автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели динамики срочной структуры процентных ставок, учитывающие качественные свойства рынка

московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Математические модели динамики срочной структуры процентных ставок, учитывающие качественные свойства рынка

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

На правах рукописи

□□3492022

Лапшин Виктор Александрович

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

003492022

Работа выполнена в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова на кафедре системного анализа факультета вычислительной математики и кибернетики.

кандидат физико-математических наук, доцент,

Смирнов Сергей Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор,

Хаметов Владимир Минирович

доктор физико-математических наук, Кулешов Андрей Александрович

Учреждение Российской академии наук Центральный экономико-математический институт РАН

Защита состоится » Ссй^<2Л~Л_2010 г. в ¿И^ часов на заседании

диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «. Л*. 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор Захаров Евгений Владимирович

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Срочная структура процентных ставок, задаваемая, например, при помощи бескупонной кривой доходностей, в развитых странах рассматривается как главный и наиболее информативный индикатор состояния финансового рынка, один из важнейших макроэкономических параметров и эталон для оценки ценных бумаг в других секторах рынка инструментов фиксированной доходности. В связи с этим особую важность имеет задача моделирования кривой доходностей и проблема её соответствия рыночным данным. Общепризнанной модели построения кривой бескупонной доходностей не существует [1], таким образом, разработка моделей срочной структуры процентных ставок является актуальной задачей.

Обычно используемые модели определяют либо всю кривую в один момент времени, работая с «моментальным снимком» рынка, либо временную стохастическую динамику одной - двух точек кривой (обычно —её левого конца, который имеет особый экономический смысл). Тем не менее, в ряде работ [2, 3] показано, что ни одна из используемых на практике параметрических моделей кривой доходностей не может быть снабжена никакой стохастической динамикой при условии отсутствия арбитражных возможностей. В литературе был полностью описан класс параметрических «моделей моментального снимка», допускающих нетривиальную безарбитражную динамику своих параметров, причём этот класс оказался слишком бедным для использования на практике.

С другой стороны, модели, задающие стохастическую динамику левого конца кривой доходностей, называемого также краткосрочной (мгновенной) процентной ставкой, обычно неявно подразумевают нереалистичные формы кривой доходностей (например, с: отрицательными или стремящимися к бесконечности процентными ставками).

Для преодоления этих ограничений актуальным и перспективным япля-

ется использование непараметрических моделей, дающих достаточное количество степеней свободы как для удовлетворения условию отсутствия арбитражных возможностей, так и для обеспечения гибкого отражения сложных форм кривой доходностей, наблюдаемых на реальных финансовых данных. Кроме того, непараметрический подход снимает проблему, связанную с выбором конкретной параметризации, большинство решений которой основываются исключительно на соображениях удобства получения явных аналитических решений, а не на феноменологии предметной области.

Также актуальным является построение моделей, учитывающих такие свойства рынка, как низкая ликвидность и связанные с этим неполнота и недостоверность исходных данных. На развитых рынках в нормальных условиях подобные трудности либо не возникают вообще, либо имеют пренебрежимо малые эффекты. В свете последствий финансового кризиса, а также специфики рынка облигаций России, построение моделей, учитывающих особенности последнего, является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы

В связи с вышеизложенным целью диссертационной работы является построение и исследование модели, сочетающей в себе достоинства и общность моделей стохастической динамики с разнообразием форм кривой доходностей и «моментальном снимке», а также учитывающей качественные свойства рынка, связанные с особенностями доступной на нём информации. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

• построение непараметрической модели стохастической динамики срочной структуры процентных ставок, учитывающей ликвидность рынка, т.е. работающей в условиях неполной и недостоверной информации, и пригодной для оценки кривой доходностей по «моментальному снимку» рынка.

• Разработка численных методов статистической оценки параметров модели но доступным рыночным данным.

• Демонстрация работоспособности метода и модели в целом путём разработки программного комплекса и проведения расчётов на реальных данных о торгах на Московской межбанковской валютной бирже (ММВБ).

Научная новизна

В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Предложен новый подход к построению непараметрических моделей стохастической динамики срочной структуры процентных ставок, сочетающих в себе достоинства динамических и статических подходов, а также обладающих другими свойствами, желательными для подобных моделей. В рамках этого подхода построены две конкретных модели, исследованы свойства указанных моделей при работе с «моментальным снимком» рынка.

2. Для построенных моделей разработан численный метод оценки параметров по информации о дневных результатах торгов или о внутридневном их ходе. Наблюдения не обязаны быть полными (информация о части бумаг может отсутствовать) и могут быть разделены временными интервалами произвольной, не обязательно равной, длины. Разработанный метод позволяет оценить как собственно компоненты волатильно-сти, так и их количество.

3. Впервые проведены расчёты на данных о ходе торгов на ММВБ как в относительно спокойный период, так и по мере развития кризиса. Получены новые результаты об эффективной размерности шума (многомерного броуновского движения), отвечающей статистике цен облигаций на рынке ММВБ за период в 2006-2008гг.

4. Получена модель, отражающая существующую практику оценки «коротких» денежных потоков (со сроком, меньшим периода начисления

процентов). Показано, что с точки зрения безарбитражной динамики следует оценивать эти потоки несколько другим образом.

Практическая значимость

В настоящей работе построена модель срочной структуры процентных ставок, которая может применяться в условиях низкой ликвидности рынка: при недостоверной и неполной информации о сделках и котировках, что даёт аналитикам для исследования и описания рынка удобный инструмент, ранее доступный лишь для высоколиквидных рынков с большим количеством облигаций. С теоретической точки зрения построенная модель является первой моделью стохастической динамики, подразумевающей разумные и гибкие мгновенные формы кривой доходностей и пригодной для оценки кривой доходностей по «моментальному снимку» рынка, а также удовлетворяющей принципу отсутствия арбитражных возможностей, что позволяет использовать модель для решения задачи ценообразования и хеджирования обусловленных обязательств по производным финансовым инструментам на процентную ставку.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Новый подход к построению непараметрических моделей стохастической динамики срочной структуры процентных ставок, сочетающих в себе достоинства динамических и статических подходов, а также обладающие другими свойствами, желательными для подобных моделей.

2. Две конкретных реализации вышеупомянутого метода - модели, частично допускающие аналитическое решение. Для этих моделей разработан численный метод оценки параметров по информации о дневных результатах торгов или о внутридневном их ходе. Наблюдения не обязаны быть полными (информация о части бумаг может отсутствовать) и мо-

гут быть разделены временными интервалами произвольной, не обязательно равной, длины. Разработанный метод позволяет оценить как собственно компоненты волатильности, так и их количество.

3. Разработан трёхуровневый программный комплекс, включающий средства для:

• оценки параметров используемых моделей;

• оперативной калибровки параметров по поступающей информации;

• расчётов по модели;

• оперативных приближённых расчётов.

Самая вычислительно ёмкая часть —оценка параметров — реализована с использованием технологий параллельного программирования для повышения быстродействия.

Апробация работы

Результаты работы (в том числе — применительно к предметной области) докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. На международной конференции Ломоносов-2000 (Москва, 2006г.)

2. На научной конференции Тихоновские чтения-2007 (Москва, 2007г.)

3. На международной конференции Международный опыт риск-менеджмента и особенности развивающихся рынков (Москва, 2008г.)

4. На международной конференции Ломоносов-2009 (Москва, 2009г.)

5. На заседании Европейской комиссии по облигациям (Париж, 2009г.)

6. На 52-й научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2009г.)

7. На научном семинаре «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» в ЦЭМИ РАН (Москва, 2009г.)

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них: 2

статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [AI, А2],2 статьи в сборниках статей [A3, A4], 3 тезиса докладов [А5, А6, A7j и 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ[А8].

Личный вклад автора

Все описанные результаты получены автором лично. Часть программы [А8], относящаяся к тематике настоящей работы, также написана автором.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из списка обозначений, введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Текст работы изложен на 183 страницах. Библиография включает 214 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения и описана структура диссертации.

В первой главе вводятся основные определения и обозначения, а также излагается современное состояние дел в области.

Функцией дисконтирования d(x) называют стоимость бескупонной облигации с погашением через срок х. Из экономических соображений функция дисконтирования должна обладать следующими свойствами: d(0) = 1, d{-) — убывающая функция х, limj;_+(x) d(x) = 0. Процентная ставка г(.г) связана с функцией дисконтирования посредством конвенции о начислении процентов: непрерывное начисление процентов подразумевает связь d(x) = схр(—г(х)х), а дискретное начисление процентов раз в 6 лет подразумевает d(x) = (1 + r(x)5)~J. Мгновенная форвардная процентная ставка на срок х — f(x) — связана с процентной ставкой г(-) следующим соотношением r(x) = j Jц /(т) dr. График функции г(х) называют кривой доходностей, а говоря о «срочной структуре процентных ставок», имеют п виду любую из

зависемостей d(-), r(-), /(•). Цена P облигации с выплатами Fs через промежутки времени rs, s = 0,..., ns, принимается равной сумме дисконтированных потоков платежей:

Р = £>Дт4). (1)

4=0

Далее п первой главе приводится обзор по моделированию цен облигаций и процентных ставок с критическим анализом сложившихся к настоящему времени подходов. Динамические модели, то есть модели, описывающие стохастическую динамику цеп акций, появились достаточно давно, однако использование этих моделей для описания динамики цен облигаций породило ряд трудностей, связанных с различной природой инструментов. В связи с этим начали появляться модели стохастической динамики процентных ставок. Эти модели, положившие начало целой плеяде так называемых моделей краткосрочной ставки (short rate models), предполагали, что краткосрочная (мгновенная) процентная ставка r( = rt(0) имеет стохастическую динамику, описываемую диффузией dr( = n(rt, t) dt + a(rt,t) dPt, причём функции /х и а подбираются так, чтобы получившееся стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) имело (полу-)аналитическое решение.

К сожалению, подобные модели обычно давали нереалистичные (отрицательные или стремящиеся к бесконечности) кривые доходностей, а также — в силу того, что кривая доходностей определена с малым количеством степеней свободы, — не были способны отразить произвольную текущую срочную структуру процентных ставок, наблюдаемую на рынке.

Второе поколение моделей явно включало нестационарность в динамику с целью увеличения количества степеней свободы. Например, функцию //(r(,i) можно выбрать в виде /¿(r(,i) = k(0(t) — rt), где 6{t) — неизвестная функция, подлежащая определению путём калибровки к наблюдаемой срочной структуре процентных ставок.

Нестационарность и неустойчивость этих моделей вела к необходимости постоянной перекалибровки, порой влекущей — в силу неустойчивости — весь-

ма значительные изменения параметров.

Параллельно с этим прослеживалась тенденция к увеличению размерности используемых моделей: использовались две, три, N фазовых переменных. Значительно возросшие сложность и требовательность к вычислительным ресурсам не позволили в должной мере улучшить качество моделей, от которых теперь требовалось отражение срочной структуры не только процентных ставок, но и их волатильностей, а также возможность раздельного движения ставок на разных сроках.

Принципиальный шаг вперёд был сделан Heath, Jarrow и Morton в работе [4]. В качестве фазовых переменных рассматриваются f(t, t') — мгновенные форвардные ставки, действующие в момент t на дату f', 0 ^ t ^ t' ^ Т (континуум переменных). Предполагается, что динамика этих ставок определяется уравнениями

f(t,t') = f(0,t')+ a{u,t',uj)du + Y^

as(u,t',oj) dß*, O^t^t'^T,

S=1 ,

где /(0, ¿') — неслучайная начальная кривая мгновенных форвардных процентных ставок, а функции г*, сгя удовлетворяют обычным условиям измеримости и интегрируемости, необходимым для существования интегралов Ито. Там же было получено условие отсутствия арбитражных возможностей на таком рынке: должна существовать рыночная цена риска, случайная вектор-функция А = {А5}8=11...1дг, такие, что

а(М') = -£^(М') А4

СГА (¿, и) ¿и ] .

.5 = 1

Этот класс моделей получил название «модели целой кривой доходностей». Позже этот подход был развит в работе [5], где была предложена параметризация /((г) = /(£,4 + .г), позволяющая перейти от бесконечного числа одномерных стохастических дифференциальных уравнений к одному бесконечно-

мерному. Эта модель была уже гораздо лучше, однако вполне традиционное предположение о логнормальной динамике форвардных процентных ставок вело к тому, что стоимость облигации уходила в 0 за конечное время с вероятностью 1. Кроме того, будучи более сложной, модель требовала больших вычислительных ресурсов. Предлагались различные способы решения этой проблемы, однако перелом наступил лишь с появлением рыночных моделей.

Сначала вместо мгновенных процентных ставок были использованы номинальные годовые ставки, связанные с ними соотношением 1 + ]{х) = а в работе [0] анализировалась удачная модель, основанная на эффективных ставках

После этого появился целый ряд работ, основанных на тех или иных рыночных (отсюда и название класса моделей) ставках. Так, Brace, Gatarek, Musiela [7] и Musiela, Rutkowski [8¡ моделируют ставку LIBOR, Jamshidian [9] - котировки свопов, Musiela, Rutkowski [10] — форвардные цены облигаций. Модели построены таким образом, что распределение моделируемой рыночной ставки логнормально, что позволяет легко оценивать производные финансовые инструменты, причём в результате получаются формулы в стиле фундаментальной работы Black, Scholes [11], что оправдывает многолетнюю инженерную практику применения этих формул к оценке соответствующих инструментов.

К сожалению, эти модели исключают друг друга: если одна рыночная ставка логнормальна, то остальные не могут обладать этим свойством, так что для оценки разных инструментов нужно использовать разные модели. С другой стороны, в [12] показано, что отличие от логнормальности очень мало, в любом случае, слишком мало, чтобы порождать арбитражные возможности. Brace, Gatarek и Musiela показывают, что их модель эквивалентна подходу Heath, Jarrow, Morton с некоторым специальным выбором функций волатилыюсти, в то время, как в остальных моделях мгновенные процентные

ставки могут даже не существовать.

Большинство описанных выше методов предполагало, что текущая срочная структура процентных ставок нам дана извне. В реальности это не так: даны лишь цены облигаций или производных финансовых инструментов на процентную ставку, а зависимость г(х) необходимо вывести из этих данных. Параллельно развивались методы определения срочной структуры процентных ставок по наблюдаемым ценам облигаций, «моментальному снимку» рынка (большей частью, инженерные). Дополнительная сложность, делающая задачу нетривиальной, заключается в том, что среднесрочные и долгосрочные облигации, торгуемые на рынке, как правило имеют купонные платежи, что заставляет использовать косвенные методы оценки.

Задача определения срочной структуры процентных ставок по ценам купонных облигаций обычно является недоопределённой, поэтому требуется регуляризация и/или априорные предположения об этой структуре. В зависимости от этих предположений можно выделить два подхода к решению этой задачи: параметрические (априори предполагающие некоторый параметрический вид кривой доходностей) и сплайновые (предполагающие, что истинная кривая доходностей удовлетворяет какому-нибудь экстремальному свойству, например, свойству максимальной гладкости, формализованному тем или иным образом, — в таком случае решение обычно имеет вид сплайна, что и дало название подходу).

Среди параметрических моделей особое распространение получили методы Nelson, Siegel [13] и Svensson [14], в то время как разнообразие непараметрических (сплайновых) методов гораздо больше.

К сожалению, использование методов «моментального снимка» при определении кривой процентных ставок для нужд динамических моделей целой кривой доходностей некорректно, если сделки по некоторым облигациям могут периодически отсутствовать, что демонстрируется на простом примере: исчезновение одной котировки на коротком конце может значительно изме-

нить оценку кривой доходностей, даже если сама кривая не изменилась. Модификация же методов «моментального снимка» путём приписывания их параметрам стохастической динамики практически всегда влечёт появление арбитражных возможностей, что показано в работе [3].

Это показывает, что учёт природы и структуры реально наблюдаемых данных должен быть гораздо более тесно интегрирован в модель: так, было бы разумно ожидать, что метод «запомнит» вчерашнее значение цены облигации или вчерашнее значение кривой доходностей и очередная оценка не будет сильно отличаться от предыдущей в случае отсутствия цепы .

Также существующие методы не учитывают качественных особенностей доступной информации: предполагается, что наблюдаются всегда истинные значения величин, притом без ошибок. В действительности же наблюдаемые цены облигаций отражают не только суммарную приведённую стоимость платежей, но также кредитное качество эмитента, премию за ликвидность и прочие факторы, которые можно интерпретировать как ошибку при наблюдениях. Кроме того, некоторые сделки проводятся на договорной основе или совершаются с целью манипулирования рынком; в этих случаях их цены определяются отнюдь не рыночными механизмами.

На основании проведённого обзора цель работы формулируется как построение модели стохастической динамики срочной структуры процентных ставок (модели целой кривой доходностей в приведённой выше классификации), которая, во-первых, не допускала бы арбитражных возможностей, во-вторых, давала бы реалистичные мгновенные формы кривых доходностей и была бы совместима с некоторым разумным статическим методом, а в-третьих, учитывала бы то, какая именно информация реально доступна (цены купонных облигаций), а также некоторые качественные особенности рынка: неполноту наблюдаемой информации и её возможную недостоверность.

Решение первой проблемы будет получено путём использования методологии Неа^-Лашда-МоЛоп (НЛМ), в рамках которой известно необходимое и

достаточное условие безарбитражности.

Решение второй проблемы будет достигнуто путём построения непараметрической (бесконечномерной) модели. Такая модель будет обладать достаточным количеством степеней свободы, чтобы одновременно удовлетворять критерию отсутствия арбитражных возможностей и давать достаточно богатое семейство мгновенных кривых доходностей.

И, наконец, решение третьей проблемы будет использовать байесовский подход к наблюдениям и понятие меры достоверности информации (credibility).

В первом параграфе второй главы приводятся необходимые факты из теории стохастических процессов и функционального анализа: основные определения и теоремы теории стохастического интегрирования СДУ в гильбертовых пространствах из [15], формулируются теорема Гирсанова, стохастическая теорема Фубини и формула Ито. Затем кратко пересказываются основные результаты работы [16], которые являются основой для дальнейшего изложения. Под бесконечномерным броуновским движением в работе понимается последовательность независимых одномерных броуновских движений, заданных на одном и том же вероятностном пространстве с фильтрацией {П,Г,{Г),еЛ+,Р):

W = {ff'bsN-

Это соответствует цилиндрическому винеровскому процессу в терминологии [15].

Мягким решением (mild solution) уравнения в гильбертовом пространстве Н

idXt = (DXt + F{t,Xt))dt + m,Xt)dWt, ( Х[) = /to,

где D— линейный (возможно, неограниченный) оператор 7i —* 7i, инфи-нитезимальный генератор полугруппы S(t), H(t,X) для каждого значения (t, X) — оператор Гильберта-Шмидта Н —> К, F(t, А') — некоторая функция,

называется такой Н-значный предсказуемый процесс, что

.V, = 3(1)/1и + 5(< - u)F(u, Хи) (111+У 5(1- и)а'(и, Х„) ЛЩ Р - п.н., \Н 6 К+.

Далее описываются технические требования к пространству Л, операторам и функции чтобы указанное уравнение имело единственное мягкое решение. К сожалению, мягкое решение СДУ в гильбертовом пространстве не является полумартингалом, поэтому к нему неприменимо дифференциальное исчисление Ито, что затрудняет дальнейший анализ.

Бесконечномерное расширение модели НЛМ в работе [16] с учётом условия отсутствия арбитражных возможностей имеет вид

где = ^Т^З^^'^тЬ), (£/)(х) = 1{х) /(г) с!г и динамика

записана в риск-нейтральной мере (0.

Во втором и третьем параграфах второй главы описывается рассматриваемая модель. Для спецификации стохастической динамики в рамках выбранного подхода достаточно указать пространство К, функцию £ и рыночную цену риска (связь риск-нейтральной меры, в которой записано уравнение динамики в модели ШМ, и объективной меры).

При построении модели уделяется особое внимание обоснованности и разумности делаемых предположений; при прочих равных выбирается максимально простой подход.

В качестве пространства ТС в работе выбрано пространство Соболева чтобы отразить экономическое соображение о гладкости кривой мгновенных форвардных процентных ставок. Известно [17, 18|, что для экономически осмысленных постановок задачи существует предел /(.г). Так

и

/о = /¿О,

,0,

как реальные данные заданы на конечном и вполне определённом отрезке [О, Г], мы, в отличие от подхода, предложенного в [16], предположим, что f(x) = f(T) для х > Т. Это означает, что де-факто мы будем работать с конечным горизонтом, так что эффективное пространство наших кривых — W\[О, Г]. Полугруппа сдвигов S(t) будет действовать следующим образом: (S(t)h)(x) = h((x + t) Л Т), что весьма разумно с экономической точки зрения: есть все основания постулировать, что за горизонтом моделирования форвардные ставки постоянны. Далее доказывается, что так выбранное пространство отвечает требованиям теоремы существования и единственности мягкого решения СДУ.

Функция волатильности X) = {<rs(£, X)}s6n берётся локально линейной: as(t, h)(x) = <rs(x)h(x), а рыночная цена риска по каждому из случайных факторов предполагается постоянной и равной {7s}s(=n-

Таким образом, динамика мгновенной форвардной процентной ставки в реальной мере Р описывается следующим уравнением:

dSt = Wt + £Г=. S(a°ft) - ЕГ= 17s°sfi) dt + , a'f, d0>

So = So-

Далее описывается формализация наблюдений, т.е. того, как модель «усваивает» поток новой информации. Предполагается, что наблюдения (сделки) происходят в известные (неслучайные) моменты времени^. Информация, заключённая в наблюдении, состоит из:

• цен облигаций Р'к. к = 1,

• котировок спроса и предложения на них Ь'к, а^., к = 1,....

• статической информации об облигациях, т.е. о расписании s = 0,....n's и объёмах s = 0, ...,пг„ к = 1, ...,nj. платежей.

В этих предположениях уравнение ценообразования облигаций будет ныгля-

деть так:

рхк = ¿ F'.,k схр - f /(. (z) dx

«=о L Jl)

Предполагается, что достоверность информации, содержащейся в наблюдаемых рыночных данных, ставится под сомнение. Степень достоверности (credibility) этой информации может зависеть от различных факторов:

• от разницы котировок спроса и предложения (т.н. bid-ask спрэду) — обратно пропорционально;

• от объёма сделки/котировки — нелинейная зависимость: тем достовернее, чем ближе к среднему объёму, характерному для рынка;

• от любых других параметров.

Чтобы учесть это в модели, предполагается, что величины Рк наблюдаются с нормально распределённым шумом Ск ~ Лг(0,6j_). Такой подход соответствует логической интерпретации вероятности: вероятность — степень достоверности утверждения.

Ещё одно предположение относительно наблюдений заключается в том, что кривые доходностей, используемые участниками рынка для расчёта цены сделки, являются достаточно гладкими. Подобно статистической механике, предполагается, что правдоподобность того, что восприятие рынком сделки приведёт к кривой h, будет пропорциональна где E(h) - некоторая ме-

ра негладкости кривой h. Если предположить, что у участников рынка есть среднее мнение относительно того, насколько гладкой должна быть форвардная кривая, то наше предположение соответствует распределению негладкости с максимальной энтропией при фиксированном среднем значении а-1. Функционал E(h) может быть выбран произвольным образом, чтобы отразить наше представление о желаемой кривой доходностей. Удобно выбрать в качестве меры негладкости величину E(h) = ||(v^i)'|||2, чтобы получить ключевое совпадение в дальнейшем, однако возможны любые другие формализации негладкости.

Условное распределение наблюдаемой цены Рк при известной кривой мгновенных форвардных ставок /(•) будет равно

где аь Ьк — соответственно котируемые цены продавца и покупателя к-ой облигации. Таким образом, наблюдение формализуется в терминах функции правдоподобия следующим образом:

где и)к = (чк — Ьк)'1- Единственный параметр, подлежащий заданию,— а, мера желаемой гладкости кривой, некоторый аналог температуры в приведённой выше интерпретации в терминах статистической физики. Мы будем считать его заданным извне, например, пользователем системы, но можно оценить его и на основании статистических данных.

Это предположение, по сути, является регуляризацией по Тихонову некорректно поставленной задачи оценки бесконечномерной сущности (кривой доходностей) по конечномерным наблюдениям, где регуляризатором является слагаемое а [(\/7й(х))']2 а о —параметр регуляризации.

Для реализации практического метода оценки кривой доходностей и параметров её динамики проводится следующая часть регуляризации с использованием кратномасштабного анализа: в пространстве И вводится вейвлет-базис, а регуляризация состоит в откидывании детализации и рассмотрении только аппроксимации заранее выбранного порядка (этот порядок и есть параметр регуляризации). Таким образом, рассматриваются только достаточно гладкие функции, где желаемая степень гладкости определяется конкретным выбором вейвлета и порядком аппроксимации, после чего все выражения для динамики плотностей вероятности переписываются в выбранном базисе.

Путём замены переменных уравнение динамики сводится к почти линей-

2

Т

и

ному: с постоянным коэффициентом диффузии. Различные численные методы позволяют либо работать с нелинейным коэффициентом сноса, либо линеаризовать его с контролируемой погрешностью.

Оценка кривой доходностей по наблюдениям производится методом максимального правдоподобия — путём максимизации функции правдоподобия, однако для случаев, когда важно быстродействие, приводится приближённый алгоритм, являющийся вариацией фильтра Калмана.

Далее в этом же параграфе описывается аналогичная рыночная модель, основанная на дискретно начисляемой раз в 8 форвардной процентной ставке Ь((х): 1 + бЬ^х) = ехр • Её фундаментальное отличие

от известных рыночных моделей — в подходе к оценке облигаций со сроком до погашения, меньшим 6. Ранее динамика цен таких облигаций предполагалась детерминированной, несмотря на нереальность этого предположения. Предлагаемая модель учитывает сложившуюся практику оценки рынком таких коротких облигаций, однако побочным эффектом является потеря свойства безарбитражности. Показано, что арбитражные возможности возникают исключительно из-за некорректности сложившейся практики оценки коротких облигаций и предъявляется выражение для справедливой стоимости облигации, подразумеваемое этой некорректной практикой, то есть показано, что рынок, так оценивающий короткие облигации, на самом деле, подразумевает цену облигации, равную

где 0"(х) = <т"(т) (1г, то есть показывается, что при такой оценке коротких облигаций именно эта величина, будучи дисконтированной, является мартингалом.

В четвёртом параграфе второй главы описывается численный метод оценки параметров обеих моделей (между ними нет различий, существенных для этого этапа). Оценка параметров столь сложных нелинейных и существенно многомерных моделей не описана в литературе, поэтому снача-

ла приводится краткий обзор различных общих методов, используемых для оценки параметров стохастических дифференциальных уравнений, затем мотивируется выбор конкретного метода, после этого описывается применение выбранного метода — метода Монте-Карло для марковских цепей (Markov Chain Monte-Carlo) — к построенным моделям, кратко описывается применение предварительных и параллельных вычислений для ускорения расчётов.

В пятом параграфе второй главы доказывается, что при выполнении некоторых естественных условий и ряда технических ограничений юиостроенная оценка является состоятельной. Доказывается состоятельность при стремлении количества облигаций, наблюдаемых за один раз, к бесконечности, а промежутка времени между наблюдениями — к нулю. Также показано, что при стремлении модели размерности к бесконечности оценка стремится к истинным бесконечномерным значениям соответствующих параметров.

В первом параграфе третьей главы рассмотрены некоторые частные вопросы, самым важным из которых является модель «моментального снимка», к которой сводится рассматриваемая динамическая модель при условии, что доступно лишь одно наблюдение: цены нескольких облигаций в один единственный момент времени («моментальный снимок» рынка). Если предположить некоторое специальное несобственное априорное распределение (распределение с максимальной энтропией) для кривой форвардных ставок, то условная функция правдоподобия будет определяться выражением

, 2

d* ■

Благодаря специальному выбору функционала негладкости, это выражение с точностью до постоянного множителя совпадает с полученным из других соображений функционалом, минимизацией которого был получен непараметрический метод оценки кривой доходностей в [19| и [АЗ]-

Далее приводится решение вышеуказанной задачи путём сведения её к задаче оптимального управления и применения принципа максимума Понт-

рягина.

Во втором параграфе третьей главы введено понятие полосы разрешимости (feasibility band), впервые введённое в [19]. Если для каждой бумаги из щ вместо цены указана котировка спроса Ьк и предложения ак, к = 1, то систему уравнений ценообразования (уравнение (1) для каждой бумаги) можно будет переписать в виде системы двойных неравенств:

Ьк «S ^Fsd(rs) < ак.

3 = 0

Вкупе со свойствами функции дисконтирования, получаем следующую систему, описывающую множество допустимых значений d(x).

h < Е"=о Fs,kd(Ta) < ак d{0) = 1, d{t) > 0 d{t) не возрастает.

В предыдущей системе положим ds = d(ra), s = l,...,ns. Для определения границ множества, в котором будут лежать решения di,..., d„h этой системы, решим 2ns задач линейного программирования:

ds —» min, max

bk < Fx,kds < ak, к = 1,..., щ,

dQ = 1, . s = l,...,ns. (2)

ds > 0, г = 1,..., ns ^ ds . 1 > ds

Здесь для значения ¿(т„) в каждый момент т3 мы находим теоретически максимальное значение. Таким же образом можно найти и минимально возможное значение. Разумеется, это не означает, что кривая d{t) может проходить где угодно внутри полученного коридора, который и называют полосой раз-

решимости для функции дисконтирования. Если же зафиксировать конвенцию связи между значением функции дисконтирования к какому-либо сроку и соответствующей процентной ставкой, получим полосу разрешимости для процентных ставок. Эта оценка, вообще говоря, довольно груба, однако и приведённые ограничения могут оказаться слишком сильными, в таком случае говорят, что полоса разрешимости пуста.

Далее описаны причины, которые могу вызвать пустоту полосы разрешимости, т.е. несовместность системы (2), и поставлена задача поиска минимального количества бумаг, которые необходимо исключить из выборки, чтобы система стала совместной. Кратко описываются известные результаты по схожей задаче поиска максимальной совместной подсистемы, после чего доказывается МР-эквивалентность задачи в нашей постановке. Затем в этом же параграфе приводятся два приближённых жадных алгоритма для решения этой задачи.

В четвёртой главе приведены описания численных экспериментов, проведённых как на модельных, так и на реальных исторических данных о ходе торгов на бирже ММВБ за 3 периода: 10 января —14 апреля 2006 года (200 измерений), спокойный рынок; 1 августа —28 сентября 2007 года (132 измерения), самое начало кризиса; и 26 сентября —30 декабря 2008 года (200 измерений), разгар кризиса. На модельных данных наблюдается хорошая идентификация параметров модели (см. рис. 1), а на реальных данных результаты разумны, экономически интерпретируемы и превосходят по качеству существующий аналог («С-кривую», собственную разработку ММВБ для решения этой же задачи). Кроме того, на спокойном рынке данные не позволяют отвергнуть гипотезу о том, что наблюдаемые цены были порождены рассматриваемой моделью.

В заключении подведён краткий итог изложению, очерчено место диссертационной работы в контексте текущего развития моделирования срочной структуры процентных ставок, перечислены направления, представляющие-

Рис. 1. Модельные (слева) и оценённые (справа) параметры а'.

ся перспективными для дальнейших изысканий, приведены основные результаты работы, выносимые на защиту.

Цитированная литература

[1] А. Балабушкин, Г. Гамбаров, И. Шевчук. Оценка срочной структуры процентных ставок // Рынок цепных бумаг. — 2004. — № 11. — С. 44-52.

[2| D. Filipovic. Exponential-Polynomial Families and the Term Structure of Interest Rates // Bernoulli. - 2000. - Vol. G, no. 6. - Pp. 1081-1107.-

[3] T. Bjork, L. Svensson. On the existence of finite-dimensional realizations for nonlinear forward rate models // Mathematical Finance. — 2001. — Vol. 11, no. 2. - Pp. 205-243.

[4] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton. Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation // Econo-metrica. - 1992. - Vol. 16, no. 1. - Pp. 77-105.

[5] A. Brace, M. Musiela. A multifactor Gauss Markov implementation of Heath, Jarrow, and Morton // Mathematical Finance. — 1994.— Vol. 4, no. 3.-Pp. 259-283.

[6| K.R. Miltersen, K. Sandmann, D. Sondermann. Closed Form Solutions for

Term Structure Derivatives with Log-Normal Interest Rates // The Journal of Finance. - 1997. - Vol. 52, no. 1. - Pp. 409-430.

[7j A. Brace, D. Gatarek, M. Musiela The market model of interest rate dynamics // Mathematical finance. — 1997. — Vol. 7, no. 2. — Pp. 127-155.

[8] M. Musiela, M. Rutkowski Continuous-time term structure models: Forward measure approach // Finance and Stochastics. — 1997. — Vol. 1, no. 4. — Pp. 261-291.

[9] F. Jamshidian. Libor and swap market models and measures // Finance and Stochastics. - 1997. - Vol. 1, no. 4. - Pp. 293-330.

[10] M. Rutkowski, M. Musiela. Martingale methods in financial modeling. — Springer New York, 1997.

[11| F. Black, M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of political economy. — 1973. — Vol. 81, no. 3. — Pp. 637-654.

[12] R. Rebonato. Interest Rate Option Models, 2nd edition. — Wiley, 1998.

[13] C.R. Nelson, A.F. SiegeL Parsimonious modeling of yield curves // Journal of business. - 1987. - Vol. 60, no. 4. - Pp. 473-489.

[14] L.E.O. Svensson. Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992 - 1994: Working Paper 4871: National Bureau of Economic Research, 1994. — September, http://www.nber.org/papers/w4871.

[15] G. Da Prato, J. Zabczyk Stochastic equations in infinite dimensions. — Cambridge University Press, 1992.

[16] D. Filipovic. Consistency problems for Heath-Jarrow-Morton interest rate models. — Springer, 2001.

[17] P.H. Dybvig, J.E. Ingersoll Jr, S.A. Ross. Long Forward and Zero-Coupon Rates Can Never Fall // The Journal of Business. — 199G. — Vol. G9, no. 1. — Pp. 1-25.

[18] M. Livingston, S. Jain. Flattening of Bond Yield Curves for Long Maturities // Journal of Finance. - 1982. - Vol. 37, no. 1. - Pp. 157-1G7.

(19j S.N. Smirnov, A.V. Zakharov. A Liquidity-Based Robust Spline Fitting of Spot Yield Curve Providing Positive Forward Rates: Tech. rep.: European Bond Commission Working Paper, 2003.

Список публикаций

[Al] В.А. Лапшин. Определение срочной структуры процентных ставок // Вестн. моек, ун-та . Сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика. - 2009. - № 4. - С. 37-43.

[А2] В.А. Лапшин. Непараметрическая модель стохастической динамики процентных ставок // Вести. РУДЕ. Серия Математика. Информатика. Физика. - 2009. - № 4. - С. 25-37.

[A3] В.А. Лапшин. О задачах, связанных с определением срочной структуры процентных ставок // Вестник молодых ученых "Ломоносов". — М.: Макс-пресс, 2006. - Т. 3. - С. 66-71.

[А4] В.А. Лапшин. Построение бескуноиной кривой доходности // Сборник статей молодых учёных факультета ВМиК МГУ. — М.: Изд. отд. ф-та ВМиК МГУ, 2006. - Т. 3. - С. 92-98.

[А5] В.А. Лапшин. Об определении временной структуры процентных ставок // Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов". — М.: Изд. отд. ф-та ВМиК МГУ, 2006. - С. 33-34.

[А6] В. А. Лапшин. Непараметрическая модель динамики срочной структуры процентных ставок // Материалы XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов". — М.: Изд. отд. ф-та ВМиК МГУ, 2009. - С. 46.

[А7] В.А. Лапшин. Построение практической непараметрической модели динамики срочной структуры процентных ставок // Труды 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". - Т. 1. - М.: МФТИ, 2009. - С. 43-45.

[А8] С.Н. Смирнов, A.B. Косьяненко, В.А. Лапшин. Программный комплекс построения бескупонных кривых доходности по группе облигаций различного кредитного качества // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №200761Щ9 от 17.11.2007 г.

Подписано в печать:

15.03.2010

Заказ № 3388 Тираж - 120 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

Глава 1. Введение в предметную область и история

1.1. Введение в предметную область

1.2. История.

1.3. Цель работы

Глава 2. Модель

2.1. Стохастические дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах

2.2. Собственно модель

2.3. Спецификация модели

2.4. Оценка параметров моделей

Глава 3. Некоторые частные вопросы

3.1. Модель "моментального снимка".

3.2. О "полосе разрешимости".

3.3. Приближённая оценка точности

Глава 4. Численный эксперимент

4.1. Структура программного комплекса

4.2. Модельные данные

4.3. Реальные данные

4.4. Распределение цены сделки по отношению к котировкам

Актуальность работы

Срочная структура процентных ставок, более известная как бескупонная кривая доходности, в развитых странах рассматривается как главный и наиболее информативный индикатор состояния финансового рынка, один из важнейших макроэкономических параметром и эталон для оценки ценных бумаг в других секторах рынка инструментов фиксированной доходности. В связи с этим особую важность имеет задача нахождения кривой доходности по рыночным данным. В России широко используется кривая доходности к погашению, а общепризнанной в мире модели построения кривой бескупонной доходности до сих пор не существует [1], таким образом, разработка моделей построения бескупонной кривой доходности является актуальной задачей.

До сих пор обычно используемые модели определяли либо всю кривую в один момент времени, работая с "моментальным снимком" рынка, либо временную стохастическую динамику одной - двух точек кривой (обычно — её левого конца, который имеет особый экономический смысл). Тем не менее, показано, что ни одна из существующих параметрических моделей кривой доходности не может быть снабжена никакой стохастической динамикой при условии отсутствия арбитражных возможностей. В литературе был полностью описан класс параметрических "моделей моментального снимка", допускающих нетривиальную динамику своих параметров, причём этот класс оказался слишком бедным для использования на практике.

С другой стороны, модели, задающие стохастическую динамику левого конца кривой доходности (мгновенной процентной ставки), обычно неявно подразумевают нереалистичные формы кривой доходности (например, с отрицательными или стремящимися к бесконечности процентными ставками).

Для преодоления этих ограничений актуальным и перспективным является использование непараметрических моделей, дающих достаточное количество степеней свободы как для удовлетворения условию отсутствия арбитражных возможностей, так и для обеспечения гибкого отражения сложных форм кривой доходности. Также непараметрический подход снимает проблему, связанную с выбором конкретной параметризации, большинство решений которой основываются исключительно на соображениях удобства, а не на исследовании предметной области.

Также актуальным является построение моделей, учитывающих такие свойства рынка, как его (не)ликвидность и связанные с этим неполнота и неточность исходных данных. На развитых рынках подобные трудности либо не возникают вообще, либо имеют пренебрежимо малые эффекты. В свете продолжающегося финансового кризиса, а также общей неразвитости рынка облигаций России построение моделей, учитывающих специфику последнего, является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы

В связи с вышеизложенным целыо диссертационной работы является построение и исследование модели, сочетающей в себе достоинства и общность моделей стохастической динамики с разнообразием форм кривой доходности в "моментальном снимке", а также учитывающей качественные свойства рынка, связанные с особенностями доступной на нём информации. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

• построение непараметрической модели стохастической динамики срочной структуры процентных ставок, учитывающей ликвидность рынка, т.е. работающего в условиях неполной и неточной информации, и пригодной для оценки кривой доходности по "моментальному снимку" рынка.

• Разработка численных методов оценки параметров модели по доступным рыночным данным.

• Демонстрация работоспособности метода и модели в целом путём разработки программного комплекса и проведения расчётов на реальных данных о торгах на ММВБ.

Научная новизна

В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Построены две новых неиараметрических модели стохастической динамики срочной структуры процентных ставок, сочетающих в себе достоинства динамических и статических подходов, а также обладающие другими свойствами, желательными для подобных моделей. Исследованы свойства указанных моделей при работе с "моментальным снимком" рынка.

2. Для построенных моделей разработан численный метод оценки параметров по информации о дневных результатах торгов или о внутридневном их ходе. Наблюдения не обязаны быть полными (информация о части бумаг может отсутствовать) и могут быть разделены временными интервалами произвольной, не обязательно равной, длины. Разработанный метод позволяет оценить как собственно компоненты волатильности, так и их количество.

3. Впервые проведены расчёты на данных о ходе торгов на ММВБ как в относительно спокойный период, так по мере развития кризиса. Получены новые результаты об эффективной размерности броуновского движения, влияющего на цены облигаций на рынке ММВБ.

4. Получена модель, отражающая существующую практику оценки "коротких" денежных потоков (со сроком, меньшим периода начисления процентов). Показано, что с точки зрения безарбитражной динамики следует оценивать эти потоки несколько другим образом.

Практическая значимость

В настоящей работе построена модель срочной структуры процентных ставок, которая может применяться в условиях неликвидного рынка: при неточной и неполной информации о котировках, что даёт аналитикам для исследования и описания рынка удобный инструмент, ранее доступный лишь для высоколиквидных рынков с большим количеством облигаций. С теоретической точки зрения построенная модель является первой моделью стохастической динамики, подразумевающей разумные и гибкие мгновенные формы кривой доходности и пригодной для оценки кривой доходности по "моментальному снимку" рынка.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Построены две новых непараметрических модели стохастической динамики срочной структуры процентных ставок, сочетающих в себе достоинства динамических и статических подходов, а также обладающие другими свойствами, желательными для подобных моделей.

2. Для построенных моделей разработан численный метод оценки параметров по информации о дневных результатах торгов или о внутридневном их ходе. Наблюдения не обязаны быть полными (информация о части бумаг может отсутствовать) и могут быть разделены временными интервалами произвольной, не обязательно равной, длины. Разработанный метод позволяет оценить как собственно компоненты волатильности, так и их количество.

3. Разработан трёхуровневый программный комплекс, включающий средства для:

• оценки параметров используемых моделей;

• оперативной калибровки параметров по поступающей информации;

• расчётов по модели;

• оперативных приближённых расчётов.

Самая вычислительно ёмкая часть — оценка параметров — реализована с использованием технологий параллельного программирования для повышения быстродействия.

Апробация работы

Результаты работы (в том числе — применительно к предметной области) докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. На международной конференции Ломоносов-2006 (Москва, 2006г.)

2. На научной конференции Тихоновские чтения-2007 (Москва, 2007г.)

3. На международной конференции Международный опыт риск-менеджмента и особенности развивающихся рынков (Москва, 2008г.)

4. На международной конференции Ломоносов-2009 (Москва, 2009г.)

5. На заседании Европейской комиссии по облигациям (Париж, 2009г.)

6. На 52-й научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2009г.)

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [2, 3], 2 статьи в сборниках статей [4, 5], 3 тезиса докладов [6-8] и 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [9].

Личный вклад автора

Все описанные результаты получены автором лично.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из списка обозначений, введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка литературы. Текст работы изложен на 183 страницах. Библиография включает 214 наименований.

Список обозначений

Ниже приведён краткий список наиболее важных обозначений, используемых в работе.

Обозначение Интерпретация t "астрономическое" время, текущий момент времени; и "астрономическое" время, момент в будущем t' > i;

X "относительное" время, срок: х = t' — t; пк количество наблюдаемых облигаций; ns количество моментов выплат по всем облигациям;

Ts, s = 0, .,ns срок до s-ой выплаты (выплата в момент £+ts), 70=0; s = 0, .,ns, к = 1 ,.,пк объём выплаты по к-ой облигации через срок rs;

Щ количество наблюдений (сделок); tii ^ —) Щ г-ый момент наблюдения; to = 0; r(t:t') непрерывно начисляемая процентная ставка, действующая в момент t на момент ¿'; nix) непрерывно начисляемая процентная ставка, действующая в момент t на срок х или на момент t + x: rt(x) = r(t:t х)\ подобная нотация используется и для других функций от двух моментов времени; f(t,t') мгновенная форвардная ставка, действующая в момент t с началом в момент t' и концом в момент ¿'+0;

Ш мгновенная форвардная ставка, действующая в момент t на сроке (х, х + 0) или с момента t + x на момент t + х + 0; ft{x) = fit, t + x); n во введении — мгновенная процентная ставка, действующая в момент t] rt — rt{0) = /¿(0); и в описании модели — то же, что /¿(-); подобная запись используется и для других переменных, принимающих значение в функциональном пространстве; ш логарифм мгновенной форвардной ставки: = 1п/г(х); т горизонт моделирования: мгновенные форвардные ставки считаются постоянными при х > Т. и пространство функций от аргумента х (срока), рассматриваемых в работе; например, И^О. Т];

N количество измерений в конечномерном приближении бесконечномерной модели; размерность броуновского движения.

Ы' количество измерений в выбранном конечномерном приближении пространства Л] размерность базиса, если она отличается от размерности броуновского движения;

7 = 1,- номер рассматриваемого измерения (от 1 до ТУ, ТУ' или оо в зависимости от контекста);

7 = 7(0 рыночная цена риска, неслучайная функция аргумента х (срока), элемент

Ъ координата элемента 7; такое же обозначение используется для всех элементов Т1\ а3 я-я компонента волатильности (влияние я-ого случайного фактора); здесь я = 1,., ТУ или 1,., оо;

Е оператор волатильности (матрица в конечномерном случае), определённый на базисе И, так: Ее,, = сг5; Е является оператором Гильберта-Шмидта; т бесконечномерный цилиндрический винеровский процесс в Л\ независимые одномерные винеровские процессы: Я = с вектор, определяющий конечномерное приближение

С{ значение с как функции времени в момент (момент г-го наблюдения);

Ь(М') дискретно начисляемая форвардная процентная ставка, действующая в момент £ с момента на момент + дискретно начисляемая форвардная процентная ставка, действующая в момент £ на сроке [а;, х + 5];

5.1. Основные результаты, выносимые на защиту

1. Построены две новых непараметрических модели стохастической динамики срочной структуры процентных ставок, сочетающих в себе достоинства динамических и статических подходов, а также обладающие другими свойствами, желательными для подобных моделей.

2. Для построенных моделей разработан численный метод оценки параметров по информации о дневных результатах торгов или о внутридневном их ходе. Наблюдения не обязаны быть точными (учитывается ошибка наблюдения), достоверными (учитывается потенциальная ненадёжность рыночных данных), полными (информация о части бумаг может отсутствовать) и могут быть разделены временными интервалами произвольной, не обязательно равной, длины. Разработанный метод позволяет оценить как собственно компоненты волатиль-ности, так и их количество.

3. Разработан трёхуровневый программный комплекс, включающий средства для:

• оценки параметров используемых моделей;

• оперативной калибровки параметров по поступающей информации;

• расчётов по модели;

• оперативных приближённых расчётов.

Самая вычислительно ёмкая часть — оценка параметров — реализована с использованием технологий параллельного программирования для повышения быстродействия.

5.2. Направления для продолжения исследований

По результатам проведённых исследований можно выделить несколько ключевых направлений для дальнейших работ:

• Разработка метода оценки производных финансовых инструментов по моделям и использования информации об их котировках для калибровки моделей.

• Построение оценки максимального правдоподобия для параметров регуляризации: уровня желаемой гладкости а и выбора границы отсечения вейвлет-базиса И'.

• Расширение модели на случай случайных моментов наблюдения т8.

• Разработка автономного программного комплекса, использующего рыночную информацию для калибровки и обсчёта моделей в автоматическом режиме.

• Интеграция в модели более сложного количественного описания ликвидности рынка.

• Учёт дискретности и кластеризации котировок в духе работы [214].

• Более полная обработка доступных данных по торгах на рынке ММВБ с целью выявления новых закономерностей.

• Расчёты по данным с других торговых площадок (в т.ч. зарубежных).

1. А. Балабушкин, Г. Гамбаров, И. Шевчук. Оценка срочной структуры процентных ставок // Рынок ценных бумаг.— 2004.— № 11.— С. 44-52.

2. В.А. Лапшин. Определение срочной структуры процентных ставок // Вести, моек, ун-та . Сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика. 2009. — № 4. - С. 37-43.

3. В.А. Лапшин. Непараметрическая модель стохастической динамики процентных ставок // Вестн. РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. — 2009. — № 4. — С. 25-37.

4. В.А. Лапшин. О задачах, связанных с определением срочной структуры процентных ставок // Вестник молодых ученых "Ломоносов". — М.: Макс-пресс, 2006. Т. 3. - С. 66-71.

5. В.А. Лапшин. Построение бескупонной кривой доходности // Сборник статей молодых учёных факультета ВМиК МГУ. — М.: Изд. отд. ф-та ВМиК МГУ, 2006. Т. 3. - С. 92-98.

6. В. А. Лапшин. Об определении временной структуры процентных ставок // Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов". — М.: Изд. отд. ф-та ВМиК МГУ, 2006. С. 33-34.

7. В.А. Лапшин. Непараметрическая модель динамики срочной структуры процентных ставок // Материалы XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов". — М.: Изд. отд. ф-та ВМиК МГУ, 2009. С. 46.

8. В.А. Лапшин. Построение практической непараметрической модели динамики срочной структуры процентных ставок // Труды 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Т. 1. — М.: МФТИ, 2009. - С. 43-45.

9. С.Н. Смирнов, А.В. Косьяненко, В.А. Лапшин Программный комплекс построения бескупонных кривых доходности по группе облигаций различного кредитного качества // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2007614749 от 17.11.2007 г.

10. R. Rebonato. Term structure models: A review: Tech. rep.: Working paper, QUARC, 2003.

11. J. James, N. Webber. Interest Rate Modelling. — John Wiley & Sons ltd, 2000.

12. Q- Dai, K. Singleton. Fixed Income Pricing: Tech. rep.: Working paper, New York University, 2002.13l Q. Dai, K. Singleton. Term structure dynamics in theory and reality // Review of Financial Studies. — 2003. — Vol. 16, no. 3. — Pp. 631-678.

13. C. Castelli. The Theory of"Options"in Stocks and Shares. FC Math-ieson, 1877.

14. L. Bachelier. Théorie de la spéculation. — Gauthier-Villars Paris, 1900.

15. P.A. Samuelson. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Management Review. — 1965. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 13-31.

16. F. Black, M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of political economy. — 1973. — Vol. 81, no. 3. — Pp. 637-654.

17. R■ C. Merton. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics. 1973. - Vol. 4, no. 1. — Pp. 141-183.

18. F. Black. The pricing of commodity contracts // Journal of Financial Economics. 1976. - Vol. 3. — Pp. 167-179.

19. J■ Hull. Options, futures, and other derivatives. — Pearson Prentice Hall, 2008.

20. S.M. Schaefer. The problem with redemption yields // Financial Analysts Journal. 1977. - Vol. 33, no. 4. - Pp. 59-67.

21. Paul Doust. Relative Pricing Techniques In The Swaps And Options Markets // Journal of Financial Engineering. — 1995. — Vol. 4, no. 1. — Pp. 1-46.

22. O. Vasicek. An equilibrium characterization of the term structure // Journal of financial economics. — 1977. — Vol. 5, no. 2. — Pp. 177-188.

23. J.C. Cox, J.E. Ingersoll Jr, S.A. Ross. A Theory of the Term Structure of Interest Rates // Econometrica. — 1985. Vol. 53, no. 2. — Pp. 385-408.

24. Y. Ai't-Sahalia. Testing Continuous-Time Models of the Spot Interest Rate // Review of Financial Studies.— 1996.— Vol. 9, no. 2,— Pp. 385-426.

25. R. Garcia, P. Perron. An Analysis of the Real Interest Rate Under Regime Shifts // The Review of Economics and Statistics. — 1996. — Vol. 78, no. 1.- Pp. 111-125.

26. R. Bansal, H. Zhou. Term Structure of Interest Rates with Regime Shifts // The Journal of Finance.— 2002,— Vol. 57, no. 5.— Pp. 1997-2043.

27. A. Ang, G. Bekaert. Regime switches in interest rates // Journal of Business and Economic Statistics. — 2002. — Vol. 20, no. 2. — Pp. 163-182.

28. Q. Dai, K.J. Singleton. Expectation puzzles, time-varying risk premia, and affine models of the term structure // Journal of Financial Economics. 2002. - Vol. 63, no. 3. — Pp. 415-441.

29. R. Jagannathan, A. Kaplin, S. Sun. An evaluation of multi-factor CIR models using LIBOR, swap rates, and cap and swaption prices // Journal of Econometrics. 2003. - Vol. 116, no. 1-2. - Pp. 113-146.

30. G.R. Duffee. Term Premia and Interest Rate Forecasts in Affine Models // The Journal of Finance. 2002. - Vol. 57, no. 1. — Pp. 405-443.

31. R. Brown, S. Schaefer. The Term Structure of Real Interest Rates and the CIR Model // Journal of Financial Economics. — 1994. — Vol. 35. — Pp. 3-42.

32. R. Chen, L. Scott. ML Estimation for a Multifactor Equilibrium Model of the Term Structure // Journal of Fixed Income. — 1993. — Vol. 3. — Pp. 14-31.

33. R. Carmona, M. Tehranchi. Interest rate models: an infinite dimensional stochastic analysis perspective. — Springer Verlag, 2006.

34. J. Hull, A. White. Valuing Derivative Securities Using the Explicit Finite Difference Method // Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1990. Vol. 25, no. 1. - Pp. 87-100.

35. J. Hull, A. White. Bond option pricing based on a model for the evolution of bond prices // Advances in Futures and Options Research — 1993.— Vol. 6, no. 1. P. 13.

36. J. Hull, A. White. Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models I: single factor models // Journal of Derivatives. — 1994.— Vol. 2, no. l.-Pp. 7-16.

37. J. Hull, A. White. Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models II: two-factor models // Journal of Derivatives. — 1994. — Vol. 2, no. 2. Pp. 37-48.

38. T.S. Y. Ho, S. Lee. Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims. // Journal of Finance. — 1986. — Vol. 41, no. 5. — Pp. 1011-1029.

39. F. Black, E. Derman, W. Toy. A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond // Financial Analysts Journal. — 1990. Vol. 46, no. 1. - Pp. 33-39.

40. F. Black, P. Karasinski Bond and option pricing when short rates are lognormal // Financial Analysts Journal— 1991.— Vol. 47, no. 4.— Pp. 52-59.

41. M.J. Brennan, E.S. Schwartz. An Equilibrium Model of Bond Pricing and a Test of Market Efficiency // Journal of Financial and Quantitative Analysis.- 1982. Vol. 17, no. 3. - Pp. 301-329.

42. F.A. Longstaff, E.S. Schwartz. Interest Rate Volatility and the Term Structure: A Two-Factor General Equilibrium Model // The Journal of Finance. 1992. - Vol. 47, no. 4. - Pp. 1259-1282.

43. D. Heath, R. Jarrow, A. Morton. Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. 1992.- Vol. 16, no. 1. — Pp. 77-105.

44. A. Brace, M. Musiela. A multifactor Gauss Markov implementation of Heath, Jarrow, and Morton // Mathematical Finance. — 1994. — Vol. 4, no. 3. — Pp. 259-283.

45. B. Flesaker. Testing the Heath-Jarrow-Morton/Ho-Lee Model of Interest Rate Contingent Claims Pricing // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1993. — Vol. 28, no. 4. — Pp. 483-495.

46. R.A.J. Gibson, A.B. Sim, D.C. Thurston. Empirical Comparisons of One Factor Heath-Jarrow-Morton Term Structure Models // Working paper. 1995. - Vol. 79:1. - Pp. 1-19.

47. K.I. Amin, A.J. Morton. Implied volatility functions in arbitrage-free term structure models // Journal of Financial Economics. — 1994. — Vol. 35, no. 2. Pp. 141-180.

48. P. Ritchken, L. Sankarasubramanian. Volatility Structures Of Forward Rates And The Dynamics Of The Term Structure // Mathematical Finance. 1995. - Vol. 5, no. 1. - Pp. 55-72.

49. A. Li, P. Ritchken, L. Sankarasubramanian. Lattice Models for Pricing American Interest Rate Claims // The Journal of Finance. — 1995. — Vol. 50, no. 2.-Pp. 719-737.

50. K. Sandmann, D. Sondermann. On stability of lognormal interest rate models and the pricing of Eurodollar futures: Tech. rep.: University of Bonn Discussion Paper B-263, 1994.

51. B. Goldys, M. Musiela, D. Sondermann. Lognormality of rates and the term structure of interest rates // The University of NSW, Preprint. — 1994.

52. K.R. Miltersen, K. Sandmann, D. Sondermann. Closed Form Solutions for Term Structure Derivatives with Log-Normal Interest Rates // The Journal of Finance. 1997. - Vol. 52, no. 1. - Pp. 409-430.

53. A. Brace, D. Gatarek, M. Musiela. The market model of interest rate dynamics // Mathematical finance. — 1997. — Vol. 7, no. 2. — Pp. 127-155.

54. M. Musiela, M. Rutkowski. Continuous-time term structure models: Forward measure approach // Finance and Stochastics. — 1997. — Vol. 1, no. 4,- Pp. 261-291.

55. F. Jamshidian. Libor and swap market models and measures // Finance and Stochastics. 1997. — Vol. 1, no. 4. — Pp. 293-330.

56. M. Rutkowski, M. Musiela. Martingale methods in financial modeling. — Springer New York, 1997.

57. R. Rebonato. Interest Rate Option Models, 2nd edition. — Wiley, 1998.

58. D. Filipovic. Consistency problems for Heath-Jarrow-Morton interest rate models. — Springer, 2001.

59. L.B.G. Andersen, R. Brotherton-Ratcliffe. Extended LIBOR market models with stochastic volatility // Journal of Computational Finance. — 2005. Vol. 9, no. 1. - Pp. 1-40.

60. M. Joshi, R. Rebonato. A stochastic-volatility, displaced-diffusion extension of the LIBOR market model // Quantitative Finance.— 2003.— Vol. 3. Pp. 458-469.

61. E. Eberlein, F. Ozkan. The Levy LIBOR model // Finance and Stochas-tics. 2005. - Vol. 9, no. 3. - Pp. 327-348.

62. C. Lotz, L. Schlogl. Default risk in a market model // Journal of Banking and Finance. 2000. — Vol. 24, no. 1. — Pp. 301-327.

63. P. Schdnbucher. A Libor Market Model with Default Risk: Tech. rep., Swiss Federal Institute of Technology Zurich Department of Mathematics: Working paper, 2000. http://ssrn.com/abstract=261051.

64. H. Yan. Dynamic models of the term structure // Financial Analysts Journal. 2001. - Vol. 57, no. 4. - Pp. 60-76.

65. GM Constantinides. A theory of the nominal term structure of interest rates // Review of Financial Studies. — 1992. — Vol. 5, no. 4. — Pp. 531-552.

66. L.C.G. Rogers. The potential approach to the term structure of interest rates and foreign exchange rates // Mathematical Finance. — 1997. — Vol. 7, no. 2.- Pp. 157-176.

67. P. Glasserman, X. Zhao. Arbitrage-free discretization of lognormal forward Libor and swap rate models // Finance and Stochastics. — 2000. — Vol. 4, no. 1,- Pp. 35-68.

68. M.J. Brennan, E.S. Schwartz. A continuous time approach to the pricing of bonds // Journal of Banking and Finance. — 1979. — Vol. 3, no. 2. — Pp. 133-155.

69. S.M. Schaefer, E.S. Schwartz. A Two-Factor Model of the Term Structure: An Approximate Analytical Solution // Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1984. — Vol. 19, no. 4. — Pp. 413-424.

70. J. Rhee. Interest Rate Models: Ph.D. thesis / University of Warwick. — 1999.

71. D.R. Beaglehole, M.S. Tenney. General solutions of some interest rate-contingent claim pricing equations // The Journal of Fixed Income. — 1991. — no. September 1991. Pp. 69-83.

72. F. Jamshidian. Bond, futures and option evaluation in the quadratic interest rate model // Applied Mathematical Finance. — 1996. — Vol. 3, no. 2,- Pp. 93-115.

73. J. Akahori, K. Hara. Lifting quadratic term structure models to infinite dimension // Mathematical Finance. — 2006. — Vol. 16, no. 4. — Pp. 635-645.

74. J. V. Jordan. Studies in direct estimation of the term structure: Ph.D. thesis / University of North Carolina at Chapel Hill. — 1980.

75. D.A. Chapman, N.D. Pearson. Recent advances in estimating term-structure models // Financial Analysts Journal— 2001.— Vol. 57, no. 4.— Pp. 77-95.

76. E.F. Fama, R.R. Bliss. The Information in Long-Maturity Forward Rates // The American Economic Review. — 1987. — Vol. 77, no. 4. — Pp. 680-692.

77. W.T. Carleton, I.A. Cooper. Estimation and Uses of the Term Structure of Interest Rates // The Journal of Finance. — 1976. — Vol. 31, no. 4. — Pp. 1067-1083.

78. C. Gourieroux, O. Scaillet. Estimation of the term structure from bond data: CEPREMAP Working Papers (Couverture Orange) 9415: CEPREMAP, 1994. http://ideas.repec.Org/p/cpm/cepmap/9415. html.

79. K.J. Cohen, R.L. Kramer, W.H. Waugh, Regression Yield Curves for US Government Securities // Management Science. — 1966. — Vol. 13, no. 4. Pp. B168-B175.

80. D. Fisher. Expectations, the term structure of interest rates, and recent British experience // Economica.— 1966.— Vol. 33, no. 131.— Pp. 319-329.

81. M.E. Echols, J. W. Elliott. A Quantitative Yield Curve Model for Estimating the Term Structure of Interest Rates // Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1976. — Vol. 11, no. 1. — Pp. 87-114.

82. I. Cooper. Asset Values, Interest-Rate Changes, and Duration // Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1977.— Vol. 12, no. 5.— Pp. 701-723.

83. C.R. Nelson, A.F. Siegel. Parsimonious modeling of yield curves // Journal of business. 1987. - Vol. 60, no. 4. - Pp. 473-489.

84. T.S. Coleman, L. Fisher, R.G. Ibbotson. Estimating the term structure of interest rates from data that include the prices of coupon bonds // The Journal of Fixed Income. — 1992. — no. September 1992.

85. D.R. Chambers, W.T. Carleton, D.W. Waldman. Estimation of the Term Structure of Interest Rates Using a Simple Polynomial // Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1984. — Vol. 19, no. 3. — Pp. 233-252.

86. J. Wiseman. The exponential yield curve model: Tech. rep.: JP Morgan,1994.

87. L.E.O. Svensson. Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992 1994: Working Paper 4871: National Bureau of Economic Research, 1994. — September, http: //www. nber. org/papers/w4871.

88. J.H. McCulloch. Measuring the Term Structure of Interest Rates // The Journal of Business. — 1971. — Vol. 44, no. 1. — Pp. 19-31.

89. J.H. McCulloch. The Tax-Adjusted Yield Curve // The Journal of Finance. — 1975. — Vol. 30, no. 3. Pp. 811-830.

90. G.S. Shea. Pitfalls in Smoothing Interest Rate Term Structure Data: Equilibrium Models and Spline Approximations // Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1984. — Vol. 19, no. 3. — Pp. 253-269.

91. R.H. Litzenberger, J. Rolfo. An International Study of Tax Effects on Government Bonds // The Journal of Finance. — 1984. — Vol. 39, no. 1. — Pp. 1-22.

92. J.M. Steeley. Estimating the gilt-edged term structure: basis splines and confidence intervals // Journal of Business Finance & Accounting. — 1991. Vol. 18, no. 4. - Pp. 513-529.

93. O.A. Vasicek, H.G. Fong. Term Structure Modeling Using Exponential Splines // The Journal of Finance.— 1982.— Vol. 37, no. 2.— Pp. 339-348.

94. K. Adams, D. van Deventer. Fitting yield curves and forward rate curves with maximum smoothness // The Journal of Fixed Income. — 1994. — Vol. 4, no. 1. Pp. 52-62.

95. D.F. Waggoner. Spline methods for extracting interest rate curves from coupon bond prices: Tech. rep.: Federal Reserve Bank of Atlanta, 1997.

96. S.N. Smirn'ov, A. V. Zakharov. A Liquidity-Based Robust Spline Fitting of Spot Yield Curve Providing Positive Forward Rates: Tech. rep.: European Bond Commission Working Paper, 2003.

97. M. Li, Y. Yu. Estimating the Interest Rate Term Structures of Treasury and Corporate Debt with Bayesian Penalized Splines // Journal of Data Science. 2005. — Vol. 3. - Pp. 223-240.

98. M. Li, Y. Yu. A Robust Approach to the Interest Rate Term Structure Estimation // Journal of Data Science. — 2006. Vol. 4. — Pp. 169-188.

99. P.H. Dybvig, J.E. Ingersoll Jr, S.A. Ross. Long Forward and Zero-Coupon Rates Can Never Fall // The Journal of Business. — 1996. — Vol. 69, no. 1. Pp. 1-25.

100. F. Hubalek, I. Klein, J. Teichmayn. A general proof of the Dybvig-Inger-soll-Ross-Theorem: Long forward rates can never fall // Mathematical Finance. 2002. - Vol. 12, no. 4. - Pp. 447-451.

101. T. Bjork, B.J. Christensen. Interest rate dynamics and consistent forward rate curves // Mathematical Finance. — 1999. — Vol. 9, no. 4. — Pp. 323-348.

102. D. Filipovic. A Note on the Nelson-Siegel Family // Mathematical Finance. — 1999. Vol. 9, no. 4. — Pp. 349-359.

103. D. Filipovic. Exponential-Polynomial Families and the Term Structure of Interest Rates // Bernoulli. — 2000. — Vol. 6, no. 6. Pp. 1081-1107.

104. T. Bjork, L. Svensson. On the existence of finite-dimensional realizations for nonlinear forward rate models // Mathematical Finance.— 2001.— Vol. 11, no. 2.-Pp. 205-243.

105. D. Filipovic, J. Teichmann. Existence of invariant manifolds for stochastic equations in infinite dimension // Journal of Functional Analysis. — 2003. — Vol. 197, no. 2. Pp. 398-432.

106. J.H.E. Christensen, F.X. Diebold, G.D. Rudebusch The Affine Arbitrage-Free Class of: Nelson-Siegel Term Structure Models: Working Paper 13611: National Bureau of Economic Research, 2007. — November, http://www.nber.org/papers/wl3611.

107. О. Карнаухова. — Математические модели срочной структуры процентной ставки и арбитраж. — Дипломная работа, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008.

108. Zero-Coupon Yield Curves: Technical Documentation: Tech. Rep. 25, Bank for International Settlements. — Basel: Bank for International Settlements, Monetary and Economic Department, 2005.

109. G. Da Prato, J. Zabczyk. Stochastic equations in infinite dimensions.— Cambridge University Press, 1992.

110. Ю.Л. Далецкий, C.B. Фомин. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. — М.: Наука, 1983.

111. В.И. Богачев. Гауссовские меры. — М.: Наука, 1997.

112. М. Yor. Existence et unicité de diffusions à valeurs dans un espace de Hilbert // Ann. Inst. Henri Poincaré, Nouv. Sér., Sect. В. — 1974. — Vol. 10. Pp. 55-88.

113. M. Livingston, S. Jain. Flattening of Bond Yield Curves for Long Maturities // Journal of Finance. — 1982, — Vol. 37, no. 1. — Pp. 157-167.

114. C. Chiarella, H. Hung, T.D. Tô. The volatility structure of the fixed income market under the HJM framework: a nonlinear filtering approach // Computational Statistics and Data Analysis. — 2009. — Vol. 53, no. 6. — Pp. 2075-2088.

115. B. Goldys, M. Musiela, D. Sondermann. Lognormality of rates and term structure models // Stochastic Analysis and Applications. — 2000. — Vol. 18, no. 3. Pp. 375-396.

116. P. Cheridito, D. Filipovic, R.L. KimmeL Market price of risk specifications for affine models: Theory and evidence // Journal of Financial Economics.— 2007. — Vol. 83, no. 1.- Pp. 123-170.

117. A. W. Whitney. The theory of experience rating. — 1918. — Vol. 4, no. 9. — Pp. 274-292.

118. B. Liu. A survey of credibility theory // Fuzzy Optimization and Decision Making. 2006. - Vol. 5, no. 4. - Pp. 387-408.

119. T.N. Herzog. Introduction to credibility theory. — ACTEX Publications, 1999.

120. H. Biihlmann, A. Gisler. A course in credibility theory and its applications. — Springer Verlag, 2005.

121. A.H. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979.

122. I. Shoji, Т. Ozaki. Estimation for nonlinear stochastic differential equations by a local linearization method // Stochastic Analysis and Applications. — 1998. Vol. 16, no. 4. - Pp. 733-752.

123. Y. A'it-Sahalia. Closed-Form Likelihood Expansions for Multivariate Diffusions // The Annals of Statistics.— 2008.— Vol. 36, no. 2.— Pp. 906-937.

124. S.G. Mallat. Multiresolution Approximations and Wavelet Orthonormal Bases of L2(R) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1989. Vol. 315, no. 1. - Pp. 69-87.

125. И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. — 1997. — Т. 3, № 4. — С. 999-1028.

126. В. Vidakovic. Statistical modeling by wavelets. — Wiley Series in Probability and Statistics, 1999.

127. Н.Н. Ченцов. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. — М.: Наука, 1972.

128. Б. С. Дарховский. О стохастической задаче восстановления // Теория вероятностей и ее применения. — 1998. — Т. 43, № 2. — С. 357-364.

129. Б. С. Дарховский. Новый подход к стохастической задаче восстановления // Теория вероятностей и ее применения — 2004. — Т. 49, № 1,- С. 36-53.

130. P.L. Falb. Infinite-dimensional filtering: The Kalman-Bucy filter in Hilbert space // Information and Control — 1967.— Vol. 11, no. 1-2.— Pp. 102-137.

131. A. Germani, L. Jetto, M. Piccioni. Galerkin approximation of optimal linear filtering of infinite-dimensional linear systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 1988. - Vol. 26, no. 6. - Pp. 1287-1305.

132. Ruth Curtain. A Survey of Infinite-Dimensional Filtering // SIAM Review.— 1975. —Vol. 17, no. 3.—Pp. 395-411. http://www.jstor.org/ stable/2028882.

133. J.N. Nielsen, H. Madsen, P.C. Young. Parameter estimation in stochastic differential equations: an overview // Annual Reviews in Control. — 2000. Vol. 24. - Pp. 83-94.

134. A.S. Hurn, J.I. Jeisman, K.A. Lindsay. Seeing the Wood for the Trees: A Critical Evaluation of Methods to Estimate the Parameters of Stochastic Differential Equations // Journal of Financial Econometrics. — 2007. — Vol. 5, no. 3.- Pp. 390-455.

135. A.W. Lo. Maximum Likelihood Estimation of Generalized Ito Processes with Discretely Sampled Data // Econometric Theory. — 1988. — Vol. 4, no. 2. Pp. 231-247.

136. A.S. Hurn, K.A. Lindsay. Estimating the parameters of stochastic differential equations // Mathematics and computers in simulation — 1999. — Vol. 48, no. 4.- Pp. 373-384.

137. B. Jensen, R. Poulsen. Transition densities of diffusion processes: Numerical comparison of approximation techniques // The Journal of Derivatives. 2002. - Vol. 9. - Pp. 18-32.

138. L. Broze, 0. Scaillet, J.M. Zakoian. Quasi-indirect inference for diffusion processes // Econometric Theory.— 1998.— Vol. 14, no. 02.— Pp. 161-186.

139. O. Elerian. A note on the existence of a closed form conditional transition density for the Milstein scheme: Tech. rep.: Nuffield College, Oxford University, 1998.

140. G.B. Durham, A.R. Gallant. Numerical techniques for maximum likelihood estimation of continuous-time diffusion processes // Journal of Business and Economic Statistics. — 2002. — Vol. 20, no. 3.— Pp. 297-338.

141. Y. Ait-Sahalia. Transition Densities for Interest Rate and Other Nonlinear Diffusions // The Journal of Finance.— 1999.— Vol. 54, no. 4.— Pp. 1361-1395.

142. Y. Ait-Sahalia. Maximum Likelihood Estimation of Discretely Sampled Diffusions: A Closed-Form Approximation Approach // Econometrica. — 2002. Vol. 70, no. 1. - Pp. 223-262.

143. A.R. Pedersen. A new approach to maximum likelihood estimation for stochastic differential equations based on discrete observations // Scandinavian journal of statistics. — 1995. — Vol. 22, no. 1. — Pp. 55-71.

144. M.W. Brandt, P. Santa-Clara. Simulated likelihood estimation of diffusions with an application to exchange rate dynamics in incomplete markets // Journal of Financial Economics.— 2002.— Vol. 63, no. 2.— Pp. 161-210.

145. A.S. Hum, K.A. Lindsay, V.L. Martin. On the efficacy of simulated maximum likelihood for estimating the parameters of stochastic differential equations // Journal of Time Series Analysis. — 2003. — Vol. 24, no. 1. — Pp. 45-63.

146. O. Elerian, S. Club, N. Shephard. Likelihood Inference for Discretely Observed Nonlinear Diffusions // Econometrica. ~~ 2001. — Vol. 69, no. 4. — Pp. 959-993.

147. M.H. Chen, Q.M. Shao, J.G. Ibrahim Monte Carlo methods in Bayesian computation. — Springer, 2000.

148. P. Congdon. Applied Bayesian Modelling. — John Wiley & Sons Inc, 2003.

149. O. Haggstrom. Finite Markov chains and algorithmic applications. — Cambridge University Press, 2002.

150. B. Eraker. MCMC analysis of diffusion processes with application to finance // Journal of Business & Economic Statistics. — 2001. — Vol. 19. — Pp. 177-191.

151. G.O. Roberts, 0. Stramer. On inference for partially observed nonlinear diffusion models using the Metropolis-Hastings algorithm // Biometri-ka.- 2001,- Vol. 88, no. 3,- Pp. 603-621.

152. S. Chib, F. Nardari, N. Shephard. Markov chain Monte Carlo methods for stochastic volatility models // Journal of Econometrics. — 2002. — Vol. 108, no. 2.- Pp. 281-316.

153. E. Jacquier, N.G. Poison, P.E. Rossi Bayesian analysis of stochastic volatility models with fat-tails and correlated errors // Journal of Econometrics. 2004. - Vol. 122, no. 1. - Pp. 185-212.

154. K. Kalogeropoulos. Likelihood-based inference for a class of multivariate diffusions with unobserved paths // Journal of Statistical Planning and Inference. 2007. - Vol. 137, no. 10. - Pp. 3092-3102.

155. A. Golightly, D.J. Wilkinson. Bayesian sequential inference for nonlinear multivariate diffusions // Statistics and Computing. — 2006. — Vol. 16, no. 4. Pp. 323-338.

156. F. Altissimo, A. Meie. Simulated Non-Parametric Estimation of Dynamic Models // Review of Economic Studies. — 2009.— Vol. 76, no. 2.— Pp. 413-450.

157. L.P. Hansen. Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators // Econometrica. — 1982. — Vol. 50, no. 4. — Pp. 1029-1054.

158. L.P. Hansen, J. Heaton, A. Yaron. Finite-Sample Properties of Some Alternative GMM Estimators // Journal of Business & Economic Statistics.— 1996.- Vol. 14, no. 3,- Pp. 262-280.

159. L.P. Hansen, J.A. Scheinkman. Back to the Future: Generating Moment Implications for Continuous-Time Markov Processes // Econometrica. — 1995. Vol. 63, no. 4. - Pp. 767-804.

160. KC Chan, G.A. Karolyi, F.A. Longstaff, A.B. Sanders. An empirical comparison of alternative models of the short-term interest rate // Journal of Finance. 1992. - Vol. 47, no. 3. - Pp. 1209-1227.

161. C. Gourieroux, A. Monfort, E. Renault Indirect Inference // Journal of Applied Econometrics. — 1993. — Vol. 8. — Pp. S85-S118.

162. A.R. Gallant, G. Tauchen. Which Moments to Match? // Econometric Theory. 1996. - Vol. 12, no. 4. - Pp. 657-681.

163. K.J. Singleton. Estimation of affine asset pricing models using the empirical characteristic function // Journal of Econometrics.— 2001.— Vol. 102, no. 1.- Pp. 111-141.

164. G.J. Jiang, J.L. Knight. Estimation of continuous-time processes via the empirical characteristic function // Journal of Business and Economic Statistics. 2002. - Vol. 20, no. 2. - Pp. 198-212.

165. G. Chacko, L.M. Viceira. Spectral GMM estimation of continuous-time processes // Journal of Econometrics. — 2003.— Vol. 116, no. 1-2.— Pp. 259-292.

166. M. Kessler, M. Sßrensen. Estimating equations based on eigenfunc-tions for a discretely observed diffusion process // Bernoulli. — 1999. — Pp. 299-314.

167. M. Pritsker. Nonparametric density estimation and tests of continuous time interest rate models // Review of Financial Studies. — 1998. — Vol. 11, no. 3.- Pp. 449 487.

168. E. Gobet, M. Hoffmann, M. Reiß. Nonparametric estimation of scalar diffusions based on low frequency data // Annals of Statistics. — 2004. — Vol. 32, no. 5. Pp. 2223-2253.

169. S. Chib, F. Nardari, N. Shephard. Analysis of high dimensional multivariate stochastic volatility models // Journal of Econometrics. — 2006. Vol. 134, no. 2,- Pp. 341-371.

170. O. Papaspiliopoulos, G.O. Roberts, M. Skold A General Framework for the Parametrization of Hierarchical Models // Statistical Science. — 2007. Vol. 22, no. 1. - Pp. 59-73.

171. N. Metropolis, S. Ulam. The monte carlo method // Journal of the American Statistical Association. — 1949. — Vol. 44, no. 247.— Pp. 335-341.

172. N. Metropolis, A.W. Rosenbluth, M.N. Rosenbluth et al. Equation of state calculations by fast computing machines // The journal of chemical physics. 1953. - Vol. 21, no. 6. — P. 1087.

173. W.K. Hastings. Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications // Biometrika. — 1970. — Pp. 97-109.

174. S. Chib, E. Greenberg. Understanding the metropolis-hastings algorithm // The American Statistician. — 1995. — Vol. 49, no. 4. — Pp. 327-335.

175. S. Chib, E. Greenberg. Markov Chain Monte Carlo Simulation Methods in Econometrics // Econometric Theory. — 1996. — Vol. 12, no. 3. — Pp. 409-431.

176. J.S. Liu, F. Liang, W.H. Wong. The Multiple-Try Method and Local Optimization in Metropolis Sampling // Journal of the American Statistical Association. — 2000. — Vol. 95, no. 449.- Pp. 121-134.

177. W. R. Gilks, G. O. Roberts, E. I. George. Adaptive Direction Sampling // Journal of the Royal Statistical Society. Series D (The Statistician).— 1994. Vol. 43, no. 1. - Pp. 179-189.

178. W.R. Gilks, S. Richardson, DJ Spiegelhaltcr. Markov chain Monte Carlo in practice. — Chapman & Hall/CRC, 1996.

179. L. Bauwens, C.S. Bos, H.K. van Dijk, R.D. van Oest Adaptive radial-based direction sampling: some flexible and robust Monte Carlo integration methods // Journal of Econometrics. — 2004. — Vol. 123, no. 2. — Pp. 201-225.

180. W.R. Gilks, P. Wild. Adaptive Rejection Sampling for Gibbs Sampling // Applied Statistics. 1992. - Vol. 41, no. 2. — Pp. 337-348.

181. W.R. Gilks, N.G. Best, K.K.C. Tan. Adaptive Rejection Metropolis Sampling within Gibbs Sampling // Applied Statistics. — 1995. — Vol. 44, no. 4. Pp. 455-472.

182. A. P. Dempster, N.M. Laird, D.B. Rubin. Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algorithm // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). — 1977. — Vol. 39, no. 1.— Pp. 1-38.

183. M.A. Tanner, W.H. Wong. The Calculation of Posterior Distributions by-Data Augmentation // Journal of the American Statistical Association — 1987. Vol. 82, no. 398. - Pp. 528-540.

184. D.A. van Dyk, X.L. Meng. The Art of Data Augmentation // Journal of Computational and Graphical Statistics. — 2001.— Vol. 10, no. 1.— Pp. 1-50.

185. C.S. Jones. Bayesian estimation of continuous-time finance models: Tech. rep.: Working paper, Rochester University, 1998.

186. C.S. Jones. A Simple Bayesian Method for the Analysis of Diffusion Processes // SSRN eLibrary.— 1998. http://ssrn.com/paper=l 11488.

187. B. Ghosh-Dastidar, J.L. Schafer. Multiple edit/multiple imputation for multivariate continuous data // Journal of the American Statistical Association. 2003. - Vol. 98, no. 464. - Pp. 807-817.

188. J.K. Sankaran. A note on resolving infeasibility in linear programs by constraint relaxation // Operations research letters. — 1993. — Vol. 13, no. 1, — Pp. 19-20.

189. N. Chakravarti. Some results concerning post-infeasibility analysis // European journal of operational research.— 1994.— Vol. 73, no. 1.— Pp. 139-143.

190. E. Amaldi, V. Kann. The complexity and approximability of finding maximum feasible subsystems of linear relations // Theoretical Computer Science. 1995. - Vol. 147, no. 1-2. - Pp. 181-210.

191. E. Amaldi, M.E. Pfetsch, L.E. Trotter, Jr. On the maximum feasible subsystem problem, IISs and HS-hypergraphs // Mathematical Programming. — 2003. Vol. 95, no. 3. - Pp. 533-554.

192. E. Amaldi, М. Bruglieri, G. Casale. A two-phase relaxation-based heuristic for the maximum feasible subsystem problem // Computers and Operations Research. — 2008. — Vol. 35, no. 5. — Pp. 1465-1482.

193. M. Parker, J. Ryan. Finding the minimum weight IIS cover of an infeasi-ble system of linear inequalities // Annals of Mathematics and Artificial Intelligence. — 1996. — Vol. 17, no. 1. Pp. 107-126.

194. J. W. Chinneck. Fast heuristics for the maximum feasible subsystem problem // INFORMS Journal on Computing. — 2001.— Vol. 13, no. 3. — Pp. 210-223.

195. J. W. Chinneck. An effective polynomial-time heuristic for the minimum-cardinality IIS set-covering problem // Annals of Mathematics and Artificial Intelligence. 1996. - Vol. 17, no. 1. - Pp. 127-144.

196. J. W. Chinneck. Feasibility and infeasibility in optimization: algorithms and computational methods. — Springer Verlag, 2007.

197. C.H. Черников. Линейные неравенства. — M.: Наука, 1968.

198. Н.Н. Катериночкина. Поиск максимального верхнего нуля монотонной функции алгебры логики // Доклады АН СССР.— 1975.— Т. 224, № 3. С. 557-560.

199. Н.Н. Катериночкина. Методы выделения максимальной совместной подсистемы системы линейных неравенств.— М.: Вычислительный центр РАН, 1997.

200. Т.Н. Cormen, С.Е. Leiserson, R.L. Rivest, С. Stein Introduction to algorithms. — MIT press, 2001.

201. D. Backus, S. Foresi, S. Zin. Arbitrage Opportunities in Arbitrage-Free Models of Bond Pricing // Journal of Business & Economic Statistics. — 1998. Vol. 16, no. 1. - Pp. 13-26.

202. E. Canabarro. Wher do One-Factor Interest Rate Models Fail? // The Journal of Fixed Income. — 1995. — Vol. 5, no. 2. — Pp. 31-52.

203. Market Liquidity: Research Findings and Selected Policy Implications: Tech. Rep. 11, Bank for International Settlements.— Basel: Bank for International Settlements, Committee on the Global Financial System, 1999.

204. P. Gomber, U. Schweickert. The Market Impact-Liquidity Measure in Electronic Securities Trading // Die Bank. — 2002. — Vol. 7.

205. A. Bangia, F.X. Diebold, T. Schuermann, J.D. Stroughair. Modeling Liquidity Risk // Risk. 1999,- Vol. 12, no. 1.

206. A. Bervas. Market liquidity and its incorporation into risk management: Tech. rep. — Paris: Banque de France, 2006.

207. C. Ernst, S. Stange, С. Kaserer. Measuring market liquidity risk: which model works best?: Tech. rep. — München: Center for Entrepreneurial and Financial Studies, Technische Universität München, 2009.

208. B.B. Наумепко. Моделирование риска рыночной ликвидности с учетом глубины рынка. Серия препринтов ГУ-ВШЭ WP16/2007/04.— М.: ГУ-ВШЭ, 2007.

209. J. Hasbrouck. Security bid/ask dynamics with discreteness and clustering: Simple strategies for modeling and estimation // Journal of Financial Markets. 1999. - Vol. 2, no. 1. - Pp. 1-28.