автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математический метод и алгоритмы фрактального анализа динамики финансовых рынков

005012110

На правах рукописи

Неганова Елена Вячеславовна

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД И АЛГОРИТМЫ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДИНАМИКИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 [;:ДР 26 ¡2

Самара 2012

005012110

Работа выполнена на кафедре основ конструирования и технологий радиотехнических систем ФГОБУ ВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (ПГУТИ)

Научный руководитель:

Заслуженный работник высшей школы РФ, доктор физико-математических наук, профессор Валерий Владимирович Ивахник

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Блатов И.А. (Самара, ПГУТИ);

доктор физико-математических наук, профессор Потапов A.A. (Москва, ИРЭ)

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет»

Защита состоится 23 марта 2012 г. в 15.00 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу: 443011, г. Самара, ул. академика Павлова, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СамГУ Автореферат разослан « » февраля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.218.08

Зайцев В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена фрактальному анализу временных рядов применительно к экономике: цены на нефть и на драгоценные металлы; и выявлению корреляции между минутными и суточными колебания отношения Euro/USD.

Б. Мандельброт установил фрактальность экономики [JI.1]. Он ввёл фрактальную гипотезу рынка вместо гипотезы эффективного ранка (Efficient Market Hypothesis (ЕМН)) - парадигмы эконометрики. Фрактальность временных рядов, с помощью которых обычно устанавливают количественные меры практически для всех показателей рынка. Наиболее употребляемой количественной мерой фрактальных процессов является показатель Херста Н. Если НФ0.5, то временной ряд является фрактальным [JI.1]. Основная проблема определения динамики поведения временных финансовых рядов заключается в том, что показатель Хёрста, определяя зазубренности ряда в целом, требует большое количество измерений в разные моменты времени [JI.1, JI.2], Временной ряд, как правило, много раз меняет характер своего динамического поведения. Чтобы связать локальную динамику соответствующего процесса с фрактальной размерностью временного ряда, необходимо определить корреляционную размерность Dc ряда локально. В [Л.З] предложено определять локальную характеристику временного ряда с помощью его минимального покрытия (индекс фрактальности, позволяющий предсказывать тренды).

Показатель Хёрста на настоящий момент является единственной характеристикой «чёрного» шума - шума катастроф (в частности финансовых) [Л.2]. Для сравнения дисперсия шума, который возникает при катастрофе, равна бесконечности. Это ещё одно доказательство, что функция распределения вероятности доходности рынка является не гауссовой. В [Л.З] описана причина катастроф как быстрого и резкого изменения в

экономических системах - «самоорганизованная критичность». Катастрофы в сложных системах происходят не только вследствие внешних причин, но и вследствие того, что мелкие события, складываясь вместе, могут приводить к цепной реакции. Для иллюстрации самоорганизованной критичности используют метафору кучи песка, которая медленно насыпается сверху. Время от времени возникает ситуация, когда достаточно всего лишь одной песчинки, чтобы вызвать лавину. В [JI.4] на основе социальной имитации модели спиновых систем введена функция распределения вероятности доходности рынка, которая имеет принципиально не гауссову форму.

Известна реконструкция динамической системы по одновременным временным рядам [JI.5]. Фазовый портрет системы восстанавливается по скалярному временному ряду a(t), а в качестве недостающих координат используется тот же самый ряд, взятый с некоторым запаздыванием т, т.е. получается п - мерная реконструкция динамической системы. В результате имеем множество векторов [JI.5]:

{а(1),а(1 + т),...,а(1+(п-Щ ■ (1)

При этом п удовлетворяет условию теоремы Мане [JI.5]: п>2Л/+1, где М-ближайшее целое число к величине размерности системы, которую реконструируют, число п называют размерностью вложения. Для оценки размерности динамической системы часто используют корреляционную размерность

Dc=limlimln^^, (2)

где C(e,N) - корреляционный интеграл; е - размер ячейки разбиения фазового пространства; N - число точек, используемых для оценки размерности. Для определения Dc строят зависимость ln C(s,N) от tac и ищут на ней линейный участок, наклон которого и определяет искомое значение размерности. Кроме того, анализируется зависимость Dc от

размерности вложения. Если размерность динамической системы является конечной, то при увеличении п значение Ц. испытывает насыщение. Принципиальное отличие экономических систем от динамических систем, в частности рынка, заключается в том, что их поведение определяется гораздо большим числом независимых переменных. Однако экономика относится к сложным синергетическим системам, для которых справедлив принцип подчинения, т.е. большинство переменных подчинаяются нескольким, назовём их базовыми переменными, поэтому для синергетических сложных систем также справедливы основные закономерности динамических систем нескольких переменных [Л.6]. Исходя из таких соображений, представляется разумным обобщить реконструкцию динамических систем на экономику, где в качестве главных определены следующие задачи: определение фрактальной корреляционной размерности для экономических процессов и размерность пространства вложения, в котором будет анализироваться рынок.

Главной задачей исследований будем считать разработку математического метода анализа экономических процессов на основе реконструкции их поведения в псевдофазовом пространстве, подобно тому как это делается для динамических систем. В качестве базового метода предлагается использовать метод ложных ближайших соседей (ЛБС) [Л.7], кратко суть которого заключается в том, что определяется истинное число игроков показателей рынка, убирая мнимые (ложные), тем самым определяется количественная характеристика цены товара на рынке.

Цель работы — разработка математического метода и алгоритмов анализа одномерных фрактальных временных рядов, путём их реконструкции по аналогии с динамическими системами, выбор и модификация численных способов анализа, создание соответствующего комплекса программ, изучение динамики основных характеристик временных рядов, описывающую финансовую область экономики.

Основные задачи работы.

1. Применение метода ложных ближайших соседей (ЛБС) для анализа временных рядов как индикатора трендов цены (восходящих и нисходящих), построение алгоритма для данного метода.

2. Выявление степени корреляции между минутными и суточными колебаниями курса Euro/USD.

3. Фрактальный анализ динамики мировой цены на нефть и динамики цен на драгоценные металлы.

4. Создание комплекса программ для реализации численных способов решения поставленных задач.

5. Проведение вычислительных экспериментов с целью изучения основных свойств временных рядов для поставленных задач.

Методы исследований. Методами, положенными в основу проведенных исследований, являются:

- фрактальные меры временных рядов: показатель Хёрста и корреляционный интеграл;

— методы эконофизики, в частности, волатильность и катастрофы рынка анализируется с помощью нелинейной динамической модели рынка и принципа подчинения переменных синергетики - науки о самоорганизации.

Научная новизна работы.

1. Разработка модели финансового рынка, основанная на предположениях его фрактальности, синергетичности и долговременной памяти, позволяет переходить с помощью реконструкции исходного одномерного временного ряда в многомерное псевдофазовое пространство вложения, описывать его долговременную память, ценовые тренды и экономические катастрофы.

2. Экспериментальное (с помощью ЭВМ) обнаружение эффекта предсказания поведения динамики курса Euro/USD по его минутной динамике.

3. Результаты исследования финансовых, временных рядов, описывающих динамику цен на нефть и драгоценные металлы, с помощью метода ЛБС.

Достоверность результатов. Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждается:

- использованием обоснованной физической модели финансового рынка и апробированных математических методов решения поставленных задач;

- сравнением отдельных полученных результатов, в частности, анализ корреляции между фрактальными мерами ежедневных и ежеминутных значений отношения Euro/USD и фрактальном анализе динамики мировой цены на нефть с данными, приведенными в научной литературе [Л.8];

- совпадением расчетных данных показателя Хёрста, приведенным в работе, с результатами, полученными при использовании программы Fractan 4.4, разработанной в Лаборатории Обработки Данных Института Математических Проблем Биологии РАН (г. Пущино, Московской области) Сычёвым В.В. Получено совпадение показателей Херста для всех исследуемых временных рядов с погрешностью менее 0,5 %;

- для проверки вывода об использовании метода ЛБС в качестве флагов (согласно теории катастроф), предсказывающих тренды цен, метод ЛБС апробирован на известных (уже прошедших) трендах повышения и понижения цены на нефть.

Практическая ценность работы.

Разработанный метод анализа поведения финансовых временных рядов на основе метода ЛБС и проведенная реконструкция их поведения в псевдофазовом пространстве позволяет прогнозировать динамику различных курсов и цен. Создан комплекс программ для получения критериев, предсказывающих положительные и отрицательные тренды цен на мировую нефть и драгоценные металлы. Разработанные методы и алгоритмы могут быть применены для построения ценовой политики продаж.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Модель фрактального финансового рынка, которая с помощью фрактальных мер (показателя Хёрста и корреляционного интеграла), реконструкции одномерных финансовых временных рядов в псевдофазовое пространство и предположении, что рынок - синергетическая система, описывает свойства, недоступные для описания эконометрических моделей рынка: самоподобные свойства, долговременную память, экономические катастрофы.

2. Фрактальный анализ степени корреляции между средними ежеминутными и ежедневными значениями показателя Хёрста.

3. Результаты анализа динамики цен на нефть и драгоценные металлы на основе метода ЛБС к реконструкции временных рядов, описывающих динамику цен, в псевдофазовом пространстве.

4. Функция зависимости РЫ (Р - число ЛБС, м> - число отсчётов) от числа членов ряда и в методе ЛБС - индикатор тренда цены на товар.

Личный вклад автора. В совместных работах научному руководителю и к.т.н. Антипову О.И. принадлежит постановка задач и определение направлений исследований. Подробные проведения рассуждений, доказательств и расчётов принадлежит диссертанту.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на конференциях: IX Международная научно - техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов» - Миасс, сентябрь 2010; X Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов - Самара, сентябрь, 2011; конференция преподавателей и сотрудников ГОУ ВПО «ПГУТИ» 2011.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 4 статьи в журналах, включенных в перечень ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка использованных источников из 81 наименований и содержит 167 страниц текста, в том числе 51 рисунков.

Содержание работы

Во введении определена цель диссертационной работы, показана её актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе «Хаос и порядок на фрактальных рынках капитала»

описаны основные недостатки эконометрической модели эффективного

рынка (ЕМН). Во-первых, цены на эффективном рынке ведут себя

случайным образом, т.е. на рынке отсутствует какая-либо память. Для

описания ЕМН справедлива модель броуновского рынка. Во-вторых, если

нет внешних возмущений, то рынок находится в равновесии. Предложение

равно спросу. Возмущая рынок, экзогенные факторы выводят её из

равновесия. Система реагирует на возмущение и возвращается в равновесие

линейным образом. Рынок реагирует немедленно, поэтому она стремится

быть в равновесии линейным образом. «Эффективный рынок» - это такой

рынок, на котором все активы справедливо оцениваются с доступной

информацией, и как покупатели, так и продавцы не склонны к авантюрам. С

9

точки зрения здорового рынка - это волатильный рынок, а справедливые цены не являются необходимым его условием. В-третьих, эконометрика игнорирует время или, в лучшем случае, рассматривает его как переменную наравне с другими переменными модели линейной системы. Идея о том, что лишь одно какое-то событие может изменить будущее, чужда эконометрике. В нелинейных экономических системах может существовать обратная связь, которая принципиально не может быть в линейной системе. В-четвёртых, для рынка характерны свойства самоподобия, т.е. в меньших масштабах возможны повторения общего экономического процесса. Таким образом, рынок обладает свойствами фракталов, которые возникают только в нелинейных системах. Бенуа Мандельброт на основе невозможности прогнозирования ЕМН предложил новую гипотезу фрактального рынка как альтернативу ЕМН.

Дано определение фрактала как самоподобная форма, т.е. фрактальные временные ряды имеют одинаковый вид при разных масштабах времени (раздел 1.4). Для оценки временных рядов вводится показатель Хёрста Н, который определяется из соотношения R/S = (aNf, где R/S - нормированный размах, N - число слагаемых ряда, а - константа. Мандельброт показал, что величина, обратная Н, есть фрактальная размерность. Если //=0,5, то ряд является случайным. При 0,5<//<1 ряд называется персистентным или трендоустойчивым, а при 0,5>//>0 - антиперсистентным.

Дана классификация фрактальных шумов на основе однородного степенного закона: f(x) = cx", где с и а - постоянные. В зависимости от значения а существует следующая классификация: а = 0 - белый шум; а=-1 - розовый шум; а =-2 - коричневый шум; а =-3 - чёрный шум. Для каждого шума показательно своё значение показателя Хёрста. Например, для чёрного шума, который ещё называют шумом катастрофы, показатель Хёрста лежит в интервале 0,75<#<1, т.е. имеет большое значение.

ю

Динамику почти всех финансовых фрактальных рядов определяют с помощью показателя Хёрста Н. Определяя степень зазубренности ряда в целом, для его определения необходим очень длинный ряд [Л.1, Л.2].

В этой же главе описана запись ценовых рядов с использованием «японских свечей».

Первая часть второй главы «Фрактальный анализ и прогнозирование волатильности финансовых временных рядов с помощью показателя Хёрста. Эконофизика» посвящена методам и моделям прогнозирования поведения финансовых рядов. Поскольку реально экономические системы, как показано в 1 главе, являются нелинейными хаотическими (фрактальными) системами, известно, что катастрофы в нелинейных динамических системах описывается с помощью бифуркаций - кризисов, причём под катастрофой в дальнейшем будем понимать резкое (скачкообразное) изменение состояния системы [Л.5]. Типичная катастрофа системы — переход системы из детерминированного состояния в хаотическое [Л.6]. С учётом того, что для сложных синергетических систем, к которым относится и экономика, справедлив принцип подчинения для их переменных, делается вывод о том, что основные результаты, справедливые для динамических (нескольких переменных) систем, справедливы и для них (систем с большим числом переменных). Согласно «самоорганизованной критичности», катастрофы в сложных системах происходят не только вследствие внешних причин, но и вследствие того, что мелкие события, складываясь вместе, могут приводить к цепной реакции [Л.З]. Теория «самоорганизованной критичности» была применена к фондовому рынку, в которой все действующие на этом рынке агенты были разделены на рациональных инвесторов (агентов, которые покупают и продают акции исходя из разницы между котировкой акции и «справедливой» ценой) и шумовых трейдеров (агентов, которые следуют тренду, чтобы извлечь прибыль благодаря краткосрочным изменениям на рынке). Большую часть времени число первых и вторых сбалансировано.

Однако когда цены начинают расти, увеличивается число рациональных инвесторов, желающих продать акции и уйти с рынка. На их место приходит все большее число шумовых трейдеров, которых привлекают растущие цены. Таким образом, резко возрастает относительное число шумовых трейдеров. Это приводит к сильному росту цен, образованию «пузырей» и последующим обвалам.

Описан метод анализа фрактальных временных рядов одной переменной (раздел 2.7). Вначале ряд на основе его тренда разбивают на отдельные участки, на каждом из которых локальный показатель фрактальности примерно постоянен. Фрактальная размерность, является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы. Существенным моментом этого подхода является наличие критического значения фрактальной размерности временной кривой, при приближении к которому система теряет устойчивость и переходит в нестабильное состояние и параметры быстро либо возрастает, либо убывает, в зависимости от тенденции, имеющей место в данное время. Фрактальная размерность определенной величины может использоваться как индикатор кризиса или "флаг" катастрофы.

На примере поведения курса €/$ за период с 29.03.2004 г. по 30.12.2008 г. показано, что показатели Херста среднего значения суточного отношения €/$ и среднего значения минутного колебания курса имеют примерно одинаковые значения (0,964648 и 0,965082 соответственно), что говорит о том, что по ежеминутному поведению курса €/$ можно делать прогноз по ежедневному поведению курса (раздел 2.8).

В главе 3 «Определение фрактальных мер финансового рынка по одномерному временному ряду» описан метод Грассбергера - Прокаччиа

корреляционной размерности Dc и размерности пространства вложения т для временных рядов. Метод основан на расчёте корреляционного интеграла:

= рь-\х' -' * (3)

где N— количество точек аттрактора, |х, - Xу| - абсолютное расстояние между

/ - ой и j - ой точками аттрактора в т - мерном пространстве, е - размер разрешающей ячейки, в{ ) - функция Хевисайда. По сути говоря, Ce(e,N) -зависимость количества точек аттрактора в т — мерном пространстве, расстояние между которыми меньше заданной величины, от размера разрешающей ячейки отнесенная к полному количеству пар точек. Зависимости Ce(e,N) откладываются в двойном логарифмическом масштабе на плоскости (теоретически логарифм может быть по любому основанию, но для наглядности лучше брать по основанию 10). Затем, выделяют линейные участки отложенных кривых, и по методу наименьших квадратов производят поиск аппроксимирующих их прямых. Для всех полученных кривых Ce(e,N) вычисляют первую производную от аппроксимирующих их прямых Dc и откладывают её как функцию от т. На полученном графике ищут точку, когда зависимость Dc (т) достигнет насыщения. Значение т точки насыщения будет соответствовать независимой оценке размерности пространства вложения, а значение Dc будет соответствовать корреляционной размерности исследуемого псевдофазового аттрактора, восстановленного из исследуемого ряда. Согласно теореме Такенса, эти характеристики отражают соответствующие значения динамической системы, породившей исследуемый ряд.

Проведен анализ корреляций между корреляционными интегралами Се отношения Euro/USD на разных временных интервалах (раздел 3.3). Были сделаны следующие выводы: установлено, что спектр мощности ежеминутных колебаний отношения €/$ аппроксимируются степенной функцией ~ 1//2, что представляет фрактальный «коричневый» шум [JI.2].

13

Спектр мощности ежеминутных колебаний значений корреляционного интеграла (мощности) аппроксимируется степенной функцией ~ 1//, что представляет фрактальный «розовый» шум (или фликкер - шум); по методу ЛБС с помощью корреляционного интеграла определена корреляционная размерность временного ряда для ежедневных колебаний курса €/$: Д. =4.07, что с учётом шума даёт неплохую сходимость с результатом работы [Л.8]: £>с=3.7±0.7 для фьючерса на отношение €/$. По ежеминутным значениям €/$ нельзя сделать вывод о размерности пространства вложения аттрактора, восстановленного с помощью ряда.

Для фрактального анализа динамики мировой цены на нефть использовалась стандартная нормировка, согласно которой нормированное значение любой цены на нефть заключалась в пределы [0, 1]. По методу Грассбергера - Прокаччиа оценена размерность пространства вложения, корректно описывающую аттрактор в реконструированном псевдофазовом пространстве [Л.9]. Для временного ряда значений цен нефти-сырца были получены следующие результаты: размерность пространства вложения тс =31, а корреляционная размерность - йс =2,91299. Эти результаты оценены с помощью оценки Экмана - Рюэля [Л.7]: Ос<2\%Ы, где N - длина исследуемого ряда, Д. - корреляционная размерность этого ряда. Максимальная общая длина ряда И, гарантирующая надежное измерение корреляционной размерности Ос, оказалась равна 6, и следовательно, с точки зрения длины ряда, полученному значению Ос =2.91299 вполне можно доверять.

Далее для анализа временных рядов, характеризующих нормированную цену на нефть-сырец, использовался метод ЛБС как индикатор возникновения трендов цен на нефть. Для этого строилась зависимость количество ЛБС Р, отнесённые к общей длине ряда N от размерности пространства вложения т. Было показано, что в псевдопространстве с размерностью более чем 13, ложные соседи практически отсутствуют.

14

Поскольку отношение Р к длине ряда N при переходе из двумерного псевдофазового пространства (т=2) в трёхмерное (от=3) определяет «скорость» сворачивания аттрактора в пространство вложения, т.е. при таком переходе определяется наименьшее число факторов (назовём их количеством игроков на рынке энергоносителей), влияющих на цену. Вычисления проводились по следующей схеме. Задавалось окно w - количество отсчётов временного ряда, предшествующих дню, для которого вычислялось значение P/N при N=w. В процессе исследования длина окна w (длина ряда N) варьировалась от 60 до 120 дней. Оказалось оптимальным, с точки зрения результатов, значением окна w=90 при значении порога R, е(5;6)[Л.7]. При изменении параметров w и R, в пределах 60<w<120 и 2<Ä,<10 картина результатов не очень сильно менялась. Строились величина P/w для каждого п дня ряда за весь наблюдаемый период: (Р/w)„ =-£(/>/w)■

'"и 1

ближайших соседей Р отнесенной к длине окна w с соответствующими значениями

фьючерсной цены нефти-сырца ВС Получена интересная закономерность: как только проходит экстремум минимального значения отношения, предполагается длительный тренд, связанный с понижением цены на энергоноситель (см. рисунок). И наоборот, попадание зависимости Р/м от и в область выше границы <Р/\ч>+о, где а -дисперсия цены, свидетельствует о том, что в ближайшее время будет

наблюдаться длительный тренд, связанный с повышением цены на энергоноситель.

Аналогичным образом в разделе 3.5 анализировались динамики цен на драгоценные металлы.

В заключении сделаны соответствующие выводы, сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

Основные результаты работы

1. Предложена физическая модель финансового рынка:

- исходные данные для изучения динамики финансового рынка и составления прогноза на будущее в виде одномерного временного ряда;

- рынок фракталей, для которого справедливы самоподобные свойства;

- рынок - синергетическая система, для которой справедлив принцип подчинения переменных;

- для исходного временного ряда возможна реконструкция, аналогична той, которая проводится для динамической системы, т.е. переход в многомерное пространство, размерность которого определяется с помощью целой части фрактальной корреляционной размерности + 1.

2. На основе физической модели по п.1 финансового рынка разработана его математическая модель:

- долговременная память рынка оценивается с помощью показателя Херста Н (0<Н< 1), рассчитываемого для исходного временного ряда;

- проводится реконструкция исходного временного ряда в пространство вложения, размерность и корреляционная размерность которого определяется по методу Грассбергера - Прокаччиа;

- к реконструированным рядам для определения ценовых трендов применяется метод ЛБС как их индикатор;

- для описания экономических катастроф используются «чёрные»,

фрактальные шумы, в этом случае показатель Херста временного ряда лежит

в пределах: 0,8<Н<1, экономическая система переходит из

детерминированного состояния в хаотическое, что согласуется с

16

«самоорганизованной критичностью» в экономических системах (метафора кучи песка).

3. Обосновано, что физическая и математическая модели финансового рынка описывают свойства, недоступные для описания эконометрических моделей рынка: самоподобные свойства, долговременную память, экономические катастрофы.

4. На основе близких значений средних ежеминутных и ежедневных значений показателя Херста для курса Euro/USD (Н= 1,02116 и Н=0,964648 соответственно) сделан вывод, что по ежеминутному поведению курса Euro/USD можно делать прогноз его ежедневного поведения.

5. Для анализа динамики цен на нефть и драгоценные металлы с помощью ЛБС получены условия (закономерности), свидетельствующие о скорой смене динамики рынка продаж энергоресурсов и драгоценных металлов на основе данных о предыдущих значениях цен на каждый конкретный товар.

6. На основе метода ЛБС в среде Mathematica 6.0 составлены и отлажены программы определения начала трендов мировых цен на нефть (нефть -сырец, отопительная нефть) и драгоценные металлы (золото, серебро, палладий).

Список работ, опубликованных по теме диссертации

Статьи в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий

1. Антипов О.И., Добрянин A.B., Неганов В.А., Неганова Е.В. Фрактальный анализ динамики цен на нефть // Научно - информационный журнал «Экономические науки». - Москва. -2010. -№ 5(66). - С.260 -267.

2. Антипов О.И., Неганова Е.В. Анализ корреляции между фрактальными мерами ежедневных и ежеминутных значений отношения Euro/USD // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -Самара. - 2010. - № 4(13). - С.96 - 101.

17

3. Неганов В.А., Антипов О.И., Неганова Е.В. Фрактальный анализ временных рядов, описывающих качественное преобразование систем, включая катастрофы // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2011. - № 1 (14). - С. 105 - 110.

4. Антипов О.И., Ивахник В.В., Неганова Е.В., Неганов В.А. Фрактальный анализ динамики цен на драгоценные металлы // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2011. - № 2 (11). - С. 110 -116.

Статьи и тезисы в других журналах и изданиях

5. Антипов О.И., Неганова Е.В. Метод фрактального анализа рынка драгоценных металлов // Тезис докладов X Международной н/т конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». - Самара, 2011. — С. 270-271.

6. Антипов О.И., Неганова Е.В. Фрактальный анализ ежедневных и ежеминутных значений отношения EUR/USD // Тезисы докладов X Международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций». — Самара. —2009. С. 2.

7. Антипов О.И., Неганова Е.В. Сравнение результатов применения фрактального анализа к рынку драгметаллов и к рынку фьючерсов на нефть // Тезисы докладов X Международной н/т конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». - Самара, 2011. - С. 273 - 274.

8. Антипов О.И., Неганова Е.В. Фрактальный анализ динамики цен на энергоносители // Материалы IX Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». -Челябинск. - 2010. - с.215.

Список цитируемых источников

JI.1. Бенуа Мандельброт, Ричард JI. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах, The Misbehavior of Markets — M.: «Вильяме», 2006. — С. 400.

JI.2. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы/ М. Шредер. - М: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 528 с.

Л.З. Дубовиков М.М., Старченко Н.В. Эконофизика и анализ финансовых временных рядов. «Эконофизика. Современная физика в поисках экономической теории» / Под. ред. В.В. Харитонова и A.A. Ежова. -М.:МИФИ, 2007. С.244-293.

Л.4. Яновский Л.П. Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики. /Л.П. Яновский, Д.А. Филатов // Научно-практический и аналитический журнал: «Финансы и кредит» № 32 (200) -2005 ноябрь.

Л.5. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 544 с.

Л.6. Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. -423 с.

Л.7. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. - 320с.

Л.8. Ширяев В.И. Финансовые рынки: Нейронные сети, хаос и нелинейная динамика: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 232 с.

Л.9. Головко В.А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов // VII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика 2005»: Лекции по нейроинформатике. -М.:МИФИ, 2005, С.43-91.

Подписано в печать 26.12.2011 г. Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Бумага офсетная.

Усл.-печ. л. 0,99. Уч.-изд. л. 0,81. Тираж 100 экз. Заказ №2135