автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование динамической задачи вертикальных роторов с полостями, частично заполненными жидкостью, установленных на упругом фундаменте

/ 2 '' ^[1 V"' На правах рукописи

НУКЕНОВ ДАУИТ НУКЕНОВИЧ

Математическое моделирование динамической задачи вертикальных роторов с полостями, частично заполненными жидкостью, установленных на упругом фундаменте

Специальность 05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

Республика Казахстан АЛМАТЫ 1998

Работа выполнена в научно-исследовательском институте механики и математики при Казахском Государственном Национальном университете им. аль-Фараби.

Научные руководители-

д.т.н., академик ИА РК, лауреат Госпремии РК Жумагулов Б. Т. к. т. н., доцент Рахматуллаев А. Ш,

Официальные оппоненты-

д. т. н., доцент Оразбаев Б. Б. к. т. н., доцент Баймиров М.Е.

Ведущая организация-

Институт механики и машиноведения МН-АН РК

Я О у//.У С

Защита диссертации состоится ———■■■ ■ ■—1998 г. в • у часов на

заседании диссертационного совета к14.А.01.14 при Казахском Государственном университете им. аль-Фараби по адресу:

480012, ГАпматы, ул. Масанчи, 39/47, механико-математический факультет

Опывы на автореферат просьба направлять по адресу: 480121,гАпматы, ул. Тимирязева, 46, Казахский госурственный национальный университет им. Аль-Фараби, ученому секретарю.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ. Автореферат разослан ^(Ь 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.Е. Нысанбаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Эффективность реконструкции промышленности республики в решающей мере зависит от отрасли машиностроения. Высокий уровень развития машиностроения закладывает прочный фундамент научно-технического прогресса и экономической мощи республики.

В настоящее время во многих отраслях промышленности и техники широкое применение находят роторные машины с полостями, содержащими жидкость. В практике эксплуатации таких машин встречаются случаи, когда роторы в закритической области претерпевают сильную асинхронную прецессию или теряют устойчивость в результате самовозбуждения колебания.

Как показывают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования (Глава 1 настоящей работы) волновые движения жидкости, имеющей свободную поверхность, обуславливают изменение частоты вынужденного колебания ротора и могут явиться одной из основных причин возникновения автоколебаний и ультра-и субгармонических резонансов. В связи с этим задача о создании и выборе оптимальной конструкции ротора, которая учитывала бы более стабильную работу машины, разработка новых эффективных методов и демпфирующих устройств, погашающих неустойчивость становятся особо актуальными.

Целью настоящей работы является разработка основ теории различных роторных систем с полостями, частично заполненными жидкостью, установленных на упругих фундаментах, обеспечивающей с меньшими затратами труда и средств, наиболее быстро производит расчет параметров роторных систем для повышения качества и надежности их работы.

Для достижения поставленной цели решаются следующие основные

задачи:

разработка обобщенной динамической и математической модели системы «ротор-жидкость-фундамент», позволяющей исследовать динамику

взаимосвязанных движений различных роторов с жидкостью и его корпуса при наличии упругих связи между ними и фундаментом машины.

разработка достаточно простой, эффективной, единой аналитической методики расчета амплитуды и фазы вынужденных колебаний, критических скоростей, границ и ширины зон автоколебаний опорной центрифуги с полостью, частично заполненной жидкостью, установленной на вибрирующем фундаменте.

разработка методов решения динамической модели жесткой роторной системы с полостью, частично заполненной вязкой (идеальной) жидкостью, установленной н а упругих подшипниках скольжения с жидкой смазкой, с учетом вибрации фундамента.

создание и разработка методики численного решения задачи динамики вертикального ротора с полостью, частично заполненной жидкостью, установленного на упругом фундаменте с учетом нелинейности уравнеция движения жидкости.

Методы исследования. Разработка динамической и математической моделей роторных систем с полостями частично заполненными жидкостью и методов их исследования и расчеты проведены на основе современных методов теоретической и прикладной механики, математики (теория функции комплексных переменных, функциональный анализ, уравнения математической физики, теория пограничного слоя, механика сплошной среды, теория колебаний,

теория устойчивости движения, теория механизмов и машин, теоретическая механика) с широким использованием ЭВМ.

Научная новизна. Главным научным результатом работы является создание теории роторных систем с полостями, частично заполненными жидкостью, установленных на вибрующем фундаменте. С этой целью в работе решены следующие основные задачи:

созданы и решены аналитически обобщенные динамические и математические модели системы «ротор -жидкость-фундамент» (СРЖФ). Динамические и математические модели систем «ротор-жидкосгь-фундамент» являются обобщенными и для систем без жидкости, и без взаимосвязи ротора и фундамента;

созданы обобщенные динамические модели различных роторных систем с полостями, частично заполненными жидкостью, установленных с помощью упругих опор на массивном вибрирующем корпусе. Найдены точные аналитические решения уравнения движения СРЖФ. Исследованы изменения параметров систем, при которых возможно динамическое гашение колебаний и сужение ширины зоны неустойчивости движения системы. Полученные результаты позволят исследовать динамику фундамента (корпуса), пустого ротора с жесткими и упругими опорами и т.п.).

составлены и- решены дифференциальные уравнения движения опорной центрифуги с полостью, частично заполненной жидкостью, установленной на вибрирующем фундаменте.

составлены и решены уравнения движения вертикального, жесткого ротора с полостью, частично заполненной вязкой (идеальной) жидкостью, установленный на упругом фундаменте и подшипниках скольжения с учетом упругости опор. Нахождение точных решений линеаризованных уравнений движения жидкости, находящейся в полости ротора, дало возможность изучить и оценить эффекты волновых свойств свободной поверхности жидкости на движение ротора;

разработана единая аналитическая методика и программа расчета амплитуды и фазы вынужденных колебаний, критических скоростей границ и ширины зон автоколебаний роторных систем с полостями, частично заполненными жидкостью при вариации параметров ротора, фундамента и жидкости, а также подшипников. Предложенный подход решения уравнений движения рассматриваемых систем отличается от ранее известных простотой, эффективностью и рядом достоинств.

создана и решена численно динамической модели симметричного ротора с полостью, частично заполненной жидкостью установленного на упругом фундаменте. Для решения нелинейных дифференциальных уравнений движения жидкости использована схема расщепления по физическим процессам.

Практическая ценность и реализация работы. Разработанные методики исследования динамики обобщенных математических и динамических моделей различных роторных систем с полостями, частично заполненными жидкостью, установленных на вибрирующем фундаменте могут быть успешно использованы при проектировании и эксплуатации роторных машин с жидкостью.

Связь темы с планами отраслей науки и производства. Работа выполнена в соответствии с Программой фундаментальных исследований МИЛН РК «Динамика сложных механических систем с переменной массой и структуры».

Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседаниях научной конференции по математике и механике, посвященной 70-летию академика HAH PK А.Т. Лукьянова (1997), семинарах кафедры вычислительной математики и компьютерной технологии КазГУ им. Аль-Фараби.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4-печатных работ.

Основные положения, выносимые на защиту:

- разработка аналитического метода динамического анализа обобщенной динамической модели системы «ротор-жидкость-фундамент» (СРЖФ) с учетом колебаний фундамента;

- создание обобщенных динамических моделей различных роторных систем с полостями, частично заполненными жидкостью, установленных на упругом фундаменте;

- разработка методики исследования динамики опорной центрифуги, установленной на упругом фундаменте с нелинейными упругими характеристиками сил;

- создание модели и разработка методики исследования динамики вертикального жесткого ротора с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью, установленной на подшипниках скольжения с жидкостной смазкой с учетом колебаний фундамента.

- Разработка методики численного решения задачи динамики ротора с полостью, частично заполненной жидкостью, установленного на упругом фундаменте.

Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (202 наименований), содержит 111 страниц машинописного текста, 27 рисунков. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, определены основные направления исследования, кратко изложено содержание работы, приведены основные результаты, выносимые автором на защиту.

Первая глава посвящена обзору_современного состояния проблемы исследования динамики твердых тел с полостями, частично заполненными жидкостью. Отмечается, что наиболее заметный вклад в решении этой проблемы внесли Жуковский Н.Е., Ишлинский А.Ю., Моисеев H.H., Румянцев В.В., Соболев С.Л., Охоцимский Д.Е., Нариманов Г.С., Черноусько Ф.Д., Микишев Г.И., Рабинович Б.И., Рубановский В Л., Луковский ИЛ., Рапопорт И.М., Самсонов В А., Копачевский Н.Д.Джолдасбеков У.А., Рахимов Е.Р. и др.

Из анализа работ вышеприведенных авторов сделан вывод: колебания и устойчивость неуравновешенных роторов с полостями, частично заполненными жидкостью, установленных на упругих фундаментах почти не изучены.

В конце главы дается постановка задачи, являющейся предметом исследования настоящей главы.

Вторая глава диссертации посвящена созданию динамической модели системы «ротор-жидкость-фундамент» (СРЖФ), расчетная схема которой показано на рис.1. Используются две системы координат. Система OXYZ неподвижна в пространстве. Ось Z направлена вдоль оси симметрии корпуса и она совпадает с осью вала когда он неформирован. Положение корпуса определяется

тгг

4лЫч1

ААМ4

АЛЬ^ —

ши

Рис. 1. Обобщенная модель роторной системы с жидкостью

обобщенными координатами хк,ук,в и у/. Первые два параметра являются координатами центра тяжести, а последние два, определяют углы поворота корпуса. Положение самого ротора с цилиндрической полостью, частично заполненной идеальной жидкостью, определяются обобщенными координатами х, у, а и р .Статически и динамически неуравновешенный ротор вращается с достаточно большой угловой скоростью П0 что позволяет пренебречь

силой тяжести жидкости (%((р.20К. I Параметры х, у определяют точки

прикрепления ротора к валу. Углы Резаля а и фиксируют положение касательной к изогнутой оси вала ротора.

Обозначаем через е и г линейный и угловой эксцентриситеты ротора. Все прогибы и углы поворота, поступательные перемещения ротора и фундамента считаем малыми, а перемещения ротора и фундамента вдоль оси Ъ пренебрегаем.

Движение жидкости описывается в цилиндрической системе координат г,<р,г связанной с ротором (рис.3).

С учетом вышеприведенных допущений и обозначений уравнения движения ротора и фундамента имеют вид

1.

трх + пп(х-хк) + пп(сс-9)~пп1рв + р%х-цха- рххк -- <т,# = теП1 сояП^ + Рх

2.

тРУ + «11(У - Ук) + п\г(Р~V)'~ п\ \l-pt + РгУ ~ ЧгР~ ~ РгУ к ~ ~ ятП^ +

3.

Ja + JaQъP + nn(x~xi) + nъ(a~в)-rl¡■tLp9~r^x + Sla~

-Г1х„-5,0 = (У„ -У)!Я^ яп(П0( -Л) + Л/„

4.

Ур - Jйnйd + пп(у-ук) + пп(Р-у)~ ппЬру - ггу +

+ $гР ~ ГгУк ~ У = -(¿а ~ ¿V ~ Ро) + Мр

(1)

5.

+ пПхк+рххк + пи(хк ~х) + п22(9~а) + па9 + + пхх + пгхк + кха + к20 = О

6.

Щь + "а У к + РуУк +"п(Ук-у) + пп(ц/-р)+п0ч/ + + щу + п2ук +кхР + кгу/ = 0

Jl9 + ko9 + SI0 + ns(xk -х) + пПЬкхк +к}(в-а) + + кьв + щх + п4хк +к3а + к4в = О

J2V + k^/ + Sy4/ + ni(yk-y) + n{Lkyk+ks(^-0) +

5. _ _

+ кьу/ + ñ¡y + кгР + к^у + ñtyk = О

где trip - масса ротора, J0,J - полярный экваториальный моменты инерции ротора, М- масса корпуса, Jx,Jz-моменты инерции корпуса относительно главных центральных осей проходящей через точку к параллельно осям х,у.

n\\-n\i'nn~ коэффициенты внешнего трения ,px,py,Sx,Sy- жесткости амортизационного устройства по отношению к поступательному и угловому перемещениям вдоль и вокруг каждой из осей, пп,к6 - коэффициенты сопротивления при линейных и угловых колебаниях корпуса.

Линеаризованные уравнения движения идеальной жидкости запишутся в виде

~ - 2Q0v = —- xcos(CV + <р) - у sin(£V + í>) + at р or

+ z[á sin(fV + <P) ~ P eos (Q0r + ?>)]- ¡zQ¿ cos(Q0í +

~ + = ———+;tЧin(Qí/^-(г>)-.ycos(ÍV + í>) + C7/ rp dtp

+ z[+ á cos(O0/ +■ <p) + p sin(ÍJ0/ + ?))]+ tzf}¿ sin(n„í + <p - /?„) (2)

- = -——+r[a sin(£>0/ +• <p)+fi cos(n0í + <p) ~ 2Cl0á cos(Q J + <p) -ot p dz

- 2Q0/jsin(£V + <p) + íflo cos(í2„/ + tp - Д,)] Уравнение неразрывности, при р - const, имеет вид

+ + (3)

дг dtp dz

1) На границах ротора:

a)uU=0 (4)

6)^^=0 (5)

2) На свободной поверхности жидкости: дР

Система уравнений (1), (2), (3) с граничными условиями (4)-(6) являются дифференциальными уравнениями совместного движения системы "ротор-фундамент-жидкость" (СРЖФ). и,у,у/.р- компоненты поля скоростей и давления,

плотность жидкости. Силы воздействия жидкости ^ и ее момент М определяются интегрированием давления по всем смоченным жидкостью областям полости ротора.

= ^ + (Г = ]р(К(р,2Л)еЦкп^9>(1(рс12 (7)

о -я

Мв = Ма+ /Л/» = глТ %р(Н,(р,г,1)е'(По'+р)с1<рсЬ ~ о -н

- Ц ]гг[р(г,<р,Н,{)-р(г,(р,~Н,1)]е"С1^'р)с1(рс1г

о Т)

(8)

Решение уравнения движения ротора и фундамента представим в виде

= А/* + В,еш + С, (I = Щ (9)

где

д,=х.д2 =у,д 3 =а,д4 =ук^ =в,цг =ц/.

Подставим соотношение (9) в систему (2) и представим поле скоростей и давление в виде

= • (10)

Выражая функции и, V, -.V через функции давления р, и используя уравнение неразрывности, получим уравнение относительно рх.

Р\

г 5Г Г() (11)

у, -а2сг'2

Уравнение (11) решается методом Фурье.

Используя граничные условия (4)-(6), напишем окончательные выражения для давления р.

. як . як

+ Н) + V +

ы 2 Н 2 Н

+ ^- + {рио(а>-2Па)Вм е'<я-'>. (12)

г

Используя формулы (7), (8) и (12), находим выражения для гидродинамической силы и ее момента.

Рг = т^А^ +т1Фг

а)г -4<ыа0+2Г^

Г®2-2(г + 1)а0й) + (г + 1)П^

е"* (13)

Мв = -тсП%тЕе$ +т1_П2ЕА^е'"'" +

[ л (2т-\)гЛт

"-1 4Л

(14)

где

4. -ехгёи! Лт = ~ЕаВч-

2

А* = £( 1Й23 - £21213'" 22 (»т^ = ~г1(1т'"> ~ Ч(

Из условия равенства нулю определителя системы относительно неизвестных амплитуд автоколебаний ротора и корпуса В,,..,58 получено характеристическое уравнение системы относительно искомой частоты ю.

Характеристическое число о в общем случае является комплексным, действительная часть которого определяет частоту автоколебаний, а мнимая -характеризует степень неустойчивости.

Характеристическое уравнение является сугубо трансцендентным, так как искомая частота <о входит в аргументы функции Бесселя, и его решение весьма затруднительно. Для его решения применим метод последовательных приближений.

В первом приближении примем к - 0,/|я = /2л =0, что соответствующий ротор возбуждается плоскими волнами. При этом характеристическое уравнение будет полиномом 20-ой степени. Корни этого полинома будут первым приближением корней исходного трансцендентного уравнения.

В конце главы приведены анализ полученных результатов и основные выводы.

В третьей главе диссертации исследована динамика неуравновешанной опорной центрифуги, установленной на упругом фундаменте, расчетная схема которой показана на рис. 2. Центрифуга имеет цилиндрическую полость радиусом К и высотой 2Н, и она частично заполнена идеальной жидкостью. Движение центрифуги и ее фундамента определяется относительно неподвижной системы координат ОхХУ2, а движение жидкости описывается относительно подвижной системы координат (г,(р,г) жестко связанной с центрифугой (рис.3).

Вычислены кинетическая и потенциальная энергии системы, а также диссипативная функция.

Дифференциальные уравнения движения центрифуги и фундамента на комплексной плоскости имеют вид

(т + М)г0 + т/.6' + «г|) + С,г0 = те0.1е^ 1

^в + иД, + (л, -и0Па)9 + (С!г -т%1)0 = те(Ш\ + +Мд\ где

20=х0 + 1Уо,в = а + = /? + ¡Еу,М0 + Й/, (16)

Уравнения движения жидкости в подвижной системе запишутся так

Рис. 2. Расчетная схема центрифуги на упругом фундаменте

Рис. 3. Система координат

^ - 2 ¿V = - ^о + &

Зс р <3/-

* + я + +

I др

Ы

грд<р

5/ р дг

Граничные условия гидродинамической задачи определяются соотношениями

(4Н6).

Представим комплексные отклонения фундамента и центрифуги в виде:

г0 = Ле"*

(18)

£1 = Се'Пй' +■ Ле'"" (19)

где каждые первые слагаемые в формулах (18) и (19) описывают вынужденные колебания системы обусловленные неуравновешенностью центрифуги, а вторые слагаемые в этих же формулах определяют автоколебания фундамента и центрифуги.

Теперь основываясь на методике решения задачи гидродинамики изложенной во второй главе, находим выражения гидродинамической силы и ее момента.

Рг = + СЕ0)е'о<у +1 т^

г (аг -2аО„-П1)В уаг

'а(-2уа2 +2(у + \)Ц,а+ 2ГЛг,) д . у<хг-2Л0сг-Л%

Мв = т.яЦАЬ + СЕ,У* + иа,2^

у<т*-2Л0а-П{

+ т,ЬВа

.т±№

я ар 2„,

а{- 2уа1 + г{у ч- \)О0а + 2уЛ„)' у а1 -2 П0а-ЛЦ

(2т-1)гД/л

(20)

+ т1П(Лй-ст)- (21)

Подставляя (18)-(21) в уравнения движения ротора и фундамента (15) и приравнивая выражения при одинаковых функциях времени е'п<> и еш, имеем неоднородную систему уравнений, решая которую находим амплитуды вынужденных колебаний фундамента А и центрифуги С

4 + 4

-¡{4А + J+(¿2°4 - а0гА, f

а также однородную систему уравнений относительно амплитуды автоколебаний В и Д. Из условия равенства нулю определителя этой системы уравнений, находим характеристическое уравнение роторной системы

, я*7

¿а + Ысо

акт[- 2^(Т2 + 2fy + 1)П0<т + 2yQl ]+ 1Щ (а + 2Д> )(у(тг - 2Д><т - > А Г«"2 ~ 2Ц,о- -

№ f , „ Лт , жгЯрТ} 'tfpL2'

ш3(г,й>2-2а,П0со + а,П1У,о? + 0г{2,а>2 + pxwC2l + fl,/203) Q

Трансцендентное уравнение (22), как прежде, решаем методом последовательных приближений. По характеру корней уравнения (22), определены зоны автоколебаний системы. Зонам неустойчивосгей соответствует те значения угловой скорости центрифуги, при котором характеристическое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень с отрицательной мнимой частью.

На рисунках 4, 5, 6 и 7 показаны зависимости амплитуды вынужденных колебаний центрифуги и фундамента, а также границы и ширина зоны неустойчивости системы при вариации параметров центрифуги, фундамента и жидкости.

В последнем параграфе главы исследованы нелинейные колебания опорной центрифуги, установленной на упругом фундаменте. Выведены формулы, устанавливающие зависимости амплитуды собственных колебаний от частоты а и амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающих сил. С помощью этих зависимостей строятся скелетные и резонансные кривые системы. Глава завершается анализом полученных результатов и перечислением основных выводов по третьей главе.

Четвертая глава посвящена автоколебанию вертикального ротора с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью, вращающегося на подшипниках скольжения с жидкостной смазкой, установленных на упругом фундаменте.

Расчетная схема исследуемой системы показана на рис. 8. Там же указаны системы координат, упругие опоры и демпфирующие устройства.

Здесь также сохранены прежние обозначения и допущения.

С учетом указанных допущений и обозначений уравнения движения ротора и фундамента на комплексной плоскости имеют вид

Рис. 4. Амплитудно - частотная

характеристика фундамента

Рис. 5. Амплитудно - частотная

характеристика центрифуги

Ш2 + кгг + 2(Д - ¡Рв у' з 1?г Щ +Сг, +*,Г| -¡РеУ' =0 где г=х+1у.

г, =х,+»>„ Рг=Гх+1Ру.

Уравнения движения вязкой жидкости

записаны в виде

5а ^ 5/ 13р...

--2П0у---— =---—-ге

о! г д(р р дг

дv V б/

от г дг

1 др

(24)

гр дер

Уравнение неразрывности при р=соп$1 имеет вид: = 0

д(ги) дv дг

Здесь

у. 1 ди Эу V г дц7 5г г

(25)

(26)

-Лапласиан функций тока.

Граничные условия гидродинамической задачи будут:

а) на границе ротора;

и/г.к=0

у'г.я'0

б) На свободной поверхности жидкости;

2 дг

(\ди дч

= 0

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

равновесного

81

£((»,/)-смещение свободной поверхности жидкости от положения.

- проекции силы реакции жидкости в полости ротора на стенку цилиндра и они определяются формулами:

Я, = + = ЛА | А ехр(п0/ + <р}}р

а

Ре,Рз-составляющие сил реакций смазочного слоя подшипника.

Ря =

6чЩ

[(По-20)^(о) + 2^4(а)]

(32)

(33)

(34)

(35)

<т„ -нормальное напряжение сил реакций жидкости на ротор; т]~ коэффициент вязкости смазывающей жидкости; ЬД- длина и радиус втулки подшипников; 5 -зазор между шипом и подшипником; г,-радиус шипа; д = Я\ -гу

Исключая из системы (24) неизвестное давление, получено уравнение

« i-J1

Рис. 6. Зависимость границы и ширины зоны неустойчивости от степени заполнения

|S " \ ' \ 1

• 3 ■2.5 j j | cle-O.5 !

1 !

'-J^r-^TT, : ' !

1 M : : .i .

■La |

■ 1 os i 1 M ! :

2 i 5 6 Г X 9 Ю 7f

Рис. 8. Расчетная схема ротора с фундаментом

0г(*/>

Рис. 7. Зависимость границы зоны неустойчивости от отношения упругости опор фундамента к привиденному коэффициенту жесткости ротора Рис. 9. Векторы перемещения

центров опоры О1 и шина СЬ.

S

////////////s///////////,

»5 US" 155 ISS IW 155 <J_

Рис. 10. Зависимость границы и ширины зоны неустойчивости при ai=3nko от степени заполнения q, k0=x=3.

|ил/ = о (36)

3/

где Д-оператор Лапласа в полярной системе координат. Решение которого имеет вид

Г^М+^ЫМУ^ (37)

Используя соотношение (37) и уравнение неразрывности (25) получены выражения для составляющих скоростей частицы жидкости и и V. Далее из . второго уравнения системы (24) находим давление Р. Используя значение Р из (32), получено выражение гидродинамической силы.

Рг = ^т^Щ + а^ехрШ (38)

где

<у<о у ] ,

Я

(39)

Я

Для дальнейшего исследования переходим от г, к новой переменной г2,т.е. из рис. 9 имеем г, = г - (40)

Здесь г2 -вектор отклонения центра шипа от равновесного положения. 9 = (о + <?, - частота колебаний ротора, а как прежде частота автоколебаний системы на границе устойчивости, в] -малые вариаций частоты на границе устойчивости, е = аб

г = 5е'", гг=аЗе'\ г, =<5Ще,{а*а) (41)

Подставляя (38), (41) с учетом (39) в уравнения движения ротора и фундамента, а также разлагая функции ^(а), Р3(а) и РДа) по степеням в

окрестности а=0, соответствующие стационарному движению шипа, находим однородную систему относительно амплитуды колебаний шипа ротора и фундамента. Из равенства нулю определителя этой системы получим характеристическое уравнение роторной системы.

По характеру корней характеристического уравнения, судим об устойчивости движения ротора и фундамента.

Графики зависимости границы и ширины зон неустойчивости от степени заполнения ротора жидкостью показан на рисунке 10.

Анализ полученных результатов показывает, что при учете колебаний фундамента система имеет несколько зон неустойчивости. Это должно учитываться при конструировании роторов вращающихся на массивных подшипниках скольжения с упругими опорами.

Определение границы и ширины зон неустойчивости из линеаризованных уравнений движения системы хотя представляет определенный интерес, однако, анализ амплитуды автоколебаний системы имеет принципиальное значение. В последнем параграфе главы показаны методы нахождения амплитуды автоколебаний ротора и фундамента. Сделан анализ изменения амплитуды автоколебаний ротора и фундамента при различных значениях параметра системы.

В конце главы приведены основные выводы полученных из анализа результатов решения поставленной задачи.

В пятой главе работа построена и решена численным методом математическая модель симметричного вертикального ротора с полостью, частично заполненной жидкостью, установленного на упругом фундаменте.

Для решения нелинейных дифференциальных уравнения движения жидкости в полярной системе координат использована схема расщепления по физическим процессам.

Глава заканчивается анализом полученных результатов численного решения задачи. Сделан вывод о том, что предложенный конечно-разностный метод решения задачи СРЖФ является более эффективен по сравнению с аналогичными численными методами известных в литературе.

Основные результаты диссертации.

1. Впервые созданы и решены аналитически обобщенные динамические модели "ротор-жидкость-фундамент" (СРЖФ), которые являются самыми общими моделями роторных систем с полостями, частично заполненными жидкостью. Из СРЖФ, как частный случай, можно получить самые различные роторные машины (центрифуги, сепараторы, валы турбомашин, ракеты, спутники работающие на жидком топливе, движение которых стабилизируется вращением и др.) с жидкими заполнениями.

2. Разработка методов расчета основных динамических и кинематических характеристик системы и нахождение точных решений линеаризованных пространственных уравнений движения жидкости позволило исследовать взаимосвязанные колебания ротора, фундамента и жидкости, а также оценить влияния волновых свойств свободной поверхности жидкости на динамику всей системы.

3. Создана и решена аналитически динамическая модель опорной центрифуги с полостью, частично заполненной жидкостью, установленной на упругом фундаменте, которая позволила определить взаимосвязанные колебания системы "центрифуга-жидкость-фундамент" и оценить эффект волновых свойств свободной поверхности жидкости на поведение всей системы.

4. Разработанная методика решения задачи системы "центрифуга-жидкость-фундамект", позволяет найти амплитуды вынужденных колебаний фундамента и центрифуги границы и ширины зон неустойчивостей системы при которых существенно уменьшаются амплитуды вынужденных колебаний центрифуги и фундамента, сужаются ширины зоны неустойчивостей системы и стабилизируется движение центрифуги в рабочем режиме.

5. Впервые создана и решена аналитически динамическая модель вертикального ротора с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью вращающегося на подшипниках скольжения с жидкостной смазкой установленных на упругом фундаменте.

6. Результаты решения совместных уравнений движения системы из условия стационарности движения системы, позволили определить условия неустойчивости, границы и ширины зоны неустойчивости системы, влияние параметров ротора, подшипников, смазочного слоя, фундамента и жидкости, а также оценить эффект влияния волновых свойств свободной поверхности жидкости и колебаний массивного фундамента на амплитуды автоколебаний и устойчивости ротора и фундамента.

|7. Разработана методика численного решения задачи динамики симметричного вертикального ротора с полостью, частично заполненной жидкостью, установленного на упругом фундаменте с учетом нелинейности уравнения движения жидкости. Численным методом найдены колебания ротора, фундамента и жидкости при вариации параметров системы.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Рахматуллаев А. Ш., Нукенов Д. Колебания и устойчивость обобщенной динамической модели системы "ротор-жидкость-фундамент" (СРЖФ). Препринт №9. ИА РК, Алматы, 1994 г. 28 с.

2. Рахматуллаев А.Ш., Нукенов Д. Автоколебания вертикального ротора с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью, вращающегося на подшипниках скольжения с жидкостной смазкой, установленных на упругом фундаменте. Препринт. Институт механики и машиноведения. Алматы, 1997 г. 35 с.

3. Нукенов Д. Нелинейные колебания опорной центрифуги, установленной на упругом фундаменте. Вестник КазГУ, серия математика, механика, информатика. №9. Алматы, 1998 г. Стр. 123-130.

4. Рахматуллаев А. Ш., Нукенов Д. Динамика неуравновешенной опорной центрифуги, частично заполненной жидкостью, установленной на массивном фундаменте с упругими опорами. Препринт. Институт механики и машиноведения. Алматы, 1997 г.

5. Нукенов Д. Численное моделирование течения жидкости в полости ротора. Вестник КазГУ, серия математика, механика, информатика. №11. Алматы, 1998 г.

Нукенов Дэугг Нукенович Тушндеме

Ецбекте сертмд1 тугырга орнатылып, ¡шшара суйык, толтырылган эр турм тецгершчеген енд!р1стщ ер алуан саласында жане техникада кецшен крлданылып журген роторлы жуйелердщ динамикалык, eceirrepi шеш1лген.

Алынган нэтижелер ротордыц epÍKCÍ3 тербелш амплитудаларына, орных,сыздык, зоналарына жене олардыц еш мен шектес кисыкд-арыныц турлерше тугырдьщ жэне суйык бетшщ тербелга, подшипниктердеп май кдбатыньщ крзгалысы, т. б. типзетш есерлерш aHbiK,TayFa мумюндш бередь Сонымен 6ípre жорарыда аталган роторлы жуйелердш динамикалык, есептерш шешудщ утымды а Д1 crépi усынылды.

Nukenov Dauyt Nukenovich

Abstract.

This work deals with generally dynamic models of the unbalanced rotor systems with travelling rug, which have been suggested and widely used in different branches of industry and engineering.

Receiving results allow to define the conditions of the instability, the limits and the width of such area, the influence of the parameters of the rotors, the bearings, the oil layer, the foundation and the liquid and also to estimate the influence of the wave properties, free surface of the liquid and vibration of the massive foundation on the amplitude of the autovibration and the rotor's stability and foundation.

Besides the effective methods of the decision of the dynamic tasks of the abovenamed rotor systems have been suggested.