автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели производственной системы в условиях несовершенного рынка кредитов

На правах рукописи

ЛИПАТОВА АННА ВАЛЕРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ НЕСОВЕРШЕННОГО РЫНКА КРЕДИТОВ.

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степ УЙДТШТТЯТЯ физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре Системного Анализа факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова и в Центре развития технологий анализа и прогнозирования государственной, региональной и отраслевой экономики с помощью математических методов при МФТИ.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Шанагагн Александр Алексеевич Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Бекларян Левой Андреевич кандидат физико-математических наук, доцент Обросова Наталья Киршювна

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

Экономико-Математический институт РАН

Защита состоится 26 октября 2006 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 002.017.04 в Вычислительном Центре имени А.А. Дородницына Российской Академии Наук по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д.40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН Автореферат разослан сентября 2006 г.

Ученый секретарь .х!

диссертационного совета, ,— доктор физико-математических наук,

профессор Н.М. Новикова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Переход от идеологических дискуссий, происходящих на концептуальном уровне, к систематическим исследованиям на языке математических, моделей является актуальным для всестороннего понимания экономических процессов и для построения эффективной экономической политики.

В отделе "Математическое моделирование экономических систем" Вычислительного центра им. Дородницына РАН (руководитель - академик А. А. Петров) накоплен значительный опыт математического моделирования российской экономики методами системного анализа. Основные результаты за последние 20 лет получены А.А. Петровым, И.Г. Поспеловым, АЛ Шананиным, Н.К, Обросовой. По этим работам можно легко проследить эволюцию современных методов и представлений в области математического моделирования российской экономики.

Фундаментом математической модели экономики в целом является модель производственной системы. В данной работе используется подход к моделированию производственной системы, основанный на распределении мощностей по технологиям. Впервые распределение мощностей по технологиям было использовано в работе Хуатекера для анализа производственных функций типа Кобба-Дугласа. Затем, в работах Йохасена был предложен подход к построению производственной функции отрасли на основе информации о распределении мощностей по технологиям. Впоследствии такой подход использовался для анализа конкретных отраслей экономики Норвегии и Швеции. Общей чертой моделей производственной системы, предложенных Хуатекером и Йохансеном и нашедших свое развитие в работах Хилъденбранда, Форсунда, Эйдэ, является их нейтральность по отношению к оборотным фондам.

На продолжении текущего десятилетия эксперты отмечали, что материальные ресурсы в неэнергетических отраслях народного хозяйства России распределяются неэффективно. Т.е. загружаются менее рентабельные производства при недогрузке более рентабельных. Модель Хаутекера-Йохансена, на основании обобщенной леммы Неймана-Пирсона, утверждает, что неэффективное. распределение ресурсов является следствием кредитования убыточных предприятий. Стандартные рекомендации в этом случае -ужесточение монетарной политики.

Однако в России проводилась сверхжесткая монетарная политика и производственные единицы испытывали дефицит оборотных средств, при этом распределение ресурсов оставалось неэффективным. Таким образом, классические модели производства, не учитывающие оборотные средства и особенности современной российской экономики, оказались не в состоянии объяснить ее парадоксы и потребовали существенной модификации.

Одной из особенностей российской экономики является то, что при сложившейся конъюнктуре дан производство отечественных товаров народного потребления оказывается рентабельным, однако невысокое качество продукции делает их низко конкурентоспособными по отношению к импортным. Низкая конкурентоспособность приводит к существенной нестабильности в реализации продукции, когда среднеквадратичное уклонение времени между двумя последовательными моментами реализации сравнимо с его математическим ожиданием. Нестабильность в реализации влечет за собой проблемы с авансирования затрат на производство.

А. А. Шананиным и Э. В. Автуховичем была предложена модификация модели Хаутекера-Йохансена, которая позволила объяснить неэффективное распределение ресурсов, как следствие случайного характера моментов реализации в условиях дефицита оборотных средств.

Кредитная система - это механизм преодоления проблем с авансированием затрат на производство. Однако российская кредитная система пока не является совершенной и производственные единицы испытывают трудности с получением кредитов. Традиционно

различают два рынка кредитов — краткосрочных и долгосрочных. Долгое время доступ на оба рынка кредитов имели лишь крупные финансовые организации, т.е. рынок кредитов являлся сегментированным. В последние годы краткосрочный кредит стал более доступным и рынок краткосрочного кредита можно считать конкурентным. Однако рынок долгосрочного кредита остается сегментированным.

Крупные финансовые организации в свою очередь обеспечивают кредитом те производственные единицы, которым они доверяют и которые они могут каким-то образом контролировать. Хочется отметить, что получение долгосрочного кредита всегда связано с некоторым особенным доверием кредитодателя.

В связи с этим актуальным остается вопрос о том, каким образом крупные финансовые структуры будут строить свои отношения с производством и как преследуемые ими цепи повлияют на эффективность распределения материальных ресурсов? Особенно интересен вопрос формирования процентных ставок по долгосрочным кредитам, поскольку во всем мире эта информация является конфиденциальной.

В последние годы наблюдается некоторая стабилизация в сбыте отечественных товаров и повышение эффективности распределения материальных ресурсов. Однако до настоящего момента не произошло значительного улучшения качества российских товаров по отношению к импортным. Эксперты считают, что стабилизация сбыта произошла за счет установления долгосрочных контрактных отношений между предприятиями. В связи с этим возникает необходимость модифицировать разработанные модели производства, чтобы объяснить произошедшую стабилизацию, а так же выявить скрытые угрозы, способные снова дестабилизировать экономические отношения.

Цель работы:

1. Построение математических моделей производственной системы для выявления механизма формирования процентных ставок по кредитам в условиях несовершенной кредитной системы и нестабильной реализации продукции.

2. Объяснение произошедшей стабилизации на рынке сбыта отечественных товаров и выявление скрытых угроз, способных снова привести к дестабилизации.

Методы исследования. Для достижения поставленных целей решались задачи линейного программирования в функциональном пространстве с бесконечным числом ограничений. Используя их специфику решение было получено в аналитической форме. В работе использовались методы теории вероятности, выпуклого анализа и теория экстремальных задач.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Найдены функции загрузки, прибыли, средств замороженных под краткосрочные и долгосрочные кредиты производственной единицы в зависимости от цены и себестоимости продукции, и так же от процентных ставок по долгосрочным и краткосрочным кред итам.

2. Построена модель формирования процентов по долгосрочным кредитам в зависимости от целей кредитодателя и сегментированности кредитных рынков. Получены формулы для процентных ставок.

3. Найдены оптимальные стратегии поведения производственных единиц при работе в условиях несовершенного рынка кредитов, нестабильной реализации продукции и возможности заключения долгосрочных контрактов.

Теоретическая и практическая ценность работы. Построенные модели производства были использованы для описания неэ нергегических отраслей экономики России в макроэкономических исследованиях ВЦ РАН им. A.A. Дородницына. Результаты были использованы в учебных семинарах по курсу «математические модели в экономике» на факультете Управления и Прикладной Математики в МФТИ.

Апробация работы. Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• международная конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2002» (Москва, 2002)

• научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Долгопрудный, 2003)

• международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2004)

• четвертый Европейский конгресс математиков (Стокгольм, 2004)

• четвертая Московская международная конференция по исследованию операций (Москва, 2004)

• международная научно-техническая конференция «Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий» (Сочи, 2004)

• научная конференция МГУ «Ломоносовские чтения» (Москва, 2005)

• научный семинар под руководством академика А.А. Петрова в ВЦ РАН им. Дородницына (Москва, 2005)

• научный семинар под руководством академика В.М. Полтеровича в ЦЭМИ (Москва, 2005)

• научный семинар под руководством академика А.Б. Куржанского на факультете ВМиК МГУ (Москва, 2005)

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано б печатных работ. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Основная часть работы изложена на 72 страницах машинописного текста. Приложение содержит 156 страниц. Список использованной литературы включает 35 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель и научная новизна полученных результатов, дается краткое содержание глав работы.

В первой главе исследуется модель отрасли производства в условиях дефицита оборотных средств, предложенная Шананиным и Автуховичем, которая является модификацией модели Хаутекера-Йохансена. Дня модели Шананина-Автуховича находятся функции спроса, предложения и прибыли. Исследуются свойства производственной функции в сравнении с моделью Хаутекера-Йохансена. В модель Шананина-Автуховича вводится новый параметр таким образом, чтобы учесть инфляцию.

В §1.1 дается описание модели Хаутекера-Йохансена и формулируется обобщенная лемма Неймана-Пирсона.

В основе модели Хаутекера-Йохансена лежит гипотеза о разделении времен. В медленном времени изменяются производственные мощности. В быстром времени изменяются цены на выпускаемую продукцию и сырье. В модели рассматривается отрасль, выпускающая однородную продукцию и использующая при этом п видов производственных факторов текущего пользования (ПФТТТ). Предполагается, что в отрасли имеются различные технологии производства. Каждая технология задается вектором х = (х1,..,х11)затрат ПФТТТ на выпуск единицы продукции.

При создании мощности осуществляется выбор технологии, по которой эта мощность функционирует. Тогда в любой фиксированный момент времени мощности оказываются распределенными по технологиям. Обозначим через распределение мощностей по

технологиям. Модель Хаутекера-Йохансена описывает распределение ресурсов внутри отрасли при заданной структуре производственных мощностей т.е. в быстром времени.

Для полной загрузки всех мощностей отрасли необходимо, чтобы поток /-ого вида ПФТП был не меньше g* = J х^(бЬс). Обозначим через £ = (&.-•»<?■) вектор ПФТП,

потребляемый отраслью. Бели при некотором то нельзя полностью

загрузить все мощности. Обозначим через и(х) коэффициент загрузки мощностей, соответствующий технологии х. Рассмотрим задачу об оптимальной загрузке мощностей, при которой ПФТП % распределяются так, чтобы суммарный выпуск отрасли был максимальным:

(1)

* (2)

я;

(3)

Эта задача распределения ресурсов проанализирована в обобщенной лемме Неймана -Пирсона.

Обобщенная лемма Неймана-Пирсона. 1) Задача оптимизации (1}-(3) при имеет решение и((х).

2) Пусть ы( (х) -решение (1)-{3) при Тогда существуют такие не равные нулю одновременно 0, р~{р,--,ря)й0, что

Г1 при р0 — рх > 0 почти всюду по ,

си И (Л) — Л , г •

* [Опри/>0-рх<0 почти всюду по /г(-),

6) /^ЮМЛОЗ-о 0=1,...«).

к

Причем р0 >0, если g>0.

3) Пусть р0 > 0, р^0. Тогда й(х) = &(ра —рх) является решением (1)~(3) при условии, что g = J *©(/>„ - рх)р{Ых) < +оо , где 0(х)~ тета-функция Хэвисайда.

Согласно стандартной экономической интерпретации двойственных переменных в задаче (1)-(3) р0 это цена на выпускаемую продукцию, р = {р\, ~,ря)- вектор цен на ПФТП. Обобщенная лемма Ненмаиа-Пирсона утверждает, что оптимальными механизмами распределения ресурсов являются рыночные механизмы с "жесткими бюджетными ограничениями", при которых прибыльные технологии используются с максимальной интенсивностью, а убыточные - не используются вовсе. Из нее также следует, что мягкие бюджетные ограничения у производителей означают неэффективное распределение ресурсов, при котором используются менее прибыльные технологии, в то время как более прибыльные технологии оказываются недогруженными.

Предположим, что и(сЫ) =£(х)£х1..ЛхЛ. Тогда в модели Хаутекера-Йохансена можно определить функцию выпуска отрасли

С., (4)

л:

и функции спроса на отдельные виды ПФТП в зависимости от цен

¡х^(р0-рх)С(х)Лс1.&а. (5)

*

Соотношения (4) и (5) дают нам параметрическую зависимость 7(/), где / = .

Зависимость выпусков от затрат ПФТП 7(7) называется производственной функцией

отрасли. Функции спроса и предложения в модели Хаутекера-Йохансена интегрируемы, т.е.

ЭП(р0,р): - У(р0,р)> —— = ~^(Ро,р)- Известно так же, что производственная функция Фо ф|

отрасли У(1) в модели Хаутекера-Йохансена обладает такими неоклассическими свойствами, как неубывание и вогнутость.

В §1.2 приведена модель производственной единицы в условиях дефицита оборотных средств, предложенная Шананиным и Автуховичем.

В модели Шананина-Автуховича усложняется иерархия характерных временных масштабов. По-прежнему распределение мощностей по технологиям изменяется в медленном времени. Изменение цен на выпускаемую продукцию и ПФТП, процент за долгосрочный и краткосрочный кредит и других показателей, определяющих управление финансовыми потоками, считается происходящим на средних временных масштабах. Процессы маркетинга и обеспечения производства ПФТП происходят в быстром времени. Среднеквадратичное уклонение времени между двумя последовательными моментами реализации сравнимо с его математическим ожиданием. Таким образом, приемлемым упрощением является предположение, что моменты реализации образуют случайный пуассоновский поток с параметром Л.

Рассмотрим функционирование в быстром времени производственной единицы, имеющей себестоимость у = рх и мощность г}. Изменение таких показателей, как цена единицы пра'^укции р0У вектор р цен на ПФТП, процент за долгосрочный кредит А и процент г, начисляемый по краткосрочному кредиту, происходит на средних временных масштабах. Поэтому будем считать их фиксированными.

Обозначим через Q размер разового долгосрочного кредита, который берется производственной единицей на покупку ПФТП для того, чтобы начать работы по выпуску продукции. По исчерпанию этого кредита в момент времени /0 = Оу Лт?1» если реализация еще не наступила, производственная единица берет краткосрочный кредит в виде кредитной линии К или приостанавливает выпуск продукции до момента ее реализации. Будем считать, что кредиты берутся лишь на покупку необходимых ПФТП, поэтому К <, ут].

В момент реализации продукции производственная единица получает выручку

если *<Г0,

<г(0 =

К/ \

РоФо+Ро—С'-'о)» если У

выплакивает задолженность по краткосрочному кредиту, которая равна

С(0=—-1) и по долгосрочному - Оеи. Кроме того, у нее могут остаться

средства в размере (2—от неизрасходованного полностью долгосрочного кредита.

Рассмотрнм задачу о максимизации математического ожидания денежных доходов за цикл деятельности производственной единицы между двумя последовательными моментами реализации продукции:

гпах . (6)

Решение этой задачи оптимизации имеет вид:

К* (у, Д, г, р0) = >77© ~ ХТ )'

Структура решения изображена на рисунке 1. Бели краткосрочный кредит дешевле долгосрочного, г < А , то плоскость параметров разбивается на две области. Производственные единицы из первой области работают бесперебойно за счет краткосрочного кредита. Производственные единицы из области обозначенной на рисунке ц ифрой 4 не работают.

Бели краткосрочный кредит дороже долгосрочного, г > Д , то вся плоскость параметров разбивается на три области. Производственные единицы из области, обозначенной та рисунке цифрой 2 работают бесперебойно сначала за счет долгосрочного, а потом! за счет краткосрочного кредитов. Производственные единицы из области, обозначенной на рисунке цифрой 3 работают за счет долгосрочного кредита, а по его исчерпании приостанавливают работу. Производственные единицы из области номер 4 не работают.

Ро~У Ра |

Л Л

рис.1

В §1.3 найдены усредненные характеристики производственной единицы в рамках модели Шанаии-да-Автуховича и исследованы функции спроса, предложения и производственная функция отрасли.

Чтобы поставить задачи, касающиеся группы производственных единиц (отрасли), нужно усреднить по времени случайные процессы, описывающие поведение отдельных производственных единиц. Эти процессы детерминировано изменяются между случайными моментами, времени, образующими пуассоновскнй поток с параметром X, а в эти моменты испытывают скачки до заранее известных значений. Было показано, что среднее значение Р* такого процесса Р(0 является не случайной, а детерминированной величиной и

вычисляется по формуле

о

Таким образом были найдены среднее значение средств замороженных под

краткосрочные - £(у,Д,г,/>(,) = —©| ———---—(пипЬ,——————I, и долгосрочные -

л ^ у Х~г) I л-А г )

М(у,А,г,р^ = @(у,А,Г1р0) кредиты производственной единице. Была так же определена средняя загрузка производственной единицы:

Подставляя функцию загрузки в (4) и (5), получаем функции спроса и предложения для модели Шананина-Автуховича. Было показало, что функции спроса и предложения в модели Шананина-Автуховича не являются интегрируемыми, если краткосрочный кредит дороже долгосрочного.

На основании параметрической зависимости между предложением и затратами (спросом) построим производственную функцию модели отрасли ГщД^,..,/,) • В диссертации был приведен пример невогнутой производственной функции в модели Шананина-Автуховича.

В $ 1.4 модель Шананина-Автуховича модифицирована так, чтобы учесть инфляцию. Построены функции спроса на кредиты в зависимости от инфляции. Исследовано влияние инфляции на загрузку производственных мощностей.

В §1.5 приведены результаты применения построенной модели для качественного анализа работы мощностей по производству печенья в ЗАО «Сухаиовский».

Вторая глава посвящена изучению того, как влияют цели крупных финансовых организаций на распределение материальных и финансовых ресурсов в подконтрольных им труппах производственных единиц. Описано формирование процентов по долгосрочным кредитам в зависимости от целей кредитодателя и сегментированности кредитных рынков. Доказан аналог обобщенной леммы Неймана-Пирсона. Найдены формулы для процентных ставок.

В §2.1 описываются две схемы управления финансовыми потоками отрасли производства. В настоящее время среди экономистов и политиков активно ведутся дискуссии о том, как следует управлять производством и группами предприятий в условиях современной российской экономики. Правые политические силы говорят, что финансово-промышленные корпорации не должны брать на себя риски входящих в них предприятий, связанные, например с задержками в реализации продукции. Им предпочтительнее строить чисто коммерческие отношения с производством, наделяя производственные единицы оборотными средствами и не распоряжаясь всей прибылью предприятия, и лишь взимая проценты за предоставленные кредиты. В этом случае они заинтересованы в максимизации суммарных процентов, получаемых ими с производственных единиц. Эту схему взаимодействия финансовых структур и производства мы назовем схемой Банка.

Их оппонентами в этой дискуссии выступают местные власти, которые строят патерналистские отношения с предприятиями, находящимися на их территории. Эти власти могут устанавливать различные льготы, а так же давать гарантии по кредитам, принимая на себя риски производственных единиц, связанные с задержками в реализации товара. Эту схему мы назовем схемой Собственника. Собственник, так же как и Банк наделяет производственные единицы средствами на покупку сырья под определенный процент, однако, в отличие от Банка, он заинтересован в максимизации суммарной прибыли, получаемой производственными единицами.

В работе рассмотрен случай как конкурентного рынка краткосрочных кредитов, так и сегментированного. В случае конкурентного рынка краткосрочный кредит доступен всем производственным единицам под одинаковый процент. Они берут его на открытом рынке краткосрочных кредитов, а Банк или Собственник наделяет их только долгосрочным кредитом.

В случае сегментированного рынка краткосрочных кредитов доступ на рынок краткосрочных кредитов имеют только крупные агенты, такой рынок будем называть межбанковским. При этом Банк или Собственник наделяют подконтрольные им производственные единицы и долгосрочным и краткосрочным кредитом, устанавливая каждой производственной единице свои проценты.

В §2.2, §2.3, §2,4, §2.5, поставлены четыре задачи об управлении Собственником и Банком финансовыми ресурсами отрасли в условиях конкурентного и сегментированного рынков краткосрочных кредитов, соответственно. С математической точки зрения это задачи

линейного программирования в функциональном пространстве с бесконечным числом ограничений. Были доказаны теоремы о существовании и структуре решений этих задач, причем решения задач удалось найти в аналитической форме. Эти теоремы являются аналогами обобщенной леммы Неймана-Пирсона.

Дня того чтобы поставить задачи об управлении финансовыми ресурсами отрасли,

нужно определить функцию прибыли управляющего субъекта исходя из его целей.

Прибылью Банка являются выплаты по процентам. В случае конкурентного рынка

краткосрочных кредитов его прибыль определяется по следующей формуле:

<Л-А)+ I

Ау

В случае неконкурентного рынка краткосрочных кредитов прибыль Банка определяется по следующей формуле:

/

я

еу^-е**—

г

IX

(Я - А)+ Ц [ Ау ДЯ и^-^ХД] Ро * Гг(А-А)Л

При работе с Банком у производственной единицы после уплаты процентов остается собственная прибыль, которая определяется по формуле:

г _ г ^ \\

е * -1

Хп

Собственник распоряжается всей прибылью производственной единицы. В случае конкурентного рынка краткосрочных кредитов его прибыль определяется по следующей формуле:

»-1

т

у -1

ЦТ.

В случае неконкурентного рынка краткосрочных кредитов прибыль Собственника находится по формуле

±[<т{тк)-дГн&

1-.. * , ^Т-—11 ' ^ (Л~А)ЛРо-у)+ ^ Л ))+

Будем считать, что Собственник (или Банк), управляет финансовыми потоками отрасли, наделяя производственные единицы кредитами и назначая каждой производственной единице свои проценты по кредитам. Таким образом, мощности производственных единиц оказываются распределенными не только по себестоимости, но и по процентным ставкам за долгосрочные и краткосрочные кредиты. Будем обозначать это распределение через ^(у, Д,г) и считать, что оно удовлетворяет условию неотрицательности

ТО',А,г)йО (8)

и естественному балансовому ограничению

+0 -ня

J\r}{y,£^ryibdr^Tiiy) привсех у>.0. (9)

о о

Собственник контролирует денежные доходы производственных единиц и стремится максимизировать их суммарную величину

Ро)Т1^У>—► ШаХ , (Ю)

о 4iy,Kr)

где £1 = {у|0й.у<+оо}х{д|0^Д<+оо}х{г|Ойг<+оо}, т.е. все пространство переменных, при балансовых ограничениях (8), (9) и ограничениях на суммарную величину краткосрочных и долгосрочных кредитов, выданных управляемым им производственным единицам,

¡Liy^r.p^rjiy^ryin^L , (11)

о

j>Ov А,г,р0)?}(у,А,г)4П 4N. (12)

а

Если рынок кредитов является конкурентным, то в задаче для Собственника искомое распределение rj(y,A) не зависит от ставок процента по кредитной линии г, поскольку краткосрочный кредит производственные единицы берут в независимом банке и процент по нему для всех одинаковый. Соответственно пропадает так же ограничение (11) , а в максимизируемом фу-нкционале (10) вместо я"* (у, А, г, р0) стоит х"(у,А,г,р0).

Задача для Банка ставиться аналогично. Поскольку Банк интересуют только проценты по кредитам, в функционал (10) вместо р0) надо подставить ft"*(у, А, г, pQ), если

задача ставиться для сегментированного рынка краткосрочных кредитов, и R'(y,\r,pa), если для конкурентного. Соответственно, в случае конкурентного рынка искомое распределение не зависит от г, и нет ограничения (11).

В поставленных задачах требуется найти распределение Т}(у,А,г) (или »?(}\Д)), доставляющее максимум функционала (10) и не нарушающее неравенства (8), (9), (11) и (12).

Обозначим через s .и w множители Лагранжа к ограничениям (11), (12). Будем интерпретировать их как ставки по краткосрочным и долгосрочным кредитам на межбанковском рынке.

Лемма. Положим H{A,r) = {x"(y,&,rtpa)~wN(y,A,r,pQ)~sL(y,\r,p0)}. 1. Тогда справедливо равенство Лг£тах{/Г(А,г)|0£ =

Здесь

иД,г)|0£А£Л,0<г£тт{Д,^^Я}1, если s ¿mini^^^w}, l A J У

{(А,г)|0*А* ,г- \eC]luw<s<£^yX,

l syHPo~y)w iA+w(A-A)J y

[ w + Л Pù 1 У

J^rJl^oUi^^Ai^^^A^ri^L если X Po Pa \ У

2 Обозначим #(у) = тах{ЩД,г)|0£ A,OSrSÀ}.

Теорема. 1) Если N>. 0, L S: 0, то решение задачи о максимизации функционала (10) при ограничениях (8), (9), (11), (12) существует.

2) Пусть ЛГ^О.Х^О и - решение задачи (8)-(12). Тогда существуют

w 0, j 0 такие, что ty^C.y, = rjiyfâiH (у))<р(\г), где q>(A,r) - вероятностная мера с носителем, содержащимся в R^, и выполняются условия дополняющей нежесткости

о о о )

4/.-7Т 1А- г> (у>А- I=° •

V. о о о )

3)Пусть w^O.f^O и

N = JA^,Л,г,р0)т]{у)и(у. А,г,p0,w,s)dCi <со, _

о

L = J L(yt А, г, p0)tj(y)u(y, А, г, pQ, w, s)dCl < »,

D

где ÎÎ = £>» 10 5 ^ < +оо) х {А 10 £ А < +оо} х {г 10 г < +оо}, dd = dydAdr. u{y,A,r,pa,w,s) = ©(Я (y))S(A - Д^)<5(г - r^).

Тогда rj(y,A,r) ~г](у)и(у,А,г, p0,w,s) является решением задачи (8)-(12).

Дня доказательства этой теоремы применяется метод множителей Лагранжа. Для подобных задач на компакте он был обоснован в работах В .И. Аркина и B .J1. Левина. В данном случае удалось распространить это обоснование на неограниченную область О.

, В §2.6 дана интерпретация полученных результатов и проведено сравнение схем управления финансовыми ресурсами отрасли.

Определение 1. Областью неэффективности называется такая область £> сг □

значений коэффициента доходности ——, что производственные единицы, чей

У

коэффициент доходности попадает в эту область: к(р0,у) е О, имеют среднюю загрузку

и(у^А,г,р0) строго большую нуля и строго меньшую единицы: 0 <и(у. А,г,р0) < 1.

Если коэффициент доходности производственной единицы принадлежит области неэффективности, будем говорить, что сама производственная единица принадлежит области неэ ффективности.

Рисунок 3 построен на основании доказанных теорем. По оси абсцисс в случае сегментированного крынка краткосрочных кредитов отложен простой процент $ по краткосрочным кредитам на межбанковском рынке, а в случае конкурентного рынка

краткосрочных кредитов отложено — ^ . В §2.6 было показано, что ■ Г^ - простой процент,

Л-г Л-г

эквивалентный сложному проценту г г когда момент выплаты по кредитам является

случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с параметром Л.

На рис. 3 представлены четыре области различного поведения производственных

единиц в зависимости от параметров производственной единицы р0,у и параметров

экономической ситуации Заметим, что эти области не зависят от того, кто

управляет производством — Банк или Собственник.

м> я или---

Я~г

рис.3

Производственные единицы первой области работают на полную мощность только за счет краткосрочного кредита, который они получают либо у своей управляющей организации (Банка или Собственника), либо на открытом рынке, в случае сегментированного и конкурентного рынка краткосрочных кредитов, соответственно.

Производственные единицы второй области работаю на полную мощность сначала за счет долгосрочного, а потом краткосрочного кредитов.

Третья труппа производственных единиц — это область неэффективности. Производственные единицы этой области наделяются долгосрочным кредитом, а по его исчерпанию приостанавливают работу до момента реализации.

Производственные единицы из четвертой области не получают кредитов и не работают.

Функцией Ламберта называется функция , удовлетворяющая условию

ехр(Ж(х)) = х. Следующее предложение является следствием доказанных теорем.

Предложение 1. В случае конкурентного рынка краткосрочных кредитов производственным единицам из области 2 и 3 Банк назначает процент по долгосрочным кредитам

д; =-?---(13)

{ * 1Ро

а Собственник

1«!

д„=—(14) и' + А

Такой оке процент (14) Собственник назначает производственным единицам из области 3 в случае неконкурентного рынка краткосрочных кредитов.

В случае неконкурентного рынка краткосрочных кредитов производственным единицам из области 2 и 3 Банк назначает процент по долгосрочным кредитам

и/Л

. ЛГ=-7--;-05)

w

+ Лу( Wy expfminll; }Т "

I^A-jO { 1 МРо-у)}),

В случае неконкурентного рынка краткосрочных кредитов производственным единицам из области 1 и 2 Банк назначает процент по краткосрочным кредитам

(16)

Л

Рассмотрим поведение Банка в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов. Производственная единица берет долгосрочный кредит только если он дешевле

гХ

краткосрочного, т.е. если и' - Производственные единицы, чей коэффициент

— у ) гХ

доходности удовлетворяется условию ~ 1 Г (область 3 на рис. 2.1) не могут

у д * г

расплатиться с краткосрочным кредитом и следовательно единственным источником кредитования для них является Банк.

В соответствии с (13) таким производственным единицам Банк предлагает

увХ

долгосрочный кредит под процент Д£ ---^. Этот процент зависит от

w+JtW

( w£y У l^CA-^J

коэффициента доходности производственной единицы. Чем больше коэффициент доходности производственной единицы, тем больший процент берет с нее Банк. Для производственных единиц, которые не в состоянии брать краткосрочный кредит , Банк выступает в роле монополиста. Он знает спрос Q'(y,A,r,p0), который производственные

единицы предъявляют на долгосрочный кредит в зависимости от процента по нему. Банк решает стандартную задачу о максимизации доходов монополиста

(-р^т-нче'О'АлРо)-» max (17)

здесь (у, Л, г, р0)- спрос на кредит, определенный формулой (7), w - простой процент,

ДА

под который Банк берет длинные деньги на межбанковском рынке,- - простой процент,

Л—А

эквивалентный сложному проценту А, который Банк назначает производственной единице.

„ .. Г.-..--. ■ И'Я Решением этой задачи в точности является Ав =-р-=г.

\ЧРй~У))

Производственные единицы для которых выполняются неравенства

№ < — ■■ < ——— А (область 2 рис. 2.1), могут получить краткосрочный кредит на открытом

Л-г У " '

рынке краткосрочных кредитов. Поэтому они возьмут долгосрочный кредит у Банка, только если он окажется дешевле краткосрочного. Для этой группы производственных единиц Банк уже не является монополистом на рынке кредитов. В соответствии с (13) он устанавливает

м>Л

процент по долгосрочному кредиту на уровне А6 =

И этот процент не зависит от доходности производственной единицы. Поведение Банка схематично представлено на следующем рисунке 4.

рис. 4

В случае неконкурентного рынка краткосрочных кредитов, когда Банк распоряжается обоими видами кредитов, процентная ставка про долгосрочным кредитам (15) зависит от доходности производственной единицы для всех производственных единиц, которые получают кредит от Банка. Процентная ставка по краткосрочным кредитам (16)

у^Л р -у

формируется таким образом, что ■■■6- - - = —-Л. В соответствии с рассмотренными нами

У

в §2.6 вспомогательными задачами это означает, что Банк облагает производственную единицы максимальным процентом, который она только может платить, исходя из своего коэффициента доходности.

Рассмотрим поведение собственника в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов. Собственник назначает производственным единицам процентную ставку по долгосрочному кредиту не зависимо от ее коэффициента доходности согласно (14). Это процентная ставка представляет собой среднее гармоническое между процентом и> на межбанковском рынке долгосрочных кредитов и параметром Л. Выразив из (14) , А Л

получим, что = — с ■ ■. В соответствии с рассмотренной в §2.6 вспомогательной задачей

Л-Ас

Ае - это минимальный сложный процент, который может компенсировать Собственнику простой процент ге, под который он получил долгосрочный кредит на межбанковском рынке. Таким образом, Собственник дает долгосрочный кредит тем производственным единицам, которые могут компенсировать ему его собственные затраты на этот кредит. Он не назначает более доходным единицам более высокий процент. Собственник заинтересован

в том, чтобы производственные единицы брали долгосрочный кредит у него, а не краткосрочный в независимом банке. Ведь если производственные единицы берут краткосрочный кредит, то часть их выручки уходит на выплату процентов по этому кредиту и не попадает в прибыль, которой распоряжается Собственник.

В случае неконкурентного рынка краткосрочных кредитов, Собственник распоряжается обоими видами кредитов. Собственнику становиться безразлично, какие конкретно проценты назначать по кредитам производственным единицам, которые могут компенсировать ему оба вида кредитов (область 1 и область 2), поскольку он в конечном счете распоряжается всей прибылью производственных единиц. Исключение составляют производственные единицы из области неэффективности (область 3), в которой краткосрочный кредит на межбанковском рынке дороже долгосрочного. Производственным единицам из области 3 Собственник назначает процентную ставку по долгосрочному кредиту так, чтоб отсечь производственные единицы, которые не в состоянии компенсировать ему процент по долгосрочному кредиту на межбанковском рынке.

Получается, что Банк назначает монопольный процент, а Собственник конкурентный. Стоит отметить, что это естественное поведение агентов в данной модели не является предположением, а было получено как решение задачи о нахождении процентных ставок по кредитам. Этогг факт можно считать одним из аргументов в пользу применения полученных построений для моделирования российской экономики.

Рассмотрим поведшие Банка и Собственника в области неэффективности. В соответствии с рисунком 2,1 область неэффективности (область 3) задается неравенствами

Ра" У л гЛ Ра-У ч <—-Я <- и —— Л < х в случае конкурентного и сегментированного рынка

У Л —г у

краткосрочных кредитов, соответственно. Банк назначает производственным единицам из области неэффективности ставку по долгосрочному кредиту в размере

Л6=--г—-, согласно (13), (15), а Собственник в размере Д.=-——, согласно

УН-ДИ ^ 1

{цро-у))

(14). Опираясь на свойства функции Ламберта, было показано, что Да > Дв. А поскольку функции загрузки и выпусков убывают по Д, получаем, что в схеме Собственника загрузка и выпуски больше, чем в схеме Банка.

В третьей главе предложена модель производственной системы, позволяющая учесть наличие долгосрочных контрактов между предприятиями. Исследовано влияние контрактов на распределение материальных и финансовых ресурсов отрасли. Проведено сравнение функционирования отраслей описываемых моделью с контрактами и моделью Шананина-Автуховича. Предложен пример использования построенной модели с контрактами в двух секторной модели российской экономики. Доказано существование равновесных цен в двух секторной модели н исследованы их свойства.

В §3.1 предложена модель производства, учитывающая возможность предприятий работать по контрактам.

Дня моделирования контрактных отношений за основу возьмем модель Шананина-Автуховича и заложенную в ней гипотезу о разделении времен на быстрое, среднее и медленное. Будем предполагать, что существуют два рыка сырья (ПФТП) и два рынка готовой продукции - контрактный рынок и свободный рынок с нестабильной реализацией. Цены на одну и ту же продукцию на контрактном и свободном рынках могут различаться. Контракты являются долгосрочными. Предприятие может заключить тот или иной контракт только в том случае, если оно может гарантировать его бесперебойное выполнение.

Рассмотрим функционирование производственной единицы, имеющей мощность т? =1. Для производства единицы продукции ей необходимы п видов ПФТП (сырья),

описываемые вектором хей* . Обозначим через р вектор цен на ПФТП и через р0 цену

ч =

По исчерпанию долгосрочного кредита <2, производственная

выпускаемой продукции на открытом рынке (с нестабильной реализацией). Производственная единица может заключить контракты на поставку своей продукции по цене д0 и на покупку сырья по ценам д. Обозначим через г долю готовой продукции, которую производственная единица поставляет по контрактам. Производственная единица покупает на контрактном рынке ПФТП в объемах х. Естественно, что 0 < г < 1 и 0 х < х.

В начале производственного цикла, предприятие наделяется денежными средствами в размере . Средства выделяются исключительно на обеспечение производства ПФТП. С учетом выручки д0г за поставки продукции по контрактам, этих средств хватает на функционирование производственной единицы до момента времени

0 1 р(х~х) + дх-д^)+

единица может обратиться за кредитной линией в размере К в обслуживающий ее банк. Кредитная линия выделяется только для обеспечения текущих производственных затрат. Поэтому АГ = (р(их — х)^ , где это коэффициент загрузки мощности, с

которым работает производственная единица по исчерпанию долгосрочного кредита Q. Для того, чтобы работать с коэффициентом и, производственной единице необходимы ПФТП в размере их. По контракту с поставщиками, она получает ПФТП в размере х. Недостающие ПФТП в размере (их — х)+ производственная единица докупает на открытом рынке по ценам? р.

Выручка от поставок по контрактам да% поступает на расчетный счет производственной единицы в обслуживающий ее банк. Процент по депозитам и процент за краткосрочный кредит равны г. Тогда динамика расчетного счета производственной единицы может быть найдена из следующей задачи Конго:

= (рОяс -х)++дх~ д0г) +

[С(?о) = 0

Решение этой задачи Коши имеет вид:

дг) = (р(их ~ +^ 1)

Будем считать, что моменты реализации товара на свободном рынке составляют случайный пуассоновскин поток с параметром X. В случайный момент реализации 1 производитель получает выручку

^\р0(1-г)/0+/>0(ы-2)(г-/0), если В момент реализации продукции происходит погашение задолженности перед банком и возвращается с процентами Л долгосрочный кредит Q. Т.е. выплачиваются деньги в размере -+■ Оеы. У производственной единицы еще могут остаться средства от неизрасходованного долгосрочного кредита в размере (¡2 - (р(х -х)+дх- .

Перед менеджерами производственной единицы стоит задача о максимизации математического ожидания денежных доходов за производственный цикл между двумя последовательными моментами реализации:

+ (18) при ограничениях: 0 < х < х, О < г £ и, Ойый!,

Решение этой задачи дает оптимальные стратегии поведения производственной единицы.

В §3.2 сравниваются оптимальные стратегии поведения производственных единиц при различных условиях в модели с контрактами и в модели Шананина-Автуховича.

Определение 2. Пусть (г,г,и,б) является решением задачи о максимизации

функции (18) при заданных Л, х, р0> р, д0, Тогда оптимальной стратегией

производственной единицы, работающей по технологии х, при заданных X, р0, р, д0, ц, будем называть набор из четырех чисел (х, г, К, О), где А!" = (р(их - 4- - ■

Будем говорить, что производственная единицы выбирает стратегию Р = (х,г,К,О), если она покупает ПФ111 на контрактном рынке в размере х, поставляет по контрактам свою продукцию в доли г, берет краткосрочный кредит в размере К, а долгосрочный в размере О

Рассмотрим производственные единицы, чей коэффициент доходности удовлетворяет Д Р0~РХ г

неравенствам -<——— <-, при условии, что краткосрочные кредиты дороже

А—А рх Х—г

долгосрочных, т.е. г > Л. В этом случае в модели Шананина-Автуховича такие производственные единицы берут долгосрочный кредит, а по его исчерпанию приостанавливают производство до момента реализации. Их средняя загрузка строго больше нуля и меньше единицы, т.е. они все принадлежат области неэффективности.

Оптимальные стратегии функционирования производственной единицы в модели с контрактами в этом случае представлены на рис. 5.

Ро-Яъ " Яо

Ро-Я* Рр-Рк дх\рх

>

Область

г

Х—г

Область рЗ

А

Х-А

Область

Область р4

-1

рх

-►

Ро-дх дх

рис 5

Здесь приняты следующие обозначения:

дх

А-/Ч ^с

' , г А

——-—1-1 + —--шт| -.......

л-г [А-Д

Г I__Д_м Г (Л-А) г ^

*А-г| А-Д "V Л А—г J

Л-г\ дх

дх

рх

К-***!

дх

Рд-Рх , )

V рас

Г Ръ-РХГ

рх

1—

А-Д д,

__

ь-^Л д~л

(А-А)

Д рх

))

А

А-г

Из рисунка видно, что плоскость параметров разбивается на четыре области: р4, рЗ, q2, ц4„ Каждая область характеризуется собственной оптимальной стратегией поведения. Причем, производственные единицы из областей р4, ц2, <[4 работают на полную мощность. И только производственные единицы из области рЗ имеют среднюю загрузку больше нуля, меньше единицы и принадлежат области неэффективности. Таким образом, наличие долгосрочных контрактов сужает область неэффективности.

Показано, что все производственные единицы, работавшие на полную мощность в модели Шананина-Автуховича так же работают на полную мощность в построенной модели с контрактами Однако некоторые из них переходят на контрактный рынок и не нуждаются в авансирование затрат на производство, тем самым снижая спрос на кредита!, а в следствии этого н процентные ставки по кредитам.

В §3.3 приведен пример применения предложенных построений для анализа такого парадокса российской экономики, как невыполнения закона Грешама. Этот закон утверждает, что при наличии нескольких рынков и нескольких платежных средств очень быстро отбирается одно. Однако в России это не так. В СССР существовали наличные и безналичные рубли, которые существенно отличались между собой как платежные средства. Одно из отличий состояло в том, что безналичные рубли, выделенные государством определенному предприятию, нельзя было просто так обналичить и они «сгорали» в конце года. Закон Грешама и его следствия так же подразумевают, что среди нескольких каналов обращения товаров так же отбирается один, а остальные закрываются.

Рассмотрена двухсекторная модель российской экономики, в которой вся экономика разбита на ТЭК и неэнергетический сектор (НС). Неэнергетический сектор испытывает нестабильность в реализации своей продукции конечному потребителю, из-за конкуренции с импортом. Он стремиться заключить контракты на поставку своей продукции ТЭКу по цене

<7о. Конечный потребитель может купить продукцию НС на свободном рынке по цене Ро . Неэнергетический сектор описывается моделью с контрактами.

ТЭК не испытывает проблем с реализацией в виду отсутствия конкуренции. Продукция ТЭК доступна конечному потребителю и предприятиям НС на открытом рынке по цене р . ТЭК описывается моделью Хауттекера-Йохансена. Конечный потребитель имеет функцию полезности Кубба-Дугяаса.

Составим систему из трех уравнений, соответствующих трем рынкам. Первое уравнение - это равенство спроса н предложения на контрактном рынке товара НС. Второе уравнение - это равенство спроса и предложения на открытом рынке товара НС. Третье уравнение соответствует равенству спроса и предложения на рынке товаров ТЭК:

2)— = ^{"(Р,Ро>Яа>х2,гъА1Х)-г(р,р0,д0,х2,гуА,Л))^ж(х3)(1зсг1 Ро

г1- (1-а)/ ..

3)]**^^)^ =--— + .|0 х2и(р>Ро>Яо>х1,г,А,Х)Пнс<х7•

Предложение 2. В описанной выше двухотраспевой модели экономики существуют равновесные цены и, если г <. А, то равновесные цены удовлетворяют равенству:

——— = —-—, а если г> А, то равновесные цены удовлетворяют неравенствам: Яо л-?

г ^Ро-Яо^ А Л-г да Л-А

Таким образом, мы видим, что два существенно различных канала реализации продукции существуют одновременно. В случае, когда краткосрочный кредит дешевле, долгосрочного цены в этих каналах отличаются лишь множителем. Если краткосрочный кредит дороже долгосрочного, то цены могут отличатся в пределах определенного коридора. Было показано, что в последнем случае зависимость между ценами р0 и д0 имеет сложную нелинейную структуру.

В §3.4 решена задача об управлении Собственником отраслью производства в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов и с учетом контрактов. Прибыль Собственника от производственной единицы, работающей и на свободном рынке и на контрактном, в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов, вычисляется по формуле

г) = Ит —---.

~ Цп

Используя закон больших чисел, получаем:

где Г0 =—-- ^ ,-—, и = и(х,х,2,К(г)).

{р(*-*) + Ях~Яа2)+

Собственник наделяет каждую производственную единицу собственными средствами (долгосрочный кредитом) в размере Q. Собственник так же принимает решение о заключении производственной единицей долгосрочных контрактов на покупку сырья в размере х и на поставку доли х готовой продукции. Таким образом, Собственник распределяет производственные мощности по £2, х, г. Обозначим это распределение за г}{х,х,х,0) и будем считать, что оно удовлетворяет условию неотрицательности

Г}{х,х,2,0)^0 УгйО, (19)

и естественному балансовому ограничению

|| { п(х.х,2,Я)<£йЫ<2*Т}(х) V**0. (20)

О 0*5*

Собственник распоряжается прибылью производственных единиц и старается максимизировать суммарную прибыль

-НС 1

I ! $ { птах , (21)

. - - 15(1,1,1,0)

я; о ай! '

при ограничении на суммарное количество средств, замороженных собственником под долгосрочные кредиты производственным единицам

■Нй 1

ЛЛ Ог}(х, х, г, 0)ОаЫ00х 5, N. (22)

^ и

Была доказана теорема о существовании и виде решения задачи (19)-(22). Показано, что в модели с контрактами в условиях совершенного рынка краткосрочных кредитов Собственник выдает производственным единицам долгосрочный кредит в таком размере, в

ъ>А

котором они взяли бы его на конкурентном рынке под процент - ——— Это точно

Н1 Т Л

такой же процент, какой назначает Собственник в решении «задачи об управлении финансовыми ресурсами отрасли в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов» из второй главы производственным единицам, которым он выдает долгосрочный кредит ненулевого объема.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1)ГГостроена модель формирования процентных ставок по кредитованию оборотных «редств производства в условиях нестабильной реализации, учитывающая степень сегментированности рынка краткосрочных кредитов. Модель исследована аналитически и подучены формулы для процентных ставок. Проанализировано влияние инфляции на загрузку производственных мощностей и спрос на кредиты.

2)Исследовано влияние форм собственности на эффективность распределения материальных ресурсов отрасли и на загрузку производственных мощностей. Доказано, что если субъект управления заинтересован в максимизации всей прибыли отрасли, а не только выплат по процентам, то загрузка производственных мощностей и выпуск продукции оказывается выше.

3)Показано, что контрактные отношения могут играть роль механизмов стабилизации: они повышают эффективность распределения материальных ресурсов, увеличивают выпуск продукции и уменьшают спрос на кредиты.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Акпарова A.B. «Формирования бартерных отношений в условиях дефицита оборотных средств» // Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2002», секция «Вычислительная математика и кибернетика», с.3-4.

2. Акпарова A.B., Шананин A.A. «Исследование бартерного равновесия в условиях неконкурентного рынка кредитов» И Сообщения по прикладной математике, ВЦ РАН им. Дородницына, 2002, 32 с.

3. Акпарова A.B., Коньков А.К., Шананин A.A. «Сравнение двух моделей управления финансовыми ресурсами отрасли» // Труды конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» часть VII, г.2003, с. 145-147.

4. Акпарова A.B., Шананин A.A. «Модель производства в условиях несовершенной кредитной системы и нестабильной реализации продукции.» // Математическое моделирование, 2005, т. 17, №9, с.60-76.

5. Акпарова A.B., Шананин A.A. «Моделирование влияния контрактов ^"распределение материальных и финансовых ресурсов отрасли» // Труды конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» часть VII, г.2005, с. 146148.

6. Акпарова A.B. «Анализ механизмов управления производством в условиях несовершенства кредитной системы и нестабильности реализации продукции.» // Сообщения по прикладной математике, ВЦ РАН им. Дородницына, г. 2006, 103 с.

Диссертация посвящается моим родителям, Гудашевой Татьяне Александровне, доктору биологических наук, и Акпарову Валерию Халильбековичу, кандидату химических наук.

Выражаю благодарность своему научному руководителю, Шананину Александру Алексеевичу, доктору физико-математических наук, профессору МГУ

Выражаю благодарность Русакову Александру Александровичу, кандидату физико-математических наук, доценту СУНЦ МГУ, и всему преподавательскому составу ФМ1Л №18 им. А Н. Колмогорова.

Подписано в печать 20.09.2006

Формат 60x90/16

Объём 1.00 п.л.

Тираж 100 экз.

Заказ № 20090615

Оттиражировано на ризографе в ООО «УниверПринт» ИНН/КПП 77285729121772801001

Адрес: 117292, г. Москва, ул. Дмитрия Ульянова, д. 8, кор. 2.

Тел.125-22-73.

http://www.uniyefprint.nj

Введение.

Глава 1. Модель отрасли производства с учетом дефицита оборотных средств.

1.1 Модель Хауттекера-Йохансана и необходимость ее модификации.

1 2 Модель производственной единицы в условиях дефицита оборотных средств.

1 3 Модель отрасли производства в условиях конкурентного рынка кредитов Усреднение характеристик производственной единицы.

1 4 Модель отрасли производства в условиях дефицита оборотных средств и инфляции

1 5 Анализ работы ЗАО «Сухановский» с помощью предложенной модели.

Глава 2. Задачи об управлении финансовыми ресурсами отрасли производства в условиях несовершенного рынка кредитов.

2 1 Введение. Две схемы управления финансовыми потоками Банка и Собственника

Конкурентные и неконкурентные рынки кредитов.

2 2 Управление Собственником финансовыми ресурсами отрасли в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов -.

2 3 Управление Банком финансовыми ресурсами отрасли в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов.

2 4 Управление Собственником финансовыми ресурсами отрасли в условиях неконкурентного рынка краткосрочных кредитов.

2 5 Управление Банком финансовыми ресурсами отрасли в условиях неконкурентного рынка краткосрочных кредитов.

2 6 Сравнение схем управления финансовыми ресурсами отрасли.

Глава 3. Моделирование влияния контрактов на распределение материальных и финансовых ресурсов отрасли.

3 1 Модифицированная модель производства с учетом контрактов.

3 2 Сравнение функционирования производственной единицы в условиях конкурентного рынка кредитов в моделях с контрактами и без контрактов.

3.3 Существование равновесных цен в модели взаимодействия Топливно-Энергетического

Комплекса и неэнергетических отраслей экономики России.

3 4 Управление собственником финансовыми ресурсами отрасли в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов и с учетом контрактов.

Актуальность темы. Переход от идеологических дискуссий, происходящих на концептуальном уровне, к систематическим исследованиям на языке магматических моделей является актуальным для всестороннего понимания экономических процессов и для построения эффективной экономической политики

В отделе "Математическое моделирование экономических систем"Вычислительном центре РАН им Дородницына (руководитель - академик A.A. Петров) накоплен значительный опыт математического моделирования российской экономики методами системного анализа Основные результаты за последние 20 лет получены A.A. Петровым, ИГ Поспеловым, А А Шананиным, Н.К. Обросовой [21,30,31] По указанным работам можно легко проследить эволюцию современных методов и представлений в области математического моделирования российской экономики.

В 1999г. под руководством А А Шананина была построена модель для оценки потенциала среднесрочного роста российской экономики в той ситуации, когда еще сохраняется прежняя структура производства, но уже произошло оздоровление кредитно-денежной системы и возникли достаточно конкурентные рынки товаров и капитала Развитием одного из аспектов данной модели является настоящая работа, посвященная моделированию производственной системы.

История моделирования производственной системы восходит еще к работам Леона Вальраса [19], родоначальника математической экономики. Его модель основана на прямом сопоставлении «затраты - выпуск» с помощью технологического множества производителя Идеи Вальраса получили свое развитие в работах Эрроу [1] и Дебре [3], где каждый производитель так же представлен технологическим множеством Yf eR", г е множеством п -мерных векторов, чьи отрицательные компоненты описывают затраты, а положительные представляют соответствующие этим затратам выпуски Модели Вальраса, Эрроу и Дебре легко позволяют изучать отношения собственности в группе предприятий

В модели Леонтьева [10,11] конечный выпуск сопоставляется сделанным затратам с помощью технологической матрицы Модель Леонтьева хорошо приспособлена для описания межотраслевых взаимодействий, однако эта модель не учитывает ограничений на выпуск конечной продукции

Для того чтобы учесть имеющиеся в отрасли ограничения на выпуск конечной продукции, в настоящее время обращаются к распределению мощностей по технологиям. Впервые распределение мощностей по технологиям было использовано в работе Хуатекера [9] для анализа производственных функций типа Кобба-Дугласа Затем, в работах Йохасена [13, 14, 15] был предложен подход к построению производственной функции отрасли на основе информации о распределении мощностей по технологиям Впоследствии такой подход использовался для анализа конкретных отраслей экономики

Норвегии и Швеции [5] . В работе А А. Шананина [32] было показано, что производственная функция отрасли в модели Хаутекера-Йохансена обладает такими неоклассическими свойствами как неубывание и вогнутость В следующей статье А А Шананина [33] была доказана интегрируемость этой функции. Общей чертой моделей производственной системы, предложенных Хуатекером и Йохансеном и нашедших свое развитие в работах Хильденбранда [8], Форсунда [5], Эйдэ [4], является их нейтральность по отношению к оборотным фондам

На продолжении прошлого десятилетия эксперты отмечали [34], что материальные ресурсы в неэнергетических (легкая промышленность, автомобилестроение, станкостроение, фармацевтика, сельское хозяйство итд) отраслях народного хозяйства России распределяются неэффективно Модель Хаутекера-Йохансена, на основании обобщенной леммы Неймана-Пирсона [20], утверждают, что неэффективное распределение ресурсов является следствием кредитования убыточных предприятий Стандартные рекомендации в этом случае - ужесточение монетарной политики Однако в России проводилась сверхжесткая монетарная политика и производственные единицы испытывали дефицит оборотных средств, при этом распределение ресурсов оставалось неэффективным Таким образом, классические модели производства, не учитывающие оборотные средства и особенности современной российской экономики, оказались не в состоянии объяснить ее парадоксы и потребовали существенной модификации

Одной из особенностей российской экономики является то, что при сложившейся конъюнктуре цен производство отечественных товаров народного потребления оказывается рентабельным, однако невысокое качество продукции делает их низко конкурентоспособными [25] по отношению к импортным Низкая конкурентоспособное^ приводит к существенной нестабильности в реализации продукции [27]. Нестабильность в реализации влечет за собой необходимость авансирования затрат на производство.

В 2000 году А. А. Шананиным и Э В Автуховичем [20] была предложена модификация модели Хаутекера-Йохансена, которая позволила объяснить неэффективное распределение ресурсов, как следствие случайного характера моментов реализации в условиях дефицита оборотных средств В статье Н К Обросовой [29] предполагается, что цены на выпускаемую продукцию зависят от объемов реализации При этом предположении описана модель предприятия, испытывающего проблемы с авансированием затрат на производство

Кредитная система - это механизм, как раз созданный для преодоления проблем с авансированием затрат на производство Российская кредитная система пока не является совершенной и производственные единицы испытывают трудности с получением кредитов Традиционно различают два рынка кредитов - краткосрочных и долгосрочных Долгое время доступ на оба рынка кредитов являлись сегментированными [26] В последние годы краткосрочный кредит стал более доступным и рынок краткосрочного кредита можно считать конкурентным. Однако рынок долгосрочного кредита остается сегментированным, т е доступ на него имеют лишь крупные финансовые организации

Крупные финансовые организации в свою очередь обеспечивают кредитом те производственные единицы, которым они доверяют и которые они могут каким-то образом контролировать. В связи с этим актуальным представляется вопрос о том, каким образом крупные финансовые структуры будут строить свои отношения с производством и как преследуемые ими цели повлияют на эффективность распределения материальных ресурсов? Особенно интересен вопрос формирования процентных ставок по долгосрочным кредитам, поскольку во всем мире эта информация является конфиденциальной

В последние годы наблюдается некоторая стабилизация в сбыте отечественных товаров и повышение эффективности распределения материальных ресурсов Однако до настоящего момента не произошло значительного улучшения качества российских товаров по отношению к импортным Эксперш считают, что стабилизация сбьпа произошла за счет установления долгосрочных контрактных отношений между предприятиями В связи с этим возникает необходимость модифицировать разработанные модели производства, чтобы объяснить произошедшую стабилизацию, а так же выявить скрытые угрозы, способные снова дестабилизировать экономические отношения

Аналитическому решению этих актуальных проблем и посвящена данная работа Цель работы. Цель данной работы - построение математических моделей производственной системы для выявления механизма формирования процентных ставок по кредитам в условиях несовершенной кредитной системы и нестабильной реализации продукции и для определения влияния интересов крупных финансово-промышленных организаций на распределение материальных ресурсов отрасли. Целью работы так же является объяснение произошедшей стабилизации на рынке сбыта отечественных товаров и выявление скрытых угроз, способных снова привести к дестабилизации

Методы исследования. Для достижения поставленных целей решались задачи линейного программирования в функциональном пространстве с бесконечным числом ограничений, причем решение было получено в аналитической форме. При решении поставленных задач использовались методы системного анализа, выпуклого анализа и теория экстремальных задач

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной

1 Найдены функции загрузки, прибыли, средств замороженных под краткосрочные и долгосрочные кредиты производственной единицы в зависимости от цены и себестоимости продукции, и так же от процентных ставок по долгосрочным и краткосрочным кредитам

2. Построена модель формирования процентов по долгосрочным кредитам в зависимости от целей кредитодателя и сегментированное™ кредитных рынков Получены формулы для процентных ставок.

3 Найдены оптимальные стратегии поведения производственных единиц при работе в условиях несовершенного рынка кредитов, нестабильной реализации продукции и возможности заключения долгосрочных контрактов

Диссертация состоит из трех глав и приложения

В первой главе исследуется модель отрасли производства в условиях дефицита оборотных средств, предложенная Шананиным и Автуховичем и являющаяся модификацией модели Хаутекера-Йохансена Для модели Шананина-Автуховича находятся функции спроса, предложения и прибыли Исследуются свойства производственной функции в сравнении с моделью Хаутекера-Йохансена В модель Шананина-Автуховича вводится новый параметр для того, чтобы учесть инфляцию

В §1 1 дается описание базовой модели Хаутекера-Йохансена и формулируется обобщенная лемма Неймана-Пирсона Модель Хаутекера-Йохансена опирается на гипотезу о разделении времен В быстром времени происходят процессы маркетинга и обеспечения производства. В медленном времени изменяются производственные мощности. Переменные, относящиеся к быстрому времени, в задачах, поставленных для медленного времени считаются константами Модель Хаутекера-Йохансена описывает распределение ресурсов в отрасли при заданной структуре мощностей, т е в быстром времени

В §12 приведена модель производственной единицы в условиях дефицита оборотных средств (модель Шананина-Автуховича) В модели Шананина-Автуховича по сравнению с базовой моделью усложняется иерархия характерных временных масштабов и считается, что моменты реализации образуют случайный пуассоновский поток с параметром Я

В рамках этой модели была решена задача о максимизации математического ожидания денежных доходов за цикл деятельности производственной единицы между двумя последовательными моментами реализации продукции

В §1.3 найдены усредненные характеристики производственной единицы в рамках модели Шананина-Автуховича и исследованы функции спроса, предложения и производственная функция отрасли Были найдены среднее значение средств замороженных под краткосрочные и долгосрочные кредиты производственной единице Было показано, чго функции спроса и предложения в модели Шананина-Автуховича не всегда являются интегрируемыми Приведен пример невогнутой производственной функции в модели Шананина-Автуховича

В §14 модель Шананина-Автуховича модифицирована так, чтобы учесть инфляцию Было предположено, что цена продукции и вектор цен на производственные факторы текущего пользования (ПФТП) в модели Шананина-Автуховича растут экспоненциально с темпом инфляции /.При таком предположении решена задача о максимизации математического ожидания денежных доходов за цикл деятельности производственной единицы между двумя последовательными моментами реализации продукции . Найдена формула для загрузки производственной единицы, работающей в условиях инфляции и обсуждается влияние инфляции на загрузку

В §1.5 приведен пример качественного анализа работы производства в ЗАО «Сухановский» с помощью построенной модели

Вторая глава посвящена изучению того, как влияют цели крупных финансовых организаций на распределение материальных и финансовых ресурсов в подконтрольных им группах производственных единиц Описано формирование процентов по долгосрочным кредитам в зависимости от целей кредитодателя и сегментированности кредитных рынков Доказан аналог обобщенной леммы Неймана-Пирсона Найдены формулы для процентных ставок.

В §2 1 предложены две схемы управления финансовыми потоками отрасли производства, условно названные схемой Собственника и схемой Банка В схеме Собственника управляющий субъект распоряжается всей прибылью производственных единиц и заинтересован в ее максимизации. Банк строит чисто коммерческие отношения с производством, наделяя производственные единицы оборотными средствами и не распоряжаясь всей прибылью предприятия Он взимает проценты за предоставленные кредиты Банк заинтересован в максимизации суммарных процентов, получаемых им с производственных единиц

Для каждой схемы проанализирован случай как конкурентного рынка краткосрочных кредитов, так и сегментированного В случае конкурентного рынка краткосрочный кредит доступен всем производи венным единицам под одинаковый процент Они берут его на открытом рынке краткосрочных кредитов, а Банк или Собственник наделяет их только долгосрочным кредитом В случае сегментированного рынка краткосрочных кредитов доступ на рынок краткосрочных кредитов имеют только крупные агенты, и такой рынок называется межбанковским. При этом Банк или Собственник наделяют подконтрольные им производственные единицы и долгосрочным и краткосрочным кредитом, устанавливая каждой производственной единице свои проценты

В §2 2, §2 3, §2.4, §2.5, поставлены четыре задачи об управлении Собственником и Банком финансовыми ресурсами отрасли в условиях конкурентного и сегментированного рынков краткосрочных кредитов, соответственно С математической точки зрения это задачи линейною программирования в функциональном пространстве с бесконечным числом ограничений Были доказаны теоремы о существовании и структуре решений этих задач, причем решения задач удалось найти в аналитической форме Эти теоремы являются аналогами обобщенной леммы Неймана-Пирсона

В §2 6 дана интерпретация полученных результатов и проведено сравнение схем управления финансовыми ресурсами отрасли. Показано, что производственные единицы разбиваются управляющим субъектом на четыре группы в зависимости от коэффициента рентабельности

Производственные единицы первой группы работают на полную мощность только за счет краткосрочного кредита, который они получают либо у своей управляющей организации (Банка или Собственника), либо на открытом рынке, в случае сегментированного и конкурентного рынка краткосрочных кредитов, соответственно.

Производственные единицы второй группы работаю на полную мощность сначала за счет долгосрочного, а потом краткосрочного кредитов

Третья группа производственных единиц - это область неэффективности. Среди производственных единиц третьей группы ресурсы распределяются неэффективно, те загружаются менее рентабельные, при недогрузке более рентабельных Производственные единицы этой группы наделяются долгосрочным кредитом, а по его исчерпанию приостанавливают работу до момента реализации Средняя загрузка таких производственных единиц строго больше нуля и меньше единицы

Производственные единицы четвертой группы не получают кредитов и не работают.

Были выписаны процентные ставки, по которым Банк и Собственник наделяются денежными средствами свои производственные единицы Показано, что Банк назначает монопольный процент, а Собственник конкурентный

В третьей главе предложена модель производственной системы, позволяющая учесть наличие долгосрочных контрактов между предприятиями Исследовано влияние контрактов на распределение материальных и финансовых ресурсов отрасли Проведено сравнение функционирования отраслей описываемых моделью с контрактами и моделью Шананина-Автуховича Предложен пример использования построенной модели с контрактами в двух секторной модели российской экономики. Доказано существование равновесных цен в двухсекторной модели и исследованы их свойства

В §3 1 предложена модель производства, учитывающая возможность предприятий работать по контрактам Для моделирования контрактных отношений за основу взята модель Шананина-Автуховича и заложенная в ней гипотезу о разделении времен на быстрое, среднее и медленное

Будем предполагать, что существуют два рыка сырья (ПФТП) и два рынка готовой продукции - контрактный рынок и свободный рынок с нестабильной реализацией Цены на одну и ту же продукцию на контрактном и свободном рынках могут различаться Контракты являются долгосрочными Предприятие может заключить тот или иной контракт только в том случае, если оно может гарантировать его бесперебойное выполнение

Решена задача о максимизации математического ожидания денежных доходов за период между двумя последовательными реализациями продукции

В §3 2 сравниваются оптимальные стратегии поведения производственных единиц при различных условиях в модели с контрактами и в модели Шананина-Автуховича Показано, что наличие контрактов сужает область неэффективного распределения ресурсов и уменьшает потребность предприятий в кредитах.

В §3 3 приведен пример применения предложенных построений для анализа такого парадокса российской экономики, как невыполнения закона Грешама Рассмотрена двухсекторная модель российской экономики, в которой вся экономика разбита на ТЭК и неэнергегический сектор Доказано, что такой двухсекторной модели существую I равновесные цены Найдены оценки на отношение равновесных цен на свободном и контрактном рынках

В §3 4 решена задача об управлении Собственником финансовыми ресурсами отрасли в условиях конкурентного рынка краткосрочных кредитов для модели с контрактами

1. Deubreu G Theory of Value Wiley, New-York, 1959 4

2. Forsund F., Hjalmarsson L. Production function in Swedish particle board industry In Le capital dans la Fonction de Production, Pans, 1978, p.79-99. 6 Henkin G M., Shananin A A Bernstein theorems and Radon transform Application to the theory of production functions Translations of mathematical monographs, 1990, V 81, p 189-223.

3. Henkin G M Shananin A A. The Bernstein theorems for Fantappie lndicatnx and their applications to mathematical economics// Lecture notes in pure and applied mathematics, 1991, v. 132, p 221-227

4. Hindenbrand W Short-run production Econometrica,1981 v 49. N5, p 1095-1125. 9 function based on microdata// Houthakker H S The Pareto distribution and the Cobb-Douglas production function inactivity analysis //Rev. Econ Studies, 1955-56, v23(1),N60,p27-31

5. Leontiev V. Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of United States Quarterly Journal of Economic, 1936

6. Johansen L Production functions Amsterdam -london North Holland C o 1972, 274 p. 16 Sato К Production function and aggregation Amsterdam, New-York, 1975

7. Seierstad A. The macro production function uniquely determines the capacity distribution of the micro units// Econ Letters, 1981, v.7,N3,p221-214 18 Shephard R W. Indirect production functions Mathematical systems in economics N10, 1974 19 Walras L Elements deconomie politique pure ou theone de la richesse sociale Corbas, Lausanne, 1874 20 Автухович Э В Шананин A A. Отрасль производства в условиях дефицига оборотных средств Математическоемоделирование, 2000. Т.12. №7 С 102-126.

8. Автухович Э В Гуриев С М Оленев Н Н Нетров А А Поспелов И Г Шанаиин А А Чуканов С В Математическая модель региональной экономики М ВЦРАН, 1999. 143с 229

9. Аркин В И Левин В Л Вариационные задачи с функциями многих неременных и модель раснределения ресурсов Математическая экономика и функциональный анализ /Подред БСМитягина М Наука, 1974 С 7 3 4