автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование квазистационарных электрических полей в атмосфере Земли

На правах рукописи

Помозов Егор Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В АТМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

9 ЯНВ 2014

Красноярск - 2013

005544400

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук. Научный руководитель:

доктор физико-математических паук профессор Денисенко Валерий Васильевич. Официальные оппоненты:

Свешников Виктор Митрофанович

доктор физико-математических наук Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, заведующий лабораторией Киселев Валерий Михайлович доктор физико-математических паук, профессор Институт горного дела, геологии и геотехнологий федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет», профессор. Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионольиого образования «Санкт-Петербургский государственный университет».

Защита диссертации состоится 11 февраля 2014 г. в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии паук.

Автореферат разослан 27 декабря 2013 г. Учёный секретарь

диссертационного совета Д 003.061.02 на базе ИВМиМГ СО РАН, д.ф.-м.н.

Сорокин С. Б.

Введение 3

Объектами исследования являются квазистациопарпые электрические поля, возникающие в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в магнитосфере и в литосфере.

Актуальность исследований.

Математическому моделированию крупномасштабных электрических полей в атмосфере Земли посвящены многочисленные работы. Наряду с анализом полей, создаваемых грозовыми облаками, интенсивно исследуются процессы, в которых атмосфера является связующим звеном между ионосферой и литосферой. Прикладная направленность моделирования этих процессов обусловлена желанием использовать космические средства для обнаружения предвестников землетрясений. Имеются экспериментальные данные об изменениях электрического поля в приземной атмосфере накануне землетрясений. Поскольку покрыть Землю достаточно плотной сетыо наземных датчиков проблематично, возник вопрос, можно ли судить об этих полях на основе спутниковых измерений. Возмущения ионосферы накануне землетрясений тоже наблюдаются, и одним из простейших механизмов литосферно-ионосферпой связи является проникновение электрического поля в ионосферу через атмосферный проводник. Для математического моделирования этого явления необходимо рассчитывать электрические поля в атмосфере. Интересен и обратный эффект -проникновение ионосферных электрических полей через атмосферу до земли. В частности, такие поля необходимо учитывать при объяснении наблюдаемых в приземном слое атмосферы вариаций электрического поля.

При моделировании квазистационарных процессов в проводящей среде необходимо решать различные краевые задачи для уравнения электропроводности, которое является дифференциальным уравнением второго порядка эллиптического типа. Трудности решения связаны с трехмерностью задачи, с наличием коэффициентов, изменяющихся в миллионы раз, и с тем, что размеры области в разных направлениях различаются в сотни раз. Это приводит к актуальной задаче создания эффективных вычислительных алгоритмов и комплексов программ для моделирования атмосферных электрических полей.

Целью диссертационной работы является моделирование крупномасштабных квазистационарных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в ионосфере и в литосфере, и в особенности, анализ возможности спутпико-

вых измерений электрических полей, проникающих в ионосферу через атмосферу из литосферы.

Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи:

- формулирование краевых задач для уравнения электропроводности на основе физических законов, описывающих распределение электрического поля в атмосфере,

- построение многосеточпого алгоритма численного решения трехмерных краевых задач для уравнения электропроводности, которое является дифференциальным уравнением второго порядка эллиптического типа,

- создание научно-исследовательского комплекса программ для реализации построенного алгоритма на многопроцессорных компьютерах,

- построение моделей глобальных распределений электрических полей в атмосфере Земли, обусловленных проникновением электрического поля из ионосферы при различных геомагнитных условиях,

- создание математической модели электрического поля, проникающего в ионосферу из приземного слоя атмосферы.

- анализ погрешностей моделирования атмосферного электрического поля, возникающих при использовании упрощенных моделей ионосферного проводника,

В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Создана математическая модель крупномасштабных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в магнитосфере, и изучено влияние приземных неод-породностей проводимости па атмосферное электрическое поле.

2. Создана математическая модель ионосферного электрического поля, проникающего от поверхности Земли по атмосферному провод-пику.

3. Реализован миогосеточный вариационно-разностный алгоритм решения трехмерных краевых задач для уравнения электропроводности на блочно-структурироваиных сетках в виде паучно-исследо-вательского комплекса программ для многопроцессорных компьютеров.

Данные положения соответствуют трём пунктам паспорта специальности 05.13.18 — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ "по физико-математическим наукам:

1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

7. Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента па основе его математической модели.

Личный вклад автора.

Автором лично создан паучпо-исследовательскш! комплекс программ для выполнения параллельных вычислений, выполнены все вычислительные эксперименты, описанные в диссертации, проанализирована сходимость многосеточпых итераций и сходимость решений при мельчении сетки.

Автор построил математические модели крупномасштабных электрических полей, существующих в атмосфере Земли.

Автор принимал участие в анализе статей других авторов, в написании совместных с научным руководителем статей и докладов для выступления на конференциях.

Научная новизна работы определяется тем, что:

- при создании алгоритма численного для численного решения задачи использованы такие современные подходы и методы, как сведение трехмерной задачи электропроводности к минимизации функционала энергии, многосеточный метод, блочпо-структурированные сетки, параллельные вычисления па многопроцессорных компьютерах, что позволило эффективно вести расчеты атмосферных электрических полей,

- в модели атмосферного электрического поля ионосферный проводник включен в единую задачу электропроводности атмосферы и ионосферы, что впервые позволило проанализировать погрешности известных и созданных диссертантом упрощенных моделей проникновения электрического поля от поверхности Земли в ионосферу,

- для расчета электрических полей и токов в ионосфере использованы детальные распределения компонент тензора проводимости, отражающие современные представления о пространственно-временных распределениях параметров ионосферной среды.

Достоверность полученных результатов работы подтверждена использованием общепринятых подходов к математическому моделированию квазистационарных электрических полей; проверкой и обоснованием точности использованных числениых методов; сравнением полученных результатов с известными в научной литературе теоретическими и экспериментальными результатами других авторов; хорошим совпадением результатов приближенных вычислений с известными результатами для ряда тестовых задач.

Теоретическая и практическая значимость

Разработан эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий решать глобальные задачи электропроводности атмосферы.

Предложено проводить не единый расчет, а серию расчетов в небольших подобластях, что существенно уменьшает время расчетов за счет исключения обращений к внешней памяти компьютера.

Показано, что проникающее из ионосферы крупномасштабное электрическое поле вблизи поверхности Земли можно строить как решение одномерной по высоте задачи, по, чтобы получить поля и токи в верхней атмосфере, необходимо решать трехмерную задачу.

Получены глобальные распределения вертикальной компоненты электрического поля вблизи земли, обусловленные проникновением электрического поля из ионосферы при различных геомагнитных условиях. Их можно использовать при обработке результатов измерений электрических полей в приземной атмосфере.

Проанализировано влияние неоднородностей атмосферной проводимости на приземное электрическое поле, в том числе для запыленных или содержащих радоп областей малых размеров, когда одномерная модель электропроводности становится неадекватной.

Проведен анализ погрешностей моделирования атмосферного электрического поля, возникающих при использовании упрощенных моделей ионосферного проводника, позволивший объяснить противоречивые результаты различных моделей, используемых при объяснении ионосферных возмущений, рассматриваемых как предвестники землетрясений.

Показано, что проникновение квазистационарного электрического поля в ионосферу от литосферных источников по атмосферному проводнику недостаточно, чтобы было возможно его измерение существующими методами со спутников. Поэтому для объяснения имеющихся экспериментальных данных о значительных возмущениях элек-

трического поля накануне землетрясений, одновременно наблюдаемых и у земли, и в ионосфере, и для обоснования возможности создания спутниковых систем мониторинга предвестников землетрясений необходимо рассматривать альтернативные физические механизмы литосферно-ионосферных связей.

Представление работы

Основные результаты работы обсуждались па следующих конференциях: VII Всероссиийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, 2006; VIII Всероссиийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2007; International Symposium International Heliophysical Year 2007: New insights into solar-terrestrial physics. Zvenigorod, 2007; Конференция молодых ученых КНЦ СО РАН. Красноярск, 2008; Всероссийская конференция "Математика в приложениях приуроченная к 80-летию академика С.К. Годунова. Новосибирск, 2009; 8-th International Conference on Problems of Geocosmos, St.-Petersburg, 2010; Всероссийская конференция "Солнечно-земная физика". Иркутск, 2010; Семинар-совещание "Межгеосферпыевзаимодействия". Москва, 2011.

В полном объеме диссертация была доложена на семинаре отдела Вычислительной математики Института вычислительного моделирования СО РАН.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 статей, из них 3 статьи - в журналах, рекомендуемых ВАК для защиты кандидатских диссертаций, 2 трудов конференций.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Общий объем диссертации - 201 страница. Список литературы включает 125 наименований.

Содержание работы

Во введении кратко описан объект исследования, сформулирована цель диссертационной работы, а также выделены ее задачи. Обоснована актуальность работы, теоретическая и практическая значимость, а также достоверность полученных результатов. Перечислены основные публикации по теме диссертации и дана общая характеристика диссертации.

Поскольку в работе рассмотрены три существенно различающиеся

задачи: создание вычислительного метода, глобальная задача электропроводности атмосферы и анализ локальных процессов проникновения электрического поля в ионосферу, литературный обзор для каждой из них приведен в начале соответствующей главы.

В начале первой главы приведены основные уравнения, описывающие квазистациопарные электрические поля и токи в проводниках, и сформулировано уравнение электропроводности применительно к атмосфере и ионосфере Земли. В силу скалярного характера проводимости сг в атмосфере уравнение электропроводности для электрического потенциала V имеет вид

Оригинальность модели заключается в объединении известных эмпирических моделей скалярной проводимости основной части атмосферы и тензорной проводимости ионосферы, а также в предложенном и обоснованном способе учета проводимости ионосферы с помощью граничного условия в задаче для атмосферного проводника.

Вторая глава посвящена описанию созданного вычислительного алгоритма для решения глобальной задачи электропроводности атмосферы и его реализации па блочно-структурированных сетках в виде научно-исследовательского комплекса программ для многопроцессорных компьютеров. Приведена формулировка краевой задачи для уравнения электропроводности (1), которая используется при моделировании крупномасштабных квазистационарных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в ионосфере или в магнитосфере.

На верхней и нижней границах атмосферы в этих задачах полагается заданным распределение электрического потенциала V:

где г, 0,1р - сферические координаты, Нир - радиус сферы, которая используется в качестве верхней границы атмосферы, /г(0, ¡р) - высота земной поверхности над сферой радиуса Яе = 6400 км.

Дифференциальное уравнение (1) является уравнением второго порядка эллиптического типа, и решение краевой задачи (1, 2) эквивалентно задаче об отыскании минимума квадратичного функционала энергии

—<Цу (сг grad V) = 0.

(1)

у\т=Пиг = у0{в,^), VI.

= 0,

(2)

иа множестве функций V, удовлетворяющих условиям (2). Интеграл равен джоулевой диссипации, то есть выделению тепловой энергии, сопровождающему прохождение электрического тока по проводнику.

Описан метод построения сеток. Использование блочпо-структу-рироваиных сеток позволяет естественным образом организовать параллельные вычисления па многопроцессорных компьютерах. Минимизация функционала энергии на аппроксимирующих решения кусочно-линейных функциях порождает систему линейных алгебраических уравнений для узловых значений искомой функции, то есть уравнения вариационно-разностной схемы. Для решения этой системы применяется миогосеточный метод, в котором переходы на более крупные сетки выполняются за счет исключения каждого второго узла в каждом из трех направлений. Методом разделения переменных построен набор точных решений для сферически симметричной атмосферы, которые использованы для демонстрации фактической сходимости численных решений к точным. В конце главы показана эффективность параллельных вычислений.

В третьей главе созданный инструмент использован для математического моделирования крупномасштабных квазистационарных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в магнитосфере.

В результате числеииого решения задачи электропроводности (1, 2) получены пространственные распределения электрического поля, характерные для спокойных геомагнитных условий, а также для маг-нитосферпых суббурь. На Рис. 1 приведены соответствующие распределения вертикальной компоненты электрического поля иа поверхности Земли.

Показано, что проникновение электрического поля из ионосферы до поверхности Земли позволяет объяснить изменение вертикальной компоненты электрического поля вблизи земли в диапазоне от —110 В/м до —160 В/м при среднем наблюдаемом поле —130 В/м. На основе анализа результатов выработаны рекомендации для организации расчетов глобальных электрических полей в атмосфере Земли, полезные при использовании персональных компьютеров, основным недостатком которых при трехмерных расчетах является недостаточный объем оперативной памяти. Обосновано применяемое на практике использование одномерной модели при достаточно больших горизонтальных масштабах явлений.

Проанализированы оценки вклада ионосферных разностей потен-

Рис. 1: Распределения вертикальной компоненты электрического поля на поверхности Земли с интервалом -I В/м. Направление на Солнце - вверх. Пунктиром показаны отрицательные значения, а - спокойные условия, б - взрывная фаза суббури. в - восстаионительпая фаза суббури.

цнала в вариации электрического ноля около земли, нынолпепные сотрудниками НИИ Арктики и Антарктики по измерениям в Антарктиде. Показано, что этот вклад на порядок превосходит результаты нашего моделирования, что можно было бы объяснить более резким возрастанием проводимости воздуха с высотой, чем в используемой пами усредненной модели атмосферной проводимости. Существует ли такой пршземный слой, могут сказать только натурные измерения проводимости.

Большое влияние на приземное электрическое иоле оказывают неоднородности атмосферной проводимости. Это явление рассмотрено в разделе 3.6. Показано, что при характерных значениях параметров в центре облака пыли напряженность поля увеличивается от фонового уровня -130 В/м до -240 В/м. а в центре облака радона уменьшается до -27 В/м.

В четвертой главе построены математические модели нроникио-

веиия электрического поля от поверхности Земли в ионосферу. Как и во многих существующих моделях полагаем, что по результатам измерений у поверхности Земли задана вертикальная составляющая электрического поля. Здесь представим сравнительно простой случай, когда электрическое поле не зависит от одной горизонтальной координаты у и описывается одной гармоникой по х. Тогда электрический потенциал может быть представлен в виде

Для функции /(г) из уравнения электропроводности (1) получается обыкновенное дифференциальное уравнение, которое нужно решить с граничными условиями, первое из которых имеет вид

где Е0 - заданное число, характеризующее заданную у земли напряженность электрического поля, а хо характеризует горизонтальный масштаб анализируемого явления.

Мы используем граничное условие на верхней границе ионосферы 2 = Zoo, которое описывает отсутствие тока из магнитосферы в ионосферу. Более общий случай, когда токи из ионосферы в магнитосферу существуют, например, из-за наличия сопряженной ионосферы, также рассмотрен в разделе 4.4.

Поскольку большее электрическое поле проникает в ионосферу ночью, используем типичные для ночи профили проводимости.

На Рис. 2 жирной кривой представлено высотное распределение горизонтальной компоненты ноля Ex(z) при х = 7га;о/2, то есть максимальное по х значение. Максимальное значение вертикальной компоненты поля у земли ^(0,0) определено граничным условием (5) и равно 100 В/м, горизонтальный масштаб хо = 100 км. Горизонтальная компонента электрического поля остается постоянной выше приведенной на Рис. 2 области высот до верхней границы расчетной области z = Zoo. При выборе z0о = 500 или 1000 км результаты отличаются менее чем на 1% и не видны в масштабе рисунка.

Аналогичная модель построена и при задании у земли более сложных, чем (5), распределений вертикальной компоненты электрического поля. Тогда проводится численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений для получения коэффициеи-

f(z) eos (х/х0).

(4)

— V(x,z) =E0cos(x/x0)

(5)

2=0

Рис. 2: Сравнение наших результатов (жирная кривая) расчета электрического поля, проникающего в атмосферу с поверхности Земли, с результатами, полученными при исключении ионосферной проводимости - штриховая линия, и при ее абсолютизации - тонкая линия.

тов разложения искомого потенциала в ряд Фурье на каждой фиксированной высоте.

Принципиальным достоинством этой модели является включение ионосферы в единую задачу электропроводности.

В наших ранних моделях, представленных в разделе 4.2, 4.3. использовался приближенный учет ионосферного проводника с помощью граничного условия па верхней границе атмосферы s = zup:

1 р) »

Ш ' ~ д» ] +

+ тц(гир)

Ог

= 0. (6)

где X,. - интегральная иелерсеиопокая проводимость ионосферы.

Такое упрощенное описание ионосферы с помощью г|мшичного условия (6) обосновано в разделе 4.4 с помощью расчетов в рамках более общей модели единого проводника от земли до 500 или 1000 км. Более общая модель также дала дополнительные аргументы для критики двух известных моделей, в которых использовались граничные условия. которые могут быть получены из (6) при ЗС,. = 0 или = эс.

Несложно показать, что в этих предельных случаях из (6) получаются условия дУ/дг = 0 и У(х, у, гир) = 0. Такие искажениях реального значения интегральной проводимости ионосферы £р приводят к увеличению или уменьшению напряженности электрического поля, проникающего в ионосферу от поверхности Земли, на много порядков. Соответсвующие решения также показаны па Рис. 2. Максимальное значение вертикальной компоненты поля у земли £^(0,0) для определены граничным условием (5) и у всех трех показанных па Рис. 2 решений равны 100 В/м, горизонтальный масштаб хо = 100 км.

В разделах 4.2, 4.3 представлены наши ранние модели, которые впервые позволили объяснить существенные противоречия между результатами решения этой задачи, полученными разными авторами.

Напряженности электрических полей, проникающих в ионосферу из приземного слоя атмосферы по атмосферному проводнику во всех построенных нами моделях, как и в представленных на Рис. 2, получаются менее 10 мкВ/м, что в сотни раз меньше, чем напряженность полей, обычно существующих в ионосфере.

Поскольку, судя по имеющимся экспериментальным данным, накануне землетрясений и у земли, и в ионосфере возникают значительные возмущения электрического поля, тем самым доказана необходимость рассмотрения альтернативных физических механизмов литосферно-ионосферных связей для обоснования возможности создания спутниковых систем мониторинга предвестников землетрясений.

В заключении дано краткое обобщение полученных результатов:

1. Создана математическая модель крупномасштабных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в магнитосфере. В результате численного решения задачи электропроводности получены пространственные распределения электрического поля, характерные для спокойных геомагнитных условий, а также для магнитосферпых суббурь. Показано, что за счет генераторов, расположенных в магнитосфере, при различных геомагнитных условиях электрическое поле над поверхностью Земли изменяется на 20-30 В/м.

2. Создана математическая модель ионосферного электрического поля, проникающего от поверхности Земли по атмосферному проводнику. Напряженность такого поля не превышает 10 мкВ/м, что в сотни раз меньше, чем напряженность полей, обычно существующих в ионосфере. Выполнен анализ погрешностей моделирования атмосферного электрического поля, возникающих при использовании упрощен-

пых моделей ионосферного проводника, и показапо, что обычно используемые упрощения приемлемы для атмосферы ниже 50 км, но на несколько порядков искажают поля, проникающие в ионосферу.

3. Создана математическая модель влияния приземных неодпород-ностей проводимости па атмосферное электрическое поле. Показапо, что при характерных значениях параметров в центре облака пыли напряженность поля увеличивается вдвое по сравнению с фоновым уровнем, а в центре облака радона уменьшается вчетверо.

4. Создай многосеточный вариационно-разностный алгоритм численного решения трехмерных краевых задач для уравпения электропроводности на блочпо-структурированных сетках. Решение аппроксимируется кусочно-линейными функциями. Система линейных алгебраических уравнений для для узловых значений искомой функции получается из условия минимума значения функционала энергии. Для решения этой системы применяется многосеточный метод, в котором переходы на более крупные сетки выполняются за счет исключения каждого второго узла в каждом из трех направлений.

5. Разработан и протестирован научно-исследовательский комплекс программ для многопроцессорных компьютеров, реализующий созданный численный метод. Методом разделения переменных построен набор точных решений, которые использованы для демонстрации фактической сходимости численных решений к точным. Показана эффективность параллельных вычислений.

Эти результаты позволяют сделать вывод, что в диссертации разработай эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий рассчитывать квазистационарные электрические поля и токи в атмосфере Земли, и с его помощью получены важные геофизические результаты. Созданный инструмент может также быть использован как составная часть математической модели единой ионо-сферно-атмосферпой распределенной электрической цепи.

В приложении А описан научно-исследовательский комплекс программ, созданный для решения трехмерных эллиптических краевых задач. Комплекс паписап па языке Фортран. Предусмотрена аппроксимация достаточно произвольной области, в которой требуется решить краевую задачу с граничными условиями нескольких типов. При необходимости работу можно проводить па суперкомпьютере, что позволяет сократить время расчетов или вести за то же время расчеты на более мелких сетках для повышения точности получаемых решений.

В приложении В описан способ построения сетки в расчетной области и особенности организации хранения сеточных функций. В настоящем комплексе программ используются блочпо-структурирован-ные сетки. Для построения такой сетки область разрезается па несколько криволинейных шестигранников, каждая грань которых является или частью внешней границы области, или лежит внутри области и совпадает с гранью другого шестигранника.

В приложении С на примере трех задач для уравнения электропроводности демонстрируется фактическая сходимость численных решений к точным при мельчепии сетки и скорость сходимости многосеточных итераций. В частности, рассмотрены задачи с известными аналитическими решениями. В качестве меры разности между численным и точным решением используем значение максимума разности их значений в узлах сетки, а также энергетическую норму разности между кусочно-линейными восполнениями численного и аналитического решений.

Список публикаций автора

В журналах, рекомендуемых ВАК по специальности:

1. Денисенко В. В. Расчет глобальных электрических полей в земной атмосфере. / В. В. Денисенко, Е. В. Помозов. - Вычислительные технологии. Т. 15. N 5. 2010. - С. 34-50.

2. Denisenko V. V. Ionospheric conductivity effects on electrostatic field penetration into the ionosphere. / V. V. Denisenko, M. Y. Boudjada, M. Horn, E. V. Poinozov, H. K. Biernat, K. Schwingenschuh, H. Lammer, G. Prattes, and E. Cristea. - Nat. Hazards Earth Syst. Sci. Vol. 8. 2008. - P. 1009-1017.

3. Denisenko V. V. On electric field penetration from ground into the ionosphere. / V.V. Denisenko, M. Ampferer, E.V. Pomozov, A.V. Kitaev, W. Hausleitner, G. Stangl, H.K. Biernat- Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. Vol. 102. 2013. P. 341-353.

В других изданиях:

4. Денисенко В. В. Расчет атмосферных электрических полей, проникающих из ионосферы. / В. В. Денисенко, В. В. Бычков, Е. В. Помозов. - Солнечно-земная физика. Вып. 12. Т. 2. Иркутск: Изд-во ИСЗФ РАН. 2008. - С. 281-283.

5. Denisenko V. V. Calculation of Atmospheric Electric Fields Penetrating from the Ionosphere. / V. V. Denisenko, V. V. Bychkov, E. V.

Pomozov. - Geomagnetism and Aeronomy. 2009. Vol. 49. No. 8. - P. 12751277.

6. Денисенко В. В. Проникновение электрического поля из приземного слоя атмосферы в ионосферу. / В. В. Денисенко, Б. В. Помозов. Солнечно-земная физика. - Вып. 16. Иркутск: Изд-во ИСЗФ РАН. 2010. - С. 70-75.

7. Denisenko V. V. Penetration of Electric Field from the Surface Layer to the Ionosphere. / V. V. Denisenko, E. V. Pomozov. - Geomagnetism and Aeronomy. 2011. Vol. 51. No. 7. - P. 866-872.

Труды конференций:

8. Денисенко В. В. Математическое моделирование проникновения электрических полей из ионосферы в атмосферу. / В. В. Денисенко, В. В. Бычков, Е. В. Помозов. - Межгеосферные взаимодействия (Москва 26-27 сентября 2011 г.): материалы семинара-совещания / Ин-т динамики геосфер РАН. М.: ГЕОС. 2011. - С. 89-96.

9. Denisenko V. V. Mathematical simulation of the large scale electric fields and currents in the Earth's atmosphere. / V. V. Denisenko, E. V. Pomozov. - Proceedings of the 8-th International Conference on Problems of Geocosmos, St.-Petersburg, September 20-24, 2010. - P. 392-397.

Тезисы конференций:

1. Помозов E.B. Программный комплекс для решения трехмерных эллиптических уравнений многосеточным методом с использованием параллельных вычислений. / Е. В. Помозов. - Материалы VII Все-россиийской копф. молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям. ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2006. - С. 25.

2. Помозов Е. В. Программный комплекс для нахождения элек-трическог поля в атмосфере многосеточным методом с использованием параллельных вычислений. / Е. В. Помозов. - Материалы конф. молодых ученых КНЦ СО РАН, Красноярск: КНЦ СО РАН, 2008. - С. 42-43.

Подписано в печать 18 декабря 2013 г. Формат 60 84 / 16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036, Красноярск, Академгородок, 50/44

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

04201455820

помозов

Егор Владимирович

УДК 519.632 + 551.594

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В АТМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н. Денисенко В.В.

На правах рукописи

Красноярск - 2013

Оглавление

Глава 1. Квазистационарная модель электрических полей и токов в атмосфере и ионосфере Земли 19

1.1. Основные уравнения...........................19

1.2. Проводимость...............................20

1.3. Двумерная модель ионосферного проводника.............23

1.4. Запись уравнений в декартовых координатах.............25

Глава 2. Численный метод решения уравнения электропроводности со скалярной проводимостью 27

2.1. Введение .................................27

2.2. Формулировка задачи..........................30

2.3. Энергетический метод..........................34

2.4. Вариационно - разностная схема.....................35

2.5. Построение сетки.............................39

2.6. Многосеточный метод...........................48

2.7. Сетка с кубическими ячейками.....................49

2.8. Разностная схема.............................53

2.9. Дискретная модель............................56

2.10. Сходимость к точным решениям.....................58

2.11. Точные решения для сферически симметричной атмосферы.....59

2.12. Фактическая сходимость к точным решениям.............62

2.13. Параллельные вычисления........................70

2.14. Рекомендации по организации расчета атмосферного электрического поля.................................74

2.15. Выводы...................................77

Глава 3. Проникновение электрического поля из ионосферы до поверхно-

сти Земли 79

3.1. Введение..................................79

3.2. Направление распространения поля..................80

3.3. Влияние наклона магнитного поля...................83

3.4. Результаты моделирования........................84

3.5. Сопоставление результатов моделирования и измерений.......86

3.6. Влияние приземных неоднородностей проводимости.........88

3.7. Выводы...................................91

Глава 4. Проникновение электрического поля от поверхности Земли в ионосферу 93

4.1. Предвестники сейсмической активности и их обнаружение со спутников. Обзор литературы.........................93

4.1.1. Модели предсказания сейсмической активности...........93

4.1.2. Известные модели проникновения квазистационарного электрического поля от поверхности Земли в ионосферу..........95

4.2. Однослойная модель атмосферы....................99

4.2.1. Нижнее граничное условие......................102

4.2.2. Переход к ограниченной области...................103

4.2.3. Верхнее граничное условие......................104

4.2.4. Решение краевой задачи .......................105

4.2.5. Полученные результаты........................107

4.3. Двухслойная модель атмосферы....................111

4.3.1. Биполярный источник.........................111

4.3.2. Проводимость .............................113

4.3.3. Условия сшивки............................114

4.3.4. Переход к ограниченной области...................115

4.3.5. Решение краевой задачи .......................116

4.3.6. Результаты моделирования......................117

4.4. Возможность использования двумерной модели ионосферного проводника ..................................121

4.5. Анализ погрешностей моделирования атмосферного электрического поля, возникающих при использовании упрощенных моделей ионосферного проводника........................129

4.6. Выводы..................................135

Заключение 137

Литература 139

Приложение А. Программный комплекс 153

А.1. Структура программного комплекса..................153

А.2. Алгоритм работы однопоточной Биопрограммы..........156

А.2.1. Биопрограмма............................156

А.2.2. Многосеточный метод.........................159

А.2.3. Метод последовательной верхней релаксации............160

А.З. Алгоритм работы параллельной программы .............165

А.3.1. Подготовка данных для параллельной программы.........166

А.3.2. МиШргос-программа..........................167

A.3.3. Обработка полученных данных....................169

Приложение В. Построение сетки в расчетной области 170

B.1. Элементы сетки..............................171

В.2. Типы прилегания.............................174

В.З. Переменные................................175

В.4. Массивы..................................175

В.5. Нумерация узлов сетки.........................176

В.6. Сеточные функции............................176

B.7. Алгоритм построения сетки.......................178

Приложение С. Фактическая сходимость численного метода 181

C.1. Задача в параллелепипеде........................182

С.2. Задача в призме с шестью боковыми гранями ............192

С.З. Задача в шаровом слое.........................193

Введение

Объектами исследования являются квазистационарные электрические поля, возникающие в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в магнитосфере и в литосфере.

Актуальность исследований.

Математическому моделированию крупномасштабных электрических полей в атмосфере Земли посвящены многочисленные работы [3, 96, 51, 24]. Наряду с анализом полей, создаваемых грозовыми облаками [54, 121], интенсивно исследуются процессы, в которых атмосфера является связующим звеном между ионосферой и литосферой [17, 23, 119, 45]. Прикладная направленность моделирования этих процессов обусловлена желанием использовать космические средства для обнаружения предвестников землетрясений. Имеются экспериментальные данные об изменениях электрического поля в приземной атмосфере накануне землетрясений. Поскольку покрыть Землю достаточно плотной сетью наземных датчиков проблематично, возник вопрос, можно ли судить об этих полях на основе спутниковых измерений. Возмущения ионосферы накануне землетрясений тоже наблюдаются. Так, флуктуации электрического потенциала с частотой десятки-сотни герц были обнаружены спутником на высоте 400 км [79]. В работе [72] приведены измерения квазистационарных возмущений электрического поля в ионосфере над областями, где предстоят или прошли землетрясения.

Одним из простейших механизмов литосферно-ионосферной связи является проникновение электрического поля в ионосферу через атмосферный проводник. Для математического моделирования этого явления необходимо рассчитывать электрические поля в атмосфере. Интересен и обратный эффект - проникновение ионосферных электрических полей через атмосферу до земли. В частности, такие поля необходимо учитывать при объяснении наблюдаемых в приземном слое атмосферы вариаций электрического поля.

При моделировании квазистационарных процессов в проводящей среде необходимо решать различные краевые задачи для уравнения электропроводности, которое является дифференциальным уравнением второго порядка эллиптического типа. Трудности решения связаны с трехмерностью задачи, с наличием коэффициентов, изменяющихся в миллионы раз, и с тем, что размеры области в разных направлениях различаются в сотни раз. Это приводит к актуальной задаче создания эффективных вычислительных алгоритмов и комплексов программ для моделирования атмосферных электрических полей.

Целью диссертационной работы является моделирование крупномасштабных квазистационарных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в ионосфере и в литосфере, и в особенности, анализ возможности спутниковых измерений электрических полей, проникающих в ионосферу через атмосферу из литосферы.

Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи:

- формулирование краевых задач для уравнения электропроводности на основе физических законов, описывающих распределение электрического поля в атмосфере,

- построение многосеточного алгоритма численного решения трехмерных краевых задач для уравнения электропроводности, которое является дифференциальным уравнением второго порядка эллиптического типа,

- создание научно-исследовательского комплекса программ для реализации построенного алгоритма на многопроцессорных компьютерах,

- построение моделей глобальных распределений электрических полей в атмосфере Земли, обусловленных проникновением электрического поля из ионосферы при различных геомагнитных условиях,

- создание математической модели электрического поля, проникающего в ионосферу из приземного слоя атмосферы.

- анализ погрешностей моделирования атмосферного электрического по-

ля, возникающих при использовании упрощенных моделей ионосферного проводника,

В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Создан многосеточный вариационно-разностный алгоритм решения трехмерных краевых задач для уравнения электропроводности на блочно-структурированных сетках, который реализован в виде научно-исследовательского комплекса программ для многопроцессорных компьютеров.

2. Разработана математическая модель крупномасштабных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в магнитосфере, и изучено влияние приземных неоднородностей проводимости на атмосферное электрическое поле.

3. Создана математическая модель ионосферного электрического поля, проникающего от поверхности Земли по атмосферному проводнику.

Данные положения соответствуют трём пунктам паспорта специальности 05.13.18 — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ "по физико-математическим наукам:

1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

7. Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели.

Личный вклад автора.

Автором лично создан научно-исследовательский комплекс программ для выполнения параллельных вычислений, выполнены все вычислительные эксперименты, описанные в диссертации, проанализирована сходимость многосеточных итераций и сходимость решений при мельчении сетки.

Автор построил математические модели крупномасштабных электрических полей, существующих в атмосфере Земли.

Автор принимал участие в анализе статей других авторов, в написании совместных с научным руководителем статей и докладов для выступления на конференциях.

Научная новизна работы определяется тем, что:

- при создании алгоритма численного для численного решения задачи использованы такие современные подходы и методы, как сведение трехмерной задачи электропроводности к минимизации функционала энергии, многосеточный метод, блочно-структурированные сетки, параллельные вычисления на многопроцессорных компьютерах, что позволило эффективно вести расчеты атмосферных электрических полей,

- в модели атмосферного электрического поля ионосферный проводник включен в единую задачу электропроводности атмосферы и ионосферы, что впервые позволило проанализировать погрешности известных и созданных диссертантом упрощенных моделей проникновения электрического поля от поверхности Земли в ионосферу,

- для расчета электрических полей и токов в ионосфере использованы детальные распределения компонент тензора проводимости, отражающие современные представления о пространственно-временных распределениях параметров ионосферной среды.

Достоверность полученных результатов работы подтверждена использованием общепринятых подходов к математическому моделированию квазистационарных электрических полей; проверкой и обоснованием точности

использованных численных методов; сравнением полученных результатов с известными в научной литературе теоретическими и экспериментальными результатами других авторов; хорошим совпадением результатов приближенных вычислений с известными результатами для ряда тестовых задач.

Теоретическая и практическая значимость.

Разработан эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий решать глобальные задачи электропроводности атмосферы.

Предложено проводить не единый расчет, а серию расчетов в небольших подобластях, что существенно уменьшает время расчетов за счет исключения обращений к внешней памяти компьютера.

Показано, что проникающее из ионосферы крупномасштабное электрическое поле вблизи поверхности Земли можно строить как решение одномерной по высоте задачи, но, чтобы получить поля и токи в верхней атмосфере, необходимо решать трехмерную задачу.

Получены глобальные распределения вертикальной компоненты электрического поля вблизи земли, обусловленные проникновением электрического поля из ионосферы при различных геомагнитных условиях. Их можно использовать при обработке результатов измерений электрических полей в приземной атмосфере.

Проанализировано влияние неоднородностей атмосферной проводимости на приземное электрическое поле, в том числе для запыленных или содержащих радон областей малых размеров, когда одномерная модель электропроводности становится неадекватной.

Проведен анализ погрешностей моделирования атмосферного электрического поля, возникающих при использовании упрощенных моделей ионосферного проводника, позволивший объяснить противоречивые результаты различных моделей, используемых при объяснении ионосферных возмущений, рассматриваемых как предвестники землетрясений.

Показано, что проникновение квазистационарного электрического поля в

и

ионосферу от литосферных источников по атмосферному проводнику недостаточно, чтобы было возможно его измерение существующими методами со спутников. Поэтому для объяснения имеющихся экспериментальных данных о значительных возмущениях электрического поля накануне землетрясений, одновременно наблюдаемых и у земли, и в ионосфере, и для обоснования возможности создания спутниковых систем мониторинга предвестников землетрясений необходимо рассматривать альтернативные физические механизмы литосферно-ионосферных связей.

По теме диссертации опубликовано 9 статей, из них 3 работы - в журналах, рекомендуемых ВАК для защиты кандидатских диссертаций.

1. Денисенко В. В. Расчет глобальных электрических полей в земной атмосфере. / В. В. Денисенко, Е. В. Помозов. - Вычислительные технологии. Т. 15. N 5. 2010. - С. 34-50.

2. Denisenko V. V. Ionospheric conductivity effects on electrostatic field penetration into the ionosphere. / V. V. Denisenko, M. Y. Boudjada, M. Horn, E. V. Pomozov, H. K. Biernat, K. Schwingenschuh, H. Lammer, G. Prattes, and E. Cristea. - Nat. Hazards Earth Syst. Sci. Vol. 8. 2008. - P. 1009-1017.

3. Denisenko V. V. On electric field penetration from ground into the ionosphere. / V.V. Denisenko, M. Ampferer, E.V. Pomozov, A.V. Kitaev, W. Hausleitner, G. Stangl, H.K. Biernat- Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. Vol. 102. 2013. P. 341-353.

В других изданиях:

4. Денисенко В. В. Расчет атмосферных электрических полей, проникающих из ионосферы. / В. В. Денисенко, В. В. Бычков, Е. В. Помозов. -Солнечно-земная физика. Вып. 12. Т. 2. Иркутск: Изд-во ИСЗФ РАН. 2008. -С. 281-283.

5. Денисенко В. В. Математическое моделирование проникновения электрических полей из ионосферы в атмосферу. / В. В. Денисенко, В. В. Бычков, Е. В. Помозов. - Межгеосферные взаимодействия (Москва 26-27 сентября

2011 г.): материалы семинара-совещания / Ин-т динамики геосфер РАН. М.: ГЕОС. 2011. - С. 89-96.

6. Denisenko V. V. Calculation of Atmospheric Electric Fields Penetrating from the Ionosphere. / V. V. Denisenko, V. V. Bychkov, E. V. Pomozov. -Geomagnetism and Aeronomy. 2009. Vol. 49. No. 8. - P. 1275-1277.

7. Денисенко В. В. Проникновение электрического поля из приземного слоя атмосферы в ионосферу. / В. В. Денисенко, Е. В. Помозов. Солнечно-земная физика. - Вып. 16. Иркутск: Изд-во ИСЗФ РАН. 2010. - С. 70-75.

8. Denisenko V. V. Mathematical simulation of the large scale electric fields and currents in the Earth's atmosphere. / V. V. Denisenko, E. V. Pomozov. - Proceedings of the 8-th International Conference on Problems of Geocosmos, St.-Petersburg, September 20-24, 2010. - P. 392-397.

9. Denisenko V. V. Penetration of Electric Field from the Surface Layer to the Ionosphere. / V. V. Denisenko, E. V. Pomozov. - Geomagnetism and Aeronomy. 2011. Vol. 51. No. 7. - P. 866-872.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 8 конференциях всесибирского, всероссийского и международного уровней. В трудах конференций опубликованы указанные выше статьи [5, 8], а также:

1. Помозов Е.В. Программный комплекс для решения трехмерных эллиптических уравнений многосеточным методом с использованием параллельных вычислений. / Е. В. Помозов. - Материалы VII Всероссиийской конф. молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям. ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2006. - С. 25.

2. Помозов Е. В. Программный комплекс для нахождения электрическог поля в атмосфере многосеточным методом с использованием параллельных вычислений. / Е. В. Помозов. - Материалы конф. молодых ученых КНЦ СО РАН, Красноярск: КНЦ СО РАН, 2008. - С. 42-43.

В целом диссертация была доложена на семинаре отдела Вычислительной математики Института вычислительного моделирования СО РАН.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Общий объем диссертации - 201 страница. Список литературы включает 125 наименований.

Содержание работы

Во введении кратко описан