автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и численные методы решения выпуклых оптимизационных задач сельскохозяйственного производства

На правах рукописи

ФЕДУРИНА НИНА ИВАНОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЫПУКЛЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иркутск - 2006

Работа выполнена в Иркутской государственной сельскохозяйственной академии (ИрГСХА) Министерства сельского хозяйства

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Булатов Валерьян Павлович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Тятюшкин Александр Иванович кандидат технических наук, доцент Терлецкий Виктор Анатольевич

Ведущая организация:

Вычислительный центр РАН, I. Москва

Зашита состоится 1 июня 2006 г в 10 часов на заседании диссер[ационного совета Д 218 004.01 при Иркутском государственном университете путей сообщения ("664047. г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15) ауд 803.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета путей сообщения.

Автореферат разослан 29 апреля 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета С^- Н.ГТ. Деканова

___

2.006 fV

-IOO24

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. В последние годы методы математического моделирования активно используются для поддержки принятия управленческих решений Прикладная значимость методов математического моделирования весьма велика Они давно используются в различных отраслях знаний и традиционно широко в экономике и, в частнос]И. в экономике сельского хозяйства.

Особую актуальность эта проблема приобрела в настоящее время, поскольку народное хозяйс1во страны переориентировано на рыночные отношения. Эют процесс породил ряд сложных для анализа проблем различного характера В таких условиях чрезвычайно важно уметь оценивать последствия социально-экономических и политических решений. Этому может способствовать построение соответствующих математических моделей с последующим проведением на их основе прогнозных и оптимизационных исследований.

Для эффективного функционирования предприятий требуется определение структуры производственного потенциала, выявление перспективных производств, минимизация за фат, максимизация прибыли и тд Сельскохозяйственное производство подвержено весьма значительному влиянию погодных условий. особенно, в районах Восточной Сибири Поэтому эффективное функционирование и развитие отдельных предприятий, их групп и сельского хозяйства региона зависит от принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или риска.

Исследованию вопросов сюхастического моделирования производственных процессов, посвящены работы ученых- A.B. Канторовича, Н Н Моисеева. JT.C. Понтрягина. Е.Г Гольштейна. в том числе в сельском хозяйстве В.А. Кар-даша, А.Ф. Карпенко, A.B. Лотова и др.

Значительный вклад в развитие теории и практики внедрения численных методов решения выпуклых задач математического программирования внесли известные ученые: Л.Т. Ащепков, В.П. Ьулатов Ю.Г Евтушенко. Ю.Я Левин.

РОС.

БИБЛИОТЕК, С.-Петербург

ОЭ 20И&акт

НАЦИОНАЛ!

В.А. Срочко, Л.Г. Хачиян, В Н.Астафьев, А.П. Уздемир, A.A. Колоколов и многие другие.

Цель диссертационной работы - разработка и апробация методических подходов, математических моделей и методов решения задач оптимизации для исследования эффективности сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности исходной информации.

Основными задачами исследования являются:

1) разработка матемашческих моделей производственных процессов сельскохозяйственного производства;

2) редукция задачи стохас! ической оптимизации сельскохозяйственного про-извтства к некоторым неявно заданным негладким задачам выпуклого про-фаммирования;

3) получение верхней и нижней оценок оптимального решения задачи сельскохозяйственного производства в условиях неопределенное^ вектора цен;

4) модификация численного метода симплексных погружений для решения выпуклых задач математического программирования;

Объектом исследования являются процессы производства сельскохозяйственной продукции, рассматриваемые в условиях неопределенности.

Наиболее важные результаты, выносимые на защиту и составляющие предмет научной новизны:

1) экономико-математическая модель функционирования и развития сельскохозяйственных зон региона с учетом вероятностных характеристик природ-но-производственных процессов и экономических факюров;

2) модифицированный метод ортогональных симплексов и оригинальная средняя оценка скорости сходи мое i и модифицированного метода симплексных погружений;

3) алгоритмическая реализация модифицированного метода ортогональных симплексов.

Методы научных исследований. Для решения поставленных в работе задач использованы методы моделирования производственных процессов, методы погружения - отсечения для решения задач выпуклого программирования, а также методы статистической обработки данных.

Достоверность полученных результатов, научных положений, выводов и рекомендаций обоснована использованием классических методов теории исследования операций, соответствием полученных результатов экспериментальным данным и расчетам, полученным с помощью Microsoft Excel. Maple и GAMS.

Практическая значимость работы

Численные методы, приведенные в работе, позволяют решать широкий класс практических задач и. в частности, задач повышения эффективности сельскохозяйственного производства. Модель стохастическо1 о программирования рекомендована I лавному управлению сельского хозяйства Иркутской об л aci и для описания сельскохозяйственных процессов передовых предприятий АПК ретиона. Разработанные модели и методы решения оптимизационных задач внедрены в тематику дисциплин, связанных с моделированием сельскохозяйственных процессов, преподаваемых в ИрГСХА.

Апробация работы. Основные положения работы и ее результаты докладывались на Научно-практическом семинаре «Информационные технологии в образовании и науке» (Иркутск, 2003); Всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 2003); Всероссийской конференции с международным участием «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (Улан-Удэ. 2003г.); Ляпуновских чтениях и презентации информационных технологий (Иркутск. 2004); Научно-практической конференции, посвященной 70-летию образования ИрГСХА (Иркутск, 2004); Российской конференции «Дискретный анализ и исследования

операций» (Новосибирск, 2004): 13-ой Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, Байкал 2005).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ (из них две в рецензируемых журналах «Оптимизация, управление интеллект» и «Дискретный анализ и исследование операций»).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 120 наименований и приложения. Общий объем диссертации 137 страниц, в том числе 127 страниц основного текста, включая 8 рисунков и 13 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обсуждаются вопросы, связанные с актуальностью темы, сформулированы цель и задачи научных исследований, теоретическая и практическая значимость, а также основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящена обзору задач стохастического программирования с вероятностными ограничениями, а также модечям производства сельскохозяйственной продукции в зонах региона (на примере Прибайкалья) в бассейне магистральной реки с наличием расположенного на водотоке каскада водохранилищ, с помощью которых происходит регулирование речного стока Вода является общим ресурсом для сельскохозяйственного и промышленного производства, а также гидроэнергетики. Предполагается, что сезонные расходы воды в основных притоках реки являются случайными величинами, распределенными по закону Пирсона III рода.

Так как экономические интересы участников водохозяйственного комплекса не совпадают, то в общем, виде задача оптимизации формируется, как многокритериальная задача выпуклого npoi раммирования.

В совокупности система ограничений задачи представляется линейной системой неравенств со случайными величинами в левых частях, вида

P(Ax< Bs)> р. (1)

Здесь А и В - заданные матрицы соответствующих размеров, при этом некоторые элементы а;) матрицы А- могут быть кусочно-линейными функциями. зависящими от количества внесенных удобрений и орошения на единицу площади; хеЕвектор, находящийся в распоряжении ЛПР1; s- случайный вектор с независимыми компонентами, подчиняющимися закону Пирсона III рода; р - заданная вероятность выполнения системы неравенств. Кроме этого, задан линейный векторный критерий, определяемый как

f(x) = c'x + b. (2)

где с - заданная (/ х п) матрица. ЬеЕ' - заданный вектор.

Искомыми величинами поставленной задачи являются площади под сельскохозяйственными культурами на орошаемых и неорошаемых землях, объемы животноводческой и промышленной продукции, выпускаемые в различных зонах, а также объемы электроэнергии.

На переменные величины модели накладываются параллелепипедные ограничения:

- по обрабатываемой площади в сельскохозяйственных зонах:

- на технологические возможности забора воды из притоков и реки;

- на расходы воды в реке в точке ее впадения в водохранилище;

- на концентрацию загрязнителей:

- на расход воды на коммунальные и промышленные нужды в городах;

- на объем воды в озере и др.

Оценка всей системы в целом производится по максимуму прибыли от продажи электроэнергии, сельскохозяйственной и промышленной продукции Помимо максимума прибыли оцени ib водохозяйственный комплекс можно с помощью других критериев: дополнительный сбор зерновых в каждой из

1 ЛПР - лицо, принимающее решение

сельскохозяйственных зон (за счет орошения); отклонения расхода воды в реке от минимального (максимального) уровня; показатель загрязнения реки и водохранилища и т.д.

Предлагаемая задача сельскохозяйственного производства учитывает

лить построчные вероятностные ограничения вида </?,|> р,

О< р, <1, I = \,т и сводится к выпуклой детерминированной многокртери-альной задаче (Паретовской) оптимизации В ряде случаев соответствующим детерминированным эквивалентом стохастической задачи, является задача выпуклого программирования.

Задачи, в которых законы распределения случайных величин известны, относят к стохастическому программированию Если распределение случайных величин неизвестно, то такие задачи относятся к задачам математическою программирования в условиях неопределенности

Рассмотрим семейс1во задач следующего вида

х,у)<0, хе.11х,уе11>,1 = \,т} (3)

где Rt.fi, - выпуклые офаниченные множества, х- вектор в распоряжении ЛПР. у - вектор исходных данных и возмущений, поступающих извне в рассматриваемую систему и принадлежащих выпуклому множеству . Как правило, множество задается своими верхними и нижними фаницами на компоненты у, вектора у.

Компонентами вектора у могут быть урожайности у -й сельскохозяйственной культуры на почве /'-го типа ¡а,,}, сток рек, уровни зеркала водохранилища. трудовые и дру( ие виды ресурсов и т.д.

Выскажем три гипотезы относительно принадлежности у е И .

Известны:

1) нижние и верхние фаницы у^ у] изменения уг у = 1./;

2) функция степени принадлежности М(у) вектора уеЯ1 т.е. К> размытое (нечеткое) множество.

3) /(у) плотность распределения случайного вектора у (стоки рек, урожайности различных сельскохозяйственных культур, величина трудовых ресурсов и др.)

В диссертации последовательно рассмотрены частые постановки задачи (3). как следствие перечисленных гипотез.

Во второй главе рассматриваются некоторые эффективные методы решения задач выпуклого программирования. При теоретическом анализе методов оптимизации исследуются лишь сходимость и скорость сходимости итеративных процессов. Однако, как показал опыт многолетних расчетов на ЭВМ, сходимость алгоритма и даже сходимость за конечное число шагов не отвечают практическим критериям эффективности даже при реализации известных алгоритмов, например, градиентного метода или метода наискорейшего спуска.

В связи с этим важное значение имеют методы, которые разрешили бы, например, задачу линейного программирования за полиномиальное по входу число шагов. Идея методов состоит в локализации решения задачи, т е в построении последовательности простых множеств, например симплексов, каждый из которых содержит решение исходной задачи, и их объемы стремятся к нулю.

Очевидно, что для сходимости методов необходимо, чтобы соблюдался принцип сокращения объема, т.е. отношение объемов каждого последующего вспомогательного множества к предыдущему должно быть меньше единицы. Знаменатель прогрессии итеративного процесса (отношение объемов) в методе центра тяжести симплексов зависит лишь от размерности пространства.

В работе рассмотрены также метод опорного конуса и его различные модификации. Устанавливается связь центрированных отсечений с отсечениями,

использующими метод последовательного погружения допустимого множества.

Постановка задачи:

где <р,{х)~ квазивыпуклые гладкие функции.

Методы решения задачи (4) и (5) условно разделим на два класса. К первому отнесем те методы, скорость сходимости которых к решению, в определенном смысле, зависит от ее специфики, т.е. от исходных данных, структуры и размерности задачи. Другой класс содержит методы, скорость сходимости которых зависит лишь от размерности пространства.

Оценивая эффективность метода оптимизации, имеет смысл получения не только гарантированной оценки скорости сходимости алгоритмов, но также получение средней оценки2 за счет некоторой разумной статистической гипотезы. Симплекс метод не является полиномиальным алгоритмом для класса задач линейного программирования, однако, уже около пятидесяти лет он подтверждает свою высокую эффективность и, в среднем, для решения задачи линейного программирования ему необходимо порядка т + п итераций. Такие оценки известны также для некоторых версий метода центров тяжести симплексов.

Данная работа примыкает к этому направлению и продолжает исследования, начатые ранее. В работах В.П. Булатова и Е.Г. Анфицерова предложена последовательность симплексов, содержащих решение исходной задачи. Причем скорость сходимости, равная отношение объемов двух последовательных

<Ръ (х) —> тт, л £ Л

(4)

(5)

симплексов удовлетворяло неравенству д =

2 Математическое ожидание при равномерном законе распределения

Здесь |Г| - объем симплекса V, к -число отсеченных секущей плоскостью вершин текущего симплекса 1 <к<п (при к-1 ц < '-).

Предлагаемая модификация метода решения задачи (4) и (5) заключается в следующем. Погрузим множество Л в «-мерный оршгональный симплекс:

=|л:е£" |>, = и + 1, х, >0, г = йй|. (7)

Гиперплоскостью, проходящей через центр тяжести 5„, симплекс разбивается на две области. Область, содержащая точку минимума х*, погружается в п-мерный ортогональный симплекс меньшего объема, чем предыдущий. Затем через центр тяжести нового симплекса проводится секущая плоскость и определяется «усеченный симплекс», в котором локализуется точка х*. и процесс повторяется многократно Для построения алгоритма необходимо эффективно вычислять последовательность объемов текущих симплексов. При этом известно. что отношение объемов двух последовательных симплексов меньше единицы.

Обозначим через а' коэффициенты при векторе х в уравнении секущей плоскости. При допущении, что в текущей точке х (центра тяжести симплекса ) равновероятно число к:\<к<п нулевых (ненулевых) компонентов вектора а, оценку (6) можно осреднить. При этом средняя скорость сходимости по объему итеративного процесса имеет вид

_п_V 1

И 4 1 ) И

(8)

п

2

Эта оценка существенно лучше (в смысле более быстрой средней скорости сходимости к решению исходной задачи) полученной ранее для методов центра тяжести ортогональных симплексов.

В работе проведено сравнение скорости сходимости метода эллипсоидов и метода центров тяжести правильных и ортогональных симплексов. Величина

сокращения объема (скорость сходимости) в базовом методе симплексов (правильных) на каждой итерации зависит от числа отсеченных вершин, т.е.

Я

<

к + и 1^-1.

где к = 1, п . причем при к = 1 д< 1 / 2.

(9)

Нетрудно видеть, что гарантированная оценка д«<( " ] ( " | = „

достигается лишь в том случае, когда отсекается всего одна вершина и секущая плоскость параллельна (п-\) - мерной грани симплекса, содержащей п неот-сеченных вершин. Если допустить, что равновероятны отсечения одной, двух или п вершин текущею симплекса, то оценку можно усреднить, при этом известно, что средняя оценка дз </. < 1 —3 В методе эллипсоидов переход к

2 п

эллипсоиду меньшего объема происходит с постоянной скоростью

л + 1 м-1

о = \ " 1 2 ( "- ) 2 4 независимо от сложившейся ситуации, при этом асим-

и + и и-и . 1

птотически д J~l--, т.е. в среднем метод правильных симплексов имеет тот

пе

же порядок сходимости, что и метод эллипсоидов, но с лучшей константой.

Для разработанного модифицированного ортогональных симплексов метода оценка скорости сходимости имеет вид

г п V' , л + / ) п

'/ 1 ♦ 1

1_1пп_. (10)

В работе выполнены вычислительные эксперименты для различных методов. В табл.1 приведены оценки скорости сходимости для методов эллипсои-

3 Булатов В П Методы погружения в задачах оптимизации / В П Булатов Новосибирск. Наука - 1977 -154 с

4

Хачиян Л Г Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании // ЖВМ и МФ - 1980 - Т 28, № ! -С 51-69

дов, симплексов, среднее правильных симплексов для различных п, а также среднее значение для модификации метода ортогональных симплексов, рассмотренного в диссертационной работе.

Таблица 1

Сравнение скорости сходимости численных методов_

Размерность Скоросгь сходимости

п Метода эллипсоидов Метода симплексов (/, Среднее ц для правильных симплексов Модифицированный метод ортогональных симплексов Ц

2 0,769800 0,888888 0,694444 0,694444

5 0,904224 0,981146 0,858031 0,828345

10 0,951140 0,995154 0,924885 0,889142

20 0.975290 0,998770 0,961309 0,930168

50 80 0,990049 0,999801 0,984237 0,963738

0,993700 0,999922 0,990102 0,974548

100 0,995012 0,999950 0,992069 0,978565

При ц —> 1 итеративный процесс сходится медленнее. Из табл. 1 видно, что модифицированный метод предпочтительнее как метода эллипсоидов, так и метода симплексных погружений.

Апробация метода выполнена на примере решения задачи минимального отключения нагрузки в трехузловой электроэнергетической сеш, функционирующей в сельскохозяйственном регионе

Рассмо1рена электрическая сеть, состоящая из т + 1 узла с номерами 0.1,2,.... т. Каждый узел, за исключением нулевого, отождествляется с потребителем элекфической мощности. Узел 0 называется базовым и отождествляется с источником мощности. В модели содержатся уравнения балансов активной мощности в каждом узле.

Разработанный модифицированный метод реализован алгоритмически и выполнены расчеты на ПК При этом решены задачи распределения дефицита электрической мощности в рамках модели электроэнергетической системы (ЭЭС), записанной в прямоугольной системе координат, минимизирующим

максимальный дефицит мощности в текущем узле, или потери мощности в сетях.

Созданное математическое обеспечение может быть использовано как на стадии проектирования, так и при эксплуатации ЭЭС для анализа их надежности. Расчет проведен на примере трехузловой ЭЭС. Алгоритм показал уверенную сходимость к решению задачи и подтвердил его теоретическую эффективность.

В третьей главе решены три частные задачи: задача поиска minmin{c7x хе R{y)} и minmax{cr;t:jce для оптимизации кормопроиз-

V X I у

водства. и стохастическая задача с построчными вероятностными ограничениями.

Решения двух первых задач дают верхнюю и нижнюю оценки оптимального решения планирования кормопроизводства.

С математической точки зрения задача минимизации затрат на производство кормов формулируется следующим образом

= ff>„) ->mm.

ti V' i /

к _

при условиях ограниченной площади <5;, /=1,обеспечении баланса

ы

кормов, полученных с посевной площади и в качесше побочной продукции:^;, <р +]Га;1>( у-Ы; обеспечении минимальной потребности в кормах в

keh

соответствии со структурой рациона (ограничение по структуре рациона) a^x^d^ z,, i = l,m. j =\.п; ограничении по максимальному содержанию

кормов в рационе ах <d -zt, f=\,m\ j =\,п\ сбалансированности рациона

по кормовым единицам' ¿a * =zt. i~\,m\ вспомогательном ограничении по

j' i

суммарному количеству кормовых единиц г, >Q,, i-\.m\ неотрицательности переменных ук > 0; xt] >0; г, > 0, к = l,K; i -1, т; j = Г, п.

Здесь к - вид зернофуражных и кормовых культур с общим количеством К; 1 - вид земельных ресурсов (пашня, естественные пастбища); j - вид корма с общим количеством л; / - вид животного с общим количеством т; ск - затраты на 1 га посева к-й культуры, тыс. руб.; с, стоимость 1 ц. побочной продукции, используемой на корм животным, тыс. руб.; ач - содержание кормовых единиц в 1 ц j-го вида корма, ц; а,к - выход j- го вида корма с 1 га посева к-й культуры, ц; х,, - количество j-го вида корма, включаемого в рацион /-го вида животного, ц: - вспомогательная переменная, обозначающая общее количество кормовых единиц, необходимое для /-го животного, ц; » - искомая площадь посева к-Я культуры, га, Pj - возможный объем поступления /-го вида корма в качестве побочной продукции, ц.; d:) - минимальная доля содержания j- го корма в рационе /-го животного; dt] - максимальная доля содержания j-го корма в рационе i-

го животного; S/ площадь земельного ресурса I вида пашни, используемая для производства кормов; Q, общая потребность в кормовых единицах для /-го животного.

Верхнюю оценку затрат на производство кормов обозначим через - <р, нижнюю - £>. Результаты расчетов, полученные с помощью лицензионной программы GAMS приведены в табл. 2.

Таблица 2

Резулыа! решения задачи___

Варианты Верхняя оценка^ Нижняя оценка р | Разность^-«?

1 3182,6 3197,5 88,9

2 3354,6 2989,8 66,7

3 2957,3 2956,8 | 0.5

Решение задачи дает возможность ЛПР оценить степень устойчивости или неустойчивости оптимального решения относительно тех или иных неоп-

ределенных факторов При малом значении <р--(р (вариант 3), система устойчива в противном случае, при существенной разнице <р-(р, (вариант 1) следует принимать меры для повышения устойчивости работы сельскохозяйственного предприятия.

Задача оптимального планирования сельскохозяйственного производства в условиях орошения Она основана на стохастическом программировании с построчными вероятностными ограничениями и описывает конечное число исходов5. Заданы суммарные производственные ресурсы оросительного комплекса (площади богарных и орошаемых земель, трудовые ресурсы, основные и оборотные среда ва) и минимальные объемы производства сельскохозяйственной продукции.

Для зоны оросительной системы выделены возможные годовые реализации естественного увлажнения почв и водности источника орошения, определены частоты повторений этих реализаций. Поскольку исходы случайны, то экономический эффект от орошения будет случайной величиной. Поэтому критерий оптимальности в данной задаче должен учитывать степень гарантии, или вероятности получения эффекш В нашем случае в качестве целевой функции возьмем математическое ожидание годового чистого дохода от сельского хозяйства как показателя, по которому варианты орошения оцениваются как с точки зрения затрат, так и выхода продукции.

На основании анализа водных ресурсов магистральной реки в период вегетации показано, что эта характеристика распределена по нормальному закону. Аналошчным образом предполагается, что трудовые ресурсы подчиняются вероятностному распределению Гаусса с меньшим параметром вариации по сравнению с водными ресурсами. Результаты решения задачи приведены на рис. 1

Вероятность представляет собой задаваемые значения по водным и трудовым ресурсам.

05 06

вероятность, р

Рис 1 Математическое ожидание распределение чистого дохода при реализации различных вероятностей.

В результате экономико-математического анализа полученного решения видно, что суммарная величина чистого дохода при большей вероятности обеспечения водными ресурсами растет Вследствие этого выгодным с точки зрения оптимальности является овощеводство и молочное скотоводство Неравенства, формирующие ограничения по овощам и молоку, в точках оптимума активны, т.е. обращаются в нуль.

Соотношение оценок богарных и орошаемых земель в сопоставлении с оценкой воды показывает, что богарное земледелие в условиях удаленных водных источников эффективнее, чем орошаемое Развивать последнее выгодно при наличии на незначительных расстояниях водных объектов Для сглаживания различия дефицита воды по исходам можно использовать построенные водохранилища

Под исходом условий сельскохозяйственного производства понимается случайная реализация динамичных погодных условий, с которой однозначно могут быть сопоставлены определенные объемы ресурсов и удельные

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложены модели функционирования и развития сельскохозяйственных зон региона на примере Восточной Сибири, где промышленные, так и сельскохозяйственные агломерации расположены вдоль магистральной реки Ahí ары

2. Решена задача оптимизации производства сельскохозяйственной продукции с вероятностными ограничениями, выделенная из общей задачи функционирования и развития сельскохозяйственных зон региона.

3 Разработана модель оптимизации кормопроизводства в условиях неопределенности вектора цен и получены верхние и нижние оценки оптимальных решений задачи.

4 Предложенные задачи оптимизации сельскохозяйственного производства редуцированы к некоторым неявным и не гладким задачам выпуклого программирования.

5 Получены оригинальные версии метода ортогональных симплексов для решения задач выпукчого программирования, реализованные в огпимиза-ционных задачах сельскохозяйственного производства.

6 Проведено сравнение оценок скорости сходимости модифицированного метода ортогональных симплексов, мегода эллипсоидов и метода правильных симплексов и определено преимущество предложенной модификации.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Булатов В П.. Федурина П.И. Математическое моделирование в технике, энергетике и экономике Ч Материалы вюрого научно-методического семинара Информационные технологии в образовании и науке.- Иркутск. ИСЭМ СО РАН. 2003.-С.4-14.

показатели, характеризующие земледелие при соответствующих технологиях производства

2. Федурина H.И. Оценки сверху и снизу в моделях сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности // Материалы второго научно-методического семинара. Информационные технологии в образовании и науке,- Иркутск: ИСЭМ СО РАН. 2003 - С. 19-22.

3 Булатов В П., Федурина Н.И. Об одном эффективном методе выпуклого программирования // Материалы Всероссийской конференции «Проблемы огпимизации и экономические приложения».- Омск. 2003.-С. 19-23.

4 Федурина Н.И. Две задачи математическою программирования связанные, с оптимизацией сельскохозяйственного производства // Материалы Всероссийской конференции. Проблемы ошимизации и экономические приложения,- Омск: 2003.- С.125-129.

5. Федурина Н.И. О некоторых моделях сельскохозяйственного производства в условиях неопределенное ги // Материалы Всероссийской конференции «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы».-Улан-Удэ, 2003,- Ч.И.-С. 103-105.

6 Ьулатов В.П., Федурина H И. Математическое моделирование развития и ф>нкционировапия региональных систем // Материалы Всероссийской конференции «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» Улан-Удэ. 2003.-Ч1,- С. 12-16.

7 Булатов В.П , Горбунова Н.В., Федурина Н.И. Об одной новой версии методов отсечения в глобальной оптимизации // Материалы конференции «Дискретный анализ и исследование операций». - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2004. - С. 122.

8 Bulatov V Р , Gorbunova N.V., Fedurina N.I. About a new version of the cuttingoff methods in global optimization // International Workshop ''Discrète Optimization Methods in Production and Logistics (DOM'2004).- Omsk: Nasledie Dialog-Sibir Pbs., 2004. - p. 203-204.

KS 1 О 0 2 4

9. Булатов B.II. Федурина Н.И. К эффективным методам выпуклого программирования // I езисы докладов «Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий». - Иркутск. 2004. - С.22-26.

Ш.Горбунова Н.В., Федурина Н.И. Модели стохастического программирования сельскохозяйственного производства // Материалы научно-практической конференции, посвященной 70-летию образования ИрГСХА.- Иркутск: Изд-воИГСХА. 2004.-С. 61-65.

П.Булатов ВП. Федурина Н.И. Об одном эффективном методе выпуклого программирования // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. 2004.-Т. 11. № 1.-С. 1-5.

12 Булатов B.I1. Федурина Н.И. Математическое моделирование и эффективные численные методы выпуклого программирования6 // Оптимизация, управление, интеллект. 2004.- Т.1, № 7. - С.71-84.

13 Горбунова Н В.. Федурина Н И Экономико-математическая модель развития и функционирования сельскохозяйс1 венных и промышленных зон региона // Труды Всероссийской конференции и секции Математической экономики 13-ой Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». - Иркутск: ИСОМ СО РАН. 2005.- Т.2. - С 234-239

Изд. лиц. ЛР №070444 от 11.03.98.

Подписано в печать 25.04.2006 г.

Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная.

Усл-печ л. 1.2. Уч -изд. л. 1.0. Тираж 100 экз Заказ №. 1532

ИрГСХА. г. Иркутск, п. Молодежный

Ошсчатано в редакционно-издательском центре Иркутской государственной сельскохозяйственной академии 664038, г. Иркутск, п. Молодежный.

6 Работа поддержана РФФИ грант 03-01-0051В

Введение.

1. Оптимизационные эколого-экономические модели с учетом неопределенности информации.

1.1. Эколого-экономическая модель функционирования производственных зон региона.

1.1.1 Учет случайного характера водозабора.

1.1.2. Задача с вероятностным ограничением.

1.3. Оптимизация сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности исходной информации.

1.4. Оценки сверху и снизу в моделях сельскохозяйственного производства.

2. Эффективные численные методы выпуклого программирования.

2.1. Методы погружения-отсечения в выпуклом программировании.

2.1.1. Метод центров тяжести эллипсоидов.

2.1.2. Метод центров тяжести симплексов.

2.1.3. Задача покрытия п -мерным симплексом усеченного п -мерного ортогонального симплекса.

2.1.4. Задача оптимального покрытия п-мерным симплексом усеченного 11-мерного правильного симплекса.

2.2. Сравнение скорости сходимости методов центрированных отсечений

2.2.1. Сравнение скорости сходимости метода эллипсоидов и метода центров тяжести симплексов.

2.2.2. Сравнение метода правильных симплексов с методом эллипсоидов.

2.3. Модель отключения нагрузки в распределительных электрических сетях сельскохозяйственных регионов.

2.4. Общая схема методов погружения-отсечения.

2.4.1. Алгоритм метода опорного конуса.

2.4.2. Вычислительные эксперименты и тестовые примеры.

3. Математическое моделирование и экспериментальные исследования сельскохозяйственных процессов.

3.1. Задача нахождения верхней и нижней оценок оптимального решения планирования кормопроизводства.

3.2. Моделирование производства в условиях орошаемого земледелия в сочетании с богарным.

В последние годы методы математического моделирования по-прежнему активно используются для подготовки принятия управленческих решений. Прикладная значимость методов математического моделирования весьма велика. Они давно применяются в различных отраслях знаний, в том числе в экономике в целом и в экономике сельского хозяйства частности.

Особую актуальность эта проблема приобрела в настоящее время, так как народное хозяйство страны переориентировалось на рыночные отношения. Этот процесс породил ряд сложных для анализа проблем различного характера. В таких условиях чрезвычайно важно уметь оценивать последствия социально-экономических и политических решений. Этому может способствовать построение соответствующих математических моделей с последующим проведением на их основе оптимизационных расчетов и прогнозирования.

Цель диссертационной работы - разработка и апробация методических подходов, математических моделей и методов решения задач оптимизации для исследования эффективности сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности исходной информации.

Основными задачами исследования являются:

1) разработка математических моделей производственных процессов сельскохозяйственного производства;

2) редукция задачи стохастической оптимизации сельскохозяйственного производства к некоторым неявно заданным негладким задачам выпуклого программирования;

3) получение верхней и нижней оценок оптимального решения задачи сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности вектора цен;

4) модификация численного метода симплексных погружений для решения выпуклых задач математического программирования.

Объектом исследования являются процессы производства сельскохозяйственной продукции, рассматриваемые в условиях неопределенности.

Предмет исследования - это стохастические оптимизационные модели и модели с неявно заданной информацией и их редукция к неявно заданным задачам выпуклого программирования, а также методы погружения и отсечения для решения этих задач.

Теоретическую и методологическую базу исследования составляют труды ученых в области моделирования производственных процессов с учетом стохастических характеристик природно-климатических и водных ресурсов и неоднозначно заданной информацией (A.B. Канторовича, H.H. Моисеева, J1.C. Понтрягина, Е.Г. Гольштейна), применительно к сельскому хозяйству (В.А. Кардаш, А.Ф. Карпенко, В.В. Федосеев и др.). Значительный вклад в развитие теории и практики внедрения численных методов решения выпуклых задач математического программирования внесли известные ученые: J1.T. Ащепков, В.П. Булатов Ю.Г Евтушенко, Ю.Я Левин, В.А. Срочко, Л.Г. Хачиян, В.Н.Астафьев, А.П. Уздемир, A.A. Колоколов и многие другие.

Для проведения исследования использовались следующие методы: методы моделирования производственных процессов; стохастическое программирование, элементы статистической обработки и анализа данных; численные методы симплексных погружений.

Основные результаты, составляющие научную новизну: - разработана экономико-математическая модель развития и функционирования сельскохозяйственных зон региона с вероятностными характеристиками природно-производственных процессов;

- предложена модификация метода ортогональных симплексов для более эффективного решения задач выпуклого программирования;

- предложен алгоритм модифицированного метода симплексных погружений;

- разработана модель отключения нагрузки в распределительных электрических сетях и приведены оптимизационные расчеты на примере трехмашинной электроэнергетической системы.

Данная работа посвящена некоторым экономико-математическим моделям, возникающим при производстве сельскохозяйственной продукции. Эти задачи связаны с рассмотрением оптимального распределения общих водных и трудовых ресурсов при планировании производства сельскохозяйственной продукции. Искомыми переменными в этой задаче являются площади, занимаемые сельскохозяйственными культурами, на орошаемых и неорошаемых землях и объемы продукции животноводства в различных сельскохозяйственных зонах.

Допустимая область решений этих задач определяется ограничениями на заданные объемы производства продукции, на земельные водные и трудовые ресурсы, ограничениями на севообороты и условиями перевода растениеводческой продукции на корма. Стоки рек рассматриваются как случайные величины, подчиняющиеся закону гамма-распределения. Урожайность основных культур и численность трудовых ресурсов определены или интервалом, или принимаются распределенными по нормальному закону.

Традиционно, при теоретическом анализе методов оптимизации обычно исследуются лишь сходимость и скорость сходимости итеративных процессов. Однако, как показал опыт многолетних расчетов на ЭВМ, сходимость алгоритма и даже сходимость за конечное число шагов не всегда отвечает практическим критериям эффективности. В связи с этим актуальное значение имеет разработка таких методов, которые разрешили бы, например, задачу линейного программирования за полиномиальное по входу число шагов [1, 2, 7].

В последние годы появился ряд работ в этом направлении. В них для решения некоторых задач математического программирования (например, линейного) предложены полиномиальные по сложности алгоритмы [46, 47, 48]. Здесь мы рассмотрим некоторые новые методы отсечений для решения задач выпуклого программирования, развивающие работы этого направления.

В первой главе диссертации рассматриваются модели, сводимые к выпуклому программированию, а также постановка задач сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности, когда неопределенность носит стохастический характер.

Во второй главе описана модель оптимального планирования сельскохозяйственного производства в условиях орошения с построчными вероятностными ограничениями и модель сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности в терминах размытых множеств [50]. Также приведен анализ решения исследуемых задач.

В третьей главе приводится новая версия метода центров тяжести ортогональных симплексов, имеющая лучшую среднюю асимптотическую оценку скорости сходимости, чем известные ранее методы [10,11]. Здесь же приводится решение тестовых примеров, показывающих эффективность предлагаемой методики, и таблицы, в которых проводится сравнение скорости сходимости предложенного метода с ранее известными. А также задача об отключении нагрузки в распределительных электрических сетях для сельскохозяйственных регионов.

Практическая ценность:

- численные методы, приведенные в работе, позволяют решать большой класс практических задач и имеют широкие перспективы дальнейшего развития;

- предложенная модель стохастического программирования рекомендуется ГУСХ для описания сельскохозяйственных процессов в передовых предприятиях АПК Иркутской области;

- методы решения задач и разработанные модели внедрены в курс дисциплин, связанных с моделированием сельскохозяйственных процессов в ИрГСХА.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Научно-практический семинар «Информационные технологии в образовании и науке» (Иркутск, 2003г.); Всероссийская конференция «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 2003г.); Международная конференция «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (Улан-Удэ, 2003г.); «Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий» (Иркутск, 2004г.); «Научно-практической конференции, посвященной 70-летию образования ИрГСХА» (Иркутск, 2004г.); Российская конференция «Дискретный анализ и исследования операций» (Новосибирск, 2004г.); 13-я Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, Байкал 2005г.).

По результатам выполненных исследований опубликовано 13 работ [13, 14, 15, 16, 17, 18, 24, 38, 39, 40, 51, 59].

Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.П. Булатову, а также к.т.н. О. В. Хамисову, д.т.н. С.И. Носкову и д.т.н. Н.П. Декановой за внимательное отношение к работе.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Предложены модели функционирования и развития сельскохозяйственных зон региона на примере Восточной Сибири, где промышленные и сельскохозяйственные агломерации расположены вдоль магистральной реки Ангары.

2. Решена задача оптимизации производства сельскохозяйственной продукции с вероятностными ограничениями, выделенная из общей задачи функционирования и развития сельскохозяйственных зон региона.

3. Разработана модель оптимизации кормопроизводства в условиях неопределенности вектора цен и получены верхние и нижние оценки оптимальных решений задачи.

4. Предложенные задачи оптимизации сельскохозяйственного производства редуцированы к некоторым неявным и негладким задачам выпуклого программирования.

5. Получены оригинальные версии метода ортогональных симплексов для решения задач выпуклого программирования, реализованные в оптимизационных задачах сельскохозяйственного производства.

6. Проведено сравнение оценок скорости сходимости модифицированного метода ортогональных симплексов, метода эллипсоидов и метода правильных симплексов и определено преимущество предложенной модификации.

Заключение

1. Александров И.А., Анциферов Е.Г., Булатов В.П. К методам центрированных отсечений/ И.А. Александров, Е.Г. Анциферов, В.П. Булатов // Тезисы докладов конференции по математическому программированию. - Свердловск, 1981.-С. 16-19.

2. Александров И.А., Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Методы центрированных отсечений в выпуклом программировании. -Иркутск, 1983.- 33с.- (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Сиб. энергет. ин-т; № 5.)

3. Анциферов Е.Г. К методу эллипсоидов в выпуклом программировании/ Е.Г. Анциферов // Тез. докл. Методы математического программирования и программное обеспечение.-Свердловск: ИМиМ УНЦ АН СССР, 1987.-С. 9-10.

4. Анциферов Е.Г. К методу эллипсоидов в квадратичном программировании // Модели и методы исследования операций.-Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1988.-С. 4-22.

5. Анциферов Е.Г., Ащепков Л.Т., Булатов В.П. Методы оптимизации и их приложение. 4.1. Е.Г. Анциферов, Л.Т. Ащепков, В.П. Булатов. Математическое программирование. -Новосибирск: Наука. 1990.-158с.

6. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. К полиномиальным методам в выпуклом программировании. Оптимизация: модели, методы, решения./ Е.Г. Анциферов, В.П. Булатов. Новосибирск: ВО «Наука». Сиб. изд-во, 1992. -С. 4-29.

7. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Алгоритм симплексных погружений в выпуклом программировании/ Е.Г. Анциферов, В.П. Булатов. // Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1987-Т. 27, № 3, С. 377384.

8. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Алгоритм симплексных погруженийв выпуклом программировании/ Е.Г. Анциферов, В.П. Булатов // ЖВМ и МФ.- 1984.-Т.27, №3.- С. 348-385.

9. Анциферов Е.Г., Даниленко Ю.Я. Решение задач выпуклого программирования модифицированным методом опорного конуса/ Е.Г. Анциферов, Ю.Я. Даниленко // Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982.- С. 32-35.

10. Ащепков JI.T., Белов Б.И., Булатов. В.П. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления/ JI.T. Ащепков, Б.И. Белов, В.П. Булатов.- Новосибирск: Наука , 1984-233 с.

11. Булавский В.А., Звягина P.A., Яковлева М.А. Численные методы линейного программирования / В.А Булавский, P.A. Звягина, М.А. Яковлева-М.: Наука, 1977.- С. 111-113.

12. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации./ В.П. Булатов Новосибирск: Наука, 1977. -154 с.

13. Булатов В.П., Федурина Н.И. К эффективным методам выпуклого программирования/ В.П. Булатов, Н.И. Федурина // Тезисы докладов «Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий» Иркутск, 2004. - С.22-26.

14. Булатов В.П., Федурина Н.И. Об одном эффективном методе выпуклого программирования/ В.П. Булатов, Н.И. Федурина // Материалы Всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения». Омск, 2003. - С. 19-23.

15. Булатов В.П., Федурина Н.И. Об одном эффективном методе выпуклого программирования/ В.П. Булатов, Н.И. Федурина // Журн. Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. 2004 -Т. 11, № 1-С. 1-5.

16. Булатов. В.П. Численные методы решения некоторых экстремальных задач./ В.П. Булатов Информационный сборник трудов ВЦ ИГУ. - Иркутск, 1968.- 125с.

17. Булатов. В.П. Численные методы решения некоторых игровых задач. Сб. Методы оптимизации и их приложения.- Иркутск. 1974.-С.156-164.

18. Булатов. В.П. О некоторых методах аппроксимации для решения задач выпуклого программирования/ В.П. Булатов В сб.: Методы математического моделирования в энергетике- Иркутск, 1966.

19. Волконский В.А. Оптимальное планирование в условиях большой размерности В.А. Волконский // Экономика и математические методы. Т.1, вып.2,1965.- С. 26-37.

20. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании./ Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин. М.: Советское радио.- 1966.- С. 400-418.

21. Демьянов В.Ф., Малоземов. В.Н. Введение в минимаке,- М., «Наука», 1972.-112с.

22. Дж. Нэш. Бесконечные игры./ Дж. Нэш -В сб.: Матричные игры.-М. :,Физматгиз, 1961.

23. Козлов М.К., Тарасов С.П., Хачиян Л.Г. Полиномиальная разрешимость выпуклого квадратичного программирования/ М.К. Козлов, С.П. Тарасов, Л.Г. Хачиян // Докл. АН СССР.- 1979.- Т. 20, №1.- С. 1051-1053.

24. Левин Ю.Я. Об одном алгоритме минимизации выпуклых функций./ Ю.Я. Левин //ДАН.-1965.-Т.160, № 6.-С.1244-1247.

25. Лотов A.B. Введение в экономико-математическое моделирование/ A.B. Лотов М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.-С. 163-221.

26. Льюис, Файфа. Игры и решения Льюис, Файфа // Изд. Иностранная литература. 1967.

27. Митягин Б.С. Два неравенства для объемов выпуклых тел/ Б.С. Митягин // Математические заметки.- 1965. Т. 5, №5. - С.20-25.

28. Ненахов Э.П., Примак М.Е. Метод чебышевских центров в модели отыскивания экономического равновесия/ Э.П. Ненахов, М.Е. Примак. Киев, 1983.- (Препр./ИК АН УССР).

29. Ненахов Э.П., Примак М.Е. Многоточечные методы негладкой оптимизации. Киев, 1983.- (Препр./ИК АН УССР).

30. Полаг Э. Численные методы оптимизации. Единый подход./ Полаг Э. М.: Мир, 1974. - С.183-193.

31. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию// Б.Т. Поляк. -М: Наука.-1983.-382 с.

32. Семеней П.Т., Хамисов О.В. Об одной модификации метода опорного конуса / П.Т. Семеней, О.В. Хамисов// Тез.докл.конф. по матем. программированию. - Свердловск:ИММ УНЦ АН СССР, 1987.-С. 101-102.

33. Федурина Н.И. Две задачи математического программирования, связанные с оптимизацией сельскохозяйственного производства/

34. H.И. Федурина // Материалы Всероссийской конференции Проблемы оптимизации и экономические приложения. Омск, 2003.-С. 19-23.

35. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании / Л.Г. Хачиян //ЖВМ и МФ. 1980. - Т.28, №1.-С. 51-69.

36. Хачиян Л.Г. Проблемы оптимальных алгоритмов в выпуклом программировании декомпозиции и сверки/ Л.Г. Хачиян // Компьютер и задачи выбора. М.: Наука, 1989.- С. 161-204.

37. Чарнес, Купер (Charnes A., Cooper W.W.). Deterministic equivalents for optimizing and satisfying under chance constraints. Oper. Res., 1963, v. 11, № l,p. 18-39.

38. Чарнес, Купер, Симондс (Charnes A., Cooper W.W., Symonds G.H.).

39. Cost horizon and certainty equivalent. Manag. Sci., 1958, v. 4, № 3, p. 235-263.

40. Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей с помощью эллипсоидов. 2/ Ф.Л. Черноусько // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика.- 1980. -№4. -С. 3-11.

41. Шор Н.З. Методы отсечения с растяжением пространства для решения задач выпуклого программирования/ Н.З. Шор // Кибернетика. 1977. - № 1. - С. 94-95.

42. Юдин Б.Д., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы выпуклого программирования/ Б.Д. Юдин, А.С. Немировский.-М.: Наука,-1980.- 460 с.

43. Юдин Д.Б., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач/ Б.Д. Юдин, А.С. Немировский // Экономика и мат. методы.- 1976-Т.12, №2.-С.357-369.

44. Юдин Д.Б., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы выпуклого программирования/ Б.Д. Юдин, А.С. Немировский. М.: Наука, 1977. - 154 с.

45. Юдин Д.В. Математические методы управления в условиях неполной информации./Д.Б. Юдин.- М: Сов. радио, 1974.- 400с.

46. J. E. Kelly. The auttinng-plane method for sclving convex programs. JJOS Jndustr olnd Appl. Math.-1961, №8, p. 703-704.

47. Кардаш В.А. Краткая история становления и развития Российской школы стохастической оптимизации в АПК/ В.А. Кардаш // Межд. симпоз. Экономико-математические методы в АПК:история и перспективы.-М.:ВИАПИ, 1999. С 48- 53.

48. Кардаш В.А. Стохастические объективно обусловленные оценки производственных факторов (на примере с/х производства)/ В.А. Кардаш // Оптимизация. 34(51). -Новосибирск. 1984. С.20-35.

49. Носков С.И. Технология моделирования объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в данных./ С.И. Носков. Иркутск: РИЦ ГП «Облинформпечать», 1996.С 6-10.

50. Карпенко А.Ф., Кардаш В.А., Низова Н.С. и др. Практикум по моделированию экономических процессов в сельском хозяйстве. Под. ред. А.Ф. Карпенко.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: Агропромиздат, 1985. 269с.

51. Валотин A.A. О линейных моделях с неоднозначно заданной информацией// A.A. Валотин // Методы выпуклого программирования и некоторые приложения. Свердловск, 1992.-С. 12-16.

52. Балабайкин В.В. Моделирование равновесного состояния на рынках продукции АПК / В.В. Балабайкин// АПК: экономика, управление. 2003. - N 5. - С. 53-58.

53. Васин А. С. Экономико-математические модели процесса согласования интересов участников финансово-промышленной группы/А.С. Васин // Финансы и кредит. 2004. - N 24. - С. 53-58.

54. Петраков Н.Я., Ротарь В.И. Фактор неопределенности и управление экономическими системами/ Н.Я. Петраков, В.И. Ротарь. М.: Наука, 1985.- С.23-29.

55. Аркин В.И., Сластников А.Д. Равновесная модель перехода от централизованной экономики к конкурентному рынку/ В.И. Аркин, А.Д. Сластников// Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, вып.З. М.: ЦЭМИ РАН, 2005. 124 с.

56. Сластников А.Д. Равновесная динамика замкнутого рынка монопродуктовых производств/ А.Д. Сластников.- Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, вып.4. -М.: ЦЭМИ РАН, 2005. 124 с.

57. Гаврильца Ю.Н. Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов. / Сборник статей под ред. Ю.Н. Гаврильца. Вып. 3. М.: ЦЭМИ РАН, 2004. - 137 с.

58. Модели и методы прогнозирования деятельности предприятий и отраслей народного хозяйства. / Сборник трудов под ред. Н.Е.Егоровой.- М.: ЦЭМИ РАН, 2004. 134 с.

59. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения. Уч. пособие для вузов./ М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. М.: ИНФРА -М, 2003. С.57-72.

60. Качалов P.M. Управление хозяйственным риском./ P.M. Качалов. --М.: Наука, 2002. 192 с. (Серия "Экономическая наука современной России").

61. Раткович Д.Я., Болгов М.В. Стохастические модели колебаний составляющих водного баланса речного бассейна/ Д.Я. Раткович, М.В. Болгов.- М.: Институт водных проблем РАН, 1997. -262 с.

62. Ермольев Ю.М., Ястремский А.И. Стохастические модели и методы в экономическом планировании/ Ю.М. Ермольев, А.И. Ястремский М.: Наука, 1979. - 256 с.

63. Сартания Т.Ш. Анализ стохастических экономических процессов./ Т.Ш. Сартания Тбилиси: Изд. Тбилисского Университета, 1982. -215 с.

64. Кардаш В.А., Раппорт Э.О. Моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве./ В.А. Кардаш, Э.О. Раппорт — Новосибирск: Наука, 1979. С.36-54.

65. Кардаш В.А. Введение в стохастическую оптимизацию. Кн. 1 и 2./

66. B.А. Кардаш -Новочеркасск: Изд. НГТУ, 1995, 1996.- с. 158.

67. Копенкин Ю.И. Стохастические модели оптимизационного планирования сельскохозяйственного производства./ Копенкин Ю.И-М.: ТСХА,- 1981. 123с.

68. Светлов Н.М. Применение методов динамического программирования для оптимизации севооборотов./ Н.М. Светлов -М.: Мир,1996, 86с.

69. Смагин Б.И. Теоретические основы эффективного использования ресурсов в аграрной экономике/ Смагин Б.И- Изд., МичГАУ, 2002,1. C. 19-27.

70. Смагин Б.И. Формирование и развитие сельского хозяйства как системы./ Смагин Б.И -Изд., МичГАУ, 2002, С.56-69.

71. Минаков И.А., Куликов Н.И., Касторнов Н.П., Иода Е.В. Экономика производства и переработки молока/ И.А. Минаков, Н.И. Куликов, Н.П. Касторнов, Е.В. Иода.- Изд., МичГАУ, 2004. -С.42-54.

72. Осипов A.B. Проблемы развития и функционирования предпринимательских структур в АПК/ Осипов А.В-. Спб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2004, -С. 34-52.

73. Arkin V.l., Evsigneev I.V. "Stochastic Models of Control and Economic Dynamics", Academic Press, 1987. p. 3-7.

74. Presman E.L., Sonin I.M. "Sequential Control with Incomplete Information: The Bayesian Approach to Many-Armed Bandit Problems". Academic Press, 1990. p. 15-27.

75. Evstigneev I.V., Greenwood P.E. "Markov fields over countable partially ordered sets: Extrema and splitting". Memoirs of American Mathematical Society, 1994, vol.112.

76. Хойланд Къетил, Ранберг Эрик, Уоллес Стейн (Hoyland, Kjetil; Ranberg, Erik; Wallace, Stein W.).B. Разработка и применение стохастической модели поддержки решений в рамках (контексте) организации: Часть 2. Организация. М.: ЦЭМИ РАН, 2004. -236 с.

77. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования/ Юдин Д.Б. -М.: Советское радио, 1979. С. 26-37.

78. Каганович Б.М., Филиппов С.П., Анциферов Е.Г. Моделирование термодинамических процессов. Новосибирск: Наука, 1993. - 98с.

79. Булатов В.П., Касинская Л.И Методы минимизации вогнутой функции на выпуклом многограннике и их приложения/ В.П. Булатов, Л.И. Касинская.-Новосибирск:Наука,1982.-С.71-80.

80. Булатов В.П., Гусев Б.П. Об одной модели производства сельскохозяйственной продукции со стохастическим характером общих трудовых ресурсов/ Б.П. Гусев // Tp.XI Байкальской

81. Междунар. школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Т.З.- Иркутск, 1998.- С.26-31.

82. Багриновский К.А. Математические методы в экономике и планировании народного хозяйства: учеб.пособие/ К.А. Багриновский, Г.А. Сумин, М.: Изд-во РУДН, -1993.-108с.

83. Багриновский К.А., Рубцов В.Н. Модели и методы прогнозирования и долгосрочного планирования народного хозяйства/ К.А. Багриновский.- М.: Изд-во РУДН,- 1992.- С.45-67.

84. Замков О.О. Математические методы в экономике: учеб. пособие / О.О.Замков, А.В.Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. М.: АО ДИС, 1997.-102 с.

85. КарасевА.И: Учеб. пособие / А.И Карасев, Н.Ш Кремер, Т.И Савельев. Математические методы и модели в планировании. -М.: Экономика, 1987. -126с.

86. БункинаМ.К. Учеб. пособие / М.К Бункина, В.А Семенов. Макроэкономика. -М.: АО ДИС, 1996. -98с.

87. Гальперин В.М.: учеб.пособие / В.М Гальперин, С.М Игнатьев, Моргунов В.И. Микроэкономика. Т. 1. СПб.: Экономическая школа, 1996.- 147с.

88. Лебедев В.В.: Учебное пособие для студентов вузов. Математическое моделирование социально-экономических процессов/ Лебедев В.В.- М.: Изограф, 1997.- 87с.

89. Федосеев В.М. Экономико-математические методы и модели в маркетинге/Федосеев В.М.- М.: Финстатинформ, 1996.- 114с.

90. Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. / Курицкий Б. -СПб.: ВНУСанкт-Петербург, 1997.- 78с.

91. БункинаМ.К. Учеб. пособие / М.К Бункина, В.А Семенов. Макроэкономика.- М.: АО ДИС, 1996. -107с.

92. МатюшокВ.М. и др. Персональный компьютер: диалог и программные средства / В.М. Матюшок. М.: Изд-во УДН, 1998.-123с.

93. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент/А.А. Самарский // Вестник АН СССР, 1979, № 5. С.38-49.

94. Краснощекое П.С, Петров A.A. Принципы построения моделей/ П.С. Краснощеков, А.А.Петров.- М.: МГУ, 1983.- С. 16-23.

95. Каменев Г.К., Кондратьев Д.Л. Об одном методе исследования незамкнутых нелинейных систем/ Г.К. Каменев, Д.Л. Кондратьев // Математическое моделирование. 1992. Т.4, №3. С. 105-118.

96. Автухович Э.В., Гуриев С.М., ОленевН.Н., Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A., Чуканов C.B. Математическая модель региональной экономики.- М.: ВЦ РАН. 1998.-144 с.

97. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. Опыт математического моделирования экономики/ A.A. Петров, И.Г. Поспелов, A.A. Шананин.- М.: Энергоатомиздат. 1996. 554 с.

98. Поспелов И.Г., Гуриев С.М. Модель общего равновесия экономики переходного периода // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, № 2.- С. 3-21.

99. Юдин Д.Б., Березнева Т.Д. Статистические и динамические модели стохастического программирования / Д.Б. Юдин, Т.Д Березнева // Применение исследования операций в экономике.- М.: Экономика,1977.-С. 23-29.

100. Мамедова Т.Ф., Мукасеева H.H. Выбор оптимальных поставщиков сырья/ Т.Ф. Мамедова, H.H. Мукасеева// Материалы IX научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. 2004 г,-С. 31-37.

101. Афонин В В. Аналитические выражения для анализа численного решения задачи оптимальной оптимизации: сборник. Киев, 1998.-31с. (Мордовский государственный университет; кафедра АСОИиУ; Препринт 80 . 35).

102. ЛукашинЮ.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: Учеб. пособие/ Ю.П. Лукашин. -М.: Финансы и статистика, 2003.- 279с.

103. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем/ Е.В. Бережная, В.И. Бережной. М.: Финансы и статистика.- 2005.-368с.

104. ЧураковЕ.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике: Учеб. пособие/ Е.П. Чураков. М.: Финансы и статистика, 2003 .-214с.

105. Пантелеев A.B. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб.пособие/ А.В.Пантелеев , Т.А. Летова. -2-е изд., испр. -М.: Высшая школа, 2002. 185с.

106. ВолковЕ. Численные методы: Учеб. пособие/Е.Волков .-СПб.: Лань, 2004. 256 с.

107. Шапкин A.C. Математические методы и модели исследованияопераций: учеб./ А.С.Шапкин, Н.П. Мазаева. -М.: Дашков и К, 2004.- 400 с.

108. Орехов Н. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие/ Н.Орехов, Е.А. Горбунов, А.Г.Левин. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.-302 с.118. http://www.dist-cons.ru Понятие, типы и задачи факторного анализа.

109. Тунеев М.М., Сухоруков В.Ф. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства / М.М. Тунеев, В.Ф. Сухоруков. М.: Финансы и статистика, 1986. - 144с.

110. Сергованцев В.Т., Бледных В.В. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах / В.Т. Сергованцев, В.В. Бледных. -М.: Финансы и статистика, 1988. 116с.