автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование линейных параметрических систем с сосредоточенными параметрами методом интегральных эволюционных уравнений

На правах рукописи

Пяткова Вера Борисовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2013

У ЯНВ 2014

005544407

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Уральский государственный университет" на кафедре математики.

горный

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Сурнев Виктор Борисович,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник.

Кислов Алексей Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики и прикладной математики ФГАОУ ВПО "УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина"

Панюков Анатолий Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор, зав.кафедрой экономико-математических методов и статистики ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский государственный -университет".

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Пермский национальный

исследовательский политехнический университет".

Защита диссертации состоится часов на заседании

Диссертационного Совета Д 212.296.02 при Челябинском государственном университете по адресу: 454001, г.Челябинск, ул.Братьев Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан

Ваш отзыв, заверенный печатью, просим выслать по адресу:

454001, г.Челябинск, ул.Братьев Кашириных, 129, Диссертационный Совет Д 212.296.02.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических

наук, профессор __В.Е.Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований

Диссертационная работа посвящена развитию комбинированного метода математическо-о моделирования линейных параметрических систем с сосредоточенными параметрами, эво-эционирующих во времени под действием экзогенных (внешних) возмущений непрерывно -етода интегральных эволюционных уравнений. Процесс эволюции таких систем описывается быкновенными дифференциальными уравнениями или их системами вида

де Ь - в общем случае матричный дифференциальный оператор с обыкновенными производ-1ыми, коэффициенты которого являются сложными функциями времени /, - п -мерный

Как известно, полный цикл построения математической модели предметной системы за-ершается представлением системы операторным соотношением вида

де 5 - модельный оператор системы, имеющий "интегральный" вид, причём построение опе-атора системы производится на основе решения (векторного) эволюционного уравнения (1).

данной диссертационной работе рассматриваются полный цикл математического моделиро-ания системы, а именно: конструируются определяющие уравнения, конструируются эволю-ионные уравнения, строится оператор системы.

Основное внимание уделяется решению так называемых первой и второй основных за-ач: 1) получение решения системы эволюционных уравнений при заданных начальных и (или) аевых условиях — прямая, или первая основная задача; 2) восстановление параметров систе-ы - обратная задача восстановления коэффициентов системы эволюционных уравнений моде-и, или вторая основная задача.

Изучаются исключительно экзоге1шые линейные параметрические системы с сосредото-енными параметрами, эволюционирующие во времени под воздействием экзогенных факто-ов, не носящих катастрофического характера (возмущения) и являющихся причиной возник-овения композиционных функциональных зависимостей структурных параметров системы от ремени. Экспериментально установлено, что в нормальных условиях "не слишком сильные" кзогенные возмущения приводят к "не слишком сильным" случайным или детерминирован-гым отклонениям параметров системы от некоторого фонового значения. В работе исследуется лучай детерминированных отклонений (вариаций) параметров от фоновых значений. Случай ильных экзогенных воздействий на систему не рассматривается.

(1)

ектор-столбец переменных, |/(<)) — п -мерный вектор-столбец входных воздействий.

(2)

Из проведённого во введении анализа физических причин возникновения параметриче ской зависимости структурных коэффициентов системы следует, что линейные параметриче ские системы широко распространены в окружающей действительности, а параметрическая за висимость коэффициентов модельной системы уравнений есть следствие экзогенных возмуще ний. Неполнота сведений о динамике параметрических систем во многом обусловлена отсутст вием адекватного математического описания их динамики. Из проведённого анализа следует что в силу недостаточной изученности таких систем тема данной работы актуальна.

Степень разработанности проблемы

Во введении проанализирована возможность применения классических методов решени систем обыкновенных дифференциальных уравнений для математического моделирования па раметрических систем с сосредоточенными параметрами. Отмечено, что метод Лагранжа, мето Хевисайда и метод, основанный на принципе наложения Дюамеля в его классической форму лировке, изначально предназначены для решения обыкновенных дифференциальных уравнени и их систем с постоянными коэффициентами и, следовательно, непригодны для математическ го моделирования параметрических систем. Метод плавно меняющихся амплитуд, будуч предназначен для исследования параметрических систем специального вида, не является уни версальным. Следовательно, ни один из классических методов решения обыкновенных диффе ренциальных уравнений не может привести к построению эффективного алгоритма решен! основной задачи математического моделирования линейных параметрических систем.

Цели и задачи исследований

Проведённые в работе исследования преследовали три основные цели:

1) разработать метод описания экзогенных параметрических систем, адекватный смыа исследуемой задачи, и предложить на его основе алгоритм численного решения прямой дина мической задачи для одномерной и для многомерной линейной экзогенной параметрическо системы, описываемых соответственно одним обыкновенным дифференциальным уравнением или системой обыкновенных дифференциальных уравнений;

2) реализовать в виде вычислительной программы алгоритм решения первой основной задачи математического моделирования как одномерных, так и многомерных экзогенных пара метрических систем с сосредоточенными параметрами;

3) разработать теоретическую основу алгоритмизации численного решения второй ос новной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами.

Из всего многообразия предметных областей для иллюстрации разработанного метода математического моделирования выбраны две области:

- теория электротехнических систем (математическая модель индуктивного измеритель-шго преобразователя в геофизической разведке);

— теория динамических экономических систем с непрерывным временем.

Для достижения указанных целей в работе поставлены и решены следующие задачи:

1) анализ физико-математических основ математического моделирования экзогенных араметрических систем с сосредоточенными параметрами;

2) разработка и физико-математическое обоснование экзогенных параметрических моде-ей некоторых предметных систем (индуктивного измерительного преобразователя и линейных

намических систем экономики);

3) разработка унифицированного метода решения первой основной (прямой) задачи ма-ематического моделирования динамики экзогенных параметрических систем с сосредоточенна™ параметрами на основе интегральных эволюционных уравнений и их систем;

4) разработка теоретической основы алгоритмизации численного решения второй основ-юй (обратной) задачи математического моделирования параметрических систем;

5) реализация алгоритма численного решения первой основной задачи математического оделирования параметрических систем в виде программного вычислительного комплекса, по-воляющего проводить численное моделирование динамики экзогенных параметрических сис-ем с сосредоточенными параметрами.

Методология и методы исследований

Теоретической основой для решения первой основной задачи исследований, поставлен-ой в диссертационной работе, являются основные понятия общей теории систем.

Теоретической основой для решения второй основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, являются:

1) общефизические основы функционирования линейных систем, находящихся под воз-ействием внешних возмущений;

2) общие понятия из теории аналитических функций.

Теоретической основой для решения третьей основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, являются:

1) теория обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем;

2) теория интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Вольтерра.

Теоретической основой для решения четвёртой основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, являются:

1) понятие нелинейных интегральных уравнений типа Ляпунова-Шмидта;

2) концепция линеаризации нелинейных интегральных уравнений.

Теоретической основой для решения пятой основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, являются:

1) концепция структурного программирования;

2) концепция языка программирования высокого уровня.

Материалом для решения пятой основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, явились:

1) разработанная в соответствии с концепцией экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами математическая модель индуктивного измерительного преобразователя (методы индукционных зондирований и переходных процессов в геофизике);

2) разработанные в соответствии с концепцией экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами математические модели динамических экономических систем.

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в разработке единого математического аппарата математического моделирования экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами на основе концепции вторичных источников воздействия на систему во временной области и принципа наложения Дюамеля, и в получении следующих основных результатов:

1) разработан метод вторичных источников силового воздействия на систему во временной области, включающий алгоритм определения параметров фоновой системы;

2) получены интегральные эволюционные уравнения для одномерных и системы интегральных эволюционных уравнений для многомерных параметрических систем;

3) реализованы программы численного моделирования одномерных и многомерных экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами;

4) предложены постановка и разработан метод решения обратной динамической задачи в теории экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы состоит в том, что в результате проведённых исследований разработан унифицированный метод решения первой основной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем (прямой динамической задачи) и развит метод решения второй основной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем (обратной задачи определения коэффициентов эволюционного уравнения).

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный метод решения первой основной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами реализован в виде программно-вычислительного комплекса, доставляющего широкие возможности численного моделирования таких систем в различных предметных областях.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработан метод интегральных эволюционных уравнений, основанный на концепции вторичных источников во временной области и принципе Дюамеля, позволивший сформулировать первую основную задачу математического моделирования динамики одномерных и многомерных линейных детерминированных параметрических систем с сосредоточенными параметрами - возмущённую задачу Коши, как задачу решения эквивалентного интегрального уравнения (системы интегральных уравнений) типа Вольтерра.

2. Разработана и обоснована линейная параметрическая модель подсистемы экзогенной индукционной измерительной системы - индуктивного измерительного преобразователя. Получена система интегральных эволюционных уравнений, описывающих динамику индуктивного измерительного преобразователя, находящегося под воздействием внешних возмущений.

3. Разработаны и обоснованы линейные параметрические модели одномерных и многомерных экзогенных параметрических экономических систем с непрерывным временем. Получены интегральные эволюционные уравнения одномерных и системы интегральных эволюционных уравнений многомерных параметрических моделей экономических систем, описывающих динамику экономических систем, находящихся под воздействием внешних возмущений.

4. Разработана теоретическая основа метода решения обратной динамической задачи определения функциональных зависимостей коэффициентов дифференциального эволюционного уравнения (системы уравнений) изучаемой параметрической системы. Получены линеаризованные интегральные уравнения для определения вариаций параметров изучаемой системы.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается общефизическими выводами, адекватностью и логикой применения математических методов решения основных задач, а также сопоставлением с известными из литературы экспериментальными данными результатов численного исследования разработанных моделей предметных систем.

Основные результаты диссертационной работы докладывались или были представлены на следующих научных конференциях и семинарах:

на четвёртой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (май 2007 года, ГОУ ВПО Самарский технический университет, г.Самара);

на Девятой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (май 2013 года, ГОУ ВПО Самарский технический университет, г.Самара);

на Всероссийской научно-технической конференции "Математическое моделировани механических явлений" (май 2007 года, май 2011 года, май 2013 года, ГОУ ВПО УГГУ г.Екатеринбург).

Результаты работы неоднократно докладывались на научном семинаре факультета reo логии и геофизики Уральского государственного горного университета, на семинаре «Отдел некорректных задач анализа и приложений» ИММ УрО РАН, на научном семинаре механико математического факультета Южно-Уральского государственного университета.

Основные научные результаты автора по теме диссертации опубликованы в рецензируе мых научных журналах. Три публикации осуществлены в изданиях, включённых в список жур налов, рекомендованных ВАК РФ. Всего по теме диссертации опубликовано 11 печатных ра бот.

Диссертационная работа состоит из оглавления, введения, четырёх глав, заключения списка литературы, изложенных на 191 странице машинописного текста; содержит 33 рисунка 2 таблицы и библиографический список из 70 наименований.

Диссертационная работа выполнена на кафедре математики ФГБОУ ВПО "Уральски государственный горный университет" в процессе совместных исследований с'научным руко водителем, заведующим кафедрой математики, доктором физ.-мат. наук, профессоро В.Б.Сурневым (при равном вкладе авторов).

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАБОТЫ

Первое защищаемое положение. Разработан метод интегральных эволюционт уравнений, основанный на концепции вторичных источников во временной области и принципе Дюамеля, позволивший сформулировать первую основную задачу математического моделиро вания динамики одномерных и многомерных линейных детерминированных параметрически систем с сосредоточенными параметрами - возмущённую задачу Коши, как задачу решения эквивалентного интегрального уравнения (системы интегральных уравнений) типа Вольтерра.

Обоснованию первого защищаемого положения - построению аппарата интегральных эволюционных уравнений динамики параметрических систем, посвящены первая и вторая главы работы. Наличие параметрических зависимостей коэффициентов экзогенных систем обосновано в параграфе 1.1. В параграфах 1.1, 2.1, 2.2 все математические преобразования проводятся в виде, не зависящем от конкретной изучаемой системы.

Пусть эволюция одномерной параметрической системы описывается решением задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения общего вида с переменными во времени коэффициентами:

.....го

Функция Грина G{t — s) (для начальных условий) дифференциального оператора уравнения (3) (В. И. Владимиров. Уравнения математической физики) находится как решение задачи Коши d"Z(t) d"~{Z(t) d2Z(t) dZ{t) , Л Л

= = 0 = 1 (6) V ; Л Л2 "' Л"-2 ' dt"~'

Предметная система, описываемая дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (5) называется фоновой системой.

В параграфе 2.1 рассмотрен случай, когда коэффициенты модельного уравнения (3) являются функциями класса Л^, и ли аналитическими функциями в окрестности точки t0. В последнем случае эквивалентное интегральное уравнение значительно упрощается. Если коэффициенты уравнения (5) являются функциями класса N, то, представляя их формулой Тейлора

„(л пп,уm --kf~ (7)

и подставляя (7) в (3), получаем:

dt" р. ' dt"~' W

fd^PM){t-tXx\d"-'y{t) dtk kl df*' (m + l)J dr> •

В правой части (8) первое слагаемое является входным сигналом или силовым воздействием на систему, а второе слагаемое описывает вторичные источники, появление которых обусловлено зависимостью от времени коэффициентов модельного уравнения (3).

Записывая формальное решение задачи Коши для уравнения (8) с начальными условиями (4) по принципу Дюамеля, сводим её к интегральному уравнению

'd"*Pj(z)(s-tBr

dt""' (т +1)!

+ (9)

ds"-J j По ' dtk Таким образом, в параграфе 2.1 доказано следующее угверждение.

Утверждение. Пусть на компактном промежутке [a, b\ изменения переменной ( по ставлена задача Кош (3), (2), причём коэффициенты уравнения (3) непрерывны на промежутк М] и дифференцируемы т +1 раз на соответствующем открытом промежутке (a, b) Тогда, если известна функция Грина -решение задачи Коши для однородного уравнения с по стоянными коэффициентами (5) и начальными условиями (6), то существует окрестност U(ta) произвольного начапьного значения t0 е (а, Ь) такая, что при любых t бС/(/0)П(а, b), удовлетворяющих условию t>ta, возмущённая задача Коши (6), (8) сводится к эквивалентном интегральному уравнению Вольтерра (9).

Если коэффициенты уравнения (5) - аналитические функции, то решение возмущённой задачи Коши для уравнения (8) сводится к более простому интегральному уравнению

'о ag *=о at

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение выше первого порядка или систему таких уравнений приводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка

'¿^(0)Л0Н/(0>, (Ю)

где векторы-столбцы силового воздействия на систему и отклика системы

1/(0)=(/'(0 /40 ... /"(ОМЯОНИО УЧ<) ... /(0).

Поэтому целесообразно описывать модели параметрических систем системами обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (10) с переменными во времени коэффициентами. Причём, решение задачи Коши для неоднородной системы уравнений (10) находится по принципу Дюамеля и имеет вид:

|Я0) = 7<гМ/(О)А.

В работе использована формула для функции Грина дифференциального оператора системы обыкновенных дифференциальных уравнений (10), вытекающая из следующей теоремы, модифицированное доказательство которой приведено в параграфе 2.1.

Теорема. Фундаментальное решение (функция Грина) матричного дифференциального оператора

{dt J dt

выражается через решение задачи Коши

lj+A\z{t)=O,Z{t0)=I (11)

и имеет вид

G(t)=H(t)z{t) = H{t)Y{t)r'(t0), (12)

где О - нулевая матрица, H{t) — функция Хевисайда, а У(/) - фундаментальная матрица однородной системы (11).

Возмущённая задача Коши для многомерной модели линейной параметрической системы имеет вид:

Ijt\y{t))+ A{t}y{t)) = ДР(ф(0) + |/(')). (13)

W>o)) = k>. (И)

aej

ЛР(/) = [Л-Р(/)]=-

g.^Qfr-zJ t d^Pjg), (f-tj

t, dtk k\ drx I'-'" (m + l)

В параграфе 2.1 доказано следующее утверждение.

Утверждение. Пусть на компактном промежутке [в, ¿»] изменения переменной t поставлена задача Коши (13), (14), причём элементы матрицы коэффициентов P(t) векторного уравнения (10) непрерывны на промежутке[а, b\ и дифференцируемы т +1 раз на соответствующем открытом промежутке (a,b\ Тогда, если известна функция Грина - решение задачи Коши (II), то существует окрестность U(t0) произвольного начального значения Г0 б {a, b) такая, что при любых t e [/(/0)П(я, b), удовлетворяющих условию t > t0, возмущённая задача Коши (1.3), (14) сводится к эквивалентному векторному интегральному уравнению Вольтерра

МО)=G{t, '„Ы+к('))+Й', <15>

'о

Если элементы матрицы коэффициентов уравнения (10) являются аналитическими функциями, то, раскладывая матрицу коэффициентов в ряд Тейлора в окрестности значения начального момента времени / = /0, сводим задачу Коши (13), (14) к значительно более простому нежели (15) эквивалентному интегральному эволюционному уравнению:

|Л')> = Gif, ф0) + Ы<)) + }<?(/, <16>

'о

г

где |>-0(/)) = [G(t, s]f(s))ds, а вторичные источники во временной области

'о

j=1 at kl

В параграфе 2.2 показано, что решение системы уравнений (16) записывается в виде

|Я0Мл(0М'+гЫ')>. (18)

Т = }л,С7(г, г, Х-..]+1 /А, <//,<?(/, /2)ЛР(г2)С(/2, /,)ЛР(/, Х-..]+..., (19)

'о 'о

причём ряд по кратности взаимодействия (19) сходится равномерно и абсолютно.

Из доказанных во второй главе утверждений вытекает следующее утверждение.

Утверждение. Пусть эволюция многомерной параметрической системы 5 с сосредо точенными параметрами на промежутке времени [а, б] описывается решением задачи Кош (1.3.5), а эволюция фоновой системы описывается соответствующей задачей Коши для урав нения с постоянными коэффициентами (1.3.6), и пусть элементы матрицы коэффициенте р([) уравнения (1.3.5) как функции времени непрерывны на всём промежутке \а, Ь\ и диффе ренцируемы т + 1 раз на соответствующем открытом промежутке (я, б). Тогда существу ет такая окрестность £/('0) произвольного начального значения времени <а е (а, Ь), что пр любых / е ¿/(*0)Л (а, Ь) таких что / > 10. динамика системы может быть описана интегральным уравнением вида (1.3.23) или (1.3.24), эквивалентным соответствующей возмущён ной задаче Коши.

Простым следствием этого утверждения является утверждение о возможности описания динамики одномерной системы скалярным интегральным уравнением вида (9).

Доказанные утверждения и теоремы позволяют построить алгоритм последовательных приближений для численного решения первой основной задачи математического моделирования многомерных параметрических систем с сосредоточенными параметрами.

Второе защищаемое положение. Разработана и обоснована линейная параметрическая модель подсистемы экзогенной индукционной измерительной системы - индуктивного измерительного преобразователя. Получена система интегральных эволюционных уравнений, описывающих динамику индуктивного измерительного преобразователя, находящегося под воздействием внешних возмущений.

Обоснованию второго защищаемого положения - разработке параметрической модели индуктивного измерительного преобразователя (ИИП), посвящены главы 1, 2 работы.

В индуктивной электроразведке применяется метод переходных процессов (МПП), в котором экспериментально измеряются слабые вторичные магнитные поля, подвергаемые предварительному усилению, путём преобразования напряжённости магнитного поля в электрическое напряжение при помощи индукционного измерительного преобразователя (ИИП) - электрического колебательного контура, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений;

(\

E(t)

(20)

Задача Коши для системы уравнений (20) с начальным условием |>"('o)) = l ^ j

/(О

описьшает

эволюцию во времени идеальной модели индуктивного измерительного преобразователя.

Если измерительная система подвержена экзогенным температурным воздействиям, то коэффициенты системы дифференциальных уравнений (20) зависят от переменной во времени температуры внешней среды (параграф 1.2) - система становится параметрической. Эволюция параметрической модели ИИП описывается решением возмущённой задачи Коши

1 í-t\y(í))+ A(tW)) = ЛР('Ы')Н/(')>.

UíoJ'woJ

Задача Коши (21), (22) сводится к эквивалентной системе интегральных уравнений: 1Л0) = лЬ<о) + [Уо(')) + ¡G(t, s)AP(s)y(s))ds

(21) (22)

(23)

Решение системы интегральных эволюционных уравнений (23) в соответствии с результатами второй главы может быть построено численно методом последовательных приближений.

Третье-защищаемое положение. Разработаны и обоснованы линейные параметрические модели одномерных и многомерных экзогенных параметрических экономических систем с непрерывным временем. Получены интегральные эволюционные уравнения одномерных и системы интегральных эволюционных уравнений многомерных параметрических моделей экономических систем, описывающих динамику экономических систем, находящихся под воздействием внешних возмущений.

Обоснованию третьего защищаемого положения - формулировке параметрических моделей одномерных и многомерных экономических систем и выводу соответствующих интегральных эволюционных уравнений посвящены первая и вторая главы работы.

В первой главе рассмотрены одномерные динамические модели экономики - модель Кейнса и модель Самуэльсона-Хикса с непрерывным временем. Динамика моделей описывается линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков соответственно. Для модели Кейнса задача Коши записывается в виде:

at

а/ ш

(26)

(27)

Там же рассмотрена простая многомерная динамическая модель экономики - модель Леонтьева с непрерывным временем. Динамика модели описывается задачей Коши вида

Временные зависимости р = р{{), ц = , Р = Р(() коэффициентов уравнений (24), (26) и (28), описывающих динамику одномерных моделей Кейнса и Самуэльсона-Хикса и динамику многомерной модели Леонтьева, следуют из экономических соображений. Так, для модели Леонтьева элементы матрицы коэффициентов Р являются коэффициентами прямых материальных затрат, которые складываются из объема производства товарной продукции, структуры товарной продукции, уровня затрат на единицу продукции, удельной зарплаты на единицу продукции (уровень оплаты труда за 1 чел./час.). Расход материалов на единицу продукции зависит от их качества, замены одного материала другим, рецептуры сырья, технологии организации производства, квалификации работников и отходов сырья. Всё перечисленное влияет на среднюю цену материалов, которая таким образом, зависит от отпускной цены поставщика, внутригрупповой структуры материальных ресурсов, уровня транспортно-заготовительных расходов, качества сырья и так далее. Перечисленные параметры системы, очевидно, зависят от времени и, следовательно, эволюция экономической системы происходит под влиянием воздействий со стороны окружающей среды, которые в подавляющем большинстве случаев имеют характер возмущений, что позволяет охарактеризовать систему как экзогенную параметрическую систему. В предположении аналитичности всех функциональных зависимостей в уравнениях (24), (26) и (28) применение разработанного аппарата интегральных эволюционных уравнений позволило получить в следующие перечисленные ниже результаты относительно линейных параметрических моделей экономики с непрерывным временем.

Динамика параметрической системы в рамках модели Кейнса описывается возмущённой задачей Коши

(28)

Л

(29)

для которой эквивалентное интегральное эволюционное уравнение имеет вид:

>■(;)= je-i-<'«)*-)[/(5)+ и[i-cOJW4'^^ • (3D

Ядро уравнения (31) - это функция Грина G(i) = .

Динамика параметрической системы в рамках модели Самуэльсона-Хикса описывается возмущённой задачей Коши

at at at

03)

для которой эквивалентное интегральное эволюционное уравнение имеет вид

ЯО^М^ + Ф-КОЬ-о + * )z{t)+'\G{t, f(s)]d,, (34)

at L as J

Вид функции Грина определяется типом корней характеристического уравнения для дифференциального уравнения, описывающего эволюцию фоновой системы.

Величины, входящие в уравнения (31) и (34), имеют следующий экономический смысл: y(t) - валовой внутренний продукт (ВВП); p(t) = 1 -r(t), где r(t) - коэффициент акселерации;

q{t) ~ 1 - c(t), где c(t) - склонность к потреблению; f(t) = l(t) + С, где С - минимальный объём фонда потребления, a l(t) — инвестиции.

Динамика параметрической экономической системы в рамках модели Леонтьева описывается возмущённой задачей Коши

(35)

|*('))Ц =|*о). (36>

а система эквивалентных интегральных эволюционных уравнений имеет вид:

|Я0> = G(t, Г0Ь) +Ьо(0)+ '¡G(t, s)AP(s}y(s))ds, (37)

<o

'o

Решение уравнений (31), (34), (37) находится методом последовательных приближений.

Четвёртое защищаемое положение. Разработана теоретическая основа метода решения обратной динамической задачи определения функциональных зависимостей коэффициентов дифференциального эволюционного уравнения (системы уравнений) изучаемой параметрической системы. Получены линеаризованные интегральные уравнения для определения вариаций параметров изучаемой системы.

Обоснованию четвёртого защищаемого положения - методу решения обратной задачи определения функциональных зависимостей коэффициентов дифференциальных эволюционных уравнений модели системы, посвящена третья глава работы. Пусть эволюция параметрической системы, имеющей п входов и п выходов, описывается решением задачи Коши (13), (14). Рассмотрим обратную задачу определения вариаций Ap'j (/) коэффициентов системы уравнений

(13), причём коэффициенты уравнений для фоновой системы считаем известными.

Эквивалентное возмущённой задаче Коши (13), (14) интегральное эволюционное уравнение можно переписать в виде уравнения Фредгольма

!Я0> = |Л(<)) + f G(t, s)AP(4y(s))ds, (39)

О

где G;0, s)= Вводя обозначение (/, p'J) =\y[t, р])) -|у„(0)> где |Л(/)} - от

юшк модельной системы на известное внешнее возмущение, запишем ряд последовательных подстановок (18), (19) для решения уравнения (39) в виде

s ('> p'j ))=/, /2M'2)G(f2, t, М', X • •]+

[о а а

I/'

а а а

Уравнение (40) - нелинейное интегральное уравнение первого рода типа Ляпунова Шмидта, записанное относительно неизвестных вариаций параметров

Др;(<). Линеаризац

уравнения (40) приводит к системе приближённых линейных интегральных уравнений

<5Р))=и■ ("о

[а»0 Д)

где пропогаторы и кратные взаимодействия различных порядков имеют вид:

(1 < а < [1 -1). Алгоритм восстановления параметров состоит в вычислении вариаций значени" матричных элементов относительно значений коэффициентов нулевого приближен

путём решения уравнения (41) относительно с многократной промежуточной коррекцие

относительно заданных значений коэффициентов для фоновой системы. Получив значен матричных элементов на фазовой траектории динамической системы, находим матрич

о

ные элементы //(/) по формуле р)

Результаты численного моделирования для теоретических моделей одномерных параметрических экономических систем в рамках теории Кейнса и Самуэльсона-Хикса, а также для теоретических моделей многомерных параметрических экономических систем, приведены в четвёртой главе. Там же приведён пример численного моделирования динамики параметрической модели индуктивного измерительного преобразователя. Приведённые результаты подтверждают наличие отклонений эволюции предметных систем от эволюции идеальных систем.

В заключении подытожены полученные результаты. Отмечено широкое распространение линейных экзогенных параметрических систем, взаимодействующих с внешней средой. Одним из методов математического моделирования таких систем может служить развитый в работе метод интегральных эволюционных уравнений.

Благодарности. Диссертационная работа выполнена на кафедре математики Уральского государственного горного университета в процессе совместных исследований с научным руководителем, доктором физ.-мат. наук В.Б.Сурневым, которому автор искренне благодарен за предложенную тему исследований и проведение совместных исследований. Автор благодарен ведущему научному сотруднику Института геофизики УрО РАН доктору технических наук

A.И.Человечкову за совместную работу над статьёй по теории индуктивного измерительного преобразователя. Автор искренне благодарен за организационную поддержку члену-корреспонденту РАН, доктору физ.-мат. наук, профессору В.В.Васину. Автор благодарен также главному научному сотруднику ИГФ УрО РАН, доктору физ.-мат. наук, профессору Ю.В.Хачаю за предоставление возможности проведения некоммерческого численного эксперимента с использованием лицензионного экземпляра программного продукта "Intel Visual Fortran Compiler Professional Edition for Windows - Vision 10.01, Serial Number LK8S-BF3GXJKX" и рецензирование работы на совместном заседании кафедры математики УГГУ и Научного семинара факультета геологии и геофизики УГГУ.

Список работ, опубликованных по теме диссертации, в изданиях, включённых в перечень ВАК РФ

1. Сурнев, В.Б. Метод анализа линейной многосвязной динамической системы / В.Б.Сурнев,

B.Б.Пяткова // Известия вузов. Горный журнал. - 2005. - № 6. - С. 51-58.

2. Сурнев, В.Б. О решении некоторых задач динамики экономических систем методом интегральных уравнений / В.Б.Сурнев, В.Б.Пяткова, А.И.Пятков // Известия вузов. Горный журнал.-2006. - № 1. - С. 85-94.

3 . Сурнев, В.Б. Параметрическая модель индуктивного измерительного преобразователя / В.Б.Сурнев, В.Б.Пяткова, А.И.Человечков // Известия вузов. Горный журнал. -2010. -№ 1. -С- 49-56.

Слисок работ, опубликованных по теме диссертации, в рецензируемых изданиях, трудах

конференций и семинаров

4. Сурнев, В.Б. Исследование линейной динамической системы с переменными параметрами методом вторичных источников / В.Б.Сурнев, В.Б.Пяткова, А.И.Пятков // Математическое мо делирование механических явлений : материалы науч.-техн.конф. Екатеринбург: Изд. ГО ВПО УГГУ, 2007. - С. 53-56.

5. Сурнев, В.Б. Математическое моделирование неидеальной линейной динамической системы с сосредоточенными параметрами / В.Б.Сурнев, В.Б.Пяткова, А.И.Пятков // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. ГУ Всерос. науч. конф. 4.2. Самара: Изд. Самарского тех нического университета, 2007. - С. 142-145.

6. Сурнев, В.Б. Метод исследования динамики многомерной экономической системы

B.Б.Сурнев, В.Б.Пяткова, А.И.Пятков // Вестник ДИТУД. Научно-производственный жур нал. - 2007. - № 2 (32). - С. 72-76.

7. Сурнев, В.Б. О решении основных задач математического моделирования параметрических систем с сосредоточенными параметрами ! В.Б.Сурнев, В.Б.Пяткова II Деп. в ВИНИТИ. 15.03.2010. № 161 -B20I0 - 24 с.

8. Пяткова, В.Б. Некоторые вопросы теории и алгоритмы численного моделирования линейных параметрических систем / В.Б.Пяткова, В.Б.Сурнев // Математическое моделирование механических явлений : материалы науч.-техн. конф. Екатеринбург: Изд. ГОУ ВПО УГГУ, 2011. -

C.11-I4.

9. Пяткова, В.Б. Математическое моделирование линейных параметрических систем с сосредоточенными параметрами. Обоснование адекватности метода интегральных эволюционных уравнений физической ситуации / В.Б.Пяткова, В.Б.Сурнев // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. IX Всерос. науч. конф. Ч.З. Самара: Изд. Самарского технического университета, 2013. - С. 60-64.

10. Пяткова, В.Б. Параметрическая модель индуктивного измерительного преобразователя / В.Б.Пяткова, В.Б.Сурнев // Математическое моделирование механических явлений : материалы науч.-техн. конф. Екатеринбург: Изд. ГОУ ВПО УГГУ, 2013. - С. 66-68.

11 . Пяткова, В.Б. Обоснование адекватности метода интегральных эволюционных уравнений физической ситуации / В.Б.Пяткова, В.Б.Сурнев // Известия Уральского государственного горного университета. - 2013. - Вып. 1 (29). С. 3-7.

Подписано в печать 19.12.2013 Бумага писчая. Формат бумаги 60 х 84 1/16. Печать на ризографе. Гарнитура Times New Roman. Печ. л. 1. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ № /7.

Издательство УГГУ 620144, г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30 Уральский государственный горный университет Отпечатано с оригинал-макета в лаборатории множительной техники