автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные многоэкстремальные модели функционирования банков

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им С Л СОБОЛЕВА

На правах рукописи

ОРОЗБЕКОВ Нурлан Аскарович

НЕЛИНЕЙНЫЕ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БАНКОВ

Специальность 05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003445342

Новосибирск 2008

003445342

Работа выполнена в Институте математики им СЛ. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель кандидат технических наук,

старший научный сотрудник С М Анцыз

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор С.С Кутателадзе

Защита состоится 19 июня 2008 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу. 630090, г Новосибирск, пр Академика Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Института математики им С.Л Соболева СО

доктор физико-математических наук, профессор С.С Артемьев

Ведущая организация- Институт экономики и организации

промышленного производства СО РАН

РАН

Автореферат разослан мая 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного к.ф -м н.

В.Л. Мирошниченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Построение математических моделей для оптимизации как отдельных процессов, так и функционирования банка в целом является одним из динамично развивающихся направлений в теории математического моделирования сложных экономических систем Актуальность данного направления вызвана усилением конкуренции на банковском рынке, что заставляет менеджеров обращаться к математическим моделям как к источникам получения дополнительной информации, на основе которой вырабатываются управленческие решения

Первой работой, открывающей математическую теорию банковского дела, считается исследование Ф Эджворта [1], опубликованное в 1888 г Число новых работ, описывающих различные сферы деятельности банков и использующих широкий спектр математического инструментария, ежегодно возрастает Анализ эволюции и развития математической теории банков, приводимый в [2], включает более 60 наименований научных исследований зарубежных авторов Из российских исследователей нужно выделить работы А А Петрова, М.В Антонова, С С. Артемьева, И В Вишнякова, С М Гуриева, Н Е Егоровой, И Г Поспелова, А А Шананина, и др

Как правило, в работах исследователи обращают внимание на два аспекта 1) оптимизацию процесса привлечения средств банком и 2) оптимизацию кредитного портфеля Причем рассматриваются вопросы нахождения либо оптимальных ставок, либо оптимальной структуры кредитного или депозитного портфелей К примеру, в [3] ставится задача нахождения оптимальных ставок при детерминированных функциях объема депозитов клиентов и объема инвестиционных вложений банка

В настоящей работе предлагается новый подход к моделированию банковской деятельности, который позволяет определять одновременно и оптимальную ставку процента и оптимальную структуру активов или пассивов банка, что подтверждает актуальность проведенных исследований

Целью диссертационной работы является построение нелинейных многоэкстремальных моделей, позволяющих оптимизировать процессы вложения и привлечения средств банком, и разработка эффективных алгоритмов для решения возникающих в этих моделях задач математического программирования

Методы исследования Основными инструментами исследования являются теория двойственности и другие методы математического программирования, методы исследования операций, аппарат математического анализа и линейной алгебры

Научная новизна работы состоит в следующем.

1 Построена оптимизационная модель, позволяющая одновременно определять оптимальные значения ссудной ставки процента и объемы отдельных активов

2 Разработан эффективный алгоритм решения возникающей в этой модели многоэкстремальной задачи. Алгоритм основан на редукции исходной нелинейной задачи в последовательность задач линейного программирования малой размерности

3 Для базовой нелинейной задачи предложен робастный алгоритм, позволяющий найти решение, устойчивое к изменениям внешних параметров

4 Построена и исследована задача оптимизации активов для нового банка на действующем рынке, где уже функционируют другие банки.

Теоретическая значимость результатов исследования состоит в том, что для выявленного класса задач нелинейного программирования предложен эффективный алгоритм решения, трудоемкость которого линейно зависит от числа переменных

Практическая ценность данной работы заключается в возможности использования полученных результатов для разработки рациональных стратегий функционирования субъектов финансового рынка.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях- Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические

приложения" (Омск, 2003 г), IV и V Всероссийские конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003г, Новосибирск, 2004 г), ХЫ1 и ХЫН Международные научные студенческие конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2004-2005 гг.), Российская конференция "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2004 г), XIII Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" и Всероссийская конференция "Равновесные модели в экономике и энергетике" (Иркутск-Северобайкальск, 2005 г), Российская конференция "Математика в современном мире" (Новосибирск, 2007 г)

Результаты работы обсуждались на семинарах математико-экономического отдела ИМ СО РАН, на семинаре отдела теоретической кибернетики ИМ СО РАН, на семинаре лаборатории вычислительной физики ИВМиМГ СО РАН, а также на общеинститутском математическом семинаре ИМ СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 15 работах, список которых приводится в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения Общий объем работы составляет 97 страниц, включая библиографический список из 87 наименований Работа содержит 7 рисунков и 3 таблицы

Содержание работы

Во введении отмечена актуальность исследуемой темы и приводится краткий обзор результатов, полученных российскими и зарубежными авторами в данной области Обзор проводится по двум критериям 1) по математическому аппарату, используемому в исследованиях, 2) по видам банковских операций, описываемых рассматриваемыми моделями

Предлагается минимальный набор требований, которому должны удовлетворять модели функционирования банков и

некоторых других субъектов финансового рынка. В конце введения изложено краткое содержание работы.

Первая глава посвящена изучению базовой задачи оптимизации активов.

В разделе 1.1 формулируется задача оптимизации активов банка Предполагается, что на финансовом рынке действует один коммерческий банк Так как он является монополистом, ссудная ставка назначается, исходя из критерия максимизации его прибыли.

Предполагается, что активы банка разделены на ликвидные и доходные активы. В качестве ликвидных активов банка обычно используются государственные облигации. Такие активы считаются безрисковыми и низкодоходными Процентные ставки по ним известны. В качестве доходных активных операций банка в конструируемой модели рассматриваются рисковые, высокодоходные кредитные операции с клиентами-предприятиями (и/или физическими лицами). Единая ссудная ставка за доходные активы неизвестна и требует определения Нахождению подлежат и объемы денежных средств, размещаемые банком как в ликвидные, так и в доходные активы Таким образом, задача определения объемов отдельных активов банка и нахождении единой процентной ставки по кредитам, исходя из принципа максимизации прибыли, формулируется в следующем виде-

(1)

ге/1

(2)

ге/12 »е.Гп

О < хг < Ф„ г 6 /ц;

(3)

хг > 0, г е 1\2

(4)

(у - аг)хг < О, г е 1п;

(5)

te/i2

> СгХг + у } xt —> max

»е/п

(6)

где 5 - объем денежных средств банка, 1\ = /ц и 1у2 - множество номеров всевозможных активов, 1ц = {1,2,..,ЛГ} - множество номеров доходных активов, 1\2 = {N+1, N+2, ...,N1}- множество номеров ликвидных активов, хг - объем вложений банка в г-тый актив (г 6 1\), 1\ - коэффициент ликвидности (¿1 € [0,1]), Ф, -объем средств, запрашиваемый г-тым заемщиком (г € 1ц), аг -уровень ставки процента, при которой г-тый клиент может взять кредит (г € 1ц), у - единая ссудная ставка процента, Сг - ставка процента по ликвидным активам (г 6 /12)-

Заметим, что в этой задаче (в дальнейшем будем называть ее базовой) ограничения (1) - (4) - линейные, а ограничение (5) и целевая функция (6) - нелинейные.

В разделе 1.3 предлагается эффективный алгоритм решения базовой задачи Для этого рассматривается следующий функционал:

где Х(у) - множество допустимых значений системы (1) - (5) при фиксированном значении у.

Вводится обозначение с0 = тах{сг}

Далее изучается поведение F{y) в зависимости от значения переменной у, пробегающей положительную полуось, на которой отложены величины ai,Q!2, ••,аjv.

В результате установлены следующие факты.

Утверждение 1.1. Пусть адг < с0. Тогда функция F(y) принимает постоянное значение при у £ [0, +оо).

Обозначим аббревиатурой ЛП{к}(у) следующую задачу линейного программирования определить переменные хг для г € Ii такие, что выполняются условия (1) - (4), условия хг = 0, если

12

г = 1, , к - 1, и достигается максимум линейной формы

N

СгХг +уУ]хг 16/12 г=к

Утверждение 1.2. Пусть < у < а/с (к = 2, хг (г 6 /а) - оптимальное решение задачи ЛП{к}{а^-\) Тогда функция на интервале а^] определяется формулой.

Р(у) = с»а:' + У(х*> + + хк)

»е/и

Доказаны также следующие теоремы

Теорема 1.1. Пусть Х(у) - множество векторов, допустимых для системы (1) - (5) при фиксированном значении у, функционал

р(у) = шах (]Г] сгхг + ®*)> ге1и «е/и

с0 = гаах{сг}, если с0 < «1, то к = 1, в противоположном случае »€/12

к находится из существования интервала < е° < а^ Тогда справедливы следующие утверждения

1) На отрезке у е [0, с0] функция Р(у) принимает постоянное значение

2) Если(Р < адт, тоо «а интервалах (с0, а^] и (а^-а,а/с], У/с > £ функция Р(у) линейно возрастает

3) Функция может иметь разрывы в точках од. В этом случае F(аA;) > + 0), Щ}(а-к) > Щ(щ + 0) и точка у = од будет точкой локального максимума рассматриваемой функции

4) На интервале (адг,+оо) функция Р(у) принимает то же постоянное значение, что и на отрезке [0, с0]

Чтобы проиллюстрировать это утверждение, приведем пример графика функции Р{у) для случая N = 7, а\ < а.1 < с0 < аз <

< (*7

Рис 1 1

Теорема 1.2. Трудоемкость одновременного нахождения оптимальных портфеля активов и единой ссудной ставки с помощью решения задачи (1) - (6) не превосходит трудоемкости решения пос/гедовательности N задач ЛП{к}(ак), начиная с задачи ЛЯ{1}(о1) и заканчивая задачей ЛП{М}(ам)

Таким образом, доказано, что для решения исходной нелинейной задачи достаточно решить не более чем N задач линейного программирования малой размерности

Завершается раздел результатами численного эксперимента Для проведения численных экспериментов были получены данные из действующего банка В 2004 году в течении некоторого промежутка времени банк предоставил кредиты 10 клиентам под 22% годовых При этом прибыль банка от этих вложений составила 258500 у.е

Для сравнения определялась величина прибыли, достижимая при использовании базовой модели (1) - (6) В рассматриваемом промежутке времени параметры модели (1) - (6) имели следующие значения 5 = 1600000, 1\ — 0.2, с0 = 0 05; а\ = 0 2771, а2 = 0 3, а3 = 0 3462, а4 = 0.358, а5 = 0 4194, а6 = 0 687; а7 = 0 732, а8 = 0 849, а9 = 0 855, а10 = 1 12, Фг -70000, Ф2 = 150000, Ф3 = 100000, Ф4 = 55000, Ф5 = 80000, Ф6 =

90000, Ф7 = 85000; Ф8 = 100000, Ф9 = 170000, Фю = 150000; /ц = {х\,Х2, ,гсю}.

При различных значениях переменной у были решены 10 задач линейного программирования, часть результатов решения которых представлены в таблице 1.2

Из таблицы 1 2 видно, что при установлении единой ссудной ставки процента на уровне у — 0 687 = прибыль банка достигает 459015 у е, что существенно выше той прибыли, которую банк получил фактически.

У = а. х>> 111 у£>1 lu /12 /12 НУ)

0 2771 1050000 290955 550000 27500 318455

0 3462 830000 287346 770000 38500 325846

0 358 730000 261340 870000 43500 304840

0.687 595000 408765 1005000 50250 459015

1 12 150000 168000 1450000 72500 240500

Таблица 12

В разделе 1 4 для базовой задачи предлагается робастный алгоритм, который позволяет находить устойчивое, к изменениям внешних параметров, решение

Из вида графика функции F (у) (рис 1.1 ) следует, что в достаточно малой окрестности каждой из точек локального максимума функция F {у) имеет разрыв Это дает основание говорить о неустойчивости полученного решения

Для того, чтобы получить устойчивое решение исходной задачи, построим план, значение целевой функции которого отличается от оптимального на заданную величину. Пусть F-значение функционала (6) в оптимальном решении задачи (1) -(6). Назовем ст-оптимальным планом такое допустимое решение задачи (1) - (6), что соответствующая ему целевая функция (6) равняется oF, где а удовлетворяет следующим условиям.

oF - F(c°) >0, а б [0,1]. (7)

Обозначим за F( х,ах) часть графика функции ^(у),

непрерывную на интервале (х, аг] таком, что выполняются условия х < аг-3 < а1-1+х < . < аг,

^(<>4-1+0) = ^(аг_2+0) = . , 0) = F(аг_J)

и либо х = с0, либо ^(ж + 0) < Р(х).

Утверждение 1.3. Линия уровня Р(у) = аР пересекается хотя бы с одной веткой Р(х, аг) графика функции Р{у)

Таким образом, утверждение 1 3 гарантирует что, для любого значения а, удовлетворяющего условиям (7), можно найти соответствующий ст-оптимальный план

Для случая, когда линия уровня аР пересекает график функции Р(у) несколько раз, предложен алгоритм нахождения а-оптимального плана, который заключается в нахождении ветки с максимальной величиной

тт{у%-5иъ~Уг}, (8)

где 5, и 7г соответственно левый и правый концы ветки.

Таким образом находится ветка с максимальным расстоянием от точки пересечения до любого из двух ее концов

Доказано, что устойчивый ст-оптимальный план можно найти, решив не более 2И задач линейного программирования.

В конце раздела приводятся результаты численного эксперимента, проведенного по той же информации, что и в разделе 1 3

Во второй главе излагается итерационный процесс, моделирующий функционирование банка и состоящий из трех этапов определение начального капитала, решение задачи оптимизации пассивов, решение задачи оптимизации активов

В разделе 2 1 рассматриваются вопросы определения объема начального капитала банка. Предполагается, что инвесторы располагают капиталом Хо и стоит задача наиболее выгодного вложения этих средств Возможны несколько вариантов составления инвестиционного портфеля

1 Вложить эти средства в покупку государственных долговых обязательств (например, ГКО) Прибыль от вложения суммы Хо в ГКО окажется равной Хо г, где г - доходность ГКО

2 Учредить банк Предположим, что при учреждении банка его потенциальными клиентами выступают N предприятий, каждый из которых характеризуется своим уровнем рентабельности а% и объемом ссуды Фг, который ему необходим В данном случае инвесторы должны оптимально распределить капитал Хо среди таких клиентов Для этой цели мы используем базовую модель оптимизации активов (1) - (6)

3 Реализовать смешанную стратегия, которая заключается в том, что часть средств вкладывается в учреждение банка, а на оставшийся капитал покупаются ГКО Следовательно, сумма Хо делится на две части

= Щ + Кдко ■

Здесь и далее - средства, вкладываемые на учреждение банка, Кфа - средства, вкладываемые в покупку ГКО, ¿¡з - коэффициент обязательного резервирования доли уставного капитала на корреспондентский счет в Центральном Банке, Д € [О, АТ-з].

Утверждение 2.1. Если

г - /1(1 - 13)со

<*ы <

{1-к){1-кУ

то выбирается первый вариант инвестирования, т е все средства направляются на покупку ГКО Утверждение 2.2. Распределение

N

щ = (1 + к)(1 + к) ]Г ф„ (9)

Кдко = Х0-(1 + 13)(1 + 11) 5] Фг (10)

г=у+Д

является наилучшим среди всех возможных распределений капитала Хо.

В разделе 2 2 рассматривается вопрос привлечения банком свободных средств клиентов Используя схему задачи оптимизации активов, построена нелинейная задача оптимизации пассивов банка Показано, что для решения этой задачи можно воспользоваться алгоритмом, который предложен в разделе 1 3 Построена модифицированная задача оптимизации пассивов для банка действующего на конкурентном рынке

В разделе 2 3 предложена модель оптимизации активов нового банка, названная NB-моделью Модель, построенная в разделе 1 1, была дополнена как линейными, так и нелинейными ограничениями, которые позволяют учитывать возможности других банков

Доказано следующее утверждение в котором описывается поведение функционала построенной задачи Утверждение 2.3. Пусть функционал

Fnb(v) = max (V c,xt + у У] хг), x,6XNB(y) ^ iehi

<Р = max{ct}, если сР < cui, too к = 1, в противоположном случае 12

к находится из интервала u>a-i < с0 < Шц

Тогда на отрезке у G [0, с0] функция Fnb(v) принимает постоянное значение. Если с0 < cjjv+m, то на интервалах (с0, и Ii^k]) Vk > к функция Fnb(v) линейно возрастает Функция Fnb{d) может иметь разрывы в точках wK. В этом случае Fnb(wk) > Fnb(uk + 0), Fnb(uk) > Fnb{^h + 0) и точка у — и>к будет точкой локального максимума рассматриваемой функции На интервале (ojn-нт> +оо) функция Fnb{v) принимает то же постоянное значение, что и на отрезке [0, с0]

Из утверждения 2 3 следует, что для нахождения оптимального решения этой нелинейной задачи необходимо решить не более чем N + т задач линейного программирования малой размерности

Показано, что алгоритм нахождения устойчивого решения можно применить и для задачи оптимизации активов нового для

рынка кредиторов банка.

Утверждение 2.5. ИВ-модель позволяет новому на

рынке кредиторов банку найти портфель активов, доходность

которого отличается от оптимальной на заданную величину

е, и который устойчив к изменению внешних параметров Для

того, чтобы найти такой портфель, достаточно решить не

более 2(ЛГ + т) — 1 задач линейного программирования.

В третьей главе ссудная ставка процента исследуется

как функция от объема кредита в контексте базовой задачи

оптимизации активов банка, описанной в главе 1. Как правило,

на практике банки используют убывающую кусочно-постоянную

функцию ставки процента В данной работе для изучения

влияния объема кредита на ставку процента изучались как

убывающие, так и возрастающие функции

В разделе 3 1 рассматривается модификация базовой задачи

оптимизации активов, в которой ставка процента имеет одну

точку разрыва, те банк, по сути, устанавливает две ставки При

этом получаем новую нелинейную задачу, для которой предложен

ориентированный на нее алгоритм решения При этом множество

1ц разбивается на два подмножества номеров активов В конце

раздела приводятся результаты численных экспериментов

Раздел 3.2 посвящен изучению влияния изменений значения

в на поведение прибыли ^(у) и переменных хг, г € 1\. Доказаны

следующие утверждения

Утверждение 3.1. Пусть х* (г £ /ц) - оптимальные

значения доходных активов в задаче (1) - (6) Если 5 > (1 + N

1\) Фц где к - номер, при котором у* = од, то х* = Фг, г = %—к

Утверждение 3.2. В задаче (1) - (б) при увеличении

к

значения 5 в пределах интервала ((1 + 1г) £ Фг, +оо) прибыль

г=1

от доходных активов и оптимальная ссудная ставка процента останутся неизменными.

В разделе 31 для разбиения множества 1ц на два

подмножества мы использовали самый простой способ -дихотомию, те., каждое из двух подмножеств содержало примерно равное число элементов В разделе 3 3 мы исследуем возможность увеличения значения общей прибыли за счет более эффективного разбиения множества 1\\

N

Утверждение 3.3. Пусть 5 > (1 + М X) Тогда, в

1=1

силу утверждения 1 1, для нахождения оптимального решения задачи (1) - (6) достаточно сравнить N чисел вида

N N

1=3 1=3

Для того, чтобы показать практическую значимость предложенного в диссертации подхода в разделе 3.4 базовая модель дополняется ограничениями, учитывающими новые требования, которые предъявляются коммерческим банкам со стороны Центрального Банка. Другими словами, проводится адаптация математической модели к реальным условиям функционирования.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации

1 Построены различные варианты модели функционирования банков, позволяющей одновременно находить оптимальные значения ставки процента и объемов вложений в различные активы. Разработаны эффективные алгоритмы решения нелинейных задач математического программирования, возникающих в этих моделях

2 Предложен алгоритм нахождения решения, устойчивого к изменениям внешних параметров

3 Разработан эффективный метод решения задачи оптимизации активов нового банка на действующем финансовом рынке.

4 Изучен частный случай задачи оптимизации активов с дифференцированной ставкой процента

Список литературы

[1] Edgeworth F Y The mathematical theory of banking // Journal of Royal Statistical Society, 1888, March, Vol LI - P 113-127

[2] Синки Дж Ф Управление финансами в коммерческих банках Пер с английского под ред Р Я Левиты, Б С Пинскера - М , Catallaxy 1994

[3] Егорова НЕ, Смулов А.М Предприятия и банки взаимодействие, экономический анализ, моделирование -М Дело 2002

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[4] Анцыз С М, Орозбеков Н А Об одном подходе к построению математических моделей для оптимизации банковской деятельности -Новосибирск Препринт/РАН Сиб. отд-ние Ин-т математики, № 147, 2004 26 С

[5] Анцыз С.М, Орозбеков НА О некоторых моделях оптимизации деятельности банка Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения" - Омск. Изд-во Наследие Диалог Сибирь, 2003 - С 143 Тезисы докладов

[6] Орозбеков НА Об алгоритме определения объема начального капитала для банка-монополиста IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям - Красноярск, 2003 - С 74 Программа и тезисы докладов

[7] Орозбеков НА Об одной модели оптимизации активов коммерческого банка V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям - Новосибирск, 2004. С -62-63 Программа и тезисы докладов

[8] Орозбеков Н А Модель оптимизации пассивов банка на конкурентном рынке Материалы ХЫ1 Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" Математика - Новосибирск, НГУ, 2004 - С 114-115

[9] Орозбеков НА Модель оптимизации пассивов коммерческого банка. Сборник научных трудов VI Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии" - Кисловодск, 2004 - С 20-22

[10] Орозбеков НА Об одном итерационном процессе, моделирующем банковскую деятельность Российская конференция "Дискретный анализ и исследование операций" - Новосибирск Изд-во Ин-та математики,

2004 - С 211 Тезисы докладов

[11] Орозбеков НА Влияние различных параметров на значение ссудной ставки процента Материалы ХЫП Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" Математика - Новосибирск, НГУ,

2005 - С 114-115

[12] Орозбеков НА К вопросу об определении объема начального капитала банка XIII Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" Всероссийская конференция "Равновесные модели в экономике и энергетике". - Иркутск-Северобайкальск Изд-во ИСЭМ СО РАН, 2005 - С 191-196

[13] Орозбеков Н А. Нелинейные модели оптимизации банковских активов Сибирский журнал индустриальной математики 2005 Том VIII, №4(24) - С 73-90

[14] Орозбеков Н.А Модификация одной задачи оптимизации банковских активов. III Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения". -Омск Изд-во ОмГТУ, 2006 - С 169 Тезисы докладов

[15] Орозбеков Н А Задача оптимизации активов банка с кусочно постоянной ставкой процента Обозрение прикладной и промышленной математики Тезисы докладов Седьмого Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике 2006 Том 13 Выпуск 3 - С 529-530

[16] Орозбеков НА Задача оптимизации активов с дифференцированной ставкой процентов - Новосибирск, 2007. 13 С. (Препринт/РАН Сиб отд-ние Ин-т математики, №196)

[17] Орозбеков НА Учет срока кредитования в задаче оптимизации активов // Российская конференция "Дискретная оптимизация и исследование операций" Материалы конф (Владивосток, 2007) - Новосибирск Изд-во Ин-та математики, 2007 - С 166

[18] Орозбеков НА Задача оптимизации активов с дифференцированной ставкой для нового банка // Российская конференция "Математика в современном мире" Материалы конф (Новосибирск, 2007) - Новосибирск Изд-во Ин-та математики, 2007 - С 314-315

ОРОЗБЕКОВ Нурлан Аскарович

НЕЛИНЕЙНЫЕ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БАНКОВ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 12 05 08 Формат 60 х 84 1/16 Уч -изд л. 1,0 Тираж 100 экз Заказ № 90

Отпечатано в ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

Введение

1 Базовая модель для оптимизации банковской деятельности

1.1 Постановка задачи оптимизации активов.

1.2 Итерационный метод решения задачи.

1.3 Конечный метод решения задачи.

1.3.1 Рентабельности клиентов малы.

1.3.2 Рентабельности предприятий-клиентов велики: с0 < а!.

1.3.3 Третий случай соотношения величин с0 и щ (г = 1,-,Л0.

1.3.4 Экспериментальные расчеты.

1.4 Устойчивость решения задачи оптимизации активов банка.

1.4.1 Описание алгоритма.

1.4.2 Экспериментальные расчеты.

2 Итерационный процесс, моделирующий банковскую деятельность

2.1 К вопросу об определении объема начального капитала банка.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Алгоритмы решения задачи.

2.2 Модели оптимизации пассивов.

2.2.1 Модель для банка - монополиста.

2.2.2 Учет конкуренции в модели оптимизации пассивов. 51 2.3 Модель оптимизации активов нового для рынка кредиторов банка.

3 Зависимость ставки процента от объема кредита и другие примеры модификации базовой модели

3.1 Задача с двумя ставками.

3.1.1 Экспериментальные расчеты.

3.2 Влияние изменения 5 на величины ж* (г 6 Л), Р(у) и у.

3.3 Задача с двумя ставками. Поиск наилучшего разбиения множества /ц.

3.4 Адаптация базовой модели к некоторым дополнительным требованиям реальной экономики.

Жесткая конкуренция на рынке банковских услуг заставляет менеджеров искать новые источники роста и разрабатывать эффективные инструменты управления. Одним из таких решений является использование математического инструментария для получения информации, на основе которой будут приниматься управленческие решения.

Одна из первых математических работ, посвященных моделированию банковской деятельности, статья Эджворта, была опубликована еще в конце XIX века [67]. С каждым годом работ в этой области становится больше, а используемый математический аппарат все разнообразнее и шире. Эти работы можно структурировать по следующим двум критериям.

I. По математическому аппарату, используемому при исследовании.

Математический арсенал используемый для моделирования банковской деятельности весьма обширен и разнообразен. К наиболее часто используемым инструментам относится аппарат теории вероятности и математической статистики. Использование этого инструментария обусловлено случайной природой большинства параметров и операций банковской деятельности. Так, в [9] рассмотрены вопросы оптимизации инвестиционной деятельности банка на (В, 5) - рынке [48], [59] с привлечением и без привлечения пассивов. В [20] предложен новый вариант вычисления оценки вероятности разорения страховой компании, сочетающей в себе функции банка.

В [10] рассматриваются различные формы расчета ставки процента для срочных вкладов и вкладов в высоколиквидные облигации. Различные подходы к моделированию банковской деятельности аппаратом теории вероятности и математической статистики также представлены в [1], [3], [4], [13], [15], [33].

По существу функционирование коммерческого банка непрерывно. Но в тоже время интервалы отчетности дискретны (операционный день, месяц, год, и т.д.). Это обстоятельство дает возможность описывать как отдельные процессы банковской деятельности так и функционирование банка в целом аппаратом математического программирования. Наиболее часто используемым разделом математического программирования является линейное программирование. В большинстве моделей линейного программирования критерием оптимальности является доходность, которая, обычно, выражается в виде целевой функции сх —»гпах!, где с - вектор доходности проектов, аж- вектор объемов вложений в различные проекты. При этом в системе ограничений вида:

Ах <Ъ] х > 0 указываются желаемые пропорции в структуре активов и требование на знак переменных. Так, в [18] достаточно подробно описан финансовый анализ банковской деятельности; построены оптимизационные модели описывающие широкий спектр банковских услуг. Также представлены динамические варианты предложенных моделей, которые более точно описывают банковскую деятельность. И наконец проделана адаптация предложенных моделей к реальным условиям и требованиям, предъявляемых Центральным Банком РФ и невидимыми законами рынка. Далее эти вопросы получили развитие в работах [12], [17], [19], [52], [53], [54], [55].

В зарубежной литературе этой области посвящено достаточно много работ. При этом, в работах используются все разделы математического программирования: от линейного до многокритериального и стохастического. Так в [81] рассмотрена стохастическая модель хеджирования банковской деятельности в условиях, когда параметры депозитов, вкладов, фьючерсных контрактов, ставки процента являются случайными величинами. В [73] предложена многокритериальная задача математического программирования учитывающая несколько конкурирующих между собой целей. Этой области также посвящены [64], [65], [66], [71], [79].

Кроме этих инструментов для моделирования банковской деятельности активно используется аппарат теории оптимального управления [28], [29], [30], [31], теории игр и т.д.

Также нужно заметить, что с развитием вычислительной техники, которая все больше и больше используется в научных исследованиях, появляются математические модели с программными реализациями, что существенно облегчает использование моделей для широкого круга пользователей. В [82] описана система ВА1МКАВУ18Е11, построенная по методологии РЫОМЕТНЕЕ. В российской литературе представлены следующие работы [8], [22], [23]. Небольшое число работ в этой области объясняется сложностью банка как системы [85], зависящей, в частности, от динамичности, значительного числа активов и пассивов и наличия достаточно большого количества экономических ограничений в виде правовых нормативов и неписанных рыночных законов [21], [32], [51].

II. По видам банковских операций, описанных в работах.

1. Получение максимальных процентных доходов по всем видам выданных кредитов. Важность сотрудничества предприятий и банков уже давно осознана и не требует дополнительного обоснования. На сегодняшний день практически любой проект по созданию нового предприятия не обходится без частичного или полного кредитования банками. Более того, банки активно предоставляют средства действующим предприятиям для модернизации производства и замены старого оборудования. При этом важной задачей для банковского менеджмента является грамотное управление активами. Другими словами, менеджерам банков нужно постоянно оптимизировать структуру кредитного портфеля для получения максимальной прибыли, а также оценивать экономическую целесообразность и рискованность отдельных активных операций.

Так, в [24] рассматривались случаи взаимного кредитования предприятий между собой и сравнивались результаты со случаем, когда предприятия кредитуются банком. Показано, что кредит банка является более предпочтительным для предприятия.

В монографии [16] поставлена задача оптимизации банковских активов. Предлагается имеющийся капитал банка распределить между несколькими видами активов (таких как : акции, кредиты физическим и юридическим лицам и т.д.).

В [31] предлагается динамическая модель взаимодействия предприятий в составе корпоративной финансово-промышленной структуры с вертикальной интеграцией, где банк занимает доминирующее положение. В результате получено, что при выполнении определенных условий каждое предприятие получает максимальный гарантированный выигрыш, превышающий аналогичный выигрыш при независимой деятельности. Подробное рассмотрение взаимодействия предприятий и банков отражено в [17], [18], [19], [52] - [54].

В зарубежной литературе эта область получила развитие в [64], [67], [69], [70], [76], [77].

2. Изменение рыночных стоимостей портфелей ценных бумаг. Сегодня цены на ценные бумаги меняются каждый день. В связи с чем владельцам финансовых портфелей, в том числе и банкам, постоянно приходится корректировать структуру своих портфелей в зависимости от тенденций происходящих на финансовых рынках. Проблеме оптимизации именно банковских портфелей посвящены следующие работы [9], [12], [20], [25], [28], [29], [30], [33], [78], [80].

3. Выплата процентов по привлеченным средствам всех видов.

Прежде чем вложить средства в какие-либо активы, нужно эти средства привлечь. При этом нужно учитывать соотношение между расходами на привлечение средств и доходами, которые можно получить от вложения этих средств в ссуды, ценные бумаги и другие активы. Некоторые аспекты процесса привлечения вкладов "до востребования "рассмотрены в [13]. Здесь поведение вкладчика, т.е. будут ли востребованы средства владельцем вклада или нет, рассматривается как случайная величина с Пуассоновской функцией распределения.

4. Рационирование кредита. В условиях нестабильности на рынке кредитных услуг возникает очень большая вероятность неполноты, асимметрии и неоднородности информации, которой обладают действующие на рынке агенты. Следствием чего может стать большая доля невозвратов по кредитам. Одним из способов уменьшения риска подобного рода является рационирование кредита. Оно заключается в том, что банки устанавливают ставку процента на таком уровне, что почти всегда существует избыточный спрос на кредит. Первые фундаментальные результаты в этой области были получены Д. Ходгманом [74]. Он же ввел понятие надежности кредита как отношение ожидаемого возврата по кредитам к ожидаемым потерям от неплатежей. Дальнейшее развитие эта тема получила в работах [4], [50], [61], [62], [63], [72], [75], [83], [86], [87].

Также, заметим, что одним из важных направлений является моделирование функционирования центральных банков. После 1990 года в российской экономической литературе появилось очень большое количество работ с описанием поведения Центрального Банка РФ, да и всей банковской системы в целом, в посткризисный период и предложениями по улучшению их деятельности [2], [34], [49], [56], [57], [58]. К сожалению среди них очень мало работ основанных на использовании математического аппарата для изучения различных стратегий Центрального Банка [11].

В зарубежной литературе математические модели центральных банков появились значительно раньше [68], [84]. Эти модели ориентированы на опыт западных стран и, прежде всего, США.

Основные принципы построения модели функционирования банка в данной работе.

При разработке математических моделей описывающих поведение некоторых экономических объектов, по нашему мнению, необходимо учитывать следующий минимальный набор требований:

1. Существование эффективных методов решения возникающих задач. При построении математических моделей разработчики стараются как можно точнее описать реальную экономическую картину. При этом, как правило, чем точнее модель описывает реальный процесс, тем сложнее решать возникающую математическую задачу. Можно построить модели которые максимально точно имитируют моделируемый объект, но на сегодняшний день нет эффективных методов решения таких задач. Поэтому, мы считаем, модели должны строиться с учетом существующего математического инструментария.

2. Устойчивость полученных результатов к изменениям внешних параметров. Введя в модель исходные данные мы получаем некоторое оптимальное решение. Но динамичность экономических процессов и изменчивость их параметров, а следовательно, неточность исходных данных, могут привести к тому, что модель выдаст неоптимальное решение. Поэтому в моделях должны быть некоторые рычаги управления и страхования возможными рисками.

3. Доступность данных, используемых в моделях. В экономико-математической литературе часто пользуются обобщенными и абстрактными величинами. Такими как гудвил, полезность и т.д. С такими величинами удобно строить модели, но при проведении экспериментов трудно выразить точное численное значение этих величин. Поэтому при построении моделей рекомендуется использовать доступные данные.

4. Адекватность моделей к реальным условиям. В моделях должны быть максимально учтены реальные экономические условия. Одним из таких условий является учет конкуренции: любой субъект экономики характеризуется своими внутренними и внешними связями с другими субъектами и очень часто интересы отдельных субъектов тесно переплетаются с интересами других субъектов.

5. Модели должны обладать адаптивными свойствами [5], т.е. обладать способностью к оперативному учету новых факторов. Это свойство моделей чрезвычайно важно, так как ни какая модель, как правило, не может быть применена к решению конкретных задач в стандартной форме.

Формирование наиболее прибыльного кредитного портфеля является одним из важнейших задач для различных банков. Эффективным инструментом для решения этой задачи является ссудная ставка процента. Определение оптимальной ссудной ставки процента тоже является не менее сложной и важной задачей. В научной литературе эти две задачи решаются отдельно друг от друга. Настоящая работа посвящена актуальной проблеме разработки нелинейных математических моделей, позволяющих определять оптимальные ставки процента и компоненты портфеля банковских операций одновременно, и построению эффективных численных методов решения возникающих в этих моделях многоэкстремальных задач.

Апробации результатов.

Результаты диссертации были изложены на следующих конференциях: Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 2003 г.); Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003г., Новосибирск, 2004 г.); Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2004-2005 гг.); Российская конференция "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2004 г.); XIII Байкальская международная школасеминар "Методы оптимизации и их приложения" и Всероссийская конференция "Равновесные модели в экономике и энергетике" (Иркутск-Северобайкальск, 2005 г.), Российская конференция "Математика в современном мире" (Новосибирск, 2007 г.).

Результаты работы обсуждались на семинарах математико-экономического отдела ИМ СО РАН, на семинаре отдела теоретической кибернетики ИМ СО РАН, на семинаре лаборатории вычислительной физики ИВМиМГ СО РАН, а также на общеинститутском математическом семинаре ИМ СО РАН.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения общим объемом 97 страниц. Список литературы содержит 87 наименований.

Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в работе.

1. В работе построены различные варианты модели функционирования банков, позволяющей одновременно находить оптимальные значения ставки процента и объемов вложений в различные активы. Разработаны эффективные алгоритмы решения нелинейных задач математического программирования, возникающих в этих моделях. Алгоритмы основаны на редукции исходной нелинейной задачи в последовательность линейных задач малой размерности.

2. Предложен алгоритм нахождения устойчивого к изменениям внешних параметров решения.

3. Разработан эффективный метод решения задачи оптимизации активов нового банка на действующем финансовом рынке.

4. Изучен частный случай задачи оптимизации активов с дифференцированной ставкой процента.

Практическая ценность данной работы состоит в возможности использования полученных результатов для разработки рациональных стратегий функционирования некоторых субъектов финансового рынка при различных требованиях, предъявляемых Центральным Банком.

1. Автухович Э.В., Гуриев С.М., Оленев H.H., Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A., Чуканов C.B. Математическая модель экономики переходного периода. Вычислительный Центр РАН, Москва, 1999.

2. Аглицкий И. С., Лившиц В.Н. Отрицательная ставка процента и сбережения населения. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, в.З. - С. 98-101.

3. Андреев М.Ю., Поспелов И.Г. Управление ликвидностью банка при случайно колеблющихся ставках процентов. М.-.Математическое моделирование, 2004, т.16, №9. - С. 3-22.

4. Антонов М.В., Поманский А.Б. Рационирование кредита и алгоритм эффективного распределения заемных средств. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, в.1. - С.124-136.

5. Анцыз С.М., Дятлова Л.Г., Фефелов В.Ф. Инструментальный комплекс разработки ОАСУ. Новосибирск: Наука, 1984.

6. Анцыз С.М., Орозбеков H.A. Об одном подходе к построению математических моделей для оптимизации банковской деятельности. -Новосибирск: Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 147, 2004, 26 с.

7. Анцыз С.М., Орозбеков H.A. О некоторых моделях оптимизации деятельности банка. Всероссийская конференция "Проблемыоптимизации и экономические приложения". Омск: Изд-во Наследие. Диалог Сибирь, 2003. - С. 143. Тезисы докладов.

8. Асанов A.A., Ворисенков П.В., Ларичев О.И., Нарыжный Е.В., Ройзензон Г.В . Метод многокритериальной классификации ЦИКЛ и его применение для анализа кредитного риска. М.: Наука, Экономика и математические методы, 2001, том 37, вып.2. - С. 14-21.

9. Баев A.B., Бондарев Б.В. Количественный и качественный анализ рекуррентных процедур в применении к моделированию финансовых потоков в банке. Донецк: Прикладная статистика. Актуарная и финансовая математика, 2002, №2. - С. 3-30.

10. Буклемишев О.В., Поманский A.B. Премия за риск и временная структура процентных ставок. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1992, т.28, в.2. - С.252-260.

11. Бусыгин В.П., Дементьев Н.П. Инфляционный налог и его перераспределение в центральном банке. // Сб.ст. ИЭиОПП СО РАН. Новосибирск.

12. Васильева В.А. Формирование оптимальной модели стратегии развития коммерческих банков. М.: Изд-во "Финансы и статистика". Деньги и кредит, 1999, №11. - С. 34-37.

13. Вишняков И. В. Стохастическая модель динамики объемов банковских депозитов "до востребования". М.: Наука, Экономика и математические методы, 2002, том 38, вып.1. - С.94-104.

14. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Экстремальные задачи принятия решений. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1982.

15. Гуриев С.М., Поспелов И. Г. Модель деятельности банка при отсутствии инфляции и экономического роста. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1997, том 33, вып.З. - С.141-153.

16. Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю., Барановская Т.П. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М.: Изд-во "Финансы и статистика". 2001.

17. Егорова Н.Е., Смулов A.M. Предприятия и банки: взаимодействие, экономический анализ, моделирование. М.: Дело. 2002.

18. Егорова Н.Е., Смулов A.M. Математические методы финансового анализа банковской деятельности. М.: Аудит и финансовый анализ, 1998, №2.

19. Егорова Н.Е., Смулов A.M. Банковская фирма: стратегическое планирование и взаимодействие с реальным сектором. ч.1,2. М.: ЦЭМИ РАН. 2000.

20. Жилина Л.С. Вероятность разорения страховой компании, сочетающей в себе функции банка. Донецк: Прикладная статистика. Актуарная и финансовая математика, 2000, №2. -С. 12-19.

21. Жуков Е.Ф. Деньги. Кредит. Банки. Учебник для вузов. -М.:ЮНИТИ, 2000.

22. Завриев Н.К., Поспелов И.Г., Поспелова Л.Я., Чуканов С.В. Развитие системы поддержки математического моделирования экономики ЭКОМОД ВЦ РАН. 1999, 47 с.

23. Завриев Н.К., Поспелов И.Г., Поспелова Л.Я. Исследование математических моделей экономики средствами системы ЭКОМОД. М.: Математическое моделирование, 2003, том 15, №8. - С. 57-74.

24. Иванов Ю.Н., Симунек В., Сотникова P.A. Оптимальная кредитная политика предприятия и банка. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1999, том 35, вып.4. - С. 19-38.

25. Ильясов С.М. Управление активами и пассивами банков. М.: Изд-во "Финансы и статистика". Деньги и кредит, 2000, №5. - С. 20-26.

26. Инструкция "О порядке регулирования деятельности банков". Центральный Банк Российской Федерации, от 1 октября 1997 г.

27. Карманов В.Г. Математическое программирование.-М.:Физматлит, 2001.

28. Колчанов А.П. Модель оптимального управления банковским портфелем. // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь, ПГТУ, 1999. С. 52-56.

29. Колчанов А.П. Математическое моделирование в системе финансового планирования коммерческого банка.// Экономическая кибернетика: методы и средства эффективного управления. Пермь, ПГУ, 2000. С. 206-208.

30. Колчанов А.П. Об одном классе банковских моделей.// Экономическая кибернетика: математические и инструментальные методы анализа, прогнозирования и управления: Сб.ст./Перм. ун-т., Пермь, 2002. С. 103-105.

31. Косаче в Ю.В. Исследование устойчивости динамической модели финансово-промышленной корпоративной структуры. М.: Наука, Экономика и математические методы, 2000, т.36, в.1. - С. 126-142.

32. Лаврушин О.И. Банковское дело.-М.:Финансы и статистика, 2002.

33. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг. -М.: Наука, Экономика и математические методы, 1995, т.31, в.1. С. 138-150.

34. Овсиенко Ю.В. Кризис и денежно-кредитная политика Российского Государства. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.30, в.1. - С. 19-30.

35. Орозбеков H.A. Об алгоритме определения объема начального капитала для банка-монополиста. IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, 2003. - С. 74. Программа и тезисы докладов.

36. Орозбеков H.A. Об одной модели оптимизации активов коммерческого банка. V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2004. - С. 62-63. Программа и тезисы докладов.

37. Орозбеков H.A. Модель оптимизации пассивов банка на конкурентном рынке. Материалы XLII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск, НГУ, 2004. - С. 114-115.

38. Орозбеков H.A. Модель оптимизации пассивов коммерческого банка. Сборник научных трудов VI Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии". -Кисловодск, 2004. С. 20-22.

39. Орозбеков H.A. Об одном итерационном процессе, моделирующем банковскую деятельность. Российская конференция "Дискретный анализ и исследование операций". Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2004. - С. 211. Тезисы докладов.

40. Орозбеков H.A. Влияние различных параметров на значение ссудной ставки процента. Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск, НГУ, 2005. - С. 114-115.

41. Орозбеков H.A. Нелинейные модели оптимизации банковских активов. Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Том VIII, №4(24). С. 73-90.

42. Орозбеков H.A. Модификация одной задачи оптимизации банковских активов. III Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006. - С. 169. Тезисы докладов.

43. Орозбеков H.A. Задача оптимизации активов с дифференцированной ставкой процентов. -Новосибирск: Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 196, 2007, 13 С.

44. Орозбеков H.A. Учет срока кредитования в задаче оптимизации активов // Российская конференция "Дискретная оптимизация и исследование операций": Материалы конф. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2007. - С. 166.

45. Орозбеков H.A. Задача оптимизации активов с дифференцированной ставкой для нового банка // Российская конференция "Математика в современном мире": Материалы конф.- Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2007. С. 314-315.

46. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.:Инфра~М, 1994.

47. Перламутров B.JI. О переходе к рынку в условиях экономического кризиса. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.30, в.2. - С. 53-56.

48. Полтерович В.М. Рационирование кредита, инфляция и трансформационный спад. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1995, т.31, в.З. - С. 50-60.

49. Синки Дж. Ф. Управление финансами в коммерческих банках. Пер. с английского под ред. Р.Я.Левиты, Б.С.Пинскера. М., Catallaxy. 1994.

50. Смулов A.M. Проблемы взаимодействия промышленных предприятий и банков. М.: Изд-во "Финансы и статистика". 2002.

51. Смулов A.M. О стратегиях банков в кредитно-инвестиционным секторе финансового рынка // В сб. научных трудов: Экономика и технология, вып.10. -М.: Российская Экономическая Академия, 2000.

52. Смулов A.M. Управление структурой пассивов и активов (гэпом) кредитного учреждения // В сб. научных трудов: Экономика и технология, -М.: Российская Экономическая Академия, 1998.

53. Тайменцева К. С. Об одной модели оптимизации активов банка. Материалы XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск, НГУ, 2002. С. 185-186.

54. Тихомиров Е. Ф. Отрицательная реальная ставка процента: причины возникновения и способы устранения. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, в.2. - С. 50-53.

55. Тропаревская JI.E. Экономическая реформа и банки. М.: Наука, Экономика и математические методы, 1991, т.27, в.5. - С. 846-852.

56. Ухо К. Приватизация и создание системы коммерческих банков. -М.: Наука, Экономика и математические методы, 1992, т.28, в.1. С. 73-88.

57. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1,2. М.: ФАЗИС, 1998.

58. Шмырев В. И. Лекции по математическому программированию. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 2000.

59. Barro R.J. The Loan Market, Collateral and Rate of Interest / / Journal of Money. Credit and Banking, 1978, Nov, V.8. №3.

60. Berger A.N., Udel G.F. Some Evidence on the Empirical and Significance of Credit Rationing // Journal of Polit Econ, 1992, V.100. №2.

61. Besanco D.f Thakor A. V. Collateral and Rationing: Sorting Equilibria in Monopolistic and Competitive Credit Markets // Internation Economic Review, 1987, Oct, V.28. №3.

62. Broaddus A. Linear programming: A new approach to bank portfolio management // Monthly review, Federal Reserve Bank of Richmond, 1972, November. P. 3-11.

63. Cohen K.J., Hammer F.S. Linear programming and optimal bank asset management decisions // Journal of Finance, 1967, May. P. 147-168.

64. Eatman J.L., Sealey C.W. Jr. A multiobjective linear programming model for commercial bank balance sheet management // Journal of Bank Research 9 (4) (1979). P. 227-236.

65. Edgeworth F. Y. The mathematical theory of banking // Journal of Royal Statistical Society, 1888, March, Vol.LI. P. 113-127.

66. Feldstein M. Inflation, Tax Rules, and Capital Formation. The University of Chicago press. 1983.69 70 [7172