автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические и имитационные модели случайных процессов с дискретным временем, расчет телетрафика и оптимальных стратегий

На правах рукописи

Лужецкая Прасковья Алексеевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ, РАСЧЕТ ТЕЛЕТРАФИКА И ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

1 3 ПЕН 2012

Ростов-на-Дону - 2012

005057169

Работа выполнена на кафедре «Информатика» в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (РГУПС)

Научный руководитель: Бутакова Мария Александровна

доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: Божешок Александр Витальевич

доктор технических наук, профессор, Южный федеральный университет, профессор

Соколов Сергей Викторович

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения», профессор

Ведущая организация: Северо-Кавказский федеральный

университет

Защита состоится ЛУ декабря 2012 г. в /V. № часов на заседании диссертационного совета Д 218.010.03 в Ростовском государственном университете путей сообщения по адресу: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУПС по адресу: 3 14038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.

Автореферат разослан «/¿?» ноября 2012 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 218.010.03 доктор технических наук, профессор

Бутакова М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность тематики исследования. В настоящее время процессы Лева используются при моделировании различных естественных явлений, также как диффузия потоков в пористых средах и плазме, лазерное охлаждение, молекулярные столкновения, долговременные изменения климата, движение молекул в разреженном газе, помехи в каналах связи, модели телетрафика, флуктуации доходности финансовых активов и т.д. Процессам Леви посвящены многочисленные как аналитические так прикладные исследования. Среди зарубежных ученых, работающих с математическими моделями на базе процессов Леви, следует отметить S. Asmussen, O.E. Barndorff-Nielsen, J. Bertoin, A. Bensoussan, F. Black, P. Carr, R. Cont, J.C. Cox, F. Delbaen, D. Lamberton, R. Merton, S.A. Ross, W. Sha-chermayer, M. Scholes, E. Schwartz другие. Исключительное влияние на развитие исследований в этой области оказал академик РАН А.Н. Ширяев и его ученики. Среди российских ученых следует отметить вклад К.А. Боровкова, Г.И. Беляпско-го, A.A. Гущина, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, С.З. Левендорского, A.B. Мельникова, М.Л. Николаева, A.A. Новикова, И.В. Павлова, Э.А. Пресмана, Д.Б. Рохлина, В.Н. Тутубалина, В.М. Хаметова, A.C. Черного и других.

Хорошо развитый аналитический аппарат, включающий теорию мартингалов, стохастическое интегрирование, инфинитезимальное исчисление, позволяет находить решения разнообразных задач. По сравнению с гауссовскими процессами негауссовские процессы Леви позволяют моделировать скачки траекторий за счет наличия скачкообразной составляющей, что существенно расширяет возможности математического моделирования временных рядов с последующим приложением моделей.

В последнее время многих авторов привлекают модели, основанные на процессах Левн, в которых происходят изменения параметров в случайные моменты времени под воздействием случайных факторов среды. Следует также отметить неугасающий интерес к фрактальным (автомодельным) процессам. Хорошим средством моделирования является замена времени, детерминированная и стохастическая (субординация). Поэтому исследования связанные с приложениями моделей временных рядов под управлением процессов Леви являются актуальными.

Цель диссертационного исследования. Диссертационное исследование посвящено математическим моделям временных рядов, полученных на базе процессов Леви, разработке эффективных методов вычисления специальных функционалов на траекториях временных рядов, использующих вычислительные процессы с теплнцевыми матрицами, быстрые преобразования и методы Монте-Карло, разработке программного обеспечения н приложениям для расчетов пропускных возможностей информационных каналов при заданном трафике и оптимальных портфелях.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: - с использованием структуры процессов Леви предложены новые модели временных рядов: фрактальные модели с использованием произвольных безгранично делимых распределений, модели с использованием круговых устойчивых

распределений, модели с использованием семейства процессов Леви и стохастического автомата;

- предложены имитационные модели и алгоритмы генерации временных рядов рассматриваемого класса;

- на основе использования метода максимального правдоподобия и эмпирической плотности предложен метод идентификации кумулянты для широкого класса процессов Леви;

- разработано программное обеспечение, с помощью которого вычислены оптимальный портфель и оптимальная пропускная способность канала.

Научная новизна. Основными новыми результатами являются

в области математического моделирования:

- модели временных рядов на базе процессов Леви со стационарными, но зависимыми приращениями;

- модели, полученные в результате конкатенации траекторий процессов

Леви;

- модели, полученные из составного процесса Пуассона детерминированной и случайной заменой времени;

- имитационные модели данных временных рядов;

в области численных методов:

- метод идентификации параметров модели, использующий быстрое преобразование Фурье;

- методы, связанные с теплицевыми матрицами, позволившие построить имитационные модели фрактальных временных рядов;

- использование метода Монте-Карло для вычисления функционалов на траекториях временных рядов, математическими моделями которых являются процессы, используюшие свойства процессов Леви;

в области программных комплексов:

- программный комплекс моделирования и генерации телекоммуникационного трафика на основе разработанных в диссертации моделей и вычислительных методов, и отличающийся возможностью генерации сетевых потоков данных через сетевые интерфейсы компьютеров, соответственно, в режимах воспроизведения сохраненных параметров и синтетической генерации в соответствии с аналитическими моделями временных рядов, описывающих поведение телетрафика в телекомммуникационных сетях.

Практическая значимость. Результаты диссертации воплощены в программном комплексе и использованы при вычислении оптимального портфеля при среднеквадратичном хеджировании и расчете оптимальной пропускной способности канала при трафике с заданными статистическими характеристиками. Практическая ценность разработанного программного комплекса обусловлена возможностями измерения основных характеристик производительности телекоммуникационных сетей на основе пакетной коммутации данных, что позволяет использовать комплекс программ при анализе, развертывании и проектировании телекоммуникационных сетей.

Объектом исследования являются процессы передачи данных, рассматриваемые как случайные процессы с дискретным временем.

Предметом исследования являются математические модели временных рядов и численные методы, позволяющие реализовать имитационный эксперимент с моделями.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- фрактальные модели временных рядов на базе произвольных безгранччно делимых распределении, модели временных рядов на базе семейства процессов Леви и стохастического автомата, модели временных рядов на базе составного процесса Пуассона с круговым устойчивым распределением скачка, имитационные алгоритмы вычисления траекторий для данных временных рядов;

- вычислительные алгоритмы, использующие быстрое преобразование Фурье, теплицевы матрицы и метод Монте-Карло для фитинга моделей и вычисления функционалов на траекториях временных рядов;

- программное обеспечение, которое использовано для вычисления оптимального портфеля и оптимальных характеристик информационного канала.

Достоверность полученных результатов обеспечена математическим анализом алгоритмов, положительными вычислительными экспериментами как с модельными, так и с реальными данными, внедрением результатов диссертационного исследования.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всероссийской конференции «Ряды Фурье и их приложения» (1999 г.), всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математик ( 2010, 2011 гг.).

Результаты диссертации внедрены в ООО «Альянс Телеком».

Публикации. Результаты исследования опубликованы в 12 работах, 3 из которых - в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация общим объемом 134 страниц содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы и?, 100 наименований, 40 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирозаны цели работы, приведены сведения о структуре диссертации.

В первой главе диссертации «Математические модели временных рядов» наряду с аналитическим обзором описываются основные математические факты, которые в дальнейшем будут использованы для построения моделей информационных потоков и ряда моделей для постановки и решения прикладных задач, возникающих в финансовой математике. Рассматриваются два типа моделей. К моделям первого типа относятся модели со стационарными и независимыми приращениями. Второй тип моделей - это модели со стационарными, но зависимыми приращениями, обладающими свойствами автомодельное™.

Поскольку модели первого типа достаточно представлены в литературе, то основное внимание в главе уделено моделям второго типа. Так, в диссертации подробно рассмотрен прием детерминированной и стохастической замены времени.

Детерминированная замена времени. Пусть ф(/) — возрастающая функция, ф(о) = 0. Пусть У, - процесс Леви. Определим новый процесс X, -- Уг{:).

Вычислим £exp(/W,) = £exp(/6}^M) = exp(ip(f)*|;(9)). Отсюда следует, что х будет процессом Леви тогда и только тогда, <р(/) = «/, л>0.

Детерминированная замена времени для составного процесса Пуассона. Представим составной процесс Пуассона как точечный процесс. Пусть последовательность 4 состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин с 1\ (4, е dx) = (dx), последовательность д состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин с РА (д, е dx) = Fü (dx). Положим т0 = 0, т, = тм + Д, .Определим случайный процесс:

Х,=^Дх,<1) (1)

í>I

Процесс X, является чисто скачкообразным процессом со случайной величиной скачка и интенсивностью скачков, определяемой Fj. Является справедливой следующая теорема.

Теорема. Процесс х, определяемый формулой (1), будет процессом Леви тогда и только тогда, когда распределение /•; является показательным.

Заметим, что в этом случае процесс х является составным пуассоновским процессом и может быть представлен в виде:

(2)

i=i

где N, - процесс Пуассона.

Пусть Y, - составной процесс Пуассона. Введем в рассмотрение новый процесс X, = Yf{l). Замена времени приведет к изменению формулы (1)

¡>i

Рассмотрим последовательность д для процесса х. Обозначим через А» =<p(t4-i+Ai)~4,(vi)- Последовательность д - порождающая последовательность для составного процесса Пуассона - у. Вычислим условную вероятность P(Atüx/zt_,) (г4_, =*,_,). Искомая вероятность

Гак как у составной процесс Пуассона, то

Р(Ак ^х/zt_,) = I -ехр(-1(<p(.v+ zt_,)-<p(zt_,))), и плотность условного распределения (при условии дифференцируемости функции ф)

А,(*»| *>-,)= Ц'(г^+хк)ехр(-Х(ф(г^, + *t))-<|>(zt_,)), (4)

' »-i где z, =¿jxi • Заметим, что д, зависит от . Независимость возможна тогда и i-i j.i

только тогда, когда <p(t) = at. В этом случае

Pát[xi| xi>x2>— >xí-i) = Ра„ {хк) = dk&q>[-akxt). Следовательно, процесс х - составной процесс Пуассона.

Стохастическая замена времени. Второй способ получения нового процесса х является субординацией эталонного процесса у с помощью субординатора Леви. Поскольку в диссертации показано, что составной процесс Пуассона после субординации остается процессом Пуассона, то основное внимание уделяется винеровской составляющей процесса Леви.

Далее в главе рассматриваются автомодельные процессы Леви и их дискретные аналоги в качестве моделей временных рядов.

В главе изучается дискретизация автомодельных процессов со стационарными и зависимыми приращениями. Приводится следующее определение. Определение.

Назовем последовательность X автомодельной в широком смысле, если

1

Хц - О, X, = и последовательность б стационарная в широком смысла по-1

следовательность с ковариационной функцией, определяемой равенством

,1Н

С0У(/,/) = р(А) = [(Л +1)2" _ + (/с-1)2" ], где к = |/-.

Данное определение позволяет существенно расширить класс моделей временных рядов, например, следующим образом. Рассмотрим последовательность 4 независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Назовем эту последовательность обновляющей последовательностью. Введем ряд обозначений

Х^ =(Х„Х1,...,ХЫ)Т, ние:

= (е1)е

ыУ .....Рассмотрим представле-

(5)

где А - невырожденная матрица.

Из (5) следует, что для матрицы А выполняется равенство: С = ААТ,

(б)

где С--

р(°) р(0

р(>) р(°)

р{М-2)

[р(ДГ-1) р(ЛГ-2) ... р(0)

- симметричная теплицева матрица. Равенству (б) удовлетворяет множестве» невырожденных матриц, поэтому мы можем потребовать, чтобы матрица обладала дополнительными полезными свойствами. Например, была нижнетреугольной. Благодаря (5) мы можем выразить вектор X"' непосредственно, через вектор :

Х(К)=СА^

С)

(7)

где С =

1 0 ... О4! 1 I ... О

1 1 ... 1

Возможно и другое представление: Из (8) следует:

С = А'1 (А~'У ,

и

(8) (9) (10)

Равенство (10) эквивалентно равенству (6), однако соотношения (5) и (8) имеют разный вероятностный смысл. Первое из них называют моделью скользящего среднего, второе — моделью авторегрессии.

Рассмотрим еще одно представление, использующее диагональное представление ковариационной матрицы. Поскольку ковариационная матрица С - симметричная теплицева матрица, то возможно диагональное представление С = итли, где и - ортогональная матрица, л - положительная диагональная матрица. В связи с этим:

(П)

Существуют эффективные алгоритмы диагонализации симметричных теп-лицевых матриц. Поэтому представление (И) является весьма эффективным средством имитационного моделирования.

Далее в главе рассматривается дискретизация процессов с переключением параметров.

Определим марковскую цепь по процессу и

(12)

для которой матрица переходных вероятностей х определяется равенством:

/4,=(ехр(ЛЛ))м. (13)

Определим е'1' = ДУ„<0, тогда дискретизация процесса с переключением параметров модели определяется равенством:

=!>!"■>. <14> Вычислим характеристическую функцию случайной величины Ф^, (е) = дг(ехр(/вЕ«) / и,=к)=(9(0>)г иг.

(15)

В (15) компоненты вектора

„<°>

ду' = Р(и„=к), компоненты вектора г

I) = ехр(М|/, (0)), где (0) - кумулянта случайной величины е^

Допустим, матрица Л представима в виде: Л = , где 5 =

0 0

тогда:

где 5 =

ехр(/и,) О

О

О

ехр(/и2) О

Отсюда матрица V = V

О О

ехР(/мД

ехр ( _//«,) О

(17)

О

О

ех

р(у'Ч)

О

следовательно, характеристическая функция

ф („,| (б)=Еехр07"/)аА'

I

где а, . В этом случае выражение для характеристической

I I

функции имеет более простой сепарабельный вид.

Во второй главе диссертации «Имитационные модели и статистический анализ временных рядов» рассматриваются имитационные модели временных рядов, полученные на основе анализа математических моделей, проведенного в первой главе. При решении задач фильтрации сигналов, расчета и прогнозирования трафика, расчета справедливых цен и риска, то есть задач, евчзан-ных с вычислением функционалов на траекториях случайного процесса, существует два альтернативных метода. Первый метод — это метод Монте-Карло и второй - численное решение интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.

Для реализации метода Монте-Карло существенным моментом является разработка эффективных численных методов генерации траекторий случайного процесса или временного ряда.

Поэтому первая цель, которая достигается во второй главе - это разработка генераторов временных рядов, позволяющих вычислять различные функционалы от временных рядов с использованием методов Монте-Карло. Вторая цель - это разработка численных методов оценки параметров моделей по наблюдаемой выборке или фитинг моделей, для того чтобы получить законченный программный комплекс.

Основная трудность аналитического характера при построении генератора процесса Леви заключается в том, что для большинства процессов Леви закон распределения приращений не известен в явном виде.

В связи с этим, представляется оправданным разбить проблему генерации траекторий процесса Леви на несколько подзадач.

1. Моделирование составного процесса Пуассона.

Траектории составного процесса Пуассона являются кусочно-постоянными с конечным числом скачков на ограниченном интервале, поэтому эти траектории могут быть промоделированы достаточно точно. Мы предлагаем алгоритм, з котором использован тот факт, что на достаточно малом временном интервале: может произойти максимум один скачок. Кроме этого, в данной главе рассматрива-

ется алгоритм, который учитывает возможность детерминированной замены времени.

2. Аппроксимация процесса Леви составным процессом Пуассона. Простейшая аппроксимация заключается в том, что удаляются скачки, по модулю непревосходящие в. Такая аппроксимация сходится медленно в случае высокой концентрации скачков в окрестности нуля. Для описания скачков по модулю меньших е предложено использовать соответствующим образом нормализованное броуновское движение.

3. Представление процесса с помощью ряда дает еще один способ моделировать процесс Леви с помощью взвешенной суммы процессов Пуассона.

4. В главе также рассматривается моделирование процесса Леви, получающегося в результате субординации винеровского процесса.

5. Рассматривается генератор фрактального в широком смысле процесса с использованием рекуррентного обращения теплицевой матрицы.

6. Для моделирования нестационарных процессов предлагается алгоритм, ядром которого является стохастический автомат.

Из-за ограниченности объема автореферата остановимся на описании алгоритма моделирования нестационарных процессов.

Рассмотрим автомат без входов ЗА = (р0,3,М,Р,<р), где р0 - начальное распределение вероятностей на 5, 5 - конечное множество состояний, Р - стохастическая матрица переходов, М = {\,...,И} - конечный выходной алфавит, ср -сюръективное отображение фКаждый элемент множества М является меткой модели. Данный автомат является генератором марковских цепочек. Длина такта стохастического автомата те{1,2,....} является случайной величиной с известным законом распределения <2.

Рассмотрим семейство процессов Леви Дг(-/);_/= 1,2,и семейство приращений случайного процесса ер' = - .

Пусть вероятностный автомат генерирует выходную последовательность {н,,м2,...,м,}. Используя эту последовательность, получим временной ряд приращений конкатенацией отрезков временных рядов Е = Е("|)Е<"!>...Е("'). В результате получаем процесс X = XмXм...Xм. Отрезки имеют длину, равную длине такта т, стохастического автомата. При т/ = 1 получаем модель, которая была исследована аналитически в первой главе. Если т - случайная величина, то аналитический анализ затруднен, однако генератор такого процесса можно реализовать в виде следующего алгоритма.

Процедура Соп(Г, Ф ,И,БА, е)

1. к:= 1

2. Генерация т с помощью Ф

3. Генерация и с помощью стохастического автомата ЗА

4. п := 1

5. Генерация е(&) с помощью

6. п:= п + \,к:= к +1

7. Если к > N то 10

8. Если п<1, то 5

9. Перейти к 2

10. Возврат

В процедуре Соп Г = (/г1")) г) - семейство безгранично делимых распределений, Ф - распределение периода т, 5Л - стохастический автомат без входов

В качестве примера рассмотрим конкатенацию процессов Пуассона. Рассмотрим случайный процесс, у которого с течением времени интенсивность скачков изменяется. Допустим, что с увеличением времени интенсивность скач-, ков возрастает. Последовательность состояний автомата образуют Марковскую цепь с к состояниями и матрицей переходных вероятностей 'р 1 -р 0 ... 0Ч

Р =

0

0 0

1-

0

0 1

Последнее состояние является поглощающим. Множество моделей определяет алфавит меток моделей М = {щ,т2.....тк}. Метке т. соответствует Пуассо-

новский процесс с интенсивностью скачков Хг Причем выполняется неравенства Л, < Х()1. Начальное состояние = 5,. такты т, = 1. Если матрица переходные ве-

роятностей Р =

Р 0

1 -р

1 -р о р 1 -р

о

(П о

то получим процесс с периодическим

У

нарастанием интенсивностей скачков. Результаты моделирования приведены на рис. 1.

Далее в главе рассматривается алгоритм идентификации параметров модели по наблюдаемому временному ряду с использованием кумулянты процесса Леви и метода максимального правдоподобия.

Основным достоинством предлагаемого метода является использование вычислительной схемы, в которой применяется быстрое преобразование Фурье, что делает метод вычислительно эффективным. В главе приводятся результаты вычислительного эксперимента по фитингу модели. Результаты позволяют утверждать, что предлагаемый метод находит неизвестные параметры модели с достаточной степенью точности.

' А 1 „юо.

Рис. 1 - Траектория конкатенации процессов Пуассона с поглощающим состоянием, с ннтенсивностями, изменяющимися по закону X. = X +0 05г/ = 1 2 30'X =0 1 с переходной вероятностью р = 0.5. Интервал моделирования [ОД], 100 значений

п 120

"'115.2

110.4

105.6

100.8

1 96

91.2

86 4

816"

76.8"

72"

67.21

62.4"

»57.6-

4843.2"

38.4-

■ 33.6-

'28 8-

24"

19.2

14.4'

9.6"

4.8-

Содержание третьей главы диссертации «Экспоненциальные процессы Лени и типа Леви в задачах оптимального управления трафиком и хеджирования», связано с приложениями теоретических исследований, проведенных в первой и второй главе диссертации.

Чтобы продемонстрировать определенную универсальность рассмотренных в первой и второй главе математических и имитационных моделей временных рядов, в третьей главе приводится решение двух различных задач.

Первая задача связана с моделированием финансовых индексов с помощью экспоненциального временного ряда.

Вторая задача связана с моделированием пиковых нагрузок, возникающих в информационных потоках в компьютерных сетях.

Основной исследуемой моделью временного ряда является модель

^=П-,ехРК+рЛ). (18)

Случайные величины а, и р4 предсказуемы относительно естественной фильтрации ъ =а(е„е2,...,е4). Случайные величины ек независимые и одинаково распределенные безгранично-делимые случайные величины с характеристической функцией 9с(у) = ^1<Лу)> ух(у) - кумулянта порождающего процесса Леви х.

Преобразование Эшера, которое используется для замены исходной меры на мартингальную меру, для процесса (18) будет иметь вид:

Для вычисления ък используем мартингальное равенство Е(2Л = • Из мартингального равенства получим уравнение:

Далее приводится ряд примеров вычисления преобразования Эшера. Приведем один из них в автореферате.

Пример. Круговые а-устойчивые распределения. Рассмотрим модель (18), в которой распределение £к — круговое а - устойчивое распределение.

При описании функций и плотностей распределений в этом случае используют подход, основанный на «закручиванитГзначений случайный величин, имеющих распределение на действительной прямой, по окружности с некоторым радиусом. Технически это означает, что каждой «линейной» случайной величине ^ ставится в соответствие «круговая» случайная величина т) по правилу:

г1 = ^(тос12л). (21)

В результате г| е [-я,л). Функция распределения круговой случайной величины Г|

^00 = Р(л£;у)= ¿[^ + 2яА)-Я2яА)], (22)

*=-«>

следовательно, функция плотности распределения, если существует, будет иметь вид:

/с (у) = Е ЛУ + 2пк)> (23)

Формулы (22) и (23) позволяют вводить круговые аналоги для известных распределений.

Предположим, что плотность /с(у) разложима в ряд Фурье:

оо

/с{у)= Лс„е~'"У ■ Используя (23), получим, что

п=-со

1 оо Л 1 оо *(2*+1)

=-!- Е \Ау+2як)г>"Чу = ~ Е IЛуУ'^у = 2яД, 2я

где ф(у) - характеристическая функция распределения Г. Следовательно, для плотности кругового распределения справедлива формула:

/.60=7- ТАпУ"у- (24)

Допустим, что носителем плотности fc является интервал [д,б). В этом

случае формула (24) приобретает вид: ^ °У~ ^^]~2~ Е §(п)е~'"у-

Пусть % - устойчивая симметричная случайная величина с характеристической экспонентой

(л:) = |х|°. (25)

Из (24) н (25) следует, что характеристическая функция

ф(*) =

sin ял:

я

1 ■(-!)* ехр(-/,а°Г) х £l х2-к2

И ПЛОТНОСТЬ

Ш = -!-+-¿exp(-aar )cos*v 2л л tí

(26)

(27)

На рис. 2 приведены графики плотностей кругового устойчивого распределения при различных значениях индекса устойчивости и ст = 0.5.

J .305.,

.0.016, f

1.4-

1.26-

1.12-

0.98

0.84

0.1

0,1 Á # 0.14- № \\\ \\\ V.\

1-1 -—1— -1- -1-1 ""I"1-

"4 -3.2 "2.4 "1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 3.142., х j 142,

Рис. 2 - Графики плотности кругового устойчивого распределения для случаев

а = 0.5, а = 1, а = 1.5

Из рис. 2 следует, что чем меньше индекс устойчивости а, тем толще хвосты распределения вероятностей при ст = 0.5.

Рассмотрим преобразование Эшера для кругового а-устойчивого распределения sk в модели (18). Вначале вычислим

Eexp(bkek) = (exp(bkn) - ехр(-^л))

1

kf< 1уехрНст-/)И)

2nbt' > f+b¡

Введем обозначения ехр(-а,) = £'exp(¿(e,). Отсюда

j ехр(-(стУ)°)

at=-ln

(exp(6^) - exp(-¿>t7t))

_1_+\у(_1у ____

2nbt > f+b¡

(28)

. (29)

J)

Для вычисления ък воспользуемся уравнением: (ехр(а< +(pt +64)я)-ехр(а, -(р4

1 , (P*+^)yr lV

2тг(рk+bk) п tf > / +(P,+6J2

= ехр(-(а1 +ак)),

которое вытекает из того, что процесс 2у - мартингал. В результате возникает система нелинейных алгебраических уравнений (29), (30) относительно неизвестных параметров преобразования Эшера. В таблице 1 приведены результаты вычислений с параметрами ак = 0,р* =0.1, с индексом устойчивости а = 0.5,1.0,1.5 и ст = 1.

alfa а b

0,5 -2,577 9,847

1 -2,965 9,015

1,5 -3,297 8,410

и оптимального портфеля. Пусть функция 0(х)>0 определена на [0,+оо) и еє(ут) < га. Требуется найти

п?ше\с{ут)-ут\ (31)

т

при ут = уа + , где у предсказуемый процесс, о

Дополнительно предположим, что ЕС2(УТ)<оо И £Т72 <со, тогда из неравенства Коши-Буняковского следует оценка

е\о(ут)-ут\< ё±^Е(о(ут)-ут ) . В результате будем решать задачу:

ш ье{0(ут)-ут)2 (3

т

при Ут = У0+$у,<1У,. где у предсказуемый процесс, о

То есть следует искать минимум оценки сверху.

Численный метод решения задачи (32) начинается с нанесения сетки с ша-

, т

гом, равным Л = — и замене интеграла конечной суммой. В результате возникает дискретная задача:

min Е(0(У„)-У„)2

'0>7

n

при yN = У0 + ]>>,.ДГу , где У] Є .

Решение (33):

0[ { n))'Yj~ Е((афР„) ■ (34)

Рассмотрим следующую интерпретацию задачи (32). Процесс S - процесс стоимости рискового актива, процесс В - процесс стоимости безрискового актива, предсказуемый процесс л = (у,(3) - портфель, причем у - число единиц рискового актива, р - число единиц безрискового актива. Капитал портфеля

$

= У А +Р ,В,. Процесс Y = — — дисконтированная стоимость рискового актива, В

г/ U

В дисконтиРованньш капитал портфеля, G - дисконтированное финансовое

обязательство. Если мы рассмотрим европейский опцион call, дающий право купить в конце периода рисковый актив по контрактной цене К, то дисконтиро-

К

ванное финансовое обязательство G{Vn) = max

un

. Ограничение задачи

(33) или (34) означает, что портфель я является самофинансируемым. Формулы

(34) позволяют вычислить оптимальный в среднеквадратическом смысле портфель. При этом начальный капитал портфеля 1/0=В0У0, безрисковая составляющая портфеля PJ = У. ^ - ууУм.

Перейдем с помощью процесса плотности к исходной мере и в результате получим формулы для вычисления оптимального портфеля:

' 2*

Е

V0=E{ZNG{YN)),yt

—G(YN)AYk!Fk_x . k-\

Е

V Л —I

(35)

Рассматриваются два численных варианта решения задачи:

1. Метод, использующий преобразование Фурье.

2. Метод Монте-Карло.

В главе приводятся вычислительные примеры на реальных данных, которые подтверждают высокую эффективность предлагаемой технологии.

Далее рассматривается задача расчета оптимальной пропускной способности телекоммуникационного канала при заданном трафике. Пропускная способность канала определяется как детерминированная функция от времени в, = Л(/). Трафик определяется как случайный процесс 5,. Дисконтированным трафиком будем

называть процесс = . Естественно предположить, что процесс Б, обладает

стохастическим дифференциалом = Б^Х, или является стохастической экс-понентой. При выполнении условия: тГ ДЛ^) >-1 существует процесс Леви, для которого является экспоненциальным процессом Леви. Для процесса В,

естественным выглядит уравнение: clRl = г В ¿Ii или В, = ß0exp(rf). Следовательно, дисконтированный трафик Y является экспоненциальным процессом Леви. Показано, что кумулянта показателя экспоненты дисконтированного трафика будет иметь вид:

v|>r(y) = i(m-r)y+ j (exp(iyx)-\)v(dx). (36)

x>0

Задача заключается в выборе г и рассматривается в следующей постановке:

min/- (37)

при ограничении P\YT < l} > а, где Y, = sup У,.

0<г:г

Параметр а выбирается в зависимости от требований в каждой конкретной ситуации. Например, если имеется определенный резерв, позволяющий увеличить пропускную способность канала, и временная задержка при обработке данных некатастрофична, то параметр а можно взять поменьше. Показано, что задача может быть решена в результате применения следующего алгоритма. Алгоритм.

1. Выбираем начальное значение га=т.

2. Вычисляем =rn+hr.

3. Процесс продолжаем до тех пор, пока первый раз выполнится ограничение задачи.

Ограничение задачи (36) может быть представлено в виде Р{ХТ < О] > а. Основная вычислительная сложность этого алгоритма заключается в вычислении вероятности < oj. Для вычисления математического ожидания

применим метод Монте-Карло. В качестве основного модельного процесса рассмотрим субординированный процесс Пуассона с детерминированной заменой времени (гл. 1). Для детерминированной замены времени использовано устойчивое круговое распределение на интервале [0,1), с параметрами а = 1,ст = 2 (рис.3).

Рис. 3 - График плотности кругового устойчивого распределения на интервале [0,1) с параметрами а = 1,ст = 2

Для расчета была выбрана интенсивность скачков Л. = 100. Вычислительный процесс изображен на рис. 4, на котором представлено изменение Р\УГ < 11 (ось ординат) от г (ось абсцисс).

Д916,

0.88-"

0.86""

140 Л40,

148

150 Л 50.

Рис. 4 - График зависимости вероятности Р\ут < і| (

Выбор оптимального значения г зависит от заданного значения а. На рис. 5 представлены графики показателей экспонент пропускной способности канала и трафика (одна из возможных траекторий) при г = 144 (сплошная линия) соответствует каналу, прерывистая - трафику).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Л г

Рис. 5 - Канал (сплошная линия), трафик (прерывистая линия)

Прерывистая линия не пересекает сплошную. Это означает, что вычислительных возможностей канала для данного трафика достаточно. При вычислении использовалось 1000 траекторий.

Следует отметить, что вычислительные эксперименты при разных значениях параметров, один из которых представлен на рисунках, позволяют сделать заключение об эффективности подхода.

Содержание четвертой главы диссертации «Программный комплекс моделирования и генерации телекоммуникационного трафика» связано с одной из практически востребованных задач, которую можно решить, основываясь на предложенных методах - генерация потоков данных, то есть телекоммуникационного трафика. Рассмотрены области применения и задачи, решаемые генераторами телекоммуникационного трафика (рис. 6)

Рис. 6 - Задачи, решаемые синтетическими генераторами трафика

Также дан анализ программного обеспечения для генерации телекоммуникационного трафика.

Методы, пригодные для генерации телекоммуникационного трафика, можно разделить на две группы:

1) основанные на трассировке трафика;

2) основанные на аналитической генерации траекторий трафика.

Генераторы трафика, базирующиеся на трассировке трафика, имеют в своем составе средства, которые выполняют захват трафика, сохранение его характеристик в базах данных, а затем точно воспроизводят значения трафика через сетевые интерфейсы системы.

Рассмотрена архитектура программного комплекса. Для практической реализации численных методов и алгоритмов, предложенных в предыдущих главах диссертации, разработан программный комплекс, предназначенный для генерации телекоммуникационного трафика. Программный комплекс разработан в кроссплатформенной среде программирования Qt SDK версии 1.2.1 с библиотеками Qt library 4.8.1 и средой визуальной разработки Qt Creator ЮЕ 2.4.1 на языке программирования высокого уровня С + + в операционной системе

Windows 7. Программный комплекс, архитектура которого представлена на рис. 7, имеет возможности воспроизведения трассировочных данных трафика и генерации синтетического трафика.

Разработанный программный комплекс имеет многоуровневую структуру формирования потоков данных. На различных уровнях задаются настроечные параметры трафика:

- на уровне каналов связи задаются сетевые адреса для организации приема-передачи трафика;

- на сетевом уровне задаются 1Р -адреса, а также характеристики сетевых сообщений, например, TTL - время жизни сообщения, Packet Size - длина сетевого пакета и другие далее рассматриваемые параметры;

- на транспортном уровне задаются параметры сетевых портов приложений, а также тип транспортного потока для сеанса приема передачи данных TCP либо UDP\

- на уровне формирования потока данных задается тип аналитической модели случайного процесса генерации, а также необходимые характеристики модели, включающие параметры случайного процесса, время моделирования, число генерируемых_сетевых сообщений и другие параметры.

Рис. 7 - Общая архитектура программного комплекса

Рассмотрены функции воспроизведения трафика в программном комплексе.

В заключении проведен анализ основных результатов работы, выносимых на защиту.

Процессы Леви, моделирующие траектории со скачками, весьма востребованы при использовании и исследовании моделей временных рядов Однако свойства стационарности и независимости приращений, независимости и одинаковой распределенности по экспоненциальному закону приращений моментов скачков Дг, не всегда наблюдаются на практике. Поэтому в диссертации рассмотрены модели, построенные на базе процессов Леви, в которых учитывается зависимость приращений (фрактальные процессы на базе безгранично делимых распределений). Изучены процессы с зависимыми приращениями моментов скачков (процессы с детерминированной заменой времени, полученные на основе круговых устойчивых распределений). Исследованы процессы с нестационарными приращениями (процессы, в которых параметры модели изменяются в случайные моменты времени, в соответствии с поведением стохастического автомата).

Для решения задач, математическая природа которых заключается в вычислении функционалов на траекториях временных рядов, рассмотрены имитационные модели, которые позволяют далее использовать вычислительный метод Монте-Карло. В некоторых исследованиях утверждается, что сходимость метода Монте-Карло для процессов Леви достаточно медленная. На наш взгляд это обусловлено наличием большого числа «маленьких» скачков. В диссертации принята достаточно стандартная аппроксимация «маленьких» скачков винеровским процессом. Отметим, что предложенные алгоритмы генерации временных рядов на базе процессов Леви отличает простота реализации, полученная за счет ограничения числа скачков на элементарном интервале моделирования. За счет использования детерминированной замены времени в алгоритмах генерации временных рядов получен класс моделей, которые не являются процессами Леви. В результате использования субординации винеровского процесса предложены простые алгоритмы для широкого класса «сложных» процессов Леви (в частности на базе гауссовского \\ обратно гауссовского распределения). Применение технологии скользящего среднего для безгранично делимых распределений позволило получить алгоритмы для генерации фрактальных временных рядов, которые отличаются от фрактального винеровского процесса. Использование стохастического автомата, семейства процессов Леви и конкатенации временных рядов позволило разработать алгоритм генерации нестационарного временного ряда. Исследование было бы неполным, если бы не был предложен метод подгонки параметров модели по наблюдаемой траектории. Оригинальный метод подгонки параметров основан на методе максимального правдоподобия и реализован в алгоритме который использует быстрое преобразование Фурье.

Как приложение рассмотрены две задачи. В первой задаче об оптимальном портфеле необходимо было вычислять условные математические ожидания по мартингальной мере, что потребовало расчета преобразования Эшера для широкого класса экспоненциальных моделей. В реальных примерах были применены две модели. Для вычисления в первой модели использовалось быстрое преобразование Фурье, во второй был применен метод Монте-Карло. Вторая задача за-

ключалась в выборе оптимального канала при заданном трафике. Задача была сведена к вычислению вероятности первого касания. При ее решении был использован метод Монте-Карло.

Список публикаций по теме диссертации:

Публикации в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Лужецкая П.А., Бутакова М.А. Статистика направленных значений и модели поведения финансовых индексов // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. Серия «Технические науки», 2009. - 10(24). -С. 112-116.

2. Лужецкая П.А. О расчёте мартингапьной меры для условно-круговых а-устойчивых распределений // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2010.-Т. 17.-№ 1.-С. 123-124

3. Лужецкая П.А., Бутакова М.А. Дискретное преобразование Гирсанова для Гауссовской модели финансовых индексов // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения, 2008. - № 2. - С. 112-115.

Другие издания, в которых опубликованы результаты диссертации

4. Лужецкая П.А., Белявский Г.И. Настройка параметров процессов Леви с использованием быстрого преобразования Фурье // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011. - Т. 18. — Вып. 5. - С. 744-745.

5. Лужецкая П.А., Кондратьева Т.Н. Алгоритм конкатенации процессов Леви для построения неоднородных моделей // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011.-Т.18.-Вып. 5.-С. 790-791.

6. Лужецкая П.А. Моделирование составного процесса. Замена времени. // Известия Ростовского государственного строительного университета, 2011. -Т. 15.-С. 293-297.

7. Белявский Г.И., Лужецкая П.А. Дискретное преобразование Гирсанова для фрактальной модели финансовых индексов. / Сб. науч. тр. «Строительство-2008». - Ростов н/Д: РГСУ, 2008. - С. 172-173.

8. Лужецкая П.А. О расчете мартингальной меры для условно-круговых а-устойчивых распределений финансовых индексов / Сб. науч. тр. «Строитель-ство-2010». - Ростов н/Д: РГСУ, 2010. - С 247-249.

9. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Об L-характеристике одного оператора типа потенциала с особенностями его ядра на сфере И Тезисы докладов Всероссийской конференции «Ряды Фурье и их приложения», 1999. - С. 66-67.

10. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Об L-характеристике одного оператора типа потенциала с особенностями его ядра на сфере // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения, 1999. - Вып. № 4.. - С. 64-68.

11. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Обращение и описание образа мультиплп-каторных операторов типа Сгрихарца-Пераля-Мияси // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения, 1998. - Вып. № 3. - С. 76-79.

12. Nogin V., Luzhetskaya P. Inversion and description of the ranges of multiplier operators of Strichartz-Peral-Miyachi type H Fractional Calculus & Applied Analysis . V.3.№ 1.2000. P. 87-96.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве

В [1] разработан алгоритм генератора случайного процесса. В [2] построена модель =5,„_1ехр(ц„+а„є„), в которой распределение е„ - круговое а-устойчивое распределение. В [3, 8] получено дискретное преобразование Гирса-нова для Гауссовской модели финансовых индексов. В [5, 6] проведена оценка параметров модели по методу наибольшего правдоподобия. В [10, 11] построена Ь-характеристика оператора типа Мияси. В [12, 13] построено обращение для мультипликаторных операторов.

ЛУЖЕЦКАЯ ПРАСКОВЬЯ АЛЕКСЕЕВНА

Математические и имитационные модели случайных процессов с дискретным временем, расчет телетрафика и оптимальных стратегий

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати 19.11.2012. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5 Тираж 100.

Ростовский государственный университет путей сообщения Ризография РГУПС

Адрес университета: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового полка Народного Ополчения, 2.

ВВЕДЕНИЕ.

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ.

1.1 Основные обозначения и определения.

1.2 Классификация процессов.

1.3 Процессы Леви.

1.4 Обобщенные гиперболические распределения.

1.5 Замена времени.

1.6 Автомодельные процессы.

1.7 Модели процессов с переключением параметров.

1.8 Временные ряды и дискретизация случайного процесса.

1.9 Дискретизация автомодельных процессов со стационарными 29 и зависимыми приращениями.

1.10 Дискретизация процессов с переключением параметров.

1.11 Выводы.

2 ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ 34 АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ.

2.1 Моделирование процессов Леви. Мера Леви конечная.

2.2 Моделирование процессов Леви. Мера Леви бесконечная. 40 Общий случай.

2.3 Представление скачкообразной составляющей в виде суммы пуас- 41 соновских случайных величин.

2.4 Моделирование процессов Леви с использованием субординации

2.5 Моделирование процессов со стационарными приращениями.

2.6 Конкатенация моделей.

2.7 Оценка параметров моделей. Метод максимального 60 правдоподобия.

2.8 Выводы.

3 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ЛЕВИ И ТИПА ЛЕВИ

В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТРАФИКОМ

И ХЕДЖИРОВАНИЯ.

3.1 Экспоненциальные процессы Леви. Мартингалы. 77 Преобразование Эшера.

3.2 Дискретизация экспоненциального процесса Леви.

3.3 Задача вычисления цены финансового обязательства 88 и оптимального портфеля.

3.4 Расчет оптимальной пропускной способности канала 97 при заданном трафике.

3.5 Выводы.

4. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МОДЕЛИРОВАНИЯ

И ГЕНЕРАЦИИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОГО ТРАФИКА.

4.1 Задачи, связанные с генерацией телекоммуникационного 102 трафика.

4.2 Анализ программного обеспечения для генерации 106 телекоммуникационного трафика.

4.3 Архитектура программного комплекса.

4.4. Интерфейс программного комплекса.

4.5 Выводы.

Актуальность тематики исследования. В настоящее время процессы Леви используются при моделировании различных естественных явлений, таких как диффузия потоков в пористых средах и плазме, лазерное охлаждение, молекулярные столкновения, долговременные изменения климата, движение молекул в разреженном газе, помехи в каналах связи, модели телетрафика, флуктуации доходности финансовых активов и т.д. Процессам Леви посвящены многочисленные как аналитические так прикладные исследования [46,47,48 ,53 ,63,72,79,82,87,91]. Среди зарубежных ученых, работающих с математическими моделями на базе процессов Леви, следует отметить S. Asmussen, O.E. Barndorff-Nielsen, J. Bertoin, A. Bensoussan, F. Black, P. Carr, R. Cont, J.C. Cox, F. Delbaen, D. Lamberton, R. Merlon, S.A. Ross, W. Shacher-mayer, M. Scholes, E. Schwartz другие. Исключительное влияние на развитие исследований в этой области оказал академик РАН A.M. Ширяев и его ученики. Среди российских ученых следует отметить вклад К.А. Боровкова, Г.И. Белявского, A.A. Гущина, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, С.З. Левендорско-го, A.B. Мельникова, М.Л. Николаева, A.A. Новикова, И.В. Павлова, Э.А. Пресмана, Д.Б. Рохлина, В.Н. Тутубалина, В.М. Хаметова, A.C. Черного и других.

Хорошо развитый аналитический аппарат, включающий теорию мартингалов, стохастическое интегрирование, инфинитезимальное исчисление, позволяет находить решения разнообразных задач. По сравнению с гауссов-скими процессами негауссовские процессы Леви позволяют моделировать скачки траекторий, за счет наличия скачкообразной составляющей, что существенно расширяют возможности математического моделирования временных рядов с последующим приложением моделей.

В последнее время многих авторов привлекают модели, основанные на процессах Леви, в которых происходят изменения параметров в случайные моменты времени под воздействием случайных факторов среды. Следует также отметить неугасающий интерес к фрактальным (автомодельным) процессам. Хорошим средством моделирования является замена времени, детерминированная и стохастическая (субординация).

Цель диссертационного исследования. Диссертационное исследование посвящено математическим моделям временных рядов, полученных на базе процессов Леви, разработке эффективных методов вычисления специальных функционалов на траекториях временных рядов, использующих вычислительные процессы с теплицевыми матрицами, быстрые преобразования и методы Монте-Карло, разработке программного обеспечения и приложениям для расчетов пропускных возможностей информационных каналов при заданном трафике и оптимальных портфелей.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- с использованием структуры процессов Леви, предложены новые модели временных рядов: фрактальные модели с использованием произвольных безгранично делимых распределений, модели с использованием круговых устойчивых распределений, модели с использованием семейства процессов Леви и стохастического автомата;

- предложены имитационные модели и алгоритмы генерации временных рядов рассматриваемого класса;

- на основе использования метода максимального правдоподобия и эмпирической плотности предложен метод идентификации кумулянты для широкого класса процессов Леви;

- разработано программное обеспечение, с помощью которого вычислены оптимальный портфель и оптимальная пропускная способность канала.

Область исследования. Областью исследования данной работы являются математические модели, методы и вычислительные процедуры генерации случайных процессов специального вида, имеющих различное практическое применение.

Научная новизна. Основными новыми результатами являются в области математического моделирования:

- модели временных рядов на базе процессов Леви со стационарными, но зависимыми приращениями;

- модели, полученные в результате конкатенации траекторий процессов Леви;

- модели, полученные из составного процесса Пуассона детерминированной и случайной заменой времени;

- имитационные модели данных временных рядов; в области численных методов:

- метод идентификации параметров модели, использующий быстрое преобразование Фурье;

- методы, связанные с теплицевыми матрицами, позволившие построить имитационные модели фрактальных временных рядов;

- использование метода Монте-Карло для вычисления функционалов на траекториях временных рядов, математическими моделями которых являются процессы, использующие свойства процессов Леви; в области программных комплексов:

- программный комплекс моделирования и генерации телекоммуникационного трафика на основе разработанных в диссертации моделей и вычислительных методов, и отличающийся возможностью генерации сетевых потоков данных через сетевые интерфейсы компьютеров, соответственно, в режимах воспроизведения сохраненных параметров и синтетической генерации в соответствии с аналитическими моделями временных рядов, описывающих поведение телетрафика в телекомммуникационных сетях.

Практическая значимость. Результаты диссертации воплощены в программном комплексе и использованы при вычислении оптимального портфеля при среднеквадратичном хеджировании и расчете оптимальной пропускной способности канала при трафике с заданными статистическими характеристиками. Практическая ценность разработанного программного комплекса обусловлена возможностями измерения основных характеристик производительности телекоммуникационных сетей на основе пакетной коммутации данных, что позволяет использовать комплекс программ при анализе, развертывании и проектировании телекоммуникационных сетей.

Объектом исследования являются процессы передачи данных, рассматриваемые как случайные процессы с дискретным временем.

Предметом исследования являются математические модели временных рядов и численные методы, позволяющие реализовать имитационный эксперимент с моделями.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- фрактальные модели временных рядов на базе произвольных безгранично делимых распределений, модели временных рядов на базе семейства процессов Леви и стохастического автомата, модели временных рядов на базе составного процесса Пуассона с круговым устойчивым распределением скачка, имитационные алгоритмы вычисления траекторий для данных временных рядов;

- вычислительные алгоритмы, использующие быстрое преобразование Фурье, теплицевы матрицы и метод Монте-Карло для фитинга моделей и вычисления функционалов на траекториях временных рядов;

- программное обеспечение, которое использовано для вычисления оптимального портфеля и оптимальных характеристик информационного канала.

Достоверность полученных результатов обеспечена математическим анализом алгоритмов, положительными вычислительными экспериментами, как с модельными, так и с реальными данными, внедрением диссертационного исследования.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всероссийской конференции «Ряды Фурье и их приложения», 1999; Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике, 2010, 2011. Результаты диссертации внедрены в ООО «Альянс Телеком».

Публикации. Результаты исследования опубликованы в 12 печатных работах, из которых 4 опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы общим объемом 134с.

Выводы

1. Установлено, что экспоненциальные процессы, в показателе которых процессы либо с независимыми и стационарными приращениями, либо только со стационарными приращениями, являются подходящим средством моделирования.

2. Для ряда таких процессов решена задача перехода к мартингальной мере с помощью преобразования Эшера. В частности предложен эффективный метод вычисления преобразования Эшера для фрактальных процессов.

3. С использованием экспоненциальных процессов предложены эффективные методы решения задачи оптимального управления пропускной способностью информационного канала и оптимального хеджирования. Установлено, в частности, что эти задачи одной математической природы.

4. Для решения этих задач разработаны два алгоритма. Первый использует быстрое преобразование Фурье и кумулянту процесса Леви. Второй - метод Монте-Карло. Вычислительные эксперименты (доведение результатов до «числа»), говорят о практической значимости этих результатов.

4. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МОДЕЛИРОВАНИЯ И ГЕНЕРАЦИИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОГО ТРАФИКА

4.1. Задачи, связанные с генерацией телекоммуникационного трафика

Предложенные в предыдущих главах модели и алгоритмы построения случайных процессов имеют широкое практическое применение. Одной из практически востребованных задач, которую можно решить, основываясь на предложенных методах, является генерация потоков данных, то есть телекоммуникационного трафика.

Телекоммуникационный трафик, который в контексте диссертации рассматривается для сетей с пакетной передачей данных, то есть 1Р -сетей, в настоящее время является самостоятельным объектом исследований, о чем свидетельствует разработка теории его моделирования [19], а также фундаментальные научные исследования его свойств [42]. Модели телетрафика строятся как для телекоммуникационных сетей общего назначения, так и для информационного обмена в распределенных сетевых информационно-управляющих системах отраслевого назначения, например в автоматизированных системах управления на железнодорожном транспорте [7]. Потребности в изучении телекоммуникационного трафика растут по мере того, как он становится одним из системообразующих свойств сетевых распределенных систем обработки информации и управления. В таких системах присутствуют услуги по информационному обмену в \\>еЬ -гипертекстовой среде, файловому обмену, потоковому видео, //? -телефонии и другие сервисы, которые в полной мере используют возможности каналов передачи данных, и часто могут возникать ситуации перегруженности каналов, что влечет ухудшение качества и потери при передаче информации. Не учитываемая динамика телетрафика в сетевых информационных системах приводит впоследствии к сбоям функционирования и в некоторых случаях к отказам в обслуживании. В связи с этим задача синтетической генерации трафика важна как инструмент проектирования сетевых информационных систем, в которых важно выполнение условия устойчивого информационного обмена. Спектр таких систем широк, начиная от программного обеспечения потокового видео воспроизведения и заканчивая сложными распределенными управляющими комплексами, функционирующими в реальном времени.

Область применения и задачи, решаемые генераторами телекоммуникационного трафика, показаны на рис. 4.1.

Рис. 4.1 - Задачи, рсшае.мыс синтетическими генераторами трафика

Рассмотрим обозначенные задачи более подробно. Первой задачей, решаемой с помощью методов генерации телекоммуникационного трафика, является количественная задача оценки производительности каналов передачи данных в целом, представляющая собой оценку их производительности. Параметры оценки включают пропускную способность сети, а также показатели, которые отрицательным образом влияют на качество приема-передачи информации. К таким показателям в основном относятся: 1) величины задержек приема и передачи информации по каналам связи; 2) первая производная величины задержек по времени, которая называется джиттером и имеет смысл вариации времени приема и передачи; 3) потери информации, возникающие из-за переполнения буферов активного телекоммуникационного оборудования, измеряемые для 1Р -сетей с пакетным трафиком числом потерянных пакетов, подлежащих повторной отправке. Указанные параметры оценки имеют составную структуру, например, величины задержек приема и передачи информации в свою очередь подразделяются на: задержку при последовательной передаче данных, задержку на распространение сигнала с помощью физических средств связи, задержку на коммутацию каналов, задержку на маршрутизацию, задержку на буферизацию и тому подобное для других величин.

Второй задачей является мониторинг и диагностика сетевого аппаратного и программного обеспечения. Применение средств генерации телекоммуникационного трафика для решения этих задач позволяет выполнять стрессовое тестирование сетевого оборудования и осуществлять организацию устойчивого функционирования сетей. Стрессовое тестирование является методом практической реализации моделирования процессов сетевого информационного обмена. Оно заключается в исследовании характеристик отклика аппаратно-программных сетевых комплексов и устройств (коммутаторов, маршрутизаторов, мостов) под воздействием варьируемых характеристик потоков данных. В результате выполнения стрессового тестирования можно выявить дефекты сетевого оборудования, а также границы применимости организовываемой сетевой инфраструктуры. В процессе стрессового тестирования генераторы трафика создают высокую информационную нагрузку на сетевые приложения, и тем самым проверяется их производительность и устойчивость в зависимости от параметров и интенсивности трафика. Мониторинг производительности сетевого оборудования в большинстве случаев осуществляется с помощью сетевых агентов SNMP, встраиваемых в оборудование или загружаемых программным способом. Агенты SNMP осуществляют сбор статистики об ошибках стека протоколов IP и представление её в удобной для диагностики форме.

Третье направление - это использование синтетической генерации трафика для задач, связанных с управлением качеством обслуживания в сетях. Под качеством обслуживания в сетях понимается совокупность методов и технологий использования каналов передачи данных на приоритетных условиях в связи с повышенным значением некоторых факторов, например, важности информации, требованиями предоставления информации в реальном времени, либо факторы, связанные с повышением оплаты информационных услуг. Методы реализации качества обслуживания в 1Р-сетях заключаются в реализации трех видов стратегий: 1) предоставление наилучшего возможного вида услуг без гарантий доставки информации; 2) предоставление интегрированного вида услуг для формирования канала, чувствительного к задержкам либо скорости передачи информации; 3) предоставление дифференциального вида услуг, предполагающего наличие методов организации очередей обработки информации в соответствии с её приоритетами. Использование генераторов телетрафика позволяет в данном направлении определить важные особенности и показатели управления качеством обслуживания, такие как минимальная гарантированная полоса пропускания информации, длина очередей с малой задержкой, условия ограничения трафика для избегания перегрузок и другие характеристики.

И, наконец, четвертый вид задач, который использует в своем решении технологии генерации телетрафика, относится к задачам проектирования сетей передачи данных с учетом характеристик прогнозируемого в них информационного обмена и выполнения условий устойчивости сетевых систем с точки зрения предельных и пиковых информационных нагрузок. Данные условия важны для систем, которые относятся к классу критичных с точки зрения влияния последствий сбоев и отказов их функционирования на безопасность людей и технологических процессов, управляемых посредством таких систем. Подчеркнем, что безопасность в данном случае рассматривается не только в технологическом смысле, но и в информационном, в связи с чем генераторы трафика находят успешное применение и в средствах тестирования программно-аппаратных комплексов информационной защиты сетевого оборудования и их устойчивости к сетевым атакам вида «отказов в обслуживании».

4.2. Анализ программного обеспечения для генерации телекоммуникационного трафика

Методы, пригодные для генерации телекоммуникационного трафика можно разделить на две группы:

1) основанные на трассировке трафика;

2) основанные на аналитической генерации траекторий трафика.

Генераторы трафика, базирующиеся на трассировке трафика, имеют в своем составе средства, которые выполняют захват трафика, сохранение его характеристик в базах данных, а затем точно воспроизводят значения трафика через сетевые интерфейсы системы. Данный подход достаточно просто реализуем в практическом плане, однако, наиболее критикуемым при таком подходе является отсутствие в системах воспроизведения трафика особенностей, которые связаны с проявлением эффекта скопления (congestion). Вследствие этого эффекта возникает состояние сети, при котором данных для передачи больше, чем позволяет пропускная способность канала, и в результате сетевой трафик замедляется, некоторые пакеты могут теряться. Еще один недостаток систем трассировки трафика связан тем, что трафик рассматривается как «черный ящик», вследствие чего детальное управление его характеристиками становится невозможным и невозможно выполнение настроек для тестирования сети в различных условиях информационной нагрузки.

Обычно архитектура систем трассировки трафика состоит из модулей захвата, редактирования и воспроизведения трафика. Например, система TCPReplay [93] обладает возможностями захватывать и воспроизводить трафик в формате libpeap [94], что позволяет выполнять тестирование различных сетевых устройств, маршрутизаторов, коммутаторов, а также систем защиты от сетевых вторжений и атак. Система TCPReplay состоит из следующих модулей: tepprep - многопроходный препроцессор файлов формата libpeap, которые служат средством для сохранения сетевых пакетов установленного клиент-серверного соединения; tcprewrite - редактор файлов рсар, позволяющий осуществлять редактирование заголовков сетевых пакетов канального {Ethernet), сетевого (IP) и транспортного (TCP) уровней; tcpreplay - модуль воспроизведения сохраненных libpcap файлов с произвольно задаваемой скоростью воспроизведения и другие модули, выполняющие сервисные функции.

Система трассировки трафика TCPivo [96] обладает аналогичными рассмотренной ранее системе TCPReplay возможностями. Однако основной особенностью TCPivo является повышенная скорость генерации трафика, для чего разработчики используют подход, заключающийся в применении упреждающей выборки и двойной буферизации сетевых пакетов при чтении из трассировочного файла, что уменьшает время выполнения операций ввода-вывода на сетевых интерфейсах системы. Также в системе реализована возможность воспроизведения трафика практически в реальном времени в операционной системе Linux с задержками не более 5 мкс [63].

Генераторы трафика, базирующиеся на аналитической генерации траекторий, имеют в своем составе средства реализации математических моделей процессов, характеризующих поведение телетрафика во времени. В основном используются статистические модели, гораздо реже методы имитационного моделирования случайных процессов.

Система аналитической генерации телетрафика MGEN [76] обладает возможностями генерации трафика в виде UDP дейтаграмм в реальном времени в соответствии с шаблонами, задающими поведение трафика во времени. Шаблоны поведения трафика включают следующие генераторы: PERIODIC - генерация сетевых сообщений UDP фиксированной длины (до 8192 байта) с задаваемым периодом (сообщений/с) поступления их на сетевые интерфейсы; POISSON - генерация сетевых сообщений UDP, эмулирующих поток пуассоновского типа; BURST - генерация сетевых UDP сообщений в режиме возникновения всплесков, то есть увеличения интенсивности трафика по периодическому или экспоненциальному законам распределения; JITTER - генерация сетевых сообщений UDP с равномерной вариацией на интервале от заданных минимального и максимального временных значений. Система обладает также возможностями широковещательной рассылки сетевых сообщений, а также средствами мониторинга отосланных сетевых сообщений, анализа ошибок, возникших при их отправке и некоторыми другими возможностями сетевой статистики.

Программное обеспечение TG [76] обладает возможностями генерации телекоммуникационного UDP и TCP трафика в соответствии с равномерным и экспоненциальным законами поступления сетевых сообщений. Особенностью этой системы является возможность эмуляции каналов передачи данных в режиме QoS (Quality of Service) с настройкой средних и пиковых значений следующих параметров: полосы пропускания канала; задержки передачи; потерь сообщений при передаче.

В составе программного комплекса D-ITG [56], предназначенного для генерации трафика, имеется четыре базовых модуля, позволяющих работать приложению в сетевом клиент-серверном режиме: ITGSend, ITGRecv, ITGLog, ITGDec. Модуль ITGSend выступает в роли сетевого клиентского приложения и может генерировать одновременно несколько потоков данных, характеристики которых специфицированы в конфигурационном файле. Опции генерации модуля ITGSend позволяют использовать аналитические модели трафика, построенные на основе вероятностных распределений следующего вида: равномерное распределение, экспоненциальное распределение, нормальное распределение, гамма-распределение, распределение Пуассона, распределение Парето, распределение Коши, распределение Вейбулла. Модуль ITGRecv является серверным приложением и может принимать несколько потоков данных одновременно от различных источников. Модуль ITGLog предназначен для сохранения результатов выполнения операций, а модуль ITGDec выполняет функции обработки сетевой статистики, включая расчет 4 основных показателей: 1) пропускной способности сети; 2) величин потерь пакетов; 3) величин джиттера; 4) задержек приема-передачи информации. Значения каждого из перечисленных показателей сохраняются в файлах bitrate.dat, packetloss.dat, jitter.dat, delay.dat соответственно, и графики их значений строятся подключаемым модулем ITGPlot с помощью интерфейса системы компьютерных символьных вычислений Octave [81] с возможностью сохранения графических данных в формате EPS.

4.3. Архитектура программного комплекса

Для практической реализации численных методов и алгоритмов, предложенных в предыдущих главах в диссертации, разработан программный комплекс, предназначенный для генерации телекоммуникационного трафика. Программный комплекс разработан в кроссплатформенной среде программирования Qt SDK [86] версии 1.2.1 с библиотеками Qt library 4.8.1 и средой визуальной разработки Qt Creator IDE 2.4.1 на языке программирования высокого уровня С + + в операционной системе Windows 7. Программный комплекс имеет возможности воспроизведения трассировочных данных трафика и генерации синтетического трафика.

Основным подходом к имитационному моделированию, как в режиме воспроизведения, так и в режиме синтетической генерации трафика является воспроизведение его по двум основным характеристикам: 1) время поступления (формирования) сетевых данных; 2) объем поступивших данных. Время поступления сетевых данных может фиксироваться в виде временных промежутков между поступлениями сетевых сообщений, либо в астрономическом режиме, начиная от некоторой точки отсчета. Объем поступивших данных естественным образом измеряется в байтах и их кратных единицах. На рис. 4.2. показан принцип формирования трафика в режиме воспроизведения, данные для которого берутся из сетевой библиотеки трассировки видео трафика форматов MPEG - 4 и Я.263 [78].

Ц Мовйа Firelox

Файл Оргека gxfl Журнал Заклад*» Инструменты ¿предка

------ лже; http-./Vwww-tkn.ei.tij.sejurasiic.vif.dat 1 +

1800 Г

•.,•,.• t> net tu-beriin.de геммсЬ tri-.e. pk

Tins® {ms J t

0 40 120

200 280 360

440 520

S00 frametype

Length [byce]

Время поступления данных i p e>b pb pb pb pb pb PR

637 116 1595 394 583 367 622 360 sot

Объем поступивших-данных

1400 1200 4 1000 800 60C 400 200 о о о о о о & ч ф ч н « tf n ilofn

8 S ^ i § 8

Рис. 4.2 - Формирование трафика в режиме воспроизведения трассировки

На рис. 4.3 показан принцип формирования трафика в синтетическом режиме по имитационной модели случайного процесса, например составного процесса Пуассона.

Разработанный программный комплекс имеет многоуровневую структуру формирования потоков данных. На различных уровнях задаются настроечные параметры трафика:

- на уровне каналов связи задаются сетевые адреса для организации приема-передачи трафика;

- на сетевом уровне задаются IP -адреса, а также характеристики сетевых сообщений, например, TTL - время жизни сообщения, Packet Size -длина сетевого пакета и другие далее рассматриваемые параметры;

- на транспортном уровне задаются параметры сетевых портов приложений, а также тип транспортного потока для сеанса приема передачи данных TCP либо UDP;

- на уровне формирования потока данных задается тип аналитической модели случайного процесса генерации, а также необходимые характеристики модели, включающие параметры случайного процесса, время моделирования, число генерируемых сетевых сообщений и другие параметры. . — . —я»- Closed-Loop режим генерации трафика

Рис. 4.4 - Режимы генерации телетрафика

На рис. 4.4. компьютер А работает в режиме Open-Loop генерации трафика для компьютеров С и D, а трафик передается через маршрутизаторы М1,М4, А/5, Мб. Компьютеры В и D работают в режиме Closed - Loop генерации, а трафик ретранслируется маршрутизаторами М2, М3, М5.

Параметры настройки сетевых соединений, которые доступны в программном комплексе, международные названия сетевых метрик и единицы их измерения представлены в табл. 4.1. Если программный комплекс функционирует в режиме аналитической генерации потоков, то параметры размера пакета, межпакетного времени и времени жизни пакета формируются в указанных в таблице границах в зависимости от вида имитационной модели случайного процесса.

Параметры отчетной информации о характеристиках диагностируемой сети представлены в табл. 4.2. Эти параметры также имеют международные названия в области измерения производительности компьютерных сетей. Заметим, что в зависимости от режимов генерации количество выдаваемых в отчетах параметров может варьироваться.

114

Заключение.

Процессы Леви, моделирующие траектории со скачками, весьма востребованы при использовании и исследовании моделей временных рядов. Однако свойства стационарности и независимости приращений, независимости и одинаковой распределенности по экспоненциальному закону приращений моментов скачков Ат, не всегда наблюдаются на практике. Поэтому в диссертации рассмотрены модели, построенные на базе процессов Леви, в которых учитывается зависимость приращений (фрактальные процессы на базе безгранично делимых распределений). Изучены процессы с зависимыми приращениями моментов скачков (процессы с детерминированной заменой времени, полученные на основе круговых устойчивых распределений). Исследованы процессы с нестационарными приращениями (процессы, в которых параметры модели изменяются в случайные моменты времени, в соответствии с поведением стохастического автомата).

Для решения задач, математическая природа которых заключается в вычислении функционалов на траекториях временных рядов, рассматриваются имитационные модели, которые позволяют далее использовать вычислительный метод Монте-Карло. В некоторых исследованиях утверждается, что сходимость метода Монте-Карло для процессов Леви достаточно медленная. На наш взгляд, это обусловлено наличием большого числа «маленьких» скачков. В диссертации принята достаточно стандартная аппроксимация «маленьких» скачков винеровским процессом, что привело к хорошим результатам. Отметим, что предложенные алгоритмы генерации временных рядов на базе процессов Леви отличает простота реализации, полученная за счет ограничения числа скачков на элементарном интервале моделирования. За счет использования детерминированной замены времени в алгоритмах генерации временных получен класс моделей, которые не являются процессами Леви. В результате использования субординации винеровского процесса предложены простые алгоритмы для широкого класса «сложных» процессов Леви (в частности на базе гауссовского \\ обратно гауссовского распределения). Применение технологии скользящего среднего для безгранично делимых распределений позволило получить алгоритмы для генерации фрактальных временных рядов, которые отличаются от фрактального винеровского процесса. Использование стохастического автомата, семейства процессов Леви и конкатенации временных рядов, позволило разработать алгоритм генерации нестационарного временного ряда. Исследование было бы неполным, если бы не был предложен метод подгонки параметров модели по наблюдаемой траектории. Оригинальный метод подгонки параметров основан на методе максимального правдоподобия и реализован в алгоритме, который использует быстрое преобразование Фурье.

1. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. - М.: Финансы и статистика, 1983. 471 с.

2. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982, 583 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1999. 630 с.

4. Белявский Г.И., Чакрян В.Р. Имитационная модель телекоммуникационного канала и источников шумов на основе модифицированных атрибутных грамматик. Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения, 2008,№4, с.60-67.

5. Белявский Г.И., Бутакова М.А. Знаковый анализ автомодельных процессов. Обозрение прикладной и промышленной математики. М., 2007, т. 14, вып.2. С. 197-198.

6. Белявский Г.И. , Лулсецкая П.А. Дискретное преобразование Гирса-нова для фрактальной модели финансовых индексов. Строительство -2008. Сб. науч. тр. С. 172-173.

7. Бутакова М.А. Модели информационных потоков в системах массового обслуживания на транспорте. Монография Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 2006.

8. Бутакова М.А., Лулсецкая П.А. Программный комплекс моделирования и генерации телекоммуникационного трафика . В мире научных открытий .Серия «Математика. Механика. Информатика » №10.1.,2012. стр. 4957.

9. Булинский А., Ширяев А. теория случайных процессов. МГУ, 2005,402 с.

10. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003. 512 с.

11. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е., Вычислительные процессы с те-плицевыми матрицами, М., Наука, 1987, 319 с.

12. Галустов Г. Г. Моделирование случайных процессов и оценивание их статистических характеристик. -М.: Радио и связь, 1999. 120 с.

13. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. 570 с.

14. Дынкан Е. Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963. 860 с.

15. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1982. 296 с.

16. Жуков М.И. Метод Фурье в вычислительной математике. М.: Наука, 1992, 176 с.

17. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями: Пер. с англ. -М.: Мир, 1979. 600 с.

18. Кристалинский P.E., Кристалинский ЯР.,Преобразование Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики, М.: Горячая линия телеком, 236 с.

19. Крылов В.В., Самохвалова С.С. Теория телетрафика и ее приложения. СПб.: БВХ-Петербург, 2005.

20. Крылов В.И., Скобля Н.С., Методы приближенного преобразования Фурье и обращение преобразования Лапласа, М.:, Наука, 226 с.

21. Кузнецов Д.Ю., Назаров A.A. Исследование немарковских моделей сетей связи с адаптивными протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. № 5, 2001. С. 124-146.

22. Кузнецов Ю. И. , "Проблема собственных значений симметричной теплицевой матрицы"// Сиб. журн. вычисл. матем., 12:4 (2009), 403-407.

23. Леман Э. Теория точечного оценивания. М: Наука, 1991, 444 с.

24. Лужецкая П.А. О расчёте мартингальной меры для условно-круговых а-устойчивых распределений финансовых индексов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2010. Т. 17. №1. С. 123-124.

25. Лужецкая П.А. Моделирование составного процесса .Замена времени. Известия Ростовского государственного строительного университета, 2011, т. 15. С. 293-297.

26. Лужецкая П.А. О расчете мартингальной меры для условно-круговых а-устойчивых распределений финансовых индексов Строительство -2010. С 247-249.

27. Лужецкая П.А., Белявский Г.И. Настройка параметров процессов Леви с использованием быстрого преобразования Фурье // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2011 , т. 18 .в.5.с 744745.

28. Лужецкая П.А., Бутакова М.А. Дискретное преобразование Гирса-нова для Гауссовской модели финансовых индексов // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. № 2. 2008. С. 112-115.

29. Лужецкая П.А., Бутакова М.А. Статистика направленных значений и модели поведения финансовых индексов. Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского, Серия «Технические науки». №10(24), 2009. С. 112-116.

30. Лужецкая П.А. ,Кондратьева Т.Н. Алгоритм конкатенации процессов Леви для построения неоднородных моделей Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП 2011 , т. 18 .в.5.с 790-791.

31. Маккелан Дж. Г., Рейдер Ч. М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов: Пер. с англ./ Под ред. Ю.И. Манина. М.: Радио и связь, 1983. 264 с.

32. Мардиа К.В. Статистический анализ угловых наблюдений. Пер. с англ. М.: Наука, 1978. 240 с.

33. Мину М. Математическое программирование. М.: Наука, 1990, 486 с.

34. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Об L-характеристике одного оператора типа потенциала с особенностями его ядра на сфере // Ряды Фурье и их приложения. Тезисы докладов 1999. С. 66-67.

35. Ногин В.А. ,Лужецкая П.А. Об L-характеристике одного оператора типа потенциала с особенностями его ядра на сфере // Итегро-дифференциальные операторы и их приложения. Вып. № 4 .1999. С. 64-68.

36. Ногин В.А. ,Лужецкая П.А. . Обращение и описание образа мульти-пликаторных операторов типа Стрихарца-Пераля-Мияси // Итегро-дифференциальные операторы и их приложения. Вып. №3,1998. С. 76-79.

37. Нейман В.И. Самоподобные процессы и их применение в теории телетрафика // Труды MAC, 1999, № 1(9). С. 11 15

38. Поспелов Д.А. . Вероятностные автоматы. М.: 1970, С.97.

39. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В. Прохорова. М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. Репр. изд. 912 с.

40. Харин Ю.С. Малюгин В.И., Кирлица В.П. Основы имитационного и статистического моделирования. -М.:МГУ, 1997. 287 с.

41. Цыбаков Б.С. Модель телетрафика на основе самоподобного случайного процесса. Радиотехника, 1999, № 5. С. 24 31.

42. Шелухин О.И., ОсинА.В., Смольский С.М. Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

43. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. Москва: ФАЗИС, 1998. 512 с.

44. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2.Теория: ФАЗИС, 1998. 505 с.

45. Ширяев, А. Н. Вероятность 1.МЦНМО,2004. 519 с.

46. Ширяев, А. Н. Вероятность 2.МЦНМО,2004. 408 с.

47. Applebaum D. Levy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press, 2004. 408 p.

48. Bamdorf-Nielsen О. E., Mikosch Т., Resnick S.I. Levy processes. Theory an applications. Birkhauser, 2001. 415 p.

49. Bertoin J. Levy processes. Cambridge University Press,1996. 265 p.

50. Marsaglia G. Random number generation. In Encyclopedia of Computer Science. Petrocelli/Charter, New York, 1976. P. 1192-1197.

51. MGEN Электронный ресурс. Режим доступа: http://cs.itd.nrl.navy.mil/work/mgen/

52. Micosch Т., Resnick S., Rootz'en H., Stegeman A. Is network traffic approximated by stable Levy motion or fractional Brownian motion? Ann. Appl. Probab., 12(1):23 68, 2002. ISSN 1050-5164.

53. MP EG-4 and H.26S Video Traces for Network Performance Evaluation Электронный ресурс. Режим доступа: http://www-tkn.ee.tu-berlin.de/research/trace/trace.html

54. Nogin V., Luzhetskaya P. Inversion and description of the ranges of multiplier operators of Strichartz-Peral-Miyachi type // Fractional Calculus & Applied Analysis . V.3. № 1. 2000. P. 87-96.

55. Norros I. On the use of fractional brownial motion in the theory of connectionless networks. IEEE J. Select. Areas. Commun, Aug 1995, v. 13. P. 953 -962.

56. Octave Электронный ресурс. Режим доступа:http://www.octave.org

57. Park Ed., Willeger К., Wiley W.Self-similar network traffic and performance evaluation, -interscience, 2000. 574 p.

58. POSIX Thread Manual Электронный ресурс. Режим доступа: http:// www.llnl.ROv/computing/tutorials/workshops/workshop/pthreads/MAIN.html

59. Protocol Buffers Google's data interchange format Электронный ресурс. Режим доступа: http://code.google.eom/p/protobuf/

60. Resnick S. Modeling data networks. In "Extreme values in Finance, Telecommunications and the Environment". Eds. Finkenstadt, В., Rootzen, H. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton. P. 287 372.

61. QT Cross-platform application and UIframework Электронный ресурс. Режим доступа: http://qt.nokia.com/

62. Sato K-I. Levy Processes and infinitely divisible distributions. Cambridge University Press, 1999. 498 p.

63. Samorodnitsky G., Taqqu M.S. Stable Non-Gaussian Random Processes: Stohastic Models with Infinite Variance. Chapman and Hall, New York, 1994.

64. Spitzer F. Principles of random walk. Van Noslrand, Priseton, 1964, p.127.

65. Taqqu M.S., Wilinger W. Proof of a fundamental result in self-similar traffic modeling. Computer Communication Review, 26:5-23,1997.

66. Taqqu M.S., Wilinger W., Sherman. Proof of a fundamental result in self-similar traffic modeling. Computer Communication Review, 26:5 23,1997.

67. Taqqu M.S. Weak convergence to fractional Brownian motion and to the Rozenblatt process. Z. Wahrscheinlichkeilstheorie und Verw. Gebiete, №31, 1975. P. 287-302.

68. TCPReplay Электронный ресурс. Режим доступа: http://tcpreplay.svnfin.net/

69. TCPDump Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.tcpdump.org/

70. TCPPivo Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.thefcngs.com/wuchang/vvork/tcpivo/

71. TCPPivo Электронный ресурс. Режим доступа: http://cs.itd.nrl.navy.mil/work/mgen/

72. Teugels J. L. The class of subexponential distributions. Ann. Probab., 1975, v. 3, № 6, P. 1000-1011.

73. Winograd S. On Computing the Discrete Fourier Transform. Mathematics of Computation 32, 1978. P. 175 199.

74. WinPcap the industry-standard windows packet capture library Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.winpcap.org/

75. Wireshark the world's foremost network protocol analyzer Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.wireshark.org/