автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование многомерных электромагнитных полей в неоднородных средах

РГ6 од

О - ПОП 1995

На правах рукописи.

Галанин Михаил Павлович

Математическое моделирование многомерных электромагнитных полей в неоднородных средах.

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико - математических наук).

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук.

Работа выполнена в Ордена Ленина Институте прикладной математики им. Ы. В. Келдыша Российской академии наук.

Официальные оппоненты :

Доктор физико - математических наук, профессор Дмитриев В. И.

Доктор физико - математических наук, профессор Днестровский D.H.

Доктор физико - математических наук, профессор Четверушкин Б. Н.

Ведущая организация (предприятие) :

Люберецкое научно - производственное объединение "Союз".

Защита состоится "¡3 " iA 1995 г. в /(з Un> на

заседании диссертационного совета Д. 053. 05.37 в Московском государственном университете им. И.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва. Воробьевы горы, МГУ им. Ы. В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ы. В. Ломоносова.

Автореферат разослан" " _ 199 г.

Ученый секретарь диссертационного сове

доктор физ. - мат. наук, профессор

Общая характеристика работы.

Актуальность работы.

Необходимость рассчитывать пространственно многомерные электромагнитные поля возникает при решении широкого круга задач науки и техник» (магнктогидродииамические генераторы энергии, электродинамические ускорители плазмы, астрофизические объекты, распространение эдентромагнятного имяульсз и т.д.).

Такие поля можно вычислять на основе полной системы ураававий ёаксвелла. Однако в ряде случаев описание можно упростить, восгохь-зоаавшсь характерными параметрами изучаемых процессов, важным классом которых являются т.н. квазисташюнарные или кагнитогидродинами-ческие (МГД). Использование системы уравнений Максвелла в ЫГД - приближении позволяет построить модели, эффективно описывающие изучаемою явления, а также разработать соответствующие вычислительные алгоритмы для их расчета. При этой сложность модели соответствует сложности процесса.

Для прикладных задач технической электродинамики типичной является ситуация, когда в расчетной области содержатся подобласти с резко различными электрофизическими свойствами. Например, это могут бить проводники (горячая плазма, электроды), в которых электропроводность высока, и диэлектрики (пустоты, колодный непроводящий газ и т.п.), где электропроводность равна нулю. Часто в таких задачах величина характерной скорости протекающих процессов существенно кевьое скорости света. При этом оказывается, что в проводящей подобжасти выполнены условия применимости квазистационаркого (или МГД - кзгнн-тогидродинамического) приближения, а в непроводящей - нет. Перенос заряда ведет к выделение тепла в проводящих частях, а также кг двя-гегию под действием силы Лоренца. Поэтому чаще всего наибольший нате рес представляет разнообразные явления, связанные с электромагнитными полями, в проводящей части. Такие электромагнитные поля и явления, их сопровождающие, - являются предметом изучения в настоящей диссертации.

Работа является актуальной как по области приложения разрабатн-ваемых методов - многомерным квазистационарным электромагнитным по-жям в неоднородных средах - в связи с типичностью изучаемых явлений, так и по развиваемым вычислительным алгоритмам и методам иссдедова-пй, применимым для решения широкого круга других естественнонаучных задач.

Цель работы.

Целью диссертации является разработка и обоснование однородных методов математического (включая численное) моделирования пространственно многомерных квазистационарных (или МГД) электромагнитных полей и сопутствующих явлений в средах с резхо неоднородными электрофизическими свойствами. В основном это будут диэлектрики и проводники, в т.ч. идеальные проводники. В средах при этом возможно движение, а уравнения Максвелла внутри области могут репаться совместно с электротехническими уравнениями внешней цепи.

Целыз является также моделирование конкретных физических процессов для пространственных задач различной размерности, включая трехмерный. Изложение будет вестись на примере электродинамических ускорителей проводящих тел.

Научная новизна и практическая значимость.

Новизну предлагаемой диссертации отражает следующие элементы :

- в работе рассматриваются среды с резко неоднородными электрофизическими свойствами. При этом под резкой неоднородностью понимается существование подобластей с электропроводностью, или равной нулю или большей нуля и ограниченной, или равной бесконечности, что приводит к изменению типа рассматриваемой системы уравнений в соответствующих подобластях за счет вырождения некоторых членов ;

- в работе изучаются, развиваются и исследуются однородные по пространству модели и соответствующие вычислительные алгоритмы ;

- все разработанные в работе алгоритмы доведены до программной реализации, включая трехмерный случай ;

- результаты применения разработанных моделей и алгоритмов для описания процессов, протекающих в электродинамических ускорителях проводящих тел, также являются новыми.

С точки зрения приложений необходимость в решении задач моделирования электродинамических ускорителей возникает из потребностей науки и техники. В частности, такие устройства позволяют получать уникальные скорости махротел, превышающие скорости, даваемые обычными пороховыми ускорителями, что дает возможность создавать новые приборы и устройства для исследования поведения вещества при сверхвысоких скоростях, давлениях и т.п. Эффективная разработка таких устройств, а также исследование протекающих в них явлений, без математического моделирования невозможны.

Апробация работы.

Катернах диссертации докладывался на следующих семинарах, сове-

(аниях и- конференциях : Всесошной научной конференции "Современные роблемы математической физики и вычислительной математики" (Москва, «враль 19S9 г.); семинаре "Физико - химические свойства вещества" в ИИ Механики МГУ им. М. В. Ломоносова (апрель 1989 г.); совещании в НИИМАШ (г. Калининград Московской обл.. май 1989 г. ); 4-ой конфе-енции по дифференциальным уравнениям и приложениям (г. Русе, НРБ. вгуст 1989 г.); 15-ой национальной летней школе "Приложения мате-атики в технике" (г. Варна, НРБ, август 1989 г.); 2-ой Всесоюзной онференции "Современные проблемы численного анализа" (г.- Тбилиси, ентябрь 1989 г.): Международной конференции "Математическое модели-ование и прикладная математика" (IMACS) (Москва, июнь 1990 г.); !ежреспубликанском семинаре "Численные методы и прикладная математи-а" (г. Вильнюс, октябрь 1990 г. ); 17-ой Национальной летней школе Приложения математики в технике" (г. Варна, НРБ, сентябрь 1991 г. ); - ом Всесоюзном семинаре по динамике сильноточного дугового разря-. а в магнитном поле (г. Новосибирск, декабрь 1991 г. ); Всероссийской аучной конференции "Современные проблемы математического моделиро-ания" (Решма, ноябрь 1993 г. ); 2 - ой Международной научно - техни-еской конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" CPFS'94) (Москва, январь 1994 г. ); семинаре кафедры вычислительных етодов факультета ВМиК МГУ им. И. В. Ломоносова (зав. кафедрой акаде-ик А.А.Самарский, сентябрь 1995 г.); 24-ой Международной Конфе-енции по электрореактивным двигателям (Москва, сентябрь 1995 г. ); еминаре по электродинамике физического факультета МГУ им. М. В. Ломо-осова (руководитель профессор А.Г.Свешников, сентябрь 1995 г.); се-инарах ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. Результаты также были представлены a 7th Electromagnetic Launch Technology Symposium (San - Diego, al., USA, april 1994); 5th European Symposium on EML (Toulouse, ranee, april 1995).

Публикации no теме диссертации.

Диссертация подготовлена на основе 30 печатных работ автора, риведенных в списке литературы. Из них : монографий - 1, журнальных татей - 4, статей в сборниках или трудах конференций - 6, преприн-ов - 15, тезисов докладов - 4.

Структура н объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка итературы из 183 наименований. Текст диссертации изложен на 385 траницах машинописного текста, включая 53 рисунка и 18 таблиц.

Постановка задачи и общая характеристика проблемы.

1. Электромагнитные поля можно описать моделью, содержащей систему уравнений Максвелла :

го/ Н = |5 i П-ff (1)

roí Е - t Ш

rot ~ с ЭТ

div Е = 4 я pt . dto Н = О совместно с уравнением неразрывности и законом Ома :

g^e + dito j = О , j = с Е (2)

а также соответствующие начальные и граничные условия (при изучении полей в ограниченной области С с границей 9G).

Система уравнений (1), (2) при этом рассматривается в области Ir, 1) € G * СО, TQ). Обозначения стандартные : г = (х, у, г) - радиус - вектор, t - время. Ев И - напряженности элехтрического и магнитного полей соответственно, j - плотность электрического тока, сг - электропроводность, ре - плотность электрического заряда, с -скорость света. Система (11. (2) записана в размерных единицах.

Распространение полей и токов вызывает выделение тепла в проводящих подобластях, поэтому указанные уравнения необходимо решать совместно с уравнением энергии. К тому хе величина о~, вообще говоря, зависит от температуры, так что без учета уравнения энергии математическая модель будет несамосогласованной.

В случае сред с высокой электропроводность» описание полей можно заметно упростить, используя систему уравнений Максвелла ь магки-тогидродинамическом (ЫГД) приближении, в котором пренебрегает токами смещения i- в первом уравнении (1). При отсутствии в среде движения ЫГД - приближение совпадает с квазистационарным.

В монографии [А.Г.Куликовский, Г.А.Любимов] приведены оценки, которые показывают, что при выполнении условия

7ГТ-€1 (3)

■Vo

второй член в правой части первого уравнения (1), связанный с токами смещения, пренебрежимо мал по сравнение с первым. А выполнение неравенства

-,3

<1 (4)

'О

Ш'

1 ЯР

обеспечивает малость члена ду по сравнению с rot H. В неравенствах (3), (4) используются х„ и tQ - характерные пространственный и временной масштабы изучаемого явления.

Иожно показать, что неравенство (3) обеспечивает быстрое рассасывание начального заряда, так что на рассматриваемом временном интервале TQ плотность заряда ре можно считать пренебрежимо малой величиной по сравнение с начальной.

Итак, выполнение неравенств (3) и (4) обеспечивает малость тока смещения по сравнении с током проводимости, малость энергии электрического поля по сравнению с энергией магнитного (Е2 « Н2) и малость Ре> После приведения к безразмерному виду система уравнений Максвелла а квазистациокарнои приближении имеет форму :

rot H = 4 ir <r E (r, t) € G • (0, TQ) (5)

rnt P - aH

rot E = - gpj-

div H = 0 , j = <r E

Отметим, что математически строгое обоснование перехода от системы (1) к (5) делается в редких случаях. Однако ira практике квази-стациоиарное приближение широко распространено и опробовано кз различных задачах.

Пренебрежение током смещения приводит х изменению структуры системы. Система (5) формально соответствует (1), если а уравнениях (1) после перехода к безразмерным переменным (в котором использованы независимые масштабы xQ и tQ) положить скорость распространения возмущений (равную скорости света с) равной бесконечности :

roí а - I |f- = 4 ж о- Е (6)

Отметим, что при этом третье уравнение (1) из (5), вообще говоря, не следует. Оно будет получаться из (5) лишь при постоянной по пространству электропроводности аг з 0.

Всюду далее при изучении электромагнитных процессов в средах без движения будет рассматриваться система уравнений в виде (5).

Предполагается, что в начальный момент времени

Е = Н = 0 (7)

На границе области 8G = и Г2 заданы следующие граничные условия :

Ет I Г 6 Г, = *т (г- » I г € Г. (8)

"г | г « Г2 - <'• « | г € Г2 Индексы *т" или "л" указывает на тангенциальную или нормальную (соответственно) компоненту поля. Из второго уравнения (5) следует, что на Г3 задано

I rot Е )т I = Ф-Cr.t) I = - Sir <г,1) I (9)

т | г е Г2 х I г € Г2 л I г € Г2

2. Для большого числа задач технической электродинамики, которые и рассматриваются в настоящей работе, условие (4) выполнено. В то хе время в типичной ситуации, когда наряду с хорошо проводящими ток подобластями в рассматриваемой области присутствуют непроводящие части, условие (3) в последних не выполняется. При этом оценки для решения во всей области, следующие из неравенств (3), (4), вообще говоря, перестают быть справедливыми.

Будем рассматривать случай таких систем и процессов, что выполнено (4). В рассматриваемой области G могут содерхаться проводники и диэлектрики. При этом в проводящей подобласти выполнено и условие (3) применимости квазистационарного приближения. Будем применять для описания электромагнитных полей систему уравнений Максвелла в квазистационарном приблихении.

Целесообразность такого подхода диктуется следующими соображениями. Неравенство (4) означает, что электромагнитная волна проходит характерный размер системы за время, существенно меньшее характерного времени рассматриваемого процесса. Попытка численного решения полной системы уравнений Максвелла приведет в этом случае к необходимости использовать очень малый шаг сетки по времени, чтобы описать движение электромагнитной волны в диэлектрике. Описание хе полей в диэлектрике с помощью полной системы уравнений Максвелла, а в проводнике - системой уравнений Максвелла в кваэистационарном приблихении, приведет к существенно неоднородному вычислительному алгоритму. Для широкого круга рассматриваемых задач основной интерес представляют поля в проводящей подобласти. Поэтому необходимо иметь модель, позволяющую наиболее простым образом, не усложняя решение всей задача, учесть наличие диэлектрика. Желательно, чтобы эта модель была однородной по различным подобластям и давала физически содержательное решение. Опуская ток смещения, получаем из гиперболической системы уравнений систему параболико (в проводящей части) - эллиптического (в непроводящей части) типа. При этом избавляемся и от сингулярно возмущенной (при (4)) задачи (6).

Такой подход не лишен и недостатков. Главный состоит в потере единственности решения в области диэлектрика. Заранее также неясно, насколько сильно при этом исказятся поля в проводнике по сравнению с. полной моделью.

3. Целью настоящей работы является разработка и обоснование однородных методов математического моделирования пространственно многомерных квазистационарных (или ЫГД) электромагнитных полей и сопутствующих явлений в средах с резко неоднородными электрофизическими свойствами. В основном это будут диэлектрики и проводники, в т.ч. идеальные проводники. В средах при этом возможно движение, а уравнения Максвелла внутри области могут решаться совместно с электротехническими уравнениями внешней цепи. Целью является также моделирование конкретных физических процессов для пространственных задач различной размерности, включая трехмерный. Изложение будет вестись на примере электродинамических ускорителей проводящих тел.

Известны преимущества однородных вычислительных алгоритмов [А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Ю.П.Попов]. Такие алгоритмы позволяют вести расчет во всей временной или пространственной области по одним и тем же соотношениям, не выделяя явно какие - либо особенности решения или границы подобластей, которые могут возникать и изменяться во времени, тем самым избегая процедуры сиивки решений. При этом происходит экономия памяти используемой ЭВМ и ускорение счета за счет уменьшения числа действий из - за отсутствия необходимости явного выделения границ раздела.

Такая модель нужна и для решения ряда задач магнитной гидродинамики, в которых положение границ непроводящих подобластей может быть заранее неизвестно. В пространственно одномерном случае существует эффективный численный алгоритм - потоковая прогонка, позволяющий вести расчет однородным образом [Л.М. Дегтярев, А. П. Фаворский]. Для пространственно многомерных задач такие методы необходимо развивать. Они представлены в данной работе.

Использование квазистационарного приближения во всей области приводит к неединственности определения электрического поля в диэлектрике. Если основной интерес представляет решение в проводящей части, то такая неоднозначность не является главной с точки зрения ее влияния на решение в проводнике. Поля в проводнике определяются единственным образом. Единственна и энергия в системе, поскольку магнитное поле единственно всюду, а энергия электрического пренебрежимо мала. Но с точки зрения корректности постановки задачи и воз-

ыокноста численного нахождения решения единственность необходима. Во - первых, ясно, что с физической точки зрения единственность есть. Модель должна соответствовать физике явления. Во - вторых, для численного расчета оператор задачи должен быть положительно определен. В противном случае необходимо использовать специальные методы решения, которые опять - таки должны выделить единственное решение. Тем самым ясна необходимость модели, позволяющей единственным образом определять электромагнитные поля в квазистационарном приближении.

Б диссертации разработана такая модель. Для решения задач без движения ее ыожно записать в терминах Е. Она состоит из уравнения

(4я a E)t = - rot rot Е + в (оО grad div Е в С * (О, Т0) где используется вспомогательная функция

а также условий в начальный момент времени и на границе, включая дополнительные, которых не было в исходной задаче.

В диссертации показано, что задача для Е, содержащая уравнение с дополнительным слагаемым, является корректно поставленной. Т. е. решение такой задачи единственно и устойчиво по отношению к изменениям входных данных. Ухазан алгоритм построения решения. Получены оценки, свидетельствующие о близости решения такой задачи и решения полней системы (1) при выполнении (3), (4). Тек самым ресен вопрос обоснования применимости квазистационарного приближения для описания электромагнитных полей в решаемых задачах.

4. При описании электромагнитных явлений во многих прикладных задачах существенным элементом являются внешние электрические цепи. С точки зрения формулировки математической модели учет такой цепи состоит в присоединении к основной системе уравнений дополнительных соотношений - электротехнических уравнений цепи. Эти уравнения, вытекающие из законов Кирхгофа, связывают значения разрядного тоха в цепи, напряжения на емкости и напряженностей электромагнитного поля на некоторых участках границы области, в которой ищется решение исходной задачи. Разрядный ток в цепи при этом'зависит не только от ее электротехнических параметров, но определяется и электромагнитными процессами во всей системе.

Попытки упрощенно решить вопрос учета электротехнической цепи, задавая, например, экспериментальный закон изменения разрядного тока, оказываются, вообще говоря, несостоятельными. Математическая мо-

деяь при этой перестает быть самосогласованной. Это может вести, в частности, к нарупюгаю баланса энергии в системе (см. [А. А.Самарский, Ю. П.Попов]).

Для пространственно одномерного случая вопросы построения численного алгоритма внешней цепи совместно с системой уравнений магнитной гидродинамики рассмотрены в указанной работе. В настоящей работе эти вопросы обобщены на случай двух и трех измерений. При этом оказалось, что процедура одновременного описания внешности трехмерного ускорителя путем использования сосредоточенных характеристик (элементов внешней цепи), а внутренности - путем использования трехмерной системы уравнений Максвелла для распределенных величин, - является противоречивой. Выражается это физически в необязательности выполнения закона сохранения энергии в системе ускоритель плюс цепь, а на языке уравнений - в несамосспрязенности соответствующего оператора.

В диссертации сформулирована и реализована модель, которая позволяет согласованно описать процессы во внешней электрической цели (с использованием электротехнических уравнений) и трехмерные электромагнитные поля внутри ускорителя (с использованием системы уравнений Максвелла в кваэистационарноа приближении). При этом в модели автоматически выполнен закон сохранения энергии, а соответствувадей оператор является самосопряженным.

5. Рассмотрение поставленных вызе вопросов для случая движения проводников в системе позволяет расширить исследование на широкий круг новых явлений. В соответствия с общим подходом будем описывать электромагнитные поля в этом случае системой уравнений Максвелла в МГД приближении :

rot Н = 4 n а Е (10)

rot Е - rot [и * Н] = -

div Н = 0 , j = о- Е

От (5) система уравнений отличается наличием скосового члена [и * Н] во втором уравнении. В (10) и - скорость движения вещества, Е -напряженность электрического поля в системе координат, в которой среда покоится, Н от системы координат не зависит. Для системы уравнений (10), как нетрудно видеть, также справедливо утверждение о неединственности поля Е в диэлектрической части области. Однако (10) существенно отличается ог (5) : из системы (5) можно исключить Н и получить одно уравнение второго порядка относительно Е. В случае

10) такую процедуру осуществить не удается. Стандартный путь решетя (10) в магнитной гидродинамике состоит в исключении Е путем вы->акения напряженности электрического поля через rot Н из первого сравнения и подстановки во второе уравнение. При обращении сг в не-фоводящей части в нуль этот путь уже неприменим.

Развитие методов однородного моделирования полей в областях с >езко неоднородными электрофизическими свойствами при наличии движе-шя очевидным образом может дать новый метод решения задачи (5), поскольку при «во система (10) переходит в (5). В настоящей работе федложена однородная модель для расчета полей во всей исследуемой >бласти и при наличии движения в системе. При этом описание ведется i-терминах векторного потенциала А.

Основное уравнение модели имеет вид :

4 я «г {[и • rot А] - Jjj- + (v. V) А) =

rot rot А - в (о-) grad div А : той хе функцией в (о-), что и раньше. Это уравнение дополняется иа-(альными и граничными данными, имеющими вид, сходный со случаем не-юдвижных проводников, в котором описание полей может производиться » терминах Е.

6. Все рассмотренные в диссертации модели доведены до уровня фограмнной реализации и получения численных результатов. Численно >ешены задачи различной пространственной размерности, начиная от (уль - до трехмерной. Разработаны, обоснованы и реализованы вычислительные алгоритмы, полученные различным образом : конечноразностные i конечноэлементные.

Конечноразностные схемы основаны на использовании пространств ¡еточных функций, разностных аналогов основных операторов векторного шализа, а также аналогов скалярного и векторного произведений, -градационных для алгоритмов, развитых на основе операторного подхояа А.А.Самарский, В.Ф.Тишкин, А. П.Фаворский]. На их базе построены и «авизованы полностью консервативные разностные схемы для задач как : движением, так и без него.

Подробно исследованы разностные схемы для задач без движения с гчетом наличия диэлектриков. Изучена их устойчивость по начальным (энным. Оценена нижняя граница спектра конечноразностного оператора (ля решения на новом временном слое, доказана ее строгая положитель-шсть. Это потребовало построения разложений используемых пространств в прямую сумму, аналогичную разложению пространства L2 в кон-

тинуальном случае. Доказательство строгой положительности оператора основано на использовании конечноразносткых аналогов неравенств вложения для следов функций из Исследование проблемы сеточных следов для двумерного случая было выполнено ранее. Для трехмерного случая неравенства для следов сеточных функций были получены автором и приведены в настоящей диссертации. Они имеют значение для широкого класса конечноразностных схем для задач с неоднородными граничными условиями.

Для изучения возникающих особенностей решения и численного ре- . гения задач в областях произвольной формы разработаны конечноэле-ментные схемы. Рассмотрен пространственно двумерный вариант.

Для детального изучения особенностей решения стационарных задач в рассматриваемых областях разработаны, обоснованы и реализованы схемы, основанные на методе Галеркина - Петрова, с явным выделением возникающих особенностей. Расчеты показали их высокую эффективность.

Изучена задача о переходе металлического электрического контакта движущихся проводящих тел в контакт иной природы, сопровождаемый фазовыми перекодами. Интерес представляет рассмотрение тел произвольной формы. Для этого разработана полностью консервативная конеч-иоэлементная схема на треугольных сетках, основанная на комбинации методоз Галеркина и Галеркина - Петрова. Проведена монотонизация ре-пения, необходимость которой вызвана имеющимися конвективными членами. Разработана нелинейная схема с ограничением искусственной диффузии, повышающая порядок точности схемы. Проведены циклы расчетов явления трансформации контакта.

7. В качестве приложений разрабатываемых моделей и алгоритмов рассматривается электродинамический ускоритель макротел типа рельсо-трон. Исследование осуществляется на примере рельсотрска, соответствующего реально используемым устройствам. Такой ускоритель содержит направляющие электроды_ - рельсы, по которым протекает ток. Рельсы замкнуты ускоряемым проводящим телом - якорем. Взаимодействие тока, текущего через якорь, с магнитным полем в ускорителе создает силу Лоренца, выталкивающего якорь из ствола ускорителя. На входе находится электрическая цепь, через которую производится энергопитание рельсотрона. Необходимость в решении задач моделирования электродинамических ускорителей возникает из потребностей науки и техники. В частности, такие устройства позволяют получить уникальные скорости макротел, превышающие скорости, даваемые обычными пороховыми ускорителями, что дает возможность создавать новые приборы и устройства

для исследования поведения вещества при сверхвысоких скоростях, давлениях я т. п.

Существует значительное число работ, посвященных моделированию процессов, протекающих в электродинамических ускорителях. Наиболее распространенным является упрощенный способ моделирования, при кото-, рои ускоритель заменяется эквивалентной электрической цепью с последующим использованием уравнений цепи. К иену примыкают работы С cii.. например, [А Д.Подольцеа]), в которых устройство разбивается либо на слои с параллельными токами, либо на набор токовых контуров. Они заменяются элементами цепи, после чего решаются уравнения для цепи. В ряде работ используются в явном виде уравнения Максвелла, ускорители рассматриваются в пространственно двумерной геометрии. Для моделирования используется область, представляющая собой продольное или поперечное сечение редьсотрона. Иначе обстоит дело с расчетами в пространственно трехмерном случае. Так, в работе [S. P. Atkison] описывается программа для трехмерных расчетов. Однако на момент написания работы эта программа находилась в стадии развития и позволяла проводить лищ> расчеты в двумерной геометрии. При этом в расчетах не учитывалось двикение и не было вычисления температуры. Отметим, что в работах, посвященных. собственно двумерным задачам, такие расчеты, как правило, велись. Укажем также работу [Э.М.Дробышевский, В.С.Юферев], где с помощью векторного потенциала моделируются электромагнитные поля в случае двумерной геоиетрии, соответствующей поперечному сечению рассматриваемого ускорителя. При этом рельсы (по длине канала ускорителя) считаются бесконечно длинными. Такая ситуация является типичной для работ no численному моделированию электродинамических ускорителей. Сложность изучаемых процессов заставляет, как правило, делать существенные предположения, упрощающие модель. Это либо представление ускорителя в виде эквивалентной электротехнической цепи, либо задание извне таких важных характеристик, как протекающий ток, скорость движения, либо предположения о структуре поля, либо отсутствие движения и т.п., нарушающие самосогласованность задачи.

Численное моделирование рассматриваемых процессов с движением в трехмерной геометрии началось сравнительно недавно. В последнее время появился пакет MEGA для расчета электродинамических процессов путем решения системы уравнений Максвелла {D.Rodger], давший толчок работай с его применением.

Разработанное автором программное обеспечение отличается от

указанных главным образом использованием однородного описания полей по подобластям с разный типом электропроводности. В пакете MEGA [D.Rodger] в области диэлектрика поля рассчитывается через скалярный магнитный потенциал, а в проводнике - через векторный. В данной работе поля всюду рассчитываются через векторный магнитный потенциал. Другие отличия состоят в различных способах калибровки векторного потенциала, выборе способа дискретного описания процессов и числен-, ного моделирования.

В диссертации представлены результаты расчетов процесса электромагнитного ускорения в приближениях различной размёрности : от нуль - до трехмерной. В частности, систематические расчеты трехмерных задач позволили исследовать временную зависимость основной характеристики реяьсотрона - погонной индуктивности (отношение действующей силы Лоренца к квадрату протекающего тока), а также оценить влияние параметров устройства и внешних данных на эффективность разгона. Серии двумерных расчетов дали возможность изучить явление трансформации металлического контакта в контакт иной природы. Сравнены модели различной сложности, применяемые для описания одного процесса и т.д.

Содержание диссертации.

. Перейдем к содержанию диссертации. Она состоит из введения, пяти глав, заключения и списха литературы.

Во введении описана постановка рассматриваемой задачи, дан краткий анализ текущего состояния проблемы и обзор имеющейся литературы, обоснована актуальность и значимость изучаемых вопросов для задач наухи и техники, кратко изложено содержание диссертации.

В главе I исследованы вопросы корректности, возникающие при построении и обосновании модели для описания многомерных квазистационарных электромагнитных полей в областях типа проводник - диэлектрик в отсутствии движения.

В § 1 исследована единственность решения задачи для системы (5) при наличии диэлектрика и показано, что в проводящей подобласти per шение единственно, а в диэлектрике напряженность магнитного поля Н определяется единственно, а Е - с точностью до градиента некоторой скалярной функции. Указаны причины такой неединственности, приведены примеры. Тем самым необходимы дополнительные условия, позволяющие получить единственное и физически содержательное решение.

6 качестве такого калибровочного условия выбрано :

Ли Е = О (11)

Е ! =0

■ I Г с Г22

где Г22 - часть границы диэлектрической подобласти типа Г2- В § £ изучена разрешимость совместной системы уравнений (5), записанной в терминах Е, с дополнительными условиями (11). Показана единственность решения полученной модели (при соответствующих ограничениях на область). Исходная система уравнений в терминах Е модифицирована таким образом, что ее решение автоматически удовлетворяет дополнительным условиям, введенным для единственности.

В § 3 рассмотрен другой способ выделения единственного решения : определение нормального решения, т. е. имеющего минимальную интегральную норму. Показано, что в рассматриваемых областях нормальнее решение задачи совпадает с полученным при использовании введенного калибровочного соотношения.

Для исследования решений уравнений Х!аксвелла необходимы нера--венства, связывающие нормы вектор - функций, имеющие существенное о-- ше от скалярного случая.. Такие неравенства установлены в ряде ро^^г, см., например,. [3. Б. Быховский, Н. В. Смирнов]. В частности, там доказана справедливость неравенства, связывающего нормы самой функции, ее ротора и дивергенции :

1 и I2 £ С ( | го* и |2 + 1 Но I) I2) (12)

с положительной постоянной С зависящей только от области и ее границы. Но при этом не проведено детального исследования всех величин, входящих в (12), которое постоянно используется в работе. Для многих случаев желательно знать зависимость всех констант в (12) от области, границы и т. п. В связи с этими соображениями в § 4 дается вывод (12), в ходе которого получены входящие в него коэффициенты.

В § 5 рассмотрены различные варианты постановки задачи с точки зрения устойчивости решений по отношению к входным данным. Рассмотрены три варианта определения единственного решения в диэлектрической подобласти : задача с модифицированным оператором, поиск нормального решения, введение малой искусственной электропроводности в непроводящей подобласти. Показано, что в последнем случае решение фактически неустойчиво. С точки зрения устойчивости из трех рассмотренных лучшей является модель, решение которой автоматически удовлетворяет дополнительным калибровочным условиям (11), т.е. оператор

которой соответствующим образом модифицирован.

При использовании квазистационарного приближения с диэлектрической подобластью априори неясно, насколько сильно исказится поле в проводнике по сравнению с полной моделью, будет ли поле в диэлектрической части соответствовать полному описанию.

§ 6 посвящен оценке близости'решений системы уравнений Максвелла в полном виде и в квазистационарном приближении (со введенными дополнительными условиями). Главным результатом является доказательство сходимости напряженностей магнитного поля во всей области и на-пряженкостей электрического поля в проводящей подобласти, соответствующих полной и приближенной системам, друг к Другу при стремлении к нулю д. - отношения характерной скорости процесса к скорости света. Этот результат для среды с резко неоднородными по электропроводности подобластями получен при рассмотрении задачи на ограниченном временном интервале. Без этого требования исследована задача для проводящей среды. Рассмотрены варианты начальных данных. Получены оценки разностей ресзплй через зяодвые данные задачи, указывающие на наличие или отсутствие временник пограничных слоев. Приведены оценки ре-гсэниЯ в случае однородной непроводящей среды, свидетельствующие об отсутствии близости решений.

При исследовании основных свойств решения задачи, таких как существование, единственность и устойчивость решения, одним из ключевых моментов является доказательство положительности дифференциального (действующего по пространственным переменным) оператора задачи. Аналогичная проблема возникает и при исследовании разностной модели. При этом задача на каждом временном слое' имеет вид

А у - 1 (13)

где А - нехоторьй линейный оператор, у - вектор неизвестных, f -вектор правых частей.

Основной целью данной работы при изучении положительности А (здесь - оператора разностной схемы для квазистационарных полей в неоднородных средах) является исследование случая, разностного как по пространству, так и по времени. Для этого предварительно в § 7 рассмотрена дифференциально (по пространству) - разностная (по времени) схема для решения (51 у доказана строгая положительность оператора задачи. Получена оценка нижнего собственного значения.

Глава 2 посвящена разностной дискретизации задачи. Целью главы является построение и исследование разностных схем для задачи (5).

В § 1, 2 введены пространства сеточных функций и разностные аналоги основных операторов векторного анализа. Введены билинейные формы - аналоги скалярного и векторного произведений. Они являются традиционными для алгоритмов, построенных на основе операторного подхода.

В дальнейшем нам понадобится разностный аналог использованного в § 7 гл. 1 разложения пространства Ь2(0 в сумму ортогональных подпространств. Поэтому в § 3 проведено разложение используемых пространств сеточных функций, указан его алгоритм и доказана единственность представления.

В § 4 построена полностью консервативная разностная схема для рассматриваемой задачи, в которой выполнены разностные аналоги дифференциальных соотношений для балансов энергии. Рассмотрены случаи электропроводости, зависящей и независящей от времени. Схема имеет ряд особенностей. Например, это переменный от слоя к слою временной вес, возникающий вследствни необходимости обеспечить возможность преобразования схем для рассматриваем» задачи, записанной е терминах различных величин, друг в друга. Переменный вес определяется переменным временным шагом.

Как известно, установление разрешимости, единственности и устойчивости решения (13) связано с получением неравенства

У, (В у. у) * (А у, у) 5 у2 (В у, у) (14)

с некоторым линейным положительным оператором В и положительньми коэффициентами и К2, называемыми постоянными энергетической эквивалентности операторов А и В [А. А. Самарский, Е. С. Николаев].

Целью § 5 является установление неравенства (14) для некоторых операторов В в конечноразностном случае. В нем на основе разложения пространства сеточных вектор - функций (аналога известного в континуальном случае разложения пространства 12Ю)) и неравенств, связывающих нормы следа и функции в конечноразностном случае, доказана строгая положительность оператора задачи. Оценена степень обусловленности соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены частные случаи. Например, для одномерного аналога рассматриваемой задачи в случае оптимального в классе диагональных операторов В получаем, что обусловленность конечноразностной задачи определяется только эллиптической частью оператора.

В § 6 энергетическим методом исследована устойчивость построенных в § 4 разностных схем по начальным данным, в т.ч. в случае нали-

чия диэлектрических подобластей.

Как оказалось, получение нижней оценки оператора в § 7 гл. 1 тесно связано с проблемой следов функции из на поверхности ЗС.

Получение аналогичной оценки в случае, разностном и по пространственным переменным, требует использования соответствующих неравенств для сеточных функциий. В работах других авторов эти неравенства установлены либо для пространственно двумерного случая [В. Б. Андреев], либо на уровне доказательства существования и непрерывности соответствующих операторов вложения или продолжения и, тем самым, существования получающихся коэффициентов.

Желательно знать значения этих коэффициентов, либо иметь конструктивный алгоритм их получения в достаточно общем случае. Для пространства сеточных функций, заданных на ортогональной сетке, построенной в трехмерной области О, в § 7 получены неравенства, связывающие нормы следа функции на границе области и ее самой внутри. Рассмотрены варианты задания нормы следов сеточных функций. Получен полный набор оценок. А именно, доказана возможность продолжить сеточную функцию с границу внутрь облаете так, что норма продолжения оценивается сверху через норму следа на границе. Указан алгоритм продолжения. И обратно, получена оценка следа фунхции через ее норму внутри области.

Глава 3 посвящена разработке моделей учета внешних электрических цепей во внутренних задачах электродинамики и проведению расчетов пространственно двумерных и трехмерных электромагнитных полей в модельных электродинамических ускорителях в отсутствии движения.

В §§ 1 - 3 рассмотрена задачу об определении решения (5) на примере модельного электродинамического ускорителя плазмы, имеющего цилиндрическую симметрию. Его существенным элементом является внешняя электрическая цепь. Рассмотрены вопросы учета внешних электрических цепей и построения консервативных разностных схем в этом случае. Представлены результаты выполненных расчетов электромагнитных полей совместно с процессами во внешней цепи для двумерного случая. Описаны особенности применения различных алгоритмов обращения СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений).

В §5 4 - 6 поставлены и решены численно пространственно двумерные й трехмерные задачи для ускорителя типа рельсотрон в случае короткого замыкания рельсов неподвижным проводящим якорем. Представлены результаты численного моделирования, выполненные с использованием построенных разностных схем. Проведённые расчеты позволили выбрать |

I )

алгоритм обращения СЛАУ:

В § 7 рассмотрены особенности учета внешних цепей в пространственно трехмерном случае на примере трехмерного ускорителя плазмы, подобного рассмотренному в первых параграфах главы. Принципиально важными для данной работы являются два обстоятельства : во - первых, ускоритель имеет существенно трехмерную пространственную геометрию, и, во - вторых, его питание происходит от внешней электрической цепи. При этом возникает ряд трудностей, имеющих чисто "трехмерную природу". Это вызвано несогласованным описанием полей вне ускорителя (при этом они описываются электротехническими уравнениями цепи с сосредоточенными параметрами) и внутри ускорителя (поля описываются трехмерной системой уравнений Максвелла). Связь внешности и внутренности задается через граничное значение Н, которое в действительности неизвестно. Результатом такого рассогласования является отсутствие гарантии выполнения закона сохранения энергии в система, а на языке уравнений - в несамосопряженности полученного оператора.

В § 8 построена и исследована модель, позволявшая согласованно описывать явления в трехмерном электродинамическом ускорителе и цепи. При этом в модели автоматически выполнен закон сохранения энергии в системе ускоритель плюс цепь, а оператор разностной схемы является самосопряженным. Изложение проиллюстрировано расчетами. Описаны различные попытки решения задачи, в т. ч. и неудачные.

В главе 4 рассмотрена задача для системы уравнений (10) на примере ускорителя типа рельсотрон с проводящим якорем, движущимся под действием силы Лоренца.

В § 1 подробно описана постановка задачи. Для ее решения в § 2 введены смешанные эйлерово - лагрангевые (СЭЛ) координаты. Необходимость их использования следует из самой задачи, в.которой требуется рассчитывать поля в переменной пространственной области. Для построения полностью консервативной схемы на подвижной сетке в § 2 выведены различные балансовые сотношения для энергии, импульса. массы в СЭЛ - переменных.

В отличие от задач предыдущих глав наличие конвективного члена в (10) не позволяет получить однородную модель в терминах Е. Для решения задачи используется векторный потенциал А, давший эту возможность. В § 3 описан алгоритм введения А и способы его калибровки. При этом скалярный электрический потенциал полагается равным нулю во всей области. Далее оказывается, что А является однозначным в проводящей части и полностью определяется в ней Задачей, начальник я

граничными данными. Но в случае наличия диэлектрических подобластей, в которых с = 0. ситуация. меняется. При этом в области диэлектрика неоднозначность определения Е переходит в неоднозначность определения А. Тем самым необходимо задать дополнительное уравнение для А в диэлектрической части. Оно выбрано в виде, аналогичном (11). Далее подобно главе 1 уравнение для А модифицировано так, что его решение автоматически удовлетворяет введенным дополнительным условиям.

В §§ 4. 5 для численного решения задачи разработана полностью консервативная разностная схема в СЭЛ - переменных, в которой выполнены нужные разностные аналоги балансов электромагнитной, внутренней и кинетической энергий. Алгоритм построения- схемы в значительной степени соответствует методам [Ю.А.Повещенко].

В § 4 предварительно рассматривается разностный по пространству и дифференциальный по времени случай. Целью параграфа является построение разностных аналогов силы Лоренца,' потоков и т.п. При этом все выражения должны быть такого вида, который обеспечивает консервативность разностной схема.

В § 5 построение разностной схемы доведено до конца при дискретизации и по временной переменной. Построана схема с переменными временными весами, что вызвано необходимостью обеспечить полную консервативность. При этом переменные веса появились вследствие движения сетки, а не переменности временного шага, как в § 4 гл. 2.

В § б приведены разностные схемы для остальных уравнений полной задачи, описывающих внутреннюю энергию, движение ускоряемого якоря, процессы во внешней электрической цепи. Описан алгоритм решения полной задачи и итерационный процесс, реализованный для нахождения решения полученной нелинейной системы алгебраических уравнений.

В § 7 представлены результаты численного решения пространственно двумерной задачи. Описаны, различные способы вычислений конвективных членов системы, приводящие к монотонному или немонотонному по пространству решению задачи. Алгоритм модифицирован так, что решение разностной задачи соответствует его физическому аналогу.

§ 8 посвящен поиску путей повышения к. п. д. процесса ускорения проводящего тела в канале рельсотрона. Исследование осуществляется на примере модельного рельсотрона со сверхпроводящими рельсами, соответствующего реально используемым устройствам. Задача рассматривается в пространственно двумерном и трехмерном вариантах для нестационарного случая. В двумерном варианте исследуются два подслучая : сверхпроводящий якорь и обладающий конечной проводимостью, дающие

две первые модели набора из трех моделей для моделирования процесса ускорения. Третья модель - модель для пространственно трехмерного случая и проводящего якоря. Сравнение результатов описания одного ускорителя с помощью трех различных моделей позволяет исследовать влияние различных характеристик и процессов на получаемый результат, а также с уверенностью использовать для серийных расчетов простые ^модели, зная при этом отличие даваемого ими результата от более детального, но и более дорогого по затратам, описания.

§ 9 посвящен разработке и реализации вычислительной модели для пространственно трехмерного случая, проведению цикла вычислительных экспериментов по исследованию влияния различных характеристик на эффективность процесса ускорения. Расчеты похазали, что с точностью до 2-3 знаков погонная индуктивность рельсотрона (отношение удвоенной силы, действующей на тело, к квадрату полного тока, протекающего через ускоритель) в проведенных трехмерных расчетах является величиной постоянной. Погонная индуктивность является основный параметром, характеризующим усхорительные свойства рельсотрона. Ее знание позволяет элементарным образом описывать кинематику ускорения к построить семейство моделей по типу § 8 для описания процесса разгона. В § 9 проведены также параметрические исследования используемой физической модели, связанные с использованием•для моделирования не всего рельсотрона, а его части. Две серии экспериментов посвящены исследованию влияния предускорения тела и амплитуды протекающего тока на эффективность процесса ускорения.

Глава 5 посвящена построению и обоснованию конечноэлементных схем для расчета различных особенностей решения пространственно двумерной задачи (10) на примере ускорителя типа рельсотрон с проводящим якорем.

Одна из проблем в создании электродинамических ускорителей -обеспечение надежного электрического контакта направляющего рельса и проводящего тела. Именно это критическое место и представляет главный интерес с точки зрения математического моделирования.

В § 1 подробно описана особенность в векторном потенциале, наблюдаемая в расчетах на задней кромке якоря. Изучены причины ее появления. Показано, что наблюдаемая особенность есть следствие различных способов калибровки векторного потенциала в проводящей части и диэлектрике.

В целом в рассматриваемой задаче имеются особенности, связанные с различием материалов, используемых в ускорителе, что приводит к

появление разрывов компонент электромагнитного поля, разрывом скорости движения на границе рельс - якорь, наличием материалов типа проводник и диэлектрик, тахже ведущих к появлению особенности из -за разрыва свойств. Есть еще две группы причин, вызывающих появление особенностей : геометрия области, или, точнее, наличие тупых углов в ней, а также высокие и сверхвысокие скорости движения, приводящие к появлению скоростного скин - слоя, также сильно влияющего на характер решения. Таким образом, рассматриваемая задача является представителем большого семейства задач, решения которых имеют особенности, и может рассматриваться с этой точки зрения.

Приведем краткий анализ различных имеющихся алгоритмов с точки зрения их применимости к рассматриваемым задачам.

По - видимому, максимальный успех в создании вычислительных алгоритмов лежит на пути сочетания аналитических и численных методов. При этом предполагается, что численный метод строится на базе учета имеющейся особенности решения. С этой точки зрения необходимо исследовать особенность решения задачи аналитическим образом и построить численный метод, соотпегзтауияйй этой особенности,

В рассматриваемой ^излчьекоН задаче главный интерес представляет угол в, ййлрияер, 1.5 я, в который диффундирует иагнитное поле.

В мировой литература икеется много работ, посвященных исследованию решений эллиптических уравнений в областях с негладки?«! границами ([С. А. Назаров, Б. А.Пламеневский ; И. В.Фрязинов ; Г.Фикера Е.А.Волков] и др.). В них показано", что в углу в 1. 5 л решение имеет особенность вида г2/3, что приводит к обращению в о первых и последующих производных при г = 0. Решение уравнения диффузии в такой области имеет ту же особенность. Иначе дело обстоит с особенностью, вызванной разрывом скорости движения. Существует множество работ с описанием скоростного скин, - слоя ([G.C.Long, W.F.Weldom ; I.С. Hearing, М. A. Huerta] и др.), однако проведенный в них анализ не является строгим и общим.

Коротко опишем возможные численные алгоритмы (из числа имеющихся) для решения подобных задач :

а) введение в углу 1.5 я сетки в координатах (г, <р), согласованной с решением и позволяющей передать особенность [Е.А.Волков] ;

б) построение схемы, явным образом учитывающей имеющуюся особенность и являющейся точной на решениях такого класса [И. В. Фрязинов] ;

в) построение "суперэлемента", который обладает специальным ба-

зисом в окрестности особенности и позволяет ее передать [Р.П.Федоренко]. Этот метод также связывается с отображением Пуанкаре - Стеклова ; •

г) выбор конечных элементов. учитывающих особенность [Г.И.Марчук. В. И.Агошков] ;

д) построение схем повышенного порядка точности, использующих монотонизаторы, искусственную дисперсию и т. п., в т. ч. - подход к построению схем для уравнений газовой динамики [В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский ; О.С.Мажорова, Ю.П.Попов ; Ю.Б.Радвогин] и др.

В § 2 рассмотрена стационарная задача для векторного потенциала. Целью § является разработка методов решения таких задач, что важно как с точки зрения самого исследования высокоскоростных электродинамических процессов, так и для дальнейшего развития методов численного конструирования решений нестационарной задачи. При этом необходимо разработать методы, учитывающие возможные особенности решения и обеспечивающие повышенную точность решения задачи. Разработан конечноэлементный метод, в основном укладывающийся в схему метода Галеркина - Петрова. Исследована сходимость соответствующей разностной схемы как теоретически, так и на проведенных тестовых расчетах. Метод учитывает представляемую в явном виде особенность решения в углах (см. [Е.А.Волков]). Три различные подобласти и соответствующие им задачи (диэлектрик, якорь, рельс) исследованы отдельно.

§§"3, 4 посвящены изучению методами вычислительного эксперимента т.н. явления "кризиса металлического контакта" (см. [Б.А.Урюкоа, А.Д.Лебедев ; Ю.А. Кареев ; Н.М.Колядин] и др. ). "Кризис" состоит в изменении характера течения тока через подвижный металлический контакт и резкой потере эффективности ускорения, начиная с некоторого момента. Необходимость такой работы, на наш взгляд, определяется отсутствием надежных вычислительных и физических моделей, а также потребностью в инструменте для исследования процесса разрушения металлического контакта. В используемой физической модели учитываются следующие факторы, влияющие на момент наступления "кризиса" : трение проводников друг- о друга, скоростное скинирование и геометрические эффекты без рассмотрения остальных.

Развитый в § 4 алгоритм позволяет решать задачи в областях произвольной формы, сохраняя при этом такие важные свойства исходной дифференциальной задачи, как верное описание энергетических соотношений и пространственную монотонность решения. Его основой является ККЭ (метод конечных элементов). В качестве базиса выбраны простейшие

конечные элементы первого порядка на треугольниках. Треугольники позволяют построить в окрестности особой точки (угловой) сетку, аналогичную таковой в (г, <р) переменных. Проведена монотонизация полученной схемы с помощью различных добавочных слагаемых. Построена нелинейная схема, позволяющая ограничить искусственную диффузию, вводимую для достижения монотонности. Ограничение диффузии позволяет повысить порядок точности схемы.

В § 3 проведены систематические расчеты двумерных электромагнитных и тепловых полей в ускорителе типа рельсотрон в процессе разгона проводящих тел. Показана, в частности, ограниченность понятия "критической скорости", поскольку в действительности контакт между .якорем и рельсом переходит в иное состояние и без движения. Плавление и испарение материала происходят вблизи максимальных углов конструкции. Проведен цикл расчетов процессов, протекающих при ускорении. Методами вычислительного эксперимента установлены значения "критической скорости" в зависимости от материалов конструкции, вхлючая слоистую структуру, предускорения, трения, геометрии якоря. Проведено сравнение модельных расчетов с данными эксперимента.

В заключении суммированы результаты работы.

Основные результаты работы.

Наиболее существенные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Разработана математическая модель с однородным описанием квазистационарных электромагнитных полей в средах, содержащих проводящие и непроводящие подобласти. Доказана корректность используемой модели и ее соответствие решению полной системы уравнений Максвелла. Модель позволяет учитывать движение проводящих подобластей.

И. Построена модель, позволяющая согласованно описывать явления в трехмерном (или двумерном) электродинамическом ускорителе и внешней электрической цепи.

III. На основе операторного подхода построена полностью консервативная разностная схема на подвижной сетке для расчета многомерных электродинамических явлений в областях с резко неоднородными электрофизическими свойствами. На примере задачи без движения доказана строгая положительность и установлены границы спектра конечнораз-ностного оператора задачи.

IV. На основе метода конечных элементов развит и реализован в

программном виде полностью консервативный алгоритм численного решения пространственно двумерных задач электродинамического ускорения тел произвольной формы. Разработан коиечноэлементный алгоритм решения стационарных задач для векторного потенциала, учитывавший особенность решения.

V. На базе развитых конечноразностных и конечноэлэмеитных схем создан программный комплекс для расчета процессов, протекающих при электродинамическом ускорении проводящих тел в канале рсльсотрона, включая тепловые эффекты. Созданы варианты комплекса для расчета задач различной пространственной размерности, в т. ч. трехмерной. С его помощью проведены систематические расчеты пространственно трехмерных и двумерных задач по исследованию влияния различных характеристик конструкции ускорителя и ускоряемого тела на эффективность процесса ускорения в реальных устройствах.

Публикации по теме диссертации.

1. М.П.Г аланин, Ю. А. Повещен ко, Ю. П. Попов. О постановке начально - краевых задач определения квазиетациокарных электромагнитных полай в средах, состоящих кз проводников и диэлектриков// Препр. Vía. прикл. матем. им. Н. В. Келдыша АН СССР, 1988,. К 59, 21 с.

2. М. П. Г аланин, С.И.Мухин, Ю.П.Попов. О методе расчета многомерных квазистационаркых электромагнитных полей в областях с резко неоднородными электрофизическими свойствами при учете внешних электротехнических цепей// Препр. Ин. прикл. ыатем. им. М. В. Келдыша АН СССР, 1988, N 193, 28 с.

3. М.П.Галанин, С.И.Мухин, Ю.П.Попов. Расчет двумерных квазистационарных электромагнитных полей в областях с резко неоднородными электрофизическими свойствами// Препр. Ин. прикл. матем. им. К. В. Келдыша АН СССР, 1989, N 123, 27 с.

4. М.П.Галанин, С.И.Мухин, Ю.П.Попов. О методах расчета многомерных электромагнитных полей в областях, содержали проводники и диэлектрики// 15 Национальная летняя шкода "Приложения математики в технике", Варна 19S9 г. Сборник докладов и научных сообщений. София. 1989 г. С. 66 - 77.

5. AÍ. П. Г аланин. Об одном неравенстве типа вложения для вектор -функций// Препр. Ин. прикл. матем. им. И.В.Келдыша АН СССР, 1990, N 72, 16 с.

6. М.П.Галанин. Оценка близости решения системы уравнений Макс-

веяла и ее квазистационарного приближения// Препр. Ин. прикл. матем. им. Ы. В. Келдыша АН СССР, 1990, N 129. 27 с.

7. M.P.Galanin, S.J.Miuhin. Yu.P. Popov. Modeling Multidimensional Electromagnetic Fields in Spheres with Sharply Nonhomogeneous Electromagnetic Qualities// Международная конференция "Математическое моделирование и прикладная математика". Тезисы докладов. М. -Вильнюс. Изд - во ИМК Литовской АН. 1990 г. С. 71 - 73.

8. М. Galanin. Comparison betwt ;n solutions oí the Maxwell system of eguations and' its guasistationary approximation// Informática, 1991, v.2, N.3, p. 378 - 402.

9. M. П. Галанин, Ю- А. Повещенко, Ю. П. Попов, Ю. Н. Чублукова. К расчету многомерный нестационарных электромагнитных полей в элехтроди-иамяческях ускорителях// Препр. Ин. прикл. матем. им. М. В. Келдыша АН СССР, 1991, Н БЗ, 36 с.

3 0. М.П.Галанин. Об использозаняя векторного потенциала для численного ?,»эде2Пфогэ2Шя квазж-гауискаришс электромагнитных полей в областях с резко пэсдяоро дкьшм элсктро|кз!1ческиш1 свойствами// Преяр. Кн. ярихя. штед. им. й. В. Келдыша АЯ СССР, 1991, N 64, 36 с.

11. М.П.Галанин, Ю.П.Попов. О численном моделировании процесса элехтродинамнчасхого ускорения макротел// Препр. Ин. прикл. матем. им. М. В. Келдызяа РАЙ. 1992. N 18, 21 с.

12. -М.П.Галанин, Ю.П.Попов, Ю.Н.Чублукова. Полностью консервативная разностная схема в смешанных эйлерово - лагранхевых переменных для моделирования электродинамического ускорения. проводящих тел// Препр. Ин. прикл. матем. "им. Н.В.Келдыша РАН, 1992, N 32, 34 с.

13. М.П.Галанин. О следах сеточных функций в' трехмерном случае// Препр. Ин. прикл. матем. им. М. В. Келдыша РАН, 1992, N 80, 20 с.

14. Al. П. Г аланин. Оценка границ спектра оператора, возникающего при математическом моделировании электромагнитных полей в резко неоднородных средах// Препр. Ин. прикл. матем. им. М. В. Келдыша РАН. 1992, N 81, 20 с.

15. М.П.Галанин, В.П.Игнатко, Ю.П.Попов. Численное моделирование процесса электродинамического разгона макротел в ускорителе со сверхпроводящими рельсами// В сб. Материалы И Всесоюзного семинара по динамике сильноточного дугового разряда в магнитном поле - Новосибирск: изд. ИТФ СО РАЯ. 1992. с. 72 - 103.

16. M.P.Galanin, S.l.Muchin, Yu.P.Popov. Mathematical Simulati-

on of Multidimensional Electromagnetic Fields in the Spheres with Sharply Nonhomogeneous Electromagnetic Qualities// In Mathematical Modeling and Applied Mathematics, A.A.Samarskii and M.P.Sapagovas (Editors), Elsevier Science Publishers B.V. (North - Holland). 1992, IMACS, p. 173 - 182.

17. М.П.Галанин, С.И.Мухин, Ю.П.Попов. Численное моделирование трехмерного квазистационарного электромагнитного поля в электродинамическом ускорителе совместно с процессами во внешней электрической цепи// Препр. Ин. прикл. матем. им. М. В. Келдыша РАН, 1993, N 6, 31 с.

18. М.П.Галанин, С.И.Мухин, Ю.П.Попов. Учет внешних электрических цепей во внутренних задачах электродинамики // Математическое моделирование. 1993. Т. 5. N 9. С. 80 - 97.

19. М.П.Галанин, В. П.Игнат/со, Ю.П.Попов, С.С.Храмцовский. Численное решение пространственно трехмерных задач электродинамического ускорения проводящих макротел// Препр. Ин. прикл. матем. им. М. В. Келдыша РАН, 1993, N 47, 36 с.

20. M.P.Galanin, V.P.lgnatko, S.I.Muchin. Yu. P.Popov, S.S.Chramtsovsky. Numerical Simulation of Multi - dimensional Elect-romagnetical processes, flowing at Acceleration of Conducting Macro-bodies// 7 th Electromagnetic Launch Technology Simposiuin. San - Diego, Cal., USA. April 1994. Simposium Abstracts. P. 44.

21. M.P.Galanin, Yu.P.Popov. Mathematical Modelling of Electro-dynamical Acceleration Process of Conducting. Macrobodies// 7 tli Electromagnetic Launch Technology Simposium. San - Diego, Cal., USA. April 1994. Simposium Abstracts. P. 45.

22. М.П.Галанин, Ю.П.Попов. Решение многомерных задач квазистационарной электродинамики в областях с резко неоднородными свойствами// Труды Второй Международной Научно - Технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" CPFS'94. Москва, январь 1994 г. Техносфера - информ. 1994. Т. 1. Ч. 1. С. 114-116.

23. M.P.Galanin, V.P.Ignatko, Yu.P. Popov. Numerical Modelling of Macrobodies Acceleration in Electrodynamical Launcher with Superconducting Rails // In High Velocity Acceleration of Macrobodies Theory, Practice and Perspectives. A.S.Anshakov and A. I. Fedorchenko (Editors), Nova Science Publishers, Inc. (NY, USA), 1994, pp.

24. M. П. Галанин. Теоремы вложения для следов сеточных функций в трехмерном случае // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34. N 12. С. 1815-1831.

25. М. П. Галанин. Построение двумерных конечных суперэлементов

для моделирования квазистационарных электромагнитных полей в средах с резко неоднородными свойствами// Препр. Ин. прикл. матем. им. М. В. Келдыша РАН, 1994, N 75, 32 с.

26. М.П.Галанин, В.П.Игнатко, Ю.П.Попов, С.С.Храмцовский. Пространственно трехмерные расчеты электродинамического ускорения проводящих макротел // ЖТФ, 1995, т. 65, N 6, с. 9 - 20.

27. M.P.Galanin, А. V. Plekhanov, V.V.Savitchev. The Investigation of Metal Contact Conditions for Electromagnetic Launch of Solid Armatures in Railgun// Proceedings of 5th European Symposium on Electromagnetic Launch Technology, April 10 - 13, 1995, Toulouse, France. Rep. N 76, 9 pp.

28. M. П. Галанин. Задача о скоростном скин - слое и- квазимонотонная конечноэлементная схема для ее численного решения// Препр. Ин. прнкл. матем. им. Ы.В.Келдыша РАН, 1995, N 21, 29 с.

29. М.П.Галанин, Ю.П.Попов. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое моделирование. - М.: Наука. Фнзматлит, 1995, 320 с.

30. M.P.Galanin, E.V.Mayakova, A.V .Plekhanov, Yu. P.Popov, V.V.Savitchev,- S.S.Chrcmtscvsky. Mathematical Simulation of Electromagnetic Plasma and Solid Armatures Acceleration in Railgun Bore// 24 International Electric Propulsion Conference, Sept. 19 - 23. 1995, Moscow, Russia. Summary of the Abstracts of the Papers, pp. 350 - 351.