автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование движения и теплопереноса в плоском кольце вязкой жидкости со свободными границами

ГЕРБЕР Евгений Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ И ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПЛОСКОМ КОЛЬЦЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тюмень - 2011

2 4 НОЯ 2011

005003745

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Института математики, естественных наук и информационных технологий ФГБОУ ВПО Тюменский государственный университет.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

КУТРУНОВ Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

БАУТИН Сергей Петрович

(Уральский государственный университет путей сообщения)

доктор физико-математических наук, профессор

ФЕДОРОВ Константин Михайлович (Тюменский государственный университет)

Ведущая организация: Сибирский Государственный

Аэрокосмический Университет имени академика М. Ф. Решетнева

Защита диссертации состоится « 19 » декабря 2011 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.274.14 при Тюменском государственном университете по адресу 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, 15А, ауд. 410.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан « { ( » ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А. А. Ступников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В данной работе рассматривается задача о движении вращающегося по инерции плоского кольца вязкой капиллярной жидкости и влиянии его динамики на поле температур. Аналогом изучаемого объекта при ряде ограничений могут быть срезы вихревых колец. Вихревые кольца, в свою очередь, имеют большое влияние на многие технологические процессы. Например, они появляются при истечении газа или жидкости из сопла, в турбулентном слое при обтекании воздухом крыла самолета, могут использоваться при тушении нефтяных пожаров и в других технологиях. Помимо этого форму колец в срезе имеют такие объекты как торнадо, подводные вихри, а если перейти к макромасштабам, то окажется, что формой колец обладают некоторые галактики, которые называют кольцевыми. Человечество давно и пристально изучает все эти явления,- так как некоторые из них носят разрушительный характер, другие существенно влияют на движущиеся объекты, третьи представляют интерес с позиции возникновения, развития и будущего вселенной. Таким образом, задача об описании динамики кольца жидкости и о распространении тепла внутри него, безусловно, является актуальной. Тем более, что именно сейчас появились эффективные средства компьютерного моделирования, которые позволяют установить закономерности, свойственные изучаемым объектам. Имея адекватную математическую модель описания вышеупомянутых объектов, появляется возможность поиска закономерностей тепломас-сопереноса, свойственных кольцу жидкости, что также является актуальным, ввиду распространенности явления.

Дополнительно, в работе численно и аналитически изучается вопрос о различиях классической и неклассической моделей гидродинамики на примере задачи о динамике плоского кольца жидкости. Неклассическая модель упоминалась в работах В.К. Андреева, Б.Д. Аннина, В.В. Бублика, С.И. Сенашева, и активно продвигалась В.О. Бытевым.

Цель работы

Целью данной работы является аналитическое и численное исследование динамики кольца жидкости и процессов теплопе-реноса в нем. Анализ влияния физических и геометрических характеристик кольца на его динамику. Поиск эффектов появляющихся в рамках неклассической модели. Реализация соответствующих алгоритмов в виде программного комплекса.

Научная новизна

В рамках данной диссертационной работы были получены следующие новые результаты, которые можно условно разделить на три группы:

Математическое моделирование: предложен новый метод математического моделирования динамики кольца вязкой жидкости со свободными границами, заключающийся в том, что уравнения гидродинамики используемые в качестве математической модели этого объекта преобразованы к уравнению нелинейного осциллятора.

В результате применения приближенных аналитических методов, получено гармоническое приближение нелинейного осциллятора, описывающего кольцо вязкой жидкости. В результате получены приближенные формулы для частоты колебаний и логарифмического декремента затухания колебаний, которые согласуются с численным экспериментом с точностью до 10%.

Проведено комплексное исследование динамики кольца вязкой жидкости, с применением современных технологий математического моделирования и вычислительного эксперимента. Получены аналитические формулы для поиска координат стационарного состояния динамической системы, с точностью до 1%. Обнаружены эффекты, появляющиеся в неклассической модели гидродинамики жидкого кольца. В рамках исследуемой математической модели обнаружены колебания кольца жидкости, проведена классификация колебаний.

Численные методы: для решения задачи о динамике кольца жидкости и теплопереноса в нем, впервые были применены эффективные численные методы, которые были протестированы на

известных частных аналитических решениях. Проанализирована устойчивость реализованных численных методов.

Комплексы программ: Разработаны взаимосвязанные проблемно-ориентированные программные пакеты «Ring vl.l» и «Ring vl.2», в которых реализованы эффективные численные алгоритмы. Специально разработанное приложение «Makegraph», используемое для визуализации численных экспериментов, вместе с программными пакетами «Ring vl.l» и «Ring vl.2>>, образует комплекс программ для полного численного исследования.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обеспечивается использованием классических уравнений гидродинамики (при решении задачи в рамках классической модели), применением известных математических методов. Достоверность результатов численного моделирования проверена сравнением с известными частными аналитическими решениями как для поля скоростей, так и для поля температур. Установлено качественное совпадение полученных результатов, с экспериментальными результатами других исследователей.

Практическая ценность

Аналитические исследования и численные результаты, получаемые с помощью программного комплекса могут быть использованы при анализе результатов натурных и лабораторных исследований плоских колец жидкости.

Полученные и описанные закономерности движения кольца жидкости расширяют наши знания о поведении исследуемых объектов, например, таких как торнадо, тайфун, кольцевая галактика, вихревое кольцо.

Полученные формулы для инженерных расчетов позволяют получить в первом приближении характеристики плоского кольца, такие как частота и декремент затухания колебаний. Кроме того, параметры предельных стационарных состояний динамической системы могут быть вычислены с помощью точных аналитических выражения для поиска координат.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных конференциях: труды XIV молодежной научно-практической конференции «Наукоемкие информационные технологии» УГП имени А.К. Айламазяна, г. Переславль-Залесский, апрель 2010 г.; Третья региональная научно-практическая конференция «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT-решений», Тюмень, ТюмГУ, ИМиКН, 14-15 апреля 2010 г.; Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых «Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты», Пермь, Пермский Государственный Университет, 12 марта 2010 г.; XXIII международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях», Саратов, СГТУ, 22-25 июня 2010 г.; Всероссийская конференция «Нелинейные волны: Теория и новые приложения» посвященная памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и приуроченная к 65-летию со дня его рождения, Новосибирск, 2-4 марта 2011 г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе пять в издании из списка, рекомендованного ВАК РФ, получено 2 сертификата о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников, пяти приложений, содержит 45 иллюстраций и 4 таблицы. Общий объем диссертации составляет 157 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и практическая ценность темы исследования, описаны решаемые проблемы и цели исследования.

В первой главе приведена постановка задачи о движении кольца жидкости с двумя свободными границами, движущегося

по инерции. Проведен обзор существующих постановок задач о движении кольца жидкости. На основании обзора постановок задачи движении кольца жидкости (Пухначев В.В., Лаврентьева О.М., Бытев В.О.), поставлена модифицированная задача о движении кольца вязкой капиллярной жидкости, в рамках классической модели гидродинамики. В этой постановке предполагается произвольным закон изменения давления на внутренней и внешней границах.

Плоская задача о динамике кольца жидкости выглядит следующим образом:

дй , А _ 1

— + (м • У)и — гАи--У» = 0

дГ р

7й = 0

т1Г\,п1-тт2п1=2оН1п1

О)

Т1Т\ХП2-Т1Т\2П2=1оН2П2

4=0= "о

где V - оператор Гамильтона, й = {их,Ыу) - векторное поле

скоростей, I - время, р - плотность, р - давление А - оператор Лапласа, V - коэффициент кинематической вязкости, а -коэффициент поверхностного натяжения, - тензор напряжений жидкости на г -ой границе, ГЛ2 - тензор напряжений газа на

I -ой границе, Н1 - средняя кривизна на г -ой границе п. - вектор нормали на г -ой границе кольца, / = 1 ...2 .

Для описания динамики жидкости используется тензор напряжений характерный для классической стоксовой жидкости:

Т = -р1 + 2цй,

(2)

т =

(3)

где р - гидростатическое давление, / - единичный тензор. /и - динамическая вязкость, А = (¿Ц/сЦ + Зм ./йх )/2 г,7=1,2

- тензор скоростей деформации.

Тензор напряжений газа на границах имеет вид: (-p.it) 0 \

. 0 -р>М

где Т^ - тензор напряжений контактирующей с жидкостью среды на г -ой границе, рщ (/) - закон изменения давления газа на

г -ой границе, г = 1 ..2 .

Геометрическая часть постановки задачи (рис. 1): пусть г = г = /?2 (/) - положение соответственно внешней и

внутренней границ кольца.

Рис. 1. Геометрия кольца жидкости

Здесь Яю, й20 > О и Я10, /?2о ~~ положение свободных границ в нулевой момент времени.

Ход преобразований задачи (1) включал несколько этапов. Запись системы уравнений в полярной системе координат в предположении существования осевой симметрии

переход к новой переменной г/ на основании следующих соотношений:

^{t) = Ri1(t)lR101\ri = {r2 -R22(t))/R2ß2 = -£ + г2/Л202 (4)

Соотношения (4) приводят интервал значений безразмерной пространственной переменной г) к не изменяющемуся во времени отрезку [О,а], где а = /?20/7?220 - 1 , причем Г] = О соответствует положению внутренней границы кольца, а Г) = а - внешней.

Затем было проведено обезразмеривание времени и искомых функций по следующим формулам: r = vf/i?20, x¥ = urr/v, а) = uipR20lv^ + ij . В результате преобразований получаем:

dW, „ я а(Ф2-4Ф) ас 2j асдо) ,

-Infi +-)—^-~-L- o/dri- —dn =

dt Г £(a + |) J0 ' {dtj

= -6, (1/ Vf +1/ + ö2öpgaz;

^ = 2¥;§(0) = 1 (5) dt

da) 2Wa) „да) чд2со ч

дТ (q+t]) dt) dt)

да)

drj

= 0

7=0, а

где д2 = 2/?20р-^-2, д1 = 2R20kaov~1 р~1 - комбинации величин, в которых, ка - множитель, учитывающий наличие или отсутствие сил поверхностного натяжения, может принимать значения 1 или 0, ¿Р^ = р2г(0 — _ разность давлений между давлением

внутри полости и снаружи.

Задача (5), на текущий момент, не имеет общего аналитического решения, в связи с этим для ее решения был разработан

программный пакет «Ring vl.l», который был протестирован на единственном известном частном решении системы (5), найденном Бытевым В.О.

Кроме того, с помощью «Ring vl.l» были численно получены параметры теоретически предсказанных О.М Лаврентьевой и В.О. Бытевым режимов движения кольца жидкости, таких как: схлопывание кольца (изменение его топологии), неограниченное расширение кольца, и стационарный режим движения.

Показано, что в динамике кольцо совершает затухающие периодические колебания, которые в рамках данной модели были обнаружены впервые.

В главе сформулированы предпосылки постановки сквозной задачи о тепломассопереносе внутри кольца жидкости, заключающейся сначала в поиске поля скоростей, а затем в его использовании для поиска поля температур.

Вторая глава посвящена постановке сквозной задачи тепло-массопереноса. Помимо включения в рассмотрение нестационарного уравнения теплопроводности, приведено обобщение задачи (5), связанное с использованием определяющих соотношений свойственных неклассической модели гидродинамики, о которой идет речь в работах В.К. Андреева, Б.Д. Аннина, В.О. Бытева, В.В. Бублика, С.И. Сенашева. Тензор напряжений в этом случае имеет вид:

/и0 - недиссипативная динамическая вязкость.

Задача о динамике кольца жидкости с учетом (6), после преобразований, аналогичных описанным в первой главе, запишется в следующем виде:

Т = —pi + 2MD

(6)

где М =

матрица динамическои вязкости,

/ v афР-Wf) « 2j dx £(«+£) о

-4e(ft)(a,r)—co(0,r))=-<5,(l/^+<32 =4>0;

¿m

dx da)

= 2Ф; |(0) = 1;

(7)

а2ш

2*йо „to dr (s+rj) dr) dt]

da)

■W

=0; a)(t],0)=a)0(t]);

4=0,a

где v0=fi0/p - недиссипативная кинематическая вязкость, £ = v0/v - безразмерный параметр, согласно В.К. Андрееву, В.В. Бублику и В.О. Бытеву - мера несоосности девиатора тензора напряжений и девиатора тензора скоростей деформации.

В сравнении с классической моделью здесь появляется ряд слагаемых, но, как легко убедиться, при е = 0 получается постановка классической задачи.

В данной главе для неклассической постановки, в предположении адиабатического поведения газа внутри полости кольца

(p2g (т) = р20 / . Р20 ~ начальное давление на внутренней границе, у - показатель адиабаты), доказана теорема существования и единственности решения.

Кроме того, в главе поставлена задача о распределении тепла внутри кольца. В самом общем случае она имеет вид: ЭТ

Р С, — = ¿/v(*VT) + 2(м») ■DJ „„ = Т „;

dn

ir

= a1(f-T(0ir);^

= a2(f-T(i)2r)

(8)

2Г

где к - коэффициент теплопроводности, Ср - удельная теплоемкость, Т - искомая температура, «, а2 - коэффициенты поверхностного теплообмена. При а, & 0 получаются условия типа Неймана, при а1 -* °° - условия типа Дирихле. Компоненты тензора скоростей деформации И вычисляются после решении системы (7).

Показано, что прямое тензорное произведение 2(Ж)) • О = 2/иБ • Б . Таким образом, в конечном варианте записи задачи о распространении тепла недиссипативная вязкость отсутствует и её влияние осуществляется только косвенно, через поле скоростей. После перехода к безразмерным переменным и добавления начального и краевых условий для безразмерной температуры 0 получаем задачу:

9г "дг? Щ "{дп)' и' ' 0

60 Л \

37 >7=0.«

где Q(r,t) = T(r,t)/Tbaz - безразмерная температура, ТЬа2 -температура, используемая для обезразмеривания, А = pCpR^Tba2/А/и, B = 4kR%0Tbaz/4/i - комбинации величин, используемые для упрощения записи.

Для решения сквозной задачи был разработан программный пакет «Ring vl.2», который был протестирован на единственном известном частном аналитическом решении задачи (7), и на единственном известном частном решении нестационарного уравнения теплопроводности (9).

Третья глава содержит все основные результаты работы, которые были получены путем анализа системы уравнений поставленной задачи и численного моделирования задачи тепломассо-переноса.

Для численного моделирования динамики кольца жидкости использовался программный пакет «Ring vl.l». Написанный на его основе программный пакет «Ring vl.2» имеет более широкий функционал и позволяет проводить моделирование не только поля скоростей, но и поля температур. Результаты работы программ «Ring vl.l» и «Ring vl.2», обрабатывались с помощью программы «Makegraph», с целью получения наглядного графического представления.

б)

Рис. 2. Фазовый портрет для § (а) и зависимость ^(т ) (б)

В рамках данной работы, были обнаружены колебания кольца жидкости (рис. 2). Из рисунка 2(6) видно, что с течением времени амплитуда колебательного процесса уменьшается и как показано далее, в пределе, равна нулю. Рисунки 2(а) и 2(6) изменятся, если увеличить вязкость. В этом случае колебательный процесс будет затухать значительно быстрее.

Для выявления механизмов связанных с возникновением колебаний, рассматривалась система, в которой силы инерции и силы вязкости в потоке жидкости соизмеримы. Это связано с тем, что в рамках данной работы исследование проводилось с помощью численных методов, то есть на конечном интервале времени. На нем, при значительном преобладании сил инерции над силами вязкости (или наоборот), моделируемая динамическая система может не успеть совершить ни одного колебания. Для наблюдения колебаний понадобится очень большой интервал времени.

Отношением этих сил является число Рейнольдса: Яе = рмй/^, где р - плотность, к - это характерный размер системы, в котором происходит перераспределение жидкости (толщина кольца), и - характерная скорость, /г - динамическая вязкость.

Для сокращения времени счета, входные данные для численного моделирования подбирались таким образом, чтобы число Рейнольдса попадало в интервал 11е = 1..1000. Для этого были взяты следующие значения: использовались физические характеристики воды для кольца жидкости, которое находится в воздухе;

размеры кольца измеряются в сантиметрах - А = 10"2 м; начальная безразмерная угловая скорость <и0 = С0 - 3000, соответствует

реальной угловой скорости ир ~ 10~2 м/сек. (при этом в начальный момент времени предполагается вращение кольца как жесткого целого); начальная безразмерная радиальная скорость ЧЧО) ~ 10, соответствует реальной скорости иг ~ 10~2 м/сек.

Результаты, полученные в рамках классической модели гидродинамики (с = 0). Были выявлены основные факторы, влияющие на возникновение периодического движения: начальное вращение, сила поверхностного натяжения и переменное давление. Данные факторы были разделены на две группы:

♦ силы, направленные от центра кольца: положительное адиабатическое давление внутри полости р2, эффекты связанные с начальным вращением кольца а)0;

♦ силы, направленные в центр кольца: положительное давление вне полости р1 и эффекты связанные с наличием сил поверхностного натяжения а.

На основании комбинации этих факторов можно ввести следующую классификацию колебаний по причинам их возникновения (см. табл. 1, галочками отмечено наличие соответствующих факторов).

Классификация колебаний

Таблица 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Л у V ✓ V ✓

Рг ✓ ✓ ✓ У ✓

О ✓ V ✓ ✓ ✓

<У0 ✓ ✓ ✓ ✓

Отметим, что возникновение колебаний является физически ожидаемым результатом.

Периодический характер движения наблюдался у всех функций описывающих состояние изучаемой динамической системы (7) (9). Более того, численное моделирование показало, что период колебаний функций Ф, отвечающих за состояние системы одинаков. В связи с этим, анализ периодического режима движения проводился на основе функции £(т), которая связана с описанием размеров кольца, и, на взгляд автора, является наиболее иллюстративной.

Анализ динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений (7), показал, что у этой системы существует особая точка типа фокус, с координатами

(ф = 0,£ = £,,а) = С0(а + 2)Да + 2£,)), причем £» является решением следующего нелинейного уравнения:

4,, ' + ' (10)

VI. Vй + д1(а + 2£,)

В результате сравнения найденного на основе (10), и стационарного значения, найденного на основе численного моделирования при одних и тех же входных параметрах, было установлено, что они согласуются с погрешностью в 1%. Это означает, что стационарное состояние динамической системы можно находить по формулам (10) и еще раз подтверждает достоверность результатов численного моделирования.

В предположении, отсутствия вращений динамическая система (7) сводится к системе вида:

1 Цч"-4Чр 1 1 д„

(И)

—=24*

с1т

Если свести (11) к одному уравнению, то получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, относительно искомой функции £:

Г 2 Ж'-8?) Л,1 . 1 Л . , . , „ „„ч

*<12)

Из рис. 2 видно, что колебания происходят с одинаковой частотой. Более детальное численное исследование показало, что частота колебаний, в начале процесса и вблизи стационарного состояния изменяется незначительно, что позволило получить приближенные формулы для характеристик колебательного процесса. Для этого был проведен анализ уравнения (12) вблизи стационарного состояния, где величина (скорость изменения £) близка к нулю и она много меньше величины Кроме того, квадратом величины можно пренебрегать по сравнению с величиной . Пользуясь этим и разложением в ряд Тейлора в окрестности , можно преобразовать уравнение (12) к линейному дифференциальному уравнению колебаний при наличии сопротивления и без труда получить формулы для частоты колебаний и логарифмического декремента затухания.

В связи со сказанным полученные приближенные формулы распространяется не только на колебания в окрестности , но и на колебания в начале процесса.

Полученные формулы приведены в табл. 2.

Таблица 2

Приближенные формулы для инженерных расчетов

Описание Формула

Частота колебаний безразмерного внутреннего радиуса со§ 1 4о 4 СС\У a,e=J D3 (-"A+«2A)+D2 ty(t «2(Ао Д<$))> V № ¡botes s, где a, =l/ln(l + a/£,), a2=a/g/\n(\ + a/£,), в - 1 i 1 j? - 1 i 1

Логарифмический декремент затухания колебаний безразмерного внутреннего радиуса д^ _ 2nd( ^ 2 va 1 f" a>t ,ГДС {~lnfl +

В частности, из формулы для частоты колебаний следует, что частота колебаний, в первом приближении, не зависит от коэффициента кинематической вязкости (v), а ее величина прямо пропорциональна Я , обратно пропорциональна Jp и , кроме

того, она сложным образом зависит от безразмерной ширины кольца а .

Логарифмический декремент затухания оказался прямо пропорционален коэффициенту кинематической вязкости v и обратно пропорционален В^.

Справедливость приближенных формул была проверена результатами численного моделирования. Например, величина частоты колебаний полученная по формуле, согласуется с найденной, с помощью программного пакета «Ring vl.2», с точностью порядка 10 %, что подтверждает верность выбранного подхода к получению приближенных формул.

На рис. 3, представленном ниже, приведено сопоставление результатов численных экспериментов с полученными аналитическими зависимостями (точками изображены значения частоты и декремента затухания, найденные с помощью численных экспериментов, линиями - аналитические зависимости из табл. 2).

0,55

Я

а) зависимость частоты от коэффициента поверхностного натяжения

Э.СГСЕ-02 Э.50Е-02 4.00Е-02 Р""1

4.50Е-02 5.00Е-02

б) зависимость частоты . от плотности

Л1" '

0 0.8

100 1 50 200 250 300 Э50

д.-»

в) зависимость частоты от начального г) зависимость логарифмического внутреннего радиуса декремента затухания от вязкости

Рис. 3. Зависимость частоты и декремента затухания колебаний от физических и геометрических характеристик динамической системы

Поведение остальных функций Ф(г),со (г, 7), описывающих

состояние динамической системы, подтверждает наличие аналогичных периодических зависимостей.

При анализе температурного поля было установлено, что монотонный рост температуры разбит по времени на характерные интервалы, равные периоду колебаний кольца.

Результаты, полученные в рамках неклассической модели гидродинамики (е#0). При исследовании влияния недиссипа-тивной вязкости на динамику кольца жидкости, было обнаруже-

но, что новая вязкость усиливает действие обычной диссипатив-ной вязкости, при этом знак £ не имеет значения.

При моделировании поведения объекта в осесимметричном случае в отсутствии начальных вращений при е^О, был обнаружен эффект появления вращения кольца, причем направление вращения напрямую зависело от знака е .

При исследовании вопросов влияния параметра е на распределение поля температур была обнаружена квадратичная зависимость тепла, выделенного за один период колебаний, от е .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В заключении дан обзор основных результатов, полученных в рамках данной диссертационной работы. К ним относятся:

Новый метод математического моделирования динамики кольца вязкой жидкости со свободными границами, заключающийся в том, что уравнения гидродинамики используемые в качестве математической модели этого объекта преобразованы к уравнению нелинейного осциллятора.

Приближенные формулы для инженерных расчетов, для частоты колебаний, логарифмического декремента затухания колебаний и для поиска координат стационарного состояния динамической системы. Полученные формулы согласуются с численным экспериментом с точностью от 1% до 10%.

Анализ механизмов возникновения и классификация колебаний жидкого кольца.

Описание эффектов, появляющихся в неклассической модели гидродинамики жидкого кольца.

Разработанные и протестированные численные методы, которые впервые применялись для решения задачи о движений плоского кольца вязкой жидкости

Разработанные проблемно-ориентированные программные пакеты «Ring vl.l» и «Ring vl.2». Созданный комплекс программ, включающий в себя программные пакеты «Ring vl.l» и «Ring vl.2», а так же дополнительные программные модули и приложение «Makegraph».

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основное содержание диссертационной работы опубликовано

в 14 статьях. Пять из них опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

1. Бытев В.О., Гербер Е.А., О восстановлении точного решения и о распространении температуры в жидком кольце // Современные проблемы математического и информационного моделирования решений. Перспективы разработки и внедрения инновационных 1Т. -Тюмень: Издательство «Вектор Бук», 2009. - С. 25-31.

2. Бытев В.О., Гербер Е.А. Динамика кольца двухвязкостной жидкости // Вестник Самарского государственного университета. 2010/4 (78). -С. 21-27.

3. Бытев В.О., Гербер Е.А. Об одной задаче с двумя свободными границами // Современные проблемы в математике и их прикладные аспекты. - 2010. Пермь, 2010. - С. 100.

4. Бытев В.О., Гербер Е.А. Влияние недиссипативной вязкости на динамику жидкого кольца // Математические Методы в Технике и Технологиях - ММТТ- 23. - Саратов: Изд-во СГТУ, 2010. - С. 96-99.

5. Бытев В.О., Гербер Е.А. Численное моделирование динамики жидкого кольца // XIV Молодежная научная конференция «Наукоемкие информационные технологии». Переславль-Залесский: Изд-во «Университет города Переславля», 2010. - С. 109-115.

6. Бытев В.О., Гербер Е.А. Изучение поведения кольца несжимаемой жидкости путем численного моделирования // Современные проблемы математического и информационного моделирования решений. Перспективы разработки и внедрения инновационных ГГ. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 2010. - С. 68-73.

7. Гербер Е.А., Кутрунов В.Н., О механизме и закономерностях периодических движений кольца капиллярной жидкости // Вестник Тюм-ГУ. Тюмень. 2011. №7. С. 136-142.

8. Гербер Е.А., Кутрунов В.Н., О движении кольца вязкой несжимаемой капиллярной жидкости // Научно-технический вестник Поволжья. № 1. 2011. - Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2011.-С. 105-109.

9. Бытев В.О., Гербер Е.А. Численный эксперимент по определению температуры внутри вращающегося по инерции жидкого кольца со свободными границами // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 1. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - С. 103-112.

10. Бытев В.О., Гербер Е.А. Распределение температуры внутри кольца неклассической жидкости с двумя свободными границами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. Вып. 3. Ч. 2. С. 81-86.

11. Гербер Е.А., Кутрунов В.Н Периодическое движение жидкого кольца // Математические Методы в Технике и Технологиях - ММТТ- 24. - Саратов: Изд-во СГТУ, 2011. - С. 126-128.

12. Гербер Е.А., Кутрунов В.Н., Движение кольца вязкой капиллярной жидкости // Всероссийская конференция Нелинейные волны: теория и новые приложения, посвященная памяти чл.корр. РАН В.М. Тешу-кова и приуроченная к 65 летаю со дня его рождения. Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во ИГиЛ СО РАН, 2011. - С. 23-24.

13.Бытев В.О., Гербер Е.А. «Ring vl.l» // Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010614880.

14. Гербер Е.А., Кутрунов В.Н. «Ring vl.2» // Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ №2011613120.

Подписано в печать 09.11.2011. Тираж 100 экз. Объем 1,0 уч.-изд. л. Формат 60x84/16. Заказ 803.

Издательство Тюменского государственного университета 625003, г. Тюмень, ул. Семакова, 10. Тел./факс (3452) 45-56-60; 46-27-32 E-mail: izdatelstvo@utmn.ru

Введение.

1. Классические методы исследования движения кольца со свободными границами.

1.1 Основная система уравнений гидродинамики.

1.2 Уравнения Навье-Стокса для областей жидкости со свободной границей.

1.3 Задача об инерционном движении кольца вязкой капиллярной жидкости, в постановке В.В. Пухначева, и некоторые её модификации.

1.4 Постановка задачи об инерционном движении кольца вязкой капиллярной жидкости с учетом сил давления.

1.5 Методы решения уравнений Навье-Стокса для кольца жидкости.

1.5.1 Ограничения на основные параметры задачи о движении кольца жидкости.

1.5.2 Иллюстрация возможностей и тестирование авторского пакета «Ring v 1.1».

1.6 Предпосылки постановки сквозной задачи тепломассопереноса внутри кольца жидкости.

2. Постановка задачи о распределении тепла в кольце жидкости с учетом его динамики.

2.10 необходимости перехода к исследованию движения кольца жидкости с введением дополнительной недиссипативной вязкости.

2.2 Постановка В.О. Бытева.

2.3 Постановка Гербера-Бытева.

2.4 Априорные оценки. Теорема о существовании и единственности решения.

2.5 Тестирование программы решения модифицированных уравнений Навье-Стокса на аналитическом решении В.О. Бытева.

2.6 Тестирование программы «Ш

§ у 1.2» на частном аналитическом решении сквозной задачи тепломассопереноса для кольца жидкости.

3. Численные решения задачи о движении вязкой капиллярной жидкости и описание основных результатов.

3.1 Описание основных параметров и функций модифицированных уравнений Навье-Стокса.

3.2 Описание колебательного режима движения.

3.3 Классификация колебаний по причинам их возникновения.

3.4 Влияние размеров кольца и физических характеристик жидкости на частоту колебаний системы.

3.5 Исследование характера периодических движений кольца.

3.6. О распределении поля температур внутри кольца жидкости.

3.7 О влиянии недиссипативной вязкости на процессы происходящие в кольце жидкости.

3.7.1 О влиянии на динамику кольца жидкости.

3.7.2. О влиянии недиссипативной вязкости на поле температур.

Актуальность работы. В данной работе рассматривается задача о движении плоского кольца вязкой капиллярной жидкости и о влиянии динамических параметров этого процесса на поле температур. Аналогами изучаемого объекта при ряде ограничений могут быть срезы вихревых колец, которые, в свою очередь, являются одной из самых распространенных форм вихрей. Например, они появляются при истечении воды или газа из сопла, или в турбулентном слое при обтекании газом крыла самолета (см. приложения 1 и 2). Таким образом, знание закономерностей поведения вихревых колец необходимо во многих областях знаний, и, как очень верно заметили Karim Shariff и Anthony Leonard в своей статье «Vortex Rings»: «Для того, что бы заинтересовать инженера в изучении вихревых колец достаточно сказать, что пустотные кольца используются в подводном бурении [80], а так же то, что с помощью них имеется потенциальная возможность тушения пожаров нефтяных скважшг [75].»[103]. Интересен так же тот факт, что дельфины надувают вихревые кольца и плавают через них ради своего развлечения [94]. j

Помимо этого существует ряд объектов, которые в срезе образуют кольца. Например, кольца на льде озера Байкал, образовавшиеся в результате вихря поднявшегося со дна озера [71], торнадо [8][9]. Более того, если перейти к макромасштабам, то окажется, что форму колец имеют оклозвездные диски- [64], планетарные образования [97], некоторые галактики, которые принято называть кольцевыми (см. приложение 3). И при наличии ряда ограничений их динамику также можно моделировать, используя математические модели, рассматриваемые в данной работе.

В связи с тем, что все вышеописанные объекты, как правило, обладают двумя свободными границами, осевой симметрией и, кроме того, могут изменять свою топологию, то для описания их поведения в данной работе используется адекватная математическая модель, построенная с учетом осевой симметрии. Ранее задачей связанной с отысканием поля скоростей кольца жидкости занимались В.О. Бытев [15], В.В. Пухначев [55][58], О.М. Лаврентьева [44][45], более подробно их работы будут рассмотрены в первой главе.

Целый ряд исследователей, считает, что для адекватного описания поведения жидкости необходимо использовать нессиметричный тензор напряжений [73]. При этом жидкость остается изотропной, но, наряду, со сдвиговой' вязкостью и вязкостью объемного расширения, появляется ещё один параметр, который авторы трактуют как вращательная вязкость. Похожие результаты получены Листровым А.Т. в своей работе [92], посвященной построению» модели- вязкой жидкости с антисимметричным тензором напряжений.

В работах В.О: Бытева, БьД. Аннина, С.И. Сенашова, В.К. Андреева, В.В. Бублика [4][6][77], на основе теории групп была' предложена новая форма связи тензора напряжений и тензора скоростей деформации. В этой новой зависимости вместо обычной динамической! вязкости появляется кососимметричная матрица вязкости. Как будет показано в третьей главе, в задаче о движении кольца с радиальным и осесимметричным воздействием давления на границах возникает тангенциальная составляющая в скорости движения частиц, в том числе и- на границах. Похожие эффекты имеют место в неклассической теории упругости, разрабатываемой И.В. Слезко, В.О. Бытевым [23], что приводит к дискуссиям по поводу справедливости данных неклассических теорий.

Ещё одно понятие дополнительной вязкости широко используется для описания магнитных жидкостей [87]. В работе Carlos Rinaldi [98] изучается приложение антисимметричного тензора напряжений для описания поведения магнитной жидкости, и наблюдаются эффекты, связанные с дополнительной вязкостью в переменных и вращающихся магнитных полях. Отметим, что авторы называют дополнительную вязкость вращательной. 5

Таким образом, многим авторам наличия одной вязкости кажется недостаточным, они вводят свои различные, дополнительные вязкости, но не предлагают механизма их измерения. В связи с этим, встает вопрос об описании эффектов которые возникают при различных значениях новой вязкости.

Отметим также тот факт, что при изучении кольца жидкости рассматривалась задача только динамики движения, но не о распределении поля температур. Совершенно очевидно, что в результате вязкого трения температура кольца будет повышаться и, соответственно, встает вопрос о распределении поля температур внутри кольца жидкости, который, безусловно, является актуальным.

Целью данной работы является аналитическое и численное исследование динамики кольца жидкости и процессов теплопереноса в нем. Анализ влияния < физических и геометрических характеристик кольца, на его динамику. Поиск эффектов появляющихся в рамках неклассической модели. Реализация^ соответствующих алгоритмов в виде программного комплекса:

В связи с тем, что исследование поведения рассматриваемого объекта интересно при различных начальных возмущениях, а аналитическое решение отсутствует, то возникает необходимость использования численных методов для поиска решения. Таким образом, в рамках данной работы впервые, с помощью численных методов, была решена задача о движении кольца жидкости (с помощью авторского' программного пакета «Ring vl.l») и о распределении поля температур внутри кольца жидкости (с помощью программного пакета «Ring vl.2»). В результате численного моделирования поведения кольца классической жидкости были установлены некоторые новые эффекты.

Первая глава является обзорной и обобщающей, в ней содержится необходимая теоретическая информация, представлена техника получения математической модели, описывающей поведение кольца жидкости, обладающего двумя свободными границами. Поставлена обобщенная задача 6 о движении кольца жидкости. Суть обобщения заключается в возможности задания произвольного давления на внутренней и внешней границах кольца жидкости. Помимо этого, описаны ограничения, накладываемые на основные параметры рассматриваемой задачи. Проиллюстрированы возможности авторского пакета «Ring vl.l», на примере одного известного частного решения рассматриваемой задачи. Приведены предпосылки постановки сквозной задачи тепломассопереноса

Вторая глава посвящена постановке сквозной задачи тепломассопереноса, заключающейся в поиске сначала поля скоростей, а затем поля температур. В данной главе описаны причины рассмотрения задачи о динамике кольца с учетом недиссипативной вязкости и показано, что неклассическая модель гидродинамики является обобщением классической модели. Сквозная задача тепломассопереноса поставлена в рамках неклассической модели. Доказана теорема существования и единственности решениям для неклассической задачи о движении кольца жидкости, при условии адиабатического закона изменения газа внутри полости кольца. Решение сквозной задачи основано на применении численных методов, и осуществляется с помощью программного пакета «Ring vl.2». В параграфах 2.5-2.6 приведены результаты тестирования данного пакета на известных частных аналитических решениях задачи о динамике кольца и сквозной задачи.

Третья глава содержит все основные результаты, полученные в рамках данной работы. В результате серий численных расчетов, в рамках классической* модели, были обнаружены затухающие периодические колебания кольца жидкости. Отметим, что этот результат численного эксперимента, качественно совпадает с результатами других исследователей [40], в работе которых изучались колебания вихревых колец. В связи с этим поставленная задача о движении кольца жидкости, в дальнейшем рассматривалась, как задача о поведении динамической системы. В данной главе показано, что данная динамическая система имеет фокус. Помимо 7 этого представлена классификация колебаний, по причинам их возникновения. Проанализировано влияние размеров кольца и физических характеристик жидкости на частоту колебаний. Обнаружены некоторые общие закономерности связанные с влиянием поля скоростей на поле температур кольца жидкости. Параграф 3.7 целиком посвящен неклассической модели гидродинамики и тем эффектам, которые появляются в результате рассмотрения задачи с учетом новой вязкости.

Результаты численных расчетов проводимых, с использованием программных пакетов «Ring vl.l» и «Ring vl.2», визуализировались с помощью специально разработанных для них модулей, а также с помощью приложения «Makegraph».

В приложениях №1 и №2 приведены эксперименты, при которых встречается кольцо жидкости или кольцо газа. В приложении №3 приведены несколько фотографий известных кольцевых галактик. Приложения №4 и №5 содержат описание алгоритмов решения системы уравнений Навье-Стокса и уравнения теплопроводности, основанных на использовании разностных схем, и реализованных в программных пакетах «Ring vl.l» и «Ring vl.2>>.

Заключение

В рамках данной диссертационной работы был получен ряд новых результатов. К ним относятся:

Новый метод математического моделирования динамики кольца вязкой жидкости со свободными границами, заключающийся в том, что уравнения гидродинамики используемые в качестве математической модели этого объекта преобразованы к уравнению нелинейного осциллятора.

Приближенные формулы для инженерных расчетов, для частоты колебаний, логарифмического декремента затухания колебаний и для поиска координат стационарного состояния динамической системы. Полученные формулы согласуются с численным экспериментом с точностью от 1% до 10%.

Анализ механизмов возникновения и классификация колебаний жидкого кольца.

Описание эффектов, появляющихся в неклассической модели гидродинамики жидкого кольца.

Разработанные и протестированные численные методы, которые впервые применялись для решения задачи о движений плоского кольца вязкой жидкости

Разработанные проблемно-ориентированные программные пакеты «Ring vl.l» и «Ring vl.2». Созданный комплекс программ, включающий в себя программные пакеты «Ring vl.l» и «Ring vl.2>>, а так же дополнительные программные модули и приложение «Makegraph».

Благодарность

Автор данной диссертационной работы с глубоким почтением вспоминает своего первого научного руководителя В.О. Бытева, поставившего задачу об исследовании движения кольца жидкости в рамках разрабатываемой им неклассической модели гидродинамики.

Список трудов автора

Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ

1. Бытев В.О., Гербер Е.А. Динамика кольца двухвязкостной жидкости // Вестник Самарского государственного университета 2010 / 4 (78) - с.115-123

2. Гербер Е.А., Кутрунов В.Н., О механизме и закономерностях периодических движений кольца капиллярной жидкости // Вестник, ТюмГУ. Тюмень. 2011. №7. с. 136-142

3. Гербер Е.А., Кутрунов В.Н., • О движении кольца вязкой несжимаемой капиллярной жидкости // Научно-технический вестник Поволжья №1 2011 — Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2011 — с. 105-109

4. Бытев В.О., Гербер Е.А. Распределение температуры внутри кольца неклассической жидкости с двумя свободными границами // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11., вып. 3, 4.2. С. 81-86.

5. Бытев В.О., Гербер Е.А. Численный эксперимент по определению температуры внутри вращающегося по инерции жидкого кольца со свободными границами // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2011 Вып. 1 - Тула: изд-во ТулГУ, 2011 - с. 103-112

Публикации в других изданиях

6. Бытев В.О., Гербер Е.А., О восстановлении точного решения и о распространении температуры в жидком кольце // Современные проблемы математического и информационного моделирования решений. Перспективы разработки и внедрения инновационных 1Т - Тюмень: Издательство «Вектор Бук», 2009. 117с.

7. Бытев В.О., Гербер Е.А. Об одной задаче с двумя свободными границами // Современные проблемы в математике и их прикладные аспекты -2010. Пермь 2010-с. 100

8. Бытев В.О., Гербер Е.А. Влияние недиссипативной вязкости на динамику жидкого кольца // Математические Методы в Технике и Технологиях - ММТТ- 23 - Саратов, изд-во СГТУ 2010 - с 96-99

9. Бытев В.О., Гербер Е.А. Численное моделирование динамики жидкого кольца // XIV Молодежная научная конференция «Наукоемкие информационные технологии». Переславль-Залесский: изд-во «Университет горда Переславля», 2010 - с. 109-115

10i Бытев, В.О., Гербер Е.А. Изучение поведения кольца несжимаемой жидкости путем численного моделирования // Современные проблемы математического и информационного моделирования решений. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT. Тюмень: изд-во «Вектор Бук», 2010-с. 68-73

11. Гербер Е.А., Кутрунов В.Н., Движение кольца вязкой капиллярной жидкости // Всероссийская конференция'Нелинейные волны: теория и новые приложения, посвященная памяти чл.корр. РАН В.М. Тешукова и приуроченная к 65 летию со дня его рождения. Тезисы докладов. Новосибирск. Изд-во ИГиЛ СО PAHJ2011 - с. 22-23

12. Гербер Е.А., Кутрунов (В. Н Периодическое движение жидкого кольца // Математические Методы в Технике и Технологиях - ММТТ- 24 — Саратов, изд-во СГТУ 2011 - с 1-26-128

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ

13. Бытев В.О., Гербер Е.А. «Ring vl.l» // Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ №2010614880

14. Гербер Е.А., Кутрунов В.Н. «Ring vi.2» // Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ №2011613120

1. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П., Методы решения задач математической физики / под ред. Г.И. Марчука: Учеб. Пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 - 320 с.

2. Андерсон Д., Таннехилл Дж. Плетчер Р., Вычислительная гидромеханика и теплообмен / в 2-х т. Т.1: пер. с англ. М.: Мир, 1990-384 с.

3. Андерсон Д., Таннехилл Дж. Плетчер Р., Вычислительная гидромеханика и теплообмен / в 2-х т. Т.2: пер. с англ. М.: Мир, 1990-384 с.

4. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О., Симметрии неклассических моделей гидродинамики Новосибирск.: Наука, 2003. - 352 с.

5. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Применение теоретико групповых методов в гидродинамике / Родионов A.A./Новосибирск: Наука, 1994 320 с.

6. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности Новосибирск.: Наука, 1985 - 142 с.

7. Бабичев А. П., Бабушкина H.A., Братковский А. М., Физические величины / Справочник, изд-во "Энергоатомиздат", 1991 1232 с.

8. Баутин С.П., Торнадо и сила Кориолиса Новосибирск.: Наука, 2008 - 96 с.

9. Бельмецев Н.Ф., Бытев В.О., Распростронение тепла в кольце жидкости. Точные решения. // Математическое и информационное моделирование вып. 11. Тюмень: изд-во "Вектор Бук 2009 с.34-42

10. Беляев Н.М., Рядно A.A., Методы теории теплопроводности / Учеб. Пособие для вузов в 2-х частях. 4.1 М.: Высш. Школа, 1982.-327 с.

11. Беляев Н.М., Рядно A.A., Методы теории теплопроводности / Учеб. Пособие для-вузов в 2-х частях. 4.2 М.: Высш. Школа, 1982.-327 с.

12. Биркгоф Г., Гидродинамика / пер. с англ., под ред. Гуревича М.И., СмирноваВ.А., М.: 1963 245 с.

13. Буч Г., Максимчук Р., Энгл М., Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений / Бобби Дж. Янг, Джим Коналлен, Келли А. Хьюстон / пер. с англ. Клюшин Д. М.: издв-во Вильяме, 2010 720 с.

14. Бытев В.О. Неустановившееся движение кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей. // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1970, №3, с.82-88

15. Бытев В.О., Гербер Е.А. Влияние недиссипативной вязкости на динамику жидкого кольца // Математические Методы в Технике и Технологиях ММТТ- 23 - Саратов, изд-во СГТУ 2010-е 9699

16. Бытев В.О., Гербер Е.А. Динамика кольца двухвязкостной жидкости // Вестник Самарского государственного университета 2010/4 (78) с. 115-123

17. Бытев В.О., Гербер Е.А. Изучение поведения кольца несжимаемой жидкости путем численного моделирования //129

18. Современные проблемы математического и информационного моделирования решений. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT. Тюмень: изд-во «Вектор Бук», 2010 с. 6873

19. Бытев В.О., Гербер Е.А. Об одной задаче с двумя свободными границами // Современные проблемы в математике и их прикладные аспекты 2010. Пермь 2010 - с. 100

20. Бытев В.О., Гербер Е.А. Численное моделирование динамики жидкого кольца // XIV Молодежная научная конференция «Наукоемкие информационные технологии». Переславль-Залесский: изд-во «Университет горда Переславля», 2010 с. 109-115

21. Бытев В.О., Слезко И.В., Решение задач ассиметричной упругости / Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. №6(65), 2008 с. 238-243

22. Вабищевич П.Н., Самарский A.A., Численные методы решения задач конвекции-диффузии / 4-е издание, М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009 248 с.

23. Валландер С.В., Лкции по гидроаэромеханике / Учеб. посообие. JI., Изд-во Ленингр. ун-та, 1978 296 с.

24. Вержбицкий В.М., Основы численных методов / Учебик дял вузов. 2-е изд., перераб. - Высш. шк., 2005. - 840 с.

25. Дорофеев С.М., О законе сохранения энергии в асимметричной теории упругости // Вестник ТюмГУ №6(2009) Тюмень. Изд-во ТГУ.: 2009-с 167-169

26. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Основы механики вязкоупругой микрополярной жидкости Ростов-на-Дону: изд-во ЮНЦ РАН, 2009 - 128 с.

27. Зайцев В.Ф., Введение в современный!групповой анализ / учеб. Пособие, Санкт-Петербург, 1996 39 с.

28. Ибрагимов Н;Х., Азбука группового анализа // Новое в жизни науке, технике. Сер. "Математика и кибернетика" № 8, изд-во "Знание", М.: 1989-44 с.

29. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды / изд-во Московского университета 1971. 248 с.

30. Иродова И.П1, Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа / Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. Ярославль, 2010 - 119 с.

31. Канер С., Фолк Д., Нгуен Е., Тестирование программного обеспечения / 2-е издание, пер. с англ., К.: Изд-во "ДиаСофт", 2001 544 с.

32. Кармен Т., Лайзерсон Ч., Ривест Р., Алгоритмы: построение и анализ / Штайн К., 2-е изд., пер. с англ. к.т.н. Красикова И.В., Орехова H.A., Романова В.Н., М.:издательский дом Вильяме, 2005 1296 с.

33. Кенту М. Delphi 7: Для профессионалов. Спб.:Питер, 2005 -1101 с.

34. Кикоин И., Таблицы физических величин. / Справочник, изд-во "Атомиздат", 1976 1008 с.

35. Кнут Д., Искусство программирования / т. 1-3, Зе издание.: пер с англ. М.: Издательский дом "Вильяме", 2004

36. Копьев В.Ф., Чернышев С.А., Колебания вихревого кольца, возникновение в нем турбулентности и генерация звука / Успехи физических наук. Том 170, №7. 2000 с. 714-740

37. Кочин Н.Е., Векторное исчисление и начала тензорного анализа / 9-е изд., М.: Изд-во "Наука", 1965 427 с.

38. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 1. / 6-е изд., перераб и дополн. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 584 с.

39. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 2. / 6-е изд., перераб и дополн. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 728 с.

40. Лаврентьева О.М. Движение вращающегося кольца вязкой капиллярной жидкости.- М., 1984, 51 с. Деп в ИГ СО АН СССР 19.11.84., №7562

41. Лаврентьева О.М., Неустановившееся движение вращающегося кольца вязкой капиллярной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1978 вып. 31, с. 52-60

42. Лаврентьева О.М., Предельные режимы движения вращающегося вязкого кольца // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980 вып. 4, с. 15-34

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Гидродинамика, Физматлит, 2007

44. Макконелл С., Совершенный код. Мастер-класс / пер. с англ. -М. : издательско-торговый дом "Русская Редакция"; Спб.: Питер, 2005 896 с.

45. Марчук Г.И., Методы вычислительной математики / Учеб. Пособие. 3-е изд., перераб. И доп. - М.:Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1989 - 608 с.

46. Механика сплошных сред в задачах. / Галин Г.Я., Голубятников* А.Н., Ка-менярж Я.А. и др. Под ред. Эглит М.Э. Том 1 : Теория и задачи 395 е., Том 2: Ответы и решения- 396 с. -М.: Московский лицей, 1996

47. Никулин Е.А., Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 576 с.

48. Овсянников Л.В., Введение в механику сплошных сред -Новосибирск.: Наука, 1976 70 с.

49. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений М.: Наука, 1978 - 400с.

50. Пономарев C.B., Мищенко C.B., Дивин А.Г., Теоретические и практические аспекты теплофизических измерений: Монография. В 2 кн. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2006. Кн. 2. 216 с.

51. Пухначев В. В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично инвариантнымирешениями уравнений Навье Стокса // Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1972. Вып. 10. - С. 125-137.;

52. Пухначев В. В., Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики, № 6, 2006 с. 3-76

53. Пухначев В.В. Движение вязкой жидкости со свободными границами / Учеб. Пособие Новосиб.: Ун-т. Новосибирск, 1986 - 86 с.

54. Пухначев В.В., Квазистационарное приближение в задаче о вращающемся кольце. // Сибирский математический журнал, Май-июнь, 2002, том 43, № 3, с.652-677

55. Рудаков A.B. Технология разработки программных продуктов / 2-е издание М.: Изджательский центр "Академия", 2006 208 с.

56. Рябин Г.А., Справочник физических величин / Под редакцией Г. А. Рябинина, изд-во Лениздат, Союз, 2001 160 с.

57. Самарский A.A., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений / М.: Гл. ред. Физ.-мат. Лит. Изд-ва "Наука", 1979 -590с.

58. Самарский A.A., Попов Ю.П., Разностные методы решения задач газовой динамики / изд. 2-е, перераб. И доп. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 -352 с.

59. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том II / Главная редакция физ.мат. литературы, изд-во "Наука 1973. 584 с.

60. Стивене P., Delphi. Готовые алгоритмы / пер. с англ. Мерещука П.А. 2-е изд., М.: ДМК Пресс; Спб.: Питер, 2004 - 384 с.

61. Стрелков С.П., Введение в теорию колебаний / М., 1964 г. 440 с.

62. Тамре Л., Введение в тестирование программного обеспечения / пер. с англ. М.: изд-во "Вильяме", 2003 368 с.

63. Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред М.: изд-во "МИР", 1972 - 592 с.

64. Фараонов В.В., Delphi Программирование на языке высокого уровня: Учебник для вузов / Спб.: Питер, 2003 640 с.

65. Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа / пер. с англ. М.: Мир, 1968 428 с.

66. Шень А., Программирование: теоремы и задачи / 2-е изд. испр. и доп. М.: МЦНМО, 2004 - 296 с.

67. Эванс Э., Предметно-ориентированное проектирование: структуризация сложных программных систем / Пер. с англ . -М.: 000 "И.Д. Вил ьямс", 2011. 448 с.

68. Aero E.L., Bulygin A.N., Kuvshinskii E.V., Asymmetrie hydromechanics // PMM vol. 29, #2, 1956 p. 297-308

69. Akhmetov, D. G. Extinguishing gas and oil well fires by means of vortex rings. // Combust. Explos. Shock Waves 1980. vol 16.

70. Brenner, H. (1984). Antisymmetric stresses induced by the rigid-body rotation of dipolar suspensions — Vortex flows // Int. J. Eng. Sei. 22 (6), 645—682.

71. Burnstein I., Practical Software Testing Springer-Verlag New York, Inc., 2003 - p. 709

72. Bytev V.O., The Simple Nonpolar Continuum Media. Part II. the Constitutive Equations. Linear Structures // Cornel University Library, archived article, URL: http://arxiv.org/abs/0906.1848 (дата обращения: 10.06.2009)

73. Calugaru, G. H., C. Cotae, R. Badescu, V. Badescu, and E. Luca (1976). A new aspect of the movement of ferrofluids in a rotating magnetic field // Rev. Roum. Phys. 21, 439—440.

74. Chahine, G. L., Genoux, P. F. Collapse of a cavitating vortex ring // J.Fluids Eny. 1983. vol 105:400-5

75. Chapman, S. and T. G. Cowling (1951). Mathematical Theory of Non-Uniform Gases (Second ed.) Cambridge, UK: Cambridge University Press.

76. Condiff, D. W. and J. S. Dahler (1964). Fluid mechanical aspects of antisymmetric stress /Л Phys. Fluids 7 (6), 842—854.

77. Dahler J. S.,Scriven L. E., Angular momentum of continua // Nature 192(4797), 1961 p. 36—37.

78. Drazer, G., Koplik, J.,' Khusid, B. & Acrivos, A. 2004 Fluid mechanical aspects of antisymmetric stress. Microstructure and velocity fluctuations in sheared suspensions. // J. Fluid Mech. 511, 237-263.

79. Earle S. A., Giddings A. Life springs from death in Truk lagoon // Natl Geoy. Mag. 149. 1976 pp. 578-603.

80. Ericksen, J. L. (1960). Anisotropic fluids // Arch. Ration. Mech. Anal. 4, 231—237.87: Felderhof, B. U. (2001b). Reply to "Comment on 'Magnetoviscosity and relaxation in ferrofluids' " // Phys. Rev. E 6406 (6).

81. Feng S., Graham A.L., Abbot J.R., Antisymmetric stresses in suspension74 vortex viscosity and energy dissipation / Brenner H. // J. Fluid Mech vol. 563 2006 p. 97-122

82. Henjes, K. (1995). Maxwell's equations and vorticity: A note on the viscosity of magnetic fluids // J. Magn. Magn. Mater. 146, L236— L240.

83. Hubble Site. Picture Album: Galaxies URL: http://hubblesite.org/gallery/album/galaxy (дата обращения: 12.09.2011).

84. Kim S., Karrila S. J. Microhydrodynamics: Principles and Selected Applications. Butterworth-Heinemann. 1991

85. Lim T.T., On the breakdown of vortex rings from inclined nozzles // PHYSICS OF FLUIDS, VOLUME 10, NUMBER 7, 1998 pp. 1666-1671

86. Listrov A.T., Model of a viscous fluid with an antisymmetric stress tensor//PMM vol. 31, №1, 1967-p. 112-115

87. Lundgren T.S., Mansour N.N., Vortex ring bubbles // J.Fluid Mech., vol 224, 1991 pp. 177-196

88. Mohring, W. On vortex sound at low Mach Number. // J. Fluid Mech. 1978., vol 85:685 91

89. Moskowitz, R. and R. E. Rosensweig (1967). Nonmechanical torque driven flow in magnetic suspensions. // Appl. Phys. Lett. 11(301), 1967.t

90. Pedley T.J., The Torodial Bubble / J. Fluid Mech. 32 1968 97-112

91. Ravela S., Marshall J., Hill C., A realtime observatory for laboratory simulation of planetary flows // Exp. Fluid (2010) 48 p. 915-925

92. Rinaldi, C. & Zahn, M. 2002 Effects of spin viscosity on ferrofluid flow profiles in alternating and rotating magnetic fields. // Phys. Fluids 14, 2847-2870.

93. Rosensweig, R. E. (1987). Magnetic fluids. // Annu. Rev. Fluid Mech. 19, 437—463.

94. Rosensweig, R. E. (1995). On magnetorheology and electrorheology as states of unsymmetric stress // J. Rheol. 39 (1), 179—192.

95. Rosensweig, R. E. (1^96). "negative viscosity" in a magnetic fluid // Science 271 (5249), 614—615.

96. Shariff K., Leonard A., Vortex rings // Annu. Rev. Fluid Mech. 24 1992.- pp. 235-79

97. Shusser M., Weihs D., Compound drops as spherical shell vortices // Fluid Dyn. Res. 42 (2010) p 1-14

98. Troolin R., Longmire K., Volumetric velocity measurements of vortex rings from inclined exits // Exp. Fluid (2010) 48 p. 409-420

99. Van Dyke, Milton. An Album of Fluid Motion (10th ed.). Stanford: Parabolic Press. 1982 ISBN 0915760029