автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы исследований нелинейных радиотехнических систем в пространстве состояний

—*

На правах рукописи

Мамонов Сергей Станиславович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

о 3 ОсЗ 2011

Тула 2011

4853779

Работа выполнена в Рязанском государственном университете имени С.А. Есенина

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Буркин Игорь Михайлович;

доктор физико-математических наук, профессор Матросов Валерий Владимирович;

доктор технических наук, профессор Баркин Александр Иванович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится «01» марта 2011 года в «14.00» часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» (300600, г. Тула, проспект им. Ленина, 92,9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан «12» января 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) наряду с основным свойством автоподстройки является системой с многофункциональными возможностями и используется для частотной модуляции и демодуляции, частотной фильтрации, умножения и преобразования частоты и др. Проблемы динамики таких систем до сих пор остаются в числе актуальных задач радиофизики и теоретической радиотехники. Наряду с многочисленными работами, посвященными исследованиям систем ФАПЧ, направленными на изучение синхронного режима (точность синхронизации, области захвата в синхронный режим, время вхождения системы ФАПЧ в режим синхронизации, использование ФАПЧ как генератора модулированных колебаний), делает актуальной задачу исследования свойств асинхронных режимов и их устойчивости по отношению к вариации параметров системы.

Вопросам динамики систем фазовой автоподстройки частоты посвящено значительное число исследований. Наиболее известными в этой области являются работы JI.H. Белюстиной, В.Н. Белых, И.М. Буркина, Э.Д. Витерби, Г.А. Леонова, A.A. Ляховкина, В.В. Матросова, В.Д. Шалфеева, В.В. Шахгиль-дяна и др.

Особенность модели ФАПЧ состоит в том, что она принадлежит к классу динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством, которые характеризуются большим разнообразием стационарных движений. Анализ нелинейных моделей ФАПЧ, наряду с техническим приложением, представляет самостоятельный математический интерес. Различные виды структурных элементов реальных систем ФАПЧ определяют совокупность математических моделей, являющихся в пространстве состояний многомерными системами дифференциальных уравнений. Поэтому актуальной для таких моделей является проблема определения оптимальной математической модели и развитие математических методов. Актуальность задачи нелинейной динамики рассматриваемых систем синхронизации связана также с их широким распространением в современной радиотехнике и с тем, что они являются математическими моделями, встречающимися в механике, энергетике, биофизике, экономике.

Цель работы состоит в разработке новых методов, алгоритмов и комплексов программ для исследования математических моделей радиотехнических систем: в создании методов и алгоритмов нахождения предельных циклов, в определении их числа и их устойчивости, методов исследования глобальной устойчивости систем, в определении областей притяжения состояний равновесия систем, в разработке новых методов решения матричных уравнений и систем матричных уравнений.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Разработан метод и алгоритм определения как устойчивых, так и седло-вых предельных циклов второго рода для многомерных моделей систем ФАПЧ. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

2. Разработаны методы нахождения областей притяжения для состояний равновесия модели системы ФАПЧ.

3. Предложены новые методы для определения условий глобальной асимптотической устойчивости математической модели системы ФАПЧ.

4. Получены методы нахождения решений матричных уравнений.

5. Разработаны алгоритмы и комплексы программ для нахождения нескольких предельных циклов второго рода для многомерных моделей систем частотно-фазовой автоподстройки частоты (ЧФАПЧ).

6. Получены методы определения глобальной асимптотической устойчивости многомерных моделей систем ЧФАПЧ.

7. Разработаны методы анализа влияния различных характеристик частотного детектора на динамику модели ЧФАПЧ.

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории динамических систем, второй метод Ляпунова, метод интегральных многообразий, методы систем сравнения, метод нелокального сведения, методы функционального анализа, методы решения матричных уравнений.

Объектом исследования являются методы анализа математических моделей нелинейных радиотехнических систем в пространстве состояний.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, определяющие научную новизну:

1. Предложен метод для нахождения условий существования двух предельных циклов второго рода для многомерных математических моделей систем ФАПЧ, один их которых является устойчивым, а другой седловым. Наличие седлового предельного цикла позволяет выделить дополнительную область притяжения состояний равновесия.

2. Разработан численный метод определения седловых предельных циклов второго рода математических моделей систем ФАПЧ. Предложен алгоритм определения двух предельных циклов. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

3. Предложен метод нахождения решения матричного уравнения Ляпунова, основанный на использовании прямого произведения матриц, который позволяет применять полученное решение для нахождения решения системы матричных уравнений, удовлетворяющего заданным свойствам. Знание вида решения системы матричных уравнений дает возможность с помощью функций Ляпунова получить оценку области притяжения для состояний равновесия моделей систем ФАПЧ.

4. Исследованы математические модели систем ФАПЧ в случае фильтра нижних частот специального вида. Показано, что вопросы существования предельных циклов второго рода и глобальной асимптотической устойчивости многомерных систем сводятся к изучению систем дифференциальных

уравнений второго порядка специального вида и нахождению условий разрешимости системы двух матричных уравнений, одно из которых нелинейное. Для многомерных моделей поисковых систем ФАГГЧ разработаны численные методы и алгоритмы определения двух седловых предельных циклов второго рода.

5. Разработан метод для нахождения условий существования предельных циклов второго рода для многомерных моделей систем ЧФАПЧ. Указаны условия существования трех предельных циклов второго рода, два из которых устойчивые, а один седловой. Предложен численный метод и алгоритм определения трех предельных циклов. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

6. Получены критерии глобальной асимптотической устойчивости многомерной модели системы ЧФАПЧ, основанные на изучении систем ЧФАПЧ второго порядка и нахождении условий для существования решений системы матричных уравнений. Показано, что найденные условия расширяют область значений параметров глобальной асимптотической устойчивости системы ЧФАПЧ. Установлено, что добавление частотного кольца увеличивает полосу захвата системы ФАПЧ.

7. Для математической модели системы ЧФАПЧ в случае фильтров нижних частот фазового и частотного кольца общего вида предложен метод определения условий существования предельных циклов и условий глобальной асимптотической устойчивости. Особенностью при изучении таких систем является то, что они сводятся к исследованию сложных систем второго порядка и нахождению решения системы матричных уравнений, одно из которых нелинейное.

8. Предложен метод для нахождения условий существования положительных и отрицательных предельных циклов второго рода для многомерной модели системы ЧФАПЧ с инвертированной нелинейной характеристикой частотного детектора. Показано, что использование инвертированной характеристики приводит к уменьшению полосы захвата. Приведены численные методы и алгоритмы определения четырех предельных циклов второго рода, что обусловливает формирование на выходе управляемого генератора системы ЧФАПЧ различных частотно-модулированных сигналов.

Теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, способствуют развитию методов исследования многомерных математических моделей систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при расчете систем фазовой и частотно-фазовой автоподстройки частоты, представляют интерес при изучении конкретных задач радиотехники, механики, биологии, химии, экономики, решение которых сводится к исследованию систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции «Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения» (Куйбышев, 1987), Воронежской математической школе «Понтрягин-ские чтения VII» (Воронеж, 1996), 2-й, 8-й международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1996, 2008), 3-й Крымской международной математической школе «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Симферополь, 1996), всероссийских конференциях «Качественная теория дифференциальных уравнений и её приложения» (Рязань, 2001, 2006), международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2004, 2007, 2008,

2009), 10-м международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008), Международной конференции «Кол-могоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2009), на 14-й научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород,

2010), 11-й Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Москва, 1997), на семинаре Института математики АН Беларусь (Минск, 1998), на семинаре члена-корреспондента РАН В.А. Плисса (Санкт-Петербург, 1998), на семинаре члена-корреспондента РАН В.А. Якубовича (Санкт-Петербург, 1999), на семинаре Института системного анализа (Москва, 2000), на семинаре члена-корреспондента РАН Г.А. Леонова (Санкт-Петербург, 2008) на рязанских городских семинарах по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством профессора М.Т. Терёхина (1988-2010).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 45 статьях, в том числе в 10 статьях в изданиях, внесенных в список ВАК. Список основных публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация занимает 414 страниц, 94 рисунка, приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ведении обоснована актуальность выбранной темы исследования, раскрываются научная новизна и значимость работы, сформулированы цели исследования, дан обзор литературы, приведены результаты диссертации.

В первой главе рассматривается математическая модель системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). В работах Н.С. Жилина, М.В. Капранова, В.Н. Кулешова, A.A. Ляховкина, Г.М., Уткина, В.Д. Шалфеева, В.В. Шах-гильдяна, Б.И. Шахтарина показано, что динамика системы ФАПЧ описывается дифференциальным уравнением

pa{t)+nyK{p)F(<r{t))=:nH, (1)

где cr(/)- текущая разность фаз сигналов подстраиваемого и эталонного генераторов, fi„ - начальная расстройка частот, П^ - полоса удержания, р = djdt -оператор дифференцирования, F(a)~A -периодическая характеристика фазового детектора, К.(р)~ операторный коэффициент передачи фильтра нижних частот.

Известно, что в случае дробно-рационального коэффициента передачи фильтра нижних частот к(р) = £А,р""'/ZB,Pn~J , т<п, уравнение (1) эквива-

<=о / ;=1

лентно системе дифференциальных уравнений

х = Ах + Ь<р(а), сг = сТх + р<р{сг), (2)

где А - постоянная матрица размерности пхп, «Т» - знак транспонирования, x,b,ceR", р< 0, <р{а) - д -периодическая функция, имеющая нули на периоде. Система (2) имеет бесконечное число состояний равновесия и определяет пространство состояний математической модели (1). Система ФАПЧ является системой с многофункциональными возможностями и используется для частотной модуляции и демодуляции, частотной фильтрации, умножения и преобразования частоты, выделения опорного колебания для когерентного детектирования и др. Система ФАПЧ может находиться в различных режимах, которым соответствуют математические модели, обладающие определенными свойствами. Для системы (2) используются следующие понятия.

Определение 1. Система (2) называется глобально асимптотически устойчивой, если любая траектория при / -»-н» стремится к одному из состояний равновесия.

(x(t,x У

Определение 2. Решение z[t, z0) = '

/ Ч| системы (2) называется пре-

о);

дельным циклом второго рода, если существуют такие г>Ои целое число )Ф 0, для которых x{t + T,x0)=x(t,xQ), ст(( + г, G0)=a(t, (т0)+Д/.

Определение 3. Множество О называется областью притяжения системы (2), если любое решение этой системы с начальными значениями из О. при t —»+со стремится к одному из состояний равновесия.

Определение 4. Решение z(i, z0) системы (2) называется круговым, если существуют такие числа е > 0 и t , что при всех t > t справедливо неравенство <j(t)>£.

Рабочим режимом системы ФАПЧ является режим синхронизации, при котором разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов а(/) стремится к постоянному значению, а частота управляемого генератора равна частоте эталонного сигнала, то есть &(f) стремится к нулю. В связи с этим возникает следующая задача: в пространстве параметров системы определить

область глобальной асимптотической устойчивости системы (2). Нежелательным является асинхронный режим биений системы ФАПЧ, характерная особенность которого состоит в непрерывном нарастании разности фаз cr(t). Режим биения соответствует появлению у системы (2) круговых решений. Среди асинхронных режимов выделяют режим вращательных движений системы ФАПЧ, соответствующий предельному циклу второго рода. Вращательные движения представляют интерес, так как они предшествуют режиму синхронизации и в этом случае систему ФАПЧ можно рассматривать как генератор модулированных колебаний. Наличие нескольких вращательных движений позволяет выделить в системе (2) область притяжения, определяющую начальные условия режимов синхронизации системы ФАПЧ. Для системы (2) формулируются следующие задачи: I) найти условия существования предельных циклов второго рода, 2) найти условия существования нескольких предельных циклов второго рода и выяснить характер их устойчивости, 3) найти области притяжения системы (2), 4) найти условия глобальной асимптотической устойчивости.

Методам изучения систем вида (2) посвящены монографии Е.А. Барбаши-на, А.И. Баркина, H.H. Баутина, JI.H. Белюстиной, В.Н. Белых, И.М. Буркина,

A.Х. Гелига, Г.А. Леонова, Е.А. Леонтович, В.Б. Смирновой, В.А. Табуевой, Б.И. Шахтарина, А.И. Шепелявого, В.А. Якубовича.

Система (2) при п = 1 достаточно полно исследована в работах A.A. Андронова, A.A. Витта, С.Э. Хайкина, H.H. Баутина, Е.А. Леонтович, Е.А. Бар-башина, В.А. Табуевой, Г.А. Леонова, В.Б. Смирновой, Ф. Трикоми, М.В. Капранова, В.Н. Белых, Л.Н. Белюстиной, Б.И. Шахтарина, В.И. Некоркина,

B.Д. Шалфеева и других авторов.

В параграфе 1.2 диссертации рассмотрена математическая модель системы ФАПЧ с RC фильтром, где операторный коэффициент передачи фильтра нижних частот имеет первый порядок и система (2) является системой второго порядка, получены условия существования предельных циклов второго рода систем второго порядка, найдены границы изменения предельных циклов второго рода. Знание границ предельных циклов позволяет выявить признаки существования предельных циклов второго рода для многомерных систем (2), а использование метода сравнения для системы (2) второго порядка -условия существования двух предельных циклов второго рода, один из которых является неустойчивым. В случае неустойчивого предельного цикла второго рода для системы (2) выделена область притяжения состояний равновесия, что позволяет расширить область параметров системы (2), при которых система ФАПЧ имеет режим синхронизации. Полученные результаты были использованы для изучения системы (2) с функцией ^(cr) = sin сг - у, / е (О; l).

В параграфе 1.3 рассматривается математическая модель системы ФАПЧ с RCL фильтром нижних частот, где операторный коэффициент передачи имеет второй порядок и система (2) является математической моделью реальной

системы ФАПЧ. Качественное исследование системы (2) размерности три и выше проводилось в работах Ю.Н. Бакаева, Е.А. Барбашина, В.Н. Белых, В.И. Некоркина, Л.Н. Белюстиной, Н.А. Губарь, Э.Д. Витерби, Б.И. Шахтарина, В.Д Шалфеева, В.В. Матросова. В монографиях А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, В.А. Якубовича, И.М. Буркина, А.И. Шепелявого, В.Б. Смирновой получены частотные условия глобальной асимптотической устойчивости и условия существования предельных циклов второго рода. В случае п = 2 и различных видах функции <р(сг) система (2) качественно-численными методами детально исследована в работах В.В. Матросова. Тем не менее, открытыми остаются вопросы нахождения условий существования нескольких предельных циклов и определения областей притяжения системы (2), причем для системы (2) порядка выше второго могут появиться седловые предельные циклы второго рода. Трудности нахождения условий существования седловых циклов многомерных систем связаны с невозможностью применения теоремы Брауэра. Для доказательства существования седловых циклов используется понятие вращения векторного поля. Наличие седловых предельных циклов второго рода позволяет выделить область притяжения состояний равновесия, определяющую для системы ФАПЧ условия режимов синхронизации. Для системы (2) получены результаты, представленные в теоремах 1,2.

Теорема 1 (1.4). Пусть для системы (2) выполнены условия:

1) сТЬ = -Г,р<0,сТА = Г, 1тА = -а1т -/Зст ,а>О,0>О,1тЬ = у>О;

2) система уравнений

у = -а,у-<р(сг), & = у-а1(р{а) (3)

при а2=-рГ~1'2, а, > 1/Р"2 имеет предельный цикл второго рода Г(сг)>0, г(а)-а2<р(а)> 0 для любого а е (-со;+со);

3) у, = уГ"1^"1 -аг)+ /? < 0 ;

4) гап^\\с,1\\ = 2.

Тогда система (2) имеет предельный цикл второго рода.

Проверка условий теоремы 1 сводится к нахождению значений а, р как решения системы линейных уравнений и использования известных условий существования предельных циклов второго рода системы (3). Условия теоремы 1 не предусматривают проверки частотных условий. Доказательство теоремы 1 основано на использовании линейных по координатам л функций Ляпунова.

В параграфе 1.3 рассмотрена математическая модель системы ФАПЧ в случае дробно-рационального коэффициента передачи фильтра нижних частот к(р) = ——и характеристике фазового детектора /г(о-)=5т<т.

В0рг + В1р + В1

Показано, что полученные условия теоремы 1 позволяют улучшить известные критерии существования предельных циклов второго рода.

Теорема 2 (1.6). Пусть для системы (2) выполнены условия теоремы 1 и справедливы утверждения:

1) система уравнений (3) при а, = 0, а2=-рГ'и1 имеет предельный цикл второго рода ф(<т), f(<t)> ф(сг)> 0, для любого <те(-оо;-юо);

2) система уравнений (3) при а{ > i/T~3/J, а2=-рГ112 имеет решение {y(t\ ст(г)), определяющее функцию F0(a), для которой выполняются неравенства: 0</г0(<т)<ф(сг), F0(o)-a1<p{cr)>0 при еге[а-0;ст0 + д];

3) система уравнений (3) при а2 = -рГ'1'2 имеет решение (y(t)t <r(t)), определяющее функцию Ф0(сг), для которой выполняется неравенство F(a)< <Ф0(о-) при гге[<г0;ег0+д);

.ч (vTa-v2-/r2) . / \ v . -/ ч

4) —7=-,-шах Ф0(о-]<-?=ш1пФ(о-).

л/ЦаГ-у) VT "

Тогда система (2) имеет два предельных цикла второго рода, один из которых является седловым.

Условия теорем 1, 2 определяют численный метод для нахождения седло-вых предельных циклов второго рода. В §1.3 предложен алгоритм определения двух предельных циклов системы (3). Алгоритм реализован в виде комплекса программ на базе системы Maple. Применение комплекса программ продемонстрировано в случае дробно-рационального коэффициента передачи

фильтра нижних частот к{р)= ^ + и характеристике фазового де-

ваР +Btp+B2

тектора f(ct)= = sin it . Для параметров коэффициента к(р) получены значения, при которых выполнены условия теоремы 2. Конструктивность теоремы 2 заключается в том, что она позволяет определить область фазового пространства системы (2), содержащую седловой предельный цикл второго рода. В диссертации приведены результаты численных экспериментов, подтверждающих, что система (2) имеет седловой предельный цикл в области, определяемой теоремой 2.

В §1.3 сформулированы теоремы, аналогичные теоремам 1, 2 для случая

> 0 . Неравенство у, > О возможно, когда матрица А системы (2) имеет комплексно-сопряженные собственные значения. В этом случае матрица (А+Л), где I - единичная матрица, не может иметь ровно одно собственное значение с отрицательной вещественной частью, что является существенным для результатов, полученных на основе использования частотных критериев. Хотя для случая у, > 0 метод нелокального сведения "не работает", но, тем не менее, для системы (2) получены условия существования двух предельных циклов второго рода.

Таким образом, в §1.3 разработан новый метод определения вращательных режимов математической модели системы ФАПЧ, впервые предложены кон-

структивные методы определения областей, содержащих седловые предельные циклы второго рода.

Использование результатов работ Г.А. Леонова, И.М. Буркина позволило получить в параграфе 1.4 условия орбитальной устойчивости для предельного цикла второго рода системы (2) при п = 2. Установлено, что в случае двух предельных циклов второго рода один из них является седловым.

В параграфе 1.5 находятся области притяжения системы (2). Показано, что область притяжения состояний равновесия определяется с помощью седло-вого предельного цикла второго рода системы дифференциальных уравнений второго порядка. Из метода нахождения области притяжения для состояний равновесия следует, что основные трудности в этом вопросе связаны с решением матричных уравнений и знанием границ изменения предельных циклов второго рода для систем второго порядка. Актуальность нахождения областей притяжения связана с противоречием между стремлением к расширению полосы захвата и повышением фильтрующей способности системы ФАПЧ. Фильтрующая способность системы ФАПЧ определяется коэффициентом фильтрации частоты, который зависит от операторного коэффициента передачи фильтра нижних частот к(р). В работах В.В. Шахгильдяна, A.A. Ляхов-кина показано, что увеличение фильтрующей способности системы ФАПЧ ведет к снижению полосы захвата. Таким образом, потеря глобальной устойчивости системы, как показано в параграфе 1.5, приводит к появлению области притяжения, определяющей начальные условия режимов синхронизации, и может быть использована для увеличения фильтрующей способности системы ФАПЧ.

Использование метода нелокального сведения позволило получить условия глобальной асимптотической устойчивости системы (2).

Теорема 3 (1.11). Пусть для системы (2) при р = 0 существуют такие р>0, h> О, г,, т2, т,, q е R", при которых выполнены следующие условия:

1) матричные уравнения

СA + pI)TH + Н(А + pl) = -2т\сст +T2(cqT + qcT)~2r2,qqT , (4)

Я& = -с, (5)

где ¿,>0, стЬ = ~Г<0, имеют решение Я = ЯГ >0, (н~Г~'ссТ-hqqT)zO;

2) система уравнений (3) при а, = />0, «2 = 0 имеет решение (F(a(t)\сг(/)), длякоторого F{cr2)~0, f(ct)>0 при ае(-оо;а2), lim f(ö-)=+°o;

3) справедливы неравенства г2 =р-Л2(4т,2)"', г2!г(4г12) ' -hr2 - т2 < О ;

4) матричные уравнения (4), (5) при р = т,=т2=г3= 0, д = О имеют решение Ht=Hl > 0.

Тогда система (2) является глобально асимптотически устойчивой.

Использование системы матричных уравнений (4), (5) позволило улучшить существующие условия глобальной устойчивости системы (2), соответствующие режимам синхронизации системы ФАПЧ. В §1.5 проведен анализ математической модели системы ФАПЧ для коэффициента передачи фильтра

нижних частот к(р)=—-. Для параметров фильтра к(р) получе-

В0Р +В1р + Вг

ны значения, при которых выполняются условия теоремы 3 и система (2) является глобально асимптотически устойчивой.

Во второй главе рассматриваются математические модели системы ФАПЧ с операторным коэффициентом передачи фильтра нижних частот произвольного порядка. В параграфе 2.1 исследуется вопрос разрешимости матричных уравнений

AX + XA* = С, (6)

Xq = r, (7)

где А, Се С""", q,reC", "* "- эрмитово сопряжение, и находится решение X уравнений (6), (7). Вопросы, связанные с матричными уравнениями рассмотрены в работах А.И. Баркина, Р. Белмана, Ф.Р. Гантмахера, Х.Д. Икрамова, В.А. Якубовича, А.Я. Булгакова, В.Б. Ларина, А.Н. Чурилова и других авторов. Для определения области притяжения системы (2) необходимо знать решение уравнений (6), (7). Для матричного уравнения Ляпунова (6) известны условия существования решения X , получены представления решения X в виде экспоненциальной функции и в виде ряда. Имеющиеся способы решения матричных уравнений основаны на численных методах и в большинстве случаев находятся приближенно. Для точного решения матричных уравнений (6), (7) использован аппарат прямого произведения матриц и представление их вектор-столбцом. В монографии Х.Д. Икрамова уравнение (6) сводится к уравнению

(/)®/ + /® !)[*]= [с], (8)

где прямое произведение матриц, / - единичная матрица, А - матрица, сопряженная для матрицы А, [с]-вектор-столбец матрицы С. Используя соотношение (8), в §2.1 получены условия разрешимости уравнения (6) в случае матрицы А общего вида и приведено решение X уравнения (6).

Теорема 4 (2.1). Пусть матрица А имеет такие собственные значения, при которых A,(a)+Áj(a)¿ 0, i,j-l,n, А-матрица, сопряженная для матрицы А. Тогда решение уравнения (6) имеет вид

X = (/ ® [¡}Т ® (/ ® С)(/1Г ® / + / ® A' Y )fl/]® i). (9)

Если det^®/ + /® а)=0, Q = A® I +1® А, Q* - обобщенно обратная матрица для матрицы Q, QQ*[C]-[C], то решение уравнения (6) имеет вид X = (/ ® (<2*[С] +Y-Q*QYJ\I}® /),

где Y - произвольный вектор.

Для случая С<0 необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений (6), (7) определяются частотной теоремой Якубовича - Калмана, но они не определяют вид решения. Конкретизация решения X , определяемого соотношением (9), связана с нахождением обратной матрицы

(аг ®1 + !®а'у . В зависимости от вида собственных значений матрицы а и их кратности рассмотрены случаи, когда можно найти матрицу {ат ® 1 +1 ® а'}'. Критерии разрешимости уравнений (6), (7) и вид решения X получены для случаев: 1) А = diag(alta2,...,a„), Re(arí + i,j = 1

2) at=a0¡+j, a0ec, а0ФО, «T» - знак транспонирования, /-единичная матрица, У-матрица, у которой верхняя наддиагональ состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю; 3) Л[„ е r1"'1", а2п = /„ ® В2 + J„ ® /2,

■"г

I.,J,eRm, I2,J2eR2'2, В2 = "

-Р а)

, а,/?еЛ;4) A = diag(A„ А2,...,А„), А, =

, а,,Д е Я, / = !,«.

Г а, Д1 1-Д "о

В параграфе 2.2 рассматриваются многомерные математические модели системы ФАПЧ в пространстве состояний, получены условия существования предельного цикла второго рода, условия существования не менее двух предельных циклов второго рода.

Теорема 5 (2.13). Пусть для системы (2) существуют Лкм, к = 2,я,

т = 1, к -1, такие, что выполнены условия:

1) сТЬ = -Т <0, р<0, cTA = l¡, IjA = /£.,, А = 2, и -1, lTnA = -aJT„ - ají, -—,.. — a2l2 -atcT, l¡b = bk, k = 2,n, rang\\c,l2,...,In \\ = n;

3) система уравнений (3) при а, >л21Г~"2, а2=-рГ'"2 имеет предельный цикл второго рода, F{a) > 0, г(а)-а2<р(а)>0 для любого а е (-оо;+ю) ;

= £„.,>0, А = 2,я-1, j = 2,¿-l, г4у = ^- Am./m-, - Vj./m-j - 0'

rtJ >0, k = 2,n-l, j = \,k-2;

V М, =~а, ~КМ„.„->-а„\ ¡л, = (Я^., -ак)~ А,, (/„„_, - а„), £ = 2,п-1, =

= ^ = ¿<у -"-• ■ • -Л.иЛи ^0. Г, >0, 7 = 1,2 ;

^ матрица А является гурвицевой. Тогда система (2) имеет предельный цикл второго рода.

Проверка условий теоремы 5 связана с нахождением значений Лк т. Для этого определяются значения at из условия 1) теоремы 5 как решение системы линейных уравнений. Условия 2), 4), 5) определяют систему алгебраических неравенств для значений Лк т. Доказательство теоремы 5 основано на

построении положительно инвариантного многогранника в пространстве R". Значения Xt n, определяют границу инвариантного многогранника. Таким образом, результаты теоремы 5 определяют условия существования вращательных режимов системы ФАПЧ в случае операторного коэффициента передачи для фильтра нижних частот произвольного порядка и позволяют выявить область, содержащую предельные циклы второго рода.

Теорема 6 (2.15). Пусть для системы (2) выполнены условия теоремы 5, условия 1), 2), 3) теоремы 2 и существуют такие dk, k = 2,n, что справедливы утверждения:

1) d2 <Лг,Г"2гшпф(о"), dj+d^-^J+Ti,Г"2 max Фо(ег)<0, Tkt,,d„_,+

ст ; Д J

+dM + dk(v. -A+u)+•••++rur"2 |™х А,фоW<0' *=;

Тогда система (2) имеет два предельных цикла второго рода, один из которых является седловым.

Проверка условий теоремы 6 связана с нахождением оценок для решений системы уравнений второго порядка (3) с использованием разработанного комплекса программ на базе системы Maple. Значения dk в соответствии с

условиями теоремы 6, позволяют выделить в пространстве R" многогранник, на границе которого вращение векторного поля, определяемого системой (2) не равно нулю. Вращение векторного поля системы (2) определяется структурой построенного многогранника и вспомогательным линейным векторным полем с известным вращением. Найденный многогранник содержит седловой предельный цикл второго рода. Аналогично теоремам 5,6 доказываются теоремы для случая l < 0, ух < 0 .

В параграфе 2.2 рассмотрена математическая модель системы ФАПЧ с операторным коэффициентом передачи для фильтра нижних частот к(р)=

= —+/fiP+A*-_ Для параметров к(р) получены условия, при кото-

ВоР +ву+вгР + вА

рых выполнены условии теоремы 5. Проверка условий теорем 5,6 сводится к решению системы нелинейных уравнений и анализу системы дифференциальных уравнений второго порядка.

Таким образом, в §2.2 предложен новый метод для определения условий существования вращательных режимов системы ФАПЧ в случае операторно-

го коэффициента передачи для фильтра нижних частот произвольного порядка.

В параграфе 2.3 рассматривается поисковая система ФАПЧ (рис. 1).

Рис. 1. Поисковая система ФАПЧ ЭГ - эталонный генератор; ФД - фазовый детектор; ФНЧ - фильтр нижних частот; ИЗ - индикатор захвата; СП - система поиска; С - сумматор; УЭ -управляющий элемент; ПГ-подстраиваемый генератор.

В книге В.В. Шахгильдяна, А.А. Ляховкина динамику поисковой системы ФАПЧ описывают дифференциальным уравнением вида

pa(l) + nyK(p)F(a(t)) = nK + /(/), (10)

где р = d/dt - оператор дифференцирования, a(t) - разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов, Qy- полоса удержания, К(р)- коэффициент передачи фильтров нижних частот, F {а) - характеристика фазового детектора, F(a)-A -периодическая непрерывно дифференцируемая функция, Q„ = = const - начальная расстройка, /(/)- функция, характеризующая закон поиска фазовой автоподстройки. Уравнение (10) также описывает динамику системы ФАПЧ с изменяющейся частотой входного сигнала (Э.Д. Витерби). Функция fit) характеризует закон изменения частоты входного сигнала. В случае дробно-рационального интегрирующего фильтра К(р)= B(p]Q~'(р), где В{р), Q{p)~ многочлены относительно оператора дифференцирования, для устранения зависимости фазовой ошибки от времени рассматриваются интегрирующие фильтры, для которых выполняется соотношение const = = Q(p)f(t), при этом уравнение (10) описывает динамику астатической поисковой системы ФАПЧ. Поисковые системы ФАПЧ используют для преодоления противоречия между расширением полосы захвата и повышением фильтрующей способности. В поисковой системе ФАПЧ прибегают к принудительному изменению частоты подстраиваемого генератора. В случае дробно-

рациональных интегрирующих фильтров уравнение (10) аналогично уравнению (1) приводится к системе дифференциальных уравнений (2). Особенностью системы (2), соответствующей астатической поисковой системе ФАПЧ, является равенство определителя матрицы А нулю (det/1 = о).

В §2.3 система ФАПЧ рассматривается в случае коэффициента передачи

фильтра нижних частот вида к(р)=—l—f.A,pm~', при этом матрица А имеет

В0р" '=1

нулевое собственное значение кратности п. Матричные уравнения (6), (7) в случае их разрешимости имеют не единственное решение. Используя результаты §2.1, в качестве решения X уравнений (6), (7) находится матрица X, имеющая нулевые собственные значения, что позволило получить условия существования круговых решений системы (2). Отсутствие круговых решений системы (2) - необходимое условие глобальной асимптотической устойчивости. В качестве примера рассмотрена система ФАПЧ из монографии Э.Д. Витерби. Для случая к(р)= р~2{р2+ atp+A2), <p(a)=sina-y, у>0, получены условия существования круговых решений системы (2). Математическая модель поисковой системы ФАПЧ не является глобально устойчивой, поэтому нахождение режимов синхронизации связано с определением областей притяжения и седловых предельных циклов второго рода. Особенностью математической модели поисковой системы ФАПЧ состоит в том, что она может иметь два седловых предельных цикла второго рода. Для коэффициента передачи фильтра нижних частот второго порядка предложен алгоритм определения трех предельных циклов второго рода, два из которых седловые. Для реализации алгоритма разработан комплекс программ на базе системы Maple.

В параграфе 2.3 определены условия существования седловых циклов для коэффициента передачи фильтра нижних частот произвольного порядка, в частности, для системы (2) справедливо следующее утверждение.

Теорема 7 (2.24). Пусть для системы (2) при п=2 справедливы утверждения:

1) Л = -Г<0, сТA = lT, lTb = -v<0, max<p(<j)= М >0, rang||c,/|| = 2, lTA = -alT;

2) система уравнений (3) при -а,=11> vT~3/2, а2 = -рГ~'/2 имеет предельный цикл второго рода F{p)> 0 для любого а е (-со;+оо) ;

3) система уравнений (3) при -а, = < 0, а2= -рГ~|/2 имеет предельный цикл второго рода ф(сг)>0, ф(и)> f(ct) для любого сг е(-оо;+<х>);

4) система уравнений (3) при -а, = -Л, < 0, аг = -рГ~"2 имеет решение (y(t\a(t)), определяющее функцию Ф0 (сг) > 0, Ф0(<т)- kq>(a) > 0, Ф0 (сг) < < f(<j) для любого ere [o"0;tr0 +д], min Ф0(сг)=/я0 >0;

5) система уравнений (3) при -а1 = Л, > 1-Г~3/2, а2=-рГ~1/2 имеет решение (у(?)| <т(г)), определяющее функцию ^(<г)>0, ^0(сг)>ф(ст), для любого

о-е[сг0;ст0+д];

6) усс^м < Х2Тта.

Тогда система (2) имеет седловой предельный цикл второго рода. Для уравнения (10) в случае дробно-рационального фильтра нижних частот К(р)= 8А*Р + + 1 ; функций = р(/(?))=сол^ получены др +р

условия, при которых система (2) имеет седловой предельный цикл второго рода и определена область, содержащая цикл.

Рис. 2. Проекция седлового предельного цикла второго рода на плоскость (х,,х2)

Рис. 3. Проекция седлового предельного цикла второго рода на плоскость (<т, х2)

Условия теоремы 7 определяют алгоритм определения седловых циклов математической модели поисковой системы ФАПЧ. Для реализации алгоритма комплекс программ на базе системы Maple. Проведено численное подтверждение результатов теоремы 7. Проведено численное подтверждение результатов теоремы 7. На рисунке 2 изображена проекция седлового предельного цикла второго рода на плоскость (х.. х,), на рисунке 3 изображена проекция седлового предельного цикла второго рода и траекторий из окрестности предельного цикла на плоскость (<т, х2).

Таким образом, в §2.3 предложен новый метод определения условий существования седловых циклов математической модели поисковой астатической системы ФАПЧ. Разработан алгоритм и комплекс программ для нахождения нескольких предельных циклов второго рода. Предложен метод нахождения режимов синхронизации поисковой системы ФАПЧ.

В параграфе 2.4 рассматривается многомерная система ФАПЧ в случае

фильтра нижних частот с характеристикой к(р)= £ А,р"~' /¿5,P"'J, для кото-

I-о / у-1

рой выполняется соотношение В0А, - А0В, = 0. Особенностью рассматриваемого случая является то, что для системы (2) выполняется равенство стЬ = = -Г = 0. Для изучения системы (2) определяется вспомогательная система дифференциальных уравнений второго порядка

У = -аУ-у<р{<т)-а^(о), ё = уг-ссгу<р{ст). (11)

Качественная картина системы (11) имеет сложную структуру. Для данной системы получены условия существования одного и двух предельных циклов второго рода и условия существования сепаратрисы F0(a) для состояния равновесия, удовлетворяющей соотношениям Fo(cro)=0, lim F0(ct) = +co,

F0(a)>0 при er e(— oo;+со). Условие cTb = -Г = 0 приводит к необходимости рассмотрения матричных уравнений

(A + M)tH + H{A + ÄI)+t2HUtH = -L, (12)

Hq = c, (13)

где £¿0, q + l = b, cTb = 0, cTq = -Г, <0 . Матричные уравнения (12), (13) являются нелинейными относительно Н . Для нахождения матрицы Я используются результаты §2.1. В случае С<0для матрицы Н как решения уравнений (6), (7) находится значение г, при котором выполняется неравенство L > 0. Результаты, полученные для системы (11) и матричных уравнений (12), (13), используются для изучения многомерной системы (2). В параграфе 2.4 получены условия глобальной устойчивости и условия существовании предельных циклов второго рода системы (2).

В третьей главе рассматривается математическая модель системы частотно-фазовой автоподстройки частоты (ЧФАПЧ). В работах М.В. Капранова, В.Н. Кулешова, Г.М. Уткина, Н.С. Жилина, В.В. Шахгильдяна, A.A. Ляховки-на, В.В. Матросова, В.Д. Шалфеева показано, что динамика системы ЧФАПЧ описывается дифференциальным уравнением

Д,, (14)

где р = d/dt - оператор дифференцирования, o(t)- текущая разность фаз сигналов подстраиваемого и эталонного генераторов, ii, - полоса удержания фазового кольца ФАПЧ, 0.2 - полоса удержания частотного кольца ЧАПЧ, Kt(p) и Кг{р)~ коэффициенты передачи фильтров нижних частот в фазовой и

частотных цепях управления, F,(o-) и Рг{ра) - характеристики фазового и частотного детекторов, Q„ - начальная расстройка частот. В случае дробно-рациональных коэффициентов передачи фильтров нижних частот К1{р)=

= ^^ ГД6 -многочлены относи-

тельно оператора дифференцирования p = dldt, Q,{p)Q2{p)= Z >

i= о

q2[p)r,(р) = ZАр"'1 > Qi{p)r2{p)=Î.diP"~' > do =0> нелинейной характеристики

i=0 /«о

частотного детектора F2(pa)=—(/7-расстройка по частоте, при ко-

1 + {j3pa)

торой напряжение на выходе частотного детектора максимально), Д-периодической характеристики фазового детектора F^cг) уравнение (14) сводится к системе дифференциальных уравнений

x = Ax+btp(a)+d , â = crx+p(p(F), (15)

где А - постоянная матрица размерности л х я, x,b,c,deR", а> 0, /? > 0, ¿> < 0, <р{ст)- Д -периодическая функция.

В параграфе 3.2 исследуется система ЧФАПЧ с коэффициентами фильтров нижних частот ki (р) = к2 (р)=(тр+l)"'. В этом случае математической моделью системы ЧФАПЧ является система (15), для которой п = 1, р = 0. Система (15) при п = 1, р = 0 рассмотрена в работах Н.Н. Баутина, В.Д. Шалфее-ва. В §3.2 получены условия существования трех предельных циклов второго рода, показано, что два предельных цикла являются устойчивыми, а один неустойчивый, определены границы их изменения. В случае двух предельных циклов второго рода в системе ЧФАПЧ появляется дополнительная область синхронных режимов, выявлены критерии глобальной асимптотической устойчивости, из которых следует, что добавление частотного кольца в систему ФАПЧ приводит к увеличению полосы захвата.

В параграфе 3.3 рассматривается вопрос о существовании предельных циклов второго рода многомерной системы (15). Результаты исследования системы (15) получены качественно-численными методами в работах В.В. Матросова, В.П. Пономаренко, Е.А. Тихонова. До сих пор не было известно математических методов доказательства существования нескольких предельных циклов второго рода системы (15). С помощью метода сравнения и метода нелокального сведения сформулированы условия существования предельных циклов второго рода. Для изучения системы (15) применялись два подхода. Один основан на использовании решения системы трех матричных уравнений и качественном анализе системы второго порядка, другой на про-

цедуре построения положительно инвариантного многогранника в пространстве r". Результаты, полученные двумя способами, дополняют друг друга. Преимущество второго подхода заключается в том, что он позволяет определить область, содержащую предельный цикл второго рода. В частности, для системы (15) в случае п = 2 справедливым является результат, представленный в теореме 8.

Теорема 8 (3.8). Пусть для системы (15) справедливы утверждения:

1) Л = -Г<0, сТА"Г. cTd = -S,< 0, lTb = v, 14 = 5,, 1тА = -а,Г ~а2ст, rang[\c,l¡ = 2, р< 0;

2) r^vT'a.-^r-'-a^O, Уг =S1-vdiT'1 <S0, у, =e1-vT-' >0, rt+y¡>0;

3) система уравнений

при Л, оГ"3'2, A = vT~3/2, r = Y2pv'\ s = aSlY'1, k = -p4v имеет предельный цикл второго рода F{<t)> 0 для любого о-е(-оо;+оо), max F(a)=Ml;

4) система уравнений (16) при i, = Л, > vT~3'2, A = vT~3'2, r = T2¡)v~\ s = -aSiY'i, k = -рГ"2 имеет предельный цикл второго рода f0(ff)> 0, f(ct)> >f0(a), f„(cr)- k(p(a)>m7 > 0 для любого <те(-оо;-юо), minF0(cr)=m0;

<r

5) -r^-^lf^

Тогда система (15) имеет предельный цикл второго рода.

В параграфе 3.3 рассматривается система ЧФАПЧ с коэффициентами передачи фильтров нижних частот К,(р)=(р+а)~1, Кг(р)=(gp+я)"1, характеристикой фазового детектора F,(<r) = sino- и характеристикой частотного детектора f2(&)=—. Данная система изучалась в работах Г.А. Леонова, 1 + (aJ30á)

A.M. Тамаева, Т.Л. Чшиевой, В.В. Матросова, В.П. Пономаренко, Е.А. Тихонова, для которой были найдены значения параметров коэффициентов передачи фильтров нижних частот Kt(р), К2(р), при которых выполняются условия 1), 2) теоремы 8 . Условия теоремы 8 определяют алгоритм для нахождения вращательных режимов системы ЧФАПЧ. Для реализации алгоритма нахождения вращательных режимов разработан, комплекс программ на базе системы Maple. Результаты теоремы 8 позволили определить область фазового пространства, содержащую цикл и получить численное подтверждение существования цикла и границ области, содержащей цикл. На рисунках 4, 5 изображены траектории системы (15) из окрестности предельного цикла второго рода.

Рис. 4. Траектории из окрестности предельного цикла второго рода

7 72 7,4 7,Б 7,8 х1(|)

Рис. 5. Проекции траекторий из окрестности предельного цикла второго рода на плоскость (х,,х2) Особенностью математической модели системы ЧФАПЧ является то, что она может иметь три предельных цикла второго рода. В §3.3 определены условия существования трех циклов, один из которых является седловым. Полученные результаты применяются для системы ЧФАПЧ в случае дробно-

В0р + В,

рациональных фильтров К{(р)=

ву + в[Р+вг

функции , ^(а)-

2 ссрб

р2 .г ■ Дг"я рассматриваемого случая предложен алгоритм определения трех предельных цикла второго рода системы (15), один из которых, является седловым, разработан комплекс программ для определения областей, содержащих циклы.

Таким образом, в параграфе 3.3 разработан метод определения нескольких вращательных режимов системы ЧФАПЧ, позволяющий определять области, содержащие циклы.

В §3.4 изучается вопрос глобальной асимптотической устойчивости и нахождение областей притяжения системы (15). Известно, что добавление частотного кольца в систему ФАПЧ приводит к увеличению области ее параметров для режимов синхронизации. Среди результатов исследования, полученных качественно-численными методами в работах В.В. Матросова, В.П. По-номаренко и Е.А. Тихонова, следует отметить применение метода нелокального сведения для системы ЧФАПЧ, предложенное Г.А. Леоновым.

В §3.4 сформулированы условия глобальной асимптотической устойчивости системы (15) при р = 0. Справедливо утверждение, изложенное в теореме 9.

Теорема 9 (3.11). Пусть для системы (15) при р = 0 существуют такие ^ >0, р2 >0 , г,, г2, г3, с,, е2, еъ, Л>0, д е Я", что выполнены условия: 1) матричные уравнения

(А + Н + Н(А+//,/)= - 2т]сст + г2(сдт + дст)~ 2т^дт, (17)

(а + 2аР<1ст + Я + н(А+2аР<1ст + //2/)=

= -Ь2-2е2сст +£г{счт +Чст)-2е^т , (18)

НЬ = -с, (19)

где Ц>:0, ¿2>0, стЬ = -Г<0, имеют решение Н = НТ>0, Я-Г~'ссг-

2; уравнения (17), (18), (19) при г,. = е, = 0, / = 1,3, = Д, м2=р2, Д2 > Д имеют решение Я, = Я[ > 0 ; система уравнений

Ър^Ту 1+/?2Г}2

У = -ЛУ-,. д2гЛ -ffl(g). ¿ = (20)

где <э(ет2)=0, çp(<t2)<0, —имеет решение (F(a(t)),cr(t)), для ко-

А о

торого F(er2) = 0, <т2 е(~оо;+оо), f(a)>0 при ае(-со;а2), lim F(<t)=+oo; справедливы неравенства

hr1 + г2 - > 0 ' Л 4г2 ' 1 3 4/-J1 4а2 4*32 1

Тогда система (15) глобально асимптотически устойчива. Приведенная теорема 9 применяется для системы ЧФАПЧ с коэффициентами передачи фильтров нижних частот К,(р)=(р+а)~', K2(p)=(gp+a)~1, характеристикой фазового детектора ^(er)=sin<x и характеристикой частотного

О /7 *

детектора F2(à)=—. Уравнение (14) сводится к системе (15), для кото-

рой /9 = 0, Л =

"о -оЛ Ь= О

\ гг , ( 0 1

, с ~ А

J \Г8 )

а = г>0, /?=в/?0,

Г = I. Для рассматриваемой системы на основании теоремы 9 получены условия глобальной асимптотической устойчивости. В частности, для случая g = 0.3, Ь0 =0.5, р„ = 0.5 на рисунке 6 изображена линия 3, ниже которой расположены значения у, а'1, при которых система (15) глобально асимптотически устойчива в случае отсутствия частотного кольца. Линия 1 получена численными методами для системы (15) с частотным кольцом. Линия 2 получена численными методами для системы (20). Ниже линии 2 расположены

значения у, а'2, при которых выполняется условие 3) теоремы 9. Линия 4 получена с помощью результатов работы Г.А. Леонова. Добавление частотного кольца увеличило область параметров у, а'2 глобальной асимптотической устойчивости.

Рис. б. Области параметров у, а'2 глобальной устойчивости системы (15)

Для случая Ь0 = 3, /?0 =0.5, £ = 1.1 на основании теоремы 9 на рисунке 7 в координатах {а'2,у) изображена линия 4, ниже которой расположены значения у, а'2, при которых система (15) глобально асимптотически устойчива при отсутствии частотного кольца. Линия 1 получена численными методами для системы (15) с частотным кольцом. Ниже линии 1 находятся значения у, а'2, при которых система (15) глобально асимптотически устойчива. Линия 2 получена численными методами для системы (20). Ниже линии 2 расположены значения у, а'2, при которых выполняется условие 4) теоремы 9. Линия 3 получена для системы (20) при g = 1.2 . Ниже линии 3 расположены значения у, а'2, при которых выполняется условия теоремы 9. Добавление частотного кольца увеличило область параметров у, а~2 глобальной асимптотической устойчивости.

Рис.7. Области параметров у, а'1 глобальной устойчивости системы (15)

Использование системы дифференциальных уравнений второго порядка (20) и системы матричных уравнений (17), (18), (19) позволило определить условия глобальной асимптотической устойчивости. В §3.4 показано, что наличие у системы (20) двух предельных циклов второго рода, один из которых является седловым, приводит к появлению у системы (15) области притяжения состояний равновесий.

Таким образом, в параграфе 3.4 предложен метод определения полосы захвата системы ЧФАПЧ, разработан метод для нахождения области начальных значений режимов синхронизации.

В четвертой главе рассматривается система ЧФАПЧ в случае коэффициентов передачи для фильтров нижних частот общего вида.

В параграфе 4.1 рассмотрены системы ЧФАПЧ в случаях:

1) аО>КЫ=ta¡p"-^, а0 * 0, й(рК(р)=¿а//" , д,=0;

/•О 1=0

2) аООаОА=О, 2и-я,д,=о.

1=0

В первом случае (р< о) изучение системы (15) сводится к исследованию системы второго порядка

• °=у{у-к(р{(х% (21) и решению системы нелинейных матричных уравнений

(Л + а,/)ГЯ +#(/) + /,,/)=-/,,,

(а + 2а/МсТ + рг1)т Н+и(а + 2ссР<1сг + р21)+ тгНМтН = -1г, (22)

НЪ = с,

где Ц > 0, £ О, стЬ = -Г, р2-рх>0 относительно > 0, //2 > 0, г, Н = НТ. В рассматриваемом случае для системы (15) определены условия существования предельного цикла второго рода. В §4.1 показано, что число предельных циклов системы (21) определяется числом промежутков знакопостоянства многочлена седьмой степени а) относительно е, зависящего от параметра а £ [о, д]. Для анализа многочлена <т) применяются численные методы. Показано, что система (21) может иметь до трех предельных циклов второго рода. Для решения системы матричных уравнений (22) используются результаты, полученные в параграфе 2.1.

Во втором случае (стх = -Г = о) показывается, что изучение системы (15) сводится к исследованию системы второго порядка (21) и решению системы нелинейных матричных уравнений

(А + //,/)' Н + Н{А + г\HlfH = -I,,

(А + 2а^ст+м21}н + н(А + 2а^ст+р21)+н(ф1т +т^т]н = -Ь2, (23)

Щ-с,

где Ц >0, £2>0, 6 = стЬ = 0, сг<7 = -Г,<0 относительно >0, ц2>0, р2 - > 0, г, д, I ,Н = НТ. В рассматриваемом случае для системы (15) найдены условия существования предельного цикла второго рода.

В параграфе 4.2 получены условия глобальной асимптотической устойчивости многомерной системы (15) в случаях 1), 2) §4.1. Трудности, возникающие при исследовании таких систем, связаны с нахождением условий глобальной устойчивости системы второго порядка (21) и с нахождением условий разрешимости системы нелинейных матричных уравнений.

В параграфе 4.3 проведено исследование системы ЧФАПЧ в случае К1 [р), К2{р), для которых выполняется соотношение О0 * 0. В этом случае уравнение (14) стандартной заменой переменных сводится к многомерной системе дифференциальных уравнений, одно из уравнений которой не разрешено относительно сг(г). В рассматриваемом случае определена математическая модель системы ЧФАПЧ. В пространстве состояний математической моделью является следующая система

х = Ах + 2(Зр)~>с!стх + Ь<р(а)-р'^(стх}1, & = 3',cтx+g(cтx), (24)

где стЬ = -Г, т = \-2ррР, р = -П0В'1> 0, а = 0.гВ^, ше(1;9],

<2{«)=

прг

\

2т. 2

В{и)=

(т-З) б/?2

"-лШ

Ф

, 8{и)=м{и)+в{и),

<p(cr)- А -периодическая функция. Для системы (24) получены условия существования предельного цикла второго рода.

Теорема 10 (4.7). Пусть для системы (24) существуют такие Àijn,

k = 2,п, т = \,к-\, при которых выполнены условия:

1) Л = -Г<0, cTA = ll, ЦА = 11„ к = 2^Л, r„A = -aj:-anJli-...-a/1--а,сг, = lTtd = dk,k = %n, сТ d = dl<0, р>0 ;

2) ьг-г^,=0, л21>0, ьк+лм^ькл + ... + лкль1-лк,г = 0, лк{>0, к = ъгп;

3) система уравнений

У = ~а\У~ )+ ais(y\ à = 3-lajy + asg(y) (25)

при ai >Я21Г"1 -2£/,(ЗрГ)-', orj =-dl(pT)~l, a3 = Г"1 имеет предельный цикл второго рода F(a)>0 для любого а е (-оо;+оо), т0 — minier), т^Зт/З'1;

4) eî,\ = i,i £tj = (Лj-l ~K.i(Л.1-1 )> £ = 2,и-1,

y = — 1, t4 = ^0 ,Tk j=eij — ~ — ^y+ij^tj+i — 0>

Jfc = 2,«-l,y = l,t-2, + + <0, k = l7n, 2ôk(3p)~x +

+гкХ >0, ¿ = 2,n-l ;

« = - Л,., Pk = (Л,*., - я J - Л„ t (¿„ „_, - о J, к = 2,п-\, у^ =

= /;„-,> 0, у = 1, и — 2, 5„ = л„„^„_ ,+

+ + <0, K +20„(ЗрУ >0; 6) матрица А является гурвицевой. Тогда система (24) имеет предельный цикл второго рода. В §4.3 указаны критерии того, что система второго порядка (25) имеет предельный цикл второго рода.

В параграфе 4.4 рассматривается поисковая система частотно-фазовой автоподстройки частоты. Динамика поисковой системы ЧФАПЧ описывается дифференциальным уравнением вида

+/('). (26)

где /(î)-функция, характеризующая закон поиска кольца фазовой автоподстройки. Уравнение (26) также описывает динамику системы ЧФАПЧ с изменяющейся частотой входного сигнала, где fit) - функция, характеризующая закон изменения частоты входного сигнала. В случае дробно-рациональных интегрирующих фильтров K{{p) = Bip)Q'xip), К2(р) = D{p)Q-x(p), где Bip), Q(p), Dip)- многочлены относительно оператора дифференцирования, для устранения зависимости фазовой ошибки от времени рассматриваются интегрирующие фильтры, для которых выполняется соотношение Qip)fi})=const.

В этом случае уравнение (26) описывает динамику астатической поисковой системы ЧФАПЧ. В случае нелинейной характеристики частотного детектора

F1(po)= У^"7., и дробно-рациональных интефирующих фильтров уравне-1 + (ßpa)

ние (26) приводится к системе дифференциальных уравнении

х = Ax+b(p{a)+d—х t (j = crx, (27)

\ + ß\cTx)

где x,b,ceR". Система (27) рассматривается в случае, когда <р(а) является непрерывно дифференцируемой и Д-периодической функцией. Особенностью системы (27), соответствующей астатической поисковой системе ЧФАПЧ, является равенство определителя матрицы А нулю (detЛ = 0).

В параграфе 4.4 предложен метод нахождения областей притяжения для состояний равновесия. Доказано, что структура области притяжения определяется седловым предельным циклом второго рода. На примере системы ЧФАПЧ с фильтрами второго порядка исследовано влияние частотного кольца на область притяжения состояний равновесия. В данном парафафе показывается, что область притяжения системы (27) определяется неустойчивым предельным циклом второго рода системы второго порядка

y = а = у (28)

и решением системы нелинейных матричных уравнений

АтН + НА = -2т\ссг +2т,т2(сдг +qcT)-2T22qqr -Ц,

[а + 2aßdcTУН + н(а + 2aßdcT)=-2afccT +a2(cqT +qcT)-2a1}qqT -//,Я0-L2, (29)

Hb = -c, Н = Г~'ссг + hqqT + Н0. где Ц>0, ¿0, стЬ = -Г<0 относительно г,, г,, а,, а2, а3, , h> 0, Н = Нт >0, qeR".

Для математической модели системы ФАПЧ получены условия существования седлового предельного цикла второго рода.

Теорема 11(4.10). Пусть для системы (27) при п = 2 выполнены условия:

1) сТЬ = - Г<0, стА = Г, lTb = v>Q, lTA = -alT, lTd = 0, cTd = -8lt rang\c,l\ = 2, max(S>(er)= M > 0, mm<p{cr)=-m<0 ;

2) система уравнений (28) при Л = А}, ßa = ßjv,

s = ¿¡аГ'1 имеет предельный цикл второго рода F(a) > 0 для любого и е (~со;-юо) ;

3) система уравнений (28) при Я = 0, Д, = /?Уг, 5 = имеет предельный цикл второго рода ф(ст)^(сг), ] ^^ф^ ) ^ "Ь > О для любого сг е(-от;+оо);

4) система уравнений (28) при Я = Л1, Д, = /?л/Г, я = имеет решение (у^сг^)), определяющее функцию /,(ег)>0, Р,(сг)<ф(<т) для любого а 6 [ет„; сг0 + д], ^¡п^ ^ (а) = т, > 0 ;

5^) ш 'т < /?,Гт,;

Тогда система (27) имеет седловой предельный цикл второго рода.

В случае дробно-рациональных фильтров К,(р)= + ^ , £2(р) = + ,

ф + р Ф + р

нелинейной характеристики частотного детектора Рг{ра)= и функ-

1 + (/?р<т)

ции /(()= аа1 + а, уравнение (26) приводится к системе дифференциальных

Г £-1 0

уравнений (27), для которой хеЯ2, А = | ^

¿7 =

и

-Г

Г = а8~

. В параграфе 4,4 показано, что если справед-

ливы соотношения V = АТл/г , Г-1 = 0.5А, о = <Г' = -р^-у = 2гТг , ш"'=0.5А:,

<р{а) = $\па-у, <5,аГ"' =1.4, р4Г = 1, А =0.01, / = 0.35, то выполняется условие 1) теоремы 11. Условия теоремы 11 определяют алгоритм для определения области притяжения состояний равновесия системы (27). Для реализации алгоритма разработан комплекс программ. Система (27) имеет область притяжения состояний равновесия П = +(*, +.х2)2 £2К02(сг)} и седловой предельный цикл второго рода. С использованием численных методов получено подтверждение того, что система (27) имеет седловой предельный цикл, определяющий область притяжения состояний равновесия этой системы. В §4.4 показано, что добавление частотного кольца в поисковую систему фазовой автоподстройки частоты привело к расширению области притяжения состояний равновесия более чем на 70 %.

Таким образом, в четвертой главе определены математические модели системы ЧФАПЧ для коэффициентов передачи фильтров нижних частот специального вида, предложены методы исследования таких моделей. Предложен метод нахождения седлового предельного цикла, определяющего область притяжения состояний равновесия. Разработаны алгоритмы и комплек-

сы программ для исследования динамики поисковой системы ЧФАПЧ. Рассмотрено влияние частотного кольца поисковой системы ЧФАПЧ на начальные условия режимов синхронизации.

Пятая глава посвящена исследованию системы ЧФАПЧ в случае инвертированной характеристики частотного детектора (ЧД) Р2(рсг)=—,

где р - расстройка по частоте, при которой напряжение на ЧД максимально. Инвертированная характеристика ЧД соответствует случаю, когда частотный детектор включен в управление так, что петля управления оказывает расстраивающее действие на частоту генератора.

В параграфе 5.1 рассматривается система ЧФАПЧ с инвертированной нелинейной характеристикой ЧД в случае коэффициентов передачи для фильтров нижних частот вида К1{р)= Кг(р)={гр+\)~1. Смена знака характеристики ЧД приводит к тому, что, наряду с предельными циклами второго рода, у системы (15) появляется предельный цикл первого рода, для которого ст(*)е[о; д]. Предельные циклы первого рода соответствуют режимам синхронизации второго рода системы ЧФАПЧ, то есть режимам, для которых разность фаз сигналов подстраиваемого и эталонного генераторов является ограниченной функцией. В силу цилиндричности фазового пространства системы (15), если у нее существует предельный цикл первого рода, для которого <т(<)е [0; д], то она имеет бесконечно много предельных циклов такого рода.

В случае характеристики частотного детектора Р2(рсг)=—и

1 + (Др<т)

интегрирующих фильтров К,(р) = К2(р) = (Тр+\) уравнение (14) приводится к системе

у = -Лу-9(а)+ ,ст = у, (30)

где = Д = (Ш,)""2, 5 = , . В §5.1 для системы

(30) получены условия существования предельных циклов первого рода. В §5.2 рассматривается система ЧФАПЧ в случае инвертированной нели-

- - с- { \ 2Р,ра

неинои характеристики частотного детектора Р2(ра)=---¡-^—— и интег-

1 + (Дрсг}

рирующих фильтров К,(р) = (2> + 1Х7> + 1)"', (р) = (ТР +') ' • Заменой / = = (ш,"')"2г, а = у уравнение (14) приводится к системе

(з.)

где «9(а) = ^(сг)-С2„0-1, Л = Л1 = (т,)""2, к = Г,, а = \-Лк, * = 2£2,0"', /? = £2,Д.

Теорема 12(5.2). Пусть для системы (31) выполнены условия: <р(сг) = g(a)~ -у, g{a)~ А -периодическая функция, у>0, А,(ег)= ]g(£)d£ -Д -периодическая функция, f(s,a-) = £1 -А,(о-), Ч/(е,сг)=(^(сг)(г2-h,(a)-dc<p(cr))-^(e'-eh,(cr))-

-E1aq>{(T^+{Xßj(s1 -h,(a)-ek<p(a)J)+ sXß^-е\(<т)-е*к<р{а)). Тогда число предельных циклов второго рода системы (31) определяется количеством промежутков знакопостоянства функций f(s,cr), Ч^г, а) при любом <ге(-а>;+оо).

В параграфе 5.2 предложен анализ функций f(s, а), сг) с использованием численных методов.

Определение 5. Если для системы (15) существует предельный цикл второго рода Ф(х, а) = colon{x{t), ö-(O), для которого сТ x{t)> О при любом fg(-oo;+oo), то Ф(х, а) называется положительным предельным циклом второго рода, если cTx(t)<0 при любом /б(-оо;+оо), то Ф(х, а) называется отрицательным предельным циклом второго рода.

Показано, что система (31) может иметь одновременно предельные циклы первого и второго рода. В случае инвертированной характеристики ЧД у системы ЧФАПЧ могут быть как положительные, так и отрицательные предельные циклы второго рода. Для системы (31) получены условия существования двух положительных или двух отрицательных предельных циклов второго рода. В §5.2 определены критерии существования четырех предельных циклов второго рода, два из которых положительные, а два отрицательные. Рассмотрен случай, когда между неустойчивыми положительным и отрицательным предельными циклами второго рода отсутствуют предельные циклы первого рода. Неустойчивые предельные циклы второго рода определяют область притяжения состояний равновесия.

В параграфе 5.3 исследуется многомерная система ЧФАПЧ с инвертированной характеристикой ЧД математической моделью, которой является система уравнений

i-Ax+bJr)-d , &=crx+Ma)! (32)

l + ß (сx + p<p\a))

где b,c,d,xeR", a> 0, ß>0, 0, <p(a)-A - периодическая функция.

В §5.3 получены условия существования положительных и отрицательных предельных циклов второго рода системы (32).

Теорема 13 (5.5). Пусть для системы (32) выполнены условия:

1) матрица А - гурвицева;

2) сТЬ = -Г<0, стА = Г, cTd = -SK< 0, lTb = v, lTd = Slt Г А = -а/ - агст, rang\c,l\ = 2;

3) ^»Г-'^-Иг-'-а^О, ^иУ.Г'-^О, 0, /1+г1> 0;

4) система уравнений

при ¿1 < , Л = , £ = -рГч/2, 5 = а5,Г~\ г = имеет предельный

цикл второго рода F'h(cг)>0, тахГ*(сг)=М,;

5) система уравнений (33) при Л1=Л1> , Л = \Г~3'2, г = Г2ру~\ к = ~/Х"щ, 5 = а<5'|Г~1 имеет предельный цикл второго рода ^о+(сг)>0, /г+(сг)> ^+(сг), Р^(а)-к<р(а)>т2>0 для любого сг е (-со;-ко), гшп(а) = /я0, тш <е>(сг)=-/я<0;

(7

6)

Тогда система (32) имеет положительный предельный цикл второго рода.

Аналогично теореме 13 для системы (32) получены условия существования отрицательного предельного цикла второго рода.

В параграфе 5.3 рассмотрено уравнение (14) в случае дробно-рациональных фильтров К.(р)=-- КАр] = —+ - и инвертирован-

4 Р В.р'+В.р + В,' 2ВаР2 + В1Р + В2

ной характеристики частотного детектора.

Для системы (32) определены также условия, при которых она имеет положительный и отрицательный предельные циклы второго рода. Условия теоремы 13 определяют алгоритм нахождения вращательных режимов системы ЧФАПЧ, для его реализации разработан комплекс программ. Показано, что условия существования циклов связаны с нахождением решения матричных уравнений. Для их анализа используются результаты, полученные в параграфе 2.1.

Особенностью системы (32) порядка выше второго является то, что, наряду с устойчивыми предельными циклами второго рода, у нее могут появиться седловые предельные циклы второго рода, наличие которых позволяет выделить область притяжения состояний равновесия, определяющую для системы ЧФАПЧ условия режимов синхронизации.

В параграфе 5.4 получены условия существования седловых положительных и отрицательных предельных циклов второго рода, определены области фазового пространства, содержащие седловые циклы. Получены условия существования у системы (32) двух положительных и двух отрицательных предельных циклов второго рода. На примере системы ЧФАПЧ с фильтрами первого порядка рассмотрено влияние инвертированной характеристики частотного кольца на область параметров для вращательных режимов.

В §5.4 рассмотрено уравнение (14) в случае /Г,(р)=е,р+е1; К,{р)=

р+а

= ѧР+ *)Л /ф)-. . При , е, = 0,

1+МоЛ0") 1+тХ°")

е2=1 уравнение (14) является математической моделью системы ЧФАПЧ с неинвертированной характеристикой частотного детектора. Известно, что добавление частотного кольца с неинвертированной характеристикой частотного детектора приводит к расширению полосы захвата. В случае отсутствия частотного кольца Кг{р)=Ои Кх(р)=(р + а)"' уравнение (14) сводится к хорошо изученной системе второго порядка (33), для которой л, =а, 5 = 0,

£ = 0, <э(сг)=$тсг'г ■ Если £,(/?)= + , Г(р) = (^р + а)4, ^(а)=5тсг,

р + а

^2(<г)=--, то уравнение (14) приводится к системе (32), для кото-

1+Ы) И

„ (-а, -аЛ а{8 + \) а2 Г О4]

роиЛ^ «=60, А а2=-,

р = -е,, ^ = Га ,

И _ . (8,

0.1 0.19

0 37 0.46

0.72 041

Рис. 7. Области параметров у, а'1 существования предельных циклов второго рода системы (32)

Для случая Г = 1, р = 0, Ь0 = 2, Д, = 0.3 на рисунке 7 в области параметров (у,а~2) изображена линия 1, ниже которой расположены значения параметров глобальной устойчивости при отсутствии частотного кольца. Линии 2, 3, 4

получены с использованием комплекса программ и результатов для системы (32) соответственно при значениях g = 2.5, g = 1.8, я = 1.3. Выше линий 2, 3, 4 находятся значения параметров (у,а'2), при которых система (32) имеет положительный предельный цикл второго рода. Таким образом, добавление частотного кольца с инвертированной характеристикой частотного детектора привело к сужению полосы захвата.

В параграфе 5.4 рассмотрена система ЧФАПЧ с коэффициентами фильтров второго порядка, имеющая четыре предельных цикла второго рода. Разработан алгоритм и комплекс программ для определения двух положительных и двух отрицательных предельных циклов. Отрицательный и положительный седловые предельные циклы второго рода определяют область начальных условий синхронных режимов системы ЧФАПЧ с инвертированной характеристикой ЧД.

Таким образом, в пятой главе предложен метод анализа влияния частотного кольца с инвертированной характеристикой частотного детектора на динамику системы ЧФАПЧ. Разработан алгоритм и комплекс программ определения нескольких вращательных режимов системы ЧФАПЧ с инвертированной характеристикой частотного детектора. Показано, что использование частотного кольца с инвертированной характеристикой частотного детектора, хотя приводит к сужению полосы захвата, но одновременно предоставляет возможности для формирования на выходе управляемого генератора системы ЧФАПЧ различных частотно-модулированных сигналов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации на основе качественных методов теории нелинейных колебаний исследованы регулярные режимы систем фазовой автоподстройки частоты и систем частотно-фазовой автоподстройки частоты. В частности, получены следующие результаты:

1. Определены условия существования у математической модели предельных циклов второго рода, соответствующих вращательным движениям систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ.

2. Разработаны алгоритмы и комплексы программ для определения нескольких предельных циклов второго рода у математических моделей систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ в пространстве состояний.

3. Определен вид и предложен алгоритм решения системы матричных уравнений.

4. Разработан метод нахождения областей притяжения состояний равновесия математической модели, определяющих начальные условия режимов синхронизации систем ФАПЧ, ЧФАПЧ.

5. Определены условия глобальной асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с неединственным состоянием равновесия, позволяющие выделить область захвата систем ФАПЧ, ЧФАПЧ.

Теоретическая новизна работы состоит в том, что с помощью метода двумерных систем сравнения и метода нелокального сведения разработаны методы для нахождения условий существования нескольких предельных циклов второго рода у многомерных систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством. Доказаны теоремы, позволяющие находить решения систем матричных уравнений и использовать их для определения областей притяжения состояний равновесия систем дифференциальных уравнений. Определены системы матричных уравнений и новые системы дифференциальных уравнений второго порядка, к исследованию которых сводится задача нахождения условий глобальной асимптотической устойчивости многомерной системы дифференциальных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в возможности применения полученных результатов к исследованию нелинейной динамики систем ФАПЧ, ЧФАПЧ, в частности, нахождению областей захвата, начальных условий режимов синхронизации, определению вращательных режимов и режимов биения. Рассмотренные в работе методы могут быть применены при анализе конкретных задач механики, биологии, химии, экономике, математическими моделями которых являются системы дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством.

Основные публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Мамонов С.С. Определение числа предельных циклов второго рода систем дифференциальных уравнений / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения.-! 988.-Т. 24, № б.-С. 1076-1078.

2. Мамонов С.С. Дифференциальные уравнения с цилиндрическим фазовым пространством / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения. -1997.-Т. 33, №6. -С. 853.

3. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы фазовой синхронизации / С.С. Мамонов // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. -2005. - Вып. 1. -С. 54-59.

4. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы фазовой синхронизации второго порядка / С.С. Мамонов // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии.-2006. - Вып. 16.-С. 17-21.

5. Мамонов С.С. Предельные циклы системы частотно-фазовой автоподстройки частоты второго порядка с инвертированной характеристикой частотного кольца / С.С. Мамонов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. -2009. -№ 1/27. - С. 40-46.

6. Мамонов С.С. Вращательные режимы системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с фильтрами первого порядка / С.С. Мамонов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. -2009. -№ 2/28. - С. 42-48.

7. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений.1 / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 5. - С. 637-646.

8. Мамонов С.С. Седловые предельные циклы второго рода поисковой системы фазовой автоподстройки частоты / С.С. Мамонов // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки. - 2010. - Вып. 2. - С. 195-207.

9. Мамонов С.С. Динамика астатической поисковой системы частотно-фазовой автоподстройки частоты / С.С. Мамонов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета.-2010.-№ 2/32,- С. 48-55.

10. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений.Н / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 8. - С. 1075-1084.

Публикации в сборниках тезисов докладов и материалов конференций

11. Мамонов С.С. О числе предельных циклов второго рода систем дифференциальных уравнений / С.С. Мамонов // Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения : тез. докл. Всесоюз. конф. - Куйбышев, 1987. -С. 98.

12. Мамонов С.С. Системы дифференциальных уравнений с точками равновесия высшего порядка / С.С. Мамонов // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения - VII» : тез. докл. Воронежской весенней математической школы. -Воронеж, 1996. - С. 122.

13. Мамонов С.С. Система дифференциальных уравнений с кратным собственным значением / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения и их приложения : тез. докл. 2-й Междунар. конф. - Саранск, 1996. - С. 90.

14. Мамонов С.С. Построение функций Ляпунова и решение матричных уравнений / С.С. Мамонов // Метод функций Ляпунова и его приложения : тез. докл. 3-й Крымской междунар. математической школы -Симферополь, 1996.-С. 15.

15. Мамонов С.С. Предельные циклы системы фазовой синхронизации / С.С. Мамонов // Современные проблемы математики, механики, информатики : тез. докл. Междунар. науч. конф. - Тула, 2004. - С. 29-30.

16. Мамонов С.С. Достаточные условия существования предельных циклов второго рода системы фазовой синхронизации / С.С. Мамонов // Современные проблемы математики, механики, информатики : материалы Междунар. науч. конф. - Тула, 2007. -С. 56-57.

17. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты / С.С. Мамонов // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: тез. докл. 10-й Междунар. семинар им. Е.С. Пятницкого. - М., 2008. - С. 188-190.

18. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с инвертированной характеристикой частотного детектора / С.С. Мамонов // Современные проблемы математики, механики, информатики : материалы Междунар. науч. конф. - Тула, 2008.-С. 81-83.

19. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода поисковой системы фазовой автоподстройки частоты / С.С. Мамонов // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Междунар. науч. конф. -Тула, 2009.-С. 69-71.

20. Мамонов С.С. Области притяжения поисковой системы частотно-фазовой автоподстройки частоты / С.С. Мамонов // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления : тез. докл. 11-й Междунар. конф. - М., 2010. - С. 257-259.

Публикации в рецензируемых изданиях.

21. Мамонов С.С. Условия существования предельного цикла второго рода фазовой системы / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. / Рязан. пед. ин-т. - Рязань, 1990. -С. 103-107.

22. Мамонов С.С. Решение матричных неравенств / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. -Рязань : Изд-во РГПУ, 1994. - С. 71-74.

23. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода систем дифференциальных уравнений / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория): межвуз. сб. науч. тр. - Рязань : Изд-во РГПУ, 1995. - С. 112-119.

24. Мамонов С.С. Матричное уравнение Риккати / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. -Рязань : Изд-во РГПУ, 1996. - С. 99-103.

25. Мамонов С.С. Седловые предельные циклы второго рода / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. - Рязань: Изд-во РГПУ, 1996. - С. 104-107.

26. Мамонов С.С. Матричное уравнение Ляпунова / С.С. Мамонов // Вестник Ряз. гос. пед. ун-та. - Рязань: Горизонт, 1996. - № 4. - С. 79-82.

27. Мамонов С.С. Прямое и адамарово произведение матриц для построения функций Ляпунова / С.С. Мамонов И Дифференциальные уравнения (качественная теория): межвуз. сб. науч. тр. - Рязань : Изд-во РГПУ, 1997. -С. 55-60.

28. Мамонов С.С. Предельные циклы системы дифференциальных уравнений с кратными комплексными собственными значениями / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения (качественная теория). - Рязань : Изд-во РГПУ, 1998. -№1.-С. 71-74.

29. Мамонов С.С. Круговые решения систем дифференциальных уравнений с нулевым собственным значением / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГПУ, 1999. -№ 2. - С. 67-71.

30. Мамонов С.С. Устойчивость систем дифференциальных уравнений с кратным нулевым собственным значением / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГПУ, 2000. -№ 3. - С. 102-106.

31. Мамонов С.С. Положительно инвариантные тороидальные многообразия систем дифференциальных уравнений / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. -Рязань : Изд-во РГПУ, 2001. - № 4. - С. 46-51.

32. Мамонов С.С. Структура однородных форм четвертого порядка / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГПУ, 2001. - № 5. - С. 108111.

33. Мамонов С.С. Нахождение числа предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГУ, 2006. -№ 11.-С. 161-166.

34. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода многомерной системы фазовой синхронизации / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГУ, 2007. - № 12. - С. 61-68.

35. Мамонов С.С. Режимы синхронизации системы частотно-фазовой автоподстройки частоты второго порядка / С.С. Мамонов // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. - Рязань, 2007. -Вып. 20.-С. 14-19.

36. Мамонов С.С. Периодические решения системы фазовой синхронизации с дробно-рациональным фильтром / С.С. Мамонов // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. - Вып. 1. - С. 13- 22.

37. Мамонов С.С. Достаточные условия существования предельных циклов второго рода системы частотно-фазовой синхронизации / С.С. Мамонов // Труды Средневолжского математического общества. - Саранск : Изд-во НИИ математики МГУ, 2008. - Г. 10, № 1. - С. 203- 210.

38. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты / С.С. Мамонов II Вестник Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. - Вып. 1. - С. 24- 36.

39. Мамонов С.С. Предельные циклы первого и второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты / С.С. Мамонов // Известия Рос-

сийской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. -Рязань : Изд-во РГУ, 2008. - № 13. - С. 75- 81.

40. Мамонов С.С. Решение матричных уравнений / С.С. Мамонов // Вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. - Рязань, 2009.-Вып. 21, № 1.-С. 115-136.

41. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты в случае фильтров специального вида / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГУ, 2009. -№ 14. - С. 87-94.

42. Мамонов С.С. Глобальная устойчивость системы частотно-фазовой автоподстройки / С.С. Мамонов // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки. -2009. - Вып. 2. - С. 174-183.

43. Мамонов С.С. Вращательные режимы системы частотно-фазовой автоподстройки с инвертированной характеристикой частотного детектора / С.С. Мамонов // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические науки. -2009. -Т. 14, вып. 4. - С. 757-759.

44. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки с инвертированной характеристикой частотного кольца / С.С. Мамонов // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - Вып. 1. - С. 27-40.

45. Мамонов С.С. Вращательные режимы поисковой системы фазовой автоподстройки частоты / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГУ, 2010.-№ 15.-С. 64-72.

Подписано в печать 26.11.10. Бумага офсетная. Формат 60x84 Vie. Гарнитура Times New Roman. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 2,32. Уч.-изд. л. 2,1. Тираж 140 экз. Заказ № 313.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина» 390000, г. Рязань, ул. Свободы, 46

Редакционно-издательский центр РГУ имени С.А. Есенина 390023, г. Рязань, ул. Урицкого, 22

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ.

1.1. Математическая модель системы ФАПЧ.

1.2. Предельные циклы второго рода системы фазовой автоподстройки частоты второго порядка.

1.3. Предельные циклы второго рода системы фазовой автоподстройки частоты с дробно-рациональным фильтром второго порядка.

1.4. Устойчивость предельных циклов второго рода системы ФАПЧ с дробно-рациональным фильтром второго порядка.

1.5. Области притяжения системы ФАПЧ с дробно-рациональным фильтром второго порядка.

Глава 2. ДИНАМИКА МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ ФАПЧ.

2.1. Решение матричных уравнений.

2.2. Предельные циклы второго рода многомерной системы ФАПЧ

2.3. Круговые решения и области притяжения поисковой системы фазовой автоподстройки частоты.

2.4. Исследование системы ФАПЧ в случае фильтра нижних частот специального вида.

Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ЧАСТОТНО-ФАЗОВОЙ

АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ.

3.1. Математическая модель системы частотно-фазовой автоподстройки частоты.

3.2. Системы частотно-фазовой автоподстройки частоты второго порядка.

3.3. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты.

3.4. Глобальная устойчивость и области притяжения системы частотно-фазовой автоподстройки частоты.

Глава 4. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ ЧФАПЧ В СЛУЧАЕ

ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА.

4.1. Предельные циклы второго рода системы ЧФАПЧ в случае фильтра нижних частот фазовой автоподстройки специального вида.

4.2. Глабальная устойчивость системы ЧФАПЧ в случае фильтра нижних частот фазовой автоподстройки специального вида.

4.3. Предельные циклы второго рода системы ЧФАПЧ с фильтром частотного кольца в случае £>0 ^

4.4. Динамика астатической поисковой системы частотно-фазовой автоподстройки частоты.

Глава 5. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ СИСТЕМ ЧФАПЧ С ИНВЕРТИРОВАННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ЧАСТОТНОГО ДЕТЕКТОРА.

5.1. Предельные циклы первого рода систем ЧФАПЧ второго порядка с инвертированной характеристикой частотного кольца.

5.2. Предельные циклы второго рода систем ЧФАПЧ второго порядка с инвертированной характеристикой частотного кольца.

5.3. Вращательные режимы многомерных систем ЧФАПЧ с инвертированной характеристикой частотного кольца.

5.4. Условия существования четырех предельных циклов второго рода многомерных систем ЧФАПЧ с инвертированной характеристикой частотного кольца.

Актуальность темы. Система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) наряду с основным свойством автоподстройки является системой с многофункциональными возможностями и используется для частотной модуляции и демодуляции, частотной фильтрации, умножения и преобразования частоты и др. Проблемы динамики таких систем до сих пор остаются в числе актуальных задач радиофизики и теоретической радиотехники. Наряду с многочисленными работами, посвященными исследованиям систем ФАПЧ, направленными на изучение синхронного режима (точность синхронизации, области захвата в синхронный режим, время вхождения системы ФАПЧ в режим синхронизации, использование ФАПЧ как генератора модулированных колебаний), делает актуальной задачу исследования свойств асинхронных режимов и их устойчивости по отношению к вариации параметров системы.

Вопросам динамики систем фазовой автоподстройки частоты посвящено значительное число исследований. Наиболее известными в этой области являются работы JT.H. Белюстиной [22, 23], В.Н. Белых [18-22, 151], И.М. Буркина [31-34], Э.Д. Витерби [43], Г.А. Леонова [51, 86-94, 179], A.A. Ляховкина [173], В.В. Матросова [108-112], В.Д. Шалфеева [172], В.В. Шахгильдяна [173] и других авторов [5, 7, 9, 28, 48, 52, 58, 59, 64, 66, 69, 71, 74, 100, 107, 124, 130, 134139,156,160, 174-176].

Особенность модели ФАПЧ состоит в том, что она принадлежит к классу динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством, которые характеризуются большим разнообразием стационарных движений. Анализ нели4 нейных моделей ФАПЧ, наряду с техническим приложением, представляет самостоятельный математический интерес. Различные виды структурных элементов реальных систем ФАПЧ определяют совокупность математических моделей, являющихся в пространстве состояний многомерными системами дифференциальных уравнений. Поэтому актуальной для таких моделей является проблема определения оптимальной математической модели и развитие математических методов. Актуальность задачи нелинейной динамики рассматриваемых систем синхронизации связана также с их широким распространением в современной радиотехнике и с тем, что они являются математическими моделями, встречающимися в механике, энергетике, биофизике, экономике.

Цель работы состоит в разработке новых методов, алгоритмов и комплексов программ для исследования математических моделей радиотехнических систем: в создании методов и алгоритмов нахождения предельных циклов, в определении их числа и их устойчивости, методов исследования глобальной устойчивости систем, в определении областей притяжения состояний равновесия систем, в разработке новых методов решения матричных уравнений и систем матричных уравнений.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Разработан метод и алгоритм определения как устойчивых, так и седловых предельных циклов второго рода для многомерных моделей систем ФАПЧ. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

2. Разработаны методы нахождения областей притяжения для состояний равновесия модели системы ФАПЧ.

3. Предложены новые методы для определения условий глобальной асимптотической устойчивости математической модели системы ФАПЧ.

4. Получены методы нахождения решений матричных уравнений.

5. Разработаны алгоритмы и комплексы программ для нахождения нескольких предельных циклов второго рода для многомерных моделей систем частотно-фазовой автоподстройки частоты (ЧФАПЧ).

6. Получены методы определения глобальной асимптотической устойчивости многомерных моделей систем ЧФАПЧ.

7. Разработаны методы анализа влияния различных характеристик частотного детектора на динамику модели ЧФАПЧ.

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории динамических систем, второй метод Ляпунова, метод интегральных многообразий, методы систем сравнения, метод нелокального сведения, методы функционального анализа, методы решения матричных уравнений.

Объектом исследования являются методы анализа систем дифференциальных уравнений, являющихся математическими моделями систем фазовой автоподстройки частоты.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, определяющие научную новизну:

1. Предложен метод для нахождения условий существования двух предельных циклов второго рода для многомерных математических моделей систем ФАПЧ, один их которых является устойчивым, а другой седловым. Наличие седлового предельного цикла позволяет выделить дополнительную область притяжения состояний равновесия.

2. Разработан численный метод определения седловых предельных циклов второго рода математических моделей систем ФАПЧ. Предложен алгоритм определения двух предельных циклов. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

3. Предложен метод нахождения решения матричного уравнения Ляпунова, основанный на использовании прямого произведения матриц, который позволяет применять полученное решение для нахождения решения системы матричных уравнений, удовлетворяющего заданным свойствам. Знание вида решения системы матричных уравнений дает возможность с помощью функций Ляпунова получить оценку области притяжения для состояний равновесия моделей систем ФАПЧ.

4. Исследованы математические модели систем ФАПЧ в случае фильтра нижних частот специального вида. Показано, что вопросы существования предельных циклов второго рода и глобальной асимптотической устойчивости многомерных систем сводятся к изучению систем дифференциальных уравнений второго порядка специального вида и нахождению условий разрешимости системы двух матричных уравнений, одно из которых нелинейное. Для многомерных моделей поисковых систем ФАПЧ разработаны численные методы и алгоритмы определения двух седловых предельных циклов второго рода.

5. Разработан метод для нахождения условий существования предельных циклов второго рода для многомерных моделей систем ЧФАПЧ. Указаны условия существования трех предельных циклов второго рода, два из которых устойчивые, а один седловой. Предложен численный метод и алгоритм определения трех предельных циклов. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

6. Получены критерии глобальной асимптотической устойчивости многомерной модели системы ЧФАПЧ, основанные на изучении систем ЧФАПЧ второго порядка и нахождении условий для существования решений системы матричных уравнений. Показано, что найденные условия расширяют область значений параметров глобальной асимптотической устойчивости системы ЧФАПЧ. Установлено, что добавление частотного кольца увеличивает полосу захвата системы ФАПЧ.

7. Для математической модели системы ЧФАПЧ в случае фильтров нижних частот фазового и частотного кольца общего вида предложен метод определения условий существования предельных циклов и условий глобальной асимптотической устойчивости. Особенностью при изучении таких систем является то, что они сводятся к исследованию сложных систем второго порядка и нахождению решения системы матричных уравнений, одно из которых нелинейное.

8. Предложен метод для нахождения условий существования положительных и отрицательных предельных циклов второго рода для многомерной модели системы ЧФАПЧ с инвертированной нелинейной характеристикой частотного детектора. Показано, что использование инвертированной характеристики приводит к уменьшению полосы захвата. Приведены численные методы и алгоритмы определения четырех предельных циклов второго рода, что обусловливает формирование на выходе управляемого генератора системы ЧФАГТЧ различных частотно-модулированных сигналов.

Теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, способствуют развитию методов исследования многомерных математических моделей систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при расчете систем фазовой и частотно-фазовой автоподстройки частоты, представляют интерес при изучении конкретных задач радиотехники, механики, биологии, химии, экономики, решение которых сводится к исследованию систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции «Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения» (Куйбышев, 1987), Воронежской математической школе «Понтрягинские чтения VII» (Воронеж, 1996), 2-й, 8-й международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1996, 2008), 3-й Крымской международной математической школе «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Симферополь, 1996), всероссийских конференциях «Качественная теория дифференциальных уравнений и её приложения» (Рязань, 2001, 2006), международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2004, 2007, 2008, 2009), 10-м международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008), Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2009), на 14-й научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 2010), 11-й Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Москва, 1997), на семинаре Института математики АН Беларусь (Минск, 1998), на семинаре члена-корреспондента РАН В.А. Плисса (Санкт-Петербург, 1998), на семинаре члена-корреспон-дента РАН В.А. Якубовича (Санкт-Петербург, 1999), на семинаре Института системного анализа (Москва, 2000), на семинаре члена-корреспондента РАН Г.А. Леонова (Санкт-Петербург, 2008) на рязанских городских семинарах по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством профессора М.Т. Терёхина (1988-2010) .

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 45 статьях, в том числе в 10 статьях в изданиях, внесенных в список ВАК. Список основных публикаций по теме диссертации приведен в списке литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация занимает 414 страниц, 94 рисунка, приложение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации на основе качественных методов теории нелинейных колебаний исследованы регулярные режимы систем фазовой автоподстройки частоты и систем частотно-фазовой автоподстройки частоты. В частности, получены следующие результаты:

1. Определены условия существования у математической модели предельных циклов второго рода, соответствующих вращательным движениям систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ.

2. Разработаны алгоритмы и комплексы программ для определения нескольких предельных циклов второго рода у математических моделей систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ в пространстве состояний.

3. Определен вид и предложен алгоритм решения системы матричных уравнений.

4. Разработан метод нахождения областей притяжения состояний равновесия математической модели, определяющих начальные условия режимов синхронизации систем ФАПЧ, ЧФАПЧ.

5. Определены условия глобальной асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с неединственным состоянием равновесия, позволяющие выделить область захвата систем ФАПЧ, ЧФАПЧ.

Теоретическая новизна работы состоит в том, что с помощью метода двумерных систем сравнения и метода нелокального сведения разработаны методы для нахождения условий существования нескольких предельных циклов второго рода у многомерных систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством. Доказаны теоремы, позволяющие находить решения систем матричных уравнений и использовать их для определения областей притяжения состояний равновесия систем дифференциальных уравнений. Определены системы матричных уравнений и новые системы дифференциальных уравнений второго порядка, к исследованию которых сводится задача нахождения условий глобальной асимптотической устойчивости многомерной системы дифференциальных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в возможности применения полученных результатов к исследованию нелинейной динамики систем ФАПЧ, ЧФАПЧ, в частности, нахождению областей захвата, начальных условий режимов синхронизации, определению вращательных режимов и режимов биения. Рассмотренные в работе методы могут быть применены при анализе конкретных задач механики, биологии, химии, экономике, математическими моделями которых являются системы дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством.

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физ-матгиз, 1959. — 915с.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Наука, 1966. — 568с.

3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.-239с.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. -304с.

5. Бакаев Ю.Н. Синхронизирующие свойства фазовой системы автоматической подстройки частоты третьего порядка // Радиотехника и электроника. 1965. Т.10, №6. С.1083-1087.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. -224с.

7. Барбашин Е.А. Условия существования рекуррентных траекторий в динамических системах с цилиндрическим фазовым пространством // Дифференциальные уравнения. 1967. Т.З, №10. С.1627-1633.

8. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. - 240с.

9. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. - 300с.

10. Баркин А.И. Оценки качества нелинейных систем регулирования. — М.: Наука, 1982.-256с.

11. Баркин А.И., Зеленцовский А.Д., Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. М.: Издво МАИ, 1992. - 304с.

12. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границы области устойчивости. -М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 164с.

13. Баутин H.H. Качественное исследование одной динамической системы // Прикладная математика и механика. 1972. Т.36, вып. 3. С.413-419.

14. Баутин H.H. Некоторые методы качественного исследования динамических систем, связанные с поворотом поля // Прикладная математика и механика. 1973. Т.37, вып. 6. С.984-989.

15. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. - 496с.

16. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954. - 216с.

17. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. - 368с.

18. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественное исследование системы трех дифференциальных уравнений из теории фазовой синхронизации // Прикладная математика и механика. 1975. Т.39. С.642-649.

19. Белых В.Н. Качественные методы теории нелинейных колебаний сосредоточенных систем. Горький: ГГУ, 1980. - 99с.

20. Белых В.Н., Некоркин В.И. О качественном исследовании многомерной фазовой системы // Сибирский математический журнал. 1977. Т. 18, №4. С.723-735.

21. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественные структуры и бифуркации, порождаемые нелинейным уравнением фазовой синхронизации третьего порядка // Прикладная математика и механика. 1978. Т.42, вып. 5. С.808-819.

22. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. Качественное исследование динамической системы на цилиндре // Дифференциальные уравнения. 1973. Т.9, №3. С.403-415.

23. Белюстина Л.Н., Быков B.B, Кивелева К.Г., Шалфеев В.Д. О величине полосы захвата системы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1970. Т.13, №4. С.561-567.

24. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. - 894с.

25. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. — М.: Наука, 1981. -351с.

26. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994. - 400с.

27. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Физматгиз, 1958. 408с.

28. Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем и устройств. -М.: Радио и связь, 1985. 176с.

29. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1979. 252с.

30. Булгаков А.Я. Обобщение матричного уравнения Ляпунова // Сибирский математический журнал. 1989. Т.30, №4. С.30-39.

31. Буркин И.М. Частотный критерий орбитальной устойчивости предельных циклов второго рода // Дифференциальные уравнения. 1993. Т.29, №6. С.1061-1063.

32. Буркин И.М., Дзесов И.С., Леонов Г.А. Об оценках областей притяжения стационарных решений дифференциальных уравнений систем частотной синхронизации. I // Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26, №2. С.205-213.

33. Буркин И.М., Дзесов И.С., Леонов Г.А. Об оценках областей притяжения стационарных решений дифференциальных уравнений систем частотной синхронизации. II // Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26, №3. С.381-386.

34. Буркин И.М., Комарова Г.Л., Леонов Г.А. Исследование в «целом» одной динамической системы с цилиндрическим фазовым пространством // Динамика систем. Горький. 1979. С.101-114.

35. Бутенин H.B. Элементы теории нелинейных колебаний. JI.: Судпром-гиз, 1962.-196с.

36. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1987. — 382с.

37. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. -М.: Наука, 1966. — 576с.

38. Вавилов A.A. Частотные методы расчета нелинейных систем. Л.: Энергия, 1970.-324с.

39. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464с.

40. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 527с.

41. Веретенников В.Г., Турин А.И. Некоторые вопросы динамики систем с циклическими координатами. — М.: МАИ, 1980. 87с.

42. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984.- 320с.

43. Витерби Э.Д. Принципы когерентной связи. М.: Сов. Радио, 1970. -392с.

44. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и нелинейные системы. М.: Энергия, 1981. - 304с.

45. Воронов A.A. Современное состояние и проблемы теории устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1982. №5. С5-28.

46. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. - 288с.

47. Гаврилов Н.И. Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1962. - 314с.

48. Гайгеров Б.А. Выбор параметров пропорционально-интегрирующего фильтра фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника и электроника. 1965. Т.10, №12. С.2234-2236.

49. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552с.

50. Гарбер Е.Д. О частотном критерии отсутствия периодических режимов // Автоматика и телемеханика. 1967. Т.28, №5. С5-28.

51. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978. — 400с.

52. Гелиг А.Х, Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. — СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1993.-268с.

53. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1966. — 280с.

54. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969.-476с.

55. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986.-256с.

56. Грудо Э.И. О построении функций Ляпунова виде форм ш-го порядка // Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20, №5. С.739-745.

57. Грудо Э.И. Одна формула для периодических решений линейной неоднородной дифференциальной системы с клеткой Жордана // Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25, №3. С.521-523.

58. Губарь H.A. Исследование одной кусочно-линейной динамической системы с тремя параметрами // Прикладная математика и механика. 1961. Т.25, №6. С.1011-1023.

59. Гупта С. Фазовая автоподстройка частоты II Труды Инст-та инж. электротехн. и радиотехн. 1975. Т. 63, №2. С.50-66.

60. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.-472с.

61. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. - 280с.

62. Дмитриев A.C., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители ин-формациии для систем связи. — М.: Изд.-во физ.-мат. лит., 2002. — 252с.

63. Дюлак А. О предельных циклах. М.: Наука, 1980. - 160с.

64. Евтянов С.И., Снедкова В.К. Определение полосы захвата фазовой автоподстройки асимптотическим методом // Электросвязь. 1968. №9. С.22-29.

65. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972. — 664с.

66. Жилин Н.С. Принципы фазовой синхронизации в измерительной технике. Томск: Радио и связь, 1989. - 384с.

67. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. - 326с.

68. Заде JL, Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. -М.: Наука, 1970. 704с.

69. Зарецкий М.М., Мовшович Н.Е. Синтезаторы частоты с кольцом фазовой автоподстройки. JL: Энергия, 1974. - 253с.

70. Заславский Г.М., Сагдаев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. - 368с.

71. Заулин И.А., Пономаренко В.П. Синхронные и автоколебательные режимы в многоустойчивых системах с фазовым управлением // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38, №4. С.732-741.

72. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высш. школа, 1979. - 400с.

73. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.-192с.

74. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. — М.: Наука, 1984. -320с.

75. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. СПб.: СПУ, 1993. - 308с.

76. Коддигтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. - 474с.

77. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1966. — 332с.

78. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. — М.: Наука, 1970. 352с.

79. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы: Метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.-256с.

80. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. 211с.

81. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. - 400с.

82. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. — 280с.

83. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1957. - 456с.

84. Ларин В.Б. Построение неотрицательно-определенного решения уравнения Ляпунова // Докл. АН СССР. 1992. Т.322, №3. С.

85. Ларин В.Б. Построение решения обобщенного уравнения Ляпунова // Докл. РАН. 1993. Т.328, №1. С.19-21.

86. Леонов Г.А. Устойчивость и колебания фазовых систем // Сибир. мате-мат. журн. 1975. Т.16, №5. С.788-805.

87. Леонов Г.А. Частотный критерий неустойчивости систем фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 1983. Т.28, №6. С. 1102-1108.

88. Леонов Г.А. О глобальной устойчивости дифференциальных уравнений систем фазовой синхронизации // Дифференциальные уравнения. 1985. Т.21, №2. С.213-223.

89. Леонов Г.А. Об орбитальной устойчивости траекторий автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1988. Т.24, №4. С.694-695.

90. Леонов Г.А. О многомерном аналоге признака орбитальной устойчивости Пуанкаре // Дифференциальные уравнения. 1988. Т.24, №9. С. 16371639.

91. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний: В 2ч. 4.II. Проблема Айзермана и частотные оценки хаус-дорфовой размерности аттракторов. — СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1992. — 164с.

92. Леонов Г.А., Томаев A.M., Чшиева Т.Л. Устойчивость системы частотно-фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 1992. Т.37, №4. С.671-679.

93. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. — СПб.: Наука, 2000. — 400с.

94. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.-256с.

95. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. -М.: Мир, 1967. 184с.

96. Линдсней В. Системы синхронизации в связи и управлении. М.: Советское радио, 1978. - 598с.

97. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951. - 216с.

98. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950. - 472с.

99. Мишагин К.Г., Шалфеев В.Д., Пономаренко В.П. Нелинейная динамика систем фазирования в антенных решетках. Нижний Новгород: ННГУ, 2007.-188с.

100. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1949. —244с.

101. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 532с.

102. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. 400с.

103. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М.: наука, 1972.-232с.

104. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983. - 576с.

105. Маслов В.П. Асимптотические методы в теории возмущений. М.: НаукА, 1988.-312с.

106. Математические основы современной радиоэлектроники / Большаков И.А., Гуткин JI.C., Левин Б.Р., Стратонович P.JI. / Под ред. JI.C. Гутки-на.-М.: Сов. Радио, 1968. 191с.

107. Матросов В.В. Динамические свойства генератора с частотно-фазовым управлением // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т.47, №4. С.334-342.

108. Матросов В.В. Нелинейная динамика системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв. вуз. Радиофизика. 2006. Т.49, №3. С.267-278.

109. Матросов В.В. Автомодуляционные режимы системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т.49, №4. С.357-368.

110. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. динамический хаос в фазовых системах:-Нижний Новгород: ННГУ, 2007.-258с.

111. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980. - 400с.

112. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976.-320с.

113. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. A.A. Воронова, В.М. Матросова. -М.: Наука, 1987. -312с.

114. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. P.A. Нелепина. М.: Наука, 1975. - 448с.

115. Миллионщиков В.М. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1971. Т.7, №3. С.387-390.

116. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. — 512с.

117. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M., Мартынюк Д.И. Система эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодическими коэффициентами. — Киев: Наук, думка, 1985. — 216с.

118. Михайлов Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем. — М.: Наука, 1986. — 320с.

119. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. - 336с.

120. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - 312с.

121. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 472с.

122. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука, 1987.-424с.

123. Нелинейные системы. Частотные и матричные неравенства / Под ред. А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, А.Л. Фрадкова М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. -608с.

124. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 550с.

125. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.-232с.

126. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. -304с.

127. Основы теории колебаний / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мус-стель, В.Н. Парыгин. — М.: Наука, 1988. 392с.

128. Певзнер Л.Д. Практикум по теории автоматического управления. М.: Высш. шк., 2006. - 590с.

129. Пестряков В.Б. Фазовые радиотехнические системы. — М.: Сов. Радио, 1968.-466с.

130. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1964. 272с.

131. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М.-Л.: Наука, 1964.-368с.

132. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1977. — 304с.

133. Пономаренко В.П. Об устойчивости системы частотной автоподстройки с фильтром второго порядка // Радиотехника и электроника. 1982. Т.27, №1. С.113-116.

134. Пономаренко В.П., Заулин И.А. Динамика автогенератора, управляемого петлей частотной автоподстройки с инвертированной характеристикой дискриминатора // Радиотехника и электроника. 1997. Т.42, №7. С.828-835.

135. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Сложная динамика автогенератора, управляемого петлей частотной автоподстройки // Радиотехника и электроника. 1997. Т.42, №9. С.1125-1133.\

136. Пономаренко В.П. Динамика автогенератора с частотно-фазовым управлением при инверсии характеристики частотного дискриминатора // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т.11, №6. С.75-91.

137. Понамаренко В.П., Тихонов Е.А. Хаотическая и регулярная динамика автогенераторной системы с нелинейной петлей частотно-фазового управления // Радиотехника и электроника. 2004. Т.49, №2. С.205-214.

138. Пономаренко В.П. Динамические режимы и нелинейные эффекты в автогенераторе с частотно-фазовым управлением // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, №6. С. 18-40.

139. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970.-454с.141.142.143.144.145.146,147.148.149.150151152153154155

140. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1979. - 223.

141. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304с.

142. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1977.-256с.

143. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями. -М.-Л.: Гостехтеориздат, 1947. 392.

144. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984.-432с.

145. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. М.: Наука, 1983. - 360с.

146. Рейсинг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1974. — 320с. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — М.: Наука, 1971.-288с.

147. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. -М.: Наука, 1978. 551с. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. - М.: Мир, 1980. - 300с.

148. Системы фазовой синхронизации / В.Н. Акимов, Л.Н. Белюстина, В.Н. Белых и др. М.: Радио и связь, 1982. - 288с.

149. Соколов Н.П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: Госизд, 1960.-300с.

150. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.-256с.

151. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Гостехиздат, 1959.-468с.

152. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. - 256с.156,157,158159160161162,163164165166167168169170171

153. Табуева В.А. Оценка критического значения параметра а для дифференциального уравнения x + cd: + /(x) = 0 // Известия вузов. Математика. 1958. №2. С.222-237.

154. Теория бифуркаций динамических систем второго порядка / Андронов A.A., Леонтович Е.А., Майер А.Г., Гордон И.И. М.: Наука, 1967. -487с.

155. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений: Учебное пособие к спецкурсу . -М.: Прометей, МГПИ, 1989. 88с. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1980. - 232с.

156. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1964. 480с. Черноусенко Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. - М.: Наука, 1980. - 384с.

157. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. -М.: Наука, 1990. 176с. Чурилов А.Н. О разрешимости матричных неравенств // Математические заметки. 1984. Т.36, №5. С.725-732.

158. Шалфеев В.Д. К исследованию нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях // Радиофизика. 1969. T.XII, №7. С. 10371051.

159. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. -М.: Связь, 1972. 448с.

160. Шахтарин Б.И., Архангельский В.А. Динамические характеристики фазовых систем // // Радиотехника и электроника. 1977. Т.22, №5. С.978-987.

161. Шахтарин Б.И. Анализ кусочно-линейных систем с фазовым регулированием. — М.: Машиностроение, 1991. — 216с.

162. Шилова Г.И. О числе периодических решений второго рода дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1967. Т.З, №10. С.1682-1691.

163. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, №6. С.1304-1307.

164. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14, №2. С.384-420.

165. Leonov G.A., Burkin I.M., Shepeljavy A.I. Frequency methods in oscillation theoiy.-Dordrecht: Kluwer, 1996.-404 p.

166. Bialas St. On the Lyapunov matrix equation // IEEE Trans. Aut. Contr. 1980. V. AC-25, №4. P.813-814.

167. Bradley W., Dickinson D. Analysis of the Lyapunov equation using generalized positive real matrices // IEEE Conf. Decis. And Contr. Include. Symp. Adapt. Process. 1979. V.l. P.604-605.

168. Chen S. Necessaiy and sufficient condition for the existence of positive solution to algebraic Riccati equations with indefinite quadratic term // Appl. Math. Optim. 1992. V.26, №1. P.95-110.

169. Coppel W.A. Matrix quadratic equations // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. V.10, №3. P.377-401.

170. Curran P.F. Proof of the circle criterion for state spase systems via quadratic Lyapunov functions // Int. J. Control. 1993. V.57, №4. P.921-955.

171. Curran P.F. Lyapunov's matrix equations with system matrix // Int. J. Control. 1993. V.57, №6. P.1509-1516.

172. Gardiner J.D., Laub A.J. A generalization of the matrix-sing-function solution for algebraic Riccati equation // Int. J. Control. 1986. V.36, №3. P.823-832.

173. Garloff J. Bound for the eigenvalues of the solution of the discrete Riccati and Lyapunov equation // Int. J. Control. 1986. V.43, №2. P.423-431.

174. Geromel J.C. On the determination of a diagonal solution of the Lyapunov equation // IEEE Trans. Aut. Contr. 1985. V. AC-30, №4. P. 404-406.

175. Hatvani L. On the asymptotic stability by nondecrescent Lyapunov function // Nonlinear Analysis Theory Methods a Appl. 1984. V.8, №1. P.67-77.

176. Jacyno Z. Explicit direct solution of the Lyapunov matrix equations // Journal of the Franklin Institute. 1989. V. 326, №6. P.793-801.

177. Jodar L., Aboou-Kandil H. Kronecker products and coupled matrix Riccati differential system // Linear Algebra and its Applications. 1989. V. 121. P.39-51.

178. Jones J., Lew Ch. Solution of the Lyapunov matrix equations // IEEE Trans. Aut. Contr. 1982. V. AC-27, №2. P. 464-466.

179. Jones J. Nonlinear matrix equations of the Riccani type arising in mathematical modeling and simulatin // Math. Comput. Modelling. 1990. V. 14. P. 107-111.

180. Lancaster P., Ran A.C.M., Rodman L. Hermitian solution of the discrete algebraic Riccati equation // Int. J. Control. 1986. V.44, №3. P.777-802.

181. Mori Т., Fukuma N., Kuwahara M. Explicit solution and eigenvalue bounds in the Lyapunov matrix equations // IEEE Trans. Aut. Contr. 1986. V. AC-31, №7. P. 656-658.

182. Richardson T.J., Kwong R.H. On positive definite solutions to the algebraic Riccati equation // System and Control Letters. 1986. V. 7. P.99-104.

183. Subrahmanyam M.B. On a numerical equations // Int. J. Control. 1986. V.43, №2. P.433-439.

184. Tran M.T., Sawan M.E. A not the discrete Lyapunov . and Riccati matrix equation // Int. J. Control. 1984. V.39, №2. P.337-341.

185. Wimmer H.K. Existence of positive-definite and semi-definite solutions of discrete time algebraic Riccati equations // Int. J. Control. 1994. V.59, №2. P.463-471.

186. Young NJ. Formulae for the solution of Lyapunov matrix equations // Int. J. Control. 1980. V.31, №1. P.159-179.

187. Мамонов C.C. Определение числа предельных циклов второго рода систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1988.-Т. 24, № 6.-С. 1076-1078.

188. Мамонов С.С. Дифференциальные уравнения с цилиндрическим фазовым пространством // Дифференциальные уравнения. -1997. Т. 33. №6. -С.853.

189. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы фазовой синхронизации // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. —2005. Вып. 1. - С. 54—59.

190. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы фазовой синхронизации второго порядка // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. —2006. Вып. 16. — С. 17-21.

191. Мамонов С.С. Предельные циклы системы частотно-фазовой автоподстройки частоты второго порядка с инвертированной характеристикойчастотного кольца // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. -2009. -№1/27. С. 40-46.

192. Мамонов С.С. Вращательные режимы системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с фильтрами первого порядка // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. —2009. -№2/28. — С. 42-48.

193. Мамонов С.С. Вращательные режимы системы частотно-фазовой автоподстройки с инвертированной характеристикой частотного детектора // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические науки. -2009. Т. 14, Вып. 4. - С. 757-759.

194. Мамонов С.С. Глобальная устойчивость системы частотно-фазовой автоподстройки // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки. — 2009.-Вып. 2.-С. 174-183.

195. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений.1 // Дифференциальные уравнения. 2010. - Т. 46, №5. - С.637-646.

196. Мамонов С.С. Динамика астатической поисковой системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. -2010. -№2/32. С. 48-55.

197. Мамонов С.С. Системы дифференциальных уравнений с точками равновесия высшего порядка // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения VII»: тез. докл. Воронежской весенней математической школы. — Воронеж, 1996. — С. 122.

198. Мамонов С.С. Система дифференциальных уравнений с кратным собственным значением // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. 2-й Междунар. конф. Саранск, 1996. - С. 90.

199. Мамонов С.С. Построение функций Ляпунова и решение матричных уравнений // Метод функций Ляпунова и его приложения: тез. докл. 3-й Крымской междунар. математической школы Симферополь, 1996. -С. 15.

200. Мамонов С.С. Предельные циклы системы фазовой синхронизации // Современные проблемы математики, механики, информатики: тез. докл. Междунар. науч. конф. Тула, 2004. - С.29-30.

201. Мамонов С.С. Достаточные условия существования предельных циклов второго рода системы фазовой синхронизации // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Междунар. научн.конф. Тула, 2007. -С.56-57.

202. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления : тез. докл. 10-й Междунар. семинар им. Е.С. Пятницкого. Москва, 2008. - С. 188-190.

203. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода поисковой системы фазовой автоподстройки частоты // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Междунар. научн. конф. — Тула, 2009. -С.69-71.

204. Мамонов С.С. Области притяжения поисковой системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления : тез. докл. 11-й Между нар. конф. Москва, 2010.-С. 257-259.

205. Мамонов С.С. Условия существования предельного цикла второго рода фазовой системы // Дифференциальные уравнения (качественная теория): межвуз. сб. науч. тр./ Рязан. пед. ин-т. Рязань, 1990. -С. 103-107.

206. Мамонов С.С. Решение матричных неравенств // Дифференциальные уравнения (качественная теория): межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1994.-С. 71-74.

207. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. - С. 112119.

208. Мамонов С.С. Матричное уравнение Риккати // Дифференциальные уравнения (качественная теория): межвуз. сб. науч. тр. — Рязань: Изд-во РГПУ, 1996.-С. 99-103.

209. Мамонов С.С. Седловые предельные циклы второго рода // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : межвуз. сб. науч. тр. -Рязань: Изд-во РГПУ, 1996. -С. 104-107.

210. Мамонов С.С. Матричное уравнение Ляпунова // Вестник Ряз. гос. пед. ун-та. Рязань: Горизонт, 1996. -№4. - С. 79-82.

211. Мамонов С.С. Прямое и адамарово произведение матриц для построения функций Ляпунова // Дифференциальные уравнения (качественная теория): межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997. - С. 55-60.

212. Мамонов С.С. Круговые решения систем дифференциальных уравнений с нулевым собственным значением // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 1999. - № 2. - С. 67-71.

213. Мамонов С.С. Устойчивость систем дифференциальных уравнений с кратным нулевым собственным значением // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. - № 3. - С. 102-106.

214. Мамонов С.С. Положительно инвариантные тороидальные многообразия систем дифференциальных уравнений // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. - № 4. С. 46-51.

215. Мамонов С.С. Структура однородных форм четвертого порядка // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. - № 5. - С. 108-111.

216. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода многомерной системы фазовой синхронизации // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГУ, 2007. -№ 12.-С. 61-68.

217. Мамонов С.С. Режимы синхронизации системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. Рязань, 2007. - Вып. 20. - С. 14-19.

218. Мамонов С.С. Периодические решения системы фазовой синхронизации с дробно-рациональным фильтром // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула : Изд-во ТулГУ, 2007. - Вып. 1. - С. 13-22.

219. Мамонов С.С. Достаточные условия существования предельных циклов второго рода системы частотно-фазовой синхронизации // Труды Сред-неволжского математического общества. — Саранск: Изд-во НИИ математики МГУ, 2008. -Т. 10, №1. С. 203-210.

220. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи.- Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. Вып. 1. - С. 24-36.

221. Мамонов С.С. Предельные циклы первого и второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань : Изд-во РГУ, 2008.-№ 13.-С. 75-81.

222. Мамонов С.С. Решение матричных уравнений // Вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. Рязань, 2009. — Вып. 21, №1. -С. 115-136.

223. Мамонов С.С. Предельные циклы второго рода системы частотно-фазовой автоподстройки частоты в случае фильтров специального вида // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань : Изд-во РГУ, 2009. - № 14. -С. 87-94.

224. Мамонов С.С. Вращательные режимы поисковой системы фазовой автоподстройки частоты // Известия Российской академии естественныхнаук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГУ, 2010. -№ 15. -С. 64-72.

225. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений.И // Дифференциальные уравнения. 2010. - Т.46, №8. - С. 1075-1084.

226. Мамонов С.С. Седловые предельные циклы второго рода поисковой системы фазовой автоподстройки частоты // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки. — 2010. — Вып. 2. С. 195—207.