автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Математическое и программное обеспечение построения рабочего словаря признаков для идентификации стохастических объектов

РГ6 ь О 2 ИЮН 199?

На правах рукописи

ВЕДЕРНИКОВА Татьяна Ивановна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОСТРОЕНИЯ РАБОЧЕГО СЛОВАРЯ ПРИЗНАКОВ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

05.13.11 - Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов, систем и сетей

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иркутск - 1997

Работа выполнена на кафедре информатики и кибернетики Иркутское государственной экономической академии

Научный руководитель -члвн-корреспондэнт МАЙ ВШ, доктор технических наук, профессор Г.П.Хамитов

Официальные оппоненты -доктор технических наук, профессор А.И.Тятюшкин кандидат физико-математических наук Г.А.Опарин

Ведущая организация -Вычислительный центр СО РАН

Защита состоится «/У" 1997 года в ^ часов на

заседании специализированного совета Д 003.64.01 в Иркутском вычислительном цэнтре СО РАН по адресу: 664033, Иркутск, ул.Лермонтова, 134, зал заседаний Ученого совета

С дассерггавдеа можно ознакомиться в библиотеке Иркутского вычислительного центра СО РАН.

Автореферат разослан

Ученья секретарь специализированного совета, д.ф.-м.н.

j^ßL----ю.Ф.о^ов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одной из проблем, возникающих при решении задач статистического анализа, классификации и распознавания образов, прогнозирования и некоторых других, является выбор наиболее подходящей математической модели обработки и описания данных. При этом соответствующая информация представляет собой многомерные временные ряды, и довольно часто в общем потоке имеющихся данных исследователя интересуют лишь аномальные явления и части данных, которые предшествуют этому явлению и следуют после него. Идентификация аномального явления по совокупности измерений представляет собой задачу распознавания образов (РО>, эффективность решения которой существенным образом связана с качеством рабочего словаря признаков (РСП).

Существующие метода построения РСП можно условно разделить на две большие группы: методы минимизации систем описания образов и структурные метода. Первая группа методов не всегда эффективна, т.к. признаки, включенные в РСП, не учитывэют внутреннюю структуру объекта идентификации. Недостатком второй группы методов является то, что одни из них ориентированы на решение статических задач РО (факторный анализ), а другие предполагают довольно жесткие ограничения (нелинейное преобразование параметров, аппроксимация параметров).

Актуальность работы определяется, с одной стороны, недостаточной разработанностью методов, обеспечивающих определение признаков, и отсутствием программных средств построения РСП для идентификации стохастических объектов, а с другой, - настоятельной необходимостью решения таких задач в научной и практической деятельности.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Разработка принципов, математических методов и программных средств построения РСП для автоматической идентификации стохастических ■ объектов при решении задач обработки временных рядов, представляющих собой кусочно-стационарные последовательности.

В теоретическом и методическом плане цель исследования заключается в обосновании эффективного подхода к формированию признакового пространства, учитывающего внутреннюю структуру стохастических объектов.

з

Технические аспекты преследуемой цэли состоят в реализации соответствующих моделей, алгоритмов и программ, включая апробацию на реальных данных.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

1) Обоснован новый подход к формированию пространства признаков, аккумулирующих в себе характерные особенности заданной совокупности наблюдений, с минимумом допущений и простой в вычислительном отношении.

2) Разработан метод выбора робастного признака с целью построения рабочего словаря.

3) Разработана диалоговая система моделирования и выбора робастных признаков.

4) Предложенные подхода, метода и средства апробированы в задаче выявления совокупности робастных признаков в технологии идентификации областей околоземной плазмы: солнечного ветра <СВ), переходной области <ПО) и магнитосферы <МС) по измерениям на спутнике ПРОГНОЗ-?, Разработана методика автоматического выделения различных областей околоземной плазмы (АВРО) и соответствующий комплекс программ идентификации.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработанные алгоритмы и диалоговая система моделирования Статистик, различающих случайные величины (ДИСИМОС), могут быть использованы в медицине, биологии, химии, физике, геологии и других областях, где информация представляет собой многомерные временные ряды, присутствуют аномалии и необходимо находить информативные признаки для идентификации отдельных явлений. Созданные методика и комплекс программ идентификации прошли отработку на данных высокоапогейного спутника ПРОГНОЗ-7 и будут применяться для идентификации различных областей околоземной плазмы при обработке данных перспективных проектов ИНТЕРБОЛ и др., осуществляемых Институтом космических исследований РАН. ДИСШОС используется в учебном процессе Иркутской государственной -экономической академии по курсам "Математическая статистика", "Основы теории случайных процессов "Имитационные системы" и др.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Теоретические и практические результаты работы докладывались и обсувдэлись на Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Иркутск, 1985 г.), ш Всесоюзной научно-технической конференции "Программное,

алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ TIT (Ташкент, 1985 г.). Научно-технической конференции "Автоматизированные системы научных исследований" (Иркутск, 1988 г.), xi Всесоюзном совещании по проблемам управления (Ташкент, 1989 г.), Всесоюзной научно-технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (Новосибирск, 1991 г., 1994 г.), Региональной школе-семинаре "Информационные системы в экономике (опыт, проблемы, перспективы)" (Чита, 1996 г.).

Работа выполнялась в рамках хоздоговорных исследований по темам "Парус-2" (N гос.per. 01860010663) и "Парус-4" (N гос.per. ОГ910056840) по договорам между Иркутской государственной экономической академией и Институтом космических исследования РАН.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации отражены в 6 работах /1-6/.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (103 наименования) и трех приложений. Основной текст диссертации изложен на 115 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ дается общая характеристика работы, обоснование ее актуальности, новизны, практической ценности, приводится аннотация результатов диссертационного исследования.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ рассматривается многообразие форм представления экспериментальных данных и анализируются проблемы их обработки. Определяется место задачи РО и роль словаря признаков для адекватной идентификации объектов. Исследуются существующие способы создания РСП и проводится их классификация (Рис.1). Формулируется постановка задачи построения РСП для автоматической идентификации стохастических объектов в задачах обработки кусочно-стационарных последовательностей.

Пусть имеется статистический материал и пусть матрица

X - jx. ^ j = l7N; i=T7n (I)

объектов, является последовательностью N наблюдений за векторными случайными величинами : к=Г7м: м « n, описывающими к-ые области и составляющими класс

*~ Он}; k=oi; <2>

Известно, что (I) является репрезентативной обучающей

Классификация методов построения ГСП

Рис.1

выборкой. Причем каждая из строк ^ j=T7N матрицы (I)

отнесена к одной из областей набора (2). Пусть также имеются данные

{Хм+г}; Г-1.2 .... , (3)

аналогичные (I) и нуждающиеся в идентификации. Каждое новое наб-

6

людение х. из (3) нужно отнести к одной из областей класса (2). Доступна здесь лишь методика, связанная с построением "доверительных интервалов" по (I) и доверительным оцениванием каждого акта идентификации. Однако, "доверительные интервалы" для векторных случайных величин не являются удобными, даже если таковые будут построены. Введем набор функциональных преобразований

^k - <Pi<?k> - <ekl.ek2.....ek„>. ^^ <4>

величин класса (2). Тогда матрице скалярных случайных величин Y - |\к|; i-TTm; к-ТТМ СОПуТСТВуеТ Матрица D - jo k j; i-T7m; к=Г7м . множеств возможных значений этих величин и матрица d - {dVk}; k=1 -м доверительных интервалов (односторонних

ИЛИ двусторонних, dike D. к ) С Матрицей р - {Р1к};

к=ТТм соответствующих доверительных вероятностей. Требуется:

I) разработать метод, позволяющий строить для класса (2) рабочий словарь признаков, т.е. находить такое подмножество

характеристик {Yik}-' m* дая

которых вероятности

dik

(- )

k

достаточно близки К 1;

2) обосновать метод и методику идентификации принадлежности каждого очередного результата наблюдений из (3) к одной из областей в (2) в зависимости от свойств, описываемых преобразованием (4), и задаваемых вероятностей р1к, 1-1.т: к=Т7м;

3) разработать программные средства моделирования РСП;

4) апробировать предлагаемый метод на реальных данных.

Задача идентификации может быть разделена на несколько частных случаев в зависимости от следующих условий:

A) компоненты векторов-строк в (2): а) независимые случайные величины: б) зависимые; в) одинаково распределены; г) имеют один тип распределения; д) имеют различные распределения.

B) класс £ и предлагаемый набор функций

таковы, что области ак и а л при з * к: е) пересекаются: ж) не имеют общих точек.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ предложен новый структурный метод построения РСП (называемый МХ-методом), базирующийся на переходе от многомерных случайных величин

.....<5>

к одномерным величинам {\к}; к-Т7м, аккумулирующим

отличительные особенности величин (5). Это позволяет существенно снизить трудоемкость решения задачи идентификации, ибо очевидно, что анализ свойств одномерных величин выполнить значительно проще, чем многомерных. Основополагающим для МОС-метода является предположение о том, что объекта разных областей являются реализациями различных случайных величин, и, следовательно, для каждой области существуют свои характерные преобразования (4), отражающие внутреннюю структуру объекта идентификации. РСП объектов каждой области составляет характеристика или набор характеристик, выявленных в результате обучения {на конкурсной основе) по выборке (X).

В основу различения величин типа (I) из множества вновь

поступающих , г-1.2____ положены отношения и разности их

компонент. Функциональные преобразования (4), базирующиеся на модулях разностей компонент вектора (5), названы характеристиками типа "расстояний". При этом под модулем первой разности понимается новая случайная величина

Т) = |а - ъ|, <6)

где в качестве а и ь берутся составляющие вектора (5). Если вместо а и ь в (6) подставить модули первых разностей, то говорят о модулях вторых разностей и т.д.

Характеристиками типа "отношений" называются функциональные преобразования, основанные на отношениях

С " а/Ь, (?)

где а и ь - компоненты вектора (5) (в этом случае (7) есть отношение первого порядка). Когда в качестве а и ь берутся отношения первого (второго и т.д.) порядка, то появляются отношения второго (третьего и т.д.) порядка.

Алгоритмы задания характеристик типа "расстояний" строятся как суммы, минимумы и максимумы всевозможных модулей первых, вторых, третьих и т.д. разностей и отношений первого, второго и

в

т.д. порядков компонент вектора (5).

Для случая независимых и одинаково распределенных компонент вектора (5) получены теоретические результаты, оформленные в ввде утверждений и следствий.

В аналитическом виде закон распределения вероятностей (ЗРВ) выведен

1) для статистики

V I 15,- с^ь г - Щ,

1=1

когда ^ ; 1=Т7п имеют одно из распределений: Бернулли, экспоненциальное или геометрическое (причем для первых двух получены известные законы);

2) для статистики

'-Ш-

\ -1

когда компоненты вектора (5) распределены нормально (У4 имеет распределение Коши).

Найдены основные числовые характеристики (когда аналитически ЗРВ не был выведен) для величины , если компоненты вектора (5) распределены нормально или равномерно на [0..1], и для У4, если ^ : 1=Т7п имеют распределение Показано, что отношение (относительная вариация)

УагГУ 1

—-———-; 1-ттгг (8)

зависит от параметра исходного распределения и уменьшается с увеличением п, если компоненты в (5) имеют геометрическое распределение; не зависит от параметра исходного распределения и уменьшается с ростом п в случае показательного распределения: определяется параметром а и не зависит от п для нормального распределения с параметрами (а.а); для равномерного распределения на [0.1] это отношение постоянно. Когда компоненты в (5) имеют распределение х1» относительная вариация У4 определяется параметром исходного распределения (при к —► <» стремится к У?).

С целью определения условий формирования РСП и на основе выполненного анализа проведена классификация задаваемых признаков. Последние предлагается разделять по способу формирования (характеристики типа "расстояний" и характеристики типа "отношений"), по возможности определения ЗРВ (статистики, ЗРВ которых

широко известен; статистики. ЗРВ которых может быть найден в аналитическом виде: статистики, для которых отыскание ЗРВ может быть выполнено только численными методами), по наличию конечных числовых характеристик и величине относительной вариации.

Сформулированы принципы построения РСП:

1) одномерность признаков в РСП;

2) избыточность признаков, описывающих один и тот не объект;

3) минимальная вариабельность признака;

4) "непересекаемость" распределений признаков, аккумулирующих отличительные особенности разных объектов.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ описываются назначение и структура ДИСИМОС. Система предназначена для задания различных интегральных характеристик векторных случайных величин (или их реализаций) и выбора дискриминирующей характеристики, которая аккумулирует в себе наиболее отличительные свойства этих величин с точки зрения определенных критериев. ДИСИМОС может быть использована также для решения задач моделирования случайных процессов, статистического анализа рядов наблюдений и как словарь-справочник по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Система содержит графические возможности для наглядного представления данных.

Основным требованием при разработке системы являлось условие мобильности программного продукта в смысле минимизации затрат на модификацию системы, связанных с расширением ее функций и возможным автоматизированным переносом на иные вычислительные платформы. Система имеет модульную организацию. В ней разделены машинно-ориентированные и машинно-независимые подпрограммы. Введен глобальный массив переменных, позволяющий легко дополнять систему новыми функциями или удалять уже существующие.

В состав ДИСИМОС входят библиотека функциональных программ (БФП), подсистема помощи (ПП), подсистема обработки исключительных ситуаций (ПОИС) и комплекс управляющих программ (МОНИТОР).

БФП имеет одноуровневую файловую структуру и представляет собой совокупность подпрограмм, предназначенных для осуществления основных функций системы и наглядного представления результатов работы в виде таблиц, графиков или текстовых сообщений. По умолчанию выполняется бесформатный ввод данных из файла или с клавиатуры, но можно написать свою

1 л

программу ввода и включить ее в БФП. В настоящей версии ДИСИМОС функционируют основные блоки системы.

МОНИТОР выполняет две большие функции: I) осуществляет интерфейс ДИСИМОС с пользователем в форме меню.- 2) реализует взаимодействие всех частей системы. В системе реализовано горизонтальное и спускающееся меню. Практически из любого места системы с целью быстрого перехода в новую задачу вызывается внеу-ровневый пункт "Диспетчер", подпунктами которого являются основные функции ДИСИМОС. МОНИТОР имеет одноуровневую файловую структуру и представляет собой совокупность программных модулей, отражающих внешний вид дисплея в процессе общения пользователя с ДИСИМОС, МОНИТОР позволяет выполнять "откатку" (пока не начался собственно вычислительный процесс) на неограниченное число шагов и выход из системы в любое время. В случае затруднения общения с ДИСИМОС пользователь всегда может обратиться за помощью.

Подсистема помощи состоит из трех частей: "Справочника" системы (словаря терминов), поэкранной помощи и программы обучения работы с системой. "Справочник" включает около 60 терминов, покрывающих основные разделы теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов. Необходимую справку можно получить вызвав словарь терминов. Последний организован по принципу многотомной. энциклопедии, где информация разбита на порции в алфавитном порядке. Каждая порция занесена в отдельный текстовый файл. Кроме того, в отдельном файле хранится обширный список литературы по названной предметной области. Поэкранная помошь привязана к каждому экрану и несет информацию о возможной альтернативе дальнейшей работы или представляет собой подсказку пользователю о том, как поступить дальше. Программа обучения разработана на основе гипертекста. Войти в режим обучения можно из любого места ДИСИМОС, также в любое время можно из него и выйти. Работая в этом режиме всегда есть возможность обратиться к словарю терминов, выполнить "откатку" внутри этой подсистемы, выйти из системы вообще.

ПОИС позволяют идентифицировать ошибки, вызываемые следующими причинами: I) неверно введенные данные.- 2) недостаток свободного дискового пространства для записываемого файла: 3) попытка записи в уже существующий файл: 4) попытка считывания информации из несуществующего файла; 5) попытка читать информацию из файла меньших размеров. Подсистема состоит из трех подгтрог-

рамм: ово2 диагностирует и выдает сообщение об ошибке, восстанавливает работу системы; овоз определяет файл при считывании, проверяет наличие файла на диске, соответствие размера и требуемых от него данных.- ово4 определяет свободное дисковое пространство и соответствие его с записываемым файлом. В каждой программной единице выполняется контроль входных данных. Механизм ПОИС реализован посредством метода обработки через прерывания. Тексты сообщений и коды ошибок хранятся в отдельных файлах, что позволяет легко увеличивать число сообщения об ошибках.

ДИСИМОС релизована на "непотопляемом" алгоритмическом языке Фортран. Для ее работы необходам компьютер типа ibm 286 (с сопроцессором) и выше с операционной системой мз dos 3.3 и выше.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ разрабатывается методика АВРО посредством МОС-метода и с помощью ДИСИМОС. Формулируется физическая постановка задачи идентификации различных облэстей околоземной плазмы, приводится описание прибора, методики измерения и особенностей получаемой научной информации, проводится построение РСП для каждой из областей: ПО, СВ и МС. Излагаются результаты использования методики АВРО для идентификации моментов пересечения спутником ПР0ГН03-7 фронта околоземной ударной волны и магнитопэузы.

Обучение и тестирование проводилось по информации с ИСЗ ПРОГНОЗ-7. По созданным первичным наборам данных (СВ - 1754 спектров, ПО - 599 спектров и МС - 771 спектр) проведен анализ поведения 12 типов характеристик, который выявил следующее. РСП магнитосферы образовали характеристики

yiá' - £ к - х( i. f - га.

I s i

где £ - фиксируемый элемент спектра. Словарь признаков ПО включил характеристики

у » min |х - х I И у шах |х - х I.

' 2 -1 I I * 1 1 э -1 » ♦ i 1

V = 1 . г> - 1 i = 1 , г.- 1

Рабочие признаки для СВ - это, прежде всего, "зашкал" (значение xt превышает 106имп.), а затем

i =1 V =1

Выполненная работа позволила предложить следующую методику

автоматического определения принадлежности энергетического

спектра к той или иной области, включающую обучение и идентификацию. Обучение:

0.1. Получение обучающей выборки. Здесь возможно использование информации двух видов: а) информация, разрабатываемая для тестирования спектрометра в наземных условиях; б) измерения, полученные непосредственно со спутника.

0.2. Построение РСП (нахождение характеристик, для которых с заданной точностью устанавливается ЗРВ, которые имеют минимальную вариацию и наименьшую "совместимость" по значениям для различных областей).

0.3. Ранжирование признаков по их значимости для идентификации конкретной области.

0.4. Построение интервальных оценок робастных признаков с требуемой надежностью, если удалось подобрать ЗРВ. 0.5. Установление пороговых значений рабочих признаков, если ЗРВ остался неопределенным.

Собственна идентификация : И.6. Проверка измерений в спектре нэ "зашкал". Наличие последнего говорит о принадлежности спектра СВ.

И.7. Преобразование последовательности измерений, соответствующей одному спектру, не содержащему "зашкал", в набор характеристик yî . у2.....ут-

И.8. Проверка принадлежности спектра к одной из областей (попадание значения характеристики в заданный интервал для конкретной области) с надежностью, определенной пользователем, осуществляется в несколько шагов: I) по самой робастной характеристике: 2) дополнительно по второму по значимости признаку: 3) по суммарному весу остальных признаков: если больше половины значений признаков РСП конкретной области попадают в свои интерзалы, то спектр относится к соответствующей области. Каждая очередной шаг, в случае утвердительного ответа, является решающим для идентификации спектра, и тогда последующие шаги не выполняются.

Тестированию подвергалось 8683 спектра (4078 - СВ, 1772 -ПО и 833 - МС). Проведенный анализ показал, что в имеющейся информации о моментах перехода содержались ошибки, которые были устранены в процессе тестирования после обсуждения с экспертом. Точность идентификации составила 96,4%, что вполне удовлетворило Заказчика (Институт космических исследований РАН).

Предложенная методика может применяться в любой области

исследований, где данные представляют собой наблюдения за многомерной случайной величиной.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В ПРИЛОЖЕНИЯХ приводится структурная схема ДИСИМОС и ее спецификация (Приложение I), содержатся таблицы исходных, промежуточных и результирующих материалов по идентификации областей околоземной плазмы (Приложение 2), описывается комплекс программ идентификации солнечного ветра, переходной области и магнитосферы (Приложение 3).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Выполнен анализ и проведена классификация существующих методов и алгоритмов построения информативного пространства признаков.

2. Предложен новый структурный метод построения информативного пространства признаков (называемого рабочим словарем признаков), учитывающих внутреннюю структуру объекта, описываемого последовательностью чисел, представляющих собой реализацию векторной случайной величины.

3. Для случая независимых и одинаково распределенных компонент вектора £ = (^ • Е2.....) найдены в аналитическом виде

законы распределения вероятностей и основные числовые характеристики отдельных преобразований.

4. Разработаны простые в вычислительном отношении и эффективные для идентификации алгоритмы конструирования признаков, аккумулирующих в себе характерные особенности заданной совокупности наблюдений.

5. Сформулированы принципы включения признака в РСП.

6. Разработана и внедрена в учебный процесс ЙГЭА мобильная система ДИСИМОС, обладающая открытой архитектурой, позволяющая осуществлять выбор робастных признаков и решать дополнительно задачи* генерирования последовательностей случайных чисел и статистического анализа, предоставляя при этом пользователю справочную информацию по означенной предметной области.

7. С помощью ДИСИМОС построены рабочие словари признаков для решения задачи идентификации различных областей околоземной плазмы: солнечного ветра, переходной области и магнитосферы по показаниям прибора СКС-04 спутника ПРОГНОЗ-7.

8. Разработана эффективная методика автоматического выделе-

ния областей СВ, ПО и МС.

9. На основе предложенной методики создан комплекс программ и проведена идентификация различных областей околоземной плазмы, подтвердившая высокую степень надежности распознавания спектров, полученных в солнечном ветре, переходной области и магнитосфере.

СПИСОК

основных работ, опубликованных по теме диссертации

1. Ведерникова Т.И., Хамитов Г.П. Автоматизация выбора статистик для решения задач идентификации плазменных нестационар-ностей // Опыт создания и внедрения методов и средств проектирования и расчета динамических систем и процессов с учетом показателей сложности: Тез.докл.научн.-техн.конф.- Москва, 1985.-С.69.

2. Ведерникова Т.И. Машинное моделирование статистик, различающих случайные величины // Автоматизированные системы научных исследований: Тез.докл.научн.-техн.конф. - Иркутск, 1988. - С.18.

3. Хамитов Г.П., Ведерникова Т.К., Шевцова И.Л., Цодтов С.Д. Алгоритмическое и программное обеспечение идентификации стохастических рядов // Алгоритмические и комбинаторные задачи дискретных систем и ЭВМ: Сб.научн.тр. - Иркутск: Иркут.ун-т, 1991. -С.128-139.

4. Ведерникова Т.Н. Способы построения рабочего словаря признаков при решении задач идентификации //Вестник Иркутского института народного хозяйства. - Иркутск, 1992. - n 3. - С.21-32,

5. Ведерникова Т.И., Хамитов Г.П. МОС-метод как подход к формированию рабочего словаря признаков // Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов: Тез.докл.межд. научн.-техн.конф. - Новосибирск, 1994. - С.135-136.

6. Ведерникова Т.И. Диалоговая система моделирования статистик, различающих случайные величины (ДИСИМОС) // Информационные системы в экономике (опыт, проблемы, перспективы): информационные материалы школы-семинара. - Иркутск: Изд-во Иркут.экон.акад., 1996. - С.29.