доронин II Вопросы механики полимеров и систем. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1976.-С. 50-55.

92. Попов, Н.Н. Нелинейная стохастическая задача ползучести толстостенной сферической оболочки Текст. / Н.Н. Попов II Вестник Са-марск. госуд. техн. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки, 2000. № 9. - С. 186-189.

93. Попов, Н.Н. Ползучесть стохастически неоднородного полупространства Текст. / Н.Н. Попов II Ползучесть и длительная прочность конструкций. Куйбышев: КПтИ, 1986. С. 17-25.

94. Попов, Н.Н. Нелинейная стационарная задача о ползучести стохастически неоднородной плоскости Текст. / Н.Н. Попов, А.А. Должковой II Обозрение прикладной и промышленной математики. М: ОПиПМ, 2005.-Т. 12.-Вып. 1.-С. 175-176.

95. Попов, Н.Н. Нелинейная задача о деформировании стохастически неоднородной плоскости Текст. / Н.Н. Попов, А.А. Должковой II Математические модели и краевые задачи. Труды 13 межвуз. конф. Ч. 1. Самара, 2003. С. 148 - 154.

96. Попов, Н.Н. Пространственная задача ползучести стохастически неоднородной среды с уравнениями состояния типа вязкого течения213

97. Текст. / Н.Н. Попов, С. А. Забелин II Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 1. Самара: СамГТУ, 2007. С. 191-193.

98. Попов, Н.Н. Нелинейная стохастическая задача о растяжении полупространства в условиях ползучести Текст. / Н.Н. Попов, Л. В. Коваленко II Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки, 2007. № 1(14). - С. 56 - 62.

99. Попов, Н.Н. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды Текст. / Н.Н. Попов, Ю.П. Самарин IIПМТФ, 1985.-№2.-С. 150-155.

100. Прибор для исследования корреляционных характеристик Х6-4/: Техническое описание и инструкция по эксплуатации Текст. М.: Внешторгиздат, 1987. - 90 с.

101. Прикладной анализ случайных процессов Текст. / Под ред. Прохорова С.А. /НА. Лёзин, КВ. Лёзина / СНЦ РАН, Самара, 2007. 582 с.

102. Прохоров, С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов Текст. / С.А. Прохоров I Самара: СГАУ, 2001. 329 с.

103. Прохоров, С.А. Математическое описание и моделирование случай214ных процессов Текст. / С.А. Прохоров / Самара: СГАУ, 2001. 329 с.

104. Прохоров, Ю.В. Теория вероятностей Текст. I Ю.В. Прохоров. -М.: Наука, 1967. 496 с.

105. Пугачев, B.C. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. /B.C. Пугачев. -М.: Физматлит, 2002. 496 с.

106. Пугачев, B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления Текст. / B.C. Пугачев. М.: Физ-матгиз, 1962. - 884 с.

107. Пугачев, В. С. Теория стохастических систем Текст. / В. С. Пугачев, И.Н. Сшщын. М.: Логос, 2000. - 1000 с.

108. Радченко, В.П. О корреляционной функции для микродеформаций пластичности и ползучести Текст. / В.П. Радченко, А.А. Должковой,

109. A.А. Монеткин II Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской научной конференции. Часть 1. Самара: СамГТУ, 2005. С. 256 - 260.

110. Радченко, В.П. Экспериментальное исследование и анализ полей неупругих микро- и макронеоднородностей сплава АД-1 Текст. /

111. B.П. Радченко, С.А. Дудкин, М.И. Тимофеев II Вестник Самарск. го-суд. техн. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки, 2002. Вып. - 16. — С. 111 -117.

112. Радченко, В.П. Решение стохастических краевых задач для толстостенной трубы из микронеоднородного материала в условиях ползучести методом Монте-Карло Текст. / В.П. Радченко, В.Н. Исуткина, А.Ю. Маргаритов II Дифференциальные уравнения и их приложения.

113. Тезисы докл. Всероссийск. конф. Самара: Универс-групп, 2007. С.21596.97.

114. Радченко, В.П. Статистические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости Текст. / В.П. Радченко, Н.Н. Попов II Известия ВУЗов. Машиностроение, 2006. № 2. - С. 3 - 11.

115. Радченко, В.П. Решение стохастических дифференциальных уравнений реологии на основе метода стохастических испытаний Текст. /

116. B.П. Радченко, А.В. Симонов II Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой. Труды международной конференции, посвященной 70-летию СГЭА. Самара: СГЭА, 2001. С. 251 -255.

117. Радченко, В.П. Стохастический вариант одномерной теории ползучести и длительной прочности Текст. / В.П. Радченко, А.В. Симонов, С.А. Дудкин II Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки, 2001. Вып. 12. - С. 73 - 85.

118. Ристхейн, Э.М. Электроснабжение промышленных предприятий Текст. / Э.М. Ристхейн, А.А. Федоров. -М.: Энергия, 1981. 360 с.

119. Розовский, Б.Л. Эволюционные стохастические системы Текст. / Б.Л. Розовский. М.: Наука, 1983. - 207 с.

120. Романенко, А.Ф. Вопросы прикладного анализа случайных процессов Текст. / А.Ф. Романенко, Г.А. Сергеев. М.: Советское радио, 1968.-256 с.

121. Руднев, П.И. Один компьютер вся измерительная лаборатория. Спектроанализаторы Текст. / П.И. Руднев, С.А. Шиляев. II Приборы, системы управления. - 1999. - №3. - С. 24.

122. Рытое, С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы Текст. / С.М. Рытое. М.: Наука, 1976. - 496 с.

123. Самарин, Ю.П. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов Текст. / Ю.П. Самарин II Изв. АН СССР. МТТ, 1974. № 1.-С. 88-94.

124. Самарин, Ю.П. Стохастические механические характеристики и надежность конструкций с реологическими свойствами Текст. / Ю.П. Самарин // Ползучесть и длительная прочность конструкций. Сб. на-учн. трудов. Куйбышев: КПтИ, 1986. С. 8 - 17.

125. Самарин, Ю.П. Оценка надежности стержневых конструкций по критерию деформационного типа Текст. / Ю.П. Самарин, Г.А. Павлова, Н.Н. Попов Н Проблемы машиностроения и надежности машин, 1990.-№4.-С. 63-67.

126. Самарин, Ю.П. О стохастических уравнениях ползучести Текст. / Самарин, Ю.П., Сорокин О.В. II Механика. Сб. научных трудов. Куйбышев: КПтИ, 1972. Вып. 4. - С. 84 - 92.217

127. Самарский, А.А. Разностные схемы газовой динамики Текст. / А.А. Самарский, Ю.П. Попов. -М.: Наука, 1975. 352 с.

128. Свешников, А.А. Прикладные методы случайных функций Текст. / А.А. Свешников. — М.: Наука, 1968. -464 с.

129. Седов, А.В. Системы контроля, распознавания и прогнозирования электропотребления: модели, методы, алгоритмы и средства Текст. /

130. A.В. Седое, И.И. Надтока. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 2002. -320 с.

131. Синицын, В.И. Метод эллипсоидальной аппроксимации в задачах анализа и фильтрации процессов в стохастических системах Текст. /

132. B.И. Синицын II Системы и средства информатики. М.: Наука. Вып. 2.-С. 154-160.

133. Стратонович, Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике Текст. / Р.Л. Стратонович. М.: Сов. радио, 1961. - 558 с.

134. Стратонович, РЛ. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления Текст. / Р.Л. Стратонович. -МГУ, 1965.-319 с.

135. Тихонов, А.Н. Статистическая обработка результатов экспериментов Текст. IА.Н. Тихонов, М.В. Уфимцев.-Ы.\ МГУ, 1988. -240 с.

136. Тихонов, В.И. Выбросы случайных процессов Текст. / В.И. Тихонов. М.: Наука, 1970. - 392 с.

137. Тихонов, В.И Выбросы траекторий случайных процессов Текст. / В.И. Тихонов, В. И Хименко. М.: Наука, 1987. - 304 с.

138. Тихонов, В.И Случайные процессы. Примеры и задачи Текст. I В.И. Тихонов, Б.И Шахтарин, В. В. Сизых. — М.: Сов. радио, тт. 1 5, 2003, 2004, 2005.

139. Фокин, Ю.А. Вероятностно-статистические методы в расчетах систем электроснабжения Текст. / Ю.А. Фокин. — М.: Энергоатомиздат, 1985.-238 с.

140. Фомин, Я. А. Теория выбросов случайных процессов Текст. / Я.А. Фомин. -М.: Связь, 1980.-216 с.

141. Шидлоеский, А.К. Введение в статистическую динамику систем электроснабжения Текст. / А.К. Шидлоеский, Э.Г. Куренный. — Киев: Наук. Думка, 1984. 273 с.

142. Электрические нагрузки промышленных предприятий Текст. / С Д. Волобринский, Г.М. Каялов, П.Н. Клейн, Б. С. Мешель. — JL: Энергия, 1971.-264 с.

143. Эллиот, Р. Стохастический анализ и его приложения Текст. / Р. Эллиот.-М.: Мир, 1986. -587.

144. Anders, Maciej. Three-dimensional stochastic finite element method for elasto-plastic bodies Text. / Maciej, Anders, Hori Muneo II Int. J. Numer. Meth. Eng. 2001. 51, - № 4. - P. 449 - 478.

145. Bass, R.F. A central limit theorem for D(A)-valued processes Text. / R.F. Bass, R. Руке II Stochastic Process Appl. V. 24, № 1. - P. 109 -131.

146. Betten, J.A. Net stress analysis in creep mechanics Text. J.A. Betten II Ing. Arch., 1982. V.52. №6. - P. 405-419.

147. Boyle, J.T. Stress analysis for creep Text. I J.T. Boyle, J. Spence. London: Butterworths, 1983. - 284 p.

148. Broberg, H. A probabilistic interpretation of creep rupture curves Text. / Я Broberg И Arch. Mech. 1973. -Vol. 25. №2. - P. 871 - 878.

149. Broberg, H. Creep rupture of specimens with random material properties Text. / H. Broberg, R. Westlung II Int. J. Solids and Structures. 1978. -Vol. 14, №12. - P. 959 - 970.

150. Broberg, H. Creep scatter as an inherent material properties Text. / H. Broberg, R. Westlung II Arch. Mech. stosow. 1979. Vol. 31. - №2. - P. 165-176.

151. Cozzarelli, F.A. Effect of random material parameters on nonlinearsteady creep solutions Text. / F.A. Cozzarelli, W.N. Huang II Int. J. Solids219and Structures. 1971.-Vol. 7.-№11.-P. 1477-1494.

152. Efron, B. Computers and the theory of statistics: Thinking the unthinkable Text. / B. Efron // SIAM Review, 1979. Vol. - 21. - № 4. P. 460 -480.

153. Ghanem, R. Hybrid stochastic finite elements and generalized Monte Carlo simulation Text. / R. Ghanem II Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998.-65, №4.-P. 1004-1009.

154. Huang, W.N. Steady creep bending in a beam with random material parameters Text. / W.N. Huang, F.A. Cozzarelli II J. Franklin Instit., 1980. — Vol. 294, №5. - P. 323 - 337.

155. Kaminski, M. Stochastic second-order perturbation approach to the stress-based finite element method Text. / M. Kaminski II Int. J. Solids and Struct. 2001. -38, № 21. P. 3831 - 3852.

156. Leckie, F.A. Some Structural Theorems of Creep and Their Implications Text. / F.A. Leckie II Advances in Creep Design: Applied Science Publisher. London, 1971. P. 49 - 63.

157. Mazilu, P. Sur un probleme plan de la theorie de Pelasticite des milieux heterogenes Text. / P. Mazilu И Comptes Rendus DES Seanses de l'aca-demie des sciences. Ser. A, B. 1969. Vol. - 268, №14. - P. 778 - 781.

158. Radaeyv, Yu.N. Matematical Description of Anisotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics Text. / Yu.N. Radaeyv, S. Murakami, K. Hayakawa II Trans. Japan Soc. Mech. Eng, 1994. V60A. №580. - P.68 -76.

159. Schueller, G.I. Computational stochastic mechanics recent advances Text. / G.I. Schueller II Comput. and Struct. 2001. - 79, № 22-25. - P. 2225 - 2234.

160. Westlung, R. Properties of a random creep process Text. IR. Westlung II Int. J. Solids and Structures. 1982. Vol. 18. - №4. - P. 275 - 283.

161. Yang, Haitian. Perturbation boundary-finite element combined methodfor solving the linear creep problem Text. / Haitian Yang, Xinglin Guo II2201.t. J. Solids and Struct. 2000. 37, № 15. - P. 2167 - 2183.