автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование электрического поля в электрохимических системах с газогенерирующим электродом

НУГУМАНОВ Равис Гависович

На правах рукописи

од

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ГАЗОГЕНЕРИРУЮЩИМ ЭЛЕКТРОДОМ

'5.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Уфа-2000

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Башкирского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор технических наук, доцент Щербинин С.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Житников В.П. кандидат физико - математических наук, доцент Вахитова Н.Г.

Ведущая организация: Красноярская Государственная

Академия цветных металлов и золота

Защита состоится . . ?. . . 2000 года в . . часов на

заседании диссертационного совета К-063.17.01 Уфимского

государственного авиационного технического университета (450000, г. Уфа, ул. К.Маркса, 12).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета.

Ученый секретарь _____ ^—

диссертационного совета ^

кандидат технических наук .... /........./ Л.М.Бакусов

къъч.Н1-1с11бьо

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Результативными методами научного исследования являются в настоящее время математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Разработка математических моделей технологических процессов и применение вычислительного эксперимента для их анализа и оптимизации представляют актуальные научные задачи. Одной из важных народнохозяйственных проблем является совершенствование работы промышленных электрохимических аппаратов, в частности, электролизеров для производства и рафинирования алюминия и щелочноземельных металлов из сплавов, для получения магния. В силу высокой энергоемкости этих технологических процессов экспериментальные исследования затруднены и эффективным методом их анализа становится математическое моделирование. Решающее влияние на показатели работы электрохимических аппаратов с высокой токовой нагрузкой оказывают растущие на электродах газовые пузырьки. Образовавшаяся газовая фаза существенным образом влияет на протекание всех процессов в электрохимических аппаратах. Пузырек газа изолирует часть рабочей поверхности электрода, тем самым, приводит к перераспределению электрического потенциала и изменяет скорость протекания химических реакций. Оторвавшиеся от поверхности электрода и движущиеся в потоке электролита пузырьки снижают электропроводность последнего. Следствием этих процессов является рост разности потенциала (что приводит к значительному повышению энергозатрат) и электродные эффекты, возникающие при заизолированностл больших участков поверхности электродов. Исследование данных явлений чрезвычайно важно для промышленного электролиза. В связи с тем, что изучение влияния газовыделения на процессы переноса в реальных аппаратах затруднено, задача численного исследования протекающих процессов в промышленных электролизерах является актуальной.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является изучение газовыделения на электродах в электролитических ячейках. Для достижения указанной цели решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели электртеского доля в электрохимической системе с учетом выделения газовых пузырьков на одном из электродов.

2. Разработка численного алгоритма расчета радиуса газового пузырька, а также расчета плотности тока и потенциала в электрохимической системе на основе метода граничных интегральных уравнений.

3. Создание программ совместного расчета радиуса пузырька и электрического поля на основе разработанных алгоритмов.

4. Проведение вычислительных экспериментов для выявления зависимости формы и размера газового пузырька на распределение потенциала в области.

5. Проведение технологических расчетов электрического поля в промышленных электрохимических системах для получения А1, М^, рафинирования щелочноземельных металлов при различных технологических и конструкционных параметрах.

Научная новизна

В диссертации описана новая математическая модель процесса электропереноса с учетом локального газового образования, причем форма и размеры последнего меняются с течением времени. Комплекс программ для расчета газового пузырька и электрического поля на основе метода граничных элементов был также разработан впервые. По мнению автора, новым является рассмотрение задачи расчета электрического поля с учетом формы пузырьков (считая их эллипсоидными) при рассмотрении границы области. К новым результатам относятся полученные зависимости радиуса пузырька от различных свойствах электролита, поверхности, а также электрического поля от различной геометрии области, разных формах, размерах, количестве пузырьков.

Практическая ценность

Описанные в диссертационной работе программы для расчета электрического поля в электролизерах и роста газового пузырька применены для выработки технических решений по совершенствованию технологии различных металлов. Получены практически важные зависимости показателей работы действующих электролизеров от различных технологических параметров. Программы использованы для анализа нестационарного электрического поля с учетом меняющихся с течением времени размеров и формы газовых пузырьков. Программы и результаты расчетов использованы на Красноярском алюминиевом заводе, в Институте высокотемпературной электрохимии УрО РАН.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на XIII Международной конференции по химическим реакторам в ГНЦ "НИФХИ им. Л.Я.Карпова" (Новосибирск, 1996), на республиканской научной

конференции студентов и аспирантов по физике и математике в БашГУ. (Уфа, 1997), на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)" в КрасГУ, СО РАН, В ЦК (Красноярск, 1997), на XI конференции по физической химии и электрохимии расплавленных и твердых электролитов в Институте высокотемпературной электрохимии УРО РАН (Екатеринбург, 1998), на III сибирском конгрессе по прикладной математике (ИНПРИМ-98) в Новосибирском Академгородке (Новосибирск, 1998), на Международной научной конференции "Опгимизашш численных методов" в ИМВЦ УНЦ РАН (Уфа, 1998), на V-й международной научной конференции «Методы кибернетики химико-технологических процессов» в УГНТУ (Уфа, 1999).

Публикации

Основные материалы диссертационной работы опубликованы в 6 печатных работах (в том числе 2 статьи в центральной печати, 1 в трудах международного симпозиума). Список приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы

Диссертационная работа состоит из 130 страниц машинописного текста, включая введение, шесть глав, 66 рисунков, 11 таблиц, список литературы из 108 наименований, приложения. В приложении приведены 2 акта внедрения и текст основного модуля расчета электрического поля.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность задач исследований, их цель, новизна и практическая ценность выносимых на защиту результатов.

Н

В первой главе приводится обзор литературы по теме диссертации. Изложены сведения об исследованиях различных авторов процессов газообразования и методов расчета электрического поля в электролизерах.

Во второй главе рассмотрена математическая модель для совместного расчета трехмерного электрического поля и радиуса пузырька. В качестве модели рассматривается электролитическая ячейка формы цилиндра с горизонтально расположенными электродами при наличии на верхнем электроде газового пузырька сферической формы.

Ставится задача расчета электрического поля в ячейке, плотно

заполненной электролитом. На участке границы Г4, соответствующем Рис. 1 Вид электролитической ячейки

поверхности анода, задается плотность подводимого электрического тока. Предполагается, что на участке границы Г2 U Г3 электрический ток не протекает, поэтому ставится условие электроизолированности. На участке границы Ц, соответствующем поверхности катода, задается нулевой электрический потенциал. Допускается, что на аноде могут выделяться пузырьки с границей сферической формы Г5, ставится условие непротекания электрического тока. Также предполагается, что коэффициент электропроводности ст(х, у, z) — const в области Q.

Для расчета электрического поля в описанной области получим смешанную краевую задачу для уравнения Лапласа (1)-(5) и краевую задачу Коши для ОДУ (6)-(7):

(1)

<p(x,y,z) = 0, {x,y,z)eT^,

^-(x,y,z) = 0, (XУ,z) еГ2 UГ3

3 >

(2)

(3)

dN ■ dq>(x,y,z) Ж

(4)

(x,y,z) = (x(R),y{R),z(R)), (x,y,z)eTs.

Р-Ра= 28 | 4^(dR^^d'R t 3fdR

dt

= v„

(6)

(7)

(8)

Через <p(x,y,z) обозначено распределение электрического потенциала, через _/„ - плотность подводимого тока, г. - радиус макроскопического пузырька в начальный момент времени, V0-

нач&тьная скорость роста пузырька, R - радиус пузырька.

Таким образом, для расчета поля <p(x,y,z,t) = <p(x,y,z) в момент времени t имеем краевую задачу для уравнения Пуассона в области, граница которой меняется при росте R по закону (6)-(8).

В третьей главе приведены алгоритмы решения трехмерной и двумерной задачи с учетом роста пузырька. В параграфе 3.1. представлен общий алгоритм поставленной задачи и построена блок-схема.

Для фиксированного момента времени t получим значение радиуса пузырька R, далее для полученного значения R с помощью метода граничных элементов находим потенциал и плотность тока на границе и внутри расчетной области.

Преимущества МГЭ в электрохимической системе состоят в том, что требует использования аппроксимации только на границе; для нахождения решения в любой точке области достаточно знать решение только на границе; уменьшает размерность исходной задачи на единицу, а поэтому размерность СЛАУ значительно меньше, чем при дискретизации всей области; есть возможность применения для областей больших размеров.

Особенностью описанной постановки задачи является то, что радиус сферического пузырька намного меньше линейных параметров электрода, но в то же время радиус сопоставим с межэлектродным расстоянием (в промышленном электролизе межэлектродное расстояние составляет единицы сантиметров).

Пусть Q - область с гладкой границей, которая задается системой:

Интегральное представление Грина для трехмерного случая имеет

вид:

-Я/а №)■

1

1

3?

1

Е>(Р,0))

с!Гп

(9)

ДЛ0

где ¿)(Р, 2) -расстояние между точками Р и О, в области О,

'Ал, РеГ к = 2яг, Р е С!.

о, р^аиг

Формула (9) позволяет вычислить (р{Р) в любой внутренней

точке, если в каждой точке границы Г известны (р{СУ) и Для

д1<2

вычисления этих величин разобьем Г поверхностными кривыми и для

простоты будем считать (р^^и ^ постоянными на каждом из

Згд

полученных поверхностных «прямоугольников» Г,., где г — \,п. Положив Р = О. в середину Г,, получим

1 о

Введем новые обозначения:

Д д

д(р

Тогда получим систему 2Л' уравнений относительно (р: и —:

сп

Если / = j, то при вычислении коэффициентов А.} и в интегралах появляются особенности, т.к. при /, (и, V) —> х1, /2 (и, V) —> уг, /3 (и, у) -> знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль. Для вычисления таких интегралов применяется следующий метод:

С 1 С 1 £ £ \-cix = Нш [—(¡х, где е. =£ Ег = —, £, ,...

2 2

На каждом шаге сравниваем значения интеграла для ^ и до достижения заданной точности.

Таким образом, получено N уравнений с 2Ы неизвестными ф(б-)

(<9,) и -—. Недостающие N уравнений появляются из граничных

¿"о

условий. Решая полученную систему алгебраических уравнений, находим

( \

--■ Д™ нахождения решения задачи <рр —(р\хр,ур,2р) в

аЧ?

любой внутренней точке (хг, у,,, гР ) с помощью уравнения (3.3.1):

л

К

где

°р = V(хг - /. (">у))2 + (ур - Л ("'у))2 + (2р ~ /з («.у))2 • При вычислении интегралов по поверхностным «прямоугольникам» использована квадратурная формула Гаусса.

В главе 4 дается описание созданных компьютерных программ для расчета радиуса пузырька и расчетов электрического поля в двумерном и трехмерном случае. Программа расчета радиуса пузырька позволяет сделать расчет по параметру времени и исходным параметрам среды, в которой происходит газообразование.

Трехмерный вариант в виде компьютерной программы обладает следующими свойствами:

• позволяет изменять линейные размеры ячейки;

• позволяет вносить изменения в подаваемый ток, учитывать состав электролита;

• позволяет располагать эллипсоидный пузырек на поверхности электрода (координаты);

• позволяет изменять линейные размеры (полуоси) эллипсоидного пузырька;

• позволяет изменять количество разбиений границ области по направлениям;

• позволяет сделать выбор плоскости и ее положение, в которой будет произведен расчет потенциала;

• в результате расчетов на экран будет выведены следующие цветовые схемы: распределение потенциала и электрического тока на электродах, распределение потенциала в заданной плоскости внутри области расчета;

• после расчета на экран выдаются средние величины: плотности тока и потенциала на электродах под пузырьком и вне его, а также потенциала в заданной плоскости.

• производит вывод данных в файл для последующего использования графическим пакетом.

Алгоритм работы программы:

• Ввод исходных данных. Определяются линейные размеры электрохимической ячейки, электрохимические параметры (величина подводимого электрического тока и электрохимический коэффициент, характеризующий электролит), расположение и линейные размеры эллипсоидного пузырька. По умолчанию значения берутся из текстового файла с данными. Все изменения параметров можно сохранить в этом файле.

• Построение сетки на поверхности расчетной области.

• Задание величин параметров электрического поля на сетке.

• Расчет потенциала и его производной на сетке. Для этого создается и решается система линейных алгебраических уравнений, решаемая с помощью метода Гаусса с выбором главного элемента из-за плотной заполненности получаемой матрицы.

• Расчет потенциала и плотности тока внутри области.

• Вывод на экран распределения потенциала и плотности тока на электродах.

В двумерном случае вывод представляет собой графики, а в трехмерном случае - цветовые схемы.

Программа расчета электрического поля написана на языке Паскаль в многооконной среде разработки Delphi, которая построена на основе SDI (одно-документного интерфейса).

Для проведения расчетов требуется: SVGA - монитор, допускающий разрешение 800x600 точек, компьютер с дисковым пространством для программы не более 600Кбайт, имеющий оперативную память объемом в 64 Мбайта, процессор класса Pentium-166 или лучше, а также операционная среда Windows 95(98) и манипулятор типа мышь. Время решения задачи в двумерном случае не превышает двух минут, а в трехмерном случае 1,5 часа на компьютере с процессором Petitium-233 при общем количестве участков разбиения границы около 2300.

у- Проект А1 :

Данные Расчет. Настройка.. Открыть... Помощь... ' Выход Да«-»ые

2:38:43

Расчет •. ;|

г Л nncv«-t>ie рдаглеры эг»-»**

р 4500

*' ' . ,v Высота Г<4 м jjllOOQ

гщиметры -.'—

Плотность тек a

' '. [ЗЖшш

СЖИЙ \

pDQOOOO ;

Ё].

'I '

^ ЦветЛ]лшн тсжа". ■ t> V 3 ■ от13ЕГгедо35О0.79, j'j ° яг 5140,32 дя6773.85 ' J," I ¡.„(тгМТДЭвдоТ0056.31 , .

Рис.2. Вид программы расчета электрического поля в трехмерном случае.

Глава 5 посвящена использованию разработанного программного обеспечения при решении конкретных задач.

Для проверки адекватности модели была проведена серия расчетов с разными входными параметрами. Например, проводились расчеты с электропроводностью некоторых материалов, изменялась сила тока, размеры электродов, размеры электрохимической ячейки, форма пузырька и количество пузырьков. В параграфе 5.2. приведено сравнение расчетов и измерений с экспериментальными данными других авторов (рисунки 3,4).

/«.А/см2

Рис.3 Результаты расчетов и измерений разности потенциалов при различной плотности тока: I - данные измерений; 2 - результаты расчетов; 3 - расчет без пузырька

о*, См/см

Рис.4 Результаты расчетов и измерений разности суммарной электропроводности ячейки при различной плотности тока: 1 - данные измерений; 2 — результаты расчетов

В качестве примера для расчета рассматривалась электрохимическая ячейка формы параллелепипеда с горизонтальным расположением электродов со следующими линейными размерами: длина

= 1,45м, ширина = 0,70м, МЭР = 0,1м (при плотности тока 6600 А/ М2 на верхнем электроде и электропроводности 200). Исследовано влияние количества разбиений по линейным параметрам ячейки на конечный результат. Подтверждена адекватность модели на входные параметры, согласующиеся с классическим законом Ома.

Для выявления основных факторов, влияющих на скорость роста пузырька, варьировались исходные величины в уравнешш Релея-Ламба. На рост пузырька сильное влияние оказывают плотность жидкости и поверхностное натяжение. Проведен расчет радиуса пузырька от времени при фиксированном давлении в пузырьке.

время, сек

Рис.5. Зависимость радиуса пузырька от времени

Рост газового пузырька носит нелинейный (параболический) характер (рис.5). В начальный момент времени скорость роста пузырька высока, далее постепенно скорость снижается. Были проведены расчеты с несколькими газовыми пузырьками. Исследовано влияние количества пузырьков на электрический потенциал. Причем характерен более быстрый рост при большом количестве пузырьков. Напротив пузырька наблюдается более быстрый рост потенциала по сравнению с областями, не находящимися прямо под пузырьком.

Исследовано влияние размера пузырька на электрический потенциал (рис.6).

3,7400000 3,7200000 щ 3,7000000 - 3,6800000 я 3,6600000 I 3,6400000 § 3,6200000 о 3,6000000 с 3,5800000 3,5600000 3,5400000

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Радиус пузырька, см

Рис. б. Зависимость потенциала от радиуса пузырька

При росте плотности тока прямо пропорционально растет напряжение на электроде.

Получив зависимость радиуса пузырька от времени и зависимость напряжения от радиуса пузырька, вывели зависимость напряжения от времени.

3,75

вре^я, са<

Рис. 7. Зависимость потенциала от времени

Так как отрывной радиус пузырька лишь в несколько раз меньше межэлектродного расстояния, форма пузырька оказывает существенное влияние на распределение электрического тока.

Получены зависимости роста напряжения от следующих факторов в отдельности: высоты пузырька; области соприкосновения с электродом; длины (общей).

Установлен нелинейный характер зависимости разности потенциалов от степени заизолированности электрода.

Увеличение разности потенциалов и средней величины горизонтального тока в электролите вследствие газовыделенш происходит, как следует из результатов расчетов, главным образом, пр1 увеличении числа активных центров и при других факторах способствующих росту степени заизолированности электрода, и в гораздс меньшей степени - при увеличении линейных размеров пузырька.

Распределение потенциала на верхнем электроде имеет вид (рис.8):

Рис.8. Распределение потенциала па электроде

Рисунок 8 демонстрирует влияние пузырька на распределение потенциала. Пузырек расположен в центре электрода и ему соответствует «холм»(3.18-3.32В) с характерным максимумом потенциала. На других участках области потенциал равномерен и составляет порядка 3.12-3.16В.

Достоверность результатов подтверждена удовлетворительным согласованием данных расчетов и натурных измерений. В приложении к диссертации приведены соответствующие заключения Института электрохимии УРО РАН и Красноярского алюминиевого завода.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена математическая модель, которая впервые связала расчет трехмерного электрического поля в электрохимической системе с расчетом радиусов пузырьков на электроде. Модель описывает рост газового образования на электроде и учитывает изменение геометрии области и формы пузырька. Модель состоит из обыкновенного дифференциального уравнения для расчета изменения размера пузырька с течением времени и уравнения Лапласа для расчета электрического поля.

2. Для решения поставленной задачи применен комбинированный алгоритм на основе метода конечных разностей для решения уравнения роста пузырька и метода граничных элементов для уравнения электрического поля. Алгоритм метода граничных элементов апробирован для трехмерной и двумерной областей различной конфигурации.

3. На основе построенного алгоритма разработаны программы расчета размера пузырька и электрического поля с учетом соответствующего искривления границы. Для сервисной поддержки программ создано «меню пользователя» с графическим интерфейсом. Для удобства установки программ на компьютер пользователя создана установочная дискета для операционной среды MS Windows 95/98. Разработаны средства графического представления результатов расчета. Для трехмерной модели на экран монитора выводятся цветовые схемы распределения потенциала и плотности тока на границе и в сечении области. Для двумерной модели на экран монитора выводятся графики потенциала, плотности тока внутри и на границах области, распределение потенциала в области.

4. Проведены вычислительные эксперименты по расчету радиуса пузырька при различных свойствах электролита, поверхности, а также по расчету электрического поля при различной геометрии области, разных формах, размерах, количестве пузырьков. Проведены методические расчеты для проверки адекватности разработанной модели:

а) Подтверждена сходимость метода при сгущении сетки и указан алгоритм выбора сетки разбиения поверхности расчетной области и других параметров алгоритма.

б) Выявлен характер изменения поля при увеличении пузырька и при увеличении плотности тока, который соответствует общепринятым физическим представлениям.

в) Пропорционально изменению линейных параметров ячейки меняется разность потенциалов.

5. Проведено сравнение полученных данных с результатами экспериментальных измерений на лабораторных электрохимических ячейках.

Проведены расчеты электрического поля в электрохимических системах, конструктивные и технологические параметры которых соответствуют: а) магниевому электролизеру, б) алюминиевому электролизеру, в) аппарату для электролитического рафинирования щелочноземельных металлов.

Для выявления основных факторов, влияющих на скорость роста пузырька, в электрохимических системах варьировались исходные величины в модели роста пузырька. Расчеты продемонстрировали следующее:

а) При параметрах ячейки, соответствующих алюминиевым электролизерам, вязкость жидкости слабо влияет на динамику роста пузырька.

б) Поверхностное натяжение имеет сильное влияние на образования пузырька. При выборе электродов предпочтительнее использовать предварительно обожженные аноды, имеющие меньший коэффициент поверхностного натяжения.

в) Наиболее сильное влияние на скорость роста пузырька оказывает плотность жидкости.

Зависимость радиуса пузырька от времени имеет нелинейный характер.

Для выявления основных факторов, влияющих на электрическое поле, варьировались все основные исходные параметры. Расчеты электрического поля на трехмерных моделях показали следующее:

Зависимость потенциала и плотности тока от времени с учетом полученного радиуса имеет ярко выраженный нелинейный характер. Следовательно, одна из причин резкого роста напряжения при анодных эффектах может состоять в нелинейном характере роста размеров пузырька.

Зависимость электрического поля от количества пузырьков носит также нелинейный характер и определяется отношением площади занзолированного участка электрода к площади электрода. Для уменьшения количества активных центров, оказывающего решающее влияние на рост напряжения, пристальное внимание необходимо обратить на качество анодной поверхности.

Основным параметром, влияющим на электрическое поле, является площадь соприкосновен™ пузырька с электродом. Изменение большой полуоси пузырька привело к незначительному повышению разности потенциалов. Изменение толщины пузырька не оказало существенного влияния на основные показатели электрического поля. Следовательно, пузырьки различной формы, но имеющие одинаковую площадь соприкосновения с электродом, приводят к практически одинаковому росту напряжения.

Использование электродов с наклонной поверхностью обеспечивает более быстрый сход газовых пузырьков и с этой точки зрения улучшает режим работы аппарата. Но расчеты показывают при этом увеличение горизонтальных компонент электрического тока на 11,5% при увеличении угла наклона на каждый градус. Кроме того, если поверхность катод/электролит остается горизонтальной, то за счет увеличения размеров межэлектродного промежутка напряжение возрастает на 28% (при длине электрода 1,4 м) при увеличении угла наклона на каждый градус.

Кроме роста напряжения негативное влияние оказывает газообразования проявляется в росте горизонтальных компонент электрического тока. Впервые рассчитано, что наличие пузырька размерами 5мм приводит к возникновению в электролите горизонтального тока с плотностью 64,2 А/м2.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.3айков Ю.П., Нугуманов Р.Г., Щербинин С.А. Математическое моделирование электрического поля в электрохимической ячейке с вертикальным газогенерирующим электродом //«Электрохимия». 1997. Том 33. № 3. -С. 266-272.

2. Щербинин С.А., Нугуманов Р.Г. Моделирование электрического поля в электрохимической ячейке при различной форме газовых образований на электроде. //Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике БашГУ, 25-26 апреля 1997 г, Уфа, 1997. -С. 197.

3. Shcherbinin S.A, Zaikov Y.P., Nugumanov R.J., PinginV.V. Mathematical simulation of physical fields in industrial electrolysis cells with a gas generating electrode. 18-21 august 1997. Ninth International Symposium on LIGHT METALS PRODUCTION. Tromso-Trondbeim, Norway, 1997, -P. 169171.

4. Щербинин C.A., Нугуманов Р.Г. Численный метод решения трехмерного эллиптического уравнения в области с локальным искривлением границы. // Оптимизация численных методов. Тезисы докладов международной научной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева (1908-1998), 6-11 сентября 1998 года, ИМВЦ УНЦ РАН, Уфа, 1998.-С.92

5. Иванов В.Т., Нугуманов Р.Г., Щербинин С.А. Компьютерное моделирование электрического поля в прямоугольных областях //Программные продукты и системы//. 1999. № 1. -С.44-45.

6. Нугуманов Р.Г. Математическое моделирование газообразования в технологических процессах получения цветных металлов. // Тезисы докладов V международной научной конференции «Методы кибернетики химико-технологических процессов (KXTÎI-V-99)», 21-22 июня 1999 г, т.2, Уфа, 1999. -С. И 8-119

/

Оглавление.

Введение.

1. Литературный обзор.

1.1. Методы исследования электрического поля в электрохимических системах с газогенерирующим электродом (краткий литературный обзор).

1.1.1. Физические представления об образовании газовых зародышей на электродах.

1.1.2. Физические представления о росте газовых пузырьков на поверхности электрода.

1.2. Методы расчета электрических полей в электрохимической системе.

1.3. Образование газовых пузырьков в алюминиевом электролизере.

2. Математическая модель трехмерного электрического поля в ЭХС с учетом образования пузырьков на электроде.

2.1. Модель роста пузырьков.

2.2. Трехмерная модель электрического поля с учетом роста пузырьков.

2.3. Двумерная модель электрического поля с учетом роста пузырьков.

3. Алгоритмы решения поставленной задачи.

3.1. Общий алгоритм решения трехмерной задачи с учетом роста пузырьков. Блок - схема.

3.2. Метод решения уравнения роста пузырьков.

3.3. МГЭ для решения трехмерного уравнения электрического поля.

3.4. МГЭ для решения уравнения двумерного электрического поля.

3.5. Пример проводимых расчетов на модели цилиндрической формы.

4. Описание программ расчета электрического поля.

4.1. Возможности программ расчета.

4.2. Язык и необходимое аппаратное обеспечение.

4.3. Сервисные возможности.

4.3.1. Установка программы на компьютер.

4.3.2. Запуск программы.

4.3.3. Удаление программы из компьютера.

4.4. Главное меню программы.

Глава 5. Численное исследование физических процессов в электрохимических системах.

5.1. Методические расчеты.

5.1.1. Выбор оптимальной сетки в трехмерном случае.

5.1.2. Варьирование геометрических параметров ячейки.

5.2. Сравнение результатов расчетов с данными измерений.

5.3. Численное исследование динамики роста пузырька.

5.4. Результаты расчетов в электрохимической системе с вертикальными электродами (на примере магниевого электролизера).

5.4.1. Расчеты с несколькими пузырьками.

5.4.2. Расчеты с различными размерами пузырька.

5.4.3. Расчеты с ростом плотности тока.

5.4.4. Расчет динамики изменения электрического поля с ростом пузырька.

5.5. Результаты расчетов в электрохимической системе с горизонтальными электродами (на примере алюминиевого электролизера).

5.5.1. Расчеты с несколькими пузырьками.

5.5.2. Расчеты с различными размерами пузырька.

5.5.3. Расчеты с ростом плотности тока.

5.5.4. Расчет динамики изменений электрического поля с ростом пузырька.

5.5.5. Расчеты при различных формах пузырька.

5.5.6. Результаты расчетов в электрохимической системе с горизонтальными электродами на основе трехмерной модели.

5.6. Результаты расчетов в электрохимической системе с горизонтальными электродами на основе трехмерной модели цилиндрической формы (на примере аппарата для рафинирования щелочноземельных металлов).

При исследовании процессов в электрохимических системах, как известно, затрагивается широкая область научных знаний. В системах с высокой плотностью электрического тока возникает ряд сопутствующих физических процессов, поэтому их исследование требует проведения трудоемких расчетов, решения сложных математических задач, использования математического моделирования, подтверждения данных практическими экспериментами. В свою очередь, проведение масштабных натурных экспериментов с такими системами связано с большими затратами тепло- и электроэнергии, использованием дорогостоящих конструкционных материалов и требует значительного интервала времени для выявления их оптимальных характеристик.

Технология промышленного применения расплавов [1] за последние три десятилетия сильно изменилась и постоянно совершенствуется. Промышленность использует прогрессивные достижения в электронике для более качественного управления производственным процессом. В этой области выявлен ряд зависимостей. Например, на температуру электрохимической ячейки влияют следующие факторы: напряжение внутри ячейки, подводимый ток, периоды перерывов и циклов подачи электролита, концентрация окиси металла, глубина металлической прокладки, борта(настила), частота анодных перенапряжений, количество окиси металла. На концентрацию окиси алюминия влияют: количество окиси алюминия, добавленной в перерыве и цикле подачи, время, прошедшее с момента подачи, количество легированного электролита и количество осадка, образованного во время подачи.

Межэлектродное расстояние влияет на напряжение и сопротивление в ячейке, на концентрацию окиси, температуру и частичное окисление анодов. Таким образом, видна взаимосвязь протекающих процессов внутри ячейки.

В настоящее время происходит стремительное развитие вычислительной техники и программного обеспечения ЭВМ. Развитие техники привело к созданию новых методов и алгоритмов для решения большого круга задач. Это позволяет использовать численные методы и математическое моделирование, ранее не использовавшиеся из-за большого количества вычислительных операций.

Задача расчета электрического поля в . конкретном электрохимическом аппарате является важной из-за ввода в производство новых управляющих узлов, контролирующих автоматическое поступление сырья, электрохимический состав и выход готовой продукции, а также является актуальной задачей в связи с необходимостью замены изношенных электролизеров.

Выделяющиеся на аноде газовые пузырьки, их рост и движение по подошве анода и в пространстве борт-анод, является причиной возникновения газогидродинамических сил. В современных электролизерах с верхним токоподводом при силе тока 150-160 кА в каждую минуту с анодной поверхности выделяется 2,4-2,6 мЗ газа. Движение расплава носит сложный характер из-за больших объемов газа, поэтому основные параметры двухфазного течения аналитически не могут быть рассчитаны.

Центрами газообразования на рабочей поверхности анода являются углубления и лунки, трещины, в которых остается некоторое количество газа после схода газовых пузырьков. В промышленных условиях газовые фазы имеют пузырьковые и пленочные структуры. Толщина пузырьков и пленок составляет около 5 мм и. слабо зависит от плотности тока. Движение пузырьков к поверхности электролита в пространстве борт-анод вызывает значительную циркуляцию электролита.

Значительные объемы газа, образующиеся на подошве анода, оказывают существенное влияние на технологический режим. Это объясняется следующим образом: анодные газы уменьшают проводящее сечение электролита, увеличивают анодную плотность тока, вызывая дополнительное напряжение в электролите.

Особенность протекающих процессов в электролизерах -высокое потребление электроэнергии (порядка 12-13кВт*ч на 1 кг алюминия).

Образовавшаяся газовая фаза изменяет протекание всех процессов в электролизере и в особенности электрического поля. Пузырьки газа не проводят электрический ток, тем самым, изолируя часть рабочей поверхности электрода. Оторвавшиеся от поверхности электрода пузырьки движутся в потоке электролита, снижая концентрацию расплава и скорость химической реакции. Это приводит к увеличению разности потенциалов в электролизере (из закона Ома): V = IR

I-эл.ток, R- сопротивление); последнее уравнение приводит к повышению энергозатрат: const • 77 где ^-напряжение на ванне, ^-выход по току. Снижение расхода электроэнергии в промышленности происходит в результате уменьшения напряжения в электролизере, которое зависит от плотности тока в электролите и на электродах, электропроводности электролита.

Взаимосвязь вышеописанных физических явлений в аппаратах затрудняет проведение серий опытно-промышленных испытаний. В силу энергоемкости электрохимического производства эффективным методом анализа влияния отдельных факторов на производство является математическое моделирование и вычислительный эксперимент[2-8]. Применение математического моделирования для химических производств и технологических систем описано в [9-13].

Вычислительный эксперимент заключается в переходе от исследований на реальном объекте к исследованию его математической модели. Математические модели разделяют на две группы: детерминированные, когда известен закон изменений требуемой величины, и статистические, основанные на эмпирических и статистических данных. Математическая модель для расчета электрического поля состоит из дифференциального уравнения Пуассона и дифференциальных уравнений на границе области. Ее решением являются функции распределения электрического потенциала и плотности тока. При этом необходимо учесть исходные характеристики на реальных аппаратах. Далее при проведении вычислительного эксперимента разрабатывается алгоритм, на основе которого создается программа и проводится расчет для похожей задачи, решение которой заранее известно. В случае получения недостоверного решения модифицируются предыдущие этапы эксперимента. В случае адекватного результата, рассматривается исходная задача и проводится серия расчетов для сравнения и вывода закономерности исследуемого процесса.

По данным [14], переход от электролизеров с самообжигающимся анодом и ограниченными функциями управления к современным автоматизированным электролизерам с обожженным анодом привел к снижению электроэнергии примерно на 4 тысячи кВт*ч на одну тонну алюминия и увеличению выхода по току на 8%. А применение вычислительной техники в магниевых электролизерах привело к увеличению силы тока на 25 кА за 8 лет при уменьшении расхода электроэнергии на 38% за 13 лет [15].

Актуальность работы

Результативными методами научного исследования являются в настоящее время математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Разработка математических моделей технологических процессов и применение вычислительного эксперимента для их анализа и оптимизации представляют актуальные научные задачи. Одной из важных народнохозяйственных проблем является совершенствование работы промышленных электрохимических аппаратов, в частности, электролизеров для производства и рафинирования алюминия и щелочноземельных металлов из сплавов, для получения магния. В силу высокой энергоемкости этих технологических процессов экспериментальные исследования затруднены и эффективным методом их анализа становится математическое моделирование. Решающее влияние на показатели работы электрохимических аппаратов с высокой токовой нагрузкой оказывают растущие на электродах газовые пузырьки. Образовавшаяся газовая фаза существенным образом влияет на протекание всех процессов в электрохимических аппаратах. Пузырек газа изолирует часть рабочей поверхности электрода, тем самым, приводит к перераспределению электрического потенциала и изменяет скорость протекания химических реакций. Оторвавшиеся от поверхности электрода и движущиеся в потоке электролита пузырьки снижают электропроводность последнего. Следствием этих процессов является рост разности потенциала (что приводит к значительному повышению энергозатрат) и электродные эффекты, возникающие при заизолированности больших участков поверхности электродов. Исследование данных явлений чрезвычайно важно для промышленного электролиза. В связи с тем, что изучение влияния газовыделения на процессы переноса в реальных аппаратах затруднено, задача численного исследования протекающих процессов в промышленных электролизерах является актуальной.

В современных электролизерах с верхним токоподводом при силе тока 150-160 кА в каждую минуту с анодной поверхности

П * выделяется 2,4-2,6 м газа. Поэтому движение расплава под воздействием таких объемов выходящего из под анода газа имеет сложный характер и основные параметры двухфазного газожидкостного течения аналитически не могут быть подсчитаны.

Цель работы

Целью диссертационной работы является изучение газовыделения на электродах в электролитических ячейках. Для достижения указанной цели решены следующие задачи:

- Разработка математической модели электрического поля в электрохимической системе с учетом выделения газовых пузырьков на одном из электродов.

- Разработка численного алгоритма расчета радиуса газового пузырька, а также расчета плотности тока и потенциала в электрохимической системе на основе метода граничных интегральных уравнений.

Создание программ совместного расчета радиуса пузырька и электрического поля на основе разработанных алгоритмов.

- Проведение вычислительных экспериментов для выявления зависимости формы, размера газового пузырька, технологических и конструктивных параметров ячейки на распределение потенциала в области при различных технологических и конструкционных параметрах.

Научная новизна

Отличием данной работы является создание математической модели процесса электропереноса в электрохимической системе с учетом локального газового образования, причем форма и размеры последнего меняются со временем.

Ранее при рассмотрении задачи расчета электрического поля рассматривались области без локальных искривлений либо газовые пузырьки просто считались плоскими. В работе приведена новая модель, в виде системы, состоящей из дифференциального уравнения роста газового пузырька и интегрального представления Грина для распределения потенциала в области расчета. Особенностью разработанной программы является то, что: расчеты производились в трехмерной области различной конфигурации с эллипсоидной формой газового пузырька.

Получены новые зависимости электрического поля

- от размера и формы газового пузырька/

- от времени, в течение которого растет пузырек,

- от формы и размеров электрохимической системы.

Публикации

Основные материалы диссертационной работы опубликованы в б печатных работах (в том числе 2 статьи в центральной печати, 1 в трудах международного симпозиума)[105-110].

Разработанные программы и результаты расчетов использованы при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в ОАО Красноярский алюминиевый завод и в Институте высокотемпературной электрохимии УрО РАН (см. приложение).

Вклад соавторов по публикациям в выполнении работы:

Щербинин С.А. - руководство диссертационной работой; Иванов В.Т. - консультации по расчету электрических полей;

Зайков Ю.П. - обсуждение результатов расчетов.

1. Литературный обзор

б. Основные результаты и выводы

1. Построена математическая модель, которая впервые связала расчет трехмерного электрического поля в электрохимической системе с расчетом радиусов пузырьков на электроде. Модель описывает рост газового образования на электроде и учитывает изменение геометрии области и формы пузырька. Модель состоит из обыкновенного дифференциального уравнения для расчета изменения размера пузырька с течением времени и уравнения Лапласа для расчета электрического поля.

2. Для решения поставленной задачи применен комбинированный алгоритм на основе метода конечных разностей для решения уравнения роста пузырька и метода граничных элементов для уравнения электрического поля. Алгоритм метода граничных элементов апробирован для трехмерной и двумерной областей различной конфигурации.

3. На основе построенного алгоритма разработаны программы расчета размера пузырька и электрического поля с учетом соответствующего искривления границы. Для сервисной поддержки программ создано «меню пользователя» с графическим интерфейсом. Для удобства установки программ на компьютер пользователя создана установочная дискета для операционной среды MS Windows 95/98 на основе программы Install Shield Express. Для быстрого управления программой написан и откомпилирован стандартный справочный файл с помощью программы Microsoft Help Workshop, который встроен в программу. Разработаны средства графического представления результатов расчета. Для трехмерной модели на экран монитора выводятся цветовые схемы распределения потенциала и плотности тока на границе и в сечении области. Для двумерной модели на экран монитора выводятся графики потенциала, плотности тока внутри и на границах области, распределение потенциала в области.

4. Проведен вычислительный эксперименты по расчету радиуса пузырька при различных свойствах электролита, поверхности, а также по расчету электрического поля при различной геометрии области, разных формах, размерах, количестве пузырьков. Проведены методические расчеты для проверки адекватности разработанной модели:

S Подтверждена сходимость метода при сгущении сетки и указан алгоритм выбора сетки разбиения поверхности расчетной области и других параметров алгоритма;

S Выявлен характер изменения поля при увеличении пузырька и при увеличении плотности тока, который соответствует общепринятым физическим представлениям.

S Увеличение межэлектродного расстояния привело к пропорциональному повышению разности потенциалов.

•S Изменение длины ячейки привело к пропорциональному изменению потенциала.

5. Проведено сравнение полученных данных с результатами экспериментальных измерений на лабораторных электрохимических ячейках.

6. Проведены расчеты электрического поля в электрохимических системах, конструктивные и технологические параметры которых соответствуют: а) магниевому электролизеру, б) алюминиевому электролизеру, в) аппарату для электролитического рафинирования щелочноземельных металлов.

7. Для выявления основных факторов, влияющих на скорость роста пузырька, в электрохимических системах варьировались исходные величины в модели роста пузырька. Расчеты продемонстрировали следующее: при параметрах ячейки, соответствующих алюминиевым электролизерам, вязкость жидкости слабо влияет на динамику роста пузырька; поверхностное натяжение имеет сильное влияние на образования пузырька. При выборе электродов предпочтительнее использовать предварительно обожженные аноды, имеющие меньший коэффициент поверхностного натяжения; наиболее сильное влияние на скорость роста пузырька оказывает плотность жидкости;

Зависимость радиуса пузырька от времени имеет нелинейный характер.

8. Для выявления основных факторов, влияющих на электрическое поле, варьировались все основные исходные параметры. Расчеты электрического поля на трехмерных моделях показали следующее:

Зависимость потенциала и плотности тока от времени с учетом полученного радиуса имеет ярко выраженный нелинейный характер. Следовательно, одна из причин резкого роста напряжения при анодных эффектах может состоять в нелинейном характере роста размеров пузырька.

Зависимость электрического поля от количества пузырьков носит также нелинейный характер и определяется отношением площади заизолированного участка электрода к площади электрода. Для уменьшения количества активных центров, оказывающего решающее влияние на рост напряжения, пристальное внимание необходимо обратить на качество анодной поверхности. Изменение толщины пузырька не оказало существенного влияния на основные показатели электрического поля {]вт- плотность тока на аноде, иене - потенциал на катоде, ипод~ потенциал в зоне роста пузырька). Основным параметром, влияющим на электрическое поле, является площадь соприкосновения пузырька с электродом. Изменение большой полуоси пузырька привело к незначительному повышению разности потенциалов. Этот расчет показывает, что толщина пузырька оказывает меньшее влияние на рост напряжения по сравнению с площадью соприкосновения. Следовательно, пузырьки различной формы, но имеющие одинаковую площадь соприкосновения с электродом, приводят к практически одинаковому росту напряжения.

Использование электродов с наклонной поверхностью обеспечивает более быстрый сход газовых пузырьков и с этой точки зрения улучшает режим работы аппарата. Но расчеты показывают при этом увеличение горизонтальных компонент электрического тока на 11,5% при увеличении угла наклона на каждый градус. Кроме того, если поверхность катод/электролит остается горизонтальной, то за счет увеличения размеров межэлектродного промежутка напряжение возрастает на 28% (при длине электрода 1,4 м) при увеличении угла наклона на каждый градус.

Кроме роста напряжения негативное влияние оказывает газообразования проявляется в росте горизонтальных компонент электрического тока. Впервые рассчитано, что наличие пузырька размерами 5мм приводит к возникновению в электролите горизонтального тока с плотностью 64,2 А/м2.

1. Grjothem К, Welch B.J. Aluminium Smelter Technology. -Dusseldorf: Aluminium-Verlag, 1988.

2. Иванов В.Т., Щербинин С.А., Галимов A.A. Математическое моделирование электромассопереноса в сложных системах. / БНЦ УрО АН СССР. Уфа, 1991.- 199с.

3. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. // Вестник АН СССР, 1979. №5. -с.38-49.

4. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент. -М.: Знание, 1983. 64с.

5. Карпов В.Я., Корягин Д.А. Пакет прикладных программ. М.: Знание, 1983. 64с.

6. Пакет прикладных программ. Программное обеспечение вычислительного эксперимента, /сб. ст. под ред. Самарского A.A. /-М.: Наука, 1987.

7. Горбунов-Посадов М.М., Корягин Д.А., Мартынюк В.В. Системное обеспечение пакета прикладных программ. М.: Наука, 1990. - 208с.

8. Слинько М.Г. Проблемы развития математического моделирования химических процессов и реакторов. //ТОХТ, 1987. №2. с.157-165.

9. Щербинин С.А. Фазылов А.Р., Яковлева Г.А. Математическое моделирование трехмерных теплового и электрических полей магниевого электролизера.

10. Кафаров В.В. Кибернетика в химической технологии. М.: Химия, 1984. - 64с.

11. Кафаров В.В. Методы кибернетики и химии в химической технологии. М.: Химия, 1985. - 448с.

12. Кафаров В.В., Глебов M.B. Математическое моделирование основных процессов химических производств. М.: Высшая школа, 1991. -400с.

13. Кафаров В.В., Мешалкин В.П. Анализ и синтез химико-технологических систем.

14. Дубчак Р.В. Современный технический уровень производства алюминия за рубежом: Обзор ЦИИН экономики и информации. М., 1986. Вып. 3. -с.7-8.

15. Сандлер Е.М. Состояние и перспективы развития магниевой промышленности. // Цветные металлы, 1989. №12. с. 71-73.

16. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. JT.: Наука, 1975. Гл.7.

17. Барабошкин А.Н. Электрокристаллизация металлов из расплавленных солей. -М.: Наука, 197б.-279с.

18. Скрипов В. П. Метастабильная жидкость.-М.:Наука, 1972.-312с.

19. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. -Собр.избр.тр.т.3.,М.:Изд.АН СССР, 1959, -461с.

20. Несис Е.И. Кипение жидкостей. -М.: Наука,1973.-280с.

21. Григорьев В.А., Павлов Ю.М., Аметистов Е.В. Кипение криогенных жидкостей. М.: Энергия, 1977. -289с.

22. Volmer М. Kinetik der Phasenbildung. Dresden; Leipzig, 1939, 220 s.

23. Ивановский JI.E, Лебедев В.А., Некрасов В.Н. Анодные процессы в расплавленных галогенидах. М. : Наука, 1983. -267с.

24. Рогайлин М.И., Чалых Е.Ф. Справочник по углеграфитовым материалам. JT.: Химия, 1974. - 206с.

25. Соседов В.П. Свойства конструкционных материалов на основе углерода. Справочник. -М.: Металлургия, 1975. -335с.

26. Поляков П.В., Андреев В.Н., Бурнакин В.В., Давыденко А.П. Условия образования и роста газовых пузырьков прианодном выделении хлора в расплавах. Изв. Вузов. Цв. металлургия, 1977, № 3,-с.58-63.

27. Поляков П.В., Шестаков В.М., Вурнакин, В.В., Рябухин Ю.М. Образование и рост пузырьков хлора на аноде в расплавленных солях. -Электрохимия, 1979, т.15, № 10, -с. 1469-1473.

28. Darby R., Haque M.S. Dynamics of the electrolytic evolution of hydrogen bubbles. Chem.Eng.Sci., 1973, vol.28. N 5, -p.1129-1138.

29. Шестаков B.M. Образование и рост пузырьков, двухфазное течение и' массоперенос при электрохимическом выделении хлора в расплавленных солях: Автореф. дис. . канд.техн.наук. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981.

30. Scriven L.E. On the dynamics of phase growth of hydrogen bubbles during electrolyses. Chem.Eng.Sci, 1959, vol.10 N 1/2 -p.1-14

31. Plesset M.S., Zwick S.A. The growth of vapour bubbles in superheated liquids. J.Appl.Phys., 1954, vol.25, N 4, -p.493-501.

32. Лабунцов Д.А. Современные представления о механизме пузырькового кипения жидкостей. В кн.: Теплообмен и физическая гидродинамика. М.: Наука, 1974, -с.98-129.

33. Вейстерхайд Д., Уэстуотер Дж. Изотермический рост пузырей водорода при электролизе. В кн.: Вопросы физики кипения. М.: Мир, 1964, с.354-375.

34. Гнусин Н.П., Поддубный Н.П., Маслий А.И. Основы теории расчета и моделирования электрических полей в электролитах. Новосибирск: Наука, 1972. - 276с.

35. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Вопросы расчета и моделирования электрохимической антикоррозийной защиты судов. JI.: Судостроение, 1965. - 272с.

36. Каданер Л.И. Равномерность гальванических покрытий. -Харьков: Харьковский ГУ, 1961. 414с.

37. Каданер Л. И. Распределение тока в щели и цилиндрическом отверстии при одновременной работе внешней плоской поверхности катода //ЖФХ, 1957.' Т.31. - №9. -с.2085-2092.

38. Каданер Л.И., Цукерник В.М. Распределение тока на плоских параллельных электродах в прямоугольном электролизере // ЖФХ, 1957. Т.31. - №10. -с.2253-2259.

39. Вишневский A.M., Иоссель Ю.А., Макаров Э.Ф. Электрокоррозия морских сооружений. -Л.: Судостроение, 1984. 211с.

40. Иванов В.Т., Гусев В.Г., Фокин А.Н. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки. -М.: Машиностроение, 1986. 216с.

41. Иванов В.Т., Махмутов М.М. Расчет электрических полей в системах линейных и цилиндрических электродов с нелинейными граничными условиями //Сложные электромагнитные поля и электрические цепи. Уфа: БашФАН СССР - УАИ, 1980. - с. 6167.

42. Иванов В.Т. Некоторые проблемы вычислительной математики применительно к расчетам электрических полей в электрохимических системах //Препринт доклада Президиуму БашФАН СССР. Уфа: БашФАН СССР, 1983. - 4 0с.

43. Иоссель Ю.Я., Кленов Г.Э. Математическое методы расчета электрохимической коррозии и защиты металлов. -М.: Металлургия, 1987. 272с.

44. Иоссель Ю.Я. Электрические поля постоянных токов. Л.: Энергоатомиздат, 1986. 160с.

45. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. -710с.

46. Рохленко А.В. Расчет протекторной защиты протяженного трубопровода //Защита металлов. 1985. -Т.XXI. -№ 5. -с.757-767.

47. Plumpton С., Wilson С. Internal cathodic protection. 1.- Introduction and general principles.//Corrosion Prevention and Control. -1959. № 1. -p.31-36.

48. Plumpton C., Wilson C. Internal cathodic protection. 4.-The long thin circular tube wiyh internal insulating coating. //Corrosion Prevention and Control. -1959. № 10. -p.49-52.

49. Plumpton C., Wilson C. Internal cathodic protection. 7.-Line anodes in cylindrical tants. The edge effect. //Corrosion Prevention and Control. -I960. № 12. -p.33-35,60.

50. Иванов В.Т., Гадилова Ф.Г. Поле точечного и сферического электродов в неоднородной среде с поляризационными процессами на границах сред //Сложные электромагнитные поля и электрические цепи. Уфа: БашФАН СССР, 1979. - с.24-30.

51. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987. 600с.

52. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. - 608с.

53. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432с.

54. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656с.

55. Иванов В.Т., Лубышев Ф.В. Математические методы исследования тепловых и электрических полей в электролитах. //Препринт доклада Президиуму БашФАН СССР. Уфа: БашФАН СССР, 1980. - 40с.

56. Иванов В.Т., Масютина М.С. Методы решения прямых и обратных задач электрокарротажа. М.: Наука, 1983. - 144с.

57. Иванов В.Т. Методы расчета трехмерных электрических полей в электролитах //Краевые задачи математической физики и их приложения. Уфа: БашФАН СССР, 1976. -с.18-53.

58. Иванов В.Т. О некоторых методах расчета электрических полей в трехмерных электрохимических системах. //Электрохимия, 1975. -№ 2. с.266-269.

59. Иванов В.Т. Решение многомерных краевых задач математической физики методом плоскостей и интегральных преобразований // Диф.уравнения, 1970. -№10. с.1859-1870.

60. Махмутов М.М. Методы расчета электрических полей точечных и цилиндрических электродов в неоднородной среде //Некоторые вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. Уфа: БашФАН СССР, 1981. - с. 4352.

61. Иванов В.Т. Решение и исследование некоторых задач электрохимии методом прямых //ЖВМиМФ, 1967. -Т.7. -№ 3. -с.580-593.

62. Иванов В.Т. Решение методом прямых некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа //Диф.уравнения, 1967. № 6. - с.1002-1068.

63. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 350с.

64. Иванов В.Т., Галимов А.А., Глазов Н.П. Численные исследования распределения тока на катоде сложной формы с применением ЭВМ //Межвуз.сб. Проблемы электрохимиии. -Казань: КХТИ, 1982. с.72-74.

65. Munn P.S. Microcomputer corrosion analysis for structures in ingomogeneous electrolytes.//Mat.Perform. -1986. -v.25. № 11. p.33-42.

66. Интегральные уравнения /Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. М.: Наука, 1968. -448с.

67. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. - 384с.

68. Оценка величины пусковых токов в системах анодной защиты. /Бочкарева И.В., Ревина Т.В., Иванов В.Т. идр.//Защита металлов. 1990. - Т.26. - № 1. - с.147-151.

69. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1977. - 736с.

70. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Л.:М.: ОНТИ, 1937. -Ч.2.- 998с.

71. Ильинский A.C. Обоснование численного метода решения интегрального уравнения с логарифмической особенностью ядра // Вестник МГУ. Вычислительная математика и кибернетика, 1986. № 4. - с.12-15.

72. Бобрик А.Н., Михайлов В.Н. Решение некоторых задач для уравнения Пуассона с граничными условиями IV рода./ЖВМиМФ. 1974. - № 1. - с.126-134.

73. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: МГУ, 1987. - 167с.

74. Иванов В.Т., Масютина М.С., Махмутов М.М. О некоторых методах расчета электрических полей в электрохимических системах //Электрические и тепловые поля в электролитах. Вопросы теории и методы расчета. М.: Наука, 1978. - с.68-89.

75. Иоссель Ю.Я., Кленов Г.Э., Павловский P.A. Расчет и моделирование контактной коррозии судовых конструкций. -Л.: Судостроение, 1979. -262с.

76. Clements D.I. Green's functions for the boundary element method (invited contribution).//Boundary Eiern. IX: 9th Int.Conf., Stuttgart, Aug.31, 1987. p.13-20.

77. Иванов В.Т., Полянин А.И. К вопросу решения некоторых смешанных краевых задач электрических полей в электролитах //Численные методы решения краевых задач математической физики. Уфа: БашФАН СССР, 1979. - с.27-45.

78. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах. /Иванов В.Т., Болотнов A.M., Гадилова Ф.Г. и др. //Электромеханика, 1987. № 11. - с.21-26.

79. Иванов В.Т., Глазов Н.П., Макаров В.А. Математическое моделирование электрохимической защиты //Итоги науки и техники. Сер. Коррозия и защита от коррозии. М.:ВИНИТИ, 1987. - Т.13.- с.117-194.

80. Бабич М.Д., Шевчук Л.Б. О приближенной схеме решения одного класса нелинейных интегральных уравнений. //Пакеты прикладных программ и численные методы. Киев: Наукова Думка, 1988. - с.61-65.

81. Бутомо В.Н. Численное решение интегрального уравнения с логарифмической особенностью в ядре. //Методы вычислений. -Л.: 1988 № 15. - с.110-113.

82. Галицын A.C., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и их приложения в задачах теплопроводности. Киев: Наукова Думка, 1976. - 282с.

83. Kumar Sunil A dierete collocation-type method for Hamerstein equations.//SIAM J.Numer.Anal., 1988,25, № 2. -p.328-341.

84. Kumar Sunil Superconvergence of a collocation-type method for Hammerstein equations.//IMA J.Numer.Anal., 1987, 7, № 3, -p.313-325.

85. Троицкий И.А., Железнов В.А. Металлургия алюминия. М.: Металлургия, 1984 384с.

86. Янко Э.А., Лозовой Ю.Д. Производство алюминия в электролизерах с верхним токоподводом, 197 6 -160с.

87. Каданер Л.И. Электрические поля в электролизерах. Харьков: Металлургиздат, 1959, -164с.

88. Некрасов В.Н. Физическая химия растворов галогенов в галогенидных расплавах. М.:Наука, 1992, -214с.

89. Несис Е.И. Методы математической физики. М.: Просвещение, 1977.

90. Гнусин Н.П., Поддубный Н.П., Маслий А.И. Основы теории расчета и моделирования электрических полей в электролитах. АН СССР, СО, Новосибирск, 1972.

91. Иванов В.Т. Развитие методов расчета, анализа и оптимизации электрических полей в электролитах. Дисс. док. техн. наук. Уфа.: 1975. -470с.

92. Иванов В.Т., Масютина М.С. Методы решения прямых и обратных задач электоркарротажа. -М.:Наука, 1983. -143с.

93. Иванов В.Т.,Гусев В.Г., Фокин А.Н. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки. -М.Машиностроение, 1986. -214с.

94. Иванов В.Т. Некоторые проблемы вычислительной математики применительно к расчетам электрических полей в электрохимических системах, Уфа, 1983.

95. Гиббс У. Термодинамические работы, 1'остехиздат, 1950.

96. Скрипов В.П. Метастабильная жидкость. М.: Наука, 1972.

97. Дамаскин Б.В., Петрий О.А. Введение в электрохимическую кинетику. М.: "Высшая школа", 1983.

98. Бурнакин В.В., Андреев В.Н., Поляков П.В., Можаев В.М. //Изв. вузов. Цветная металлургия. 1975. № 4. -С.58.

99. Бурнакин В.В., Поляков П.В., Шестаков В.М., Давыденко А.П. // Изв. вузов. Цветная металлургия. 1980. № 1, -С.398.

100. Бегунов А.И., Гринберг И.С., Кульков В.Н., Заиров М.Г. //Цветные металлы. 1993. №1, -С.29.

101. Ветюков М.М., Цыплаков A.M., Школьников С.Н. Электрометаллургия алюминия и магния. Металлургия, 1987. - 512с.

102. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. -704с.

103. ЮЗ.Зайков Ю.П., Нугуманов Р.Г., Щербинин С.А. Математическое моделирование электрического поля в электрохимической ячейке с вертикальным газогенерирующим электродом //«Электрохимия». 1997. Том 33. № 3. С.266-272.

104. Иванов В.Т., Нугуманов Р.Г., Щербинин С.А. Компьютерное моделирование электрического поля в прямоугольных областях //Программные продукты и системы//. 1999. № 1. -С.44-45.