автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и численное решение плоских квазистационарных задач параболического типа с подвижной границей

На правах рукописи

Касаткин Андрей Евгеньевич

Математическое моделирование и численное решение плоских квазистацно-нарных задач параболического типа с подвижной границей

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

11 НОЯ 2015

Самара-2015

005564311

Работа выполнена на кафедре «Безопасности информационных систем» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «СамГУ»).

Научный руководитель: - Астафьев Владимир Иванович, доктор физико-

математических наук, профессор

Официальные оппоненты: - Водопьянов Владимир Васильевич, доктор технических

наук, профессор, декан общенаучного факультета ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (г. Уфа)

- Вельмисов Петр Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики ФГБОУ ВПО " «Ульяновский государственный технический университет» (г. Ульяновск)

Ведущая организация: - ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет»

(г. Орел)

Защита состоится «02» декабря 2015 г., в 12 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д212.217.03 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» по адресу: г. Самара, ул. Галактионовская, 141, корп. № 6, ауд. № 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: 443100, Россия, г. Самара, ул. Первомайская, д.18.

Отзывы на автореферат просим высылать в двух экземплярах, заверенных печатью, по адресу: 443100, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Самарский государственный технический университет, Главный корпус, ученому секретарю диссертационного совета Д212.217.03; тел. (846) 337-04-43,е-шаП: radch@samgtu.ru.

Автореферат разослан «2/» /С_2015.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.217.03

доктор технических наук, доцент ¡уд^; В.Е. Зотеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Задачи с подвижными границами - это задачи об отыскании закона перемещения для некоего внутреннего фронта Г(1), разделяющего физически различные среды О/ и fh- При этом поведение основной функции F(x,l),.xе R", связанной с моделируемым процессом, описывается в областях Oj и 02 уравнениями одного типа. Соответственно, физические различия между средами Oi и П2 (или, в частном случае, фазовыми состояниями одного вещества; учитываются с помощью коэффициентов в уравнениях для F(x,t), терпящей сильный и/или слабый разрыв на внутренней границе раздела Г(1). Мониторинг подвижной границы широко используется при моделировании динамических процессов в вопросах теплопроводности, диффузии, фильтрации, горения и т.д. Так, проблемы таяния льда и, наоборот - замерзания воды, плавления твердого вещества, протаи-вания или промерзания грунта и т.д. часто рассматриваются в рамках известной задачи Стефана. Похожая постановка, имеющая, впрочем, ряд существенных различий, используется при исследовании перераспределения концентрации в бинарной металлической системе в процессе диффузионного отжига. Мониторинг подвижной границы также применяется в задачах совместной фильтрации, в частности - заводнения нефтяных и газовых месторождений: здесь Г(1) выступает в качестве фронта вытеснения, разделяющего физически различные фазы. Кроме того, подобный подход также используются в вопросах о распространении загрязнения от источника в грунте. Наконец, мониторинг подвижного фронта применяется и при исследовании процесса горения жидких или твердых веществ, например - ракетного топлива: соответствующие задачи и связанные с ними математические модели актуальны для области ракетостроения.

Таким образом, идея о мониторинге внутренней подвижной границы находит широкое применение при моделировании процессов в системах из нескольких физически различных веществ. При этом соответствующие модели, как правило, включают в себя уравнения в частных производных с нелинейной зависимостью функции F(x,t) от времени /. Так, изменение концентрации в компонентах бинарной металлической системы описывается вторым законом Фика. В свою очередь, поведение температуры при теплопереносе или давления в ходе совместной фильтрации задается с помощью уравнений теплопроводности и пьезопроводности, соответственно. Ввиду нестационарности рассматриваемых процессов поиск общего решения весьма затруднителен: нелинейная зависимость F(x,t) от времени I, как правило, приводит к необходимости численного интегрирования исходных уравнений. В связи с этим актуальными остаются исследования, посвященные поиску обших решений для задач с подвижной границей. При этом вопрос о мони-

торинге подвижного фронта рассматривается в рамках различных подходов, основанных на специфичных для них исходных допущениях. Данное обстоятельство приводит к появлению новых математических моделей и связанных с ними методов решения соответствующих уравнений.

Цель работы

Целью настоящей работы является разработка общего метода решения для плоских квазистационарных задач с подвижной границей с последующей его апробацией на примере внутри-контурного заводнения в двоякопериодической области. При этом общее представление формируется не для основной функции К(х,у,1), а ее градиента. В свою очередь, мониторинг подвижного фронта осуществляется посредством трассировки конечного множества точек, определяющих его (фронта) форму. Разработка нового метода также включает в себя создание алгоритмов для аппроксимации исходных уравнений и их последующего численного решения.

Научная новнзна

1. Разработаны новые математические модели и методы решения плоских квазистационарных задач параболического типа с подвижной границей.

2. Предложен новый метод решения плоских квазистационарных задач заводнения в двоякопериодической области. В его основе - использование представления для поля скоростей: при этом в состав соответствующего выражения включены дзета-функция Вейерштрасса и обобщенный сингулярный интеграл с ядром типа Коши.

3. Построена новая математическая модель для мониторинга подвижной границы (фронта заводнения). В основе предлагаемого математического описания лежит связанная система сингулярного интегрального (СИУ) и дифференциального уравнений (ДУ). При этом СИУ используется для определения скорости фильтрации на подвижной границе. Результат решения сингулярного интегрального уравнения используется для определения правой части ДУ: последнее используется непосредственно для мониторинга фронта заводнения методом трассировки.

4. Предложены новые методы численного решения для сингулярного интегрального и дифференциального уравнений: предлагаемые подходы используются при мониторинге подвижной границы. К настоящему моменту известен способ решения СИУ, основанный на использовании формулы прямоугольников, а также - исключении отрезка интегрирования с сингулярной составляющей. Предлагаемый в работе метод основан на применении формулы трапеции, а также - рассмотрении сингулярной части в смысле главного значения по Коши, что приводит к повышению точности. В свою очередь, для решения ДУ предложено использовать методы Рунге-Кутты в комплексной плоскости: при этом переменная интегрирования остается веще- ; сгвенной, что обеспечивает применимость классических разностных схем.

5. Разработан и реализован алгоритм подсчета коэффициента Кох, охвата заводнением по площади. Предлагаемый подход основан на построении и последующем интегро-дифференциальной системы (СИДУ): данные о мониторинге фронта заводнения используются для аппроксимации заводненной области выпуклыми четырехугольниками, чьи размеры далее оцениваются с помощью векторного произведения.

6. Разработан программный комплекс для оценки характеристик заводнения (времени и™егЬпак начала обводнения и коэффициента Кох„ охвата по площади) при различных способах взаимной расстановки скважин. В основе программы - реализация предлагаемых в работе математических моделей и метода решения.

Практическая ценность

Теоретически значимый результат, полученный в диссертации - новые математические модели и методы решения для плоских квазистационарных задач параболического типа с подвижной границей. Практическая значимость работа связана с апробацией разработанного программного комплекса. Сфера применения программы - предварительное проектирование систем разработки месторождений с использованием заводнения. Возможности программного комплекса обеспечивают проведение качественного и количественного анализа различных способов расстановки скважин. Результаты сравнения могут использоваться в качестве рекомендации к выбору конечной схемы заводнения.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математическая модель и метод решения плоских квазистациоиарных задач заводнения в двоякопериодической области.

2. Математическая модель мониторинга подвижной границы, основанная на построении связанной системы из сингулярного интегрального и дифференциального уравнений.

3. Методы численного решения интегро-дифференциапьной системы.

4. Алгоритм численного нахождения коэффициента Кочв охвата по площади.

5. Программный комплекс, предназначенный для проведения качественного и количественного анализа процесса заводнения при различных способах взаимной расстановки скважин.

Достоверность результатов

Достоверность результатов, полученных в настоящей диссертационной работе, обеспечивается за счет построения математической модели течения жидкостей на основе общих законов и уравнений механики сплошной среды; тщательностью анализа физических процессов моделируемых явлений; справедливостью используемых упрощений и приближений; сопоставлением ре-

зультатов проводимых расчетов с известными аналитическими решениями соответствующей задачи, а также - с опубликованными экспериментальными данными сторонних авторов.

Апробация работы

Основные результаты проведенного исследования были представлены на XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 10.2011); XIX международной молодежной научной конференции «Ломоносов-2012» (Москва, МГУ, 04.2012); XIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Петрозаводск, 06.2012); IX и X Международных научно-практических конференциях «Ашировские чтения» (Туапсе, 08.2012, 10.2013); XIII Европейской конференции по математике в нефтедобыче ЕСМОЯ XIII (Би-арритц, 09.2012); Всероссийской молодежной конференции «Лобачевские чтения, 2012» (Казань, 11.2012); Всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию д.ф-м.н., проф. Г.И.Быковцева (Самара, 04.2013); 75 конференции ПАСЕ & БРЕ выставке ЕШОРЕС 2013 (Лондон, 06.2013); XVI Международном симпозиуме МДОЭМФ-2013 (Херсон, 06.2013); XIX Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 02.2015); VI Международной конференции по связанным задачам (Венеция, 05.2015), XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 08.2015). Тексты соответствующих докладов и тезисов опубликованы в материалах сборников конференций.

Настоящее исследование выполнялось при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках двух грантов: РФФИ 13-01-97008-р_поволжье_а и 14-0197041 -р_поволжье_а.

Внедрение

Результаты, полученные в рамках диссертационного исследования, используются в учебном процессе кафедры «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений» ФГБОУ ВПО «СамГТУ», а также - в практике работы ООО «НефтеСтройПроект». Разработанный программный комплекс зарегистрирован в реестре программ для ЭВМ, в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, с получением свидетельства о регистрации №2015610136 от 12.01.2015.

Публикации

Результаты диссертационного исследования представлены в 16 печатных и 3 электронных публикациях, из них - 5 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК, 8 статей в сборниках трудов конференций и 6 тезисов докладов.

Личный вклад автора

Работы [1, 2,4, 7-10, 12-14, 19] выполнены автором самостоятельно. В остальных публикациях диссертанту принадлежат совместные разработка метода решения и анализ полученных результатов. В свою очередь, личный вклад автора также заключается в составлении вычислительных алгоритмов и их последующей реализации в форме программного комплекса.

Благодарности

Диссертант выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук В.И. Астафьеву за постановку задачи и помощь, оказанную при разработке метода решения, а также - интерпретации полученных результатов.

Структура и объем работы

Диссертация включает в себя введение, три главы, заключение, список литературы из 181 наименования и приложения. Совокупный объем работы составляет 195 страниц машинописного текста, включая 69 рисунков и 23 графика.

Краткое содержание работы

Во введении рассмотрена актуальность выбранной темы исследования и сформулирована его цель. Также в данном разделе перечислены основные задачи и методы их решения, сформулирована научная новизна полученных результатов и положения, выносимые на защиту. Завершающая часть введения посвящена апробации работы и ее практической ценности.

Первая глава носит обзорный характер и включает в себя материалы, посвященные математическим моделям, методам и технологиям, задействованным в проведенном исследовании. Первый параграф включает в себя обзор основных свойств и подробное описание задач с подвижной границей: в частности, здесь указаны их общие черты, а также - представлен пример, на основе которого далее демонстрируется метод их (задач) общего решения, предлагаемый в работе. Второй пункт посвящен двум моделям однофазной совместной фильтрации, использованным в диссертационной работе - «разноцветным жидкостям» и «поршневому вытеснению». Содержание третьего параграфа связано с основными аспектами неустойчивости фронта вытеснения, обусловленной физическими различиями жидкостей: в частности, здесь рассматриваются особенности вязкостной и гравитационной неустойчивостей, а также - опыт их изучения в работах сторонних авторов. Четвертый параграф посвящен обзору сингулярных интегралов (СИ) и опыту их применения: СИ используются в рамках предлагаемого в работе метода общего решения для учета скачка значений искомой функции на подвижной границе. Содержание пятого параграфа включает в себя обзор исследований, проведенных с использованием двоякопериодических решеток, в том

числе - и в задачах вытеснения нефти водой. Наконец, в шестом параграфе представлена технология заводнения, история ее развития, а также - основные свойства и особенности применения.

Вторая глава посвящена описанию метода общего решения для плоских квазистационарных задач с подвижной границей: при этом предлагаемый в работе подход демонстрируется на примере внутриконтурного заводнения как частного случая совместной фильтрации жидкостей.

Представим далее исходные допущения, принятые в задаче. Моделируемое месторождение полагается плоским, бесконечным, фиксированной толщины, однородным и изотропным по проницаемости: таким образом, действие краевых эффектов не учитывается, а коэффициенты пористости т и проницаемости к принимаются известными и постоянными. Разрабатывающие месторождение скважины полагаются совершенными по степени вскрытия и моделируются точечными источниками и стоками. В рамках решаемой задачи рассматривается плоское течение, подчиняющееся линейному закону фильтрации Дарси. Фильтрующиеся жидкости полагаются несмеши-вающимися и слабо сжимаемыми. Кроме того, фильтрация протекает в условиях квазистационарного режима, что предполагает постоянный характер изменений давления P(x,y,t) во времени,

независимо от положения точки в пространстве, т.е.: = Const, где Р- среднее пластовое дав-

д!

ление. Наконец, в рамках решаемой задачи из рассмотрения исключается область смешанных жидкостей на границе раздела вода-нефть: кроме того, каждая точка пространства считается занятой лишь одной фазой (водой или нефтью). Последние условия позволяют рассматривать процесс заводнения в виде задачи с подвижной границей.

Сосредоточимся на исследуемой области Q, в пределах которой рассматривается совместная фильтрация воды и нефти. Известно, что при заводнении добывающие и нагнетательные скважины размещаются на территории месторождения упорядоченно и периодически, образуя смежные геометрически повторяющиеся элементы. Для учета этой особенности в работе применялся аппарат двоякопериодических решеток: моделируемое месторождение покрывается регулярной сеткой с добывающими и нагнетательными скважными в узлах. На рисунке I .а представлен способ выделения ячейки двоякой периодичности на основе группы смежных геометрически повторяющихся элементов. В общем случае, ячейка двоякой периодичности (см. рисунок 1 .Ь) имеет вид параллелограмма, размеры и форму которого определяет параметр ц/ = , где

д = К|/ , a coi, а>2 - периоды решетки. Благодаря свойству двоякой периодичности исследуемая

/И

область может быть сужена до одной ячейки с площадью Д: при этом добывающие и нагнетательные скважины располагаются в ее пределах, в точках г/.

' ° л

а) Ь)

Рисунок I. Пример построения модели для системы разработки месторождения. Добывающие скважины обозначены черными кругами, нагнетательные - белыми треугольниками. На рисунке (а) представлен способ выделения ячейки двоякой периодичности (выделена сплошной линией) из группы смежных повторяющихся элементов (границы выделены пунктиром). На рисунке (Ь) приведена отдельно взятая ячейка двоякой периодичности вместе со связанными с ней параметрами, определяющими ее форму и размер.

В то же время, в рамках решаемой задачи совместная фильтрация рассматривается в пределах т.н. контура нагнетания (КН) - «зоны ответственности» каждой отдельно взятой нагнетательной скважины. Соответствующий пример представлен на рисунке 1 .а: в данном случае КН совпадает с повторяющимся элементом схемы заводнения и имеет те же границы (выделены пунктиром). Важно отметить особенность, связанную с формой контура нагнетания. В общем случае его внешняя граница Б является криволинейной и формируется встречными потоками нагнетаемой воды - в процессе заводнения. Таким образом, форма и площадь контура нагнетания заранее неиз-

„ дУ(х,у) _

вестны: при этом на его внешней границе Ь действует условие непротекания -------• =0

дп

. В

(.t.j-teV

результате, в рамках решаемой задачи неизвестной полагается как внутренняя, так и внешняя границы. В то же время отсутствие явно заданного условия на S компенсируется свойствами двоякой периодичности.

Рассмотрим далее процесс вытеснения нефти (OIL) водой (WATER) в окрестностях выбранной нагнетательной скважины (INJECTION WELL) - в пределах контура нагнетания. Графическая постановка задачи представлена на рисунке 2.а. Здесь неизвестная подвижная граница обозначена как L последняя, в свою очередь, совпадает с фронтом вытеснения и границей раздела вода-нефть. Ниже, на рисунке 3, представлены граничные условия, задаваемые на L: здесь Р, о и ц обозначают, соответственно, давление, скорость фильтрации и вязкость, определяемые в областях, занятых нефтью (oil) и водой (water). В свою очередь и, и и„ указывают на касательную и нормальную компоненты скорости v.

L

/

л

/ t

/7

X

у

о

Ь)

Рисунок 2. Положение подвижной границы I. вокруг' нагнетательной скважины (а) и схема ее (границы /.) параметризации (Ь).

Рисунок 3. Вид 1раничных условий на подвижном фронте L.

Согласно подходу, предлагаемому в работе, общее решение задачи с подвижной границей предполагается искать не для основной функции Ffx,y,tJ, а ее производных: в данном случае речь идет о давлении P(x,y,t) и векторе скорости фильтрации u(x,y,t) соответственно. Рассмотрим далее общее представление для функции v(x,y,t). Схема его построения представлена ниже, на рисунке 4. Фактически, выражение (2) для скорости фильтрации и комплексно-сопряженной к ней V(z,z) было получено путем последовательного применения гипотез слабой сжимаемости, плоской постановки задачи, условия квазистационарности, и далее — путем перехода к комплексным переменным и к функции и вместо Р.

Для представления функции скорости (2) в условиях двоякой периодичности в настоящей работе использовался подход, примененный в [1]: в своих трудах авторы рассматривали двоякопе-риодические системы добывающих скважин, описывая течение жидкости с помощью эллиптических функций Вейерштрасса.

I. Астафьев В.И.. Ротерс П.В. Моделирование и оптимизация разработки месторождений многоскважинными двоя-копериодическими кластерами // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия, 2013. - №9/2 (110).- С. 170-183.

(1)

о

Si

v = -—qradP fl

P = /•(/')

1. Слабая сжимаемость

2. Плоская постановка

3. Квазистационарность \ ' (--2) = !■(:) + ( 'I ^

4. Комплексные переменные / К(-, г) = /•'(') + <'■

5. Переколот давления к скорости

Рисунок 4. Общее решение задачи фильтрации, представленное для комплексной функции скорости ['(г,;) = П'Д.х.у). Здесь т - пористость, р - плотность, и - вектор скорости фильтрации в физических коор-

динатах, к - проницаемость, ¡1 - вязкость жидкости, Р - давление, !•(:) и С в выражении (2) указывают на некую аналитическую функцию и константу соответственно: их конечный вид определяется из граничных условий задачи. Подход [1] был обобщен на случай заводнения:

V(

„ injve! Г "1 т

, о;™7"

-)+«с-- , )--(=-=,)

(3)

2лН

Здесь п, т - число нагнетательных и добывающих скважин мощностей (дебитов) О'"'"' и Qprcjud COOTBeTCTBeHHOi размещенных в точках z, и z¡ двоякопериодической ячейки площадью А;

= у ■( 1 i 1 i г ) - дзета-функция Вейерштрасса; а = - числовой параметр,

г 2-ю ю ю- Д 2 J

обеспечивающий двоякую периодичность функции V(z,z).

Выражение (3) применимо в областях, занятых нефтью и водой (см. рисунок 2.а). В то же время при прохождении через подвижную границу касательная компонента скорости терпит разрыв, согласно условиям (1). Заметим, что, исходя из определения функции С(г,г)и связи между координатами (х,у) и (1,п), имеет место следующее выражение: V(:,z) = (и, + iutl)e"". Для учета разрывности K(z,z) на L удобно использовать сингулярный интеграл типа Коши:

V[z~¿) = Ф(г,г) + -'-|/(гК(г - z)dr. (4)

Здесь Ф(;,г) совпадает с выражением (3), у(т) указывает на неизвестную функцию на границе L, а ^(г - г) используется для учета двоякой периодичности и включает в себя особенность

вида —í— (см. определение дзета-функции). Представление (4) является аналитическим и г - г

определено во всей исследуемой области, включая фронт вытеснения.

Далее сосредоточимся на процессе мониторинга подвижной границы L. В рамках настоящего исследования для отслеживания перемещений L применялся метод трассировки: фактически, фронт вытеснения аппроксимировался конечным множеством Nlmxr., точек-трассеров

zk,к = 1, N¡rac.erl, за передвижениями которых и велось наблюдение (см. рисунок 2.Ь). В целях мо-

ниторинга границы I, была составлена система сингулярных интегральных и дифференциальных уравнений (СИДУ), основанная на представлении (4). Ниже приведен общий вид СИДУ - с учетом параметризации контура Ь (см. рисунок 2.Ь), согласно которой г = г(з):

2 St

~ У Г" СО + ¡УГ" ) = [®(z(5),z(5)) + £(z(<r) - z(s )УГ" (<т)Л7]

' 2Л7

(5)

(6)

г„о = z» + r.e

Здесь j/""" и ynm"r(s) обозначают, соответственно, касательные и нормальные компо-

ненты скорости со стороны воды, а параметр х- =

Мои

- отношение вязкостей. В свою очередь,

zo и rw указывают, соответственно, на центр и радиус нагнетательной скважины INJECTION WELL, а - на угол, связывающий системы координат (х,у) и (г, и) (см. рисунок 2.а), а в - на вспомогательный числовой параметр, используемый для задания начальных положений трассеров. В довершение отметим, что сингулярное интегральное уравнение (5) было составлено на основе формул Сохоцкого-Племеля, примененных для выражения (4), с учетом граничных условий (1). В свою очередь дифференциальное уравнение (6) было получено из закона, связывающего скорость фильтрации V(z,z). = K(z,z) и перемещение точек zt,к = 1,NlrtKcrs подвижной границы: при этом, в ходе применения формул Сохоцкого-Племеля и условий (1), с учетом K(z,z) = (К, + iVrl )е~"",

было получено, что y(z,z)L ■■

0 + *)

■h

Рассмотрим далее алгоритм численного решения СИДУ (5-6). Фактически, для мониторинга подвижной границы L требуется последовательно решить сингулярное интегральное (СИУ), а затем - дифференциальное (ДУ) уравнения. Соответственно, значения V'"'"'(s) и F™""(s), полученные при решении СИУ (5) во всех Nlracen точках-трассерах на контуре L, используются для задания правой части ДУ (6). В настоящей работе для вычисления сингулярного интеграла (СИ), входящего в (5), использовались квадратурные формулы трапеций. При этом сингулярная составляющая бралась в смысле главного значения по Коши (для сокращения записи далее используются обозначения T(s) = l'"""r(s) и N(s) = У,Г""Ш-

£ <Г(--(<Т) - Ф> ))Г(<т)*7 = у Г„ + Т„

-Т +1 - г» >^.1 + ^ zt 2 2

-z„)&st

+ Tt

Решение СИУ (5) осуществлялась путем построения системы линейных алгебраических

уравнений относительно компонент Т = (T(s0)...T(sv^ .¡)) и Л' = (\'(s„)...N(sK^....._i))- Для этих

целей требовалось разделить вещественную и мнимую части (5) и далее - записать соответствующие выражения для T(s) и N(s) во всех точках zt-z(st):

T(st) = Re W(it)) + ('SC(z«T)-- г(s„ ))T(a)dcr] 2 [ 2m J» ds I

N(st) = ImWz(i,)) + ^f £(z(<r)-z(s, ))7X<r)Ax]1.

[ 2m J0 ds I

При интегрировании ДУ (6) было принято решение отказаться от перехода к координатам (х,у) - ввиду сложностей, возникающих при явном выделении вещественной и мнимой составляющих правой части. Заметим, что V(z,z)L, входящая в уравнение (6), фактически, определяется выражением вида (4), которое включает в себя дзета-функции Вейерштрасса с двойными бесконечными рядами комплексных переменных. Таким образом, удобнее проводить интегрирование ДУ (6) непосредственно в комплексной плоскости. Для этих целей в настоящей работе было решено использовать одношаговые методы семейства Рунге-Кутты. Несмотря на то, что искомая функция z(t) и правая часть ДУ (6) представлены в комплексной плоскости, интегрирование осуществляется по вещественной переменной /, обозначающей время процесса. Фактически, конечная реализация разностных схем Рунге-Кутты в (z,z) ничем не отличается от «традиционной формы» методов, записанных в (х,у). Ниже приведены примеры методов Рунге-Кутты для m = 1..4.

Схема Эйлера (ш=1) Метод второго порядка (ш=2) Метод третьего порядка (т=3) Метод четвертого порядка (т=4)

К,=У(у.) 1 At J At 1 К:=У(У,+ у*,) K,=V(yl-AtKt+2AtK2) У..,-У, =1(ЛГ, +4К2+К,) at 6 = У (У. + AtK,-2At/C3+2AlK3) А/ 6

Численное решение СИДУ (5-6) далее было программно реализовано и дополнено алгоритмами подсчета характеристик заводнения - времени t*a,crbreak прорыва воды и коэффициента К,ан охвата по площади. При создании программы использовалась среда разработки и исполнения Wolfram Mathematica. Полученный программный комплекс «Двоякопериодические схемы заводнения: качественный и количественный анализ» предназначен для анализа процесса вытеснения

нефти водой при различных способах взаимной расстановки добывающих и нагнетательных скважин.

В основу программы положен представленный выше метод решения задач с подвижной границей, а именно - его апробация на случай заводнения в условиях «разноцветных жидкостей» и «поршневого вытеснения». Указанные модели фильтрации предполагают наличие резкой бесконечно тонкой границы между фильтрующимися жидкостями: отличие заключается в учете/неучете физических свойств (вязкостей) нефти и воды. Ниже, на рисунке 5, приведена блок-схема, демонстрирующая работу программного комплекса.

Картины зео.иоцип фронта заводнения Показания Показания Ко»

Рисунок 5. Схема работы программного комплекса «Двоякопериодическне схемы заводнения: качественный и количественный анализ».

Основным входным параметром программы является способ расстановки скважин при выбранной схеме заводнения: для задания геометрии задействуются характеристики, определяющие соответствующую двоякопериодическую решетку (см. рисунок 1 .Ь). Сведения о точках размещения скважин и их мощностях используются для определения функции Ф(г,г). Сама процедура мониторинга L основана на решении интегро-дифференциальной системы (СИДУ) методами, описанными выше: при этом, в случае модели «разноцветных жидкостей», исходная интегро-

дифференциальная система упрощается до задачи Коши (6), поскольку к = = 1. Выход-

ные данные программы включают в себя картины заводненной области, построенные для различных этапов процесса, а также - показатели времени Лга/иЛм* прорыва воды и коэффициента Кта охвата по площади. Отметим, что помимо анализа характеристик заводнения при различных способах расстановки скважин, программа также предоставляет возможность для проведения ряда вычислительных экспериментов. Разработанный программный комплекс был зарегистрирован с получением свидетельства №2015610136 о регистрации программы для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности (заявлено 23.09.14, опубликовано 12.01.15).

Ниже представлен пример работы программы. На рисунке 6 приведена часть результатов, полученных при анализе пятиточечной обращенной схемы расстановки скважин в рамках модели «разноцветных жидкостей». Таблицы 2 и 3 содержат данные вычислительного эксперимента, проведенного в условиях «поршневой» модели с целью оценить влияние разницы вязкостей воды и нефти на эффективность заводнения. Аббревиатура VF (viscous fingering) указывает на образование т.н. «вязких пальцев» по всему фронту вытеснения, что приводит к его искажению и делает невозможным подсчет характеристик (t„„Krbreak, Коха)- Заметим, что неустойчивость «поршневого вытеснения» была показана в работах различных авторов, исследовавших данный вопрос. Из таблиц 2 и 3 видно, что с увеличением вязкости нефти сокращается период ее безводной добычи, а также уменьшается плошать, охватываемая заводнением. Сделанное заключение согласуется с выводами сторонних авторов.

Таблица 1. Цветовые обозначения, используемые в рисунке 6, и соответствующие им моменты времени.

Значение времени, выраженное в долях Цветовые обозначения • ••

0 - Ш^сгЬгеэк Оранжевый - <

1/2^,сгЬ,Са1: " ЗМ^югЬгсак

3/41ЧУа1С,\ясак " 1\\а1«тЪгеак С ветло- голубо и

Полное обводнение всех трассеров ' ; .... '¿ШФ- , ; •

twaterbreak-40.114

с)

1 ' ' ' »« ' ' ' .....' ' ' ' ^ ' ' ' ..... d)

Рисунок 6. Результаты анализа, проведенного для пятиточечной обращенной схемы заводнения. На изображении а) представлена картина заводненной области для различных моментов времени (см. таблицу 1): линии тока обозначены серым, границы контура нагнетания - красным, добывающие скважины - желтыми кругами, нагнетательная - белым треугольником. Диаграмма Ь) отражает прирост площади, охваченной заводнением, за различные интервалы времени (цветовые обозначения указаны в таблице 1). На графике с) показана зависимость /Си»(0: участок, выделенный пунктиром, соответствует асимптотическому поведению кривой после момента 1= lw<t,erbreak ■ Кривая d) демонстрирует динамику прорыва трассеров в добывающие скважины: каждая точка кривой N(t) отражает количество частиц (нормировано по единице), добравшихся до призабойной зоны к моменту /.

Схема заводнения Значения при различном отношении вязкостен к

К= / 2 лг=/ 3 к=1 4

Пятиточечная обращенная 0.1152 0.1017 0.0960 УК

Семиточечная -обращенная 0.0516 0.0472 0.0452 0.0439

Девятиточечная обращенная 0.0277 0.0252 0.0240 0.0232

Лобовая рядная 0.1820 0.1500 УГ УГ

Шахматная 0.2124 0.1858 УГ УГ

Таблица 3. Данные по коэффициенту охвата по площади при «поршневом вытеснении»

Схема заводнения Значения Ка*в при различном отношении вязкостен к

к=1(Ф.Крэйг) х=1 к=1/2 *=1/3 «=1/4

Пятиточечная обращенная 70% 72,5% 63,5% 60% УГ

Семиточечная обращенная 73% 75,2% 68,5% 65,3% 63,3%

Девятиточечная обращенная 55% 52,7% 48% 45,5% 44%

Лобовая рядная 58% 57,2% 47% УГ

Шахматная 76% 77% 67% УГ УГ

Заключение

1. Разработан метод построения общего решения для задач с подвижной границей в плоской квазистационарной постановке.

2. Поставлена и решена задача заводнения в условиях слабосжимаемой жидкости в двоякопе-риодической области. Поиск решения осуществлялся посредством разработанного в диссертации метода, в рамках моделей однофазной фильтрации и при квазистационарном режиме работы скважин.

3. Сформулирована в общем виде система сингулярных интегральных и дифференциальных уравнений (СИДУ) для отслеживания перемещений подвижной границы методом трассировки. Представлен алгоритм численного решения СИДУ, а также - ее конечный вид для задачи заводнения в условиях двух моделей однофазной фильтрации - «разноцветных жидкостей» и «поршневого вытеснения».

4. Разработан способ подсчета числовых характеристик заводнения - времени ¡«ат-ьгеак прорыва воды в добывающие скважины и коэффициента К0ха охвата по площади. В основе предлагаемого метода лежит предварительное решение СИДУ и использование результатов трассировки фронта вытеснения. Достоверность результатов оценена путем сравнения с известными аналитическими решениями и данными физических экспериментов, представленными в работах сторонних авторов.

5. Создан программный комплекс, обеспечивающий качественный и количественный анализ процесса заводнения при различных способах расстановки добывающих и нагнетательных скважин. В основе работы программы лежит мониторинг фронта вытеснения, данные которого используются при оценке показателей (/„„«twj, Кше), а также - при построении картин заводненной области. Результаты расчетов оформлены в виде графиков и диаграмм.

6. Для равных вязкостей нефти и воды проведен качественный и количественный анализ порядка тридцати схем внутриконтурного заводнения. Результаты расчетов представлены в виде атласа, который планируется использовать в качестве наглядного пособия в рамках учебного процесса на кафедре Разработки и Эксплуатации Нефтяных и Газовых Месторождений СамГТУ.

7. В условиях различных вязкостей нефти и воды //,„„ проведен вычислительный эксперимент с целью оценить влияние параметра к = на эффективность процесса завод-

Мы

нения. В качестве критериев сравнения использовались („„„wi- и Кохв. Было установлено, что высокая разница в вязкостях воды и нефти приводит к уменьшению площади, охватываемой воздействием заводнения, с уменьшением безводного периода нефтедобычи. Также при проведении расчетов был обнаружен эффект нарушения устойчивости фронта вытеснения с образованием «вязких пальцев» при определенном соотношении вязкостей фильтрующихся жидкостей. Сделанные выводы согласуются с заключениями сторонних авторов, рассматривавших проблему влияния разницы в вязкостях на эффективность процесса заводнения.

Публикации по теме диссертации

В рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Касаткин, А.Е. Моделирование процессов заводнения с помощью эллиптических функций Вей-ерштрасса/ А.Е. Касаткин // Вестник СамГТУ. Серия технические науки, 2013. - №3 (39). - С. 43-49.

2.Касаткин, А.Е. Сравнительный анализ схем расстановки скважин при заводнении / А.Е. Касаткин // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия, 2013. - №9/2 (110). - С. 197-208.

3.Астафьев, В.И., Касаткин, А.Е. Задача о продвижении водонефтяного контакта при поршневом вытеснении нефти водой в двоякопериодической области / В.И. Астафьев, А.Е. Касаткин // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия, 2014. -№10 (121). - С. 109 - 122.

4.Касаткин, А.Е. Моделирование процессов заводнения в двоякопериодической области: случай поршневого вытеснения нефти водой / А.Е. Касаткин // Вестник СамГТУ. Серия технические науки, 2014. - № 1 (41). - С. 165-173.

5.Астафьев, В.И., Касаткин, А.Е. Моделирование и численный расчет поршневого вытеснения нефти для двоякопериодических систем разработки месторождений / В.И. Астафьев, А.Е. Касаткин // Вычислительная механика сплошных сред, 2015. - Т.8.- № 1. - С.-81-92. DOI: 10.7242/1999-6691/2015.8.1.7

В других изданиях

6. Астафьев, В.И., Касаткин, А.Е. Моделирование взаимодействия добывающих и нагнетательных скважин в рамках теории нелинейных динамических систем / В.И. Астафьев, А.Е. Касаткин // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011. - Т.18. - вып.6. - С. 408.

7.Касаткин, А.Е. Моделирование процессов заводнения с помощью эллиптических функций Вей-ерштрасса / А.Е. Касаткин // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2012. -Т.19. - Вып.2. - С. 261-263.

8. Касаткин, А.Е. Моделирование процессов заводнения с помощью эллиптических функций Вей-ерштрасса [Электронный ресурс] / А.Е. Касаткин - XIX международная молодежная научная конференция «Ломоносов-2012», Москва, 2012. - Режим доступа: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/1791/43066_8585.pdf

9. Касаткин, А.Е. Моделирование процессов заводнения с помощью эллиптических функций Вей-ерштрасса/ А.Е. Касаткин // IX Международная научно-практическая конференция «Аширов-ские чтения», 2012. - Т. I. - Разд. II. - С. 94-102.

10. Касаткин, А.Е. Моделирование процессов заводнения с помощью эллиптических функций Вейерштрасса / А.Е. Касаткин // Всероссийская молодежная конференция «Лобачевские чтения, 2012», 2012. - С. 96-100.

11. Astafiev, V.l., Kasatkin А.Е., Roters, P.V. Elliptic functions in modeling of oil Recovery [Электронный ресурс] / V.l. Astafiev, А.Е. Kasatkin, P.V. Roters. - EC MOR XIII, France, 2012. - DOI:

10.3997/2214^4609.20143268.

12. Касаткин, А.Е. Коэффициент извлечения нефти для двоякопериодических систем заводнения / А.Е. Касаткин // Всероссийская научная конференция, посвященная 75-летию д.ф-м.н., проф. Г.И. Быковцева. Самара, 2013. - С. 80-81.

13. Касаткин, А.Е. Моделирование процессов заводнения с помощью эллиптических функций Вейерштрасса / А.Е.Касаткин // XVI Международный симпозиум МДОЗМФ-2013, Украина, 2013.-С. 189-193.

14. Касаткин, А.Е. Продвижение фронта заводнения в двоякопериодической области / А.Е. Касаткин // X Международная научно-практическая конференция «Ашировские чтения», Туапсе, 2013.-Т. 2.-Разд.2.-С. 179-191.

г

15. Astafiev, V.I., Kasatkin A.E. Elliptic ftinctions in the modeling of waterflooding [Электронный ресурс] / V.I. Astafiev, A.E. Kasatkin . - 75th EAGE Conference & Exhibition incorporating SPE EU-ROPEC 2013. London, 2013. - DOI: 10.3997/2214-4609.20130892.

16. Астафьев, В.И., Касаткин, A.E. Моделирование и численный расчет поршневого вытеснения нефти для двоякопериодических систем разработки месторождений/ В.И. Астафьев, А.Е. Касаткин // Тезисы докладов на конференции «XIX Зимняя школа по механике сплошных сред», Пермь, 2015.-С. 28.

17. Астафьев, В.И., Касаткин, А.Е. Моделирование и численный расчет поршневого вытеснения нефти для двоякопериодических систем разработки месторождений/ В.И. Астафьев, А.Е. Касаткин // Сборник статей «XIX Зимняя школа по механике сплошных сред», Пермь, 2015. - С. 19-26.

18. Astafiev, V.I., Kasatkin А.Е. Modeling and numerical calculation of piston-like oil displacement for doubly-periodic systems of oil fields development/ V.I. Astafiev, A.E. Kasatkin. - VI International Conference on Coupled Problems in Science and Engineering. Venice, 2015. - International Center for Numerical Methods in Engineering (CIMNE), 2015. - P. 734-743.

19. Свидетельство о государственной регистрации программы дня ЭВМ №2015610136. Двоякопе-риодические схемы заводнения: качественный и количественный анализ/ А.Е. Касаткин; заявлено: 23.09.14; опубликовано: 12.01.15.

20. Астафьев, В.И., Касаткин, А.Е. Моделирование и численный расчет поршневого вытеснения нефти для двоякопериодических систем разработки месторождений/ В.И. Астафьев, А.Е. Касаткин // Аннотации докладов на XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 2015. - С. 23.

Подписано в печать 10.10.2015

Формат 60x84/16 Печать 1У50 Объем 1 ус.печ.л. Тираж 120 экз. Заказ № 806 ТИПОГРАФИЯ САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

,0