автореферат диссертации по технологии материалов и изделия текстильной и легкой промышленности, 05.19.01, диссертация на тему:Математические методы анализа физико-механических свойств синтетических материалов с позиции теории нелинейно-наследственной вязкоупругости

На правах рукописи

РГБ ОД

Макаров Авинир Геннадьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФИЗИКО-МЕХА1ШЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИНТЕТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ С ПОЗИЦИИ ТЕОРИИ НЕЛ1ШЕЙНО-НАСЛЕДСТВЕ1ШОЙВЯЗКОУПРУГОСТИ

Специальность 05.19.01. - материаловедение (текстильное, кожсвешго-меховое, обувное, швейное)

Автореферат диссертации на соискание учёной степеии доктора технических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете технологии и дизайна (лаборатория механики ориентированных полимеров).

Научный консультант: действительный член

Санкт-Петербургской инженерной академии,

доктор технических наук,

профессор Сталевич Аркадий Михайлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Щербаков Виктор Петрович

доктор технических наук,

профессор Тараканов Борис Михайлович

доктор химических наук, профессор Панов Юрий Николаевич

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

математики и механики им. акад. В.И. Смирнова Санкт-Петербургского государственного университета

Защита диссертации состоится " _0 6 2000 г. в 1 Р часов н;

заседании диссертационного совета Д.063.67.01 при Санкг-Петербургско\ государственном университете технологии и дизайна, по адресу: 191186, Санкт Петербург, ул. Большая Морская, 18, ауд. 241.

С текстом диссертации можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан " 25" ^ 2000 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

уцр Рудин А.Е.

.А*-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Целесообразность дальнейшего совершенствования 1етодов расчётного прогнозирования напряжённо-деформированных состояний интетических тггей, лент, тканей и других текстильных материалов в области геразрушагощих нагрузок возникает в связи с расширяющимся их применением | технических изделиях. Этот фактор способствует увеличению роли итематического моделирования физико-механических свойств, а также тамулирует переход к процессу автоматизировашюго прогнозирования язкоупругих состояний полимерных материалов. В настоящее время еоретической основой построения разнообразных методов расчётного грогнозировапия - также как и построения методик сравнительного анализа зизико-механических свойств материалов - считается кинетическая природа сродессов деформирования. При этом считается общепризнанным, что 1ехапические воздействия являются активирующими, то есть ускоряют ндохронные (внутренние) реакции микромехализмов протекающих процессов, 'меньшая времена запаздывания в процессе ползучести и времена релаксации в гроцессе релаксации. Основными характеристиками указанных полимерных ттериалов, изготовленных из гибкоцепных макромолекул, в области [еразрушающих воздействий являются модуль релаксации, податливость и пектр релаксации. С выявлением этих функций некоторой обработкой 1еханическнх испытаний образцов синтетических материалов связана 1азработка соответствующих экспресс-методик, основанных на применении «временной вычислительной техники. Как правило, изучаемые образцы ишсываются нелинейной теорией вязкоупругости, принципиальное отличие :оторой от линейной теории состоит в учёте активирующего характера оздействия приложенного напряжения или деформации. Методика [рогнозирования нагруженных состояний синтетических материалов в области ксплуатационных нагрузок основана на численном решении интегрального равпепия типа Больцмана-Вольтерра. Примените современной )ыстродействутощей вычислительной техники для получения указанного юшения способствует достижешпо достаточной точности прогноза, а также (аёт возможность контролировать правильность получаемых значений язкоупругих характеристик благодаря использованию наглядных критериев [равдоподобия интегрального типа.

Важной характеристикой математической модели прогнозирования язкоупругих свойств является количество используемых параметров, поэтому ¡вляется актуальным построение математической модели, включающей в себя 1инимум возможных параметров. Выбор физически обоснованных ядер :е: таксации и запаздывания может также существенно повлиять на заметное прощение уравнений состояния и упростить определите вязкоупругих

характеристик. Применение математических моделей автоматизированного прогнозирования, построенных на использовании нескольких различных релаксационных функций и функций ползучести, повышает степень дост оверности прогноза.

Научное направление, к которому принадлежит диссертация, одобрено в решениях ХП Всесоюзной научной конференции по текстильному материаловедению (Киев, 1988), а тема диссертации была предусмотрена планом госбюджетной НИР для преподавателей университета по разделу "6.005.07. Изучение физико-механических свойств и прогнозирование нагруженных состояний текстильных материалов. Развитие теории термовязкоупругости" в течение последних семи лет. Данная тематика предполагает привлечение к научной работе специалистов в области интегральных уравнений, математического моделирования и других математических методов, обладающих опытом программирования и применения вычислительной техники. В работе нашли применение и получили дальнейшее развитие научные результаты автора, полученные в 1979 - 2000 гг. [1-6] в области автоматизации расчётов и математического моделирования с использованием класса нормированных функций, интегральных наследственных соотношений в виде свёрток функций, интегральных уравнений и т.п. Всё вышесказанное представляет несомненный интерес для материаловедов, занимающихся анализом физико-механических свойств различных полимерных материалов с позиции физики полимеров.

Цель работы состоит

- в разработке методик определения нелинейно-наследственных вязкоупругих характеристик синтетических материалов, таких как нити, ленты, ткани и др. в области действия неразрушающих нагрузок;

- в автоматизации процесса прогнозирования деформированных состояний;

- в сравнительном анализе различных математических моделей.

Известные ранее методики дополнены новыми, основанными на

применении математической модели, использующей в качестве релаксационной функции и функции запаздывания нормированный арктангенс от логарифма приведённого времени (НАЛ). Для всех методик разработано программное обеспечение, позволяющее автоматизировать прогнозирование, ускоряющее

Автор имеет учёную степень кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.16 - "применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (промышленность)".

" Сталевич A.M. Деформирование высокоориентированных полимеров.

4.1. Теория линейной вюкоупругости.-СПб.:СПГУТД,1995.-80с.

4.2. Теория нелинейной иязкоупругости.-СПб.:С1Л УТД, 1997.-197с.

оцесс вычисления и повышающее точность определения вязкоуиругих рактеристик. Всё вышесказанное находит своё применение при исследовании зкоупругих свойств материалов на практике в лаборатории ориентированных ли мер ов. Указанные методики включены в учебные курсы преподаваемых [сциплин кафедры сопротивления материалов СПГУТД.

Исходя из заявленной цели, в работе поставлены и решены следующие дачи:

- разработаны методики определения параметров релаксации и 1раметров ползучести синтетических материалов как по самостоятельной ¡работке семейств релаксации и ползучести, так и по совместной их 5работке;

- разработаны методики расчёта процесса наследственной релаксации и юледствешюй ползучести синтетических материалов с учётом вычисления ггеграла нелинейно-наследственной релаксации и нелинейно-наследственной злзучести для различных режимов деформирования и нагружения, включая зформащшнно-восстановительные процессы;

- разработаны методики расчёта процессов растяжения, как без эррекции, так и с коррекцией по одной или нескольким точкам ссперименталыюй диаграммы растяжения;

разработаны методики интегрального критерия точности рогаозирования при нелинейно-наследственной релаксации и нелинейно-аследственной ползучести для различных режимов деформирования и агружепия;

- разработаны методики определения спектра релаксации и спектра олзучести синтетических материалов для случая нелинейной вязкоупругости;

- по всем указанным выше методикам разработаны программы втоматизированного расчёта на ЭВМ;

- даётся сравнительный анализ методик, построенных по разным гатематическим моделям.

Методы исследования. Теоретической и методологической основой юследования явились классические и современные научные представления, >азработки и положения, применяемые в текстильном материаловедении с гепользованием закономерностей, изложенных в физике, физшео-химии юлимеров, механике и термодинамике. Широко использованы различные «тематические методы (функциональный анализ, спектральный анализ, штегральные уравнения, уравнения математической физики, статистический шализ, численные методы, операционное исчисление и др.), методы гачислительной математики и информатики.

Научная новизна работы заключается: в разработке методик трогпозирования вязкоупругих состояний синтетических материалов на основе шеленного решения интегрального уравнения нелинейно-наследственной

вязкоупругости, построенного на новой математической модели, использующей функцию НАЛ в качестве релаксационной функции или функции запаздывания; в автоматизации процесса расчётного прогнозирования, как на основе разработанных методик, так и на основе ранее имеющихся. Автоматизация процесса прогнозирования способствовала сравнительному анализу различных математических моделей. В частности, показано, что

- функция НАЛ хорошо подходит для описания вязкоупругих процессов нелинейной релаксации и нелинейной ползучести;

- особая роль функции НАЛ видна при исследовании вязкоупругих процессов в области малых времен, близких к началу процесса, а также в области больших времен - для медленно протекающих процессов;

- существенно расширился диапазон прогнозирования для процесса релаксации (благодаря малому расчётному значению модуля вязкоупругости и значению модуля упругости, близкого к акустическому) и для процесса ползучести при сохранении минимума возможных параметров;

- применение методик вычисления интеграла нелинейно-наследственной вязкоупругости как для процесса релаксации, так и для процесса ползучести даёт результаты, близкие к экспериментальным при различных нелинейно-наследственных вязкоупругих процессах, включая и деформационно-восстановительные процессы;

- расчетные диаграммы растяжения, построенные с применением функции НАЛ достаточно близки к экспериментальным, а метод коррекции расчётного прогнозирования по одной или нескольким точкам экспериментальной диаграммы минимизирует отклонение расчётной диаграммы от экспериментальной, что повышает надёжность прогнозирования процессов растяжения;

- разработан интегральный критерий правдоподобия вязкоупругих характеристик для процессов нелинейно-наследственной релаксации и нелинейно-наследственной ползучести, повышающий надёжность их прогнозирования;

- разработаны методики определения спектра релаксации и спектра ползучести, задающие распределения числа частиц по относительным внутренним временам релаксации и запаздывания;

- разработано программное обеспечение, включающее как описанные выше методики, так и ранее имевшиеся на основе других математических моделей.

Практическая значимость. Основная значимость диссертации состоит в дальнейшем развитии научно-методических, учебно-методических и теоретических разработок лаборатории механики ориентированных полимеров в области применения её измерительной аппаратуры к научно-исследовательским работам технического направления, выполняемых

совместно с рядом профилирующих кафедр университета, а также к работам научного направления, выполняемых как самостоятельно лабораторией, так и в содружестве с кафедрами других вузов.

На основе методов, изложенных в диссертации, разработано и издано 26 методических пособий для студентов и аспирантов, занимающихся исследованиями вязкоупругих свойств синтетических материалов.

Результаты работы внедрены в учебные курсы по дисциплинам кафедры сопротивления материалов СПГУТД "Релаксационные явления в конструкционных материалах" и "Механика химических волокон и конструкционных материалов".

Методики автоматизированного прогнозирования вязкоупругих состояний и расчёта характеристик синтетических нитей, основанные на применении современной вычислительной техники служат основой обработки экспериментальных данных лаборатории механики ориентированных полимеров СПГУТД.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных, всероссийских, общегородских, межвузовских и других научных симпозиумах, конференциях, семинарах, таких как: Colloquium on Qualitative theory of Differential Equations (Budapest, 1979), Czechoslovak Conference on Differential Equations and Their Applications (Bratislava, 1981), Czechoslovak Conference on Differential Equations and Their Applications (Praga, 1991), научные семинары Санкт-Петербургского (Ленинградского) государственного университета (1981-2000), Киевского государственного университета им. Т.Г. Шевченко (1988), Белорусского государственного университета (1988), Кишинёвского государственного университета им. В.И. Ленина (1989), Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва (3989), Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена (1992-1997), Владимирского государственного университета им. Лебедева-Полянского (1993), Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна (1985-2000), на конференции "Машины и аппараты текстильной и лёгкой промышленности и их системы" (СПГУТД, 1998), на XXXV семинаре "Актуальные проблемы прочности" (Псков, 1999), на городском семинаре "Механика, материаловедение и технология полимерных и композиционных материалов и конструкций" (С.-Пб., 2000), па международной конференции "Химволокна-2000" (Тверь, 2000), на международном конгрессе "Фундаментальные проблемы естествознания и техники" (С.-Пб., 2000), па ХУШ международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов" (С.-Пб., 2000), и др.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 22 печатные работы, среди них 5 монографий. На программное обеспечение получено 6 свидетельств на официальную регистрацию программ.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 7 глав, заключения, списка использованной литературы (166 наименований) и приложения. Основное содержание изложено на 267 страницах машинописного текста, иллюстрированного 153 рисунками и включает 36 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложены основные положения диссертации, обоснована актуальность темы, цели и задачи исследований, научная новизна и практическая значимость работы.

Первая глава посвящена литературному обзору по тематике диссертации. Изложены современные представления о методах анализа физико-механических свойств синтетических материалов, описаны известные способы прогнозирования вязкоупругих состояний.

Для большого числа синтетических нитей, лент и тканей свойственны вязкоупругие свойства, которые достаточно точно описываются интегральными уравнениями типа Больцмана-Вольтерра и их модификациями. Часто встречается в литературе линейная форма этого уравнения, использующая интегральные ядра различных типов (Абеля, Ржаницына, Работнова, Вульфсон-Колгунова, Гаврильяка-Негами и др.). Выбор линейных ядер, не включающих в себя активирующее действие приложенного напряжения и деформации, объясняется стремлением упрощения интегральных уравнений Больцмана-Вольтерра. При удачном выборе ядер, указанные уравнения допускают обратимость, то есть в аналитическом виде получается решение задачи о резольвенте. Проблема поиска новых ядер (Аскадский и др.) продолжает быть актуальной.

Рассмотрение нелинейных уравнений (Персо, Москвитина, Бугакова), содержащих нелинейность в виде функции от деформации или напряжения существенно усложняет задачу. Уход от линейной теории вязкоупругости в сторону нелинейной объясняется тем, что в настоящее время теоретической основой построения разнообразных методов расчётного прогнозирования напряжённо-деформированных состояний синтетических материалов в области неразрушающих нагрузок считается кинетическая природа процессов деформирования. При этом механические воздействия являются активирующими, то есть ускоряют эндохрошше (внутренние) реакции микромеханизмов протекающих процессов, уменьшая времена запаздывания и времена релаксации. Один из подходов к нелинейной теории основан на идее Александрова-Гуревича об уменьшении энергии активации под действием

нтешней нагрузки. На этой основе был предложен* переход от шкалы внешнего ¡ремени к логарифмической шкале относительного времени. Усложнив понятие ¡ремени, удалось упростить релаксационные функции, сведя их к нормальному распределению частиц по собственным внутренним временам релаксации. Сказанное преобразование можно интерпретировать как разновидность шалогий типа термо-деформационно-временных, термо-сило-временных и др. Исследования в этом направлении продолжены лабораторией механики ориентированных полимеров. Применяемые здесь нелинейные ядра релаксации л ползучести включают в себя в роли параметров активирующие действия триложенного напряжения и деформации. Разработаны соответствующие жспресс-методики определения вязкоупругих характеристик по некоторой сратковремешгой обработке механических испытаний образцов синтетических материалов. Указанные методики, разработанные с применением математических моделей, использующих различные нормированные функции 'интеграл вероятностей (ИВ), гиперболический тангенс (ГТ), функцию ЕСольрауша (ФК)), предназначаются как для сравнительного анализа, так и для прогнозирования вязкоупругих состояний синтетических материалов. Эксперимент проводится на оборудовании, специально разработанном для испытаний образцов материалов в широком диапазоне температуры, скорости и времени воздействия, в режимах активного, длительного и восстановительного деформирования, вибрационного воздействия, афессивного воздействия жидких сред." Следует отмстить разработатше методики определения параметров нелинейной релаксации и нелинейной ползучести, численного решения нелинейно-наследственных уравнений вязкоупругости, расчёта диаграмм растяжения, определения спектра релаксации и др. Все перечисленные методики находят своё экспериментальное подтверждение на конкретных синтетических материалах. Настоящая работа является логическим продолжением работ лаборатории механики ориентированных полимеров, использует накопленные экспериментальные данные и содержит разработку методик на основе новой математической модели, использующей функцию НАЛ. Проведена автоматизация процесса прогнозирования вязкоупругих состояний согласно разработапным и ранее имевшимся методикам, а также сравнительный анализ математических моделей.

Вторая глава посвящена описанию свойств математической модели, использующей функцию НАЛ, методикам определения вязкоупругих

Сталевич A.M. Уравнения нелинейной вязкоупругости высокоориентированных полимеров//Проблемы прочности. - 1981, №12, с. 95-98.

Сталевич А.М., Тиранов В.Г. Аппаратура для исследования деформационных и прочностных свойств синтетических нитей//Текстильная промышленность в СССР. Экснресс-информация. Вып.20, М.,1979.-28с.

характеристик по кратковременной обработке экспериментальных данных, а также задаче автоматизации указашгого процесса.

Рассмотрено определение параметров вязкоупругости, как по раздельной обработке "семейства" релаксации и "семейства" ползучести, так и по их совместной обработке. В качестве релаксационной функции и функции ползучести (запаздывания) выбиралась функция НАЛ.

Рассмотрение математической модели вязкоупругости следует начать с рассмотрения свойств функции НАЛ

1 1 , <р(=-+ -агс1ё

2 71

*и

(1)

график которой близок к графикам ИВ, ГТ и ФК от аргумента 1п —, где -

некоторое фиксированное значение базового времени. Введение логарифмическо-временной шкалы способствует более детальному исследованию быстротекущих процессов (малые времена) и длительпьтх процессов (большие времена). Обладая внешним сходством с перечисленными функциями, а также некоторыми общими свойствами, например, такими как симметрия относительно значения <р -0,5 (ИВ, ГТ), аналитичность,

элементарность (ГТ, ФК) наличие общих асимптотических значений <ро~0 и <Рю-1, НАЛ имеет и некоторые существенные отличия. Наиболее важным из них является более медленное стремление к асимптотическим значениям, что отводит функции НАЛ первостепенную роль при исследовании областей малых времен, близких к началу процесса, и больших времён - для медленно протекающих процессов, а также случаев, когда распределение числа отрслаксировавших частиц "размазано" вдоль логарифмическо-временной шкалы.

Усложним логарифмический аргумент функции НАЛ путём введения внутреннего времени релаксации, соответствующего деформационно-временной аналогии

1п— = ]п-+1п-^- = 1п--1п^-, (2)

т£ 0 хс 0 '/ где т£ - среднестатистическое время релаксации образца при деформации £, или внутреннего времени запаздывания, соответствующего сило-временной аналогии

1п—= 1п-- + 1п-^- = 1п--1п^., (3)

та *1 тсг *1 Г/ где та - среднестатистическое время запаздывания при нагрузке а.

Вводя параметры Ъпе - для процесса релаксации и Ъпа - для процесса

ползучести, характеризующие структурные свойства материала, получаем окончательный вид аргумента функции НАЛ

т

1

в /

1п-

"е )

для описания процесса релаксации и

1

1п-

(4)

(5)

"а /

для описания процесса ползучести.

Таким образом, функции релаксации (реЛ и запаздывания (ра( задаются в

виде

1 1

2 ж

1 I

2 к

/

\Ъпе / ,

1п

Л

б ;

1т1

\Ьпа

(6)

(7)

ег/

Апгфоксимируем значения модуля релаксации и податливости с помощью функций (6) и (7)

£а=Ео-(Ео-Е<я)-<Ра> (8)

+(»«>-Во)-9а. (9)

где Е0 - модуль упругости, Ет - модуль вязкоупругости, Г)0 - начальная упругая податливость, Всл - предельно-равновесная податливость. Соотношения (8) и (9) определяют функции релаксации и ползучести.

Перейдём к моделированию вязкоупругих состояний с использованием нелинейно-наследствешюго уравнения релаксации г

СГ[ ~ 1<()£! + ¡£( _ (10)

о

и нелинейно-наследственного уравнения ползучести t

= П0аг + \(Т1_50'тсЬ, 0

(П)

где

-а

сЩ* 3$

- релаксационное ядро наследственного типа, отражающее деформационно-временную аналогию, а Г)'т = - ядро ползучести такого

же тина, отражающее сило-временную аналогию. Ядра Е'^ и В'^ с учётом (8), (9) имеют вид

Е'я.-{Е0-ЕУ-^.-(Ео-Е„)- (12)

Здесь и далее будем отождествлять запись производной по аргументу 1пг

записи производной по аргументу 1п-, что математически несущественно,

т

хотя, с физической точки зрения, первая запись некорректна ввиду наличия размерности у времени t.

Соответствующий вид получаем для нормированного логарифмического деформационно-временного ядра релаксации

I___1

И___ 7Г ; , г

й

---^-т (14)

дЫ ъпс п 1 +

и для нормировшшого логарифмического сило-времешюго ядра ползучести

Г __' (15)

«-¿>Ы-Ьпа я ] + ]уы2-

Используя экстремальные значения логарифмических ядер гт = ———

* Ъпв 71

и г в точках IV£1 = 0 и ¡¥а¡=0, соответствующих значениям

Ко к

1 = тс, НТ/ = * и * = ВГ(т = , получаем формулы для

определения структурных коэффициентов 1 л Е'т

Ьпе 2 АЕТЕ

к

с;

ь,ш 2 ща

(16)

(17)

здесь значения Е'Т/ и берутся из эксперимента, а в качестве АЕг и

выступают усреднённые значения, полученные для разных значений е и

а при обработке соответствующих семейств релаксации и ползучести.

Начальные и предельные значения модуля релаксации и податливости определяются по формулам

Е0 = ЕТ£ + ДЕТе, Еп = Еч -АЕГе, (18)

Оа = 1\а - ШТа, ал = ВТа + , (19)

и

1

где и берутся из эксперимента. Далее с помощью соотношений

Ра,

9а, =

Ео ~ Ей]

Е -Г '

'-'О '-<х>

Рыг°о

А.о-Оа

I

получаем деформациотю-врсменную функцию

/

= 1,1

V

= ЬП£-№£1]

и сило-временную функцию /а,а =|п

V

\Тп )

= Ьпст ■ 1¥о1,

(21)

(22)

(23)

нахождение которых фактически эквивалентно нахождению времён релаксации и времён запаздывания.

Зная значения времён релаксации и времён запаздывания, с помощью (8) и (9) можно рассчитать численные значения модуля релаксации и податливости для произвольных значений деформации и нагрузки в интересующий момент времига.

Методики определения параметров релаксации и ползучести на основе функции НАЛ опробованы на различных объектах при разных температурах (лавсан с линейной плотностью 114 текс; нитрон 33,3 текс; капроновый монокорд 410 текс; капроновые нити 91 текс, 187 текс; 189 текс; 435 текс; анид 149 текс; ароматический полиамид 29,5 текс; тканые капроновые ленты ТК-2, ТК-15, ТК-16 на основе капроновой нити 182 текс). Во всех рассмотренных случаях получены положительные результаты.

Для примера сравним экспериментальные и расчётные значения модуля

релаксации для синтетической нити лавсан 114 текс при Г - 40° С (рис. 1).

Расчётные значения близки к экспериментальным для всей полосы деформаций. Расчётное значение модуля вязкоупругости Егх> близко к нулю, а расчётное значение модуля упругости Е0 ~ 18 ГПа приближается к измеренному акустическому значению Еак « 22 ГПа, что существенно расширяет диапазон примешшости определяющего уравнения. Расчётное значение структурного коэффициента ЬП£ = 19,2, а деформационно-временная функция, определяющая времена релаксации для указанного случая показана на рис.2 (сплошная линия).

Применение функции НАЛ к исследованию процессов ползучести даёт аналогичные результаты (рис.3).

Рис. 1. Экспериментальные и расчётные значения модуля релаксации для синтетической нити лавсан 114 текспри

температуре Т = 40° (сплошная линия -эксперимент, * - расчёт, о - совместная обработка "семейств").

Рис. 2. Деформационно-временная функция для синтетической нити лавсан 114 текс при температуре

Т = 40° (сплошная линия -самостоятельная обработка "семейства", пунктир совместная обработка ).

Рис. 3. Экспериментальные и расчётные значения податливости для

синтетической нити лавсан 114 текс при

температуре Т = 40° (сплошная линия -эксперимент, * - расчёт, о - совместная обработка "семейств").

Рис. 4. Сило-временная функция для синтетической нити лавсан 114 текс при

температуре Т = 40°

(сплошная линия самостоятельная обработка "семейства", пунктир совместная обработка).

Расчётные значения начальной податливости Da = 0,092 ГПа ,

предельно-равновесной податливости Ц» = 0,250 ГПа"1, структурный коэффициент Ьпа = 3,95. Сило-временная функция, определяющая времена запаздывания показала на рис.4 (сплошная линия).

Однако, несмотря на то, что методики определения параметров релаксации и ползучести по обработке одноимённых экспериментальных семейств дают хорошие результаты, они обладают недостатком. Суть его состоит в том, что начальные и предельные значения модуля релаксации и податливости должны быть взаимообратными величинами, то есть должны выполняться соотношения

E0-D0=lnEa¡-Dao=l, (24)

которые, как видно из приведённых примеров, нарушаются. Поэтому целесообразно написание методики совместной обработки "семейств" релаксации и ползучести, удовлетворяющей соотношениям (24).

Основная идея этой методики состоит в отказе от независимого определения начальной и предельно-равновесной податливости, а "привязка" их к определяемым значениям модуля упругости и вязкоупругости. Для среднего значения податливости имеем 1 1

— + ( g

_ Dp + Ад _ Е0 ¿'до _ Е0 + Ею _ те (25}

т<у 2 ? F -F 2-F ■ F

¿ A Ljq Lj QfJ ¿ UQ lj QQ

Используя (18) и (25), получим формулу

AET =£■-• I----, (26)

которая может быть использована в (14) для получения значений модуля упругости и вязкоупругости, а начальная и предельно-равновесная податливости определяются по формулам (20). Дальнейший процесс получения вязкоупругих характеристик аналогичен ранее рассмотренной методике.

Приведём использование последней методики на примере нити лавсан

114 текс при температуре Т = 40°С и сравним с ранее рассмотренным. Расчётные значение модулей Е^ = 3,75ГПа, Е0 = 13,25ГПа, податливостей

D0 = 0,075 ГПа"1, D(C = 0,267 ГПа*1,

структурные коэффициенты bn¡? — 9,35, bn<7 = 4,76, деформационно-временная функция (рис.2 - пунктир) и сило-временная функция (рис.4 - пунктир) заметно отличаются от предыдущих. Однако, расчётные "семейства" релаксации и ползучести (рис.1, рис.3 -кружочки) близки к экспериментальным. Это даёт основание сделать вывод о предпочтительности последней методики.

Указанные методики определения параметров релаксации и ползучести, вместе с ранее известными методиками, основанными на применении функций ИВ, ГТ, ФК, получили дальнейшее развитие в виде программного продукта автоматизированного расчёта вязкоупругих характеристик. Применение ЭВМ существенно увеличило точность вычислений и повысило достоверность определяемых характеристик, благодаря полученной возможности сравнения результатов использования различных математических моделей.

Таким образом, предложена к использованию в качестве релаксационной и функции ползучести функция НАЛ, достаточно хорошо описывающая вязкоупругие процессы. К её преимуществам следует отнести первостепенную роль в исследовании процессов при малых и больших временах ввиду медленной сходимости к своим асимптотическим значениям. Более простой вид функции НАЛ, чем у ИВ, облегчает работу и упрощает дифференциально-интегральные преобразования. Её применение существенно расширило диапазоны изменения модуля релаксации и податливости. Предложенные методики, как по самостоятельной обработке "семейств" релаксации и ползучеста, так и по их совместной обработке, подтвердили высокую точность прогнозирования вязкоупругих состояний синтетических материалов. Использование автоматизированного метода расчёта вязкоупругих характеристик существенно сократило время и трудоёмкость обработки "семейств", реально дало возможность сравнить результаты использования различных математических моделей, что помимо увеличения точности вычислений, повысило достоверность определяемых величин.

В третьей главе предлагаются методики вычисления интеграла нелинейно-наследственной вязкоупругости, как для процесса релаксации, так и для процесса ползучести. Рассматриваются различные виды деформационно-восстаповительньгх процессов. Показано, что при описании этих процессов, в зависимости от их типа, целесообразно использовать в комбинированном или в самостоятельном виде уравнения нелинейно-наследственной релаксации и нелинейно-наследственной ползучести. Новые и ранее имевшиеся методики получили дальнейшее развитие при автоматизации рассмотренных процессов.

Перепишем уравнения нелинейно-наследственной релаксации (10) г

= Еи^~{Е0 ~ ¿У' • <Ре-1-9м (27)

О

и нелинейно-наследственной ползучести (11)

<

гг, = Ои<т( +{Пи-ио)-\а0- (р'а-^О. (28)

о

Замена переменной $ =1~0 даёт равносильные уравнения

t

- E0£t ~ (Да - Л'ш)• J£V-.v • <p'ads, (29)

0 t

e, = D0(Tf + (Z>œ - /)„)• Ja-,_v • . (30)

0

Рассмотрим методику вычисления нелинейно-наследственных интегралов, входящих в уравнения (29), (30) с применением функции IIAJI. Уравнения (29), (30), используя формулы (14), (15) перепишем в виде

я ь„е J0 i+w£

11 ' 1 et = D0at + (Daa-D0)— — ----у-</(М- . (32)

Обозначим интегралы, входящие в формулы (31), (32) соответственно

i=L-L.\St_s—Ц-.dM, (зз)

Я fis о 1 + W* J = i'fa/_s.'..d(las). (34)

я- Ьпа J0 l +

Следует заметить, что данные интегралы являются несобственными, так как содержат особенность в точке t = 0. В силу этого, разобьём каждый из них на сумму двух интегралов, первые из которых будут интегралами с особенностью (назовём их главными частями интегралов), а вторые - без особенностей (назовём их правильными частями интегралов)

(35)

* ъпе о 1 + W,£ л bnr, tl 1 + W£

J=--j~-\<Tt-s--!—у-d(lns)+\at_s--Ly-dfas). (36)

* Ъ„а J0 l + * bno >ti i + wi

Для сокращения записи введём обозначения

Ц--4М, (37)

* ьпе }0 i + w£

j^L-L^a^.—Lj-.d^s), (38)

я Ъпа о J + Wl

1=1.1-. и ..41п, (39)

У = (40)

Целесообразно уменьшить область интегрирования в главных частях интегралов, т.е. взять значение //«?. Предполагая непрерывность деформации е^ и напряжения о^ по г, имеем

/* «1.1-. £ч - ]—Ц • ¿(Ы 5) , £ е (0;гД (41)

л- ЪПс 5

Ц-ч/М, (42)

я" Ко +

Заметим, что, по теореме о среднем значении и в силу непрерывности интегрируемых функций, существуют значения £ и д, при которых приближённые равенства (41), (42) становятся точными.

Далее получаем

/С 1'иН П(У

откуда, учитывая и <ра$ -»£> при .у -> О

т* 1 1 г* 1 1 /лл\

I « у х (44)

Разбивая отрезок на п-1 частей точками I], ..., ¡п - I,

получаем формулы для приближенных значений правильных частей интегралов (39), (40). Точность вычисления зависит от числа точек и и от способа разбиения отрезка интегрирования. Наиболее простым разбиением является равномерное, для которого

Т = (45)

*Аиг ¿=2 / +

~ 1 п 11

Кроме того, на точность формул (45), (46) оказывает влияние выбор точек

& и й •

Таким образом, окончательно имеем

Iй 11

I = si-i, ■ <Pa¡ + —г— Z Et-gt---' 7 • (47>

' 1 я-Ь„е k=2 " 7 + ¿

J = • + --f -" Z ^' —¿j- • {■ (48)

K "na k=2 l + W _ K

agk

Для других разбиений отрезка интегрирования получаются аналогичные формулы. Неравномерное разбиение отрезка \tj,t\ бывает также полезным. Например, в случае активно протекающих процессов деформирования и нагружения полезно выбирать разбиение отрезка в возрастающей геометрической прогрессии, а в случае длительных процессов - в убывающей геометрической прогрессии. Разработаны соответствующие методики для этих случаев.

Наряду с вычислениями интегралов оценим точность их расчёта. Для этой цели найдем доверительные интервалы значений интегралов. Обозначим через 1] и Ji значения интегралов, вычисленных по правым точкам tj¡ отрезков

а через I2 и Jj - их значения, вычисленные по левым точкам В предположении монотонности подынтегральных функций получаем формулы усреднённых значений интегралов с учётом точности их вычисления

j _ll + h ±Jl~h j_'h + J2 ±Jl~J2 (49ч

2 2 2 2' J Применение данных методик на практике даёт хорошие результаты. Так, например, при расчёте процесса деформирования по заданному закону

st~c0 + é-t,Tде £0 = 0 - начальная деформация, ¿-8,3-10~^- скорость деформирования, синтетической нити лавсан 114 текс при температуре Т = 40° С при равномерном разбиении интервала для значений п = 20, £( = 0,03, t = 360 с с использованием формулы (47), получаем

а, = H0st - {Еа - Б«,)• / » 0,166 ГПа, здесь точки выбирались в серединах отрезков [ífc^i'Jk ■

Усреднённое значение напряжения, вычисленное по правым и левым точкам отрезков \tk-i'¿k\

0t ср = e 0J77^0J55 =ош {п]а)

Окончательное значение напряжения с учётом точности вычисления по формуле (49)

сг, = crt ср ± А а, = 0,166±0,011 (ГПа).

Для проверки полученных результатов обратимся к эксперимешу, который даёт значение

жсп. = 0,160 ГПа. Относительная по1решность такого вычисления составила величину

s=. юо% * 5,61 %.

Данная погрешность вполне удовлетворительна для технических расчётов. С увеличением числа точек деления отрезка интегрирования уменьшается значение погрешности вычисления и повышается точность расчёта. При рациональном выборе точек ^, д^ и типа разбиения значение погрешности можно также уменьшить. Например, при разбиении отрезка интегрирования в возрастающей геометрической прогрессии со знаменателем q = 1,5, при количестве делений п -20 расчётные значения напряжения в приведённом примере уменьшатся

<7t = !i0Si - (Е0 - £■„)■ / « 0,163 ГПа -точки ¿¡^ берутся в серединах отрезков [^ ¡'Jk Ь

ff,с/, = S^tLи 0,160 + 0,152 = 0156 {Ша) _

усреднёшюе значение напряжения, вычисленное по правым и левым точкам отрезков [tk-i'Jk i

о, = а-, ср ± Аа, = 0,156 ± 0,004 (ГПа) -

значение напряжения с учётом точности вычисления по формуле (49).

Относигельпая погрешность такого вычисления составила величину

8 = ^ а*зксп\ .¡00% * 7,84%.

о-/

Для случая разбиения отрезка интегрирования в убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = 0,9, при количестве делений п=20 расчётные значения напряжения увеличатся

а( = Е0с, - {Е0 -£■„)•/ « 0,173 ГПа -точки ^ берутся в серединах отрезков

а, = + * °>т+2°>158 = 0,174 (ГПа) -

усреднённое значение напряжения, вычисленное по правым и левым точкам отрезков [i/c-i'Jk]',

at = а, ср ±Аа, = 0,174 ± 0,017 (ГПа) -

значение напряжения с учётом точности вычисления по формуле (49).

Относительная погрешность данного вычисления составила величину

3 = ^ а'жсп\-100%* 8,

Расчет процесса ползучести приводит к аналогичным результатам.

Предложенные методики опробованы на различных типах синтетических материалов при различных температурах.

Таким образом, правильный выбор тина разбиения (равномерное для равномерного процесса, в возрастающей геометрической прогрессии для активного процесса, в убывающей геометрической прогрессии для длительного процесса) и точек ^, д^ внутри разбиения способствует получению наиболее точных расчётных значений напряжения и деформации.

Указанные методики применимы для расчёта любых вязкоупругнх процессов, включая деформационно-восстановительные процессы с чередующимися разгрузками и нагружениями и процессы обратной релаксации.

Автоматизация процесса вычисления нелинейно-наследственных интегралов релаксации и ползучести, а также сравнительное использование различных математических моделей повышает точность и достоверность расчёта деформационных характеристик.

Четвёртая глава посвящена прогнозированию процессов растяжения. Рассматриваются как методы расчёта диаграмм, так и методы их уточнения по точкам экспериментальных диаграмм. Процесс расчёта диаграмм и их коррекции автоматизируется с учётом применения ЭВМ.

Режим получения диаграмм растяжешм синтетических материалов описывается уравнением, задающим изменение деформации с постоянной скоростью деформирования ё

(50)

где £0 - начальная деформация (обычно она полагается равной нулю). Данный режим является частным случаем более общего режима нелинейно-наследственной релаксации, описанного в третьей главе. Это даёт основание применить рассмотренные методы расчёта напряжения.

Приведём пример построения диаграммы для синтетического материала

лавсан 114 текс при температуре Т = 40° С.

Но экспериментальному семейству релаксации для двух скоростей деформирования е1 = 0,000083с~! и г^ = 0,083с 1 с использованием методик третьей главы (разбиение отрезка интегрирования в геометрической прогрессии со знаменателем д-1,5, число точек разбиения п-8) на основе функции НАЛ построим диаграммы растяжешм, характеризующие зависимость напряжения от деформации (рис.5).

250-1 200 -150 100 -50-

20-1

Рис.5. Экспериментальные (сплошная линия) и расчётные (пунктир) диаграммы

растяжения синтетической нити лавсан 114 текс при

Т = 40° С с использованием функции НАЛ для двух скоростей деформирования

£] = 0,000083 с'1 (тонкая линия) и ¿'2 = 0,083с~^ (толстая линия).

Рис. 6. Деформационно-временные функции

синтетической нити лавсан 114

текс при Т = 40°С с использованием функции НАЛ до коррекции (сплошная линия) и после коррекции по точке экспериментальной диаграммы

с = 4%, а = 200МПа, ё = 0,000083 (пунктир).

Как видно из сопоставления построенных диаграмм, расчётные диаграммы достаточно близки к экспериментальным. Для лучшего приближения расчётных диаграмм к экспериментальным предлагается метод коррекции диаграммы по одной или нескольким точкам. Суть метода состоит в активном использовании точек экспериментальной диаграммы для уточнения времён релаксации через деформационно-временную функцию (22).

Выберем для коррекции некоторую точку экспериментальной диаграммы (целесообразно выбирать точку, имеющую наибольшее отклонение от расчётной диаграммы) которая соответствует значению времени при

скорости деформирования ¿¡. Изменим деформационно-временную функцию (рис.6) путём сжатия (растяжения) вдоль оси ординат таким образом, чтобы было выполнено соотношение

0

р/ртел-^/Г^' с51)

где 5 - достаточно малое положительное число, характеризующее точность вычисления. Для достижения заданной точности может понадобиться несколько итераций. Расчёты показали, что при выборе точности 8 = 0,001 ГПа вполне достаточно не более десяти итераций. Окончательный вид диаграммы получаем с учётом изменённой деформационно-временной функции.

В случае коррекции диаграммы по нескольким точкам экспериментальной диаграммы: (£/;о7;Г;), {С2-(У2'^2\ ■■■■> (£к>°Ь 1к) ПРИ скорости деформирования ¿¡, деформационно-временную функцию необходимо корректировать последовательно. Опишем указанный процесс, предполагая, что времена ..., расположены в порядке возрастания.

Начинаем с корректировки деформационно-временной функции по одной точке (с]-,сх]), как это было описано ранее. Далее, по точке (¿2) корректируется не вся деформационно-временная функция, а лишь её участок, начиная с абсциссы £2- Последовательно корректируются другие участки, начиная с абсцисс £$, ..., Как показали расчёты, описанный метод корректировки, хотя бы по трём точкам даёт лучший результат, чем коррекпфовка по одной точке.

Рис. 7. Экспериментальные (сплошная линия) и расчётные (пунктир) значения диаграмм растяжения синтетической нити лавсан 114 текс

при Т = 40° С с использованием функции НАЛ для двух скоростей деформирования

£} - 0,000083с~1 (тонкая линия) и

£2 = 0,083с ' (толстая линия) после коррекции по точке

экспериментальной диаграммы

Е = 4%, а = 200МГ1а, £ = 0,000083с'1.

Рассмотрим пример корректировки расчётных диаграмм (рис.5), взяв для этого всего одну точку экспериментальной диаграммы £¡=4%, 01 = 200 МПа,

¿1 =0,000083 с"1, и изменив соответствующим образом деформацнонно-

временную функцию (рис.6). Рассмотренная корректировка (рис.7) приближает расчётные диаграммы к экспериментальным, причём для всех скоростей деформирования.

Вопрос о правомочности коррекции деформационно-временной функции будет показан, если пересчитать повые значения для исходного "семейства" релаксации и сравнить их с экспериментальными. Вычисления модуля релаксации после коррекции деформационно-временной функции в случае применения функции НАЛ дали следующие результаты (табл. 1).

Наибольшее отклонение расчётных значений от экспериментальных достигается при наибольшей деформации е = 3,25% и составляет около 10 %.

Табл.1. Экспериментальные и расчётные (после коррекции диаграммы) значения модуля релаксации синтетической нити лавсан 114 текс при

Т = 40° С с использованием функции НАЛ.

0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25

E(il ,ГПа - экспер. 10,56 10,05 9,05 8,15 7,30 6,60 6,05 5,56 5,17 4,85 4,68 4,40

El:t] ,ГПа - расчёт 10,46 9,99 9,06 8,22 7,43 6,77 6,24 5,97 5,59 5,28 5,12 4,88

Данная относительная погрешность в технических расчётах считается удовлетворительной.

Таким образом, диаграммы, построенные с применением функции НАЛ достаточно близки к расчётным, а их коррекция хотя бы по одной точке даёт существешюе уточнение результатов. Нредложешшй метод коррекции процессов растяжения по точкам экспериментальной диаграммы повышает надёжность полученных расчётных значений вязкоупругих характеристик. Автоматизированный метод построения и коррекции диаграмм повышает точность прогнозирования, значительно сокращая трудозатраты и время расчёта.

В пятой главе рассматриваются интегральные критерии правдоподобия вязкоупругих характеристик, разработанные как для процесса релаксации, так и для процесса ползучести. Автоматизация указанных критериев позволяет получить наглядное средство подтверждения достоверности рассчитанных вязкоупругих характеристик.

Аналитическую взаимосвязь модуля релаксации и податливости получаем из уравнения нелинейно-наследственной релаксации (10) при а = const t

E0Dat+lDaeE'c^ede = l (52)

О

и из уравнения нелинейно-наследственной ползучести (11) при £ = const

00Е€1+\1<£П1Уст:1^в = 1. (53)

О

Данные соотношения можно рассматривать как интегральные критерии соответствия модуля релаксации и податливости, а, следовательно, и остальных вязкоуиругих характеристик. Вычислите интегралов, входящих в формулы (52), (53) целесообразно проводить по методикам, описанным в третьей главе, при этом значения модуля релаксации и податливости определяются уравнениями (8), (9). Точность вычисления интегралов можно повысить наиболее рациональным способом разбиения отрезка интегрирования на часта, выбором точек сд., д^, а также увеличением числа точек разбиения. Степень достоверности определяемых вязкоупругих характеристик будет тем выше, чем менее будут отличаться значения интегралов, стоящих в правых частях формул (52), (53) от "1".

Применим данные критерии для контроля точности получаемых вязкоуиругих характеристик при обработке экспериментальных "семейств" релаксации и ползучести на примере синтетической нити лавсан 114текс при

температуре Т = 40°С. Результаты расчёта согласно интегральным критериям (52) (рис.8) и (53) (рис.9) при равномерном разбиении отрезков интегрирования

1,21,1 " 1

0,9 -0,8

0

-20 -10

1п-

—I— 10

20

1Д -1 1,1 1

0,9 ^ 0,8

+\Е£вйа;1-в<1в О

-20 -10

10

20

Рис. 8. Итегралышй критерий (52) для синтетической нити лавсан

114 текс при Т - 40° С (сплошная линия - а = 109 МПа, линия с кружком - <7 = 134МПа, линия с крестиком -а - 158 МПа)

Рис.9. Итегралышй критерий (53) для синтетической нити лавсан

114 текс при Т = 40°С (сплошная линия - е = 1 %, линия с кружком -£ = 2%, линия с крестиком -£ = 3%)

на п = 8 частей показывают, что отклонение кривых от значения "1" не превосходит 10%. Это отклонение характеризует точность полученного

решения определяющего уравнения в виде (10), (11). Близость кривых, полученных для различных значений деформаций и напряжений, к "1" подтверждает правильность определения среднестатистических времён релаксации и запаздывания.

Таким образом, рассмотренные интегральные критерии точности определения вязкоупругих характеристик позволяют контролировать достоверность прогнозирования вязкоупругих свойств синтетических материалов. Применение вычислительной техники, позволяющей существенно снизить трудоёмкость вычисления нелинейно-наследственных интегралов, открывает дорогу широкому внедрению полученных интегральных критериев в практику.

В шестой главе рассмотрены методы определения спектров релаксации и ползучести, а также их автоматизированное вычисление.

Предложено решетше задачи об аналитической взаимосвязи между нелинейно-наследственным ядром релаксации и деформационно-временным спектром релаксации на примере задания функции релаксации в виде НАЛ, а также между нелинейно-наследственным ядром ползучести и сило-временным спектром ползучести на примере задания функции ползучести в виде НАЛ.

Свойства вязкоупругого материала отражаются модулем релаксации, который связан со спектром релаксации известной формулой

и

представляющей собой преобразование Лапласа, в котором спектр релаксации Пс'г- играет роль оригинала, а ядро релаксации г^ - роль изображения в терминах операционного исчисления.

Аналогичная формула связывает податливость и спектр ползучести Оа'т-

Таким образом, поставлены задачи определения спектра релаксации по измеряемому процессу релаксации и спектра ползучести по измеряемому процессу ползучести.

Для получеты приближений нормированных спектров релаксации и ползучести воспользуемся известными рекуррентными формулами при к>2

(54)

(55)

Нк = -

1

(56)

к-1 с/1пг

0к=0к-1-

1 <Юк-1

(57)

к-1 й?1пг

1=(к-1)т

Вычисляя значения производных rvt —

ainf'

дкРа

ainr

F

к>->Г°* a]nf'

5к

...,—^Щ-, ... , где в качестве функций <рс, и <ра 1 выбран НАЛ, и используя Э1п Г

рекуррентные формулы (56), (57), получим выражения для приближений нормированных спектров релаксации и ползучести

1

77 dppt - 11

dlat

dint

* hnc 1 + IV,2

'tis I J_

7t Ь,

et

t=r

1

пет

1+W,

Ы,

(58)

(59)

JJ2 ^ dpg 8 <pa = ^

dint aini^

a

1 + -

2-W„

V2 ya J

-r _ dq>a d<pm_

dint gnr

, I 1 ¿-Wat

1 + W,

ot ,

t—T

\t=T

И Т. Д.

(60) (61)

Полученные результаты (58) - (61) можно представить формулами

"к-Га-Ъ

М

Ок^ы-Ъ М

1 PkiM

jPnat1 (l + W*y\

i РнМ iPnaP +

KMf

t=(k-l)7

(62)

(63)

где Р/а^а) и Ри(^с*)" многочлены степени 1-1 от и

Определим допустимую область значений структурных параметров Ьпе и

Ьпа, характеризующих свойства исследуемого материала.

Очевидно, что полученные приближённые значений спектров должны

удовлетворять условиям Яд. >0, >0. В случае второго приближения

— 2\Уы спектра релаксации Н2>0 имеем Ъпе >--что даёт Ьпе > 1. Аналогично

1 + УГЪ

получаем Ьпа > 1. Рассмотрение последующих приближений усиливает это

неравенство. Расчёт на ЭВМ показывает, что Ьпс >2, Ьпа >2. Это хорошо согласуется с экспериментом, так как у реальных материалов структурная характеристика удовлетворяет этому неравенству.

Для примера приведём приближения спектра релаксации (рис.10) и

спектра ползучести (рис.11) синтетической нити лавсан 114 текс при Т -40° С со значениями Ьпе = 19,2, Ъпа = 3,95, а также приближения спектров

-60 -40 -20 0 20 40 60

Рис. 10. Приближения спектра релаксации (первое - сплошная линия, десятое - пунктир) для синтетической нити лавсан 114

текс (Ьп£ = 19,2) при 'Г = 40° С.

Рис.11. Приближения спектра ползучести (первое - сплошная линия, десятое - пунктир) для синтетической нити лавсан 114

текс (Ьпа = 3,95) при Т = 40° С.

релаксации капронового монокорда 410 текс при Т-20°С со значением

Ьпс = 3,94 (рис.12) и нитрона 33,3 текс при Т = 40° С со значением Ъпе = 7,17 (рис.13).

Как видно из приведённых примеров, приближения спектров релаксации и ползучести быстро сходятся к некоторым предельным значениям спектров релаксации и ползучесга Оа~т , которые и являются искомыми.

Преобразованная шкала времени (рис.10, рис.12, рис.13.) в случае спектра релаксации содержит деформационно-временную функцию, отражающую деформационно-временную аналогию. В случае спектра ползучесш (рис.11), шкала времени содержит сило-временную функцию, отражающую сило-временную аналогию. Благодаря таким преобразованиям времени полученные спектры релаксации и ползучести являются обобщёнными, то есть распространяются на весь анализируемый начальный диапазон неразрушающего деформирования и нагружения.

Таким образом, спектры релаксации и ползучести с достаточной степенью точности характеризуются своими первыми приближениями -релаксационным ядром и ядром ползучести, а последующие приближения

0,04 -0,03 -0,02 -0,01 ■ 0 -

0,025 п и 0,02-

0,015 -0,01 -0,005 -

0

-20 -10 0 10 20

-30 -20 -10 0 10 20 30

Рис.12. Приближения спектра РисЛЗ- Приближения спектра

релаксации (,первое - сплошная релаксации (первое - сплошная

линия, десятое - пунктир) д.чя лтш< десшое ' "У"«т1'Р) для

капронового монокорда 410 текс синтетической нити нитрон 33,3

быстро сходятся к точным значениям спектров. Достаточно большие реальные значения структурно-чувствительных параметров Ът и Ъпа упрощают решения задач о взаимосвязи деформационно-временного ядра со спектром релаксации и сило-временного ядра со спектром ползучести. В этом случае, уже первые приближения можно считать близкими к точным решениям. По мере уменьшения численных значений указанных параметров, разница между первыми и вторыми приближениями будет возрастать, но, вероятнее всего, в большинстве реальных случаев, уже третьих или, в крайнем случае, пятых приближений будет вполне достаточно.

Автоматизация процессов нахождения спектров релаксации и ползучести позволяет находить необходимые приближения, повышая точность решения.

Седьмая глава посвящена практическому применешпо результатов, полученных в работе. Подводится итог разработанным методикам. Определяются направления их практического применения. Особое внимание уделено процессу автоматизации вычислений согласно рассмотренным методикам.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

В приложении помещены разработанные методики определения вязкоупрупгх характеристик, фрагменты программного обеспечения автоматизации процесса прогнозирования вязкоупругих состояний синтетических материалов на ЭВМ, а также акты о внедрении результатов диссертации.

(ЬПЕ = 3$4)при Т = 20° С.

текс (Ьп£ =7,17) при Т = 40° С.

выводы

1. Предложена к использованию в качестве релаксационной и функции запаздывания функция НАЛ, достаточно точно аппроксимирующая вязкоупрутие процессы релаксации и ползучести. Аналитическое задание функции НАЛ и принадлежность её к классу элементарных функций упрощает дифференциальпо-интегральные преобразования в рамках рассматриваемой математической модели. Функция НАЛ достаточно медленно стремится к своим асимптотическим значениям, что выгодно отличает её от других аналогичных функций в рассмотрении вязкоупругих процессов при малых (близких к началу процесса) и больших (длительные процессы) временах. Применение функции НАЛ в математическом моделировании процесса релаксации существенно расширило диапазон наблюдаемых значений модуля релаксации и ползучести, приблизив значение модуля вязкоупругости к нулю, модуля упругости - к акустическому значению, уменьшив значение начальной податливости и увеличив значение предельно-равновесной податливости. Малое значение модуля вязкоупругости, свойственное некоторым рассмотренным объектам, в рамках рассматриваемой математической модели, соответствует завершённости процесса релаксации. Указавшая особенность существенно упрощает расчётные формулы. Значение модуля упругости, близкое к акустическому, соответствует моменту квазимгновенной деформации в начале процесса, при которой скорость распространения деформационных воздействий в полимере близка к скорости звука.

2. На основе применения функции НАЛ разработаны методики определения параметров вязкоупругости, как по самостоятельным обработкам экспериментальных "семейств" релаксации и ползучести, так и по согласованным. Данные методики достаточно точно прогнозируют вязкоупрутие состояния рассмотренных объектов и используют минимальное число возможных параметров, что упрощает математическую модель и процесс прогнозирования.

3. Разработаны методики решения определяющих уравнений нелинейно-наследственной релаксации и нелинейно-наследственной ползучести, учитывающие оптимальный способ разбиения отрезка интегрирования на части в зависимости от рода процесса, включая процессы активного и длительного деформирования и нагружения. Указанные методики прогнозируют значения деформации и напряжения, достаточно близкие к экспериментальным для всех рассмотренных объектов при различных режимах деформирования и нагружепия: непрерывных, деформационно-восстановительных (как с полной, так и с частичной разгрузкой), обратной релаксации.

4. Разработаны методики прогнозирования процессов растяжения в рамках исследуемой математической модели с применением функции НАЛ.

Расчётные диаграммы растяжения по разработанным методикам достаточно близки к экспериментальным, а их коррекция по одной или нескольким точкам экспериментальной диаграммы, повышает точность указанного построения и не оказывает отрицательного воздействия на вязкоупругис характеристики, в частности, на модуль релаксации.

5. Разработаны интегральные методики критериев правдоподобия нелинейно-наследственных ядер релаксации и ползучести в рамках математической модели, использующей функцию НАЛ. Применение указанных методик определяет относительную точность прогнозирования вязкоупругих свойств рассматриваемых образцов синтетических материалов, подтверждая правильность определения внутренних времён релаксации и запаздывания.

6. Разработаны методики определения спектров релаксации и ползучести в рамках нелинейной математической модели, использующей функцию НАЛ. Указанные спектры достаточно точно определяются по своим первым приближениям - деформационно-временному наследственному ядру релаксации и сило-временному наследственному ядру ползучести. Последовательные приближения нелинейных спектров релаксации и ползучести быстро сходятся к своим точным значениям, для вычисления которых в случае большинства исследуемых образцов синтетических материалов достаточно трёх-пяти приближений.

7. Практическое применение разработанных методик способствует более достоверному определению вязкоупругих свойств полимерных материалов. Автоматизация процессов прогнозирования вязкоупругих состояний синтетических материалов на основе математической модели использующей функцию НАЛ и на основе других математических моделей, повышает точность определения вязкоупругих характеристик, значительно сокращая время расчётов и уменьшая трудозатраты. Сравнение результатов, получешгых с использованием различных математических моделей повышает степень их правдоподобия.

Основное содержание диссертации опу бликовано □ следующих работах

1. Макаров А.Г., Ковригин А.Б. Обобщённые почти-псриодические (по Бохнеру) фушсции//В сб.: Colloquium оц Qualitative theory of Differential Equations.-Budapest, 1979. -C. 41.

2. Макаров А.Г. Достаточное условие для рекуррентности устойчивой по Пуассону траектории динамической системы на торе//В сб.: Czechoslovak Conference on Differential Equaiions and Their Applications. -Bratislava, 1981.-C. 89.

3. Макаров А.Г. Почти-периодические, рекуррентные и устойчивые по Пуассону траектории динамических систем на торе//В сб.: Математические

методы исследования управляемых механических систем. -Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. -С. 115-121.

4. Макаров А.Г. Движение заряженных частиц в магнитных полях специального вида//В сб.: Математические методы теории управления. -Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984.-С.103-111.

5. Макаров А.Г. Качественное исследование динамических систем с фазовым пространством тор и применение к исследованию траекторий заряженных частиц в полях магнитных тороидальных систем. -Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 1989. - 16 с.

6. Makarov A.G., Fialka М. A theorem on some one-to-one mapping between solutions of the nonhomogeneus linear differential equation of the 2-nd order and the corresponding associated equation//ln col.: Czechoslovak Conference on Differential Equations and Their Applications. -Praga, 1991. -P. 58-60.

7. Макаров А.Г. Способ моделирования физико-механических свойств синтетических материалов. - СПб.: Изд-во СПГУТД, 1996. - 55с.

8. Макаров А.Г. Варианты прогнозирования деформированных состояний вязкоупругих материалов. - СПб.: Изд-во СПГУТД, 1997. - 63с.

9. Сталевич A.M., Макаров А.Г. Вариант релаксационной функции синтетических конструкционных материалов//В сб.: Машины и аппараты текстильной и лёгкой промышленности. -СПб.: Изд-во СПГУТД, 1998,- С. 7.

10. Макаров А.Г. Прогнозирование процессов растяжения вязкоупругих материалов. - СПб.: Изд-во СПГУТД, 1998. - 59с.

11. Сталевич А.М., Макаров А.Г. Простейший вариант наследственного ядра релаксации ориентированного аморфно-кристаллического полимера//В сб.: Физико-химия полимеров, вып.5. -Тверь: Изд-во Тверского ун-та, 1999.-С.58-64.

12. Сталевич А. М., Макаров А.Г. Вариант аналитического описания сложных режимов деформирования синтетических нитей//В сб.: Механизмы деформации и разрушения перспективных материалов. - Псков, 1999. -С. 599-604.

13. Макаров А.Г. Нахождение спектров релаксации и ползучести вязкоупругих материалов. - СПб.: Изд-во СПГУТД, 1999. - 51с.

14. Макаров А.Г., Сталевич А.М. Связь нормированных ядер релаксации и ползучести при линейности вязкоупругих свойств текстильных материалов// В сб.: Сборник статей аспирантов и докторантов. -СПб.: Изд-во СПГУТД, 1999. -С. 35-39.

15. Макаров А.Г., Сталевич А.М. Вариант наследственных ядер запаздывания и релаксации текстильных материалов/ЛЗестник СПГУТД, вып.З. -СПб.: Изд-во СПГУТД, 1999. - С. 34-40.

16. Сталевич A.M., Макаров А.Г. Критерии правдоподобия нелинейно-наследственных ядер релаксации и запаздывания. - СПб.: Изд-во СПГУТД , 1999.-67с.

17. Сталевич A.M., Макаров А.Г. Вариант спектра релаксации ориентированных полимеров//В сб.: Физико-химия полимеров, вып.6. - Тверь: Изд-во Тверского ун-та, 2000. С. 75-81.

18. Макаров А.Г., Сталевич A.M. Спектральный анализ вязкоупругих свойств синтетических нитей//В сб.: Международная конференция по химическим волокнам "Химволокна Тверь-2000". -Тверь, 2000,- С. 281-288.

19. Макаров А.Г., Головина В.В., Сталевич A.M. Метод уточнения вязкоупругих характеристик нитей из полиакрилонитрила//В сб.: Вестник межвузовской научно-технической конференции. -СПб.: Изд-во СПГУТД, 2000.

- С. 39.

20. Макаров А.Г., Головина В.В., Сталевич A.M. Метод определения спектра релаксации для нитей из полиакрилонитрила//В сб.: В сб.: Вестник межвузовской научно-технической конференции. -СПб.: Изд-во СПГУТД, 2000.

- С. 39-40.

21. Сталевич А.М., Макаров А.Г. Каноническое уравнение нелинейпо-наследствешюй вязкоупругости гибкоцепных ориентированных полимеров//В сб.: Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов. -С.Пб., 2000. -С. 118.

22. Сталевич А.М., Макаров А.Г. Нелинейно-наследственная реология высокоориентированпого полимера//В сб.: Труды Конгресса "Фундаментальные проблемы естествознания и техники". -С.Пб., 2000. -С. 132-133.

23. Свидетельство на официальную регистрацию программы для ЭВМ "Определение вязкоупругих характеристик синтетической нити".

№ 2000610381 от 16.05.2000., автор Макаров А.Г.

24. Свидетельство на официальную регистрацию программы для ЭВМ "Прогнозирование деформационных состояний синтетической нити". -№ 2000610373 от 20.04.2000., автор Макаров А.Г.

25. Свидетельство на официальную регистрацию программы для ЭВМ "Уточнённое определение параметров определяющих уравнений синтетической шли". - № 2000610372 от 20.04.2000., авторы Макаров А.Г., Сталевич A.M.

26. Свидетельство на официальную регистрацию программы для ЭВМ "Вычисление спектра релаксации синтетических материалов". - № 2000610375 от 20.04.2000., авторы Макаров А.Г., Сталевич A.M.

27. Свидетельство на официальную регистрацию программы для ЭВМ "Анализ устойчивости решений наследственных уравнений синтетической нити". -№ 2000610378 от 20.04.2000., автор Макаров А.Г.

28. Свидетельство на официальную регистрацию программы для ЭВМ "Определение параметров наследственных уравнений нагруженных состояний синтетических материалов". - № 2000610379 ог 20.04.2000., авторы Макаров А.Г., Сталевич A.M.

Лицензия Серия ЛП № 000285 от 21.10.99 Оригинал подготовлен автором

Подписано к печати 04.05.2000 Формат 60x84 1/16 Усл.печ.л. 2,2 Заказ

Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии СПГУТД 121028, г. Санкт-Петербург, ул. Моховая, 26