автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оптимизационные задачи теории инвестиций и смежные вопросы выпуклого анализа

1. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ: ОБЩАЯ ТЕОРИЯ.

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Содержательная трактовка оптимизационных задач теории инвестиционных проектов.

1.3 Критерий оценки инвестиционных проектов.

1.4 Аналитическая теория инвестиционных проектов.

2. ТОПОЛОГИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ТОЧЕК КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТОВ.

2.1 .ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.

2.2 . Локально компактные множества.

2.3 . Случай счетного разностного множества.

2.4 .0 подмножествах прямой.

2.5 .Продолжение экстремальных границ.

2 . б Заключительные замечания.

3. ТОПОЛОГИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ТОЧЕК ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

3 .1 Предварительные сведения.

3.2 Общая теорема об экстремальных границах.

3.3 Топологические вложения на экстремальные границы.

3.4 Заключительные замечания.

4. МНОГОГРАННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

4.1 Предварительные сведения.

4.1 Многогранная аппроксимация выпуклых тел.

4. 2.

4.3 Метрическая энтропия множеств, состоящих из выпуклых тел.

4.4 Метрическая энтропия выпуклых функций.

4.5 Метрическая энтропия семейств множеств с выпуклыми сечениями.

4 . б Задача Дирихле для выпуклых функций.

4.7 Заключительные замечания.

5. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ВЫПУКЛЫХ КОНУСОВ И КОМПАКТОВ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ и ФУНКЦИЙ.

5 .1 Предварительные сведения.

5.2 Множества выпуклых функций одной переменной.

5.3 Конус выпуклых функций многих переменных.

5.4 Компакт выпуклых функций многих переменных.

5.5 Экстремальные Н - выпуклые тела.

5.6 Экстремальная структура конусов выпуклых множеств и функций со структурой Бляшке.

5 . 7 Экстремальные точки типичных выпуклых множеств.

5 . 8 Заключительные замечания.

6. .КОНКРЕТНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИНВЕСТИЦИЙ.

6.1 Формирование оптимального инвестиционного портфеля.

6.2 Примеры решения сформулированных задач.

6.3 Учет ненадежности проектов.

6.4 Задача переформирования инвестиционного портфеля.

6.5 Упаковки прямоугольников и планарные графы. б. 6 Заключительные замечания.

ВЫВОДЫ.

Актуальность работы.

В последнее время активное развитие получило применение математических методов в теории финансов. По существу создана новая научная дисциплина - финансовая математика. Активно развиваются в частности стохастические методы в теории финансов (А.Н.Ширяев, А.В.Мельников, Ф.Блэк, М.Шоулз, Дж.Кокс, С.Росс М.Рубинштейн).

Одной из основных задач финансовой математики является проблема анализа сложных инвестиционных проектов. Теории инвестиций посвящены в частности исследования В.Шарпа, Г.Марковица, Е.Элтона, М.Грубера, М.Миллера, Ф.Модильяни и др.

Классические работы Г.Марковица в частности посвящены формированию оптимального с точки зрения безопасности портфеля ценных бумаг.

В настоящей работе ставятся и анализируются преимущественно детерминированные задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, учитывающие те или иные - ресурсные ограничения. К задачам формирования оптимального портфеля инвестиций сводятся в частности следующие проблемы: а) анализа финансового риска в страховой деятельности; б) сравнения различных финансовых инструментов в банковской практике; в) выбора оптимальной стратегии на рынке ценных бумаг.

Следует отметить, что методы математического анализа сложных инвестиций (т.е. с большим числом чередующихся доходов и расходов) развиты слабо. То же относится и к анализу инвестиционных проектов в условиях переменной во времени (в том числе - случайной) процентной ставки. В этой связи важной и актуальной представляется задача математического описания таких проектов и разработка методов их анализа. Недостаточность методической базы является одним из факторов, сдерживающих решимость потенциальных инвесторов при вложении средств.

В настоящей работе к анализу инвестиционных проектов применяются методы современного выпуклого анализа. В частности выделены и описаны выпуклые объекты, возникающие в теории инвестиционных проектов и проанализирована их экстремальная структура.

Широкое применение теория выпуклых множеств в целом и теоремы о представлении типа Крейна -Мильмана и Шоке находят и в чисто математических исследованиях (теория функций, функциональный анализ, теория меры). В теории оптимизации важную роль играет также аппроксимация выпуклых тел многогранниками.

Об актуальности проблематики свидетельствует и интерес к этим вопросам весьма широкого круга математиков, экономистов и финансистов из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической и экономической печати.

Упомянем здесь работы Дж.Линденштраусса,

Р.Фелпса, Я.Штернфельда, А.Лазара, Дж.Шепарда,

В.Кли, Р.Шнейдера, В.Шарпа, Г.Марковица,

Е.Элтона, М.Грубера, М.Миллера и др.

Цели работы.

Постановка, анализ и численное решение оптимизационных задач теории сложных инвестиций с использованием методов выпуклого анализа, изучение экстремальной структуры выпуклых объектов, возникающих в теории инвестиций, исследование топологической структуры экстремальных элементов выпуклых тел, изучение многогранной аппроксимации выпуклых тел.

Научная новизна заключается в

- применении методов выпуклого анализа к теории инвестиций;

- постановке и численном решении задач формирования оптимального портфеля инвестиций;

- разработке методики учета ненадежности проектов при формировании портфеля;

- применении теории планарных графов к задаче распределения двумерного ресурса;

- получении новых и усилении известных результатов о топологических свойствах экстремальных границ выпуклых компактов в евклидовом и гильбертовом пространствах; □получении слабой асимптотики метрической энтропии компактов, составленных из выпуклых множеств и функций;

-установлении свойств экстремальных точек выпуклых конусов и компактов, состоящих из выпуклых множеств и функций при наделении их различными структурами выпуклости; исследовании экстремальных точек в типичных выпуклых компактных множествах.

Значение результатов работы определяется их возможным применением для исследования широкого круга теоретических и прикладных задач в частности в финансовых структурах, ориентированных на инвестиции. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 94-010128 6 Топологическая структура экстремальных границ выпуклых компактов» и 97-06-863 «Оптимизационные задачи в инвестиционной и страховой деятельности»).

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на

Всесоюзном симпозиуме по геометрии в целом (Новосибирск-1982), на VI, VII, XI, XII Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах

Иркутск-1981, Новосибирск-1982, Челябинск-1986, Тамбов-1987), на 10 конференции "Нелинейная оптимизация" (ГДР, Галле-1989), на 1 и 2 Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск

1994, 1996), на Международной конференции

Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа-1996), на

Международной геометрической школе - семинаре памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо-1996) , на

Уральских конференциях "Функциональнодифференциальные уравнения" (Пермь-1983,

Челябинск-1985), на Международной конференции "Математическое программирование и его приложения" (Екатеринбург-1997), на II

Международной научно-практической конференции "Математические методы и компьютеры в экономике" (Пенза-1997), на Международной конференции "Применения математики в экономике" (Омск-1997), на Международной конференции по геометрии в целом (Украина, Черкассы-1997), на Международной конференции "Актуарная наука: теория, образование и приложения" (Москва-1997), на научных семинарах в институте математики СО РАН, в Институте математики и механики УрО РАН, в Институте математики с вычислительным центром УНЦ РАН, в Московском государственном университете, в

Харьковском институте инженеров коммунального строительства, в Башкирском государственном университете, в Уфимском государственном авиационном техническом университете, в

Стерлитамакском государственном педагогическом институте.

Краткое содержание диссертации.

Выводы.

1. Сформулированы задачи оптимизации действий инвестора при различных предположениях на языке выпуклого анализа.

2. Рассмотрены и доведены до программной реализации задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля при различных предположениях.

3. Разработана методика учета степени надежности проектов при формировании оптимального инвестиционного портфеля.

4. Обосновано применение теории планарных графов в задаче распределения двумерного ресурса.

5.Разработана общая методика построения выпуклых компактов в евклидовом и гильбертовом пространствах по топологическим образам замыканий их экстремальных границ и на этой основе охарактеризованы подмножества метрического компакта К, гомеоморфные экстремальным границам выпуклых компактных подмножеств евклидова пространства и гильбертова куба.

6. Получена асимптотика метрической энтропии компактов замкнутых выпуклых подмножеств п - мерного шара, выпуклых функций нескольких переменных и близких к ним.

7.Установлен критерий существования решения задачи Дирихле для выпуклых функций на многогранниках.

8.Доказана плотность множества экстремальных лучей в конусе выпуклых функций нескольких переменных с поточечными операциями.

9.Охарактеризованы экстремальные точки конусов Н - выпуклых множеств и выпуклых функций с выпуклой структурой типа Бляшке.

10. Установлены свойства экстремальных точек типичных выпуклых компактных подмножеств метрических компактов.

1.J., SCOTT W.F. An 1.troduction to the Mathematics of Finance. Butterworth - Heinemann, 1993.о

2. Екушов А. Как рассчитать эффективную процентную ставку в банке.//Рынок ценных бумаг, 1996,№7,С.41-45.3' Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. М., Мир,1968.

3. Александров П.С. , Пасынков В.А. Введение в теорию размерности. М: Наука, 1973.

4. Куратовский К. Топология, т.II. М: Мир,1969.

5. Price V. On the extreme points of convex sets.// Duke Math. J., 1937, 3. №1,5667.

6. Куратовский К. Топология. т1. М:, Мир, 1966.о

7. Klee V. Extremal structure of convex sets. II.// Math. Z., 1958,69,40-104.

8. Бронштейн E.M. Об экстремальных границах конечномерных выпуклых компактов.// Труды Инта матем. СО АН СССР, Оптимизация,1981,26(43) , 13-24.

9. Бронштейн Е.М. О выпуклых компактах с заданными крайними точками.// ДАН

10. Россия),1994, 336, №3, 295-296.

11. Бронштейн Е.М. О выпуклых компактах с заданными крайними точками.// Сиб. матем. журн.,1995,36,№1, 12-18.

12. Бронштейн Е.М. Топологические свойства экстремальных границ выпуклых компактов. // Информ. бюллетень Ассоц. мат. прогр. , Екатеринбург,1996, б, 64-67.

13. Бронштейн Е.М. Топологические свойства крайних точек. //В кн. 12 Всесоюзная школа по теории операт. в функц. пр-вах. Тамбов, 1987, 18.

14. Bronstein Е. Topologie von Randpuncten konvekter Kompakten. / 10 Fruhjahrstagung " Nictlineare Optimierung". ( Breitenstein (Harz), 1989). Halle, 1990, 10-12.

15. Бронштейн Е.М. Об одномерных экстремальных границах трехмерных выпуклых компактов.// Труды ин-та математ. СО РАН, Оптимизация, 1992, 51(68), 34-46.

16. Collier J. В. On the set of extreme points of a convex body.// Proc. Amer. Math. Soc. , 1975, 47,№1, 184-187.

17. Levin M., Olsen G.H., Sternfeld Y.

18. Finite dimensional polish spaces are txtremeboundaries of convex bodies in euclideanspace.// Israel J. Math.,1990,71, №2, 135-143. 1 fi

19. Куратовский К. Топология. Т.Н. М: Мир,1969.

20. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. М: Мир, 1968.

21. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М:, Наука, 1973.

22. Lindenstrauss J., Phelps R.P. Extreme points properties.// Israel J. Math., 1968, 13,№6, 39 48.

23. Lazar A.J. Extreme boundaries of convex bodies in l2. // Israel J. Math., 1975, 20,№3-4,369-374.

24. Hydon R. A new proof that every polish space is the extreme boundary of a simplex.// Bull. Lond. Math. Soc, 1975, 7, 97-100.

25. Stacey P.J. Choquet simplicies with prescribed. boundaries. // Quart. J. Math., 1979, 30, №120, 469-482.

26. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Теорема Крейна Мильмана в пространствах Канторовича. // Оптимизация, 1992, 51(68), Изд-во ИМ СО РАН, Новосибирск, 5-18.

27. Бронштейн Е.М. О краиних точках выпуклых компактов в гильбертовом пространстве. // Функц. анализ и прилож., 1996,

28. Бронштейн Е.М. Топологические свойства крайних точек выпуклых компактов вгильбертовом кубе.// В кн. Второй сибирск. конгресс по прикл. и индустр. матем. Новосибирск, 1996, с.70.1. О Q w

29. Бронштейн Е.М. Топологические свойства крайних точек выпуклых компактов. / / Трудыконфер. по прикл. и индустр. матем. Новосибирск, 1996, 40-46.2 о w

30. Бронштейн Е.М. Топологические свойства крайних точек выпуклых компактов. // Труды Междунар. конфер. v Компл. анализ, диф. уравн. и смеж. вопр" ч.б, Уфа, 1996,on w w

31. Бронштейн Е.М. О краиних точкахлвыпуклых компактов в 1 . // Сибирск. матем. журн.,1985, 26, №1, 204-206.31 ^

32. Бронштейн Е.М. О топологическихсвойствах экстремальных границ выпуклых компактов в 1 . // Функц. анализ и прилож., 1985, 19, №1, 60-61.

33. Бронштейн Е.М. Один пример выпуклого компакта в I2.// Депонир. в ВИНИТИ. Деп. 2285 8 6, аннотация - Сибирск. матем. журн., 1987, 28, №2, 218.

34. Бронштейн Е.М. Топоогические свойства крайних точек. //В кн. Актуальные проблемы авиастроения, Уфа, 1992, с.99.

35. Бронштейн Е.М. О топологических свойствах крайних точек выпуклых компактов в I2. // Мат. сборник, 1995, 186, №3, 19-28.

36. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М: ОНТИ, 1936.

37. Сендов Бл. Некоторые вопросы приближения функций и множеств в хаусдорфовой метрике.//УМН,1969,24,N5, с.141-17 7 .

38. Бляшке В. Круг и шар. М:Наука, 1967.о

39. Гуревич В., Волмен Г. Теория размерности. М: ГИИЛ, 1948.

40. Колмогоров А.Н. Оценки минимального числаэлементов е-сетей в различных функциональных классах и их применение к вопросу о представлении функций нескольких переменных.// УМН, 1955, 10, N1, с.192-193.

41. Колмогоров А.Н. , Тихомиров В.М. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах. //УМН,1959, 14,N2 ,с.3-86.

42. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии.М: Наука, 1966.

43. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М-Л: Гостехиздат, 1948.

44. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М: Наука, 1971.

45. Macbeath A.M. A compactness theorem for affine-equivalence classes.// Canad. J. Math., 1951, 3, N1,54-61.

46. John F. Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions. /Studits and essays, presented to R. Courant. N.Y., 1948, 187-204.46Кадец М.И. Геометрия банаховыхпространств/ Итоги науки. Мат. анализ., т. 13. М.: ВИНИТИ, 1975, 99-127.

47. Буземан Г. Геометрия геодезических. М:, Физматгиз, 1962.4 ft

48. Тихомиров B.M. Работы А.Н.Колмогорова по 8—энтропии функциональных классов исуперпозициям функций.// УМН, 1963, 18,N5,55-92.

49. Пенков В., Сендов Бл. Энтропия множества непрерывных функций многих переменных.// Докл. Болг. АН, 1964,17,N2,335-337.

50. Clements L. Entropies of sets of bounded variation.//Canad. J. Math.,1963,15,N3, 422-432.

51. Маергойз JI. С. Граничная задача для выпуклых функций и ее приложения.// ДАН, 1971, 138, N5, 881-885.

52. Toth F. Approximation by polygons and polyhedra.//Bull. Amer. Math. Soc., 1948, 54,431438.

53. Попов В.А. Апроксимиране на изнъкнали множества.// Изв. Мат. инст. Бълг. АН, 1970, 11, 67-80.

54. McClure D.E., Vitale R.A. Polygonal approximation of plane convex bodies. // J. Math. Analis Applic.,1975,51, N2, 326-358.

55. Бронштейн E.M., Иванов Л.Д. О приближении выпуклых множеств многогранниками.// Сиб. мат. журн., 1975, 19,N5,1110-1112.

56. Dudley R. Metric entropy of some classes of sets with differential doundaries.// J. Approx. Theory, 1974,10, N3,227-236.

57. Schneider R., Wieacker J.A. Approximation of convex bodies by polytopes.// Bull. Lond.

58. Math. Soc.,1981,13,149-156.58Schneider R. Affine-invfriant approximation by convex polytopes.// Stud. Scien. Math. Hung., 1986,21, 401-408.

59. Barany I., Furedi Z. Approximation of the sphere by polytopes having few vertices.// Proc. of the Amer. Math. Soc.,1988, 102,N3, 651-659.

60. Pelczynski A., Szartk S.J. On hfrallelepipeds of minimal voluve cjynaining a convex symmetric body in Rn.// Math. Proc.

61. Camb. Phil. Sjc.,1991,109,125-148.ft 1 •

62. Gruber P.M. Volume Approximation of

63. Convex Bodies by Circumscribed polytopes.// DIMACS Ser. in Discr. Math, and Theor. Сотр. Science,1991,4,309-317.

64. Бронштейн Е.М. е-энтропия выпуклых множеств и функций.//Сиб. мат. журн.,197 6,17, N3,508-514 .

65. Бронштейн Е.М. е-энтропия аффинно-эквивалентных выпуклых тел и компакта Минковского./ Оптимизация. Труды Инст. матем. СО АН СССР, 1978,26(43),3-11.64

66. Бронштейн Е.М. Метрическая энтропия множеств с выпуклыми сечениями./ 11 Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. 1986, Челябинск.

67. Бронштейн Е.М. Метрическая энтропия некоторых классов множеств./ Сиб. мат. журн, 1996, 37, N

68. Бронштейн Е.М. Задача Дирихле для выпуклых функций.//Деп. в ВИНИТИ. flen.N 1699 -83. Аннотация: Изв. вузов. Математика. 1983, N8, 20.

69. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел.1.// Мат. сборник 1937,2(44), N5,947-972.

70. Александров А.Д. Выпуклые многогранники.М-JI.: Гостехиздат, 1950.69

71. Погорелов А.В. Многомерная проблема Минковского. М: Наука,1975.

72. Кутателадзе С.С., Рубинов A.M. Двойственность Минковского и ее приложения. Новосибирск, Наука,1976./

73. Firey W., Grunbaum В. Addition and decomposition of convex sets.// Isr. J. Math.,1964,2,91-100.

74. Рокафеллар P. Выпуклый анализ.M: Мир, 1973.7

75. Blascke W., Pick G. Distanzschatsungen im Funktionenraum.il.// Math. Ann.,1916, 77, 277302.

76. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел.// Мат. сборник, 1938, 3(45), №1,27-44.

77. Болтянский В. Г. О некоторых классахвыпуклых множеств.// ДАН СССР, 1976,226,№1,19-22.7 6 w

78. Болтянскии В.Г. Теорема Хелли для Н-выпуклых множеств.// ДАН СССР,1976,226,№2,249-252.

79. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. М:, Мир, 1968.7 й

80. Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли. М: Мир, 1968.7 9

81. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М-Л, Гостехиздат, 1950.

82. Бляшке В. Круг и шар. Наука, М, 1976.

83. Schwarz Т. , Zamfirescu Т. Typical sets of convex sets // J. Austr. Math. Soc. (Series A) , 43 (1987), 287 290.

84. Schwarz T.,Zamfirescu T. Tipical convex sets of convexsets.//J.Austral.Math.Soc.(Ser.A),1987,43,287-290.

85. Lindenstrauss J., Phelps R. Extreme points properties. // Isr. J. Math., 13(6) (1968), 39-48.1. Й 4 w

86. Бронштейн Е.М. Экстремальные выпуклые функции.//Сиб.мат.журн., 1978,19,N1,10-18.

87. Rogalski М., Raimond J-S. Inequalities about symmetric compact convex sets in the plane.//Am. Math.Month., 1985,N6, 466-4 80.

88. Shephard G.C. Decomposable convex polyhedra.// Mathematica,1963,10,N2,89-95.

89. Johansen S. The extremal convexfunctions.//Math. Scand.,197 4,34,N2,61-68.

90. Klee V. Some new results on smoothness and rotundity in normed linearspaces.//Math.Ann., 195 9,139, 51-63.

91. Бронштейн Е.М. Экстремальные Н-выпуклые тела.//Сиб. матем. журн.,1979,20,N2,412-415.

92. Бронштейн Е.М. Экстремальные выпуклые функции и множества.//Оптимизация. Труды ИМ СО АН СССР, 1978,22(39),12-23.

93. Бронштейн Е.М. Экстремальные выпуклые функции./В кн."Всесоюзный симпозиум по геометрии в целом". Новосибирск,1982,18-19.1. QO

94. Кузьминых А. В. Структура типичных компактов евклидова пространства. / /Сибирск. мат. журн., 38(1997), №2, 344-350.

95. Бронштейн Е.М. Типичные выпуклые множества. // Информ. бюллетень Ассоц. матем. программир, №7. Конференция "Математическое программирование и его приложения" Екатеринбург: 1997, С. 45.

96. Бронштейн Е.М. Типичные выпуклые множества. В кн. "Международная конференция по геометрии в целом". Черкассы (Украина),1997, С.46.

97. Мухачева Э.А., Рубинштейн Г.Ш. Математическое программирование. Новосибирск, Наука, 1987.

98. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.:, Наука, 1975г.

99. Валеева А.Ф. Кандид. Диссерт., Уфа, 1995. 98Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. Теория вероятн. И ее прилож., т.99, №1, 1994, С.5-22 .99

100. Мельников А.В. Стохастическии анализ и расчет производных ценных бумаг. ТВП, М., 1997.

101. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М:, Дело Лтд, 1995г.

102. Башарин Г.П. Начала финансовойматематики. М:, 1997.102

103. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансово-банковских расчетов. М:., Финансы и статистика, 1994.

104. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бэйли Д. В. Инвестиции. М:, Инфра-М, 1997.

105. Мертенс А. Инвестиции. Курс лекций по современной финансовой террмм. Киев, Киевское инвестиционное агентство, 1997.

106. Первозванский А. А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М., Инфра-М, 1994.

107. Холт Р, Барнес С. Планирование инвестиций. М:, Дело ЛТД, 1994.

108. Markovitz Н.М. Portfolio selection.-J. Of

109. Finances, 1952,2,№1,С.77-91.

110. Elton E.E., Gruber M.J. Modern portfolio theory and investment analysis. J.Willey,1987.

111. Бронштейн Е.М., Спивак С. И. Математический анализ сравнения инвестиционныхпроектов. В кн. Международная геометрическая школа семинар памяти Н.В.Ефимова, 1996,С.101.

112. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Сложные инвестиции и потоки платежей.// Рынок ценных бумаг, 1997, №3, 1997,С.60-62.

113. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Математический анализ сравнения инвестиционных проектов. // Информ. бюллетень Ассоц. матем. программир, №7.Конференция "Математическое программирование и его приложения" Екатеринбург: 1997, С. 4 6 -47 .

114. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Формирование оптимального портфеля инвестиций.// В кн. II Международная научно практическая конференция "Мат. методы и компьютеры в экономике" ч.1. Пенза, 1997, С.8.

115. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Потоки платежей: функционально — аналитический подход.// Там же, С.9.

116. Спивак С.И., Бронштейн Е.М. Сравнительный анализ инвестиционных проектов.//Экономика и управление. 1997, №2(16), С.61-66.

117. Бронштейн Е.М., Спивак С. И. Задачи формирования оптимального портфеля инвестиций.//В кн. Международная конференция «Проблемы оптимизации и экономические приложения» Омск, 1997, с.33.

118. Бронштейн Е.М., Спивак С. И. Как сформировать оптимальный портфель.//Рынок ценных бумаг.1997,№14, С.52-54.117

119. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Инвестиционные проекты: аналитический подход.//Обзор прикл. И промыш. матем.,1997,4,№3, С.330.

120. Ковалев В.В. Финансовый анализ. М:, Фи С, 1997.1 1 Q

121. Канторович JI.B., Залгаллер В.А. Расчет рационального раскроя промышленных материалов. Новосибирск, Наука, 1971.

122. Мухачева Э.А. Рациональный раскрои промышленных материалов. Применение в АСУ. М:, Машиностроение, 1984.

123. Бронштейн Е.М., Мухачева Э.А., Валеева А.Ф. О применении теории планарности графа к задаче о размещении прямоугольников.//В кн. Международная научная конференция «МатематическоеIпрограммирование и приложения». Екатеринбург, 1993, С.36.

124. Bronshtein Е.М. Packings of rectangulars and planar graphs.// Decision making under the condition of uncertainty. Ufa, 1997. C.42-46.