автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и визуализация процесса деформирования твердых тел методом динамических частиц

4841159

Пшенокова Инна Ауесовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 [.¡АР Ш'\

Нальчик-2011

4841159

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор технических наук, профессор Ошхунов Муаед Музафарович доктор физико-математических наук, профессор Жорник Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН

Защита диссертации состоится 31 марта 2011 г. в УУ на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Таганрогском технологическом институте ЮФУ по адресу:

347928, Ростовская обл., г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук, профессор /^тЩ^'У' А. Н. Целых

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Математическое моделирование для изучения механического поведения материалов с учетом их реальных свойств сохраняет традиционную актуальность, поскольку решение этой проблемы приводит к количественным зависимостям макроскопических характеристик деформирования, прочности и других параметров от внешнего воздействия на конструкцию. Знание этих зависимостей позволяет ответить на вопрос о работоспособности конструкций под действием заданных нагрузок, а также оптимизировать процесс их проектирования.

Методы моделирования физико-механических свойств материалов можно разделить на две основные группы [А. А. Ильюшин, 1971; Р. Хокни, Дж. Иствуд, 1987; А. М. Кривцов, Н. В. Кривцова, 2002]. В первой материал считается континуумом и описывается методами механики сплошных сред. При втором подходе описываемый материал представляется набором дискретных элементов или частиц. Такой подход реализуется в рамках метода молекулярной динамики [В. Alder, 1957]. В настоящее время молекулярно-динамические модели используются в основном для расчета частиц на молекулярном уровне [N. Askroft, 1976; В. С. Знаменский, П. Ф. Зильберман, 2000]. Для анализа поведения макроскопических свойств среды целесообразно использовать метод динамических частиц, который широко использовался в различных областях химии и физики, но относительно мало - для моделирования процесса деформирования твердых тел [А. М. Кривцов, 2002]. Разработка общих методов расчета напряженно-деформируемого состояния конструкций с различными физико-механическими свойствами при малых и больших деформациях, с учетом статических и динамических нагрузок, является весьма важной и востребованной практикой задачей [М. М. Ошхунов, 3. В. Нагоев, 2006].

В настоящее время значительный рост производительности вычислительной техники, развитие методов и средств параллельных вычислений позволяют проводить расчет динамики систем, состоящих из большого количества частиц, в режиме реального времени. Это придает новый импульс развитию систем виртуальной реальности, твердотельного моделирования, автоматизированного проектирования на основе дискретно-динамических моделей сплошных сред. По этим причинам поставленная в диссертации задача является актуальной.

Методика исследования. Деформирование твердых тел в работе исследуется методом динамических частиц, который состоит в разбиении сплошной среды на взаимодействующие макрочастицы, описываемые классическими уравнениями движения. При исследовании процесса деформирования уравнения движения частиц решаются численно. В качестве основного алгоритмического языка выбран язык Visual С++.

Цель работы в области:

- математического моделирования - состоит в разработке и исследовании математической модели деформирования сплошной среды на основе метода динамических частиц;

- численных методов - состоит в разработке численного метода решения уравнений динамики частиц на основе последовательно-параллельной архитектуры;

- комплексов программ - состоит в разработке комплекса программ, определяющего деформированное состояние системы частиц в любой момент времени.

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

В области математического моделирования:

1) разработка математической модели деформирования твердых тел методом динамических частиц, учитывающей реальные физико-механические свойства сплошной среды;

2) определение связи физико-механических характеристик классической теории упругости (модуль Юнга, коэффициент Пуассона) с параметрами взаимодействия между частицами;

3) выбор потенциала взаимодействия между частицами, когда свойства среды отклоняются от закона Гука.

В области численных методов:

4) разработка численных методов решения больших систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение частиц, на основе последовательно-параллельных вычислительных архитектур;

5) анализ и сравнение результатов численного решения задач по методу динамических частиц с некоторыми точными решениями классических задач теории упругости.

В области комплексов программ:

6) разработка в рамках математической модели комплекса программ численного моделирования и визуализации процесса деформирования конструкций под действием внешних воздействий в любой момент времени.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

1. Разработана математическая модель деформирования сплошной среды с использованием идеи взаимодействующих дискретных частиц, позволяющая подойти к решению многих проблем механики деформируемого твердого тела с единых позиций.

2. Разработан численный метод решения систем уравнений динамики частиц на основе последовательно-параллельной архитектуры на базе аппаратного нейроускорителя, что позволяет снизить время выполнения основных алгоритмов и увеличить количество частиц, рассматриваемых в системе.

3. Разработан программный комплекс для моделирования процесса деформирования сплошной среды, позволяющий рассчитать и визуализировать напряженно-деформированное состояние конструкции под действием внешних нагрузок.

4. Разработан метод нейросетевого подбора закона взаимодействия между частицами, учитывающего упругие и неупругие свойства твердых тел.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенная математическая модель расчета на прочность конструкций включает, как частный случай, некоторые модели классической теории упругости. Разработанный комплекс программ позволяет рассчитатьи визуализировать напряженно-деформированное состояние конструкций под действием внешних нагрузок, который может найти практическое применение при проектировании и оценке на прочность изделий.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод моделирования процесса деформирования сплошной среды, основанный на ее представлении в виде ансамбля взаимодействующих частиц.

2. Численный метод решения уравнений динамики частиц на основе последовательно-параллельной архитектуры на базе аппаратного ней-роускорителя.

3. Комплекс программ, определяющий напряженно-деформированное состояние системы частиц и визуализирующий процесс деформирования конструкций в любой момент времени.

Апробация и внедрение. Результаты исследований обсуждались на II Всероссийской конференции "Проблемы информатизации регионального управления", посвященной 10-летию ИИПРУ КБНЦ РАН (Нальчик, июнь 2006 г.), конференции молодых ученых (Владикавказ, сентябрь 2006 г.), II Международной конференции "Моделирование устойчивого регионального развития" (Нальчик, май 2007 г.), III Международной научно-технической конференции «Наука, техника и технология XXI века» (Нальчик, октябрь 2007 г.), Всероссийской конференции (с международным участием) «Проблемы информатизации общества», посвященной 15-летию КБНЦ РАН (Нальчик, октябрь 2008 г.), Международной научной конференции «Автоматизация управления и интеллектуальные системы и среды» (Терскол, декабрь 2010 г.).

Программный комплекс внедрен в научно-исследовательскую работу отдела «Мультиагентные системы» Института информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН для решения задачи создания моделей твердых тел в виртуальных физически корректных средах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка из 128 наименований, содержит 124 страницы текста, в том числе 33 рисунка.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 статей, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, определены цели и задачи исследования, раскрываются научная новизна и практическая ценность исследований, сформулированы положения, выносимые на защиту, описана ее структура, приведены основные результаты.

В первой главе дается краткий обзор методов частиц. В монографии английских ученых [Р. Хокни, Д. Иствуд, 1987] с помощью метода частиц решаются нескольких задач физики плазмы, астрофизики, физики полупроводников, твердого тела.

Одним из хорошо разработанных вариантов метода частиц является метод молекулярной динамики [Б. Алдер, 1957]. В его основе лежит получение физической модели многочастичной системы на компьютере. Динамика взаимодействующих частиц системы в этом методе описывается классическими механическими уравнениями движения Ньютона

тг1 =Р1, (1)

иначе говоря, этот метод позволяет вычислять характеристики системы путем интегрирования уравнений движения для каждой частицы. Суть его состоит в численном решении уравнения движений (1) в некотором выделенном объеме среды.

Отметим, что для моделирования нелинейных процессов в сплошных средах применяется также семейство методов, в которых частицы используются для численного интегрирования континуальных уравнений динамики сплошной среды, что отличает их от метода частиц. Они известны как метод частиц в ячейках М. Эванса и Ф. Харлоу, метод крупных частиц О. М. Белоцерковского и Ю. М. Давыдова и другие. В перечисленных методах, в отличие от предлагаемого в настоящей диссертации подхода, за основу берутся континуальные уравнения сплошной среды, а частицы играют роль дискретных элементов, позволяющих свести уравнения в частных производных к разностной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. По своей сути эти методы являются континуальными, дискретность в них является чисто вычислительной методикой.

Метод частиц отличается от перечисленных тем, что в нем за основу берутся уравнения движения частиц (обыкновенные дифференциальные уравнения), определяемые балансом количества движения и потенциалом взаимодействия между частицами, то есть данный метод в своей основе является дискретным.

В качестве примера применения и развития метода частиц для аналитического и компьютерного моделирования механических процессов в твердых телах можно привести исследования лаборатории «Дискретные модели механики» Института проблем машиноведения РАН (А. Н. Кривцов, П. А. Жилин, Е. А. Иванова и др.). В работах данной лаборатории взаимодействие частиц

описывается посредством полуэмпирических потенциалов взаимодействия, в которых безразмерные параметры подбираются аналитически или проведением тестовых компьютерных экспериментов, повторяющих известные натурные эксперименты. Однако известно, что полуэмпирические потенциалы не обладают полнотой описания, т.е. не позволяют одновременно рассчитывать различные свойства твердых тел с одним и тем же потенциалом [ОтГа1со Ь.А., \VeizerV.G., 1959].

Во второй главе дается анализ основных допущений классической модели теории упругости, и в рамках этой модели формулируются граничные задачи в перемещениях. Известно, что выводы линейной теории упругости справедливы для однородного и изотропного тела, у которого между компонентами деформации и компонентами напряжений существует наиболее простая линейная связь (обобщенный закон Гука), а сами деформации предполагаются малыми, т.е. такими, когда компоненты деформации (относительные удлинения, относительные сдвиги) пренебрежимо малы по сравнению с единицей.

Если же указанные предпосылки не выполняются, приходится использовать другую математическую модель, которая получила название «нелинейная теория упругости». Последняя, в свою очередь, разделяется на: а) физически нелинейную теорию упругости (связь между напряжениями и деформациями нелинейна, т.е нарушается закон Гука даже при малых деформациях); б) линейную в физическом смысле, но нелинейную в геометрическом (в случае конечных больших деформаций в идеально упругом теле) и в) нелинейную и в физическом, и в геометрическом отношениях (общий случай). При этом имеют место большие деформации конструкций под действием внешних нагрузок.

В работе анализируются постановки основных граничных задач физически и геометрически нелинейной теории упругости и в заключение главы приводится обзор некоторых наиболее известных вариационных методов решения задач теории упругости, имеющих непосредственное отношение к диссертационной работе.

Третья глава посвящена разработке математической модели процесса деформирования твердых тел методом динамических частиц и численному решению уравнений, описывающих взаимодействие частиц.

Математическая модель. Основы метода динамических частиц. Метод основан на дискретизации сплошной среды на частицы, взаимодействующие между собой по заданному закону и подчиняющиеся второму закону Ньютона с учетом эффекта затухания, пропорционального скорости движения частиц. При таком подходе статические задачи классической теории упругости получаются как частный случай систем динамических уравнений, когда перемещения частиц не зависят от времени.

Предлагаемый подход основан на следующих постулатах:

1. Масса сплошной среды распределяется по дискретным точкам. Если, например, двумерная среда разбивается на треугольники, то общая масса, занимаемая треугольным элементом, сосредоточивается по трем его вершинам. На рисунке I даются варианты замены двумерной сплошной среды (плоские задачи теории упругости) системой материальных частиц.

Рис. 1. Варианты замены сплошной среды системой взаимодействующих материальных частиц

Заметим, что двумерную сплошную среду можно заполнить также треугольными элементами различного вида, как показано на рисунке 2.

Рис. 2. Варианты замены сплошной среды взаимодействующими частицами треугольной формы

В пространственном случае можно использовать кубы или тетраэдры с различными локализациями масс, как показано на рисунке 3.

О^млМЭ ©-Л'/Л^р 0

iяmifi

иД^

<У'

Рис.3. Варианты пространственной дискретизации

Возможны и другие варианты дискретизации сплошной среды взаимодействующими точками.

2. Распределенные массы взаимодействуют только с соседними элементами по заданному закону. На рисунке 4 сила взаимодействия между частицами условно показана в виде пружин, которые сопротивляются растяжению или сжатию. Предполагается, что сила взаимодействия между двумя частицами пропорциональна относительному изменению расстояния между ними, то есть фактически деформации пружин.

Рис. 4. Схема силовой связи между дискретными частицами: точка 1 взаимодействует только с точками 2, 3, 4, 5, 6, 7.

3. Динамика каждой частицы массы т описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка вида

miiI + ай1 + ДД«у = а> 0> /?>0. (2)

j

Здесь т - масса частицы, а - коэффициент затухания, р - характеристика жесткости взаимодействия между частицами, Аиу =|и, -uj| - относительное изменение расстояний между соседними частицами, вместо слагаемого

^Р/ДНу уравнение (2) может содержать произвольный закон вида / = /(«), j

F(t) - внешняя сила, действующая на частицу с номером ;', й , iii - скорость и ускорение частиц соответственно. Так как и. = Uj(x,y,z,t) - трехмерный вектор, то для каждой частицы i согласно (2) необходимо решить систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями вида

«¡(0)=ы1°,м1-(0)=м'_ о)

Если число частиц равно п, то для трехмерных задач решается система 6п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Система (2), (3) решается численно.

Определение аналогов модуля Юнга и коэффициента Пуассона в методе динамических частиц. С целыо исследования применимости модели динамических частиц для решения задач теории упругости рассматривается вопрос интерпретации модуля Юнга и коэффициента Пуассона, которые играют ключевую роль в математической модели классической теории упругости. В теории упругости модуль Юнга определяют как коэффициент жесткости между напряжением (силой, приходящейся на единицу площади) и деформацией (относительным удлинением) (рис. 5).

1 | а ..V

/ Л/

Рис. 5. Растяжеиие образца: а = - растягивающая сила, 5 - сечение (после растяжения), с = Д/// - деформация образца

Таким образом,

а = Е ■ £

(4)

В соответствии с вышеизложенным аналогом модуля Юнга в двумерных задачах теории упругости, когда дискретизация среды осуществляется по одной из прямоугольных схем, может служить жесткость взаимодействия материальных частиц.

А:0*ЛЛЛЛР

МЭЬлллмО

чЛЛЛ

'Чг # Г " "л,'

Рис. 6. Геометрическая иллюстрация деформации системы взаимодействующих дискретных частиц при растяжении

Как следует из рисунка 6, образец при растяжении несколько сокращается в поперечном направлении из-за растяжения диагональных пружин. Кроме того, точки закрепления АВ свободно перемещаются по вертикальной оси. Итак, в рассматриваемой модели

а =^/5, £ =Д///,а = Е-е.

(5)

Здесь Е - суммарный модуль Юнга с учетом всех растягиваемых пружин. Нетрудно получить значение модуля Юнга Е в случае небольших деформаций для квадратной решетки. На рисунке 7 показана деформация решетки квадратной формы длины / = 1.

у

0,5

0,5

1

А у

X

■/=72

Е11 ~ехх ~

е22 ~ъуу

Ах

Т'

2 Ау 1 '

Лг

Рис. 7. Схематическое изображение деформации квадратного элемента единичной длины

Если жесткость пружины в направлении Ох равна к,, а жесткость диагональных пружин - к2, получим

По определению коэффициента Пуассона или коэффициента поперечного сокращения можно записать (для абсолютных значений деформаций)

е22 =Щ1.

Тогда из формул (6), (7) окончательно молено получить

£[ 1 =Ее = а.

(7)

(8)

Таким образом, суммарный модуль Юнга определяется коэффициентами продольной жесткости пружин в направлении Ох А, и диагональной жесткостью к2 по формуле

Е = 2

(9)

В случае, если к\ ~ к2 = к, модуль Юнга в рассматриваемой модели принимает вид

Е = 2к

1 +

(10)

Полученные формулы позволяют вычислить также аналог коэффициента Пуассона. Очевидно, диагональные пружины сжимают упругие ребра квадрата в направлении Оу (рис. 7). Легко получить:

2к2с0*45°\^-^\ = кз£22.

Учитывая формулу (7), можно записать:

V = -

к2 С0545 к3 +к2 соз45°

2 ¿з л/2 к2

(П)

(12)

+ 1

В формулах (11), (12) к2 - коэффициент упругости диагональной пружины, А', - коэффициент сжатия пружин в направлении Оу. Из формулы (12) следует, что в случае ку = к2 имеем V я 0.4, что соответствует коэффициенту Пуассона для большого класса материалов.

Из формулы (12) получается достаточно интересный результат. Если к2/к2~ 1.5, то V ~ 0.3. Этот коэффициент поперечного сокращения, как показывают эксперименты, наиболее часто встречается среди естественных и искус-

ственных материалов (например, для большинства сортов стали V = 0.3 ). Аналогично в работе рассчитываются жесткостные характеристики для прямоугольной решетки и для пространственного элемента в форме параллелепипеда.

Моделирование потенциала взаимодействия между частицами в методе динамических частиц. При построении дискретной модели возникает вопрос: как описать (или аппроксимировать) взаимодействие между частицами, которое может быть представлено в соответствующей функциональной форме. Потенциал взаимодействия осуществляет связь модели с конкретной моделируемой системой. Поэтому необходимо заложить такой потенциал взаимодействия между макрочастицами в методе динамических частиц, чтобы в частных случаях можно было получить известные законы деформирования сплошной среды типа закона Гука, а в общем случае эти потенциалы (и как следствие силы взаимодействия между частицами) могли соответствовать известным физически нелинейным определяющим законам механики деформируемого твердого тела [А. А. Ильюшин, 1971].

Численные эксперименты по решению задач теории упругости методом динамических частиц показали, что применение потенциала парного взаимодействия между частицами в силу быстрого накопления вычислительной погрешности численного метода и ошибок округления приводит к расходимости решения системы. В связи с этим для нахождения вида потенциала взаимодей-I ствия между частицами, компенсирующего влияние погрешностей и ошибок,

разработан метод, использующий самообучающуюся нейронную сеть с адаптивным нейросетевым критиком. Общая схема подключения критика и его предлагаемый вид даны на рисунке 8.

У, СО

? ©

Рис.8. Схема подключения адаптивного критика

Здесь СО - объект управления, Я - рецептор. Нижние индексы при входе задают номера нейронных сетей, верхние - номера проходов.

Входом нейронной сети являются начальные значения скоростей, перемещений и конечные значения, полученные экспериментально или с помощью аналитического решения для классических задач. На выходе должны получить множество коэффициентов жесткостей между двумя частицами /(«)■ С учетом

начального вида графика, определяемого исходя из соображений качественного характера об особенностях деформирования твердых тел, после проведения ряда экспериментов с помощью нейронной сети получен следующий вид закона взаимодействия между частицами.

Рис. 9. Схематический вид графика зависимости результирующей силы взаимодействия между частицами от расстояния между ними

Численный метод решения уравнений дннамики частиц на основе последовательно-параллельной архитектуры. Система дифференциальных уравнений (2), (3) решается одним из вариантов метода Рунге-Кутта четвертого порядка, порядок временной сложности которого для системы из п частиц -о(!2), что неприемлемо для решения практически важных задач, так как они требуют значительных вычислительных ресурсов. При увеличении числа объектов, рассматриваемых в системе, рост ресурсоемкое™ приводит к невозможности реализации поставленной задачи даже на самых современных вычислительных системах с последовательной архитектурой.

Одним из естественных способов решения этой проблемы является разработка последовательно-параллельных архитектур систем виртуальной реальности на базе аппаратных нейроускорителей, которые позволяют осуществлять параллельную обработку элементов графа сцены.

Рассмотрим следующую методику построения нейронных сетей для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на основе численного решения методом Рунге-Кутта [А.И.Галушкин, 2002]:

- исходя из заданной точности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений определить интервал дискретизации и порядок метода Рунге-Кутта;

- перейти от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к эквивалентной системе конечно-разностных уравнений;

- сопоставить каждому нейроподобному элементу в сети одно конечно-разностное уравнение системы;

- реализовать взвешенное суммирование на каждом нейроподобном элементе;

- начальным состоянием нейроподобного элемента должно быть начальное состояние соответствующего конечно-разностного уравнения системы.

Нейронная сеть должна быть синхронной с шагом синхронизации, равным интервалу дискретизации.

Решение системы (2), (3) в нейросетевом базисе позволило снизить время Выполнения основных алгоритмов с квадратичного до линейного, обеспечивая, таким образом, увеличение количества частиц, рассматриваемых в системе.

В четвертой главе приводится программный комплекс на языке Visual С++, обеспечивающий моделирование изложенного выше метода, с удобным интерфейсом ввода и визуализацией, базирующейся на системе OpenGL, а также результаты численных экспериментов по решению задач теории упругости методом динамических частиц. В частности, проводится сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния упругих конструкций метода конечных элементов и динамических частиц, приведены результаты моделирования деформации упругой балки при различных условиях защемления, а также прямоугольного бруса под действием гравитационной силы.

В рамках метода динамических частиц проводилось имитационное моделирование процесса деформирования упругой балки путем пошагового решения системы (2) методом Рунге-Кутта. Исследовалась задача о прогибе балки в условиях свободного и жесткого опирания (рис. 10).

Рис. 10. Схема прогиба балки с защемленными и свободно опертыми краями

Качественный анализ максимального прогиба показал, что в случае жесткого защемления он существенно меньше (приблизительно в 4-5 раз), чем в случае свободного опирания, что соответствует реальным свойствам материалов и известному аналитическому решению этой задачи.

В главе 4 в рамках метода осуществлялась проверка справедливости принципа Сен-Венана. Расчеты показали, что локальное изменение граничных условий, например, закрепление только единственной частицы или закрепление одного

слоя частиц в верхнем торце призматического бруса не отражается существенно на перемещении точек вдали от верхней плоскости (рис. 11).

Рис. 11. Два варианта закрепления торца упругой призматической балки: (а) - закреплены все точки верхнего торца, (б) - закреплена единственная центральная точка

Таким образом, предлагаемый алгоритм для описания процесса деформирования свойств сплошной среды представляется перспективным в виду возможности использования единого подхода к решению проблем механики деформируемого твердого тела - определению напряжений и деформаций под действием заданных нагрузок в любой момент времени.

Основные результаты работы

Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для механики деформируемого твердого тела, например, при расчете напряженно-деформированного состояния реальных конструкций под действием произвольных динамических нагрузок, для визуализации процесса деформирования изделий, а также для оценки прочности конструкций при проектировании.

Наиболее существенные научные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработана математическая модель процесса деформирования сплошной среды методом динамических частиц, которая позволяет с единых позиций подойти к решению многих проблем механики деформируемого твердого тела.

2. Разработан численный метод решения больших систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе последовательно-параллельных архитектур (нейроускоритель), позволяющий снизить время выполнения основных алгоритмов и существенно увеличить количество частиц, рассматриваемых в системе.

3. Разработан комплекс программ, моделирующий и визуализирующий процесс деформирования сплошной среды в любой момент времени.

По теме диссертации автором опубликованы следующие работы Статьи в журналах, рекомендованных ВАК России:

1. Мамиева И. А. Численное решение динамических уравнений на базе нейроускорителя и нейросетевой подбор потенциала парных взаимодействий в системе виртуальной реальности // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2011. № 1. С. 26-31.

2. Мамиева И. А., Нагоев 3. В. Моделирование деформации прямоугольного бруса под действием гравитационной силы методом динамических частиц // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2010. № 1. С. 45-48.

3. Ошхупов М. М., Нагоев 3. В., Мамиева И. А., Елеева Р. Д., Боташев Т. М. Моделирование некоторых задач теплопроводности на основе дискретизации сплошной среды с помощью метода динамических частиц // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2010. №2. С. 50-53.

Статьи и другие публикации:

4. Ошхупов М. М., Нагоев 3. В., Мамиева И. А. Молекулярно- динамическое моделирование задачи об изгибе упругой балки при различных условиях защемления на краях // Материалы второй всероссийской конференции "Проблемы информатизации регионального управления". Нальчик, 2006. С.141-145.

5. Ошхупов М.М., Нагоев 3.В., Елеева Р.Д., Мамиева И.А., Боташев Т.М. Сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния упругих изделий методом конечных элементов и динамических частиц. // Материалы второй международной конференции "Моделирование устойчивого регионального развития". Т. З.Нальчик, 2007. С. 215-217.

6. Ошхупов М.М., Нагоев З.В., Мамиева И.А., Боташев Т.М., Елеева Р.Д. Моделирование теплопроводности в деформируемых средах методом динамических частиц // Материалы второй международной конференции "Моделирование устойчивого регионального развития". Т. 2. Нальчик, 2007. С. 217-218.

7. ОшхуповМ.М., Мамиева И.А., Боташев Т.М., Елеева Р.Д. Моделирование нелокальных граничных условий в задачах теплопередачи методом динамических частиц // Материалы второй международной конференции "Моделирование устойчивого регионального развития". Т. 3. Нальчик, 2007. С. 217-220.

8. Ошхупов М.М., Боташев Т.М., Елеева Р.Д., Мамиева И.А. Численное решение уравнений метода динамических частиц // Материалы третей международной научно-технической конференции «Наука, техника и технология XXI века». Т. II. Нальчик, 2007. С.41-45.

9. Ошхунов М.М., Нагоев З.В., Мамаева И.А. НеГфосетевое решение динамических уравнений в системе виртуальной реальности // Материалы третей международной научно-технической конференции «Наука, техника и технология XXI века». Т. II. Нальчик, 2007. С. 52-54.

10. Мамиева И.А., Елеева Р.Д., Боташев Т.М. Методы определения аналогов модуля Юнга и коэффициента Пуассона в методе динамических частиц. // Материалы третей международной научно-технической конференции «Наука, техника и технология XXI века». Т. II. Нальчик, 2007. С. 58-63.

11. Елеева Р.Д., Мамиева ¡i.A., Боташев Т.М. Моделирование и численный анализ распространения тепла в стержне методом динамических частиц // Материалы Всероссийской конференции (с международным участием) «Проблемы информатизации общества». Нальчик, 2008. С. 45-47.

12. ОшхуновМ.М., Мамиева И.А., Елеева Р.Д., Боташев Т.М. Классические и дискретные подходы при моделировании процесса движения тепловой фазовой границы // Материалы Всероссийской конференции (с международным участием) «Проблемы информатизации общества». Нальчик, 2008. С. 47-51.

13. Мамиева И.А., Елеева Р.Д. Расчет жесткостных характеристик пространственного элемента в форме параллелепипеда методом динамических частиц // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2009. № 1. С. 116-120.

14. Ошхунов М.М., Нагоев З.В., Мамиева И.А. Нейросетевой подбор потенциала парных взаимодействий и численное решение уравнений динамики частиц в параллельной архитектуре нейроускорителя в системе виртуальной реальности // Материалы первой международной конференции «Автоматизация управления и интеллектуальные системы и среды». Т. II. Терскол, 2010. С. 109-114.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично автору принадлежат следующие результаты: в [2, 4, 5] - математическое моделирование процесса деформирования упругой балки при изгибе и действии гравитационных сил методом динамических частиц, а также сравнительный анализ напряженно-деформируемого состояния изделий методом конечных элементов и методом динамических частиц; в [3,6, 7, 11, 12]- визуализация результатов численного расчета распространения тепла в стержне в различные моменты времени; в [8, 9, 14] - определение коэффициентов метода Рунге-Кутта для разработки последовательно-параллельных архитектур систем виртуальной реальности на базе аппаратных нейроускорителей; в [ 10,13] - формулы, позволяющие оценить основные физические характеристики сплошной деформируемой среды через параметры модели динамических частиц.

Формат 60x847,6. Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 42

Отпечатано ООО «Тетраграф» 360000, КБР, г. Нальчик, пр. Ленина, 33

Введение.

Глава 1. Обзор методов частиц.

1.1. Основы метода молекулярной динамики.

1.2. Моделирование межатомных потенциалов взаимодействия.

1.3. Обзор дискретных методов описания физико-механических свойств деформируемых твердых сред.

Глава 2. Основные уравнения и допущения классической модели теории упругости.

2.1. Краткий обзор развития моделей теории упругости.

2.2. Математическая модель упругости при малых деформациях

2.3. Постановка основных граничных задач классической теории упругости.

2.4. Геометрически нелинейные задачи механики деформируемого твердого тела.

2.5. Физически нелинейные задачи механики деформируемого твердого тела.

2.6. Некоторые вариационные методы решения задач теории упругости.

Глава 3. Математическая модель процесса деформирования твердых тел методом динамических частиц и ее численное исследование.

3.1. Математическая модель процесса деформирования твердых тел методом динамических частиц.

3.1.1. Основы метода динамических частиц.

3.1.2. Определение аналогов модуля Юнга и коэффициента Пуассона в методе динамических частиц.

3.1.3. Моделирование потенциала взаимодействия между частицами в методе динамических частиц.

3.2. Численный метод решения уравнений динамики частиц на основе последовательно-параллельной архитектуры.

Глава 4. Комплекс программ численного моделирования и визуализации процесса деформирования конструкций и результаты численных экспериментов по решению некоторых задач теории упругости методом динамических частиц.

4.1. Архитектура программного комплекса.

4.2. Сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния упругих конструкций методами конечных элементов и динамических частиц.

4.3. Моделирование деформации упругой балки при различных условиях защемления в методе динамических частиц.

4.4. Моделирование деформации прямоугольного бруса под действием вертикальной гравитационной силы.

4.5. Моделирование разрушения упругой балки, падающей на опоры, методом динамических частиц.

Актуальность исследования. Математическое моделирование для изучения механического поведения материалов с учетом их реальных свойств сохраняет традиционную актуальность, поскольку решение этой проблемы приводит к количественным зависимостям макроскопических характеристик деформирования, прочности и других параметров от внешнего воздействия на конструкцию. Знание этих зависимостей позволяет ответить на вопрос о работоспособности конструкций под действием заданных нагрузок, а также оптимизировать процесс их проектирования.

Методы моделирования физико-механических свойств материалов можно разделить на две основные группы [32, 86]. В первой материал считается континуумом и описывается методами механики сплошных сред. При втором подходе описываемый материал представляется набором дискретных элементов или частиц. Основным методом описания таких систем является метод молекулярной динамики [97]. Использование метода молекулярной динамики требует переработки большого объема информации, так как необходимо получить удовлетворительную замену сплошной среды системой взаимодействующих частиц. В свою очередь это приводит к необходимости численного решения большой системы дифференциальных уравнений, что стало возможным только с появлением мощных ЭВМ. В настоящее время молекулярно-динамические модели используются в основном для расчета частиц на молекулярном уровне [26, 45].

Для анализа поведения макроскопических свойств среды целесообразно использовать метод динамических частиц, который широко использовался в различных областях химии и физики, но относительно мало - для моделирования процесса деформирования твердых тел [103]. Разработка общих методов расчета напряженно-деформируемого состояния конструкций с различными физико-механическими свойствами при малых и больших деформациях, с учетом статических и динамических нагрузок является весьма важной и востребованной практикой задачей [70].

В настоящее время значительный рост производительности вычислительной техники, развитие методов и средств параллельных вычислений позволяют проводить расчет динамики систем, состоящих из большого количества частиц, в режиме реального времени. Это придает новый импульс развитию систем виртуальной реальности, твердотельного моделирования, автоматизированного проектирования на основе дискретно-динамических моделей сплошных сред. По этим причинам поставленная в диссертации задача является актуальной.

Методика исследования. Деформирование твердых тел в работе исследуется методом динамических частиц, который состоит в разбиении сплошной среды на взаимодействующие макрочастицы, описываемые классическими уравнениями движения. При исследовании процесса деформирования уравнения движения частиц решаются численно. В качестве основного алгоритмического языка выбран язык Visual С++.

Цель работы в области: - математического моделирования - состоит в разработке и исследовании математической модели деформирования сплошной среды на основе метода динамических частиц;

- численных методов - состоит в разработке численного метода решения уравнений динамики частиц на основе последовательно-параллельной архитектуры;

- комплексов программ - состоит в разработке комплекса программ, определяющего деформированное состояние системы частиц в любой момент времени.

Для достижения поставленных целей, необходимо решить следующие задачи:

В области математического моделирования:

1) разработка математической модели деформирования твердых тел методом динамических частиц, учитывающей реальные физико-механические свойства сплошной среды;

2) определение связи физико-механических характеристик классической теории упругости (модуль Юнга, коэффициент Пуассона) с параметрами взаимодействия между частицами;

3) выбор потенциала взаимодействия между частицами, когда свойства среды отклоняются от закона Гука.

В области численных методов:

4) разработка численных методов решения больших систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение частиц, на основе последовательно-параллельных вычислительных архитектур;

5) анализ и сравнение результатов численного решения задач по методу динамических частиц с некоторыми точными решениями классических задач теории упругости.

В области комплексов программ:

6) разработка в рамках математической модели комплекса программ численного моделирования и визуализации процесса деформирования конструкций под действием внешних воздействий в любой момент времени.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

1. Разработана математическая модель деформирования сплошной среды с использованием идеи взаимодействующих дискретных частиц, позволяющая подойти к решению многих проблем механики деформируемого твердого тела с единых позиций.

2. Разработан численный метод решения систем уравнений динамики частиц на основе последовательно-параллельной архитектуры на базе аппаратного нейроускорителя, что позволяет снизить время выполнения основных алгоритмов и увеличить количество частиц, рассматриваемых в системе.

3. Разработан программный комплекс для моделирования процесса деформирования сплошной среды, позволяющий рассчитать и визуализировать напряженно-деформированное состояние конструкции под действием внешних нагрузок.

4. Разработан метод нейросетевого подбора закона взаимодействия между частицами, учитывающего упругие и неупругие свойства твердых тел.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенная математическая модель расчета на прочность конструкций включает, как частный случай, некоторые модели классической теории упругости. Разработанный комплекс программ позволяет рассчитать и визуализировать напряженно-деформированное состояние конструкций под действием внешних нагрузок, который может найти практическое применение при проектировании и оценки на прочность изделий. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод моделирования процесса деформирования сплошной среды, основанный на ее представлении в виде ансамбля взаимодействующих частиц.

2. Численный метод решения уравнений динамики частиц на основе последовательно-параллельной архитектуры на базе аппаратного нейроускорителя.

3. Комплекс программ, определяющий напряженно-деформированное состояние системы частиц и визуализирующий процесс деформирования конструкций в любой момент времени. Апробация и внедрение. Результаты исследований обсуждались на

II Всероссийской конференции "Проблемы информатизации регионального управления", посвященной 10-летию ИИПРУ КБНЦ РАН (Нальчик, июнь 2006 г.), конференции молодых ученных (Владикавказ, сентябрь 2006 г.), II Международной конференции "Моделирование устойчивого регионального развития" (Нальчик, май 2007 г.), III Международной научно-технической конференции «Наука, техника и технология XXI века» (Нальчик, октябрь 2007г.), Всероссийской конференции (с международным участием) «Проблемы информатизации общества», посвященной 15-летию КБНЦ РАН (Нальчик, октябрь 2008), Международной научной конференции «Автоматизация управления и интеллектуальные системы и среды», Терскол, декабрь 2010.

Программный комплекс внедрен в научно-исследовательскую работу отдела «Мультиагентных систем» Института информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН для решения задачи создания моделей твердых тел в виртуальных физически-корректных средах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка из 128 наименований, содержит 147 страницы текста, в том числе 33 рисунка.

Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для механики, например, при расчете напряженно-деформированного состояния реальных конструкций под действием произвольных динамических нагрузок, для визуализации процесса деформирования изделий, а также для оценки на прочность конструкций при проектировании.

Наиболее существенные научные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработана математическая модель процесса деформирования сплошной среды методом динамических частиц, которая позволяет с единых позиций подойти к решению проблем теории упругости.

2. Разработан численный метод решения больших систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе последовательно-параллельных архитектур (нейроускоритель), позволяющий снизить время выполнения основных алгоритмов с квадратичного до линейного и существенно увеличить количество частиц, рассматриваемых в системе.

3. Разработан комплекс программ, моделирующий и визуализирующий процесс деформирования сплошной среды в любой момент времени.

4. На основе анализа эмпирических потенциалов и нейросетевого подбора предложен закон взаимодействия между частицами, учитывающий упругие и неупругие свойства твердых тел.

5. Проведено сравнение результатов численного решения некоторых точных задач классической теории упругости с результатами исследования напряженно-деформируемого состояния, рассчитанного с помощью дискретно-динамической модели сплошной среды.

Заключение

Современная практика конструирования изделий из новых материалов с учетом возможностей больших нагрузок требует разработки новых эффективных методов анализа поведения сложных деформируемых систем. Поведение таких систем не может быть описано в рамках закона Гука и малых деформаций, то есть классической моделью теории упругости. В связи с этим возникает необходимость в разработке общих методов расчета напряженно-деформируемого состояния конструкций с различными физико-механическими свойствами при малых и больших деформациях, с учетом статических и динамических нагрузок.

Рассмотренный в диссертации метод динамических частиц имеет преимущества перед существующими методами моделирования, как по объему вычислений, так и по возможности моделирования механического поведения больших конструкций.

1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1971, -285с.

2. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т.2. М.: Мир, 1979. -422 с.

3. Балабаев Н.К., Лемак A.C., Шайтан К.В.// Молекулярная биол. // Т.ЗО. 1996. С.1348-1356.

4. Белодерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод «крупных частиц» для задач газовой динамики. // Инф.бюл. СО АН СССР «Числ.методы мех.спл.сред», 1970. T.l. — С.27 — 36.

5. Белащенко Д.К. Компьютерное моделирование некристаллических оксидов // Успехи химии, 1997. Т. 66. - № 9. - С. 811-844.

6. Берлин Ал., Балабаев Н.К.Имитация свойств твердых тел и жидкостей методами компьютерного моделирования. // Соросовский образовательный журнал. 1997. -№11.- С.85-92.

7. Билер А. Роль машинных экспериментов в исследовании материалов (переводы). Под ред. Позднеева Д.Б. М.: Мир. 1974. -250 с.

8. Биндер К., Хеерман Д.В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике, -М., Наука, Физматлит, 1995. 186 с.

9. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972.- 184 с.

10. Бриллиантов Н.В., Ревокатов О.П. Молекулярная динамика неупорядоченных сред. МГУ, 1996. - 158 с.

11. Быков Д.Л. Некоторые методы решения нелинейных задач пластичности. // Упругость и неупругость. 1975. № 4. - С.78-82.

12. Валуев A.A., Норманн Г.Э. // ТВТ, 1977. Т. 15. - С. 689.

13. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин В.М. Молекулярно-динамическое исследование столкновения нанокластеров друг с другом и с подложкой // Физическая мезомеханика. 2007. Т. 10. №2. - С.5-13.

14. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин В.М. Расчет термодинамических свойств наноструктур методом молекулярной динамики // Физическая мезомеханика. 2007. — Т.10. №5. С.71-76.

15. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир. 1965г. — 455 с.

16. Дедков Г.В. Межатомные потенциалы взаимодействия в радиационной физике // Успехи физических наук, 1995. Т. 165. № 8. -С. 919-953.

17. Евсеев А.М., Человский A.B. Вестник МГУ. Сер. «Химия». 1971. № 12'.-С. 279-286.

18. Жилин П.А., Вековищева И.А., Тхан Тьи Ань. Свободные поперечные колебания пьезоэлектрической пластинки, защемленной по контуру // Механика и процессы управления: Тр. СПбГТУ. №458. СПб.: Изд-во СПбГТУ. 1995. С. 50 - 56.

19. Жилин П.А., Иванова Е.А. Модифицированный функционал энергии в теории пластин типа Рейсснера // Изв. РАН. МТТ. 1995. №2. - С. 120- 128.

20. Жилин П.А., Кривцов А.М. Компьютерное моделирование сильного неупругого деформирования // Деп.ВИНИТИ. 1997. № 1344-В97. -С.11.

21. Жилин П.А., Сорокин С.А. Динамика гиростата на упругом основании. // Электронный журнал «Дифференциальные уравнения и процессы управления». 1997. №1. http: /www.neva.ru/iournal

22. Жилин П.А., Товстик Т.П. Вращение твердого тела на инерционном стержне //Механика и процессы управления: Тр. СПбГТУ. №458. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1995. С. 78 - 83.

23. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, -1975. .543 с.

24. Зверева H.A., Вальцифер В.А. Расчет вязкости суспензии методом частиц // Аэрокосмическая техника и высокие технологии: Материалы Всероссийской научно-технической конференции. Пермь: ПГТУ, 2002. С. 59.

25. Зверева H.A., Вальцифер В.А. Шварц К.Г., Новикова И.В., Компьютерное моделирование внутренней структуры многофракционных дисперсных систем // Математическое моделирование. 2006. -Т.18, №2. С. 113-119.

26. Иванова Е.А. Точное решение задачи о вращении осесимметричного твердого тела в линейной вязкой среде // Изв. РАН. МТТ. 2001. N 6. — . 15-30.

27. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н. Ф. Особенности расчета изгибной жесткости нанокристаллов // ДАН. 2002. Т. 385, №4, -С.494-496.

28. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. О влиянии моментных взаимодействий на устойчивостькристаллических решеток. Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2003. N 3. С.58 - 64.

29. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. №4. -С. 110-127.

30. Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // ДАН 2003. - Т. 391, N 6, - С.764-768.

31. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1971. - 315 с.

32. Ильюшин A.A. Пластичность. Изд. АН СССР, 1963, - 270 с.

33. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. - 283 с.

34. Инсепов З.А, Норманн Г.Э. ЖЭТФ, 1977. Т. 73. - С. 1515.

35. Каллан Р. Основные концепции нейронных сетей. Пер. с англ. — М.: Издат. Дом «Вильяме». 2001. 234 с.

36. Китель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. - 782 с.

37. Корчагин А.Ю., Тетерин С.А., Воронова Л.И. Применение метода молекулярной динамики для расчета свойств простых систем. // Известия АН СССР. Металлы, 1991, №4, С.104-111.

38. Кривцов A.M. Влияние вращающего момента ограниченной мощности на устойчивость стационарных движений несимметричного волчка // Изв. РАН. МТТ. 2000. N 2. С. 33-43.

39. Кривцов A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2007. - 304 с.

40. Кривцов A.M. Описание движения осесимметричного твёрдого тела в линейно вязкой среде при помощи квазикоординат // Изв. РАН. МТТ. 2000.N4.-С. 23-29.

41. Кривцов А. М. Описание пластических эффектов при молекулярно-динамическом моделировании откольного разрушения. // Физика твердого тела. 2004, Т.46, вып.6. - С. 64-69.

42. Кривцов A.M. Термоупругость одномерной цепочки взаимодействующих частиц. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2003. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. С.231-243.

43. Кривцов А. М., Кривцова Н. В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневосточный математический журнал. 2002. Т. 3, №2, - С.254-276.

44. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Доклады Академии наук, 2001,-381(3),-С. 825-827.

45. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Две причины проявления масштабного фактора при описании механических свойств наноструктур. // Сборник статей к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. Под ред. Д.М. Климова. М.: Физматлит, 2003. - С. 485-488.

46. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов// ФТТ. 2002. Т.44. N.12. - С.2158-2163.

47. Кривцов А. М., Мясников В. П. Моделирование методом динамики частиц изменения внутренней структуры и напряженного состояния в материале при сильном термическом воздействии. // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 1. С. 87-102.

48. Крокстон К. Физика жидкого состояния. М.: Мир. 1978. - 400 с.

49. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитического решения некоторой двумерной задачинесимметричной теории упругости // Вестник ПГТУ. Вычислительная математика и механика. Пермь: ПГТУ, 2000. - С. 55-60.

50. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости // Известия РАН, Механика твердого тела. М.: Наука, 2002. № 5. - С. 69-82.

51. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.-254 с.

52. Лагарьков А.Н., Сергеев В.М. Метод молекулярной динамики в статистической физике // Успехи физических наук, 1978. Т. 125, вып. 3.-С.42-48.

53. Лагунов В.А., Синани А.Б. Образование биструктуры твердого тела в компьютерном эксперименте // Физика твердого тела. 1998. Т. 40. № 10.-С. 1919-1924.

54. Ландау Л.Д., Лифшиц E.H. Теория упругости. М.: Наука, 1965. -231 с.

55. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 342 с.

56. Ляв А. Математическая теория упругости. М. 1935. - 675 с.

57. Мелькер А.И. Моделирование на ЭВМ разрушения твердых тел: Дис. .д-раф.-м. н.: 01.04.07. Л., 1987. 310- 117с.

58. Товбин Ю.К. Метод молекулярной динамики в физической химии. -М.: Наука, 1996.- 176 с.

59. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости (5-е издание). М.: Наука, 1966. - 675 с.

60. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.-М.: ОГИЗ Гостехтеориздат, 1948.- 213 с.

61. Новожилов В.В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958, - 230 с.

62. Ошхунов М.М. Механика деформируемого твердого тела: альтернативный подход // Известия КБНЦ РАН, № 1 (16), 2006г. -С.72-75.

63. Ошхунов М.М, Комаров Г. И. О существовании решений физически нелинейных задач термоупругости. Укр. математический журнал. — Т.48 (7), 1996.-С. 59-64.

64. Ошхунов М.М., Нагоев З.В. Дискретно-динамическое моделирование задач теории упругости // Материалы второй всероссийской конференции «Проблемы информатизации регионального управления», Нальчик, 2006. — С.50-55.

65. Ошхунов М.М., Тхакахов Р.Б Математические модели и методы расчета на прочность поливинилхлоридных композиций // Пластические массы. № 11, 2007. С. 64-72.

66. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. (2-е изд.). М.: Изд-во МГУ, 1995. - 243 с.

67. Полухин В.А. Дзугутов М.М., Евсеев A.M., Гельчинский Б.Р., Ухов В.Н., Ватолин H.A., Есин O.A. ДАН СССР, 1975. Т. 223 - С. 650 .

68. Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект: современный подход, 2-ое издание. Пер. с англ. — М.: Издат. Дом «Вильяме», 2006. -364 с.

69. Редько В.Г. От моделей поведения к искусственному интеллекту. — М.: Изд-во МГУ, 2006. 236 с.

70. Роботнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1979.-744 с.

71. Рубцов В.Е., Псахье С.Г., Колубаев A.B. Изучение особенностей формирования контакта шероховатых поверхностей на основе метода частиц // Письма в ЖТФ, 1998. Т. 24, № 5. - С. 59.

72. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 429 с.

73. Сб.: Квантовые кристаллы (переводы) / Под ред. Вонсовского C.B. — М.: Мир. 1975. -280 с.

74. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979.-392 с.

75. Сергеев В.М. ЖТФ, 1976. Т. 50 - С. 2624.

76. Слепян Л.И. Механика трещин. JL: Судостроение. 1990. — 296 с.

77. Слэтэр Дж. Диэлектрики, полупроводники, металлы. М.: Мир, 1969.-648 с.

78. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости М.: Наука, 1975. -575 с.

79. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника: теория и практика. М.: Наука, 1992.-370 с.

80. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. -М.: Мир, 1987.-640 с.

81. Шайтан К.В. Мол.биол.,1992. Т.26,№2. - С.264-284.

82. Шайтан К.В. Биофизика. 1994. Т.39. - С.949-967.

83. Шайтан К.В., Немухин A.B., Фирсов Д.А., Богдан Т.В., Тополь H.A. Мол. биол. 1997. Т.31. - С. 109-117.

84. Шайтан К.В., Упоров И.В., Лукашев Е.П., Кононенко A.A., Рубин A.B. // Молекуляр. биология. 1991. Т. 25. - С. 695-705.

85. Шардаков И.Н., Кулеш М.А.Построение и анализ некоторых точных налитических решений двумерных упругих задач в рамках континуума Коссера // Сб. науч. тр. ПГТУ. Математическое моделирование систем и процессов. — Пермь: ПГТУ, 2001. № 9. - С. 187-201.

86. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. — М.: Наука, 1957.-442 с.

87. Herrmann К.Р., Ошмян В.Г., Тиман С. А., Шамаев М.Ю. Структурная модель больших деформаций полимерных материалов. Высокомолекулярные соединения. Серия С. Т. 44, №9, 2000. - С.86.

88. Alder B.J., Wainwright Т.Е. (1957). Phase transition for a hard sphere system. J. Chem. Phys. 27, 1208-1209.

89. Alder B.J., Weiss J.J., Strauss H.L. J. Chem. Phys., 1973,v. 59, p. 1002.

90. Alder B.J., Weiss J.J., Strauss H.L. Phys. Rev. Ser, A, 1973, v. 7, p. 282.

91. Allen M.P. Tildesley D.J. Computer simulation of liquids. Oxford: Clarendon Press, 1989.

92. Allinger N.L., Kok R.A., Imam M.R. Hydrogen Bonding in MM2 // J. Comput. Chem. 1988. No. 9. P. 591-595.

93. Allinger N. L., Li F., Yan L. Molecular Mechanics. The MM3 Force Field for Alkenes // J. Comput. Chem. 1990. No. 11. P. 848-867.

94. Allinger N.L., Yuh Y.H., Lii J.-H. Molecular Mechanics. The MM3 Force Field for Hydrocarbons. 1 // J. Am. Chem. Soc. 1989. No. 111. P. 85518566.

95. Allinger N.L. Conformational Analysis. 130. MM2. A Hydrocarbon Force Field Utilizing VI and V2 Torsional Terms // J. Am. Chem. Soc. 1977. N. 99. P. 8127-8134.

96. Altenbach H., Naumenko K., Zhilin P. A micro-polar theory for binary media with application to phase-transitional flow of fiber suspensions // Continuum Mechanics and Thermodynamics, 2003r. Vol. 15, № 6. P. 539 -570.

97. Askcroft N. W., Mermin N.D. Solid state physics. Philadelphia, 1976. P. 113.

98. Baraff D. and Witkin A. Partitioned Dynamics, Technical Report CMU-RI-TR-97-33, Robotics Institute, Carnegie Mellon University, 1997.

99. Beeler J.R. jr. Radiation effects computer experiments. Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland Publ. Co. 1983. 881 p. (Defects in crystalline solids,v. 13).

100. BerendsenH.J.C., Postma J.P.M., Van Gunsteren W.F., DinolaA., Haak J.R. (1984). Molecular-Dynamics with Coupling to an External Bath. J. Chem. Phys.81, 3684-3690.

101. Born M., Mayer J.E. Zur Gittertheorie der Ionen-kristalle. // Zs. f. Physik. 1932. Bd. 75. N. 1-2. S. 1-18.

102. Bozovic D., Bockrath M., HafnerJ.H., Lieber C.M., Park H., Tinkham M. Plastic deformations in mechanically strained single-walled carbon nanotubes // Phys. Rev. B.2003. V.67. p.033407.

103. Brenner D.W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films // Phys. Rev. B. 1990. V.42. P.9458.

104. Car R., Parrinello M. Unified approach for molecular dynamics and density functional theory // Phys. Rev. Lett. 1985. V.55, No. 22. P. 24712474.

105. Carhier C., Frish H.L. Phys. Rev. Ser. A, 1973, v. 7, p. 348.

106. Foloppe N., MacKerell A.D. Jr. All-Atom Empirical Force Field for Nucleic Acids: Parameter Optimization Based on Small Molecule and Condensed Phase Macromolecular Target Data // J. Comput. Chem. 2000. No. 21. P. 86-104.

107. Girifalco L.A., Weizer V.G. Application of the Morse potential function to cubic metals. // Phys. Rev. 1959. V. 114. N 3. P. 687-690.

108. Handbook of Numerical Methods (vol. 2. Finite Element Methods (Part 1). Interatomic potentials and simulation of lattice defects. / Eds. Gehlen P.C., Beeler J.R. jr, Jaffe R.I. New York-London: Plenum Press. 1972. P.682.

109. Lantelme F., Türe P., Quentrec B., Liewis J. Mol. Phys., 1974, v. 28, p. 1537.

110. Lennard Jones J.E. Cohesion. // Proc. Phys. Soc. 1931. V. 43. Part 5. N. 240.P. 461-482.

111. Mie G. Zur Kinetischen Theorie der einatomigen körper // Annalen der Physik. 1903. Bd.ll. N. 8. S. 657-697.

112. Morse Ph.M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. 2. Vibrational levels. //Phys. Rev. 1929. V. 34. N. 1. P. 57-64.

113. Morse Ph.M., Stuecckelberg C.G. Diatomic molecules according to the wave mechanics. 1 .Electronic levels of the hydrogen molecular ion. // Phys. Rev. V.33. N.6.P. 932-939.

114. Ostermeyer G.P. A mesoscopic particle method for description of thermomechanical and friction processes, Phys. Mesomech., 2, No. 6 (1999) P. 23.

115. Ostermeyer G.P. Many Particle Systems, German-Polish Workshop 1995, Polska Akad. Nauk, Inst. Podst. Prob. Techniki, Warszawa 1996.

116. Ostermeyer G.P., Popov V.L. Many-particle non-equilibrium interaction potentials in the mesoparticle method // Physical Mesomechanics 2 6 (1999) P. 31-36.

117. Rahman A. Correlations in the motion of atoms in liquid argon. Phys. Rev. 1964, 136AP, 405-411.

118. Rossky P.J., KarplusM. (1979). Solvation: a molecular dynamics study of a dipeptide in water. J. Am. Chem. Soc. 101. P. 1913-1937.

119. Verlet L. Computer experiments on classical fluids. I. Thermodynamic properties of Lennard-Jones molecules. Phys. Rev. 1967. V.159. P.98-103.

120. Witkin A., Baraff D., Harada M. Interactive physically-based manipulation of discrete/continuous models. Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series. 1995. P. 199-208.