автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование МГД волн, распространяющихся вдоль тонких магнитных трубок

На правах рукописи

Шайдуров Владимир Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МГД ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВДОЛЬ ТОНКИХ МАГНИТНЫХ ТРУБОК

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2004

Работа выполнена в Красноярском государственном университете и Институте вычислительного моделирования СО РАН

Научный руководитель: доктор физ.- мат. паук, профессор

Еркаев Николай Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физ.- мат. наук, профессор Киселев Валерий Михайлович

доктор физ.- мат. наук, профессор Вогульский Игорь Олегович

Ведущая организация: Кафедра физики Земли Санкт-

Петербургского государственного университета

Защита диссертации состоится 2 ноября 2004 г. на заседании диссертационного совета Д 003.009.01 при Институте вычислительного моделирования СО РАН по адресу: 660036, г. Красноярск, Академгородок.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМ СО РАН.

Автореферат разослан 30 сентября 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, к. ф.- м. и.

/ Ь /5 6 Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке и исследованию математических моделей распространения альфвеновских и медленных магнитозвуковых волн вдоль искривленных и сужающихся магнитных силовых трубок. В работе построены конечно-разностные вычислительные алгоритмы и выполнены расчеты как альфве-новских, так и медленных магнитозвуковых импульсов в азимутальном, радиальном и дипольном магнитных полях для различных параметров модели. На основе проведенных расчетов сделаны выводы о влиянии кривизны и сужения магнитной трубки на взаимодействие поперечной и продольной мод и отражение аль-фвеновской волны от диссипативной границы.

Актуальность темы. Альфвеновские волны играют важную роль в космической плазме, осуществляя перенос возмущений электрического и магнитного полей вдоль магнитных силовых линий в различные точки пространства. Поэтому изучение условий генерации и распространения альфвеновских волн является актуальной проблемой, имеющей большое прикладное значение. В частности, геомагнитные пульсации, регистрируемые на уровне ионосферы Земли, являются хорошими индикаторами состояния магнитосферы Земли и широко используются для ее диагностики. Однако трудность заключается в том, что магнитосферное магнитное поле имеет сложную конфигурацию. Магнитные силовые трубки сильно сужаются вблизи ионосферы и расширяются по мере удаления от планеты. В этой связи возникает вопрос о влиянии сужения и расширения магнитных трубок на характер распространения альфвеновских волн. Кроме того, недостаточно изученным остается вопрос о влиянии на распространение волновых импульсов такого фактора, как кривизна магнитных силовых линий, которая является причиной взаимодействия различных типов волн. Выяснение этих ВОПРОСОВ на основе решения

РОС НАЦИОНАЛЬНА* 3 ИММОТЕКА

модельных задач составляет содержание диссертационной работы.

Целью настоящей работы является анализ и вывод общих уравнений динамики тонкой магнитной трубки во вмороженных лагранжевых координатах, разработка вычислительного алгоритма и комплекса программ, а также решение следующих задач.

1. Взаимодействие альфвеновских и медленных магнитозвуко-вых волновых пакетов в искривленной магнитной трубке.

2. Распространение альфвеновских импульсов вдоль сильно сужающихся магнитных трубок.

3. Формирование и распространение медленных ударных волн вдоль сужающихся магнитных трубок.

Научные результаты, выносимые на защиту.

1. Разработаны математическая модель и метод расчета нестационарных МГД возмущений тонкой магнитной трубки, позволяющий расщепить исходную трехмерную нестационарную задачу на совокупность одномерных гиперболических нестационарных задач для "магнитных струн", эффективно решаемых на основе консервативных двухшаговых явных разностных схем с автоматическим выделением разрывов.

2. Получены соотношения между амплитудами поперечных и продольных волновых возмущений магнитного поля и скорости газа в искривленной магнитной трубке, зависящие от параметра где - отношение фоновых давлений плазмы и магнитного поля, Я - радиус кривизны магнитной трубки.

3. Найдены времена затухания альфвеновских волновых импульсов, многократно отражающихся от диссипативной границы, в зависимости от длительности импульсов и коэффициента схождения магнитных силовых линий в трубке.

4. Показано возрастание интенсивности медленных ударных волн, распространяющихся вдоль сужающихся магнитных трубок

в дипольном магнитном поле. Данный эффект усиливается в случае вращающейся магнитной трубки.

5. На основе разработанной модели определено время распространения медленной ударной волны от Ио (источника импульсов давления) до Юпитера. Это время хорошо согласуется со временем запаздывания наблюдаемого излучения в области магнитной трубки, близкой к ионосфере Юпитера.

Научная новизна. В работе получены новые результаты:

1) изгибные и продольные волновые деформации тонкой магнитной трубки описываются гиперболическими уравнениями магнитной струны. Их связь определяется отношением локального параметра бета плазмы к радиусу кривизны;

2) поперечные альфвеновские возмущения магнитного поля и скорости индуцируют продольные возмущения скорости, амплитуда которых пропорциональна параметру бета плазмы, а также отношению нормального смещения (по отношению к магнитной силовой линии) к радиусу кривизны магнитной линии:

3) кривизна магнитных силовых линий в трубке существенно влияет на скорости альфвеновской и медленной магнитозвуковой волн. В искривленной магнитной трубке скорость альфвеновской волны больше, а скорость магнитозвуковой волны меньше их соответствующих значений в прямолинейной трубке. Возмущения скоростей волн, связанные с кривизной трубки, имеют порядок

, где к - волновой вектор, а Я - радиус кривизны магнит-

1/

ной трубки;

4) схождение магнитных силовых линий вызывает отражение волны от узкой части магнитной трубки и этим значительно уменьшает влияние диссипативной границы, находящейся в основании трубки. Этот эффект сужения магнитной трубки выражен тем

5

сильнее, чем больше продольный масштаб волнового пакета;

5) увеличение фактора сужения магнитной трубки приводит к уменьшению диссипации волны, связанной с конечной проводимостью границы и, соответственно, к значительному возрастанию числа отражений волны;

6) интенсивность медленной ударной волны значительно возрастает при ее распространении вдоль сужающейся магнитной трубки. Этот эффект усиливается в случае вращающейся магнитной трубки, который имеет место в магнитосфере Юпитера.

Научное и практическое значение работы. Разработанные модели распространения МГД волн представляют интерес для физики плазмы и космической физики и, в частности, они важны для изучения волновых процессов в магнитосфере Земли. Они могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных о пульсациях геомагнитного поля, связанных с нестационарными вариациями параметров плазмы на границе и в хвосте магнитосферы.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и симпозиумах:

- Генеральной Ассамблее Европейского геофизического общества (Ницца, Франция, 2001);

- Объединенном симпозиуме "Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics" ( г. Иркутск, Россия, 2001);

- Международной конференции "Planetary Radio Emission" (г. Грац, Австрия, 2001);

- Всероссийской конференции "Математические модели и методы их исследования" (г. Красноярск, Россия, 2001);

- Международной конференции "Problems of Geocosmos" (г. Санкт-Петербург, Россия, 2002, 2004);

- Симпозиуме Европейского геофизического союза (г. Ницца, Фран-

ция, 2004);

- Научной Ассамблее COSPAR (Париж, Франция, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, список которых помещен в конце автореферата.

Личный вклад. Все результаты, представленные в диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, 50 рисунков и списка литературы, включающего 93 наименования. Общий объем диссертации - 138 страниц.

Содержание работы.

Во введении приведен обзор решаемых задач.

В первой главе сформулировано приближение тонкой магнитной трубки, введены вмороженные лагранжевы переменные и криволинейные координаты, связанные с магнитной трубкой. Дана вариационная формулировка задачи и получены уравнения "магнитной струны", описывающие поперечные и продольные колебания магнитной трубки. Исходными являются уравнения идеальной магнитогидродинамики (МГД), которые широко используются для моделирования динамики космической плазмы. Решение этих уравнений в общем случае трехмерных МГД течений представляет собой трудную задачу. Поэтому для упрощения проблемы используются асимптотические методы, основанные на разложениях по малым параметрам. Примером такого подхода является модель тонкой магнитной трубки, которая рассматривает нормированную толщину магнитной трубки в качестве малого параметра. Модель тонкой магнитной трубки соответствует асимптотическому приближению больших азимутальных волновых чисел, которое плодотворно использовалось в работах [1-3] применительно к магнитосфере Земли. В названных работах рассматривались постановки задач, связанные с вычис-

лением собственных мод и спектра частот линейных колебаний плазмы в магнитном поле. В рамках этого приближения быстрая магнитозвуковая мода исчезает, и остаются только связанные между собой альфвеновская и медленная магнитозвуковая волны. В этом случае возмущение полного давления (суммы магнитного и газового давлений) равно нулю, что аналогично условию на полное давление в модели тонкой магнитной трубки.

Изучение волновых процессов в магнитосфере Земли проводилось в основном в направлении поиска спектра собственных частот и резонансных гармоник в магнитосферном резонаторе [4-6]. В отличие от других работ, в диссертации рассматриваются особенности распространения и взаимодействия пакетов аль-фвеновских и медленных магнитозвуковых волн вдоль искривленных магнитных трубок с участками сильного сужения. При этом основное внимание сосредоточено на вопросах влияния кривизны и сужения трубки на характер распространения волновых импульсов и фронтов ударных волн вдоль магнитных трубок.

Основные положения и выводы первой главы.

1. Приближение тонкой магнитной трубки позволяет считать полное давление заданной функцией координат, определяемой на основе фонового распределения магнитного поля и давления плазмы.

2. Система МГД уравнений, описывающая волновые процессы в тонкой магнитной трубке, сводится к уравнениям "магнитной струны" в специальной вмороженной системе координат, в которой первая координата характеризует распределение массы вдоль магнитной трубки, а две другие координаты имеют смысл потенциалов Эйлера для магнитного поля.

3. Возмущения магнитной трубки характеризуются вектором смещения, выражаемым через связанные с трубкой ортогональные криволинейные координаты. В случае осесимметричного магнитного поля естественные координатные направления определя-

ются магнитным вектором, нормалью к силовой линии в меридиональной плоскости и азимутальным вектором.

4. На основе анализа общего вида уравнений определены коэффициенты связи альфвеновской и магнитозвуковой мод, зависящие от радиуса кривизны магнитной трубки и параметра (отношения фонового давления плазмы к магнитному давлению).

Вторая глава посвящена исследованию влияния кривизны магнитной трубки на взаимодействие альфвеновской и медленной магнитозвуковой волн. Поведение волнового возмущения в изогнутой магнитной трубке существенно зависит от двух факторов - кривизны магнитных силовых линий в трубке и сужения трубки. В общем случае оба эти фактора присутствуют одновременно. Однако их влияние можно изучать отдельно в случаях азимутального и радиального магнитных полей. В этой главе рассматривается поведение магнитной трубки в упрощенной модельной конфигурации магнитного поля, в которой магнитные силовые линии имеют вид концентрических окружностей. Модель азимутального магнитного поля позволяет исследовать влияние фактора кривизны магнитной трубки на характер распространения и взаимодействия альфвеновских и медленных магнитозвуковых волн. В этом случае общая криволинейная система координат сводится к цилиндрической системе. Уравнения колебаний "магнитной струны" для азимутального магнитного поля получаются из общей системы уравнений, выведенной в первой главе.

Результаты и выводы второй главы.

1. В искривленной магнитной силовых трубке возникает связь между поперечными и продольными волновыми возмущениями. Интенсивность взаимодействия между альфвеновскими и магни-тозвуковыми волнами определяется отношением параметра бета к радиусу кривизны.

2. Амплитуда продольной скорости, индуцированной поперечным смещением магнитной трубки, пропорциональна амплитуде

поперечного смещения, параметру бета, местной альфвеновской скорости и кривизне трубки:

6Уц ~ 20оУй5г/Я

3. Кривизна магнитных силовых линий является причиной дисперсии альфвеновских и медленных волн. В изогнутой магнитной трубке скорость альфвеновских волн возрастает, а скорость медленных магнитозвуковых волн убывает относительно их значений для прямой трубки. Относительное изменение скоростей волн определяется безразмерным параметром Д)/(&Я)2, где к -волновое число.

В третьей главе рассматриваются задачи распространения альфвеновских волн вдоль сходящихся магнитных силовых линий (радиальное и дипольное магнитные поля). Изучается влияние фактора схождения линий магнитного поля на распространение и отражение альфвеновских волн.

Сужение и расширение магнитных трубок характерно для широкого класса магнитных полей. Например, в магнитосфере Земли магнитное поле имеет сложную конфигурацию, магнитные силовые линии сильно сгущаются вблизи ионосферы и расходятся при мере удаления от планеты. Для ответа на вопрос о влиянии фактора сужении магнитной трубки решаются модельные задачи о распространении альфвеновскх волн в радиальном и дипольном магнитных полях.

Радиальное магнитное поле является простейшей конфигурацией магнитных силовых линий, на примере которой можно изучать влияние фактора сужения магнитной трубки. В этой модели кривизна магнитных линий равна нулю, линии поля ортогональны оси г и радиально сходятся к этой оси. В этом случае общая криволинейная система координат, рассмотренная в первой главе, сводится к цилиндрической системе.

Графики, представленные на рисунке 1, характеризуют влияние фактора сужения магнитной трубки на диссипацию альфве-

ю

новской фронта, связанную с потерями энергии при отражениях. На графиках изображены временные зависимости усредненных по длине трубки возмущений скорости для однородного, радиального и дипольного магнитных полей. Скорости нормированы к их асимптотическим значениям, а время отнесено к удвоенному временному интервалу прохождения альфвеновской волны от экватора до основания дипольной магнитной трубки. Первая (верх-

Рис. 1. Усредненные по длине магнитной трубки возмущения скорости в зависимости от времени для случаев однородного, радиального и дипольного магнитных полей.

няя) панель соответствует случаю однородного магнитного поля. Вторая, третья и четвертая панели соответствуют радиальному магнитному полю с различными отношениями Ятах/К-тт, где Я - расстояние от центра. Пятая (нижняя) панель соответствует ди-

п

польной магнитной трубке с отношением Итах/^тгп = 10.

В случае однородного магнитного поля эффект схождения магнитных силовых линий отсутствует. В случае радиального магнитного поля эффект сужения магнитной трубки присутствует, и он заметен тем сильнее, чем больше отношение . В

случае дипольной магнитной трубки этот эффект проявляется наиболее сильно. Анализ графиков показывает, что схождение магнитных силовых линий вызывает увеличение времени релаксации альфвеновской волны в магнитной трубке. Если в случае однородного магнитного поля волновые возмущения практически исчезают уже после двух отражений, то в случае дипольного поля альфвеновские волны отражаются много раз без заметного уменьшения их амплитуды.

Основные результаты, полученные в третьей главе, сводятся к следующим утверждениям.

1. Показано, что продольная характерная длина альфвеновско-го импульса возрастает пропорционально напряженности магнитного поля. Кроме того, значительно возрастает амплитуда электрического поля при распространении импульса в направлении роста магнитного поля.

2. При сильном сужении магнитной трубки, импульс достаточно большой длительности отражается прежде, чем успевает дойти до границы трубки. В этом случае потери энергии импульса на диссипативиой границе очень малы при любой электропроводности граничной поверхности, и импульс может совершать многократные отражения без заметного затухания.

3. Эффекты сужения трубки выражены тем сильнее, чем больше длительность импульса При многократных отражениях время диссипации энергии импульса существенно возрастает с увеличением длительности импульса.

В четвертой главе исследовано формирование и распространение медленных магнитозвуковых ударных волн вдоль диполь-

ных магнитных трубок с однородными фоновыми параметрами плазмы. Источниками этих волн являются вариации давления газа в экваториальной части магнитной трубки, которые порождают нелинейные магнитозвуковые волны, эволюционирующие в ударные разрывы. В случае сходящихся магнитных силовых линий (например, в дипольном поле) поперечное сечение магнитной трубки уменьшается с возрастанием напряженности магнитного поля. Для магнитосферного магнитного поля это уменьшение сечения может быть очень большим. В этом случае распространение МГД волн вдоль магнитных трубок сильно отличается от случая однородного магнитного поля. На основе идеальных МГД уравнений рассмотрены аналитические и численные решения, описывающие распространение медленных магнитозву-ковых волн в тонкой магнитной трубке при малых значениях параметра Д) фоновой плазмы.

Согласно общей системе уравнений, полученной в первой главе, медленная магнитозвуковая волна в искривленной трубке взаимодействует с альфвеновской волной, и взаимодействие этих двух типов волн определяется параметром равным отношению давления плазмы к магнитному давлению. Однако при малых значениях этого параметра можно пренебречь взаимодействием между альфвеновскими волнами и медленными магнитозвуковой волнами, распространяющимися вдоль магнитных силовых линий. В этом случае поперечные и продольные моды можно рассматривать отдельно.

Расчеты выполнены для малых значений параметра . Для всех вариантов расчетов, описанных в четвертой главе, характерна картина формирования и распространения медленной МГД ударной волны. Начальный пик давления распадается на две симметричные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. На первом этапе наблюдается постепенное укруче-ние переднего фронта импульса до возникновения ударного фрон-

та. При этом задний фронт становится более пологим. Образование ударного фронта сопровождается уменьшением амплитуды волны. Далее амплитуда остается практически неизменной, пока эффект сужения трубки компенсирует диссипативные потери энергии волны. Однако когда волна входит в область быстрого роста полного давления, эффект сужения трубки становится преобладающим, и амплитуда волны начинает расти.

Наблюдается существенное влияние амплитуды и формы начального пика давления как на скорость образования ударного фронта, так и на его распространение. Сравнение вариантов показывает, что увеличение длины магнитной трубки и фонового давления, а также ширины и амплитуды начального импульса давления приводят к увеличению конечной интенсивности ударной волны, достигающей основания трубки.

Алгоритм численного решения основан на применении двух-шаговой явной консервативной конечно-разностной схемы с выделением возникающих ударных разрывов, на которых заданы условия сохранения потоков массы, импульса и энергии.

Основные результаты четвертой главы.

1. Разработаны математическая модель и метод расчета нелинейных медленных магнитозвуковых волн, распространяющихся вдоль тонких магнитных трубок при малых значениях параметра й>

2. Исследованы решения типа простых волн в однородном магнитном поле в модели тонкой магнитной трубки.

3. Исследованы ударные волны в модели тонкой магнитной трубки, в которой полное давление полагается заданной функцией координат.

4. Получен эффект резкого возрастания интенсивности волны, распространяющейся вдоль сужающихся магнитных линий в ди-польном магнитном поле.

В пятой главе рассмотрены задачи распространения медлен-

ных магнитозвуковых волн в случае вращающейся магнитной трубки применительно к проблеме взаимодействия Ио и Юпитера.

Присутствие внешних сил приводит к неоднородности фоновых значений плотности и давления плазмы в магнитной трубке. Например, такая ситуация имеет место в магнитосфере Юпитера, где нужно учитывать гравитацию и довольно быстрое вращение магнитных трубок. Известно, что связанный с вращением трубки центробежный эффект приводит к образованию так называемого "плазменного тора" с возрастающей плотностью плазмы при удалении от планеты [7].

Существует множество экспериментальных данных о наличии довольно интенсивного взаимодействия между Юпитером и его спутником Ио, который в процессе своего движения по орбите создает возмущения плазмы и дипольного магнитного поля Юпитера. Эти возмущения порождают волны, распространяющиеся в направлении к ионосфере Юпитера. Кроме того Ио является источником ионизованного газа, возмущающего окружающую плазму [8].

Ранее другими авторами рассматривались модели взаимодействия между Ио и Юпитером, основанные только на альфвенов-ских волнах. Медленные МГД волны, предположительно менее интенсивные по сравнению с альфвеновскими, не были в достаточной мере изучены и примепеисны к этому взаимодействию. Однако альфвеновские волны распространяются слишком быстро и не могут обеспечить наблюдаемого запаздывания по времени излучения в основании магнитной трубки, погруженной в ионосферу Юпитера, относительно момента прохождения Ио, пересекающего экваториальную часть магнитной трубки. Такое запаздывание может быть связано со временем прохождения медленной ударной волны вдоль магнитной трубки от экватора до ее основания в ионосфере. Это подтверждается проведенными рас-

четами.

Основные результаты пятой главы.

1. Показано, что центробежный эффект, вызванный вращением магнитной трубки, приводит к более быстрому формированию медленной ударной волны и возрастанию ее интенсивности при распространении в направлении сужения магнитной трубки.

2. Исследовано влияние фоновых параметров, а также параметров начального импульса давления на процесс формирования ударной волны и ее характеристики.

3. Модель применена для расчета взаимодействия спутника Ио с Юпитером. Показано, что экспериментально определяемый сдвиг по долготе между положением пересекаемой Ио магнитной трубки и локализацией наблюдаемого излучения у основания трубки хорошо согласуется с расчетным временем распространения медленной ударной волны от Ио к Юпитеру.

Заключение содержит формулировки основных результатов диссертации в целом, перечисленных ниже.

• Разработаны математическая модель и метод расчета волновых возмущений в тонких магнитных трубках, в которых продольный масштаб возмущений много больше поперечного. Применение вмороженных координат и приближения тонкой трубки позволяет свести исходную МГД систему уравнений к одномерным нестационарным уравнениям "магнитной струны" гиперболического типа, эффективно решаемых с помощью явных консервативных конечно-разностных схем.

• В искривленной магнитной силовой трубке возникает связь между поперечными и продольными волновыми возмущениями. Из общих уравнений определены коэффициенты связи альфве-новской и магнитозвуковой мод, зависящие от радиуса кривизны Я и параметра Д) (отношения фонового давления плазмы к магнитному давлению). Интенсивность взаимодействия между аль-фвеновской и магнитозвуковой волнами характеризуется отно-

шением Амплитуда продольной скорости, индуцированной

поперечным смещением магнитной трубки, пропорциональна амплитуде поперечного смещения, параметру бета, местной альф-веновской скорости и кривизне:

• На основе разработанной модели тонкой магнитной трубки исследовано распространение альфвеновских импульсов вдоль сужающейся магнитной трубки. Рассмотрены варианты с радиальным и дипольным магнитными полями. Продольная характерная длина альфвеновского импульса, перемещающегося в направлении усиления магнитного поля, возрастает пропорционально напряженности поля. При этом также значительно возрастает амплитуда возмущения электрического поля, связанного с импульсом. При сильном сужении магнитной трубки, импульс достаточно большой длительности отражается прежде, чем успевает дойти до границы трубки. В этом случае потери энергии импульса на диссипативной границе очень малы при любой электропроводности граничной поверхности, и импульс может совершать многократные отражения без заметного затухания.

• Исследованы решения типа простых волн в однородном магнитном поле в модели тонкой магнитной трубки. Исследованы также ударные волны в модели тонкой магнитной трубки, в которой полное давление полагается заданной функцией координат. Получено резкое возрастание интенсивности волны, инициированной начальным импульсом давления на экваторе и распространяющейся вдоль сужающихся магнитных линий в диполь-ном магнитном поле в направлении усиления поля. Показано, что центробежный эффект, вызванный вращением магнитной трубки, приводит к более быстрому формированию ударного фронта и возрастанию его интенсивности при распространении в направлении сужения магнитной трубки. Исследовано влияние фоновых параметров, а также параметров начального импульса давления на процесс формирования ударной волны и ее интенсивность.

• Модель применена для расчета взаимодействия спутника Ио с магнитным полем Юпитера и показано, что экспериментально определяемый долготный сдвиг между положением пересекаемой Ио магнитной трубки, и локализацией наблюдаемого излучения у основания трубки хорошо согласуется с расчетным временем распространения медленной ударной волны от Ио к Юпитеру.

Список работ по теме диссертации.

1. Шайдуров ВА. Распространение медленных МГД волн вдоль тонких магнитных трубок // Математические модели и методы их исследования - Красноярск, 2001, с. 258-263.

2. Erkaev N. V., Semenov V. S., Shaidurov V. A., Langmayr D., Biernat H. K., and Rucker H. 0., Investigation of MHD slow shocks propagating along the Io flux tube //International Journal of Geomagnetism and Aeronomy - 2002, 3, p. 67-76.

3. Erkaev N. V., Shaidurov V. A., Semenov V. S., and Biernat H. K., Effects of MHD slow shocks propagating along magnetic flux tubes in a dipole magnetic field //Nonlinear processes in Geophysics - 2002 - 9, p. 163-172.

4. Erkaev N. V., Semenov V. S., Shaidurov V. A., Langmayr D., Biernat H. K., and Rucker H. O., Propagation of nonlinear slow waves produced by pressure pulses along the Io flux tube // Adv. Space Research - 2001 - 28, p. 1481-1488.

5. Shaidurov V. A. and Erkaev N. V., The propagation of slow MHD waves along the dipole magnetic tubes // Proceedings of SPIE, "Eighth International Symposium on Atmospheric and Ocean Optics: Atmospheric Physics"/ Eds. G. A. Zherebetsov, G. G. Matvienko, V. A. Banakh, V. V. Koshelev -The International Society for Optical Engineering, Washington - 2002 - 4678, p. 538-544.

6. Erkaev N. V. and Shaidurov V. A., Low beta approximation for MHD slow waves in a curved magnetic field // Proceedings of IV International Conference on Problems of Geocosmos - S.Petersburg, 2002, p. 50-54.

7. Erkaev N. V., Semenov V. S., Shaidurov V. A., Langmayr D., Biernat H. K., and Rucker H. 0., Effects of MHD slow shocks propagating along the Io flux tube //Planetary Radio Emissions V / Eds.: H. 0. Rucker, M. L. Kaiser, and Y. Leblanc - Austrian Academy of Science Press, Vienna, 2001, p. 389-395.

8. Langmayr D., Erkaev N. V., Semenov V. S., Shaidurov V. A., Biernat H. K., Rucker H. O., Vogl D. F., and Mtihlbachler S., Field-aligned electric field in the Io flux tube as a result of a pressure pulse near Io //Planetary Radio Emissions V/ Eds.: H. 0. Rucker, M. L. Kaiser, and Y. Leblanc - Austrian Academy of Science Press, Vienna, 2001, p. 375-380.

9. Langmayr D., Erkaev N. V., Semenov V. S., Shaidurov V. A., Biernat H. K., Rucker H. O., Vogl D. F., and Muhlbachler S., Electric potential difference due to MHD slow shocks propagating along the Io flux tube // Proceedings of SPIE, "Eighth International Symposium on Atmospheric and Ocean Optics: Atmospheric Physics", Eds. G. A. Zherebetsov, G. G. Matvienko, V. A. Banakh, V. V. Koshelev - The International Society for Optical Engineering, Washington, 2002, 4678, p. 507-512.

Список цитированной литературы

[1] Southwood D. J. and Saunders M. A., Curvature coupling of slow and AlfVen MHD waves in a magnetotail field configuration 11 Planet. Space Sci. - 1985 - 33, p.127.

[2] Walker A. D. M., Theory of magnetospheric standing hydromagnetic waves with large azirnuthal wave number. Coupled magnetosonic and Afven waves //J. Geophys. Res. - 1987 - 92, p.10039.

[3] Klimushkin D. Y., Theory of azimuthally small scale hydromagnetic waves in the axisymmetric magnetosphere with finite plasma pressure //Ann. Geophys. - 1998 - 16, p. 303.

[4] Southwood D. J., Some features of field line resonances in the magnetosphere // Planet. Space Sci. -1974 - 22, p. 483.

[5] Graham J. Rickard and Andrew N. Wright, Afven resonance exitation and fast wave propagation in ionospheric waveguides j /J. Geophys. Res. - 1994 - 99, p. 13455.

[6] Leonovich A. S. and Mazur V. A., structure of magnetospheric eigenoscillations of an axisymmetric magnetosphere // J. Geophys. Res. - 2000 - 105, p. 27707.

[7] Bagenal, F., Galileo measurements of plasma density in the Io torus //Geophys. Res. Lett. - 1997 - 24, p. 2119.

[8] Brown M. E., and Bouchez A. H., The response of Jupiter's magnetosphere to an outburst on Io //Science - 1997 - 278, p. 268.

Подписано в печать: 24 сентября 2004 г. Формат бумаги 60x86/16. Объем 1 усл. п. л. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036, Красноярск, Академгородок

VI ñ 1 В f¡

РНБ Русский фонд

2005-4 15136

Введение

Глава 1. Магнитогидродинамические уравнения для тонких магнитных трубок

1.1 Объекты моделирования.

1.2 Бездиссипативные МГД уравнения.

1.3 Вмороженные лагранжевы координаты.

1.4 Уравнение" сохранения энергии.

1.5 Полная система МГД уравнений в лагранжевых координатах

1.6 Вывод уравнений для тонкой магнитной трубки.

1.7 Выводы. ч

Глава 2. Влияние кривизны магнитной трубки на распространение МГД волн

2.1 Колебания трубки в азимутальном магнитном поле

2.2 Дисперсионные эффекты.

2.3 Алгоритм численного решения.

2.4 Результаты расчетов.

2.5 Сводка результатов главы.

Глава 3. Альфвеновские волны в магнитном поле со сходящимися силовыми линиями

3.1 Альфвеновские волны в радиальном магнитном поле

3.2 Альфвеновские волны в дипольном магнитном поле

3.3 Результаты и выводы

Глава 4. Нелинейные магнитозуковые волны в тонкой магнитной трубке

4.1 Система уравнений в случае продольных возмущений скорости

4.2 Простые волны в модели магнитной трубки

4.3 Результаты расчетов простых волн.

4.4 Ударные волны в модели магнитной трубки.

4.5 Результаты расчетов ударных волн при постоянных фоновых параметрах.

4.6 Основные результаты главы.

Глава 5. Распространение ударных волн вдоль вращающейся магнитной трубки

5.1 Постановка задачи.

5.2 Результаты расчетов.ИЗ

5.3 Основные результаты главы.

Диссертация посвящена разработке и исследованию математических моделей распространения альфвеновских и медленных магнитозвуковых волн вдоль искривленных и сужающихся магнитных силовых трубок. В работе построены конечно-разностные вычислительные алгоритмы и выполнены расчеты как альфвеновских, так и медленных магнитозвуковых импульсов в азимутальном, радиальном и дипольном магнитных полях для различных параметров модели. На основе проведенных расчетов сделаны выводы о влиянии кривизны и сужения магнитной трубки на взаимодействие поперечной и продольной мод и отражение альфвеновской волны от диссипативной границы.

Актуальность темы. Альфвеновские волны играют важную роль в космической плазме [1, 2], осуществляя перенос возмущений электрического поля вдоль магнитных силовых линий в различные точки пространства. Поэтому изучение условий генерации и распространения альфвеновских волн является актуальной проблемой [3], имеющей большое прикладное значение. В частности, геомагнитные пульсации, регистрируемые на уровне ионосферы Земли, являются хорошими индикаторами состояния магнитосферы Земли и широко используются для ее диагностики. Однако трудность заключается в том, что магнитосферное магнитное поле имеет сложную конфигурацию. Магнитные силовые трубки сильно сужаются вблизи ионосферы и расширяются по мере удаления от планеты. В этой связи возникает вопрос о влиянии сужения и расширения магнитных трубок на характер распространения альфвеновских волн. Кроме того, недостаточно изученным остается вопрос о влиянии на распространение волновых импульсов такого фактора, как кривизна магнитных силовых линий, которая является причиной взаимодействия различных типов волн. Выяснение этих вопросов на основе решения модельных задач составляет содержание диссертационной работы.

Целью настоящей работы является анализ и вывод общих уравнений динамики тонкой магнитной трубки во вмороженных лагранжевых координатах, разработка вычислительного алгоритма и комплекса программ, а также решение следующих задач.

1. Взаимодействие альфвеновских и медленных магнитозвуковых волновых пакетов в искривленной магнитной трубке.

2. Распространение альфвеновских импульсов вдоль сильно сужающихся магнитных трубок.

3. Формирование и распространение медленных ударных волн вдоль сужающихся магнитных трубок.

Научные результаты, выносимые на защиту.

1. Разработаны математическая модель и метод расчета нестационарных МГД возмущений тонкой магнитной трубки, позволяющие расщепить исходную трехмерную нестационарную задачу на совокупность одномерных гиперболических нестационарных задач для "магнитных струн", эффективно решаемых на основе консервативных двухшаговых явных разностных схем с автоматическим выделением разрывов.

2. Получены соотношения между амплитудами поперечных и продольных волновых возмущений магнитного поля и скорости газа в искривленной магнитной трубке, зависящие от параметра /3q/R, где Ро - отношение фоновых давлений плазмы и магнитного поля, R -радиус кривизны магнитной трубки.

3. Найдены времена затухания альфвеновских волновых импульсов, многократно отражающихся от диссипативной границы, в зависимости от длительности импульсов и коэффициента схождения магнитных силовых линий в трубке.

4. Показано возрастание интенсивности медленных ударных волн, распространяющихся вдоль сужающихся магнитных трубок в диполь-ном магнитном поле. Данный эффект усиливается в случае вращающейся магнитной трубки.

5. На основе разработанной модели определено время распространения медленной ударной волны от Ио (источника импульсов давления) до Юпитера. Это время хорошо согласуется со временем запаздывания наблюдаемого излучения в области магнитной трубки, близкой к ионосфере Юпитера.

Научная новизна. В работе получены новые результаты:

1) изгибные и продольные волновые деформации тонкой магнитной трубки описываются гиперболическими уравнениями магнитной струны. Их связь определяется отношением локального параметра бета плазмы к радиусу кривизны;

2) поперечные альфвеновские возмущения магнитного поля и скорости индуцируют продольные возмущения скорости, амплитуда которых пропорциональна параметру бета плазмы, а также отношению нормального смещения (по отношению к магнитной силовой линии) к радиусу кривизны магнитной линии: Vy ос PoVAo5r/R;

3) кривизна магнитных силовых линий в трубке существенно влияет на скорости альфвеновской и медленной магнитозвуковой волн. В искривленной магнитной трубке скорость альфвеновской волны больше, а скорость магнитозвуковой волны меньше их соответствующих значений в прямолинейной трубке. Возмущения скоростей волн, связанные с кривизной трубки, имеют порядок l/(kR)2, где к - волновой вектор, а Я радиус кривизны магнитной трубки;

4) схождение магнитных силовых линий вызывает отражение волны от узкой части магнитной трубки и этим значительно уменьшает влияние диссипативной границы, находящейся в основании трубки. Этот эффект сужения магнитной трубки выражен тем сильнее, чем больше продольный масштаб волнового пакета;

5) увеличение фактора сужения магнитной трубки приводит к уменьшению диссипации волны, связанной с конечной проводимостью границы и, соответственно, к значительному возрастанию числа отражений волны;

6) интенсивность медленной ударной волны значительно возрастает при ее распространении вдоль сужающейся магнитной трубки. Этот эффект усиливается в случае вращающейся магнитной трубки, который имеет место в магнитосфере Юпитера.

Научное и практическое значение работы. Разработанные модели распространения МГД волн представляют интерес для физики плазмы и космической физики, и, в частности, они важны для изучения волновых процессов в магнитосфере Земли. Они могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных о пульсациях геомагнитного поля, связанных с нестационарными вариациями параметров плазмы на границе и в хвосте магнитосферы.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Генеральной Ассамблее Европейского геофизического общества (Ницца, Франция, 2001); Объединенном симпозиуме "Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics" ( г. Иркутск, Россия, 2001); Международной конференции "Planetary Radio Emission" (г. Грац, Австрия, 2001); Всероссийской конференции "Математические модели и методы их исследования" (г. Красноярск,

Россия, 2001); Международной конференции "Problems of Geocosmos" (г. Санкт- Петербург, Россия, 2002,2004); Симпозиуме Европейского геофизического союза (г. Ницца, Франция, 2004); Научной Ассамблее COSPAR (Париж, Франция, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]. Все результаты, представленные в диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, 50 рисунков и списка литературы из 93 наименований. Общий объем диссертации - 138 страниц.

5.3 Основные результаты главы

Распространение медленных МГД ударных волн исследовано численно с использованием идеальных МГД уравнений в приближении тонкой магнитной трубки при малых значениях параметра бета.

Исследованы аналитические решения типа простых волн в однородном магнитном поле в модели тонкой магнитной трубки.

Исследованы ударные волны в модели тонкой магнитной трубки, в которой полное давление полагается заданной функцией координат. Получен эффект резкого возрастание интенсивности волны, распространяющейся вдоль сужающихся магнитных линий в дипольном магнитном поле. Угловой сдвиг, вычисленный с помощью нашей модели медленной ударной волны, равен примерно 45°, что хорошо согласуется с наблюдаемым значением.

Показано, что центробежный эффект, вызванный вращением магнитной трубки, приводит к более быстрому формированию медленной ударной волны и возрастанию ее интенсивности при распространении в направлении сужения магнитной трубки.

Исследовано влияние фоновых параметров, а также параметров начального импульса давления на процесс формирования ударной волны и ее характеристики.

Модель применена для расчета взаимодействия спутника Ио с Юпитером и показано, что запаздывание по долготе между положением магнитной трубки, пересекаемой Ио, и локализацией источника декаметрового радиоизлучения хорошо согласуется с расчетным временем распространения медленной ударной волны от Ио к Юпитеру.

6 Заключение

В диссертации разработаны математическая модель и метод расчета волновых возмущений в тонких магнитных трубках, в которых продольный масштаб возмущений много больше поперечного. Применение вмороженных координат и приближения тонкой трубки позволяет свести исходную МГД систему уравнений к одномерным нестационарным уравнениям "магнитной струны" гиперболического типа, эффективно решаемых с помощью явных консервативных конечно-разностных схем.

В искривленной магнитной силовой трубке возникает связь между поперечными и продольными волновыми возмущениями. Из общих уравнений определены коэффициенты связи альфвеновской и магнитозвуковой мод, зависящие от радиуса кривизны R и параметра Ро (отношения фонового давления плазмы к магнитному давлению). Интенсивность взаимодействия между альфвеновской и магнитозвуковой волнами характеризуется отношением Po/R. Амплитуда продольной скорости, индуцированной поперечным смещением магнитной трубки, пропорциональна амплитуде поперечного смещения, параметру бета, местной альфвеновской скорости и кривизне: \ •

Щ~2 P0Va6r/R.

Кривизна магнитных силовых линий является причиной дисперсии альфвеновских и медленных волн. При изгибе магнитной трубки скорость альфвеновских волн возрастает, а скорость медленных магнито-звуковых волн убывает по сравнению с их значениями для прямой трубки. Относительное изменение скоростей волн определяется безразмерным параметром е: е = Po/(kR)\ где к - волновое число.

На основе разработанной модели тонкой магнитной трубки исследовано распространение альфвеновских импульсов вдоль сужающейся магнитной трубки. Рассмотрены варианты с радиальным и дипольным магнитными полями. Продольная характерная длина альфвеновского импульса, перемещающегося в направлении усиления магнитного поля, возрастает пропорционально напряженности поля. При этом также значительно возрастает амплитуда возмущения электрического поля, связанного с импульсом. При сильном сужении магнитной трубки, импульс достаточно большой длительности отражается прежде, чем успевает дойти до границы трубки. В этом случае потери энергии импульса на диссипа-тивной границе очень малы при любой электропроводности граничной поверхности, и импульс может совершать многократные отражения без заметного затухания.

Исследованы аналитические решения типа простых волн в однородном магнитном поле в рамках модели тонкой магнитной трубки. Эти решения пригодны для описания начальной стадии эволюции нелинейной медленной магнитозвуковой волны, до момента появления ударного разрыва.

С помощью численных методов исследованы также ударные волны в рамках модели тонкой магнитной трубки, в которой полное давление полагается заданной функцией координат. Получено резкое возрастание интенсивности волны, инициированной начальным импульсом давления на экваторе и распространяющейся вдоль сужающихся магнитных линий в дипольном магнитном поле в направлении усиления поля. Показано, что центробежный эффект, вызванный вращением магнитной трубки, приводит к более быстрому формированию ударного фронта и возрастанию его интенсивности при распространении в направлении сужения магнитной трубки. Исследовано влияние фоновых параметров, а также параметров начального импульса давления на процесс формирования ударной волны и ее интенсивность.

Модель применена для расчета взаимодействия спутника Ио с магнитным полем Юпитера и показано, что экспериментально определяемый сдвиг по долготе между положением пересекаемой Ио магнитной трубки и локализацией наблюдаемого излучения у основания трубки хорошо согласуется с расчетным временем распространения медленной ударной волны от Ио к Юпитеру.

Разработанный в диссертации подход имеет широкий спектр применений и может быть использована для моделирования распространения альфвеновских и медленных МГД волн в магнитосферах планет, обладающих собственным магнитным полем, а также в хромосфере Солнца.

1. Гульельми А. В., Троицкая В. А., Геомагнитные пульсации и диагностика магнитосферы. - М.: Наука, 1973 .

2. Dungey J. W., Electrodynamics of the outer atmosphere, Pensilvania State University Sci. Report No. 57, p. 1954.

3. Беспалов П. А., Трахтенгерц В. Ю., Альфвеновские мазеры. АНС-ССР, Горький, 1986.

4. Шайдуров В.А. Распространение медленных МГД волн вдоль тонких магнитных трубок // Математические модели и методы их исследования Красноярск, 2001, с. 258-263 .

5. Erkaev N. V., Semenov V. S., Shaidurov V. A., Langmayr D., Biernat H. K., and Rucker H. O., Investigation of MHD slow shocks propagating along the Io flux tube //International Journal of Geomagnetism and Aeronomy 2002, 3, p. 67-76.

6. Erkaev N. V., Shaidurov V. A., Semenov V. S., and Biernat H. K., Effects of MHD slow shocks propagating along magnetic flux tubes in a dipole magnetic field //Nonlinear processes in Geophysics 2002 - 9, p. 163-172.

7. Erkaev N. V., Semenov V. S., Shaidurov V. A., Langmayr D., Biernat H. K., and Rucker H. O., Propagation of nonlinear slow waves produced by pressure pulses along the Io flux tube // Adv. Space Research 2001 - 28, p. 1481-1488.

8. Erkaev N. V., Semenov V. S., Shaidurov V. A., Langmayr D., Biernat H. K., and Rucker H. O., Effects of MHD slow shocks propagating along the Io flux tube //Planetary Radio Emissions V / Eds.: H. O. Rucker, M.

9. Kaiser, and Y. Leblanc Austrian Academy of Science Press, Vienna, 2001, p. 389-395.

10. Erkaev N. V. and Shaidurov V. A., Low beta approximation for MHD slow waves in a curved magnetic field // Proceedings of IV International Conference on Problems of Geocosmos S.-Petersburg, 2002, p. 50-54.

11. Калсруд P., Магнитогидродинамическое описание плазмы // Основы физики плазмы, в 2- ух тт, под ред. А. А. Галеева, Р. Судана, М.: Энергоатомиздат, 1983, т. 1, с. 122 .

12. Пикельнер С. Б., Основы космической элекродинамики, М.: Физмат-гиз, 1961 .

13. Сондерс М., Магнитосфера Земли //Космическая магнитная гидродинамика /под ред. Э. Приста, А. Худа, пер. с англ., М.: Мир, 1995, с. 366.

14. Прист Э., Введение в магнитную гидродинамику солнечной системы // Космическая магнитная гидродинамика / под ред. Э. Приста, А. Худа, пер. с англ., М.: Мир, 1995, с. 9 .

15. Э. Прист, Солнечная магнитогидродинамика, пер. с англ., М.: Мир, 1985 .

16. Defouw R. J., Wave propagation along a magnetic tube // Astrophys. J. 1976 - 209, p. 266 .

17. Spruit H. C., Motion of magnetic flux tubes in the solar convection zone and chromosphere //Astron. Astrophys. 1981 - 98, p. 155.

18. Rae I. C., and Roberts В., Pulse propagation in a magnetic flux tube ЦAstrophys. jf 1982 - 256, p.761 .

19. A. Ferriz-Mas, Nonlinear flows along magnetic flux tubes: Mathematical structure and exact simple wave solutions // Phys. Fluids 1988 - 31, p. 2583 .

20. Fisher G. H., Fan Y., Longcope D. W., Linton M. G., and Abbett W. P., Magnetic flux tubes inside the sun //Physics of Plasmas 2000 - 7, p. 2173.

21. Nakariakov V. M. and Ofman L., Determination of the coronal magnetic field by coronal loop oscillations //Astron. Astophys. 2001. - 372, p.53.

22. De Pontieu В., Martens P. С. H., and Hudson H. S., Chromosphere Damping of Alfven waves //Astrophys. J. 2001- 558, p. 859.

23. Southwood D. J. and Saunders M. A., Curvature coupling of slow and Alfv6n MHD waves in a magnetotail field configuration //Planet Space Sci. 1985 - 33, p. 127.

24. A. D. M. Walker, Theory of magnetospheric standing hydromagnetic waves with large azimuthal wave number. Coupled magnetosonic and Alton waves //J. Geophys. Res. 1987 - 92, p.10039.

25. Климушкин Д. Ю., Пространственная структура азимутально-мелкомасштабных гидромагнитных волн в аксиально-симметричной магнитосфере с конечным давлением плазмы 1997 - Т. 23, 10, с. 931 .

26. Klimushkin D. Y., Theory of azimuthally small scale hydromagnetic waves in the axisymmetric magnetosphere with finite plasma pressure //Ann. Geophys. 1998 - 16, p. 303.

27. Klimushkin D. Y., The propagation of high-m Alfven waves in the Earth's magnetosphere and their interaction with high-energy particles // J. Geophys. Res. 2000 - 105, p. 23303 .

28. Southwood D. J., Some features of field line resonances in the magnetosphere // Planet. Space Sci. -1974 22, p. 483 .

29. Graham J. Rickard and Andrew N. Wright, Alfven resonance exitation and fast wave propagation in ionospheric waveguides //J. Geophys,■ Res.- 1994 99, p. 13455 .

30. Leonovich A. S. and Mazur V. A., structure of magnetospheric eigenoscillations of an axisymmetric magnetosphere //J. Geophys. Res.- 2000 105, p. 27707 .

31. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред. -М: Наука, 1982 .

32. Freidberg J. P., Ideal Magnetohydrodynamics. New York: Plenum Press, 1987.

33. Akhiezer A. I., Akhiezer I. A., Polovin R. V., Sitenko A. G., and Stepanov K. N., Plasma Electrodynamics Pergamon Press, Oxford, 1975.

34. Куликовский А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидродинамика, М.: Физматгиз, 1962 .

35. Khurana К. К., Euler potential models of Jupiter's magnetic field, «7. Geophys. Res. 1997 - 102, p. 11295.

36. Pudovkin M. S., and Semenov V. S., Stationary frozen-in coordinate system //Ann. Geophys. 1977 - 33, p. 429.

37. Erkaev N. V., Farrugia C. J., Biernat H. K., Burlaga L. F., and Bachmaier G. A., Ideal MHD flow behind interplanetary shocks driven by magnetic clouds // J. Geophys. Res. 1995 - 100, p. 19919.

38. Erkaev N. V., Farrugia C. J., Biernat H. K., Effects on the Jovian magnetosheath arising from solar wind flow around non-axial bodies // J. Geophys. Res. 1996 - 101, p. 10665 .

39. Erkaev N. V., Farrugia C. J., Biernat H. K., Three-dimensional, one-fluid, ideal MHD model of magnetosheath flow with anisotropic pressure //J. Gephys. Res. 1999 - 104, A4, p. 6877.

40. Erkaev N. V., Biernat H. K., Farrugia C. J., Ideal magnetohydrodynamic flow around a blunt body under anisotropic pressure // J. Gephys. Res.- 2000 7, p. 3413.

41. Farrugia C. J., Erkaev N. V., Biernat H. K., Lawrence G. R., Elphic R. C., Plasma depletion layer model for low Alfven Mach number: Comparisom with ISEE observations // J. Geophys. Res. 1997 - 102, A6, p. 11315 .

42. Farrugia C. J., Biernat H. K, Erkaev N. V., Kistler L- M., Le G., Russell С. Т., MHD model of magnetosheath flow: comparison with AMPTE/IRM observations on 24 October, 1985 // Ann. . Geophysicae- 1998 16, p. 518.

43. Biernat H. K., Erkaev N. V. and Farrugia C. J., Aspects of MHD flow about Venus // J. Geophys. Res. 1999 - 104, p. 12617.

44. Biernat H. K., Erkaev N. V. and Farrugia C. J., MHD effects in the Venus magnetosheath including mass loading // Adv. Space Res. 2001 - 28, 6, p. 833 .

45. Semenov V. S., Erkaev N. V. MHD Analysis in Terms of Non-Linear String Equations //Solar Wind-Magnetosphere Interactions/ M. F. Heyn, H. K. Biernat, V. S. Semenov, R. P. Rinbeek (editors) Austria, Vienna, 1992.

46. Edwin P. M., and Roberts В., Wave propagation in a magnetic cylinder //Solar Phys. 1983 -88, p. 179.

47. Chandrasekhar S., Hydrodynamic and hydromagnetic stability. London: Oxford University Press, 1968.

48. Поттер Д., Вычислительные методы в физике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

49. Scholer, М., On the motion of artificial ion clouds in the magnetosphere // Planet Space Sci. 1970 - 18, p. 977.

50. Leonovich A. S. and Mazur V. A., An electromagnetic field induced in the Earth's ionosphere and atmoshere and on the Earth's surface by low-frequency Alfv£n oscillations of the magnetosphere: General theory // Planet. Space Sci. 1991 - 39, p. 529.

51. Mcllwain С. E., Coordinates for mapping the distribution of magnetically trapped particles //J. Geophys. Res. 1961 - 66, p. 3681 .

52. Priest E., Forbes Т., Magnetic Reconnection. Cambridge University Press, 2000.

53. Пудовкин M. И., Семенов В. С., Теория пересоединения и взаимодей-. ствие солнечного ветра с магнитосферой Земли М.: Наука, 1985.

54. Berchem J., and Russell С. Т., Flux transfer events on the magnetopause: Spatial distribution and controlling factors //J. Geophys. Res. 1984 -89, p. 6689.

55. Rijnbeek R. P., Cowley S. W. H., Southwood D. J., and Russell С. Т., A survey of flux transfer events observed by ISEE 1 and 2 magnetometers // J. Geophys. Res. 1984 - 89, p. 786.

56. Baumjohann W., Paschmann G., Luehr H., Characteristics of high-speed ion flows in the plasma sheet // J. Geophys. Res. 1990 - 95, No.A4, p. 3801.

57. Мишин В. В., Матюхин Ю. Г., Неустойчивость Кельвина- Гельмголь-ца на магнитопаузе как возможный источник волновой энергии в магнитосфере Земли // Геомагнетизм и аэрономия 1986 - 26, 6, с. 952.

58. Takahashi К., Kokubun S., Sakurai, McEntire, Potemra T.A., and Lopez R.E., Ampte/CCE observations of substorm-associated standing Alfven waves in the midnight sector // Geophys. Rs. Lett. 1988 - 15, 11, p. 1287.

59. Shiokawa K., Baumjohann W., and Haerendel G., braking of high-speed flows in the near-Earth tail// Geophys. Res. Lett. -1997-24,10, p. 1179.

60. Frank 1. A., Paterson W. K., and Sigwarth J. В., Observations of plasma sheet dynamics earthward of the onset region with the geotail spacecraft Ц J. Geophys. Res. 2001 - 106, A9, p. 18823.

61. Baumjohann W., Bauer O.H., Haerendel G., and Junginger, Amata E., Magnetospheric plasma drifts during a sudden imoulse //J. Geophys. Res. 1983 - 88, All, p. 9287.

62. Baumjohann W., Modes of convection in the magnetotail //Phys. Plasmas 2002, 9, No 9, p. 3665.

63. Langmayr D., Shaidurov V. A., Erkaev N. V., Biernat H. K., Rucker H., MHD waves induced by pressure pulses in a magnetized plasma // Solar Planetary Relations / Eds. H. K. Biernat et al. Verlag Research Signpost, (Trivandrum, Indien), 2004, in press.

64. Langmayr D., Erkaev N. V., Semenov V. S., Macher W., Biernat H. K., and Rucker H. O. Analysis of a pressure disturbances in a homogeneous magnetic field // Adv. Space Res. 2003, in press.

65. Баранов В.Б., Краснобаев К.В., Гидродинамическая теория космической плазмы М.: Наука, 1977.

66. Godunov S. К. and Ryabenkii V. S., Difference Schemes: an Introduction to the Underlying Theory. Amsterdam, North-Holland, 1987.

67. Mei Y., Thorne R. M., and Bagenal F., Analytic model for the density distribution in the Io plasma torus///. Geophys. Res. 1995 - 100, A2, p. 1823.

68. Bagenal F., Alton wave propagation in the Io plasma torus //J. Geophys. Res. 1983 - 88, p. 3013.

69. Bagenal F., and Leblanc Y., Io's Alton wave pattern and the Jovian decametric arcs /fAstron. Astrophys. 1988 - 197, p. 311 .

70. Bagenal F., Empirical model of the Io plasma torus: Voyager measurements //J. Geophys. Res. 1994 - 99, p. 11043.

71. Bagenal, F., Galileo measurements of plasma density in the Io torus //Geophys. Res. Lett. 1997 - 24, p. 2119.

72. Krisko P, H., and Hill T. W., Two-dimensional model of a slow-mode expansion fan at Io //Geophys. Res. Lett.- 1991 18, No. 11, p. 1947 .

73. Brown M. E., and Bouchez A. H., The response of Jupiter's magnetosphere to an outburst on Io //Science 1997 - 278, p. 268 .

74. Neubauer F. M., Nonlinear standing Alfven wave current system at Io: Theory // J. Geophys. Res. 1980 - 85, p.1171.

75. Neubauer F. M. The sub-Alfvenic interaction of the Galilean satellites with the Jovian magnetosphere //J. Geophys. Res. 1998 - 103, p. 19843.

76. Combi M. R., Gombosi Т. I., and DeZeeuw D. L., Io's plasma environment during the Galileo flyby: Global threedimensional MHD modelling with adaptive mesh refinement // J. Geophys. Res. 1998- 103, p. 9071 .

77. Frank L. A., Paterson W. R., Ackerson K. L., Vasyliunas V. M., Coronity F. V., and Bolton S. J., Plasma observations at Io with the Galileo spacecraft // Science 1996 - 274, p.394 .

78. Menietti J. D., and Curran D. В., Instantaneous Io flux tube as the source of Jovian DAM: Possible second harmonic emissions //J. Geophys. Res.- 1990 95, A12, p. 21273.

79. Roonmark K. and Hamrin M., Auroral Electron acceleration by Alfven waves and electrostatic fields // J. Geophys. Res. 2000 - 105, p. 25333.

80. Hinson D. P., Twicken J. D., and Karayel E. Т., Jupiter's ionosphere: New results from Voyager 2 radio occultation measurements //J. Geophys. Res. 1998 - 103, p. 9505.

81. Kopp A., Modification of the electrodynamic interaction between Jupiter and Io due to mass loading effects // J. Geophys. Res. 1996 - 101, No. All, p. 24943.

82. Linker J. A., Kivelson M. G., and Walker R. J., A three-dimensional MHD simulation of plasma flow past Io //«/. Geophys. Res. 1991 - 96, A12, p. 21037.

83. Bigg E. K., Influence of the satellite Io on Jupiter's decameter emission // Nature 1964 - 203, p.1008.

84. Connerney J. E. R, Sato Т., and Clarke J. Т., Tracking the Io flux tube footpoints // Report presented at 'The 31st Annual Meeting of the A AS Division for Planetary Sciences', 10-15 October 1999, Padova, Italy, p. 1185.

85. Genova F., and Aubier M. G., Io-dependent sources of the Jovian decametric emission // Astron. Astrophys. 1985 - 150, p. 139.

86. Aubier M. G., Calvert W., and Genova F., Source location of Jupiter's Io dependent radio emissions // Planetary Radio Emissions II / edited by H. O. Rucker, S. J. Bauer, and В. M. Pedersen, Austrian Academy of Science, Graz, Austria, 1988, p. 113.

87. Queinnec J., and Zarka P., Io-controlled arcs and Io-Jupiter interaction // J. Geophys. Res. 1998 - 103, All, p. 26649.