автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические методы исследования задач нелинейной теории гравитации

МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Факультет прикладной математики, механики и информатики

ДЕНИСОВА ИРИНА ПАВЛОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИЙ ГРАВИТАЦИИ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических

Кафедра прикладной математики

На правах рукописи

РГБ ОД 2 * /Ш ОЭ

методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2000 г.

Работа выполнена на кафедре прикладной математики факультета прикладной математики, механики и информатики МАТИ - Российского государственного технологического университета им. К.Э. Циолковского.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор JI.A. Муравей

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.В. Грац доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Жемерев доктор физико-математических наук, профессор Э.М. Карташов

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита диссертации состоится 2000 г. в /^часов

на заседании Диссертационного Совета № Д 063.50.02 в МАТИ - Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского по адресу: 121552, Москва, ул. Оршанская 3, аудитория А-500.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАТИ - Российского государственного технологического университета им. К.Э. Циолковского.

Автореферат разослан ¿^^/¿^¿с^ 2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета № Д 063.56.02 доктор физико-математических наук

профессор

03-/3, ЗЗД

Е.В. Метелкпн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке и применению математических методов к исследованиям в нелинейной теории гравитации.

Актуальность темы. Гравитация в современной науке занимает особое положение. Эта теория, затрагивая самые фундаментальные представления о пространстве - времени, материи, развитии Вселенной, претендует на одну из ведущих ролей в современном естествознании.

Для адекватного описания гравитации используются достаточно сложные в математическом отношении модели, включающие в себя нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка и оперирующие понятиями римановой геометрии, тензорного анализа, топологии и других разделов математики.

Поэтому для успешного исследования этих моделей необходимо не только привлекать всю мощь математических методов, разработанных к настоящему времени в математике, но н разрабатывать новые математические методы.

Общая задача теории гравитации обычно состоит в нахождении решения уравнений гравитационного поля, удовлетворяющего определенным начальным и граничным условиям, анализе следствий этого решения и в постановке экспериментов, которые проверили бы предсказание теории. Решение этой задачи представляет значительные математические трудности, связанные главным образом с нелинейностью уравнений и использованием многокомпонентных полевых переменных - тензоров второго ранга.

Вместе с тем каждый новый теоретический результат, полученный при таком исследовании, представляет огромную ценность для экспериментальной науки, так как дает четкие ориентиры для постановки и проведения экспериментов по поиску новых гравитационных эффектов. Ярким примером последнего утверждения является разработка параметризованного постньютоновского формализма - математического метода, который позволил с большой точностью рассчитать движение двойной пульсарной системы РЭИ 1913+16 и обнаружить потери энергии этой системой на излучение гравитационных волн. Этот результат имел такое большое значение для физики, что Хале и Тэйлор, получившие его, были удостоены Нобелевской премии 1994 года.

Именно поэтому для современного состояния теории гравитации характерным является стремление к разработке новых математических методов исследования и к совершенствованию математических моделей

изучаемых гравитационных явлений.

Цели. Целью работы является разработка новых математических методов и применение их к различным моделям теории гравитации, а также к не решенным ранее задачам теории гравитации.

Научная новизна основных положений и результатов, выносимых на защиту.

1. Разработан новый математический метод суперпотенциалов для задач излучения гравитационных волн при распространении электромагнитных волн в постоянном и неоднородном электромагнитном поле. Найдены решения уравнений для суперпотенциалов, возникающих в случаях распространения плоской и, соответственно, сферической электромагнитных волн через внешнее электромагнитное поле. На основе доказанных теорем построены выражения для компонент излучаемых гравитационных волн, которые могут быть получены дифференцированием суперпотенциалов по координатам источника внешнего электромагнитного поля и по координатам точки, в которой находится источник сферической электромагнитной волны.

2. Разработан новый метод суперпотенциалов для задач излучения электромагнитных волн, возникающих при распространении гравитационных волн в постоянном электромагнитном поле. Доказаны теоремы и на их основе построены выражения для компонент излучаемых электромагнитных волн, которые могут быть получены дифференцированием суперпотенциалов по координатам источника внешнего электромагнитного поля и по координатам точки, в которой находится источник сферической гравитационной волны. Использование этого метода позволило свести решение конкретных задач об излучении элек-тромагнит11ЫХ волн при распространении гравитационной волны через внешние электромагнитные поля к простому дифференцированию выражений для суперпотенциалов.

3. Проведено применение разработанных методов суперпотенциалов к решению задач, которые до этого не были решены, об излучении гравитационных волн сферической электромагнитной волной, распространяющейся в электромагнитных полях: кулоновского центра, электрического и магнитного диполей, а также в постоянном и однородном магнитном поле. Построены диаграммы направленности возникающего излучения и проанализированы основные предельные случаи.

4. Решены задачи об электромагнитном излучении, возникающем при воздействии гравитационной волны на поля электрического диполя и межзвездного магнитного поля. Исследованы диаграммы направлен-

ности и характерные свойства этого излучения.

5. Разработан метод спиновых коэффициентов, позволяющий находить частные решения нелинейных уравнений гравитационного поля в биметрическпх моделях теории гравитации. Доказана теорема и па ее основе выведены новые уравнения, которые должны использоваться при применении этого метода к задачам биметрическпх моделей теории гравитации.

6. Разработан алгоритм и создан пакет программ для проведения интегрирования уравнений гравитационного поля методом спиновых коэффициентов с использованием компьютерной системы аналитических вычислений Reduce.

7. Разработан метод неопределенных координат и на его основе найдены новые точные решения нелинейных уравнений гравитационного поля в общей теории относительности и релятивистской теории гравитации для задачи с цилиндрическим источником гравитационного поля.

8. Найдены новые точные решения уравнений гравитационного поля в биметрическпх моделях теории гравитации в случае, когда источником гравитационного поля являются плоские электромагнитные и скалярные волны, и на их основе построена модель лазерного источника гравитационного поля.

9. Разработан параметрический метод интегрирования нелинейных уравнений геодезического движения и на его основе впервые найдены законы нерадиалыюго движения массивных и безмассовых частиц в гравитационном поле излучающей звезды.

10. Проинтегрированы нелинейные уравнения геодезического движения частиц в гравитационном поле цилиндрического источника, найдены уравнения траекторий и законы движения частиц по этим траекториям и на этой основе проанализированы характерные особенности возможных траекторий.

11. Проинтегрированы уравнения геодезического движения частиц в гравитационных полях, которые, в соответствии с уравнениями биметрическпх теорий гравитации с массивным гравитоном, создаются плоскими электромагнитной н скалярной волнами. Проведенное исследование выявило ряд специфических черт различных моделей теории гравитации, на основе которых могут быть проверены основные принципы этих моделей. В частности показано, что эксперименты с фотонами и электрически нейтральными массивными частицами в гравитационном поле электромагнитных волн, возникающих при вспышках

Сверхновых, помогут проверить гипотезу о существовании массы покоя у гравитонов и измерить эту массу, если она больше тт,-„ ~ 10~С8 г.

12. Доказаны теоремы о N - ой степени произвольного тензора второго ранга в пространствах а также о тензоре, обратном к невырожденному тензору второго ранга. Полученные общие формулы приведены как для произвольного тензора, так и для антисимметричного тензора. Найдено выражение для коэффициентов, удобное для аналитических исследований. Построены коммутационные соотношения для произвольного тензора второго ранга с (И — 1) - ой степенью другого произвольного тензора второго ранга.

13. Доказаны теоремы о тензорных соотношениях в случае четырехмерного псевдорнманова пространства-времени. На основе этих формул доказаны теоремы о выражениях для ко - и контравариантных компонент метрического тензора эффективного псевдорнманова пространства -времени в биметрпческой теории гравитации Розена и в релятивистской теории гравитации, а также получены выражения для определителей этих тензоров. Найдены условия на собственные значения тензора гравитационного поля, при выполнении которых обеспечивается невырожденность метрического тензора эффективного псевдорнманова пространства-времени. Получены явные выражения 3 - он (5 > 3 ) степени тензора электромагнитного поля через первые три степени этого тензора и два инварианта.

Практическая значимость результатов работы. Метод суперпотенциалов, разработанный в диссертации, может быть использован при расчете процессов с участием гравитационных и электромагнитных волн с любой мультипольностыо используемых электромагнитных полей. Полученные в диссертации выражения для интенсивностей гравитационного и электромагнитного излучений могут быть использованы для оценок взаимопревращения гравитационных и электромагнитных волн в астрофизических условиях, а также для оценки эффективности астрофизических генераторов и детекторов гравитационных волн, использующих электромагнитные поля.

Полученные в диссертации системы уравнений метода спиновых коэффициентов дают возможность проводить поиск различных частных решений нелинейных уравнений гравитационного поля релятивистской теории гравитации.

Указанный нами в настоящей диссертации путь построения системы уравнений метода спиновых коэффициентов может быть использован при разработке аналогичного метода для более сложных биметриче-

скнх и тетрадных моделей теории гравитации с более сложной фоновой геометрией пространств постоянной кривизны (пространств Лобачевского и пространств Рнмана).

Разработанный алгоритм по интегрированию уравнений релятивистской теории гравитации методом спиновых коэффициентов с помощью компьютерной системы аналитических вычислений Reduce можно применять для поиска частных решений нелинейных уравнений и в других биметрнческнх моделях теории гравитации.

Метод неопределенных координат, развитый нами в диссертации, может быть использован для нахождения частных решений, обладающих цилиндрической п сферической симметрнями, в любых биметрнческнх моделях теории гравитации.

Найденные нами точные решения уравнений релятивистской те орпп гравитации могут быть использованы для сравнения предсказаний разных моделей теории гравитации и теоретического пчалнза следствий, к которым приводит существование метрического тензора фонового прострапстпа-врсменн и массы гравитона.

Параметрический метод, разработанный нами в диссертации, может быть использован при анализе радиального движения массивных и безмассовых частиц в метрике Вайдья.

Найденные нами зпконы движения частиц в этой метрике могут использоваться для аналчза экспериментальных данных, получаемых во время наблюдения вспышек Сверхновых. По нашему мнению, результаты 7 главы настоящей диссертации будут особенно полезны для анализа событий, наблюдавшихся при вспышке Сверхногой SN1987A, когда гравитационно-волновые детекторы в Риме (Италия), Мэриленде (США) и сейсмодатчикн в Москве согласованно зарегистрировали какое-то импульсное воздействие примерно за одну секунду до прохождения нейтринного импульса от взрыва Сверхновой SN1987A.

Результаты расчетов этой главы также могут найти применение при постановке экспериментов по оценке величины массы гравитона и решении вопроса о том какие модели теории гравитации - с массивным или безмассовым гравитоном - наиболее адекватны природе.

Разработанные в диссертации новые методы тензорной алгебры значительно расширяют круг задач, которые можно решать в различных метрических теориях гравитации. Эти методы, помимо теории гравитации, можно использовать во многих областях физики и механики сплошных сред для проведения различных тензорных преобразований и расчетов, а также для дальнейшего развития тензорной алгебры.

Личный вклад автора. Все результаты, оценки и алгоритмы, выносимые на защиту, получены автором диссертации лично.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на двух всесоюзных конференциях "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Университет Дружбы Народов, 1984 г., Ереванский гос-уннверситет, 1988 г.), всесоюзных семинарах "Современные проблемы гравитации" (Томский госуниверситет, 1987 г.), "Движение материальных сред в релятивистских полях тяготения" (Казанский госуниверситет, 1989 г.), на рабочем совещании "Современные проблемы гравитации" (Якутский госуннверситет, 1990 г.), двух Российских гравитационных конференциях (г. Новгород Великий, 1996 г. и г. Владимир, 1999 г.), научном семинаре "Обратные задачи математической физики и смежные вопросы" (Московский госуннверситет, 1999-2000 г.г.), IX научной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", посвященной восьмидесятилетию академика РАН Александра Андреевича Самарского (Московский госуниверситет, 1999 г.), Международной конференции "Проблемы теоретической и математической физики", посвященной памяти академика РАН Николая Николаевича Боголюбова (Математический институт им. В.А.Стеклова, 1999 г.) и на научном семинаре кафедры.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит нз введения, восьми глав, заключения и списка литературы (125 названий). Общий объем диссертации составляет 228 страниц. По теме диссертации опубликованы 24 работы, список которых приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении сформулированы цели работы и кратко излагается содержание диссертации.

Первая глава диссертации носит, в основном, вводный характер.

В § 1 обсуждаются системы нелинейных уравнений, которые применяются в современных математических моделях теории гравитации.

В § 2 приведены основные точные решения нелинейных уравнений гравитационного поля, имеющие непосредственное отношение к тематике диссертации.

В § 3 изложены основные экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что гравитационное взаимодействие в природе нелинейно н поэтому должно описываться нелинейными дифференциальны-

ми уравнениями.

В § 4 перечислены основные математические проблемы современной теории гравитации и существующие математические методы, применяемые при исследованиях в нелинейной теории гравитации.

Во второй главе диссертации нами развивается новый метод, получивший название метода суперпотенциалов, для решения задач об излучении гравитационных волн электромагнитными источниками.

В § 5 излагается известная процедура линеаризации уравнений общей теории относительности Эйнштейна в случае излучения слабых гравитационных волн. В этом случае исходные линеаризованные уравнения Эйнштейна имеют вид:

16тг ,„.

О Фт( = —т—Тт1. (1)

с4

Так как в рассматриваемом круге задач источником гравитационной волны является суперпозиция постоянного электромагнитного поля и сферической электромагнитной волны частоты и, то гравитационное поле этой системы будет состоять из трех частей: статического гравитационного поля и гравитационных волн с частотами и и 2ш. Однако в силу поперечности электромагнитных волн амплитуда гравитационной волны с частотой 2ы будет чрезвычайно малой и ее, также как и статическое гравитационное поле, мы не рассматриваем.

Тогда компоненты возникающей гравитационной волны частоты и могут быть выражены через векторные функции и называемые суперпотенциалами. Основой метода суперпотенциалов являются две теоремы, доказанные в § 6.

Теорема 6.1. Пространственные компоненты слабой гравитационной волны Ф0/3(и), возникающей в результате взаимодействия сферической электромагнитной волны частоты и, источник которой находится в точке г = го, с постоянным электромагнитным полем, источник которого помещен в точку г = п, имеют вид:

Ф«/»И = + - - (2)

.даа да„л~ (о)г., - да^ -

где Ф^^) - общее решение однородного уравнения (1), к — w/c, a,ß и Laß - операторы дифференцирования по координатам точек г = го

и г = ri, соответственно, a Q'7 - суперпотенцнал, удовлетворяющий уравнению:

dq0= (х" - xï) exp[i(k\r - - wt)}

Конкретный вид операторов äß и Laß зависит от мультнгюлыюстн электромагнитной волны, ее диаграммы направленности и от мультпполь-ности постоянного неоднородного электромагнитного поля. В простейшем случае излучения днполыюй электромагнитной волны операторы содержат частные производные первого порядка, в остальных случаях порядок используемых частных производных выше.

Теорема 6.2. Пространственные компоненты слабой гравитационной волны Фа/з(<х>), возникающей в результате взаимодействия плоской электромагнитной волны частоты w с постоянным электромагнитным полем, источник которого помещеп в точку г — г\, имеют вид:

ф«,эН = + A*oLßi + Ьа.уА„р + kvßlAau+ (4)

+^[2 LV1AÜV + A ^A^jw1 + Ф^И,

где постоянные коэффициенты АПт определяют поляризацию электромагнитной волны, a Wß - суперпотенцнал, удовлетворяющий уравпе-пню:

□ Wß = -У ~*}}exp[i{kz - ш1)}. (5)

|г — ri|J

Решения уравнений (3) и (5) для суперпотенцналов W и Q даны в двух теоремах, доказанных в § 7.

Теорема 7.1. Частное решение уравнения (5) для суперпотенцпала W имеет вид:

w=±t_г - Г! - [г - n\ez

х{ехр ik(z — zi) — exp ik\r— ri|) exp[i(£zi — wt)].

Теорема 7.2. Частное решение уравнения (3) для суперпотенцпала Q имеет вид:

zt г гйо . г - п , , ехрг'А-|г - г0| - ехрг!-(Д0 + |'т- ni) > , . ,, Q =z —\ —- -f ——— {---^-- f expl— tut),

2k Ro |r — fi| [Äo|r-fi|+(ftfo)-(fiJM]

где Д0 = го - гI ■

Таким образом, метод суперпотенциалов позволяет найти решение задачи об излучении гравитационных волн при распространении электромагнитной волны во внешнем электромагнитном поле любой муль-типолыюсти путем простого дифференцирования выражений (6) или (7) для суперпотенциалов в соответствии с соотношениями (2) или (4).

В § 8 доказана теорема, обосновывающая построение решения задачи об излучении гравитационных волн электромагнитными источниками конечных геометрических размеров. В § 9-§ 11 развитый метод суперпотенциалов используется при решении некоторых конкретных задач, которые до этого не были решены другими методами.

Существовали, по крайней мере, две причины, почему эти задачи не были решены ранее. Во-первых, в этих задачах источник, стоящий в правой части уравнения Даламбера, оказывается не равным нулю во всем пространстве. В результате в данных задачах отсутствует обычно используемый малый параметр Ь/Л (Ь - максимальный линейный размер источника, 11-расстояние от источника до точки наблюдения) и стандартные методы разложения запаздывающего потенциала были неприменимы. И, во-вторых, выражения, стоящие в правых частях системы уравнений Даламбера (1), в этих задачах имели достаточно сложный вид: даже в простейших случаях эти выражения имели более десятка слагаемых.

Применение метода суперпотенциалов, разработанного во второй главе диссертации, позволило преодолеть эти препятствия и решить ряд наиболее интересных задач.

Это задачи о излучении гравитационных волн, возникающих при прохождении сферической электромагнитной волны через поля: куло-новского центра (§ 9), электрического и магнитного диполей (§ 10), а также через постоянное и однородное магнитное поле(§ 11). Во всех перечисленных случаях найдены и проанализированы компоненты возникающего излучения, построены диаграммы направленности и исследованы основные предельные случаи.

В третьей главе диссертации метод суперпотенциалов развивается для другого класса задач - для задач об электромагнитном излучении, возникающем при воздействии гравитационных волн Фар на постоянные неоднородные электромагнитные поля Е^ и Нр*\ Для этого в § 12 система общековариантных уравнений Максвелла линеаризуется по амплитуде слабой гравитационной волны. Тогда уравнение для 4-потенциала возникающей в результате взаимодействия электромагнит-

ной волны принимает вид:

где введены следующие обозначения:

Ли = "Л"« Л

-г Ш' , -

= ТОГ + го* М

Решение полученного неоднородного уравнения (8), в силу теорем, доказанных в § 13 и § 14, выражается через суперпотенцналы (0) и (7). В § 15 метод суперпотендиалоо обобщается на случай протяженных источников. Разработанный в третьей главе метод применяется для решения некоторых конкретных задач, которые до этого не были решены другими методами. Это задачи об электромагнитном излучении, возникающем при распространении гравитационных волн в постоянном однородном электромагнитном поле (§ 16) и в поле электрического диполя (§ 17). Во всех перечисленных случаях найдены и проанализированы компоненты возникающего излучения, построены диаграммы направленности и исследованы основные предельные случаи.

В четвертой главе диссертации проводится развитие метода спиновых коэффициентов для интегрирования нелинейных уравнений биме-трическнх моделей теории гравитации.

Для этого в § 18 проведен анализ основных уравнений метода спиновых коэффициентов в общей теории относительности и выяснено какие уравнения этого метода можно использовать без изменения в биметри-ческих моделях теории гравитации.

В § 19 анализируются два способа задания метрических тензоров при использовании метода спиновых коэффициентов в биметрических моделях теории гравитации и обосновываются преимущества их задания в виде:

Лк = РооЩПк + Р22кЬ + Ро2т>тк + Ро2гп*т*к + +Рзз[тт'; + гпкт*] + Рц[/,'П,С + 1кщ] + Р{2[кт1: + 4 т,] + +Рп[1>т1 + 1кт*] + [п;тк + пкпц] + Р01[щт*к + пкт*], где 1к,пк,тк,т1 - четыре специальных базисных изотропных вектора.

<7,7; = Ьпк + 1'г.гц - 1Щт*к - ткт*

>>

(9)

. В § 20 доказана теорема, на основании которой можно определить неизвестные коэффициенты Раь, входящие в выражения (9) для метрического тензора уи,.

Для того чтобы сформулировать эту теорему, введем обозначения:

т — к 1зт 4" X7к V' 7+ 4 т ")к1 + Х7] Ут Цк1 VI Укт

- V/ ЧЛкт ~ V™ Х7к 7у ~ Чк V». 70' + - Gi|kmGnJ|]чn, -

-ь1т {Сщк Фцдк1 + <1>к19]1 - Ъхкдц - \к + '¿^[<ИкЗз1 - gjigkl]} --Ь\{С^1т + Фцд,т + ^¡тди - фшдц - + 2К[дшдц - +

+Ь) {Сшт + Фидкт + ЪктЯН ~ Ф{тЯк1 ~ ФиА'т + Щд{тди ~ дндкт]} + + Ь\ {С{т]к + Ф.'^/ст + фкт9]1 ~ <^гк9т] ~ Фт^Тс + 2\\gik9jm ~ },

<?п,ы = ^ { V/ 1кп + Чк1п1 - Чп7к1}, ь) = д,к1кз,

где к - ковариантная производная по связности псевдориманова пространства -времени с метрическим тензором дц:,

Ф* = ^Ыд1т1,т - 47«] + Щт{к - \д>кТ],

т2с2 Гм ,т . 7Г

Обозначим также через а-7, V, с-7, /г-7 некоторый набор из четырех базисных векторов Р, п-7, т-7, т*-7.

Теорема 20.1. Тетрадные уравнения, определяющие функции Раь в биметрических теориях гравитации, построенные на основе псевдоевклидова пространства - времени, имеют вид:

Ааьсн = А^1таЧкс1Ьт = 0, (10)

причем линейно независимыми среди них являются только двадцать уравнений.

В § 21 выведены дополнительные уравнения на коэффициенты Раь, которые следуют из уравнения релятивистской теории гравитации: >

Щу/Чя"] = + = 0,

где-Л),- - ковариантшия производная в псевдоевклидовом пространстве-времени.

Пятая глава диссертации посвящена проблемам применения вычислительной техники для аналитического интегрирования нелинейных уравнений биметрических моделей теории гравитации.

Для этого в § 22 проведена оценка числа слагаемых в уравнениях дли спиновых коэффициентов. Так как из 256 тетрадных уравнений (10) только 20 будут независимыми, то в § 23 установлены независимые наборы тетрадных проекций новых уравнений для спиновых коэффициентов. Наборы векторов а-7 ,Ьк ,ср, /г', соответствующие этим двадцати независимым уравнениям, имеют вид:

a-»' bk с? hl aß bk CP h1 ai bk cP hl

P nk P n' P nk TIP m*1 P mk IP m*1

P mk IP ml P nk F m1 P m*k TlP m*'

P m*k IP m*' P nk IP mw P m*k m? m"

ni mk nP in1 P nk nP m< iP ь m nP ■in*1

n' m*k np m*1 P nk mP m nj mk mP m*'

mJ m*k mP m*' P mk nP ml nj rn*k mP m*!

P mk mP m*1 P m*k nP m'

В этом же параграфе выражение (10) путем тождественных преобразований приведено к виду, резко снижающему требования к ресурсам оперативной памяти при проведении аналитических расчетов на ЭВМ.

В § 24 разработан алгоритм построения тетрадных проекций новых уравнений для спиновых коэффициентов н в § 25 проведено причисление метода спиновых коэффициентов для получения некоторых излучатель-ных решений биметрических моделей теории гравитации с помощью компьтерной алгебры REDUCE.

Шестая глава посвящена нахождению новых точных решений нелинейных уравнений гравитационного поля.

В § 26 проведено нахождение частного решения уравнений релятивистской теории гравитации методом неопределенных координат. В результате точное решение этих уравнений в случае цилиндрически симметричного поля было получено нами в виде:

со

<7оо = 1 + s{CoI<o{mr „(»"') соs(n<p + i>,l)i,

n=l

оо

Soz = C0K0(mr) + 2 ^ CnKn(mr) cos{mp + ?/'„),

n=i

со

3zz = —1 + ч{СоКо{тг) CnKn{mr) cos {nip + фп)}>

n — 1

9rr = -1, 0<t<? = -r2-

где Kn(x) - модифицированные функции Бесселя третьего рода, s = ±1, а Со, Сп и 1рп - произвольные постоянные.

В § 27 проведено исследование модели цилиндрического источника гравитационного ноля, образуемого электрическими зарядами с плотностью р{г, <р), движущимися вдоль осп г. Как показало совместное решение уравнений Максвелла и уравнений гравитационного поля релятивистской теории гравитации при выполнении сс отношения J(r, ip) = ~scp(r, <р) между плотностью заряда р(г, ¡р) и плотностью топа J(r, ip), метрические тензоры принимают вид:

<7оо = 1 + W, g,.z = sW, g2Z = -1 + IV, 7оо = 1,

_ _ 1 _ _

"irr - 7ZZ — J-! f.Ctp — g<ftp — ~f ;

причем Ev — Er — 0 при r < b и Ev = 0, Er = Ix! r nPn r>b, а

oo

TI, lß(-r'x2 r ,mcr. С dr ncr. .

w = —/ 7 npu r< 11

b

r oo

lßGx2 г ,, ,mcr. f dr T ,mcr _ ,mcr f dr „ .шсг.,

W = - — J ) + Io(-r) J -yKoi-j-)}

b r

при r > b.

В Jj 23 при тех ;ке услогиях на J(r, ç>) л p(r, ip) найдено но,soi точное решение уравнений Эйнштейна - Максвелла.

В § 29 решена система уравнений релятивистской теории гравитации и уравнений Максвелла и найдена метрика, создаваемая плоской эллиптически поляризованной электромагнитной волной согласно уравнениям гравитации с массивным гравитоном. В этом случае при совместном решении уравнений Максвелла и уравнений гравитационного поля релятивистской теории гравитации были получены следующие выражения:

д00 = 1 -I- W, g«* = sW, gZz =-1 + W, 700 = 1, (11)

!.'rx — gyL, = — 7 ■ J ~ "Îzz — _lj

Ех — sHy — /1 (ct - sz), Ey = ~sHx = f2(ct - sz),

W = -^[f!(ct-sz) + fi(ct-sz)}.

Следует отметить, что метрика (11) не допускает предельный переход т —^ 0, так как в общей теории относительности Эйнштейна плоские электромагнитные и скалярные волны создают гравитационное поле, у которого структура метрического тензора (отличные от нуля компоненты) отличается от структуры метрического тензора (11) релятивистской теории гравитации.

В § 30 рассмотрена модель лазерного источника гравитационного поля и получено точное решение, описывающее это гравитационное поле. В этой задаче радиус лазерного луча в поперечном направлении предполагается равным г о. Тогда структура метрического тензора остается той же самой, что и метрика (11) плоской электромагнитной волны, однако функция W принимает другой вид:

... 4Gñ2 ( mero „ ,mcr0 ,mcr , , ,

W = )}[/?(<* - sz) + /22(cí - sz)}

при Г < Го и

4Ghr0 mcr0 mcr i 2

= —d~sz) + /2 (cí - s¿)]

при Г > Го-

В седьмой главе проведено развитие методов интегрирования нелинейных уравнений геодезических для ряда точных решений теории гравитации.

Как известно, в псевдоримановом пространстве-времени движение массивных и безмассовых частиц, не подверженных действию сил негравитационной природы, происходит по геодезическим этого пространства -времени. Уравнения геодезических для массивных частиц имеют вид:

rfTji

^ + rnlUnUl = 0, (12)

где ds - интервал, a U' = dx'/ds - четырехвектор скорости частицы.

Этот четырехвектор является времениподобным, так как удовлетворяет условию: U'Ungin = 1.

Уравнения геодезических для безмассовых частиц имеют иной вид:

У£- + гп1кпк1 = 0, (13)

где а - некоторый параметр, К' = ¿х1 /¿и - волновой четырехвектор.

Этот четырехвектор является изотропным, так как удовлетворяет условию для электромагнитных лучей: КЧ\пд{п — 0.

Таким образом, с математической точки зрения уравнения геодезического движения массивных и безмассовых частиц в исевдорнмановом нространстпс-премсгш представляют собой системы обыкновенных, но нелинейных, дифференциальных уравнений, общих методов интегрирования которых в настоящее время не существует. Вместе с тем имеется большое число точных решений уравнений гравитационного поля, описывающих очень важные для астрофизики ситуации, для которых нелинейные уравнения геодезических (12) н (13) не проинтегрированы. В результате этого законы движения частиц в таких полях остаются неизвестными, что не дает возможности проверить в астрофизических наблюдениях предсказания теории.

Одним из таких решений является метрика Вайдья, найденная еще в 1948 году. Эта метрика описывает гравитационное поле вне сферической звезды, которая излучает сферически симметрично безмассовые частицы. В настоящее время в качестве такого излучения обычно рассматривают электромагнитное и нейтринное излучения звезд, как в обычном ("спокойном") состоянии, так и при взрывах Сверхновых.

Согласно уравнениям Эйнштейна интервал для этого случая имеет

вид:

= ^ _ 2Л^) + _ г2[л?а + (и)

где используется система единиц, в которой (7 = с = 1.

Масса звезды М(ги), входящая в это выражение, в отличие от метрики Шварцшильда, зависит от запаздывающего времени т Эллингтона - Финкельштейна и эта зависимость предопределяется законом излучения звезды: (1М(и))/11хи = —/(го), где /(ю) - количество энергии, излучаемое звездой по всем направлениям в единицу времени.

Геодезические пространства Вайдья до сих пор не исследованы, хотя такие попытки и предпринимались. Основной сложностью на этом пути, как нам кажется, является большая неопределенность ь функциональной зависимости М = М(ю). Так как звезды с течением времени проходят различные стадии эволюции: от взрывов Сверхновых, когда их излучение экстремально велико, до медленно угасающих белых карликов, нейтронных звезд и черных дыр, то для звезды функция М = М(го) имеет качественно различный вид на разных этапах эволюции.

Для интегрирования уравнений геодезических в пространстве Вай-дья и, тем самым, для нахождения законов движения частиц в этом пространстве, в § 31 разработан и применен параметрический метод. Основная идея этого метода достаточно проста: предлагается искать зависимость всех переменных, входящих в уравнения (12) и (13), как функции некоторого параметра Р.

На основе этого метода впервые удалось найти уравнения траекторий и законы движения частиц по этим траекториям в гравитационном поле (14) излучающей звезды при широком диапазоне зависимостей М = М(Р) массы звезды от параметра Р.

В § 32 интегрируются уравнения геодезических в гравитационном поле цилиндрического источника, а в § 33 проведено исследование геодезического движения в метриках, создаваемых плоскими волнами.

Восьмая глава посвящена разработке математических методов тензорной алгебры в псевдоримановых пространствах и проведено их применение к задачам нелинейной теории гравитации. Доказанные в этой главе формулы расширяют возможности применения тензорной алгебры к исследованиям не только в теории гравитации, но и в других разделах физики.

В § 34 доказаны теоремы о тензорных соотношениях в произвольном псевдоримановом пространстве которые являются основой для наших исследований в теории гравитации.

Дадим некоторые определения, которые используются в этой главе.

Пусть в /^-мерном псевдоримановом пространстве Я^ м_р, т.е. пространстве, сигнатура метрики которого содержит р знаков плюс п N—р знаков минус, задан некоторый ковариантный тензор второго ранга Фп;(х). Назовем в-ой степенью данного тензора тензор Фпт(ж), построенный из произведения & тензоров Фт( [х), индексы которых свернуты метрическим тензором д,к пространства по правилу:

а

Сворачивая оставшиеся индексы в этом выражении, получим инвариант э-ой степени этого тензора:

При в=0 будем полагать = д^, в результате чего инвариант нулевой степени любого тензора второго ранга совпадает с размерностью пространства: 1о = N.

Если тензор Ф'/;(.г) является невырожденным (Ле/ЦФ'^Ц ф 0 ) , то можно определить обратный к нему тензор \кт в соответствии с равенством:

В начале § 34 доказаны основные леммы, которые позволяют представить произведение двух аксиальных тензоров Леви-Чпвиты в виде определителя, элементами которого является метрический тензор.

Затем доказана теорема, утверждающая, что ]М-ая степень произвольного тензора второго ранга в ¡4- мерном псевдоевклидовом пространстве является линейной комбинацией низших степеней этого же тензора:

=-у{о) (15)

¿=1

где

коэффициенты У ^ с гре/.еляются рекуррентным уравнением

5-1

в '

к=О

а у(°) -любое, не равное нулю, число.

Определитель тензора Ф,т;(х) непосредственно связан с коэффициентом У

у(ЛГ)

<1е№т\\ = {-1)гг -тущ.

Далее эта теорема обобщается на случай произвольного псевдорн-манова пространства и на ее основе доказана теорема: тензор

Хкт , обратный к невырожденному тензору второго ранга Ф'^ж), в N -мерном псевдоримановом пространстве имеет вид:

з=0

Также доказана теорема, утверждающая что в произвольном псевдоримановом пространстве коэффициенты входящие в выражение (15), определяются формулой

.-(5) \ I й.2 г

к = 1

где Г+ -произвольный малый (|г| < 1) контур, охватывающий полюс г=0 подынтегральной функции и обходимый в положительном направлении.

Полученное соотношение (16) позволяет исследовать аналитическую зависимость У^' от инвариантов степеней тензора Ф;т в произвольном псевдоримановом пространстве Л^ ЛГ_р.

Кроме того, доказано, что результат последовательного перемещения произвольного тензора ф1т через N-1 степень любого тензора второго ранга Фт„ в псевдоримановом пространстве определяется выражением:

^ф^-1'++... +Ф = ++• • •+

+ + • • • М?~3)Фкт]-----

• Ф{1) + • Ф'к + • + • • • +

[ф|Г"2) -^'Чу (1) -ф|Г3) (2) -ф!Г4)-Ф{к+-• -+у +

причем коэффициенты У(*) = у(4)(фС0) определяются из выражения (16).

Затем приводятся все полученные соотношения в случае, когда тензор второго ранга является антисимметричным.

Поскольку современная теория гравитации использует представления о четырехмерном псевдоримановом пространстве-времени, то в § 35 все основные соотношения, полученные в § 34, записываются в явном виде для случая четырехмерного псевдориманова пространства-времени.

В частности для определителя произвольного тензора Ф,-^ (а;) получено следующее выражение:

<М|Ф,-*|| = ¿[зII - 6/4 + 8/1/3 - 6Ы1 + /х4].

Четвертая степень тензора второго ранга в этом случае может быть выражена через три низших степени этого тензора, метрический тензор псевдоевклидова пространства-времени и инварианты:

= ¿{24*^ ' Д + 12Ф$ " (/2 - /?)+ (17)

+4Фтг ■ (2/3 + - ЗА/2) + 1т, • (6/4 - 3/| - 8/х/3 + 6Ы\ - /?)}.

И, наконец, выражение для тензора, обратного к невырожденному тензору второго ранга Ф'^г), имеет вид:

_ 47ьт(2/3 - 3Л/2 + /?) - 12ФЬп(/:2 - /а) + 24ф£%Л - 24Ф^, [3/| - 6/4 + 8/1 /3 - 6/2А2 + /?]

Кроме того, в § 35 доказаны теоремы о других тензорных соотношениях, которым удовлетворяет тензор второго ранга в четырехмерных, трехмерных и двумерных псевдорпмановых пространствах. Среди них наиболее универсальной оказалась

Теорема 35.1. В произвольном четырехмерном псевдоримановом пространстве -времени Яр справедливо следующее тензорное соотношение:

Фак[Фы(ФзтФы ~ ФцФпт) ~ Фът{Ф^Фп1 ~ ФцФп<) + (18)

Фы ( Фз I Фп т - Ф]тФы)} ~ Фаг[Фьк(ФзтФп! ~ ФцФпт)~ ~Фьт{Ф]кФп1 ~ ФцФпк) + Фы{ФзкФ пт Утт Фпк)] + +Фат[Фък{Ф]1Фп1 - ФцФы) ~ Фы{Ф]кФп1 ~ Ф]1Фпк) +

Фы{ФjкФпг - Фз1Фпк)] ~ Фа^Фьк^^пт ~ ФзтФы)~ -фы(ФзкФпт ~ ФзтФпк) + Фьт(Ф}кФпг ~ ФцФпк)] =

— С*{дак[ды&тдп1 - дцЯпт) - 9Ът{9з19п1 - 9j^9ni)+

+gы(gjignm - ^т.'/ш)] - даАдьк{дзтдп1 - дцдпт)—

—дът (gjkgnl - дцдпк) + ды{дзкдпт - д]т9пк))+

+дат[дьк{дз{дП1 - д^ды) - ды{эзкдП1 - д]И1пк)+

+ды{гЛкд,и - дзгдпк)} - да1[дьк(дз1дпт - д]тд,и)~

-ды{дзкдпт - дзтдпк) + gьm{gjk9ni - ЗлЗпь)]},

\це а = + 8^(1)^(3) + Щ2) ~ бф(л) ~ бф^Ф^УМ-

Следствием тензорного соотношения (18) является соотношение

Фы{Ф™Фп1 - Ф^Фтп) - Фьш(Ф^)Фы - Ф^Фш) +

+ Фы(Ф%}Фп,П ~ фЩфш) ~ ФаАФ^Фш ' Ф^Фпш-

~Фьт{Ф(1)Фп1 ~ ФпЬ + Фы{Ф(1)Фпт ~ Ф$,г)] + +Фат[Фь?Фп1 ~ Фы^Фт ~ Фы{Ф(1)Фп1 ~ Ф$) + +Фы{Ф(1)Фы - Фы)] - ФАФьТФтп - Ф(ь1ФШ-Ф'Ы (,Ф{1) Фп т ~ Ф{п1) + Фьт{Ф(1)Фы ~ = = уд\ды{да1дПт - Затды) + дьт^ыды - д^ды)-

-ды(да{д™ - датды^Фщ + 8Ф(1)Ф{з) + Щ2) ~ ^Фц) ~ вФ^Фщ],

получаемое из (18) сверткой индексов к и ]. Сворачивая у этого соотношения индексы а и г, приходим к соотношению:

2{Л»! - ^Чпт + Ф^Фьт ~ Ф$пФы+ (35.10)

- + [Мппг - фьтф,а](ф(2) - +

+2{ф{ы]фпт - Ф^Фьш + фЮфы - ф11\фы}ф( 1) =

= [дЬтд"1 ~29Ы9пт] {ф*(1) + 8ф{1)ф{3) + Щ2) - 6^(4, - 6^(1)}-

Если теперь свернуть индексы 6 и п, то получим соотношение (17).

В § 36 доказаны теоремы о тензорных соотношениях для тензора электромагнитного поля в произвольном четырехмерном псевдорима-новом пространстве-времени.

В § 37 проведено применение методов тензорной алгебры к биме-трическпм моделям теории гравитации.

Как известно, в настоящее время в научной литературе рассматриваются несколько различных биметрических теорий гравитации. В этих теориях, как это следует из названия, используется два метрических тензора: метрический тензор фонового пространства-времени 7 и метрический тензор риманова пространства-времени <7,^. Согласно идеологии биметрических теорий гравитации воздействие гравитационного поля на другие поля п частицы осуществляется через метрический тензор дц, , который является функцией от метрического тензора 7,7; и гравитационного поля Ф,/.-: д{к = д{к{~/т1, Фтг)- В частности, в биметрической теории гравитации Розена метрический тензор

и, связан с метрическим тензором 7,7,- и тензорным гравитационным олем Фц; достаточно простым соотношением:

3{к = Лк+Ф{к. (19)

В релятивистской теории гравитации метрический тензор дц< свя-ан с метрическим тензором у,/: и гравитационным полем Фц: более ложным соотношением:

у/Ч-д'^у/Ч + (20)

Наличие в биметрнческих теориях двух метрических тензоров по-ождает ряд вопросов (о знаке определителя метрического тензора, о ахождешш аналитического вида обратного тензора, об условиях, обес-ечивающих невырожденность метрического тензора псевдорпмапова ространства-временн и другие), которые обычно отсутствуют в стан-артной теории гравитации.

Для решения этих вопросов в наиболее разработанных бпметри-еских теориях гравитации нами были использованы математические [етоды тензорной алгебры, развитые в § 34- § 30.

В частности, в § 37 доказано, что определитель g метрического ензора (19) в теории гравитации Розена является следующей функцией нвариантов степеней тензорного гравитационного ноля Ф^:

9=^0, (21) где 7 -определитель метрического тензора 7,-^,

О = + 4У? + Ш2 + 24Л - - 12^2--127а + 8Л./3 + 3722 + - 074 + 24],

степени тензора Ф;/; и их инварианты Л, </2, Л, «А строятся с помощью етрического тензора 'ць фонового пространства-времени.

Кроме того, найдено следующее выражение для контравариантных омпонент метрического тензора д'п' в этой теории:

д™ = -¿{24Ф$ - 24Ф"") • (1 + -Л) + 12Ф"1' • (2 + + 3\ - Л)-' -47™ • (6 + 6Л + З^2 - Ъ32 - ЪМг + 2/3 + •/?)}•

Совершенно аналогично доказано, что определитель метрического тензора (20) в релятивистской теории гравитации может быть представлен в виде (21), а ко- и контравариаптные компоненты метрического тензора псевдориманова пространства в этой теории имеют вид:

Кроме того, доказана теорема, что для невырожденности метрического тензора эффективного риманова пространства-времени в биме-трической теории Розена и в релятивистской теории гравитации необходимо и достаточно, чтобы ни одно из собственных значений тензора гравитационного поля Ф,-* не равнялось минус единице.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации и выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Денисова И.П. О детектировании гравитационных волн в поле электрического диполя. - В: Тезисы У1 всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации": М.: Из-во Университета дружбы народов, 1984, с. 204-205.

2. Денисова И.П. Электромагнитно-гравитационная трансмутацня в кулоновском поле. - В: Сб.: Аналогии гравитационных и электромагнитных явлений: М.: Из-во Университета дружбы народов, 1985, с. 103-110..

3. Денисова И.П. Гравитационное излучение сферической электромагнитной волны в полях электрического и магнитного диполей. -В: Сб.: Проблемы гравитации и теории относительности: М.: Из-во Университета дружбы народов, 1986, с. 66-73.

4. Денисова И.П. Алгебраическое соотношение для тензора второго ранга в римановом пространстве. - В: Тезисы УН всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы

9(к —

24Ф,® - 24Ф{? • (1 + Л) + 12Ф,Й • (2 + 2Л + 3\ - 32) -47,Й ■ (6 + 6Л + Ъ3\ - Ъ]г - ЗЛЛ + 2/3 + Л3)}.

теории относительности и гравитации": Ереван: Из-во Ереванского госуниверситета, 1988, с. 61-63.

5. Денисова И.П. Излучение гравитационных волн сферической электромагнитной волной в постоянном поле. - В: Сб.: Гравитация и фундаментальные взаимодействия: М.: Из-во Университета дружбы народов, 1988, с. 38-39.

6. Денисова И.П. Взаимодействие сферической гравитационной волны с межзвездным магнитным полем. - В: Сб.: Гравитация и элек-тромагнитнзм: Минск: Из-во Университетское, 1988, с. 83-85.

7. Денисова И.П. Степени тензора второго ранга в пространстве RpN-p- ' Сб.: Гравитация и гипотетические взаимодействия: М.: Из-во Университета дружбы народов, 1989, с. 54-55.

8. Григорьев В.И., Денисова И.П. К задаче о степенях тензора второго ранга в N - мерном псевдоримаповом пространстве. - М.:, 1994, - 8 с. /Препринт НИИЯФ МГУ: № 94-41/363. - 8 с.

9. Денисова И.П. Об уравнении связи в релятивистской теории гравитации. //Теоретическая и математическая физика, 1995, т. 105, № 3, с. 508-511.

10. Григорьев В.И., Денисова И.П. Некоторые новые соотношения тензорной алгебры. //Вестннк Московского университета, сер. 3, 1996, № 2, с. 3-8.

11. Денисова И.П. Развитие метода потенциалов для задач регистрации гравитационных волн электромагнитными полями. В: Тезисы докладов 9 Российской конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации". Из-во РГО, 1996, с. 181.

12. Вшивцев A.C., Денисова И.П. Метод суперпотенциала в задаче излучения слабых гравитационных волн электромагнитными системами. //Известия ВУЗов, физика, 1997, № 6, с. 37-43.

13. Денисова И.П. Нахождение частного решения уравнений релятивистской теории гравитации методом неопределенных координат. //Теоретическая и математическая физика, 1997, т. 112, № 3, с. 501512.

14. Григорьев В.И., Денисова И.П. Некоторые новые соотношения для тензора электромагнитного поля в псевдоримаповом пространстве-времени. //Вестник Московского Университета, сер.З, 1997, № 5, с. 15-17.

15. Денисова И.П. Исследование модели цилиндрического источника гравитационного поля. //Теоретическая и математическая физика, 1997, т. ИЗ, № 1, с. 162-167.

16. Denisova I.P., Dalai M. Development of the method of potentials for the problems of gravitation - electromagnetic conversion. //Journal of Mathematical Physics, 1997, v. 38, № 11, p. 5820-5832.

17. Денисова И.П. Метрика плоской эллиптически поляризованной электромагнитной волны. //Доклады Академии Наук, 1998, т. 360, N° 3, с. 335-336.

18. Денисова И.П. Модель лазерного источника гравитационного поля. //Теоретическая и математическая физика, 1998, т. 116, № 3, с. 474-480.

19. Денисова И.П. Развитие метода спиновых коэффициентов для интегрирования уравнений биметрических теорий гравитации. //Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, № 7, с. 935-941.

20. Denisova I.P. Tensor expressions in Rosen's theory of gravitation. In: Proceedings of the VIH-th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, (Jerusalem, Israel, June 1997) ed. T. Piran, World Scientific, Singapore, 1999, p. 439-441.

21. Денисова И.П. Нелинейные тензорные соотношения для задач механики сплошных сред в римановом пространстве. В: Тезисы докладов 10 Российской гравитационной конференции (Владимир, 20-27 июня 1999), М. 1999, с. 64.

22. Григорьев В.И., Денисова И.П. Параметрический метод интегрирования уравнений геодезического движения в пространстве Вайдья. М.:, 2000, - 8 с. /Препринт НИИЯФ МГУ: № 2000-11/615. - 8 с.

23. Денисова И.П., Григорьев В.И. Применение метода потенциала к задаче о взаимодействии сферической гравитационной волны с постоянным электромагнитным полем. Вестник Московского Университета, сер. 3, 2000, № 1, с. 3-4.

24. Денисова И.П., Зубрило А.А. Алгоритм применения компьютерной алгебры REDUCE для интегрирования уравнений теории гравитации методом Ньюмена-Пенроуза. //Математическое моделирование, 2000, т. 12, № 2, с. 59-67.

Денисова Ирина Павловна

Математические методы исследования задач нелинейной теории гравитации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано к печати 19.04.2000 г. Объём 1,9 п.л.

Тираж 100 экз.

Заказ № 13 от 19.04.2000 г.

Отпечатано в Множительном бюро УНЦ ДО МГУ, 119899, Москва, ГСП, МГУ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ Г1;»АВИТАЦИИ.

1. Системы нелинейных уравнений, применяемые в математических моделях теории гравитации.

2. Основные точные решения нелинейных зфавнений в теории гравитации.

3. Экспериментальные подтверлодения нелинейности гравитационного взаимодействия.

4. Математические методы теории гравитации.

ГЛАВА 2. МЕТОД СУПЕРПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ЗАДАЧ

ИЗЛУЧЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ.

5. Линеаризация уравнений для задач излучения гравитационных волн электромагнитными полями.

6. Основные теоремы метода суперпотенциалов.

7. Решение уравнений для суперпотенциалов.

8. Излучение гравитационных волн от электромагнитных источников конечных геометрических размеров.

9. Применение метода суперпотенциалов к задаче о распространении электромагнитной волны в кулоновском поле.

10. Излучение гравитационных волн сферической электромагнитной волной при ее распространении в полях электрического и магнитного диполей.

И. Применение метода суперпотенциалов к задаче о распространении сферической электромагнитной волны в постоянном электромагнитном поле.

ГЛАВА 3. МЕТОД СУПЕРПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ЗАДАЧ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ ;.

12.' Основные уравнения для задач излучения электромагнитных волн гравитационными и электромагнрхтными полями.

13. Метод суперпотенциалов для задач с участием плоских гравитационных волн.

14. Метод суперпотенциалов для задач с участием сферических гравитационных волн.

15. Репхение задачи в случае протялсенных источников.

16. Применение метода суперпотенциалов для задачи взаимодействия сферической гравитационной волны с постоянным электромагнитным полем.

17. Применение метода суперпотенциалов для задачи электромагнитного излучения при распространении гравитационной волны в поле электрического диполя

ГЛАВА 4. РАЗВИТИЕ МЕТОДА СПИНОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИМЕТРИЧЕЖИХ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ.

18. Основные уравнения метода спиновых коэффициентов в обгцей теории относительности.,.

19. Изменение основных уравнений метода спиновых коэффициентов для задач биметрических моделей теории гравитации.

20. Новые уравнения метода спиновых коэффициентов для задач биметрических моделей теории гравитации.

21. Дополнительные уравнения релятивистской теории гравитации

ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ ДЛЯ

АНАЛИТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ.

22. Оценка числа слагаемых в уравнениях для спиновых коэффициентов.

23. Независимые наборы тетрадных проекцрп! новых уравнений для спиновых коэффициентов.

24. Разработка алгоритма построения тетрадных проекций новых уравнений для спиновых коэффициентов.

25. Применение метода спиновых коэффициентов для получения некоторых излучательных регдений биметрических моделей теории гравитации с помощью компьтерной алгебры REDUCE. Ill

ГЛАВА 6. НАХОЖДЕНИЕ НОВЫХ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

26. Нахолсдение частного решения уравнений релятивистской теории гравитации методом неопределенных координат.

27. Исследование модели цилиндрического источника гравитационного поля.

28. Новое точное решение уравнений Эйнштейна - Максвелла

29. Метрика плоской эллиптически поляризованной электромагнитной волны.

30. Модель лазерного источника гравитационного поля.

ГЛАВА 7. РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

УРАВНЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДЛЯ ТОЧНЫХ

РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ.144.

31. Разработка параметрического метода для интегрирования уравнений геодезического двилсения частиц в пространстве Вайдья.

32. Геодезические в гравитационном поле цилиндрического источника.

33. Исследование геодезического двилсения в метриках, создаваемых плоскими волнами.

ГЛАВА 8. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ В ПСЕВДОРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ.

34. Теоремы о тензорных соотношениях в произвольном псевдоримановом пространстве.

35. Тензорная алгебра в четырехмерном псевдоримановом пространстве-времени.

36. Соотношения для тензора электромагнитного поля в четырехмерном псевдоримановом пространстве-времени

37. Применение методов тензорной алгебры к биметрическим моделям теории гравитации.

Гравитация в современной науке занимает особое пололсение. Эта теория, затрагивая самые фундаментальные представления [1] о пространстве - времени, материи, развитрхи Вселенной, претендует на одну из ведущих ролей в современном естествознании.

Для адекватного описания гравитации используются достаточно слолшые в математическом отношенрхи модели, включающие в себя нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка и оперирующие понятиями римановой геометрии, тензорного анализа, топологии и других разделов математики. Поэтому для успепх-ного исследования этих моделей необходимо не только привлекать всю мощь математических методов, разработанных к настоящему времени в математике, но и разрабатывать новые математические методы.

Общая задача теории гравитации обычно состоит в нахолсдении решения уравненрш гравитационного поля, удовлетворяющего определенным начальным и граничным условиям, анализе физических следствий этого решения и в постановке экспериментов, которые проверили бы предсказание теории. Решение этой задачи представляет значительные математические трудности, связанные главным образом с нелинейностью уравнений и использованием многокомпонентных полевых переменных - тензоров второго ранга.

Вместе с тем калсдый новый теоретический результат, полученный при таком исследовании, представляет огромную ценность для экспериментальной физики, так как дает четкие ориентиры для постановки и проведения экспериментов по поиску новых гравитационных эффектов. Ярким примером последнего утверлсдения является разработка [2] параметризованного постньютоновского формализма - математического метода, который позволил с большой точностью рассчитать двилсение двойной пульсарной системы Р8К 1913+16 и обнарулшть потери энергии этой системой на излучение гравитационных волн [3-5]. Этот результат имел такое большое значение для физики, что Хале и Тэйлор, получившие его, были удостоены Нобелевской премии 1994 года.

В настоящее время в теории гравитации используется много различных математических методов [6-12], разработанных, в основном, для решения конкретных задач. Однако из-за нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих гравитационное взаимодействие, и использования многокомпонентных полевых переменных постоянно возникает проблема разработки новых математических методов для решения все новых и новых актуальных задач теории гравитации.

Этой проблеме и посвящена настоящая диссертация, в которой нами разработаны [43-45, 47-61, 81-82, 84, 87-88, 90] некоторые новые математические методы и на их основе проведено решение ряда конкретных задач нелинейной теории гравитации.

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, составляющие содержание настоящей диссертации и выносимые на защиту.

• ] 1. Разработан новый математический метод суперпотенциалов для задач излучения гравитационных волн при распространении электромагнитных волн в постоянном и неоднородном электромагнитном поле. Найдены решения уравнений для суперпотенциалов, возникающих в случаях распространения плоской и, соответственно, сферической электромагнитных волн через внешнее электромагнитное поле. На основе доказанных теорем построены выралсения для компонент излучаемых гравитационных волн, которые могут быть получены дифференцированием суперпотенциалов по координатам источника внешнего электромагнитного поля и по координатам точки, в которой находится источник сферической электромагнитной волны.

2. Разработан новый метод суперпотенциалов для задач излучения электромагнитных волн, возникающих при распространении гравитационных волн в постоянном электромагнитном поле. Доказаны теоремы и на их основе построены выралсения для компонент излучаемых электромагнитных волн, которые могут быть получены дифференцированием суперпотенциалов по координатам источника внешнего электромагнитного поля и по координатам точки, в которой находится источник сферической гравитационной волны. Использование этого метода позволило свести решение конкретных задач об излучении электромагнитных волн при распространении гравитационной волны через внешние электромагнитные поля к простому дифференцированию выралсений для суперпотенциалов.

3. Проведено применение разработанных методов суперпотенциалов к решению задач, которые до этого не были решены, об излучении гравитационных волн сферической электромагнитной волной, распространяющейся в электромагнитных полях: кулоновского центра, электрического и магнитного диполей, а также в постоянном и однородном магнитном поле. Построены диаграммы направленности возникающего излучения и проанализированы основные предельные случаи.

• i 4. Решены задачи об электромагнитном излучении, возникающем при воздействии гравитационной волны на поля электрического диполя и межзвездного магнитного поля. Исследованы диаграммы направленности и характерные свойства этого излучения.

5. Разработан метод спиновых коэффициентов, позволяющий находить частные решения нелинейных уравнений гравитационного поля в биметрических моделях теории гравитации. Доказана теорема и на ее основе выведены новые уравнения, которые доллшы использоваться при применении этого метода к задачам биметрических моделей теории гравитации.

6. Разработан алгоритм и создан пакет программ для проведения интегрирования уравнений гравитационного поля методом спиновых коэффициентов с использованием компьютерной системы аналитических вычислений Reduce.

7. Разработан метод неопределенных координат и на его основе найдены новые точные решения нелинейных уравнений гравитационного поля в общей теории относительности и релятивистской теории гравитации для задачи с цилиндрическим источником гравитационного поля.

8. Найдены новые точные решения уравнений гравитационного поля в биметрических моделях теории гравитации в случае, когда источником гравитационного поля являются плоскрхе электромагнитные и скалярные волны, и на их основе построена модель лазерного источника гравитационного поля.

9. Разработан параметрический метод интегрирования нелинейных уравнений геодезического движения и на его основе впервые найдены законы нерадиального движения массивных и безмассовых частиц в гравитационном поле излучающей звезды.

10. Проинтегрированы нелинейные уравнения геодезического движения частиц в гравитационном-поле цилиндрического источника, най-де'йы уравнения траекторий и законы движения частиц по этим траекториям и на этой основе проанализированы характерные особенности возможных траекторий.

И. Проинтегрированы уравнения геодезического движения частиц в гравитационных полях, которые, в соответствии с уравнениями биме-трических теорий гравитации с массивным гравитоном, создаются плоскими электромагнитной и скалярной волнами. Проведенное исследование выявило ряд специфических черт различных моделей теории гравитации, на основе которых могут быть проверены основные принципы этих моделей. В частности показано, что эксперименты с фотонами и электрически нейтральными массивными частицами в гравитационном поле электромагнитных волн, возникающих при вспышках Сверхновых, помогут проверить гипотезу о существовании массы покоя у гравитонов и измерить эту массу, если она больше 10~лл г.

12. Доказаны теоремы о - ой степени произвольного тензора второго ранга в пространствах Рр[дгр, а также о тензоре, обратном к невырожденному тензору второго ранга. Полученные общие формулы приведены как для произвольного тензора, так и для антисимметричного тензора. Найдено выралжние для коэффициентов, удобное для аналитических исследований. Построены коммутационные соотношения для произвольного тензора второго ранга с (Лл — 1) - ой степенью другого произвольного тензора второго ранга.

13. Доказаны теоремы о тензорных соотношениях в случае четырехмерного псевдориманова пространства-времени. На основе этих формул доказаны теоремы о выралсениях для ко - и контравариантных компонент метрического тензора эффективного псевдориманова пространства

-времени в биметрической теории гравитации Розена и в релятивистской теории гравитации, а также получены выралсения для определителей этих тензоров. Найдены условия на собственные значения тензора гравитационного поля, при выполнении которых обеспечивается невырожденность метрического тензора эффективного псевдориманова пространства-времени. Получены явные выралсения 5 - ой (5 >3 ) степени тензора электромагнитного поля через первые три степени этого тензора и два инварианта.

В заключение автор выралсает глубокую благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Муравью Леониду Андреевичу за внимание к работе и полезные советы, профессору Григорьеву Владимиру Ивановичу за помощь в изучении проблем биметрических теорий гравитации, а также всему коллективу кафедры прикладной математики за ценные замечания при обсулодении полученных результатов, способствовавшие успешной работе над диссертацией.

1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. 1, М.: Наука, 1965. -700 с.i 2. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 293 с.

2. Hülse R.A., Taylor J.H. Discovery of a pulsar in a binary system PSR 1913-Ы6. // Astrophys. J. Lett., 1975, v. 195, № 2, p. 51-53.

3. Taylor J.H., Fowler L.A., McCulloh P.M. Measurements of general relativistic effects in the binary pulsar PSR 1913-Ы6. //Nature, 1979, v. 277, p. 437-440.

4. Taylor J.H. Pulsar timing and relativistic gravity. //Class, and Quantum Grav. 1993, V. 10, p. 167-174.

5. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. М.: Мир, 1986. - 276 с.

6. Крамер Д., Штефани Ч., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Энергоиздат, 1982. - 416 с.

7. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979 . - 431 с.

8. Петров А.3. Пространства Эйнштейна. М.: Физматгиз, 1961. -363 с.

9. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Г. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 759 с.

10. И. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. -М.: Наука, 1966. 495 с.

11. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Физматгиз, 1961. - 504 с.

12. Narlikar V.V., Vaidya P.C. Non-static electromagnetic fields with spherical symmetry. //Proceedings of the National Institute of Science of India, 1948, v. 14, № 1, p. 53-54.

13. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука,1997. 239 с.

14. Самарский А.А. Численные методы и вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1998.- 518 с.i 16. Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна. М.: Наука, 1972. - 198 с.

15. Turner E.L. Statistics of tiie Hubble diagram. //Astroph. J., 1979, V. 230, № 2, p. 291-303.

16. Rosen N. Flat-space metric in general relativity theory. //Phys. Rev., 1940, V. 57, p. 147-156; //Ann. of Phys., 1963, v. 22, № 1, p. Ы1.

17. Rosen N. A bi-metric theory of gravitation. //Gen. Relat. and Gravit., 1973, V. 4, № 6, p. 435-447.

18. Will CM. Gravitational radiation from binary system in alternative metric theories of gravity. //Astrophys. J., 1977, v. 214, № 3, p. 826-839.

19. Goldhaber A.S., Nieto M.M. Mass for graviton. // Physical Review. 1974, v. D9,№ 4, p. 1119-1121.

20. Hare M.G. Limit on possible mass for graviton// Canadian Journal of Physics. 1973, V. 51, № 4, p. 431-433.

21. Freud P.G., Maheshwari A., Schonberg E. Finite range gravitation. // Astrophys. J., 1969, V. 157, p. 857-866.

22. Логунов A.A., Мествиришвили M.A. Релятивистская теория гравитации. М.: Наука, 1989 . - 301 с.

23. Логунов А.А., Мествиришвили М.А. Об основных принципах релятивистской теории гравитации. М.: Из-во МГУ, 1990, с. 9-15.

24. Логунов А.А. Основные уравнения для массивного гравитационного поля. //Теор. и мат. физ. 1992, т. 92, № 2, с. 191-206.

25. Логунов А.А. Теория гравитационного поля. //Вестник Московского университета, сер. 3, 1992, т. 34, № 4, с. 3-19.

26. Visser М. Mass for graviton. // General Relativity and Gravitation,1998, V. 30, № 12, p. 1717-1728.

27. Macias A., Dhenen H. Dirac field in the 8- dimentional Kaluza-Klein theory //Mod. Phys. Lett., 1992, v. 7, № 2, p. 103-116.

28. Кайгородов В.Р. Свойства гравитационных волн в пустом пространстве времени и их погрулжние в Е6. - В сб.: Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация. Тарту, Из-во Тартуского университета, 1988, с. 48-49.

29. Bandos LA., Zheltukhin А.А. Superstring in D=10 and Supermembranes in D = ll in the generalized harmonical Newman-Penrose formalism. In: Problems of high energy physics and field theory, M.:Nauka, 1992, p. 220-229.

30. Пытьев Ю.П. Пятимерная релятивистская схема. // Вестник Московского университета, сер. 3, 1967, т. 22, № 1, с. 73-81.

31. Lim Р.Н., Wesson P.S. The perihelion problem in Kaluza Klein gravity //Astrophys. J., 1992, v. 397, № 2, p. 91-94.

32. Bekenstein J.D. New gravitational theories as alternatives to dark matter. In: Proceed. 6-th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity. Kyoto, 1991, p. 905-924.

33. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория поля. М.: Наука, 1973. -502 с.

34. Lindquist R.W., Schwartz R.A., Misner C.W. Vaidya's radiating Schwarzschild metric. // Phys. Rev., 1965, v. 137Б, № 5, p. 1364-1368.

35. Shapiro I. Fourth test of general relativity. // Phys. Rev. Lett., 1964, V. 13, №26, p. 789-791.

36. Williams et al. New test of the equivalence principle from lunarlaser ranging. // Phys. Rev. Lett., 1976, v. 36, № 11, p. 551-554.

37. Гальцов Д.В. Фотокулоновские гравитоны и гравитационная светимость Солнца. //Ж. эксперим. и теор. физ. 1974, т. 67, с. 425-427.

38. Гальцов Д.В., Грац Ю.И., Петухов В.И. Излучение гравитационных волн электродинамическими системами.- М.: Из-во МГУ, 1984. -128 с. .

39. Денисова И.П. Развитие метода потенциалов для задач регистрации гравитационных волн электромагнитными полями. В: Тезисы докладов 9 Российской конференции " Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации". Из-во РГО, 1996, с. 181,

40. Вшивцев А.С, Денисова И.П. Метод суперпотенциала в задаче излучения слабых гравитационных волн электромагнитными системами. .//Известия ВУЗов, физика, 1997, № 6, с. 37-43.

41. Denisova I.P., Dalai М. Development of the method of potentials for the problems of gravitation electromagnetic conversion. //Journal of Mathematical Physics, 1997, v. 38, № 11, p; 5820-5832.

42. Алексеев Г.A., Хлебников В.И. Формализм Ньюмена-Пенроуза и его применение в общей теории относительности. // Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1978, т. 9, в. 5, с. 790-870.

43. Денисова И.П, Развитие метода спиновых коэффициентов для интегрирования уравнений биметрйческих теорий гравитации, //Дифференциальные уравнения, 1999, т, 35, № 7, с, 935-941,

44. Денисова И,П,, Зубрило А.А. Алгоритм применения компьютерной алгебры REDUCE для интегрирования уравнений теории гравитации методом Ньюмена-Пенроуза. //Математическое моделирование, 2000, т. 12, № 2, с. 59-67.

45. Денисова И.П. Нахождение частного решения уравнений релятивистской теории гравитации методом неопределенных координат. //Теоретическая и математическая физика, 1997, т. 112, № 3, с. 501

46. Денисова И.П. Модель лазерного источника гравитационного поля. //Теоретическая и математическая физика, 1998, т. 116, № 3, с. 474-480.

47. Григорьев.В.И., Денисова И.П. Параметрический метод интегрирования уравнений геодезического движения в пространстве Вайдья. М.: 2000, 8 с. /Препринт НИИЯФ МГУ: № 2000-11/615. - 8 с.

48. Денисова И.П. Степени тензора второго ранга в пространстве Ллдгр. В: Сб.: Гравитация и гипотетические взаимодействия. М.: Из-во Университета друлсбы народов, 1989, с. 54-55.

49. Григорьев В.И., Денисова И.П. К задаче о степенях тензора второго ранга й мерном псевдоримановом пространстве. - М.: 1994, - 8 с. /Препринт НИИЯФ МГУ: № 94-41/363. - 8 с.

50. Григорьев В.И., Денисова И.П. Некоторые новые соотношения тензорной алгебры. //Вестник Московского университета, сер. 3, 1996, № 2, с. 3-8.

51. Денисова И.П. Об уравнении связи в релятивистской теории гравитации. //Теоретическая и математическая физика, 1995, т. 105, №3,0.508-51 1. л

52. Денисова И.П. Нелинейные тензорные соотношения для задач механики сплошных сред в римановом пространстве. В: Тезисы докладов 10 Российской гравитационной конференции (Владимир, 20-27 июня 1999), М. 1999, с. 64.

53. Вебер Длс. Общая теория относительности и гравитационные волны. М.: ИЛ, 1962. -271 с.

54. Зельдович Я.В., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука, 1971 . - 484 с.

55. Сбытов Ю.Г., Кочкин P.A. Влияние гравитационной волны типа 3 на распространение электромагнитной волны. В сб:. Теория относительности и гравитации. М.: Наука, 1976, с. 18-26.

56. Bürdet G., Perrin М. Gravitational waves without gravitons. //Lett. Math. Phys., 1992, v. 25, № 1, p. 39-45.

57. Гусев A.B., Даишев P.A. Достижения и перспективы детектирования гравитационных волн от периодических источников. //Гравитация и теория относительности, 1992, № 30, с. 5-6.

58. Cooperstock P.I., Faraoni V. Laser interferometric detection of gravitational waves. //Class, and Quantum Grav., 1993, v. 10, № 6, p. 1189-1199.

59. Hellings R.W. LF gravitational experiments in Space.-In: Proceed, of the 6-th МагсеП Grossman Meeting on General Relativity. Tokyo, World Science Publishing Co., 1991, p. 203- 212.

60. Nicolson D. Progress in gravitational wave detection. In: Proceed, of the 6-th Marcell Grossman Meeting on General Relativity. Tokyo, World Science Publishing Co., 1991, p. 163- 175.

61. Брагинский В.Б., Менский М.Б. Высокочастотное детектирование гравитационных волн. //Письма в ЖЭТФ, 1971, т. 13, № 1, с. 585-587. ;

62. Грац Ю.В., Сомов А.В. Гравитационное излучение заряда в ноле плоской электромагнитной волны. В кн.: Тр. 5 Сем. "Гравитационная энергия и гравитационные волны", Дубна, Из-во ОИЯИ, 1993, с. 133-140.

63. Владимиров Ю.С. Слабые сферические волны. В сб: Теория относительности и гравитации. М.: Наука, 1976, с. 26-44.

64. Фихтенгольц И.Г. Некоторые вопросы теории гравитационных волн. //Теор. и мат. физ. 1993, т. 97, с. 143-159.

65. Stedile Е., Olivera S.R. Polynomial solution for coupled Einstein equation. //Int. J. Theor. Phys., 1992, v. 31, № 7, p. 1243-1251.

66. Barone F., Difiore L. Gravitational wave background from a sample of cataclysmic variables. //Gen. Relat. and Gravit., 1992, v. 24, № 3, p. 323-341.

67. Тихонов A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 735 с.

68. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970, с. 488-534.

69. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971,: с. 208-220.

70. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985, 472 с.

71. Иваненко Д.Д., Соколов А.А. Квантовая теория гравитации. //Вестник Московского университета, сер. 3, 1947, № 8, с. 103-113.

72. Герценпхтейн М.Е. Волновой резонанс световых и гравитационных волн.//Ж. эксперим. и теор. физ. 1961, т. 41, с. 113-114.

73. Денисова И.П. Излучение гравитационных волн сферической электромагнитной волной в постоянном поле. В: Сб: Гравитация и фундаментальные взаимодействия. М.: Из-во Университета друлсбы народов, 1988, с. 38-39.

74. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Советское радио, 1970. -517 с.

75. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат, 1953. 317 с.

76. Денисова И.П. Взаимодействие сферической гравитационной волны с межзвездным магнитным полем. В: Сб: Гравитация и элек-тромагнитизм. Минск: Из-во Университетское, 1988, с. 83-85.

77. Григорьев В.И., Денисова И.П. Применение метода потенциала к задаче о взаимодействии сферической гравитационной волны с постоянным электромагнитным полем. //Вестник Московского Университета, сер. 3, 2000, № 1, с. 3-4.

78. Балакин А.Б. Ковариантная теория многопараметрической модуляции электромагнитных волн полем периодического гравитационного излучения.// Гравитация и теория относительности, 1992, № 30, с. 31-65.

79. Newman Е.Т., Penrose R. An approach to gravitational radiation by a method of spin coefficients. // J. Math. Phys., 1962, v. 3, p. 566-579.

80. Geroch R., Held A., Penrose R. A space-time calculus based on pairs of null directions. // J. Math. Phys., 1973, v. 14, p. 874-881.

81. Newman E.T. Lienard-Wichert fields and general relativity. // J . Math. Phys., 1974, v. 15, p. 44-48.

82. Рашевский П.К, Риманова геометрия и тензорный анализ. М.:-Наука, 1967. - 661 с.

83. Кууск П.Х. Частицы, струны, мембраны и гравитация. В сб.: Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация. Тарту, Из-во Тартуского университета, 1988, с. 117119.

84. Юров Ю.А. Калибровочные соотношения для сферических гравитационных волн. // Известия Вузов, Физика, 1992, № 10, с. 107-111.

85. Захаров А.Ф., Манджос А.Н. Взаимная интерференция изображений в гравитационной оптике. //Ж. эксперим. и теор. физ., 1993, т. 104, с. 3249-3468.

86. Вшивцев А.С, Татаринцев А.В., Чесноков Е.М. Функция Грина волнового уравнения при наличии анизотропной среды. //ДАН России, 1993, т. 333, № 3, с. 385-388.

87. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1997, т. 3, 510 е.;

88. Саакян Г.С. Пространство-время и гравитация.- Ереван, Из-во Ереванского университета, 1985. 334 с.

89. Rosen N. // Foundations of Physics, 1985, v. 15, p. 997-1005.

90. Еднерал В.Ф, Крюков А.П., Родионов А.Я. Язык аналитических вычислений REDUCE. М.: МГУ, 1983, 85 с.

91. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978.- 320 с.

92. Математическая энциклопедия. М:., Сов. энциклопедия, 1985, т. 1-5.

93. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980. - 335 с.

94. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949.- 807 с.

95. Юр. Градштейн И.С, Рылсик И.М. Таблицы интегралов, сумм,рядов«и произведений. М.: Наука, 1971 . - 1108 с.

96. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

97. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. //Phys. Rev. Lett., 1963, v. 11, p. 237-238.

98. Vaidya P.C. Some algebraically special solution Einstein's equations. // Tensor, 1973, v. 27, p. 276-279.

99. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1983. 928 с.

100. Лайтман А. и др. Сборник задач по теории относительности и гравитации. М.: Мир, 1979. 535 с.

101. Петкевич В.В. Теоретическая механика. М.: Наука, 1981. -496 с.

102. Имшенник B.C., Наделшн Д.К. Сверхновая 1987А в Большом Магеллановом Облаке: наблюдения и теория. // Успехи физическихнаук, 1988, т. 156, № 4, с. 561-652.

103. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых" пространств. М.: Наука, 1979. - 255 с.

104. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.- М.: Наука, 1978. -ЗШс.

105. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 548 с.

106. Петров А.З. К теореме о главных осях тензора. // Изв. Каз. физ.-мат. о-ва, сер. 3, 1949, т. 14, с. 37-51.

107. Свеп1ников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970 . - 303 с.

108. Багров В.Г., Вшивцев А.С., Кетов СВ. Дополнительные главы математической физики (Калибровочные поля). Томск, Из-во Томского университета, 1990. - 143 с.

109. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978 . 238 с.

110. Denisoval.R, MehtaB.V. Tensor expressions for solving Einstein's equations by the method of sequential approximation, // General Relativity and Gravitation, 1997, v. 29, № 5, p. 583-589.

111. Курош A.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. -431 с.