автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение математических методов тензорной алгебры и анализа к исследованиям в теории гравитации

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

%

> <^культет прикладной математики и информационных технологий Кафедра, прикладной математики

'.Р

И ^ О"

На правах рукописи УДК 530.12:514.743

ДЕНИСОВА ИРИНА ПАВЛОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ.

ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА К ИССЛЕДОВАНИЯМ В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях в области физики ~

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995 г.

Работа выполнена на кафедре прикладной математики факультета прикладной математики и информационных технологий Московского государственного авиационного технологического университета им. К.Э. Циолковского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Л.С.Вшивцев Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И.М.Нетрудно кандидат физико-математических наук Т.В.Копылова

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

Защита диссертации состоится г. в/^часов

на заседании Диссертационного Совета № Д 063.56.02 при МГАТУ им. К.Э. Циолковского по адресу: 103767, Москва, Петровка 27, МГАТУ, ауд.319.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГАТУ.

Автореферат разослан ^/И^и/л 1995 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета № Д 063.56.02 при МГАТУ им. К.Э. Циолковского доктор физико-математических^из

профессор ^ Е.В. Метелкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке и применению математических методов тензорной алгебры н анализа к исследованиям в теории гравитации.

Актуальность темы. Гравитация в современной физике занимает особое положение. Эта теория, затрагивая самые фундаментальные представления о пространстве-времени, материи, развитии Вселепной, претендует на одну из ведущих ролей в современном естествознании. Действию сил тяготения подвержены все тела, независимо от их химического состава и физического состояния.

Для физика, работающего в области гравитации, физическим объектом является поле, которое описывается при помощи вещественного четырехмерного псевдорималова многообразия. Общая задача теории гравитации обычно состоит в нахождении решения уравнений гравитационного поля, удовлетворяющего определенным начальным и граничным условиям, анализе физических следствий этого решения и в постановке экспериментов, которые проверили бы предсказание теории. Решение этой задачи представляет значительные математические трудности, связанные главным образом с нелинейностью уравнений и использованием многокомпонентных полевых переменных - тензоров второго ранга.

Именно поэтому для современного состояния теории гравитации характерным является стремление к разработке новых математических методов исследования и совершенствованию математических моделей изучаемых гравитационных явлений. К числу таких моделей, разра; ботанных в последнее время, нужно отнести прежде всего-упрощенную математическую модель теории гравитации в приближении слабого гравитационного поля - так называемый параметризованный постньютоновский формализм, - который в настоящее время с успехом используется для планирования и анализа гравитационных экспериментов в Солнечной системе и который вывел теорию гравитационного эксперимента на качественно новый уровень.

Ярким примером разработки нового математического метода является метод Ньюмена - Пенроуза, использование которого позволило в короткий срок найти целый ряд неизвестных ранее точных решений нелинейных уравнений Эйнштейна. Поэтому разработка новых мате-

магических методов и моделей в теории гравитации является актуальной задачей и имеет может быть даже большее значение, чем в других разделах физики, позволяя получать новые знания, которые другими методами заведомо не получить.

Цели. Целью работы является развитие новых математических методов тензорной алгебры и анализа и примененение их к некоторым не решенным ранее задачам теории гравитации.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказаны теоремы о N - ой степени произвольного тензора второго ранга в пространствах.и , а также о тензоре, обратном к невырожденному тензору второго ранга. Полученные общие формулы приведены как для произвольного тензора, так и для антисимметричного тензора. Найдено выражение для коэффициентов, удобное для аналитических исследований. Построены коммутационные соотношения для произвольного тензора второго ранга с N-1 - ой степенью другого произвольного тензора второго ранга.

2. Приведены выражения полученных формул в случае четырехмерного псевдориманова пространства-времени. На основе этих формул доказаны теоремы о выражениях для ко - и контравариантных компонентах метрического тензора эффективного псевдоримаяова пространства-времени в биметрической теории гравитации Розена и в релятивистской теории гравитации, а также получены выражения -для определителей этих тензоров.

Найдены условия на собственные значения тензора гравитационного поля, при выполнении которых обеспечивается невырожденность метрического тензора эффективного псевдориманова пространства-времени. Получены явные выражения Б - ой (5 > 4 ) степени тензора электромагнитного поля через первые три степени этого тензора и два инварианта.

3. Разработан новый математический метод потенциалов для задач излучения гравитационных волн при распространении сферической электромагнитной волны в постоянном поле. Развит метод потенциалов Герца для задач излучения электромагнитных волн при распространении сферической гравитационной волны в постоянном электромагнитном поле.

4. Проведено применение разработанных методов к решению некоторых конкретных задач, которые до этого не были решены: о из-

лучении гравитационных волн сферической электромагнитной волной, распространяющейся в электромагнитных полях: кулоновского центра, электрического и магнитного диполей, а также в постоянном и однородном магнитном поле. Построены диаграммы направленности возникающего излучения и проанализированы основные предельные случаи.

5. Решены задачи о электромагнитном излучении, возникающем при воздействии гравитационной волны на поля электрического диполя и межзвездного магнитного поля. Исследованы диаграммы направленности и характерные свойства этого излучения.

Практическая ценность работы. Разработанные новые методы тензорной алгебры значительно расширяют круг задач, которые можно решать в различных метрических теориях гравитации. Эти методы можно использовать и в других областях физики, где проводятся аналитические вычисления с использованием степеней тензора второго ранга.

Обобщенный метод потенциалов, разработанный в диссертации, может быть использован при расчете процессов с участием гравитационных и электромагнитных волн с более сложной диаграммой направленности.

Полученные в диссертации выражения для иитепсивнсстей гравитационного и электромагнитного излучений могут быгь использованы для оценок взаимопревращения гравитационных и электромагнитных волн в астрофизических условиях, а также для оценки эффективности астрофизических генераторов и детекторов гравитационных волн, использующих электромагнитные поля.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на двух всесоюзных конференциях "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Университет дружбы народов, 1984 г., Ереванский госуниверситет 1988 г. ), всесоюзных семинарах "Современные проблемы гравитации" (Томский госушсверситет, 1987 г.), "Движение материальных сред в релятивистских полях тяготения" (Казанский госуниверситет, 1989 г.), на рабочем совещании "Современные проблемы гравитации" (Якутский госуниверситет, 1990 г.) и на научных семинарах кафедры.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (92 названия). Общий объем диссертации составляет 104 страницы. По материалам

диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении сформулированы цели работы и дается краткий обзор полученных результатов.

В первой главе диссертации проведено развитие математических методов тензорной алгебры в N - мерном пространстве, которые являются основой для наших исследований в теории гравитации. Дадим некоторые определения, которые используются в этой главе.

Пусть в мерном псевдоевклидовом пространстве Е^т.е. пространстве, сигнатура метрики которого содержит р знаков плюс и К-р знаков минус, задан некоторый ковариантный тензор второго ранга Ф„Дг). Назовем э-ой степенью данного тензора тензор ф1'т(х), построенный из произведения в тензоров Фт|(я)> индексы которых свернуты метрическим тензором у,к по правилу:

Ф^х) = 9ат1 (х)у^к^к1т2(х) ■ ■ ■ Ък._зт._ЛФт~1к- **./(*) ■

$

Сворачивая оставшиеся индексы в эхом выражении, получим инвариант б-ои степени этого тензора:

При 5=0 в соответствии с этим определением будем полагатьФ;^ = 7,4, в результате чего инвариант нулевой степени любого тензора второго ранга совпадает с размерностью пространства: 1о = N.

Если тензор Ф'*(х) является невырожденным (¿е£(|Ф,<:[| ■ф 0 ) , то можно определить обратный к нему тензор Хкт в соответствии с равенством:

• X*™ = С

В § 1 доказаны основные леммы, которые позволяют представить произведение двух аксиальных тензоров Леви-Чивиты в виде определителя, элементами которого является метрический тензор.

В § 2 доказана теорема, утверждающая, что М-ая степень произвольного тензора второго ранга в мерном псепдоевклидовом пространстве является линейной комбинацией низших степеней этого же тензора:

#=1

где коэффициенты У^ определяются рекуррентным уравнением

а -любое, не равное нулю, число.

Определитель тензора Ф 1к(2) непосредственно связан с коэффициентом

у1ю

А«||Ф,„Ц =(-!)". 7._.

В § 3 эта теорема обобщается на случай произвольного псевдори-малова пространства

В § 4 доказана теорема: тензор Хкт , обратный к невырожденному тензору второго ранга Ф"*(зг) в N - мерном псевдоримановом пространстве имеет вид:

,}у«. (2)

В § 5 доказано, что в произвольном псевдоримановом пространстве коэффициенты входящие в выражение (1), определяются формулой

1 I г ^ ф^*,

У(> = 2(3)

где Г+ -произвольный малый (|г| < 1) контур, охватывающий полюс 2=0 подынтегральной функции и обходимый в положительном направлении.

Полученное соотношение (3) позволяет исследовать аналитическую зависимость Уот инвариантов степеней тензора Ф¡,п в произвольном псевдоримановом пространстве

Кроме того, доказано, что результат последовательного перемещения произвольного тензора (?>|т через N-1 стеиень любого тензора второго ранга Ф,„Г1 в псевдоримановом пространстве определяется выражением:

' ФкЛ~1] + + • • • + ^Г1^ =

-у(1Ч^~3) + + • ■ • + *\Ц-2)Фкп] -г(3)[*?ф£~3> - + - -----у^-^п.

+ . ¿0) + . + у0>. + ...

причем коэффициенты У^ = определяются из выражения

(3).

В § 6 приводятся все полученные соотношения в случае, когда тензор второго ранга является алтисимметричным.

Доказанные в этой главе формулы расширяют возможности применения тензорной алгебры к исследованиям не только в теории гравитации, но и в других разделах физики.

Во второй главе диссертации развитые математические методы тензорной алгебры применяются к конкретным исследованиям в теории гравитации и электродинамики.

В § 7 дан краткий обзор современного состояния теории гравитации, основных уравнений и соотношений, которые применяются при описалнн гравитационных процессов.

Поскольку современная теория гравитации использует представления о четырехмерном псевдоримановом пространстве-времени, то в § 8 все основные соотношения, полученные и первой главе, записываются а явном виде для случая четырехмерного псевдориманова пространства-времени.

В частности для определителя произвольного тензора Ч/,к(х) получено -следующее выражение:

= 2-1311- 6/4 + 8Л/3. - 6/,/? + I*).

Четвертая степень тензора второго ранга в этом случае может быть выражена через три низших степени этого тензора, метрический тензор псевдоевклидова пространства-времени и инварианты:

= ¿{2^1-л+12«^. (/,-/?>

+ 4Фт, • (2/, + /? - ЗЛ/,) + 7га, • (6Д - 31\ - 8/,/, + 6Ы] - У?)}.

И, наконец, выражение для тензора, обратного к невырожденному тензору второго ранга Я/'к(х), имеет вид:

47*т(2Л ~ 3/./2 + II) - 12Ф*та(Аа - 1г) + 24Ф(<%/1 - 24Ф(^ ХЬп [з/22 -6/4 + 8/1/3-6/3/? +

В § 9 и § 10 развитые методы тензорной алгебры применены к наиболее разработанным биметрическим теориям гравитации: к теории Розена и релятивистской теории гравитации.

Как известно, в настоящее время в научной литературе рассматриваются несколько различных биметрических теорий гравитации. В этих теориях, как это следует из названия, используется два метрических тензора: метрический тензор фоновою пространства-времени 7,* и метрический тензор римацова пространства-времени дц. Согласно идеологии биметрических теорий гравитации воздействие гравитационного поля Ф,* на другие поля и частицы осуществляется через метрический тензор <д* , который является функцией от метрического теазора. 7,^ и гравитационного поля

д,к = д,к(.Уп1>$т1)-

В частности, в биметрической теории гравитации Розена метрический тензор связан с метрическим тензором 7,* и тензорным гравитационным полем Ф,* достаточно простым соотношением:

Згк = Ък + Ф.*- (4)

В релятивистской теории гравитации метрический тензор д,ь связан с метрическим тензором 7и гравитационным полем Ф,* более сложным соотношением:

Наличие в биметрических теориях двух метрических тензоров порождает ряд вопросов (о знаке определителя метрического тензора, о нахождении аналитического вида обратного тензора, об условиях, обеспечивающих невырожденность метрического тензора псевдориманова пространства-времени и другие), которые обычно отсутствуют в стандартной теории гравитации.

Для решения этих вопросов в наиболее разработанных биметрических теориях гравитации нами были использованы математические методы тензорной алгебры, развитые в главе 1.

В частности, в § 9 доказано, что определитель & метрического тензора (4) в теории гравитации Розена является следующей функцией инвариантов степеней тензорного гравитационного поля <!>,*:

где 7 -определитель метрического тензора 7,*,

а степени тензора Ф,* и их инварианты У1 ,У2, Уз, /» строятся с помощью метрического тензора у,к фонового пространства-времени.

Кроме того, найдено следующее выражение для коитравариаптных компонент метрического тензора в этой теории:

Совершенно аналогично, в § 10 доказало, что определитель метрического тензора (5) в релятивистской теории гравитации может быть представлен в виде (6), а ко- и контравариантные компоненты метрического тензора псевдоримапова пространства в этой теории имеют вид:

В = ¡У,* + 4 У,3 + 127? + 24У, - 6У?У2 - 12У,У2 -12Уг + 8J1Jз + ЗУ^ + 8У3 - 6У4 + 24]

(7)

дт' = - 24Ф(™; • (1 + У,) + 12Ф"" ■ (2 + 2У, + У,2 - У2)

-47т' • (6 + 6У, + ЗУ,2 - ЗУ2 - ЗУ^ + 2У5 + У,3)}.' (8)

1

Яхк =

{24ф£} - 24Ф^} - (1 + У,) + 12ФЦ • (2 + 2У-1 + У? - /,)

-47.* • (6 + 6У, + ЗУ,2 - ЗУ2 - ЗУ,У2 + 2У3 + У,3)}. (9)

Кроме того доказана теорема, что для невырожденности метрического тензора эффективного риманова пространства-времени в биме-трической теории Розсна и в релятивистской теории гравитации необходимо и достаточно, чтобы ни одно из собственных значений тензора гравитационного поля не равнялось минус единице.

В § 11 построены явные выражения для произвольной степени S > 4 антисимметричного тензора электромагнитного поля через первые три степени этого тензора и два алгебраически независимых инварианта.

В третьей главе диссертации идеи метода потенциалов Герца, получившего широкое применение при решении задач о излучении и распространении электромагнитных волн в электродинамике, используются для разработки аналогичного математического метода в теории гравитация.

В § 12 излагается известная процедура линеаризации уравнений Эйнштейна в случае излучения слабых гравитационных волн. § 13 посвящен изложению известного метода расчета воздействия слабой гравитационной волны на электромагнитное поле.

В § 14 метод потенциалов Герца развивается нами для задач излучения гравитационных волн электромагнитными источниками. В этом случае исходные линеаризованные уравнения Эйнштейна имеют вид:

= (10) с*

Так как в рассматриваемом круге задач источником гравитационной волны является суперпозиция постоянного электромагнитного поля и сферической электромагнитной волны частоты а>, то гравитационное поле этой системы будет состоять из трех частей: статического гравитационного поля и гравитационных волн с частотами uj и 2и. Однако в силу поперечности электромагнитных волп амплитуда гравитационной волны с частотой 2о> будет чрезвычайно малой и ее, также как и статическое гравитационное поле, мы не будем рассматривать.

Тогда, как показано в § 14 , правую часть уравнения (10) можно представить в виде:

ТаР = ¿{ifcl-Fooa, + F^c) - 7afi[ikF°"ay + F^]

Эа„ да/, да и ехр\^к К-ш^}

-д-' (11)

где .Рм„(г) - компоненты тензора статического электромагнитного поля, а аа- операторы дифференцирования по координатам точки, в которой находится точечный источник сферической электромагнитной волны. Конкретный вид этих операторов зависит от мультипольности электромагнитной волны и ее диаграммы направленности. В простейшем случае излучения дипольной электромагнитной волны операторы аа содержат частные производные первого порядка, в остальных случаях порядок используемых частных производных выше. Если компоненты гравитационной волны записать через гравитационные потенциалы

= {»А^« + ай5>1 - -у^ка^" +

ах0

даа даи да„

(12)

то уравнение (10) будет выполняться тождественно, если гравитационные потенциалы подчинить уравнениям:

□ 5„ = (13)

С К

АО ехуЩЯ-ыЩ

ПВо<*= —I—•

В результате исходные уравнения для тензора гравитационной волны (10), с достаточно сложной правой частью (11), сводятся к значительно более простым уравнениям (13) для вспомогательных гравитационных потенциалов. Тогда тензор гравитационной волны, в соответствии с выражением (12), может быть, получен дифференцированием вспомогательных гравитационных потенциалов.

В § 15 аналогичный метод развивается для задач излучения электромагнитных волн, возникающих при воздействии гравитационной волны на электромагнитное поле.

В четвертой главе диссертации развитый метод потенциалов используется при решении некоторых конкретных задач, которые до этого не были решены другими методами.

Существовали, по крайней мере, две причины, почему эти задачи не были решены ранее. Во-первых, в этих задачах источник, стоящий в правой части уравнения Даламбера, окалывается не равным нулю во всем пространстве. В результате в данных задачах отсутствует обычно используемый малый параметр Ь/г (Ь - максимальный линейный размер источника, г-расстояние от источника до точки наблюдения) и стандартные методы разложения запаздывающего потенциала были неприменимы.

И, во-вторых, выражения, стоящие в правых частях уравнений Да-ламбера, в этих задачах имели достаточно сложный вид: даже в простейших случаях эти выражения имели более десятка слагаемых.

Применение метода потенциалов, разработанного в третьей главе диссертации, позволило преодолеть эти препятствия и решить ряд наиболее интересных задач о взаимодействии гравитационных и электромагнитных волн.

Это задачи о излучении гравитационных волн, возникающих при прохождении сферической электромагнитной волны через поля: куло-новского центра (§ 16), электрического и магнитного диполей (§ 17), а также через постоянное и однородное магнитное поле(§ 18). Другой класс задач составляют задачи о электромагнитном излучении, возникающем при воздействии сферической гравитационной волны на поля электрического диполя (§ 19) и межзвездного магнитного поля(§ 20).

Во всех перечисленных случаях найдены и проанализированы компоненты возникающего излучения, построены диаграммы направленности и исследованы основные предельные случаи.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации и выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Денисова И.П. О детектировании гравитационных волн в иоле электрического диполя. - В: Тезисы У1 всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации": М.: Из-во Университета дружбы народов, 1984, с. 204-205.

2. Денисова И.П. Электромагнитно-гравитационная трансмутация в кулоновском поле. - В: Сб.: Аналогии гравитационных и электромагнитных явлений: М.: Из-во Университета дружбы народов, 1985, с.103-110.

3. Денисова И.П. Гравитационное излучение сферической электро-

магнитной волны в полях электрического и магнитного диполей. - В: Сб.: Проблемы гравитации н теории относительности: М.:Из-во Университета дружбы народов, 1986, с.66-73.

4. Денисова И.П. Излучение гравитационных волн сферической электромагнитной волной в достоянной поле. - В: Сб.: Гравитация и фундаментальные взаимодействия: М.: Из-во Университета дружбы народов, 1988, с. 38-39.

5. ДенисоваИ.П. Алгебраическое соотношение для тензора второго ранга в римановом пространстве. - В: Тезисы VII всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации": Ереван: Из-во Ереванского госуниверситета, 1988, с. 61-63.

6. Денисова И.П. Взаимодействие сферической гравитационной волны с межзвездным магнитным полем. - В: Сб.: Гравитация и элек-тромагнитизм: Минск: Из-во Университетское, 1988, с. 83-85.

7. ДенисоваИ.П. О соотношении между степенями тензора второго ранга в N мерном псевдоевклидовом пространстве. - Казань, 1989. - 10 с. -Рукопись представлена ред. журнала Известия вузов. Математика. Деп. в ВИНИТИ 23 мая 1989, № 3390-В89.

8. Денисова И.П. Степени тензора второго ранга в пространстве Кр,,\-р - В: Сб.: Гравитация и гипотетические взаимодействия: М.: Из-во Университета дружбы народов, 1989, с. 54-55.

9. Григорьев В.И., Денисова И.П. К задаче о степенях тензора второго ранга в N - мерном псевдориыановом пространстве. - М.:, 1994, - /Препринт НИИЯФ МГУ: № 94-41/363. - 8 с.

10. Григорьев В.И., Денисова И.П., Умнов А.П. Применение математических методов тензорной алгебры к исследованиям в биметриче-сьих теориях гравитации. - М.:, 1995, - /Прелриыг НИИЯФ МГУ: № 95-3/367. - 8 с.