автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование многокритериальных задач экономики с гистерезисными нелинейностями

На правах рукописи

а

Бутова Лилия Владиславовна

003470422

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ЭКОНОМИКИ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 1!': к

Воронеж-2009

003470422

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и экономико-математических методов Воронежской государственной технологической академии

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Семенов Михаил Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Матвеев Михаил Григорьевич;

кандидат технических наук, доцент Оневский Павел Михайлович.

Ведущая организация:

ГОУ ВПО Белгородский государственный университет

Защита состоится «10» июня 2009 г. в 14 00 на заседании диссертационного совета Д 215.023.01 при Тамбовском высшем военном авиационном инженерном училище радиоэлектроники (военном институте), 392006, г. Тамбов-6, ул. Комиссара Московского, Тамбовский ВВАИУРЭ (ВИ).

Автореферат разослан «11» мая 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Федюнин П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование играет огромную роль в задачах экономического планирования и прогнозирования. Это обуславливается, в первую очередь, принципиальной невозможностью экспериментов в экономике и важностью соответствующих задач. Существующие концепции зачастую весьма по-разному оценивают факты и при разной трактовке трудно решить, какой теоретический подход наиболее правильный. При этом, исходя из самого характера экономической науки, невозможно однозначно доказательно проверить эти теоретические изыскания. И хотя понятно, что реальная экономическая деятельность предприятия не может быть полностью описана никакой, даже самой предусмотрительной моделью, тем не менее, необходима правильная расстановка акцентов при формализации.

Результаты моделирования задач планирования и управления показывают, что в реальной постановке эти задачи являются многокритериальными. Так, часто встречающееся выражение «достичь максимального эффекта при наименьших затратах» уже означает принятие решения при двух критериях. Оценка деятельности предприятий, трактуемых как управляемые системы, производится на основе более десятка критериев: выполнение плана производства по объему, по номенклатуре, плана реализации, прибыли по показателям рентабельности, производительности труда и т. д. При этом многокритериальные динамические задачи оптимального управления исследованы к настоящему времени недостаточно: существует лишь небольшое количество публикаций, посвященным, в основном, линейным объектам с квадратичными функционалами.

Помимо этого многие экономические системы обладают долговременной памятью, т.е. поведение системы, при С->10, определяется не только набором определяющих ее параметров в этот момент времени, но и динамикой их изменений в предыдущие. Также существенной особенностью экономических систем является их инерционность. Необходимость учета этих эффектов требует принципиально новых подходов к моделированию экономических систем. Один из таких подходов основан на использовании в моделях экономических систем операторов гистерезисного типа.

Учет гистерезисных эффектов необходим и во многих других проблемах, поэтому применение гистерезиса в экономике можно считать перспективной задачей, которая требует дальнейшего развития и изучения.

Приведенные доводы обосновывают научную актуальность исследования и его практическую значимость.

Объектом исследования являются замкнутые экономические системы.

Предметом исследования являются математические модели

з

производства, хранения и сбыта продукции.

Целью исследования разработка и анализ математических моделей процесса оптимального производства, хранения и сбыта продукции с гистерезисной функцией спроса и в условиях конкуренции критериев.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

- разработка математической модели функции спроса гисте-резисного вида, учитывающая инертность потребительского спроса и предысторию экономических систем;

- разработка модели задачи оптимального производства, сбыта, хранения товара в условиях гистерезисной функции спроса и с участием посреднических организаций;

- разработка алгоритма решения соответствующих задач;

- численная апробация разработанных моделей и алгоритмов на модельных задачах.

В работе были использованы следующие методы исследования: операторная трактовка гистерезиса, метод математического моделирования сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

Достоверность результатов корректностью применяемого математического аппарата исследования сложных динамических систем; соответствием результатов вычислительных экспериментов реальным данным, а также актом о внедрении результатов работы на предприятии.

Научная новизна исследования заключается в следующих результатах:

- математическая модель функции спроса, основанная на операторах гистерезисного типа, отличающаяся от классических возможностью учета инертности и предыстории;

- методика решения задачи оптимального производства, хранения и сбыта продукции предприятия с участием посреднических организаций;

- методика решения одного класса многокритериальных динамических задач оптимального управления, являющихся, в том числе, математической моделью задачи об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции предприятия с участием посреднических торговых организаций.

Практическая значимость. В работе развита методика, позволяющая учитывать на этапе моделирования экономических систем и процессов такие их особенности как инертность, зависимость от предыстории и ряд других. Учет этих эффектов в моделях, позволяет существенно более адекватно, по сравнению с традиционными подходами, описывать динамические системы в экономике и, как

следствие, открывает возможности для более достоверного экономического прогнозирования.

Второй практически важный аспект работы связан с моделями многокритериальных динамических экономических задач. Эти задачи имеют очевидную практическую значимость, поскольку большинство экономических систем оптимизируются по целому набору параметров. В работе предложена методика анализа таких систем, позволяющая находить оптимальные решения.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

- модель функции потребительского спроса, учитывающая его инертность и предысторию, основанная на использовании операторов гистерезисного типа;

- методика решения задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции предприятия в условиях гистерезисной функции спроса;

- методика решения многокритериальных задач оптимального управления являющихся математическими моделями задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции при участии посредника;

- численные алгоритмы решения соответствующих задач.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано

7 печатных работ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7], список которых приведен в конце автореферата. Из них - 2 в изданиях, рекомендованных ВАК Минобразования РФ для публикации основных научных результатов диссертаций.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют разработка многокритериальной математической модели процесса оптимального производства, хранения и сбыта продукции при участии посредника [3,4], исследование моделей [2,7].

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2004); XIX Понтрягинские чтения (Воронеж, 2005); «Системы управления и информационные технологии» (Воронеж, 2006); «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2005); «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж ,2006); «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007); «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007).

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационного исследования использованы на предприятии, производящем однородную продукцию, что подтверждается актом о внедрении результатов диссертации в промышленных условиях.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из

введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованных источников, включающего 103 наименования, изложена на 101 странице и включает 21 рисунок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, дана информация о научной новизне и практической значимости работы, приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по главам.

В первой главе производится анализ известных экономических моделей* описывающих процесс об оптимальном производстве, хранении, сбыте товара. Рассматриваются новые подходы к построению моделей функции спроса, учитывающих ее гистерезис-ный характер и конкуренцию критериев.

Общая постановка задачи оптимального производства, хранения и сбыта продукции имеет вид:

J = ) [с(0ЛХ>-U(t) -k2Z, {ф max; (1)

о

ZI=t/-P,Z1(0) = 0,Z2=P-t1Z2,ZJ(0) = 0> (2) где Z, (t) - количество товара на складе производителя; Z2 (t) - количество товара у потребителя; U(t) - темп производства; P(t) - темп продаж; - коэффициент потребления; к2 - коэффициент затрат на хранение.

Классическое решение задачи (1), (2) предполагает представление функции спроса в виде детерминированной гладкой функции, однако такой ее выбор не всегда адекватно описывает взаимосвязь между потребителями и производителями. Кроме того, как правило, между производителем и конечным потребителем присутствуют посреднические торговые организации, поэтому необходимо их учитывать в соответствующих моделях.

В реальных экономических системах функция спроса зависит не только от цены в настоящий момент времени, но и от ее значений в предыдущие моменты времени, причем эта зависимость имеет ярко выраженный гистерезисный характер. Это обусловливает необходимость решения задачи (1),(2) в иной постановке - когда функция спроса имеет гистерезисную природу.

Для построения функции спроса, отражающей все приведенные к ней требования, необходимо рассмотреть некоторые известные гистерезисные преобразователи.

Следуя классическим схемам М.А. Красносельского и A.B. Покровского, гистерезисные операторы трактуются как преобразователи, опре-

деленные на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношениями: вход - состояние и состояние - выход.

Обозначим через ф,Дх0] двухпозиционное реле с пороговыми числами аир. Пространством состояний неидеального реле является пара чисел {0, 1}. Связь между входом ы(г) е с^,] и переменным выходом х(1) е {0,1} устанавливается оператором

х{1) = Я[а,Р,х0]л{ г), (3)

где Хо - начальное состояние преобразователя.

Начальное состояние х0 преобразователя должно удовлетворять следующим условиям:

- если и(0) < а, то х0 = 0; (4)

- если и(0) > /3, то х0 = 1; (5)

- если а < и{0) < /?, то = 0 или х0 = 1. (6)

Динамику входно-выходных соответствий преобразователя неидеального реле иллюстрирует рисунок 1.

1 - 1

а 3 и

Рисунок 1 - Динамика входно-выходных соответствий преобразователя неидеального реле

Преобразователем Прейзаха называют континуальный аналог преобразователя, состоящего из неидеальных реле, соединенных параллельно.

Рассмотрим частный класс таких реле. Пусть на полуплоскости Ра р = {а, Р\а < р] определена положительная абсолютно непрерывная суммируемая функция Л - Л(а,/3). Определим на полуплоскости Ра $ меру р равенством

с1/л = Х{а,р)с1ах1р. (7)

Измеримыми по мере /л будут все измеримые по Лебегу множества, в том числе и имеющие бесконечную меру. Мера ц абсолютно непрерывна относительно двумерной лебеговой меры, если выполнено условие

]"сг V (8)

где

а(у) =

шах

(9)

Обозначим через цг класс ограниченных функций, заданных на неотрицательной полуоси и удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом, равным единице. Введем в рассмотрение множество скалярных функций 0)(а, /?), заданных на полуплоскости

ра,р = {а,р:а<р) и таких, что:

где у/(у) е у/. Множество - пространство возможных состояний преобразователя Прейзаха. На рисунке 2 показан один из элементов множества £1„.

Пусть задан произвольный элемент ¿»0(а,/?)еО(г/. Допустимыми для преобразования Прейзаха (Г, находящегося в начальном, состоянии ф0(а,/3) являются все непрерывные входы и(1),1> 0, удовлетворяющие равенству м(0) = )//0(О), где со0(а,/3) и щ{у) связаны соотношением (10).

Соотношение вход - переменное состояние преобразователя Прейзаха (Г, устанавливается оператором Г:

<»(а(у),Р(у),1) = ь л[«э0(ог,/?,у),а(^),у?(у)]и'(0 , (И)

где у - параметр, У е Р0г р .

Выход преобразователя (Г, определяется соотношением £(/)= \о>{а,р,1)с1И = ^{а,р}-.я[т0{а,р\а,р]иа) = \). (12)

если а + р > (//(/? - а); если а + Р < у/(Р - а),

(10)

р

Рисунок 2 - Элемент множества й,

В работе предлагается следующая модель: на первом этапе предполагается, что функция спроса Р(() зависит в момент времени I только от цены с(/) следующим образом. Отношение индивидуального потребителя к некоторому товару определим функцией /2(с(/)), принимающей значения 0 или 1 по правилу:

Щс( О) =

О,

или

О,

если c(t)<a(t), если c(?)â/?(0, если a(t) < с(i) < /?(')•

(13)

Функция 7?(с(/)) принимает значения равные единице, если товар покупается и нуль в противном случае. Функцию Л(с(0) удобно трактовать как выход некоторого преобразователя 7?[а(/),/?(/),, аналогичного неидеальному реле с инверсией роли пороговых чисел а, /?, на вход которого поступает сигнал с(1)(/ > 0). Взаимосвязь между входом и выходом иллюстрирует рисунок 3.

Рисунок 3 - Взаимосвязь между входом и выходом преобразователя R

Здесь, в отличие от предлагаемых ранее моделей, учтено, что отношение потребителя к товару может меняться со временем. В модели этому соответствует зависимость от времени пороговых чисел a(t) и /3(0.

Если обозначить через yt темп покупок /-го потребителя (/ = 1,2...ri), то для системы из п любых потребителей функция спроса будет иметь вид

рт)=^гл<х,(<ш<)лм о-. (И)

В континуальном случае функция спроса будет аналогична преобразователю Прейзаха(11)-(12) с инверсией нулей и единиц, т.е.

Р(с(/))= ¡ш(а(0,т,(Ш0, (15)

а<р

где ю(а(0,/?(0,0 = Г[®о(а. Р)Ш = ЯМ/,0,Жг,0Л№(0, (16)

и ГеРа,р-

Как и в случае с конечным множеством потребителей, континуальный аналог учитывает возможность изменения индивидуальных отношений потребителя к товару. Этим возможным изменениям в модели соответствует зависимость меры //от t.

Во второй главе работы рассматривается задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в ситуации, когда структура потребительского сообщества изменяется со временем. Это соответствует зависимости меры преобразователя (15)-(16) от времени.

Обозначим через Zrft) - количество товара на складе у производителя, Z2(t) - количество товара у потребителя, U(t) - темп производства, P(t) - темп продаж (количество продаж в единицу времени), ki - коэффициент потребления, к? - коэффициент затрат на хранение единицы товара, c(t) - цена единицы товара.

Динамика изменений введенных величин описывается следующей системой дифференциально-операторных уравнений:

Zi=U-P,Zl( 0) = 0; (17)

Z2=P-kxZ2,Z2{ 0) = 0. (18)

Задача с гистерезисной функцией спроса описывается уравнениями:

P(0 = Z,(/) \co{a,p,t)dfi{ty, (19)

а<р

со(а, Д t) =Г[о)и(%[i)]c(t). (20)

В дальнейшем, для упрощения выкладок будем предполагать, что себестоимость производства товара равна единице. Также будем считать, что темп производства ограничен некоторым максимальным значением Uft т.е. U(t)e[0;Uo]. Рассмотрим процесс производства, сбыта и хранения на конечном временном промежутке [0, Т]. Общий доход J(t), с учетом введенных обозначений, определяется равенством

J{T)=\{c{t)P{t)-U{t)-kxZx{t))dt. (21)

о

Задача о производстве, сбыте и хранении продукции сводится к задаче оптимального управления: найти такие функции U(t), c(t) (t&[0,T]), удовлетворяющие системе (17) - (20), при которых функционал (21) максимален. Очевидно, что если U(t)=0 (производство не включается), то J(T)=0 (тривиальное решение). Поэтому нужно найти такие ограничения на параметры задачи, при которых можно

получить ее оптимальное решение, отличное от тривиального, и такие, что J(T)>0.

Для решения этой задачи применим принцип максимума U.C. Понтрягина. Составим функцию Гамильтона

H{Zx,Z2,P,Äx,X1,U,c)-Ä[{U ~P) + X2(P-kxZ2)-cP+U + k2Zx = = U(ÀX +1) + Р{Л2 - Л, - с) + k,Â2Z2 + k2Z,, ' (22)

где Xi(t), X2(t) - вспомогательные функции. В силу линейности гамильтониана по U, его минимум по этой переменной в зависимости от знака Xi(t)+1 достигается либо при U=0, либо при U=Uo, т.е.:

[0Д(0 + 1>0; С/'(0 = 1 (23)

¡70,^(0 + 1 <0. Отметим, что выбор зависимости функции спроса от цены не позволяет найти минимум гамильтониана стандартными методами дифференциального исчисления. В общем случае преобразователь (19), (20), рассматриваемый как оператор из с(0 Г) в себя, не дифференцируем. Поэтому для нахождения минимума функции (22) по с необходимы другие методы. Для упрощения выкладок рассмотрим

отдельное выражение ^(с) = — Р{с + А, — À^) .

В работе показано, что min у/(с) достигается при:

-(А,, - Х} + л/(А,, -Х2)2 + 6а2), если А,, -Х2>0; 3 " (24)

-—-, если X. - X, > 0.

c'(t) =

После подстановки (23) и (24) в (22) получаем гамильтониан

= U\\ +1) - - + с*)Р(с) - k{\Z2 + kxZx = const. При этом функции X](t) и X2(t) должны удовлетворять уравнениям:

дН*

Л =-— = -к2+ \a(aj,t)dn(ty,. (25)

OZx а<Р

¿2=-^- = ¿Л (26)

6Z2

и граничным условиям

Х,(Г)=0, Х2(Т)=0.

(27)

Решение уравнения (26) с учетом условий (27) легко выписывается в явном виде:

Ы) = 0, 0<t<T.

Начальное условие уравнения (25) должно удовлетворять неравенству Xi(0)<-1, т.е. производство должно включаться в начальный момент времени. Таким образом, для решения поставленной задачи нужно определить условия, обеспечивающие существование функций c(t),kj(t), удовлетворяющих уравнению (25) и краевому условию (27).

Эта задача сводится к нахождению неподвижных точек оператора

(Gc){t) = h 3 t

f

\

\Г[сой{а,РШтШт) + (28)

а<Р

flV6

Оператор (28) действует из пространства С[о,г] непрерывных монотонных функций в себя и оставляет инвариантным множество непрерывных функций

т., , .. аы6 а2Т.

М = {с(0: —<с(0 <}.

п « ЛаТ ,

В работе показано, что при выполнении неравенства ■—-— < 1

оператор (28) является сжимающим и, в силу известного принципа сжимающих отображений, имеет единственную неподвижную точку, которая может быть найдена, например, методом последовательных итераций.

Как было показано выше эта неподвижная точка является оптимальным значением цены на конечном временном интервале, обеспечивающей максимизацию прибыли производителя.

В третьей главе работы рассматривается обобщение задачи рассмотренной во второй главе: предполагается, что производитель взаимодействует с посредником, который в свою очередь, продает товар конечному потребителю. Эта задача является многокритериальной, так как и потребитель и посредник стремятся максимизировать свой доход.

Введем следующие обозначения: пусть 2,(0 - количество товара на складе у производителя, - количество товара на складе у посредника, - количество товара у потребителя. Тогда обозначим за 11(0 - темп производства, Р^) -количество продаж в единицу времени производителем, Р2(0 -количество продаж в единицу времени посредником, к) - коэффициент потребления, кг - коэффициент затрат на хранение единицы товара производителя, к3 - коэффициент затрат на хранение единицы товара посредника, с,(0 - цена единицы

товара производителя, с2(0 - цена единицы товара у посредника. Динамика изменений введенных величин описывается следующей системой уравнений:

¿х=и-Рх\ (29)

¿2 =Р1-Р2; (30)

¿3 =Р2-кг2; (31)

Рх=гх{ах-Ьхсх)-, (32)

Р2=г2(а2-Ь2с2), (33)

где ах,Ьх,а2,Ь2 положительные постоянные.

Прибыль производителя и потребителя определяется функционалами:

т

Л = \(С1Р1 №; (34)

о

г

32 = \{с2Р2 - с,?, - кзг2 )ск. (35)

о

Взвешенный доход потребителя и посредника с учетом введенных обозначений определяется равенством:

Да) = с^х+(1-а^2; (36)

г

J{a) = |(2асхРх -схРх -кх11 -A'2Z1 -къ22 + с2Р2 -

- ас2Р2 + акг2г)Ж -» шах.

Для решения задачи (29) - (33) применим принцип максимума Л. С. Понтрягина. Составим функцию Гамильтона

Н~ЪжхРх -схРх -кр-к^ -къ2г +с2Р2-сс2Р2 +

+0к3г2-ци-рх)-л1(рх-р2)-цр2-кг,), (Щ

где >-1(0, ХзО) - вспомогательные функции. В силу линейности гамильтониана по и его минимум по этой переменной в зависимости от знака А^+к) достигается либо при и=0 либо при и=и0, т.е.

и =

0,Я,+кх <0; и0, Л, +кх >0.

Сопряженные переменные удовлетворяют уравнениям:

i3=0;

Я2 =с2(\-а)-

к3(\-а)

ч кМ-а) „ , ак2

A, = с2(1-а)—3V , - + С)(1 -2а) + ■ 2

а2 - Ъ2сг

ах

Л1(Т) = Л2{Т) = Л3(Т) = 0.

(41)

(42)

(43)

с, =

Из условия максимума функции (38) по С] и с2 получаем:

Л-, — ûtj

2(2«-1) 2ЪХ

(44)

« А, — /L д,

с, = —-- + —

2 2(1 - а) 2Ь2

(45)

На рисунках 4 -7 показано численное решение систем (29)-(33), (40)445) при а = 0,25 :^ , . .,. . .,, , ,...-,„

Рисунок 4 - Зависимость Х3 от t

Рисунок - 5 Оптимальная цена на промежутке от 0 до t

1 1 1

- b '• ;..

- 1 1 i , 1

О 5 10 15 2D

Рисунок 6 - Оптимальный темп производства на промежутке от 0 до t

Рисунок 7 - Зависимость zb z2, Z3 от времени t

Исследуем зависимость функционала (36) от параметра а . Обозначим Z*(a,t), (/ = 1,2,3), C*(t), (/ = 1,2) оптимальные решения.

В работе показано, что максимум функционала J(a) доо-стигается при выполнении условия

Ь

¡(fl(Z\Ut,Ct)-f2(Z\Ut,Ct))dt = -(z'<;( 0),Л(0»,

0

где через fi и fг обозначены правые части функционалов (34) и (35) соответственно.

В заключении перечислены основные результаты диссертационных исследований в виде выводов.

В приложениях приведен алгоритм численного решения многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте; акт о внедрении результатов работы диссертации на предприятии.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ:

- разработана математическая модель функции спроса, учитывающая его инертность и предысторию, основанная на операторах гистерезисного типа;

- разработана модель задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции предприятия в условиях гистерезис-ной функции спроса;

- разработана математическая модель задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции предприятия с учетом интересов посреднических торговых организаций;

- предложена методика и получено решение этих задач для набора модельных случаев;

- исследованы свойства решений, проведен их сравнительный анализ;

- проведена: численная апробация алгоритмов и методов решения этих задач.

Основные положения диссертационной работы i изложены в публикациях:

1 Семенов, М.Е. Математическая модель рыночного равновесия в условиях гистерезисной функции спроса / М.Е. Семенов, A.B. Перова, JI.B. Кутепова (Бутова) // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - T.l 1, вып.4. - С. 864 - 865.

2 Семенов, М.Е. Об оптимальном решении одного класса задач с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, Т.В. Руд-ченко, JI.B. Кутепова (Бутова)// Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XVI». Воронеж: ВГУ, 2005.-С.142.

3 Об оптимальном решении одного класса экономических задач / Д.Р. Лапыгин, Т.В. Рудченко, JI.B. Кутепова (Бутова), В.И. Сумин // Сборник трудов XII Всероссийской школы-коллоквиума по стохастическим методам «Обозрение прикладной и промышленной математики». -М.: ОПиПМ, 2005. - №3 - С.670-671.

4 Перова, A.B. Задача об оптимальной производственной стратегии / A.B. Перова, Т.В. Рудченко, JI.B. Кутепова (Бутова)// межвузовский сборник научных трудов «Моделирование систем и информационные технологии». - Воронеж: Научная книга, 2005. -№2-С. 227-230.

5 О диссипативности одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, JI.B. Кутепова (Бутова), П.В. Толоконников // Системы управления и информационные технологии. - 2006. -№1 (23). -С. 101-104.

6 Вынужденные периодические режимы в системах управления с гистерезисными нелинейностями /М.Е. Семенов, О.В. Тимченко, О.И. Канищева, JI.B. Бутова // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы Международной научной конференции. - Воронеж: ВГТА, - 2007. -С. 176.

7 Модель равновесного ценообразования в условиях гистере-зисной функции спроса / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, JI.B. Бутова, В.Я. Макаревич // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: труды XVI Международного научно-технического семинара, сентябрь 2007 г., - Тула: Изд-во Тул. гос. ун-та, 2007. - С. 248-249.

Подписано к печати Е мая 2009 г. Заказ № 50

_Объем - усл. п. л. 1. Тираж 100 экз._

Типография Тамбовского высшего военного авиационного инженерного училища радиоэлектроники (военного института) 392006, г. Тамбов-6, ул. Комиссара Московского, ТВВАИУРЭ (ВИ)

ВВЕДЕНИЕ.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Й КРАТКИЙ ОБЗОР СПОСОБОВ

ЕЕ РЕШЕНИЯ.

1Л Классическая задача оптимального производства, хранения и сбыта.

1.2 Гистерезисные преобразователи и их использование в экономике.

1.3 Применение гистерезисных преобразователей для моделирования функции спроса.

1.4 Свойства гистерезисной функции спроса.

1.5 Многокритериальная задача управления.

1.6 Модель установления равновесной цены.

1.7 Выводы по главе 1.

2 ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА, ХРАНЕНИЯ И СБЫТА ПРОДУКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЯ С ГИСТЕРЕЗИСНОЙ ФУНКЦИЕЙ СПРОСА.

2.1 Задача о максимизации прибыли в условиях неограниченного количества товара у производителя.

2.2 Решение задачи о производстве, хранении и сбыте товара с гистерезисной функцией спроса.

2.3 Выводы по главе 2.

3 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА О ПРОИЗВОДСТВЕ, ХРАНЕНИИ И СБЫТЕ ПРОДУКЦИИ ПРИ УЧАСТИИ ПОСРЕДНИКА.

3.1 Многокритериальная динамическая задача.

3.2 Многокритериальная задача о производстве, хранении и сбыте продукции при участии посредника.

3.3 Выводы по главе 3.

Актуальность исследования. Математическое моделирование играет огромную роль в задачах экономического планирования, и прогнозирования. Это обуславливается, в первую очередь, принципиальной невозможностью экспериментов в экономике и важностью соответствующих задач. Многие вопросы экономической политики предприятия в области производства, хранения и сбыта товара до сих пор остаются нерешенными: дело в том, что всякий раз приходится рассматривать огромное количество вариантов. Существующие концепции зачастую весьма по-разному оценивают факты и при разной трактовке трудно решить, какой теоретический подход наиболее правильный. При этом, исходя из самого характера экономической науки, невозможно однозначно доказательно проверить эти теоретические изыскания. И хотя, понятно, что реальная экономическая* деятельность предприятия не может быть полностью описана никакой, даже самой предусмотрительной моделью, тем не менее, необходима правильная расстановка акцентов при формализации.

Результаты моделирования задач планирования и управления показывают, что в реальной постановке эти задачи являются многокритериальными [11, 12, 20]. Так, часто встречающееся выражение «достичь максимального эффекта при наименьших затратах» уже означает принятие решения при двух критериях. Сложность и динамичность, а также высокий уровень неопределенности, являясь характерными свойствами экономических процессов, порождают специфические условия, которые необходимо учитывать при разработке прогнозных моделей. Оценка деятельности предприятий, трактуемых как управляемые системы, производится на основе более десятка критериев: выполнение плана производства по объему, по номенклатуре, плана реализации, прибыли по показателям рентабельности, производительности труда и т. д. При этом многокритериальные динамические задачи оптимального управления [14, 15] исследованы к настоящему времени недостаточно: существует I лишь небольшое количество публикаций [58, 59, 63, 64, 66], посвященных, в основном, линейным объектам с квадратичными функционалами.

Помимо этого многие экономические системы обладают долговременной памятью [82, 84], т.е. поведение системы, при t>tO, определяется не только набором определяющих ее параметров в этот момент времени, но и динамикой их изменений в предыдущие. Также существенной особенностью экономических систем является их инерционность [86, 87]. Необходимость учета этих эффектов требует принципиально новых подходов к моделированию экономических систем. Один из таких подходов основан на использовании в моделях экономических систем операторов гистерезисного типа [33, 88].

Для современного рынка товаров и услуг характерна тенденция к значительному росту влияния торговых посредников. Это объясняется, прежде всего тем, что они имеют прямой доступ к исключительно важной информации о состоянии и поведении рынка, что позволяет производителям своевременно реагировать на происходящие рыночные изменения и использовать новые возможности [9, 10]. Предлагаемые в настоящее время зарубежными и отечественными учеными экономико-математические модели и методы, включая перспективы анализа и планирования рациональных решений в условиях неопределенности, играют существенную роль в практике управления в конкретной макроэкономической системе [26, 27, 100].

В целом, решение ряда макроэкономических задач с применением математических методов и моделей ограничивается рамками функциональных задач в сфере маркетинга, финансового менеджмента, логистики, инвестирования, стратегического управления, экономического анализа. В экономической литературе не рассматривается самостоятельная задача комплексного применения математических методов и моделей для повышения эффективности управления реальными макроэкономическими системами. Поэтому существует необходимость в разработке комплекса взаимоувязанных экономико-математических моделей и методов их реализации с учетом особенностей функционирования конкретных систем управления в условиях рыночной экономики.

В различных работах [43, 62] рассматриваются детерминированные модели зависимости цены, качества, количества произведенного товара от факторов, которые явно определяют покупательную активность потребителя и посредника. Но как показывают многочисленные исследования, эти факторы не всегда являются исчерпывающими, т.к. состояние экономической системы в начальный момент времени зависит не только от значений внешних параметров в этот момент времени, но и от динамики их изменения в прошлом.

Это обстоятельство побудило'выбрать в качестве модели функции продаж некоторый преобразователь гистерезисного типа, учитывающий предысторию изменений внешних параметров и, что еще более важно, инертность покупательского спроса.

В работах М.Е. Семенова [72, 73] предложена обобщенная модель гистерезисного преобразователя и построенная на ее основе гистерезисная функция спроса в условиях стационарного состояния потребительских отношений. Однако в экономической практике потребительские отношения претерпевают изменения, что связано с динамикой изменения свойств товарной продукции вследствие процессов старения и модернизации технологических производств. Учет нестационарности потребительских отношений приводит к изменению гистерезисной функции спроса, и как следствие, к необходимости нового решения задачи об оптимальном хранении и производстве продукции.

Также применение систем с гистерезисом при решении вышеизложенных задач, позволяет подойти к решению проблемы с принципиально новой стороны. При выборке из большого числа значений, функция возвращает нам значение, приближающееся к константе [39, 95, 97]. Таким образом, мы можем сделать вывод, что применение систем с гистерезисом дает возможность нахождения решения задач совокупного спроса и предложения, максимально приближенные к оптимальным.

Учет гистерезисных эффектов необходим и во многих других проблемах, поэтому применение гистерезиса в экономике можно считать перспективной задачей, которая требует дальнейшего развития и изучения.

Приведенные доводы обосновывают научную актуальность исследования и его практическую значимость.

Объектом исследования являются замкнутые экономические системы.

Предметом исследования являются математические модели производства, хранения и сбыта продукции.

Целью исследования разработка и анализ математических моделей процесса оптимального производства, хранения и сбыта продукции с гисте-резисной функцией спроса и в условиях конкуренции критериев.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

- разработка математической модели функции спроса гистерезисного вида, учитывающая инертность потребительского спроса и предысторию экономических систем;

- разработка модели задачи оптимального производства, сбыта, хранения товара в условиях гистерезисной функции спроса и с участием посреднических организаций;

- разработка алгоритма решения соответствующих задач;

- численная апробация разработанных моделей и алгоритмов на модельных задачах.

В работе были использованы следующие методы исследования: операторная трактовка гистерезиса, метод математического моделирования сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

Достоверность результатов корректностью применяемого математического аппарата исследования сложных динамических систем; соответствием результатов вычислительных экспериментов реальным данным, а также актом о внедрении результатов работы на предприятии.

Научная новизна исследования заключается в следующих результатах:

- математическая модель функции спроса, основанная на операторах гистерезисного типа, отличающаяся от классических возможностью учета инертности и предыстории;

- методика решения задачи оптимального производства, хранения и сбыта продукции предприятия с участием посреднических организаций;

- методика решения одного класса многокритериальных динамических задач оптимального управления, являющихся, в том числе,,математической моделью задачи об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции предприятия с участием посреднических торговых организаций.

Теоретическая значимость работы:

- осуществлено обоснование применения операторов гистерезисного типа для различных задач экономического планирования;

- обоснована целесообразность использования посредника для многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции;

- построены алгоритмы решения соответствующей задачи численными методами.

Практическая ценность работы. В работе развита методика, позволяющая учитывать на этапе моделирования экономических систем и процессов такие их особенности как инертность, зависимость от предыстории и ряд других. Учет этих эффектов в моделях, позволяет существенно более адекватно, по сравнению с традиционными подходами, описывать динамические системы в экономике и, как следствие, открывает возможности для более достоверного экономического прогнозирования.

Второй практически важный аспект работы связан с моделями многокритериальных динамических экономических задач. Эти задачи имеют очевидную практическую значимость, поскольку большинство экономических систем оптимизируются по целому набору параметров. В работе предложена методика анализа таких систем, позволяющая находить оптимальные решения.

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

- модель функции потребительского спроса, учитывающая его инертность и предысторию, основанная на использовании операторов гисте-резисного типа;

- методика решения задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса;

- методика решения многокритериальных задач оптимального управления являющихся математическими моделями задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции при участии посредника;

- численные алгоритмы решения соответствующих задач.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7], список которых приведен в использованных источниках. Из них - 2 в изданиях, рекомендованных ВАК Минобразования РФ для публикации основных научных результатов диссертаций.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют разработка многокритериальной математической модели процесса оптимального производства, хранения и сбыта продукции при участии посредника [51, 78], исследование моделей [79, 91].

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2004); XIX Понтрягинские чтения (Воронеж, 2005); «Системы управления и информационные технологии» (Воронеж, 2006); «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2005); «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж ,2006); «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007); «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007).

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационного исследования использованы на предприятии, производящем однородную продукцию, что подтверждается актом о внедрении результатов диссертации в промышленных условиях.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованных источников, включающего 103 наименования, изложена на 103 странице и включает 21 рисунок.

3.4 Выводы по главе 3

1 Сформулирована многокритериальная позиционная динамическая задача при неопределенности, для которой определены причины и различные траектории движения, начинающиеся в начальный момент времени в одном и том же состоянии. Для данной задачи дано определение оптимального по Парето решения.

2 Разработана математическая модель многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия при условии конкуренции критериев с учетом интересов посреднических торговых организаций.

3 Получено численное решение многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия.

4 При анализе полученного решения, выявили, что использование посредника для данной задачи является необходимым условиям для повышения прибыли предприятия. Это необходимость видна при перераспределением весового коэффициента а в сторону увеличения или уменьшения.

5 Исследована зависимость взвешенного функционала прибыли от параметра для многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия.

6 Получено условие опаимальности взвешенного критерия от параметра а для многокритериальной задачи о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия.

7 Предложен численный алгоритм, позволяющий находить оптимальное решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции предприятия при участии посреднических торговых организаций.

80

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования решена многокритериальная задача о производстве, хранении и сбыте продукции предприятия, при участии посредника, которая адекватно учитывает конкуренцию критериев. В результате получили решение, которое дает оптимальный результат по всем выбранным критериям.

Достигнута цель исследования, заключающаяся разработке и анализе моделей процесса оптимального производства, хранения и сбыта продукции с гистерезисной функцией спроса и в условиях конкуренции критериев.

В ходе исследованиям проведен анализ известных математических моделей ценообразования, показано, что учет инертности потребительского спроса и изменения потребительских отношений в зависимости от времени требует новых подходов к синтезу математических моделей и нового анализа решения соответствующих задач.

На основе разработанной математической модели построен алгоритм решения задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений. Получено решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса, которое определяет выбор рационального поведения производителя на рынке.

Разработана математическая модель задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции предприятия с учетом интересов посреднических торговых организаций. Предложена методика и получено решение этих задач для набора модельных случаев. Исследованы свойства решений, проведен их сравнительный анализ. Проведена численная апробация алгоритмов и методов решения этих задач.

Вместе с тем, проведенное исследование не претендует на решение всех вопросов, связанных с математическим моделированием многокритериальных задач экономики. Так, к проблемам, являющимся предметом перспективного исследования, можно отнести:

- разработку математической модели процесса производства, хранения и сбыта продукции в условиях гистерезисной функции спроса для предприятия, производящего неоднородную продукцию;

- разработку математической модели многокритериальной задачи при производстве, хранении и сбыте продукции для предприятий, использующих заемный капитал.

1. Авен, О. И. Оценка качества и оптимизация вычислительных систем Текст. / О. И. Авен, Н. Н. Турин, А. Я. Коган. М. : Наука, 1982. - 464 с.

2. Авен, О. И. Управление вычислительным процессом в ЭВМ Текст. / О. И. Авен, А. Я. Коган. М. : Наука, 1978. - 240 с.

3. Айзерман, М. А. Абсолютная устойчивость регулируемых систем Текст. / М. А. Айзерман, Ф. Р. Гантмахер. М. : АН СССР, 1963.- 140 с.

4. Аксенов, И. Я. Единая транспортная система Текст. : учеб. для вузов/И. Я. Аксенов. -М. : Высш. шк., 1991. -383 с.

5. Ален, Р. Математическая экономия Текст. / Р. Ален. М. : Изд-во ин. лит., 1963. - 600 с.

6. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения Текст. / В. И. Арнольд. М. : Наука, 1975. - 240 с.

7. Бахвалов, Н. С. Численные методы Текст. : в 2 т. / Н. С. Бахвалов. -М. : Наука, 1975. Т. 1. - 475 с.

8. Батищев, Д. И. Задачи и методы векторной оптимизации Текст. / Д. И. Батищев. Горький : Изд-во Горысов. гос. ун-та, 1979. - 215 с.

9. Боровков, А. А. Математическая статистика Текст. : учеб. пособие / А. А. Боровков. М. : Наука, 1984. - 472 с.

10. Боровков, А. А. Теория вероятностей Текст. / А. А. Боровков. М. : Наука, 1984.-248 с.

11. Бусленко, Н. П. Моделирование сложных систем Текст. / Н. П. Бусленко. М. : Наука, 1968. - 356 с.

12. Бусленко, Н. П. Лекции по теории сложных систем Текст. / Н. П. Бусленко, В. В. Калашников, И. Н. Коваленко. — М. : Сов. радио, 1973. -440 с.

13. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач Текст. / Ф. П. Васильев. М. : Наука, 1981. - 384 с.

14. Вентцель, Е. С. Исследование операций Текст. / Е. С. Вентцель. -М. : Сов. радио, 1972. 551 с.

15. Вовк, А. А. Оценка эффективности транспортного производства и резервов ее роста Текст. / А. А. Вовк. М. : Крома, 2000. - 295 с.

16. Гиль, М. И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем Текст. / М. И. Гиль. М. : Наука, 1984. - 150 с.

17. Давние, В. В. Адаптивное прогнозирование: модели и методы Текст. / В. В. Давние. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1997. - 196 с.

18. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики Текст. / Б. П. Демидович, И. А. Марон. — М. : Наука, 1966. 664 с.

19. Демьянов, В. Ф. Введение в минимакс Текст. / В. Ф. Демьянов,

20. B. Н. Малоземов. М. : Наука, 1972. - 368 с.

21. Долан, Э. Дж. Микроэкономика Текст. / Э. Дж. Долан, Д. Лин-дсей. СПб. : Наука, 1997. - 448 с.

22. Жак, С. В. Экономика для инженеров Текст. : учеб. пособие /

23. C. В. Жак. М. : Вуз. книга, 2004. - 261 с.

24. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений Текст. / Л. Заде. М. : Мир, 1976. -312 с.

25. Использование методов технического анализа при прогнозировании цен на рынке Текст. / М. Е. Семенов, Н. А. Алейникова, А. С. Свиридов,

26. И. Н. Шумлин // Математическое обеспечение ЭВМ : межвуз. сб. науч. тр. -Воронеж, 2002. Вып. 4. - С. 2-5.

27. Калиткин, Н. Н. Численные методы Текст. / Н. Н. Калиткин ; под ред. А. А. Самарского. М. : Наука, 1978. - 512 с.

28. Клейнрок, JI. Вычислительные системы с очередями Текст. / JI. Клейнрок. М. : Мир, 1979. - 560 с.

29. Клейнрок, JI. Теория массового обслуживания Текст. / JI. Клейнрок. -М. : Машиностроение, 1979. 432 с.

30. Колмогоров, А. Н. Функциональный анализ Текст. / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. -М. : Наука, 1984. 752 с.

31. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функции и функционального анализа Текст. / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М. : Наука, 1981. - 543 с.

32. Красносельский, М. А. Положительные решения операторных уравнений Текст. / М. А. Красносельский. М. : Физматгиз, 1962. - 394 с.

33. Красносельский, М. А. Оператор сдвига по траекториям обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / М. А. Красносельский. М. : Наука, 1966.-312 с.

34. Красносельский, М. А. Нелинейные почти периодические колебания Текст. / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. М. : Наука, 1970.-351 с.

35. Красносельский, М. А. Позитивные линейные системы Текст. / М. А. Красносельский, Е. А. Лившиц, А. В. Соболев. М. : Наука, 1985. - 255 с.

36. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом Текст. / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. М. : Наука, 1983. - 271 с.

37. Краснощеков, П. С. Принципы построения моделей Текст. / П. С. Краснощеков, А. А. Петров. М. : Изд -во Моск. гос. ун-та, 1984. — 264 с.

38. Крылов, В. И. Вычислительные методы Текст. / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. М. : Наука, 1976. - 400 с.

39. Лебедев, В. В. Математическое моделирование социально-экономических процессов Текст. / В. В. Лебедев. М. : ИЗОГРАФ, 1997. -224 с.

40. Леонтьев, В. В. Межотраслевая экономика Текст. / В. В. Леонтьев. М. : Экономика, 1997. - 497 с.

41. Литвин, В. Г. Анализ производительности мультипрограммных ЭВМ Текст. / В. Г. Литвин, В. П. Аладышев, А. И. Винниченко. М. : Финансы и статистика, 1984. - 159 с.

42. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа Текст. / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

43. Маленво, Э. Лекцшгпо макроэкономическому анализу Текст. / Э. Маленво ; под ред. К. А. Багриновского. М. : Наука, 1985. - 392 с.

44. Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / Н. Н. Моисеев. 2-е изд., перераб. - М. : Наука, 1981. - 400 с.

45. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения Текст. / А. М. Ляпунов. М.: Гостехиздат, 1950. - 270 с.

46. Макконнелл, К. Р. Экономикс Текст. / К. Р. Макконнелл, С. А. Брю. М. : Республика, 1995. - 399 с.

47. Математическое моделирование Текст. / под ред. В. А. Садовниче-го [и др.]. М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1993. - 224 с.

48. Математическое моделирование: процессы в сложных экономических и экологических системах Текст. / под ред. А. А. Самарского, Н. Н. Моисеева, А. А. Петрова. М. : Наука, 1986. - 196 с.

49. Математическое моделирование: методы описания и исследования сложных систем Текст. / под ред. А. А. Самарского, Н. Н. Моисеева, А. А. Петрова. М. : Наука, 1989. - 266 с.

50. Неймарк, И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний Текст. / И. Неймарк. М. : Наука, 1972. - 971 с.

51. Неймарк, Ю. И. О периодических режимах и устойчивости систем Текст. / Ю. И. Неймарк // Автоматика и телемеханика. 1953. - № 5. -С.220-221.

52. О резонансных свойствах одного уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов, О. И. Канищева, А. Н. Гулин, В. Я. Макаревич // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2006.- Т. 13, вып. 3.-С. 718-719.

53. Об оптимальном решении одного класса экономических задач Текст. / Д. Р. Лапыгин, В. И. Сумин, Т. В. Рудченко, Л. В. Кутепова // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005. Т. 12, вып. З.-С. 670-671.

54. Параев, Ю. И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара Текст. / Ю. И, Параев // Изв. акад. наук. Теория и системы управления. 2000. - № 2. - С. 103-117.

55. Перов, А. И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / А. И. Перов // Приближенные методы решения дифференциальных уравнений : сб. тр. Киев : Наук, думк., 1964. - Вып. 2. -С.115-134.

56. Петров, А. А. Опыт математического моделирования экономики Текст. / А. А. Петров, И. Г. Поспелов, А. А. Шананин. М. : Энергоатомиз-дат, 1996.-558 с.

57. Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач Текст. / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. М. : Наука, 1982. — 360 с.

58. Покровский, А. В. Корректные решения уравнений с сильными не-линейностями Текст. / А. В. Покровский // Доклады АН. 1984. - Т. 274, № 5.-С. 1037-1040.

59. Покровский, А. В. Системы с сильными нелинейностями Текст. / А. В. Покровский // Математическая теория систем. 1990. - № 2. - С. 96-112.

60. Покровский, А. В. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями Текст. / А. В. Покровский, М. Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1990. - № 2. - С. 31-37.

61. Пытьев, Ю. П. Математические методы анализа эксперимента Текст. / Ю. П. Пытьев. М. : Высш. школа, 1989. - 352 с.

62. Пытьев, Ю. П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем Текст. / Ю. П. Пытьев. — М. : Физматлит, 2002.-384 с.

63. Пятницкий, Е. С. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур Текст. / Е. С. Пятницкий, В. И. Скородинский // Автоматика и телемеханика. 1983. -№ 11.-С. 52-61.

64. Розен, В. В. Цель оптимальность - решение: математические модели принятия оптимальных решений Текст. / В. В. Розен. - М. : Радио и связь, 1982.-210 с.

65. Российский статистический ежегодник Текст. : стат. сб. М. : Госкомстат России, 2002. - 621 с.

66. Рыночная экономика Текст. : учебник / под ред. В. Ф. Максимовой. М. : Наука, 1992. - Ч. 2. - 168 с.

67. Саати, Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий Текст. / Т. Саати. М.: Радио и связь, 1993. - 327 с.

68. Самарский, А. А. Математическое моделирование Текст. / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. - М. : Физматлит, 1997. - 320 с.

69. Самуэльсон, П. Экономика Текст. / П. Самуэльсон ; пер. с англ. под ред. А. В. Аникина, А. И. Шапиро, Р. М. Энтова. М. : Прогресс, 1964. -844 с.

70. Семенов, М. Е. Гистерезисные явления в экономических процессах Текст. / И. П. Половинкин, М. Е. Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов : сб. науч. тр. М. : ИПСЭР, 2000. - С. 88-91.

71. Семенов, М. Е. Динамическая модель потребительского спроса Текст. / М. Г. Матвеев, С. Д. Наумов, М. Е. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ : межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 1999. - Вып. 4. - С. 3640.

72. Семенов, М. Е. Динамическая модель производственной системы Текст. / М. Е. Семенов, С. Д. Наумов // Понтрягинские чтения XIX : тез. докл. школы. Воронеж, 1999. - С. 141.

73. Семенов, М. Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2002. — 104 с.

74. Семенов, М. Е. Математическая модель рыночного равновесия в условиях гистерезисной функции спроса Текст. / М. Е. Семенов, А. В. Перова, JI. В. Кутепова // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2004. Т. 11, вып. 4. - С. 864-865.

75. Семенов, Ml Е. Математическая модель функции продаж Текст. / М. Г. Матвеев, И. П: Половинкин, М. Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002 . - Т. 9, вып. 1 . - С. 419- 420.'

76. Семенов, М. Е. Об одной модели потребительского спроса Текст. / И. П. Половинкин, М. Е. Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов : сб. науч. тр. М. : ИПСЭР, 2000. - С. 82-87.

77. Семенов, М. Е. О диссипативности одного класса систем с гистере-зисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов, О. И. Канищева, М. Г. Матвеев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, вып. З.-С. 752-753.

78. Семенов, М. Е. Об оптимальном решении одного класса задач с гис-терезисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов, Т. В. Рудченко, Л. В. Кутепова // Понтрягинские чтения XIX : тез. докл. школы. Воронеж, 2005. -С. 131-132.

79. Семенов, М. Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Пу Текст. / М. Е. Семенов, М. Г. Матвеев, Ю. Д. Щеглова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002 . - Т. 9, вып. 1 . - С. 436-437.

80. Семенов, М. Е. Оптимальная ценовая стратегия в задаче о производстве и сбыте товаров Текст. / М. Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2002. — Т. 9, вып. 1. — С. 443- 447.

81. О резонансных свойствах одного уравнения Матье с гистерезисны-ми нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов [и др.] // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т. 13, вып. 3. — С. 718-719.

82. Семенов, М. Е. Устойчивые циклы в макроэкономической модели с гистерезисными нелинейностями Текст. / М. Е. Семенов, М. Г. Матвеев //

83. Системные проблемы качества математического моделирования и электронных технологий : сб. тез. докл. конф. — Сочи, 2003 . — Т. 6 . — С. 129.

84. Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах Текст. / Ю. М. Снапелев, В. А. Старосельский. М. : Сов. радио, 1974. -264 с.

85. Соболь, И. М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями Текст. / И. М. Соболь, Р. Б. Статников. М. : Наука, 1981. — 405 с.

86. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М. : Наука, 1979. - 285 с.

87. Трубников, Ю. В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями Текст. / Ю. В. Трубников, А. И. Перов. — Минск : Наука и техника, 1986. 199 с.

88. Методы разработки интегрированных АСУ промышленными предприятиями Текст. / Г. М. Уланов [и др.] М. : Энергоатомиздат, 1983. - 220 с.

89. Устойчивые циклы в модели макроэкономики с гистерезисной функцией инвестиций Текст. / М. Е. Семенов [и др.] // Системы управления и информационные технологии 2008. № 1-2. - С. 259-264.

90. Феррари, Д. Оценка производительности вычислительных систем Текст. / Д. Феррари. М. : Мир, 1981.-576 с.

91. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Текст. / А. Ф. Филиппов. М. : Наука, 1985. - 224 с.

92. Хайман, Д. Н. Современная макроэкономика: анализ и применение Текст. / Д. Н. Хайман. М. : Наука, 1992. - 362 с.

93. Чуличков, А. И. Математические модели нелинейной динамики Текст. / А. И. Чуличков. М. : Физматлит, 2003. - 296 с.

94. Шананин, А. А. Об устойчивости Рыночных механизмов Текст. / А. А. Шананин // Математическое моделирование 1991. - Т. 3, № 2.-С. 42-62.

95. Шумпетер, И. Теория экономического развития Текст. / И. Шум-петер ; под ред. А. Г. Малейковского. М. : Прогресс, 1982. - 456 с.

96. Якубович, В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью Текст. / В. А. Якубович // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 149, № 2. - С.22-24.