автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.13, диссертация на тему:Математическое и компьютерное моделирование процессов механического контакта в узлах трения машин сферы быта и коммунального хозяйства

На правах рукописи„

АЛЕКСАНДРОВ ЕВГЕНИЙ БОРИСОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МЕХАНИЧЕСКОГО КОНТАКТА В УЗЛАХ ТРЕНИЯ МАШИН СФЕРЫ БЫТА И КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА

05.02.13 - Машины, агрегаты и процессы (коммунальное хозяйство и бытовое обслуживание)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 ИЮН 2010

Москва - 2010

004605725

Работа выполнена на кафедре «Инженерная механика» ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

КОСЕНКО Иван Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

СУЧИЛИН Владимир Алексеевич

кандидат технических наук, доцент КУЗНЕЦОВА Лариса Викторовна

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН

Защита состоится «¿¿5» 2010 года в/часов на заседании

диссертационного совета Д 212.150.05 при ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса» по адресу: 141221, Московская область, Пушкинский район, пос. Черкизово, ул. Главная, 99, ауд. 1209 Зал заседаний советов.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса».

Автореферат разослан «<?7» 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного сов! кандидат технических наук, доцент

ЮЛ. Тюменев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена математическому и компьютерному моделировги-нию процессов механического контакта в узлах трения машин и агрегатов сферы-бытового обслуживания и коммунального хозяйства. Данная тематика имеет непосредственное отношение к вопросам виртуального прототипирования таких машин на этапах их проектирования и сервисного обслуживания в процессе эксплуатации.

Актуальность работы. Наличие узлов трения в машинах, применяемых в сфере быта и в коммунальном хозяйстве, критическим образом влияет на время

А

жизни этих машин и, естественным образом, на стоимость их разработки и эксплуатации. Здесь можно, в первую очередь, упомянуть всевозможные насосы, технические средства обслуживания коммунальных сетей, машины прачечного производства и машины химической чистки, машины швейного и обувного профиля, транспортные средства систем сервиса и коммунального хозяйства. В отдельную категорию, с точки зрения анализа и виртуального прототипирования можно выделить роторные подсистемы и компрессоры, применяемые в виде стандартных агрегатов в машинах вышеперечисленных категорий. Наконец, на самом низком, «атомарном», структурном уровне находятся узлы машин, в которых непосредственно протекают процессы контактного взаимодействия с трением такие, как: подшипники различных видов, зубчатые механизмы, кулачковые механизмы, фрикционные передачи.

Особенно важно учитывать потенциальные затраты разработчика изделия, содержащего узлы трения, и организации, ответственной за поддержание работоспособности этих узлов, в процессе их эксплуатации. Если вопросам оценки времени жизни изделия на этапе его проектирования уделяется недостаточно внимания, то это приводит, как правило, к удорожанию процесса его эксплуатации, к увеличению расходов на всевозможное сервисное обслуживание (диагностика, плановые и внеплановые ремонты и пр.). Ввиду этого представляется актуальной задача построения так называемых виртуальных прототипов образцов техники, позволяющих ускорить их разработку и снизить её стоимость, а также повысить надежность изделий в процессе эксплуатации.

В реальных примерах машин, их детали и агрегаты находятся во взаимодействии, причем это взаимодействие чаще всего имеет механическую природу и сводится к контакту одного твердого (упругого) тела с другим. Поэтому эффективное компьютерное моделирование машин подразумевает эффективное решение контактных задач теории упругости для узлов трения. Стандартная численная методика для этого - применение метода конечных элементов, требующего зна-

чительных вычислительных ресурсов. Поэтому актуальной является задача построения быстрых алгоритмов, способных моделировать сложные динамические процессы упругого контактирования с приемлемой точностью и не требующих одновременно значительных вычислительных ресурсов.

Цель и задачи работы. Целью работы является вычислительная реализация математических моделей контактного взаимодействия твердых упругих тел и построение на их основе высокоточных динамических компьютерных моделей узлов трения машин и агрегатов, допускающих множественные контакты.

Для достижения указанной цели в работе были решены следующие задачи:

1. Выполнен обзор и анализ моделей контактного взаимодействия.

2. Выполнена вычислительная реализация моделей контактного взаимодействия Герца и В. Г. Вильке, позволяющая решать нормальную контактную задачу в условиях динамического изменения геометрических свойств поверхностей контактирующих тел.

3. Выполнена вычислительная реализация в рамках моделей В. Г. Вильке и Герца приближенного решения Контенсу для касательных сил в области, в общем случае эллиптического, пятна контакта.

4. Разработан на языке Modélica унифицированный подход к конструированию компьютерных моделей процессов механического контакта, позволяющий быстро (с использованием объектно-ориентированного подхода) создавать и модернизировать различные комбинации алгоритмов, применяемых для моделирования упругого контакта при исследовании динамики машин.

5. Проведена верификация вычислительных подходов к построению компьютерных моделей контактного взаимодействия на примере динамических моделей нескольких механических систем, включающих узлы трения.

Научная новизна. Впервые выполнена вычислительная реализация объе-мометрической модели контактного взаимодействия В. Г. Вильке в рамках задачи Герца, позволяющая получить решение нормальной контактной задачи в общем случае взаимодействия твердых упругих тел, имеющих внешние поверхности достаточно регулярной структуры. Предложенное решение обеспечивает стабильную работу компьютерной модели и высокую точность расчетов, одновременно почта в полтора раза, в сравнении с классической задачей Герца, ускоряя вычислительный алгоритм определения силы контактного взаимодействия.

Впервые реализована неограниченная контактная задача, когда нормальная упругая сила, вычисляемая динамически либо при помощи оригинального алгоритма Герца, либо при помощи его объемометрической модификации, используется одновременно для нахождения силового винта (мотора) сил трения в соот-

ветствии с приближенной моделью Контенсу для касательных сил, распределенных по эллиптической контактной площадке.

Разработан унифицированный подход на языке Modélica к конструированию компьютерных моделей механического контакта в динамике машин и агрегатов. Построены частные примеры таких моделей. Выполнена их верификация.

Практическая значимость. Показаны общие подходы и технологические приемы математического и компьютерного моделирования процессов механического контакта в системах тел, составляющих машины и агрегаты.

Разработаны методики построения компьютерных моделей различных машин и агрегатов при наличии множественных контактов упругих тел на языке Modélica.

Построенные компьютерные модели механического контакта позволяют изучать различные динамические эффекты, влияющие на потребительские свойства машин, и могут быть использованы при оценке времени их жизни.

Результаты исследований внедрены в учебный процесс Российского государственного университета туризма и сервиса и используются на кафедре «Инженерная механика» при подготовке специалистов по специальности «Сервис» и инженеров по специальности «Бытовые машины и приборы».

На защиту выносятся: (1) обзор и анализ моделей контактного взаимодействия; (2) вычислительная реализация модели контактного взаимодействия В. Г. Вильке в рамках задачи Герца; (3) вычислительная реализация неограниченной контактной задачи; (4) унифицированный подход на языке Modélica к конструированию компьютерных моделей механического контакта в динамике машин и агрегатов; (5) подходы к проведению верификационных испытаний виртуальных прототипов узлов машин и агрегатов, содержащих множественные контакты; (6) анализ результатов вычислительной верификации построенных моделей..

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: XI-ой Международной научно-практической конференции «Наука - сервису» (г. Москва, ГОУВПО «МГУС», 2006 г.); Всероссийской научной конференции аспирантов и молодых ученых «Современные проблемы сервиса и туризма» (г. Москва, ГОУВПО «МГУС, 2007 г.); Шестом международном симпозиуме по классической и небесной механике (г. Великие Луки, 2007 г.); Семинаре им. акад. В.В.Румянцева «Аналитическая механика и теория устойчивости» под руководством чл.-корр. РАН В. В. Белецкого, проф. А. В. Карапетяна и проф. Я. В. Тата-ринова (г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2007 г., 2009 г.); XII-оймеждународной научно-практической конференции «Наука - сервису» (г. Москва, ФГО-

УВПО «РГУТиС», 2007 г.); Коллоквиуме 495 «Достижения в моделировании динамики систем тел» Европейского общества механики (г. Брянск, 2008 г.); 6-ой международной конференции по языку моделирования Modélica (Билефельдский университет прикладных наук, г. Билефельд, Германия, 2008 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы техники и технологии» (г. Шахты, ГО УВПО «ЮРГУЭС», 2008 г.); 8-ом Всемирном конгрессе по вычислительной механике и 5-ом Европейском конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках и технике (г. Венеция, Италия, 2008 г.); 6-ой Европейской конференции по нелинейной динамике Европейского общества механики (г. Санкт-Петербург, 2008 г.); 4-ой Азиатской конференции по динамике систем твердых тел 2008 (о. Чеджу, Республика Корея, 2008 г.); ХШ-ой международной научно-практической конференции «Наука - сервису» (г. Москва, ФГОУВПО «РГУТиС», 2008 г.); XLV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (г. Москва, РУДН, 2009 г.); Объединенном Российско-Австрийском семинаре «Бифуркации в негладких системах» (Венский технический университет, г. Вена, Австрия, 2009 г.); 7-ой Европейской конференции по механике твердого тела Европейского общества механики (г. Лиссабон, Португалия, 2009 г.); 7-ой международной конференции по языку моделирования Modélica (г. Комо, Италия, 2009 г.); Семинаре «Математические методы технической механики» под руководством проф. С. Я. Степанова и доц. А. А. Бурова (г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2010 г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано тринадцать статей, из них пять - в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. Её объем составляет 161 страницу, в том числе: 50 рисунков, 1 таблица, библиографический список (179 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования; сформулированы цель и задачи работы; показана научная новизна и практическая ценность решаемых задач. Представлен краткий обзор содержания диссертации.

В первой главе представлен достаточно подробный обзор различных моделей контактного взаимодействия твердых упругих тел. Рассматривается методика аналитической и вычислительной реализации модели упругого контактирования твердых тел в рамках задачи Герца. Подробно анализируется алгоритм преобразования геометрических характеристик поверхностей (градиенты и гессианы внеш-

них поверхностей) тел в локальную систему координат контакта. Вычисления проводятся в рамках формулировок так называемой задачи «Герц-точка», когда поверхности тел приходят в соприкосновение в точности по одной точке. Представлен один из вариантов вычисления нормальной упругой силы и полуосей контактной площадки, обеспечивающий последовательную редукцию задачи к одному скалярному трансцендентному уравнению Герца вида

зависящему от полных эллиптических интегралов первого К(с) и второго (Е(с) -входит через производную от К(с)) рода. Здесь с является квадратом эксцентриситета эллипса контактной площадки, а величины Р и () локально характеризуют геометрию контактирующих поверхностей.

Для уменьшения вычислительной сложности алгоритма решения нормальной контактной задачи предлагается использовать модель В. Г. Вильке, представляющую собой объемометрическую модификацию задачи Герца. Нормальная упругая контактная сила в соответствии с В. Г. Вильке вычисляется по упрощенной формуле:

' .... Г

где величины вм вв характеризуют упругие свойства материалов контактирующих тел, А - глубина взаимного проникания тел, с\ = 1 - с. Рассматривается методика вычислительной реализации этой модели для случая «Герц-точка».

В рамках контактной задачи Герца строится приближенная модель вычисления результирующего винта (мбтора) касательных в контакте сил сухого трения. Винт состоит из суммарной силы трения и момента (пары сил) трения верчения. Рассматриваемый подход естественным образом развивает построенную в данной главе модель упругого контакта Герца. Силы сухого трения и момент этих сил интегрируются по эллиптическому пятну контакта В общем случае аналитическое вычисление упомянутых интегралов приводит к громоздким выражениям, составленным из десятков слагаемых, являющихся рациональными функциями, зависящими, в свою очередь, от полных эллиптических интегралов с модулем -эксцентриситетом контактного пятна. Для реализации достаточно быстрой компьютерной модели касательных сил проводится приближенное построение, предложенное еще Контенсу.

Построенная модель вычисления касательных сил является естественным развитием упрощенной модели Контенсу в следующих направлениях: а) модель является анизотропной - суммарные силы трения вдоль главных осей контактного

эллипса в общем случае различны; б) для поступательных и почти поступательных относительных движений в области контакта используется регуляризованный кулоновский закон трения; в) построена также приближенная модель момента трения верчения.

Предложенные в данной главе решения позволяют реализовать неограниченную контактную задачу, когда нормальная упругая сила, вычисляемая динамически либо при помощи оригинального алгоритма Герца, либо при помопщ его модификации В. Г. Вильке, используется одновременно для нахождения мбтора сил трения в соответствии с приближенной моделью Контенсу для касательных сил, распределенных по эллиптической контактной площадке.

Во второй главе в рамках объектно-ориентированной парадигмы рассматривается подход для строгого описания компьютерной модели динамики узлов машин и агрегатов, представляемых в виде системы твердых тел. Допускается построение моделей механических систем со связями различных типов: голономны-ми/неголономными, неосвобождающими/освобожцающими, склерономными/рео-номными. Модель связи позволяет при описании динамического поведения взаимно изолировать блоки, состоящие из дифференциальных и алгебраических уравнений соответственно. Для проектирования моделей применяется ранее разработанная методика, основанная на парадигме объектно-ориентированного подхода с применением языка моделирования Modélica.

Рассмотрены примеры реализации на языке Modélica различных видов классов шарнирных связей, широко встречающихся в механике машин. В качестве примера верификации описываемого подхода построена динамическая компьютерная модель четырехколесного змееподобного экипажа, достаточно распространенного, например, в рекреационных приложениях и применяемого также в коммунальном хозяйстве в системах инспекции трубопроводных коммуникаций. Представлены примеры вычислительной реализации на языке Modélica моделей узлов контакта как с удерживающей, так и с неудерживающей связью.

Предложен унифицированный подход к реализации на языке Modélica податливой связи, описываемой при помощи закона Герца для вычисления нормальной силы взаимодействия контактирующих тел. С кинематической точки зрения все участвующие в движении тела остаются твердыми, но способными «проникать» друг в друга, вызывая при этом (как в соответствующей нелинейной пружине) силу упругого взаимодействия. Используя такую постановку контактной задачи, мы можем эффективно избежать проблем статической неопределимости в системах твердых тел с односторонними связями, когда число этих связей оказывается достаточно большим. Свойства отдельного контактного взаимодей-

ствия упругих тел в нашем случае подразделяются на следующие категории: а) геометрические характеристики поверхностей тел в окрестности контакта, б) модель вычисления размеров пятна контакта и нормальной упругой силы, в) модель вычисления нормальной силы вязкого сопротивления, г) модель касательных сил в плоскости контактной площадки.

Подмодель, реализующая геометрические свойства, предназначена для аналитического описания алгебраических поверхностей достаточно сложной структуры. Для реализации алгоритма расчета нормальной силы нужно выбрать, по меньшей мере, одну из двух возможностей: а) модель Герца, б) её объемометри-ческая модификация. Сила вязкого сопротивления также может моделироваться несколькими способами: а) линейная модель, б) нелинейная модель и др. В модели для касательных сил можно использовать либо «простейшие» подходы, основанные на законе трения Амонтона-Кулона, либо более сложные решения, такие, как модель Контенсу-Эрисмана и другие.

Для реализации данного решения используются средства параметризации классов языка Modélica. В нашем случае имеется четыре класса-параметра, соответствующие категориям подмоделей, перечисленным выше. Этапы «строительства» параметризованного класса общей контактной модели показаны в виде трех визуальных моделей шаблонов, соответствующих этим трем этапам на следующем рисунке.

Базовый шаблон ——

.........в Í ш gaomdiy 1

В i &S а

1

Производный шаблон

Рис. Модель механического контакта по стадиям наследования свойств

Каждая из визуальных моделей имеет четыре «гнезда», каждое из которых соответствует одному классу-параметру. На каждом из этапов гнезда «заполняются» постепенно. Сначала, на первом этапе заполняются три нижних гнезда, представляющие модели сил. На втором, последнем, этапе заполняется верхнее гнездо, соответствующее конкретной геометрической подмодели данного контакта.

Предложенный подход позволяет достаточно быстро создавать и модифицировать различные типы моделей упругого контакта при разработке симулято-ров динамики узлов машин и агрегатов, рассматриваемых в виде системы тел.

В третьей главе на основе решений, предложенных в предыдущих главах, построены динамические компьютерные модели различных механических систем, выполнена их верификация.

Для всесторонней верификации общей контактной модели с трением использовалась динамическая компьютерная модель известного волчка - «тип-топ». Как показала практика, этот достаточно сложный динамический пример является вполне пригодным при выполнении тестовых процедур для контактных задач механики машин. Динамические свойства волчка позволяют оценить различные нетривиальные эффекты, реализуемые при помощи результатов, полученных в первой главе. Оказалось, что поведение волчка, численно смоделированное при помощи ранее предложенных другими авторами подходов, практически совпадает с численной верификацией модели, построенной в данной работе. Основное отличие нашей модели заключается в учете высокочастотной составляющей нормальных колебаний в динамике упругого контактного взаимодействия.

В качестве еще одного примера верификации математической и компьютерной модели контактирования упругих тел рассматривался более сложный объект - четырехколесный экипаж с колесами, предполагающимися упругими телами, так же, как и поверхность, по которой эти колеса катятся. В качестве экипажа рассматривалась достаточно сложная механическая система - скейтборд, широко использующийся в настоящее время в рекреационных приложениях. Известна также конструкция шасси автомобиля, подобная конструкции колесной пары скейтборда. Поведение этого устройства до сих пор не получило достаточно ясной динамической интерпретации, и остается актуальной задача его математического и вычислительного моделирования. Хорошо известны примеры чрезвычайно запутанных и трудно интерпретируемых движений скейтборда. Для построения модели этого устройства использовались классы шарнирных связей, реализованные во второй главе. Верификация состояла в подтверждении полученных ранее теоретических результатов качественного описания некоторых режимов движения упомянутого экипажа.

Для детального сравнительного тестирования различных подходов к конструированию свойств механического контакта была построена компьютерная динамическая модель шарикоподшипника. Подшипники широко используются в узлах машин бытового назначения. Они несут основные нагрузки при работе оборудования. Поэтому от надежности работы этих узлов в значительной степени зависит надежность работы всей машины.

Известна вычислительная трудность математического моделирования динамики подшипниковых узлов. Соответствующая механическая система имеет достаточно большое число степеней свободы. Исключительно трудно, вычислить характеристики силового взаимодействия в отдельных узлах контакта: нормальные и касательные силы. В этом случае наиболее эффективным инструментом исследования истории динамического нагружения представляется виртуальное про-тотипирование. Имея информацию о таком нагружении, полученную из вычислительного эксперимента можно, затем, с высокой степенью точности оценивать параметры, определяющие надежность работы узла, и время его жизни.

В процессе верификации для моделирования контактов между шариками и кольцами подшипника применялись различные комбинации моделей нормальных и касательных сил взаимодействия. Существенно, что в рассматриваемом примере механической системы контактные площадки являются вытянутыми эллипсами. Сравнивались два подхода: а) стандартная модель нормальной силы Герца плюс упрощенная модель сил трения Контенсу; б) упрощенная объемометричес-кая модель нормальной силы В. Г. В ильке плюс упрощенная модель сил трения Контенсу. В результате оказалось, что динамические модели случаев а) и б) мало отличаются друг от друга (не более 0,5% от величин сравниваемых переменных). При этом модель б) демонстрирует большую (на 20%) производительность; Кроме того, оказалось, что упрощенные формулы подхода Контенсу обеспечивают скорость моделирования даже большую, чем в модели точечного контакта, что связано с регуляризирующим эффектом учета наличия контактной площадки в отличие от случая Кулона, обладающего свойством большой динамической жесткости. Эта жесткость всегда является причиной существенного замедления процессов численного моделирования задач с сухим (кулоноским) трением.

В заключении приведены основные результаты и выводы:

1. Выполнен подробный обзор и анализ моделей контактного взаимодействия, предложенный различными авторами за достаточно долгий период развития теории контактного взаимодействия, восходящей к пионерской работе Герца.

2. Реализована вычислительная модель контактного взаимодействия В. Г. Вильке, в которой для вычисления суммарной нормальной упругой силы

применен объемометрический подход. Модель показала высокую надежность в работе и обеспечивает в сравнении с классическим случаем Герца заметно более высокое (почти в полтора раза) быстродействие при сохранении хорошего качества аппроксимации оригинального герцевского случая.

3. В отличие от традиционной схемы численного моделирования контактных задач с учетом касательных сил сухого или вязкого трения, когда контактная площадка (и нормальная сила) априори считаются заданными, в данной работе реализована компьютерная модель неограниченной контактной задачи: и нормальная сила с параметрами области контакта, и касательная сила с моментом трения верчения вычисляются в общем случае такими, какими они должны быть в общем динамическом случае движения соприкасающихся упругих тел. Реализованная математическая модель касательных сил трения восходит к Контенсу и, помимо сил сухого трения, может быть пригодна для приближенного описания сил трения при наличии тонкой пленки из смазочного материала.

4. Для обеспечения перечисленных выше задач был разработан и реализован на языке Modélica унифицированный подход к конструированию компьютерных моделей механического контакта в динамике машин и агрегатов. Данный подход показал свою эффективность и удобство при комбинировании любых требуемых той или иной моделью свойств контакта.

5. На основе вышеупомянутого параметрического описания на языке Modélica классов контактирования упругих деталей машин и при использовании вышеперечисленных математических моделей выполнена обширная программа верификационных испытаний различных случаев реализации упругих контактов в динамике систем тел. Результаты поэтапной (от более «простых» динамических моделей упругого взаимодействия твердых тел до достаточно сложных случаев множественного контакта в шариковых подшипниках) верификации показывают правильность работы построенных компьютерных моделей и их пригодность для дальнейшего применения в еще более сложных моделях машин и агрегатов.

6. Построенные компьютерные модели узлов трения позволяют исследовать динамику процессов контактирования с максимально возможной детализацией. Именно, можно построить зависимости от времени для любых компонент (нормальных и касательных) сил и моментов контактного взаимодействия во всех узлах контактирования. Можно исследовать любые кинематические и силовые характеристики контактов, а также любого, входящего в моделируемую механическую систему, тела, в зависимости от истории динамического нагружения узлов.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

¡.Александров Е. Б., Косенко И. И. О некоторых упрощенных моделях контактного взаимодействия твердых деформируемых тел // Наука - сервису. Х1-я Международная научно-практическая конференция. Секция «Технические средства сервиса»: сборник научных статей / под ред. д-ра техн. наук, профессора В. С. Шуплякова. - М.: ГОУВПО «МГУС», 2006, С. 48-54, 0,4 п.л. (в том числе' Лично автора 0,2 пл.).

2. Косенко И. И., Александров Е. Б. Компьютерная модель контактной задачи Герца // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. - М.: Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, 2007.- С. 158-174, 1 п.л. (в том числе лично автора 0,4 п.л.).

3. Kosenko I., Alexandrov Е. Implementation of the Hertz contact model and its volumetric modification on Modelica // Proceedings of the 6th International Modelica Conference, University of Applied Sciences Bielefeld, Bielefeld, Germany, March 3-4, 2008, P. 203-212,0,6 п.л. (в том числе лично автора 0,3 п.л.).

4. Александров Е. Б. Методика компьютерного моделирования контактных задач в механике машин // Актуальные проблемы техники и технологии: сборник научных трудов / редкол.: Н. Н. Прокопенко и др. - Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. - С. 3-5, 0,2 пл.

5. Vilke V., Kosenko I., Aleksandrov E. The Hertz contact problem and its volumetric reduction with computational applications // Proceedings of ENOC-2008, 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference, Institute for Problems of Mechanical Engineering RAS, Saint-Petersburg, Russia, June 30 - July 4, 2008, 6 p, 0,4 пл. (в том числе лично автора 0,1 п.л.).

6. Kosenko I., Aleksandrov Е. Volumetric modification of the Hertz contact problem and its application to the multibody dynamics simulation // Proceedings of ACMD2008, Fourth Asian Conference on Multibody Dynamics 2008, The Korean Society of Mechanical Engineers, Seogwipo KAL Hotel, Jeju, Republic of Korea, August 20-23,2008, P. 297-303,0,4 пл. (в том числе лично автора 0,2 пл.).

7. Александров Е. Б., Вильке В. Г., Косенко И. И. Контактная задача Герца: численная редукция и объемометрическая модификация // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48, № 12. - С. 2195-2211, 1,1 пл. (в том числе лично автора 0,3 пл.).

8. Aleksandrov Е. В., Vil'ke V. G., Kosenko 1.1. Hertzian contact problem: numerical reduction and volumetric modification // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2008. - Vol. 48, No. 12. - P. 2226-2240, 0,9 пл. (в том числе лично автора 0,3 пл.).

9. Kosenko I., Aleksandrov E. Volumetric modification of the Hertz contact problem and its application to the multibody dynamics simulation // Journal of Mechanical Science and Technology. - 2009.- Vol.23, No.4,- P.931-937, 0,4 п.л. (в трм числе лично автора 0,2 пл.).

10. Kosenko 1.1., Aleksandrov E. B. Implementation of the Contensou-Erismann tangent forces model in the Hertz contact problem // Ambrósio J., Silva M. (Eds.), Proceedings of the 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Portuguese Association for Theoretical, Applied and Computational Mechanics, Instituto Superior Técnico, Lisbon, Portugal, September 7-11,2009, 18 p, 1,2 пл. (в том числе лично автора 0,5 пл.).

11. Kosenko I., Aleksandrov Е. Implementation of the Contensou-Erismann model of friction in frame of the Hertz contact problem on Modélica // Casella F. (Ed.), Proceedings of the 7th International Modélica Conference, Como, Italy, September 20-22, 2009, P. 288-298,0,7 пл. (в том числе лично автора 0,3 пл.).

12. Vil'ke V. G., Kosenko 1.1., Aleksandrov E. В. On computer implementation of the Hertz elastic contact model and its simplifications // Regular and Chaotic Dynamics. - 2009. - Vol. 14, No. 6. - P. 693-714, 1,4 п.л. (в том числе лично автора 0,4 пл.).

13. Косенко И. И., Александров Е. Б. Реализация модели Контенсу-Эрисмана касательных сил в контактной задаче Герца // Нелинейная динамика. - 2009. -Т. 5, № 4. - С. 499-517,1,2 пл. (в том числе лично автора 0,6 пл.).

АЛЕКСАНДРОВ ЕВГЕНИЙ БОРИСОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МЕХАНИЧЕСКОГО КОНТАКТА В УЗЛАХ ТРЕНИЯ МАШИН СФЕРЫ БЫТА И КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Печатается в авторской редакции

Сдано в производство 14.04.2010 Тираж 120 экз.

Объем 1,0 п.л. Формат 60x84/16 Изд. № 22 Заказ 22

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский государственный университет туризма и сервиса» (ФГОУВПО «РГУТи С») 141221, Московская обл., Пушкинский р-он, пос. Черкизово, ул. Главная, 99

© ФГОУВПО «РГУТиС», 2010

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ МАШИН.

1.1. Обзор контактных задач.

1.2. Геометрическая редукция в окрестности механического контакта.

1.3. Контактная задача Герца.

1.4. Объемометрическая модификация модели Герца.

1.5. Модель касательных сил Контенсу-Эрисмана.

ГЛАВА 2. ПРИНЦИПЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ КОНТАКТИРОВАНИЯ В УЗЛАХ МАШИН И АГРЕГАТОВ

2.1. Объектно-ориентированный подход к моделированию динамики машин

2.2. Особенности реализации моделей различных видов механических связей твердых тел иа языке Modelica.

2.3. Реализация моделей механического контакта твердых упругих тел на языке Modelica.

ГЛАВА 3. ВЕРИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.

3.1. Верификация общей контактной модели с трением.

3.2. Моделирование динамики движения четырехколесного экипажа.

3.3. Модель подшипника качения.

Диссертация посвящена математическому и компьютерному моделированию процессов механического контакта в узлах трения машин и агрегатов сферы бытового обслуживания и коммунального хозяйства. Данная тематика имеет непосредственное отношение к вопросам виртуального прототипирова-ния таких машин на этапах их проектирования и сервисного обслуживания в процессе эксплуатации.

Актуальность работы. Хорошо известно, сколь разнообразна номенклатура машин и аппаратов, используемых в сфере бытового обслуживания и в коммунальном хозяйстве. Особый интерес представляют образцы техники, содержащие подвижные компоненты — узлы трения. Наличие таких узлов критическим образом влияет на время жизни этих машин и, естественным образом, на стоимость их разработки и эксплуатации. Здесь можно, в первую очередь, упомянуть всевозможные насосы, технические средства обслуживания коммунальных сетей, машины прачечного производства и машины химической чистки, машины швейного и обувного профиля, транспортные средства систем сервиса и коммунального хозяйства. В отдельную категорию, с точки зрения анализа и виртуального прототипирования можно выделить роторные подсистемы и компрессоры, применяемые в виде стандартных агрегатов в машинах вышеперечисленных категорий. Наконец, на самом низком, «атомарном», структурном уровне находятся узлы машин, в которых непосредственно протекают процессы контактного взаимодействия с трением такие, как: подшипники различных видов, зубчатые механизмы, кулачковые механизмы, фрикционные передачи.

С общей точки зрения анализа этапов жизненного цикла изделия особый интерес представляют потенциальные затраты, которые необходимо произвести разработчику изделия, содержащего узлы трения, и организации, ответственной за поддержание работоспособности этих узлов в процессе их эксплуатации. Если вопросам оценки времени жизни изделия на этапе его проектирования уделяется недостачно внимания, то это приводит, как правило, к удорожанию процесса его эксплуатации, к увеличению расходов на всевозможное сервисное обслуживание (диагностика, плановые и внеплановые ремонты и пр.). С другой стороны, если в процессе проектирования для оценивания эксплуатационных свойств будущего изделия пси кип раз изготавливать опытные образцы его узлов и агрегатов, то это гарантированно приводит к затягиванию сроков разработки, к увеличению материальных и других расходов на проектирование. Со всей очевидностью, поэтому, возникает задача построения вместо материальных экземпляров машин, их узлов и агрегатов соответствующих виртуальных аналогов, называемых виртуальными прототипами образцов техники. Назначение виртуального прототипа — обеспечить с определенной точностью прогноз тех пли иных свойств будущего, еще не изготовленного изделия.

Вместе с тем, постоянно растущие потребности населения и всемирная конкуренция заставляют разработчиков и производителей машин бытового и коммунального назначения непрерывно обновлять модельный ряд выпускаемой техники. Очевидно, что новые модели машин будут востребованы потребителем только при условии их высокого качества и приемлемой стоимости. Причем, современные тенденции мировой и отечественной экономики требуют решения задач улучшения функциональности, повышения качества и снижения стоимости в рамках ограниченных временных и материальных ресурсов.

Одним из ключевых показателей качества изделия является его надежность. Напомним, что иод надежностью понимают свойство изделия сохранять работоспособное состояние в течение определенного времени. Как известно, основной причиной нарушения работоспособности узлов машин и агрегатов являются процессы механического контакта. Физические явления, сопровождающие эти процессы, существенно влияют на потребительские свойства машин и могут приводить к отказам в работе. Поэтому решение задач повышения надежности машин, как на стадии проектирования, так и во время эксплуатации невозможно без эффективного решения динамических задач контактного взаимодействия их деталей и узлов.

Существующие подходы к рассмотрению контактных задач в механике машин, как правило, представляют собой эмпирические решения, требующие проведения трудоемких экспериментов и/или опираются на модели теоретической механики или теории упругости. Наибольший интерес с точки зрения оценки потребительских свойств проектируемого изделия представляет динамический анализ исследуемого объекта. Учет динамических эффектов пред-сгавляет собой трудную задачу и одновременно имеет большое инженерное значение, поскольку механическое взаимодействие тел в огромном числе приложений протекает в условиях их относительного движения в различных скоростных режимах. Кроме того, сжатые сроки разработки новых или исследования существующих машин и их высокий уровень технической сложности могут серьезно затруднить проведение физических испытаний.

Такие физические эксперименты могут быть затруднены или невозможны в силу целого ряда причин. Упомянутые образцы могут быть очень дороги или недоступны для испытаний. В таких случаях эти испытания проводятся на аналогах таких машин, например на макетах, или каких-нибудь других физических моделях этих устройств. В настоящее время наилучшим решением было бы создание электронной или цифровой модели (компьютерного симу-лятора) испытуемого устройства. Такая модель-аналог называется виртуальным прототипом. Основная же причина для создания виртуальных образцов технических систем (виртуальных прототипов) состоит не столько в перечисленных выше причинах, сколько в самой сути современного процесса разработки, и эксплуатации инженерной продукции. В самом деле, использование виртуального прототипа позволяет начать процесс испытаний и оптимизации конструкции еще не существующего продукта, на самых ранних стадиях его разработки. Более того, как показывает опыт, наличие виртуальных прототипов позволяет и на последующих стадиях проектирования проводить на этих прототипах подавляющую часть всех необходимых тестов. Такой подход позволил ведущим мировым производителям резко ускорить процесс смены модельных рядов продукции и одновременно радикально удешевить разработку и эксплатацию новых образцов техники.

Для построения любого виртуального прототипа необходима компьютерная реализация одной, а чаще — целого набора — математических моделей, применяемых для описания поведения машины пли аппарата, чей виртуальный прототип требуется создать. Для вычислительной реализации различных математических моделей широко применяются языки физически-ориентированного моделирования. Одним из наиболее популярных и активно развиваемых языков такого типа является язык объектно-ориентированного моделирования Modelica.

С другой стороны, значительную роль при описании поведения технических систем играет динамика систем твердых тел [18, 52,106,161,171]. В реальных примерах машин, их детали и агрегаты находятся во взаимодействии друг с другом, причем это взаимодействие чаще всего имеет механическую природу и сводится к контакту одного твердого (упругого) тела с другим. Оказалось, что для формального описания динамики таких процессов идеальным образом подходят языки моделирования и, в частности, упомянутый выше язык Modelica.

Известно, что в динамике систем твердых тел, при наличии множественного контакта, а такая ситуация повсеместно встречается в механике машин, невозможно, в силу статической неопределимости, ограничиться моделью точечного контакта абсолютно твердых тел. Для преодоления подобных трудностей используется различная техника. Например, все более широкое применение находит одна из новых ветвей математического анализа: исчисление многозначных отображений [143]. Другой, более традиционный, подход состоит в редукции точек «твердого» контакта к той или иной модели с податливостью, описываемой при помощи упругих свойств материалов взаимодействующих тел. В общем случае контактирования твердых деформируемых (упругих) тел необходимо решать соответствующую (контактную) задачу теории упругости [20, 24, 51, 54, 57, 73]. Для численной реализации решения такой задачи стандартной технологией её решения является метод конечных элементов

МКЭ) [30, 60, 69, 178J.

Применение МКЭ [69] сопряжено с расходом значительных вычислительных ресурсов. В особенности велики трудности при компьютерной реализации динамических моделей контакта упругих тел [177]. Поэтому в случае использования МКЭ не приходится говорить о реализации вычислительной модели, способной работать в так называемом режиме реального масштаба времени, когда компьютерная модель по скорости своей работы опережает реальный моделируемый процесс. Современные же задачи исследования динамики систем тел все чаще и чаще требуют возможности реализации моделей, способных работать не медленнее, чем это может делать реальный физический прототип. Поэтому актуальной является задача построения быстрых алгоритмов, способных моделировать сложные динамические процессы упругого контактирования с приемлемой точностью и не требующих одновременно значительных вычислительных ресурсов.

Одним из таких решений является модель Герца [117]. Её различные модификации повсеместно применяются в механике машин [100, 101, 112, 114, 156, 162, 164, 175, 176]. Эта модель нашла достаточно точное подтверждение в физическом и вычислительном эксперименте [57, 61, 89, 91, 101, 103, 128, 156, 165].

Алгоритм Герца основан на нескольких допущениях, ограничивающих его применение в случаях взаимодействия, усложненных запутанной структурой поверхностей контакта (не выпуклые, не регулярные и т. п.), и/или в случаях, когда размеры площадки контакта сопоставимы с размерами тел. Заметим, что решение задачи Герца требует решения трансцендентных уравнений, зависящих от полных эллиптических интегралов (первого и второго рода), что значительно усложняет технологию разработки численных алгоритмов определения сил контактного взаимодействия и существенно увеличивает время, необходимое для вычисления этих сил. Поэтому, как правило, в динамических приложениях алгоритм Герца применяется в упрощенной и/или ограниченной [19, 127] постановке. Эти упрощения, с другой стороны, снижают возможности таких моделей для решения более-менее приемлемого спектра прикладных задач.

Таким образом, в силу вышесказанного, несомненно актуальной следует признать задачу разработки новых эффективных алгоритмов моделирования динамики контактного взаимодействия твердых упругих тел, составляющих системы сложных машин и агрегатов.

Цель и задачи работы. Целью работы является вычислительная реализация математических моделей контактного взаимодействия твердых упругих тел и построение на их основе высокоточных динамических компьютерных моделей узлов трения машин и агрегатов, допускающих множественные контакты.

Для достижения указанной цели в работе были решены следующие задачи:

1. Выполнен обзор и анализ моделей контактного взаимодействия.

2. Выполнена вычислительная реализация моделей контактного взаимодействия Герца и В. Г. Вильке, позволяющая решать нормальную контактную задачу в условиях динамического изменения геометрических свойств поверхностей контактирующих тел.

3. Выполнена вычислительная реализация в рамках моделей В. Г. Вильке и Герца приближенного решения Контенсу для касательных сил в области, в общем случае эллиптического, пятна контакта.

4. Разработан на языке Modelica унифицированный подход к конструированию компьютерных моделей процессов механического контакта, позволяющий быстро (с использованием объектно-ориентированного подхода) создавать и модернизировать различные комбинации алгоритмов, применяемых для моделирования упругого контакта при исследовании динамики машин

5. Проведена верификация вычислительных подходов к построению компыотерных моделей контактного взаимодействия на примере динамических моделей нескольких механических систем, включающих узлы трения.

Научная новизна. Впервые выполнена вычислительная реализация объемометрической модели контактного взаимодействия В. Г. Вильке в рамках задачи Герца, позволяющая получить решение нормальной контактной задачи в общем случае взаимодействия твердых упругих тел, имеющих внешние поверхности достаточно регулярной структуры. Предложенное решение обеспечивает стабильную работу компьютерной модели и высокую точность расчетов,одновременно почти в полтора раза, в сравнении с классической задачей Герца, ускоряя вычислительный алгоритм определения силы контактного взаимодействия.

Впервые реализована неограниченная контактная задача, когда нормальная упругая сила, вычисляемая динамически либо при помощи оригинального алгоритма Герца, либо при помощи его объемометрической модификации, используется одновременно для нахождения силового винта (мотора) сил трения в соответствии с приближенной моделью Контепсу для касательных сил, распределенных по эллиптической контактной площадке.

Разработан унифицированный подход на языке Modelica к конструированию компьютерных моделей механического контакта в динамике машин и агрегатов. Построены частные примеры таких моделей. Выполнена их верификация.

Практическая ценность. Показаны общие подходы и технологические приемы математического и компьютерного моделирования процессов механического контакта в системах тел, составляющих машины и агрегаты.

Разработаны методики построения компьютерных моделей различных машин и агрегатов при наличии множественных контактов упругих тел на языке Modelica.

Построенные компьютерные модели механического контакта позволяют изучать различные динамические эффекты, влияющие на потребительские свойства машин, и могут быть использованы при оценке их времени жизни.

Результаты исследовании внедрены в учебный процесс Российского государственного университета туризма и сервиса и используются на кафедре «Инженерная механика» при подготовке специалистов по специальности «Сервис» и инженеров по специальности «Бытовые машины и приборы».

На защиту выносятся:

1. обзор и анализ моделей контактного взаимодействия;

2. вычислительная реализация модели контактного взаимодействия В. Г. Вильке в рамках задачи Герца;

3. вычислительная реализация неограниченной контактной задачи;

4. унифицированный подход па языке Modelica к конструированию компьютерных моделей механического контакта в динамике машин и агрегатов;

5. подходы к проведению верификационных испытаний виртуальных прототипов узлов машин и агрегатов, содержащих множественные контакты;

6. анализ результатов вычислительной верификации построенных моделей.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

XI-ой Международной научно-практической конференции «Наука - сервису» (г. Москва, ГОУВПО «МГУС», 2006 г.);

Всероссийской научной конференции аспирантов и молодых ученых «Современные проблемы сервиса и туризма» (г. Москва, ГОУВПО «МГУС», 2007 г.);

Шестом международном симпозиуме по классической и небесной механике (г. Великие Луки, 2007 г.);

Семинаре им. акад. В. В. Румянцева «Аналитическая механика и теория устойчивости» под руководством чл.-корр. РАН В. В. Белецкого, проф. А. В. Карапетяна и проф. Я. В. Татаринова (г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2007 г., 2009 г.);

ХП-ой международной научно-практической конференции «Наука - сервису» (г. Москва, ФГОУВПО «РГУТиС», 2007 г.);

Коллоквиуме 495 «Достижения в моделировании динамики систем тел» Европейского общества механиков (г. Брянск, 2008 г.);

6-ой международной конференции по языку моделирования Modelica, (Би-лефельдский университет прикладных наук, г. Билефельд, Германия,

2008 г.);

Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы техники и технологии» (г. Шахты, ГОУВПО «ЮРГУЭС», 2008 г.);

8-ом Всемирном конгрессе по вычислительной механике и 5-ом Европейском конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках и технике (г. Венеция, Италия, 2008 г.);

6-ой Европейской конференции по нелинейной динамике Европейского общества механиков (г. Санкт-Петербург, 2008 г.);

4-ой Азиатской конференции по динамике систем твердых тел 2008 (о. Че-джу, Республика Корея, 2008 г.);

ХШ-ой международной научно-практической конференции «Наука - сервису» (г. Москва, ФГОУВПО «РГУТиС», 2008 г.);

XLV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (г. Москва, РУДН, 2009 г.);

Объединенном Российско-Австрийском семинаре «Бифуркации в негладких системах» (Венский технический университет, г. Вена, Австрия,

2009 г.);

7-ой Европейской конференции по механике твердого тела Европейского общества механиков (г. Лиссабон, Португалия, 2009 г.);

7-ой международной конференции по языку моделирования Modelica (г. Комо, Италия, 2009 г.);

Семинаре «Математические методы технической механики» под руководством проф. С. Я. Степанова и доц. А. А. Бурова (г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2010 г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано тринадцать статей, из них пять - в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. Её объем составляет 161 страницу, в том числе: 50 рисунков, 1 таблица, библиографический список (179 наименований).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги материалу, изложенному в диссертации, отметим следующие основные, полученные в работе результаты:

1. Выполнен подробный обзор и анализ моделей контактного взаимодействия, предложенный различными авторами за достаточно долгий период развития теории контактного взаимодействия, восходящей к пионерской работе Герца.

2. Реализована вычислительная модель контактного взаимодействия В. Г. Вильке, в которой для вычисления суммарной нормальной упругой силы применен объемометрический подход. Модель показала высокую надежность в работе и обеспечивает в сравнении с классическим случаем Герца заметно более высокое (почти в полтора раза) быстродействие при сохранении хорошего качества аппроксимации оригинального герцевского случая.

3. В отличие от традиционной схемы численного моделирования контактных задач с учетом касательных сил сухого или вязкого трения, когда контактная площадка (и нормальная сила) априори считаются заданными, в данной работе реализована компьютерная модель неограниченной контактной задачи: и нормальная сила с параметрами области контакта, и касательная сила с моментом трения верчения вычисляются в общем случае такими, какими они должны быть в общем динамическом случае движения соприкасающихся упругих тел. Реализованная математическая модель касательных сил трения восходит к Контенсу и, помимо сил сухого трения, может быть пригодна для приближенного описания сил трения при наличии тонкой пленки из смазочного материала.

4. Для обеспечения перечисленных выше задач был разработан и реализован на языке Modelica унифицированный подход к конструированию компьютерных моделей механического контакта в динамике машин и агрегатов.

Данный подход показал свою эффективность и удобство при комбинировании любых требуемых той или иной моделью свойств контакта.

5. На основе вышеупомянутого параметрического описания па языке Modelica классов контактирования упругих деталей машин и при использовании вышеперечисленных математических моделей выполнена обширная программа верификационных испытаний различных случаев реализации упругих контактов в динамике систем тел. Результаты поэтапной (от более «простых» динамических моделей упругого взаимодействия твердых тел до достаточно сложных случаев множественного контакта в шариковых подшипниках) верификации показывают правильность работы построенных компьютерных моделей и их пригодность для дальнейшего применения в еще более сложных моделях машин и агрегатов.

6. Построенные компьютерные модели узлов трения позволяют исследовать динамику процессов контактирования с максимально возможной детализацией. Именно, можно построить зависимости от времени для любых компонент (нормальных и касательных) сил и моментов контактного взаимодействия во всех узлах контактирования. Можно исследовать любые кинематические и силовые характеристики контактов, а также любого, входящего в моделируемую механическую систему, тела, в зависимости от истории динамического нагружения узлов.

1. Айзикович, С. М. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред Текст. / С. М. Айзикович, В. М. Александров, А. В. Белоконь, Л. И. Кренев, И. С. Трубчик. — М.: Физматлит, 2006. — 237 с.

2. Александров, В. М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости Текст. / В. М. Александров, М. И. Чебаков. — М.: Физматлит, 2004. 304 с.

3. Александров, В. М. Введение в механику контактных взаимодействий Текст. / В. М. Александров, М. И. Чебаков. — Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. 114 с.

4. Александров, В. М. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел Текст. / В. М. Александров, Д. А. Пожарский. — М.: Издательство «Факториал», 1998. — 288 с.

5. Александров, Е. Б. Контактная задача Герца: численная редукция и объ-емометрическая модификация Текст. / Е. Б. Александров, В. Г. Вильке, И. И. Косенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. - Т. 48, № 12. - С. 2195-2211.

6. Аргатов, И. И. Асимптотические модели упругого контакта Текст. / И. И. Аргатов. СПб.: Наука, 2005. - 447 с.

7. Аргатов, И. И. Основы теории упругого дискретного контакта: учебное пособие Текст. / И. И. Аргатов, Н. Н. Дмитриев. — СПб.: Политехника, 2003. 233 с.

8. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и авто-морфные функции. Функции Ламе и Матье Текст. / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. — М.: Наука, 1967. — 300 с.

9. Боггс, У. UML и Rational Rose 2002 Текст. / У. Боггс, М. Боггс. М.: Издательство «Лори», 2004. — 528 с.

10. Борисов, А. В. Законы сохранения, иерархия динамики и явное интегрирование неголономных систем Текст. / А. В. Борисов, И. С. Мамаев // Нелинейная динамика. 2008. - Т. 4, № 3. - С. 223-280.

11. Борисов, А. В. Неголономные динамические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы / Сборник статей Текст. / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. — Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 324 с.

12. Боуден, Ф. П. Трение и смазка твердых тел Текст. / Ф. П. Боуден, Д. Тей-бор. — М.: Машиностроение, 1968. — 544 с.

13. Бураго, Н. Г. Обзор контактных алгоритмов Текст. / Н. Г. Бураго, В. Н. Кукуджанов // Известия РАН, МТТ. 2005. - № 1. - С. 45-87.

14. Буч, Г. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений Текст. / Г. Буч. Р. А. Максимчук, М. У. Энгл, Б. Д. Янг, Д. Коналлеп, К. А. Хьюстон. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2008. — 720 с.

15. Буч, Г. UML Текст. / Г. Буч, А. Якобсон, Дж. Рамбо. СПб.: Питер, 2006. - 735 с.

16. Вильке, В. Г. О негерцевом контакте колеса и рельса Текст. / В. Г. Виль-ке // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. — М.: Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, 2007. — С. 137—157.

17. Вильке, В. Г. Теоретическая механика: учебник Текст. / В. Г. Вильке. — СПб.: Издательство «Лань», 2003. — 304 с.

18. Виттепбург, И. Динамика систем твердых тел Текст. / Й. Виттенбург. — М.: Мир, 1980. 294 с.

19. Галахов, М. А. Расчет подшипников качения Текст. / М. А. Галахов, А. Н. Бурмистров. — М.: Машиностроение, 1988. — 272 с.

20. Галин, JI. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости Текст. / Л. А. Галин. М.: Наука, 1980. - 304 с.

21. Голубев, Ю. Ф. Основы теоретической механики: учебник Текст. / Ю. Ф. Голубев. — М.: Изд-во МГУ, 2000. 719 с.

22. Горячева, И. Г. Механика фрикционного взаимодействия Текст. / И. Г. Горячева. — М.: Наука, 2001. — 478 с.

23. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Текст. / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М.: Физматгиз, 1962. — 1100 с.

24. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия Текст. / К. Джонсон. М.: Мир, 1989. - 510 с.

25. Диментберг, Ф. М. Винтовое исчисление и его приложения в механике Текст. / Ф. М. Диментберг. — М.: Наука, 1965. — 200 с.

26. Журавлев, В. Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения Текст. / В. Ф. Журавлев // Известия РАН, МТТ. 2003. -№ 4. - С. 81-88.

27. Журавлев, В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел Текст. / В. Ф. Журавлев // ПММ. 1998. - Т. 62, Вып. 5. - С. 762-767.

28. Журавлев, В. Ф. О разложениях Паде в задаче о двумерном Кулоновом трении Текст. / В. Ф. Журавлев, А. А. Киреенков // Известия РАН, МТТ. 2005. - С. 3-13.

29. Журавлев, В. Ф. Основы теоретической механики Текст. / В. Ф. Журавлев. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. — 320 с.

30. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике Текст. / О. Зенкевич. — М.: Мир, 1975. — 543 с.

31. Иванов, А. П. Динамика систем с механическими соударениями Текст. / А. П. Иванов. — М.: Международная программа образования, 1997. — 336 с.

32. Иванов. А. П. Об условиях отрыва в задаче о движении твердого тела по шероховатой плоскости Текст. / А. П. Иванов // Нелинейная динамика. — 2008. Т. 4, № 3. - С. 287-302.

33. Калинчук, В. В. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных полуограниченных тел Текст| / В. В. Калинчук, Т. И. Бе-лянкова. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.

34. Карапетяп. А. В. Двухпараметрическая модель трения Текст. / А. В. Ка-рапетян // ПММ. 2009. - Т. 73, № 4. - С. 515-519.

35. Кватрани, Т. Визуальное моделирование с помощью Rational Rose 2002 и UML Текст. / Т. Кватрани. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2003. — 268 с.

36. Киреенков, А. А. Метод вычисления силы трения и момента сил грения в комбинированной модели сухого трения для круговых площадок контакта Текст. / А. А. Киреенков // Известия РАН, МТТ. 2003. - № 3. -С. 48-53.

37. Киреенков, А. А. Связанная модель трения скольжения и качения в динамике тел на шероховатой плоскости Текст. / А. А. Киреенков / / Известия РАН, МТТ. 2008. - № 3. - С. 116-131.

38. Козлов, В. В. Биллиарды. Генетическое ведение в динамику систем с ударами Текст. / В. В. Козлов, Д. В. Трещев. М.: Изд-во МГУ, 1991.168 с.

39. Колесов, Ю. Б. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы Текст. / Ю. Б. Колесов, Ю. Б. Сениченков. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 224 с.

40. Колесов, Ю. Б. Моделирование систем. Объектно-ориентированный подход Текст. / Ю. Б. Колесов, Ю. Б. Сениченков. — СПб.: БХВ-Петербург,2006. 192 с.

41. Колесов, Ю. Б. Моделирование систем. Практикум по компьютерному моделированию Текст. / Ю. Б. Колесов, Ю. Б. Сениченков. — СПб.: БХВ -Петербург, 2007. 352 с.

42. Косенко, И. И. Графовые представления моделей динамики систем тел Текст. / И. И. Косенко // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21, № 9. С. 80-88.

43. Косенко, И. И. Интегрирование уравнений вращательного движения твердого тела в алгебре кватернионов. Случай Эйлера Текст. / И. И. Косенко // ПММ. 1998. - Т. 62, Вып. 2. - С. 206-214.

44. Косенко, И. И. Компьютерная модель контактной задачи Герца // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения Текст. / И. И. Косенко, Е. Б. Александров. — М.: Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, 2007. С. 158—174.

45. Косенко, И. И. Компьютерное моделирование сложных систем Текст. / И. И. Косенко // Теоретические и прикладные проблемы сервиса. — 2007. — № 1(22). С. 34-43.

46. Косенко, И. И. Описание динамики систем твердых тел на языке Modelica. Общий подход Текст. / И. И. Косенко // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. — М.: Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, 2006. — С. 12-28.

47. Косенко, И. И. Реализация компьютерной модели динамики систем твердых тел с освобождающими связями Текст. / И. И. Косенко // Математическое моделирование. — 2006. — Т. 18, № 2. — С. 95-106.

48. Косенко, И. И. Реализация модели Контенсу-Эрисмана касательных сил в контактной задаче Герца Текст. / И. И. Косенко, Е. Б. Александров // Нелинейная динамика. — 2009. Т. 5, № 4. — С. 499-517.

49. Крагельский, И. В. Основы расчетов на трение и износ Текст. / И. В. Кра-гельский, М. Н. Добычин, В. С. Комбалов. — М.: Машиностроение, 1977. 526 с.

50. Кубарев, А. И. Надежность машин, оборудования и приборов бытового назначения Текст. / А. И. Кубарев, Е. А. Панфилов, Б. И. Хохлов. — М.: Легпромбытиздат, 1987. — 336 с.

51. Ландау, Л. Д., Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости: учебное пособие Текст. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука, 1987. — 248 с.

52. Лилов, Л. К. Моделирование систем связанных тел Текст. / Л. К. Лилов. М.: Наука, 1993. - 272 с.

53. Лукашев, Е. А. Топохимическая кинетика адгезионного взаимодействия двух твердых тел в процессе трения скольжения Текст. / Е. А.Лукашев // Теоретические и прикладные проблемы сервиса. — 2003. — № 2(7). — С. 13-22.

54. Ляв, А. Математическая теория упругости Текст. / А. Ляв. — М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 675 с.

55. Маркеев, А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью Текст. / А. П. Маркеев. — М.: Наука, 1992. — 335 с.

56. Маркеев, А. П. Теоретическая механика: учебник для университетов Текст. / А. П. Маркеев. М.: ЧеРо, 1999. - 572 с.

57. Механика контактных взаимодействий Текст. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 672 с.

58. Новожилов, И. В. Условия застоя в системах с кулоновским трением Текст. / И. В. Новожилов // Изв. АН СССР, МТТ. 1973. - Т. 8, № 1. -С. 8-14.

59. Новожилов, И. В. Фракционный анализ Текст. / И. В. Новожилов. — М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1995. — 224 с.

60. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов Текст. / Д. Норри, Ж. де Фриз. М: Мир. 1981. - 304 с.

61. Пэнлеве, П. Лекции о трении Текст| / П. Пэнлеве. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. — 316 с.

62. Погорелов, Д. Ю. Модификация алгоритма FASTSIM решения задачи контакта колеса и рельса Текст. / Д. Ю. Погорелов, В. Н. Языков // Вестник Брянского государственного технического университета. — 2004. — № 2(2). С. 103-109.

63. Применение теории графов связей в технике Текст. / под ред. Д. Кэрнопа, Р. Розенберга. — М.: Мир, 1974. — 96 с.

64. Развитие теории контактных задач в СССР Текст. — М.: Наука, 1976. — 493 с.

65. Раус, Э. Динамика системы твердых тел Текст.: в 2 т. / Э. Раус. — М.: Наука, 1983. 2 т.

66. Сакало, В. И. Контактные задачи железнодорожного транспорта Текст. / В. И. Сакало, В. С. Коссов. — М.: Машиностроение, 2004. — 496 с.

67. Сегерлинг, JT. Применение метода конечных элементов Текст. / Л. Сегер-линг. М.: Мир, 1979. - 392 с.

68. Седов, JI. И. Механика сплошной среды: учебник для вузов Текст.: в 2 т. / Л. И. Седов. — СПб.: Издательство «Лань», 2004. — 2 т.

69. Современная трибология: Итоги и перспективы Текст. / отв. ред. К. В. Фролов. М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 480 с.

70. Сумбатов, А. С. Очерки о трении Текст. / А. С. Сумбатов, Е. К. Юнин. — М.: ВЦ РАН, 2000. 142 с.

71. Тимошенко, С. П. Теория упругости Текст. / С. П. Тимошенко, Дж. Гу-дьер. — М.: Наука, 1975. — 576 с.

72. Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа. Ч. П. Трансцендентные функции Текст. / Э. Т. Уиттекер, Д. Н. Ватсон. — М.: Физматгиз, 1963. — 516 с.

73. Юдин, В. М. Трибохимия водородного износа: Монография Текст. / В. М. Юдин, Е. А. Лукашев, М. Е. Ставровский. М.: ГОУВПО «МГУС», 2004. - 282 с.

74. Юпин, Е. К. Загадки и парадоксы сухого трении Текст. / Е. К. Юнин. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 128 с.

75. Янке, Е. Специальные функции Текст. / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. — М.: Наука, 1964. 344 с.

76. AcslX. User's guide. Version 2.5 Text. — Huntsville, AL: AEgis Technologies Group, Inc., 2009. — 208 p.

77. Aleksandrov, E. B. Hertzian contact problem: numerical reduction and volumetric modification Text. / E. B. Aleksandrov, V. G. Vil'ke, 1.1. Kosenko // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2008. — Vol. 48, No. 12. — P. 2226-2240.

78. Andreasson, J. On generic road vehicle motion modelling and control Text.: PhD thesis / J. Andreasson. — Stockholm, 2007. — 157 p.

79. Antes, H. The boundary integral approach to static and dynamic contact problems: equality and inequality methods Text. / H. Antes, P. D. Pana-giotopoulos. — Basel Boston - Berlin: Birkhauser Verlag, 1992. — 313 p.

80. Boussinesq, J. Application des potentiels a i'etude de i'equilibre et du mou-vement des solides elastiques Texte. / J. Boussinesq. — Paris: Gauthier-Villars, 1885.

81. Cellier, F. E. Continuous system modeling Text. / F. E. Cellier. —- New York: Springer-Verlag, 1991.

82. Cellier, F. E. Modeling from physical principles Text. / F. E. Cellier, H. Elmqvist, M. Otter // Levine, W. S. (Ed.), The Control Handbook. — Boca Raton, FL: CRC Press, 1996. — P. 99-107.

83. Cellier, F. E. Object-oriented modeling: means for dealing with system complexity Text. / F. E. Cellier // Proceedings 15th Benelux Meeting on Systems and Control, Mierlo, The Netherlands, 1996, P. 53-64.

84. Chatterjee, A. Rigid body collisions: some general considerations, new collision laws, and some experimental data Text.: PhD thesis / A. Chatterjee. — Ithaca, NY, 1997. — 154 p.

85. Costea, С. On the validity of Hertz contact law for granular material acoustics Text. / C. Costea, B. Gilles // The European Physical Journal B. — 1999. — Vol. 7. — P. 155-168.

86. Dietl, P. Damping and stiffness characteristics of rolling element bearings — theory and experiment Text.: PhD thesis / P. Dietl. — Vienna, 1997.

87. Djerassi, S. Collision with friction; Part A: Newton's hypothesis Text. / S. Djerassi // Multibody System Dynamics. — 2009. — Vol. 21, No. 1. — P. 37-54.

88. Djerassi, S. Collision with friction; Part B: Poisson's and Stronge's hypotheses Text. / S. Djerassi // Multibody System Dynamics. — 2009. — Vol. 21, No. 1. — P. 55-70.

89. Dymola. Dynamic modeling laboratory. User's manual. Version 7.0 Text. — Lund: Dynasim AB, Ideon Science Park, 2008. — Vol. 1. — 416 p., Vol. 2. — 326 p.

90. Ebrahimi, S. Extension of the polygonal contact model for flexible multibody systems Text. / S. Ebrahimi, G. Hippmann, P. Eberhard // International Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2005. — Vol. 1, Iss. 1. — P. 33-50.

91. Elmqvist, H. Object-oriented modeling of hybrid systems Text. / H. Elm-qvist, F. E. Collier, M. Otter // Proceedings ESS'93, SCS European Simulation Symposium, Delft, The Netherlands, 1993, P. XXXI-XLI.

92. Elmqvist, H. Object-oriented modeling of power-electronic circuits using dymola Text. / Ii. Elmqvist, F. E. Cellier, M. Otter // Proceedings CISS'94, First Joint Conference of International Simulation Societies, Zurich, Switzerland, 1994, P. 156-161.

93. Erismann, Th. Theorie und anwendungen des echten kugelgetriebes Text. / Th. Erismann // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik. — 1954. — Vol. 5, No 5. — S. 355-388.

94. Flores, P. Kinematics and dynamics of multibody systems with imperfect joints. Models and case studies Text. / P. Flores, J. Ambrosio, J. C. P. Claro, H. M. Lankarani. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. —181 p.

95. Friedl, C. Der stehaufkreisel Text.: Master's thesis / C. Friedl. — Augsburg, 1997. — 63 s.

96. Ftihrer, C. Numerical solition of differential-algebraic equations for constrained mechanical motion Text. / C. Fiihrer, B. J. Leimkuhler // Nu-merische Mathematik. — 1991. — Vol. 59. — P. 55-69.

97. Gilardi, G. Literature survey of contact dynamics modelling Text. / G. Gi-lardi, I. Sharf // Mechanism and Machine Theory. — 2002. — Vol. 37, Iss. 10. — P. 1213-1239.

98. Garcia de Jalon, J. Kinematic and dynamic simulation of multibody systems. The real-time challenge Text. / J. Garcia de Jalon, E. Bayo. — New-York: Springer-Verlag, 1994. —449 p.

99. Gladwell, G. M. Contact problems in the classical theory of elasticity Text. / G. M. Gladwell. — New-York: Springer-Verlag, 1980. — 736 p.

100. Golo, G. Interconnection structures in port-based modelling: tools for analysis and simulation Text.: PhD thesis / G. Golo. — Enschede, 2002.

101. Goldsmith, W. Impact: The theory and physical behaviour of colliding solids Text. / W. Goldsmith. — New-York: Courier Dover Publications, 2001.

102. Gonthier, Y. Contact dynamics modelling for robotic task simulation Text.: PhD thesis / Y. Gonthier. — Waterloo, Canada, 2007. — 241 p.

103. Granosik, G. Hypermobile robots Text. / G. Granosik // Aschemann H. (Ed.), New Approaches in Automation and Robotics. — Vienna: I-Tech Education and Publishing, 2008. — P. 315-332.

104. Gupta, P. K. Advanced dynamics of rolling elements Text. / P. K. Gupta. — Berlin Heidelberg - New York - Tokyo: Springer-Verlag, 1984. — 295 p.

105. Hairer, E. Solving ordinary differential equations. Nonstiff problems Text. / E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner. — Berlin: Springer-Verlag, 1987.

106. Harris, T. A. Advanced concepts of bearing technology Text. / T. A. Harris, M. N. Kotzalas. — Boca Raton, FL: CRC Press, 2006. — 352 p.

107. Hasegawa, S. Real-time rigid body simulation for haptic interactions based on contact volume of polygonal objects Text. / S. Hasegawa, M. Sato // Computer Graphics Forum. — 2004. — Vol. 23, Iss. 3. — P. 529-538.

108. Hestenes, D. New foundations for classical mechanics (second edition) Text. / D. Hestenes. — New York Boston - Dordrecht - London - Moscow: Ivluwer Academic Publishers, 2002. — 703 p.

109. Hertz, H. Uber die beruhrung fester elastischer korper Text. / H. Hertz // J. fur die reine und angewandte Mathematik. — 1882. — Bd. 92. — S. 156-171.

110. Hindmarsh, A. C. LSODE and LSODI, two new initial value ordinary differential equation solvers Text. / A. C. Hindmarsh // ACM-Signum Newsletter. — 1980. — Vol. 15, No. 4. — P. 10-11.

111. Hindmarsh, A. C. ODEPACK, a systematized collection of ODE solvers Text. / A. C. Hindmarsh // Stepleman, R. S. (Ed.), Scientific Computing. — Amsterdam: North Holland, 1983.

112. Hippmann, G. An algorithm for compliant contact between complexly shaped bodies Text. / G. Hippmann // Multibody System Dynamics. — 2004. — Vol. 12, No. 4. — P. 345-362.

113. Hunt, К. H. Coefficient of restitution interpreted as damping in vibroimpact Text. / Hunt, К. H., Crossley F. R. // Transactions of the ASME Journal of Applied Mechanicss. — 1975. — No. 6. — P. 440-445.

114. Kalker, J. J. A fast algorithm for the simplified theory of rolling contact Text. / J. J. Kalker // Vehicle System Dynamics. — 1982. — Vol. 11, Iss. 1. — P. 1-13.

115. Kalker, J. J. Simplified theory of rolling contact Text. / J. J. Kalker // Delft Progress Report. Series C. — 1973. — Vol. 1. — P. 1-10.

116. Kalker, J. J. Three-dimensional elastic bodies in rolling contact Text. / J. J. Kalker. — Dordrecht Boston - London: Kluwer Academic Publisher, 1990. — 314 p.

117. Kane, T. R. Realistic mathematical modeling of the rattleback Text. / T. R. Kane, D. A. Levinson // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 1982. — Vol. 17, Iss. 3. — P. 175-186.

118. Kaps, P. Generalized runge-kutta methods of order four with stepsize control for stiff ordinary differential equations Text. / P. Kaps, P. Rentrop // Numerische Mathematik. — 1979. — Vol. 33. — P. 55-68.

119. Karkkainen, A. Dynamic simulations of rotors during drop on retainer bearings Text.: DSc thesis / A. Karkkainen. — Lappeenranta, 2007. — 95 p.

120. Kim, J. H. A new computational approach to contact mechanics using variable-node finite elements Text. / J. H. Kim, J. H. Lim, J. H. Lee, S. Im // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2007. — Vol. 73, Iss. 13. — P. 1966-1988.

121. Kosenko, I. A unified way to implement multibody systems dynamics models using bond graph representation Text. / I. Kosenko // Proceedings of 12th IFToMM World Congress, Besancon, France, June 18—21, 2007, 7 p.

122. Kosenko, I. Modelica implementation of the skateboard dynamics Text. / I. Kosenko, A. Kuleshov // Proceedings of the 6th International Modelica Conference, University of Applied Sciences Bielefeld, Bielefeld, Germany, March 3-4, 2008, P. 725-734.

123. Kosenko, I. Volumetric modification of the Hertz contact problem and its application to the multibody dynamics simulation Text. / I. Kosenko, E. Alek-sandrov // Journal of Mechanical Science and Technology. — 2009. — Vol. 23, No. 4. — P. 931—937.

124. Lankarani, H. M. A contact force model with hysteresis damping for impact analysis of multibody systems Text. / H. M. Lankarani, P. E. Nikravesh // Journal of Mechanical Design. — 1990. — Vol. 112. — P. 369-376.

125. Lee, T. W. On the dynamics of intermittent-motion mechanisms, Part 1: Dynamic model and response Text. / T. W. Lee, A. C. Wang // Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design. — 1983. — Vol. 105. — P. 534-540.

126. Leine, R. I. A set-valued force law for spatial Coulomb Contensou friction Text. / R. I. Leine, Ch. Glocker // Europian Journal of Mechanics A/Solids. — 2003. — Vol. 22, Iss 2. — P. 193-216.

127. Leine, R. I. Dynamics and bifurcations of non-smooth mechanical systems Text. / R. I. Leine, H. Nijmeijer. — Berlin Heidelberg - New York: Springer Verlag, 2004. — 236 p.

128. Lubich, C. Extrapolation integrators for constrained multibody systems Text. / C. Lubich // Impact on Computer Scicnce and Engineering. — 1991. — No. 3. — P. 213-234.

129. Mason, M. T. On the inconsistency of rigid-body frictional planar mechanics Text. / M. T. Mason, Y. Wang // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation, Philadelphia, USA, April 24—29, 1988, P. 524—528.

130. Mate, С. M. Tribology on the small scale. A bottom up approach to friction, lubrication, and wear Text. / С. M. Mate. — New-York: Oxford University Press, 2008. — 347 p.

131. Milne-Thomson, L. M. Elliptic integrals Text. /L. M. Milne-Thomson // Abramowitz, M., Stegun, I. A. (Eds.), Handbook of mathematical functions: with formulas, graphs, and mathematical tables. — New York: Dover Publications Inc., 1972. — 1045 p.

132. Mindlin, R. D. Compliance of elastic bodies in contact Text. / R. D. Min-dlin // Transactions of the ASME Journal of Applied Mechanics. — 1949. — Vol. 16, No. 3. — P. '259-268.

133. Modelica — a unified object-oriented language for physical systems modeling. Tutorial Text. — Modelica Association, 2000. — 52 p.

134. Mukherjee, A. Modelling and simulation of engineering systems through bondgraphs Text. / A. Mukherjee, R. Karmakar. — New Delhi: Narosa Publishing House, 2000.

135. Otter, M. Modeling of multibody systems with the object-oriented modeling language Dymola Text. / M. Otter, H. Elmqvist, F. E. Cellier // Nonlinear Dynamics. — 1996. — Vol. 9, No. 2. — P. 91-112.

136. Paynter, H. M. Analysis and design of engineering systems Text. / H. M. Paynter. — Cambridge: The M. I. T. Press, Massachusetts, 1961.

137. Persson, B. N. J. Elastic contact between randomly rough surfaces: comparison of theory with numerical results Text. / B. N. J. Persson, F. Bucher,

138. B. Chiaia // Physical Review B. — 2002. — Vol. 65, Iss. 18. — 184106. 7 p.

139. Petzold, L. R. A description of DASSL: A differential/algebraic equation solver Text. / L. R. Petzold // Stepleman, R. S. (Ed.), Scientific Computing. — Amsterdam: North Holland, 1983. — P. 65-68.

140. Pfeiffer, F. Multibody dynamics with unilateral contacts Text. / F. Pfeiffer,

141. C. Glocker. — New-York: John Wiley & Sons, 1996. — 331 p.

142. Ravn, P. A Continuous analysis method for planar multibody systems with joint clearance Text. / P. A. Ravn // Multibody System Dynamics. — 1998. — Vol. 2, No. 1. — P. 1-24.

143. Rooney, G. Т. Coulomb friction in mechanism sliding joints Text. / G. T. Rooney, P. Deravi // Mechanism and Machine Theory. — 1982. — Vol. 17, Iss. 3. — P. 207-211.

144. Schichlen, W. O. Multibody systems handbook Text. / W. O. Schiehlen. — Berlin Heidelberg - New-York - London - Paris - Tokyo - Hong Kong: Springer-Verlag, 1990.

145. Schwab, A. L. Dynamics of flexible multibody systems, small vibrations superimposed on a general rigid body motion Text.: PhD thesis / A. L. Schwab. — Delft, 2002. — 165 p.

146. Shampine, L. F. Computer solution of ordinary differential equations Text. / L. F. Shampine, M. K. Gordon. — San Francisco: Freeman, 1975.

147. Shapiro, A. Design and control of an autonomous spider-like robot for motion in 2D tunnels environments Text.: PhD thesis / A. Shapiro. — Haifa, 2003.

148. Shapiro, A. Frictional compliance model development and experiments for snake robot climbing Text. / A. Shapiro, A. Greenfield, H. Choset // Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation, Rome, Italy, April 10-14, 2007, 6 p.

149. Sinha, R. Modeling and simulation methods for design of engineering systems Text. / R. Sinha, C. J. J. Paredis, V-C. Liang, P. K. Khosla // Journal of Computing and Information Science in Engineering. — 2001. — Vol. 1, Iss. 1. — P. 84-91.

150. Stronge, W. J. Unraveling paradoxical theories for rigid body collisions Text. / W. J. Stronge // Journal of Applied Mechanics. — 1991. — Vol. 58, Iss. 4. — P. 1049-1055.

151. Thielemann, J. Optical 3D measurements aid pipeline inspection Text. / J. Thielemann, 0. Skotheim, A. Berge // SPIE Newsroom. — 2009. — 10.1117/2.1200903.1545. — 2 p.

152. Vil'ke, V. G. On computer implementation of the Hertz elastic contact model and its simplifications Text. / V. G. Vilke, I. I. Kosenko, E. B. Alek-sandrov // Regular and Chaotic Dynamics. — 2009. — Vol. 14, No. 6. — P. 693-714.

153. Wang, Y. T. Simulation of mechanical systems with multiple frictional contacts Text. / Y. T. Wang, V. Kumar // Journal of Mechanical Design. — 1994. — Vol. 116, Iss. 2. — P. 571-580.

154. Wensing, J. A. On the dynamics of ball bearings Text,.: PhD thesis / J. A. Wensing. — Enschede, 1998. — 183 p.

155. Wijnant, Y. H. Contact Dynamics in the field of elastohydrodynamic lubrication Text.: PhD thesis / Y. H. Wijnant. — Enschede, 1998. — 199 p.

156. Wriggers, P. Computational contact mechanics Text. / P. Wriggers. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. — 519 p.

157. Zienkiewicz, О. C. The finite element method for solid and structural mechanics, 6th edition Text. / О. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor. — Oxford: Butterworth Heinemann, 2005.

158. Zimmer, D. The Modelica multi-bond graph library Text. / D. Zimmer. F. E. Cellier // Proceedings of the 5tli International Modelica Conference, arsenal research, Vienna, Austria, September 4-5, 2006, P. 559—568.