автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели оболочек с изломами срединной поверхности и алгоритмы их исследования

На правах рукописи

41

Гамилов Дмитрий Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБОЛОЧЕК С ИЗЛОМАМИ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ И АЛГОРИТМЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

С анкт-Петербу рг 2007

003071159

Работа выполнена на кафедре прикладной математика и информатики ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

¡ГЛССЕОЛКТеЛЬ nni-mn технических H3VK,

' " г/ w г *

профессор Карпов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты доктор технических наук,

профессор Кондратьева Лидия Никитовна,

доктор физико-математических наук, профессор Береславский Эдуард Наумович

Ведущая организация ОАО «Санкт-Петербургский зональный

научно-исследовательский и проектный институт жшшщно-гражданских зданий»

Защита диссертации состоится 29 мая 2007 г в 15 00 часов на заседании диссертационного совета К 212 223 01 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская уц, д 4, ауд 505 А

Телефакс (812)316-58-72

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета к ф -м н , доц

В А Фролькис

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Тонкостенные пространственные конструкции широко применяются в строительстве Они особенно целесообразны при возведении производственных и гражданских зданий, когда требуется покрывать площади больших размеров, порядка ЗОх 30 м и более, без промежуточных опор Впрочем, они успешно применяются при покрытии и меньших площадей

В пространственных покрытиях благодаря работе конструкции в плане в двух направлениях достигается большая экономия материалов К тому же пространственные покрытия обладают лучшей архитектурной выразительностью

Наряду с гладкой срединной поверхностью в строительстве встречаются и оболочки с изломами срединной поверхности Частично это обусловлено простотой изготовления и возведения покрытий при индустриализации строительства К таким конструкциям, в первую очередь, относятся покрытия с призматическими складами Однако, кроме них встречаются конструкции с изломами срединной поверхности в двух направлениях В оболочках вращения изломы поверхности имею место, как правило, в меридиальном направлении

Оболочки с изломами поверхности рассматривались в работе И Е Милей-ковского и С И Трушина При решении уравнений использовался метод Власова-Канторовича, так что задача сводилась к решению нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль той переменной, где заданы изломы поверхности Аналогичный прием применялся в работе Е И Колчунова

В геометрически линейной постановке многие задачи для складчатых оболочек решены Б К Михайловым

Устойчивость пологих оболочек с изломами срединной поверхности рассматривается в работах Л Н Кондратьевой Для решения уравнений в смешанной форме применялся метод Бубнова-Галеркина В работах А М Масленникова для расчетов складчатых оболочек применяется метод конечных элементов

Хотя имеется значительное число публикаций, относящейся к расчету оболочек с изломами срединной поверхности, но отсутствуют математические обоснования корректности соотношений и уравнений для таких оболочек Разработка таких обоснований, а так же разработка методик решения задач для ребристых оболочек с изломами срединной поверхности является актуальной задачей Задачи диссертационного исследования

1 Провести математическое обоснование появления в кривизнах оболочек с изломами срединной поверхности дельта-функций

2 Разработать метод, позволяющий заменить оболочку с изломами срединной поверхности эквивалентной по жесткости оболочкой с гладкими кривизнами

3 Для обо снования достоверности результатов провести сравнительный расчет оболочек при непрерывной аппроксимации искомых функций и методом конечных элементов

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем 1 Получены математические модели деформирования оболочек с изломами поверхности, которые заключаются в том, что в функционале полной энергии де-

формации появляются дополнительные члены, а не только кривизны оболочек имеют разрывные слагаемые Проведено математическое обоснование появления дельта-функций в кривизнах оболочек

2 Показано, что уравнения равновесия при дискретном введении изломов не вполне корректны, так как не выполняются условия Кодацци-Гаусса Уравнения в смешанной форме, одно из которых вытекает из условий Кодацци-Гаусса,

—г I-------

3 Разработан метод конструктивной анизотропии для «размазывания» жесткости изломов и показано, что в этом случае можно использовать для расчетов уравнение равновесия

4 На основе метода конечных элементов проведены расчеты некоторых видов оболочек с изломами срединной поверхности и проведено сравнение результатов с решениями, полученными при непрерывной аппроксимации искомых функций Тем самым проведено обоснование достоверности полученных результатов

Основные научные положения, выносимые на защиту.

1 Предложен метод, позволяющий перейти от оболочки с изломом срединной поверхности к равносильной по жесткости гладкой оболочке

2 Проведено математическое обоснование появления в кривизнах оболочки дельта-функций

3 Показано, что уравнения равновесия для оболочек с изломами срединной поверхности, когда кривизны оболочки содержат разрывные параметры, не вполне корректны, так не выполняются условия Кодацци-Гаусса Эти уравнения можно использовать только при «размазывании» жесткости изломов по всей оболочки

4 Уравнения в смешанной форме для оболочек с изломами срединной поверхности, одно из которых вытекает из условий Кодацци-Гаусса, вполне корректны и могут быть использованы как при разрывных параметрах в выражениях кривизн, так и при «размазывании» жесткости изломов по всей оболочки.

5. Для обоснования достоверности результатов проводился сравнительный расчет методом конечных элементов

Практическое значение работы состоит в том, что разработано математическое обоснование использования уравнений равновесия и в смешанной форме для расчета оболочек с изломами срединной поверхности Для вычисления коэффициентов систем уравнений разработаны программы в объектно-ориентированной среде Visual Basic

Достоверность научных положений подтверждается математически строгим выводом соотношений для оболочек с изломами срединной поверхности и сравнительных расчетов некоторых вариантов оболочек методом конечных элементов

Апробация работы

Результаты работы докладывались на 58-й и 59-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (2005 г, 2006 г), на 63 й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2006 г) Полностью работа

докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики под руководством д ф м н, проф Ватера Б Г (апрель, 2007 г) Публикации

По результатам исследования опубликованы три научных статьи Публикаций по перечню ВАК — 1

Структура и объем работы

Текст диссертации изложен на 136 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 205 наименований, приложений на 9 страницах Работа содержит 24 рисунгса и 6 таблиц

Во введении приводится краткий обзор литературных источников по теме диссертации, актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, указана научная новизна, основные результаты, выносимые на защиту, их апробация и публикации

В первой главе излагаются основы теории оболочек, необходимые в дальнейшем для разработки математической модели деформирования оболочек с изломами поверхности Параметры Ляме и кривизны оболочки должны удовлетворять уравнениям Кодацци-Гаусса Подробно рассмотрены пологие оболочки прямоугольного плана и торообразные оболочки, на примере которых показан вывод соотношений для параметров Ляме и кривизн оболочки

Показывается, что математическая модель деформирования оболочки состоит из

- геометрических соотношений,

- физических соотношений,

- функционала полной энергии деформации, из условия минимума которого получаются уравнения равновесия в перемещениях

Показана методика вывода уравнений в смешанной форме, одно из уравнений которых представляет собой уравнение неразрывности (сплошной) деформаций и вытекает из условий Кодацци-Гаусса

Во второй главе выводится математическая модель деформирования оболочек с изломом срединной поверхности Показано, каким образом в кривизнах оболочки появляются дельта-функции

Будем рассматривать оболочечную конструкцию, состоящую из отдельных пластинчато-оболочечных элементов, как оболочку с изломом срединной поверхности (рис 1) и будем считать, что кривизна при переходе через линию излома меняется скачкообразно Для получения закономерностей для таких оболочек рассмотрим оболочку с волнистой формой поверхности, а затем, используя метод вариационных предельных преобразований получим предельным переходом оболочку с изломом срединной поверхности

Итак, рассмотрим оболочку с гладкой волнистой формой срединной поверхности (рис 2), затем, устремляя к нулю в функционале полной энергии деформации, получим предельным переходом от единичных столбчатых функций к дельта-функциям оболочку с изломом срединной поверхности, для которой кривизна уже будет меняться дискретно в точках излома

Рис 2 Переход от оболочки с волнистой формой поверхности к оболочке с изломом средиииой поверхности

Зададим кривизны волнистой оболочки Кх,Ку в виде

_ 1 т

-Кх=--+ I

7=1

7=1

Кх + ~Г

Цх-х

— 1 " I 1

_ V. -—V 1 "У

Г 4- V I К +

"У

1

V."* СП

^ I' \ - /

Здесь Щ - радиус окружности, соединяющей две гладкие части оболочки в направлении оси х, Я\ - радиус кривизны этих частей оболочки, 5(х - Ху) -единичная столбчатая функция всюду равная нулю, кроме точек, принадлежащих отрезку [Ду, ^ ], где она равна единице Аналогичные значения имеют величины

/?2> ^(У ~ Уг) Для направления оси у

Следует заметить, что в точках aJ^J и с1, й1 кривизна оболочки будет равна

нулю, так как эти точки являются точками перегиба координатной поверхности

В функционале полной энергии деформации для рассматриваемой пологой оболочки с волнистой формой в дополнение к

1 ии\

Э = X \ /Рх ех +ИуСу+ +МхХ1+МуХ2 +

^00

+ 2Мхухп - 2Рхи - 2РуУ - 2дIV\ABdxdy появится выражение

+44 +М1уг®у+Н\г\)с1хау =

"00

1 аЪ ^00

о т яуу I у=1

Кг +

х ' 1 Л,

5(х-ху) +

и

+ Б

0 Е!гЖ

х 7 1-М2

г \ г Л

т кх+\ \ 1 п КуЧ) \ 2)

I 6(х- \y-yi) +

/=1 1=1

Е1г IV'

т 2

V

т п

+ И I I У=1!=1

Л,

5(х-Х7)

2 у

б О-У»)

г> "

т —1

N

Л

Ь(у-уг) +

+ е

О

".-и2

т

цЕ 7=1

8(х-х,)+ £ 1=1

ЗСУ-Л)

й Е

г=1

. 4

50-^) +

г \ г \ Т

т п Кх+\ \ 2/ _

+ Е д(х-ху) Ку-уг)

(1хйу

Здесь учтено свойство единичной функции

-2 - -2 5 {х~х^ = Ъ{х-х^,Ъ (у-у1) = ь(у-уг)

и то, что т

I

7=1

/

д.

1 У

_ от

8(х-*,) I ¿=1

(2)

= если )фк

Аналогичный результат получается вдоль координаты у Как известно, квадрат дельта-функции является неопределенной функцией и рассматриваемые здесь преобразования заключаются в том, чтобы в соотношениях не было квадрата дельта-функции

Если ->0, то (рис 3) иаубуравнаяЛ'б^-^О, те а]-*х],Ъ}-ы. и происходит предельный переход от единичных столбчатых функций 5(х — х^ к дельта функциям 6 (х - Ху ) При этом нужно учесть, что

1 _ в/ё(х —д:

-Ь5(Х_Х ) = _1_1—¿1--

я/

е/

1 Х}-+0

3' Л,1-»О

(3)

Л1

у

ч?

1

5(л; - х,)-;-» 0, так как кривизна

кх+-

я

по линии

излома при равна нулю

Все эти преобразования основаны на свойствах дельта-функций и единичных функций Так имеем

где

£/(;с-Ху) - единичная функция,

и (х-а = -при-

ращение единичной функции, а приращением ее аргумента является

и а} bJ равная Д^бр отсюда

5(л-Х7) 11т —= 5(х-х/)

/?2—>о й/е/

Аналогично, при 0

I /

Рис 3 К выводу скачка кривизны в точке излома оболочки

8(.У-УгУ

0

-» 0. так как кривизна

V

К2.

на линии

излома при у = у1 равна нулю

Таким образом, для пологих оболочек с изломом срединной поверхности дополнение к функционалу полной энергии деформации будет иметь вид (индекс

0 у с°х №у опущен)

3, Цп-\яхУГ I

1 200 7=1 1 у

+

1-ц2

(ел+цЕ>,)1 в^(х-ху) + {^гх+гу)Ь'5 (у-у,)

J=] 1=1

рьга/2 п т I

1-Ц2 (=1у=1 1

Таким образом, получаем функционал полной энергии деформации пологой оболочки с изломами срединной поверхности, справедливый на всей области занимаемой оболочкой

Если оболочка имеет изломы срединной поверхности, то не только ее кривизны по линиям изломов меняются на величину угла излома, т е

Кх= — ~ £ вJ8(x-XJ) и Ку=—— ¿618(у-у,), но меняется и функционал

1 1

и Ку=- _

Щ у=1 Л2 1=1

полной энергии деформации

Рассмотренная модель деформирования оболочки с изломом срединной поверхности не вполне корректна, так как по линиям изломов не будут выполняться условия Кодацци-Гаусса

Поэтому для проверки адекватности этой модели необходимы сравнения результатов, полученных с использованием конечно-элементной модели

Для оболочек, подкрепленных большим числом ребер, разработан метод перехода от дискретного задания параметра толщины к непрерывному путем «размазывания» жестко стных характеристик ребер по всей оболочке

Эту идею можно применить и к оболочкам с изломами срединной поверхности, «размазав» дискретно заданные скачки в кривизне оболочки (жесткость оболочки зависит от ее кривизны) по всей оболочке и тем самым получить эквивалентную по жесткости гладкую оболочку

Следуя идее метода конструктивной анизотропии, разработанного для ребристых оболочек, для определения кривизны гладкой оболочки, эквивалентной по жесткости оболочке с изломами срединной поверхности, нужно сумму углов изломов поверхности оболочки, отнесенную к линейному размеру оболочки прибавить (со своим знаком) к кривизне гладкой части оболочки

Для обоснования этого метода и выявления погрешности замены проведем в функционале (под знаком интеграла) следующие преобразования, при этом учитывая свойства дельта, функции а

/ ^(х)8(х - х )<1х = Г(х,) (0 < х, < а) О } •> J

При наличии изломов срединной поверхности оболочки под знаком интеграла будут содержаться выражения

10]5(х-хЛ.

Разобьем отрезок [о, а] точками х , х ^ = у Л, х^ =0, х т = а на части, так чтобы XJ (места изломов) попали в каждый из частичных интервалов (рис 4)

О x¡ x¡ Xj а lililí ..... I I

X 2 Xj

Рис 4

Обозначим hj =х j ~х j_\ = ~ = ^, среднее значение углов изломов B-J т ,

обозначим 0 = — т

Тогда получим

а т т

í (x-xj)dx= I _ f f(x)QJ(x-Xj)dx =

07 = 1 J= 1 Xj-1

m 1 m ftJ m ñ

б m Й a

1 y v*-!

/72 a

(^j это интегральная сумма, дающая в пределе Í)

, от ,

ze-7 xqJ

fiта i-1a а ;-1

= ™ = \f(x)dx = \t±-f(x)dx

а о в о 0 a

Следовательно,

т i

a т а ,

í (5)

О 7=1 0 a

При таком осредненном введении кривизны условия Кодацци-Гаусса будут выполняться на всей области оболочки Точность такой замены совпадает с точностью формулы прямоугольников, т е имеет первый порядок точности

Получена математическая модель деформирования торообразной оболочки с изломом срединной поверхности в направлении образующей (рис 5)

Рие 5 Тороидальная оболочка о изломом срединной поверхности (СХ > 0)

Рассматриваются оболочки толщиной /г, срединная поверхность которых образована вращением ломаной линии Л^^А/з^ вокруг оси тп(рис 5) Сектор о}N1 N2 с углом разворота^ и радиусом г может быть повернут относительно

оси тп на угол а и ближайшая его точка к оси тп отстоять на расстоянии с11 На рис 5 а > 0 Принята сферическая система координат

Рассматривается упрощенный вариант торообразной оболочки, когда с помощью замены переменных можно перейти к полярной системе координат на плоскости основания конструкции Доя «размазывания» жесткости изломов применен ранее описанный прием

Для поверхности (т) В = с1т + г(зт(х + а) - Б1П а), с1т - г(Бт(^ + а) - Бт а) + ¿т_\ = = (т - 1)сГо + <1 о = г(з1п(.*£ + а) - вт а),

y r(sin(.i + а) - sin а) + dm

Кривизну Ку можно записать в виде ^ _ r(sm(x + а) - smа) + dm -dm + rsin а _ У r[r(sin(x + а) - sm а) + dm ]

= i[i _ dm ~ rsma ] r r(sm(x + а) - sm а) + dm

В третьей главе для расчетов оболочек с изломами срединной поверхности применен метод конечных элементов

Так как в методе конечных элементов на каждом элементе все соотношения задаются в свой системе координат и затем производится переход к общей системе координат, то кривизны оболочки задаются непрерывными функциями на каждом элементе и достоверность результатов не вызывает сомнений По сути дела решаются контактные задачи

Проведен расчет торообразной оболочки с изломами срединной поверхности Результаты расчетов могут быть использованы для анализа достоверности результатов расчета при непрерывной аппроксимации искомых функций перемещений, а так же как самостоятельное исследование

В четвертой главе на основе вариационных методов — метода Ритца для нахождения искомых функций перемещений и метода Бубнова-Галеркина для решения уравнений в смешанной форме проведен расчет складчатых пологих оболочек

Показано путем сравнения решений, полученных методом конечных элементов, что уравнение равновесия в перемещениях можно применять только, когда жесткость изломов «размазана» по всей оболочки, а уравнения в смешанной форме корректны при учете дискретности изломов

Рассмотрим оболочку с конкретными параметрами В направлении осей

б

х и у она состоит из 6 плит (всего 36 плит), те а, =1 Oh, а= =60h,

;=1

Углы изломов оболочки в радианах принимают значения 0, = 0,0477 , Э2 = 0,0427 , 93 = 0,045 , в4 = 0,0427 , Э5 = 0,0477, а угол а0 =0,1129

В этом случае

5 ] 5 1

=0,2258, -16г =0,00376-1=1 "1=1

Следовательно, приведенная кривизна гладкой оболочки с размерами

а - Ь = 60Л будет кх = ку = 0,00376-, а радиусы кривизны Й1=Я2 = 256,96 А Без-

размерные значения кривизны

2т ^

6 А У

будут к^ =13,536

Теперь, используя уравнения равновесия, которые получаются после применения метода Ритца к функционалу полной энергии деформации

1[Ш(/)(С1(/,/) + С\{1,1))+ К1(/)С2(/,/) + ИЧ(/)СЗ(/,/)] = 0, 7=1

ДШ(/)С2(/,0 + П(/)(С4(/,0 + С4(/,/)) + ;п(/)С5(/,/)] - 0, /=1

1[Ш(/)СЗ(/,/) + П(/)С5(/, I) + ¡VI (/)(С6(/,/) + С6(/, /))] = = С7(!)Р, (6) /=1

/ = 1,2, ./V

найдем при одночленной аппроксимации перемещений в методе Ритца

Ц\ = 0,00355 Р

Расчет методом конечных элементов дает тот лее результат

Если учитывать дискретное расположение изломов поверхности оболочки, то

получим Щ = 0,0246 Р Это говорит о том, что уравнения равновесия нельзя применять к расчету таких оболочек, когда кривизны содержат разрывные параметры Теперь проведем расчеты складчатой оболочки, используя уравнения в смешанной форме

Рассматривается квадратная в плане оболочка со стороной а = 6 м и толщиной /г = 0,005м, состоящая из 36 ребристых плит размером 0,5мх2м (рис 7) Вдоль оси у расположено 3 плиты длиной 2 м каждая, а вдоль оси х - 12 плит длиной 0,5 м каждая Размеры всех элементов плиты и конструкции в целом показаны на рис 7

По контуру оболочка закреплена шарнирно-подвижно, поэтому для расчета ее напряженно-деформированного состояния используются уравнения в смешан-

14

ной форме, так как в этом случае легко подобрать аппроксимирующие функции в методе Бубнова-Галеркина, удовлетворяющие заданным краевым условиям

Сечение 1-1

ь- )

4=а

ь.

Сеченые ¡-!

$0

Размер1" 6 см

Рис 7 Общий вид складчатой оболочки и сечения отдельных панелей, образующих оболочку

Выпишем основные характеристики конструкции

1. Вдоль оси х находится 11 изломов срединной поверхности с одинаковым углом излома =0,06065 радиан, а вдоль оси оси,у-2 излома с углом 0, =0,24391 радиана

2 Размеры ребер, приведенные к прямоугольному сечению, составляют, для окаймляющих плиту (больших) ребер высота равна 0,07 ч, ширина - 0,045 м, для внутренних (малых) ребер высота равна 0,045 м, ширина - 0,0225 м

3 Характеристики материала конструкции железобетоне Е- 2,5 Ю^МПа и ц = 0,167

4 Нагрузка равномерно-распределенная по площади оболочки, составляющая с собственным весом конструкции 9 = 4,3 10 МПа

Кривизну складчатой оболочки зададим в виде

15

Kx= z Qj5{x-xj), Ку= Ьму-у,), 7=1 i—\

где х^, 5 (у - уг) - дельта функции

Уравнения в смешанной форме для пологих ребристых оболочек (линейный, упрощенный уяпнянт) буттут иметь вил

E%-V4fV-^-hvlф + q = 0,

р

+ = о,

где

(8)

52

Fl

-7-ii

12

к+Р " И + Р

Рассмотрим в начале упрощенный вариант решения поставленной задачи Так как число ребер велико, то «размажем» их жесткость по всей оболочки, при этом

h + F,

7 , SP , h

h + F„

3 12

(9)

где Pp, Sp, J p имеют вид

— m ,ri 7=1 *

n , r n m „ r,r,

SA'^-I Z A

ab

m , r, y=l «

i=l

6 i=l./=l

- m iri 7=1

n r, n m . rjr, =1 b l=iJ=i ab

n , Г; я w „ rtTj

^г=1 Ь l=i J=i ab ^ Приведенная площадь 15 больших ребер (приходящаяся на единицу длины сечения) будет F\ = 0,00772м, а 9 малых ребер /*2 = 0,00137м Общая приведенная площадь ребер (за вычетом общей части при пересечении ребер) будет Fp = 0,00909м

Статический момент одного ребра высотой /¡J и шириной fj будет равен

_hHh + hJ)

SJ—~o-О'

а момент инерции - J j = f 0.25М-' + +—{hJ J*

Следовательно, Sp = 0,000497м2, Jp = 0,0169 10_3м3 Приведенную кривизну оболочки возьмем в виде I 11 j2

Kx = -lBJ,Ky=-zQl (Ю)

a J=i 7 ' bl=i

Таким образом, рассматриваем гладкую пологую оболочку с приведенными параметрами жесткости и кривизны При этом

Fy =0,355, Jo =0,6196 10~бм3,^г = 0,1112—, Kv = 0,0813-

м * м

Для решения системы (8) применим метод Бубнова-Галеркина Так как считается, что оболочка имеет малые прогибы, то функции Щх,у) и Ф(х, у) возьмем в виде

Щх,у) = Щ = IFlsm—sm—, а Ъ

Ф(л,_у) = Ф] =®lsm— sm — а Ъ

При этом на контуре оболочки будут выполняться условия шарнирно-под-вижного закрепления

В соответствии с методом Бубнова-Галеркина для определения W\ и Ф1 имеем систему алгебраических уравнений

аЪ\

SS 00

аЪ ÍÍ 00

_1 — ц \ а Ь

fvS + V^j

ТСС пу J , л

sin—sm—dxdy = Q, a b

которая после вычисления интегралов от известных функций принимает вид 4 2

а а 4 л

0,355^-4Ф1 - Е~(кх + Ку )т = 0 а4 а1

Окончательно получим 04 = 2,14 10~3м, Ф1 = 26,472МПа м2 Вычислим напряжение в центре оболочки на ее внешней стороне

а Ь)

Если учитывать дискретное задание изломов поверхности и кривизны Кх,

К у задавая в виде (7), то результат практически не изменится

Решение исходной задачи (не упрощенной) методом конечных элементов,

ах =-3,22МПа

Таким образом, полученные результаты приближенных расчетов складчатой ребристой оболочки хорошо согласуются с расчетами, полученными методом конечных элементов

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1 Для оболочек с изломом срединной поверхности проанализирована корректность уравнений равновесия и уравнений в смешанной форме, когда изломы поверхности наличием дельта-функций в выражении кривизны оболочки и показано, что уравнения равновесия некорректны, так как не выполняются условия Кодацци-Гаусса, а уравнения в смешанной форме, одно из которых (уравнение неразрывности деформаций) вытекает из условий Кодацци-Гаусса, вполне корректны

2 Проведено математическое обоснование появления в соотношениях кривизны дельта-функций на основе предельного перехода от оболочки с волнистой формой поверхности (непрерывно изменяющейся кривизны) к оболочке с изломом срединной поверхности

3 На основе метода вариационных предельных преобразований разработан способ перехода от оболочки с изломом срединной поверхности к равновеликой по жесткости оболочки гладкой поверхности и получены соотношения для приведенных значений кривизн оболочки Обоснованы порядок погрешности такого перехода и возможность использования уравнений равновесия в этом случае

4 Для анализа достоверности получаемых результатов использован метод конечных элементов, который решение задач для оболочек с изломом срединной поверхности сводит к решению контактных задач Проведен сравнительный анализ решений, полученных при непрерывной аппроксимации перемещений и с помощью метода конечных элементов

Основное содержание диссертации изложено в публикациях:

1 Гамилов Д В , Карпов В В Математические модели деформирования оболочек с изломом срединной поверхности / Доклады 63-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета СПб СПбГАСУ, 2006, с 85-89

2 Гамилов Д В Расчет складчатой ребристой пологой оболочки /У Вестник гражданских инженеров СПб, 2007 №2(11) —с 83-85

3 Масленников А М, Гамилов Д В Напряженно-деформированное состояние тороидальных оболочек с изломом срединной поверхности // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета Томск, ТГАСУ, 2007 № 1-е 90-94

найденное А М Масленниковым и Р А Поповым, дает

Подписано к печати 16 04 07 Формат 60x84 1/16 Бум офсетная Уел печ л 1,25 Тираж 100 зкз Заказ 64

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный универешет 190005, Санкт-Петербург, ул 2-я Красноармейская, 4

Отпечатано на ризографе 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 5