автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели кинетических процессов изменения физико-механических характеристик материалов

На правах рукописи

Козомазов Роман Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КИНЕТИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ ИЗМЕНЕНИЯ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛОВ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саранск - 2007

003065830

Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем обработки информации и управления Мордовского государственного университета имени Н П Огарева

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

А.Н. Бобрышев

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Б.А. Бондарев

кандидат физико-математических наук, доцент В.И. Сафонкин

Ведущая организация ОАО «Завод ЖБК-1»

г Саранск

Защита состоится 10 октября 2007 г в 14 ч 00 мин на заседании диссертационного совета по защите кандидатских диссертаций КМ 212 117 07 при Мордовском государственном университете им Н П Огарева по адресу 430000, г Саранск, ул Большевисткася, 68

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета имени Н П Огарева

Автореферат разослан 10 сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Л А Сухарев

Общая характеристика работы Актуальность темы

Изучение, описание и моделирование кинетических процессов имеет большое значение в различных отраслях прикладной и теоретической науки [1, 2], например, таких, как физическая химия, материаловедение, металлургия и других, поскольку их протеканием определяются стадии и длительность структурообразования, влияющие на конечное состояние материалов и изделий В практике создания и использования материалов они проявляются в виде релаксации, усадки, массопоглощения, ползучести, набухания, коррозии и других, а также определяют эксплуатационные значения таких макроскопических характеристик материалов как прочность, упругость и т п

Однако во многих случаях, встречающихся на практике, изучение и описание кинетических процессов посредством математического моделирования сопряжено с определенными трудностями, так как, даже протекая в гомогенных (однородных) системах, модели таких процессов, задаваемые в простейших случаях обыкновенными дифференциальными уравнениями [3], выявляют определенные сложности при прогнозировании с их помощью асимптотических значений различных макроскопических характеристик композитных материалов

Физико-механические параметры многих композитных материалов зачастую определяются кинетическими процессами, протекающими в них Кинетические изменения этих параметров протекают как самопроизвольные процессы в результате совместной реализации химических, диффузионных, релаксационных и других процессов и описываются с позиции единой модели -классической кинетической модели, в основе которой заложены эмпирические сведения о скорости их изменения [1, 2, 4] Изменение свойств физико-механических параметров материалов обусловлено длительностью протекания формирующих эти свойства кинетических процессов

Прогнозирование установившихся асимптотических значений контролируемых физико-механических характеристик материалов находит применение в производстве [5, б], однако применение классической кинетической модели для этой цели не дает приемлемого по точности результата, так как не учитывает нелинейных особенностей кинетических процессов, определяющих эти характеристики

Предложенная в работе новая кинетическая модель более точно описывает протекающие в материалах кинетические процессы, чем классическая кинетическая модель [1, 2], так как учитывает нелинейные особенности их поведения, поэтому ее применение при прогнозировании установившихся зна-

V

чений физико-механических характеристик материалов дает приемлемые для практического применения результаты

Для прогнозирования с приемлемой точностью установившихся асимптотических значений физико-механических характеристик материалов не подходят алгоритмы, основанные на применении классической кинетической модели Для этих целей в работе строится рекурсивный алгоритм прогнозирования, основанный на применении новой кинетической модели

На базе полученного алгоритма в работе создается программный модуль для информационно-вычислительного комплекса «Композит», который позволяет существенно упростить и ускорить процесс прогнозирования установившихся асимптотических значений физико-механических характеристик материалов

Цели работы

Основными целями диссертационной работы являются

• Исследование нелинейных особенностей кинетических процессов изменения физико-механических параметров материалов, протекающих в различных средах, изучение классической модели кинетических процессов и обоснование несостоятельности описания этой моделью кинетических процессов с нелинейными особенностями

• Создание новой модели кинетических процессов изменения физико-механических характеристик материалов, более адекватно описывающей нелинейные эффекты, возникающие при протекании кинетических процессов в разных средах

• Объяснение физического смысла эмпирического параметра п в новой модели кинетических процессов физико-механических характеристик материалов

• Построение алгоритма прогнозирования установившихся эксплуатационных значений физико-механических характеристик материалов на основе новой кинетической модели

• Разработка программного модуля для информационно-вычислительного комплекса «Композит», позволяющего автоматизировать процесс прогнозирования асимптотических значений физико-механических характеристик материалов

Научная новизна работы

Обнаружены нелинейные особенности, возникающие при протекании кинетических процессов и выходящие за рамки существующих математических моделей, описывающих эти процессы Также получены экспериментальные данные, подтверждающие это

Получены новые математические модели кинетических процессов изменения физико-механических характеристик материалов, отличающиеся от классической модели

Получена новая модель, более точно, чем существующие, описывающая протекание кинетических процессов за счет учета выявленных нелинейных особенностей в этих процессах и позволяющая производить более точные прогнозы

Объяснен физический смысл эмпирического параметра п в кинетических процессах изменения физико-механических характеристик материалов и установлена его связь с внутренней и внешней размерностью структуры тела, в котором протекает исследуемый кинетический процесс

На основании новой модели кинетических процессов построен алгоритм, позволяющий с приемлемой точностью прогнозировать установившиеся асимптотические значения тех физико-механических характеристик материалов, в формировании которых участвуют эволюционные кинетические процессы

Научно-практическая ценность работы

Проведенные исследования нелинейных особенностей, возникающих в кинетических процессах, вносят вклад в общую теорию кинетических процессов Методы, примененные при моделировании, позволяют уточнить и улучшить способы моделирования эволюционных процессов и использование логистического уравнения

Полученная в работе параметрическая модель кинетических процессов изменения физико-механических характеристик материалов, позволяет управлять переходными линейно-нелинейными особенностями протекания кинетических процессов путем варьирования параметра роста в модели

Метод расчета параметров кинетических зависимостей, полученный в этой работе позволяет более точно прогнозировать эксплуатационные значения важных на практике параметров кинетических процессов, протекающих в материалах

Разработанный информационно-вычислительный модуль позволяет существенно упростить и ускорить создание материалов с заданными характеристиками, в формировании которых основную роль играют протекающие в материалах кинетические процессы, за счет уменьшения времени наблюде-

ния за изменением изучаемого параметра во времени и возросшей точности прогнозирования

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на

• научно-практической конференции студентов и аспирантов ЛГТУ (г Липецк, 2004 г),

• V всероссийской выставке научно-технического творчества молодежи НТТМ-2005 (г Москва, ВВЦ, 2005 г),

• II международной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г Саранск, 2005 г)

• научных семинарах Средневолжского математического общества под руководством Е В Воскресенского (2005-2006 гг)

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 10 научных работ, список которых приведен в конце автореферата, 2 из которых [1, 10] опубликованы в изданиях, входящих в список ВАК

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы и списка цитируемой литературы Объем работы составляет 120 страниц Список литературы содержит 82 наименования

Краткое содержание работы

В первой главе описаны топологические особенности протекания кинетических процессов в различных средах [8, 9], и рассмотрены основные методы математического описания кинетических эволюционных процессов следующего вида

х[1+1]=АхМ, (1)

х = АхМ, (2)

Показано, что даже в простейших линейных моделях кинетических процессов вида (1, 2) возникают нелинейные особенности, которые необходимо учитывать на практике

В разделе 1.1 рассмотрены топологические особенности протекания кинетических эволюционных процессов в различных средах, а также рассматривается зависимость протекания этих процессов от структуры материалов Рассмотрены два характерных подхода к изучению и моделированию кинетических процессов, обусловленных тем, что технические материалы, как правило, являются гетерогенными системами и состоят из несколько фаз, разделенных выраженной границей раздела

Первый подход заключается в том, что кинетический процесс рассматривается с позиции кластерных представлений [1, 2] Этот подход применим тогда, когда изучаемый параметр начинает проявляться и оказывать существенное влияние на макроскопические свойства материала на этапе зарождения новой фазы, еще до возникновения ее пространственной связности

Второй подход отличается от первого тем, что применяется тогда, когда изучаемый параметр начинает проявляться и существенно влиять на макроскопические характеристики материала только после перколяции новой фазы [3, 4, 5], когда возникает ее пространственная связность по всему объему системы

В разделе 1.2 вводится понятие логистической эволюции динамической системы [10], а также вводится логистическое уравнение [11, 10]

^ =тТЧ(1с-М)-т1Ч, (3)

где г и т. - характерные постоянные увеличения или уменьшения объема новой фазы в общем объеме системы, К - несущая способность системы

Уравнение (3), описывающее логистическую эволюцию в динамической системы, по своей сути является непрерывной динамической моделью кинетического процесса

В этом параграфе показано, как можно от непрерывной динамической модели кинетического процесса можно перейти к дискретной динамической

модели Данный переход не сводится к переписыванию уравнений системы с использованием других обозначений, а требует иных подходов

Дискретная динамическая модель кинетического процесса в дальнейшем широко используется в работе при описании различных нелинейных эффектов, возникающих при анализе кинетических процессов

В разделе 1.3 описаны дискретные эволюционные модели с нелинейным отображением вида

х[п+1] =^х[п]), х[0] =хо, (4)

где ^ X I—^ X — нелинейное отображение, то есть такое, которое не удовлетворяет нижеприведенному определению (5)

Определение 1. Отображение I. X >-> X называется линейным преобразованием, если

Цах+|3у) = <хЦх) + |ЗЦу) (5)

для всех х, у € X и а, |3 € М (или С)

Показано, как варьируя различные параметры этой системы, можно добиться чрезвычайно сложных режимов эволюции системы, вплоть до установления, при определенных значениях параметров, хаотического режима В литературе метод варьирования параметров динамической системы с целью получения качественно новых режимов ее функционирования вплоть до хаотического, часто называют динамикой Ферхюльста

В п. 1.3.2 вводится понятие метрического пространтва В п. 1 3.3 приводится описание хаотической динамики в нелинейном отображении, а также вводится определение хаотического отображения

Определение 2. Рассмотрим метрическое пространство (X, (1) Отображение f X I—► X называется хаотическим, если выполняются следующие условия

1 Отображение I7 обладает существенной зависимостью от начальных условий,

2 Отображение f транзитивно,

3 Периодические точки отображения f плотны в X

В разделе 1.4 вводится понятие систем итерированных функций - мощ-

ного метода исследования различных особенностей динамических систем

Во второй главе рассматриваются и анализируются классические мате-

матические модели кинетических процессов, а также вводится новая модель

кинетических процессов изменения физико-механических характеристик ма-терилов

В разделе 2.1 дается определение кинетического процесса как процесса, самопроизвольно протекающего в телах под действием внутренних и (или) внешних факторов Далее рассматривается классическая кинетическая модель, описывающая большой класс кинетических процессов, протекающих в композитных материалах

§ = -«*-**), (6)

где хт - установившееся кинетически стабилизированное значение х, к - константа скорости процесса, имеющая размерность, обратную времени

Уравнение (6) имеет решение

х = хт(1-е-,й) (7)

Зависимость (7) является общепринятой формой описания кинетических закономерностей с асимптотическим приближением исследуемого параметра для гомогенных систем

В разделе 2.2 вводится новая кинетическая модель

х = хт(1-е-ып), (8)

где и - постоянный коэффициент, обычно получаемый эмпирическим путем В данной работе раскрыт физический смысл параметра п и показано, как можно использовать этот параметр для построения более адекватных моделей кинетических процессов изменения физико-механических параметров материалов

Создание новой модели, более адекватно, чем классическая модель (7), описывающей кинетические процессы, протекающие в гетерогенных системах обусловлена необходимостью учитывать структурное состояние среды, в которой протекает кинетический процесс, так как оно оказывает существенное влияние на макропараметры системы

В разделе 2 3 рассмотрено понятие фрактальной размерности, которое позволяет объяснить физику кинетических процессов изменения физико-механических параметров материалов, а также объяснить физический смысл эмпирического параметра п в новой кинетической модели (8) таких процессов

Размерность Хаусдорфова на множестве А е Кп дается формулами т(А, й) = Итт! (йгатЕг)а | А С у Ег, с!гатЕг < е|,

В = вир{(11 т(А, й) ^ 0}

Определение 3. Фрактальное множество - это множество, размерность Хаусдорфа которого строго больше его топологической размерности

Переход гетерогенных композитных систем из жидкообразного в твер-дообразное состояние связан с пространственно-временными структурными трансформациями В связи с этим, в п. 2.4 рассматриваются топологические особенности кинетических процессов

Временные (кинетические) зависимости довольно детально обсуждаются, тогда как механизм топологических переходов остается практически неизученным Однако, изучение и описание топологии кинетических процессов является важным этапом при построении адекватных моделей кинетических процессов изменения физико-механических характеристик материалов

Наиболее адекватно пространственное разделение маточной (жидкообраз-ной) и образующей (кристаллитной) фаз представляется моделью Шкловско-го-де Жена, где кристаллитная фаза отображена линейными элементами

Также в этом параграфе вводятся два способа вычисления размерности фрактальной системы, в которой протекает изучаемый кинетический процесс изменения физико-механических характеристик этой системы Один способ дает внешнюю размерность Ое системы, другой - внутреннюю (Ог) Эти способы дают разные результаты, однако их можно перевести друг в друга с помощью показателя Херста "К, который является инвариантом для этих размерностей Так как

И'

то

2 2 = 3 — —, Рг =

Ог' 1 З-Эе В разделе 2.5 рассматривается топология фазовых превращений Разумно считать, что в начальный период кристаллизации, скорость роста вновь образующейся кристаллитной фазы пропорциональна ее текущему размеру V

— = кУ й± '

где к - постоянный коэффициент Данное уравнение отвечает условию размножения и подрастания зародышей, характерным для доперколяционной

фазы Конкретная система изначально занимает заданное конечное пространство объемом Ут, который по существу является ограничивающим параметром Следовательно, скорость кристаллизации пропорциональна не только объему кристаллитной фазы, но и свободному остаточному объему (V — Ут) маточной среды

^=к(У-Ут)У (9)

Полученная зависимость 9 известна как логистическое уравнение, которое широко обсуждается и используется при описании различных физико-химических процессов

Однако, в заперкаляционной области (после образования новой фазой перколяционного каркаса) фактор размножения становится несущественным, поэтому и логистическое уравнение (9) не дает адекватных решений В данной области преобладает процесс замещения фаз с пространственным ограничением, для которого характерно линейное отображение

^ = к(ут-У), (10)

решение, которого приводит к тривиальной кинетической зависимости с асимптотическим приближением

У = Ут[1-ехр(-к1)], (И)

Однако, для построения более адекватной модели кинетических процессов, необходимо учитывать пространственный фактор, те топологические особенности распределения новой фазы в представительском объеме Соответственно, модель приобретает следующий вид

¿V

— =Тс(Ут-У)1г, (12)

которое имеет решение

У = Ут(1-ехр(-Тс1п)) (13)

Анализируя уравнение (13), можно сделать вывод, что при п > 1 (п = 1 + Ое) кинетическая зависимость имеет Б-образный вид и определяется динамикой логистического отображения (9) Когда 0<п<1(п = 1 — 1/Ог), кинетика процесса относится к заперколяционной области и описывается линейным динамическим отображением (12)

По существу, предложенные модели представляют элементы топологической динамики, развиваемой в разделе синергетики композитных материалов Сущность данной концепции заключена в выявлении органической взаимосвязи между геометрическими характеристиками структуры систем и их макроскопическими показателями

В разделе 2.6 описывается модели эволюционных процессов с линейным отображением применительно к процессам изменения физико-механических характеристик материлов, которые описываются кинетическим уравнением

(7)

Зависимость (7) во многих случаях не описывает всего многообразия протекания кинетически процессов в гетерогенных композитных системах и не позволяет получать адекватные оценки важного параметра кинетического параметра хт Однако нахождение асимптотического предела хт связано с определенными трудностями, обусловленными длительностью эволюционного перехода х —> хт, в связи с чем нахождение хт требует иных подходов, таких как применение новой кинетической модели (8)

В п 2.6 1 описываются модели эволюционных процессов с линейным отображением, то есть дискретные динамические модели, в общем виде пред-ставимые следующим образом

x[t + 1] = f(x[t]), х[0] = х0,

где f Rnl - линейная функция относительно x[t]

Рассматриваются дискретные аналоги кинетического уравнения (8)

x[t +1] - x[t] xm - x[t]

-= ri-, (14)

x[t + 1] - x[t] xm-x[t]

X[t] (15)

Доказывается, что параметр роста тг ф const в уравнении (15) Это обстоятельство является существенным при построении алгоритма прогнозирования асимптотического значения хт

Теорема 1. В кинетических процессах, подчиняющихся классическому кинетическому уравнению (6) х = хт (l — e_kt) и представляемых в параметрическом виде эволюционной моделью Ферхюльста (x[t + 1] — x[t])/x[t] = f2(xm — x[t])/xm, параметр роста Т2 ф const, т е изменяется во времени

В п 2.6.2 детально рассматривается уравнение (14) Логистическое отображение, рассматривающееся в [10] широко обсуждается в нелинейной динамике Однако, линейная зависимость (14) считается тривиальной и подробно

в литературе не рассматривалась Тем не менее, несмотря на внешнюю простоту, в линейном отображении скрыты различные нелинейные особенности, проявляющиеся при изменении параметра роста Гх, например, такие, которые изображены на рис 1 в, г, д

Для изучения особенностей процессов, описываемых уравнением (7), его удобно представить в параметрическом виде

и исследовать его при различных значениях параметра г

Далее в этом разделе описываются возможные особенности поведения таких процессов в зависимости от значения параметра т В следующих разделах этой главы более подробно рассматриваются все эти особенности

В п. 2 6.3 рассматривается особенность кинетических процессов, описываемых (7), которая называется «стробоскопическая сходимость кинетических решений» Рассмотренное в этом пункте неклассическое решение кинетического уравнения (7) часто называют «овершут» Кинетическое уравнение при значении параметра Т\ > 1 принимает вид

Также в этом пункте доказывается предположение о том, что нижняя стробоскопическая огибающая кинетической кривой, описываемой уравнением (17) при г € (1, 2) дает монотонную кинетическую кривую, описываемую уравнением (7) и не имеет кинетических особенностей, тогда как динамическая система проявляет стробоскопическую особенность, отслеживая лишь максимальные значения параметра х в уравнении (17)

В п. 2.6.4 рассматривается особенность функционирования кинетического процесса описываемого параметрическим уравнением (16), называемая кинетическим режимом «ложного старта» Это еще один класс кинетических зависимостей, которые не могут быть удовлетворительно описаны классическим кинетическим уравнением (7)

В этом случае начало роста параметра х смещается во времени, а в начале процесса происходит монотонное уменьшение значений х

Описанный эффект имеет непротиворечивую интерпретацию при описании его с помощью модели сращивания асимптотик, описанной далее

Далее в п. 2.6.5 рассматриваются стробоскопические отображения режима расходимости кинетических решений Этот режим адекватно описывается при значениях параметра г > 2 В этом случае происходит бифуркационная

*(1)=хт(1-(1-т)4)

(16)

(17)

где А = |1-п|, (-1) =е1

Рис. 1. Кинетические кривые, получаемые при различных значениях параметра т

смена кинетических режимов В результате режим сходимости к аттрактору Хщ меняется на режим сходимости к аттрактору оо

В этом пункте произведен анализ возможных кинетических режимов, возникающих при г > 2 Все эти режимы характеризуют поведение неустойчивых (разгонных) процессов, таких как, например, процесс полного активного растворения композиционного материала в агрессивной среде, вплоть до полного перехода матричного материала в раствор

В п. 2 6.6 рассматривается модель сращивания монотонной и разгонной асимптотик, которая с успехом объясняет эффект смещения начала роста параметра х в уравнении 7

Эта модель задается кинетическим уравнением

х = х™ (1 - А*) + хт (1 - А* е2^) ,

где Аа = (1 — га) < 1, га < 1 - параметр роста ограниченного набухания, Аъ = ¡1 — Гъ| > 1, Тъ > 2 - параметр роста неограниченного растворения

В третьей главе описывается метод расчета параметров кинетических зависимостей, представимых в виде

Х(±)=Хт-АХ е-1* (18)

На практике большое значение имеет нахождение параметра Хт - асимптотического предела исследуемого параметра Х(1:), то есть такого значения,

что 1ши-*оо Х(1) = Хт Но, зачастую, достаточно сложно найти Хт без учета особенностей кинетических процессов, исследованных во второй главе

Метод нахождения параметров кинетических зависимостей вида (18), описанный в этой главе учитывает большинство выявленных особенностей протекания кинетических процессов в различных средах (как гомогенных, так и гетерогенных) и позволяет по небольшому количеству исходных данных с достаточной для практического применения точностью находить значение параметра Хт

В разделе 3.2 приводятся примеры использования метода и вычисляются погрешности нахождения Хт в каждом из случаев Во всех случаях они приемлемы и говорят о работоспособности метода Общий вид кинетической зависимости имеет вид

X = Хт — АХ ехр(—1сЬп),

где Хт - асимптотическое значение изучаемой характеристики (эксплуатационное значение), ДХ = Хт — Х0, к, п - параметры модели

Реальные данные, на основании которых производится подбор значений параметров кинетической зависимости вышеописанным методом, представлены в таблице 1

На данных, представленных в табл 1, удобно провести проверку степени соответствия получаемых значений параметров кинетических зависимостей реальным данным, так как в данном случае нам известно асимптотическое значение сгт, потому что прочность - это одна из характеристик материала, которую мы имеем возможность контролировать на этапе подбора состава материала

Кинетическая кривая, полученная по алгоритму, приведенному в разделе 3 1 и реальные данные показаны на рис 2 При этом Хта = 99,901,

Время, сут Рост прочности <7/стт,%

1 32,85

2 50

3 61,4

7 82,8

14 91,4

21 95,7

28 98

Таблица 1 Рост прочности при сжатии полиэфирного полимербетона во времени (заполнитель - керамзит)

100 90 80 70 60 50 40

0 5 10 15 20 25 30 ООО Значения, по которым строился прогноз ООО Значения, не участвовавшие в прогнозе

------Асимптота исследуемого параметра

—— Вычисленная кинетическая кривая

Рис. 2 Кинетическая кривая, полученная по данным из таблицы 1

г = 50,544, ДХ = 67,051, к = 0,190, п = 0,901 Следует заметить, что в данном случае параметр п близок к единице, что говорит о схожести данного процесса с процессом, описываемым классической кинетической моделью

Для анализа полученных результатов поступим следующим образом произведем расчет параметров модели по первым шести реальным значениям, после чего, подставим в полученную модель значение ± = 28 и вычислим отклонение между значением, полученным по модели, и реальным значением

= 28) = 98,362

Реальное значение при Ь = 28 составляет 98 Отклонение реальных данных от модельных значений составляет 0,37%

Рассмотрим также данные, приведенные в таблице 2 В этом случае Хт = 69,721, 1 = 56,249, ДХ = 28,921, к = 0,200, п = 0,745 Здесь параметр тт, уже заметно отличается от единицы - это говорит о том, что для описания такого набора данных классическая кинетическая модель не подходит

В четвертой главе описаны этапы проектирования и разработки вычислительного модуля для информационно-вычислительного комплекса «Ком-

Время, сут Рост прочности сг/(Тто, %

2 40,8

7 58,5

10 63,5

14 65,4

28 65,8

Таблица 2. Кинетика роста прочности щемевтного камня с добавкой 0,15% АЦФ-ЗМ во времени

ПОЗИТ»

Задача реализации алгоритма расчета параметров кинетических зависимостей, описанного в главе 3 в виде отдельной программы и дальнейшего использования полученной программы, сама по себе представляет определенный интерес, однако, так как расчеты, связанные с вычислением и прогнозированием параметров кинетических зависимостей могут с успехом применяться в различных методах создания новых конструкционных материалов с заданными параметрами, то решено было реализовать этот алгоритм как часть (модуль) информационно-вычислительного комплекса «Композит», который позволяет наиболее удобным для пользователя способом интегрировать данный расчетный модуль с методами создания новых конструкционных материалов с заданными параметрами

В разделе 4.1 дано описание программы по ГОСТ 19 402-78

• Общие сведения

• Функциональное назначение

• Системные требования

• Описание логической структуры

• Входные и выходные данные

• Установка и удаление

В п. 4 1.4 «Описание логической структуры» приведено описание СОМ-интерфейсов, разработанных для удобного взаимодействия модулей, входящих в состав комплекса, между собой Приведем здесь наиболее важные элементы этих интерфейсов

// Интерфейс, необходимый для идентификации модуля interface IModuleConnection IDispatch {

// Реализация итрерфейса должна поддерживать IErrorlnfo для // обработки ошибок

[id(l), helpstrmgC'GetName возвращает имя модуля")] HRESULT GetModuleName(

[out, retval] BSTR* pbsModuleName),

[id(2), helpstrmgO'Getlcon возвращает пиктограмму для окна модуля")]

HRESULT GetModulelconC

[m] BOOL bBig,

[out,retval] HANDLE hHandle),

[id(3), helpstringO'UseWmdow позволяет узнать, использует ли модуль оконный интерфейс")] HRESULT UseWmdowC

[out.retval] BOOL* bUse),

[id(4), helpstringC'SetWmdowHandle позволяет задать указатель для окна, используемого модулем")] HRESULT SetWmdowHandle (

[m] HANDLE hHandle),

>

// Интерфейс для работы с базой данных interface IDbAccess IDispatch {

[id(l), helpstrmgO'ExecuteQuery выполняет SQL-запрос к базе данных")]

HRESULT ExecuteQuery(

[m] BSTR bsQuery,

[out,retval] BSTR* pbsResult);

[id(2), helpstringC'GetElementProps возвращает свойства элемента из базы данных")] HRESULT GetElementProps(

[m] BSTR bsElenetName,

[out,retval] BSTR* bsElementProps),

[id(3), helpstrmgC'GetElementProperty возвращает заданное

свойство элемента из базы данных")] ННЕЗШЛ1 СегЕ1ете1гЬРгорегЬу(

[т] [т]

[out,retval]

Бэта БЭТЛ БЭТЛ*

ЬзЕ1епе1;11ате, ЬБРгорегЬуЫате, ЬзЕ1ете1гЬРгорегЬу);

[1Й(4), Ье1рБ1;г1:г^("СеЪЕ1етегЛВезс возвращает описание элемента из базы данных")] НЕЕБиЬТ GetElementDesc(

[т] БЭТИ, bsElenetName,

[о^,гегуа1] ВЗТИ* ЪзЕ1ете1гЬБезс),

}

В п 4 1 5 описываются входные и выходные данные для модуля «Прогнозирование эксплуатационных характеристик материалов» ИВК «Композит» Входными данными для этого расчетного модуля являются упорядоченные во времени результаты наблюдения исследуемой характеристики материала Также входные данные могут быть получены из файла, имеющего следующий формат

Время1 Значение1

Время2 Значение2

ВремяЗ ЗначениеЗ

Времяга Значениеп

Время - вещественное неотрицательное число, которое показывает, когда было произведено наблюдение или выполнен замер, Значение - вещественное число, являющееся результатом наблюдения или замера, п - количество наблюдений

Выходной файл для модуля «Вычисление эксплуатационных значений характеристик материала» имеет следующий формат Сначала выводится общий вид кинетического уравнения, параметры которого ищутся, затем выдаются найденные значения параметров этого кинетического уравнения, а затем выдается надежность соответствия расчетных значений опытным данным, вычисленная с использованием критерия Стьюдента Выходной файл может быть таким

Общий вид кинетического уравнения

X = Хт - deltaX * етр(-к1;~а)

Параметры кинетического уравнения:

- Асимптотическое значение Хт; 99,901

- Значение аргументного показателя t: 50,544

- delta X: 67,051

- k: 0,190

- ir. 0,901

Надежно сть : 99, 9 У,

В разделе 4.2 приводится руководство оператора но ГОСТ 19.505-79.

Вп. 4.2.2 приводится описание работы модуля «Прогнозирование эксплуатационных значений материалов» информационно-вы числи тельного комплекса «Композит».

Данный модуль предназначен для npoi яозиро ванёя асимптотической® значения изучаемой характеристики материала (например, прочности, ползучести, водраоглОщшия и др.) по малому количеству начальных данных. Для его загрузки необходимо в главном окне ИВК «Композит» выбрать е меню «Вычисления» пункт «Прогнозирование эксплуатационных характеристик материала» или нажать на панели инструментов кнопку «Вычисления» и выбрать из раскрывшегося меню пункт «Прогнозирование эксплуатационных характеристик материала». Главное окно модули представлено на рис. 3.

Ш Вычисление эксплуатационных значений

Введите реальные значения исследуемой ха^ктеристшк

ш

' Вреня набгскйенця Значйнно

¡30

Зад

► ГО9

ш

шя

шия

0.03

8.157

<М

я!

ок

Закрыть [

Рис. 3. Главное окно модуля ¿Вычисление эксплуатационных характеристик материалоr f

Список литературы

[1] Батумер JI Н Математические методы в химической технике / Л Н Ба-тумер, М Е Позин -М Химия, 1971 - 823 с

[2] Стромберг А Г Физическая химия / А Г Стромберг, Д П Семченко -М Высшая школа, 2001 - 527 с

[3] Степанцов В В Курс дифференциальных уравнений / В В Степанцов -М Едиториал УРСС, 2004 - 340 с

[4] Ерофеев В Т Повышение физико-химического сопротивления цементных композитов путем применения при их отверждении агрессивных сред / А П Федорцов, В Т Ерофеев // Вестник Волжского регионального отделения РААСН Вып 5 - Нижний Новгород 2002 - С 98 - 101

[5] Соломатов В И Позитивная коррозия бетонов Работоспособность композиционных строительных материалов в условиях воздействия различных эксплуатационных факторов / В И Соломатов, А П Федорцов // Межвузовский сборник - Казань 1982 - С 10 - 13

[6] Ерофеев В Т Каркасные строительные композиты /ВТ Ерофеев, Н И Мещенко, В П Селяев, В И Соломатов - Саранск Изд-во Мор-довск ГУ, 1995 - 198 с

[7] Федорцов А П Влияние условий твердения на химическую стойкость цементного камня / А П Федорцов, Л М Ошкина // Современные проблемы строительного материаловедения Материалы IV академических чтений РААСН - Пенза Изд-во ПГАСА, 1998 - Ч 2 - С 145-146

[8] Бобрышев А Н Синергетика Физика и микромеханика дисперсно-наполненных композитов /АН Бобрышев, В Н Козомазов, Р И Авдеев - М Наука, 2003 - 284 с

[9] Бобрышев А Н , Козомазов В Н , Авдеев Р И , Соломатов В И Синергетика дисперсно-наполненных композитов /АН Бобрышев, В Н Козомазов, РИ Авдеев, В И Соломатов - М ЦКТ, 1999 - 252 с

[10] Кроновер Р М Фракталы и хаос в динамических системах Основы теории / Р М Кроновер - М Постмаркет, 2000 - 352 с

[И] Пригожин И Новый диалог человека с природой / И Пригожин, И Стенгерс - М Эдиториал УРСС, 2001 - 312 с

Работы, опубликованные по теме диссертации Список литературы

[1] Козомазов Р В Топологические особенности кинетических процессов в твердых компонентных системах /АН Бобрышев, Р В Козомазов, И Н Туманова // Конденсированыне среды и межфазные границы 2003 - Т5 -№2 - С 150-154

[2] Козомазов Р В Фрактальная размерность бесконечного кластера / А Н Бобрышев, Р В Козомазов, В Н Козомазов, Р И Авдеев // Успехи строительного материаловедения Сборник научных работ - 2001 -С 131-138

[3] Козомазов Р В Функциональная оценка наполнения композитов / АН Бобрышев, РВ Козомазов, В Г Корвяков и др // Вестник отделения строительных наук РААСН Вып 4 - М 2001 - С 96-103

[4] Козомазов РВ Фрактальные объекты и фрактальная размерность / АН Бобрышев, Р В Козомазов, Р И Авдеев, А Ф Гумеров //Вестник волжского регионального отделения РААСН Вып 5 - 2002 - С 143-147

[5] Козомазов РВ Топологические выделенные зоны наполнения / А Н Бобрышев, Р В Козомазов, С В Курин, В Н Кувшинов, А В Лах-но // Актуальные проблемы строительства Вып 1 - 2002 - С 36-38

[6] Козомазов Р В Характеристики фрактальных кластеров /АН Бобрышев, РВ Козомазов, НН Туманова // Проблемы строительного материаловедения Первые Соломатовские чтения Материалы Всероссийской научно-технической конференции - Саранск Изд-во Мордовского университета, 2002 - С 33-35

[7] Козомазов РВ Топологически выделенные зоны наполнения композитов /АН Бобрышев, С В Курин, Р В Козомазов, В Н Кувшинов, А В Лахно // Актуальные проблемы строительства Вып 1 - Саранск Изд-во Мордовского университета, 2002 - С 36-39

[8] Бобрышев А Н , Козомазов В Н , Козомазов Р В , Лахно А В , Тучков В В Прочность и долговечность полимерных композитных материалов /АН Бобрышев, В Н Козомазов, Р В Козомазов, А В Лахно, В В Тучков - Липецк Юлис, 2006 - 170 с

Козомазов Р В Математические модели кинетических процессов изменения физико-механических характеристик материалов / Р В Козомазов Материалы второй международной научной школы «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» - Саранск Изд-во Средневолжского математического общества, 2006, препринт №92 - 24 с

Козомазов Р В Информационно-вычислительный комплекс «Композит» для подбора составов и прогнозирования свойств композитных материалов /АН Бобрышев, Р В Козомазов, Д В Козомазов, В М Аксенов // Строительные материалы №7 - 2007 - С 38-39

Подписано в печать 06 09 2007 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Ризография Печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ № Типография ЛГТУ 398600, г Липецк, ул Московская, 30

Введение

1 Общее описание кинетических процессов

1.1 Топология кинетических процессов.

1.2 Логистическая эволюция

1.3 Эволюционные модели с нелинейным отображением. Динамика Ферхюльста.

1.3.1 Модель роста популяции. Логистическое отображение

1.3.2 Метрические пространства.

1.3.3 Хаотическая динамика в нелинейном отображении

1.4 Системы итерированных функций.

1.4.1 Сжимающие отображения.

1.4.2 Системы итерированных функций.

1.5 Итерированные отображения.

2 Моделирование кинетических процессов.

2.1 Классические кинетические закономерности

2.2 Новая кинетическая модель.

2.3 Фрактальная размерность.

2.4 Топологические особенности кинетических процессов

2.5 Топология фазовых превращений.

2.6 Модели эволюционных процессов с линейным отображением.

2.6.1 Отображения с дискретными временными интервалами

2.6.2 Параметрическая зависимость.

2.6.3 Стробоскопическая сходимость кинетических решений

2.6.4 Кинетический режим «ложного старта».

2.6.5 Стробоскопические отображения режима расходимости кинетических решений.

2.6.6 Сращивание монотонной и разгонной асимптотик

3 Метод расчета параметров кинетических зависимостей

3.1 Метод расчета параметров кинетических зависимостей

3.2 Пример применения метода.

4 Реализация алгоритма

4.1 Описание программы

4.1.1 Общие сведения

4.1.2 Функциональное назначение

4.1.3 Системные требования.

4.1.4 Описание логической структуры.

4.1.5 Входные и выходные данные.

4.1.6 Установка и удаление.

4.1.7 Вызов и загрузка.

4.2 Руководство оператора

4.2.1 Выполнение программы.

4.2.2 Описание работы модуля «Прогнозирование эксплуа

4.2.3 Сообщения об ошибках

Данная работа посвящена исследованию особенностей, возникающих в кинетических процессах, протекающих в гомогенных и гетерогенных средах, построению математических моделей кинетических процессов, позволяющих учитывать эти особенности. Также работа посвящена разработке алгоритма прогнозирования эксплуатационных значений различных макроскопических характеристик материалов, конечное состояние которых определяется кинетическими процессами, протекающими в этих материалах. Также на основе полученного алгоритма в работе получен вычислительный программный модуль для информационно-вычислительного комплекса «Композит», предназначенный для прогнозирования эксплуатационных значений различных макроскопических характеристик композитных материалов.

Актуальность темы

Изучение, описание и моделирование кинетических процессов имеет большое значение в различных отраслях прикладной и теоретической науки [1; 2], например, таких, как физическая химия, материаловедение, металлургия и других, поскольку их протеканием определяются стадии и длительность структурообразования, влияющие на конечное состояние мапроявляются в виде релаксации, усадки, массопоглощения, ползучести, набухания, коррозии и других, а также определяют эксплуатационные значения таких макроскопических характеристик материалов как прочность, упругость и т.п.

Однако во многих случаях, встречающихся на практике, изучение и описание кинетических процессов посредством математического моделирования сопряжено с определенными трудностями, так как, даже протекая в гомогенных (однородных) системах, модели таких процессов, задаваясь в простейших случаях обыкновенными дифференциальными уравнениями [3; 4; 5; 6; 7; 8], таят в себе сложности при предсказании с их помощью асимптотических значений различных макроскопических характеристик композитных материалов.

Физико-механические параметры многих композитных материалов зачастую определяются кинетическими процессами, протекающими в них. Кинетические изменения этих параметров протекают как самопроизвольные процессы в результате совместной реализации химических, диффузионных, релаксационных и других процессов и описываются с позиции единой модели - классической кинетической модели, в основе которой заложены эмпирические сведения о скорости их изменения [1; 2; 9; 17]. Изменение свойств физико-механических параметров материалов обусловлено длительностью протекания формирующих эти свойства кинетических процессов.

Прогнозирование установившихся асимптотических значений контролируемых физико-механических характеристик материалов находит применение в производстве [18; 19; 20; 21; 22], однако применение классической кинетической модели для этой цели не дает приемлемого по точности результата, так как не учитывает нелинейных особенностей кинетических

Предложенная в работе новая кинетическая модель более точно описывает протекающие в материалах кинетические процессы, чем классическая кинетическая модель [1; 2], так как учитывает нелинейные особенности их поведения, поэтому ее применение при прогнозировании установившихся значений физико-механических характеристик материалов дает приемлемые для практического применения результаты.

Для прогнозирования с приемлемой точностью установившихся асимптотических значений физико-механических характеристик материалов не подходят алгоритмы, основанные на применении классической кинетической модели. Для этих целей в работе строится рекурсивный алгоритм прогнозирования, основанный на применении новой кинетической модели.

На базе полученного алгоритма в работе создается программный модуль для информационно-вычислительного комплекса «Композит», который позволяет существенно упростить и ускорить процесс прогнозирования установившихся асимптотических значений физико-механических характеристик материалов.

Цели диссертационной работы

Основными целями диссертационной работы являются:

• Исследование нелинейных особенностей кинетических процессов изменения физико-механических параметров материалов, протекающих в различных средах, изучение классической модели кинетических процессов и обоснование несостоятельности описания этой моделью кинетических процессов с нелинейными особенностями.

• Создание новой модели кинетических процессов изменения физикоющей нелинейные эффекты, возникающие при протекании кинетических процессов в разных средах.

• Объяснение физического смысла эмпирического параметра п в новой модели кинетических процессов физико-механических характеристик материалов.

• Построение алгоритма прогнозирования установившихся эксплуатационных значений физико-механических характеристик материалов на основе новой кинетической модели.

• Разработка программного модуля для информационно-вычислительного комплекса «Композит», позволяющего автоматизировать процесс прогнозирования асимптотических значений физико-механических характеристик материалов.

Научная новизна работы

Обнаружены нелинейные особенности, возникающие при протекании кинетических процессов и выходящие за рамки существующих математических моделей, описывающих эти процессы. Также получены экспериментальные данные, подтверждающие это.

Получены новые математические модели кинетических процессов изменения физико-механических характеристик материалов, отличающиеся от классической модели.

Получена новая модель, более точно, чем существующие, описывающая протекание кинетических процессов за счет учета выявленных нелинейных особенностей в этих процессах и позволяющая производить более точные прогнозы.

Объяснен физический смысл эмпирического параметра п в кинетических процессах изменения физико-механических характеристик материалов и установлена его связь с внутренней и внешней размерностью структуры тела, в котором протекает исследуемый кинетический процесс.

На основании новой модели кинетических процессов построен алгоритм, позволяющий с приемлемой точностью прогнозировать установившиеся асимптотические значения тех физико-механических характеристик материалов, в формировании которых участвуют эволюционные кинетические процессы.

Научно-практическая ценность работы

Проведенные исследования нелинейных особенностей, возникающих в кинетических процессах, вносят вклад в общую теорию кинетических процессов. Методы, примененные при моделировании, позволяют по-новому взглянуть на способы моделирования эволюционных процессов и использование логистического уравнения.

Полученная в работе параметрическая модель кинетических процессов изменения физико-механических характеристик материалов, позволяет управлять переходными линейно-нелинейными особенностями протекания кинетических процессов путем варьирования параметра роста в модели.

Метод расчета параметров кинетических зависимостей, полученный в этой работе позволяет более точно прогнозировать эксплуатационные значения важных на практике параметров кинетических процессов, протекающих в материалах.

Разработанный информационно-вычислительный модуль позволяет существенно упростить и ускорить создание материалов с заданными харакщие в материалах кинетические процессы, за счет уменьшения времени наблюдения за изменением изучаемого параметра во времени и возросшей точности прогнозирования.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

• научно-практической конференции студентов и аспирантов ЛГТУ (г. Липецк, 2004 г.);

• V всероссийской выставке научно-технического творчества молодежи НТТМ-2005 (г. Москва, ВВЦ, 2005 г.);

• II международной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 2005 г.).

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 8 научных работ [9; 10; И; 12; 13; 14; 15; 16].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы. Объем работы составляет 120 страниц. Список литературы содержит 80 наименований.

1. Батумер J1.H. Математические методы в химической технике / J1.H. Батумер, М.Е. Позин -М.: Химия, 1971. - 823 с.

2. Стромберг А.Г. Физическая химия / А.Г. Стромберг, Д.П. Семченко -М.: Высшая школа, 2001. 527 с.

3. Багданов Ю.С. Математический анализ / Ю.С. Богданов, О.А. Каст-рица, Ю.Б. Сыроид М.: Юнити-Дана, 2003. - 352 с.

4. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I / В.А. Зорич М.: МЦ-НМО, 2002. -680 с.

5. Зорич В.А. Математический анализ. Часть II / В.А. Зорич М.: МЦ-НМО, 2002. -625 с.

6. Степанцов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степан-цов М.: Едиториал УРСС, 2004. - 340 с.

7. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман М.: Едиториал УРСС, 2003. - 216 с.

8. Козлов В.В. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений / В.В. Козлов, С.Д. Фурта М.: Изд-во МГУ, 1996. - 244 с.

9. Козомазов Р.В. Топологические особенности кинетических процессов в твердых компонентных системах / А.Н. Бобрышев, Р.В. Козомазов, И.Н. Туманова // Конденсированыне среды и межфазные границы. 2003. Т.5. - №2. - С,150 - 154.

10. Фрактальные объекты и фрактальная размерность / А.Н. Бобрышев, Р.В. Козомазов, Р.И. Авдеев, А.Ф. Гумеров. // Вестник волжского регионального отделения РААСН. Вып. 5. 2002. - С. 143-147.

11. Топологические выделенные зоны наполнения / А.Н. Бобрышев, Р.В. Козомазов, С.В. Курин, В.Н. Кувшинов, А.В. Лахно. // Актуальные проблемы строительства. Вып. 1. 2002. - С. 36-38.

12. Козомазов Р.В. Математические модели кинетических процессов изменения физико-механических характеристик материалов / Р.В. Козомазов, В.Н. Козомазов. Саранск: Средневолжское матем. общество, 2006, препринт №92.

13. Соломатов В.И. Позитивная коррозия бетонов. Работоспособность композиционных строительных материалов в условиях воздействия различных эксплуатационных факторов / В.И. Соломатов, А.П. Федорцов // Межвузовский сборник. Казань: 1982. - С.10 - 13.

14. Федорцов А.П. Позитивная коррозия или коррозия по В.И. Солома-тову и физико-химическое сопротивление бетонов / А.П. Федорцов // Успехи строительного материаловедения: материалы юбилейной конференции. М.: 2001. - С.214 - 218.

15. Ерофеев В.Т. Каркасные строительные композиты / В.Т Ерофеев, Н.И. Мещеико, В.П. Селяев, В.И. Соломатов. Саранск: Изд-во Мор-довск. ГУ, 1995. - 198 с.

16. Чернявский B.JT. Роль адаптации в формировании коррозийной стойкости бетона / B.JL Чернявский // Известия ВУЗов. Сер. СтроительПЛПОГЧ Т7 О П\ГТ|ФШ/Ф^ гг\ о 1 ОСЖ М> л П Q/L4Q

17. Кестен X. Теория просачивания для математиков / X. Кестеп. -М.: Мир, 1986. 392 с.24. де Жен П. Идеи скейлинга в физике полимеров. М.: Мир, 1982. -368 с.

18. Шкловский Б.И. Электронные свойства легированных полупроводников / Б.И. Шкловский, A.JI. Эфрос. М.: Наука, 1979. - 279 с.

19. Пригожин И. Новый диалог человека с природой / И. Пригожин, И. Стенгерс. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 312 с.

20. Пригожин И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени / И. Пригожин, И. Стенгерс. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 240 с.

21. Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы / И. Пригожин. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 208 с.

22. Семененко М.Г. Введение в математическое моделирование / М.Г. Се-мененко. М.: СОЛОН-Р, 2002. - 112 с.

23. Каток А.Б. Введение в современную теорию динамических систем / А.Б. Каток, Б. Хасселлблат. М.: Факториал, 1999. - 340 с.

24. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное пред

25. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций / А.Д. Базыкин. М.: Эдиториал УРСС, 2003. - 368 с.

26. May R. Science. 1974. Vol. 186. Р.645-647.

27. May R. Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics // Nature, 1976. Vol. 261. P.459-467.

28. Федер E. Фракталы / E. Федер. M.: Мир, 1991. - 124 с.

29. Соколов И.М. УФН / И.М. Соколов. 1985. - Т. 150. - Вып. 2. - с. 221255

30. Зосимов В.В. УФН / В.В. Зосимов, Л.М. Лямишев. 1995. - Т. 165. -Вып. 4. - с. 361-402.

31. Алемской А.И. УФН / А.И. Алемской, А.Я. Фляш. 1993. -Т. 163. Вып. 12. - с. 1-50.

32. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. -М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

33. Mandelbrot В.В. Fractals. Form. Chance and Dimension. San Francisco.: Freeman, 1977. - 205 p.

34. John E. Hutchinson, Fractals and Self Similarity, Indiana University Mathematics Journal, Vol. 30, No. 5, 1981, pp. 713-747.

35. Michael Bamsley, Fractals Everywhere, Academic Press, Boston, 1988.

36. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / P.M. Кроновер М.:Постмаркет, 2000. - 352 с.

37. Пайтген Х.-О. Красота фракталов. Образы комплексных динамиче

38. Бобрышев А.Н. Синергетика. Физика и микромеханика дисперсно-наполненных композитов / А.Н. Бобрышев, В.Н. Козомазов, Р.И. Авдеев. М.: Наука, 2003. - 284 с.

39. Синергетика дисперсно-наполненных композитов / А.Н. Бобрышев, В.Н. Козомазов, Р.И. Авдеев, В.И. Соломатов. М.: ЦКТ, 1999. - 252 с.

40. Robert L. Devaney, A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiments, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1993.

41. J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis & P. Stacey, On Devaney's Definitions of Chaos, American Mathematical Monthly, Vol. 99, No. 4, 1992, pp. 332-334.

42. Полиструктурная теория композитных строительных материалов / В.И. Соломатов, В.Н. Выровой, А.Н. Бобрышев и др. Ташкент.: Изд-во ФАН, 1991. - 342 с.

43. ГОСТ 19.101-77. ЕСПД. Виды программ и программных документов.

44. ГОСТ 19.104-78. ЕСПД. Основные надписи.

45. ГОСТ 19.105-78. ЕСПД. Общие требования к программным документам.

46. ГОСТ 19.502-78. ЕСПД. Описание применения.

47. ГОСТ 19.402-78. ЕСПД. Описание программы.

48. ГОСТ 19.505-79. ЕСПД. Руководство оператора.

49. Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании / В.П. Дьяконов М.: Солон-Пресс, 2004. - 688 с.

50. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов / Д.П. Голоскоков СПб.: Питер, 2004. - 544 с.

51. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8 / О.А. Сдвиж-ков М.: Солон-Пресс, 2003. - 176 с.

52. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6 в математике и моделировании / В.П. Дьяконов М.: Солон-Пресс, 2005. - 576 с.

53. Ануфриев И.A. Matlab 7.0. Наиболее полное руководство / И.А. Ануфриев СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.

54. Шмидский Я.К. Mathematica 5. Самоучитель / Я.К. Шмидский М.: Диалектика, 2004. - 592 с.

55. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений / В.П. Дьяконов М.: Нолидж, 2000. - 608 с.

56. Рихтер Дж. Программирование серверных приложений для Microsoft Windows 2000 / Дж. Рихтер, Дж. Кларк СПб.: Питер, 2001. - 592 с.

57. Вильяме Э. Системное программирование в Windows 2000 для профессионалов / Э. Вильяме СПб.: Питер, 2000. - 624 с.

58. Юань Ф. Программирование графики для Windows / Ф. Юань СПб.: Питер, 2002. - 1072 с.

59. Рождерсон Д. Основы СОМ, 2-е издание, исправленное и переработанное. / Д. Роджерсон -М.: Русская редакция, 2000. 400 с.

60. Бокс Д. Сущность технологии СОМ / Д. Бокс СПб.: Питер, 2001. -400 с.

61. John Paul Mueller, Julian Templeman. COM Programming with Microsoft .NET. Microsoft Press, 2004, 576 p.

62. Гамильтон Б. ADO.NET. Сборник рецептов / Б. Гамильтон СПб.: Питер, 2005. - 576 с.

63. Джонсон Б. Основы Microsoft Visual Studio .NET 2003 / Б. Джонсон, К. Скибо, Я. Марк М.: Русская редакция, 2003. - 464 с.

64. XML для разработчиков-профессионалов .NET / Д. Дальви, Д. Грей, Б. Джоши и др. М.: Лори, 2003. - 656 с.

65. Рубин А.Б. Кинетика биологических процессов / А.Б. Рубин // Соро-совский образовательный журнал. 1998. X2 10. С. 84-91.

66. Андрианов И.В. Асимптотические методы и физические теории / И.В. Андрианов, Л.И. Маневич М.: Знание, 1989. - 64 с.

67. Миненков Б.В. Прочность изделий из пластмасс / Б.В. Миненков, И.В. Стасенко М.: Машиностроение, 1977. - 264 с.

68. Постников B.C. Физика и химия твердого состояния / B.C. Постников М.: Металлургия, 1978. - 544 с.

69. Карери Дж. Порядок и беспорядок в структуре материи / Дж. Каре-ри -М.: Мир, 1985. 232 с.

70. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородных неупорядоченных систем / Дж. Займан М.: Мир, 1982. - 592 с.

71. Николис Г. Познание сложного. Введение / Г. Николис, И. Пригожин -М.: Мир, 1990. 344 с.

72. Pike G.E., Seager C.H. Percolation and conductivity / G.E. Pike, C.H. Seager. // Phys. Rev., B. -1974. -V.10. № 4. P. 1421-1436.

73. Shante V.K., Kirkpatrick S. An Introduction to percolation theory / V.K. Shante, S. Kirkpatrick. // Advabces Physics. 1971. - V. 20. -P. 325-342.