автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели прогнозирования индекса моторики на основе многомерного статистического анализа



Вильдеман Александр Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ИНДЕКСА МОТОРИКИ НА ОСНОВЕ МНОГОМЕРНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 ЛЕК 2010

Пермь-2010

004617491

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Ташкинов Анатолий Александрович

доктор физико-математических наук, профессор

Русаков Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Митюшов Евгений Александрович

Ведущая организация:

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

Защита состоится 28 декабря 2010 г. в 16-00 на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при Пермском государственном техническом университете по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, ауд. 4236.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан «¿¿_» ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Л.Н. Кротов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Анализ состояния и поведения реальных объектов во многих случаях связан с применением статистических моделей и методов для исследования закономерностей и определения трендовых зависимостей. Изучаемые явления и процессы, как правило, протекают в условиях многофакторности, что приводит к необходимости использования аппарата многомерного статистического анализа. Большой вклад в развитие вероятностно-статистического моделирования внесли Т. Байес, К. Гаусс, К. Пирсон, Р. Фишер, А.Н. Колмогоров, С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян и др.

Одним из направлений моделирования систем и процессов является разработка математических моделей прогнозирования, описывающих взаимосвязи между ключевыми показателями и факторами области приложения. Существенное практическое значение при создании прогнозных моделей имеет учет индивидуальных характеристик конкретного объекта, позволяющий скорректировать параметры групповой модели и получить более достоверный индивидуальный прогноз. Важный вклад в развитие теории индивидуального прогнозирования внесли работы Ю.П. Самарина, В.П. Радченко, Ю.В. Соколкина и их учеников.

Особое место среди статистических исследований занимает моделирование медико-социальных систем и процессов, объединяющее в себе информационные технологии, математические методы и современные подходы в медицине и социальной реабилитации. Задачи прогнозирования состояния человека, обладающего патологическими отклонениями, на основе исследования статистических закономерностей решаются во многих областях медицины. Вместе с тем, одним из малоизученных направлений является прогнозирование состояния больных с врожденными нарушениями двигательных функций, на текущее развитие которых во многом влияют родовые и дородовые факторы риска. К таким больным, в частности, относятся дети с церебральным параличом.

Одним из ключевых показателей состояния больного детским церебральным параличом (ДЦП) является индекс моторики - величина, характеризующая интегральный уровень двигательного развития, определяемая экспертным путем.

К числу недостатков существующих моделей прогнозирования индекса моторики у больных ДЦП, основанных на одномерном регрессионном анализе, относится то, что они не позволяют описать совместное действие большого количества факторов, влияющих на процесс двигательного развития, и не принимают во внимание индивидуальные особенности конкретного человека, для которого строится прогноз.

В связи с этим актуальным представляется построение многомерных моделей прогнозирования индекса моторики, учитывающих индивидуальные характеристики конкретного больного.

Целью работы является разработка математических моделей прогнозирования индекса моторики у больных ДЦП на основе методов многомерного статистического анализа.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Проведение пошагового отбора факторов, значимых для прогнозирования индекса моторики.

2. Создание математической модели прогнозирования уровня двигательного развития методом дискриминантного анализа на основе многомерного нормального закона распределения.

3. Исследование возможностей модификации метода дискриминантного анализа для обобщения его на другие классы многомерных несимметричных статистических распределений и разработка математической модели прогнозирования индекса моторики на основе модифицированного метода дискриминантного анализа.

4. Построение модели прогнозирования уровня развития моторных навыков в форме логических условий с помощью метода деревьев классификации.

5. Разработка статистических методов и моделей индивидуального прогнозирования индекса моторики, исследование устойчивости моделей к возмущениям начальных данных, обусловленным погрешностью определения показателя двигательного развития.

6. Описание концепции и создание прототипа информационно-аналитической системы, реализующей разрабатываемые статистические методы и модели прогнозирования.

Научная иовизна работы состоит в следующем:

1. Построены новые математические модели прогнозирования индекса моторики с использованием методов дискриминантного анализа, деревьев классификации и индивидуального прогнозирования.

2. Впервые предложено развитие методов дискриминантного анализа на случай, когда распределение объектов в классе описывается многомерным логнормальным законом.

3. Получен новый метод прогнозирования индекса моторики, основанный на вычислении параметров статистической модели, описывающей двигательное развитие у группы больных, по данным начального обследования индивидуального больного с учетом влияния родовых и дородовых факторов.

4. Разработаны новые вычислительные алгоритмы логнормального дискриминантного анализа и метода индивидуального прогнозирования индекса моторики.

5. Создан новый комплекс программ, реализующий разработанные алгоритмы и автоматизирующий процессы регистрации, статистической обработки и многомерного анализа данных при реабилитации инвалидов.

Достоверность полученных результатов подтверждена проверкой математических моделей на обучающих и независимых контрольных статистических выборках данных.

Практическая значимость работы состоит в разработке концепции и создании прототипа информационно-аналитической системы поддержки принятия решений при реабилитации инвалидов. Прототип внедрен в Пермском краевом государственном автономном учреждении «Центр комплексной реабилитации инвалидов». В состав программного комплекса входит база данных и ряд приложений, обеспечивающих автоматизированный ввод, хранение и обработку информации. Получен акт внедрения результатов диссертационной работы в практическую деятельность Центра.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Прикладная математика и механика» (Пермь, 2007,2008);

-XVI и XVII Всероссийских школах-конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2007, 2008);

- Краевой дистанционной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Молодежная наука Прикамья» (Пермь, 2008);

- XXII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Псков, 2009);

- VI Всероссийской открытой научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 2010);

- Межрегиональной научно-практической конференции с международным участием «Актуальные вопросы медико-социальной реабилитации» (Пермь, 2010).

Полностью диссертация обсуждалась на семинарах кафедр «Математическое моделирование систем и процессов» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов), «Механика композиционных материалов и конструкций» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор Ю.В. Соколкин), «Теоретическая механика» ПГТУ (рук. д.т.н., профессор Ю.И. Няшин), на научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. академик РАН В.П. Матвеенко).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ, из них 4 статьи - в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, принадлежат постановки задач (совместно с научным руководителем), построение математических моделей, разработка вычислительных алгоритмов и реализация комплекса программ, анализ результатов (совместно с научным руководителем).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 разделов, заключения, списка литературы из 95 источников. Общий объем работы составляет 140 страниц, содержит 41 рисунок и 24 таблицы.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы. Формулируются цели и задачи исследования. Аргументируется научная новизна и практическая значимость работы. Дается краткая характеристика основных разделов работы.

Первый раздел носит обзорный характер. Рассматриваются основные направления применения математического моделирования для решения задач медицины и биомеханики. В рамках направления изучения закономерностей в медико-статистических данных исследуются подходы и методы многомерного статистического анализа. Рассматриваются основы индивидуального прогнозирования, направленного на повышение точности прогнозных статистических моделей. Приводится аналитический обзор работ, посвященных созданию моделей прогнозирования состояния человека, обладающего патологическими отклонениями. Формулируются актуальные задачи математического моделирования медико-социальных систем и процессов.

Второй раздел посвящен построению математической модели прогнозирования уровня двигательного развития у больных детским церебральным параличом с использованием метода дискриминантного анализа на основе многомерного нормального закона распределения. В качестве показателя двигательного развития рассматривается индекс моторики. Исходя из методики определения данная величина может измеряться как в непрерывной шкале, принимая значения от 0 до 60, так и в дискретной шкале, принимая значения: 1 - низкий, 2 - средний и 3 - высокий. Помимо индекса моторики, состояние больного характеризует т дородовых, родовых и текущих факторов хк, в результате чего каждое наблюдение за больным представляется в виде реализации случайного вектора

х = (х^...хк...хт)Т. (1)

Общий объем исследуемой статистической выборки составляет 157 наблюдений, соответствующих 73 больным, состояние которых описывается 62 факторами. Данные были получены в результате совместной работы с Пермским краевым Центром комплексной реабилитации инвалидов.

Дается постановка задачи прогнозирования индекса моторики в дискретной шкале оценивания, направленной на определение решающих прогнозных правил, позволяющих отнести многомерное наблюдение за больным х к одному из трех классов, характеризуемых различным уровнем индекса моторики.

Для определения факторов, оказывающих наиболее сильное влияние на уровень развития двигательных навыков (табл. 1), применяется процедура пошагового отбора значимых дискриминантных переменных, основанная на проверке ^-критерия

м_

где - значение к фактора (к = \,т), соответствующее ] наблюдению

(у' = 1, и,) в / классе (¿ = 1,1); хТ - среднее в i классе значение фактора хк; х4 - общее среднее; V,, у2 - степени свободы.

Таблица 1

Дискриминантные переменные _

** Наименование F Диапазон

Возраст больного в месяцах 21,89 (7; 193)

Показатели кардиограммы, зависящие от возраста

*5 Вегетативный показатель ритма в условиях функционального покоя ВПР1 6,08 (0,12; 5,36)

*3 Индекс напряжения регуляторных систем в условиях функционального покоя ИН1 4,45 (5,53; 1666,67)

*9 Вегетативный показатель ритма при нагрузке ВПР2 3,66 (0,08; 1,97)

Характеристики родового и дородового состояния больного

хзз Экстремально низкая масса при рождении 15,19 1 - да / 2 - нет

х51 Родовая помощь. Амниотомия 8,16 1 - да / 2 - нет

Х\1 Гестоз (осложнение) первой половины беременности у матери больного 7,17 1 - да / 2 - нет

ХИ6 Трудности родов у матери. Слабость родовой деятельности 6,26 1 - да / 2 - нет

х37 Наличие признаков внутриутробной гипоксии (кислородного голодания) 5,85 1 - да / 2 - нет

Х24 Соматические заболевания у матери. Ожирение 5,76 1 - да / 2 - нет

х12 Течение предыдущей беременности у матери 5,73 1 - выкидыш / 2 - аборт/ 3 - норма

*61 Обвитие пуповиной 4,98 1 - да/2-нет

Инфекции у матери во время беременности. ОРВИ 4,94 1 - да / 2 - нет

Х29 Операции у матери 4,70 1 - да / 2 - нет

хм Экстремально высокая масса при рождении 4,08 1 - да / 2 - нет

ХА% Трудности родов у матери. Клинически узкий таз 3,67 1 - да/2 - нет

Полученное в результате множество дискриминантных переменных используется при построении модели прогнозирования индекса моторики в форме линейных классифицирующих функций

к,(х) = (х, Х-у0)-^0, + ,

(3)

где - вектор математического ожидания; I - ковариационная матрица; (•,■) - обозначение скалярного произведения. Класс принадлежности больного определяется наибольшим значением классифицирующей функции. .

Для визуальной иллюстраций обнаруженных закономерностей строится диаграмма распределения многомерных наблюдений за больными в пространстве дискриминантных функций и g% (рис. 1), а также графики изолиний апостериорных вероятностей отнесения больного к классу (рис. 2, класс № 1)

Iл,т

(4)

где - априорная вероятность принадлежности больного классу; /¡(х) -плотность распределения х. В рамках настоящего раздела используется многомерный нормальный закон распределения.

6«

. I ' * •

I

— п.. 0 г:

----Т----1 - Л - _ - ____I * _ _

I I * I

0 Ь а» 1 : г. ^Г п

^--кшст—^.....

,ь таарг | ' \ * класотз I й < ц-1-1-£-1—

-6 -4 -2 О «1

Рис. 1. Многомерные наблюдения за больными в пространстве дискриминантных функций

Рис. 2. Изолинии апостериорной вероятности отнесения больного к классу (на примере класса № 1)

Достоверность результатов, полученных с применением модели к прогнозированию индекса моторики у группы больных, подтверждается точечными и интервальными оценками вероятностей правильной

классификации наблюдений обучающей выборки р = 0,89±0,05 и независимой контрольной выборки р = 0,77 + 0,15.

В третьем разделе предлагается модификация метода дискриминантного анализа на основе многомерного логнормального закона распределения

/(*) = (2Л) 2|Я1 2ехрГ-1(1пх-у^)гО,.-'(1пх-у">)1, (5)

*|'*2■■•■■*« V 2 )

| /1/ / ч ___

параметры которого задаются оценками = — £ ЦхУ 1 (ц-\,т, / = 1, /);

Щ у-1

И, - 1 ¡ш 1

В соответствии с правилом классификации Байеса, опираясь на равенство ковариационных матриц классов и свойства квадратичных форм, выводятся аналитические выражения классифицирующих функций, позволяющих отнести объект к одному из возможных классов, в случае, когда дискриминантные переменные принимают только положительные значения, а распределение объектов в классе хорошо согласуется с многомерным логнормальным законом

^(х) = (1пх>И',)-х,=шах, (6)

1=1,/

где К^СТУ'; =Д(у<0,СГУ'>)-1п9,..

На основе полученных классифицирующих функций строится математическая модель прогнозирования индекса моторики в дискретной шкале оценивания у больных ДЦП. Возможность применения модифицированного метода проверяется с помощью различных критериев согласия.

Применение алгоритма логнормального дискриминантного анализа, реализованного в виде вычислительной процедуры, для решения задачи прогнозирования индекса моторики не приводит к принципиальным изменениям в правильности многомерной классификации, однако подтверждает возможность использования предложенного алгоритма.

Четвертый раздел посвящен построению решающих правил прогнозирования индекса моторики в форме логических классифицирующих условий с использованием метода деревьев классификации. Исследуется влияние параметров метода на получение различных деревьев классификации, представляющих собой древовидные графы, состоящие из узлов принятия решений, соединенных друг с другом ребрами. В каждом узле проверяется условие на значение входной переменной и строится гистограмма распределения значений прогнозируемого показателя.

Для решения задачи прогнозирования индекса моторики в дискретной шкале оценивания применяется алгоритм построения дерева классификации на

основе последовательной проверки гипотезы о независимости двух переменных по критерию х2 ■ С помощью построенных деревьев классификации проводится более подробное изучение влияния дородовых, родовых и текущих значимых факторов на формирование двигательных навыков в различном возрасте. Определяются диапазоны изменения факторов, соответствующие наиболее высокому уровню развития моторики у больных с двигательными нарушениями.

В пятом разделе рассматривается задача индивидуального прогнозирования индекса моторики в непрерывной шкале оценивания, направленная на определение трендовой зависимости (J - условный

номер больного, г - возраст в месяцах) на основе динамики двигательного развития группы больных с тем же диагнозом в течение интервала [?,; /е] с

учетом индивидуальных данных индекса моторики у^ (у = 1,0о) в течение периода основания прогноза т0 = (г0о < tQ).

Исследуется структура изучаемого случайного процесса развития двигательных навыков 7(7) на примере пяти больных детским церебральным параличом (рис. 3). Построенная корреляционная функция процесса

гу (/, О = М[У(0 7(0] / ^¡ЩЩх^) при фиксированном ¿ = 15 (мес.)

характеризуется достаточно сильной вероятностной зависимостью между его сечениями (рис.4), на основе чего в первом приближении принимается гипотеза о подобии кривых, описывающих динамику изменения индекса моторики, и строятся упрощенные модели прогнозирования по лидеру, позволяющие вычислить значение прогнозируемого показателя в заданный момент времени, не прибегая к построению функциональной зависимости.

60 40 20

о/ = 1 Ы = 2

•У = 4 ДУ = 5

А

1 8

« л

15 30 45 60 75 90 105

Рис. 3. Реализации индекса моторики на примере пяти больных

1

0.8 0.6 0.4 0.2

/, мес.

15 30 45 60 75 90 105

Рис. 4. Корреляционная функция индекса моторики

мес.

Для исследования возможностей создания аналитических моделей индивидуального прогнозирования анализируется алгоритм расчета

индивидуальных деформационных свойств элементов конструкций в условиях ползучести, рассмотренный ранее Ю.П. Самариным и его учениками.

По аналогии с данным алгоритмом предлагается метод индивидуального прогнозирования индекса моторики. Предлагаемый метод основывается на вычислении параметров статистической модели, описывающей двигательное развитие у группы больных, по характеристикам, полученным на начальном этапе обследования больного, для которого строится прогноз. Для обобщения метода на многомерный случай при построении математических моделей индивидуального прогнозирования индекса моторики учитывается влияние родовых и дородовых факторов риска Рг (табл. 2), значимость которых была показана в четвертом разделе. Возможные значения Рг определяются следующим образом: 0 - «нет», 1 - «да».

Таблица 2

Множество значимых родовых и дородовых факторов

Рг Наименование 5Г

Рх Наличие признаков внутриутробного инфицирования (*36) -0,50

Рг Наличие признаков внутриутробной гипоксии (х37) -0,39

Рг Экстремально низкая масса при рождении (х33) -0,28

В основе предлагаемого метода лежит следующий алгоритм. На первом шаге методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых, предложенным ранее Ю.П. Самариным для аппроксимации кривых ползучести, вычисляются параметры а0, ач, Хд (д =!, <2) тренда среднего индекса моторики для группы больных

И

Тренд индивидуального индекса моторики ищется в виде монотонно возрастающей ограниченной сверху функции = +

9=1

Вводится обобщенный фактор родовых и дородовых условий Ф = ЕМ3г, где

г

5Г - коэффициент корреляции Рг с индексом моторики. Величина индекса моторики в начальный момент времени при отсутствии влияния родовых и дородовых факторов риска ^ находится в результате решения выпуклой

задачи оптимизации с ограничениями типа неравенств:

Найти Д<У)| и А(д = 1,0):

2

у=1V 9=1 /

о=1

тах'

где Хд(д = 1,0) - известные величины, определенные при выделении группового тренда /(<); в0 - количество значений индивидуального индекса моторики на интервале т0; у':^ - величина реального индекса моторики у J больного в момент времени е т0; - наиболее отдаленный момент времени, на который строится прогноз; утт - наибольшее возможное значение индекса моторики. Задача (7) может быть решена численно, например, одним из градиентных методов, либо аналитически по теореме Куна-Таккера.

С помощью линейной аппроксимации зависимости реального индекса моторики в начальный момент времени от величины обобщенного фактора родовых и дородовых условий для группы больных вычисляется угловой коэффициент ц, определяющий то, насколько сильно начальный индекс моторики изменяется в связи с влиянием факторов Рг.

Полученный коэффициент ц. используется для корректировки с учетом влияния родовых и дородовых факторов Лд" - Дз^^д + цФ(7).

Остальные индивидуальные коэффициенты А^'1 (у = 1, (2) находятся из решения задачи оптимизации, аналогичной задаче (7), с использованием вычисленного на предыдущем шаге скорректированного .

Описанный алгоритм применяется к построению индивидуальных прогнозов индекса моторики у исследуемой группы больных в условиях, когда интервал основания прогноза т0 е (0; 45] (мес.) меньше периода, на который строится прогноз, и исходные индивидуальные данные плохо согласуются с групповым трендом среднего индекса моторики (рис. 5).

Достоверность результатов индивидуального прогнозирования подтверждается полученными величинами коэффициентов детерминации (табл. 3). Показано последовательное повышение достоверности при переходе от прогнозирования по лидеру к одномерным, а затем многомерным моделям индивидуального прогнозирования.

60 - 0./=/

□ ./ = .2

а J = 3

• J = 4

40 - ьJ = 5

J-1-1, мес.

15 30 45 60 75 90 105 Рис. 5. Индивидуальные значения и прогнозы индекса моторики

Таблица 3

Достоверность результатов индивидуального прогнозирования

Номер реализации J 1 2 3 4 5 Итого

Коэффициент детерминации Я2 0,84 0,89 0,88 0,95 0,92 0,90

Исследуется влияние различных комбинаций родовых и дородовых факторов на индивидуальную динамику индекса моторики. Оценивается изменение величины среднеквадратичной ошибки прогнозирования при увеличении объема исходных данных.

Проверка устойчивости моделей индивидуального прогнозирования к возмущениям исходных данных показала, что отклонения прогнозных моделей при фиксированной величине смещения начальных данных в 5 % варьируются в зависимости от количества, положения и направления возмущений и не превосходят в среднем 21 % на исследуемом интервале.

В шестом разделе предлагается концепция создания информационно-аналитической системы поддержки принятия решений при реабилитации инвалидов, направленной на внедрение результатов проведенных статистических исследований в практическую деятельность врачей. Рассматривается архитектура и структура базы данных системы. Описываются основные возможности разработанного прототипа системы, внедренного в Пермском краевом Центре комплексной реабилитации инвалидов.

В заключении формулируются основные научные результаты выполненных исследований:

1. Предложена модификация метода дискриминантного анализа, направленная на получение аналитических классифицирующих функций, позволяющих отнести многомерное наблюдение за объектом к одному из классов, характеризуемых различным уровнем прогнозируемого показателя и описываемых многомерным логнормальным законом распределения.

Построены математические модели прогнозирования индекса моторики в дискретной шкале оценивания с использованием методов дискриминантного анализа и деревьев классификации.

2. Разработан метод прогнозирования индекса моторики в непрерывной шкале оценивания, основанный на вычислении параметров статистической модели, описывающей изменение индекса моторики у группы больных с возрастом, по данным начального обследования индивидуального больного с учетом влияния родовых и дородовых факторов. На основе анализа корреляционной функции случайного процесса двигательного развития получены модели прогнозирования по лидеру, одномерные и многомерные модели индивидуального прогнозирования индекса моторики.

3. Проверена достоверность результатов, полученных с применением разработанных моделей к прогнозированию индекса моторики у больных обучающей и контрольной выборок, Исследована устойчивость моделей индивидуального прогнозирования индекса моторики к возмущениям начальных данных. Проверена выпуклость задачи оптимизации с ограничениями типа неравенств, лежащей в основе методики индивидуального прогнозирования индекса моторики.

4. Разработаны вычислительные алгоритмы логнормального дискриминантного анализа и метода индивидуального прогнозирования индекса моторики. Предложена концепция создания информационно-аналитической системы поддержки принятия решений при реабилитации инвалидов. В качестве прототипа системы реализован комплекс программ, автоматизирующий процессы регистрации, статистической обработки и многомерного анализа данных, внедренный в Пермском краевом Центре комплексной реабилитации инвалидов.

5. В результате применения многомерного статистического анализа в задачах прогнозирования индекса моторики у больных детским церебральным параличом определено множество факторов, оказывающих значимое влияние на развитие моторных навыков, включающее как характеристики текущего состояния больного, так и показатели родовых и дородовых условий. Установлены статистические закономерности двигательного развития, описывающие влияние значимых факторов на величину индекса моторики.

Список основных публикаций

Публикации в изданиях из перечня ВАК:

1. Ташкинов A.A., Вильдеман A.B., Бронников В.А. Применение метода деревьев классификации к прогнозированию уровня развития моторики у больных с нарушениями двигательных функций // Российский журнал биомеханики. - 2008. - Т. 12, № 4 (42). - С. 84 - 95.

2. Ташкинов A.A., Вильдеман A.B., Бронников В.А. Модели классификации в задачах прогнозирования двигательного развития у детей с церебральным параличом // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. -2010. -Том 9. -№ 1.- С. 142-149.

: 3. Ташкинов A.A., Вилъдеман A.B., Бронников В.А. Индивидуальное прогнозирование двигательного развития у больных детским церебральным параличом на основе подходов статистического анализа II Российский журнал биомеханики. - 2010. - Т. 14, № 2 (48). - С. 69 - 78.

4. Вилъдеман A.B., Ташкинов A.A., Бронников В.А. Многомерный метод индивидуального прогнозирования индекса моторики // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2010. -№ 3. - С. 79 - 85.

Публикации в других изданиях:

5. Вилъдеман A.B., Ташкинов A.A. Математические модели индивидуального прогнозирования в медицине // Прикладная математика и механика: тезисы докладов научно-технической конференции студентов и молодых ученых. - Пермь: ПГТУ, 2007. - С. 44 - 46.

6. Вилъдеман A.B., Ташкинов A.A. Математические модели дискриминантного анализа в медицине // Математическое моделирование в естественных науках: тезисы докладов XVI Всероссийской конференции молодых ученых. - Пермь: ПГТУ, 2007. - С. 20 - 21.

7. Ташкинов A.A., Вилъдеман A.B. Математические модели дискриминантного анализа в задачах прогнозирования комплексного показателя моторики больных ДЦП // Математическое моделирование систем и процессов. Спец. выпуск. - 2008. - С. 155 - 163.

8. Вилъдеман A.B., Ташкинов A.A. Деревья классификации в задачах прогнозирования двигательного развития у больных детским церебральным параличом // Прикладная математика и механика: тезисы докладов научно-технической конференции студентов и молодых ученых. - Пермь: ПГТУ, 2008. -С. 23-24.

9. Вилъдеман A.B., Ташкинов A.A. Применение метода деревьев решений к описанию зависимостей в системе медико-биологических параметров, характеризующих состояние больного с нарушениями двигательных функций // Математическое моделирование в естественных науках: тезисы докладов XVII Всероссийской конференции молодых ученых. - Пермь: ПГТУ, 2008. - С. 16 -17.

10. Ташкинов A.A., Вилъдеман A.B. Математические модели дискриминантного анализа на основании многомерного логнормального закона распределения // Краевая дистанционная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов «Молодежная наука Прикамья - 2008» -http://tt.pstu.ru/mnp08.

11. Ташкинов A.A., Вилъдеман A.B., Бронников В.А. Прогнозирование индекса моторики у больных детским церебральным параличом на основе моделей классификации // Математические методы в технике и технологиях: сборник трудов XXII Международной научной конференции, том 6 - Псков: ППИ, 2009. - С. 137-141.

12. Вильдеман A.B. Метод индивидуального прогнозирования индекса моторики у детей с церебральным параличом // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий: VI Всероссийская открытая научно-практическая конференция. - Сочи, 2010. - С. 30-32.

13. Бронников В.А., Кравцов Ю.И., Вильдеман A.B. Прогнозирование индекса моторики у детей с церебральным параличом методами многомерного статистического анализа // Актуальные вопросы медико-социальной реабилитации: Материалы межрегиональной научно-практической конференции с международным участием. - Пермь, 2010. С. 67 - 71.

14. Вильдеман A.B., Бронников В.А., Ташкинов A.A. Индивидуальное прогнозирование двигательного развития у больных ДЦП // Актуальные вопросы медико-социальной реабилитации: Материалы межрегиональной научно-практической конференции с международным участием. - Пермь, 2010. -С. 79-82.

Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ:

15. Вильдеман A.B., Ташкинов A.A., Бронников В.А. Информационно-аналитическая система поддержки принятия решений при реабилитации инвалидов. - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010616861 от 14.10.2010.

Подписано в печать 24.11.2010. Формат 60 х 90/16. Набор компьютерный. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 2262/2010.

Издательство

Пермского государственного технического университета. Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, к. 113. Тел. (342) 219-80-33.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕДИКО-СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ:.л.

1.1. Основные направления применения математического моделирования в медицине и биомеханике.

1.2. Подходы и методы многомерного статистического анализа.

1.3. Индивидуальное прогнозирование на основе вероятностно-статистических моделей

1.4. Задачи прогнозирования состояния человека, обладающего^ патологическими отклонениями.

1.5. Выводы по разделу.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ИНДЕКСА МОТОРИКИ НА ОСНОВЕ ДИСКРИМИНАНТИОГО АНАЛИЗА.

2.1. Задача прогнозирования индекса моторики дадискретношшкале оценивания.

2.2. Алгоритм пошагового отбора значимых дискриминантных переменных; .:.;.;.

2.3. Факторы, определяющие уровень индекса моторики

2.4. Линейные классифицирующие функции на основе многомерного нормального закона распределения.

2.5. Канонические дискриминантные функции.

2.6. Визуальное представление многомерных наблюдений за больными в пространстве дискриминантных функций.

2.7. Проверка достоверности результатов прогнозирования с использованием оценок вероятностей правильной классификации.

2.8. Выводы по разделу.

3. ЛОГНОРМАЛЬНЫЙ ДИСКРИМИНАНТНЫИ АНАЛИЗ.

3.1. Классифицирующие функции на основе многомерного логнормального закона распределения.

3.2. Математическая модель прогнозирования'индекса моторики с использованием логнормального дискриминантного анализа.

33: Выводы по разделу.

4. МЕТОД ДЕРЕВЬЕВ КЛАССИФИКАЦИИ В ЗАДАЧЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ИНДЕКСА МОТОРИКИ.

4.1. Алгоритм метода деревьев классификации на основе проверки гипотезы о независимости двух переменных.

4.2. Исследование нелинейной связи индекса моторики и индекса напряжения'регуляторных систем.

4.3. Исследование влияния родовых и дородовых факторов на развитие двигательных навыков в различном возрасте.

4.4. Выводы по разделу.

5. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ИНДЕКСА МОТОРИКИ.

5.1. Задача индивидуального прогнозирования индекса моторики в непрерывной шкале оценивания.

5.2. Анализ структуры случайного процесса развития двигательных навыков.

5.3. Прогнозирование индивидуального индекса моторики по лидеру.

5.4. Индивидуальное прогнозирование в задачах механики деформируемого твердого тела.

5.5. Аппроксимация среднего индекса моторики методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых.

5.6. Математические модели индивидуального прогнозирования индекса моторики.

5.7. Обобщение моделей индивидуального прогнозирования на многомерный случай.

5.8. Исследование устойчивости моделей индивидуального прогнозирования к возмущениям исходных данных.

5.9. Исследование влияния увеличения объема исходных данных на результаты индивидуального прогнозирования.

5.10. Выводы по разделу.

6. ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ РЕАБИЛИТАЦИИ ИНВАЛИДОВ.

6.1. Предпосылки и цели создания системы.

6.2. Архитектура системы.

6.3. Структура базы данных системы.

6.4. Описание прототипа системы.

6.5. Выводы по разделу.

Анализ состояния и поведения реальных объектов во многих случаях связан с применением статистических моделей и методов для исследования закономерностей и определения трендовых зависимостей. Изучаемые явления и процессы, как правило, протекают в условиях многофакторности, что приводит к необходимости использования аппарата многомерного статистического анализа. Большой вклад в развитие вероятностно-статистического моделирования внесли Т. Байес, К. Гаусс, К. Пирсон, Р. Фишер, А.Н. Колмогоров, С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян и др.

Одним из направлений моделирования систем и процессов- является разработка математических моделей прогнозирования, описывающих взаимосвязи между ключевыми показателями и факторами области приложения. Существенное практическое значение при создании прогнозных моделей имеет учет индивидуальных характеристик конкретного объекта, позволяющий скорректировать параметры групповой модели и получить более достоверный» индивидуальный прогноз. Важный вклад в развитие теории индивидуального прогнозирования внесли работы Ю.П. Самарина, В.П. Радченко, Ю.В. Соколкина и их учеников.

Особое место среди статистических исследований занимает моделирование медико-социальных систем и процессов, объединяющее в себе информационные технологии, математические методы и современные подходы в медицине и социальной» реабилитации. Задачи прогнозирования состояния человека, обладающего патологическими отклонениями, на основе исследования статистических закономерностей решаются во многих областях медицины. Вместе с тем, одним из малоизученных направлений является прогнозирование состояния больных с врожденными нарушениями двигательных функций, на текущее развитие которых во многом влияют родовые и дородовые факторы риска. К таким больным, в частности, относятся дети с церебральным параличом.

Одним из ключевых показателей состояния больного' детским церебральным, параличом (ДЦП) является; индекс моторики - величина, характеризующая интегральный уровень двигательного развития, определяемая экспертным путем.

К числу недостатков существующих моделей прогнозированияшндекса моторики у больных ДЦП, основанных на одномерном регрессионном анализе; относится то, что они> не позволяют описать совместное действие большого количества факторов,, влияющих, на процесс двигательного развития, и не принимают во внимание индивидуальные особенности конкретного человека, для которого строится прогноз.

В связи с этим актуальным представляется построение, многомерных моделей прогнозирования индекса моторики, учитывающих индивидуальные характеристики конкретного больного.

Целью работы является разработка математических моделей прогнозирования индекса моторики у больных ДЦП на основе методов многомерного статистического анализа.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Проведение пошагового отбора факторов, значимых для прогнозирования индекса моторики:

2. Создание математической модели прогнозирования уровня двигательного развития методом дискриминантного анализа на основе* многомерного-нормального закона распределения.

3. Исследование возможностей модификации; метода дискриминантного анализа для обобщения его на другие классы многомерных несимметричных статистических распределений и разработка математической модели прогнозирования индекса моторики на основе модифицированного, метода дискриминантного. анализа.

4. Построение модели прогнозирования уровня развития моторных навыков в форме логических условий с помощью метода деревьев классификации.

5. Разработка статистических методов и моделей индивидуального прогнозирования индекса моторики, исследование устойчивости моделей к возмущениям .начальных данных, обусловленным погрешностью определения показателя двигательного развития.

6. Описание концепции и создание прототипа информационно-аналитической системы, реализующей разрабатываемые статистические методы и модели прогнозирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построены новые математические модели прогнозирования индекса моторики с использованием методов дискриминантного анализа, деревьев классификации и индивидуального прогнозирования.

2. Впервые предложено развитие методов дискриминантного анализа на случай, когда распределение объектов.в классе описывается многомерным логнормальным законом.

3. Получен новый метод прогнозирования индекса моторики, основанный на вычислении параметров статистической модели, описывающей двигательное развитие у группы, больных, по данным начального обследования индивидуального больного с учетом влияния родовых и дородовых факторов.

4. Разработаны новые вычислительные алгоритмы логнормального дискриминантного анализа и метода индивидуального прогнозирования индекса моторики.

5. Создан новый комплекс программ, реализующий разработанные алгоритмы и автоматизирующий процессы регистрации, статистической обработки и многомерного анализа данных при реабилитации инвалидов.

Достоверность полученных результатов подтверждена проверкой математических моделей на обучающих и независимых контрольных статистических выборках данных.

Практическая, значимость работы состоит в разработке концепции и создании прототипа информационно-аналитической системы поддержки принятия решений при реабилитации, инвалидов. Прототип внедрен в Пермском краевом государственном^ автономном* учреждении «Центр комплексной реабилитации инвалидов». В состав программного комплекса входит база данных и ряд приложений, обеспечивающих автоматизированный ввод, хранение и обработку информации. Получен акт внедрения результатов диссертационной работы в практическую деятельность Центра.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

-Научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Прикладная математика и механика» (Пермь, 2007, 2008);

- XVI и XVII Всероссийских школах-конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2007, 2008);

- Краевой дистанционной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Молодежная наука Прикамья» (Пермь, 2008);

- XXII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Псков, 2009);

- VI Всероссийской открытой научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 2010);

- Межрегиональной научно-практической- конференции. с международным участием «Актуальные вопросы медико-социальной реабилитации» (Пермь, 2010).

Полностью диссертация обсуждалась на семинарах кафедр «Математическое моделирование систем и процессов» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов), «Механика композиционных материалов и конструкций» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор Ю.В; Соколкин), «Теоретическая механика» ПГТУ (рук. д.т.н., профессор Ю.И. Няшин)^ на научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. академик РАН В.П. Матвеенко).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ [18, 23 —28, 30, 78 - 83], из них 4 статьи - в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК. [30,80-82]. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [29].

Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, принадлежат постановки задач (совместно с научным руководителем), построение математических моделей, разработка вычислительных алгоритмов и реализация комплекса программ, анализ результатов (совместно с научным руководителем).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 разделов, заключения, списка литературы из 95 источников. Общий объем работы составляет 140 страниц, содержит 41 рисунок и 24 таблицы.

6.5. Выводы по разделу

Предложена концепция создания информационно-аналитической системы поддержки принятия решений при реабилитации инвалидов, автоматизирующей процессы регистрации, хранения, обработки и статистического анализа данных обследования и лечения больных детским церебральным параличом.

Разработанный прототип системы внедрен в Пермском краевом Центре комплексной реабилитации инвалидов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты выполненных исследований состоят в следующем:

1. Предложена модификация, метода дискриминантного анализа, направленная на получение аналитических классифицирующих функций, позволяющих отнести многомерное наблюдение за объектом к одному из классов, характеризуемых различным уровнем прогнозируемого показателя и описываемых многомерным логнормальным законом распределения. Построены математические модели прогнозирования индекса моторики в дискретной шкале оценивания с использованием методов дискриминантного анализа и деревьев классификации.

2. Разработан метод прогнозирования индекса моторики в непрерывной шкале оценивания, основанный на вычислении параметров статистической модели, описывающей изменение индекса моторики у группы больных с возрастом, по данным начального обследования индивидуального больного с учетом влияния родовых и дородовых факторов. На основе анализа корреляционной функции случайного процесса двигательного развития получены модели прогнозирования по лидеру, одномерные и многомерные модели индивидуального прогнозирования индекса моторики.

3. Проверена достоверность результатов, полученных с применением разработанных моделей к прогнозированию индекса моторики у больных обучающей и контрольной выборок. Исследована устойчивость моделей индивидуального прогнозирования индекса моторики к возмущениям начальных данных. Проверена выпуклость задачи оптимизации с ограничениями типа неравенств, лежащей в основе методики индивидуального прогнозирования индекса моторики.

4. Разработаны вычислительные алгоритмы логнормального дискриминантного анализа и метода индивидуального прогнозирования индекса моторики. Предложена концепция создания информационноаналитической системы поддержки принятия решений при реабилитации инвалидов. В качестве прототипа системы реализован комплекс программ, автоматизирующий процессы регистрации, статистической обработки и многомерного анализа данных, внедренный в Пермском краевом Центре комплексной реабилитации инвалидов.

5. В результате применения многомерного статистического анализа в задачах прогнозирования индекса моторики у больных детским церебральным параличом определено множество факторов, оказывающих значимое влияние на развитие моторных навыков, включающее как характеристики текущего состояния больного, так и показатели родовых и дородовых условий. Установлены статистические закономерности двигательного развития, описывающие влияние значимых факторов на величину индекса моторики.

1. Агапов П.И., Белоцерковский О.М., Петров И.Б. Численное моделирование последствий механического воздействия на мозг человека при черепно-мозговой травме // Журнал вычислительной* математики и математической: физики;.— Том 491 — №9. — С. 17111720.

2. Агапов П.И., Васюков A.B., : Петров И.Б. Компьютерное моделирование волновых процессов в покровах мозга при черепно-мозговой травме // Процессы и методы обработки информации. М.: МФТИ, 2006. - С* 154 — 163.

3. Агапов П.И., Петров И.Б. Расчет повреждений мозга при черепно-мозговой травме // Компьютер и мозг. Новые технологии. — M:: HàyKa, 2006.-С. 28-38.

4. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности. Справ, изд. — М.: Финансы и статистика, 1989. 607 с.

5. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мёшалкин Л.Д. Прикладная статистика: основы моделированиями первичная обработка данных. Справ, изд. — М.: Финансы и статистика, 1983.-471 с.

6. Андерсон Т. Введение в! многомерный статистический анализ: М: Физматгиз, 1963. - 500 с.

7. Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов: М: Мир, 1976. -760 с.

8. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и. прогнозирование. — М: Финансы и статистика, 2001. 228 с.

9. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ. Пер. с англ. - М.: Мир, 1982. - 488 с.

10. Ю.Барсегян A.A., Куприянов М.С., Степаиенко В.В., Холод И.И. Методы и модели анализа данных: OLAP и Data Mining. — Спб.: БХВ-Петербург, 2004. 336 с.

11. Бегун П.И., Афонин П.Н. Моделирование в биомеханике. М.: Высшая школа, 2004.-389 с.

12. Безруков Н.С., Еремин E.JI. Построение и моделирование адаптивнойнейро-нечеткой системы в задаче медицинской диагностики //t

13. Информатика и системы управления. 2005. - №2 (10). - С. 36 - 46.

14. Безруков Н.С., Еремин E.JL, Перельман Ю.М. Автоматизированная система диагностики заболевании легких // Проблемы управления. 2007. — №5. - С. 75-80.

15. Биргер И.А., Шорр Б.Ф. и др. Термопрочность деталей, машин. — М.: Машиностроение, 1975. —455 с.

16. Боровиков В.П. STAT1STICA: искусство анализа данных на компьютере. -СПб.: Питер, 2003. 688 с.

17. Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде WINDOWS. М.: Финансы и статистика, 2006. - 368 с.

18. Бююль А., Цефель П. SPSS: искусство обработки информации. Platinum Edition. Пер. с нем. - Спб.: ДиаСофтЮп, 2005. - 608 с.

19. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Наука, 1969. 576 с.

20. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. — Учеб. пособие для втузов. — М: Высш. шк., 2000.-383 с.

21. Вильдеман A.B., Ташкинов A.A. Математические модели дискриминантного анализа в медицине // Математическое моделирование в естественных науках: тезисы докладов XVI Всероссийской конференции молодых ученых. Пермь: ПГТУ, 2007. - С. 20 - 21.

22. Вильдеман A.B., Ташкинов A.A. Математические модели индивидуального прогнозирования в медицине // Прикладная'математика и механика: тезисы докладов научно-технической конференции студентов и молодых ученых. Пермь: ПГТУ, 2007. - С. 44 - 46.

23. Вильдеман A.B., Ташкинов A.A., Бронников В.А. Информационно-аналитическая система поддержки принятия решений при реабилитации инвалидов. — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010616861 от 14.10.2010.

24. Вильдеман A.B., Ташкинов A.A., Бронников В.А. Многомерный метод индивидуального прогнозирования индекса моторики // Информационные технологии и вычислительные системы. 2010. - № 3. — С. 79 - 85.

25. Гирко B.JI. Многомерный статистический анализ. — Киев: Вища шк., 1988. -320 с.

26. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1999. -XIV, 402 с.

27. Драгун И.А. Автоматизированная система количественной оценки операционного риска: автореф. дис. канд. тех. наук. — Барнаул, 2006. -22 с.

28. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 2000. — 352 с.

29. Дюк В.А. Обработка данных на ПК в примерах. — Спб.: Питер, 1997. 240 с.

30. Дюк В.А., Самойленко А.П. Data Mining: учебный курс. СПб.: Питер, 2001.-368 с.

31. Дюк В.А., Эммануэль B.JI. Информационные технологии в медико-биологических исследованиях. — Спб.: Питер, 2003. — 525 с.

32. Елисеева И.И., Рукавишников В.О. Группировка, корреляция, распознавание образов; (Статистические методы классификации и измерения связей). — М.: Статистика, 1977. 144 с.

33. Еремин Ю.А., Радченко В.П., Самарин Ю.П. Расчет индивидуальных деформационных свойств элементов конструкций в условиях ползучести // Машиноведение. 1984. - № 1. - С. 67 - 72.

34. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: учеб. пособие для втузов. — М.: Высш. шк., 1992. 304 с.

35. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: учеб. для техникумов. М.: Высш. шк., 1998. - 336 с.

36. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 734 с.

37. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. — 586 с.

38. Кобринский Б.А. Системы искусственного интеллекта в медицине: Состояние, проблемы и перспективы // Новости искусственного интеллекта. 1995. - № 2. - С. 65 - 79.

39. Колосов В.П., Перельман Ю.М., Ульянычев Н.В. Пути построения прогнозных моделей в пульмонологии // Информатика и системы управления. 2005. - №2 (10). - С. 64 - 71.

40. Краснов M.JL, Киселев А.И., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 176 с.

41. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 543 с.

42. Кузнецов A.B., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. — Минск: «Вышэйшая школа», 1994. -286 с.

43. Лбов Г.С., Бериков В.Б. Устойчивость решающих функций- в задачах распознавания образов и анализа- разнотипной информации. -Новосибирск: Изд-во Ин-та математики; 2005. 218 с.

44. Лившиц К.И. Сглаживание экспериментальных данных сплайнами. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. — 181 с.

45. Малиновский Л.Г. Классификация объектов средствами дискриминантного анализа. М.: Наука, 1979. — 260 с.

46. Моисеев Ф.А. Математическое моделирование опорно-двигательного аппарата человека на основе численных методов регистрации и анализа морфологических и кинематических данных: дис. канд. тех. наук. — Санкт-Петербург, 2008. 146 с.

47. Мухина Л.Г. Стохастическое описание кривых ползучести с целью прогнозирования долговечности конструкций; — В кн.: Повышение долговечности и надежности машин и приборов. Куйбышев, 1981. — С. 268 - 269.

48. Нафтулин И.С., Реброва О.Ю. Применение алгоритмов-Data Mining» для решения задачи диагностики- типа инсульта // Научная сессия МИФИ. -2008, т. 10.-С. 73.

49. Няшин Ю.И., Лохов A.B. Основы биомеханики: Учебное пособие. — Пермь.: ПГТУ, 2008. 209 с.

50. Орлов А.И. Современная прикладная статистика // Журнал «Заводская лаборатория». 1998. - Т.64. - №3. - С. 52 - 60.58.0тнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М: Мир, 1982.-428 с.

51. Пашков P.A. Численное моделирование контракции кожной раны // Процессы и методы обработки информации. М.: МФТИ, 2005. - С. 194 -200.

52. Петров И.Б. Математическое моделирование в медицине и биологии на основе моделей механики сплошных сред // Труды МФТИ. — 2009. Том 1. — № 1.-С. 5- 16.

53. Петров И.Б. О численном моделировании биомеханических процессов в медицинской практике // Информационные технологии и вычислительные системы. 2003. - № 1 - 2. - С. 102 - 111.

54. Прикладной анализ случайных процессов / под ред. Прохорова С.А. -СНЦРАН, 2007.-582 с.63 .Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов. Уральск: Самар. гос. аэрокос. ун-т, 2001. - 209 с.

55. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. -752 с.

56. Радченко В.П. Разработка структурных и феноменологических моделей деформирования и разрушения материалов и элементов конструкций в условиях ползучести: автореф. дис. доктора физ.-мат. наук. Чебоксары, 1992.-37 с.

57. Радченко В.П., Павлова Г.А. Прогнозирование индивидуальной надежности элементов конструкций при ползучести на стадии эксплуатации по лидеру // Изв. вузов. Машиностроение — 1989. — № И. -С. 23-27.

58. Реброва О.Ю. Применение методов интеллектуального анализа данных для решения задачи медицинской диагностики // Новости искусственного интеллекта. 2004. - №3. - С. 76 - 80.

59. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. М.: Высшая школа, 1987.-638 с.

60. Салли А. Ползучесть металлов и жаропрочные сплавы. М.: Оборонгиз, 1953.-292 с.

61. Самарин Ю.П. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов // Механика твердого тела. 1974. — № 1. — С. 88 — 94.

62. Самарин Ю.П. Об одном обобщении метода разделение деформации в теории ползучести // Изв. АН СССР: МТТ, 1971. № 3.

63. Самарин Ю.И. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кривых ползучести методом последовательного выделения, экспоненциальных слагаемых II Проблемы прочности. 1974. - № 9. - С. 24 - 27.

64. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. М: Наука, 1968.-464 с.

65. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М: Мир, 1980. - 456 с.

66. Соколов Д.К. Математическое моделирование в медицине. М.: Медицина, 1974. - 175 с.

67. Сошникова Л.А., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шеффер М. Многомерный статистический анализ в экономике: учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 598 с.

68. Суфиянов В.Г. Разработка .адаптивных статистических моделей классификации и прогнозирования: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. -Пермь, 2004. 16 с.

69. Ташкинов A.A., Вильдеман A.B. Математические модели дискриминантного анализа в задачах» прогнозирования комплексного показателя моторики больных ДЦП // Математическое моделирование систем и процессов. Спец. выпуск. 2008. - С. 155- 163.

70. Ташкинов A.A., Вильдеман A.B., Бронников В.А. Модели классификации в задачах прогнозирования двигательного развития у детей с церебральным параличом // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. — 2010. Том 9. - № 1. — С. 142 - 149.

71. Ташкинов A.A., Вильдеман A.B., Бронников В.А. Применение метода деревьев классификации к прогнозированию уровня развития моторики у больных с нарушениями двигательных функций // Российский журнал биомеханики. 2008. - Т. 12, № 4 (42). - С. 84 - 95.

72. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: учеб. для вузов по спец. «Физика» и «Приклад, математика». -М: Наука, 1998.-231 с.

73. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. — 632 с.

74. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ / под ред. И.С. Енюкова. Пер. с англ. - М.: Финансы и статистика, 1989. — 215 с.

75. Фарбер Б.С., Витензон A.C., Морейнис И.Ш. Теоретические основы построения протезов нижних конечностей и коррекция движения. Ч. 2. -М.: ЦНИИПП, 1995. 574 с.

76. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. М.: Статистика, 1980. - 95 с.

77. Целиков A.B. Аналитическая система информационного обеспечения управления здравоохранением на муниципальном уровне // Проблемы управления. 2008. - №1. - С. 68 - 72.

78. Чубукова И.А. Data Mining: учебное пособие. М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 382 с.

79. Широков О.Ю. Дискретное преобразование Фурье неэквидистантных временных рядов: дис. .канд. тех. наук. Самара, 2004. - 172 с.

80. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений / Пер. с англ. под ред. член-корр. РАН Елесеевой И.И. М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997. - 590 с.

81. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1986. - 384 с.

82. Breiman L., Friedman J.H., Olshen R.A., Stone C.J. Classification and Regression Trees. Wadsworth, Belmont, CA, 1984. - 358 pp.

83. MacLennan J., Tang Z. Data Mining with SQL Server 2005. Wiley Publishing, Inc, 2005. - 460 pp.