автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы и программы построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса

На правах рукописи

КОЗЛОВА ЛЮБОВЬ АЛЕКСАНДРОВНА

АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНВАРИАНТНЫХ И КВАЗИИНВАРИАНТНЫХ ИНДЕКСОВ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ульяновск - 2010

004604083

Работа выполнена на кафедре экономико-математических методов и информационных технологий в Государственном образовательном учре-ждениии высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Горбунов Владимир Константинович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор

Смагин Алексей Аркадьевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Мамедова Татьяна Фанадовна

Ведущая организация: Институт систем энергетики им.Л.А.Мелентьсва

СО РАН

Защита диссертации состоится "16" июня 2010 года в 1630 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу:

г.Ульяновск, ул.Набережная реки Свияга, 106, корпус 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом на сайте вуза http: / / www.uni.ulsu.ru

Просьба присылать отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенном печатью организации по адресу: 432000, г.Ульяновск, ул.Л.Толстого, д.42, УлГУ, Управление научных исследований.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

2010 г.

Волков М.А.

(J

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Экономическая теория и методы количественного анализа в последние десятилетия развиваются в существенной мере благодаря математическим методам. Однако до настоящего времени остаются разделы экономической науки и практики, в которых использование математического моделирования не соответствует его потенциалу. Это, по нашему мнению, относится к методам построения экономических индексов.

Экономические индексы в целом, и индексы потребительского спроса в частности, - это обобщённые скалярные показатели характера изменения (роста или снижения) компонент векторного набора однотипных, но по существу различных показателей. Экономические индексы важны как для теории (установление количественной связи между микро и макроописанием экономики), так и для выработки и реализации социально-экономической политики. Сложность определения и построения индексов заключается в том, что темпы изменения компонент различны, а их важности (веса) для формируемого показателя устанавливаются, как правило, по произволу исследователя.

Используемые в экономико-статистической практике индексы количеств и цен потребления относятся к классу бинарных статистических, рассчитываемых по двум парам многомерных наборов (векторов) "цены-количества", соответствующим сравниваемым ситуациям, по конечным формулам. Существуют сотни формул бинарных индексов1, представляющих субъективизм исследователей и политиков, но игнорирующих субъективизм и рациональность потребителей, приспосабливающихся к меняющейся конъюнктуре в соответствии со своими предпочтениями. В условиях экономической нестабильности они дают неприемлемо большие расхождения2. В 1922 г. американским статистиком И.Фишером была предложена система аксиом (тестов), которым должны удовлетворять индексы цен и количеств, однако вскоре выяснилось, что в рамках бинарного подхода невозможно предложить "идеальную пару индексов". Отметим, что наиболее проблемным является совмещение трёх тестов: транзитивности, мультипликативности и промежуточности (среднего). Фишером был предложен индекс, который удовлетворяет всем тестам, кроме транзитивности.

руководство по индексу потребительских цен: теория и практика. Вашингтон: Международный Валютный Фонд, 2007.

2Зоркальцев В.И. Индексы цен и инфляционные процессы. Новосибирск: Наука, 1996; Айзенберг Н.И., Солошша З.В. Методика экспериментального анализа формул расчета индексов цен // Весптк ИрГТУ. - 2007. - N0.4 (32). - с.11-15.

Ч

В 1924 г. советский экономист-математик A.A. Конюс основал новое, "экономико-теоретическое" направление в теории индексов3, называемое в настоящее время аналитическим. Он ввел "истинный индекс стоимости жизни", учитывающий рациональность поведения потребителей в рамках классической модели максимизации функции полезности при бюджетном ограничении. Это направление было развито в зарубежных работах теоретически4, но его практическая реализация до настоящего времени находится в стадии начального развития. Полные аналитические индексы (или теоретико-экономические) определяются через функцию потребительских расходов, представляющую значение задачи минимизации расходов для достижения заданного уровня потребления, определяемого некоторой порядковой функцией полезности. Эта задача достаточно сложная и до настоящего времени методы ее эффективного решения развиты только дня случая однородных предпочтений. В этом случае аналитические индексы упрощаются до "инвариантных индексов", которые удовлетворяют всем тестам Фишера. Однако методы построения инвариантных индексов до настоящего времени развиты недостаточно, и реальные предпочтения для групп товаров, объединяемых по содержательным свойствам (пища, одежда и т.д.), в общем случае не являются однородными. Для общих предпочтений В.К.Горбуновым введены5 квазиинвариантные индексы как естественное обобщение инвариантных индексов. Они также определены в рамках классической модели потребления, следовательно, являются аналитическими. Квазиинвариантные индексы в общем случае удовлетворяют тестам транзитивности и мультипликативности, но выполнение свойства промежуточности для них, как и для полных аналитических индексов, не гарантировано. Методы их построения в указанной книге были только обозначены и требовали детальной разработки и исследований на реальных данных.

Теория аналитических индексов, развивающая подход Конюса, была развита в работах англоязычных авторов: Р.Аллен, В.Леонтьев, П.А.Самуэльсон, С.Свами, В.Е.Диверт и др. Практическая реализация этой теории требовала развития численных методов построения функции полезности, рационализирующей рыночный спрос, представленный торговой статистикой, т.е. решения обратной задачи классической теории по-

3Конюс A.A. Проблема истинного индекса стоимости жизни // Экон. и матем. методы, 1989 (1924, переиздание). - No 3. - T.25.

4SamiieIson P.A., Swamy S. Invariant economic index numbers and canonical duality: survey and synthesis // The American Economic Review, 1974. - V. 64. - No 4.

5Горбунов B.K. Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал. М.: Экономика, 2004.

требления. Классический метод наименьших квадратов требует поиска функции полезности в некотором параметрическом классе. Эффективный выбор класса функций полезности в общем случае очень сложен. Проблема обратной задачи нашла эффективное решение после развития американскими исследователями С.Африатом и Х.Вэрианом "непараметрического метода"6. В этом методе на первом этапе определяются значения искомой функции полезности и множителя Лагранжа задачи рационального выбора на статистических данных. Эти значения (числа Африата) определяются системой линейных неравенств (Африата). В однородном случае по числам Африата вычисляются инвариантные индексы. В общем случае до наших работ строились нижние и верхние оценки индекса стоимости жизни (Varian, 1982). По числам Африата строится кусочно-линейная функция полезности, неудобная для построения функции потребительских расходов, определяющей аналитические индексы в общем случае. Инвариантные индексы являются предметом исследований А.А.Шанашша и его соавторов (С.Д.Вратенков, В.А.Гребенников, Л.Я.Поспелова). В недавней работе Гребенникова и Шананина7 предложена индексная форма классического Закона Спроса (индекс количества снижается с ростом индекса цен), формально выражаемая системой дополнительных нелинейных неравенств, накладываемых на решение специальных неравенств Африата, соответствующих однородным предпочтениям.

Неравенства Африата в силу неточности статистических данных в общем случае несовместны и методы их решения разработаны слабо. Здесь применяются методы коррекции систем, обеспечивающие их совместность, методы линейного программирования или быстрые методы теории сетей (Варшалла-Флойда). Они приводят к некоторому решению из множества решений совместной системы и не позволяют управлять выбором решения с использованием содержательных условий. При этом неизвестно, насколько устойчив конечный результат - вычисляемый индекс - относительно возможных вариантов допустимых решений.

Таким образом, для- развития методов построения аналитических индексов необходимо развитие методов регуляризации и численного решения систем неравенств Африата.

Цель и задачи работы

Целью работы является разработка метода, алгоритмов и программно-

"Afriat s .N. The construction of utility functions from expenditure data //Intern, Econ. Rev. 1967. -V.8. - No 1; Varian H.: The nonparametrio approach to demand analysis // Econometrics,, 1982. - V.50; Non-parametric tests of consumer behaviour //Rev. Econ. Studies, 1983. - V.50.

7Гребенников В.А., Шаианин A.A. Обобщенный непараметричеекпй метод: закон спроса в задачах прогнозирования // Матем. моделирование, 2008. - Т.20. - No 9.

го комплекса построения инвариантных и квазшшвариантных индексов потребительского спроса, определяемых в рамках математической модели рационального потребительского выбора. В соответствии с этой целью решались следующие задачи:

- анализ существующих методов построения индексов потребительского спроса;

- разработка эффективных численных методов решения вырожденных неравенств Африата на основе использования индексов Фишера в качестве дополнительной информации об искомом решении;

- разработка программного комплекса построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса;

- построение инвариантных и квазиинвариантных индексов для реальной торговой статистики и их исследование.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются индексы цен и количеств продуктов на рынках продуктов или услуг (благ) конечного потребления. Предмет исследования - численные методы построения аналитических индексов в рамках классической модели поведения потребителей.

Методы исследования

В диссертационной работе применялись: метод математического моделирования потребительского спроса, непараметрический метод анализа потребительского спроса Африата-Вэриана, численные методы, методы линейного и нелинейного программирования, компьютерное программирива-ние.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Для построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса усовершенствован непараметрический метод Африата-Вэриана. При этом для выявления совместности неравенств Африата поставлена задача линейного программирования о минимальной коррекции, заключающаяся в минимизации значения искусственной переменной, добавленной в систему и обеспечивающей её совместность.

2. Для решения вырожденных неравенств (общей и специальной) Африата с использованием дополнительной информации о решении поставлены задачи квадратичного программирования, заключающиеся

в построении "нормальных решений" (наборов чисел Африата), ближайших к пробным наборам, построенным по бинарным статистическим индексам Фишера.

3. Для решения задачи о минимальной коррекции программно реализован и исследован малоизвестный алгоритм Данцига для задач ЛП с ограничениями-неравенствами без их сведения к равенствам.

4. Для решения задач о нормальном решении программно реализован и исследован релаксационно-штрафной (РШ) метод8, обладающий свойством регуляризации вырожденных экстремальных задач. Задача КП при этом решается алгоритмом метода "активных наборов".

5. Разработано моделирование помесячных данных о количествах потребления на основе годовых данных и при заданных помесячно ценах с применением функций полезности, для которых функции спроса известны в аналитической форме, или как геометрических прогрессий. Данная методика также реализована в представленных выше программах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численный метод решения систем Африата, использующий в качестве дополнительной информации бинарные индексы Фишера.

2. Алгоритмы линейного и квадратичного программирования для построения двух классов аналитических индексов - инвариантных для групп товаров, спрос на которые соответствует однородности потребительских предпочтений, и в случае неоднородности - квазиинвариантных.

3. Программный комплекс, разработанный для построения инвариантных и квазиинвариантных индексов на основе реальной торговой статистики и с применением моделирования данных о ценах и количествах потребления продуктов.

Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

8Горбунов В.К. Релаксационло-штрафной метод и вырожденные экстремальные задачи // Докл. АН. 2001- Т. 377. - № 5.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработанный в диссертации метод построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса, относящихся к классу аналитических индексов, позволяет подтвердить эффективность аналитического направления индексологии, основанного А.А.Кошосом и учитывающего, в отличие от используемых в мировой практике бинарных и нормативных индексов. Это обосновывает целесообразность дальнейшего развития аналитического направления индексологии в рамках модели потребительского спроса.

Численный метод решения систем Африата, использующий в качестве дополнительной информации индексы Фишера, повышает качество построения инвариантных и квазиинвариантных индексов, а также задачи построения функции полезности по торговой статистике. Это является важным фактором для развития количественных методов анализа потребительского спроса (построения функций спроса) и для следующего этапа аналитического направления индексологии - построения функции потребительских расходов, определяющей полные аналитические индексы, с помощью которых можно объективно оценивать состояния рынка за пределами статистических данных.

Предложенные методы и программный комплекс построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса эффективны для анализа потребительских рынков и уровня жизни населения. Новые индексы могут использоваться статистическими службами, администрациями.

Апробация работы

Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• Девятый всероссийский симпозиум "Стратегическое планирование и развитие предприятий" (Москва, ЦЭМИ, 2008 г.);

• XIV Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Северобайкальск, 2008 г.);

• III международная научная конференция "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании" (Екатеринбург, УГТУ-УПИ, 2008 г.);

• VII международная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, УлГУ, 2009 г.);

• Десятый всероссийский симпозиум "Стратегическое планирование и развитие предприятий" (Москва, ЦЭМИ, 2009 г.);

• Четвертая международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Саранск, 2009 г.).

Личный вклад

Соискателем самостоятельно выполнено: разработка эффективного метода расчёта инвариантных и квазиинвариантных индексов, реализация алгоритмов и компьютерных программ, методики моделирования данных о количествах потребления, а также численные эксперименты, анализ построенных индексов.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе 2 работы в изданиях, рекомендованных ВАК, их список помещен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация объемом 142 страницы состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы из 89 наименований. Работа включает 50 таблиц.

Содержание работы

Во введении представлены основные проблемы современной теории и методов построения индексов потребительского спроса, даны краткая мотивация выбора темы исследования, обзор диссертации по главам, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава содержит обзор известных направлений в теории индексов. Здесь приводятся история возникновения и развития индексоло-гии, бинарные статистические индексы, аксиоматика Фишера, индексы в непрерывном времени Дивизиа. В настоящее время самыми популярными являются статистические бинарные индексы, которые получили широкое распространение благодаря простоте их построения. Существует множество различных формул, определяющих статистические бинарные индексы, но всем им свойственна субъективность построения и, их значения для одной и той же статистики, могут существенно различаться между собой (Айзенберг и Солонина, 2007). С целью устранения значительных расхождений и противоречий при построении различными способами индексов цен и количеств товаров Фишером был предложен ряд требований (тестов или аксиом), которым должны удовлетворять индексы цен и количеств товаров.

Обозначим индексы цен и количеств товаров, отнесенные к моментам 5 и соответственно 1Ц и К основным тестам, являющимися наиболее проблемными доя совмещения, относятся (Зоркальцсв, 1996):

1) транзитивность (цепное свойство):

Кз^й = 1н1 = (1)

2) мультипликативность:

/Р/д _ (р\х1)

3) промежуточность (тест среднего):

mini(p\lp\) < lft < тахг(р\/р1), mmi(x\/x*) < I% < шахДж^/а:?).

(3)

Рассмотрим торговую статистику

{*', р1: г = 07Г}, (4)

где х= (х[, - вектор количества потребленного товара в момент

времени í при соответствующих ценах р1 = (р\, ...,р1п).

В мировой практике утвердились несколько бинарных статистических индексов, из которых мы приведём лишь используемые в нашей работе (для определенности будем считать момент б базовым, а £ - текущим):

• Ласпейреса:

Паагае:

Фишера:

тР (Р\х$) r<3_(pV)

Рр = (pV) pQ _ (f.)

# = = (7)

Индексы (5) и (6) из приведенных основных тестов удовлетворяют только тесту среднего. Как правило, для этих индексов выполняется соотноше-

иие Р? < 14

Индексы Фишера (7) удовлетворяют всем тестам, кроме транзитивности. Известно (Samuelsori and Swamy, 1974; Зоркальцсв, 1996), что не существует статистического бинарного индекса цен и количеств, обладающего

свойствами транзитивности (1), мультипликативности (2) и промежуточности (3). Множественность, субъективизм и невозможность совмещения требований транзитивности, мультипликативности и промежуточности в рамках статистической теории индексов говорит о незавершенности этой области экономической науки. Главный недостаток данной теории состоит в том, что здесь игнорируется концепция рационального поведения потребителей, приспосабливающихся к изменению рыночной конъюнктуры в соответствии со своими предпочтениями.

В этой же главе излагается теория аналитических индексов. Рассмотрим классическую математическую модель рационального потребительского выбора, заключающуюся в максимизации кардинальной (измеримой) непрерывной, возрастающей, вогнутой функции полезности и(х) на множестве бесконечно делимых товаров (благ) конечного потребления, доступных при данных ценах р = (рх, ...,р„) > 0 и расходах е на данном рынке:

тах{и(х) : (р, х) < е, х > 0}. (8)

Решение этой задачи в зависимости от параметров (р, е) в регулярном случае определяет функции спроса х(р, е). Для построения аналитических индексов также используется множитель Лагранжа А(р, е).

Применение модели (8) для построения индексов потребительского спроса было предложено в 1924 г. Конюсом. Эта идея получила дальнейшее развитие в рамках взаимной относительно (8) задачи минимизации потребительских расходов, гарантирующих при ценах р заданный уровень потребления т:

е(р, и>) = тгп{(р, х) : и{х) >ги, х > 0}. (9)

Значение этой задачи е(р, м) называется функцией потребительских расходов. Функция потребительских расходов е(р, ги) играет основную роль в построении аналитических индексов. Под полными аналитическими индексами цен и количеств мы понимаем, соответственно

ПР '■Р 'Х) ~ е(р», и(х))' 'Х>Р) е(Р, и(х*)) ■ [ '

Эти индексы определены для произвольных сопряжённых ситуаций. Основное значение имеют пары индексов Р(рь,рв-,х3), £}(х*, ж^р5) ("базисные", подобные индексам Ласпейреса (5)) и Р{р1,р";х1), <5(х1,хя',р') ("текущие", подобные индексам Пааше (6)). Индекс Р(р1,ря-,х") является индексом Конюса.

Индексы (10) транзитивны. Мультипликативность (2) выполняется для смешанных пар P(pl,ps;xs), Q(xt,xs;pt) и Р(р\ря;х1), Q(x\ ж';ps). Свойство промежуточности (3) для них не гарантировано.

Во второй главе исследуются известные методы решения систем линейных неравенств Африата, возникающих в рамках непараметрического метода Африата-Вэриана решения обратной задачи теории потребительского спроса, вводятся инвариантные и квазиинвариантные индексы потребительского спроса.

В случае однородных предпочтений выполняется х(р,е) = х(р) ■ е. Здесь х(р) есть удельный спрос, которому соответствует множитель Лагранжа А(р). Вводится обратный множитель z(p) = 1/А(р). Функция расходов (9) представляется в виде

е(р,и{х)) = z(p)u(x), и индексы (10) принимают вид

Pst ЕЕ P(pV) =

(Р1)

z(p°y

(И)

Эти индексы зависят только от индексируемых пар (ps,pl) или (xs,xl) и не зависят от значений сопряженных переменных - соответственно от объемов и цен. По этой причине они называются инвариантными индексами (Samnelson and Swamy, 1974). Известно, что инвариантные индексы удовлетворяют всем основным тестам Фишера. Более того, их значения ограничены сверху и снизу соответственно индексами Ласпейреса и Пааше:

< Р(р'У) < LZ, PsQt < Р(х\х°) < L% (12)

Инвариантные и квазиинвариантные индексы строятся с помощью непараметрического метода Африата-Вэриана решения обратной задачи теории потребительского спроса для классической модели потребительского выбора (8). Эта задача заключается в построении функции и{.х) по торговой статистике (4). Искомая функция при точных данных должна удовлетворять условиям

и(х*) = тах{и(х) : {р\ х) < е,, х > 0}. (13)

Введем перекрестные стоимости ей = (р', х3), кросс-коэффициенты at3 — ets — et, числа Африата ut — и(х'), At — А(р*,х(). Согласно общей

теореме Африата (Уапап, 1982) существование непрерывной, монотонной, ненасыщаемой и вогнутой функции полезности, удовлетворяющей (13), эквивалентно положительной разрешимости системы линейных неравенств

и3-щ<Хг(р*,х3 -х1)=Маы М = 07Г, зфг. (14)

Система (14) называется общей системой Африата.

Для обеспечения положительности решения {щ, Л;} системы (14) накладываются условия:

А0 = 1, щ = е0. (15)

Мотивация такого выбора выбрана на основе анализа случая однородных предпочтений.

В случае однородных предпочтений выполняются (Уапап. 1983) равенства

Щ - Х^и (16)

и система (14) распадается па две эквивалентные "специальные" системы, определяющие, соответственно, {м;}, {Л(}. Первая из них - и-системй:

егЩ < еиш, з,1 = О, Г, (17)

вторая - Х-система:

Х3еа < Л(е(5, д, г = 0/Г. (18)

В данном случае удобно перейти к обратным множителям Лагранжа гг = 1/Л4, тогда равенства (16) принимают вид

2(Ыг = е;, * = 07Т®, (19)

и система (18) перепишется в виде

е<г,<е54г4, ¿,£ = 07Т. (20)

Равенства (19) позволяют интерпретировать значения {ы(} как уровни потребления, а как уровни цен. Соответственно, это делает естественным выбор начальных условий дпя уровня цен

го = 1, (21)

и для уровня потребления

Щ = е0. (22)

Введённые выше условия (15) для общего случая совпадают с этими условиями.

Полагая в системе (20) поочередно s = 0, t = 0 и используя условие (21), получим систему

( et ^ ^ ею — S zt < —,

< eot е0 __(23)

{ etz3 < estzu s,t = l,T, s^t.

Эта система содержит T2 + T нетривиальных неравенств (s -ф t), первая часть системы представляет двусторонние оценки обратных чисел zt. Любое решение системы (23) {zt} определяет в силу (19) некоторое решение {ut = et/zi} ы-системы (17), удовлетворяющее условию (22). Наборы чисел Ut,zt, в соответствии с определением (11), определяют инвариантные индексы

Pst = —, Qst = —> a,t = 0J\ (24)

zs us

Рассмотрим обобщение инвариантных индексов на общий неоднородный случай (Горбунов, 2004). По и—числам {и(} формально определим квазимножители Аг и обратные им числа ¿t = 1/Aj, обладающие свойством (16):

щ - Xteu или zt - —. (25)

Щ

После этого можно определить индексы цен

д, = * = = (26)

zs А( esut

сохранив определение (24) для индекса количеств Q,< = щ/ик.

Индексы цен (26) транзитивны, и вместе с индексом количеств Qst они мультипликативны. В случае однородных предпочтений индексы (Pst, Qst) совпадают с инвариантными индексами (24), поэтому их естественно называть квазиинвариангпными индексами потребления. Свойство промежуточности для этих индексов, как и для полных аналитических индексов (10), может не выполняться.

За основу определения квазиинвариантных чисел можно также взять лямбда-числа А¡, введя квази-и-числа по формуле

ut = Xtet.

Получим индексные числа количеств

Qst = ~ = (27)

- и5 л3е3

сохранив определение (24) для индекса цен Pst = Xs/X¡.

Пара индексов (Pst, Qst) также транзитивна и мультипликативна. В общем случае они также могут не обладать свойством промежуточности. Их поведение относительно невыполнения этого важного свойства может быть различно как по величине, так и по направлению его нарушения. Поэтому естественно ввести усредненные квазиинвариантньге индексы, представляющие среднегеометрические значения соответствующих формул (24), (26), (27):

(28)

Такое усреднение, очевидно, сохраняет свойства транзитивности и мультипликативности и уравновешивает возможные нарушения свойства промежуточности.

В третьей главе излагается новый метод решения систем линейных неравенств Африата. Ввиду того, что использование реальных данных в большинстве случаев приводит к неразрешимости линейных неравенств Африата, для решения общей и специальной систем применяется релаксационно-штрафной метод (Горбунов, 2001). Сущность его состоит в том, что с помощью дополнительной переменной обеспечивается совместность системы неравенств и эта переменная является штрафом нарушения ограничений, минимизируемым при решении вспомогательной задачи.

Рассмотрим специальную систему вида (23). Введем соотношения

ёч = (29)

et

тогда система (23) примет вид

1

— < Ч < е«ь , , еы __(30)

гя < ё^ч, з, * = 1, Г, зфЬ.

Отметим, что в совместном случае множество решений системы (30) ограничено.

Проведём коррекцию системы (30), введя вспомогательную переменную г так, чтобы обеспечить совместность новой системы:

Ч-г<еа, -ч-г <-—, /о1ч

еы (31)

г* - ё5гЧ ~ г < 0, = зфг.

Новая система, очевидно, совместна при достаточно больших значениях г. Поставим задачу о минимальной коррекции, т.е. задачу о построении

набора переменных г — (zi,..., zt, г), удовлетворяющих (31), с наименьшим значением г. Таким образом, перейдем к минимизации функционала

г —> min, (32)

при ограничениях (31) на переменные z . Эта задача относится к классу ЛП с ограничениями-неравенствами 11высокого типа". Здесь переменных Т + 1, а ограничений Т2 + Т.

Для решения поставленной задачи ЛП (32), (31) целесообразно применять специальный алгоритм симплекс-метода Данцига9, основанный на применении модифицированных жордановых исключений и не требующий введения дополнительного количества искусственных переменных (в количестве

Т2

+ Т). В данной главе приведена подробная схема метода.

Однако задача ЛП, решаемая симплекс-методом, дает некоторое угловое решение. Для уточнения задачи построения индексов введём "пробный" набор переменных г = (zj,..., zt), определяемый индексами Фишера (7):

zf = F0pt, t = L/T. (33)

Рассмотрим задачу о выборе из совместной системы (31) решения, ближайшего по z-компонентам к "точке Фишера" (33). Такое решение называется л^-нормальным. Эту задачу в рамках РШ метода можно совместить с требованием минимизации параметра релаксации г, обеспечивающего совместность системы (31). Для этого следует поставить задачу квадратичного программирования (КП) с переменными z = (z, г): минимизировать функционал

4>c[z, т) = \ ¿(zt - zf ? + Cr2, С > 0 (34)

z t=i

при условиях (31) и большом значении "штрафного" параметра С > 0. Такая задача всегда имеет решение и, согласно теории РШ метода, при С —> оо г-компонента решения сходится к ^-нормальному решению (31), соответствующему наименьшему параметру г. В качестве начального приближения поставленной задачи продуктивно брать допустимую точку zF = (zF,rF), где

rF = max{zf - ё«ь -zf + zf - estz[, s,i = l,T}. (35)

eoi

В случае существенной несовместности специальной системы (30) следует переходить к решению общей системы Африата (14) с условиям (15).

эЗуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.:Наука, 1967.

Подставим указанные условия в систему (14), тогда получим систему вида

Г —щ - \talQ < -ео, и„ < eg + a0s, , .

\ us - ut - Atatj, < 0, s,t = l,T, s^t.

Общая система порождается более широким классом функций полезности, чем система (30). Она может оказаться совместной, когда последняя несовместна. Однако совместность и здесь не гарантирована как в силу возможной неадекватности модели рационального потребления (8) данному объекту, так и по причине неточности статистики (4).

Для решения системы (36) применяется аналогичный однородному случаю подход, заключающийся в переходе к ослабленным ограничениям

Г ~ut - Atat0 - г < —ео, us-r < е0 + aos, , .

\ us - щ - Atats - г < 0, s, t — 1, Т, вфг.

и в применении РШ-метода. Применение методов ЛП для решения задачи минимизации г при условиях (37) дает угловое решение, которое может содержать нулевые значения переменных, при которых квазиинвариантные индексы (28) не определены. Поэтому здесь также ставится задача КП. В качестве пробного набора множителей {щ, А*} также вводим значения, соответствующие индексам Фишера. Вычисление этого набора основано на формулах для инвариантных индексов (24), где полагаем s = 0 и вместо значений Pot, Qot, подставляем индексы Фишера. При этом получаем набор множителей

uf = eQFqot, Af = —г, t=Vr. (38)

г ot

Ставим задачу о выборе из совместной системы (37) решения, ближайшего по компонентам {и, А} к "набору Фишера" (38). Эту задачу также можно совместить с требованием минимизации параметра релаксации г, обеспечивающего совместность системы (37). Соответствующая задача КП с переменными {"¡, А», г} заключается в минимизации функционала

фс{и, А, г) = фо(и, А) + С ■ г2 -* min, С > 0, (39)

где

М«, =4 - "Г)2 + & - ^Г)2] (40)

* 1=1

при ослабленных ограничениях (37). Такая задача, как и предыдущая, всегда имеет решение, и при С —> оо (и, А)-компонента решения сходится к

(uF, XF)- нормальному решению системы (37), соответствующему наименьшему параметру г. В качестве начального приближения этой задачи продуктивно брать допустимую точку {uF, XF, гр}, где

tf = тах{-и[-Xfato + eo, uF-e0-aas, uf-uf ■ \[ats}, s, t - 1, T.

(41)

Для стабилизации решения системы (36) дополнительно накладываем условия близости найденных значений, и вместо функционала (39) переходим к решению задачи минимизации функционала следующего вида:

Фс„(и, А, г) = ф0(и, X) + С • г2 +афг(и, X) —> min, С>0,а>0, (42)

где

т

ф^и, X) = - Ut_i)2 + (Аг - А,_,)2]. (43)

t=1

с условиями (37).

Для решения задач минимизации функционала (39) при ограничениях (37) для общего случая и функционала (34) при ограничениях (31) для случая однородных предпочтений, реализован алгоритм решения задачи о проекции заданной точки z в еклидовом пространстве Еп на множество решений системы линейных неравенств, разработанный Горбуновым10. Опишем кратко данный алгоритм, подробная схема приводится в данной главе диссертации.

Пусть в евклидовом пространстве Еп со скалярным произведением (•, ■) заданы векторы е Еп и числа г = 1 ,пг. Рассматриваем задачу о z-нормальном решении системы неравенств

(а{, х) < 6;, г = 1, т, (44)

т.е. задачу о минимуме функционала

||x-z||2 (45)

при условиях (44). Если система (44) совместна, то множество ее решений выпукло и замкнуто, и нормальное решение существует и единственно. Это решение является проекцией точки z па допустимое множество. Особенность систем ограничений (37), (31), как уже говорилось, заключается в том, что все они являются неравенствами и их число существенно превосходит число переменных. Поэтому представляется выгодным использование алгоритма метода активных наборов, не требующего введения

10Горбунов B.K. Экстремальные задачи обработки результатов измерений. Фрупзе: Изд-во Илим, 1990.

искусственных переменных и эффективно учитывающего простоту функционалов (39), (34).

Для применения алгоритма нормального решения к задачам КП с функционалами (34), (39), необходимо свести их к виду (45). Вводим переменную г = \[Ст и преобразуем ограничения (37) домножением всех неравенств на множитель \[С, будем рассматривать решение поставленной задачи (39) относительно вектора переменных х = (щ, ...,ит, Аь ..., А г, г). В качестве пробного решения берем вектор г = (и[,..., и^, Л^,..., А^, 0), где А^, < = 1 , Т} вычисляются по формуле (38). Теперь функционал (39) можно переписать в виде

ф(х) = фо{и, А) + (г)2 = ||а;-г||2.

Далее применяем описанный алгоритм нахождения нормального решения.

Задача КП (34), (31) для системы Африата специального вида аналогична (39), (37).

Рассмотрим теперь более общую задачу КП, заключающуюся в минимизации функционала (42) при ограничениях (37). Перепишем функционал (42), используя введенные выше обозначения для вектора х и 2, получим:

= Мх) + (?)2 + а<Мх),

где функция ф\ определена в (43) в терминах чисел Африата, и в терминах х имеет вид

2 т

фг(х) = (х-1 - е0)2 + (хт+1 - I)2 + ~

¿=2

здесь ГГд = гхд = ео, хх = Ад = 1.

Систему ограничений (37) будем рассматривать в виде

(щ,х)<Ь, г = 1 ,Т2+Т. (46)

Полученный функционал ф(х) запишем е виде квадратичной функции

Ф(х) = \{{Я + а*0)х,х)). (47)

Обозначим

Фя(х) = фй(х) + г2. Матрицы п Б в формуле (47) удобно выписать, воспользовавшись формулами

^ { дт,, дт^ } ' ^ { дхгдх3 } 19

Матрица <3 размерности (2Т + 1) х (2Т + 1) в данном случае является единичной, матрица I) имеет два аналогичных блока размерностей (Т х Т) (подробное описание в п.3.6 диссертации). Далее определяем элементы матрицы С^' — (С2 + а О) и осуществляем переход к пространству Е^,, порожденному матрицей С^)', со скалярным произведением

Вводим новые векторы а; 6 Лп, г — 1 ,Т2 +Т, каждый из которых определяется как решение соответствующей системы уравнений

0>ъ=<ц, *=Т?Р+Т. (48)

Элементы матрицы Грама при этом будут вычисляться по формуле 9ц = [а;,а;-]д< = = {<ц,а}).

Система ограничений (46) перепишется в виде:

[а{,х]а,<Ь>, г = 1, Т2 + У. (49)

Таким образом, минимизация функционала (47) с ограничениями (37) в Ед сводится к задаче о г-нормалыюм решении при условиях (49), ее решение может быть получено алгоритмом нормального решения.

В четвертой главе представлены результаты исследований ряда торговых статистик рынков продовольственных товаров с помощью программ, реализующих описанные выше алгоритмы. Также в этой главе предложена методика моделирования недостающих (помесячных) данных о количествах потребления продуктов по их суммарным (годовым) значениям.

В настоящее время органы статистики для построения индексов спроса располагают достаточно детальной информацией о ценах продуктов, однако информация о количествах потребления существенно беднее, поэтому в реальной практике для построения бинарных индексов используется нормативный метод (с использованием потребительской корзины). Для построения аналитических индексов, к которым мы относим квазиинвариантные индексы, требуется также детальная информация о количествах потребления товаров. Обычно имеется помесячная статистика цен и количества потребления продуктов за год. При этом по годовым данным смежных годов можно сформировать (как среднемесячное потребление) значения потребления за первый (январь) и последний (декабрь) месяц года, для которого строятся помесячные индексы.

Для формирования недостающей статистической информации о количествах продаж применяем несколько вариантов:

1. геометрическая прогрессия;

2. однородный спрос Кобба-Дугласа;

3. неоднородный спрос, порождаемый логарифмической функцией полезности.

Основное содержание этой главы представляют результаты анализа некоторых рынков продовольственных товаров с помощью построения инвариантных (если это возможно) или квазиинвариантных индексов (КИИ). Использованы данные по Швеции (1921-1938 г.г.), г.Иркутску (90-е годы), Ульяновской области и РФ в последние годы.

Квазиинвариантпые индексы для РФ, 2000-07 гг.

В таблице 1 введены следующие обозначения: 1 - хлеб пшеничный, 2 - фрукты, 3 - мясо и мясные продукты, за исключением консервов, 4 -молоко (литры), Р1^, Р^ - индексы цен и количеств Фишера, Р^, (¿х ( -КИИ цен и количеств соответственно.

Таблица 1. Статистика по РФ в 2000-2007гг.п, индексы Фишера и КИИ

год Цены (руб/кг) Потребление (кг/год) Индексы

1 2 3 4 1 2 3 4 Рч <Э.,<

00 10.7 23.1 62.7 7.8 39.1 27.5 45.6 45.8 1.00 1.00 1.00 1.00

01 12.0 29.0 78.3 9.2 41.5 33.4 48.3 49.2 1.23 1.24 1.08 1.08

02 12.5 31.9 81.8 9.8 40.8 35.5 53.2 52.3 1.30 1.31 1.17 1.16

03 16.4 33.8 86.4 11.3 39.4 36.2 55.8 51.8 1.41 1.41 1.21 1.21

04 19.0 36.0 104.7 13.3 38.1 39.2 56.3 52.3 1.66 1.66 1.23 1.23

05 19.5 38.3 119.0 14.7 40.6 51.3 59.2 56.1 1.85 1.85 1.35 1.35

06 21.6 42.2 128.3 16.0 38.6 52.7 61.6 56.2 2.01 2.01 1.39 1.38

07 26.6 47.4 138.9 21.2 37.3 57.6 65.2 56.7 2.25 2.26 1.46 1.45

Дополнительно на построенных КИИ производим проверку индексного Закона Спроса, сформулированного Гребенниковым и Шананиным (для инвариантных индексов) в виде:

(Аг-А.,)(и,-0 >0. (50)

Для КИИ мы проверяем этот закон для соседних моментов наблюдений: (Ри-Р^Ш^ < 0. (51)

11 Средние потребительские цены па основные виды товаров и услуг по РФ (Электронный ресурс]: динамические таблицы. - Режим доступа: http://www.gks.ru, свободный. - Загл. с экрана.

Среднедушевое потребление продуктов питания, килограмм, Российская Федерация, значение показателя за год [Электронный ресурс]: база дапиых. - Режим доступа: http://www.infostat.ru, свободный. - Загл. с экрана.

Проверка ИЗС для данного примера показывает его нарушение для всех периодов наблюдений. Нарушение Закона Спроса в классической формулировке для некоторого товара трактуется как эффект Гиффена. Это может быть только для малоценных товаров. В статистике, представленной в таблице 1, малоценным товаром можно считать хлеб, но спрос на него с ростом цены практически не меняется. В то же время с ростом цеп на ценные товары (фрукты, мясо, молоко), значительно увеличивается их потребление. Эти изменения позволяют считать, что доходы населения существенно выросли и нарушение Закона Спроса в данной форме нельзя трактовать как эффект Гиффена, или нарушение рациональности потребительского выбора. Подобные "нарушения" установлены в большинстве случаев для динамики последних лет (после 2000), когда цены и количества потребления ценных продуктов росли, что означает рост реальных доходов населения. Таким образом, предложенная модификация ЗС в индексной форме является неудачной.

Инвариантные и квазиинвариантные индексы для децильных групп. Ульяновская область12

В таблицах 2, 3, 4, 5 представлена статистика потребления некоторых продуктов, полученная в результате обследования домашних хозяйств. Данные сгруппированы по десяти децильным группам. К первому децилю относится десять процентов населения с самым низким уровнем доходов, к десятому децилю - население с наиболее высоким уровнем доходов. Введены обозначения: 1 - хлебные продукты, 2 - картофель, 3 - овощи и бахчевые, 4 - фрукты и ягоды, 5 - мясо и мясопродукты, 6 - молоко и молочные продукты, 7 - яйца, 8 - рыба и рыбопродукты, 9 - сахар и кондитерские изделия, 10 - масло растительное и другие жиры.

Для первого дециля невязка для специальной системы получилась значительная г — 0,008. Таким образом, переходим ко второму этапу решения задачи. Общая система Африата имеет несущественную несовместность (практически нулевую), строим квазиинвариантные индексы, которые отражены в таблице 6.

12Основные показатели обследования бюджетов домашних хозяйств Ульяновской области за 20042007 годы: сгат.сб. - Ульяновск: Росст&т, 2008.

Таблица 2. Цены (руб/кг), 1 децилъ

год Продукты

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2004 21.3 5.3 10.6 19.8 66.4 7.3 1.3 38.2 34.0 33.2

2005 21.9 6.3 10.9 27.6 84.7 7.0 2.2 57.0 24.0 33.7

2006 24.4 7.5 12.8 33.2 87.3 8.4 2.1 57.8 32.2 34.0

2007 29.5 8.2 18.4 35.9 93.0 10.3 2.6 63.8 35.7 38.5

Таблица 3. Потребление (кг/год), 1 децилъ

год Продукты

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2004 78.0 51.6 40.8 9.6 19.2 110.4 120.0 6.0 12.0 6.0

2005 96.0 61.2 39.6 8.4 31.2 136.8 156.0 6.0 21.6 7.2

2006 91.2 74.4 48.0 16.8 40.8 159.6 168.0 9.6 20.4 7.2

2007 92.4 72.0 51.6 28.8 44.4 163.1 168.0 12.0 21.6 7.2

Таблица 4. Цены (руб/кг), 10 децилъ

год Продукты

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2004 27.5 4.5 13.8 22.8 74.5 8.4 1.7 15.1 51.0 24.1

2005 25.9 6.5 24.9 32.2 87.9 8.2 2.2 50.8 42.7 32.8

2006 26.7 7.9 20.9 34.0 88.9 9.8 2.1 53.6 54.7 32.8

2007 31.7 8.4 27.0 35.7 97.7 11.7 2.6 62.2 53.7 37.0

Таблица 5. Потребление (кг/год), 10 децилъ

год Продукты

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2004 132.0 123.6 206.4 96.0 97.2 361.2 384.0 48.0 49.2 16.8

2005 124.8 73.2 102.6 76.8 76.8 295.2 228.0 31.2 40.8 13.2

2006 116.4 81.6 110.4 97.2 97.2 294.0 180.0 39.6 31.2 10.8

2и07 111.6 74.4 121.2 108.0 108.0 302.4 216.0 40.8 33.6 10.8

Для десятого дециля невязка для специальной системы Африата оказалась равной нулю. Таким образом, принята гипотеза о существовании однородной функции полезности, рационализирующей данную статистику (таблицы 4, 5). Построенные инвариантные индексы представлены в таблице 6.

Таблица 6. Сводная таблица индексов (1, 10 децили)

год 1 дециль 10 дециль

Р М <?м п« п* <3и

1 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

2 1.10 1.10 1.32 1.32 1.23 1.23 0.76 0.76

3 1.25 1.31 1.53 1.45 1.29 1.29 0.83 0.83

4 1.44 1.51 1.65 1.57 1.47 1.45 0.88 0.89

В таблице 6 представлены р^ - индексы цен и количеств Фишера, Рц, (- КИИ цен и количеств соответственно, - инвариантные

индексы цен и количеств.

Проверка ИЗС для полученных квазиинвариантных индексов (на основе статистики 1 дециля) и инвариантных индексов (для статистики 10 дециля) показывает его нарушение.

В Заключении перечислены новые научно-практические результаты диссертационной работы.

В Приложении 1 описываются реализованные компьютерные программы.

В Приложении 2 приведены реальные статистические данные о ценах и потреблении продуктов питания по Ульяновской области и Российской Федерации, применяемые в экспериментах.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1) Разработаны и усовершенствованы методы построения частных классов аналитических индексов потребительского спроса (инвариантных и квазиинвариантных), учитывающих рациональность поведения потребителей в рамках классической модели потребления.

2) Создан программный комплекс для построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса, предназначенный для практического использования и не требующий особых навыков пользователя.

3) Проведенные вычисления на реальных данных последних лег продемонстрировали существование квазиинвариантных индексов, удовлетворяющих всем основным тестам.

4) На всех использованных реальных данных исследован Закон Спроса в индексной формулировке, предложенной Гребенниковым и Шаианиным (2008). Установлено, что данная формулировка Закона Спроса неприемлема для адекватной характеристики изменений потребительского спроса.

Данные результаты демонстрируют целесообразность дальнейшего развития аналитического направления теории индексов и эффективность ме-

тодов математического моделирования для построения более качественных индексов потребительского спроса.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Владимиру Константиновичу Горбунову за постановку задач, детальное обсуждение результатов работы.

Исследование выполнено при финансовой поддержке:

1) РГНФ, проект № 07-02-21202 а/В "Исследование рынков Ульяновской области методом аналитических индексов";

2) Аналитической ведомственной целевой программой Минобразования РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы), проект 2.1.3/6763 «Развитие математических моделей и анализ рыночного спроса и производства».

Список публикаций по теме диссертации.

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК:

1. Горбунов В.К., Козлова Л.А. Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. - N0. 3 (19). - С. 120-127.

2. Козлова Л.А. Опыт применения квазиинвариантных индексов потребления // Журнал Экономической Теории, 2009. - N0. 2. - С. 276-279.

Прочие издания:

3. Горбунов В.К., Козлова Л.А. Квазиинвариатные индексы потребления и их исследование // Материалы девятого всероссийского симпозиума "Стратегическое планирование и развитие предприятий". - М.: ЦЭМИ, 2008 г. - С.48-50.

4. Козлова Л.А. Квазиинвариатные индексы потребления: построение и опыт применения // Труды третьей международной научной конференции "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании". - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2008 г. - С.111-113.

5. Козлова Л.А. Исследование статистики Ульяновской области с помощью квазиипвариантных индексов // Труды седьмой международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов". - Ульяновск: УлГУ, 2009. - С.131-132.

6. Козлова Л.А. Применение кваигонвариантных индексов потребления для реальной статистики спроса // Материалы десятого всероссийского симпозиума "Стратегическое планирование и развитие предприятий". - М.: ЦЭМИ, 2009 г. - С.105-106.

Подписано в печать 13.05.2010. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ЪЪ!33{>

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Улъ"к~вского гос 'дарственного ""гиБе"снтета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение

1 Индексы потребительского спроса

1.1 Индексный метод.

1.2 Основные направления в теории индексов.

1.3 Бинарные статистические индексы. Тесты Фишера.

1.4 Индексы в непрерывном времени Дивизиа

1.5 Аналитические индексы.

1.5.1 Задача максимизации полезности.

1.5.2 Примеры функций полезности и построение функций спроса.

1.5.3 Задача минимизации расходов. Полные аналитические индексы.

2 Непараметрический метод Африата-Вэриана. Инвариантные и квазиинвариантные индексы

2.1 Однородные предпочтения. Инвариантные индексы.

2.2 Обратная задача теории потребительского спроса.

2.3 Однородная теорема Африата и инвариантные индексы

2.4 Определение и свойства квазиинвариантных индексов

2.5 Основные подходы к решению неравенств Африата.

2.6 Проблема несовместности. Известные подходы.

2.7 Алгоритм Варшалла-Флойда.

3 Метод и алгоритмы решения неравенств Африата

3.1 Специальная система

3.2 Общая система.

3.3 Оценка точности полученного решения.

3.4 Алгоритм симплекс-метода для ограничений-неравенств

3.5 Алгоритм поиска нормального решения.

3.6 Преобразования общего квадратичного функционала

3.7 Схема решения неравенств Африата разработанным методом

4 Экспериментальные исследования инвариантных и квазиинвариантных индексов с использованием разработанных программ

4.1 Закон спроса и индексы потребления

4.2 Тестовые примеры.

4.3 Инвариантные индексы потребления продуктов питания. Швеция, 1921-1938 г.г.

4.4 Моделирование данных о спросе.

4.4.1 Пример

4.4.2 Пример 2.

4.5 Исследование рынков продовольственных товаров.

4.5.1 Российская Федерация, годовые индексы за 2000-2007г.г.

4.5.2 Ульяновская область, годовые индексы за 2004-2007 г.г.

4.5.3 Ульяновская область, месячные индексы за 2007 год

Экономическая теория и методы количественного анализа в последние десятилетия развиваются в существенной мере благодаря математическим методам. Однако до настоящего времени остаются разделы экономической науки и практики, в которых использование эффективного метода математического моделирования не соответствует его потенциалу. Это, по нашему мнению, относится к методам построения экономических индексов.

Диссертация посвящена развитию и реализации численных методов построения аналитических индексов потребительского спроса, учитывающих рациональность поведения потребителей на рынках продуктов и услуг (благ) конечного потребления.

История индексологии насчитывает более двухсот лет, однако ее современное состояние характеризуется множественностью подходов [53], их слабой согласованностью, субъективизмом исследователей и политиков, использующих индексный метод. Как научное направление индексология сформировалась в 20-ые годы XX века.

Современная экономика характеризуется очень большой номенклатурой выпускаемых товаров. Это существенно усложняет задачу анализа и регулирования многопродуктовых рынков и производств. Цены и количества выпускаемых и продаваемых продуктов меняются во времени с различными темпами, что затрудняет объективную оценку изменения экономической конъюктуры в целом, для всей экономики и ее сегментов.

Кроме того, при разработке государственных экономических и социальных программ, а также при контроле за эффективностью их реализации очень важно проследить изменение структуры объемов и цен многопродуктового производства и потребления, выяснить относительную значимость двух многомерных наборов количеств и цен для различных моментов времени. Снизить размерность экономических показателей и тем самым упростить задачу анализа и регулирования экономики позволяет процедура агрегирования, то есть введение обобщенных скалярных показателей количеств (объемов) и цен потребления для отдельных групп товаров, выделяемых на основе схожих свойств и характеристик. Теория и методы агрегирования, а значит, и анализа многомерных экономических показателей тесно связаны с понятием индексов количеств и цен потребления.

Под экономическими индексами мы понимаем обобщенные скалярные показатели характера изменения многомерных экономических явлений (в данном случае потребления) во времени и в пространстве.

Используемые в экономико-статистической практике индексы количеств и цен потребления относятся к классу бинарных статистических [29, 35], рассчитываемых по двум парам многомерных наборов (векторов) "цены-количества", соответствующим сравниваемым ситуациям. Эти многочисленные методы представляют субъективизм исследователей и политиков, но игнорируют субъективизм и рациональность потребителей.

Наиболее применяемыми в экономической статистике оказались индексы цен и количеств Ласпейреса и Пааше, в которых индексируемый показатель строится на основе соответственно базового и текущего набора цен или количеств потребления. Кроме них было разработано множество альтернативных методик построения экономических индексов, но значения, полученные с их помощью, различаются, что затрудняет их использование для объективного анализа особенно в периоды экономической нестабильности [1, 2, 29].

Качество различных индексов потребления принято оценивать по их соответствию известной системе "тестов" (аксиом) И.Фишера [35]. Основной л интерес представляют три теста - транзитивности (цепное свойство), мультипликативности и промежуточности [29]. Индексы Ласпейреса и Пааше удовлетворяют из этих тестов только тесту промежуточности.

Теория экономических индексов до 20-х годов XX столетия развивалась независимо от теории потребительского спроса как статистическая теория, оперирующая произвольно сформированными наборами количеств товаров и их цен без выявления каких-либо функциональных связей между этими показателями спроса, вытекающих из рациональности поведения потребителей, приспосабливающихся к меняющейся конъюнктуре рынка в соответствии со своими субъективными предпочтениями.

Новый подход к проблеме индексов, позволяющий рассчитывать на преодоление отмеченной множественности систем индексов, порождаемой субъективизмом различных исследователей, был заложен в работе советского экономиста-математика Конюса [38] в 1924 году. Его идеи легли в основу нового направления в теории экономических индексов, названного теоретико-экономическим [3, 86] или аналитическим [29, 19]. Основой этого направления является предположение о рациональном поведении потребителей, которые максимизируют свою субъективную полезность при бюджетном ограничении. В современной трактовке классической модели потребительского выбора максимизация полезности заменена на выбор наиболее предпочтительного набора на доступном (при данных ценах и уровне расходов) множестве товаров. Это позволило использовать модель рационального потребления для построения аналитических индексов. Конюс ввел "истинный индекс стоимости жизни" как отношение стоимостей двух наборов товаров, обеспечивающих одинаковый уровень потребления при разных ценах. Подход Конюса был развит или переоткрыт в ряде работ англоязычных авторов [71, 86, 77, 87, 75], однако до недавнего времени был проигнорирован отечественными специалистами.

Несмотря на очевидную прогрессивность этой идеи, аналитические индексы до настоящего времени не вошли в полной мере в статистическую практику и спорадически появляются как объект исследования в отдельных научных публикациях [88, 23, 45, 46, 60, 61]. Мы выделяем две основные причины, препятствующие развитию и внедрению в статистическую практику аналитических индексов, - методологическую и техническую.

Методологическая причина, сдерживающая развитие аналитического направления, заключается в известной несостоятельности традиционно излагаемой теории потребительского спроса как раздела микроэкономики [85]. Здесь одна и та же модель максимизации функции полезности на множестве товаров ограниченной стоимости применяется как к индивидуальному потребителю, так и к ансамблю потребителей некоторого рынка1. Такая схема объясняется желанием построить теорию макрообъекта - рыночного (агрегированного) спроса - через теорию микрообъекта - индивидуального потребителя, причем на основе одинаковой аналитической модели максимизации полезности. При этом естественно возник вопрос об аналитических свойствах индивидуальной и коллективной функций полезности, обеспечивающих корректное агрегирование [85]. Ответ был дан в статье У. Гормана 1953 года [79]. Оказалось, что необходимым и достаточным условием корректного агрегирования является "выпрямление" кривых Энгеля для всех покупателей, причем все индивидуальные прямые Энгеля должны быть параллельными. Аналогичный результат получен в последние годы В.И. Зоркальцевым [31]. Класс соответствующих предпочтений является некоторым обобщением однородных предпочтений2, совершенно недостаточным для представления известных свойств наблюдаемого рыночного спроса, установленным на основе анализа торговых статистик (классификация благ как ценных, малоценных, заменителей, дополнителей.). Также

115 большинстве курсов микроэкономики излагается только теория индивидуального потребления [4, 34, 25].

2Потребительские предпочтения называются однородными, если спрос на различные продукты пропорционален суммарным расходам. необходимо отметить, что в традиционной схеме агрегирования индивидуальные потребители считаются автономными и независимыми. Но это противоречит очевидному взаимовлиянию потребителей через обычаи и моду, а также влиянию рекламы и другим эффектам. Ограниченности и соответствующей критике сложившейся схемы агрегирования покупателей и понятия "репрезентативного потребителя" посвящены современные статьи A.Kirman [83] и J.Chipman [73].

Далее, в 70-е годы XX столетия было установлено (теорема Дебре-Зонненшейна-Мантеля [82]), что агрегированный спрос, являющийся суммой индивидуальных спросов, которые порождаются различными предпочтениями классического типа (полных, непрерывных, транзитивных,.), может быть произвольной непрерывной функцией, удовлетворяющей расходному тождеству (закону Вальраса). Это, очевидно, также противоречит известным аналитическим свойствам рыночного спроса. Эти свойства воспроизводятся классической моделью максимизации полезности, которая накладывает жесткие аналитические ограничения на функции спроса требованием отрицательной полуопределенности и симметричности матрицы Слуцкого [85, 16].

Требование необходимой почти-однородности индивидуальных и коллективных предпочтений, а также эффект Дебре-Зонненшейна-Мантеля, делают несостоятельной традиционную схему построения теории потреблений "от индивидуального потребителя к коллективному" на основе одной и той же аналитической модели максимизации (порядковой) функции полезности. Однако эта несостоятельность не является основанием для отказа от позитивной части классической теории потребительского спроса, состоящей в формализации описания основного объекта теории - рыночного спроса, представляющего не отдельных потребителей, а их статистически значимые ансамбли, а также эффективный аппарат его качественного и количественного анализа.

Способ освобождения теории потребительского рыночного спроса от описанных противоречий предложен В.К.Горбуновым [17]. Именно анализ статистических данных, представляющих ансамбли потребителей, привел классиков теории спроса (Курно, Энгель, Госсен,.) к математической модели максимизации функции полезности и развитию современного аналитического и вычислительного аппарата. Поэтому статистический ансамбль потребителей необходимо взять за априорный объект аналитической теории спроса и признать, что для описания индивидуальных потребителей более уместен аппарат дискретных вероятностных процессов. Аналоги использования различного математического аппарата для описания сложных ансамблей и их компонент представляют физические теории сплошных сред. Поведение молекул газов и жидкостей описывается как броуновское движение (дискретный стохастический процесс), а поведение газа и жидкости, состоящих из таких молекул, - детерминированными дифференциальными уравнениями.

Техническая причина заключается в сложности построения полных аналитических индексов. Такие индексы определяются [86, 16, 19] через функцию потребительских расходов, которая представляет минимальные расходы потребителей данного рынка, обеспечивающие при заданных ценах покупку набора товаров, эквивалентного заданному набору [85]. Предпочтения ансамбля потребителей, определяющие наблюдаемый на рынке спрос, должны быть представлены соответствующей порядковой функцией полезности, называемой также функцией предпочтения [41]. Такая функция должна строиться по статистическим данным с неизбежными погрешностями. Соответствующая "обратная задача" в полном объеме (построение рационализирующей вогнутой pi дифференцируемой функции полезности) достаточно сложна и до настоящего времени методы ее решения далеки от завершения [13, 21, 16].

Разумеется, любая теория имеет свои границы применения, и функция полезности, "рационализирующая" статистические данные, существует пе всегда, особенно в периоды резких социально-экономических изменений. Но в такие периоды, как показывают исследования [29, 1,2], традиционные бинарные статистические индексы также несостоятельны для адекватной макроэкономической (агрегированной) оценки ситуации на потребительских рынках. Эффективный критерий адекватности рынков конечного потребления классической модели максимизации коллективной функции полезности был получен в 1967 году в работе С. Африата [69]. Эта работа открыла новое плодотворное направление в конструктивной теории потребительского спроса, цель которой - количественное исследование реальных рынков конечной продукции, в частности, построение индексов потребления. На основе этой работы X. Вэриан развил "непараметрический анализ" потребительского спроса [88, 89], который позволил существенно продвинуть методы построения аналитических индексов.

В случае однородных предпочтений, аналитические индексы количеств и цен потребления обладают свойством взаимной независимости. Индекс количеств определяется функцией полезности, вычисляемой на статистических наборах товаров, а индекс цен определяется множителем Лагранжа задачи максимизации полезности, причем этот множитель зависит только от цен. Соответствующие индексы рационального потребления [13] названы [86] инвариантными. Они удовлетворяют всем тестам Фишера и могут расчитываться в рамках непараметрического анализа Африата-Вэриана без построения функции полезности. Этот метод также является математическим аппаратом наших исследований и подробно излагается во второй главе. Инвариантные индексы являются основным предметом исследований российских авторов [8, 23, 60, 61], однако с иной терминологией, причем с постулированием однородности предпочтений как неотъемлемым свойством рациональности. Однако реальные предпочтения не являются однородными в общем случае, поэтому значение инвариантных индексов ограничено, в основном, проблемой корректного агрегирования экономической информации методом поэтапного поиска номенклатурных подгрупп, спрос на которые однороден. Положительный, хотя и ограниченный относительно потенциальных возможностей опыт применения непараметрического метода к реальным данным, приведенный в этих работах, говорит о достаточно широких границах применимости классической модели потребления для построения индексов.

Диссертация состоит из 4 глав, введения и заключения.

В главе 1 излагаются основные факты теории экономических индексов. В первой части главы уточняются понятия индексов потребительского спроса, излагаются: история возникновения и развития ипдсксологии, бинарные статистические индексы Ласпейреса и Пааше, аксиоматика (тесты) Фишера, индексы в непрерывном времени Дивизиа. Вторая часть данной главы посвящена изложению теории аналитических индексов. Здесь представлены основные факты классической теории потребительского спроса, в рамках которой определяются полные аналитические индексы цен и количеств. Эти индексы являются развитием направления, заложенного в работе А.А. Конюса 1924 года, где он впервые ввел "истинный индекс стоимости жизни", учитывающий рациональность поведения потребителей.

Во 2 главе исследуются известные методы решения систем линейных неравенств Африата, возникающих в рамках непараметрического метода Африата-Вэриана решения обратной задачи теории потребительского спроса. Эта задача заключается в построении функции полезности, порождающей функции спроса, которые соотвествуют наблюдаемому на данном рынке статистическому спросу. Решением системы линейных неравенств Африата являются значения функции полезности и множителя Лагранжа для задач рационального выбора, соответствующих всем статистическим ценам и расходам. Эти значения, называемые "числами Африата", в случае разрешимости специальной системы Африата определяют инвариантные индексы, и в случае разрешимости общей системы Африата - квазиинвариантные индексы. Инвариантные индексы удовлетворяют всем тестам Фишера, таким образом, можно сказать, что они являются идеальными. Однако реальные предпочтения потребителей для произвольных групп товаров в общем не являются однородными, и в таких случаях инвариантные индексы не существуют. Квазиинвариантные индексы удовлетворяют основным тестам мультипликативности и транзитивности, но в общем случае не удовлетворяют тесту промежуточности. Однако отсутствие теоретического обоснования не означает неизбежную невыполнимость свойства промежуточности для квазиинвариантных индексов, определенных для существенно более широкого множества возможных торговых статистик, чем инвариантные индексы.

В 3 главе излагается новый численный метод решения систем линейных неравенств Африата. Ввиду того, что использование реальных данных в большинстве случаев проиводит к неразрешимости линейных неравенств Африата, для решения общей и специальной систем применяется релаксационно-штрафной метод, предложенный Горбуновым [14]. Сущность его состоит в том, что вводится параметр несовместности, который делает систему неравенств совместной. Для решения специальной и общей систем неравенств Африата ставятся задачи линейного или квадратичного программирования, заключающиеся в минимизации введенного параметра или квадрата уклонения искомого набора чисел Африата от пробного набора, определяемого индексами Фишера. Эти задачи позволяют установить, совместна ли данная система в допустимых пределах. Допустимость невязки должна устанавливаться экспертами. В совместном случае по полученным решениям строятся инвариантные или квазиинвариантные индексы, наименее уклоняющиеся от индексов Фишера. В этой же главе описываются эффективные алгоритмы: симплекс-метод для ограничений-неравенств (для задачи линейного программирования) [32] и алгоритм Горбунова типа активных наборов для решения задачи о нормальном решении (для квадратичного программирования) [11, 12].

В 4 главе представлены результаты применения разработанного метода построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса. Также в этой главе предложена методика моделирования недостающих (например, помесячных) данных о количествах потребления продуктов по их суммарным (погодовым) значениям. Представлены результаты анализа некоторых рынков продовольственных товаров с помощью построенных инвариантных (если это возможно) или квазиинвариантных индексов. Использованы данные по Швеции (1921-1938 г.г., из работы [8]), г.Иркутску (90-е годы), Ульяновской области и РФ в последние годы.

Имеется Заключение и два Приложения "Описание программного комплекса", "Таблицы статистических данных". Список литературы содержит 89 источников. Из них работы автора, содержащие результаты диссертации [20, 37].

Положения, выносимые на защиту:

1) численный метод решения систем Африата, использующий в качестве дополнительной информации бинарные индексы Фишера,

2) алгоритмы линейного и квадратичного программирования для построения двух классов аналитических индексов - инвариантных для групп товаров, спрос на которые соответствует однородности потребительских предпочтений, и в случае неоднородности предпочтений - квазиинвариантных,

3) программный комплекс, разработанный для построения инвариантных и квазиинвариантных индексов на основе реальной торговой статистики и с применением моделирования данных о ценах и количествах потребления продуктов,

Автор выражает искреннюю благодарность и признательность научному руководителю В.К.Горбунову.

Вывод

Экспериментальные исследования показывают возможность существования квазиинвариантных индексов, удовлетворяющих всем основным тестам Фишера, что свидетельствует о качестве построенных индексов.

Одно из применений построенных инвариантных и квазиинвариантных индексов, отраженное в данной работе - проверка Закона Спроса в индексной формулировке. Ее результаты свидетельствует о неприемлимости данной формулировки Закона Спроса.

Заключение

В диссертации разработаны методы построения аналитических индексов потребительского спроса, учитывающих рациональность поведения потребителей в рамках классической модели максимизации полезности на множестве продуктов, доступных при данных ценах и суммарных расходах всех потребителей некоторого рынка.

Объектом исследования являются индексы цен и количеств продуктов на некотором рынке продуктов или услуг (благ)конечного потребления. Предмет исследования - численные методы построения аналитических индексов в рамках классической модели поведения потребителей.

Проблема адекватности классической модели данному рынку решается методом непераметрического анализа спроса, разработанного американскими математиками С.Африатом и Х.Вэрианом в 60-е - 80-е годы XX века. Этот метод заключается в решении системы линейных неравенств (Африата), коэффициенты которой строятся по торговой статистике за период наблюдений, а неизвестными являются значения рационализирующей функции полезности и множителя Лагранжа задачи максимизации полезности, вычисленные для статистических количеств и цен потребления (числа Африата). В случае положительной разрешимости неравенств Африата по числам Африата строятся индексы цен и количества потребления для периода наблюдения. При этом особое значение имеет возможность построения однородной рационализирующей функции полезности. Эта возможность проявляется разрешимостью специальной системы Африата. В случае ее совместности (однородный случай) отношения чисел Африата определяют известные ранее инвариантные индексы, которые являются "идеальными индексами", удовлетворяющими известным аксиомам (тестам) И.Фишера. Однако однородность потребительских предпочтений проявляется для содержательно близких сегментов рынка в редких случаях. В общем случае идеальные индексы не существуют и проблемой индексологии является улучшение качеств "неидеальных" индексов относительно аксиоматики Фишера.

Основной проблемой для неидеальных индексов спроса является совмещение тестов транзитивности, мультипликативности и промежуточности [29]. Решение этой проблемы па основе разработки численных методов построения новых, "квазиинвариантных" индексов спроса, введенных в недавних работах научного руководителя данной диссертации В.К.Горбунова, составило предмет диссертации. Квазиинвариантные индексы всегда (если существуют) транзитивны и мультипликативны. Как и для общих аналитических индексов для них теоретически может нарушаться свойство промежуточности. Если это свойство фактически выполнено' (проверяется непосредственно после построения), то они могут использоваться в качестве альтернативы бинарных индексов, учитывающей приспособительные реакции потребителей при изменении цен и уровня доходов.

В диссертации получены следующие новые научные и научно-практические результаты:

1) Разработаны или усовершенствованы методы построения частных классов аналитических индексов потребительского спроса, учитывающих рациональность поведения потребителей в рамках классической модели максимизации полезности на множестве продуктов, доступных при данных ценах и суммарных расходах всех потребителей некоторого рынка. Это класс инвариантных индексов, для которых существующие методы построения усовершенствованы, и новый класс квазиинвариантных индексов В.К.Горбунова, для которых регулярных методов построения до нашей работы не было. Для оценки погрешностей получаемых индексов предложено использовать тест транзитивности инвариантных или квазиинвариантных индексов.

2) Выявлена эффективность решения систем линейных неравенств Африата методом квадратичного программирования, позволяющим использовать экспертную информацию об искомом решении - индексы Фишера. Это стабилизирует процесс построения индексов и увеличивает возможность выполнения теста промежуточности для квазиинвариантных индексов. Ранее было экспериментально выяснено [39], что задача о нормальном решении системы неравенств Африата решается существенно быстрее, чем задача линейного программирования.

3) Продвинуто решение одной из основных проблем построения индексов спроса - совмещение тестов транзитивности, мультипликативности и промежуточности. Квазиинвариантные индексы всегда (если они существуют) транзитивны и мультипликативны. Как и для общих аналитических индексов для них теоретически может нарушаться свойство промежуточности. Проведенные вычисления на реальных данных последних лет продемонстрировали существование квазиинвариантных индексов, удовлетворяющих всем основным тестам.

4) Создан программный комплекс для построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса, предназначенный для практического использования и не требующий особых навыков пользователя.

4) На всех использованных реальных данных исследован Закон Спроса в индексной формулировке, предложенной Гребенниковым и Шананиным [23]. Установлено, что данная формулировка Закона Спроса неприемлема для адекватной характеристики изменений потребительского спроса, так как она не учитывает в достаточной степени "эффект дохода", учитываемый в стандартной формулировке Закона Спроса в терминах компенсированного спроса Хикса [85], [80].

Мы считаем, что полученные результаты подтверждают более высокое качество инвариантных и новых квазиинвариантных индексов потребительского спроса относительно используемых статистическими службами бинарных статистических и нормативных (вычисляемых по "потребительской корзине") индексов. Целесообразно развитие методов построения полных аналитических индексов в рамках классической модели спроса, а также развитие методов построения квазиинвариантных индексов в рамках новой, обобщенной модели потребительского спроса, основанной на понятии векторного поля предпочтений и предложенной в недавних работах В.К.Горбунова [18], [19].

1. Айзенберг, Н.И. Сравнительный анализ методов расчета индексов цен: автореф. дис. . канд. экон. наук (08.00.13)/Айзенберг Наталья Ильинична; ИСЭ СО РАН. - Иркутск, 2000 - 22 с.

2. Айзенберг, Н.И. Методика экспериментального анализа формул расчета индексов цен /Н.И. Айзенберг, З.В. Солонина // Вестник ИрГТУ. 2007. - No.4 (32). - С.11-15.

3. Аллсн, Р. Экономические индексы / Р. Аллен. М.: Изд-во Статистика, 1980. - 256 с.

4. Ашманов, С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашма-нов. М.: Изд-во Наука, 1984. - 296 с.

5. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Наука, 1987. - 600 с.

6. Вальтух, К.К. Математический и статистический анализ функции потребления / К.К. Вальтух, Н.П. Дементьев, И.А. Ицкович. Новосибирск: Изд-во Наука, 1986. - 167 с.

7. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Изд-во Наука, 1988. - 549 с.

8. Вратенков, С.Д. Анализ структуры потребительского спроса с помощью экономических индексов / С.Д. Вратенков, А.А. Шананин М.: ВЦ АН СССР, 1991. - 60 с.

9. Вэриан, Хэл Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход /Хэл Р. Вэриан М.: Изд-во Юнити, 1997. - 767 с.

10. Гилл, Ф. Практическая оптимизация: учеб. пособие для вузов / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. М.: Изд-во Мир, 1985. - 290 с.

11. Горбунов, В.К. Методы редукции неустойчивых вычислительных задач / В.К. Горбунов. Фрунзе: Изд-во Илим, 1984. - 241 с.

12. Горбунов, В.К. Экстремальные задачи обработки результатов измерений / В.К. Горбунов. Фрунзе.: Изд-во Илим, 1990. - 121 с.

13. Горбунов, В.К. Индексы рационального потребления / В.К. Горбунов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. Финансовая и страховая математика М.: Изд-во ТВП, 1997. - Т.4. - Вып.1. - С. 66-85.

14. Горбунов, В.К. Релаксационно-штрафной метод и вырожденные экстремальные задачи / В.К. Горбунов // Докл. АН., 2001. Т.377. - No.5.

15. Горбунов, В.К. Регуляризация нелинейных некорректных задач с параметризованными данными / В.К. Горбунов // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения ; под ред. В.А. Треногина и А.Ф. Филиппова. М.: Физматлит, 2003. - С. 418-447.

16. Горбунов, В.К. Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал. / В.К. Горбунов. М.: Изд-во Экономика, 2004. - 174 с.

17. Горбунов, В.К. Особенности агрегирования потребительского спроса /В.К. Горбунов // Журнал Экономической Теории, 2009. No.l. - С. 85-94.

18. Горбунов, В.К. Модель потребительского спроса, основанная на векторном поле предпочтений /В.К. Горбунов // Вестник Московского ун-та. Сер. 6. Экономика. 2009. No 1. С. 67-79.

19. Горбунов, В.К. Аналитические индексы потребления: история и перспективы / В.К. Горбунов // Труды РЭК-2009. Тем. конф. "Теория игр, эконометрика, фин. математика". Сессия "Индексы и проблемы агрегирования" Электронный ресурс].

20. Горбунов, В.К. Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления / В.К. Горбунов, JT.A. Козлова // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. No.3(19). - С. 120127.

21. Гранберг, А.Г. Математические модели социалистической экономики / А.Г. Гранберг. М.: Экономика, 1978.

22. Гребенников, В.А. Обобщенный непараметрический метод: закон спроса в задачах прогнозирования / В.А. Гребенников, А.А. Шананин // Матем. моделирование, 2008. Т.20. - No.9. - С. 34-50.

23. Джордж, А. Численное решение больших разрежцнных систем уравнений / А. Джордж, Дж. JIio. М.: Мир, 1984. - 333 с.

24. Емцов, Р.Г. Микроэкономика / Р.Г. Емцов, М.Ю. Лукин. М: Изд-во ДИС, 1997. - 320 с.

25. Еремин, И. И. Противоречивые модели оптимального планирования / И.И. Еремин. М: Наука, 1988. - 160 с.

26. Ершов, Э.Б. Индексы цен и количеств Фишера и Монтгомери как индексы Дивизиа / Э.Б. Ершов // Экономика и мат. методы, 2003. т.39. - No.2. - С. 136-154.

27. Есипов, В.Е. Цены и ценообразование: Учебник для вузов / В.Е. Еси-пов. СПб.: Изд-во Питер, 2001. - 464 с.

28. Зоркальцев, В.И. Индексы цен и инфляционные процессы /В.И. Зор-кальцев. Новосибирск: Наука, 1996. 316 с.

29. Зоркальцев, В.И. Проблемы агрегирования в экономике: есть ли логическая совместимость микроэкономики и макроэкономики?: препринт / В.И. Зоркальцев. Иркутск: Изд-во СЭИ СО РАН, 1997. - 51 с.

30. Зуховицкий, С.И. Линейное и выпуклое программирование / С.И. Зу-ховицкий, Л.И. Авдеева. М.:Наука, 1967. - 460 с.

31. Иванилов, Ю.П. Математическое моделирование в экономике / Ю.П. Иванилов, А.В. Лотов. М.: Наука, 1979. - 304 с.

32. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. М.: Прогресс, 1975. - 597 с.

33. Кевеш, П. Теория индексов и практика экономического анализа / П.Кевеш. М.: Финансы и статистика, 1990. - 303 с.

34. Ковалевский, Г.В. Индексный метод в экономике /Г.В. Ковалевский. -М.: Финансы и статистика, 1989. 239 с.

35. Козлова, JI.A. Опыт применения квазиинвариантных индексов потребления / JI.A. Козлова // Журнал Экономической Теории, 2009. No.2.- С. 276-279.

36. Конюс, А.А. Проблема истинного индекса стоимости жизни / А.А. Ко-нюс // Экономика и математические методы, 1989 (1924, переиздание).- No.3. Т.25. - С. 435-444.

37. Кулицкий, А.Е. Решение систем Африата обратной задачи рационального потребления / А.Е. Кулицкий // Труды 12-ой Байкальской межд. конф. "Методы оптимизации и их приложения". Т.З "Математическая экономика". - Иркутск, 2001.

38. Леонтьев, В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и политика / В. Леонтьев. М.: Политиздат, 1990. - 415 с.

39. Лотов, А.В. Введение в экономико-математическое моделирование /А.В. Лотов. М.: Наука, 1984. - 498 с.

40. Обследование бюджетов домашних хозяйств (2003-2007) электронный ресурс]: база данных. Режим доступа: http://www.infostat.ru, свободный. - Загл. с экрана.

41. Ортега, Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.:Мир, 1975. - 558 с.

42. Основные показатели обследования бюджетов домашних хозяйств Ульяновской области за 2004-2007 годы: стат.сб. Ульяновск: Росстат, 2008.

43. Поспелова, Л.Я. Анализ торговой статистики Москвы 1992-1993 г.г. с помощью непараметрического метода / Л.Я. Поспелова, А.А. Шана-нии. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1995. - 36 с.

44. Поспелова, Л.Я. Анализ торговой статистики Нидерландов 1951-1977г.г. с помощью обобщенного непараметрического метода / Л.Я. Поспелова, А.А. Шананин. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1998. - 160 с.

45. Поспелова, Л.Я. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщенный непараметрический метод / Л.Я. Поспелова, А.А. Шананин // Матем. моделирование, 1998. Т. 10. - No.4. С. 105116.

46. Потребление продуктов питания домашних хозяйств за 2007 год. (по итогам обследования бюджетов домашних хозяйств): экспресс-информация Ульяновск: Ульяновскстат, 2008. - 2 с.

47. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. М.: Наука, 1975. - 319 с.

48. Регионы России. Социально-экономические показатели.: стат.сб. М.: Росстат, 2001.

49. Регионы России. Социально-экономические показатели.: стат.сб. -М.:Росстат, 2005.

50. Романовский, И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач / И.В. Романовский. М.: Наука, 1977. - 352 с.

51. Руководство по индексу потребительских цен: теория и практика. -Вашингтон: Международный валютный фонд, 2007г. 679 с.

52. Слуцкий, Е.Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя / Е.Е.Слуцкий // Народнохозяйственные модели: теоретич. вопросы потребления М.: Изд. АН СССР, 1963 (1915). - С. 241-277.

53. Среднедушевое потребление продуктов питания, килограмм, Российская Федерация, значение показателя за год Электронный ресурс]: база данных. Режим доступа: http://www.infostat.ru, свободный. -Загл. с экрана.

54. Средние потребительские цены на основные виды товаров и услуг по РФ Электронный ресурс]: динамические таблицы. Режим доступа: http://www.gks.ru, свободный. - Загл. с экрана.

55. Средние потребительские цены на отдельные виды товаров и услуг по субъектам РФ (с 2003 г.) Электронный ресурс]: динамические таблицы. Режим доступа: http://www.gks.ru, свободный. - Загл. с экрана.

56. Тихонов, А.Н. О задачах с неточно заданной исходной информацией /

57. A.Н. Тихонов //Докл. АН СССР, 1985. Т.280. - No.3. - С. 559-562.

58. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов,

59. B.Я. Арсенин. М.: Наука, 1986. - 286 с.

60. Шананин, А.А. Исследование условий интегрируемости экономических показателей: автореф. дис. . д.ф.м.н. / А.А. Шананин. М.: ВЦ РАН, 1992.

61. Шананин, А.А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса / А.А. Шананин // Математические моделирование, 1993. Т.5. - No.9. - С. 3-17.

62. Хикс, Дж. Р. Стоимость и капитал / Дж. Р. Хикс. М.: Прогресс, 1993. - 488 с.

63. Черемных, Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень / Ю. Н. Че-ремных. М.: Инфра-М, 2008. - 844 с.

64. Черников, С.Н. Линейные неравенства. / С.Н. Черников. М.: Наука, 1968. - 488 с.

65. Экономическое положение Ульяновской области в 2004 г.: стат.сб. -Ульяновск: Изд-во Росстата, 2005. 405 с.

66. Экономическое положение Ульяновской области в 2005 г.: стат.сб. -Ульяновск: Изд-во Росстата, 2006. 391 с.

67. Экономическое положение Ульяновской области в 2006 г.: стат.сб. -Ульяновск: Изд-во Росстата, 2007. 413 с.

68. Экономическое положение Ульяновской области в 2007 г.: стат.сб. -Ульяновск: Изд-во Росстата, 2008. 483 с.

69. Afriat, S.N. The construction of utility functions from expenditure data / S.N. Afriat //International Economic Review, 1967. V.8. - No.l - P. 67-77.

70. Afriat, S.N. On a system of inequalities on demand analysis: an extension of the classical method / S.N. Afriat //International Economic Review, 1973. No.14.

71. Allen, R.G.D. The economic theory of index numbers / R.G.D. Allen // Economica, New Series, 1949. V.16. - No.63. - P. 197-203.

72. Bridges, D.S. Representationsof Preferences Orderings / D.S. Bridges, G.B. Mehta Berlin: Springer - Verlag, 1995.

73. Chipman, J.S. Agregation and estimation in the theory of demand / J.S. Chipman // History of Political Economy, 2006. V.38. - P. 106-125.

74. Diewert, W.E. Afriat and revealed preference theory / W.E. Diewert // Review of Economic Studies, 1973. V.40. - P.419-425.

75. Diewert, W.E. Cost of Living Indexes and Exact Index Numbers / W.E. Diewert // Discussion Paper 09-06, Depart. Econ., Univ. British Columbia, 2009.

76. Fostel, A. Two new proffs of Afriats Theorem / A. Fostel, H. Scarf, M. Todd // Economic Theory, 2004. V.24.

77. Geary, R.C. A note on "A constant-utility index of the cost of living"/ R.C. Geary // The Review of Economic Studies, 1951. V.18. - No.l. - R 65-66.

78. Gorman, W.M. Community preference fields. / W.M. Gorman // Econometrica. 1953. V.21. - P.63-80.

79. Hildenbrand, W. On the "Low of demand"/ W. Hildenbrand // Econometrica. 1983. V.51. - No.4 - P.997-1019.

80. Houtman, M. Nonparametric consumer and producer analysis: Thesis, Maastricht: Univ. of Limburg, 1995.

81. Hugo F.Sonnenschein. Электронный ресурс]. Режим доступа: http://cepa.newschool.edu/het/profiles/sonnens.htm, свободный. - Загл. с экрана.

82. Kirman, А.P. Whom or what does the representative individual represent? / A.P. Kirman // J. Econ. Perspectives. 1992. V.6. - No.2. - P.117-136.

83. Koo, A.Y.C. An Empirical Test of revealed preference Theory / A.Y.C. Koo. // Econometrica, 1963. V.31. - P.646-664.

84. Mas-Colell, A. Microeconomic Theory / A. Mas-Colell, M. Whinston, J. Green. New York: Oxford University Press, 1995.

85. Samuelson, P.A. Invariant economic index numbers and canonical duality: survey and synthesis / P.A. Samuelson, S. Swamy // The American Economic Review, 1974. V. 64. - No.4. - P. 566-593.

86. Triplett, J.E. Should the Cost-of-Living Index Provide the Conceptual Framework for a Consumer Price Index? / J.E. Triplett // The Economic Journal, 2001. V. 111. - P. 311-334.

87. Varian, H. The nonparametric approach to demand analysis / H. Varian // Econometrica, 1982. V.50. - P. 945-973.

88. Varian, H. Non-parametric tests of consumer behaviour / H. Varian // The Review of Economic Studies, 1983. V.50. - P. 99-110.