автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели риска и случайного притока взносов в страховании

На правахрукописи

Темпов Григорий Олегович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РИСКА И СЛУЧАЙНОГО ПРИТОКА ВЗНОСОВ В СТРАХОВАНИИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Клебанов Лев Борисович

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Белопольская Яна Исаевна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Королев Виктор Юрьевич;

кандидат физико-математических наук, доцент Солев Валентин Николаевич

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения Российской Академии Наук

Защита состоится "26" марта 2004 г. в 15 ч 00 мин на заседании диссертационного совета К212.223.01 при Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан февраля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Фролькис В. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы диссертации. История теории страхования восходит к началу XVIII века; ее возникновение принято связывать с именем Эдуарда Ллойда, владельца кофейни в Лондоне, пришедшего к идее страхования транспортных рисков в морских перевозках. Сейчас страхование -неотъемлемая часть мировой экономики, всемирная индустрия, доходы которой непрерывно растут. Роль страхования огромна и область его распространения постоянно увеличивается. Идея страхования основана на учете случайностей, и это связывает его с такими разделами математики как теория вероятностей и математическая статистика.

Слияние методов из различных теорий привело к созданию новой ветви науки, называемой страховой математикой. Из множества областей страховой математики можно выделить такие разделы как теория риска, личное страхование, платежеспособность, пенсионные фонды, модели выживания и распределения потерь и другие. Каждой из этих областей посвящено множество научных материалов, так что теоретическая база страховой математики весьма обширна.

Исследования настоящей работы находятся в основном в сфере теории риска. В этой теории основным объектом исследования является модель случайного процесса, генерирующего случайные выплаты по портфелю страховых полисов. При этом исследователя интересует прежде всего изменение объема портфеля в целом, а не индивидуальные полисы в отдельности. Причем наибольший интерес представляет вероятностное распределение, характеризующее возможность для такого процесса пересечь некоторый критический уровень текущего капитала, - вероятность разорения.

Основателем теории риска считается Ф. Лундберг. В своих классических работах (1903,1926) он первым рассмотрел задачу об оценке вероятности разорения. Основы теории риска как математической теории были сформулированы X. Крамером. Дальнейшие шаги в развитии теории были сделаны X. Гербером, С. Несбиттом, Дж. Бекманом, П. Эмбрехтсом и многими другими. Имеется ряд достаточно полных обзоров результатов теории риска, например, книги X. Бельманна (1970), Дж. Гранделла (1990) и другие. Для изучения теории риска был задействован целый ряд специальных методов теории вероятностей: мартингальный подход, теория марковских процессов, теория "геометрического суммирования" случайных величин и др. Использование этих методов позволило продвинуться в изучении асимптотического поведения вероятностей разорения, разработке методов одностороннего и двухстороннего оценивания вероятностей разорения, построении нестандартных моделей риска.

В монографии В. В. Калашникова (1991) подробно изложены основы теории риска, касающиеся главным его обобщений, и описаны методы

3

СаПстср^

03 5«

ш.

пия. Исследования проблемы оценивания вероятности разорения были продолжены в работах В. Ю. Королева и В. Е. Бенинга (1990-е годы и далее), в которых было уделено внимание построению практически применимых точечных и интервальных оценок вероятности разорения для классического процесса риска и его обобщений.

В настоящее время теория риска все еще находится в стадии интенсивного развития, к удовлетворению ее исследователей, и, возможно, к сожалению потенциальных ее потребителей, заинтересованных в возможности наискорейшего использования результатов теории. Актуальность проблем, связанных с теориек риска, вызвана ростом популярности страхового дела в мире; в последнее десятилетие теория страхования начала развиваться и в России.

Строящиеся в теории риска математические модели предназначены для описания реальных процессов изменения капитала, происходящих внутри финансовых структур. Классический процесс риска как базовая модель теории риска получил широкое применение для описания деятельности страховых компаний в развитых странах со стабильной экономикой. Однако эта модель содержит допущение, существенно ограничивающее область ее применения, - линейность притока страхового капитала. Очевидный интерес представляет более общая модель, учитывающая стохастический характер притока капитала в страховую компанию. Первые шаги по исследованию этой модели уже были сделаны (Л. В. Бойков. Стохастические модели капитала страховой компании и оценивание вероятности неразорения: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. -М.: Математический Институт им. В. А. Стеклова РАН, 2003. - 80 с), но изучались в основном асимптотические представления для вероятности разорения (без вывода явного представления вероятности разорения и без подробного анализа результатов численного моделирования).

Цель работы - исследовать модель риска, обобщающую классический процесс риска за счет учета случайности притока страхового капитала {про-цессриска со случайным притоком), в частности, получить явное представление для вероятности разорения, построить алгоритм расчета и численного моделирования вероятности разорения и проверить построенную теорию с помощью компьютерного моделирования. Чтобы исследование было более полным, требовалось сначала проанализировать результаты изучения классического процесса риска и построить практически применимый алгоритм вычисления вероятности разорения для него.

Основные задачи. В процессе исследования были решены следующие задачи:

1. Разработан практически применимый алгоритм расчета вероятности разорения для классического процесса риска на основании случайной выборки величин страховых выплат.

2, Иб'ЛУЗеНо явнЬе представление вероятности разорения для процесса

риска со случайным притоком.

3. Построен алгоритм моделирования и вычисления вероятности разорения для процесса риска со случайным притоком.

4. Произведен сравнительный анализ вероятностей разорения, соответствующих классической модели и модели со случайным притоком с одинаковыми страховыми надбавками.

Методика исследований. Основными инструментами исследований являются теория уравнений типа свертки, теория случайных блужданий с элементами теории восстановления, преобразование Фурье, теория вероятностных метрик. Численное моделирование было реализовано посредством пакета Mathcad Professional 2000; для компьютерного моделирования процессов риска и расчета вероятности разорения применены методы вычислений (численные интегрирование и дифференцирование, методы точечного интерполирования, быстрое преобразование Фурье и другие). Кроме того, для анализа точности вычислений использованы классические методы оценивания вычислительных ошибок.

Научная новизна. Впервые получено явное представление вероятности разорения процесса риска со случайным притоком. Показано, что классический процесс риска является частным случаем процесса со случайным притоком и получается из последнего предельным переходом. Впервые произведено сравнение двух моделей как на качественном уровне посредством оценок метрических расстояний между соответствующими вероятностями разорения, так и численно с помощью моделирования. Наконец, впервые разработаны и детально изложены алгоритмы вычисления вероятностей разорения для классического процесса риска и для процесса со случайным притоком, основанные на методе Фурье. Кроме того, произведено компьютерное моделирование двух исследованных моделей процессов риска, и соответствующие результаты экспериментальных оценок вероятностей разорения сопо-' ставлены с результатами применения явных формул для вероятности разорения.

Достоверность результатов диссертации определяется строгостью использованного математического аппарата и подтверждается сравнительным анализом результатов применения полученных явных формул с данными численного моделирования вероятностей разорения процессов риска. Все теоремы снабжены полными доказательствами.

Практическая ценность работы. Исследованная в диссертации модель процесса риска является более гибкой с точки зрения возможности практического применения, чем классический процесс риска, поскольку позволяет учесть стохастический характер притока страховых премий. Если классическая модель эффективна для моделирования страховых процессов в странах с хорошо развитой и стабильной экономикой, то модель со случайным притоком имеет перспективы практического применения в странах с развивающейся экономической системой.

Положения, выносимые на защиту.

• Явное аналитическое представление вероятности разорения для процесса риска со случайным притоком, представляющее собой цепочку из трех соотношений, выражающую функцию вероятности разорения через известные распределения величин взносов и выплат, справедливое при всех значениях начального капитала.

• Алгоритмы вычисления вероятности разорения: для классического процесса риска (на основании случайной выборки величин страховых выплат) и для процесса риска со случайным притоком (посредством применения полученных аналитических соотношений).

• Сравнительный анализ классического процесса риска и процесса риска со случайным притоком в терминах вероятности разорения как на качественном уровне, так и количественно, показавший, что вероятность разорения при нулевом начальном капитале для классического процесса риска больше, чем для процесса риска со случайным притоком (при одинаковых страховых надбавках и распределениях выплат). Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

на заседаниях кафедры Прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета; на 59-61-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров, аспирантов и студентов СПбГАСУ (20022004 гг.); на 56-й международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов в СПбГАСУ (октябрь 2003 г.); на семинаре "Теория риска и смежные проблемы" факультета ВМиК МГУ (ноябрь 2003 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 4 статьи и 3 тезиса докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 49 наименований. Общий объем диссертации составляет 102 страницы, включая 7 рисунков и одну таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении освещается история теории страхования, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основные задачи и цели работы и приводится ее краткое содержание.

Первая глава посвящена обзору результатов исследований классического процесса риска и изложению алгоритма вычисления вероятности разорения; глава начинается с описания классического процесса риска.

Классический процесс риска принято описывать с помощью соотношения для текущего капитала страховой компании ^/(0-

При этом,

• г ^ 0 мльный капитал страховой компании;

• с > 0 - ставка страхового взноса, определяющая скорость притока страхового капитала от клиентов компании;

• - страховые выплаты, представляющие собой независимые одинаково распределенные случайные величины (н.о.р.св.)» неотрицательные, с функцией распределения (ф.р.) Рх{х) и математическим ожиданием ах\

• ЛТ^) - пуассоновский процесс с интенсивностью I,, определяющий количество страховых выплат до момента времени I.

Св. {Л^}^! и процесс,п>едполагаются независимыми между собой.

Вероятность разорения классического процесса риска (равно как и любого процесса риска с изменяющимся стечением временем капиталом Щ1)) является функцией начального капитала г, и определяется как

Ч'(г) = Р(г + М Щ)< 0)

ОН <оо

(2)

а вероятность выживания

Известно, что вероятность разорения для классического процесса риска можно представить в виде формулы

(3)

и при дт<0. ЗдеЛсь Рхк - л-кратная свертка функции Рхк с собой:

функция распределения с единственным

единичным скачком в нуле. Соотношение (3) называют формулой Поллачека-Хинчина.

Важной характеристикой процесса риска является относительная страховая надбавка, для классической модели определяемая как

(4)

Если относительная страховая надбавка положительна, то выполняется так называемоеусловие неразорения в среднем:

с>Х1ах 7

Далее в первой главе рассматриваются различные модификации классического процесса риска - такие, как модель Спарре Андерсена и модель с процессом Кокса (обобщенный процесс риска), которые позволяют расширить область его применения путем учета флуктуации процесса страховых взносов. Помимо этого, приводится обзор асимптотических оценок и аппроксимаций вероятности разорения для различных типов распределений страховых выплат (теорема Крамера-Лундберга, случай тяжелых хвостов распределений выплат, аппроксимация моделью с экспоненциальным распределением выплат).

Завершает первую главу параграф, посвященный практическому использованию формулы Поллачека-Хинчина (3). Поскольку операция вычисления свертки трудоемка с точки зрения затрат машинного времени, а для к-кратных сверток объем вычислений возрастает пропорционально их кратности, представляет интерес построение алгоритма, который позволил бы упростить комплекс численных процедур. Изложенный в настоящей работе алгоритм опирается на метод Фурье. Применение к обеим частям (3) преобразования Фурье дает возможность избежать непосредственного вычисления сверток путем перехода к характеристическим функциям

(5)

Вычисление значений последнего выражения не представляет трудностей, а после применения к (5) процедуры обратного преобразования Фурье получается искомая оценка вероятности выживания. В первой главе приводится подробное изложение алгоритма вычисления указанным способом для случайной выборки величин выплат в качестве исходных данных (явный аналитический вид ф.р. Рх(х) считается при этом неизвестным). Далее приводятся результаты применения разработанного алгоритма к искусственно полученной с помощью компьютерного моделирования выборке случайных величин, имеющих смысл страховых выплат. Моделирование производилось с известной функцией распределения, вид которой удобен для получения аналитического выражения для вероятности разорения с помощью формулы Поллачека-Хинчина. Это дало возможность произвести непосредственное сравнение аналитических результатов с результатами вычислений вероятности разорения, произведенных с помощью алгоритма. Кроме того, была произведена аналитическая оценка вычислительной ошибки предложенного алгоритма. Сравнение аналитических и численных результатов показало хорошую точность работы алгоритма при сравнительно небольших затратах машинного времени (при условии достаточного объема выборки). Теоретические оценки точности алгоритма согласуются с соответствующими экспериментальными оценками.

Во второй главе вводится понятие процесса риска со случайным притоком страховых взносов и строится соответствующая теория. Основная идея состоит в переходе от классического процесса риска к его обобщению путем замены линейного процесса страховых взносов на случайный процесс, что позволяет значительно расширить рамки применения модели:

//,(') //,(0 1=1 у-1

(6)

Мы полагаем, что

• процесс страховых выплат определен так же, как и в классической модели,1

• независимые одинаково распределенные неотрицательные величины

с Ф-Р- бгОО и математическим ожиданием Ьг соответствуют величинам страховых взносов,

• - однородный пуассоновский процесс с интенсивностью Хг определяющий количество страховых взносов до момента времени /,

• случайные величины {У)} и процессЛ^*) независимы между собой и не зависят ни от св. , ни от

Для этой модели относительная страховая надбавка

а условие неразорения в среднем г.вштитг.я к неравенству:

Далее во второй главе изложен вывод явного представления вероятности разорения процесса риска со случайным притоком через распределения и параметры процессов страховых взносов и выплат. В отличии от классической модели, это представление не удается свести к одной формуле; оно состоит из цепочки соотношений:

где - функция вероятностного распределения, характеристическая функция

которого определяется

соотношением

1п-

(8)

1-(1 ~Ч)Ш ""'"о*

q = ] _ ф(з) - вероятность выживания при нулевом начальном капитале, и - ф-р, определяемая соотношением

м

Показано, что в терминах характеристических функций ^^, соответствующих распределению (9), классический процесс риска является предельным случаем процесса (6) при

Далее во второй главе теория Крамера-Лундберга, позволяющая получить асимптотические оценки вероятности разорения при , распространяется на процесс риска со случайным притоком. Показано, что оценка

Ут-Кпе-«*, оо, (10)

имеющая место для классического процесса риска, справедлива и для процесса риска со случайным притоком, при условии существования коэффициента Лундберга R, определяемого из уравнения

1

о

Коэффициент Кц в оценке (10) определяется формулой

(1 -д)Х-ал'

(И)

(12)

где

а; = Лад.

(13)

и

Процесс (6), помимо модели страховой компании, может быть использован, например, как модель пункта обмена валют или игры на бирже. Из-за независимости процессов взносов и выплат такие трактовки даже более приближены к реальности, чем страховая модель.

Для придания процессу риска со случайным притоком большей гибкости как страховой модели далее во второй главе строятся его модификации. В рамках этой задачи мы рассматриваем ряд обобщений процесса вида (6), последовательно полагая, что:

• Л^/) и - не однородные пуассоновские процс, а процессы Кокса, т.е. ЛГ,(0 = Л/^Л,«)) и И2(1) = АОДО) где Л,(0 и Л^/) - случайные процессы с неубывающими траекториями, - однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью (причем про ьЛ,(<) и Л^/) в этой модели считаются взаимно зависимыми),

• процессы //,(/) и Л^/) - не пуассоновские, а процессы восстановления,

• появляется возмущение процесса (6) диффузией.

В заключение второй главы алгоритм вычисления вероятности выживания, опирающийся на метод Фурье, разработанный в первой главе для

классического процесса риска, обобщается на процесс риска со случайным притоком. Приводятся результаты моделирования процессов риска, производятся сравнения результатов вычисления вероятности выживания через аналитические представления с эмпирическими данными, полученными посредством искусственного моделирования процессов риска. Пример такого сравнения представлен на рис. I.

0.25 т

0.2 ^

0 10 20 30 40 50 60 70

РИ

Рис.1. Оценки плотности вероятности выживания, основанные на теоретически расчетах (сплошная линия), и полученные моделированием (символы).

В третьей главе сравниваются две модели - классическая и модель со случайным притоком. Анализируется поведение разности вероятностей выживания при нулевом начальном капитале, соответствующих двум процессам, в предположении, что относительные страховые надбавки одинаковы. Интенсивность взносов в модели со случайным притоком -основной параметр, определяющий степень различия моделей в терминах д: ^-^^.(сД, Д2)), (14)

где бЬ - логарифмический синус, и

а С, - коэффициенты, зависящие от параметров си X, и не зависящие отХ,. Из (14) и (15) следует существование предельного перехода

Я~*ЧсI ПРИ

подтверждающего вывод о том, что классическая модель является частным случаем модели со случайным притоком.

11

Отдельно исследуется вопрос о том, какой из двух моделей соответствует большая вероятность разорения при условии одинаковых страховых надбавок и процессов страховых выплат. Результаты численного моделирования подтверждают справедливость неравенства

Яс1>Я>

которое в частном случае экспоненциальных распределений выплат и взносов удается получить явно. При моделировании сравнивались вероятности разорения для классической модели и для процесса риска со случайным притоком; для последнего рассматривались следующие варианты плотностей распределений величин взносов:

- вырожденная плотность,

- степенная плотность,

- устойчивая плотность,

- экспоненциальная плотность,

- гамма-плотность.

По величине вероятности разорения к классической модели наиболее близким оказался случай вырожденного распределения взносов.

В заключение третьей главы приводятся результаты сравнения оценок плотности вероятности выживания для классического процесса риска и для модели со случайным притоком при условии одинаковых страховых надбавок (см. рис. 2)._

г

Рис. 2. Оценки плотности вероятности выживания для классического процесса риска (тонкая линия) и процесса со случайным притоком (жирная линия).

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан алгоритм численного оценивания вероятности разорения классического процесса риска, основанный на применении преобразования Фурье; приведены результаты оценок распределений вероятности разорения, полученные путем применения предложенного алгоритма к случайной выборке величин страховых взносов, сгенерированной с помощью компьютерного моделирования. Эффективность предложенного алгоритма проанализирована с помощью теоретических оценок вычислительных ошибок, возникающих при его применении, а также путем сравнения результатов его применения с точными аналитическими оценками вероятности разорения. Кроме того, проанализированы известные результаты теоретических исследований классического процесса риска, его обобщений и аппроксимаций вероятности разорения.

2. Произведено исследование модели процессариска со случайным притоком страховых взносов, являющейся обобщением классической модели. Для процесса со случайным притоком получено явное представление вероятности разорения, состоящее из трех соотношений, - более общий вариант формулы Поллачека-Хинчина.

3. Проведено дальнейшее изучение процесса риска со случайным притоком, включающее в себя

• дополнение исследовавшейся ранее другими авторами теории Краме-ра-Лундберга для этой модели, служащей для построения аппроксимаций вероятности разорения при больших значениях начального капитала,

• анализ ряда частных случаев предложенной модели: экспоненциальные и вырожденные распределения размеров выплат и взносов.

Изучен ряд обобщений модели со случайным притоком:

• с использованием процессов Кокса в качестве процессов, определяющих число выплат и число взносов в единицу времени (N,(0 и Л^*)),

• с процессами восстановления в качестве процессовЛ^(0 И

• с учетом возмущения исходного процесса диффузией.

Для предложенных обобщений процесса риска со случайным притоком получены явные представления вероятности разорения (в случаях, где это возможно) и проанализированы аппроксимационные формулы для вероятности разорения (в остальных случаях).

4. Разработан алгоритм численного оценивания вероятности разорения

для процесса риска со случайным притоком. Эффективность применения предложенного алгоритма проверена непосредственным сравнением вычисленных с помощью алгоритма плотностей распределения вероятности разорения с соответствующими эмпирическими оценками, полученными с помощью компьютерного моделирования.

Произведен сравнительный анализ двух моделей: классического процесса риска и процесса риска со случайным притоком. Помимо теоретических оценок метрических расстояний между вероятностями разорения для двух моделей, произведено численное сравнение соответствующих вероятностей разорения. Показано, что вероятность разорения при нулевом начальном капитале для процесса риска со случайным притоком больше, чем в классическом случае при одинаковых страховых надбавках.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Г. О. Темнов. Расчет вероятности разорения для классического процесса риска // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат, сб. тр. / С.-Петерб. гос. архитек-тур.-сгроит. ун-т. - СПб., 2002. - Вып. 8. - С. 146-157.

2. Г. О. Темнов. Исследование классического процесса риска; разработка и обобщение моделей риска // Доклады 59-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ. / С.-Петерб. гос. архитектур.-строит. ун-т. - СПб., -2002.- 4.1.-С. 79-81.

3. Г. О. Темнов. Модели случайных процессов в теории страхования // Доклады 60-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ. /С.-Петерб. гос. архитектур.-строит. ун-т. - СПб., - 2003. - Ч. I. - С. 103-105.

4. Г. О. Темнов. Сравнительный анализ моделей риска // Доклады 56-й международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов. / С.-Петерб. гос. архитектур.-строит. ун-т. - СПб., - 2003. - С. 89- 91.

5. Г. О. Темнов. Разработка, моделирование и анализ случайных процессов в теории страхования // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат, сб. тр. / С.-Петерб.

гос. архитектур.-строит. ун-т. - СПб., 2003. - Вып. 9. - С. 200-209.

6. Г. О. Темнов. Процесс риска со случайным притоком страховых взносов/ / Вестник молодых ученых. Секция "Прикладная математика и механика". - СПб., - 2004. - № 12/2002. - С. 36-42.

7. G. 1 emnov. Risk process with random income // Journal of Mathematical Sciences. - London-New York: Kluwer-Plenum. - 2004. - Vol. 121. - No. 2. - P. 236 - 244.

Подписано к печати 10.02.2004. Формат 60x84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 8

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

р - 4 0 в б

Введение

1 Методы построения оценок вероятности разорения для классического процесса риска и численное моделирование

1.1 Определение процессов риска

1.2 Классический процесс риска: описание, представление вероятности разорения, область применения.

1.3 Обобщения классической модели за счет учета флуктуаций процесса страховых выплат.

1.4 Асимптотические оценки и аппроксимации вероятности разорения

1.5 Численное моделирование и расчет вероятности разорения: описание алгоритма программного комплекса.

2 Процесс риска со случайным притоком: теоретический анализ, моделирование, численные методы оценивания вероятности разорения

2.1 Обоснование актуальности модели, ее определение, обзор известных результатов.

2.2 Вывод представления вероятности разорения.

2.3 Вероятность разорения как решение однородного уравнения Винера-Хопфа.

2.4 Асимптотические оценки вероятности разорения процесса со случайным притоком, аппроксимации и частные случаи.

2.5 Обобщения процесса риска со случайным притоком.

2.6 Моделирование процесса риска со случайным притоком и построение численных оценок вероятности разорения

3 Сравнительный анализ моделей риска посредством теоретических оценок и численного моделирования

3.1 Предельный переход от процесса риска со случайным притоком к классическому процессу риска. Построение оценок близости двух процессов в терминах вероятности разорения.

3.2 Количественное сравнение вероятности разорения двух моделей как результат применения разработанного комплекса программ

Общая характеристика диссертации

Происхождение теории риска; актуальность темы диссертации. История теории страхования восходит к началу XVIII века; ее возникновение принято связывать с именем Эдуарда Ллойда, владельца кофейни в Лондоне, пришедшего к идее страхования транспортных рисков в морских перевозках. Сейчас страхование — неотъемлемая часть мировой экономики, всемирная индустрия, доходы которой непрерывно растут. Роль страхования огромна и область его распространения постоянно увеличивается. Идея страхования основана на учете случайностей, и это связывает его с такими разделами математики как теория вероятностей и математическая статистика.

Слияние методов из различных теорий привело к созданию новой ветви науки, называемой страховой математикой. Из множества областей страховой математики можно выделить такие разделы как теория риска, личное страхование, платежеспособность, пенсионные фонды, модели выживания и распределения потерь и другие. Каждой из этих областей посвящено множество научных работ, так что теоретическая база страховой математики весьма обширна.

Исследования настоящей работы находятся в основном в сфере теории риска. В этой теории основным объектом исследования является модель „случайного процесса, генерирующего случайные выплаты по портфелю или страховым полисам. При этом исследователя интересует прежде всего изменение объема портфеля в целом, а не индивидуальные полисы в отдельности" [34]. Причем наибольший интерес представляет вероятностное распределение, характеризующее возможность для такого процесса пересечь некоторый критический уровень текущего капитала, — вероятность разорения.

Основателем теории риска считается Ф.Лундберг. В своих классических работах [41], [42] он первым рассмотрел задачу об оценке вероятности разорения. Основы теории риска как математической теории были сформулированы X. Крамером в [26], [27]. Дальнейшие шаги в развитии теории были сделаны X. Гербером, С. Несбиттом, Дж. Бекманом, П. Эмбрехтсом и многими другими. Имеется ряд достаточно полных обзоров результатов теории риска, например, книги X. Бельманна [24], Дж. Гранделла [35] и другие. Для изучения теории риска был задействован целый ряд специальных методов теории вероятностей: мартингальный подход, теория марковских процессов, теория „геометрического суммирования" случайных величин и др. (см. [29], [35], [38], [44]). Использование этих методов позволило продвинуться в изучении асимптотического поведения вероятностей разорения, разработке методов одностороннего и двухстороннего оценивания вероятностей разорения, построении нестандартных моделей риска.

В монографии В. В. Калашникова [37] подробно изложены основы теории риска, касающиеся главным образом классического процесса риска и его обобщений, и описаны методы построения оценок вероятности разорения. Исследования проблемы оценивания вероятности разорения были продолжены в работах В. Ю. Королева и В. Е. Венинга ([2], [3] и других), в которых было уделено внимание построению практически применимых точечных и интервальных оценок вероятности разорения для классического процесса риска и его обобщений.

В настоящее время теория риска все еще находится в стадии интенсивного развития, к удовлетворению ее исследователей, и, возможно, к сожалению потенциальных ее потребителей, заинтересованных в возможности наискорейшего использования результатов теории. Актуальность проблем, связанных с теорией риска, вызвана ростом популярности страхового дела в мире; в последнее десятилетие теория страхования начала развиваться и в России.

Строящиеся в теории риска математические модели предназначены для описания реальных процессов изменения капитала, происходящих внутри финансовых структур. Классический процесс риска как базовая модель теории риска получил широкое применение для описания деятельности страховых компаний в развитых странах со стабильной экономикой. Однако эта модель содержит допущение, существенно ограничивающее область ее применения, — линейность притока страхового капитала. Очевидный интерес представляет более общая модель, учитывающая стохастический характер притока капитала в страховую компанию. Первые шаги по исследованию этой модели были сделаны в [4], где изучались в основном асимптотические представления для вероятности разорения (без вывода явного представления вероятности разорения и без подробного анализа результатов численного моделирования).

Цель работы — исследовать модель риска, обобщающую классический процесс риска за счет учета случайности притока страхового капитала (процесс риска со случайным притоком), в частности, получить явное представление для вероятности разорения, построить алгоритм расчета и численного моделирования вероятности разорения и проверить построенную теорию с помощью компьютерного моделирования. Чтобы исследование было более полным, требовалось сначала проанализировать результаты изучения классического процесса риска и построить практически применимый алгоритм вычисления вероятности разорения для него.

Основные задачи. Работа по исследованию предложенной модели содержит решение следующих задач:

1. Разработан практически применимый алгоритм расчета вероятности разорения для классического процесса риска на основании случайной выборки величин страховых выплат.

2. Получено явное представление вероятности разорения для процесса риска со случайным притоком.

3. Построен алгоритм моделирования и вычисления вероятности разорения для процесса риска со случайным притоком.

4. Произведен сравнительный анализ вероятностей разорения, соответствующих классической модели и модели со случайным притоком с одинаковыми страховыми надбавками.

Методика исследований. Основными инструментами исследований являются теория уравнений типа свертки, теория случайных блужданий с элементами теории восстановления, преобразование Фурье, теория вероятностных метрик. Численное моделирование было реализовано посредством пакета Mathcad Professional 2000; для компьютерного моделирования процессов риска и расчета вероятности разорения применены методы вычислений (численные интегрирование и дифференцирование, методы точечного интерполирования, быстрое преобразование Фурье и другие). Кроме того, для анализа точности вычислений использованы классические методы оценивания вычислительных ошибок.

Научная новизна. Впервые получено явное представление вероятности разорения процесса риска со случайным притоком. Показано, что классический процесс риска является частным случаем процесса со случайным притоком и получается из последнего предельным переходом. Впервые произведено сравнение двух моделей как на качественном уровне посредством оценок метрических расстояний между соответствующими вероятностями разорения, так и численно с помощью моделирования. Наконец, впервые разработаны и детально изложены алгоритмы вычисления вероятности разорения для классического процесса риска и процесса со случайным притоком, основанные на методе Фурье. Кроме того, произведено компьютерное моделирование двух исследованных моделей процессов риска, и соответствующие результаты экспериментальных оценок вероятностей разорения сопоставлены с результатами применения явных формул для вероятности разорения.

Достоверность результатов диссертации определяется строгостью использованного математического аппарата и подтверждается сравнительным анализом результатов применения полученных явных формул с данными численного моделирования вероятностей разорения процессов риска. Все теоремы снабжены полными доказательствами.

Практическая ценность работы. Исследованная в диссертации модель процесса риска является более гибкой с точки зрения возможности практического применения, чем классический процесс риска, поскольку позволяет учесть стохастический характер притока страховых премий. Если классическая модель эффективна для моделирования страховых процессов в странах с хорошо развитой и стабильной экономикой, то модель со случайным притоком имеет перспективы практического применения в странах с развивающейся экономической системой.

Структура и краткое содержание диссертации

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Первая глава посвящена обзору результатов исследований классического процесса риска и изложению алгоритма вычисления вероятности разорения; в параграфе 1.2 приводится описание классического процесса риска.

Классический процесс риска принято описывать с помощью соотношения для текущего капитала страховой компании Rci(t):

При этом,

• z> 0 — начальный капитал страховой компании;

• с > 0 — ставка страхового взноса, определяющая скорость притока страхового капитала от клиентов компании;

• ~~ страховые выплаты, представляющие собой неотрицательные независимые одинаково распределенные случайные величины (н.о.р.с.в.) с функцией распределения Fx и математическим ожиданием ах',

• iVi(i) — однородный пуассоновский процесс с интенсивностью Ai, определяющий количество страховых выплат до момента времени t.

С.в. {Xj}j> 1 и процесс Ni(t) предполагаются независимыми между собой.

Вероятность разорения классического процесса риска (равно как и любого процесса риска с изменяющимся с течением временем капиталом) является функцией z и определяется как а вероятность выживания Ф(г) = 1 — Ф (z).

Известно, что вероятность разорения для классического процесса риска можно представить в виде формулы с суммированием сверток:

Nx{t)

0.1)

0.2) где

Fx(x) = — А1" Fx(y))dy, х>0, ах J и Fx(x) = 0 при ж < 0. Здесь F^ — к-кратная свертка функции Fx с собой. Соотношение (0.3) называют формулой Поллачека-Хинчина.

Важной характеристикой процесса риска является относительная страховая надбавка, для классической модели определяемая как

-AST1" (°'4)

Если относительная страховая надбавка положительна, то выполняется так называемое условие неразорения в среднем с > ах Аь

В параграфе 1.3 первой главы рассматриваются модификации классического процесса риска — такие, как модель Спарре Андерсена и модель с процессом Кокса (обобщенный процесс риска), которые позволяют расширить область его применения путем учета флуктуаций процесса страховых взносов. В параграфе 1.4 приводится обзор асимптотических оценок и аппроксимаций вероятности разорения для различных типов распределений страховых выплат (теорема Крамера-Лундберга, случай тяжелых хвостов распределений выплат, аппроксимация моделью с экспоненциальным распределением выплат).

Завершает первую главу параграф 1.5, посвященный практическому использованию формулы Поллачека-Хинчина. Поскольку операция вычисления свертки трудоемка с точки зрения затрат машинного времени, а для /с-кратных сверток объем вычислений возрастает пропорционально ее кратности, представляет интерес построение алгоритма, который позволил бы упростить комплекс численных процедур. Изложенный в настоящей работе алгоритм опирается на метод Фурье. Применение к обеим частям (0.3) преобразования Фурье дает возможность избежать непосредственного вычисления сверток путем перехода к характеристическим функциям fx(s) — /0°° elxsdFx(x) и (j)ci(s) = fj°eixsdФы(х): k^k о.5) fc=о

Вычисление значения последнего выражения не представляет трудностей, а после применения к (0.5) процедуры обратного преобразования Фурье получается искомая оценка вероятности выживания. В первой главе приводится подробное изложение алгоритма вычисления Фci(z) указанным способом для случайной выборки величин выплат в качестве исходных данных (явный аналитический вид ф.р. Fx считается при этом неизвестным). Далее приводятся результаты б применения разработанного алгоритма к искусственно полученной с помощью компьютерного моделирования выборке случайных величин, имеющих смысл страховых выплат. Моделирование производилось с известной функцией распределения, вид которой удобен для получения аналитического выражения для вероятности разорения с помощью формулы Поллачека-Хинчина. Это дало возможность произвести непосредственное сравнение аналитических результатов с результатами вычислений вероятности разорения, произведенных с помощью алгоритма. Кроме того, была произведена аналитическая оценка вычислительной ошибки предложенного алгоритма. Сравнение аналитических и численных результатов показало хорошую точность его работы при сравнительно небольших затратах машинного времени (при условии достаточного объема выборки). Теоретические оценки точности алгоритма согласуются с соответствующими экспериментальными оценками.

Во второй главе вводится понятие процесса риска со случайным притоком страховых взносов и строится соответствующая теория. Основная идея состоит в переходе от классического процесса риска к его обобщению путем замены линейного процесса страховых взносов на случайный процесс, что позволяет значительно расширить рамки применения модели: iv2(t) т (t) i=l j=l

Мы полагаем, что

• процесс страховых выплат определен так же, как и в классической модели,

• независимые одинаково распределенные неотрицательные величины {Yi}i>1 с ф.р. Gy и ЕУ; = by соответствуют величинам страховых взносов,

• N%(t) — однородный пуассоновский процесс с интенсивностью А2, определяющий количество страховых взносов до момента времени t,

• случайные величины {li}i>i и процесс iV2(i) независимы между собой и не зависят ни от с.в. {.Xj}j>i, ни от Nt(t).

Для этой модели Р а условие неразорения в среднем ajjfAi < byА2.

В параграфе 2.2 второй главы изложен вывод явного представления для вероятности разорения процесса риска со случайным притоком через распределения и параметры входящих процессов. В отличии от классической модели,

А фу Ai ах это представление не удается свести к одной формуле; оно состоит из цепочки соотношений: оо

Ф(*)=в£(1-«)*(1-*]?(*)), (0-7) к-0 где Fh — функция вероятностного распределения, характеристическая функция fh(s) := /0°° evxsdFh(x) которого определяется соотношением

ОО

1 1 г

In--— = / eisxdWn*(x), (0.8) i-(i-яШ*) q = 1 — Ф(0) — вероятность выживания при нулевом начальном капитале, и W(x) — ф.р., определяемая соотношением

WM - iriUi| (гж)'№ tS?)(x)'Sr(x)=1" Gy(~x)- т

Показано, что в терминах характеристических функций w, соответствующих распределению (0.9), классический процесс риска является предельным случаем процесса (0.6):

- , ч fx(s) К fx (а) Л , .

-M-sM)

В параграфе 2.4 второй главы теория Крамера-Лундберга, позволяющая получить асимптотические оценки вероятности разорения Ф(г?) при z оо, распространяется на процесс риска со случайным притоком. Показано, что оценка

Ф(г) ~ KRe~Rz, z^ оо, (0.10) имеющая место для классического процесса риска, справедлива и для процесса риска со случайным притоком, причем коэффициент Лундберга R определяется соотношением

1 — g)E exp (R • <тд) = 1, (0.11) где оь, — с.в. с функцией распределения Fh. Коэффициент Кц в оценке (0.10) определяется формулой где а12) роо a*h= xe?*dFh{x). (0.13)

Jo

Процесс (0.6), помимо модели страховой компании, может быть использован, например, как модель пункта обмена валют или игры на бирже. Из-за независимости процессов взносов и выплат такие трактовки даже более приближены к реальности, чем страховая модель.

Для придания процессу риска со случайным притоком большей гибкости как страховой модели далее во второй главе (параграф 2.5) строятся его модификации. В рамках этой задачи мы рассматриваем ряд обобщений процесса вида (0.6), последовательно полагая, что:

- Ni (t) и N2 (t) — не однородные пуассоновские процессы, а процессы Кокса, т.е. iVi(t) = iVo(AiCO) и N2(t) = N0(A2(t)) где A:(t) и A2(i) — случайные процессы с неубывающими траекториями, a N0(t) — однородный пуассо-новский процесс с единичной интенсивностью (причем процессы Ai (t) и Л2 (t) в этой модели считаются взаимно зависимыми),

- процессы Ni(t) и N2(t) — не пуассоновские, а процессы восстановления,

- появляется возмущение процесса (0.6) диффузией.

В параграфе 2.6, завершающем вторую главу, алгоритм вычисления вероятности выживания, опирающийся на метод Фурье, разработанный в первой главе для классического процесса риска, обобщается на процесс риска со случайным притоком. Приводятся результаты моделирования процессов риска, производятся сравнения результатов вычисления вероятности выживания через аналитические представления с эмпирическими данными, полученными посредством искусственного моделирования процессов риска.

В третьей главе сравниваются две модели — классическая и модель со случайным притоком. Анализируется поведение разности | q — qci | вероятностей выживания при нулевом начальном капитале, соответствующих двум процессам, в предположении, что относительные страховые надбавки одинаковы. Интенсивность взносов \<i в модели со случайным притоком — основной параметр, определяющий степень различия моделей в терминах q: q — Qci\< sh(<5i(c, Ai, Л2)), (0.14) где sh — логарифмический синус, и

S^Ci, А2) = + 2e + ^= + 2eln(lnV^))+

АглДпАг ^ \ДП' (0-15) a Ci — коэффициенты, зависящие от параметров с и Ai и не зависящие от А2.

Из (0.14) и (0.15) следует существование предельного перехода

Ч --> Чей

Л2->00 подтверждающего вывод о том, что классическая модель является частным случаем модели со случайным притоком.

Отдельно исследуется вопрос о том, которой из двух моделей соответствует большая вероятность разорения при условии одинаковых страховых надбавок и процессов страховых выплат. Результаты численного моделирования подтверждают справедливость неравенства

Qd > q, которое в частном случае экспоненциальных распределений выплат и взносов удается получить явно. При моделировании сравнивались вероятности разорения для классической модели и для процесса риска со случайным притоком; для последнего рассматривались следующие варианты плотностей распределений величин взносов:

- вырожденная плотность,

- степенная плотность,

- устойчивая плотность,

- экспоненциальная плотность,

- гамма-плотность.

По величине вероятности разорения к классической модели наиболее близким оказался случай вырожденного распределения взносов.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях кафедры Прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета; на 59—61-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров, аспирантов и студентов СПбГАСУ (2002—2004 гг.); на 56-й международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов в СПбГАСУ (октябрь 2003 г.); на семинаре „Теория риска и смежные проблемы" факультета ВМиК МГУ (ноябрь 2003 г.). Основные результаты работы опубликованы в [14], [15], [16], [17], [18], [19], [46].

Заключение

В заключение перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработан алгоритм численного оценивания вероятности разорения классического процесса риска, основанный на применении преобразования Фурье; приведены результаты оценок распределений вероятности разорения, полученные путем применения предложенного алгоритма к случайной выборке величин страховых взносов, сгенерированной с помощью компьютерного моделирования. Эффективность предложенного алгоритма проанализирована с помощью теоретических оценок вычислительных ошибок, возникающих при его применении, а также путем сравнения результатов его применения с точными аналитическими оценками вероятности разорения.

Кроме того, проанализированы известные результаты теоретических исследований классического процесса риска, его обобщений и аппроксимаций вероятности разорения.

2. Произведено исследование модели процесса риска со случайным притоком страховых взносов, являющейся обобщением классической модели. Для процесса со случайным притоком получено явное представление вероятности разорения, состоящее из трех соотношений, — более общий вариант формулы Поллачека-Хинчина.

3. Проведено дальнейшее изучение процесса риска со случайным притоком, включающее в себя

• дополнение исследовавшейся ранее другими авторами (А. В. Бойков) теории Крамера-Лундберга для этой модели, служащей для построения аппроксимаций вероятности разорения при больших значениях начального капитала,

• анализ ряда частных случаев предложенной модели: экспоненциальные и вырожденные распределения размеров выплат и взносов.

Разработан ряд обобщений модели со случайным притоком:

• с использованием процессов Кокса в качестве считающих процессов (количеств) взносов и выплат,

• с процессами восстановления в качестве считающих процессов взносов и выплат,

• с учетом возмущения исходного процесса диффузией.

Для предложенных обобщений процесса риска со случайным притоком получены явные представления вероятности разорения (в случаях, где это возможно) и проанализированы аппроксимационные формулы для вероятности разорения (в остальных случаях).

4. Разработан алгоритм численного оценивания вероятности разорения для процесса риска со случайным притоком. Эффективность применения предложенного алгоритма проверена непосредственным сравнением вычисленных с помощью алгоритма плотностей распределения вероятности разорения с соответствующими эмпирическими оценками, полученными с помощью компьютерного моделирования.

5. Произведен сравнительный анализ двух моделей: классического процесса риска и процесса риска со случайным притоком.

Помимо теоретических оценок метрических расстояний между вероятностями разорения для двух моделей, произведено численное сравнение соответствующих вероятностей разорения. Показано, что вероятность разорения при нулевом начальном капитале для процесса риска со случайным притоком больше, чем в классическом случае при одинаковых страховых надбавках.

1. Н. С. Бахвалов, Н. О. Жидков, Г. В. Кобельков. Численные методы. — М.: Наука, 1987.

2. В. Е. Бенинг, В. Ю. Королев. Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска // Обозрение промышленной и прикладной математики. Сер. Финансовая и страховая математика. —1998. — Т. 5. — Вып. 1. — С. 116-133.

3. В. Е. Бенинг, В. Ю. Королев. Статистическое оценивание вероятности разорения для обобщенных процессов риска // Теория вероятностей и ее применения. 1999. - Т. 44. - Вып. 1. — С. 161-164.

4. А. В. Бойков. Стохастические модели капитала страховой компании и оценивание вероятности неразорения: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — М.: Математический Институт им. В. А. Стеклова РАН, 2003. — 80 с.

5. С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. Курс статистического моделирования. — М.: Наука, 1976. 320 с.

6. Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. Уравнения типа свертки. — М.: Наука, 1978. 295 с.

7. И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. — М.: Наука, 1971. — 352 с.

8. В. В. Калашников, С. Т. Рачев. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания. — М.: Наука, 1988 — 311 с.

9. JI. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. 745 с.

10. JI. Б. Клебанов, Г. М. Мания, И. А. Меламед. Аналоги безгранично делимых и устойчивых распределений // Теория вероятностей и ее применения. 1984. - Т. XXIX. - С. 499-521.

11. М. Л. Краснов. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 314 с.

12. Е. Лукач. Характеристические функции. — М.: Наука, 1979. — 423 с.

13. В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин. — М.: Наука, 1972. 415 с.

14. Г. О. Темное. Расчет вероятности разорения для классического процесса риска // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / С.-Петерб. гос. архитектур.-строит. ун-т. СПб., 2002. - Вып. 8. - С. 146-157.

15. Г. О. Темное. Сравнительный анализ моделей риска // Доклады 56-й международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов. / С.-Петерб. гос. архитектур.-строит.ун-т. СПб., 2003. - С. 89-91.

16. Г. О. Темное. Процесс риска со случайным притоком страховых взносов // Вестник молодых ученых. Секция „Прикладная математика и механика". — СПб., 2004. Вып. 12/2002. - С. 36-42.

17. Б. М. Щиголев. Математическая обработка наблюдений. — М.: Наука, 1969. 344 с.

18. П. Эмбрехтс, К. Клюппелъберг. Некоторые аспекты страховой математики // Теория вероятностей и ее применения. — 1993. — Т. 38. — С. 374-416.

19. P. Billingsley. Convergence of probability measures. — New York: Wiley, 1968.

20. P. Bremaud. Point processes and queues, martingale dynamics. — Berlin: Springer-Verlag, 1980.

21. H. Bulmann. Mathematical methods in risk theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1970.

22. T. W. Parks, C. S. Burrus. Dft/fft and convolution algorithms. — New York: Wiley Interscience, 1985.

23. H. Cramer. On the mathematical theory of risk. — Stockholm: Skandia Jubilee Volume, 1930.

24. H. Cramer. Collective risk theory. — Stockholm: Skandia Jubilee Volume, 1955.

25. K. Croux, N. Veraverbeke. Nonparametric estimators for the probability of ruin // Insurance: Mathematics and Economics. — 1990. — Vol. 9. — P. 127-130.

26. P. Embrechts, C. Kliippelberg, T. Mikosch. Modelling extremal events. — Berlin: Springer, 1997.

27. P. Embrechts, N. Veraverbeke. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims // Insurance: Mathematics and Economics. 1982. - Vol. 1. - P. 55-72.

28. W. Feller. An introduction to probability theory and its applications (Russian Edition), Vol. 2. New York: Wiley, 1966. - 752 p.

29. H. U. Gerber. Martingales in risk theory // Mitteilungen der Schweiz. Vereinigung der Versicherungsmathematiker. — 1973. — Vol. 73. — P. 205-216.

30. H. U. Gerber. An introduction to mathematical risk theory. — Philadelphia: Wharton School Univ. Pennsylvania, 1979.

31. H. U. Gerber, N. L. Bowers. Actuarial mathematics. — Itasca: The Society of Actuaries, 1989.

32. J. Grandell. Aspects of risk theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1990.

33. J. W. Tukey, J. W. Cooley. An algorithm for the mashine computation of complex fourier series // Mathematics Computation. — 1965. — Vol. 19. — P. 237-301.

34. V. Kalashnikov. Mathematical methods in the ruin probability theory. Lecture notes. — Copehagen, 1991.

35. V. Kalashnikov. Geometric sums: Bounds for rare events with applications. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997.

36. L. Klebanov. Heavy tailed distributions. — Prague: MATFYZPRESS, 2003. — 311 p.

37. P. Levi. Theorie de l'additioxi des variables aleatoroires. — Paris, 1937.

38. F. Lundberg. Appoximerad framsallning av sannolikhetsfunktionen; aterforsakring av kollektivrisker. — Uppsala: Almqvist-Wiksell, 1903.

39. F. Lundberg. Forsakringsteknisk riskutjamning. — P. Englunds boktryckeri A.B., 1926.

40. B. Ramachandran. Advanced theory of characteristic functions. — Calcutta: Statistical Publishing Society (Russian Edition), 1967.

41. H. Schmidli. A general insurance risk model. — Ph.D. Thesis: ETH Zurich, 1992.

42. Andersen E. Sparre. On the collective theory of risk in the case of contagion between claims // Transactions XV International Congress of Actuaries. — 1957. Vol. II. - P. 219-229.

43. G. Temnov. Risk process with random income // Journal of Mathematical Sciences. — London-New York: Kluwer-Plenum, 2004. — Vol. 121. —1. No. 2. — P. 236-244.

44. N. Veraverbeke and P. Embrechts. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims // Insurance: Mathematics and Economics. — 1982. — Vol. 1. — P. 55-72.

45. V. Zolotarev. Some new probabilistic inequalities connected with the Levi's metric // DAN USSR, 1970. Vol 190. - No. 5. - P. 1019-1021.

46. D. Williams. Probability with martingales. — Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1991.