автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики управления экономическими процессами

На правах рукописи

ХАЦКЕВИЧ Владимир Львович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

Специальность 05.13.10 - Управление в социальных

и экономических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Воронеж - 2003

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете

Научный консультант Заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Фролов Вадим Николаевич

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук,

профессор Подвальный Семен Леонидович;

доктор технических наук,

профессор Бабкин Виктор Филиппович;

доктор технических наук,

профессор Квасницкий Виктор Николаевич

Ведущая организация Воронежский государственный

университет

Защита диссертации состоится «20» июня 2003 г. в 1300 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.03 Воронежского государственного технического университета по адресу: 394026 г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 20 » мая 2003 г.

Ученый секретарь //___ -

диссертационного совета ~ Родионов О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современные экономические условия характеризуются возрастанием масштабов и усложнением процессов управления на различных иерархических уровнях, повышением требований к качеству и эффективности управления. В связи с этим ощущается необходимость совершенствования методологии управления на базе исследования системных связей и закономерностей функционирования социально-экономических процессов. Одним из базовых элементов теоретических основ и методов теории управления и принятия решений в социально-экономических системах является разработка проблемно-ориентированного математического обеспечения. Использование математических моделей позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получить выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, математические методы исследования сложных управляемых и замкнутых социально-экономических систем позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, стабильность или нестабильность поведения системы, подбирать оптимальные в нужном смысле параметры управления.

Переходные процессы в экономических системах возникают под влиянием внутренних или внешних, в том числе управляющих, воздействий: переход от одного технологического уклада к другому, изменение конъюнктуры внутреннего или внешнего рынков, новые правила регулирования поведения субъектов экономики, в том числе по сбору налогов, росту или падению инвестиций, перемены в структурной политике и т.п. Такие процессы эволюции поведения сложных экономических систем во времени адекватно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и в более сложных ситуациях нелинейными дифференциальными включениями.

Таким образом, актуальность темы заключается в необходимости исследования эволюции и выработки критериев управления сложных экономических и социальных систем методами

рос. национальная]

БИБЛИОТЕКА С.Петербург

I оэ тоу ИУ6Д

нелинейного динамического анализа с целью повышения эффективности и надежности их функционирования.

Работа выполнена в соответствиями с основными научными направлениями Воронежского государственного технического университета «Проблемно-ориентированные системы управления», «Экономика, организация и управление на предприятии», а также с научным направлением Всероссийского заочного финансово-экономического института «Обеспечение устойчивого экономического и социального развития России».

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка проблемно-ориентированного математического обеспечения систем управления и принятия решений в социальных и экономических системах, направленного на повышение эффективности управления.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- провести анализ и разработать модели эволюции и принципов управления сложными экономическими системами на базе изучения моделей экономики, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями и включениями;

- сформулировать и обосновать критерии устойчивости сложных рыночных систем, описываемых многозначными функциями спроса и предложения в условиях свободной конкурентной борьбы и в рамках модели управляемой экономической системы с системой социального обеспечения;

- обосновать рекомендации управления для достижения устойчивости периодической динамики развития экономических систем при периодическом изменении эндогенных и экзогенных параметров. Развить приближенный метод отыскания периодической динамики;

- разработать теорию асимптотического поведения динамики сложной экономической системы при малой либо большой скорости запаздывания спроса относительно предложения;

- выработать и обосновать критерии роста макроэкономики на основе исследования непрерывных динамических моделей экономических систем с переменными структурными параметрами;

- определить границы для возможных управляющих воздействий, которые обеспечивают стабильность развития

экономики на базе исследования нелинейной динамической модели управления спросом с мультипликатором и акселератором.

Методы исследования. При выполнении работы использованы методы системного анализа, математического моделирования, теории управления, теории дифференциальных уравнений и включений, нелинейного и выпуклого анализа, теории оптимизации.

Научная новизна. В диссертации получены и выносятся на защиту следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной:

обобщенная математическая модель динамики цен на реальном рынке товаров и услуг, отличающаяся многозначностью функций спроса и предложения, описываемая дифференциальными включениями; обоснована устойчивость такой динамической модели рынка;

математическая модель динамики установления равновесного состояния управляемой экономической системы, отличающаяся наличием управляющего органа, обеспечивающего частичное перераспределение доходов посредством взимания налогов;

нелинейная динамическая модель эволюции рынка производства, товаров и услуг, отличающаяся периодическим характером внешнего управляющего воздействия, обеспечивающего устойчивость периодической динамики развития рынка;

асимптотика периодической динамики рыночных цен, отличающаяся учетом скорости реакции запаздывания спроса относительно предложения;

критерии роста или убывания дохода в макроэкономической модели, характеризующейся переменными структурными параметрами;

алгоритм формирования областей возможных параметров управления для достижения стабильности экономической системы, описываемой нелинейной моделью, отличающейся наличием мультипликатора и акселератора;

доказательство существования, единственности,

положительности, устойчивости по Ляпунову решений дифференциальных включений для классов нелинейностей, ориентированных на ограничения, встречающиеся в экономических системах: выявленного предпочтения, валовой заменимости, диссипативности и др.;

обоснование процедуры приближенного отыскания периодических решений, а также асимптотики поведения периодических решений, при малых или больших значениях параметров.

Практическая ценность работы определяется тем, что полученные в диссертации научные результаты открывают новые возможности эффективного управления и принятия решений в социально-экономических системах.

Позволяют выявить и проанализировать особенности функционирования конкретных экономических объектов и на основе этого предсказать будущее поведение объекта при изменении каких-либо его эндогенных либо экзогенных характеристик, в том числе управляющих воздействий.

Сформулировать рекомендации при принятии практических, оптимальных с какой-либо позиции решений. Разработанные методы и алгоритмы положены в основу проблемно-ориентированного программного обеспечения функционирования региональной электронной биржи.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы при разработке математического и программного обеспечения электронной биржи в системе сбыта и комплектации радиодеталей в рамках Бизнес-инкубатора «Воронеж», а также системы управления хозяйственной деятельностью НПО «Протек»; внедрены в учебный процесс Всероссийского заочного финансово-экономического института по дисциплинам обучения «Экономико-математические методы и модели» и «Эконометрика».

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Москва, 1996); Международной конференции «Асимптотические и другие методы в теории нелинейных колебаний» (Киев, 1997); Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 1998); Международной конференции «Высокие технологии в экологии» (Воронеж, 2000); Всероссийской конференции «Современный анализ и его приложения» (Воронеж, 2000); региональной конференции «Малый бизнес в центральном федеральном округе» (Воронеж, 2002); Научно-техническом

семинаре «Проблемно-ориентированные системы» (Воронеж, 2002, 2003); Межвузовской конференции «Проблемы обеспечения устойчивого экономического развития в современных условиях» (Воронеж 2002, 2003); Международной конференции «Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 52 печатных работах, в том числе двух монографиях и 18 статьях в журналах, рекомендованных списком ВАК.

В работах, опубликованных в соавторстве, соискателем предложено математическое обеспечение развития модели управления инфраструктурой малого бизнеса [2, 3, 6, 7]; разработаны аналитические и приближенные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений в связи с задачами теории управления [13, 14, 17, 21, 22, 23, 24, 26,29, 33, 35, 36, 37,42, 47, 52].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 250 страницах; содержит 9 рисунков и список литературы из 120 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, изложены основные научные положения и результаты, выносимые на защиту.

В первой главе исследована устойчивость управляемой модели рынка в условиях многозначных функций спроса и предложения.

Состояние экономической системы в любой момент времени описывается динамической моделью, характеризующей приспособление цен во времени к вариациям спроса потребителей на товары и предложения товаров производителями в условиях конкуренции.

Цены на товары являются равновесными, если производители и потребители, действующие наилучшим для себя образом, сообразуясь при этом с бюджетными ограничениями, обеспечивают такое положение вещей, когда спрос на каждый товар не превосходит его предложения.

Важным вопросом в динамической модели формирования цен является вопрос устойчивости процесса их формирования. Особенно важно, чтобы при любых начальных ценах текущие цены стремились к некоторым равновесным. Сущность процесса установления рыночного равновесия отображена на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема управляемой модели рынка (на примере электронной биржи)

Итак, предполагается, что на рынке имеется конечное число г различных товаров, включая услуги всех видов. Деньги тоже рассматриваются как товар с нулевым номером, так что общее количество товаров равно г+1.

Будем считать, что у каждой производственной единицы

^ ~ - имеется множество У) возможных производственных планов. Каждая из производственных единиц стремится

б

организовать производство таким образом, чтобы максимизировать свои прибыли.

Предположим, что имеется т потребителей с допустимыми

г+1

множествами потребления X; С! Е+ (1=1,.., т).

Потребитель 1 стремится выбрать допустимый вектор потребления Х1 е Х1, максимизирующий его функцию полезности.

Каждому вектору цен Р = {Ро,Р\ ■>••■■> РГУ набора товаров

соответствует совокупный вектор спроса х(р) и совокупный

вектор производства (предложения) .у(р)> обладающие

соответствующими свойствами оптимальности. Такие векторы х(р) и >>(/»), вообще говоря, не единственные. Они порождают

соответственно многозначные функции спроса ф(р) и предложения

уАр) (рис. 2), а их разность порождает многозначную функцию избыточного спроса

НР)=Ф(Р)-У(Р)-

Динамику процесса установления равновесной цены в этом случае можно описать дифференциальным включением в

Т?г+1

пространстве

ш

*

При этом сама равновесная цена р удовлетворяет операторному включению в

Ег+1

ОеГ(р) (2)

и может бьггь не единственна. На рис. 2 изображен отрезок [Р., Р+] равновесных цен.

Ф.Ч*

Рис. 2. Многозначные функции спроса и предложения

Необходимым условием существования равновесного состояния такой модели является требование, чтобы доход каждого потребителя был положительным при произвольном ненулевом векторе цен. При естественных предположениях на математическую модель рынка многозначная функция Р полунепрерывна сверху и ограничена, а ее образы являются непустыми выпуклыми

Е»Г+1

замкнутыми и ограниченными множествами, лежащими в Такие условия на функцию обобщенного спроса ниже будем называть основными.

Кроме того, обычные предположения на модель рынка обеспечивают финансовый баланс (закон Вальраса)

(р,Ь = 0, (У^еПр)). (3)

В работе рассматривается вариант управляемой модели рынка, в котором фигурирует система социального обеспечения. С целью гарантировать каждому участнику экономической системы минимальный доход управляющий орган (государство) взимает с каждого рентабельного предприятия налог на прибыль в размере

(1 - /л) • 100 % и обеспечивает частичное перераспределение доходов в пользу малообеспеченных участников рынка. Основная проблема - правильное определение минимального дохода, регулируемого коэффициентом 0 < ¡л < 1. Число // следует выбирать таким образом, чтобы обеспечить финансовый баланс (3). Тогда

jçj 1=1 т jeJ

-1

Здесь m - число потребителей; J общего числа п предприятий;

m j^j число рентабельных: из

СТАР

= шах

РУ

v

7=1,2,...,«; О"

¡=1

коэффициент а у означает долю доходов j-ro производителя, который получает i-й потребитель.

Предположение рентабельности совокупного производства, т.е. сг(р)> 0, обеспечивает условие 1 > // > 0.

Для того, чтобы модель (1) адекватно отражала реальную экономическую ситуацию на рынке, вводится дополнительное условие «неотрицательности» («положительности») на функцию обобщенного спроса F, имеющее вид:

если р > 0 и р1 = 0, то Zi > 0 (z; > 0)для Vz е F(p). Оно означает, что в случае цены pi — 0 спрос на i-й товар не

меньше (больше) предложения.

В этих условиях устанавливается, что для любого

неотрицательного вектора начальных цен Ç > 0 существует

неотрицательная динамика цен на рынке, т.е. решение p(t) задачи (1), удовлетворяющее условию р(о)= С ■ Множество таких решений есть компакт в пространстве непрерывных функций c([0,7'])£,r+1

заданных на отрезке [0,2"] и со значениями в Ег+Х. Поэтому любой непрерывный на функционал достигает своего

наименьшего и наибольшего значения на одной из неотрицательных траекторий включения (1).

Экономический смысл этого состоит в том, что возможна реализация состояния экономической системы с заданным начальным распределением цен (эволюция экономической системы), при которой цены на товар будут оптимальны в том или ином смысле в зависимости от выбора функционала качества. Например, в

случае функционала ф^ (р) = шах />(0|| существует максимальная (минимальная) на [0, Т] траектория цен (динамика рынка). В случае

V

существует оптимальная в

функционала ф2(р) = п|/>(0| ^

среднем на промежутке [0, Т] траектория цен. В случае функционала

Р(Т)

на промежутке [0, Т] реализуется оптимальная в момент времени Т траектория цен. В случае функционала Фа (Р) = тах Р] (0 существует траектория системы, в которой цена на ^й товар будет оптимальна на промежутке [0, Т]. В случае

функционала цена на ]-й товар будет оптимальна в

момент Т.

Рынок назовем (глобально) устойчивым, если при любых

начальных ценах >0, каждая из траекторий задачи (1), описывающих динамику (процесс изменения) цен, приближается к некоторому равновесному состоянию при возрастании времени.

В главе исследована устойчивость управляемой модели рынка, в которой фигурирует система социального обеспечения в условиях выполнения аксиомы выявленного предпочтения.

Совокупная функция избыточного спроса Б удовлетворяет (слабой) аксиоме выявленного предпочтения, если для любых цен

р1, р2 из соотношения ^рх,г2 — г1^ < 0, выполненного для

некоторых е Е^р^ у = 1,2; г1 Ф гг следует, что для этих

г1, г2 имеет место неравенство ^р1, г2 — 21 ^ < 0.

Здесь (р,^] описывает общие издержки потребителя для

данной цены р и вектора потребления г . Эта аксиома означает,

что если набор товаров гх выявлено предпочитается набору товаров

2 ^ 2 г (при ценах р ), то набор товаров 2 не может выявлено

предпочитаться набору товаров при ценах р2 .

В главе устанавливается следующее утверждение: Если выполнены основные условия на функцию избыточного спроса, закон Валъраса (3) и (слабая) аксиома выявленного предпочтения, тогда конкурентный рынок устойчив.

Другое условие устойчивости равновесного вектора связано с понятием валовой заменимости функции избыточного спроса Р.

Многозначная функция избыточного спроса Б обладает

свойством валовой заменимости, если из того, что векторы р,<] неотрицательны и > = ^ вытекает соотношение

2] > (Уг е Г(р), е /^б».

Экономическое истолкование этого свойства заключается в следующем. Если цены на отдельные товары возросли, то избыточный спрос на тот товар, цена которого осталась неизменной, может только увеличиться.

Многозначная функция Т называется положительно однородной нулевой степени, если

Г (Яр) = ЕСр) (V Я > 0; Vр е Е?1).

Экономический смысл такого условия на функцию избыточного спроса состоит в том, что предполагает зависимость спроса только от соотношения цен (относительных цен), но не от их

абсолютных числовых значений. В работе устанавливается следующее утверждение:

Если функция избыточного спроса F удовлетворяет основным условиям, закону Валъраса (3), условию «положительности» (1) и

внутри положительного ортанта Е+ обладает свойством положительной однородности нулевой степени и валовой заменимости, тогда рынок устойчив для всякого вектора начальных

цен р° > 0.

Во второй главе изучены периодические колебания рыночных цен, вызванные периодическим изменением внешних факторов, в частности это могут быть сезонные колебания либо воздействие внешних параметров может осуществляться целенаправленно некоторым управляющим органом. Например, в условиях нестационарного спроса во избежание непокрываемых затрат следует управлять количеством производимой продукции, в том числе за счет сокращения численности работающего персонала, перевода на неполное рабочее время, уменьшения запускаемого в производство исходного сырья и т.д.

В этой ситуации динамика рыночных цен описывается неавтономным дифференциальным включением

где многозначная функция избыточного спроса периодически зависит от времени с заданным периодом со > 0.

В предположении, что многозначная функция Б по p,t удовлетворяет основным условиям, а также при соблюдении закона Вальраса (3) и условия «неотрицательности» установлено, что для

любого начального неотрицательного вектора цен £ > О существует неотрицательное решение включения (4) (неотрицательная динамика цен на рынке). Множество таких решений компактно в пространстве с([0,со\Ег+х). В случае СО -периодичности функции Р по времени

установлено существование неотрицательной О) -периодической динамики цен на рынке.

Изучен класс рыночных систем, в которых функция избыточного спроса Б удовлетворяет условию монотонности

(Ур\рг еЕ^-уг' е ^ОЛОУ = Ш > 0). (5)

Это условие тесно связано с понятием выявленного предпочтения. Для систем, обладающих свойством (5), установлена конвергентность периодической динамики. Это означает, что СО -периодическое решение асимптотически устойчиво и все решения дифференциального включения (4) с течением времени как угодно близко приближаются в (О -периодической динамике.

Исследовано также поведение системы, описываемой включением

(1 р

(6)

Л

с параметром Л> 0, характеризующим скорость реакции запаздывания спроса по отношению к предложению. Установлено,

что при Я ->оо периодическая динамика цен рх (?) стремится к решению операторного включения 0 € равномерно по

При А->0 справедливо стремление равномерно по

t е [0, со\ к решению операторного включения

Iо

Ое

о

В главе рассмотрена нелинейная динамическая модель биржи. При построении этой модели принято во внимание, что помимо определенной внутренней структуры биржи нужно учитывать довольно жестко заданное внешнее окружение. Причем приспособляемость и пластичность поведения - два основных свойства нелинейных динамических систем, которыми характеризуется и биржевая система. Связь рассматриваемой

системы с внешней средой, к которой относятся и другие элементы системы осуществляется через входы X = {Х1,.Х2,...,Хт)т и

выходы У = (У, ,У2,..., Уп )г (рис. 3).

Рис. 3. Схематическое представление биржевой системы

При изменении эндогенных и экзогенных условий биржевая система будет менять свое поведение.

Биржевая система может быть охарактеризована набором некоторых величин д (например степенью конкуренции, состоянием спроса и предложения, количеством товаров и ценных бумаг в биржевом обороте и пр.), которые пронумерованы индексом то есть <7 у. Эти величины могут меняться во времени, а совокупность

qj можно объединить в вектор состояния

Эволюция вектора д во времени, т.е. динамика развития биржевой системы определяется дифференциальными уравнениями вида

где N - детерминистская часть; Б - флуктуирующие силы.

Задание управляющих параметров в (например ставки налогов) означает движение биржевой системы в сторону расширения или сворачивания деятельности. При наличии флуктуации Б (периодические изменения экономической среды за счет введения

14

новых законодательных актов и иных факторов) биржевые рынки могут либо активизироваться, либо снижать активность.

В третье главе рассматриваются непрерывные динамические модели макроэкономики с переменными характеристиками эволюции системы. Первой исследуется балансовая модель роста, включающая в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Эта модель рассматривается в реальном выражении. Денежные факторы, такие как норма процента, а также цены на товары и факторы производства, не принимаются во внимание. Переменные величины такого анализа следующие:

Y(t) - национальный доход;

E(t) - государственные расходы;

S(t) - потребление;

I(t) - инвестиции.

Все эти величины рассматриваются как функции времени и каждая из них представляет «реальную» совокупность в масштабах всего народного хозяйства.

Предполагается, что имеются достаточные неиспользованные ресурсы (труда и других факторов) для необходимых изменений в выпуске продукции. При этом считаем доход Y непланируемой «независимой» переменной, а потребление S и инвестиции I считаем функциями дохода. Точнее, полагаем S=S(t,Y), a I(t) в соответствии с принципом акселерации зависит от скорости изменения дохода,

нулю, т.е. индуцированные капиталовложения мгновенно реагируют на изменения дохода. Все рассматриваемые функции У, Е, Б, I считаются положительными.

Сумма всех расходов должна быть равна национальному доходу. Этот баланс отражается в соотношении:

этом инвестиционный лаг считаем равным

(7)

S(t)=a(t)Y(t)+b(t), I(t)=k(t)Y'(t).

(8) (9)

Здесь a(t) - коэффициент склонности к потреблению (0<а(t)< <1); b(t) - автономное (конечное) потребление (b(t)>0); k(t) - норма акселерации (k(t)>0), выражающая собой коэффициент капиталоемкости прироста дохода. Функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы, они являются характеристиками функционирования и эволюции изучаемой экономики. Экономика считается закрытой, поэтому отсутствуют экспортно-импортные характеристики.

Проанализируем общую ситуацию динамики дохода в линейной модели с переменными параметрами. Функции a(t), b(t), k(t), E(t) будем считать непрерывными положительными и ограниченными при t>0. Точнее, будем считать, что существуют постоянные а+, Ь+, к., к+, Е+>0 такие, что

О<ф<а+<\ О<Ut)<b+, 0<к_<Щ<к+, О¿Щ<Е+ (\#>0)(10)

В этих условиях существует положительная, ограниченная при t>0 динамика дохода Y»(t). Эта функция задается формулой

г I ад ;

В главе устанавливается следующее утверждение:

Пусть выполняются условия (10). Если начальный доход Yo<Y*(0), то доход экономики Y(t) со временем падает и становится отрицательным. Если же начальный доход Y0>Y*(0), то доход положителен и растет во времени.

Изучен важный случай периодического изменения параметров функционирования экономики. Справедливо следующее утверждение:

Пусть параметры функционирования модели экономической системы a(t), b(t), k(t) и E(t) являются непрерывными сй-периодическими функциями времени с заданным периодом а>>0. Пусть кроме того выполнены соотношения (10).

Тогда существует и единственна со - периодическая динамика Ya(t) изменения дохода. Функция Yw имеет вид

s

■J ® Jx(Î-J+r)£/r f tB \

= f(t-s)ds n:=\y{s)ds .

e 1 о V о

Если начальный доход экономической системы Y0 < Ya (0), то доход Y(t) экономики со временем падает и становится

отрицательным. Если же начальный доход У0 > то доход

экономики У(() положителен и растет во времени. Темп прироста функции сравнительного дохода уШ(():=У(0-Уа(1) равен

л, т

Исследована нелинейная модель функционирования экономики. Предполагаются выполненными соотношения баланса (7) и условие динамики инвестиций (9), а функция потребления 8=8(УД) считается нелинейной функцией дохода У.

Уравнение, описывающее динамику развития экономики, в этом случае приобретает вид

Имеет место следующее утверждение:

Пусть функции Е(1), к(1) и 5(Ул) непрерывны. Пусть найдутся положительные постоянные Е+, к., к+ и а+, Ь+ такие, что 0<Е(?)<Е+, 0<к_ <к(()<к+ (V* > 0),

0 <5(0,0 = Ь(?)<Ь+, 0Аа+<1 (V/, У > 0).

ох

Тогда существует положительное, ограниченное при О0 решение уравнения (11).

Если начальный доход У0>У*(0), то доход У(1) экономики положителен при всех ¿>0 и растет во времени. Темп прироста

функции сравнительного дохода 2(1)=Ур)-Уф)

не менее —(\-а )•

К +

Если Уо<У*(0), то доход экономики с течением времени падает и становится отрицательным.

Таким образом, имеет место следующий график роста либо убывания (рис. 4) совокупного дохода в зависимости от соотношения начального дохода экономической системы и начального состояния ограниченного режима функционирования системы.

У(1)

Рис. 4. График роста (убывания) дохода

При составлении бюджетов различных уровней важно правильно сформулировать объемы и пропорции стабилизирующих фондов, которыми вправе распоряжаться управляющий орган, а также графики выделения средств из этих фондов.

Далее в третьей главе рассмотрена нелинейная динамическая модель макроэкономики, учитывающая глобализацию производства, указаны области, в которых должны находиться параметры управления доходом в условиях регулирования по принципу пропорциональной стабилизации, когда дополнительный спрос из стабилизационного фонда пропорционален падению производства, либо по принципу стабилизации при регулировании, пропорциональном скорости сокращения выпуска продукции промышленных предприятий.

В рассматриваемой модели управление с помощью стабилизационных фондов преследует двойную цель: возместить падение выпуска продукции при снижении спроса и свести на нет колебания его во времени.

В работе исследуется непрерывная нелинейная модель с динамическим мультипликатором - акселератором. Эта модель рассматривается в реальном выражении. Все переменные являются

функциями непрерывно меняющего времени и означают следующие величины:

Y(t) - доход или выпуск продукции;

S(t) - расходы на потребление;

A{t) - независимые капиталовложения;

I(t) - индуцированные капиталовложения, вызванные изменениями в выпуске продукции.

Предполагается, что расходы на потребление определяются формулой:

S(t) = p(t)Y(t)+B(t), (12)

где pit) - переменный коэффициент склонности к потреблению (О < p{t) < l), B{t)> 0 - автономное (конечное) потребление.

Кроме того, предполагается справедливой следующая форма действия акселератора с экспоненциальным запаздыванием

m=-K(i(t)-<p(Ym, (и)

где точка сверху над функцией означает производную по времени, к характеризует скорость реакции индуцированных капиталовложений ла изменение выпуска продукции, а нелинейность ф ■ выражает зависимость между объемом капиталовложений и текущей скоростью выпуска продукции У(?). Таким образом, потенциальная скорость капиталовложений в момент t фиксируется акселератором

без запаздывания j(t)= ç>{y(î^. Фактическая скорость роста инвестиций I{t) запаздывает и приращение капиталовложений

пропорционально разности — {/(/) —./(?)}. Коэффициент пропорциональности К показывает скорость реакции. Совокупный спрос определяется равенством

Z = S + I + А . (14)

Предложение берется с непрерывно распределенным экспоненциальным запаздыванием и скоростью реакции Я :

Y{t) = -XiY-Z). (is)

Уравнение (15) характеризует действие динамического мультипликатора.

Соотношения (12)-(15) являются уравнениями модели. Модель имеет два непрерывно распределенных запаздывания: одно на стороне предложения (реакция выпуска продукции на спрос со скоростью X ), второе - на стороне акселератора (индуцированные капиталовложения реагируют на изменения выпуска продукции со скоростью реакции к).

Дифференциальное уравнение относительно У получается исключением Ъ и I из выражений (13)-(15). То есть

у+Л[\-р+ЦУ-ЛК(№+Л{К-Р-кр)У=Л{А+В+К{А+В^. ч ^)

Это нелинейное неавтономное дифференциальное уравнение второго порядка для динамики дохода .

Для функции <р(г) естественно предполагать, что ее график имеет вид, показанный на рис. 5.

ь уТ У

/ / х / / //

/ / / / -- м

Рис. 5. График функции акселерации

При малых изменениях (увеличениях или уменьшениях) выпуска продукции по существу действует линейный акселератор

V • Y. При большом увеличении выпуска продукции уровень ф

повышается до верхнего предела L > 0 , поставленного наличными мощностями отраслей, производящих капитальные блага. При большом сокращении выпуска продукции уровень ф понижается

до нижнего предела - М < 0, поставленного нормой износа основного капитала.

Аналитические свойства функции ф выражаются формулами

— М< cp{z)<L, где L,M > 0 и 0 (Vz>0). (16)

az

В зависимости от соотношения между параметрами модели решение Y(t) может иметь взрывной колебательный характер. В связи с этим возникает проблема экономического регулирования.

В работе исследована политика пропорциональной стабилизации, осуществляемая органом государственного управления. Она состоит в том, что дополнительный спрос, создаваемый правительством, задается равенством

G^-aOr-YJ, (17)

где а >0 - параметр управления; У^ - критический уровень

выпуска продукции.

Согласно (17) при падении выпуска продукции ниже

критического уровня YKp предъявляемый правительством спрос

пропорционален падению производства.

С учетом политики стабилизации вместо (14) имеем

Z = S + G + I + A. (18)

Тогда динамика модели описывается уравнением

Y + f{Yj)=e{t), (19)

где

/(г, Y) := Л jí 1 + а - pit)+^V - v(l + а - p(t))Y - pY 1, (20)

е{г) := ¿(1)+к{А^)+аУ)^}.

Соотношения (19), (20) описывают динамическую модель мультипликатора-акселератора со стабилизирующим

пропорциональным правительственным спросом. Для уравнения (19) ставятся начальные условия:

у(о)=г°,

7(о) = я(^4(о) + В(6)+аУф + (р(о) -1 + а)У°).

Для такой модели управления экономической системы справедливо следующее поведение:

Пусть макроэкономическая модель задается соотношениями (12), (13), (15) и (17), (18) причем функция акселерации <р{у) удовлетворяет условию (16), а для коэффициента склонности к потреблению справедливы оценки

о</?(*)<р. <1, А. <;/?(*)</V (21)

Пусть независимые расходы Л({) представляют собой ограниченную по времени функцию. Тогда при значении управляющего параметра ОС, удовлетворяющего соотношению

политика пропорциональной правительственной стабилизации (17) гарантирует существование причем единственной динамики дохода ограниченной во времени. При этом всякая динамика

дохода модели макроэкономики стабилизируется

(приближается) к при £ —» +оо.

Если параметры А, В, р не зависят от времени, то

ограниченная динамика У» является равновесным состоянием модели.

В работе исследована политика экономической стабилизации при регулировании по производной. В этой ситуации правительственный спрос равен

а >акр = тах| —, к

G--/3Y. (22)

В этом случае он связан не с дефицитом продукции Y, а со скоростью ее сокращения (— у).

Уравнениями модели в этой ситуации являются (12), (18), (14), (22). Из них следует уравнение

f + /l(Y,Y)=e1(í)> (23)

где

у; (г, г) [i + ^ J'{[l - Р -ь + /?)]Г - - р)- , (24)

*.(')= + {с(Л + В)+А + в}.

Соотношения (23), (24) описывают динамическую модель макроэкономики с мультипликатором-акселератором и стабилизирующим правительственном спросом при регулировании по производной. Для такой модели управления экономической системы справедливо следующее поведение:

Пусть макроэкономическая модель задается соотношениями

(12), (13), (15), (18) и (22), причем функция акселерации удовлетворяет условию (16), а коэффициент склонности к потреблению

Mí) удовлетворяет условию (21) и дополнительно выполнено неравенство

Пусть независимые расходы A(t) представляют собой ограниченную по времени функцию. Тогда при значении управляющего параметра р, удовлетворяющего соотношению

кр

где

т

-ЦрГТ-М-Р-)-Р.)- М „Л*"?'. V

политика правительственной стабилизации (22) гарантирует существование, причем единственной, динамики дохода ограниченной во времени. При этом всякая динамика дохода модели макроэкономики стабилизируется к при I —» +оо.

Если параметры А, В, р постоянны, то ограниченная

динамика У* является равновесным состоянием модели.

В четвертой главе исследованы различные классы дифференциальных включений и нелинейных дифференциальных уравнений, используемые при изучении непрерывных динамических моделей экономических систем в связи с задачами управления.

В качестве классов нелинейностей изучены монотонные (по Минти-Браудеру) нелинейности (5) и некоторые их обобщения, в частности, диссипативные нелинейности. Этому есть несколько оснований:

-в этот класс входят градиенты и субградиенты выпуклых функционалов;

-условие типа монотонности обеспечивает асимптотическую устойчивость по Ляпунову решений соответствующих дифференциальных уравнений и включений;

- свойство монотонности позволяет обосновать различные приближенные, в частности итерационные и проекционные ,методы отыскания решений автономных и неавтономных систем, в том числе отыскание периодических решений;

- это свойство позволяет оценить стабилизацию решений динамических задач к состояниям равновесия с течением времени, позволяет развить асимптотические методы: принцип усреднения Крылова-Боголюбова, а также поведение решений сингулярно возмущенных систем (теорема Тихонова) для неавтономных дифференциальных уравнений и включений.

С другой стороны, свойство монотонности нелинейности тесно связано с понятием выявленного предпочтения для функций обобщенного спроса, а свойство диссипативности фактически обеспечивается бюджетным ограничением конкурентного рынка (законом Вальраса).

Проекционный метод Галеркина приближенного отыскания й) -периодического решения векторного нелинейного дифференциального уравнения

¿г Л

состоит в следующем:

Приближенное СО -периодическое решение ищется в виде тригонометрического полинома

+ Гу:=—1 (25)

*=1 \ со)

коэффициенты которого должны удовлетворять системе уравнений:

-ук<р\ +— (рпуШ Л = О (к = 1,2,...,и), (О *

+—ТАА = О (к = 1,2,...,4

(26)

Система (26) обладает свойством монотонности, если такова была функция £ Это дает возможность доказать ее однозначную разрешимость и сходимость галеркинских приближений (25) к О) -периодическому решению уравнения (24).

Для решения нелинейной системы (26) можно применить итерационные методы, разработанные для уравнений с монотонными операторами.

В главе рассматривается нелинейное дифференциальное уравнения вида

х + /^,х,х) = 0. (27)

При выполнении условий:

а2<®-<Ъ\ с<%-<с1 дх дх

с некоторыми положительными постоянными а, Ь, с, <1, удовлетворяющими дополнительным условиям:

с> Ь-а,

^-{Ъ-а)2 <(а + Ь^с + ^с2-(Ь-а)2у

уравнение (27) сводится к монотонной системе дифференциальных уравнений. Таким образом, устанавливается глобальная асимптотическая устойчивость решений уравнения (27).

Разработанное в диссертации проблемно-ориентированное математическое обеспечение легло в основу проектирования и внедрения комплекса электронной биржи обеспечения малого и среднего бизнеса.

Создана технология проведения торгов, непрерывного встречного аукциона с использованием автоматизированной системы мониторинга встречных заявок. Экономический эффект от внедрения на пяти предприятиях Бизнес-инкубатора «Воронеж» составил 290 тыс. р. за период 2002-2003 гг.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследована динамика нелинейной многосекторной математической модели рынка в условиях многозначных функций спроса и предложения, когда оптимальный выбор каждого производителя и потребителя при заданной цене на товары не единственен. Указана возможность реализации динамики рыночных цен, обладающей заданными оптимальными свойствами.

2. Обосновано, что управление с целью обеспечения минимального уровня дохода каждому участнику экономической системы посредством взимания налога с рентабельных предприятий является необходимым условием устойчивости рыночного равновесия.

3. Доказано, что глобальная устойчивость конкурентного равновесия гарантируется дополнительными свойствами выявленного предпочтения или валовой заменимости товаров.

4. Установлены критерии устойчивости периодической динамики развития рынка при периодическом изменении параметров управления экономической системой. Развит и обоснован проекционный метод приближенного отыскания периодической динамики.

5. Получена асимптотика периодической динамики рыночных цен в зависимости от скорости реакции запаздывания спроса относительно предложения. При малой скорости реакции (т.е. большом времени запаздывания) рыночная динамика асимптотически приближается к равновесному состоянию стационарной нелинейной системы, структурные параметры которой

получаются усреднением по времени параметров исходной модели. Когда скорость реакции спроса по отношению к предложению велика, периодическая динамика асимптотически приближается к периодическому режиму предельной нестационарной системы, параметрически зависящей от времени.

6. Для математической модели экономики со структурными параметрами, зависящими от времени, указан и обоснован принцип выбора начального капитала, гарантирующего рост совокупного дохода экономической системы. Установлено, что рост или убывание совокупного дохода зависит от того больше или меньше начальный капитал начального состояния ограниченного режима функционирования, присущего данной системе.

7. Указаны и обоснованы области возможных параметров управления для достижения стабильности экономической системы, описываемой нелинейной непрерывной динамической моделью с мультипликатором и акселератором и наличием запаздываний спроса относительно предложений и инвестиций относительно скорости возрастания доходов. Исследован случай, когда дополнительный стабилизирующий спрос, организуемый управляющим органом, пропорционален дефициту продукции либо скорости сокращения продукции.

8. В связи с задачами управления развита теория ' дифференциальных включений для классов нелинейностей, которые

удовлетворяют ограничениям, встречающимся в экономических системах: условию выявленного предпочтения, условию валовой заменимости, условию диссипативности и др. Получены результаты по существованию, единственности, положительности решений, их устойчивости по Ляпунову.

9. Для нелинейных систем, характеристики которых периодически изменяются во времени, проведено обоснование процедуры Галеркина - приближенного отыскания периодических решений, а также исследована асимптотика поведения периодических решений, при малых или больших значениях параметров.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Книги

1. Хацкевич В.Л. Математическое моделирование процессов динамики и управления в экономике. Воронеж: Центр.-Чернозем. кн. изд-во, 2003. 120 с.

2. Хацкевич В.Л., Хацкевич Л.Д. Электронные рынки и их инфраструктура в малом бизнесе. Воронеж: Центр.-Чернозем. кн. изд-во, 2001. 90 с.

Статьи и материалы конференций

3. Хацкевич В.Л., Хацкевич Л.Д. Опыт создания бизнес-инкубаторов и перспектива их развития // Актуальные проблемы социальной и экономической стабилизации в условиях рынка: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВЗФЭИ, 2001. С. 111-119.

4. Хацкевич В.Л. Динамика рынка в условиях многозначных функций спроса и предложения. Устойчивость конкурентного равновесия // Модели экономических систем и информационные технологии: Сб. науч. тр. Вып. 6. М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2002. С. 243-257.

5. Хацкевич В.Л. О теории роста Харрода-Домара для экономических систем с переменными структурными параметрами // Модели экономических систем и информационные технологии: Сб. науч. тр. Вып. 6. М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2002. С. 257-272.

6. Хацкевич В.Л., Хацкевич Л.Д. Создание инфраструктуры малого предпринимательства // Малый бизнес в Центральном Федеральном округе: Сб. науч. тр. Вып. 1. Воронеж: ВГПУ, 2002. С. 4151.

7. Хацкевич В.Л., Хацкевич Л.Д. Малый бизнес и электронные рынки // Малый бизнес в Центральном Федеральном округе: Сб. науч. тр. Вып. 1. Воронеж: ВГПУ, 2002. С. 90-100.

8. Хацкевич В.Л. Об устойчивости математической модели рыночного равновесия // Вестник ВЗФЭИ. Воронеж, 2003. С. 66-71.

9. Хацкевич В.Л. Динамическая модель устойчивого равновесия в системе сбыта промышленной продукции на электронных рынках // Организатор производства. М.: Экономика и финансы. 2003. № 2 (12). С. 58-60.

10. Хацкевич В.Л. Нелинейная модель управления перераспределением доходов с целью стабилизации производства //

Организатор производства. М.: Экономика и финансы. 2003. № 2 (12). С. 48-51.

11. Хацкевич В.Л. Об устойчивости управляемой модели рынка при наличии системы социального обеспечения // Проблемы обеспечения устойчивого экономического развития: Материалы Межвуз. науч.-метод. конф. Воронеж, 2003. С. 23-27.

12. Хацкевич В.Л. К вопросу о локализации спектра оператора монодромии // Исследования в области физики, химии твердого тела: Сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1973. С. 33-34.

13. Перов А.И., Смагина Т.И., Хацкевич В.Л. Оценки периодических решений / ВГУ. Воронеж, 1973. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 1973, №6217-73.

14. Задорожный В.Г., Перов А.И., Хацкевич В.Л. Нахождение периодических решений линейных дифференциальных уравнений методом Галеркина // Нелинейные колебания и теория управления: Межвуз. сб. науч. тр. Ижевск: Удмурдский гос. ун-т, 1977. Вып. 1. С. 3-12.

15. Хацкевич В.Л. О приближении нахождения периодических решений методом Галеркина / ВГУ. Воронеж, 1978. 46 с. Деп. в ВИНИТИ 1978, № 3085-78.

16. Хацкевич В.Л. О скорости сходимости Галеркинских приближений к периодическому решению дифференциального уравнения // Приближенные методы исследования дифференциальных

' уравнений: Межвуз. сб. науч. тр. Куйбышев: Куйбышевский гос. ун-т, 1978. Вып. 4. С. 117-125.

17. Перов А.И., Хацкевич В.Л. Экспоненциальная устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. науч. тр. Куйбышев: Куйбышевский гос. ун-т, 1978. Вып. 4. С. 53-67.

18. Хацкевич В.Л. Применение метода Галеркина для отысканий периодических решений //Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 11. С. 2100-2103.

19. Хацкевич В.Л. О методе Галеркина для векторных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Тюмень: Тюменский гос. ун-т, 1980. С. 128-136.

20. Хацкевич В.Л. О вариационном подходе в теории некоторых краевых задач / ВГУ. Воронеж, 1980. 23 с. Деп. в ВИНИТИ 1980, № 2702-80.

21. Задорожный В.Г., Перов А.И., Хацкевич В.Л. Метод Галеркина для нахождения периодических решений // Математическая физика. Киев: Наукова думка, 1981. Вып. 29. С. 25-35.

22. Трубников Ю.В., Хацкевич В.Л., Дашиева С.С. Метод Галеркина в условиях монотонности // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 8. С. 1352-1362.

23. Перов А.И., Хацкевич В.Л. О некоторых локальных теоремах существования периодических решений // Известия вузов «Математика». 1982. №7. С. 50-60.

24. Перов А.И., Хацкевич В.Л. Применение вариационного метода к решению задач теории нелинейных колебаний // Школа по теории операторов: Межвуз. сб. науч. тр. Минск: БГУ, 1982. С. 147-148.

25. Хацкевич В.Л. Об оценке невязки в методе Галеркина для нелинейных уравнений // Операторные методы в нелинейном анализе: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1982. С. 129-133.

26. Перов А.И., Хацкевич В.Л. О вариационном подходе при исследовании периодических решений гамильтоновых систем // Теория операторов в функциональных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1983. С. 72-79.

27. Хацкевич В.Л. Монотонные дифференциальные уравнения в условиях Каратеодори / ВГУ. Воронеж, 1983. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 1983. № 4342-83.

28. Хацкевич В.Л. О ' потенциальных операторах // Математические заметки. 1984. Т. 36. № 3. С. 377-386.

29. Перов А.И., Смагина Т.И., Хацкевич В.Л. Вариационный подход к задаче о периодических решениях // Сибирский математический журнал. 1984. Т. 25. № 1. С. 106-119.

30. Хацкевич В.Л. Задачи Коши для дифференциальных включений с максимально монотонными операторами // Прикладные методы функционального анализа: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1985. С 162-170.

31. Хацкевич В.Л. Периодические решения нелинейных канонических систем // Дифференциальные уравнения и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1985. С. 173-179.

32. Хацкевич В.Л. О разрешимости периодической задачи для нелинейного волнового уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения и приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Махачкала: ДГУ, 1986. С. 96-97.

33. Дашиева С.С., Трубников Ю.В., Хацкевич В.Л. Монотонность Галеркинских систем // Операторные уравнения в функциональных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1986. С. 97-103.

34. Хацкевич В.Л. Зоны регулярности и структура функционального пространства гамильтонианов / ВГУ, Воронеж, 1986. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 1986, № 2843-В.

35. Перов А.И., Хацкевич В.Л. Классы регулярности билинейных форм и нелинейные эллиптические граничные задачи // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 3. С. 464-476.

36. Блатов И.А., Соболевский Е.П., Хацкевич В.Л. О некоторых подходах при численном моделировании МДП структур // Автометрия. 1988. № 3. С. 28-34.

37. Хацкевич В.А., Хацкевич В.Л. О вариационном методе исследования периодических Гамильтоновых систем // Функциональный анализ: Межвуз. сб. науч. тр. Ульяновск: УГЛИ, 1989. С. 129-140.

38. Хацкевич В.Л. Дифференциальные включения с монотонными операторами. Препринт 6-5-90. Воронеж: ВГУ, 1990. 57 с.

39. Хацкевич В.Л. Периодические решения монотонных систем с запаздыванием // Украинский математический журнал. 1990. Т. 42. Вып. 5. С. 659-668.

40. Хацкевич В.Л. Ограниченные решения монотонных систем с запаздыванием // Применение новых методов анализа в теории краевых задач: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1990. С. 120-127.

41. Хацкевич В.Л. Разрешимость периодической задачи для нелинейных Гамильтоновых систем // Известия вузов «Математика»,

' 1991. №3. С. 61-70.

42. Хацкевич В.Л., Азизов Т.Я. О некоторых приложениях теории операторов в пространствах Крейна // Математические заметки. 1991. Т. 50. № 4. С. 3-9.

43. Хацкевич В.Л. Периодические решения Гамильтоновых дифференциальных уравнений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. Вып. 1. СПб., 1992. С. 43-50.

44. Хацкевич В.Л. Усреднение диссипативных дифференциальных включений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. Вып. 4. СПб., 1992. С. 61-67.

45. Хацкевич В.Л. Периодические решения дифференциальных включений с монотонными операторами // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. №4. С. 725-727.

46. Хацкевич В.Л. Периодические решения дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными // Украинский математический журнал. 1993. Т. 43. № 5.

47. Хацкевич В.Л., Азизов Т.Я. Неравенства между самосопряженными операторами и приложения к некоторым проблемам

математической физики // Математические заметки. 1994. Т. 55. № 6.

48. Хацкевич В.Л. Об исчезающей вязкости для уравнений Навье-Стокса // Доклады РАН. 1996. Т. 347. № 2. С. 168-170.

49. Хацкевич В.Л. Принцип усреднения для монотонных дифференциальных включений // Доклады РАН. 1997. Т. 357. № 1. С. 26-28.

50. Хацкевич В.Л. Об асимптотическом представлении решений системы Навье-Стокса в случае большой вязкости // Доклады РАН. 1998. Т. 362. № 6. С. 773-775.

51. Хацкевич В.Л. Асимптотические методы для монотонных дифференциальных включений // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Материалы Междунар. конф. М., 1998.

52. Azizov T.Y., Dijksma Aad, Khatskevich V.L. On the defect of noncontractive operators in Krein spaces. Operator Theory: Advances and Applications, 1998. Vol. 106. C. 91-112.

ЛР № 066815 от 25.08.99. Подписано в печать 12.05.2003. Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл.печ.л. 2,0. Тираж 85 экз. Заказ № Л1С .

Воронежский государственный технический университет 394026 Воронеж, Московский просп., 14

С. 3-12.

С. 108.

fija » 9170

Введение

Глава I. Управление динамикой рынка и условиях многозначных функций спроса и предложения

§1.1 Модель равновесия конкурентной экономики. I<S

§ 1.2. Динамика рынка

§ 1.3. Устойчивость процесса установления рыночного равновесия

Глава II. Моделирование динамики цеп при периодических колебаниях рыночных факторов.

§ 2.1. Периодические колебания рыночных цеп

§ 2.2. Нелинейная динамическая модель биржи

Глава III. Математические модели управления экономическими системами с переменными структурными параметрами. I

§3.1.0 теории роста для экономических сис тем с переменными структурными параметрами. I

§ 3.2. Модель управления спросом

Глава IV. Некоторые вопросы теории нелинейных дифференциальных уравнений и включений.

§4.1. Периодические решения монотонных дифференциальных включений.

§ 4.2. Ограниченные и почти периодические решения

§ 4.3. Периодические решения монотонных дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными

§ 4.4. Усреднение диссипативных дифференциальных включений.

Актуальность проблемы. Современные экономические условия характеризуются возрастанием масштабов и усложнением процессов управления на различных иерархических уровнях, повышением требований к качеству и эффективности управления. В связи с этим ощущается необходимость совершенствования методологии управления на базе исследования системных связей и закономерностей функционирования социально-экономических процессов. Одним из базовых элементов теоретических основ и методов теории управления и принятия решений в социально-экономических системах является разработка проблемно-ориентированного математического обеспечения. Использование математических моделей позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции получить выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, математические методы исследования сложных управляемых и замкнутых социально-экономических систем позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте, оценить форму и параметры зависимостей его переменных, подбирать оптимальные в нужном смысле параметры управления.

Разнообразие математических методов и моделей, традиционно используемых в практике перспективного анализа и управления экономикой достаточно богаты (см. [1], [2], [15], [17]-[22], [24], [26]-[28], [30], [32], [33], [39], [45], [49], [52], [54], [62], [69]-[71], [82]-[84], [87]-[91], [94]-[99]). Однако происходящие в современной экономике перемены резко ограничивают возможность применения тех из них, которые основаны на идее простой экстраполяции тенденций. Все чаще требуется, чтобы математические модели отражали качественные изменения, происходящие в закономерностях развития управляемых процессах.

Переходные процессы в экономических системах возникают под влиянием внутренних или внешних, в том числе управляющих, воздействий: переход от одного технологического уклада к другому, изменение конъюнктуры внутреннего или внешнего рынков, новые правила регулирования поведения субъектов экономики, в том числе по сбору налогов, росту или падений инвестиций, перемен в структурной политике и т.п. Адекватно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и в более сложных ситуациях нелинейными дифференциальными включениями.

Развитие методов математического моделирования и методов вычислительного эксперимента имеет в настоящее время приоритетное значение. Как отмечают эксперты, подобные технологии служат для создания прикладных систем компьютерного моделирования для экономики и социальной сферы, программных интеллектуальных систем, позволяющих оценивать объекты при наличии плохо структурированных, неформализованных и нечетких исходных данных.

Таким образом, актуальность темы заключается в необходимости исследования эволюции и выработки критериев управления сложных экономических и социальных систем методами нелинейного динамического анализа с целью повышения эффективности и надежности их функционирования.

Работа выполнена в соответствиями с основными научными направлениями Воронежского государственного технического университета «Проблемно-ориентированные системы управления», «Экономика, организация и управление на предприятии», а также с научным направлением Всероссийского заочного финансово-экономического института «Обеспечение устойчивого экономического и социального развития России».

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка проблемно-ориентированного математического обеспечения систем управления и принятия решений в социальных и экономических системах, направленного на повышение эффективности управления.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

-провести анализ и разработать модели эволюции и принципов управления сложными экономическими системами на базе изучения моделей экономики, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями и включениями;

-сформулировать и обосновать критерии устойчивости сложных рыночных систем, описываемых многозначными функциями спроса и предложения в условиях свободной конкурентной борьбы и в рамках модели управляемой экономической системы с системой социального обеспечения;

-обосновать рекомендации управления для достижения устойчивости периодической динамики развития экономических систем при периодическом изменении эндогенных и экзогенных параметров. Развить приближенный метод отыскания периодической динамики;

-разработать теорию асимптотического поведения динамики сложной экономической системы при малой либо большой скорости запаздывания спроса относительно предложения;

-выработать и обосновать критерии роста макроэкономики на основе исследования непрерывных динамических моделей экономических систем с переменными структурными параметрами;

-определить границы для возможных управляющих воздействий, которые обеспечивают стабильность развития экономики на базе исследования нелинейной динамической модели управления спросом с мультипликатором и акселератором.

Методы исследования. При выполнении работы использованы методы системного анализа, математического моделирования, теории управления, теории дифференциальных уравнений и включений, нелинейного и выпуклого анализа, теории оптимизации (см. [4]-[13], [25], [35]-[38], [41]-[44], [47], [48], [55]-[59], [63]-[65], [77]-[80], [92]).

Научная новизна. В диссертации получены и выносятся на защиту следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной: обобщенная математическая модель динамики цен на реальном рынке товаров и услуг, отличающаяся многозначностью функций спроса и предложения, описываемая дифференциальными включениями; обоснована устойчивость такой динамической модели рынка; математическая модель динамики установления равновесного состояния управляемой экономической системы, отличающаяся наличием управляющего органа, обеспечивающего частичное перераспределение доходов посредством взимания налогов; нелинейная динамическая модель эволюции рынка производства, товаров и услуг, отличающаяся .'периодическим характером внешнего управляющего воздействия, обеспечивающего устойчивость периодической динамики развития рынка; асимптотика периодической динамики рыночных цен, отличающаяся учетом скорости реакции запаздывания спроса относительно предложения; критерии роста или убывания дохода в макроэкономической модели, характеризующейся переменными структурными параметрами; алгоритм формирования областей возможных параметров управления для достижения стабильности экономической системы, описываемой нелинейной моделью, отличающейся наличием мультипликатора и акселератора; доказательство существования, единственности, положительности, устойчивости по Ляпунову решений дифференциальных включений для классов нелинейностей, ориентированных на ограничения, встречающиеся в экономических системах: выявленного предпочтения, валовой заменимости, диссипативности и др.; обоснование процедуры приближенного отыскания периодических решений, а также асимптотики поведения периодических решений, при малых или больших значениях параметров.

Практическая ценность работы определяется тем, что полученные в диссертации научные результаты открывают новые возможности эффективного управления и принятия решений в социально-экономических системах.

Позволяют выявить и проанализировать особенности функционирования конкретных экономических объектов и на основе этого предсказать будущее поведение объекта при изменении каких-либо его эндогенных либо экзогенных характеристик, в том числе управляющих воздействий.

Сформулировать рекомендации при принятии практических, оптимальных с какой-либо позиции решений. Разработанные методы и алгоритмы положены в основу проблемно-ориентированного программного обеспечения функционирования региональной электронной биржи.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы при разработке математического и программного обеспечения электронной биржи в системе сбыта и комплектации радиодеталей в рамках Бизнес-инкубатора «Воронеж», а также системы управления хозяйственной деятельностью НПО «Протек»; внедрены в учебный процесс Всероссийского заочного финансово-экономического института по дисциплинам обучения «Экономико-математические методы и модели» и «Эконометрика».

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Москва, 1996); Международной конференции «Асимптотические и другие методы в теории нелинейных колебаний» (Киев, 1997); Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 1998); Международной конференции «Высокие технологии в экологии» (Воронеж, 2000); Всероссийской конференции «Современный анализ и его приложения» (Воронеж, 2000); региональной конференции «Малый бизнес в центральном федеральном округе» (Воронеж, 2002); Научно-техническом семинаре «Проблемно-ориентированные системы» (Воронеж, 2002, 2003); Межвузовской конференции «Проблемы обеспечения устойчивого экономического развития в современных условиях» (Воронеж 2002, 2003); Международной конференции «Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 52 печатных работах, в том числе двух монографиях и 18 статьях в журналах, рекомендованных списком ВАК.

В работах, опубликованных соискателем предложено математическое обеспечение развития модели управления инфраструктурой малого бизнеса; разработаны аналитические и приближенные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений в связи с задачами теории управления.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 250 страницах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследована динамика нелинейной многосекторной математической модели рынка в условиях многозначных функций спроса и предложения, когда оптимальный выбор каждого производителя и потребителя при заданной цене на товары не единственен. Указана возможность реализации динамики рыночных цен, обладающей заданными оптимальными свойствами.

2. Обосновано, что управление с целью обеспечения минимального уровня дохода каждому участнику экономической системы посредством взимания налога с рентабельных предприятий является необходимым условием устойчивости рыночного равновесия.

3. Доказано, что глобальная устойчивость конкурентного равновесия гарантируется дополнительными свойствами выявленного предпочтения или валовой заменимости товаров.

4. Установлены критерии устойчивости периодической динамики развития рынка при периодическом изменении параметров управления экономической системой. Развит и обоснован проекционный метод приближенного отыскания периодической динамики.

5. Получена асимптотика периодической динамики рыночных цен в зависимости от скорости реакции запаздывания спроса относительно предложения. При малой скорости реакции (т.е. большом времени запаздывания) рыночная динамика асимптотически приближается к равновесному состоянию стационарной нелинейной системы, структурные параметры которой получаются усреднением по времени параметров исходной модели. Когда скорость реакции спроса по отношению к предложению велика, периодическая динамика асимптотически приближается к периодическому режиму предельной нестационарной системы, параметрически зависящей от времени.

6. • Для математической модели экономики со структурными параметрами, зависящими от времени, указан и обоснован принцип выбора начального капитала, гарантирующего рост совокупного дохода экономической системы. Установлено, что рост или убывание совокупного дохода зависит от того больше или меньше начальный капитал начального состояния ограниченного режима функционирования, присущего данной системе.

7. Указаны и обоснованы области возможных параметров управления для достижения стабильности экономической системы, описываемой нелинейной непрерывной динамической моделью с мультипликатором и акселератором и наличием запаздываний спроса относительно предложений и инвестиций относительно скорости возрастания доходов. Исследован случай, когда дополнительный стабилизирующий спрос, организуемый управляющим органом, пропорционален дефициту продукции либо скорости сокращения продукции.

8. В связи с задачами управления развита теория дифференциальных включений для классов нелинейностей, которые удовлетворяют ограничениям, встречающимся в экономических системах: условию выявленного предпочтения, условию валовой заменимости, условию диссипативности и др. Получены результаты по существованию, единственности, положительности решений, их устойчивости по Ляпунову.

9. Для нелинейных систем, характеристики которых периодически изменяются во времени, проведено обоснование процедуры Галеркина -приближенного отыскания периодических решений, а также исследована асимптотика поведения периодических решений, при малых или больших значениях параметров.

1. Аллен Р. Математическая экономика. М., И.Л., 1963-600с.

2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.293 с.

3. Багриновский К.А. Модели и методы регулирования и стабилизации рыночных процессов // Экономика и матем. методы, 1993, т.29, вып.1.

4. Батищев Л.И., Львович Я.Е., Фролов В.И. Оптимизация в САПР. -Воронеж: Изд -во Вор. гос. ун-та, 1997. — 416с.

5. Биржевая деятельность / Под ред. проф. А.Г. Грязновой. М.: Финансы и статистика, 1995. - 240 с.

6. Благодатских В.И., Филлипов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление. Труды МИАН СССР, 1985, т. 169, с. 196-252.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.Д. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503с.

8. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж, ун-т, 1986. -101с.

9. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. -М.: Наука, 1972.-415 с.

10. Винер Н. Кибернетика. М.: Сов. радио, 1968.

11. Гаевский X., Грегер К., Захариас К Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. - 336 с.

12. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. - 400 с.

13. Гноенский А.С., Каменский Г.А., Эльсгольц А.Э. Математические основы теории управляемых систем. -М.: Физматгиз, 1969.

14. Гомиенко О.Г. Проблема экономического роста в макроэкономических моделях // Экономика и матем. методы, 2001, т. 37, вып. 4.

15. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. М.: ЮНИТИ, 1995.

16. Гохберг JI.A. Национальная инновационная система России в условиях «новой экономики» // Вопросы экономики, 2003, №3, с.37-42.

17. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985.

18. Давние В.В. Адаптивное прогнозирование: модели и методы. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997.- 196с.

19. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС, 1997. - 365 с.

20. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979.

21. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Экономико-математическое моделирование малого бизнеса // Экономика и матем. методы 2001, т. 37 вып. 2.

22. Исследование операций в экономике. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. -М.: ЮНИТИ, 1997.-407с.

23. Итеративные методы в теории игр и программирования. Под ред. Беленького В.З., Волконского В.А. М.: Наука, 1974. - 239с.

24. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации игэкономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с.

25. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

26. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука, 1972.

27. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964. 231 с.

28. Карр Ч., Хоув Ч. Количественные методы принятия решений в экономике и управлении. М.: Мир, 1966. -464 с.

29. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972.

30. Кемени Дж., Снел Дж. Кибернетическое моделирование. М.: Советское радио, 1972.- 191с.

31. Климов B.C. К задаче о периодических решениях операторных дифференциальных включений // Изв. АН СССР, 1989, т.53, №2, с.309-327.

32. Колемаев В.А. Математические модели макроэкономической динамики. М.; ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1996.

33. Колемаев В.А., Малыхин В.И. и др. Математические методы принятия решений в экономике: Учебник. М.: Финстатинформ, 1999.

34. Кондратьев И.Д. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. Избранные труды. М.: Экономика, 2002. - 703с.

35. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969.

36. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. -М.: Наука, 1975.

37. Красносельский М.А. Оператор ^ сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука 1969. - 331 с.

38. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

39. Кротов Н.В. и др. Моделирование народнохозяйственных процессов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

40. Кротов Ф.В. и др. Основы теории оптимального управления. М.: Высшая школа, 1990.

41. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., 1964.

42. Ланге О. Введение в экономическую кибернетику. М.: Прогресс, 1968. -207с.

43. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М. Изд-во Моск. ун-та, 1978. -205 с.

44. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М.: Мир, 1972.-587 с.

45. Макаров B.JI., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. -М.: Наука, 1973. -335 с.г

46. Медницкий В.Г., Медницкий Ю.В. Королев В.Г. Формы динамического равновесия в замкнутой экономике // Экономика и матем. методы, 1998, Т. 34, вып. 2.

47. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.t

48. Киев: Наук. Думка, 1979. 440 с.

49. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970.

50. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. - 279с.

51. Моррис У. Наука об управлении. Байевский подход. М.: Мир, 1971.

52. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. -М.: Физматгиз, 1970.

53. Немчинов B.C. Избранные произведения, т.З. Экономика и математические методы. М.: Наука, 1967. - 417с.

54. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.-514с.

55. Новожилов В.В. Измерение затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: Экономика, 1967. - 376с.

56. Обэн Ж.П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.-264 с.

57. Обэн Ж.П., Экланд П. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. -510с.

58. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., «Мир», 1975.

59. Перов А.И. Вариационные методы теории нелинейных колебаний. -Воронеж, изд-во ВГУ, 1981. 196 с.

60. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.; JL, 1964.

61. Плющев Ю.В. Эволюционные уравнения и неоднородные полугруппы операторов в банаховом пространстве // ДАН СССР, 1976, т.227, №1, с.39-42.

62. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. О периодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Учен. зап. Ленингр. пед. ин-та. 1972, вып.541, с. 145-154.

63. Полтерович В.М. Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. М.: Наука, 1990.

64. Понтрягин Л .С. Математическая теория оптимального управления. М.: Наука, 1976.

65. Пшеничный Б.И. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.-314с.

66. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М., «Наука», 1974.

67. Самуэльсон П., Нордхаус В. Экономика. М.: Прогресс, 2000. - 668 с.

68. Сморгонский А.В. Оптимизация налогов на прибыль предприятий // Экономика и мат. методы, 1992, т.28, №2, с.316-318.

69. Соболь И.М., Статников Л.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. — М.: Наука, 1981. 110с.

70. Солерю Л. Равновесие и экономический рост. М.: Статистика, 1974.

71. Тинберхан Я., Бос. X. Математические модели экономического роста. М.: Прогресс, 1967. 172с.

72. Тироль Ж. Рынки и рыночная власть: теория организации промышленности, т. 1. СПб: Экономическая школа, 2000. —328с.

73. Тироль Ж. Рынки и рыночная власть: теория организации промышленности, т. 2. СПб: Экономическая школа, 2000. 450с.

74. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Мат. сб., 1952, т.31, №3, с.575-586.

75. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск, Наука, 1986 - 295 с.

76. Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. Минск: Наука и техника, 1986-200с.

77. Урабе М. Метод Галеркина для нелинейных периодических систем. Сб. переводов. Механика, 1966, т.З, №97. С. 3-34.

78. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. - 223с.

79. Фролов В.Н. Управление в технологических и медицинских системах. -Воронеж, гос. техн. ун-т, 2001. 327 с.

80. Фролов В.Н., Львович Я.Е., Подвальный С.Л. Проблема оптимального выбора в оптимальных задачах. Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1980.- 139 с.

81. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991. - 240с.

82. Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал: пер. с англ. М.: Прогресс, 1993. -488 с.

83. Хэксман Ф. Применение математических методов в управлении производством и запасами. М.: Прогресс, 1966. - 279с.

84. Шаттелес Т. Современные эконометрические методы. М.: Статистика, 1975.-238с.

85. Шелобаев С.Н. Математические методы и модели в экономике, финансах и бизнесе. М.: ЮНИТИ, 2002. - 367с.

86. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990. - 316 с.

87. Экланд И., Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983. -248с.

88. Экономико-математические методы и прикладные модели. Под ред. проф. Федосеева В.В. -М.: ЮНИТИ, 2001. -391с.

89. Эртли-Каякоб П. Экономическая кибернетика на практике. М.: Экономика, 1983.

90. Яновский Л.П. Детерминированные методы в экономике и финансах. -Воронеж: ВГАУ, 1995. 143 с.

91. Anderson E., Schmittlein D. Integration of the Sales Forse: An Americal Investiqation // Rand Jouor. Econ, 1984, vol. 15, p. 385-395.

92. Arrow K.J. Hurwicz L. On the Stability of the competitive equilibrium I, Econometrica 1958, v. 26, p. 522-552.

93. Aubin J.P., Cellina A. Differential inclusions. Spvinger Verlag. - Berlin -Heidelberg - New-York, 1984. -341p.

94. Brezis, H. Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les especes de Hilbert. Amsterdam-London-New-York: North-Holland, 1973 - 183p.

95. Chiang A.C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, New-York, 1984.

96. Dorfman R. Economic Interpretation of Optimal Control Theory. American Economic Review, Desember, 1969, p. 817-837.

97. Goodvin R.M. A growth cycle // Socialism, capitalism and economic growth. Cambridge, 1967. p. 54-58.

98. Kamien M.I., Schwartz N.L. Dynamic Optimization: The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management. New-York, 1991.

99. Kato T. Accretive operators and non-linear evolution equations in Banach spaces.//Amer. Math. Soc., 1970. vol. 18, part I, p. 138-161.

100. Ramsey F.P. A mathematical Theory of Saving. Economic Journal. December, 1928, p. 543-559.

101. Samuelson P. A. Foundations of economic analysis. Cambrige, Massachusetts, 1948.

102. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ1. Книги

103. Хацкевич В.Л. Математическое моделирование процессов динамики и управления в экономике. Воронеж: Центр.-Чернозем. кн. изд-во, 2003. 120 с.

104. Хацкевич В.Л., Хацкевич Л.Д. Электронные рынки и их инфраструктура в малом бизнесе. Воронеж: Центр.-Чернозем. кн. изд-во, 2001. 90 с.

105. Статьи и материалы конференций

106. Хацкевич B.JL, Хацкевич Л.Д. Опыт создания бизнес-инкубаторов и перспектива их развития // Актуальные проблемы социальной и экономической стабилизации в условиях рынка: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВЗФЭИ, 2001. С. 111-119.

107. Хацкевич В.Л. О теории роста Харрода-Домара для экономических систем с переменными структурными параметрами // Модели экономических систем и информационные технологии: Сб. науч. тр. Вып. 6. М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2002. С. 257-272.

108. Хацкевич В.Л., Хацкевич Л.Д. Создание инфраструктуры малого предпринимательства // Малый бизнес в Центральном Федеральном округе: Сб. науч. тр. Вып. 1. Воронеж: ВГПУ, 2002. С. 41-51.

109. Хацкевич В.Л., Хацкевич Л.Д. Малый бизнес и электронные рынки // Малый бизнес в Центральном Федеральном округе: Сб. науч. тр. Вып. 1. Воронеж: ВГПУ, 2002. С. 90-100.

110. Хацкевич В.Л. Об устойчивости математической модели рыночного равновесия // Вестник ВЗФЭИ. Воронеж, 2003. С. 66-71.

111. Хацкевич В.Л. Динамическая модель устойчивого равновесия в системе сбыта промышленной продукции на электронных рынках // Организатор производства. М.: Экономика и финансы. 2003. № 2 (12). С. 58-60.

112. Хацкевич В.Л. Нелинейная модель управления перераспределением доходов с целью стабилизации производства // Организатор производства. М.: Экономика и финансы. 2003. № 2 (12). С. 48-51.

113. Хацкевич В.Л. Об устойчивости управляемой модели рынка при наличии системы социального обеспечения // Проблемы обеспеченияустойчивого экономического развития: Материалы Межвуз. науч.-метод, конф. Воронеж, 2003. С. 23-27.

114. Хацкевич В.Л. К вопросу о локализации спектра оператора монодромии // Исследования в области физики, химии твердого тела: Сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1973. С. 33-34.

115. Перов А.И., Смагина Т.И., Хацкевич В.Л. Оценки периодических решений / ВГУ. Воронеж, 1973. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 1973, № 6217-73.

116. Задорожный В.Г., Перов А.И., Хацкевич В.Л. Нахождение периодических решений линейных дифференциальных уравнений методом Галеркина // Нелинейные колебания и теория управления: Межвуз. сб. науч. тр. Ижевск: Удмурдский гос. ун-т, 1977. Вып. 1. С. 3-12.

117. Хацкевич В.Л. О приближении нахождения периодических решений методом Галеркина / ВГУ. Воронеж, 1978. 46 с." Деп. в ВИНИТИ 1978, № 3085-78.

118. Перов А.И., Хацкевич В.Л. Экспоненциальная устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. науч. тр. Куйбышев: Куйбышевский гос. ун-т, 1978. Вып. 4. С. 53-67.

119. Хацкевич В.Л Применение метода Галеркина для отысканий периодических решений // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 11. С. 2100-2103.

120. Хацкевич В.Л О методе Галеркина для векторных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Тюмень: Тюменский гос. ун-т, 1980. С. 128-136.

121. Хацкевич B.J1. О вариационном подходе в теории некоторых краевых задач / ВГУ. Воронеж, 1980. 23 с. Деп. в ВИНИТИ 1980, № 2702-80.

122. Задорожный В.Г., Перов А.И., Хацкевич B.J1. Метод Галеркина для нахождения периодических решений // Математическая физика. Киев: Наукова думка, 1981. Вып. 29. С. 25-35.

123. Трубников Ю.В., Хацкевич B.JL, Дашиева С.С. Метод Галеркина в условиях монотонности // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 8. С. 1352-1362.

124. Перов А.И., Хацкевич B.JI. О некоторых локальных теоремах существования периодических решений // Известия вузов «Математика». 1982. №7. С. 50-60.

125. Перов А.И., Хацкевич B.J1. Применение вариационного метода к решению задач теории нелинейных колебаний // Школа по теории операторов: Межвуз. сб. науч. тр. Минск: БГУ, 1982. С. 147-148.

126. Хацкевич B.JI. Об оценке невязки в методе Галеркина для нелинейных уравнений // Операторные методы в нелинейном анализе: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1982. С. 129-133.

127. Перов А.И., Хацкевич B.JI. О вариационном подходе при исследовании периодических решений гамильтоновых систем // Теория операторов в функциональных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1983. С. 72-79.

128. Хацкевич B.JI. Монотонные дифференциальные уравнения в условиях Каратеодори / ВГУ. Воронеж, 1983. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 1983. № 4342-83.

129. Хацкевич B.JI. О потенциальных операторах // Математические заметки. 1984. Т. 36. №3. С. 377-386.

130. Перов А.И., Смагина Т.И., Хацкевич B.JI. Вариационный подход к задаче о периодических решениях // Сибирский математический журнал. 1984. Т. 25. № 1.С. 106-119.

131. Хацкевич B.JI. Задача Коши для дифференциальных включений с максимально монотонными операторами // Прикладные методыфункционального анализа: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1985. С 162170.

132. Хацкевич B.J1. Периодические решения нелинейных канонических систем // Дифференциальные уравнения и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1985. С. 173-179.

133. Хацкевич B.J1. О разрешимости периодической задачи для нелинейного волнового уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения и приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Махачкала: ДГУ, 1986. С. 96-97.

134. Дашиева С.С., Трубников Ю.В., Хацкевич B.J1. Монотонность Галеркинских систем // Операторные уравнения в функциональных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1986. С. 97-103.

135. Хацкевич B.JI. Зоны регулярности и структура функционального пространства гамильтонианов / ВГУ, Воронеж, 1986. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 1986, № 2843-В.

136. Перов А.И., Хацкевич B.J1. Классы регулярности билинейных форм и нелинейные эллиптические граничные задачи // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 3. С. 464-476.

137. Блатов И.А., Соболевский Е.П., Хацкевич В.Л. О некоторых подходах при численном моделировании МДП структур // Автометрия. 1988. № 3. С. 28-34.

138. Хацкевич В.А., Хацкевич В.Л. О вариационном методе исследования периодических Гамильтоновых систем // Функциональный анализ: Межвуз. сб. науч. тр. Ульяновск: УГПИ, 1989. С. 129-140.

139. Хацкевич В.Л. Дифференциальные включения с монотонными операторами. Препринт 6-5-90. Воронеж: ВГУ, 1990. 57 с.

140. Хацкевич В.Л. Периодические решения монотонных систем с запаздыванием // Украинский математический журнал. 1990. Т. 42. Вып. 5. С. 659-668.

141. Хацкевич В.Л. Ограниченные решения монотонных систем с запаздыванием // Применение новых методов анализа в теории краевых задач: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 1990. С. 120-127.

142. Хацкевич В.Л. Разрешимость периодической задачи для нелинейных Гамильтоновых систем // Известия вузов «Математика», 1991. №3. С. 61-70.

143. Хацкевич В.Л., Азизов Т.Я. О некоторых приложениях теории операторов в пространствах Крейна // Математические заметки. 1991. Т. 50. № 4. С. 3-9.

144. Хацкевич В.Л. Периодические решения Гамильтоновых дифференциальных включений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. Вып. 1. СПб., 1992. С. 43-50.

145. Хацкевич В.Л. Усреднение диссипативных дифференциальных включений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. Вып. 4. СПб., 1992. С. 61-67.

146. Хацкевич В.Л. Периодические решения дифференциальных включений с монотонными операторами //Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. №4. С. 725-727.

147. Хацкевич В.Л. Периодические решения дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными // Украинский математический журнал. 1993. Т. 43. № 5.

148. Хацкевич В.Л., Азизов Т.Я. Неравенства между самосопряженными операторами и приложения к некоторым проблемам математической физики // Математические заметки. 1994. Т. 55. № 6. С. 3-12.

149. Хацкевич В.Л. Об исчезающей вязкости для уравнений Навье-Стокса // Доклады РАН. 1996. Т. 347. № 2. С. 168-170.

150. Хацкевич В.Л. Принцип усреднения для монотонных дифференциальных включений // Доклады РАН. 1997. Т. 357. № 1. С. 2628.

151. Хацкевич B.JI. Об асимптотическом представлении решений системы Навье-Стокса в случае большой вязкости // Доклады РАН. 1998. Т. 362. № 6. С. 773-775.

152. Хацкевич В.Л. Асимптотические методы для монотонных дифференциальных включений // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Материалы Междунар. конф. М., 1998. С. 108.

153. Azizov T.Y., Dijksma Aad, Khatskevich V.L. On the defect of noncontractive operators in Krein spaces. Operator Theory: Advances and Applications, 1998. Vol. 106. C. 91-112.