автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.07, диссертация на тему:Разработка и внедрение нелинейных стохастических систем управления для автоматизации технологических процессов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Казахский национальным технический университет он

- Г ' "Ч *J" ,f На правах рукописи

ШУАКАЕВ МАРАТ КАПАШЕВИЧ

РАЗРАБОТКА И ВНЕДРЕНИЕ НЕГ ИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 05.13.07 — автоматизация технологических процессов и производств

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора технических наук

Алматы,1995

Работа выполнена в Казахском Национальном Техническом Университете.

Научный консультант -

доктор технических наук, профессор АСАУБАЕВ К.Ш. Официальные оппоненты:

1. доктор технических наук, профессор ПОПКОВ Ю.С.

2. доктор технических наук, профессор БИТТЕЕВ Ш. Б.

3. доктор технических наук, профессор БИЯРОВ Т. Н.

Ведущая организация

Институт проблем управления Российской Академии Наук

Защита состоится ДС 1996 года в ' ^ ч. на-заседании

специализированного совета Д. 14.13. 03 при Казахском Национальном Техническом Университете по адресу: 480013, г. Алматы, ул. Сатпаева, 22, в ауд.З®' университета.

Отзывы на автореферат направлять по адресу'480013, г. Алматы, ул. Сатпаева, 22, Казахский Национальный Технический Университет, ученому секретарю.

Автореферат разослан „ „ 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технически5Гвауй,

доцент / Ц^' Б. А. СУЛЕЙМЕНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ---------------------------

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Основным направлением научно-технического прогресса в полиграфии является автоматизация технологических процессов путем внедрения в производство современных методов управления и вычислительной техники. Автоматизация производства а полиграфии позволяет: увеличить производительность труда, достигнуть максимально возможной эффективности используемого оборудования, существенно повысить качество выпускаемой лродукиии и улучшить усломп труда на еа предприятие.

Полиграфическое производство отличает: большое разнообразие технологических процессов, которые в свою очередь существенно отличаются по скорости их протекания; разрывность единого полиграфического производства во времени при переходе от одного этапа технологического процесса к другому приводят к большому объему ручных работ; нестабильность геометрических и физических параметров сырья (бумаги, краски, полуфабрикатов) и в^энзгет необходимость чассй псрс-сюойки оборудования.

Вышеуказанные трудности требуют построения модели управления технологическими процессами и систем управления мэ основа теоретических исследований и путем эксперимента.

Математические модели технологических процессов си^сысаютс-я п двух концепциях: первзя - "пространств:! состояний" описывает технологический процесс в виде системы дифференциальных или стохастических уравнений, вторая — отображение "вход-выход" описывает технологический процесс в виде детерминированного пли стохастического ряда Вольтерра.

Достаточно хорошо изучены технологические процессы, которые описываются линейными детерминированными системами. Использование же нелинейных детерминированных систем осуществляется после ее линеаризации а зте, к;ж известно, з корне меняет сущность исходила задачи. Однако для большинство технологических процессов о полиграфии; хорошо изученных с качественной точки зрения пока не получено достаточно достоверных математических моделей. Это возникло о связи с том, что для описания математических моделей технологических объектов использовался только узкий класс линейных детерминированнных систем, а нелинейные и

системы со случайными параметрами не использовались. Поэтому возникли проблемы в установлении взаимно-обратной связи между описаниями систем в концепциях "пространства состояний" и отображения "вход-выход", что в свою очередь породило проблему идентификации сложными технологическими процессами в полиграфии, которая заключается в нахождении метода построения математической модели на основе входных и выходных его данных в процессе нормального его функционирования. В последнее время возникла проблема идентификации для сложных технологических процессов, описываемых системой нелинейных детерминированнных или стохастических уравнений, на основе решения задачи реализации, которая является сложной задачей на сегодняшний день.

Фундаментальными исследованиями этих проблем в СНГ занимаются школы Ю.С. Попкова и К. 111. Асаубаева.

Впервые проблема реализации была сформулирована Р. Калманом и достаточно хорошо изучена в линейном и билинейном, дискретном и непрерывном, детерминированном и стохастическом вариантах американскими школами Р.Калмана, Э.Джильберта, Р.Броккета и итальянскими школами К. Бруни и А. Жермани. В нелинейном варианте существует только теорема существования реализации в гильбертовом пространстве.

Позднее, Ю.С. Попковым была сформулирована проблема нелинейной стохастической идентификации, которая обобщает постановку задачи Р.Калмана. Решение проблемы идентификации основывается на решении задачи реализации.\Тем самым задача исследования. усложняется вдвойне. Однако решение этой задачи идентификации позволяет решить одновременно издавна трудные проблемы структурной и параметрической идентификации.

В то же время К.Ш. Асаубаевым была сформулирована проблема нелинейной стохастической идентификации на гладких многообразиях.Решение этой проблемы требует применения аппарата алгебр и групп Ли, и работ по исследованию этой проблемы очень мало.

Из вышеизложенного следует, что построение системы идентификации для сложных технологических процессов является актуальной задачей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в разработке методов, алгоритмов и программного обеспечения для построения систем идентификации для сложных технологических объектов, описываемых нелинейными

5 ______ __________________________

-------стохастическими системами уравнений и их приложений.

Поставленная цель включает в себя:

- исследование методов построения вольтерровских моделей для классов нелинейных детерминированных и стохастических систем на основе исходной модели в „пространстве состояний" и исследование их свойств сходимости и конечности;

- исследование методов и алгоритмов структурной и параметрической идентификаций для нелинейных детерминированных и стохастических систем на основе решения проблемы реализации;

- разработку алгоритмов и методов, позволяющих автоматизировать непрерывные технологические процессы.

Методология работы. Методы исследования названных проблем базируются на теории нелинейных стохастических систем и теории компактных алгебр и групп Ли.

Научная новизна' В работе на основе развития методов „пространства состояний" и отображения .вход-выход" решена крупная научная проблема создания методов и алгоритмов структурной и параметрической идентификаций для различных классов нелинейных детерминированных и стохастических систем. На защиту выносятся:

1. Методы построения вольтерровских моделей для различных классов нелинейных детерминированных и стохастических систем, обеспечивающие:

а) применение формулы Ито для получения решений в банаховом пространстве, представленных в виде стохастических рядов Вольтерра, получены достаточные критерии сходимости этих рядов и предложены алгоритмы вычисления ядер Вольтерра для различных классов нелинейных стохастических систем;

б) установление связи между стохастическими рядами Вольтерра и нильпотентными алгебрами Ли; предложен алгоритм реализации для различных классов нелинейных стохастических систем, имеющих конечные ряды Вольтерра;

в) получение универсальных структур аппроксимационных моделей с невырожденной и вырожденной ганкелевыми матрицами в нелинейном детерминированном и стохастическом случаях.

2. Методы и вычислительные алгоритмы реализации, структурной и параметрической идентификаций для различных классов нелинейных детерминированных.и стохастических систем, обеспечивающие:

а) создание метода и алгоритма аплроксимационной нелинейной реализации и разработку методов и алгоритмов реализации и параметрической идентификации для классов детерминированных и стохастических нелинейных систем полиномиального типа;

б) разработку метода и алгоритм представления последовательности взаимно-корреляционных функций для классов нелинейных стохастических систем;

в) создание методов и алгоритмов реализации, структурной и параметрической идентификаций для классов нелинейных стохастических систем с вырожденными и невырожденными ганкелевыми матрицами;

г) разработку методов и алгоритмов реализации и идентификации для билинейных стохастических систем на гладких многообразиях: п-мерная сфера, п-мерный эллипсоид, 2п-мерное пересечение поверхностей;

д) разработку алгоритма для описания классов эквивалентных нелинейных стохастических систем, близких по норме Фробениуса соответствующих ганкелевых матриц.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ, Для подтверждения достоверности полученных теоретических результатов и их сравнения с

известными используется цифровое статическое моделирование на ЭВМ.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ, На основе теоретических результатов работы было создано научно-методическое и программное обеспечения задач реализации, структурной и параметрической идентификаций для автоматизации непрерывных технологических процессов. При непосредственном участии автора был создан пакет прикладных программ "ЕШЕБ". Эта работа выполнялась по госбюджетной теме №8.330.93 "Разработка и исследование моделей и методов стохастических систем управления и их приложение", а также по госбюджетной теме №8.454Ф.94 "Разработка методов, алгоритмов и пакета прикладных программ для задач структурной и параметрической идентификаций на основе теории псевдополуобратных матриц и аппарата алгебр Ли".

РЕАЛИЗАЦИЯ И ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ. Предложенные в диссертационной работе подходы, принципы, методы, их алгоритмическое обеспечение были использованы при разработке и внедрении системы управления технологическими процессами при производстве книг, тетрадей, альбомов и блокнотов на фабрике "Книги".

Результаты работы внедрены в учебной процесс на кафедре информатики Казахского Национального Университета при подготовке специа-

листов по дисциплине "Вероятностные процессы в системах управления", применяются в курсовом и дипломном проектировании, а также в НИРС.

По материалам диссертационной работы написаны 3 монографии: "Ряды Вольтерра и теория управления" (Алма-Ата: Даур, 1993), "Алгебры и группы Ли. Ряды Вольтерра и теория управления" (Алматы: Даур, 1993), "Нелинейная стохастическая реализация" (Алматы: Даур, 1994).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах "Ряды Вольтерра и теории управления" под руководством профессора К.Ш. Асаубаева; "Численные методы механики сплошной среды" под руководством профессора Ш.С.Смагупова; на ежегодных отчетных семинарах Института проблем информатики и управления HAH PK под руководством член-корреспоидента HAH PK, профессора A.A. Ашимова; на международной школе по управлению (Алма-Ата, 1992); на семинарах профессора А.Жермани (Италия, 1995).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в 3-х монографиях и 6 научных работах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 208 наименований и документов о внедрении результатов работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, отмечен вклад отечественных и зарубежных ученых в развитии построения системы идентификации для технологических процессов. Сформулированы цели и задачи исследования, изложены основные научные положения, выносимые на защиту, кратко излагается содержание работы.

В первой главе сформулированы проблемы автоматизации технологических процессов в полиграфии и дается краткий обзор литературы, касающейся затрагиваемых в работе вопросов и сформулирована постановка задачи диссертационной работы.

В первом параграфе главы сформулированы проблемы автоматизации непрерывных технологических процессов в полиграфии.

Во втором параграфе главы описаны технологические процессы в полиграфии.

В третьем параграфе главы дан обзор литературы по установлению связи между концепциями "пространства состояний" и отображением

"вход-выход", представленного в виде ряда Вольтерра с последующим исследованием свойств сходимости и конечности. В заключении параграфа выделены нерешенные проблемы.

Во четвертом параграфе главы делается обзор методов реализации и идентификации. Также в конце выделены нерешенные задачи.

В пятом параграфе главы сформулирована постановка задачи, которая заключается в следующем:

- разработать методы и алгоритмы реализации для различных классов нелинейных стохастических систем, заданных на гладких многообразиях;

- разработать методы и алгоритмы реализации, структурной и параметрической идентификаций для различных классов нелинейных детерминированных и стохастических систем;

- применить разработанные методы и алгоритмы для исследования, проектирования, внедрения и эксплуатации систем управления с целью автоматизации технологических процессов для производства книг, тетрадей и альбомов.

Во второй главе описаны математические модели сложных технологических процессов в концепции "пространства состояний" и разработаны методы построения вольтерровских моделей нелинейных детерминированных систем на основе исходной модели в "пространстве состояний" и исследованы свойства сходимости и конечности.

В первом параграфе главы описаны математические модели сложных технологических процессов в концепции "пространства состояний".

Во втором параграфе главы рассматривается следующая задача.

Пусть К и X - гильбертовы пространства, А*СУ и Вх (¡=1,...,п) -измеримые функции со значениями соответственно в X и и2(К,Х),

Рассмотривается стохастическая билинейная система с т-входами вида

¡-I (1)

у(П = Сх(1).

где А,В, • матрицы размерности пхп, х(1) - п-мерный столбец,

(¡=1,...,т) - стандартные винеровские процессы в К. Пусть х(0)=хо.

Вводится в рассмотрение банахово пространство Эр измеримых согласованных с потоком Г( случайных функций х^ со значениями в X и определение. '

"Будем говорить," "что функция /сг.х) е X) со значениями в

банаховом пространстве У удовлетворяет условию Й(У), и записывать /еЖУ). если справедливы неравенства

ц/и^ц^с,^.*,!,,

д^еХ.

Предполагается, что Ах и Вр (¡=1,...,т) удовлетворяют условию (2),

т.е.

АхеК(х), В,(х) (/ = 1.....т)бй(12(^,Х)).

Постановка задачи.

Требуется найти решение системы (1) в виде стохастического ряда Вольтерра и исследовать его свойство единственности, сходимости и конечности.

ТЕОРЕМА 1 [1]. Для стохастической билинейной системы (1)

существует единственное решение в банаховом пространство, представленное в виде ряда Вольтерра.

I т т I в!

с\ +Х X X \ ) Iе' V V

;=! ООО

+ £ £ \ } (3)

1=1 ¿=10 о о

Пу.. е* ■ -ГосМ'/О,)...сМ1 (в,)+...

Этот ряд равномерно сходится по норме при достаточном условии: для любых матриц А, хд и любого фиксированного ? существует с > и, такое что имеет место

|в,|<е, <¿ = 1.....т) (4)

Этот ряд конечен, если набор пар матриц Л и £? (7=/,..„т,)нильпотентен,

т.е.

=0. к =0,1.....п. (5)

Доказательство теоремы. Построение формального ряда Вольтерра (5) ведется на основе формулы К.Ито и метода последовательных приближений. Единственность доказывается на основе принципа сжатых отображений, а сходимость - на основе метода мажорантных рядов по стохастической мере Ито. Конечность ряда (3) показана на основе формулы Кэмпэла-Хаусдорфа.

В конце параграфа предлагается алгоритм реализации классов стохастических систем, имеющих конечные ряды Вольтерра.

В третьем параграфе рассматривается следующая задача.

рассмотрен класс нелинейных стохастических систем вида

¿х = АхЖ+ВхгсЮ, ^

у-Сх,

где УЦ*) - стандартный винеровский процесс. Предполагается, что векторные поля Ах и Вх2 удовлетворяют условию (2). Требуется найти решение системы (6) и исследовать ее свойства сходимости и конечности.

Решение поставленной задачи следует из следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2[3]. Для с_охастической одномерной нелинейной системы (6) существует единственное решение в банаховом пространстве, представленное в виде ряда Вольтерра

* уО) = Сел'х0 + / с/("в> 'в/8' *1<1Ще1 )+■•.+ о

+ Х / (7)

*»з о о о

, е в

•^'¿'-|И'(в2)<«У(в|)+...+ 1 \ /... Г с/""®''-

*»Ю о о

Этот ряд равномерно сходится по норме при достаточном условии: для любых А, В и любого фиксированного Ь существует е>и, такое что имеет место

.. И<е. (8)

Этот ряд конечен, если пара Л и В нильпотентна, т.е.

ас(\в = 0. Л -0,1.....и. (9)

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.

В четвертом параграфе расмотрена аналогичная задача для другого класса систем, решение которой следует из следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 3 [3]. Для стохастической одномерной нелинейной системы сии) = /Ш1№+#(хШ1), ' х(0) = 0.

у(1) = МхШ. ' . ./ (1°)

существует аппроксимационная билинейная система вида

dx^A^dt+N^dU+B^dU. Jfm(0) = 0,

Ут = Cm*m.

(11)

/

ДГ

, вольтерровская модель которой представляется

» I 'i ',-1 >«) = £ j .....

о о о

(12)

где

WjC.e,.....е,)=с,«

(13)

Доказательство этой теоремы следует из применения формулы К. Ито, методов лексиграфической и упорядоченной замены переменных, билинеаризации и последовательных приближений.

В пятом параграфе дан алгоритм [4] построения аппроксимацион-ной вольтерровской модели для нелинейной детерминированной системы

эд=/«>»+ц«ж*). *<»=о,

у(г) = Ь(*(0).

представленный в виде ряда Вольтерра

который равномерно сходится при ограниченной функции управления u(t). Построение алгоритма ведется на основе методов лексиграфической и упорядоченной замены переменных, билинеаризации и идеи Бруни.

В конце главы сделаны выводы.

В третьей главе разработаны методы построения математических моделей нелинейных детерминированных и стохастических систем з "пространстве состояний" на основе отображения "вход-выход".

В первом параграфе главы предлагается следующая задача.

Задается класс билинейных непрерывных стохастических систем (1) на многообразии М. Для системы (1) известно отображение "вход-выход" (3), т.е. есть возможность измерить одномерные вход - W(t) и выход -y(t) в любой момент времени. Предполагается, что процессы x(t) и W(t,h W(tJ независимы для всех f. f0,Г, и матрица q = eг^.

1=1 о о о

Предполагается также, что известна последовательность взаимно-корреляционных функций (я,</,е,.....в,»7=0.

Предполагается следующая постановка задачи.

Задача стохастической билинейной реализации заключается в том, чтобы по заданному отображению "вход-выход", представленного в виде ряда Вольтерра (3), ядра которого неизвестны, и по известной последовательности взаимно-корреляционных функций («^<,6,.....требуется

восстановить стохастическую билинейную систему (1), т.е. найти размерность многообразия М и ее матрицы А,В1 (¡-1,...,т), С,О.

Вначале предлагается метод и алгоритм представления последовательности взаимно-корреляционных функций (я,(<,е,.....в*))Г=о-

Поэтому обозначают слагаемые ряда (3) через у0(Ц, у,ю.---,ук(0,... и формулируется следующий результат.

ТЕОРЕМА 4 [1]. Для отображения "вход-выход", описанного в виде стохастического ряда Вольтерра (3) последовательность взаимно-корреляционных функций представляется в следующем виде:

ЯоМ^СОМО

1 ' к-> 00<в,<| й ......................................................................... (16)

* 1..... ' л-»00<в,<в,_,<...<«,<1 А

Из теоремы 4 следуют следующие соотношения:

1!й{1) = СеМЬ=Ка«)

.....«1)=И'["(/,в1.....в*)

Ь = (2СТ

(17)

Тем самым делается следующее важное заключение. Последовательность взаимно-корреляционных функций, совпадает с ядрами ряда Вольтерра (3) и представляет собой структуру ядер ряда Вольтерра соответствующей детермированнной билинейной системы.

Тогда задача'билинейной стохастической реализации решается на основаниии следующих этапов.

На первом этапе строится ганкелева матрица. Путем дифференцирования обеих частей (17), получим билинейную корреляционную последовательность вида

/г|"о'|.....}к,...) = СА',В,А1,~'1В1...В,А',~'"...Ь.

По ней строится ганкелева матрица,

(18)

я =

«,(1) Я2(0,1) Я,(2) «2(),2) Я2(0,2).. Я,(2) Я2(1.2)

й,(0)

й2(0,1) ' Д2(0,2) /?3(0,1,2)

«,(2)

Я2(1,2)

К2(0,2) Л3(0,1,2)

(19)

На втором этапе строится аппроксимационный класс матриц Ганкеля, где мерой аппроксимации является иинимальность нормы Фробениуса [2], т.е. (

где е - бесконечно малое число.

На третьем этапе находится размерность многообразия М и параметры А, В, С, О системы (1) следующим образом.

Из ганкелевой матрицы Н выбирается конечномерная матрица Нп соответствующей размерности и того же ранга.

Находятся матрицы Э и Т, того же ранга, что и Н , такие, что

^.».-("П (20,

\НI

В качестве матрицы б можно взять матрицу, составленную из базисных столбцов матрицы Нп, а столбцы матрицы Т состоят из коэффициентов разложения соответствующего столбца Нп по базисным столбцам.

Матрицы А, ВК С, Ь определяются как

A = (STS)'lSTH(>>TTiTTT)'\

B,=(STsrlSTH(i)rr(rrTr',i = l.....m,

b - первый стол бец T, С - первая строка S.

На четвертом этапе находится матрица о.

Матрица О определяется из следующих соображений:

- во-первых, она должна быть положительно-определенной;

- во-вторых, вектор b и вектор-строка С связаны соотношениями (21), тогда из уравнения b = QCT находится матрица О.

Во втором параграфе главы предлагается следующая задача.

Пусть задано отображение "вход-выход", представленное в виде ряда Вольтерра (12)—(13). Задача состоит в том, чтобы по заданному отображению (12)-(13), восстановить одномерную нелинейную стохастическую систему вида (10).

Для системы (10) предполагается, что W(t) - стандартный винеровский процесс, а одномерные векторные поля раскладываются в ряд Маклорена в некоторой окрестности начала координат.

Решение поставленной задачи реализации следует следующим оброзом.

Согласно теореме 3 для нелинейной системы вида (10) существует аппроксимационная билинейная система вида (11), вольтер-ровская модель которой представляется в виде ряда (12) с ядрами билинейного типа (13).

В силу теоремы 4 последовательность взаимно-корреляционных функций для отображения (12) представляется в виде его ядер (13). Этот важный факт позволяет применить тогда алгоритм билинейной детерминированной реализации, согласно которого находим размерность многообразия М и матрицы Am , Nm , Вт , Ст для системы (11). А по первым строкам этих матриц восстанавливается одномерная стохастическая нелинейная система (10).

В третьем параграфе главы исследуется вопрос о поведении стохастических билинейных систем на многообразиях.

Рассматривается класс стохастических нелинейных систем вида

dx = f(x)di+g(x)dW, (22)

на многообразии М.

Известно, что состояние х системы (22) принадлежит произвольному

многообразию m = = если выполнены условия

а ¡(1 = 0,

(f + -Gz)<p = 0,

где

(24)

К-К'

Заметим, что условия (23) и (24) позволяют находить, соответственно, векторные поля д(х) и f(x). Тем не менее нахождение f(x) из уравнения (24) весьма трудоемко. Поэтому возникает необходимость нахождения векторного поля 1{х) системы (22) на многообразиях.

В первом пункте главы рассматривается вопрос о поведении состояния стохастической билинейной системы на n-мерной сфере S""'.

Рассматривается стохастическая билинейная система вида

dx = ЛхЛ +BxW(t), (25)

где А и В матрицы размерности л х п, W(t) - стандартный винеровский процесс.

Уравнение (25) задается на многообразии S""' - n-мерной сфере

S"-'=(<;<?(*) = i>:-1 = 0). • <26)

Параметры А и 0 системы (25) неизййстны. Стоит задача их нахождения. Для ее решения доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5 [2]. Пусть векторные поля Ax.Bx-.R" -> /¡"являются аналитическими и S",' -n-мерная сфера, определенная согласно (26). Тогда состояние x(t) уравнения (25) принадлежит многообразию S" ', если матрицы В и (л+—) кососимметричны, т.е. имеет место следующее соотношение

A = zf+Kr (27)

где Кс - кососимметричная матрица.

Во втором пункте третьего параграфа рассматривается вопрос о поведении состояния стохастической билинейной системы на л-мерном эллипсоиде х"'1.

Пусть уравнение (25) задается на многообразии х"'1 п-мерном

эллипсоиде определенным уравнением:

■С1*

л

2 »=1

1 = 0

(28)

Тогда имеет место следующее утверждение. ТЕОРЕМА 6 [2]. Пусть векторные поля Аг,а*.л" -»я" являются аналитическими и ^""'п-мерный эллипсоид, определенный согласно (28). Тогда состояние х(Ц принадлежит многообразию я"'1 и матрицы А и б системы (25) связаны соотношением:

(29)

в'

А =--+ К/1

2

некососимметричные матрицы.

где в.к„к

В третьем пункте третьего параграфа рассматривается аналогичный вопрос уже на произведении эллипсоидов.

Рассматривается класс стохастических билинейных систем вида

1к = АхЛ+Вхт, (30)

где А и В- матрицы размерности 2лх2л и состоящие соответственно из элементов и иичо - стандартный винеровский процесс.

Уравнение (41) задается на многообразии

х:<?(х) =

<=| о,

" I2

Ч>2(*)= I V

1=1+11/

(31)

Тогда имеет место следующий результат. ТЕОРЕМА 7 [2]. Пусть векторные поля Ах.Вх-.к2

являются

аналитическими и Г - определенный согласно (31). Тогда состояние х(Ц уравнения (30) принадлежит многообразию Т, если элементы матриц А

и В определяются в следующем виде

■ ьа = ~Ч- (•>;. '.; = 1.2.....л)

а1

0 •■ .'•.;, / : ], 1 = л +1,..\\2n-J = 1,2,,.„л = 0 (/ = 1.2.....2л). . -

= .0 = 1.2.....л),

2а,

а1 т а^^А, (32) 2 в* 1 = 1,2.....л;/ = я + 1.....2л

О

< = л + 1.....2«. /«1,2.....я.

В четвертом параграфе третьей главы разработаны метод и алгоритм реализации для нелинейных одномерных систем полиномиального типа.

Рассматривается отображение "вход-выход"

//0:0=» у;

где 1/-.(«(<У.1е10,°Ч ||и(1»А<е.е)0) - пространство управляющих функций, а у - состоит из действительных функций, задаваемых с помощью ряда

Вояьтерра (15), симметричными ядрами специального типа.

Задача реализации состоит в том, чтобы по данному отображению

//О (15), т.е. по заданным известным функциям IV,(/.в,......А,) 0 = 1,2,3,...),

восстановить одномерную нелинейную систему вида (14), отображение "вход-выход", которой совпадало бы с 1/0 (15).

В системе (14) предполагается, что тоеи, *(/>€/?". у(1)ея, а функции /:я" =» я", д-( л ей", у( /) е я. раскладываются в ряд Маклорена в некоторой окрестности начала координат, причем /(0>=0, К0>=0, я(0)=0.

Решение этой задачи реализации следует из следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 8 [4]. Для отображения "вход-выход" (15) существует аппроксимационная билинейная реализация вида

, - , (33)

у0) = Стх'0)

Перед доказательством теоремы 10, дается определение аппроксимационной реализации отображения "вход-выход" ио-.и=л у следующим образом. -

Говорят, что такая реализация имеет место, если для каждого е<о найдется система вида (46), функций выхода уг{о которой отличается от у(0 = 1 /о<и) на отрезке [С?,Т] меньше, чем на е;'.

¡»(')^>г(/)|<е. . (34)

В пятом параграфе главы разработаны метод и алгоритм реализации для стохастических одномерных систем с квадратичной нелинейностью.

Задается отображение "вход-выход", представленное в виде ряда Вольтерра

где

. ! | ■.....в^^в,)...^^)^

1=1 о о о

+Х I /^"'(«.в,.....в1)<ДС(в,)...<(И'(в1.)1

!=■! О О О

и^'о.в,.....в,)=с/!'-в'^10'-в^../(9'-'-Чо,

^(».в,.....01) = с/,'-в',в...,2л(9'--в'^о.

(35)

(36)

Задача стохастической нелинейной реализации заключается в том, чтобы по заданному отображению (34)-(35), восстановить одномерную нелинейную систему вида (6)

Перед решением поставленной задачи имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 9 [3]. Последовательность взаимно-корреляционных функций для отображения "вход-выход" (35) представляется последовательностью ее ядер (36).

Доказательство этой теоремы аналогичное доказательству теоремы 4.

Тогда решение поставленной задачи реализации следует из следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 10 [3]. Для отображения "вход-выход" (35) существует нелинейная стохастическая реализация вида (6).

Доказательство: Принимая во внимание теорему 2 и теорему 9 можно констатировать, что использование алгоритма детерминированной билинейной реализации обосновано, тогда по формулам (21) находятся матрицы А, В, С.

В заключении третьей главы сделаны выводы.

В четвертой главе разработаны методы и алгоритмы структурной и параметрической идентификаций для нелинейных детерминированных и стохастических систем.

В первом параграфе главы предлагается метод и алгоритм идентификации для одного класса билинейных детерминированных

систем.

Пусть объект описывается билинейной детерминированной системой

х(1) = А,1х(1) + Ынх(,1М1)+Вни«), >•(!) = С„*(г)

где Ан, Ын, Вн, и Сн - неизвестные матрицы, соответствующих размерностей, дг(г)е/г„.

А математическая модель этого объекта представляется следующей

детерминированной билинейной системой

х(1)=А,х(1) + М,х(»и(1) + В,и(0. дед)

где А„ Л?,, В, и С, - неизвестные матрицы, соответствующих размерностей, дг(/)ея„.

Пусть управление иЮ принимает значения из некоторого множества и, а выход у{Х) - из УЦ) , т.е. ио)еи. уШет).

Объект определяется только значениями входа - и выхода - у(0,

а математическая модель объекта - отображением "вход-выход" вида уО)= X/ /^('.в,.....е^)«(в,)...и(вд, (39)

*°=0 ООО

где = (40)

- ядра являются известными функциями.

Постановка задачи. Задача детерминированной билинейной идентификации заключается в том, чтобы по заданным значениям входа и(Х) и выхода у(0 восстановить управляемую и наблюдаемую билинейную систему (37), а также по известному отображению "вход-выход" (39)-(40) найти матрицы системы (38) и сравнить параметры объекта и ее математической модели.

Решение поставленной задачи находится в 2 этапа [4]. На первом этапе, применяя метод и алгоритм билинейной детерминированной реализации [2], по известному отображению "вход-выход" (39)-(40) находятся параметры модели (38), т.е. определяются матрицы А,, Ы,, В(, С,.

На втором этапе находятся параметры объекта (50) из следующих соображений. Во-первых, в непрерывном случав будет полезным описание поведения' системы эквивалентной дискретной во времени

системой вида

л-Ц + 1) = ) + > + Ва(к>,

(41)

у(к) = С.х{к), .

где * е г (кольцо целых чисел), ,г((.)е)?\ »(«:)<= Я, >(*) еЯ иЛ.Л'.В.С

действительные неизвестные матрицы, соответствующих размерностей.

Во-вторых, предполагается, что непрерывная во времени билинейная система образуется в моменты времени :

1к~КТ = к, * =1,2,.

а также вход (приближенно) постоянен над образующими интервалами т.е.

Структурная схема образованной билинейной системы представлена на рис.4.1.

Т

Рис. 4.1. Образованная билинейная система.

Теперь определяются параметры дискретной системы (41). Для этого находим решение системы (41) методом последовательных приближений в следующем виде

х*)= (42)

Тогда это представление (42) записывается в виде алгебраического отображения "вход-выход" вида

гшмг-и, <43>

где У=(У(1),У(2);У(3),...)Т,

И' = (Ш|,й)2,Ш3,..„ША,,Ш02,Ш0э,...). "(0) и(1) и(2) в(0) и(|) и(0)

0 и(0)и(1) и(1).,(2) и(2)и(3) н(0)н(1) и(1)и(2) 1/(0)м(1>

I к 4

ю*1.*2.*,~'В. где<|Д2»*з....." делыс числа.

(44)

где к,, к3.....к, - целые числа.

________________________21--------------------------------------------------

Параметры IV,, \м2, ..., называются марковскими параметрами и

ганкелева матрица представляется в следующем виде

н =

ы0.0 <°П.ОО ш1.0,0

Ш0.| ш0.0.| И1.0.|

(45)

Для определения одноиндексных параметров IV, Дориссон предполагал, что входной сигнал и(и)=1 и и(1')=0, ¡>и, тогда

ю1-|.у«|. Л = 1.2,- (46)

В данной работе предлагается другой подход. Одноиндексные марковские параметры, по индукции, определятся в виде следующего

соотношения

к = 1,2,...

Далее, двухиндексные параметры определятся как

(47)

где к,, к2 - целые числа.

По найденным марковским параметрам строится ганкелева матрица (45) и применяя алгоритм реализации [2], определяются параметры А, А/, В, С билинейной дискретной системы (41). В заключении находятся параметры объекта (37).

Во втором параграфе главы разработаны метод и алгоритм идентификации стохастических билинейных систем с т-входами.

Рассматривается объект, который описывается билинейной непрерывной стохастической системой (1). Модель объекта будем искать в виде другой стохастической системы

£иУТ) = 0 уО)=сад.

(48)

1.0

В качестве меры близости между объектом и моделью рассмотри

разность е4(/,т,.....т4) между взаимно-корреляционными функциями

объекта .....хк) и модели ......

Пусть для системы (48)-{49) известна последовательность взаймно-корреляционных функций .....т^, тогда постановка задачи билинейной стохастической идентификации формулируется так.

Задача стохастической непрерывной билинейной идентификации заключается в том, чтобы по заданным входам - 1УД1 и выходу - у(Ц объекта, а-также по известной «¡(м,,...,^) - последовательности взаимно-корреляционных функций модели, восстановить векторные поля стохастических билинейной систем (1) и (48)-(49).

Метод решения поставленной задачи будет состоять из последовательности следующих этапов [5].

1 этап. Восстановление параметров модели. Поскольку для исходной математической модели последовательность взаимно-корреляционных

функций {^¡(г.т,.....хк)} задана, то применяя метод стохастической .

реализации [2] , найдем параметры п, А, В, С модели (48)-(49).

2 этап, Структурная идентификация, В области о<*»,<...<в, <»

вычисляются значения взаимно-корреляционной функции .....т4) в

выбранных узловых точках с помощью выборочного среднего при уменьшающихся значениях Ь, согласно формул (16) для ограниченных значений к.

Методом сплайн функций апроксимируются полученные решетчатые функции полиномами я4(/,т,,....^).

Устанавливается мера близости модели и объекта по разности их последовательностям взаимно-корреляционных функций «46,в,,:..,и ..........

3 этап. Параметрическая идентификация. По найденной

последовательности взаимно-корреляционных функций {КцО,«-,.....

согласно метода стохастической билинейной реализации [2], находятся параметры л, А, В1, С уравнения объекта (1).

Блок-схема алгоритма непрерывной стохастической идентификации показана на рис. 4.2.

В третьем пдраграфд главы представлено решение задачи идентификации для класса одномерных нелинейных стохастических систем полиномиального типа. Рассматривается объект, который описывается одномерной нелинейной стохастической системой

_______ _____________:---------------— 23 ......

Л =/,(.«:)Л + 8,(*ЙИЧ0, д:(0)=дго.

где - стандартный винеровский процесс.

Рис. 4.2. Блок-схема алгоритма непрерывной стохастической Идентификации.

Модель объекта будем искать в виде другой стохастической системы

Лг = /г(х)Л + (г(х)ЛVII). *(0) = Х„, >2(') = л2х(0.

(51)

(52)

В качестве меры близости между объектом и моделью рассматри-

вается разность е4(».т,.....тр) между последовательностью взаимно-

корреляционных функций объекта ,.....о,) и модели R'k(r.d{.....tft).

Пусть известна последовательность взаимно-корреляционных функций .....о,) модели системы (5)). Тогда задача нелинейной стохастической идентификации заключается в том, чтобы по заданному входу -W(t) и выходу - y/t) объекта, а также по известной R'k(t,-o{.....i3t) - последовательности взаимно-корреляционных функций модели, восстановить параметры систем (50) и (51), т. е. найти /,(•), £,(•), а,(),/,(). i2(>, и/¡2.

Метод решения поставленной задачи состоит из последовательности следующих этапов.

1 этап. Восстановление параметров модели.

По известной последовательности {R't(t,Q......е^)} взаимно-

корреляционных функций модели применяя метод стохастической реализации второго параграфа третьей главы, находятся параметры

модели П, f2(x),g2U)uh2(x).

2 этап. Структурная идентификация. В области о<е4<...<о,<<

вычисляются значения взаимно-корреляционной функции я4(»,е......е() в

выбранных узловых точках с помощью выборочного среднего при уменьшающихся значениях /?, согласно формул (16) для ограниченных значений к.

Методом сплайн-функций аппроксимируются полученные решетчатые функции полиномами я4(лт,.....т,).

Устанавливается мера близости модели и объекта по разности

ejttt,.....хр) их последовательности взаимно-корреляционных функций

U»(f.e,.....©i)} и {л;(/,е......е,)).

3 этап. Параметрическая идентификация. По найденной последовательности взаимно-корреляционных функций { r,(i,o,.....ot)}, применяя метод стохастической реализации, находятся параметры п ,/,(.г),«,(.«) п^со.

В четвертом параграфе глады разработаны метод и алгоритм стохастической нелинейной идентификации на заданных многообразиях и рассматривается следующая задача.

Пусть известны И/( ) - вход, И ) - выход реального объекта, уД ) -выход математической модели объекта. Выход y,(t) с вероятностью единица принадлежит гладкому многообразию

M = b>:<pCv) = 0). (53)

Пусть уравнение реального объекта описывается в виде нелинейной стохастической системы

■ _ . 25------------------------ --------------------

----------------¿¡ = /(х)А + ц(х)Ж(1),

(54)

у(0 = дг(0,

а математическая модель объекта в виде другой системы

+ (55)

У|(0 = д(0.

Предположим, что для реального объекта известно отображение "вход-выход", представленное в виде ряда Вольтерра

(56)

Задача нелинейной стохастической идентификации заключается в том, чтобы по заданному многообразию (53), входу УЦ ) и выходу у,( ), а также по заданному отображению "вход-выход" (56) восстановить стохастические системы (54) и (55), ганкелевы матрицы которых почти совпадают по норме Фробениуса и имеют почти одинаковые последовательности взаимно-корреляционных функций.

Сложность решения данной задачи заключается в том, что если многообразие (53) является п-мерным евклидовым пространством, то существует только теорема существования реализации, а алгоритм реализации отсутствует. Поэтому, в лучшем случае, мы можем говорить только о теореме существования решения задачи идентификации на основе теоремы существования решения задачи реализации.

Поставленная задача должна решаться в последовательности следующих этапов.

1 этап, Находятся параметры уравнения реального объекта (54) на основе метода решения задачи нелинейной стохастической реализации.

2 этап. На основе результата Броккетта восстанавливается математическая модель (55). Однако это уже далеко нетривиальная задача.

В пятом параграфе главы представлено решение задачи билииейной стохастической идентификации на многообразиях.

В первом пункте пятого параграфа рассматривается решение задачи идентификации на Б"'' - п-мерной сфере, которая описывается уравнением (26), вход У/Щ, выход математической модели объекта у,(1) принадлежит многообразию Б" '. Пусть реальный объект задается отображением "вход-выход" (56).

На основании результатов третьего параграфа третьей главы можно утверждать, что на заданном многообразии - сфере (26), уравнение реального объекта и его математическая модель описываются, соответственно, стохастическими билинейными системами вида

dx - A\Xdt + В[ЛЛУ( f),

y(0 = x(l).

и (58)

dt =Axdi + BxdW(l),

>,(f) = A(/).

Требуется восстановить параметры системы (57) и (58).

Решение: Векторные поля системы (57) на основании (56) восстанавливаются согласно метода идентификации, описанного во втором параграфе четвертой главы.

Далее параметры математической модели объекта (58) находятся на основании теоремы 5 следующим образом.

Выбирая матрицы В и Кс из класса кососимметричных матриц so(n) и находим матрицу А из соотношения (27).

Сравнение двух методов идентификации, на основе реализации и на многообразиях, очевидно показывает простоту изложения метода идентификации на многобразии S"-'.

Во втором пункте пятого параграфа четвертой главы рассматривается решение задачи идентификации на S3n1 -n-мерном эллипсоиде, описываемым уравнением (28), а выход математической модели yt(t) принадлежат этому многообразию и реальный объект описывается отображением "вход-выход" (56). В силу результатов третьего параграфа Третьей главы, констатируется, что на заданном многообразии (28) уравнение реального объекта и ее математической модели описываются билинейными стохастическими системами (57) и (58). Требуется восстановить векторные поля этих систем.

Решение: Система (57) восстанавливается согласно метода идентификации, описанного в первом параграфе третьей главы на основании известного отображения "вход-выход" (56), а математическая модель объекта (58) находится на основании теоремы 6, согласно которой матрицы В и Кнк не кососимметричны и удовлетворяют соотношению (28).

Из множества всех кососимметричных матриц so(n) выбираются две матрицы В и Кс.

Используя уравнение задания эллипсоида (39) строятся матрицы В и

На последнем этапе находится матрица А из соотношения (29).

В третьем пункте пятого параграфа главы рассмотрено решение задачи идентификации на тора и произведении эллипсоидов.

Решение задачи идентификации на произведении эллипсоидов, заданного уравнением (31) осуществляется как в предыдущем пункте, путем применения того же метода последовательно для кривых

ф,(1)иф2(д).

Решение задачи на торе следует из предыдущей задачи при а.=а,=...=ап=а„ =...=а =1

1 2 п П*1 2п

в уравнении (31).

В шестом параграфе четвертой главы разработаны метод и алгоритм идентификации для класса одномерных стохастических систем с квадратичной нелинейностью.

Рассматривается объект, который описывается нелинейной непрерывной стохастической'системой (6).

Модель объекта будем искать в виде другой одномерной нелинейной стохастической системы ^д^

dy = A'.\dt + B'.\2dW y2(l) = C't(t) EU'o<o) = Q'

В качестве меры близости между объектом и моделью рассмотрим разность Ei(f,0|.. .8,) между последовательностью взаимно-корреляционных функций объекта fyo.e,.....et) и модели j^(i,6,,...,et).

Пусть известна последовательность взаимно-корреляционных функций r[(i,т,, ...т,) модели системы (59), тогда постановку задачи нелинейной стохастической идентификации можно сформулировать следующим образом.

Задача стохастической непрерывной нелинейной идентификации заключается в том, чтобы по заданному входу - W(t) и выходу - у,(t)

объекта, а также по известной r')(i,ti.....тЛ) последовательности взаимно-

корреляционных функций модели, восстановить векторные поля систем (6) и (59), т.е. найти л, А, В, С, А', В', С'.

Метод решения поставленной задачи состоит из последовательности следующих этапов [3].

1 этап. Восстановление параметров модели. По известной последовательности /?;(/,е,,...,е4) взаимно-корреляционных функций

модели, применяя метод стохастической реализации, описанный в пятом параграфе третьей главы, находятся параметры модели п, А', В', С'.

2 этап. Структурная идентификация. В области о<е4 <...<е, < г вычисляем значения взаимно-корреляционной функции .....в,) в выбранных узловых точках с помощью выборочного среднего при уменьшающихся значениях Л, согласно формул (6) для ограниченных значений к.

Методом сплайн-функций аппроксимируются полученные решетчатые функции полиномами {л4(г,в,,____еА>

Устанавливается мера близости модели и объекта по разности

е,.....е4) их последовательности взаимно-корреляционных функций

{яЛ(г.в,.....е4)} и {я;(/,в,.....01)}.

3 этап. Параметрическая идентификация. По найденной последовательности взаимно-корреляционных функций {л^^г.в,.....в*)}, применяя метод стохастической нелинейной реализации, находятся параметры объекта п, А, В, С.

В заключении четвертой главы сделан вывод.

В пятой главе представлено описание пакета прикладных программ (ППП) "ЕШЕБ" для анализа системы идентификации сложных технологических объектов, описываемых нелинейными детерминированными и стохастическими системами.

В первом параграфе главы дано общее описание пакета прикладных программ "ЕЮЕЗ".

Во втором параграфе главы описана системная часть ППП "ЕЦОЕЭ".

-В третьем параграфе главы дается функциональная часть ППП •.•ЕиЗЕБ".

В четвертом параграфе главы описана информационная часть пакета "Е1ЛЭЕ5".

В пятом параграфе главы представлен вычислительный эксперимент.

В заключении пятой сделан вывод.

. . .29

Основные результаты работы

В диссертации решена актуальная научно-техническая проблема построения системы идентификации для различных классов нелинейных детерминированных и стохастических систем. Работа выполнена в соответствии с координационным планом НАН РК, МН и НТ РК по темам: "Разработка методов, алгоритмов и пакета прикладных программ для задач структурной и параметрической идентификаций на основе теории . полуобратных матриц и аппарата алгебр Ли", "Разработка и исследование моделей и ме годов стохастических систем управлениями их приложение". Разработанная методика исследований является развитием теории нелинейных детерминированных и стохастических систем.

В прикладном плане полученные результаты реализованы в виде проблемно-ориентированного пакета прикладных программ.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Для построения вольтерровских моделей нелинейных детерминированных и стохастических систем сделано описание их моделей в концепции "пространства состояний" применительно к сложным технологическим процессам в полиграфии.

2. Для решения задачи реализации построены вольтерровские модели для различных классов нелинейных детерминированных и стохастических систем, на основе формулы Ито, и методов билинеаризации, последовательных приближений и сжатых отображений, а также аппарата алгебр Ли.

3. Разработаны методы и алгоритмы реализации для нелинейных детерминированных и стохастических систем, а также для класса

стохастических билинейных систем, заданных на различных гладких многообразиях.

4. Разработаны методы и вычислительные алгоритмы структурной и параметрической идентификаций для различных классов нелинейных детерминированных и стохастических систем, а также для одного класса стохастических непрерывных билинейных систем, заданных на различных гладких компактных многообразиях.

5. Разработано программное обеспечение для автоматизации технологических процессов в виде пакета прикладных программ, реализующого функциональные задачи: "Билинейная детерминированная реализация", "Стохастическая управляемость", "Билинейная стохастическая реализация", "Сплайн-функций", "Взаимообратная связь между дискретными и

непрерывными системами", "Идентификация на многообразиях", "Конечность ряда Вольтерра", "Билинейная детерминированная идентификация", "Нелинейная детерминированная реализация", "Билинейная детерминированная идентификация", "Стохастическая билинейная реализация на многообразиях", " Приведены схемы проведения вычислительного эксперимента на ЭВМ и руководство пользователю ЭВМ. Этот проблемно-ориентированный ППП "ELDES" реализован на алгоритмическом языке Паскаль.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях.

1. Асаубаев К. Ш., Шуакаев М. К. "Ряды Вольтерра и теория управления" - Даур, Алма-Ата, 1993 г., 185 с.

2. Асаубаев К. III., Шуакаев М. К. "Алгебры и группы Ли. Ряды Вольтерра и теория управления". - Даур, Алма-Ата, 1993 г., 179 с.

3. Асаубаев К. Ш. Шуакаев М. К. "Нелинейная стохастическая реализация". - Казахстан, Алматы, 1994 г., 189 с.

4. Шуакаев М. К. К алгоритму реализации нелинейных систем полиномиального типа. // Международная школа по управлению: Тезисы докладов. - Алма-Ата, 1992 г. - с. 51-57.

5. Шуакаев М. К. К алгоритму идентификации стохастических билинейных систем с несколькими входами. - Алматы, 1993 г. - 14 с. -Деп. в КазГОСИНТИ 29.10.93 №4461 - КА93.

6. Шуакаев М. К. Математические модели систем в виде стохастических дифференциальных уравнений Ланжевена и Ито. - Алматы, 1993. - 8 с. 7 Деп. в КазГОСИНТИ 29.10.93 №4458-КА93.

7. Шуакаев М. К. К решению задачи идентификации для одного класса линейных детерминированных систем. - Алматы, 1993. - 18 с. - Деп. о КазГОСИНТИ 29.10.93 №4460-КА93.

8. Шуакаев М. К. К алгоритму идентификации паралельно-соединенных билинейных стохастических систем. - Алматы, 1993. - 3 с. - Деп. в КазГОСИНТИ 29.10.93 №4461-Ка93.

9. Шуакаев М. К. К идентификации одного класса билинейных детерминированных систем. - Алматы, 1993. - 14 с, - Деп. в КазГОСИНТИ 29.10.93 №4461-КА93.

В [1] автором написаны главы 4,5,6,7. В [2] - главы 2,5,6,7. В [3] -главы 4,5,6.

Шуакаев Марат Капаш-Улы

Сызыкты емес стохастикалык баскару жуйелерд1 тапдау жэме внд1ру yuiíh технологиялык козралыстарды автоматтандыру

Бул жумыстэ к.урлымдык. жане параметрлк жксастыру есеггтердан

шырару afliCTepi мен есептеу алгоритмдер! талданады. Ленталык. конвейерге арналган технологиялык процест1н математикалык улгю мен накты объект!Н1'н тендеу! сиппаталады.

J

Working out and inculcating of non-linear stochastic systems of control for automatization of technological processes

In the work the methods, computer algorithms and a packet of applaid programmes to solve the problems of structural and parametrical identifications have been worked out. The matematical model and equation of real objects of technological processes for the ribbon conveyor have been described.

Marat K. SHUAKAEV