автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование ионной имплантации на основе численного решения уравнения переноса

р Г в бЙЬрусский государственный университет

9 2 " удк 539.12

белько виктор иванович

математическое моделирование ионной имплантации на основе численного решения уравнения переноса

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования,

численные методы и комплексы программ

»

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

минск-1998

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук

доцент Мозолевский И.Е.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Вабищевич П.Н. кандидат физико-математических наук доцент Леонтьев A.B.

Оппонирующая организация - Институт Математики HAH Беларуси

Защита состоится "z(" июня 1998 года в 10 часов на заседании Совета по защите диссертаций Д 02.01.15 в Белорусском государственном университете по адресу: 220050, Республика Беларусь, г. Минск, пр. Ф.Скорины, 4, Белгосуниверситет, главный корпус, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан " " мая 1998 года.

Ученый секретарь

«Совета по защите диссертаций

Й.В.Совпель

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Ионная имплантация как метод целенаправленной модификации приповерхностных слоев твердого тела и формирования новых соединений находит широкое применение в. различных областях науки и техники, в первую очередь, а современной технологии СБИС, так как применение данного метода для легирования полупроводниковых структур обеспечивает равномерное и воспроизводимое внедрение примеси хорошо соответствует планарному характеру микроэлектроиных технологий и предоставляет ряд дополнительных возможностей. Перспективы развития технологии СБИС, дальнейшая) миниатюризация изделий микроэлектроники также неразрывно« связаны с ионно-лучевыми методами, такими, как ионная литография, локальное ионное травление, имплантография. Ионная имплантация используется также при создании физических приборов (например, ядерные детекторы), при производстве сверхтвердых инструментов" и износоустойчивых деталей; а машиностроении, для изучения взаимодействия космического-излучения с поверхностью летательного аппарата и поведения, первой стенки ядерного реактора.

Поэтому актуальной проблемой является разработка; эффективных методов компьютерного моделирования ионной имплантации, позволяющих ускорить и упростить как изучение данного процесса, так и создание использующих его технологий* Один из наиболее перспективных подходов к решению этой проблемы основан .на численном решении прямого уравнения> переноса (линеаризованного уравнения Больцмана). С одной) стороны, он является универсальным и позволяет включать в процедуру моделирования дополнительные эффекты (диффузия*,, распыление, каналирование и т.д.). С другой стороны, обеспечивает высокую эффективность алгоритмов моделирования.

Математические свойства и методы решения уравнения переноса всесторонне исследовались в теории переноса нейтронов и переноса излучения. Тем не менее, торможение заряженных частиц имеет свою специфику, поэтому результаты исследований, а-также разработанные алгоритмы для расчета нейтронных потоков

«е допускшот простого переноса или формальной адаптации для описания проникновения ускоренных ионов.

Ряд алгоритмов численного решения уравнения переноса с сильно анизотропным сечением рассеяния, характерным для ионной имплантации, был предложен в работах Дж.Ф.Гиббонса и сотрудников1, группы Ф.Ф.Комарова2, группы А.И.Рязанова3, а также T.Ishitani, G.Bardos'a, L.W.Brassure, M.Posselt'a и других. Эффективность названных алгоритмов обеспечивается в первую очередь учетом физических соображений о поведении потока ионов в определенном диапазоне энергий и отношений масс ион/атом мишени. В диссертационной работе построение вычислительных алгоритмов для моделирования ионной нмплантации проводится в основном исходя из математических свойств решения граничной задачи для транспортного уравнения. Применяемый в диссертации подход к построению алгоритмов решения уравнения переноса можно считать развитием процедуры, предложенной А.Ф.Буренковым и И.Е.Мозолевским5.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре математической физики Белорусского государственного университета в порядке проведения плановой НИР на тему "Исследование граничных задач для уравнений математической физики и разработка математических методов, алгоритмов и программных средств в области проектирования изделий микроэлектроники и радиотехники. Исследование граничных задач для уравнений математической физики, описывающих процессы циклонических образований и других явлений", гос.рег. N.01890086973. Исследования диссертационной работы также связаны с НИР N 946/31 по теме "Разработать физические основы математические модели и комплекс программ для моделирования процесса высокоэнергетической ионной имплантации в полу проводники".

Цель работы - провести исследование математической модели процесса проникновения ускоренных заряженных частиц в твердое тело и разработать алгоритмы и комплекс программ для

1 Christel L A., Gibbon» J.F.. Mylrot S.W. II J.Appl.Phys. - 1980. - Vol. 51. - Р. 6176-6178

1 Burenkov A.F., Komarov F.F. // Vacuum. - 1991. - Vol. 42. - P. 13-18.

' Llzunov Ya.D., Ryaranov AI //Radial Eft. - 1989.-Vol. 107 -P. 185-191.

' Uhilsni T. /' Jap.J Appl.Phys - 1990.-Vol. 29 -P 162-167.

' Буречков Л.Ф., Мозолсвский И F.. // Поверхность - 1988 -N 12. - С 28-34.

моделирования ионной имплантации в одномерном по пространству случае. Для достижения цели были решены следующие задачи.

1. Уточнение и исследование математической модели процесса ионной имплантации - граничной задачи для линейного уравнения переноса с сильно анизотропным сечением рассеяния.

2. Аналитическое решение уравнения переноса без учета угловой зависимости для степенного сечения рассеяния.

3. Разработка эффективных алгоритмов численного решения уравнения переноса. Тестирование вычислительных алгоритмов на точных аналитических решениях транспортного уравнения в частных случаях (степенное сечение рассеяния) и путем сравнения с результатами других методов (метод Монте-Карло и метод моментов для обратного уравнения переноса) в общем случае.

4. Проведение расчетов для моделирования ионной имплантации в широком диапазоне энергий и комбинаций ион-мишень и сравнение результатов с экспериментальными данными. Моделирование имплантационных процессов для многослойных мишеней и для случая высоких доз.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем.

1. Доказана разрешимость граничной задачи для уравнения переноса специального типа с сильно анизотропным сечением рассеяния, при этом сингулярность в сечении выделена в дифференциальное слагаемое.

2. Получены аналитические решения уравнения переноса без учета угловой переменной для степенного сечения рассеяния в пространстве образов при интегральном преобразовании Меллина. Эти решения могут быть использованы при тестировании зычислительных алгоритмов решения уравнения переноса в общем ;лучае, а также представляют самостоятельный интерес при моделировании имплантации тяжелых ионов при низких энергиях.

3. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения граничной задачи для уравнения переноса в плоско-параллельной еометрии. Проведено исследование применимости данных (лгоритмов для моделирования ионной имплантации в многослойные мишени и высокоэнергетической имплантации, 'азработан алгоритм моделирования высокодозовой ионной

имплантации, основанный на численном решении системы из диффузионного уравнения и нелинейного уравнения переноса.

Практическая значимость. Разработанные алгоритмы и комплекс программ могут быть использованы при создании оптимальных технологий микроэлектроники, а также в других областях производства, где необходима целенаправленная модификация свойств приповерхностных слоев твердых тел. Расчеты с использованием предлагаемых алгоритмов и программного обеспечения могут быть использованы для проверки и уточнения физической модели ионной имплантации, лежащей в основе моделирования рассматриваемых процессов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Доказательство разрешимости и свойств решения граничной задачи для уравнения переноса специального типа, характерного для рассеяния заряженных частиц.

2. Строгое математическое построение алгоритмов численного решения линейного уравнения переноса, описывающего процесс ионной имплантации, в рамках метода конечных элементов по энергии и углам с последующим решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Последовательное использование законов сохранения при разработке алгоритмов моделирования ионной имплантации и при решении проблемы адекватной аппроксимации операторов электронного торможения и скользящих соударений.

3. Аналитические решения уравнения переноса без учета угловой переменной для степенного сечения рассеяния в пространстве образов при преобразовании Меллина.

4. Анализ результатов моделирования ионной имплантации в случае высоких энергий, многослойных мишеней, а также высокодозовой имплантации с использованием решения системы, состоящей из нелинейного уравнения переноса и уравнения диффузионного типа.

Личный вклад соискателя. Содержание диссертации отражает личный вклад автора в проведенных исследованиях. Научный руководитель поставил задачу исследований и принимал участие в обсуждении результатов. Из совместно опубликованных работ в диссертацию вошли результаты, полученные личне автором.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на научных конференциях "Компьютерный анализ данных и моделирование" (г.Минск, 1992г.), "Актуальные проблемы информатики" (г.Минск, 1990 г.), "Автоматизация проектирования дискретных систем" (г.Минск, 1995 г.);

- на научном семинаре кафедры математической физики Белгосуниверситета;

- на Городском семинаре (г.Минск) по математическому моделированию.

Опубликованность результатов. По материалам диссертации опубликовано 9 научных работ, включая 3 статьи в ведущих журналах России, 1 статью в журнале «Nuclear Instruments and Methods in Physics Research», 5 тезисов докладов в сборниках конференций Беларуси и России. Общее количество страниц опубликованных материалов - 33.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, выводов и списка использованных источников, включающего 69 наименований. Работа изложена на 102 страницах машинописного текста; содержит 20 рисунков и 1 таблицу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Во введении дается краткая оценка современного состояния проблемы построения эффективных алгоритмов моделирования ионной имплантации, а также обоснование необходимости проведения работы.

Первая глава посвящена обзору литературы по рассматриваемой проблеме. В разделе 1.1 рассматриваются основные подходы к моделированию ионной имплантации. В разделе 1.2 дается характеристика известных алгоритмов численного решения прямого уравнения переноса с сильно анизотропным сечением рассеяния, на которых основан один из важнейших подходов к моделированию ионной имплантации, рассматриваются проблемы учета обратно рассеянных частиц и адекватной аппроксимации дифференциального и интегрального

операторов. В разделе 1.3 обсуждается идея разложения оператора столкновений при малых переданных энергиях.

Во второй главе диссертации исследуются математические основы применения транспортных уравнений для моделирования процессов переноса примеси при ионной имплантации. После рассмотрения основных предположений, на которых базируется физическое описание процесса торможения ускоренных ионов в твердом теле, и полного количественного описания основных явлений, дается вывод прямого уравнения переноса. Затем формулируется математическая модель процесса имплантации ионов как граничная задача для уравнения переноса в общем случае (для произвольной области в к). После этого рассматривается переход к стационарной модели в плоско-параллельной геометрии, которая адекватно описывает процесс имплантации во многих ситуациях.

Сформулируем математическую модель ионной имплантации для плоско-параллельной геометрии. Пусть мишень занимает плоский слой 0<х<Н в пространстве и входящий поток ионов представляет собой плоский бесконечный источник Фо(у), равномерно распределенный по поверхности х=0 мишени. Тогда для нахождения функции Ф(х,Е,ц) распределения потока движущихся частиц по энергии Е и косинусу ц угла между направлением движения и осью ОХ на глубине х имеем следующую граничную задачу:

ЭФ (Е/(,-т) Эх

\|ф(х, Е', ц')<1а(Е', П' -> Е, П) -

Е 5

\

Е(1-т15

- } |ф(х,Е,ц)с!а(Е,ПЕ',П') + А(Ы5С(Е)Ф), (1)

ЭЕ ■

Ф

Ф

,.о=Фо(Е,ц), (2)

ц>0

х.н=Фн(Е,ц) = 0. (3)

ц<0

В уравнении (1) dcJ(E',n'->E,Q) = ^s(E',Q'-^E)n)dE'dц'dч/'/(4л) -дифференциальное сечение рассеяния, 5 - единичная сфера.

Граничное условие (3) означает, что на глубине Н все частицы предполагаются остановившимися, и поэтому входящий поток равен нулю.

Рассмотрим следующие свойства математической модели ионной имплантации - законы сохранения частиц и энергии, которые имеют важное значение как при построении численных методов решения уравнений, так и при выводе приближенных формул для результирующих распределений (внедренной примеси и выделенной энергии).

Введем функцию распределения остановившихся ионов по глубине W(x), а также функции распределения энергии, выделенной в упругих и неупругих взаимодействиях (Wn(x) и We(x)). Так как по определению W(x) - это количество частиц, останавливающихся в единицу времени в окрестности точки х, она может быть найдена, исходя из значений потока в окрестности нулевой энергии:

W(x) = -i-|-fdEj[^(x.E.ji)dM, ' (4)

N(x)5x ; j{

где Ес - энергия, ниже которой ион считается остановившимся.

Тогда можно показать, что для решения уравнения (1)

выполняется следующее свойство:

д_ дх

Е 1

|ёЕ |цФ(х,Е,ц)с1ц = 0. (6)

0-1

Последнее соотношение позволяет записать закон сохранения числа частиц. Обозначим через 1(х) полный поток частиц, движущихся на глубине х:

Е I

1(х)= {сШ/цФСх.Е.ц^ц. (7)

-I

Тогда из (4 - 7) получим закон сохранения - равенство, связывающее полный поток движущихся частиц и плотность распределения остановившихся:

Ы(х)\>/(х) + — 1(х) = 0. (8)

дх

Аналогичные соотношения можно получить и для функций распределения энергии, выделенной в упругих \"/п(х) и неупругих У/е(х) процессах. Из физических соображений профили выделенной энергии могут быть определены следующим образом:

Е

\У„(х) = Ы(х)|с1Е \ |ф(х,Е,цХЕ-Е')аст(Е,П->Е',0'), (9)

Е«1-т> Я Е I

^,(х) = Ы(х) |<1Е |ф(х,Е,ц)8е(Е)<1ц. (10)

О -I

Затем можно вывести равенство, связывающее полную энергию движущихся в потоке частиц и выделенную в окрестности точки х - закон сохранения энергии:

д_ ах

I Е

|ц|ЕФ(х1Е^)<Шс1>1 + \У11(х)+\У1(х) = 0. (11)

Во второй главе приводится также доказательство существования, единственности и устойчивости по начальным данным решения уравнения переноса в плоско-параллельной геометрии с выделенным в дифференциальное слагаемое оператором столкновений с малой передаваемой энергией. Несмотря на то, что рассматриваемое уравнение по структуре близко к хорошо изученным уравнениям переноса нейтронов и переноса излучения, методы, развитые для последних уравнений, не распространяются на случай переноса заряженных частиц. Отметим, что рассматривалось лишь классическое решение и доказательство проводилось элементарными методами с использованием характерных свойств уравнения переноса заряженных частиц.

В третьей главе диссертации выводится метод численного решения граничной задачи для рассматриваемого уравнения в плоско-параллельной геометрии, основанный на дискретизации угловой и энергетической переменных методом конечных элементов (в качестве базисных выступают кусочно-постоянные функции). В результате исходная граничная задача (1-3) преобразуется в граничную задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

-I о

(1иЛ ( "А

АЕ Ц„.1/2-Н-=И(х) ах

и

¡=1,...,ЫЕ, п=1,...,КА,

*=0

«-Н

п>ЫА/2

с: |

= Ч; = | (Е)М п (ц)Ф0 (Е, ц)ёц<1Е /(ДЕДц),

= 0.

(13)

(14)

Отметим, что построение дискретной модели процесса ионной имплантации проводилось таким образом, что для коэффициентов матрицы системы ОДУ выполняется следующее свойство:

N6 мл ».'к

К-Ер.-ЕЕРЛ

I"'1 "-и-"1 . (15)

Благодаря равенству (15), для рассматриваемой системы ОДУ выводятся законы сохранения числа частиц и энергии. Для профиля остановившихся ионов У/(х), полного потока движущихся частиц 1(х) и распределений выделенной энергии У/п(х) и We(x) определим их дискретные аналоги следующим образом: _ 1 н мл

W(x) = г^^2>.-l,гUNE(x), (17)

И(х)с1х£Г

НА N[-.-1

к.! Н

КЕ ¡-I NA

|»| 1-1 ■ г-;

_ N8 Е1-| NA

Е,

(18)

(19)

(20)

Тогда из свойства (15) для 1-, и определения 1(х),\У(х), \У„(х),\Уе(х)

следуют равенства

Ы(х^(х) + — 1(х) = 0 dx

Л N4 ___

-1:>>п-„2Еы,Х + >У„(х) +АУе(х) = О

ох. „.( „1 (22)

- дискретные аналоги законов (8, 11) сохранения числа частиц и сохранения энергии.

Построенная дискретная модель уравнения переноса обладает свойствами консервативности и воспроизводит важнейшие свойства непрерывной модели - законы сохранения (8), (11). Кроме того, при выводе данной модели сингулярности в интеграле столкновений не создают дополнительных трудностей.

Построенный выше алгоритм наиболее эффективен при моделировании ионной имплантации в случае относительно тяжелых ионов при низких и средних энергиях. Это связано с тем, что в такой ситуации доминирующим процессом являются упругие соударения с большой передаваемой энергией, а соответствующий интегральный оператор хорошо аппроксимируется на достаточно грубой сетке. В случае же высоких энергий доминирующим становится механизм электронного торможения и столкновений с малой передаваемой энергией.

• Поэтому для моделирования процесса высокоэнергетической ионной имплантации была разработана специальная модификация исходного алгоритма, которая позволяет эффективно решать уравнение переноса в случае относительно высоких энергий и для всех возможных масс ионов. Далее приведено описание этой модификации алгоритма для случая моделирования процесса внедрения тяжелых высокоэнергетичных ионов, когда угловым рассеянием можно пренебречь, и вместо исходного уравнения (1) применяется уравнение переноса в приближении "прямо-вперед"

|[и(х,Е')а(Е',Е)- и(х,Е)а(Е,Е')]с!Е' + (8(Е)и(х,Е)). (23)

Пусть энергетический интервал [0,Ео] разбит на группы, достаточно мелкие - настолько, чтобы адекватно аппроксимировать дифференциальный оператор в правой части уравнения и составляющую интегрального оператора, соответствующую столкновениям с малой переданной энергией:

Е0=Еые<ЕЫЕ-1< • • •<Е|<Е0.

Тогда после дискретизации энергетической переменной методом конечных элементов с использованием в качестве

базисных кусочно- постоянных функций исходное уравнение преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций и^(х)

ах

1 + "де~ Г = §р*и,(х) + ~ДЕГ ' (24)

Г1...ЫЕ.

В то же время интеграл столкновений с большой переданной энергией может быть аппроксимирован на достаточно грубой сетке. Пусть

с _р* -с* < <р*<р*_с .

более грубая сетка на интервале [0,Ео], согласованная с уже построенной сеткой таким образом, что интервал [Е),Е^,] содержит ЫЕ^ "мелких" групп и пусть {НЕ].} - множество индексов 1 всех групп исходного разбиения, которые содержатся в группе [Е),Е]_,]. Предположим также, что в пределах групп 1*, для Г<]*-1 константы ру мало отличаются друг от друга, т.е.

Р„=Р;.,,!е{МЕД ]6{№5Г}. (25)

Тогда система (24) приобретает следующий вид:

<111; Г ЗДЕ,)') К .

8(ЕИ);

¿х

; ДЕ

+ ,21 (26)

где ¡* соответствует ¡, т.е. ¡е (ИЕ).}, а 1,(х) = Уи,(х)/МЕ1. -

групповой поток по группе 1*. Система (26) содержит уравнения, которые связаны внутри каждой группы j только с предыдущим слоем по энергии, и лишь при переходе из одной "грубой" группы в другую необходимо пересчитывать первое слагаемое в правой

части уравнения. При этом для его вычисления достаточно хранить только значения групповых потоков, что значительно сокращает объем хранимой информации и время счета.

Необходимо отметить, что для матрицы коэффициентов преобразованной системы (26) свойство (15), на котором основаны дискретные законы сохранения, не выполняется. Тем не менее, в определении коэффициентов р ¡.¡. в соответствии с (25) имеется некоторый произвол: для вычисления р*.^ можно выбрать любую пару индексов ¡, ] из наборов {ЫЕ;.} и {N£3.}. Этот выбор осуществлялся в каждой конкретной ситуации моделирования, причем таким образом, чтобы свойство (15) для системы (26) нарушалось как можно меньше.

В четвертой главе диссертации рассматривалось применение разработанных алгоритмов для решения прикладных задач ионной имплантации в случае многослойных мишеней и для высоких доз имплантируемой примеси.

Моделирование ионной имплантации в многослойные мишени имеет важное значение для технологии СБИС, где используется, например, имплантация через маскирующий слой для предотвращения загрязнения подложки, подавления эффекта каналирования, обеспечения поверхностной пассивации, регулирования глубины залегания ионов и т.п. Во многих случаях, (например, когда необходимо точно предсказать поведение распределений возле поверхностей сопряжения слоев) единственной альтернативой подходу, основанному на прямом уравнении переноса, является метод Монте-Карло, часто требующий чрезмерных затрат машинного времени.

Поведение потока ионов в мишени, состоящей из нескольких плоских слоев различных веществ [Ни, Н,]; ¡=1,...,Ь; Н0=0 , Н[/=Н, описывается уравнением переноса (1) с граничными условиями (2,3) и условиями сопряжения на границах слоев :

фц-о=ФЦ,о. ¡ = (27)

где Ф(х,Е,ц) - плотность распределения потока ионов по Е и ц на глубине х; ф|,.н,-о.ф]х.н,+о ~ односторонние пределы потока с

разных сторон границы слоя.

После дискретизации данной граничной задачи для уравнения переноса по энергии и углам методом конечных элементов получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которой могут резко изменяться на границах слоев. Как показали тестовые расчеты с использованием точных решений системы ОДУ для небольшого числа групп по энергии и углам, применение используемого в случае однородной мишени метода численного решения уравнений системы в данной ситуации приводит к существенному накоплению погрешности. Поэтому при расчетах использовалась либо специальная сетка (по переменной х) со сгущением на границах слоев, либо метод численного решения, более подходящий для этой ситуации.

В диссертационной работе рассматривается также процесс ионной имплантации при высоких флюенсах ионов (1017-1019ион/см2), необходимых, например, в таких технологиях, как БШОХ. При моделировании данного процесса учитывались дополнительные факторы: распыление и "распухание'1 мишени, изменение рассеивающих и тормозящих свойств мишени и диффузия во время имплантации. В связи с этим в качестве математической модели использовалась следующая система уравнений:

= N • Ц,(Ф) + КТ1ДФ) + Л[(КА(Е) + N -^(ЕИ,

Е, I

8N=d_ dt дх.

G(x,t)N + D(x,t)

ах

-H-W(x.t)

с граничными условиями - = — + I-W|,:o , N|t-0=0 ,

Ф

x-0'

u>0

:S(E-E0)5(n-1), Ф

= 0.

Здесь N и NT - атомные плотности внедренной примеси и мишени соответственно, Isl, Ist' - операторы рассеяния на атомах мишени и атомах внедренной примеси соответственно, G(x,t) - локальная скорость перемещения примеси, вызванного процессами распыления и распухания, D(x,t) - коэффициент диффузии, I -

интенсивность входящего потока ионов.

Для данной модели сечение рассеяния зависит от концентрации внедренной примеси в текущий момент времени, поэтому входящее в систему уравнение переноса является нелинейным. Тем не менее, можно разбить весь интервал времени набора необходимой дозы на достаточно крупные шаги и на каждом решать стационарное линейное уравнение переноса с соответствующим сечением рассеяния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено исследование математической модели ионной имплантации в плоско-параллельной геометрии; доказано существование, единственность, устойчивость по начальным данным решения соответствующей граничной задачи для уравнения переноса. При доказательстве использовались методы, предложенные в работе Гермогеновой Т.А.6, а также специальные свойства уравнения переноса заряженных частиц [5, 6].

Разработаны алгоритмы численного решения уравнения переноса с сильно анизотропным сечением рассеяния. Для случая высокоэнергетической ионной имплантации построена специальная версия алгоритма, основанная на уравнении переноса без учета углового рассеяния. При построении алгоритмов применялась дискретизация исходной задачи по энергии и углам методом конечных элементов. Для получаемой при этом дискретной модели ионной имплантации выполняются законы сохранения числа частиц и энергии, которые имеют важное значение при использовании процедуры укрупнения сетки по энергетической переменной, повышающей эффективность алгоритмов численного решения [7, 8].

С помощью разработанных алгоритмов проведены расчеты по моделированию ионной имплантации в широком диапазоне энергий и комбинаций ион-мишень, в том числе для многослойных мишеней. Результаты моделирования соответствуют экспериментальным данным, а также близки к результатам

* Гермогеноаа Т.А. Локальные свойства решения уравнения переноса - М.: Наука, 1986

статистического моделирования, но требуют на порядок меньше машинного времени. Результаты расчетов с использованием модели высокодозовой ионной имплантации, включающей уравнение диффузии и нелинейное уравнение переноса, качественно соответствуют данным эксперимента. Построенный алгоритм моделирования имплантации при высоких дозах с решением уравнения переноса на каждом крупном шаге по времени является вполне эффективным при наличии адекватной информации о коэффициентах соответствующих уравнений [1,3,

9].

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Белько В.И., Бойко Е.Б., Буренков А.Ф., Мозолевский И.Е. Угловое и энергетическое распределение потока ионов в мишени при ионной имплантации // Поверхность. - 1992. -N 10-11. - С. 8994.

2. Белько В.И., Мозолевский И.Е. Моделирование высокоэнергетической ионной имплантации на основе численного решения уравнения Больцмана // Поверхность. - 1994. - N 4. -С. 40-48.

3. Belko V.l., Mozolevsky I.E. High-energy ion implantation simulation based on numerical solution of the Boltzmann transport equation //Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Research. - 1995. - Vol. 95B. - P. 17-24.

4. Белько В.И., Комаров Ф.Ф., Мозолевский И.Е. Моделирование ионной имплантации в многослойные мишени // Микроэлектроника.- 1998.-Т. 27, N2. С.120-124.

5. Белько В.И., Мозолевский И.Е. Моделирование ионной имплантации на основе уравнения переноса в плоско-параллельной геометрии // Математическое моделирование и вычисли 1«льная математика: Тез. докл. науч. конф. - Гродно, 1990. - С. 68.

6. Белько В.И., Мозолевский И.Е. Моделирование ионной имплантации в плоско-параллельной геометрии с помощью уравнения Больцмана Н Актуальные проблемы информатики: Тез. докл. науч. конф. - Минск, 1990. - С. 196.

7. Белько В.И., Комаров Ф.Ф., Мозолевский И.Е. Угловое и

энергетическое распределение потока ионов в мишени при ионной имплантации. // XXII совещание по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами: Тез. докл. - Москва, 1992 -С.69.

8. Белько В.И., Мозолевский И.Е. Моделирование высокоэнергетической ионной имплантации в многокомпонентные мишени // Компьютерный анализ данных и моделирование: Тез. докл. науч. конф. - Минск, 1992. - С. 74.

9. Белько В.И., Мозолевский И.Е. Математическое моделирование ионной имплантации в многослойные мишени // Автоматизация проектирования дискретных систем: Тез. докл. науч. конф. -Минск, 1995.-С. 98.

РЭЗЮМЭ

Бялько ЕИктар 1ванав1ч

Матэматычнае мадэл1раванне ¡оннай ¡мплантацьи на аснове л1кавага рашэння ураунення пераноса.

Ключавыя словы: ¡онная ¡мплантацыя, плоска-паралельная геаметрыя, прамое урауненне пераноса, грашчная задача, метад канечных элементау, законы захоування.

Аб'ектам даследавання у .дысертацыйнай рабоце з'яулялася матэматычная мадэль працэса ¡оннай ¡мплантацьи у плоска-паралельнай геаметрьп, а таксама метады л1кавага рашэння адпаведнай грашчнай задачы для ураунення пераноса (лшеарызаванага ураунення Больцмана).

Мэта работы заключалася у доказе вырашальнасщ дадзенай грашчнай задачы, у пабудаванш эфектыуных алгарытмау яе рашэння 1 у ажыццяулешп мадэл1равання працэса ¡мплантацьи у важных для практык1 выпадках.

У дысертацыйнай рабоце даказана ¡снаванне, адзшасць, неадмоунасць ¡ устойл1васць па уваходных данных рашэння гран1чнай задачы для ураунення пераноса з моцна ашзатропным сячэннем рассейвання. Пабудаваны алгарытмы лжавага рашэння дадзенай задачы на аснове метада канечных элементау па энергн I вуглах. Для рашэння праблемы ул1ку сутыкненняу з малой

пераданай энерпяй у рамках дадзеиага падыхода выкарыстана працэдура узбуйнення сетш па энерги, для аптымпацьи якой прымянял!ся дыскрэтныя аналап законау захоузашш. Пры дапамозе пабудаваиых алгарытмау праведзена мадэл1раванне' ¡мплантацьн у выпадку выссшх энергш ! мнагаслойных мшэняу. Вынпп разлжау адпавядаюць эксперыментальным данным, а таксама бл1зшя да вышкау статыстычнага мадшнравання, але патрабуюць на парадак меньш машыннага час" Распрацавана мадэль васокадознай ¡мплантацьн з рашэннем уравнения пераноса на кожным буйным кроку па часу, найбспьш поуна ул^чваючая уплыу змянення расейваючых уласщвасцей мшэш на форму профшя у ходзе ¡мплантацьн.

РЕЗЮМЕ

Белько Виктор Иванович

Математическое моделирование ионной имплантации на основе численного решения уравнения переноса.

Ключевые слова: ионная имплантация, плоско-параллельная геометрия, прямое уравнение переноса, граничная задача, метод конечных элементов, законы сохранения.

Объектом исследования в диссертационной работе являлась математическая модель ионной имплантации в плоскопараллельной геометрии, а также методы численного решения соответствующей граничной задачи для уравнения переноса (линеаризованного уравнения Больцмана). Цель работы заключалась в доказательстве разрешимости данной граничной задачи, в построении эффективных алгоритмов ее решения и в проведении моделирования процесса имплантации в важных для практики ситуациях.

В диссертационной работе доказано существование, единственность, неотрицательность и устойчивость по входным данным решения граничной задачи для уравнения переноса с сильно анизотропным сечением рассеивания. Построены алгоритмы численного решения данной задачи на основе метода конечных элементов по энергии и углам. Для решения проблемы

учета столкновений с малой переданной энергией в рамках данного подхода использована процедура укрупнения сетки по энергетической переменной, для оптимизации которой применялись дискретные аналоги законов сохранения. С помощью построенных алгоритмов проведено моделирование ионной имплантации в случае высоких энергий и многослойных мишеней. Результаты расчетов соответствуют экспериментальным данным, а также близки к результатам статистического моделирования, но требуют на порядок меньше машинного времени. Разработана модель высокодозовой имплантации с решением уравнения переноса на каждом крупном шаге по времени, наиболее полно учитывающая влияние изменения рассеивающих свойств мишени на форму профиля примеси в ходе имплантации.

SUMMARY

Belko Viktor Ivanovich

Mathematical simulation of ion implantation based on a numerical solution of the transport equation

Key words: ion implantation, plane-parallel geometry, straight transport equation, boundary value problem, finite element method, conservation laws.

A mathematical model of the ion implantation process in the plane-parallel geometry, numerical solution methods of the corresponding boundary value problem for the transport equation (linearized Boltzmann equation) were investigated in the present work. The aims of this^work were a proof of solvability for the boundary value problem, effective algorithm construction for solving it and realization of the ion implantation simulation at the important situations.

It was proved that the solution of the boundary value problem for the straight transport equation with a strong anisotropic cross section exists. The solution is unique, nonnegative and stable with respect to the input data. The numerical solving algorithms for the given problem were developed on the base of the finite element method for energy and angular variables. The procedure of energy grid enlarging was used in order to take into account collisions with small energy transfer

effectively. The conservation laws were applied to optimize this procedure. Ion implantation simulation was realized by means of developed algorithms in the case of high implantation energy and multiSayered targets. The calculation results correspond to experimental data, match well with those of statistical simulation and shows that the algorithm saves computational time in comparison with Monte-Carlo approach. The high dose implantation model was developed in which the transport equation is being solving at an every larce time step. The model takes into account adequately the change scaitering properties influence on the shape of impurity profile under implantation.