автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и численное исследование электрических полей протяженных электродов в полуограниченном пространстве

На правах рукописи 4öoI *»*» • "y^i /

ГАРИФУЛЛИНА Светлана Ринатовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ПРОТЯЖЕННЫХ ЭЛЕКТРОДОВ В ПОЛУ ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О OKI /011

Уфа-2011

4857367

Работа выполнена на кафедре информационных технологий Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель: д-р физ.-мат. наук, доцент

Болотное Анатолий Миронович

Официальные оппоненты: д-р физ.-мат. наук, профессор

Быков Валерий Иванович Московская академия предпринимательства при Правительстве Москвы

д-р физ.-мат. наук, профессор Кризский Владимир Николаевич

Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. 3. Биишевой

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

(факультет вычислительной математики и кибернетики)

Защита состоится «11» ноября 2011 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д-212.288.06 при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу: 450000, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета.

Автореферат разослан « 5 » октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Научный интерес к теоретическому и экспериментальному исследованию потенциальных физических полей обусловлен тем, что к настоящему времени накоплен огромный фактический материал, а также существует большая потребность в решении таких практически важных задач, как электроосаждение и растворение металлов, коррозия и электрохимическая защита металлов от коррозии, совершенствование технологии цветной металлургии и т.д. Любой электрохимический процесс сопровождается прохождением электрического тока в системе, состоящей из электродов, изоляторов и электролита с различными удельными электропроводи-мостями. Распределение тока и потенциала оказывает существенное влияние на протекание электродных процессов и на технологические параметры, а вместе и на все основные технико-экономические показатели работы предприятий электрохимической промышленности. Токораспределение в коррозионных системах определяет эффективность действия электрохимической защиты металлических сооружений от коррозии. Решение задач качественной и количественной модернизации технологических процессов невозможны без систематического исследования распределения потенциальных физических полей в электрохимических системах. В связи с этим важное значение приобретают вопросы создания и совершенствования математических моделей, алгоритмов, программ расчета и анализа физических полей с учетом основных геометрических и электрохимических параметров процесса.

Математические модели потенциальных полей представляют собой краевые задачи с граничными условиями смешанного вида для уравнений эллиптического типа в двумерных и трехмерных, замкнутых и неограниченных неодносвязных областях. При математическом моделировании указанных задач необходимо не разовое решение, получающееся в ходе численных экспериментов, а построение функций потенциала и плотности тока на границах областей в зависимости от параметров в краевых условиях, сопровождаемое поиском геометрических характеристик областей, при которых распределение электрического поля удовлетворяет заданным условиям. Для построения численных алгоритмов, реализованные в данной работе, использовались математические методы: граничных интегральных уравнений, фиктивных источников, зеркальных отображений, дифференциально-разностной метод, принцип математических аналогий потенциальных полей.

С методической точки зрения актуальна разработка систем программно-математического обеспечения моделирования указанных процессов и параметрического анализа соответствующих математи-

ческих моделей. Численное моделирование является эффективным методом исследования, поскольку позволяет учесть особенности изучаемых полей и на основании численных результатов восстановить картину моделируемого процесса, которая недоступна для непосредственного наблюдения.

Теоретические и методические основы применения математических методов к решению задач расчета электрических полей заложены в работах В.Н. Остапенко, Н.П. Гнусина, Ю.А. Иосселя, В.Т. Иванова, и получили свое дальнейшее развитие в исследованиях Глазова Н.П., Житникова В.П., Кайдрикова P.A., Кошева А.Н., Кризско-го В.Н., Макарова В.А., Рудого В.М. и др.

Цель работы - математическое моделирование, численное исследование потенциальных электрических полей протяженных проводников в полуограниченном пространстве и создание комплекса программ для их расчета.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

1. Развитие методов математического моделирования физических полей в полуограниченном пространстве с протяженными неодно-родностями.

2. Разработка алгоритмов численного решения краевых задач теории потенциала со смешанными граничными условиями в незамкнутых областях.

3. Создание программного комплекса для расчета потенциальных электрических полей на основе предложенных алгоритмов.

Методы исследования. Сформулированные в работе математические модели основаны на фундаментальных законах теоретической физики, на теории уравнений математической физики, теории численных методов с использованием дифференциально-разностного метода, методах граничных интегральных уравнений и фиктивных источников. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам математического моделирования потенциальных физических полей.

Научная новизна.

1. Предложены методы математического моделирования электрических полей систем протяженных проводников в проводящем полупространстве с учетом изменения потенциала в проводниках и неоднородности изоляции. Впервые для задач рассматриваемого класса разработана математическая модель на основе метода фиктивных источников, позволяющая в реальном времени проводить расчеты физических полей протяженных проводников, длина которых может достигать сотен километров.

2. Разработаны алгоритмы численного решения поставленных задач на основе метода граничных интегральных уравнений, дифференци-

ально-разностного метода (метода плоскостей) и метода фиктивных источников, предложенного и апробированного для задач данного класса впервые.

3. На основе предложенных алгоритмов разработан комплекс программ в среде программирования Delphi (Lasarus) для численного исследования потенциальных полей протяженных проводников в случаях: а) двумерная задача в сечении, нормальном к продольной оси проводников; б) трехмерная задача для параллельных проводников одинаковой длины; в) трехмерная задача для произвольного количества проводников различной длины, расположенных относительно друг друга произвольным образом.

Практическая значимость работы. Предложенные модели, алгоритмы и программы позволяют рассчитать распределение потенциала и плотности тока катодной защиты трубопроводов и обсадных колонн скважин с заданными параметрами, а также выработать рекомендации по условиям катодной защиты в различных условиях эксплуатации.

Результаты работы используются в научных исследованиях Всероссийского научно-исследовательского института по строительству и эксплуатации трубопроводов, объектов ТЭК, г. Москва (отзыв лаборатории технологии и технических средств электрохимической защиты ОАО «ВНИИСТ» прилагается). Комплекс программ зарегистрирован, свидетельство о регистрации электронного ресурса № 17028 от 26.04.2011.

Основные научные результаты, выносимые на защиту

1. Математическая модель электрического поля системы протяженных проводников в проводящем полупространстве на основе метода фиктивных источников.

2. Алгоритмы численного решения двумерных и трехмерных краевых задач на основе метода граничных интегральных уравнений, дифференциально-разностного метода (метода плоскостей) и метода фиктивных источников.

3. Комплекс программ, разработанный в средах Delphi и Lasarus для численного исследования потенциальных полей протяженных проводников в двумерных и трехмерных постановках.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на научных семинарах и конференциях, соответствующих профилю диссертации. Были сделаны доклады на: 1) региональной шк.-конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2003, 2004); 2) международной уфимской зимней шк.-конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005); 3) научно-исследовательской стажировке молодых ученых «Современные информационные и компьютерные тех-

нологии в инженерно-научных исследованиях» (Уфа, 2006); 4) ХЬУ международной научной студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2007); 5) 38-й региональной молодежной конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2007); 6) уфимской международной математической конф., посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007); 7) I всероссийской научно-практической конф. «Перспективы развития информационных технологий» (Новосибирск, 2008); 8) межрегиональной научно-технической конф. «Актуальные проблемы естественных и технических наук», посвященной памяти проф. К.А. Ва-леева (Уфа, 2009); 9) семинарах Башкирского гос. университета, Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН и Уфимского гос. авиационного технического университета.

Публикации. По результатам исследований опубликована 21 печатная работа, из них - 13 статей (в том числе 3 - в журналах из списка ВАК), 7 материалов конференций, одно свидетельство о регистрации разработки программного продукта.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 152 наименований. Общий объем диссертации составляет 193 страницы, в том числе 60 рисунков, 30 таблиц и 2 приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, приведены положения, выносимые на защиту, отмечена научная новизна и практическая значимость, приведены сведения об апробации работы.

Первая глава носит обзорный характер. В § 1.1 анализируется влияние почвы на процессы коррозии металлов. В § 1.2 представлено теоретическое описание явлений электрического поля. § 1.3 посвящен изложению уравнений теории разбавленных растворов, общих закономерностей, используемых при математическом моделировании полей электрохимической защиты от коррозии металлических аппаратов и сооружений. В § 1.4 представлен обзор методов расчета электрических полей. В § 1.5 описаны методы расчета электрических полей, изложены основные схемы сведения краевых задач к граничным интегральным уравнениям, проводится анализ разностных методов с точки зрения их способа применения, численной реализации и эффективности при решении задач моделирования. В § 1.6 сформулирована в общем виде математическая модель электрического поля в трехмерной электрохимической системе и различные типы краевых условий на границах рассматриваемых областей в зависимости от

степени учета электрохимических процессов, протекающих на границах электродов.

Во второй главе исследуется двумерная краевая задача электрических полей катодной защиты подземного трубопровода протяженным анодом и разрабатывается численный метод ее расчета. В § 2.1 приводится постановка задачи. Рассматривается задача распределения потенциала и плотности тока электрического поля в системе катодной защиты трубопровода протяженным анодом, проложенным в грунте параллельно трубе в сечении О. (рисунок 1а). Граница области решения задачи О.: Бе = и и Ба, где ^ - граница земли

(ось абсцисс), , с = а, I - границы проводников. Для замкнутости области решения задачи О проведена искусственно образованная граница играющая роль изолятора.

\ Л1

\

¿оЧ «

Я х

О

/

у

/ СЧ 1 5о \ а \

0 / 5 о 7

Рисунок 1 а - схема катодной защиты трубопровода: £1 - область решения задачи,. Рисунок 16 - модифицированная область решения задачи.

Требуется найти распределения потенциала и плотности тока в заданной области П. Потенциал стационарного электрического поля при отсутствии точечных источников и при постоянной электропроводности грунта удовлетворяет уравнению Лапласа

д2и(р)/дх2+д2и{р)/ду2 = 0, р = (х,у)еП. (1) На границах задаются условия:

(и + <тседи/дп)\8 = ие, е = а,Г, (2)

где и - потенциал электрического поля, В, сг - удельная электропроводность грунта, (Ом-м)-1, се - удельные поляризуемости проводников, Ом - м , ие -- потенциалы металлов проводников, В.

На границах земли 5",- и 50 ставятся условия второго рода

аС//Ч„ 5о = (3)

В § 2.2 разрабатывается алгоритм решения задачи (1) - (3). На основе интегральной формулы Грина строится линейное граничное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

яЩр) + ¡Щд)К(р,д)с1д = | Р(р,д)с1д, (4)

где К(р,д) - ядро с логарифмической особенностью в точке д = р,

Га I 1 1 а I ]

К(р,ч) = <---1п--1п-- + —1п-

[ 8п /?(/>,«7) асе Я(р,д) дп 7) ]

Г(р,д)= 0,?£5(,50; » Лхс 1п ' д е Б , е = . ( Я{р,д)

В § 2.3 рассматривается модификация алгоритма решения. Метод «зеркальных отображений» сводит исходную задачу (1) - (3) к определению электрического поля для данных электродов с границами и ¿>в, а также их «зеркальных» образов с границами и Я^,

соответственно относительно границы раздела сред. Решение задачи продолжается в область, симметричную относительно оси ОХ, т.е. и(х,у)~и(х,~у). Это возможно ввиду четности условия (3). Граничные

условия на и $а< совпадают с (2) соответственно. Граница области решения задачи О представляется в виде: Бе = ¿>0 и Я, и£а и (рисунок 1 б). Распределение потенциа-

ла в заданной области О описывается уравнением Лапласа (1) с граничными условиями

(и + асе ди/дп)5 ^ = ие, е = а,(, е1 = а\г\ (5)

ди/дп\~ =0. (6)

На основе интегральной формулы Грина строится линейное граничное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

яЩр) + \ и(д)К] (р, д)йд = 1 ^ (р, д)с1д, (7)

5 5

е е

где Бе =^п{7<0}, К[{р,д) = К(р,д)+К(р,дг), а д' = (хч,-уе})- точка, симметричная точке д относительно у = 0.

С учетом чётности решения относительно у = 0 интегралы по границам в верхней полуплоскости пропадают за счёт изменения ядра уравнения.

Единственность решения для внешней задачи (1), (5), (6) достигается в двумерном случае при стремлении функции потенциала и (х, у) к конечному пределу на бесконечности, т.е. при

и 2 2 = сотЫ=ог. (8)

Требуется найти распределения потенциала и плотности тока в области О, если на границах Яе = и и^и Я , выполняются граничные условия третьего рода (5), а также существует дополнительное условие на решение (8).

Задача (1), (5), (8) сводится к системе интегральных уравнений

Ш (р)+\и (Ч)К\(р,(/)ф+а\

^ асе

1 1

!п-+ 1л-

\ и^К^^ + а] — 5 5С ас.

1п-+1п-

тч) 1

Ф= 1

(9)

5

где е = /,а, Рт - удаленная точка, и Рх аналогично в (7),

и*=и-а

За счет введения одной неизвестной константы а отпадает

необходимость во внешней искусственной границе . Существенно

уменьшается размерность СЛАУ, что либо сказывается на времени счета, либо при той же размерности системы может быть достигнута большая точность решения.

В § 2.4 описывается численное решение уравнения Фред-гольма второго рода. Для решения граничных интегральных уравнений используется метод конечных сумм. В результате получается СЛАУ с хорошо обусловленной матрицей, которая решается методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцам.

В § 2.5 на основе предложенных схем реализован и апробирован алгоритм расчета электрического поля катодной защиты при решении тестовых и реальных задач. Результаты тестовых расчетов подтверждают эффективность предложенного алгоритма: относительная погрешность решения на границах области не превышает:

\(11(р) - 0{р))1й{р\ <3 • Ю-5.

В результате решений задачи на основе реальных параметров установлено, что равномерность катодного токораспределения улучшается при увеличении расстояния между проводниками, увеличении сопротивления изоляции трубы и снижении удельной электропроводности грунта.

В третьей главе рассматривается дифференциально-разностный алгоритм расчета электрического поля параллельных протяженных электродов одинаковой длины в трехмерной области. В § 3.1 приводится постановка задачи катодной защиты подземного трубопровода протяженным анодом, проложенным в грунте параллельно трубе.

Распределение потенциала электрического поля для такой модели в области

О' = {(х,у,г):ге(0,Н): (х-^)2+{у'-У()2 >Ц, (*-*/>><()} описывается краевой задачей

д2и(р)/дх2+д2и(р)/ду2+д2и(р)/дг2 = 0, р = (х,у,г)еП, (10) (Щр) + аседи(р)/дп)\3 =ие, е = а,I, (И)

ди(р)/дИ |5 = 0, (12)

и(р)->0, при (13)

и с условиями на плоскостях г = 0, г = Н

^/з4=о = (" + ади/дгХ=н = (14)

В связи с периодичностью и симметричностью решения относительно плоскостей 2 = 0 и г = Н распределение потенциала в области

О = {(х,у,г) : ^ е (0,Я) : {х-х,? + (у±у()2 >Ц, (х-х/ +(у±уа)2 описывается уравнением (10) с граничными условиями (13) - (14) и

(и(р) + 0седи(р)/дп)\ < =ие,е = а,и (15)

е

В § 3.2 разработан алгоритм решения задачи (9), (13) - (15) в области С> дифференциально-разностным методом (метод плоскостей). Рассматриваемая область разбивается (те-1) плоскостями с

постоянным шагом к: г- = /7г, / = 1,ш-1, Ь~Н1т. Воспользовавшись аппроксимацией производной второго порядка по г в (10) и (14), получим дифференциально-разностную схему

А0-Т0 = 0, (16)

с граничными условиями

(О + осе дО/дп)|s =у/е, е = a,t

где и{х,у) = (Ц0(х,у), и](х,у), ..., йт(х,у)) - неизвестная вектор -функция, Т - матрица (пг + 1) порядка вида

/ о Л

О 0 ... О О

Т =

h -1

-2

Т

К 2 -1

О

О О

/Г А

0 0 0 0

О

-2

т

\

О О

2 1 1

-(- + -)

ha h J

Для построения решения перейдем к собственным векторам матрицы Т, получим систему независимых двумерных краевых задач

Ш-Ш = 0, (18)

(¡V + асе д&/дп)\8 = 4>е, е = а, I. (19)

Пользуясь формулой Грина для уравнения Пуассона 2я К^-ЩчУЩ + \ (щ(д)щ(г)/дпд-ЛуС^щЦЦ (20)

где z = уЯу | р - q |, Se = Sau S(\j Sa, u 5,.; и Sa, - образы

границ трубы и анода, расположенные в верхнем полупространстве,

Kq(z) - функция Макдональда, fij = Q n {z = const). Уравнения

(19) - (20) сводятся к уравнению Фредгольма второго рода.

В § 3.3 обоснован метод плоскостей на основе энергетических

оценок решений в метриках пространств ¿2 и w\ . Доказана теорема о сходимости и оценки точности в нормах /^(О, ха>) и w\ (Q, х со) в

ограниченной области где Л - некоторая

большая положительная постоянная, О = О. 2=согш,

л ^

. Показано, что и -» и при Я—>оо .

В § 3.4 на основе предложенной схемы реализован и апробирован алгоритм расчета электрического поля катодной защиты при решении тестовых и реальных задач. В ходе решения модельных задач получены значения относительной погрешности на границах:

Проведены расчеты электрического поля на основе реальных данных.

В четвертой главе рассматривается математическая модель электрического поля в системе протяженных электродов переменной длины.

В § 4.1 приводится постановка задачи распределения электрического поля в системе катодной защиты участка подземного трубопровода длиной 2Ь( протяженным гибким анодом длиной 2Ьа (рисунок 2). я

Рисунок 2 - схема катодной защиты трубопровода: О - область решения задачи, -половина длины анода, 1 - труба, 2 - протяженный гибкий анод, 3 - катодная станция.

Распределение электрического поля для такой модели в области П={р: р = (х,у,г\г е[0,],х е (^о, ад), V е описывается уравнени-

ем Лапласа (10). На границах задаются условия

ди/дЯ|5 = 0, (21)

(и + сао ди/дп) | =иа, (с/ - с(а ди/дп) | = и, . (22)

а "" г

Здесь - изолированные границы (свободная поверхность земли,

плоскости симметрии в грунте, т.е. нормальные к оси г сечениям при 2 = 0 и г-1, и на торцевых сечениях анода и трубы), Яа и - боковые границы («анод - грунт» и «грунт - труба»). Заданной величиной в задаче является ток /0 в цепи «катодная станция - анод -

грунт - труба». Сечениям анода и трубы при г = 0 соответствуют условия второго рода

где /0 - ток катодной станции, А; оа, а 1 - электропроводности ме-

* *

таллов анода и трубы; , 8[ - площади их «металлических» сечений (без учета площади изоляции и полости трубы), м2.

Для потенциалов иа(г), и({г) и плотностей тока /я(2),

}1 (2) в металле анода и трубы в продольном направлении потребуем выполнения закона Ома

]а(г) = = (24)

где - плотности продольных токов в сердечнике анода и

в металле трубы, А/м2.

'о /

0/2 | /0/:

1

О ... ^г.* ... \1!еМ-\ Ь,

О 'а8'к

1 г

I

/о/2Т/0/2 гаг, 1 ■■¡а:к 1

'о

Рисунок 3 - дискретная модель токораспределения.

В § 4.2 предложен и разработан алгоритм решения задачи (10), (21) - (24) методом фиктивных источников. Анод представлен в

виде N конечных объемных элементов (КОЭ) длины Ьа /N . С геометрическим центром КОЭ ассоциирован точечный фиктивный источник (ФИ) или сток. Каждый КОЭ характеризуется средними значениями неизвестных величин: потенциал в металле, потенциал в грунте, продольный ток в сердечнике анода, и ток, вытекающий из боковой поверхности анода в грунт. Аналогично для трубы введем

М КОЭ. Схема токов для предложенной модели представлена на рисунке 3. Индекс к соответствует номеру ФИ. Применив первый закон Кирхгофа к каждому ФИ анода и трубы, получим

70 1 2 ~ Ав,! ~ 1а§, 1 ~ 1с12,М-\ ~

I -/ „ -I ^ =0, п = 1,..., N -2,

102,П 1 СН,П+1 íag,n+\ ' ' '

(25)

(26)

где 1аг п - ток, текущий в сердечнике анода вдоль оси г от п - 1 -го ФИ к п -му, /а? п - ток, вытекающий в грунт через боковую поверхность п -го КОЭ, 1(2 т - ток, текущий в металле трубы вдоль оси 7

от т + 1 -го ФИ к т -му, I, т - ток, втекающий из грунта в трубу

через боковую поверхность т -го КОЭ трубы. Здесь в первых и третьих уравнениях системы (25) - (26) используются условия (23). Из граничных условий (22) получим

иа&п + са Ьщ.пКп = иат п, п = 1,..., N, (27)

иЪт-сгЬ&тКт=и^т> т = \,..,М, (28)

где иат п - потенциал металла п-го КОЭ анода, - потенциал

грунта на границе св-м КОЭ анода, / , - ток, вытекающий из боковой поверхности и-го КОЭ анода в грунт, 8а п - площадь боковой поверхности п -го КОЭ анода. Индекс п соответствует номеру КОЭ, Vш т - потенциал металла т -го КОЭ трубы, {/, т - потенциал

грунта на границе с т -м КОЭ трубы, /, - ток, втекающий в трубу через боковую поверхность т -го КОЭ, т - площадь боковой поверхности т -го КОЭ трубы.

Реализуя условие (24), получим соотношения для токов вдоль оси г и потенциалов металла между соседними ФИ:

-иагппН =Яа1(Е:П, 1. = 1,^-1, итхп&1-итпГ^т, т=\,М-\,

(29)

* *

где Ra Rt - продольные сопротивления сердечника анода и металла трубы, Ом/м. Здесь неизвестными являются Uamn, &,„;m и ^аг/1> ^tz, m '

Потенциал в грунте на границе с анодом и трубой определяется из условий

4™Uag(pn) = T. Iag(Pk)/R(PivPk)-^tg(Pl)/R(Pn-Pl)> n = N

(30)

4tc<rUtg(pJ= Z !ag(pk)/R(pm,pk)~ II(g(pi)jRfPm.Pl), m ■=],..., M,

(31)

где R{pn,pk) - расстояние от точки pn , в которой определяется потенциал, до точки рк , в которой находится ФИ. Здесь неизвестными являются Uq,fl, Iag k, Utg m и Itgk. Таким образом, получена

СЛАУ (25) - (31), в которой число уравнений и число неизвестных равно 4(N + М) - 2 .

В § 4.3 изложенный алгоритм апробирован при решении реальных задач расчета в системах катодной защиты трубопровода протяженным гибким анодом и обсадных колонн скважины удаленным вертикальным анодом. Предложенная модель применима не только в случае для параллельных проводников с постоянной в сечении геометрией, но и в более общих случаях: при произвольном взаимном расположении протяженных проводников в проводящей среде, а также в случае зависимости параметров проводников от продольной координаты.

В пятой главе описан комплекс программ «расчет электрических полей протяженных проводников в полупространстве», который предназначен для численного исследования полей протяженных проводников: двумерная задача в сечении, нормальном к оси проводников (program 2d), трехмерная задача для параллельных проводников одинаковой длины (program 3d) и трехмерной задача для произвольных проводников (program MFI). Приведены описания, блок-схемы программных модулей и их коды. Комплекс программ позволяет в полном объеме решать задачи, не прибегая к стандартным пакетам. В то же время, комплекс может быть адаптирован для решения подобных задач в других прикладных областях.

Основные результаты работы

1. В диссертации предложены методы математического моделирования электрических полей протяженных проводников в полупространстве с учетом изменения потенциала в металлических проводниках и с учетом неоднородности их изоляции. Впервые для рассматриваемых задач предложена математическая модель на основе метода фиктивных источников, позволяющая в реальном времени проводить расчеты физических полей протяженных проводников, длина которых может достигать десятков и сотен километров.

2. Разработаны и программно реализованы алгоритмы численного решения поставленных задач на основе метода граничных интегральных уравнений, дифференциально-разностного метода (метода плоскостей) и предложенного метода фиктивных источников.

3. В результате проведенных вычислительных экспериментов установлено, что комплекс программ позволяет осуществлять расчеты реальных физических полей в полупространстве, в частности, электрических полей катодной защиты. На основании проведенных расчетов проводилась оптимизация параметров катодной защиты магистрального трубопровода «Восточная Сибирь - Тихий океан».

Публикации по теме диссертации в издания из перечня ВАК

1. Тарифуллина С.Р. Алгоритм расчета электрического поля катодной защиты трубопровода методом фиктивных источников / A.M. Болотнов, H.H. Глазов, С.Р. Гарифуллина // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 2 (32). С. 60 - 64.

2. Гарифуллина С.Р. Компьютерное моделирование электрических полей в системах катодной защиты трубопроводов / A.M. Болотнов, С.Р. Гарифуллина, H.H. Глазов, Н.П. Глазов, М.А. Башаев // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2009. № 5. С. 27 - 32.

3. Гарифуллина С.Р. Математическое моделирование электрических полей катодной защиты подземного трубопровода протяженным анодом / С.Р. Гарифуллина // Вестник Башкирского университета. Уфа. БашГУ. 2010. Т. 15. №3. С. 561 - 563.

Публикации в других изданиях

4. Кнльднбекова С.Р. (Гарифуллина С.Р.) Расчеты электрических полей катодной защиты магистральных трубопроводов / С.Р. Киль-дибекова (С.Р. Гарифуллина) // Per. шк. - конф. для студ., аспир. и молодых ученых по математике и физике: мат. конф. Уфа: РИО БашГУ. 2003. С. 39.

5. Кнльднбекова С.Р. (Гарифуллина С.Р.) Расчеты электрических полей катодной защиты магистральных трубопроводов / С.Р. Киль-дибекова (С.Р. Гарифуллина) // Per. шк. - конф. для студ., аспир. и мол. уч. по математике и физике: сб. тр. Уфа: РИО БашГУ. 2003. Т.1. С. 113 - 120.

6. Гарнфуллина С.Р. Численное моделирование электрического поля катодной защиты магистральных трубопроводов / С.Р. Гарнфуллина // IV per. шк. - конф. для студ., аспир. и мол. уч. по математике и физике, посвященные 95-летию БашГУ: мат. конф. Уфа: РИО БашГУ. 2004. С. 25.

7. Гарнфуллина С.Р. Численное моделирование электрического поля катодной защиты магистральных трубопроводов / С.Р. Гарнфуллина // Per. шк. - конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: сб. тр. Уфа: РИЦ БашГУ. 2004. Т.1. С. 55 -63.

8. Гарнфуллина С.Р. Влияние геометрических и электрохимических параметров на распределение потенциала электрического поля катодной защиты магистральных трубопроводов / С.Р. Гарнфуллина // V per. шк. - конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: мат. конф. Уфа: РИО БашГУ. 2005. С. 31.

9. Гарнфуллина С.Р. Исследование электрического поля катодной защиты магистральных трубопроводов / С.Р. Гарнфуллина // Между-нар. уфимской зимней шк. - конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых: мат. конф. Уфа: РИО БашГУ. 2005. С. 81.

10. Гарнфуллина С.Р. Исследование электрического поля катодной защиты магистральных трубопроводов / С.Р. Гарнфуллина // Между-нар. уфимской зимней шк. - конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых: сб. трудов. Уфа: РИО БашГУ. 2005. Т. 1. С. 164- 176.

11. Гарнфуллина С.Р. Математическое моделирование и исследование токораспределения в задаче катодной защиты магистральных трубопроводов с использованием технологий параллельного программирования / С.Р. Гарнфуллина // Совр. информ. и комп. технологии в инженерно - научных исследованиях: сб. мат. Уфа: РИЦ БашГУ. 2006. Т.1. С. 97 - 111.

12. Гарнфуллина С.Р. Трехмерная задача токораспределения в системе протяженных электродов в полупространстве / С.Р. Гарнфуллина // Студент и научно-технический прогресс: сб. мат. XLV между-нар. научной студенческой конф. Новосибирск. 2007. С. 19.

13. Гарнфуллина С.Р. Метод решения задачи токораспределения в системе протяженных электродов в полупространстве / С.Р. Гарнфуллина // Проблемы теор. и прикл. математики: сб. тр. 38-й per. мол. конф. Екатеринбург. Институт математики и механики Уро РАН. 2007. С. 140- 144.

14. Гарнфуллина С.Р. Трехмерная математическая модель электрического поля катодной защиты трубопровода цепью равноудаленных протяженных анодов / С.Р. Гарнфуллина // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: сб. тр. Всерос. шк. - конф.

для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. 2007. Т. 2. С. 76 - 89.

15. Гарифуллина С.Р. Численное решение системы двумерных уравнений Пуассона / С.Р. Гарифуллина // Междунар. матем. конф., поев, памяти А.Ф.Леонтьева. Уфа. Инст. Мат. с ВЦ УНЦ РАН. 2007. Т. 1.С. 62-63.

16. Гарифуллина С.Р. Расчет электрического поля в системе параллельных протяженных сооружений / С.Р. Гарифуллина // Перспективы развития информационных технологий: сб. тр. I всерос. научно -практ. конф. Новосибирск: Сибпринт. 2008. С. 75 - 80.

17. Гарифуллина С.Р. Компьютерное моделирование катодной защиты и поиска дефектов в изоляции трубопроводов / А.М. Болотнов, С.Р. Гарифуллина, O.A. Литвинова, H.H. Глазов, Н.П. Глазов, К.Л. Шамшегдинов, М.А. Башаев // Физико-химические аспекты технологии наноматериалов, их свойства и применение: сб. мат. всерос. конф. Москва. 2009. С. 131.

18. Гарифуллина С.Р. Математическая модель электрического поля катодной защиты подземного трубопровода протяженным анодом в трехмерном пространстве / С.Р. Гарифуллина // Актуальные проблемы естественных и технических наук: сб. научных тр. межрег. научно-технической конф. памяти проф. Валеева К.А. Уфа: РИЦ БашГУ.

2009. С. 177- 180.

19. Гарифуллина С.Р. Компьютерное моделирование катодной защиты и поиска дефектов в изоляции трубопроводов / А.М. Болотнов, С.Р. Гарифуллина, O.A. Литвинова, H.H. Глазов, Н.П. Глазов, К.Л. Шамшетдинов, М.А. Башаев // Физ.-хим. аспекты техн. наноматериалов, их свойства и применение: сб. докл. всерос. конф. Москва. 2010. С. 244-252.

20. Гарифуллина С.Р. Компьютерное прогнозирование коррозионного состояния трубопровода и оптимизация параметров катодной защиты / А.М. Болотнов, С.Р. Гарифуллина, O.A. Литвинова, H.H. Глазов, Н.П. Глазов, М.А. Башаев // Современные проблемы корро-зионно-электрохимической науки: мат. всерос. конф., посвященной 100-летию со дня рождения академика Я.М. Колотыркина. Москва.

2010. С.193.

21. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 17028. Программа «ПО по расчету электрических полей в двух- и трехмерных областях» / Гарифуллина С.Р. Зарег. в институте научной информации и мониторинга Российской академии образования «Объединенный фонд электронных ресурсов «наука и образование» 26.04.2011.

ГАРИФУЛЛИНА Светлана Ринатовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ПРОТЯЖЕННЫХ ЭЛЕКТРОДОВ В ПОЛУОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 03,10.2011 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,08. Уч.-изд. л. 1,04. Тираж 100 экз. Заказ 660.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КРАТКИЙ ОБЗОР ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ ПО

МОДЕЛИРОВАНИЮ И МЕТОДАМ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

1.1. ПОЧВА КАК КОРРОЗИОННЫЙ ЭЛЕКТРОЛИТ.

1.2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО

ПОЛЯ.

1.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ.

1.4. ЭМПИРИЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

1.5. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ.

1.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ.

1.7. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1.

ГЛАВА 2. ДВУМЕРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ КАТОДНОЙ ЗАЩИТЫ ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА ПРОТЯЖЕННЫМ'

АНОДОМ.

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.

2.2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ

ГРА11ИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВ11Е11ИЙ.

2.3. МОДИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ.

2.4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ.

2.5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

2.6. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2.

ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОТЯЖЕННЫХ ЭЛЕКТРОДОВ

В ТРЕХМЕРНОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.

3.2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО- > РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ.

3.3. МЕТОД ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК.

3.4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

3.5. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3.

ГЛАВА 4. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ КАТОДНОЙ ЗАЩИТЫ ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА ПРОТЯЖЕННЫМ

ГИБКИМ АНОДОМ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ.

4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.

4.2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ФИКТИВНЫХ ИСТОЧНИКОВ.

4.3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

4.4. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4.

ГЛАВА 5. ОПИСАНИЕ КОМПЛЕКСА «РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ПОЛЕЙ ПРОТЯЖЕННЫХ ЭЛЕТРОДОВ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ».

Актуальность темы исследования

Научный интерес к теоретическому и экспериментальному исследованию потенциальных физических полей обусловлен тем, что к настоящему времени накоплен огромный фактический материал, а также существует большая потребность в решении таких практически важных задач, как электроосаждение и растворение металлов, коррозия и электрохимическая защита металлов от коррозии, совершенствование технологии цветной металлургии и т.д. Любой электрохимический процесс сопровождается прохождением электрического тока в системе, состоящей из электродов, изоляторов и электролита с различными удельными электропроводимостями. Распределение тока и потенциала оказывает существенное влияние на протекание электродных процессов и на технологические параметры, а вместе и на все основные технико-экономические показатели работы предприятий электрохимической промышленности. Токораспределение в коррозионных системах определяет эффективность действия электрохимической защиты металлических сооружений от коррозии. Решение задач качественного и количественного модернизации технологических процессов невозможны без систематического исследования распределения потенциальных физических полей в электрохимических системах. В связи с этим важное значение приобретают вопросы создания и совершенствования математических моделей, алгоритмов, программ расчетов и анализа физических полей с учетом основных геометрических и электрохимических параметров процесса.

Теоретические и методические основы применения математических методов к решению задач расчета электрических полей заложены в работах В.Н. Остапенко, Н.П. Гнусина, Ю.А. Иосселя, В.Т. Иванова, и получили свое дальнейшее развитие в исследованиях Глазова Н.П., Житникова В.П., Кайд-рикова P.A., Кошева А.Н., Кризского В.Н., Макарова В.А., Рудого В.М. и др.

Математические модели потенциальных полей представляют собой краевые задачи с граничными условиями смешанного вида для уравнений эллиптического типа в двумерных и трехмерных, замкнутых и неограниченных неодносвязных областях. При математическом, моделировании указанных задач необходимо не разовое решение, получающееся в ходе численных экспериментов, а построение функций потенциала и плотности тока на границах областей в зависимости от параметров в краевых условиях, сопровождающее поиском геометрических характеристик областей, при которых распределение электрического поля удовлетворяет заданным условиям. В данной работе реализованы численные алгоритмы, основанные на методах граничных интегральных уравнений, дифференциально-разностном методе и методе фиктивных источников, с использованием метода «зеркальных отображений», и принципа математических аналогий потенциальных полей.

С методической точки зрения актуальна разработка систем программно-математического обеспечения моделирования указанных процессов и параметрического анализа соответствующих математических моделей. Численное моделирование является эффективным методом исследования, поскольку позволяет учесть особенности изучаемых полей и на основании численных результатов восстановить картину моделируемого процесса, которая недоступна для непосредственного наблюдения.

Цель работы - математическое моделирование, численное исследование потенциальных электрических полей протяженных проводников в полуограниченном пространстве и создание комплекса программ для их расчета.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

1. Развитие методов математического моделирования физических полей в полуограниченном пространстве с протяженными неоднородностями.

2. Разработка алгоритмов численного решения краевых задач теории потенциала со смешанными граничными условиями в незамкнутых областях.

3. Создание программного комплекса для расчета потенциальных электрических полей на основе предложенных алгоритмов.

Методы исследования. Сформулированные в работе математические модели основаны на фундаментальных законах теоретической физики, на теории уравнений математической физики, теории численных методов с использованием дифференциально-разностного метода, методах граничных интегральных уравнений и фиктивных источников. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам математического моделирования потенциальных физических полей.

Научная новизна. В диссертации получены следующие научные результаты:

1. Предложены методы математического моделирования электрических полей систем протяженных проводников в- проводящем полупространстве с учетом изменения потенциала в проводниках и неоднородности изоляции. Впервые для задач рассматриваемого класса разработанаматематическая модель на основе метода фиктивных источников, позволяющая в реальном времени проводить расчеты физических полей протяженных проводников, длина которых может достигать сотен километров.

2. Разработаны алгоритмы численного решения поставленных задач на основе метода граничных интегральных уравнений, дифференциально-разностного метода (метода плоскостей) и метода фиктивных источников, предложенного и апробированного для задач данного класса впервые.

3. На основе предложенных алгоритмов разработан комплекс программ в среде программирования Delphi (Lasarus) для численного исследования потенциальных полей протяженных проводников в случаях: а) двумерная задача в сечении, нормальном к продольной оси проводников; б) трехмерная задача для параллельных проводников одинаковой длины; в) трехмерная задача для произвольного количества проводников различной длины, расположенных относительно друг друга произвольным образом.

Практическая значимость работы. Предложенные модели, алгоритмы и программы позволяют рассчитать распределение потенциала и плотности тока катодной защиты трубопроводов и обсадных колонн скважин с заданными параметрами, и выработать рекомендации по условиям катодной защиты в различных условиях эксплуатации.

Результаты работы используются в научных исследованиях Всероссийского научно-исследовательского института по строительству и эксплуатации трубопроводов, объектов ТЭК, г. Москва (отзыв лаборатории технологии и технических средств электрохимической защиты ОАО «ВНИИСТ» прилагается).

Комплекс программ зарегистрирован, свидетельство о регистрации электронного ресурса № 17028 от 26 апреля 2011 г. прилагается.

Основные научные результаты, выносимые на защиту

1. Математическая модель электрического поля системы протяженных проводников в проводящем полупространстве на основе метода фиктивных источников.

2. Алгоритмы численного решения двумерных и трехмерных краевых задач на основе метода граничных интегральных уравнений, дифференциально-разностного метода (метода плоскостей) и метода фиктивных источников.

3. Комплекс программ, разработанный в средах Delphi и Lasarus для численного исследования потенциальных полей протяженных проводников в двумерных и трехмерных постановках.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на научных семинарах и конференциях, соответствующих профилю диссертации. Были сделаны доклады на: 1) региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2003); 2) IV региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию Башкирского государственного университета (Уфа, 2004);

3) международной уфимской зимней школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005); 4) научно-исследовательской стажировке молодых ученых «Современные информационные и компьютерные технологии в инженерно-научных исследованиях» (Уфа, 2006); 5) ХЬУ международной научной студенческой конференции «Студент и научно - технический прогресс» (Новосибирск, 2007); 6) 38-й региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2007); 7) уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007); 8) I всероссийской научно-практической конференции «Перспективы развития информационных технологий» (Новосибирск, 2008); 9) межрегиональной научно-технической конференции «Актуальные проблемы естественных и технических наук», посвященной памяти профессора К.А. Валеева (Уфа, 2009); 10) семинарах факультета математики и информационных технологий Башкирского государственного университета, Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН и Уфимского государственного авиационного технического университета.

Публикации. По результатам исследований опубликована 21 печатная работа, из них - 13 статей (в том числе 3 - в журналах из списка ВАК), 7 материалов конференций, одно свидетельство о регистрации разработки программного продукта.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 152 наименований. Общий объем диссертации составляет 193 страницы, в том числе 60 рисунков, 30 таблиц и 2 приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты работы.

1. В диссертации предложены методы математического моделирования электрических полей протяженных проводников в полупространстве с учетом изменения потенциала в металлических проводниках и с учетом неоднородности их изоляции. Впервые для рассматриваемых задач предложена математическая модель на основе метода фиктивных источников, позволяющая в реальном времени проводить расчеты физических полей протяженных проводников, длина которых может достигать десятков и сотен километров.

2. Разработаны и программно реализованы алгоритмы численного решения поставленных задач на основе метода граничных интегральных уравнений, дифференциально-разностного метода (метода плоскостей) и предложенного метода фиктивных источников.

3. В результате проведенных вычислительных экспериментов установлено, что комплекс программ позволяет осуществлять расчеты реальных физических полей в полупространстве, в частности, электрических полей катодной защиты. На основании проведенных расчетов проводилась оптимизация параметров катодной защиты магистрального трубопровода «Восточная Сибирь — Тихий океан».

1. Агошков B.K, Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. М.: Физматлит. 2002. 320 с.

2. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука. 1991. 351 с.

3. Антропов Л.И. Теоретическая электрохимия. М.: Высшая школа. 1984. 519 с.

4. Арсении В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука. 1984. 383 с.

5. Архангельский А. Программирование в среде Delphi 6. М.: Бином. 2001. 502 с.

6. Астраханцев Г.П. Метод декомпозиции решения эллиптических задач в трехмерной области "// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1996. Т. 36. № 10. С. 87-96.

7. Бабенко КИ. Основы численного анализа. М.: Наука. 1986. 744 с.

8. Бабков A.B., Лапшин В.В. Автоматизированная система мониторинга и управления станций катодной защиты магистральных трубопроводов. «Системы диспетчерского контроля' и управления». 2004-. http://vvww.rlt.rii/info/published/asm.hlml.

9. БагоцкийB.C. Основы электрохимии. М.: Химия. 1988. 400 с.

10. Байрак В.В., Мельников Ю.А., Титаренко С.А. Численное решение трехмерных граничных задач методом потенциала. Днепропетровск. 1986. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 7.02.86. № 1616-В. .

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука 2003. 632 с.

12. Белоцерковская О.Н., Васильев Ю.П., Золотой О.В. Решение краевой задачи для уравнения Лапласа в сложной области пространства трех измерений // Вычислительные методы и программирование. №5 Саратов. 1984. с. 48-55.

13. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир. 1984. 490 с.

14. Бесхлебнова Г.А., Болотное A.M., Горбатков С.А., Башаее М.А. Алгоритм построения нейросетевой математической модели процессов коррозии нефтяных трубопроводов // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2006, № 2. С. 27 32.

15. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей: Пер. с англ. М.: Энергия. 1970. 376 с.

16. Болотное A.M. Алгоритмы расчета электрических полей в многосвязных областях методом интегральных уравнений // Численные методы реше- „ ния уравнений математической физики: мат. конф. Уфа: БФ АН СССР. 1986. с. 32-40.

17. Болотное A.M. Методы граничных элементов в расчетах электрических полей электрохимических систем. Уфа: БашГУ. 2002. 143 с.

18. Болотное A.M., Гарифуллина С.Р. Нормы проектирования электрохимической защиты магистральных трубопроводов и сооружений НПС // Отчет о НИР № 31/113/05. Уфа. БашГУ. 2005. 174 с.

19. Болотное A.M., Глазов H.H., Гарифуллина С.Р. Алгоритм расчета элек- -трического поля катодной защиты трубопровода методом фиктивных источников // Системы управления и информационные технологии. 2008. №2 (32). С. 60-64.

20. Болотное A.M., Иванов В.Т. Численное моделирование пусковых режимов анодной защиты // Защита металлов, 2001. Т. 37. № 2. С. 197 200.

21. Болотное A.M., Иванов В.Т. Численное моделирование электрических полей анодной защиты некоторых электрохимических систем // Электрохимия. 1996. Т. 32. № 6. с. 694 697.

22. Быков A.A. Об одном численном методе решения многомерных интегральных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. Т. 20. №41980. с. 1058- 1062.

23. Вайникко Г.М. Кусочно-постоянная аппроксимация решения многомерных слабо сингулярных интегральных уравнений // Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физики. Т. 31. № 6. 1991. с. 832 849.

24. Ван Тассел Стиль, разработка, эффективность, отладка и испытание программ. М.: Мир. 1981. 320 с.

25. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1988. 549 с.

26. Верлань А.Ф., Снзиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: Справочное пособие. Киев: Наукова Думка. 1986. 543 с.

27. Вишневский A.M., Иоссель Ю.А., Макаров Э.Ф. Электрокоррозия морских сооружений. JT.: Судостроение. 1984. 211с.

28. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука. 1975. 394 с.

29. Волътерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1982. 304 с.

30. Гарифуллина С.Р. Исследование электрического поля катодной защиты магистральных трубопроводов // Международная уфимская зимняя школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых: мат. конф. Уфа: РИО БашГУ. 2005. с! 81.

31. Гарифуллина С.Р. Исследование электрического поля катодной защиты магистральных трубопроводов // Международная уфимская зимняя школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых: Сб. трудов. Т. 1. Уфа: РИО БашГУ. 2005. с. 164 - 176.

32. Гарифуллина С.Р. Исследование электрического поля катодной защиты магистральных трубопроводов // Международная уфимская зимняя школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых: мат. конф." Уфа: РИО БашГУ. 2005. с. 81.

33. Гарифуллина С.Р. Математическое моделирование электрических полей катодной защиты подземного трубопровода протяженным анодом. // Вестник Башкирского университета. 2010. Т.15. №3. с.561 563.

34. Гарифуллина С.Р. Расчет электрического поля в системе параллельных протяженных сооружений // Перспективы развития информационных технологий: сб. трудов I Всероссийской научно практической конференции. Новосибирск: Сибпринт. 2008. С. 75 - 80.

35. Гарифуллина С.Р. Трехмерная задача токораспределения в системе протяженных электродов в полупространстве // Студент и научно-технический прогресс: сб. мат. ХЬУ международной научной студенческой конференции. Новосибирск. 2007. С. 19.

36. Гарифуллина С.Р. Численное решение системы двумерных уравнений Пуассона // Уфимская международная математическая конференция, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева: сб. мат. Т.1. Уфа. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 2007. С. 62-63.

37. Глазов В.М. Основы физической химии. М.: Высшая школа. 1981. 456 с.

38. Глазов Н.П. Подземная коррозия трубопроводов, ее прогнозирование и диагностика. М.: Газпром. 1994, 92 с.

39. Гнусин Н.П., Поддубный Н.П. О первичном, вторичном и предельном -полях исследуемого электрода// Электрохимия. Т. 3, вып.З. 1967. С. 361.

40. Гнусин Н.П., Поддубный Н.П., Маслий А.И. Основы теории расчета и моделирования электрических полей в электролитах. Новосибирск. Наука. 1972. 276 с.

41. Дамаскин Б.Б., Петрий O.A. Введение в электрохимическую кинетику. М.: Высшая школа. 1983. 400 с.

42. Делахей П. Двойной слой и кинетика электродных процессов. Пер. с англ. М.: Мир. 1967. 351 с.

43. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука. 1967. 368 с.

44. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: МГУ. 1987. 167 с.

45. Емельянов К.В., Ильин A.M. О числе арифметических операций при решении интегрального уравнения Фредгольма II рода // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. Т. 7. № 4. 1967. С. 905 910.

46. Житников В.П., Зайцев А.Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки // Уфа: УГАТУ. 1996. 221 с.

47. Забрейко П.П., Кошелев А.К, Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 448 с.

48. Иванов В. Т. Интегральные уравнения электрических полей в электролитах//Электрохимия. 1972. Т. 8. № 12. С. 1883 1888.

49. Иванов В. Т. О методе прямых решения смешанных краевых задач в многосвязных областях // Дифференциальные уравнения. №3. 1982. С. 526 -529.

50. Иванов В. Т. О некоторых методах расчета электрических полей в трехмерных электрохимических системах. // Электрохимия. №2. 1975. С. 266 -269.

51. Иванов В.Т. Решение многомерных краевых задач математической физики методом плоскостей и интегральных преобразований // Дифференциальные уравнения. №10. 1970. С. 1859 1870.

52. Иванов В.Т., Болотное A.M. Автоматизированная система научных исследований электрических полей в сложных электрохимических системах на основе вычислительного эксперимента // Электрохимия, 1991. Т. 27. Вып. 3. С. 324-331.

53. Иванов В.Т., Болотное A.M. Пакет прикладных программ для численного исследования электрических полей в неоднородных электрохимических системах// Известия ВУЗов: Электромеханика. 1991. № 6. С. 21 28.

54. Иванов В.Т., Болотное A.M., Гадилова Ф.Г. и др. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах // Известия ВУЗов: Электромеханика. 1987. № 11. С. 21 -26.

55. Иванов В. Т., Газнзов P.P. Методы граничных интегральных уравнений и их приложения. Учебное пособие. Уфа. 1990, 88 с.

56. Иванов В.Т., Глазов Н.П., Макаров В.А. Математическое моделирование электрохимической защиты // Итоги науки и техники. Сер; Коррозия и защита от коррозии. М.: ВИНИТИ. 1987. Том 13. С. 117 194.

57. Иванов В. Т., Глазов Н.П., Махмутов М.М. Расчет трехмерных электрических полей в неоднородной среде с протяженными тонкими цилиндрическими электродами // Электричество. 1985. № 6. С. 48 52.

58. Иванов ВТ., Макаров В.А., Болотное A.M. Численное моделирование электрических полей в системах анодной защиты теплообменного оборудования //Защитаметаллов. 1992. Т. 28. № 6. С. 955 960.

59. Иванов В.Т., Щербинин С.А., Галимов A.A. Математическое моделирование электромассопереноса в сложных системах. Уфа: РИЦ БашГУ. 1991. 199 с.

60. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985.334 с.

61. Ильинский A.C. Обоснование численного метода решения интегрального уравнения с логарифмической особенностью ядра // Вестник МГУ. Вычислительная математика и кибернетика. №4. 1986. С. 12 — 15.

62. Иоссель Ю.Я. Электрические поля постоянных токов. JL: Энергоатомиз-дат. 1986. 160 с.

63. Иоссель Ю.Я., Кленов Г.Э. Математические методы расчета электрохимической коррозии и защиты металлов. М.: Металлургия. 1987. 272 с.

64. Иоссель Ю.Я., Кленов Г.Э., Павловский P.A. Расчет и моделирование контактной коррозии судовых конструкций. Л.:Судостроение. 1979. 261 с.

65. Шилинский А.Ю., Черный Г.Г. и др. Метод граничных интегральных уравнений. М.: Мир. 1978. 212 с.

66. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984. 752 с.

67. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Л.: Физматгиз. 1962. 708 с.

68. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский A.A. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. 1978. Т. 18. № 2. С. 458 -467.

69. Катешов В.А., Полищук А.Д. Решение трехмерных краевых задач методом интегральных уравнений // Автоматизация построения алгоритмов для задач математической физики. Новосибирск. 1987. С. 103 107.

70. Каханер Д., Моулер К, Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир. 2001. 575 с.

71. Квиттнер П. Задачи, программы, вычисления, результаты. М.: Мир. 1980. 423 с.

72. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1989. 624 с.

73. Колчин В.А., Болотное A.M., Полянин А.И. Метод расчета электрических полей при катодной защите от коррозии системы трубопроводов в тоннеле // Электрохимическая защита и коррозионный контроль: мат. IV Украинской респ. конф. Северодонецк. 1985. С. 48 50.

74. Кошев А.Н., Поддубный Н.П. Расчет первичного распределения тока на электродах в электролитических ячейках методом интегральных уравне- -ний // Известия Сиб. отд. АН СССР. 1977. Вып. 5. С. 13.

75. Кошляков Н.С., Гланер О.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа. 1970. 710 с.

76. Кронрод А.С. Узлы и веса квадратурных формул. М.: Наука, 1964. 144 с.

77. Крутицкий П.А. Метод граничных интегральных уравнений в смешанной задаче для уравнения Лапласа с произвольным разбиением границы // Дифференциальные уравнения. Т. 37. № 12001. С. 73 82.

78. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука. 1967. 500 с.

79. Крылов В.Я., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. Минск: Наука и техника. 1984. 263 с.

80. Люблинский Е.Я. Электрохимическая защита от коррозии. М.: Металлургия. 1987. 97 с.

81. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989. 608 с.

82. Матвеева Э.И., Пальцев Б.В. О разделении областей при решении краевых задач для уравнения Пуассона в областях сложной формы // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. 1973. Т. 13. № 6. С. 1441-1458.

83. Математическая физика. Энциклопедия. Под ред. Фаддеева Л.Д. М.: Изд-во БРЭ. 1998. 692 с.

84. Махмутов М.М. Методы расчета электрических полей точечных и цилиндрических электродов в неоднородной среде // Некоторые вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. Уфа. БашФАН СССР, 1981. с. 43-52.

85. Михайлов В.Н. Решение уравнения теплопроводности в сложных двумерных областях // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. 1976. Т. 16. №З.С. 680-688.

86. Мокин Ю.И-. Численные методы для интегральных уравнений теории потенциала // Дифференциальные уравнения. Т. 23. № 7. 1987. С. 1250 -1262.

87. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука. 1979. 256 с.

88. Ньюмен Дж. Электрохимические системы. Пер. с англ. М.: Мир. 1977. 463 с.

89. Остапенко В.Н., Желакова Ф.Н., Лукович В.В. и др. Методы расчета электрических полей при электрохимической защите металлических сооружений от коррозии. Киев: Наукова Думка. 1980. 252 с.

90. Остапенко В.Н., Лукович В.В., Колесник Т.В., Кохановский И.Н. Методы расчета катодной защиты металлических сооружений от коррозии. Киев: Наукова Думка, 1966. 239 с.

91. Полянин А.,Д., Манжиров A.B. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Физматлит. 2003. 608 с.

92. Рейнгеверц М.Д., Парпуц И.В., Сухотин A.M. Распределение коррозионного процесса в узком металлическом канале конечной длины // Электрохимия. 1980. Т. 16. № 1. С. 41 -45.

93. Рейнгеверц М.Д., Сухотин A.M. Закономерности неравномерного анодного растворения металлов в зазорах и каналах // Электрохимия. 1980. Т. 16. № 1. С. 46-49.

94. Риман Б. Сочинения. M.: JL: Гостехиздат. 1948. 543 с.

95. Ротинян А.Л., Тихонов К.И., Шошина И.А. Теоретическая электрохимия. Л.: Химия. 1981.423 с.

96. Рохленко A.B. Расчет протекторной защиты протяженного трубопровода. // Защита металлов. Т.21. №5. 1985. С. 757 767.

97. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксг перимент. // Вестник АН СССР.№5. 1979. С. 38 49.

98. Самарский A.A. Численные методы решения многомерных задач механики и физики // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. 1980. Т. 20. №6. С. 1416- 1464.1 .Самарский A.A., Гулин В.В. Численные методы математической физики. М.: Науч. Мир. 20007 315 с.

99. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит. 2002. 316 с.

100. Скорчеллетти В.В. Теоретическая электрохимия. Л.: Химия. 1974. 568 с.

101. Смелое В.В. Принцип интегрирования по подобластям в задачах с уравнением переноса // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. 1981. Т. 21. № 6. С. 1493 504.

102. Смирнов В.И. Курс высшей математики. T. IV, часть 2. М.: Наука. 1981. 550 с.

103. Соболев С.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1992. 431 с.

104. Стендер В.В. Прикладная электрохимия. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та. 1961. 541 с.

105. Степан Б.Д. Применение международной системы единиц физических величин в химии. М.: Высшая школа, 1990. 96 с.

106. Стрижевский И. В. Теория и расчет дренажей и катодной защиты магистральных трубопроводов от коррозии блуждающими токами. М.: Гос-техиздат. 1963. 238 с.

107. Тейксейра С., Пачеко К .Borland Delphi 6. Руководство разработчика. М.: Вильяме. 2002. 1120 с.

108. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. 736 с.

109. Томашов Н.Д. Теория коррозии и защиты металлов. Издательство академии наук СССР. 1959. 592 с.

110. Ткачеико В.Н. Электрохимическая защита трубопроводных сетей. Учебное пособие. Стройиздат. 2004. 320 с.

111. ТурчакЛ.И. Основы численных методов, М.: Наука. 1987. 354 с.

112. Улиг Г .Г., Реви Р.У. Коррозия и борьба с ней. Введение в коррозионную науку и технику: Пер. с англ. JL: Химия. 1989. 445 с.

113. ФароновВ. Delphi 6: учебный курс. СПб.: Питер. 2002. 512 с.

114. Федотъев Н.П., Алабышев А.Ф., Ротинян A.JJ. и др. Прикладная электрохимия. Л.: Химия. 1967. 600 с.

115. Фрумкин А.Н. Электродные процессы. М:: Наука. 1987. 336 с.

116. Чегис И.А. Однозначная разрешимость интегрального уравнения и компьютерный алгоритм в решении внутренней задачи Неймана // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. Т. 41. № 102001. С. 1557 1565.

117. ХЪв.Шабат Б.В., Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексных переменных. Издат. Лань. 2002. 749 с.

118. Ang W.T. A boundary integral équation method for the two-dimensional diffusion équation subject to non-local condition // Engineering analysis with boundary elements. Vol. 25. 2001. P. 1-6.

119. Automatically Tuned Linear Algebra Software (ATLAS) http:// ru.wikipedia. rg/wiki/AutomaticallyTunedLinearAlgebraSofitware

120. Bolotnov A.M., Glazov N.N., Glazov N.P., Shamshetdinov K.L., Kiselev V.D. Mathematical Model and Algorithm for Computing the Electric Field of Pipeline Cathodic Protection with Extended Anodes // Protection of metals, 2008. Vol.44, No 4, pp. 408-411.

121. Bolotnow A. Algorytmy obliczen parametrow ochrony urzadzen technologic-znych przed korozja elektrochemiczna // XII Miedzynarodowa konferencja naukowo-techniczna «Bezpieczenstwo elektryczne». T.l. Wroclaw, 1999. S. 461 -468.

122. Clements D.I. Green's functions for the boundary element method (invited contribution) // Boundary elem. IX: 9th Int. Conf., Stuttgart, 1987. P. 13 20.

123. Doncker E., Robinson I. An Algorithm for Automatic Integration Over a Triangle Using Nonlinear Extrapolation, ACM Transactions on Mathematical Software 10, 1984. P. 1-16.

124. Iwanow IV., Bolotnow A. Matematyczne modelowanie i badanie anodowej elektrochemicznej ochrony przed korozja // XI Miedzynarodowa konferencja naukowo-techniczna «Bezpieczenstwo elektryczne». T.l. Wroclaw, 1997. S. 389-393.

125. Kennard E., Waber I.T. Mathematical Stusy of galvanic Corrosion. J. Electro-chen. Soc., 1970. Vol. 117. No 7. P. 880 885.

126. Kumar Sunil. A diserete collocation-type method for Hamerstein equation // SIAM J. Numer. Anal., 1988, 25. No 2. P. 328 341.

127. Kumar Sunil. Superconvegence of a collocation-type method for Hamerstein equation // IMA J. Numer. Anal., 1987, 7. No 3. P. 313 325.

128. Makarov V.A., Ivanov V.T., Glazov N. P. Mathematical modelling of electrochemical protection // Proc. 10th Int. Cong, on metalliccorrosion. Madras, 1987. Vol. 3. P. 927-934.

129. Munn P.S. Microcomputer corrosion analysis for structures in ingomogeneous electrolytes I I Mat. Perform. 1986. Vol. 25. No 11. P. 33 42.

130. Plumpton C., Wilson C. Internal cathodic protection. 1. Introduction and general principles // Corrosion Preventation and Control. 1959. No 1. P. 31 36.

131. Plumpton C., Wilson C. Internal cathodic protection. 7. Line anodes in cylindrical tants. The edge effect // Corrosion Preventation and Control. 1960. No 12. P. 33 35.

132. Symm G.T. Contributions to a numerical library in Ada // Nat. Phis. Lab. Div. Inf. Technol. and Comput. Rept., 1987, No 98. P. 1 22.

133. Zamani N.G., Chuang J.M., Hsiung C.C. Numerical simulation of electrode-position problems // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1987, 24, No 8. P. 1479 -1497.и- •■•рш1. ШШМШ^Ш-.1. ГадЛОЖЕ^ЙЕ\ Г „Г- i- '1. Д ^V* .

134. Г О СГУ Д "А Р <3?Т BvE'H ВАААКАр Е-М И Я H АЩК; 4 РОССИЙСКАЯ А К А* Д ЕМИ Я* ОБРАЗОВ

135. ИНСТИТУТ научнои^информаДии и монитоеиэда^ ОБЪЕДИНЕННЫЙ ФОЩГЭЛЕКТРОДНЫХ РЕСУРСОВ "НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ'!шщ