автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование высокоскоростных соударений деформируемых тел методом сглаженных частиц

□□34779*

На правах рукописи

Потапов Антон Павлович

Численное моделирование высокоскоростных соударений деформируемых тел методом сглаженных частиц

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-1 ОКТ 2009

Москва-2009

003477925

Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Петров Игорь Борисович

Официальные оппоненты: доктор технических наук

профессор

Медин Станислав Александрович

кандидат физико-математических наук доцент

Евдокимов Алексей Витальевич

Ведущая организация: Институт автоматизации проектирования РАН

Защита состоится «/£>> а^ТрРр^ 2009 г. в 9 * часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан 1 1 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Федько О.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Решение проблемы обеспечения защиты и жизнедеятельности населения и опасных объектов при угрозах террористических проявлений требует разработки методов математического моделирования ударных и взрывных воздействий на жилые и промышленные здания, самолеты, надводные и подводные суда. Работа посвящена математическому моделированию, разработке методов и комплекса программ для проведения численных экспериментов в данном классе проблем. Современные прикладные задачи требуют как аккуратного описания разрушения и разлета вещества в областях интенсивных напряжений, так и аккуратного моделирования волновых процессов в остальной области моделирования. Численное решение задач такого рода сеточными методами сопряжено с большими трудностями, такими как построение трехмерной сетки и необходимостью ее периодической перестройки. Альтернативным вариантом решения такого класса задач является метод сглаженных частиц ("Smooth Particle Hydrodynamics" - SPH). Данный метод применим как для двумерного, так и для трехмерного случаев и описывает разлет вещества.

Моделирование волновых процессов с помощью метода сглаженных частиц изучено недостаточно глубоко. Оригинальный метод сглаженных частиц не является монотонным и на разрывных решениях дает нефизичные осцилляции численного происхождения. Модифицированный монотонный метод, построенный по аналогии со схемой Годунова, размывает разрывы в решении. Представляется логичным создание метода, соединяющего преимущества этих двух методов (второй порядок аппроксимации и монотонность) и уменьшающего их недостатки (наличие осцилляций численного происхождения и размыв численных решений).

Цели диссертационной работы

Целями работы являлись:

- численное решение динамических задач механики деформируемого твердого тела: внедрения высокоскоростного ударника в многослойную преграду, соударения самолета со зданием, соударения оболочечных объектов, имеющих внутренние перегородки;

- создание гибридного метода сглаженных частиц;

- визуализация численных решений динамических трехмерных задач;

-создание комплекса проблемно-ориентированных программ,

реализующих как апробированные численные методы, так и новые эффективные методы моделирования, адаптированные для решения трехмерных динамических задач с участием нескольких интенсивно взаимодействующих тел сложной структуры.

Научная новизна работы

1. Разработан и реализован гибридный метод сглаженных частиц, позволяющий адекватно описывать разлет вещества и волновые процессы.

2. Реализован комплекс программ для исследования динамических задач в трехмерных неоднородных телах, в том числе, в многослойных, перфорированных.

3. Проведено сравнение результатов предложенных методов с применением компьютера с результатами физических экспериментов и численных экспериментов, основанных на других методах.

4. Проведено моделирование процесса внедрения высокоскоростного ударника в многослойную преграду. Были обнаружены вихревые структуры в поле скоростей, получена характерная картина разрушения тыльной поверхности преграды.

5. При моделировании распространения упругих волн в перфорированных средах, выявлена клинообразная форма движения волнового фронта, что подтверждается расчетами с помощью сеточно-характеристического метода.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Гибридный метод сглаженных частиц.

2. Сравнение алгоритмов поиска ближайших соседей.

3. Распараллеленный метод сглаженных частиц.

4. Программный комплекс для численного моделирования и визуализации задач динамики деформируемого твердого тела методом сглаженных частиц.

5. Результаты моделирования воздействий ударных нагрузок на здания и оболочечные объекты.

Практическая и теоретическая ценность

1. Теоретическую ценность имеет разработанный гибридный метод сглаженных частиц, так как сочетает в себе достоинства оригинального и монотонного методов, что позволяет аккуратно рассчитывать разрывные решения.

2. Реализованный программный комплекс позволяет решать задачи моделирования ударных и взрывных нагрузок на трехмерные объекты со сложной внутренней структурой.

3. Разработанный распараллеленный метод сглаженных частиц позволил реализовать параллельную версию программы, что в свою очередь позволило существенно сократить время вычислений, а так же увеличить разрешение моделей.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Научные конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Долгопрудный, 2006, 2008) [8,9];

• XXXV международная конференция «Гагаринские чтения» (Москва, 2009) [7];

• Семинар в ЦКБ морской техники «Рубин» (Санкт-Петербург, 2009)

• Семинары академиков О.И. Белоцерковского и В.В. Бетелина в Институте автоматизации и проектирования РАН (Москва, 20082009).

Исследования по теме диссертации проводились в рамках работ по грантам РФФИ (06-01-00013а, 06-01-08013-0фи, 08-08-13505-ОФИЦ), контракту № П.244 с Федеральным агенством по Образованию от 22 июля 2009г, программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 г.г.)» и НИР, проводимых Научно-исследовательском институте системных исследований РАН.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в девяти печатных работах, в том числе двух - в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ [1, 2]. В работах с соавторами лично соискателем выполнено следующее: разработка гибридного метода сглаженных частиц и создание соответствующего комплекса программ, проведение и анализ вычислительных экспериментов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации составляет 107 страниц. Список использованных источников содержит 74 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, дан краткий обзор работ по теме диссертации и описана структура диссертации. Рассмотрены методы, используемые в настоящее время при моделировании механики твердого тела, основанные на сетках, частицах и методы типа частица-сетка.

Каждая глава предваряется кратким описанием ее содержания.

В первой главе подробно описаны цели работы и приведены постановки задач, решенных в работе.

Первой задачей явлалось моделирование волновых процессов и процессов разрушения при соударении самолета со зданием. Данная задача представляет практический интерес с точки зрения решения проблемы защиты от террористических актов. При расчетах параметры ударника подбирались таким образом, чтобы наиболее реалистично имитировать падение легкого одномоторного самолета. Считалось, что дюралюминиевый ударник имеет скорость 200 м/с при длине 20 метров и диаметре 5 метров. Здание моделировалось бетонной решеткой с периодом 10 метров на 2,5 метра. В этой задаче основной интерес представляют волновые процессы в стенах и перекрытиях здания, а также разрушения в зоне соударения.

В качестве второй задачи рассматривалось моделирование процессов деформирования корпусов объектов подводной техники при столкновениях объектов между собой, с грунтом и с высокоскоростными объектами. Задача представляется актуальной вследствие необходимости моделирования аварийных ситуаций на подводных лодках для минимизации их последствий для экипажа и техники. Считалось, что оболочка объектов состоит из цилиндра

с полусферическими окончаниями. Внутри объекты имеют перегородки в трех плоскостях. В этой задаче основной интерес представляют волновые процессы в перегородках объектов и их оболочках, а также разрушения в зоне контактов с другими объектами.

Во второй главе основное внимание уделено математической модели деформируемого упруго-пластического твердого тела. Состояние вещества описывается следующими функциями: р - плотность, иа - вектор скорости,^ - тензор напряжений,£ - внутренняя энергия.

В данной работе используется упругопластическая модель вещества. Законы сохранения массы, импульса и энергии записываются в виде

л дх„

0иа 1 да, ¡11 р 8х„

О,

(1е _ 1

ТГ

где

_ Г 2

диа ди„ ^ 8хр 8ха

тензор скоростей деформации,

£ Л

субстанциональная производная по времени.

Реологические соотношения записываются в гипоупругой форме с учетом Яумановских членов в производной по времени:

где - девиатор тензора напряжений;

диа дир дхр дха

Для описания пластических течений используется теория Прандтля-Рейсса. В этой теории для определения начала пластического течения

используется критерий Мизеса. Если 5 = =2К2, то считается, что имеет место пластическое течение. В случае я <2к2 движение среды считается упругим. Для учета эффекта пластичности в правую часть уравнения реологический соотношений необходимо добавить член —0(5)) , где

В этом случае выражение не выходит за границы поверхности Мизеса.

В качестве уравнения состояния моделируемой среды использовано уравнение состояния [1]

где К и п- константы, определяемые экспериментальным путем.

Третья глава диссертации посвящена описанию методов сглаженных частиц. Метод гладких (сглаженных) частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics - SPH) является бессеточным лагранжевым численным методом для расчетов процессов высокоскоростного соударения, а также иного интенсивного динамического нагружения тел, в особенности, когда имеет место существенное изменение топологии моделируемых объектов (разлет вещества). Метод может быть реализован в консервативной форме, кроме того, одним из основных его преимуществ является простой переход к трехмерному случаю. Производные вычисляются с помощью сплайн-интерполяции, в соответствии с чем каждая гладкая частица является точкой интерполяции, в которой известны параметры деформируемой среды.

О, при s < 2 Кг 0(s) = -O,npus = 2Xz;S^sO

-Др, при s = 2K2\Sa/JEa/! > О

Численное решение во всей области интегрирования получается с помощью интерполяционных функций, для которых эти частицы являются интерполяционными узлами. Таким образом, вычисление градиентов сводится к аналитическому дифференцированию гладких функций.

Основная суть известного метода заключается в приближении формулы

следующей цепочкой преобразований. Вначале мы заменяем обобщенную функцию 3(х) аналитической функцией со(х'-х,И), которую называют ядром сглаживания, а Ь - радиусом сглаживания. В результате получим а(*)= ^а(х')со(х'-х,1г)с1х'.

В случае, если рассматривается среда плотности р(х), то можно использовать следующее приближение

В работе Моногана утверждается, что при соблюдении этих условий и

обеспечивает порядок о(/?2).

Теперь рассмотрим численные методы вычисления этих интегралов. Предполагалось, что среда разбита на маленькие, по сравнению с характерными размерами рассчитываемой модели, элементы. Каждый такой

10(х'~х'к)р(х')с1х'

Ядро ю(х'-х,И) должно удовлетворять условиям

£ <м (х, /г) ¿¿с' = 1,

выборе

построенная таким образом аппроксимация

элемент имеет свое значение аппроксимируемого параметра а(дг) равное а,. Также считались известными: его плотность - р,, местоположение - х,, а также масса - ж,.. Заменой интегрирования суммированием по частицам-соседям мы получим

а(х) = a{x(-x,h).

Использование такой аппроксимации существенно упрощает вычисление градиента полевой функции так как достаточно аналитически

продифференцировать ядро сглаживания, что даст

да(х) _ „ тр, да(х: -x,h) ¡~Р, '

Таким образом, вычисление градиентов сводится к дифференцированию аналитических функций. Однако стоит отметить, что данное выражение не

является единственной формой аппроксимации производной ^Eiil. Более

дХа

того, в большинстве случаев более удобными и качественными аппроксимациями являются другие формы, но так как их запись очень сильно зависит от уравнений и задачи, то описывать их в этой части мы не будем.

Рассмотрим более подробно ядро сглаживания. Нам важно, чтобы носитель функции a(x,h) был конечным, так как в сплошной среде все

взаимодействия короткодействующие. Однако ехр| -[ ~

этим свойством не

обладает. Из-за вышеперечисленных причин нами использовался следующий сплайн

, з г 3

1 — <р + —«

лИ1

4я7г

где (р--

Численные аппроксимации уравнений механики деформируемого тела, построенные с помощью метода БРН, выглядят следующим образом:

Л

7 V

— = > п

V

Л

л

Л

о?

р, Рк ) ах;

V (с Аа>р

е°0 = 1у ЧЬ. ' "2 ^А

! а а\дСО,ь / р 1)\ОЮ1к

Интегрирование уравнений для ¡-ой частицы производится по следующей

схеме.

причем значения компонент тензора напряжений а"*1 вычисляется с помощью уравнения состояния по вычисленным значениям плотности р"*1 и девиатора

Более подробно вывод формул можно найти в работах [1, 2]. Решения, найденные таким методом, обладают сильной немонотонностью, что мешает использовать данный вариант метода при решении задач с интенсивными взаимодействиями.

Для устранения нефизичных осцилляций использован подход Моногана, основанный на введении искусственной вязкости. Численные эксперименты [1,2] показали, что применение такой же формы вязкости в задачах механики деформируемого твердого тела дает удовлетворительные результаты.

При использовании искусственной вязкости в множители вида

скорость звука, р1к - средняя плотность, а и 6 - коэффициенты искусственной вязкости.

Метод с искусственной вязкостью обладает приемлемой немонотонностью, что позволяет использовать его при решении реальных задач динамики деформируемых сред.

добавляется член ; где

Ра

- средняя

С целью обеспечения второго порядка точности и монотонности было предложено использовать известную гибридную схему. Для определения разрывов в решении используется аналог отношения второй и первой производных решения по координате.

а" _

Однако в нашем случае мы не можем пронумеровать частицы вдоль координатной оси. Для определения порядка мы будем использовать само значение координаты

Здесь а , г' - значение параметра и местоположение данной частицы, а суммирование ведется по всем ее соседям. Подставив в качестве а все компоненты скорости и напряжения, и просуммировав полученные /?, мы получим коэффициент, который хорошо показывает разрывы в решении.

На рис. 1 приведены сравнительные результаты решения задачи о распаде разрыва по напряжению с помощью гибридизированной и гибридной схем через 20, 40 и 60 шагов интегрирования. Из сравнительных графиков видно, что гибридная схема меньше размывает разрывы.

Рис. 1. Распад разрыва по напряжению (сравнительный график)

В четвертой главе исследуется возможность применения различных существующих алгоритмов поиска соседей, а так же известные алгоритмы и способы хранения данных в параллельной версии программы, с целью минимизации времени расчетов.

Рассмотрены последовательности вычислений, необходимых для проведения интегрирования одного шага по времени:

• Поиск соседей;

• Вычисление производных;

• Вычисление новых значений;

• Обновление оптимизирующих структур;

• Сохранение срезов данных.

Вначале мы для каждой частицы находим всех ее соседей. Данная задача является вычислительно сложной и довольно трудоемкой, так как полный перебор имел бы сложность о(и2). При количестве частиц порядка Ю4 —5-105 такие затраты непозволительны, и возможность использования любого известного метода сглаженных частиц сомнительна. Автором были проведены вычислительные эксперименты по оценке такого алгоритма поиска, и в результате один шаг интегрирования занимал около 5 минут для 104 частиц.

Одним из более эффективных способов поиска соседей является применение оптимизирующей структуры в виде окто-дерева. Построение полного списка соседей для одной частицы с использованием дерева имеет сложность 0(п\о%п). При количестве частиц 5105 время построения дерева равно 15 секундам, а построение всех соседей для всех частиц занимает еще 25 секунд.

Далее мы вычисляем для всех частиц производные полевых функций и вычисляем шаг по времени для каждой частицы. После, зная производные для каждой частицы и общий шаг по времени, производим интегрирование.

Следующим шагом необходимо обновить дерево, так как положение частиц могло измениться, и, соответственно, у частиц на следующем шаге интегрирования будут другие соседи. На данном этапе возможно проведение полной перестройки оптимизирующей структуры либо ее частичное обновление. Для окто-дерева применялась полная перестройка дерева.

Так как нам важна зависимость полевых функций от времени, то теперь нам необходимо сохранить эти значения. Программный комплекс, созданный в рамках данной работы, поддерживает сохранение одно-, двух- и трехмерных срезов скалярных и векторных величин. Обработка всех полученных в ходе

численного эксперимента срезов, такая как визуализация или нахождение соответствующих функционалов на них, проводится после окончания всех вычислений.

В ходе работы также был реализован алгоритм, использующий хэш-таблицу из стандартной библиотеки STL. Использование данного алгоритма позволило увеличить производительность на -30% и отказаться от поддержки собственной библиотеки, реализующей окто-дерево.

Исследованы особенности параллельной версии метода и реализована программа на его основе. В случае параллельных вычислений последовательность действий для интегрирования одного шага по времени имеет дополнительные инструкции:

• Поиск соседей;

Вычисление производных и шага по времени;

Синхронизация шага по времени;

• Вычисление новых значений;

Обновление оптимизирующих структур;

Синхронизация приграничных частиц между соседними процессами;

• Сохранение срезов данных.

При сохранении срезов каждый процесс сохраняет только свои данные, это позволяет перенести этап сборки всего среза на этап обработки результатов вычисления, ускоряя вычисления.

При синхронизации данных используются асинхронные вызовы библиотеки MPI, что позволяет не вводить строгий порядок обмена сообщениями между вычислителями, проводить интегрирование внутренних узлов одновременно с рассылкой данных соседям, а также отказаться от дополнительных копирований памяти.

В пятой главе приведены результаты численного моделирования для прикладных задач, анализ полученных результатов и сравнение с экспериментальными данными и результатами других численных экспериментов.

Для задачи соударения самолета со зданием полученные результаты приведены на рис. 2. На рисунках представлены распределения модуля скорости (слева) и давления (справа).

В распределении давления виден фронт возмущений, имеющий конусообразную форму, что характерно для решетчатых конструкций. Также в области удара четко видны разрушения и большие деформации как здания, так и самолета. Представленные результаты свидетельствуют об адекватности качественных характеристик процесса соударения трехмерному моделированию на основе гибридного метода сглаженных частиц.

Для решения второй задачи о моделировании ударной нагрузки на движущиеся подводные объекты был проведен ряд вычислительных экспериментов. Рассматривались столкновения двух объектов, удар о препятствие, падение самолета, попадание артиллеристского снаряда, посадка на дно. На рис.3 приведены графики разрушения материалов при перпендикулярном соударении движущихся подводных объектов. Размеры объектов: диаметр внешней оболочки - 23м; длина - 75м;' внутренние перегородки образуют равномерную кубическую сетку с шагом 5м. Скорость налетающего объекта равна 15 м/с.

Рис. 2. Распределение модуля скорости (слева) и давления (справа)

. я и— яг и

шш« „Ш Шм

зг^эдэмгж] шШиЛП

Рис. 3. Распределение меры разрушения материла объектов. В заключении приводятся основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан и реализован гибридный метод, позволяющий более точно, по сравнению с известными методами, моделировать волновые процессы в твердом деформируемом теле.

2. Создан программный комплекс, позволяющий решать многомерные задачи механики деформируемого твердого тела о высокоскоростных соударениях деформируемых тел.

3. Проведен ряд верификационных численных экспериментов, подтверждающих корректность и точность метода.

4. Эффективность разработанных методов и алгоритмов подтверждена результатами численных экспериментов и сравнением с экспериментальными данными и результатами, полученными с помощью известных сеточных методов.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. А.П. Потапов, С.И. Ройз, И.Б. Петров. Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц // Математическое моделирование -2009. Т. 21,№7.-С. 20-28.

2. А.П. Потапов, И.Б. Петров. Моделирование высокоскоростных соударений методом сглаженных частиц // Информационные технологии -2009. №8. - С. 46-50.

3. А.П. Потапов, И.Б. Петров. Моделирование высокоскоростных соударений методом сглаженных частиц (БРН) // Вестник Российского государственного университета им. И.Канта. Серия «Физико-математические науки» - 2009. №10. С. 50-56.

4. С.И. Ройз, А.П. Потапов, И.Б. Петров. Численное моделирование последствий ударных воздействий на защитные конструкции // Моделирование

процессов обработки информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2007. — С. 16-22.

5. А.П. Потапов, С.И. Ройз, И.Б. Петров. Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц // Моделирование и методы обработки информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2008. — С. 38 - 48.

6. С.И. Ройз, А.П. Потапов, И.Б. Петров. Численное исследование разрушения перфорированных конструкций // Модели и методы обработки информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2009. — С. 27 - 31.

7. А.П. Потапов. Моделирование ударных нагрузок на стержни методом сглаженных частиц // XXXIII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. М.: МАТИ, 2009. Т.4. — С. 144-145.

8. А.П. Потапов. Численное моделирование высокоскоростных соударений со зданиями методом сглаженных частиц // Труды 49-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» Часть VII «Управление и прикладная математика». — М.Долгопрудный: МФТИ, 2006. — С. 71.

' 9. А.П. Потапов. Моделирование ударных воздействий на стержневые и плоские объекты методом сглаженных частиц // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII «Управление и прикладная математика». — М.Долгопрудный :МФТИ, 2008. — С. 45.

ПОТАПОВ Антон Павлович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ СОУДАРЕНИЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ СГЛАЖЕНЫХ ЧАСТИЦ

Автореферат

Подписано в печать 07.09.2009. Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ №31 Московский физико-технический институт (государственный университет) Печать на аппарате Rex-Rotary Copy Printer 1280. НИЧ МФТИ.

141700, г Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9 тел.: (495) 4088430, факс (495) 5766582

ГЛАВА 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕЩЕСТВА.

ГЛАВА 3 ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД.

Оригинальный метод.

Метод с искусственной вязкостью.

Монотонный метод (схема Годунова).

Гибридизированный метод.

Гибридный метод.

Тестовые расчеты.

Сходимость метода.

Законы сохранения.

Волновые процессы в многослойных средах.

Скорость пробития препятствия.

Тыльный откол.

ГЛАВА 4 АЛГОРИТМЫ И СТРУКТУРА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

Алгоритмы поиска соседей.

Полный перебор.

Окто-дерево.

Хэш-таблица.

Алгоритм распараллеленного метода.

Структура программного комплекса.

ГЛАВА 5 РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

Ударные нагрузки на здания.

Нагрузки на стержни.

Нагрузка на пластины.

Падение легкого самолета на здание.

Подводные лодки.

Посадка на дно.

Соударение с препятствием.

Осевое столкновение объектов.

Торцевое столкновение объектов.

Удар по поверхности объекта.

Решение проблемы обеспечения защиты и жизнедеятельности населения и опасных объектов при угрозах террористических проявлений требует разработки методов математического моделирования ударных и взрывных воздействий на жилые и промышленные здания, самолеты, надводные и подводные суда. Моделирование описанных выше процессов связано с построением или выбором адекватных математических моделей, особенно при широком диапазоне изменений давления, температуры, деформаций. Эти вопросы подробно изучались в таких работах, как [8, 11, 14-15, 17, 19, 25, 26, 31, 35, 42, 46-47, 68]. Для улучшения качества численных решений с особенностями разрывного характера применялись, в основном, методы, использующие характеристические свойства гиперболических систем уравнений (см., например, [14, 17, 31, 35]), гибридные методы (см., например, [34, 44, 54]),а также различные методы регуляризации, например [59]. Проблемам получения уравнений динамики деформируемых сред посвящены [8, 14, 17,], широкодиапазонных уравнений состояний [9, 23].

В работах по численному исследованию процессов интенсивного нарушения деформируемых сред использовались лагранжевы сетки с перестройкой, эйлеровы с методом маркеров, а также подвижные. Для наиболее сложных случаев (разрушение, фазовые переходы, разлет вещества) имеет смысл использовать метод частиц("Smooth Particle Hydrodynamics" - SPH)[56, 57], поскольку использование других методов связано со значительными техническими либо теоретическими трудностями.

Работа посвящена математическому моделированию, разработке методов и комплекса программ для проведения численных экспериментов в данном классе проблем. Современные прикладные задачи требуют как аккуратного описания разрушения и разлета вещества в областях интенсивных напряжений, так и аккуратного моделирования волновых процессов в остальной области моделирования. Численное решение задач такого рода сеточными методами сопряжено с большими трудностями, такими как построение трехмерной сетки и необходимостью ее периодической перестройки. Альтернативным вариантом решения такого класса задач является метод сглаженных частиц ("Smooth Particle Hydrodynamics" — SPH). Данный метод применим как для двумерного, так и для трехмерного случаев и описывает разлет вещества.

Моделирование волновых процессов с помощью метода сглаженных частиц изучено недостаточно глубоко. Оригинальный метод сглаженных частиц не является монотонным и на разрывных решениях дает нефизичные осцилляции численного происхождения. Модифицированный монотонный метод, построенный по аналогии со схемой Годунова, размывает разрывы в решении. Представляется логичным создание метода, соединяющего преимущества этих двух методов (второй порядок аппроксимации и монотонность) и уменьшающего их недостатки (наличие осцилляций численного происхождения и размыв численных решений).

Разностные методы решения задач МСС начали разрабатываться в середине прошлого века и хорошо себя зарекомендовали для большого числа практических задач. Однако создание эффективного алгоритма для проведения вычислений в трехмерной среде, со сложной геометрией и большими относительными сдвигами сопряжено с множеством проблем. Задача построения универсальной трехмерной сетки алгоритмически до сих пор не решена, на практике часть приходится корректировать известные методы построения сеток, т.к. задача построения удовлетворительной расчетной сетки для области интегрирования со сложной геометрией может оказаться весьма-таки трудной. При больших сдвиговых деформациях появляется необходимость в перестройке сетки и последующей переинтерполяцией функций на новую сетку, в противном случае качество счета сильно падает, а количество необходимых вычислении вырастает на порядки.

При решении задач со сложными течениями плохо работают как чисто эйлеровы методы (происходят большие перемещения узлов сетки в пространстве) так и лагранжевы (имеет место сильная деформация изначальной сетки). Метод частиц в ячейках можно считать попыткой совмещения достоинств обоих подходов.

Основные работы над методом велись в области теоретического обоснования корректности метода. Первоначально метод имел чисто прагматическое обоснование, он работал, и в некоторых задачах работал лучше других методов. Анализ устойчивости и аппроксимации метода делится на две части. Первый этап, когда используется сетка, хорошо анализируется стандартными инструментами, описанными во всех учебных пособиях по вычислительной математике. Однако второй этап, использующий частицы, вызывает трудности для анализа методами, отработанными на конечно-разностных аппроксимациях уравнений в частных производных. Первые попытки анализа были предложены Н. Н. Анучиной в конце 70-х. Анализ второго этапа было предложено проводить в предположении, что число частиц N стремится к бесконечности. Такой подход позволил применить конечно-разностный инструмент и получить искомые оценки.

Метод частиц в ячейках, однако, сыграл существенную роль в развитии как вычислительной математики в целом, так и бессеточных методов в частности. Так как его развитием стал метод сглаженных частиц.

Метод гладких (сглаженных) частиц в зарубежной литературе известен как SPH-MeTOfl(Smoothed Particle Hydrodynamics). Он является бессеточным лагранжевым численным методом для расчетов процессов высокоскоростного соударения, а также иного интенсивного динамического нагружения тел, в особенности, когда имеет место существенное изменение топологии моделируемых объектов (разлет или интенсивное перемешивание вещества). Разработчикам удалось обойти сложности, связанные с перехлестом лагражевых ячеек, в результате чего SPH-метод на протяжении многих лет привлекает как специалистов по вычислительной математике, так и по численному моделированию высокоскоростных соударений.

Метод может быть реализован в консервативной форме, а так же его особенностью является простой переход к трехмерному случаю. Производные вычисляются с помощью сплайн-интерполяции, в соответствии, с чем каждая гладкая частица является точкой интерполяции, в которой известны параметры деформируемой среды. Численное решение во всей области интегрирования получается с помощью интерполяционных функций, для которых эти частицы являются интерполяционными узлами. Таким образом, вычисление градиентов сводится к аналитическому дифференцированию гладких функций.

Впервые метод был предложен в 1977 году. Традиционно теоретическое обоснование метода на момент его создания отсутствовало. Оригинальный метод обладал сильной немонотонностью, что мешало его использовать при решении задач с интенсивными взаимодействиями. Лишь к середине 80-х годов Моноганом была предложена и исследована подходящая искусственная вязкость, которая давала приличные результаты в решении задачи Римана. А так же исследованы вопросы аппроксимации. Теоретического решения проблемы устойчивости метода и выбора максимального шага по времени по сей день не найдено. Обычно в статьях указывают на то, что численный эксперимент показал такие то ограничения на шаг интегрирования.

Применению метода для решения различного рода задач посвящено достаточно большое количество публикаций вышедших в 80-е-90-е годы. В основном работы содержали построение SPH-метода для решения задач в области газодинамики, теплопроводности, гидродинамики, механики деформируемого тела.

Следующий качественный скачок в области развития данного метода был в конце прошлого столетия. Медин С.А. и Паршиков А.Н. опубликовали работу, в которой предложили вместо искусственной вязкости использовать решение задачи о распаде разрыва. После чего последовал ряд статей показывающих, что использование даже приближенного аналитического решения задачи Римана позволяет добиться аккуратного описания ударных волн, при сохранении всех положительных свойств метода. Так же был опубликован ряд работ предлагающих улучшенные приближенные решения задачи Римана, использование которого позволяло поднять точность метода сглаженных частиц. 1

Так же велись работы по созданию; гибридных методов, например описанный в работе [13] подход. Однако в рамках указанной статьи в качестве основы для гибридного метода брались метод с искусственной вязкостью и монотонный метод, использующий решение задачи Римана. В указанной работе переключатель, между схемами был бинарный, а для- определения используемого метода для; конкретной частицы опирался, на физические свойства решения задач газодинамики, что делает данный метод не применимым к задачам деформируемого твердого тела.

В данном отчете используется: гибридный вариант SPH-метода, в котором монотонной схемой является метод с использованием решения задачи Римана, схемой второго порядка - оригинальный метод Монаган.

В первой главе подробно описаны цели работы и приведены постановки задач, решенных в работе.

Первой задачей являлось моделирование волновых процессов и процессов разрушения: при соударении самолета со зданием. Данная задача представляет практический интерес с точки зрения решения проблемы защиты от террористических актов; При расчетах параметры ударника подбирались таким образом, чтобы наиболее реалистично имитировать падение легкого одномоторного самолета. Считалось, что дюралюминиевый ударник имеет скорость 200 м/с при длине 20 метров и диаметре 5 метров. Здание моделировалось бетонной решеткой с периодом 10 метров на 2,5 метра. В этой задаче основной интерес представляют волновые процессы в стенах и перекрытиях здания, а также разрушения в зоне соударения.

В. качестве второй задачи рассматривалось моделирование процессов деформирования корпусов объектов подводной техники при столкновениях объектов между собой, с грунтом и с высокоскоростными объектами. Задача представляется актуальной вследствие необходимости моделирования аварийных ситуаций на подводных лодках для минимизации их последствии для экипажа и техники. Считалось, что оболочка объектов состоит из цилиндра с полусферическими окончаниями. Внутри объекты имеют перегородки в трех плоскостях. В этой задаче основной интерес представляют волновые процессы в перегородках объектов и их оболочках, а также разрушения в зоне контактов с другими объектами.

Во второй главе основное внимание уделено математической модели деформируемого упруго-пластического твердого тела. Состояние вещества описывается следующими функциями: р - плотность, иа - вектор скорости, <тар

- тензор напряжений, е - внутренняя энергия.

В данной работе используется упругопластическая модель вещества. Законы сохранения массы, импульса и энергии записываются в виде dt дх„ du 1 dt р dxfi de} йГ р<у°р£ар" 0, где

Вар- 2 диа | дир кдхр дха; тензор скоростей деформации, ^ субстанциональная производная по времени.

Реологические соотношения записываются в гипоупругой форме с учетом Яумановских членов в производной по времени: dS. аР f dt 2 ц 1 sap 2 ^apsap J + ^ay^Pr ^rP^ay ■ где Sap - девиатор тензора напряжений; r«p = n ди„ диь кдхр dxaJ

Для описания пластических течений используется теория Прандтля-Рейсса. В этой теории для определения начала пластического течения используется критерий Мизеса. Если s = SapSafl = 2К2, то считается, что имеет место пластическое течение. В случае s<2K2 движение среды считается упругим. Для учета эффекта пластичности в правую часть уравнения реологический соотношений необходимо добавить член -0(s)(safieafiJsafi, где

0, при .у < 2К2

0, при s - 2K}\Sapsap < 0

-Ц^, при s = 2K2\Sapsap > 0

В этом случае выражение SapSap не выходит за границы поверхности Мизеса.

В качестве уравнения состояния моделируемой среды использовано уравнение состояния [57]

Р = Р(р,е)=-п

Г, v N Р

1Л> 1 где Ки п- константы, определяемые экспериментальным путем.

Третья глава диссертации посвящена описанию методов сглаженных частиц. Метод гладких (сглаженных) частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics - SPH) является бессеточным лагранжевым численным методом для расчетов процессов высокоскоростного соударения, а также иного интенсивного динамического нагружения тел, в особенности, когда имеет место существенное изменение топологии моделируемых объектов (разлет вещества). Метод может быть реализован в консервативной форме, кроме того, одним из основных его преимуществ является простой переход к трехмерному случаю. Производные вычисляются с помощью сплайн-интерполяции, в соответствии с чем каждая гладкая частица является точкой интерполяции, в которой известны параметры деформируемой среды. Численное решение во всей области интегрирования получается с помощью интерполяционных функций, для которых эти частицы являются интерполяционными узлами. Таким образом, вычисление градиентов сводится к аналитическому дифференцированию гладких функций.

Основная суть известного метода заключается в приближении формулы a(jt)= £ а следующей цепочкой преобразований. Вначале мы заменяем обобщенную функцию S(x) аналитической функцией co(x'-x,h), которую называют ядром сглаживания, а И - радиусом сглаживания. В результате получим

В случае, если рассматривается среда плотности р(:с), то можно использовать следующее приближение x>h) /,->0 ><?(*)•

В работе Моногана утверждается, что при соблюдении этих условий и

Теперь рассмотрим численные методы вычисления этих интегралов. Предполагалось, что среда разбита на маленькие, по сравнению с характерными размерами рассчитываемой модели, элементы. Каждый такой элемент имеет свое значение аппроксимируемого параметра а(х) равное а,. Также считались известными: его плотность - местоположение - х,, а также масса - т1.

Заменой интегрирования суммированием по частицам-соседям мы получим

Ядро a>(x'-x,h) должно удовлетворять условиям выборе о(лг,/г) = ехр - —построенная таким образом аппроксимация ч обеспечивает порядок О (h2). i Pi

Использование такой аппроксимации существенно упрощает вычисление да(х) градиента полевой функции obt так как достаточно аналитически продифференцировать ядро сглаживания, что даст да (х) mlai дсо{х, -x,h) fea , Р, дха

Таким образом, вычисление градиентов сводится к дифференцированию аналитических функций. Однако стоит отметить, что данное выражение не является единственной формой аппроксимации производной ^ifl. Более того, дХа в большинстве случаев более удобными и качественными аппроксимациями являются другие формы, но так как их запись очень сильно зависит от уравнений и задачи, то описывать их в этой части мы не будем.

Рассмотрим более подробно ядро сглаживания. Нам важно, чтобы носитель функции a)(x,h) был конечным, так как в сплошной среде все взаимодействия короткодействующие. Однако ехр г \ 2\

А X

1 Jt, / этим свойством не обладает. Из-за вышеперечисленных причин нами использовался следующий сплайн а x,h) =

3,33

2 ~<Р)

Ttti 3

4 л-Л3 О, ре [2, со]

1,2] где <р = х-х h

Численные аппроксимации уравнений механики деформируемого тела, построенные с помощью метода SPH, выглядят следующим образом: dt ас" du dt de m. °к 2 2 Pi Pk da),, dxp ' cjf of^

Pi Pk dco.L dxp ' у dt

-—=2ju 1 ef-^ef ' 3

2 * P* о a \ ( В P\ OC0lk

2 * Pi

Интегрирование уравнений для i-ой частицы производится по следующей схеме. x"+1=x"+At dt du" s"+l = S"+At dt dS" dt n + l причем значения компонент тензора напряжении <х; вычисляется с помощью л+1 уравнения состояния по вычисленным значениям плотности р" и девиатора

Более подробно вывод формул можно найти в работах [56, 57]. Решения, найденные таким методом, обладают сильной немонотонностью, что мешает использовать данный вариант метода при решении задач с интенсивными взаимодействиями.

Для устранения нефизичных осцилляций использован подход Моногана, основанный на введении искусственной вязкости. Численные эксперименты [57] показали, что применение такой же формы вязкости в задачах механики деформируемого твердого тела дает удовлетворительные результаты. звука, pik - средняя плотность, а и Ъ - коэффициенты искусственной вязкости.

Метод с искусственной вязкостью обладает приемлемой немонотонностью, что позволяет использовать его при решении реальных задач динамики деформируемых сред.

С целью обеспечения второго порядка точности и монотонности было предложено использовать известную гибридную схему. Для определения разрывов в решении используется аналог отношения второй и первой производных решения по координате. р a" (a/+i-a/)-(a/~a,-i) а' (я,+1 -«, ) + («, -я,ч)

Однако в нашем случае мы не можем пронумеровать частицы вдоль координатной оси. Для определения порядка мы будем использовать само значение координаты

Здесь а , z - значение параметра и местоположение данной частицы, а суммирование ведется по всем ее соседям. Подставив в качестве а все компоненты скорости и напряжения, и просуммировав полученные /?, мы получим коэффициент, который хорошо показывает разрывы в решении. н

При использовании искусственной вязкости в множители вида —'—+—^

V. Pi Рк добавляется член сш - средняя скорость

В четвертой главе исследуется возможность применения различных существующих алгоритмов поиска соседей, а так же известные алгоритмы и способы хранения данных в параллельной версии программы, с целью минимизации времени расчетов.

Рассмотрены последовательности вычислений, необходимых для проведения интегрирования одного шага по времени:

• Поиск соседей;

• Вычисление производных;

• Вычисление новых значений;

• Обновление оптимизирующих структур;

• Сохранение срезов данных.

Вначале мы для каждой частицы находим всех ее соседей. Данная задача является вычислительно сложной и довольно трудоемкой, так как полный перебор имел бы сложность о[п2). При количестве частиц порядка 104-5-105 такие затраты непозволительны, и возможность использования любого известного метода сглаженных частиц сомнительна. Автором были проведены вычислительные эксперименты по оценке такого алгоритма поиска, и в результате один шаг интегрирования занимал около 5 минут для 104 частиц.

Одним из более эффективных способов поиска соседей является применение оптимизирующей структуры в виде окто-дерева. Построение полного списка соседей для одной частицы с использованием дерева имеет сложность 0{n\ogn). При количестве частиц 5-Ю5 время построения дерева равно 15 секундам, а построение всех соседей для всех частиц занимает еще 25 секунд.

Далее мы вычисляем для всех частиц производные полевых функций и вычисляем шаг по времени для каждой частицы. После, зная производные для каждой частицы и общий шаг по времени, производим интегрирование.

Следующим шагом необходимо обновить дерево, так как положение частиц могло измениться, и, соответственно, у частиц на следующем шаге интегрирования будут другие соседи. На данном этапе возможно проведение полной перестройки оптимизирующей структуры либо ее частичное обновление. Для окто-дерева применялась полная перестройка дерева.

Так как нам важна зависимость полевых функций от времени, то теперь нам необходимо сохранить эти значения. Программный комплекс, созданный в рамках данной работы, поддерживает сохранение одно-, двух- и трехмерных срезов скалярных и векторных величин. Обработка всех полученных в ходе численного эксперимента срезов, такая как визуализация или нахождение соответствующих функционалов на них, проводится после окончания всех вычислений.

В ходе работы также был реализован алгоритм, использующий хэш-таблицу из стандартной библиотеки STL. Использование данного алгоритма позволило увеличить производительность на —30% и отказаться от поддержки собственной библиотеки, реализующей окто-дерево.

Исследованы особенности параллельной версии метода и реализована программа на его основе. В случае параллельных вычислений последовательность действий для интегрирования одного шага по времени имеет дополнительные инструкции:

• Поиск соседей;

• Вычисление производных и шага по времени;

• Синхронизация шага по времени;

• Вычисление новых значений;

• Обновление оптимизирующих структур;

• Синхронизация приграничных частиц между соседними процессами;

• Сохранение срезов данных.

При сохранении срезов каждый процесс сохраняет только свои данные, это позволяет перенести этап сборки всего среза на этап обработки результатов вычисления, ускоряя вычисления.

При синхронизации данных используются асинхронные вызовы библиотеки MPI, что позволяет не вводить строгий порядок обмена сообщениями между вычислителями, проводить интегрирование внутренних узлов одновременно с рассылкой данных соседям, а также отказаться от дополнительных копирований памяти.

В пятой главе приведены результаты численного моделирования для прикладных задач, анализ полученных результатов и сравнение с экспериментальными данными и результатами других численных экспериментов.

Для задачи соударения самолета со зданием приведены полученные результаты. В распределении давления показан фронт возмущений, имеющий конусообразную форму, что характерно для решетчатых конструкций. Также в области удара показаны разрушения и большие деформации как здания, так и самолета. Представленные результаты свидетельствуют об адекватности качественных характеристик процесса соударения трехмерному моделированию на основе гибридного метода сглаженных частиц.

Для решения второй задачи о моделировании ударной нагрузки на движущиеся подводные объекты был проведен ряд вычислительных экспериментов. Рассматривались столкновения двух объектов, удар о препятствие, падение самолета, попадание артиллеристского снаряда, посадка на дно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан и реализован гибридный метод сглаженных частиц, позволяющий более точно, по сравнению с известными методами сглаженных частиц, моделировать волновые процессы в твердом деформируемом теле. На базе данного метода создан программный комплекс, позволяющий решать многомерные задачи механики деформируемого твердого тела о высокоскоростных соударениях деформируемых тел.

В работе приводится ряд верификационных численных экспериментов, подтверждающих корректность и точность метода. Эффективность разработанных методов и алгоритмов подтверждена результатами численных экспериментов и сравнением с экспериментальными данными и результатами, полученными с помощью известных сеточных методов.

Приводятся результаты решения ряда задач, представляющих практическую ценность, полученные на программе, реализующей описанные выше подходы.

1. Агапов П. И., Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численное исследование задач механики деформируемого твердого тела в неоднородных областях интегрирования // Обработка информации и моделирование: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2002. — С. 148 157.

2. Андрущенко В. А., Головешкин В. А., Холин Н. Н. Вихревые движения твердых сред в динамических задачах теории упругости // Инж.-физ. журнал. — 1999. — Т. 72, № 4. — С. 803 810.

3. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. —М. : Физматлит, 1994.

4. Белоцерковский О. М. Вычислительная механика. Современные проблемы и результаты. — М. :Наука, 1991.

5. Блажевич Ю. В., Иванов В. Д., Петров И. Б., Петвиашвили И. В. Моделирование высокоскоростного соударения методом гладких чистиц // Матем. моделирование. — 1999. — Т. 11, № 1. — С. 88 100.

6. Блажевич Ю. В., Петров И. Б., Сабельник А. Е. Моделирование динамических процессов разрушения пористых конструкций в проблеме безопастности жилищных сооружений. — 2002. http://cs.mipt.ru/docs/whitepapers/petrov 10052002.pdf.

7. Богомолов С.В., Звенков Д.С. Явный метод частиц, несглаживающий газодинамические разрывы. // Математическое моделирование, 2007, т. 19, № 3, с.74.

8. Бураго Н. Т., Кукуджанов В. Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов, пакет прикладных программ «Астра» // Препринт ИПМ АН СССР. — 1988. — № 280.

9. Бушмап Ф.В., Фортов В.Е. Модели управления состояния вещества. //УФЫ, 1983, т.140-в, №2, с. 177-232.

10. Ю.Гольдии В.Я., Калиткин Н.Н., Шишова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 5, с.93 8-944.

11. Жуков Д. С., Петров И. Б., Тормасов А. Г. Численное и экспериментальное изучение разрушения твердых тел в жидкости // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. — 1991. — № 3. — С. 183 190.

12. Зубов А. Д., Соколовская B.JI. Об одном варианте SPH-метода на основе задачи Римана//Препринт 1/2002. Снежинск, 2002. - 16 с.

13. Иванов В.Д. Кондауров В.И. Петров И.Б. Холодов А.С Расчет динамического деформирования и разрушения упругопластических тел сеточио-характеристическими методами. //ММ, 1990, т.2, №11,с.10- 29.

14. Ива.юв В.Д., Петров И.Б. Моделирование деформаций и разрушения в мишенях под действием лазерного излучения. //Труды ИОН АН.- т.36-Физичсскис процессы в оболочечных конических мишенях. — М.Наука, 1992, с.247-266.

15. Кондауров В. И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел // Матом, моделирование. — 1988. — Т. 52, № 2. — С. 302 310.

16. Кондауров В. И., Фортов В. Е. Основы термомеханики конденсированной среды. — М. МФТИ, 2002.

17. Коротпп П. Н., Острик А. В., Петров И. Б. Численное исследование волновых процессов при объемном энергопоглощении в мишенях конечной толщины // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 308, № 5. — С. 1065 1070.

18. Коротин П. II., Петров И. Б., Холодов А. С. Численное решение некоторых задач о воздействии тепловых нагрузок на металлы // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. — 1989. — № 5. — С. 63 69.

19. Коро вин Г1. Н., Петров И. Б., Холодов А. С. Численное моделирование поведения упругих и упругопластических тел под воздействием мощных энергетических потоков // Матем. моделирование. — 1989. — Т. 1, № 7. — С. 1 12.

20. Кормен Т., Лейзерсон, Ривест Р. Алгоритмы. Построение и анализ. — М. :МЦНМО, 2000.

21. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов. А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

22. Мадслунг Э. Математический аппарат физики, м.: ГИФМЛ, 1960, 618с.

23. МаПпчек Дж., Сак С. Метод расчета "Тензор". //Вычислительные методы в гидродинамике. -М.: Мир, 1967, с.185-211.

24. Мспьшиков Г.П., Одинцов В.А., Чудов Л.А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту. //Изв. АН СССР. сер. МТТ. 1977, №1, с,146-157.

25. Номацкий В. К. Теория упругости. — М. :Мир, 1975.

26. Нонацкий В. К. Волновые задачи теории пластичности. — М. :Мир,1978.

27. Петров И.Б., Тормасов А.Г., Холодов А. С. О численном изучении нестационарных процессов в деформируемых средах многослойной структуры // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. — 1989. — №4. — С. 89-95.

28. Петров И.Б., Тормасов А.Г. О численном решении пространственных задач соударения. //ММ, 1990, т.2,№2,с.58-72.

29. Пстров И.Б., Тормасов А.Г. О численном исследовании трехмерных задач обтекания волнами сжатия препятствия или полости в упругопластическом пространстве // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 314, №4. —С. 817-820.

30. Петров И.Б., Тормасов А.Г. Численное исследование косого соударения жесткого шарика с двухслойной упругопластической плитой // Матем. моделирование. — 1992. — Т. 4, № 3. — С. 20 27.

31. Пстров И.Б., Холодов А.С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа. //ЖВМ и МФ, 1962, т.24, №8, с. 1172-1188.

32. Пстров И.Б., Холодов А.С. Численные исследования некоторых динамических задач деформируемого тела сеточно-характеристическим методом. //ЖВМ и МФ. 1984,т.25,№5, с.722-739.

33. Пстров И.Б., Челноков Ф.Б. Численное исследование волновых процессов и процессов разрушения в многослойных преградах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2003. — Т. 43, № 10. —С. 1562- 1579.

34. Петров И.Б., Челноков Ф.Б. Численная проверка прочности железобетонной наружной оболочки под действием динамической нагрузки // Моделирование и обработка информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2003. —С. 4-13.

35. Партон В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. — М. :Наука, 1981.

36. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. — М. : Фпзматлит, 2000.

37. Седов JI. И. Механика сплошной среды. — М. :Наука, 1970.

38. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. Издание второе, переработанное. — М. МФТИ, 1997.

39. Уилкинс M.J1. Расчет упругопластических течений. //Вычислительные методы в гидродинамике. -М.: Мир, 1987, с.212-263.

40. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. — М. :МФТИ, 1994.

41. Фсдоренко Р.П. Применение разростных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений. //ЖВМ и МФ, 1962, т.24,№6, с. 1122-1128.

42. Фсдоренко О.П. Применение разностных схем высокого порядка точности для гиперболических уравнений. ЖВМ и МФ, 1962, т.2, №6, с. 1122-1128.

43. Франк P.M., Лазарус Р.Б. Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа. //Вычислительные методы в гидродинамике. — М.:Мир,1967,с.55-75.

44. Clcary P.W., Monaghan JJ. Conduction Modeling Using Smoothed Particle Hydrodynamics. // J. Сотр. Phys. 1999. Vol. 148. P. 227.

45. Dukowicz J.K. A General, Non-Iterative Riemann Solver for Godunov's Method // J. Сотр. Phys. 1985. Vol. 61. P. 119

46. Feldman В. E., O'Brien J. F., Arikan O. Animating suspended particle explosions // Proceedings of ACM SIGGRAPH. — 2003. — Pp. 708 715.

47. Hmlen A. Uniform High Order Accuracy Essentially Non-oscillatory Schemes. J. of Сотр. Phys.-71, 1987, p.231 -3 03.

48. Kholodov Y. A Monotone High-Order Accuracy Scheme for Hyperbolic CFD Problems // APS Meeting Abstracts. — 2000. — Pp. B4+.

49. Monaghan J J. On the Problem of Penetration in Particle Methods // J. Сотр. Phys. 1989. Vol. 82. P. 1.

50. Monaghan J.J. An introduction to SPH. Comput. Phys. Comm. 1988. V. 48. P. 89-96.

51. Monaghan J.J. SPH and Riemann Solvers // J. Сотр. Phys. 1997. Vol. 136. P. 298

52. Von. Neumann Т., Richtmyer R.D. A method for numerical calculation of hydrodynamics hocks. // J. of Сотр. Phys., v.21 p.232-237.

53. Parshikov A. N., Medin S. A. Smoothed particle hydrodynamics using interparticle contact algorithms // Journal of Computational Physics.-— 2002. — no. 180. — Pp. 358-382.

54. Parshikov A.N., Medin S.A., Loukashenkmo I.I., Milekhin V.A. Improvements in SPH Method by means of Interparticle Contact Algorithm and Analysis of Perforation Tests at Moderate Projectile Velicities // Int. J. Impact Eng. 2000. Vol. 24. P. 779

55. Penrose D., ed. Sourcebook of Parallel Computing. — Elsevier Science (USA), 2003.

56. Saenger E. H., Kruger O. S., Shapiro S. A. Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments // Geophysical Prospecting. — 2004. — Vol. 52. — Pp. 183- 195.

57. Shewchuk J. R. Adaptive Precision Floating-Point Arithmetic and Fast Robust Geometric Predicates // Discrete & Computational Geometry. — 1997. — Vol. 18,no. 3. — Pp. 305-363.

58. Stellingwerf R.F., Wingate C.A. Impact modeling with smooth particle hydrodynamics. //Int. I. Impact Engng, 1993, v.14, p.707-718.

59. Публикации автора по теме диссертации

60. А.П. Потапов, С.И. Ройз, И.Б. Петров. Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц // Математическое моделирование 2009. Т. 21, №7. - С. 20-28.

61. А.П. Потапов, И.Б. Петров. Моделирование высокоскоростных соударений методом сглаженных частиц // Информационные технологии -2009. №8.-С. 46-50.

62. АЛ. Потапов, И.Б. Петров. Моделирование высокоскоростных соударений методом сглаженных частиц (SPH) // Вестник Российского государственного университета им. И.Канта. Серия «Физико-математические науки» — 2009. №10. С. 50-56.

63. А.П. Потапов, С.И. Ройз, И.Б. Петров. Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц // Моделирование и методы обработки информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2008. — С. 38-48.

64. АЛ. Потапов. Моделирование ударных нагрузок на стержни методом сглаженных частиц // XXXIII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. М.: МАТИ, 2009. Т.4. — С. 144 145.

65. С.И. Ройз, А.П. Потапов, И.Б. Петров. Численное моделирование последствий ударных воздействий на защитные конструкции // Моделирование процессов обработки информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2007. — С. 16 22.

66. С.И. Ройз, Л.П. Потапов, И.Б. Петров. Численное исследование разрушения перфорированных конструкций // Модели и методы обработки информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2009. — С. 27-31.