автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оптимизационные задачи теории инвестиций и смежные вопросы выпуклого анализа

од

IАР *

На правах рукописи

БРОНШТЕЙН Ефим Михайлович

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИНВЕСТИЦИЙ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях, 01.01.01 — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

УФА 1998

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и кибернетики Уфимского государственного авиационного технического университета ,

Официальные оппоненты

Гизатуллин Х.Н., член-корреспондент РКН, доктор экономических наук, профессор;

Залгаллер В.А., доктор физико-математических наук, профессор;

Юлмухаметов P.C., член-корреспондент АН РБ, доктор физико-математических наук, профессор.

Ведущая организация - Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита состоится МЯуИ^Ц 1998 г.

в " часов на заседании Диссертационного сове-

та Д-064.13.02 при Башкирском государственном университете (450074, Уфа, ул. Фрунзе, 32, Математический факультет, ауд.517)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " ib" АА 1998г.

Ученый секретарь Диссертационного совета д.ф.-м.н., проф.

JllJL— Морозкин Н.Д.

Актуальность работы. В последнее время активное .развитие получило применение математических методов в теории финансов. По существу создана новая научная дисциплина - финансовая математика. Активно развиваются в частности стохастические методы в теории финансов (А.Н.Ширяев, А.В.Мельников, Ф.Блэк, М.Шсулз, Дж.Кокс, С.Росс М.Рубинштейн).

Одной из основных задач финансовой математики является проблема анализа сложных инвестиционных проектов. Теории инвестиций посвящены в частности исследования В.Шарпа, Г.Марковица, Е.Элтона, М.Грубера, М.Миллера, Ф.Модильяни и др.

Классические работы Г.Марковица в частности посвящены формированию оптимального с точки зрения безопасности портфеля ценных бумаг.

В настоящей работе ставятся и анализируются преимущественно детерминированные задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, учитывающие те или иные ресурсные ограничения. К задачам формирования оптимального портфеля инвестиций сводятся в частности следующие проблемы:

а) анализа финансового риска в страховой деятельности;

б) сравнения различных финансовых инструментов в банковской практике;

в) выбора оптимальной стратегии на рынке ценных бумаг.

Следует отметить, что методы математического анализа сложных инвестиций (т.е. с большим числом чередующихся доходов и расходов) развиты слабо. То же относится и к анализу инвестиционных проектов в условиях переменной во времени (в том числе - случайной) процентной ставки. В этой связи важной и актуальной представляется задача математического описания таких проектов и разработка методов их анализа. Недостаточность методической базы является одним из факторов, сдерживающих решимость потенциальных инвесторов при вложении средств.

В настоящей работе к анализу инвестиционных проектов применяются методы современного выпуклого анализа. В частности выделены и описаны выпуклые объекты, возникающие в теории инвестиционных проектов, и проанализирована их экстремальная структура.

Широкое применение теория выпуклых множеств в целом и теоремы о представлении типа Крейна - Мильмана и Шоке находят и в чисто математических исследованиях

(теория функций, функциональный анализ, теория меры). В теории оптимизации важную роль играет также аппроксимация выпуклых тел многогранниками.

Об актуальности проблематики - свидетельствует и интерес к этим вопросам весьма широкого круга математиков, экономистов и финансистов из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической и экономической печати. Упомянем здесь работы Дж.Линденштраусса, Р.Фелпса, Я.Штернфельда, А.Лазара, Дж.Шепарда,. В.Кли, Р.Шнейдера, В.Шарпа, Г.-Марковица, Е.Элтона, М.Грубера, М.Миллера и др.

Цели работы. Постановка, анализ и численное решение оптимизационных задач теории сложных инвестиций с использованием методов выпуклого анализа, изучение экстремальной структуры выпуклых объектов, возникающих в теории инвестиций, исследование топологической структуры экстремальных элементов выпуклых тел, изучение многогранной аппроксимации выпуклых тел.

Научная новизна заключается в

- применении методов выпуклого анализа к теории инвестиций;

- постановке и численном решении задач формирования оптимального портфеля инвестиций;

- разработке методики учета ненадежности проектов при формировании портфеля;

- применении теории планарных графов к задаче распределения двумерного ресурса;

- получении новых и усилении известных результатов о топологических свойствах экстремальных границ выпуклых компактов в евклидовом и гильбертовом пространствах;

- получении слабой асимптотики метрической энтропии компактов, составленных из выпуклых множеств и функций;

- установлении свойств экстремальных • точек выпуклых конусов и компактов, состоящих из выпуклых множеств и функций при наделении их различными структурами выпуклости;

- исследовании экстремальных точек в типичных выпуклых компактных множествах.

Значение результатов работы определяется их возможным применением для исследования широкого круга теоретических и прикладных задач в частности в финансовых структурах, ориентированных на инвестиции. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 94-01-01286 Топологическая структура экстремальных границ выпуклых компактов» и 97-06-80063 «Оптимизационные задачи в инвестиционной и страховой деятельности») в рамках Федеральной целевой программы "Интеграция".

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзном симпозиуме по геометрии в целом (НовосиСирск-1982), на VI, VII, XI, XII Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Иркутск-1981, НовосиОирск-1982, Челябинск-1986,. Тамбов-1987), на 10 конференции "Нелинейная оптимизация" (ГДР, Галле-1989), на 1 и 2 Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск-1994, 1996), на Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа-1996), на Международной геометрической школе - семинаре памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо-1996), на Уральских конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения" (ГТермь-1983, Челябинск-1985), на Международной конференции "Математическое программирование и его приложения" (Екатеринбург-1997), на II Международной научно-практической конференции "Математические методы и компьютеры в экономике" (Пенза-1997), на Международной конференции "Применения математики в экономике" (Омск-1997), на Международной конференции по геометрии в целом (Украина, Черкассы-1997), на Международной конференции "Актуарная наука: теория, образование и приложения" (Москва-1997), на научных семинарах в институте математики СО РАН, в Институте математики и механики УрО РАН, в Институте математики с вычислительным центром УНЦ РАН, в Московском государственном университете, в Харьковском институте инженеров коммунального строительства, в Башкирском государственном университете, в Уфимском государственном авиационном техническом университете, в Стерлита-макском государственном педагогическом институте.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, и списка литературы, занимает 343 стр. машинописного текста, список литературы включает 122 назв. В диссертации 22 рисунка и 19 таблиц.

Краткое содержание диссертации

Глава 1 посвящена математическому описанию инвестиционных проектов.

В п.1.2 приведена содержательная формулировка обсуждаемых задач финансовой математики.

В п.1.3 обосновывается использование единственного критерия качества инвестиционных проектов. Инвестиционный проект (поток платежей) - в дискретном случае является последовательностью С=(со, Сг,..., сп) , где величины ск - размеры платежей по проекту в соответствующий момент - отрицательные значения соответствуют вложениям средств в проект, положительные - поступлениям средств инвестору.

Ряд исследователей (в частности, А.Екушов) в качестве критерия сравнения различных проектов предлагали использовать так называемую эффективную процентную ставку, т.е. положительный корень полиномиального уравнения доходности

±с^к = 0. ыо

В то же время, Дж.МакКитчен, В.Скотт, Е.Четыркин, Г.Башарин отмечают несовершенство этого критерия. В работе приведены дополнительные аргументы, обосновывающие неприменимость этого показателя в общих практически важных ситуациях.

В качестве единственного критерия сравнения проектов (в предположении заданности банковской процентной ставки) принят дисконтированный доход. Этот показатель является универсальным в детерминированной ситуации. На этой основе введено отношение предпочтения проектов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть и С2-два инвестиционных проекта. Проект С1 предпочтительнее проекта С2 в момент Т, если

ГЮ(С1,Г,Т)>СО(С2,1,'Т) .

Здесь 1-фиксированная последовательность банковских процентных ставок за последовательные промежутки времени, 00(Сг, I, Т)-доход по проекту Сх, отнесенный к моменту Т.

Доказана

ТЕОРЕМА 1.1. Отношение предпочтения не зависит. от момента времени Т.

Это свойство названо непротиворечивостью.

Следствием теоремы 1.1 является транзитивность введенного отношения.

Если банковские процентные ставки случайные, то целесообразно сравнивать математические ожидания доходов . Тогда отношение предпочтения не обязано быть непротиворечивым.

В частности доказана

ТЕОРЕМА 1.2. Для того чтобы равенства

М(ПО (С, и,к)=М(ПО (О, и,к))и

М(ПО (С,и,к! 1) ) =М(00 (В, и,к+1) ) были равносильными, необходимо и достаточно, чтобы при любых к<Т выполнялось равенство

М(ик хик+1 х---хщ)=М(ик) хМ(ик+1) х...хМ(ит) •

В п.1.4 описаны инвестиционные ■ проекты с точки зрения выпуклого анализа и исследована структура соответствующих объектов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Инвестиционным проектом (потоком платежей) называется вектор С=(со, Сх, . . ., сп, ...), удовлетворяющий следующим условиям:

1. существует индекс к такой, что С1=0 при 1>к.

2. 'Если Ь(С)=1гап{л.: Сд#0}, то сЬ(с)<0.

3 ... Если е(С)=тах{1: с^О}, то се(с>>0.

1=0

Значения как и прежде имеют смысл величины поступивших средств (при С1>0) и субсидий в проект (при с±<0)

Множество Р инвестиционных проектов является подмножеством линейного пространства во последовательностей, удовлетворяющих условию 1 определения 1.2. Структура этого подмножества описывается следующим предложением.

ТЕОРЕМА 1.3. Множество инвестиционных проектов Р является выпуклым подконусом пространства во-

Далее описана экстремальная структура конуса Р и доказан соответствующий вариант теоремы о представлении .

ТЕОРЕМА 1.4. Для включения СеехтР. С&О необходимо и достаточно существование чисел ЛеН.*, пеЫ, для которых С±=0 при 1&п,п+1; СП=~Х; СП+}=А.

ТЕОРЕМА 1.5. Любой элемент СеР представим в виде

в

(О г о,. . . ,0,Ь,0,.. , где Ь>0, С1ееххр.

1=1

Далее вводится понятие банковской политики, учитывающее динамику банковской процентной ставки. Пусть последовательность Р банковских процентных ставок по промежуткам времени (фактическая или ожидаемая) имеет вид (10, .. .,з.„, .. .) . Для наших рассмотрений удобно перейти к другим величинам — коэффициентам дисконтирования, относящим стоимость денег в момент времени п к нулевому моменту времени, Значения <£, вычисляются следующим образом:

Чо=1, при п>0 дп = [ (1+±о) (1+11) ■ • - Ц+л-п-!)]"1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Последовательность 0= (до, 41, ... -, Чп, • • •) назовем банковской политикой.

Условия на последовательность 0, при которых 0 является банковской политикой, имеют следующий вид.

ТЕОРЕМА 1.6. Для того чтобы последовательность 0- (О.ог4хг • • • • • •) являлась банковской политикой при некоторой последовательности процентных ставок, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. последовательность 0 не возрастающая;

2. до=2;

3. qn>0.

' Поскольку нас интересуют лишь конечное число компонент вектора 0, можно считать, что 1ш^п = 0.

и->оо

Пусть 2 множество всевозможных банковских политик. Аналогично множеству Р, 2 является, подмножеством пространства в\ ограниченных последовательностей.

о

ТЕОРЕМА 1.7. 2 - выпуклое подмножество

Пространство £й можно считать оснащенным нормой

ТЕОРЕМА 1.8. 2- выпуклое замкнутое подмножество & с введенной нормой.

Полезно расширить множество 2, добавив к нему последовательности, члены которых равны нулю, начиная с некоторого. Экономически это соответствует резкому инфляционному скачку.

ТЕОРЕМА 1.9. Для справедливости включения (¿еехг2 необходимо и достаточно существование такого индекса п, для которого д,=1 при 1<л, дх=0 при 1>п.

- Здесь множество экстремальных точек 2.

При этом справедлива

ТЕОРЕМА 1.10. В выпуклом замкнутом множестве 2 любой элемент можно ' приблизить выпуклой комбинацией экстремальных точек.

Часто рассматриваются задачи, в которых фигурируют семейства банковских политик. В частности, практически важной представляется следующая ситуация: невозможно предсказать в точности банковские процентные ставки на каждый год, но можно достаточно надежно прогнозировать возможные границы процентных ставок.

Пусть прогнозируемая банковская ставка за п временной промежуток заключена между 1' и 1''. Тогда соответствующие коэффициенты дисконтирования дп и дп+1 удовлетворяют соотношению: 1+1' <дп/дп+ х<1+1'' .

Тем самым соответствующее семейство {0} банковских политик удовлетворяет следующему условию: существуют две последовательности и={ип} и У={уп} такие, что 1<ип^п и банковская политика 0= (до, Цх, ..., ...) е {0}, если для всех натуральных п ицйсь/дп.ц^п.

Такое множество банковских политик обозначено через 2(0, V) .

ТЕОРЕМА 1.11. Множество 2Ш,V) выпуклое и замкнутое. При этом если существует такое число с!>1, что иа>с1 при всех л, то множество {0} компактное.

Экономический смысл условия ип>с! состоит в том, что банковская процентная ставка не может опускаться ниже некоторого порога. Это условие представляется весьма естественным.

Следующее утверждение описывает экстремальные точки выпуклого множества 2(и,Ч) .

ТЕОРЕМА 1.12. Для того чтобы выполнялось соотношение Q£ext2(U,V) , необходимо и достаточно, чтобы для любого индекса п выполнялось одно из двух соотношений:

Если теперь С—поток платежей и О-банковская политика, то доход от потока в дисконтированном виде в обобщенном смысле (сюда входит и возможный ущерб)

00

имеет вид БО (С, О) =С<2= ЕЗД^.

¿=о

Из свойств потока С следует, что сумма является конечной. Аналогично дисконтированный доход ■ (или ущерб) для инвестора от потока С в момент времени к

к

при банковской политике £) равен (СО) ¡¿= Цс^а,;. При

1=0

достаточно больших к (С<2)к=С0.

Доход по конкретному проекту при данной банковской политике определяется как внешнее скалярное произведение. При наделении множеств проектов и банковских политик теми или иными нормами возникает семейство экстремальных задач, имеющих практическое значение. Перечислим некоторые из них.

1. Из предложенного семейства инвестиционных проектов требуется сформировать оптимальный инвестиционный портфель при известной банковской политике .

2. Инвестор может вносить изменения в инвестиционный проект, не превосходящие заданной величины. Требуется внести - такие изменения, при которых доход максимален.

3. Банковская политика в точности неизвестна, но разумным является предположение о возможном семействе банковских политик—это семейство являет-

ся выпуклым, в частности, имеет вид V). Требуется максимизировать доход при различных предварительных условиях.

В главах 2-5 исследованы математические объекты, возникающие при анализе инвестиционных проектов.

Во второй главе "Топология экстремальных точек конечномерных выпуклых компактов" рассматривается следующая задача:

по заданным компакту К с Rn (или п-мерному компакту К) и его подмножеству М построить при некотором k>n отображение e:K-»Rk такое, что

ext conv s(K)=s(M). ■ {*)

Здесь ext — множество крайних точек (экстремальная граница), conv - замкнутая выпуклая оболочка.

В зависимости от ситуации в качестве отображения £ может выступать топологическое вложение, может — непрерывное отображение, сужение которого на М - топологическое вложение.

В этой задаче естественно стремиться к построению для максимально широкого класса множеств К, к минимизации размерности кик усилению требований к отображению 8,

В п. 2.1 доказана следующая важная лемма о существовании выпуклой функции специального вида, которая позволяет осуществить построения в весьма общих ситуациях.

Лемма А. Пусть V и W - выпуклые компакты в R", причем Valnt W. Существует неотрицательная выпуклая липшицева функция tp:N—>R, обладающая следующими свойствами:

1. tp^iOi-V,

2. для некоторого числа а>0 справедливо равенство

<р [0ra]= W,

_ f х+у\ <р{х}г<р(у)

3. если м^Г/ -2- ПРИ Т° л °

x,yeV , либо х, уе&й.

В п. 2.2 рассмотрен пактного (или компактного)

случай локально ком-множества М.

ТЕОРЕМА 2.1. Если. М — компактное подмножество R", - то существует топологическое вложение е:М—>1?+1, для которого

ext conv s(K)=£(M).

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть М — локально компактное подмножество компакта KcR".

а) Существует непрерывное отображение е: К->Р?*2, сужение которого на М — топологическое вложение, обладающее свойством (*) .

б) Если дополнительно card(M)>п+1, то существует топологическое вложение е: К->Я°+3 со свойством (*).

в) Если в условиях п. а) множество М имеет непустую внутренность, то существует топологическое вложение s: K->F?*2 со свойством (*).

Размерность (п+2) в п.а и в является мини' мальной.

Здесь же получена

ТЕОРЕШ 2.2'. Пусть М — локально компактное

подмножество п - мерного компакта Кг для которого

card(M)>п+2. Существует топологическое вложение

е: К—>В?п+3 со свойством (*).

В п. 2.3 получен следующий результат.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть К — компактное подмножество Я", МсгК, причем множество К\М 'счетное. Существует топологическое вложение е: К->1?+4 со свойством (*).

В п. 2.4 доказана

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть M-Gs - подмножество прямой R, card (М) >2. Существует топологическое вложение e:R->R3 со свойством (*).

Более слабый результат (при 0-мерности замыкания . множества М) ранее получен Кольером (1974). Теорема 2.4 является в некотором смысле

окончательной: с одной стороны, нельзя расширить класс множеств М (множество ext U для метризуе-мого выпуклого компакта U имеет борелевский тип Gg), с другой - в общем случае не существует отображения s:R->R2 с отмеченными свойствами.

В п. 2.5 доказана следующая теорема о расширении экстремальных границ.

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть VcUcrKcR", где U и К -компакты и при некотором к существует топологическое вложение е: , для которого ext conve (U) =е (V) . Тогда существует топологическое вложение £i: U-^Rk*"+2 такое, что

ext conve! (К) =s2 (Vu(K\ U)) .

В третьей главе "Топология экстремальных точек выпуклых компактов в гильбертовом пространстве" рассматривается бесконечномерный аналог основной задачи главы 2: по заданным метрическому компакту К и его подмножеству М построить отображение s: К-»12. такое, что

ext conv е(К)=е(М).

Как и главе 2, естественно стремиться к расширению класса ' множеств М и к усилению требований к отображению е. -

В п. 3.1 доказаны бесконечномерные аналоги леммы А и теоремы 2.6 из главы 2.

Лемма В. Пусть V — выпуклый компакт в lz. Существует неотрицательная выпуклая функция (р на I2 такая, что

1. <p~2(0)=V,

fx + \Л ^(xVf <р( у)

2. <р\- - при х^У/ то x,yeV.

Лешла Е. Пусть VaüezK , где U и К - метрические кодтакты и . существует топологическое вложение (или непрерывное отображение, сужение которого на V топологическое вложение) s:U—>l2r для которого ext conv s(U) -s(V). Существует топологическое вложение (или непрерывное отображение,

сужение которого на V топологическое вложение) ei:U—>l2 такое г что

ext солV ё! (К) =£i (VU(K\U)).

В п.3.2 доказана

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть M-Gg ~ подмножество метрического компакта К. Существует непрерывное отображение е: К—>11 г где Н — гильбертов куб, сужение которого на М - топологическое вложение, который обладает .свойством (*) .

Теорема 3.1 является в некотором смысле окончательной. С одной стороны, класс подмножеств компакта К, для которых справедлива ' теорема, нельзя расширить, с другой - при столь общих предположениях топологического вложения с такими свойствами может не существовать.

В п. 3.3 приведены два результата о существовании топологического вложения е со свойством (*) •

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть М — такое всюду плотное подмножество метрического компакта К, для которого множество К\М слабо счетномерное. Существует топологическое вложение s: удовлетворяющее условию (*) .

Множество называется слабо счетномерным, если оно является объединением счетного семейства конечномерных компактов.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть М — локально компактное подмножество метрического компакта К, содержащее несчетное замкнутое подмножество. Существует топологическое вложение е: К->Н, удовлетворяющее условию (*) .

В п. 4.2 четвертой главы "Многогранная аппроксимация выпуклых тел и ее приложения" доказана

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть М - выпуклое тело в I? при п£2. Для любого ее (0,л/8] существует мно-

гогранник Ns г имеющий не больше, . чем С (M) *(l/s)tn'1)/2 вершин и такой, что p(M,Ne)<£.

Здесь р — метрика Хаусдорфа, константа С{М) оценивается через интегралы поперечных мер тела М. Асимптотическое поведение числа вершин аппроксимирующего многогранника, утверждаемое теоремой 4.1, точное. Более точные оценки при п=2,3 получены ФЛ'отом (1948), при больших п для тел со строго выпуклой и дважды гладкой " границей теорема 4.1 этот результат усилен Р.Шнейдером и Дж.Випером '{981, 1986).

Из теоремы 4.1 следует

ТЕОРЕМА 4.1'. Пусть M — выпуклое тело в F^1 при п>2. Для любого £е(0гт^/16] существует многогранник N£ , образованный пересечением не более -чем - С (М) *(1/е)(п~1>/2 гиперплоскостей и такой, что р(М,Ые)<£.

Этот результат одновременно и независимо получен Р.Дадли (1374).

Основным .результатом п. 4.3 является

ТЕОРЕМА. 4.2. Для метрической энтропии компакта цгп при достаточно малых £>0 справедливы оценки :

Сг (п) *(!/£) Ц (s) < d (п) *(1/£) <п-1>/2.

уп

Здесь \j/n — множество выпуклых подмножеств единичного п - мерного шара, метрическая энтропия компакта U задается формулой: Ну(е) = log2Nu(s), где Nu (s) - число точек в - минимальной s - сети компакта U. Заключение теоремы сокращенно обозначается следующим образом:

H,„ (1/£) <п'1>/2. Однозюеменно и независимо бо-

гп

лее слабые оценки получены Р.Дадли (1974).

Следствиями из теоремы 3.2 являются следующие результаты:

ТЕОРЕМА 4.3. ТЕОРЕМА 4.4.

Н®п(£) = (1/£)<п-1,/2.

Hùn (S) = (1/S) (п~1)/2.

Здесь 0П — множество аффинно эквивалентных выпуклых тел в И11- с соответствующей объемной метрикой, - компакт Минковского, то есть мно-

жество п - мерных банаховых пространств с метрикой Банаха - Мазура.

В п. 4.3 получен функциональный аналог теоремы 4.2 —

ТЕОРЕМА 4.5. Нр„(М4) М = •

Здесь ЕП(М,А) множество равностепенно ограниченных (числом М) и. равностепенно липшицевых (с константой А) выпуклых функций, определенных на единичном п - мерном шаре с метрикой С.

Применение техники А.Н.Колмогорова позволило в качестве следствия из теоремы 4.5 получить следующую теорему о непредставимости.

ТЕОРЕМА 4.6. При п £ 2 существует выпуклая монотонная функция, определенная на п - мерном кубе, которая кепредставима в виде суперпозиции выпуклых монотонных функций меньшего числа переменных .

Монотонность понимается в смысле стандартного отношения частичного порядка на пространстве Кп. Класс выпуклых монотонных функций, определенных на кубах и не превосходящих 1, замкнут относительно суперпозиций.

В п. 4.4 установлен порядок роста метрической энтропии классов множеств с выпуклыми сечениями.

ТЕОРЕМА 4.7.

При 1<к<п Нипк (£)=(1/£)"'

при к<п Ни'пЛ (£) = (1/£)а'1*1од2(1/£).

Здесь иП/к — наделенное метрикой Хаусдорфа семейство замкнутых подмножеств единичного п -мерного куба, все к - мерные сечения которых плоскостями, параллельными первым к координатным векторам, выпуклые. и'п,* — подмножество ип,к, состоящее из тел, содержащих (п - к) - мерный куб {хеКп:х1=0 при л.£к, |х!|<1 при х>к} .

Первое утверждение теоремы 4.7 показывает, что компакт Un,k по порядку роста энтропии неотличим от компакта всех замкнутых подмножеств куба. Второе утверждение при к=1 ранее получено Б.Пенковым и Вл. Сендовым (1964).

В п. 4.5 рассмотрен вопрос о существовании решения задачи Дирихле для выпуклых функций, заданных на многогранниках в Rn.

ТЕОРЕМА 4.8. Пусть М— выпуклый многогранник в Я" и f — непрерывная функция, заданная на его границе Ш. Для того, чтобы существовала непрерывная выпуклая функция f :M->R такая, что

/¡dti=iг необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий.

1.. Сужение f на каждую грань • многогранника М является выпуклым.

2. Если at+bi , где а, blr Ья е If, t> 0 — параллельные лучи, расположенные в. dM, fj(tJ — сужение £ на луч afcfbi, то

Urn (f1)'.(t)= Um (f,)'.(t) .

В пятой главе рассмотрена экстремальная структура выпуклых множеств, состоящих из выпуклых множеств или функций.

В п. 5.2 рассмотрено следующее выпуклое (с поточечными операциями) семейство выпуклых функций, определенных на отрезке [0,1]: 3(g)={f(х):g(x)<f(х)<0}, где д(х) - выпуклая функция, непрерывная на [0,1], удовлетворяющая условиям g(0)=g(l)=0.

ТЕОРЕМА 5.1. Для того чтобы функция f (х) sS(g) была экстремальной, необходимо и достаточно, чтобы яа каждой компоненте дополнения к замкнутому множеству {x:f(x)=g(x)} функция fix) была аффинной.

В качестве следствия из теоремы 5.1 дано описание экстремальных точек множества выпуклых функций, определенных на отрезке [0,1] и не превосходящих по модулю 1. Это множество оказалось двухмерным.

Так им образом, множество экстремальных точек выпуклых множеств, состоящих из выпуклых функций одной переменней, является весьма бедным (иногда -конечномерным). Совершенно иначе обстоит дело для функций нескольких переменных.

ТЕОРЕМА 5.2. Пусть и - выпуклая ограниченная область в Я" при п>1. Множество экстремальных лучей конуса выпуклых функций, определенных на и, всюду плотно в этом конусе (в топологии равномерной сходимости на компактах).

В п. 5.4 рассмотрен, выпуклый компакт (в топологии равномерной сходимости на компактах) , состоящий из выпуклых функций, определенных на множестве и и по модулю не превосходящих 1.

ТЕОРЕМА 5.3. Замыкание множества экстремаль -

яых точек этого множества состоит из функции

£(х)=1 и всех таких, точная нижняя грань которых равна -2.

В п. 5.5 рассмотрены К - выпуклые тела (в смысле В.Г.Болтянского). Пусть Н - замкнутое подмножество единичной (п — 1) - мерной сферы, не расположенное ни в Какой замкнутой полусфере. Компакт называется Н - выпуклым, если он является пересечением полупространств, единичные внешние нормали которых направлены в Н. Носители поверхностных функций А..Д.Александрова (то есть соответствующие меры) ■Н - выпуклых тел являются подмножествами Н.

На множестве Н - выпуклых тел можно ввести структуру типа Бляшке выпуклого конуса, складывая и умножая на неотрицательные числа поверхностные функции.

ТЕОРЕМА 5. 4. Множество крайних точек конуса Н - выпуклых тел состоит из Н - выпуклых симплексов .

Справедливость для конуса Н - выпуклых множеств теоремы о представлении зависит от геометрических свойств множества Н. Для некоторых множеств Н в этом конусе не существует экстремальных тел. Справедливо следующее достаточное уело-

вие справедливости в конусе Н - выпуклых тел-теоремы о представлении.

ТЕОРЕМА 5.5. Пусть як-к-мерное подпространство Ff. Если множество HaS"'1 таково, что для любых к, лк множество Нпжк содержит не более к точек, не лежащих в , то в конусе Н -

выпуклых тел с метрикой Хаусдорфа справедлива теорема о представлении, то есть конус является замыканием множества выпуклых комбинаций Н - выпуклых симплексов.

В п.5.6 на множестве выпуклых функций, определенных на п - мерном симплексе, введена структура выпуклого конуса типа Бляшке. Дано описание множества крайних точек этого конуса, это множество является достаточно бедным. Наиболее интересным является двумерный случай.

ТЕОРЕМА 5.6'. Множество крайних точек конуса выпуклых функций со структурой типа Блялке, определенных на треугольнике, является объединением трех пятимерных и шестимерного конусов с общим трехмерным подпространством.

Сравнение теорем 5.2 и 5.6' демонстрирует существенную разницу свойств множеств выпуклых функций при наделении различными структурами выпуклого конуса.

В п.5.7' исследованы свойства типичных элементов компакта 'JSf'K) выпуклых замкнутых подмножеств выпуклого компакта К, наделенного метрикой Хаусдорфа.

ТЕОРЕМА 5.7. Если множество К бесконечномерное, то нигде не плотные в К выпуклые компакты, экстремальные точки в которых типичны, являются типичными в 'JS/K).

ТЕОРЕМА 5.8. Если множество К конечномерное, то множества Ue"y(K) полной размерности, граница которых совпадает с множеством extU и является гладкой, типичны в ~у (К).

Здесь типичность понимается ■ в смысле принадлежности множеству второй категории Бэра.

Впервые факт такого . типа установил В.Кли (1959). Он доказал, что в типичном выпуклом . компакте бесконечномерного банахова пространства экстремальные точки плотны. Теорема 5.7 является обобщением теоремы Шварца — Замфиреску (1987), которые рассмотрели конус выпуклых компактных подмножеств Ип со структурой Минковского и метрикой Хаусдорфа.

Теоремы 5.7 и 5.8 демонстрируют существенное отличие экстремальной структуры типичных бесконечномерных и конечномерных выпуклых компактов.

В главе 6 рассмотрены некоторые конкретные задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля. Приведем соответствующие примеры.

Пусть инвестору поступили предложения- о финансировании проектов С]., ...,Сп. Цель инвестора - сформировать оптимальный по доходу портфель.

Практика показывает, что возможны предложения двух типов.

1)Жесткое .предложение. При этом виде предложе-' ний инвестор может принять решение о финансировании проекта в полном объеме или полностью- отвергнуть проект .

2)Гибкое предложение. В этом случае инвестор может принять решение о финансировании какой-либо части проекта, например, половины или четверти.

Математически это означает, что инвестор может принять решение о финансировании проекта хС= (хсх, хс2, . . -, хсп) , где хе[0,1]. При х=0 проект отвергается, при х=1 принимается в полном объеме. Заме^ тим, что жесткое предложение является частным случаем гибкого, но с технической точки зрения их целесообразно рассматривать по отдельности.

Условия деятельности инвестора на финансовом рынке также могут различаться.

А) Инвестор обладает начальным капиталом Е0 и не может формировать такой портфель, при котором возможно разорение в какой-либо момент времени (хотя в дальнейшем этот портфель приводит к большому доходу).

Б) Инвестор может занимать средства под процентную ставку 13, которая, естественно, превосходит ставку л.Б, под которую инвестор вкладывает свободные средства.

Сочетание предложений вида 1 и 2 с финансовыми возможностями инвестора типа А и Б приводят к оптимизационным задачам разных классов.

В частности, 1А это задача целочисленного линейного программирования, 1В - задача линейного программирования, 2А и 2В задачи безусловной оптимизации с индуктивно определяемой негладкой целевой функцией.

Между решениями задач 1В и 2В существует тесная

связь.

ТЕОРЕМА 6.1. При 13 со прибыль по оптимальному портфелю задачи 2Б стремится к прибыли по оптимальному портфелю задачи 1Б.

Разработаны соответствующие программные продукты для решения этих задач. Проведены просчеты на ПЭВМ модельных примеров с помощью среды программирования 0е1рЫ-2.

Приведем соответствующие примеры.

Пример 1. Решение задачи 1А при наборе проектов

А -100, 0,0, 50,50,100

Б -100, 30,- 100,120,-50,110

В -100, 120, -50,70,-30,50

Г -100, 70,- 120,100,-150,300

Д -100, -100 ,0,0,120,250

Е _1 ПЛ хиу / 1 ПЛ Г, ТЛА ОПА хОи, и, ¿ии^ ¿.ии

(все проекты шестилетние) и различных величинах банковской процентной ставки 1в и начального .капитала

-¡-в 300 200 - 100

5% ВиД А и В А

143.3 106.6 62.3

10% А и Д Д А

80.1 46.3 33.8

. В клетках таблицы приведен также доход. Пример 2. Решение задачи 2А при тех же условиях.

I 1в Р0 Г 300 200 100

5% А и В-1, Д - 0.87 192.6 А -0.28, В -1,Д - 0.72 133.1 В-0.58, Д-0.42 67.3

10% £ и В -1, Д - 0.88 105.4 А-0.25, в-1, Д-0.75 74.0 В-0.57, Д-0.43 37.5

Пример 3. Приведем решение задачи 2Б ля того же множества проектов и различных значений основной бан-■ ковской процентной ставки л.в, ставки заимствования 13>1Б и исходного капитала Го.

I. Начальный капитал Го = 300.

и 1в 5% 10% 15% 20%

5% А, В, Г ,Д,Е-1 359.7 — —

10% А, В, Г ,Д,Е-1 308.4 А, В, Г г Л,Е-1 197.2 — —

15% А, В, Г ,Д-1 Е-0.1 253.6 А, В, Г ,Д-1 Л 1 1-. V « А 156.7 А,В,Д -1 82.4 —

20% А, В, Д -1 Г-0.9 237.9 А, В, Г 145.8 А, В, Д -1 84.4 В-1 71.4

XI. Начальный капитал Е0=200.

• 1 . 5% 10% 15% 20%

5% А, В,Г,Д,Е-1 354 .7 — — —

10% А,В,Г,Д,Е- 1 275.6 А,В,Г ,Д,Е-1 187.1 — —

15% А,В,Д -1 Г-0.4 189.4 А,В,Д -1 Г-0.4 121.5 А, В, Д -1 67.4 —

20% А, Вт Г-0.5, Д-О.б 168.3 А, В-1, Д-0.7 107.1 А., В— 1, Д-0.5 63.5 в-1 51.4

В п.6.2 предложена методика учета степени надежности проектов.

П. 6.3 посвящен постановке задачи переформирования инвестиционного портфеля. Реальная деятельность инвестора состоит в том, что при 'поступлении новых предложений он должен принимать решение о возможном перефор-

мировании портфеля с выплатой предусмотренных договорами штрафов в случае отказа от продолжения финансирования некоторых проектов.

П.6.4 посвящен задаче рационального использования двумерного ресурса, смоделированной как задача размещения прямоугольников в полуполосе. Принадлежность этой задачи к классу ЫР-полных делает необходимым применение эвристических алгоритмов. Обычно применяются последовательные алгоритмы, в которых к уже размещенным прямоугольникам добавляется следующий. Сформулирована концепция ограниченных перестроек уже размещенных прямоугольников. При перестройках, заключающихся в возможных сдвигах прямоугольников по вертикали, обосновано применение теории планарных графов. Этот подход позволил получить эффективные алгоритмы рациональной укладки прямоугольников.

Выводы.

1. Сформулированы задачи оптимизации действий инвестора при различных - предположениях на языке выпуклого анализа.

2. Рассмотрены и доведены до программной реализации задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля при различных предположениях .

3. Разработана методика учета степени надежности проектов при формировании оптимального инвестиционного портфеля.

4.Обосновано применение теории планарных графов в задаче распределения двумерного ресурса.

5.Разработана общая методика построения выпуклых компактов в евклидовом и гильбертовом пространствах по топологическим образам замыканий их экстремальных границ и на этой основе охарактеризованы подмножества метрического компакта К, гомеоморфные экстремальным границам выпуклых. компактных подмножеств евклидова пространства и гильбертова куба.

6. Получена асимптотика метрической энтропии компактов замкнутых выпуклых подмножеств п - мерного шара, выпуклых функций нескольких переменных и близких к ним.

7. Установлен. критерий существования решения задачи Дирихле для выпуклых функций на многогранниках.

8. Доказана плотность множества экстремальных лучей в конусе выпуклых функций нескольких переменных с поточечными операциями,

9. Охарактеризованы экстремальные точки кону- сов Н - выпуклых множеств и выпуклых функций с выпуклой структурой типа Бляшке.

10. Установлены свойства экстремальных точек в типичных выпуклых компактных подмножествах метрических компактов..

Публикации по теме диссертации

1. Бронштейн Е.М., Иванов Л.Д. О приближении выпуклых множеств многогранниками. // Сиб. матем. журн., 1975, ig, №5, С. 1110 - 1112.

2. Бронштейн Е.М. е - энтропия выпуклых множеств и функций. // Сиб. матем. журн., 1976, 11, №3, С. 508 - 514.

3. Бронштейн Е.М. Экстремальные зыпуклые функции. // Сиб. матем. журн., 1978, 19, №1, С.10 -18.

4. Бронштейн Е.М. е - энтропия аффинно - эквивалентных выпуклых тел и компакта Минковсхо-го. // Оптимизация (Новосибирск), 1978, 22(39}, С. 3 - 11.

5. Бронштейн Е.М. Экстремальные выпуклые функции и множества. // Оптимизация (Новосибирск), 1978, 22(30$, С. 12 - 23.

6. Бронштейн Е.М. Экстремальные Н - выпуклые тела. // Сиб. матем. журн., 1979, 20, №2, С. 412 - 415.

7. Бронштейн. Е.М. Об экстремальных границах конечномерных выпуклых компактов. // Оптимизация (Новосибирск), 1981, 26(43), С. 13 - 24.

8. Бронштейн Е,М. Экстремальные выпуклые функции. В кн.: Всесоюзный симпозиум по геометрии в целом. Новосибирск: 1982, С. 18- 19.

9. Бронштейн Е.М. Задача Дирихле для выпуклых функций. 11 Депонир. в ВИНИТИ, деп. № 1699 -83. Аннотация: Изв. вузов. Математ., 1983, №8, С. 20.

10. Бронштейн Е.М. О крайних точках выпуклых компактов в I2.// Сиб. матем. журн., 198.5, 26, №1, С. 204 - 206.

11. Бронштейн Е.М. О топологических свойствах экстремальных границ выпуклых компактов в I2.// Функц. анализ и прилож., 1985, 19, №1, С. 60 - 61.

12. Бронштейн Е.М. Метрическая энтропия множеств с выпуклыми сечениями. В кн. : 11 Всесоюзная школа по теории операторов в функц. пр - вах. Челябинск: 1986, С. 12.

13. Бронштейн Е.М. Один пример выпуклого компакта в I2.// Депонир. в ВИНИТИ, деп. № 2285

- 86. Аннотация: Сиб. матем. журн., 1987, 28, №2, С. 218.

14. Бронштейн Е.М. Топологические свойства крайних точек. В кн. : 12 Всесоюзная школа по теории операторов в функц. пр - вах. Тамбов: 1987, С. 18.

15. Bronstein Е. Topologie von Randpunkten konvekter Kompakten. В кн. : 10 Fruhjahrstagung «Nichtlineare Optimierung». (Breitenstein (Harz)- 1989). Halle: 1990, Р.. 10

- 12.

16. Бронштейн Е.М. Топология крайних точек. В кн.: Актуальные проблемы .авиастроения. Уфа: 1992, С, 99«

17. Бронштейн Е.М. Об одномерных экстремальных границах трехмерных выпуклых компактов. // Оптимизация (Новосибирск), 1992,- 51(68),- С, 34 -46.

18. Бронштейн Е.М., Мухачева Э.А., Валеева А.Ф. О применении теории планарности графа к задаче о размещении прямоугольников.//В кн. Международная научная конференция «Математическое программирование и приложения». Екатеринбург, 1993, С.36.

19. Бронштейн Е.М. О выпуклых компактах с заданными крайними точками.// ДАН, 1994, 33S,№3, С. 295 - 296.

20. Бронштейн Е.М. О выпуклых компактах с заданными крайними точками»// Сиб. матем. журн., 1995, 30, №1, С. 12 - 18.

21. Бронштейн Е.М. О топологических свойствах крайних точек выпуклых компактов в I2. // Мат. сборник, 1995, 1SS, №3, С. 19 - 28.

22. Бронштейн Е.М. Топологические свойства экстремальных границ выпуклых компактов. // Информ. бюллетень Ассоц. матем. программир, №6. Екатеринбург: 1996, С, 64 - 67.

23. Бронштейн Е.М. Топологические свойства крайних точек выпуклых компактов в гильбертовом кубе. В кн.: Второй сибирск. конгресс по прикл. и индустр. матем. Новосибирск: 1996, С. 70.

24. Бронштейн Е.М. О крайних точках выпуклых компактов в гильбертовом пространстве. // Функц. анализ и прилож., 1996, №4, с.65-68.

25. Бронштейн Е.М. Топологические свойства крайних точек выпуклых компактов. В кн. Труды Междунар. конференции " Комплекс. анализ, диф. урави. и смеж. вопр. т. VI. Уфа: 1996, с. 140-144.

26. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Математический анализ сравнения инвестиционных проектов. В кн. Международная геометрическая школа - семинар памяти Н.В.Ефимова, 1996,С.101.

27. Бронштейн Е.М. Об экстремальных границах выпуклых компактов в евклидовом пространстве. Там же, 1996, С.44.

28. Бронштейн Е.М. Метрическая энтропия некоторых классов множеств. // Сиб. матем. журн., 1997, 30, № 1, С.42. - 45.

29. Бронштейн Е.М. Топологические свойства крайних точек выпуклых компактов. В кн.: Труды сибирск. конгресса по прикл. и индустр. матем. памяти Нобелевск, лауреата Л.В.Канторовича, т.2. Новосибирск: 1997, С. 4С - 46.

30. Бронштейн Е.М. Типичные выпуклые множества. В кн. "Международная конференция по геометрии в целом". Черкассы (Украина),1997, С.46.

31. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Сложные инвестиции и потоки платежей.// Рынок ценных бумаг, 1997, №3, 1997,С.60-62,

32. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Математический анализ сравнения инвестиционных проектов. // Информ. бюллетень Ассоц. матем. программир, N'7.Конференция "Математическое программирование и его приложения" Екатеринбург: 1997, С.4 6 -47.

33. Бронштейн Е.М. Типичные выпуклые множества. Там же, С. 4 5.

34. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Формирование оптимального портфеля инвестиций.// В кн. II Международная научно - практическая конференция "Мат. методы и компьютеры в экономике" ч.1. Пенза, 1997, С.8.

35. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Потоки платежей: функционально — аналитический подход.// Там же, С.9.

36. Спивак С.И., Бронштейн Е.М. Сравнительный анализ инвестиционных проектов.//Экономика и управление. 1997, №2(16), С.61-66.

37. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Задачи формирования оптимального портфеля инвестиций.//В кн. Международная конференция «Проблемы оптимизации и экономические приложения» Омск, 1997, с.33.

38. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Как сформировать оптимальный портфель.//Рынок ценных бу-маг.1997,№14, С.52-54.

39. Бронштейн Е.М., Спивак С,И. Инвестиционные проекты: аналитический подход.//Обзор прикл. И промыш. матем., 1997,4,N'3, С. 330.

Бронштейн Ефим Михайлович

Оптимизационные задачи теории инвестиций и смежные вопросы выпуклого анализа.

05.13.16-При.ченение вычислительной техники, математического моделирований и математических методов в научных исследованиях. 01.01.01 -Математический анализ -

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЛБЖН92 от 16.10.96. Подписано в печать 20.01.98. Формат 60X84 1/16. Бумага писчая. Печать плоская. Усл. печ. л. 1,8. Усл. кр.-атт. 1,7. Уч.-изд. л. 1,7.

Тираж 100 экз. Заказ № /У. <

Уфимский государственный авиационный технический университет Уфимская типография №2 Министерства печати и массовой информации Республики Башкортостан

450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12.