автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и исследование алгоритмов расчета на ЭВМ математической модели региональной макроэкономики, решение задачи оптимального управления

На правах рукописи

Стригунов Валерий Витальевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА НА ЭВМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГИОНАЛЬНОЙ МАКРОЭКОНОМИКИ; РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Комсомольск-на-Амуре - 2008

003451273

Работа выполнена в ГОУВПО "Тихоокеанский государственный университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Булгаков Виктор Кирсанович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Русяк Иван Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Соловьев Сергей Викторович

Ведущая организация:

Томский государственный университет, г. Томск

Защита состоится "14" ноября 2008 г. в 12— часов на заседании диссертационног совета ДМ 212.092.03 при Комсомольском-на-Амуре государственном техниче ском университете (ГОУВПО "КнАГТУ") по адресу: 681013 г. Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27, ГОУВПО "КнАГТУ".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО "КнАГТУ"

Автореферат разослан "8" октября 2008 г.

Ученый секретарь Зарубин М. М.

диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы обусловлена необходимостью выявления количественных закономерностей, складывающихся в макроэкономике регионов РФ в современных условиях переходного периода; необходимостью разработки новых математических моделей региональной макроэкономики, исследования условий корректности этих моделей, разработки алгоритмов оптимального управления экономической системой на региональном уровне, численных расчетах оптимальных траекторий развития.

Классическими среди макромоделей стали модель Рамсея (1928 г.) и Солоу (1956 г.). Развитие этих моделей представлено работами М. Интрилигатора, B.JI. Макарова, A.M. Ру-бинова, В.З. Беленького, В.А. Колемаева. Региональная макроэкономика, как наука, появилась на Западе в 50-х годах XX века; лидером ее стал У. Айзард. В России вопросами региональной макроэкономики занимается акад. А.Г. Гранберг и другие.

Одной из основных зависимостей математической модели макроэкономики региона является производственная функция (ПФ), определяющая объем выпускаемой продукции в единицу времени (год) в зависимости от объема используемых в производстве ресурсов. В данной работе для моделирования производственного процесса использовалась В-функция, предложенная в работах Булгакова В.К., Булгакова О.В.

Ряд важных вопросов экономической теории связан с необходимостью определять наилучший, оптимальный вариант решения. Математический аппарат современной теории оптимального управления включает методы вариационного исчисления, принцип максимума и метод динамического программирования.

Принцип максимума, предложенный акад. JI.C. Понтрягиным, позволяет решать ряд задач математического и прикладного характера, которые являются вариационными задачами, но не укладываются в классическую схему вариационного исчисления. Необходимые условия принципа максимума позволяют сформулировать краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что в работах по математической экономике, где для решения задачи оптимального экономического роста использован принцип максимума Л. С. Понтрягина, подынтегральная функция максимизируемого функционала принималась равной функции удельного потребления. В этом случае оптимальное управление представляет собой систему релейных переключений граничных значений функции потребления. В настоящей диссертации рассмотрена нелинейная подынтегральная функция - функция полезности в виде степенной зависимости от удельного потребления, где показатель степени 0 < а < 1.

Задача расчета оптимального управления с помощью необходимых условий принципа максимума сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Единственным классом дифференциальных уравнений, для которых разработаны регулярные методы решения краевых задач, являются линейные дифференциальные уравнения. Эти методы и основанные на них схемы решения краевых задач заключаются в переносе граничных условий (метод прогонки). Метод прогонки используется и для построения итерационных способов решения нелинейных краевых задач. Однако не все задачи оптимального управления могут быть сведены к краевым задачам для линейных дифференциальных уравнений.

В настоящей работе предлагается оригинальный алгоритм решения краевой задачи оптимального управления региональной макроэкономикой при конечном горизонте планирования (Г < со); исследованы задачи с фиксированным и не фиксированным временем.

Цель работы.

1. Разработка и исследование математической модели региональной макроэкономики РФ в переходный период, учитывающей особенности межбюджетных отношений.

2. Разработка алгоритмов решения краевой задачи оптимального управления динамикой региональной макроэкономики, исследование условий существования и единственности рассмотренных задач. Численные исследования алгоритмов расчета оптимального

управления региональной экономикой.

3. Проведение численных исследований на ЭВМ динамики макроэкономических параметров региональной экономической системы на основе решения задачи оптимального управления (на примере Хабаровского края). Научная новизна работы.

1. Разработана и исследована новая математическая модель региональной макроэкономики РФ на основе производственной В-функции. Модель учитывает особенности существующих в РФ межбюджетных отношений.

2. Доказана теорема о существовании и единственности стационарного решения предложенной математической модели.

3. Доказана теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, описываемой предложенной математической моделью.

4. Разработаны и исследованы алгоритмы решения краевой задачи оптимального управления для конечного горизонта планирования Т заранее не заданного, а также для горизонта планирования Т заранее заданного.

5. На основе разработанных алгоритмов проведены численные исследования на ЭВМ динамики макроэкономических параметров, соответствующей оптимальному управлению.

6. Теоретически обнаружен инвариант исследуемой макроэкономической модели.

Практическая ценность.

1. Разработанные алгоритмы расчета краевых задач оптимального управления реализованы в виде комплекса программ на языке С++. Программный комплекс может быть использован при разработке стратегий социально-экономического развития регионов РФ.

2. Предложенные и исследованные алгоритмы решения краевых задач оптимального управления могут быть использованы для решения задач оптимального управления в конкретных отраслях народного хозяйства.

На защиту выносятся.

1. Алгоритмы решения краевых задач оптимального управления для предложенной ма-. тематической модели региональной макроэкономики.

2. Теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, основанной на производственной В-функции.

3. Численные исследования на ЭВМ оптимальных управлений и соответствующих траекторий макроэкономических параметров региональной макроэкономики. Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Хабаровск, ДВГУПС, 2005 г.);

- VIII открытый конкурс-конференция молодых ученых и аспирантов Хабаровского края (экономическая секция) (Хабаровск, ИЭИ ДВО РАН, 2006 г.);

- XXXI, XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 2006 - 2007 гг.);

- IX краевой конкурс-конференция молодых ученых (физико-математическая секция) (Хабаровск, ДВГУПС, 2007 г.);

- семинар "Дифференциальные уравнения" (рук. д.ф.-м.н., проф. А.Г. Зарубин) (Хабаровск, ТОГУ, 2007 г.);

- Пятая международная научная конференция творческой молодежи (Хабаровск, ДВГУПС, 2007);

- Российская конференция "Дискретная оптимизация и исследование операций" (Владивосток, ИАПУ ДВО РАН, 2007 г.).

Основные положения диссертации опубликованы в 9 работах.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 144 страницы машинописного текста, содержит 59 рисунков, 8

4

таблиц и список литературы из 108 наименований. Нумерация формул в диссертационной работе состоит из двух чисел: первое число соответствует номеру главы, второе - порядковому номеру формулы в этой главе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение содержит обоснование актуальности темы, цель исследования, научную новизну и практическую ценность полученных результатов; основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава содержит математическую модель макроэкономики региона на основе производственной В-функции, исследование математической модели.

В первом параграфе рассмотрены свойства производственной В-функции, проведен ее сравнительный анализ с производственной функцией Кобба-Дугласа и CES.

В переменных x1=/jk, х2= gn, где ц - доля выбывших за год основных производственных фондов К, g - средний годовой доход одного работника, N - численность работников, участвующих в производственном процессе региона, производственную В-функцию можно записать в частной форме

(

1-е *г + B(l-b)xl 1-е

— = bx7 С

в *

(I)

где В, Ь, С а - параметры В-функции, У - валовой региональный продукт. При разработке и исследовании математической модели макроэкономики региона используется производственная В-функция в виде однопараметрической зависимости

= + . (2)

Описан алгоритм расчета параметров В-функции. В результате вычислений по статистическим данным за 1991 - 2002 гг. получены значения параметров производственной В-функции для Хабаровского края: В = 0.857, ¿> = 0.814, С„ =10.947.

Во втором параграфе этой главы выведены математические соотношения, связывающие экономические показатели для существующей бюджетной системы РФ. Получены зависимости для нормы накопления с,, нормы потребления cw, суммарных инвестиций I, фонда непроизводственного потребления W.

В третьем параграфе дана новая математическая модель макроэкономики региона в следующих относительных безразмерных показателях (переменных):

DMK . 1 W Y

х = В^—, 1 =-, w =-, у =-, (3)

gN gN gN gN

где x - фазовая (основная) переменная (при g = const х пропорциональна фондовооруженности); экономический смысл переменных /, w, у следует из (3). Математическая модель макроэкономики региона включает в себя:

- основное уравнение модели

dx

— = аВ(х)-Лх, (4)

at

где а = /jBc{ С«., Л = pi + v+T, х е С(я)[0, со) - в силу свойств функции В(х), teRl+ = {t: 0<t<oo);

- начальное условие уравнения (4)

д;(0) = X. = й-^-®- , ЛГ, е (0, со) ; (5)

' 1 ^ЧОЩО) 1 ^

- зависимости для макроэкономических переменных /, IV, у

1 = с,.С„В(х), м> = с„СаВ(х), у = Ст В(х); (6)

- производственную В-функцию (2).

Переменная (фазовая, основная) с областью значений Я(х) = (0, со) как решение задачи Копта (4), (5) изменяется во времени, описывая динамику развития региональной экономической системы. Очевидно, что остальные макроэкономические переменные модели также являются функциями времени.

Вопрос о существовании и единственности стационарной траектории модели решает лемма 1.1.

Лемма 1.1. Пусть параметры правой части уравнения (4) а, Л>0 и имеет место неравенство

А<а, (7)

тогда уравнение (4) имеет единственную стационарную точку хг > 0.

Следующая лемма определяет начальное приближение при решении уравнения у/(х) = ух-В(х) = 0 (8)

итерационным методом Ньютона для расчета стационарного значения хг.

Лемма 1.2. Если для решения уравнения (8), определяющего стационарную траекторию модели, использовать метод Ньютона и взять начальное приближение

*о=Г~\ (9)

то итерационный процесс Ньютона дает монотонно убывающую последовательность {*« }->*,-

В четвертом параграфе на основе численного решения задачи Коши математической модели исследован выход основной фазовой переменной на стационарный режим.

В пятом параграфе доказывается теорема, устанавливающая неравенства для норм накопления "золотого правила накопления" при использовании производственной В-функции и функции Кобба-Дугласа.

Теорема 1.1. Пусть с1ор( - оптимальная норма накопления, соответствующая максимальному среднедушевому потреблению на стационарном режиме функционирования экономической системы, в случае, когда производственный процесс описывается В-функцией, а с/0/)(| - оптимальная норм накопления, когда производственный процесс

описывается функцией Кобба-Дугласа. Пусть 0.1 <«, <0.9, 0<у < 1. Тогда:

1) существует 0, являющееся корнем уравнения

Г(г,аг,) = 1,

такое, что при у = у, с1вр,=с,ор1]-

2) для уе(0,у,) с1ор, <с1ори;

3)для уе(у,,\) с10р1>с10р11.

Вторая глава посвящена оптимальному управлению динамикой региональной экономической системы. Глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе для предложенной модели макроэкономики региона (4), (5), (6), (2) с переменным во време-

ни потреблением w(t), удовлетворяющим неравенству

щВ(х(0)<к(1)<л2В(х(0), (10)

введена функция управления региональным экономическим процессом

«(0 = -^- (Н)

В(х( /))

Учитывая (10), введем множество функций допустимых управлений

О = {м(0 6 С[0, Т]: u(t) е R}. (12)

Здесь R — замкнутое множество значений функций допустимых управлений u(t), которое в нашем случае есть отрезок [ я^, тсг ], R = [ л",, лг ]; Т - горизонт планирования динамики экономической системы, 0 < Т < <х>.

В качестве функции полезности возьмем степенную зависимость F(w) = и>", где а е (0,1) - эмпирическая постоянная.

Во втором параграфе доказана теорема об оптимальном управлении. Математическая постановка задачи оптимального управления имеет вид

тах \В"(x(l))ua(t) dt 0

— = а0 В(х) - Л х - р В(х) и dt

х(0) = х,, х(Т)=х2 В задаче (13) момент времени Т заранее не задан.

Функция Гамильтона исследуемой задачи (13) имеет вид

Н(х, у, и) = Ва (х)и а 4- ц/ [ ай В{х)-Лх - р В(х)и ], гамильтонова система уравнений есть

= а,В{х)-Ах-рВ(х)и

di

^- = -у/[а0В\х)-к] + [у/ри-аВа\х)иа']В\х) dt

(13)

(14)

(15)

х(0) = х1, х(Т) = х2

где у/{() - сопряженная к х(Г) переменная, ^(/)еС1[0,Т].

Решение задачи (13) получим на основе принципа максимума Понтрягина. Рассмотрим функции

су а

-, где с, =-

РМ

(/ = 1,2). (16)

Теорема 2.1 определяет конкретную функциональную зависимость между оптимальным управлением «*(/) и соответствующими ему оптимальными траекториями фазовой и

сопряженной переменных х'((), у*(0-

Теорема 2.1. Пусть «*(/)€ [/ - оптимальное управление задачи (13), л*(О, 1//*(0 - соответствующие ему решения гамильтоновой системы (15). Тогда между оптимальным управлением и*(0> соответствующими ему оптимальными траекториями фазовой

и сопряженной переменных х*(1), (//*(/) имеет место зависимость

при W(f) <у,(х'(/))

1

ж

1 "(О при • (17)

я, при (**(/))

В параграфе 2.3 приводится запись краевой задачи оптимального управления в форме, удобной для разработки алгоритма решения на ЭВМ.

1

Введем следующие параметры модели: р = /лВ, <з0 = р с] Стг = |' ",

Л 1

Л^ц + v + r, Го=~> = — а„ а„

а

с0 = а1-", а,

<хях I я \ Л акг

",=-, аг = аЛ\—-М, Г2=—. «2=-

я, V <?С„/ а2 аг

яс„ 1

1о= —. = —. Чг = — ■

Л

>

1

1

■*2 "2 "О "] "2

Звездочки у оптимальных траекторий x'(l), i//'(t), "*(') в дальнейшем для простоты опустим. Тогда уравнения, определяющие оптимальные траектории x(t), i//(t) задачи (13) можно записать в следующей форме

dt Лц/

Ни

(18)

Здесь

F{x,w) =

a2{B(x(t))-y2x(t))

а0\ В(х(ф-Гох(0-(Т1у ' "(/)

G(x,W) =

W{t){B\x{t))-y2) + n2-^

при y(/)zvt(x(0)

при iyl(x(t))<p(t)<yI(x(0) ,

при iy(t)>i//2(x(t))

B'a(x(l))

}

при <//(/) WO)

-аМ1)[В'(х(0)-уо] при щ{х(1))<Ч,(1)<¥г(х(1)) -а,[у/(')(й'(х(0)-Х1) + «,^Й^г] при (,/(/) >у/2 (*(/))

Нам также понадобится следующая эквивалентная системе (18) система уравнений, в которой в качестве независимой переменной взята сопряженная переменная ц/, а в качестве функций фазовая переменная х и время I

d^y ац/

Здесь

ср{х,ч/) =

В(х)-у2х

__1_

¥{В\х)-Го) В(х)-у,х

__Ъ

при у/<<//,(*)

при ^,(.х)<у/<у/2(х) при у/>ц/г(х)

при

V»

__7,

при ^(х)

при

В четвертом параграфе главы 2 проводится качественный анализ оптимальных кривых фазовой и сопряженной переменных.

Рассмотрим на положительном ортанте х) сопряженной и фазовой перемен-

ной замкнутую область О (у/, х) = { у/, х: у/^ < ц/ < , хша <х<хтах }, где отрезок [х|шп , х[Пах ] содержит в себе все возможные реальные начальные и конечные состояния Я), х2 региональных экономических систем, а отрезок [|//тм, ути] все значения переменной у/(/) краевой задачи (15) при допустимых управлениях «(/) е ¡7.

Кривые <//,(*), у/2(х) (16) делят область Л натри подобласти, рассмотренные в теореме 2.1, которые обозначены символами Ч*,, Т, . В подобласти Т есть особая точка (у/а, хг), координаты которой определяются алгебраическими уравнениями

70-.£?'(*,) = О,

где с0-а

[ад-у.х,]"

Для рассматриваемого примера экономической системы ц/, = 7.0876, х, = 1.5853.

IЬс

Введем в подобласти кривую у/0 (х), на которой производная — = 0 (точка

11ц/

>) пока не рассматривается). Кривая у/0{х) 01феделяется уравнением

[В(х)-уах\

На рис. 1 нанесена линия у0(х) для рассматриваемой в качестве примера экономической системы Хабаровского края.

Леммы 2.1, 2.2, теорема 2.2 устанавливают свойства интегральных кривых (оптимальных траекторий х(у/)) системы (19). На их основе доказывается основная теорема 2.3, дающая алгоритм расчета оптимального управления и(/) и соответствующих ему оптимальных траекторий х(<), у/(1), и>((), интеграла благосостояния 3, времени достижения конечного состояния Г.

Лемма 2.1. Интегральные кривые системы (19), исходящие из промежутков А'А, ВВ', образуют два семейства {а(|}, }; {а^} расположенных в П,, {Ь,2} -вП2.Ни

одна кривая семейств {<?,,}, {Ь^} не пересекает полосу П. Здесь /, =1,и,, /2=1 ,п2, и,, «2 - любые целые числа.

Лемма 2.2. Интегральные кривые {а)(} с не пересекаются между собой, интегральные кривые {Ь^} с: П 2 также не пересекаются между собой. Каждой точке промежутка А'А кривые {я* } ставят в соответствие только одну точку кривой (х). Каждой точке ¿¡¡2 промежутка ВВ' кривые {¿>,~2} ставят в соответствие только одну

точку кривой щ(х).

Пусть./',..- значения интеграла благосостояния на экстремалях ах,..., ащ, а

Ту, Т^ - времена перехода из состояния х1 в состояние х2 по экстремалям сг,.....

ащ. Обозначим через ^,..., и Т^ -интегралы благосостояния, времена пе-

рехода на экстремалях й,,..., Ь„г.

Теорема 2.2. Рассмотрим экономический процесс, описываемый системой уравнений (19). Рассмотрим лг,, хг е П^ - начальное и конечное состояния экономической системы, хтЫ <х1<х2<х1 (случай А).

Рассмотрим также х], х2еГ12 - начальное и конечное состояние системы, х5 <х2<х{ <хта (случай В). Тогда: время перехода из состояния Хх в состояние х2 в случае А, по экстремалям а,, ..., аП] и соответствующие значения интеграла благосос-

тояния, а также время перехода из состояния дг, в состояние хг, в случае В по экстремалям Ьх, ..., ЬП2 и соответствующие значения интеграла благосостояния удовлетворяют

неравенствам

(21) (22)

где индекс 5=1 (для случая А), индекс 5 = 2 (для случая В).

В пятом параграфе доказана теорема 2.3, дающая алгоритм решения краевой задачи оптимального управления.

Теорема 2.3. Рассмотрим экономический процесс, описываемый системой уравнений (19). Пусть .Х], х2 - точки начального и конечного состояния системы. Тогда решение задачи оптимального управления определяется задачей Коти: А) ПРИ 2 х, < <

Ох' ¿V*

В(х)-У1х

(19 <1\/

По

¥'(в'(х)-г0)

Чх

при 1//0(х2)<у/'<у/2(х')

при 1//'>у/г{х')

при 1//0(х2)<ц/' <р2(х')

при у/'>у/2{х')

с начальными условиями Г2=У0(х2) =

[В{х2)-у0х2\ В) при х: < х2 < х, < хтах - задачей Коши:

сЫ ду/'

1_ • 1-я

В(х')-г„х' -<тцг 4>'{в\х)-у,) В(х)-у2х

<1в

7о

г(в'(х)-у0) *12

с начальными условиями (24).

при ц/0(х2)>щ >^(х')

при 1//'<^(х')

при ч/0(х2)>ц/'>щ(х')

при ц/' <^/,(х")

(23)

(24)

(25)

Третья глава посвящена численным исследованиям динамики макроэкономических параметров на основе решения задачи оптимального управления для предложенной математической модели региональной макроэкономики. В первом вводном параграфе дается постановка задачи численных расчетов.

Второй параграф содержит результаты расчетов оптимального управления и*({), соответствующих ему оптимальных траекторий **(')> ^"(О. и'ЧО» интеграла благосостояния на этих траекториях, значений времени перехода из начального состояния х, в конечные состояния х2.

Исходные данные вариантов х2, рассчитанные значения сопряженной переменной ц/г, интеграла благосостояния J, времени перехода Т для случая А приведены в таблице 1.

Таблица 1

Вариант *2 V1 V2 J Т

1 0.33 1.585304 23.596304 7.087574 111.48 39.17

2 0.33 1.4 23.432188 7.103178 19.24 9.92

3 0.33 1.2 22.827570 7.161670 12.84 7.44

4 0.33 1.0 21.658529 7.279479 9.05 5.74

5 0.33 0.8 19.745293 7.487083 6.19 4.25

На рис. 2 показаны оптимальные траектории как функции времени х'(1) между начальным и конечным состояниями системы, а на рис. 3 - оптимальные траектории сопряженной переменной у "(О- На рис.4 и 5 представлены оптимальные управления

и'(I) и соответствующие ему траектории оптимального удельного потребления уг'^) для вариантов 1-5 табл. 1.

Как известно, если задача является автономной, то функция Гамильтона постоянна в точках оптимальных траекторий

Я(хЧ0> !/(<), "'«Нот*. (26)

Из равенства (26) получен инвариант исследуемой макроэкономической модели

В третьем параграфе исследована динамика размерных макроэкономических показателей на оптимальных траекториях при варьировании параметров экономической модели. Значения параметров у, т, ц, а, дня которых проводились расчеты, приведены в таблице 2.

____Таблица 2

Параметр Вариант 1(базовый) Вариант 2 Вариант 3

V -0.0045 0.0045 -0.015

т 0.06 0.11 0.01

ß 0.07 0.05 0.09

а 0.7 0.9 0.3

На рис. 6-9 показаны зависимости макроэкономических показателей Г(<), K(t), /(f), fV(i) при темпах роста среднегодового дохода одного работника г: г, = 0.06, т2 = 0.11, г, = 0.01 для = 0.5.

Рис. 8

■И» • ИМЯ.» шт

Кат

Рис. 9

Четвертая глава посвящена решению задачи оптимального управления динамикой региональной экономической системы при наперед заданном горизонте планирования. В качестве основы используются результаты главы 2.

Рассмотрим задачу оптимального управления динамикой региональной экономической системы (3) для случая, когда горизонт планирования Тр<оо задан заранее. Предположим также, что х1 < х2 < х,.

В силу неравенств (20) теоремы 2.2 минимальное время перехода по экстремалям {а,}, I = 1, и,, из состояния Л, в состояние х2 равно - времени перехода по экстремали а,, а максимальное время перехода из состояния Л, в состояние Х2 равно - соответствующее экстремали . Введем обозначения: - Тх, = Тп>.

Теорема 4.4. Если в задаче оптимального управления (3) для времени перехода Тр из состояния Хх в состояние Х2 имеет место включение

е[7^,ГЮ1Х], (28)

то решение задачи оптимального управления (3) существует и единственно.

Решение задачи оптимального управления для заранее заданного горизонта планирования Тр состоит в определении корня £ операторного уравнения

где зависимость Т(у/2) определяется решением задачи Коши

В(х)-у,х

ск_

<1Ц1

(¡у/

*ч И ГЦ

В{х)-г0х-ауг

1

1 -а

при а<цг <{//2(х)

при щ>у/2(х)

<у(В'(х)-Го)

——- при а<ц/<1//2(х)

при ц/>1/2(х)

__й.

1// = 1//г, х-х2, 0 = 0

Функциональная зависимость Т(у/2), следовательно и г(у/2), непрерывная, строго

монотонно убьшающая на [а,6], где а = I//2, 6 = у/^. На концах отрезка т(а)>0,

г(6) < 0. Для нахождения корня г(£) - 0 использовался метод половинного деления и метод хорд.

На рис. 10 представлены для 1.2-,_ ^ ^ $

рассматриваемой экономической

системы результаты расчетов опта- .4

„ ч 0.9-

мальных траектории х (?) и опта- и>

мальных потреблений у*(0 для 3

двух значений наперед заданного горизонта планирования Т х = 6 лет,

Тр2 = 7.44 лет. В первом варианте интеграл благосостояния достигает значения У, =8.22, во втором /2 =12.84.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Основными результатами проведенных исследований являются следующие.

1. Разработан алгоритм расчета параметров В-функции по статистическим данным рассматриваемой экономической системы. Для Хабаровского края по статистическим данным (временным рядам) за 1991-2002 гг. посчитаны на ЭВМ значения параметров В-функции: В = 0.857, ¿ = 0.814, С„ =10.947.

2. Предложена новая математическая модель макроэкономики региона на основе производственной В-функции, с учетом существующих межбюджетных отношений в РФ. Найдено условие (7), при котором математическая модель имеет единственное стационарное решение. Численными расчетами на ЭВМ исследован выход модели на стационарный режим.

3. Доказана теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой для предложенной математической модели макроэкономики (теорема 2.1).

4. Предложен алгоритм решения краевой задачи оптимального управления (теорема 2.3). Алгоритм реализован в форме программы расчета на ЭВМ оптимального управления и*(0 и соответствующих ему оптимальных траекторий х*(1), у*(0, *"*(') ■

5. Работоспособность предложенного алгоритма подтверждена численными исследованиями на ЭВМ динамики макроэкономических параметров экономики Хабаровского края серией расчетов краевых задач оптимального управления.

6. Показано, что в /»-окрестности особой точки ()//5, размерные макроэкономические переменные АГ(/), IV(I), У(0, 1(0 переходят на стационарные "траектории сбалансированного роста" (экспоненциальные кривые). В отличие от ранее существовавших математических моделей, в нашей модели указанные выше макроэкономические переменные растут с темпом V + т, что показывает ведущую роль темпа роста заработной платы г в развитии экономической системы (в ранее существующих моделях темп роста макроэкономических переменных определялся только темпом роста населения у).

7. Проведены численные расчеты на ЭВМ и анализ динамики размерных макроэконо-

мических показателей на оптимальных траекториях. Показано, что не только в окрестности особой точки, но и в любой момент времени I е[0,7*] основным параметром, определяющим развитие экономической системы является темп роста заработной платы т.

8. Разработан алгоритм решения краевой задачи оптимального управления и проведены численные исследования на ЭВМ для случая, когда горизонт планирования Тр < со заранее задан при заданных начальных и конечных состояниях экономической системы хх < х2 < х3. Определены условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи оптимального управления (теорема 4.4).

Разработанный комплекс программ расчета на ЭВМ задач оптимального управления может быть использован органами управления РФ, институтами и организациями при создании и анализе программ социально-экономического развития регионов РФ.

Опубликованные работы по теме диссертации

1. Стригунов В. В. Решение задачи оптимального управления динамикой экономической системы региона РФ для конечного горизонта планирования / В. К. Булгаков, В. В. Стригунов // Вестник ИжГТУ. - 2007. - № 2. - С. 53 - 58.

2. Стригунов В. В. Исследование математической модели макроэкономики региона / В. В. Стригунов // Власть и управление на Востоке России. - 2007. - № 2. - С. 30 -35.

3. Булгаков В. К., Стригунов В. В. Математическая модель и исследование региональной экономики // Управление общественными и экономическими системами [Электронный ресурс]: многопредмет. науч. журн. / Орловский государственный технический университет - Электрон, журн. - Орел: ОрепГТУ, 2007, № 1. - Режим доступа: http://www.ba]i.ostu.ru/urric/arhiv/2007/l/

4. Булгаков В.К., Стригунов В.В. Оптимальное управление экономической системой региона РФ при конечном горизонте планирования // Российский экономический интернет-журнал [Электронный ресурс]: Интернет-журнал АТиСО / Акад. труда и социал. отношений - Электрон, журн. - М.: АТиСО, 2007. - Режим доступа: http://www.e-rej.ru/Articles/2007/BuIgakoy_Strigunov.pdf

5. Стригунов В. В. Модель и исследование макроэкономики региона на основе производственной В-функции / В. К. Булгаков, В. В. Стригунов // Вестник ТОГУ. - 2005. - № 1. - С. 173 - 196.

6. Стригунов В. В. Решение задачи оптимального управления динамикой региональной экономической системы для конечного горизонта планирования / В. К. Булгаков, В. В. Стригунов // Вестник ТОГУ. - 2006. - № 1. - С. 15 - 30.

7. Стригунов В. В. Оптимальное управление динамикой региональной экономической системы при заданном горизонте планирования / В. К. Булгаков, В. В. Стригунов // Вестник ТОГУ. - 2006. - № 2. - С. 139 - 150.

8. Стригунов В. В. Математическая модель макроэкономики региона на основе производственной В-функции / Стригунов В. В. // Материалы восьмой открытой конференции-конкурса научных работ молодых ученых Хабаровского края (экономическая секция): Сборник статей. - Хабаровск, 2006. - С. 183 - 187.

9. Стригунов В. В. О "золотом правиле накопления" в региональной макроэкономике / В. К. Булгаков, В. В. Стригунов И Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке: труды Пятой международной научной конференции творческой молодежи. В 6 т. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2007, - Т. 4. - С. 123 - 127.

Стригунов Валерий Витальевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА НА ЭВМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГИОНАЛЬНОЙ МАКРОЭКОНОМИКИ; РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 06.10.08 г. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Гарнитура "Тайме". Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 222. Тираж 100 экз.

Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136

Введение.

Глава 1. Математическая модель макроэкономики региона и ее исследование

1.1. О производственной В-функции.

1.1.1. Производственная В-функция и её свойства.

1.1.2. Расчет параметров В-функции по статистическим данным рассматриваемой экономической системы.

1.2. Об инвестициях и потреблении в региональной макроэкономике РФ.

1.3. Модель макроэкономики региона на основе производственной В-функции.

1.4. Выход модели на стационарный режим.

1.5. О "золотом правиле накопления" в региональной макроэкономике.

Глава 2. Оптимальное управление динамикой региональной экономической системы.

2.1. Введение.

2.2. Теорема об оптимальном управлении.

2.3. Запись краевой задачи оптимального управления в форме, удобной для разработки алгоритма решения на ЭВМ.

2.4. Качественный анализ оптимальных кривых фазовой и сопряженных переменных.

2.5. Алгоритм решения краевой задачи оптимального управления.

Глава 3. Численные исследования на ЭВМ оптимальных траекторий математической модели региональной экономики

Хабаровского края на основе решения задачи оптимального управления

3.1. Введение.

3.2. Численные исследования оптимальных управлений, оптимальных траекторий.

3.3. Динамика размерных макроэкономических показателей на оптимальных траекториях.

Глава 4. Оптимальное управление динамикой региональной экономической системы при заданном горизонте планирования

4.1. Постановка задачи.

4.2. Решение краевой задачи оптимального управления

4.3. Численные исследования.

Актуальность темы. Современное развитие региональной макроэкономики, макроэкономики и экономики в целом обусловлено интенсивным внедрением в экономическую науку математических методов, в том числе методов вычислительной математики. Математические методы, вычислительная математика дают возможность для каждой региональной системы количественно описать динамику макроэкономических параметров, решать задачи оптимального управления экономикой. Применение вычислительной математики, методов оптимизации позволяют определить оптимальные траектории экономического развития. Актуальность темы обусловлена необходимостью выявления количественных закономерностей, складывающихся в макроэкономике регионов РФ в современных условиях переходного периода; необходимостью разработки новых математических моделей региональной макроэкономики, исследования условий корректности этих моделей, разработки алгоритмов оптимального управления экономической системой на региональном уровне, численных расчетах оптимальных траекторий развития.

Математическая модель макроэкономики региона представляет собой описание при определенных гипотезах таких определяющих динамику экономики процессов, как:

- производственный процесс региона;

- демографический и миграционный процессы в регионе;

- социально-экономические механизмы воздействия на производственный процесс региона (механизмы управления);

- научно-технический прогресс.

Классическими среди макромоделей стали модель Рамсея (1928 г.) [97] и Солоу (1956 г.) [56]. Развитие этих моделей представлено работами М. Интрилигатора, В.Л. Макарова, A.M. Рубинова, В.З. Беленького, В.А. Колемаева [10, 34, 35, 39, 72] . Региональная макроэкономика, как наука, появилась на Западе в 50-х годах XX века; лидером ее стал У. Айзард [78]. В России вопросами региональной макроэкономики занимается акад. А.Г. Гранберг [31, 45, 7 9] и другие.

Одной из основных зависимостей математической модели макроэкономики региона является производственная функция (ПФ), определяющая объем выпускаемой продукции в единицу времени (год) в зависимости от объема используемых в производстве ресурсов. Первая производственная функция была предложена американскими учеными - математиком К.У. Коббом и экономистом П.Х. Дугласом [8 9]. Несмотря на очевидные недостатки производственной функции Кобба-Дугласа [33, 35, 96], она используется до сих пор. Другая производственная функция - функция затрат-выпуска Леонтьева имеет нулевую эластичность замещения, т.е. затрачиваемые ресурсы в ней должны быть использованы в фиксированной пропорции и не могут замещать друг друга. В начале 19 60-х годов Солоу была предложена производственная функция с постоянной эластичностью замещения CES (constant elasticity of substitution). При использовании этой функции удается избежать противоречий, существующих в первых двух зависимостях. Однако, для расчета констант четырех-параметрической зависимости CES требуется значительный объем качественных статистических данных, которым мы часто не располагаем. В нашей стране основным специалистом по производственным функциям является Г.Б. Клейнер [21].

Переходный период Российской экономики, неоднократная переоценка основного капитала, слабая организация математической статистики региональных экономических систем РФ, большие разбросы во временных рядах по основному капиталу и объему производства потребовали разработку новой производственной функции, которая была бы лишена недостатков функции Кобба-Дугласа, и для которой было бы реально, невзирая на большие разбросы статистических данных, определить параметры ПФ. Такая производственная функция была предложена в работе Булгакова В.К., Булгакова О.В. [б].

Ряд важных вопросов экономической теории связан с необходимостью определять наилучший, оптимальный вариант решения. Математический аппарат современной теории оптимального управления включает методы вариационного исчисления, принцип максимума и метод динамического программирования .

Основное предположение при изучении задач классического вариационного исчисления состоит в том, что управление должно принадлежать открытому множеству пространства управлений. Однако в практических задачах множество допустимых управлений замкнуто, во многих случаях многосвязно, может не иметь внутренних точек и т.д.

Принцип максимума, предложенный акад. JI.C. Понтряги-ным [11, 12, 13], позволяет решать ряд задач математического и прикладного характера, которые являются вариационными задачами, но не укладываются в классическую схему вариационного исчисления. Необходимые условия принципа максимума позволяют сформулировать краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что в работах [10, 35, 39], где для решения задачи оптимального экономического роста использован принцип максимума JI.C. Понтрягина, подынтегральная функция максимизируемого функционала принималась равной функции удельного потребления. В этом случае оптимальное управление представляет собой систему релейных переключений граничных значений функции потребления. В настоящей диссертации рассмотрена нелинейная подынтегральная функция - функция полезности в виде степенной зависимости от удельного потребления, где показатель степени 0<&:<1.

Задача расчета оптимального управления с помощью необходимых условий принципа максимума сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Единственным классом дифференциальных уравнений, для которых разработаны регулярные методы решения краевых задач, являются линейные дифференциальные уравнения . Эти методы и основанные на них схемы решения краевых задач заключаются в переносе граничных условий (метод прогонки). Метод прогонки используется и для построения итерационных способов решения нелинейных краевых задач. Однако не все задачи оптимального управления могут быть сведены к краевым задачам для линейных дифференциальных уравнений.

В начале 19 60-х годов целый ряд трудных вариационных задач динамики космических аппаратов был решен В.Н. Лебедевым [47] при использовании различных модификаций метода Ньютона. Применение метода Ньютона и его модификаций для решения краевых задач можно найти в работах [9, 82] . Изза проблемы устойчивости решения и выбора удовлетворительного первого приближения метод Ньютона, несмотря на простоту описания и удобство программирования, не стал универсальным средством решения задач оптимального управления .

В настоящей работе предлагается оригинальный алгоритм решения краевой задачи оптимального управления региональной макроэкономикой при конечном горизонте планирования (Т <со); исследованы задачи с фиксированным и не фиксированным временем.

Цель работы.

1. Разработка и исследование математической модели региональной макроэкономики РФ в переходный период, учитывающей особенности межбюджетных отношений.

2. Разработка алгоритмов решения краевой задачи оптимального управления динамикой региональной макроэкономики, исследование условий существования и единственности рассмотренных задач. Численные исследования алгоритмов расчета оптимального управления региональной экономикой.

3. Проведение численных исследований на ЭВМ динамики макроэкономических параметров региональной экономической системы на основе решения задачи оптимального управления (на примере Хабаровского края).

Научная новизна работы.

1. Разработана и исследована новая математическая модель региональной макроэкономики РФ на основе производственной В-функдии. Модель учитывает также особенности существующих в РФ межбюджетных отношений.

2. Доказана теорема о существовании и единственности стационарного решения предложенной математической модели.

3. Доказана теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, описываемой предложенной математической моделью.

4. Разработаны и исследованы алгоритмы решения краевой задачи оптимального управления для конечного горизонта планирования Т заранее не заданного, а также для горизонта планирования Т заранее заданного.

5. На основе разработанных алгоритмов проведены численные исследования на ЭВМ динамики макроэкономических параметров, соответствующей оптимальному управлению.

6. Теоретически обнаружен инвариант исследуемой макроэкономической модели.

Практическая ценность.

1. Разработанные алгоритмы расчета краевых задач оптимального управления реализованы в виде комплекса программ на языке С++. Программный комплекс может быть использован при разработке стратегий социально-экономического развития регионов РФ.

2. Предложенные и исследованные алгоритмы решения краевых задач оптимального управления могут быть использованы для решения задач оптимального управления в конкретных отраслях народного хозяйства.

На защиту выносятся.

1. Алгоритмы решения краевых задач оптимального управления для предложенной математической модели региональной макроэкономики.

2. Теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, основанной на производственной В-функции.

3. Численные исследования на ЭВМ оптимальных траекторий макроэкономических параметров региональной макроэко--номики, соответствующих оптимальному управлению. Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Хабаровск, ДВГУПС, 2005 г.);

- VIII открытый конкурс-конференция молодых ученых и аспирантов Хабаровского края (экономическая секция) (Хабаровск, ИЭИ ДВО РАН, 2006 г.);

- XXXI, XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 2006 - 2007 гг.);

- IX краевой конкурс-конференция молодых ученых (физико-математическая секция) (Хабаровск, ДВГУПС, 2007 г.);

- семинар "Дифференциальные уравнения" (рук. д.ф.-м.н., проф. А.Г. Зарубин) (Хабаровск, ТОГУ, 2007 г.);

- Пятая международная научная конференция творческой молодежи (Хабаровск, ДВГУПС, 2007);

- Российская конференция "Дискретная оптимизация и исследование операций" (Владивосток, ИАПУ ДВО РАН, 2007 г.).

Основные положения диссертации опубликованы в 9 работах [100 - 108].

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 14 4 страницы машинописного текста, содержит 59 рисунков, 8 таблиц и список литературы из 108 наименований. Нумерация формул в диссертационной работе состоит из двух чи

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами проведенных исследований являются следующие.

1. Разработан алгоритм расчета параметров В-функции по статистическим данным рассматриваемой экономической системы. Для Хабаровского края по статистическим данным (временным рядам) за 1991-2002 гг. посчитаны на ЭВМ значения параметров В-функции: 2? = 0.857, Ъ = 0.814, (7^=10.947.

2. Предложена новая математическая модель макроэкономики региона на основе производственной В-функции, с учетом существующих межбюджетных отношений в РФ. Найдено условие (1.17), при котором математическая модель имеет единственное стационарное решение. Численными расчетами на ЭВМ исследован выход модели на стационарный режим.

3. Доказана теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой для предложенной математической модели макроэкономики (теорема 2.1).

4. Предложен алгоритм решения краевой задачи оптимального управления (теорема 2.3) . Алгоритм реализован в форме программы расчета на ЭВМ оптимального управления n*(t) и соответствующих ему оптимальных траекторий x*(t), i//*(t), w(t) .

5. Работоспособность предложенного алгоритма подтверждена численными исследованиями на ЭВМ динамики макроэкономических параметров экономики Хабаровского края серией расчетов краевых задач оптимального управления.

6. Показано, что в h-окрестности особой точки (ws,xs) размерные макроэкономические переменные K(t), W(t), Y(t),

I(t) переходят на стационарные "траектории сбалансированного роста" (экспоненциальные кривые). В отличие от ранее существовавших математических моделей, в нашей модели указанные выше макроэкономические переменные растут с темпом v + т, что показывает ведущую роль темпа роста заработной платы т в развитии экономической системы (в ранее существующих моделях темп роста макроэкономических переменных определялся только темпом роста населения v) .

7. Проведены численные расчеты на ЭВМ и анализ динамики размерных макроэкономических показателей на оптимальных траекториях. Показано, что не только в окрестности особой точки, но и в любой момент времени t&[0,T] основным параметром, определяющим развитие экономической системы является темп роста заработной платы т.

8. Разработан алгоритм решения краевой задачи оптимального управления и проведены численные исследования на ЭВМ для случая, когда горизонт планирования Тр<со заранее задан при заданных начальных и конечных состояниях экономической системы xl<x2<xs. Определены условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи оптимального управления (теорема 4.4).

Разработанный комплекс программ расчета на ЭВМ задач оптимального управления может быть использован органами управления РФ, институтами и организациями при создании и анализе программ социально-экономического развития регионов РФ.

1. Терехов Л.Л. Производственные функции. М. : Статистика, 1974, с. 113.

2. Хеди М., Диллон Д. Производственные функции в сельском хозяйстве. - М.: Статистика, 1964.

3. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста.-М.: Изд-во МГУ, 1981.-126 с.

4. Минюк А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели в экономике. - Минск: ТетраСистемс, 2002.

5. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.: Дело, 2000. - 640 с.

6. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико- математические методы и модели. - М. : Изд-во РУДН, 1999. - 182 с.

7. Багриновский К.А., Рубцов В.Н. Модели и методы прогнозирования и долгосрочного планирования народного хозяйства. - М.: Изд-во РУДН, 1992.

8. Багриновский К.А., Сумин Г.А. Математические методы в экономике и планировании народного хозяйства. -М.: Изд-во РУДН, 1993.

9. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. - М.: Экономика, 1988. - 486 с.

10. Терехов Л.Л., Куценко В.А., Сиднев С П . Экономико- математические методы и модели в планировании и управлении. - Киев: Выща шк., 1984. - 231 с.

11. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. - М.: Наука, 1979. - 303 с.

12. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. - М.: Наука, 1973.

13. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Прогресс, 1975. -605 с.

14. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. - М. : Статистика, 1974. - 472 с.

15. Алексеев В.М. и др. Оптимальное управление. - М. : Наука, 1979. - 429 с.

16. Лагоша Б. А. Оптимальное управление в экономике. - М. : Финансы и статистика, 2003. - 191 с.

17. Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование: Учеб. пособие. - М.: Изд-во РЭШ, 2001. - 114 с.

18. Основы теории оптимального управления / под ред. В.Ф. Кротова. - М.: Высш. шк., 1990. - 429 с.

19. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. - М.: Мир, 1972.

20. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. - М. : Наука, 1972.

21. Кротов Ф.В. и др. Основы теории оптимального управления. - М.: Высшая школа, 1990.

22. Колемаев В.А. Математические модели макроэкономической динамики. - М.: ГАУ им. Орджоникидзе, 1996.

23. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. - М.: Экономика, 1985.

24. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1973.

25. Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. // Математические методы в динамике космических аппаратов. Выпуск 5. М. : ВЦ АН СССР 1968. - 108 с.

26. Карлин Математические методы в теории игр, программировании и экономике. - М.: Мир, 1964. -254 с.

27. Хикс Джон Р. Стоимость и капитал / общ. ред. и вступ. ст. P.M. Энтова. М.: Издательская группа "Прогресс", 1993.

28. Ченери X., Кларк П. Экономика межотраслевых связей. М.: ИЛ, 1962.

29. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных систем. М.: Наука, 19 66.

30. Половников В. А. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: Финстатинформ, 1997.

31. Беллман Р. Динамическое программирование. М. : Илб 1960.

32. Беллман Р., Дрейфус Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука 1965.

33. Розоноер Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимального управления // Автоматика и телемеханика, 1959, № 20.

34. Солоу P.M. Перспективы теории роста // Мировая экономика и международные отношения. 19 66, № 8.

35. Рудин У. Основы математического анализа. М. : Мир, 1966.

36. Колмогоров А.Н., Фомин С В . Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

37. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. - 331 с.

38. Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. Спб.: Союз, 1999.

39. Авдулов П.В., Именитова Е.В. Использование модели межотраслевого баланса для анализа макроэкономических пропорций. М., 19 95.

40. Адрианов В.В. Экономико-математические методы. Учебное пособие. Часть 1. М. : МГТУГА, 1993.

41. Андрианов В. В. Экономико-математические методы и модели. М.: РИО МИИГА, 1993.

42. Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. Новосибирск, Новосибирская государственная академия экономики и управления, 1995.

43. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М. : Финансы и статистика, 2001.

44. Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1999.

45. Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике. - СПб.: Питер, 2000. - 208 с.

46. Коршунова Н.И., Плясунов B.C. Математика в экономике. М.: Вита-Пресс, 1996.

47. Кремер Н.Ш., Путко Б. А. Исследование операций в экономике. М., 1997.

48. Лебедев В.В. Математические модели макроэкономической теории. М.: ГАУ, 1996.

49. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: ГИФ.-М.Л, 1960, 659 с.

50. Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математические модели экономического взаимодействия. М.: Физ-матлит, 1993.

51. Моделирование экономических процессов / под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. М. : ЮНИТИ-ДАНА. 2005

52. Волошин Г.Я. Методы оптимизации в экономике. М. : ДиС. 2004. 320 с.

53. Агапова Т.А., 'Серегина Ф. Макроэкономика. М. : ДиС. 2004. 448 с.

54. Cobb G.W., Douglas Р.Н. Theory of Production - American Economic Review, March, Supplement, 1928, № 18.

55. Nerlove M.', Estimation and Identification of Cobb- Douglas Production Functions, Skokie, 111., Rand-McNally & Co., 1965.

56. Канторович Л.В. Математическое оптимальное программирование в экономике. - М.: Знание, 1968.

57. Канторович Л.В., Лассман В., Шилар X., Шварц К. Экономика и оптимизация. - М.: Наука, 1990.-310 с.

58. Щедрин Н.И., Кархов А.Н. Математические методы программирования в экономике. - М.: Статистика, 1974.

59. Пинскер А.Г., Брыжина Э.Ф. Основы оптимального программирования. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. - 188 с.

60. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988.

61. Замков 0.0. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе. М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 122 с.

62. Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // Econ. Journ. - December 1928. - P. 543-559.

63. Панюков А.В. Математические модели экономических процессов. Ростов-на-Дону, 1997.

64. Дубинскии Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Успехи математических наук. М.: Наука, 1968. Т. 23, вып. 1. Список работ, опубликованных по теме диссертации

65. Булгаков В.К., Стригунов В.В. Решение задачи оптимального управления динамикой экономической системы региона РФ для конечного горизонта планирования // Вестник ИжГТУ. 2007. № 2. 53 - 58.

66. Стригунов В.В. Исследование математической модели макроэкономики региона // Власть и управление на Востоке России. 2007. № 2. 30 - 35.

67. Булгаков В.К., Стригунов В.В. Модель и исследование макроэкономики региона на основе производственной В-функции // Вестник ТОГУ. 2005. № 1.

68. Булгаков В.К., Стригунов В.В. Решение задачи оптимального управления динамикой региональной экономической системы для конечного горизонта планирования // Вестник ТОГУ. 2006. № 1.