автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель неупругого деформирования ГЦК-поликристаллов на базе несимметричной физической теории пластичности

На правах рукописи

ВОЛЕГОВ Павел Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГЦК-ПОЛИКРИСТАЛЛОВ НА БАЗЕ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

9 ИЮН 2011

Пермь-2011

4849177

4849177

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете.

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель: профессор Петр Валентинович Трусов

Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты: профессор Анатолий Борисович Волынцев

доктор физико-математических наук, профессор Игорь Николаевич Шардаков

Ведущая Институт машиноведения Уральского отделения

организация Российской академии наук

Защита состоится 21 июня 2011 года в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при Пермском государственном техническом университете по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, ауд.423.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан 20 мая 2011 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Л.Н.Кротов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известным является факт, что процессы интенсивного пластического деформирования (ИПД) поликристаллических тел не могут происходить без существенной эволюции микро- и мезоструктуры материала. Под эволюцией мезоструктуры понимаются процессы разворотов кристаллических решеток зерен или фрагментов зерен, а также их фрагментация и дробление, под эволюцией микроструктуры - изменения в дефектной структуре материала, приводящие к существенным изменениям его макроскопических свойств. Попытки построения математических моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры в широком диапазоне воздействий на материал, предпринимаются еще с 30-50-х гг. XX века (Дж. Тейлор, Дж. Бишоп, Р. Хилл, Т.Г. Линь и др.); значительных успехов в описании процессов неупругого деформирования достигли и отечественные ученые (Я.Д. Вишняков, О.А. Кай-бышев, В.А. Лихачев, П.В. Макаров, В.Г.Малинин, А.Н. Орлов, В.Е. Панин, В.В. Рыбин и др.).

Вместе с тем многие проблемы физических теорий пластичности, построенных на симметричных мерах напряженного и деформированного состояния, до сих пор остаются неразрешенными, например, внесение не соответствующих кристаллографии систем скольжения (СС) в определение (симметричного) ориентационного тензора, неединственность определения активных СС в упругопластических моделях. В большинстве современных физических теорий, нацеленных на описание процессов разворотов зерен, рассматривается т.н. «материальный поворот»; при этом наличие соседних зерен фактически не учитывается. В то же время в литературе имеются данные о том, что процессы разворотов в значительной степени связаны с несовместностью пластических сдвигов по СС соседних зерен (Н.Ю. Золоторевский, В.В. Рыбин и др.).

Отдельным вопросом физических теорий является описание упрочнения -как правило, его описывают при помощи так называемой «матрицы модулей упрочнения», при этом вопрос о физике механизмов упрочнения в большинстве работ не рассматривается. Вместе с тем, законы упрочнения отражают изменения в дислокационной структуре деформируемого материала, поэтому в этих соотношениях необходимо учитывать наиболее значимые механизмы неупругого деформирования на микроуровне.

Довольно острым остается вопрос о разработке численных алгоритмов процедур идентификации и верификации математических моделей неупругого деформирования, учитывающих эволюцию микро- и мезоструктуры, алгоритмов проверки адекватности таких математических моделей на основе данных натурного эксперимента, а также вопрос о выборе эффективных численных методов

при проведении вычислительного эксперимента по проведению произвольного нагружения представительного объема поликристалла.

Таким образом, актуальным является построение математических моделей процессов неупругого деформирования поликристаллов, учитывающих несимметрию мер напряженного и деформированного состояния и описывающих эволюцию микро- и мезоструктуры материала, выбор эффективных численных методов и алгоритмов и разработка комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по деформированию поликристалла.

Цель работы - разработка, исследование и обоснование математической модели неупругого деформирования поликристаллического агрегата, качественно и количественно описывающую эволюцию микроструктуры и физико-механических характеристик моно- и поликристаллов. Задачи работы:

- разработка двухуровневой математической модели неупругого деформирования моно- и поликристалла на базе физической теории пластичности, использующей на мезоуровне несимметричные меры напряженного и деформированного состояния и позволяющей описывать внутризеренное и зернограничное упрочнение, процессы обратимых и необратимых разворотов кристаллических решеток, процессы формирования текстуры;

- реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по произвольному жесткому нагружению представительного объема поликристалла.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• Разработана структура двухуровневой (макро- и мезоуровни) упруговязко-пластической физической теории пластичности, использующей несимметричные меры напряженного и деформированного состояния, в рамках которой:

о разработан алгоритм определения формы и размеров элементов ротации -объемов материала, в данный момент деформирования испытывающих квазижесткие развороты; о предложен новый способ описания эволюции ориентаций решеток зерен как следствия несовместности пластических деформаций в соседних элементах ротации, а также несбалансированных усилий на границе элемента ротации вследствие несимметрии тензора напряжений Коши.

• Показано, что при использовании несимметричных мер напряженного и деформированного состояния в математической модели мезоуровня некоторые из проблемных вопросов физических теорий (неоднозначность в определении активных СС; внесение в основные соотношения теорий физически необоснованных величин; противоречия в уравнениях баланса при рассмотрении

процессов, связанных с интенсивными ротациями кристаллической решетки) можно разрешить без введения дополнительных гипотез.

• Предложен способ введения в законы упрочнения физических механизмов взаимодействия дислокаций друг с другом и с границами зерен.

• Реализован комплекс прикладных проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по произвольному жесткому нагружению поликристаллического агрегата; поставлена и решена задача о выборе эффективных численных методов и алгоритмов.

На защиту выносятся:

• Двухуровневая математическая модель неупругого деформирования ГЦК-поликристаллов.

• Математическая модель мезоуровня на базе упруговязкопластической физической теории пластичности, использующей несимметричные меры напряженного и деформированного состояния.

• Способ описания эволюции ориентации решеток зерен как следствия несовместности пластических деформаций в соседних элементах ротации, а также несбалансированных усилий на границе элемента ротации вследствие несимметрии тензора напряжений Коши.

• Алгоритм определения формы и размеров элементов ротации - объемов материала, в данный момент деформирования испытывающих развороты.

• Классификация дополнительных слагаемых в законе упрочнения; способ введения в законы упрочнения физических механизмов взаимодействия дислокаций друг с другом и с границами зерен.

• Способ определения коротационной производной на макроуровне, обеспечивающий согласование определяющих соотношений мезо- и макроуровня.

• Результаты моделирования некоторых технологических процессов: осадки, стесненной осадки, равноканального углового прессования (в том числе - определение эволюции функции распределения ориентаций зерен).

Практическая ценность работы заключается в возможности применения построенной модели и созданного на ее основе комплекса прикладных программ для разработки новых и оптимизации существующих процессов обработки металлов давлением, позволяющих описывать эволюцию мезоструктуры и, следовательно, прогнозировать физико-механические свойства материалов на макроуровне. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011611840 [9].

Достоверность результатов подтверждена численными экспериментами по оценке сходимости, устойчивости решения и удовлетворительным соответствием результатов расчета экспериментальным данным.

Апробация работы. Основные результаты исследований, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на XIV - XIX Всерос-

сийских школах-конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2005-2010); Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов «Int. Conference Mesomech 2009» (Томск, 2009); XVI и XVII Зимних школах-конференциях по механике сплошных сред (Пермь, 2009, 2011); V Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений» (Тамбов, 2010); Международном семинаре «Современные проблемы физики и механики мезоскопических систем» («Advanced Problems of Mechanics and Physics ofMesoscopic Systems», February 1-4, 2011, Perm, Russia).

Полностью диссертация обсуждалась на научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. академик РАН В.П. Матвеенко), на семинарах кафедр «Механика композиционных материалов и конструкций» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор Ю.В. Соколкин), «Математическое моделирование систем и процессов» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В.Трусов).

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации представлены в 30 научных статьях; основные публикации приведены в списке [1-8], 5 статей ([1-4, 7]) опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка сокращений и обозначений, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 41 рисунок, библиографический список -150 наименований, изложена на 144 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, содержится общая характеристика решаемой проблемы, приводится краткое описание содержания диссертации по главам.

В первой главе рассматриваются подходы и методы исследования неупругого деформирования моно- и поликристаллических материалов, в т.ч. дается обзор существующих экспериментальных и теоретических работ в области описания процессов неупругого деформирования поликристаллических тел, отдельное внимание уделяется физическим теориям пластичности и многоуровневым моделям.

Вторая глава посвящена вопросам построения математической модели неупругого деформирования ГЦК-монокристалла и модели представительного объема ГЦК-поликристалла.

В п. 2.1 обсуждается общая структура двухуровневой (мезо- и макроуровни) математической модели для описания деформирования поликристаллического агрегата в процессах ИПД: задается схема деформирования на макроуровне, на мезоуровне (зерно, субзерно) принимается модифицированная гипотеза Фойгта

для меры скорости деформации. На макроуровне используется симметричный закон Гука в скоростной релаксационной форме; скорость пластических деформаций определяется из модели мезоуровня по скоростям сдвигов по активным системам скольжения (СС), для поиска которых, в свою очередь, используется определяющее соотношение вязкого типа. Предполагается, что процессы деформирования являются квазистатическими и протекают при низких гомологических температурах.

В п. 2.2 рассматриваются несимметричные меры скорости деформации и напряжений на мезоуровне; в качестве меры скорости деформации предлагается использовать транспонированный градиент скорости перемещений ^ = vV. Мера деформированного состояния мезоуровне q определяется коротационным

интегрированием соотношения q'=q-w q + q w = ^vV, В качестве спина на мезоуровне предлагается использовать спин решетки w, то есть тензор, ассоциированный с вектором мгновенной скорости вращения кристаллической решетки. В качестве меры напряженного состояния используется тензор напряжений Ко-ши без дополнительного предположения о его симметрии.

В п. 2.3 обсуждаются вопросы построения несимметричного закона упругости на мезоуровне. Из классического вывода закона упругости можно утверждать симметрию тензора 4-го ранга с, описывающего упругие свойства материала, по парам индексов, cjjkl-ckKJ. Утверждать симметрию с внутри пар индексов нельзя в силу несимметрии на мезоуровне мер напряженного и деформированного состояний. Показано, что для материала с кубической симметрией тензор упругих свойств с имеет 4 независимые ненулевые компоненты -с1Ш, си22, спи, с|221; предлагается методика численной идентификации компонент сП12, с1221, полагающихся в классической теории совпадающими.

В п. 2.4 рассматриваются вопросы описания процессов разворотов кристаллической решетки материала и фрагментации при интенсивной пластической деформации. Выделяются дополнительные структурные элементы: «элемент ротации» (ЭР) (любой элемент или совокупность элементов микроструктуры, способных к квазижестким разворотам); «зерно» (наименьший объем материала, который можно считать монокристаллическим телом, по крайней мере, на начальном этапе деформирования), которое в свою очередь представляется совокупностью «фрагментов», первоначально не разориентированных.

Одной из причин разворотов кристаллической решетки считается несовместность сдвигов по СС в соседних фрагментах. Эволюция поверхностного вектора-момента т", действующего на часть т границы фрагмента определяется следующим соотношением:

к к л

(mr) =Л Nx £fVV-£F(mV(mV(m) -N,

\

т

\ '

У

/

где X - материальный параметр, характеризующий сопротивление границы движению дислокаций, N - внешняя единичная нормаль к участку границы, У, y/(m) _ СКОрОСТИ сдвигов, b', bJ<m) - единичные векторы Бюргерса, n', nj(m) -нормали СС соответственно в исследуемом и соседнем фрагментах, К - число СС; по i суммирование осуществляется по СС рассматриваемого фрагмента, по j(т) - по СС фрагментов, имеющих общую часть границы т с данным фрагментом.

Второй причиной разворотов является несимметрия тензора напряжений Коши, обусловливающая дополнительный вклад во вращающий момент пар сил на поверхности элемента ротации.

Чтобы определить величину спина решетки ЭР, требуется «свести» все динамические причины разворота в эквивалентную величину, в качестве которой используется удельный объемный момент:

где S'm - площадь плоского участка границы т, разделяющей два ЭР, V - объем данного ЭР, гт - радиус-вектор от центра масс ЭР к средней точке фасетки т, у' - тензор напряжений Коши, действующих в данном фрагменте ЭР, N™ -внешняя нормаль к фасетке т.

Предлагается алгоритм определения ЭР и критерий разворота зерен: начиная от тройных (и более) стыков зерен, определяется наименьшая совокупность фрагментов g данного зерна G, такая, что объемный момент, рассчитанный для этой совокупности, достигает некоторой критической величины Мс; такой объем на рассматриваемом шаге нагружения считается элементом ротации.

Описание разворота ЭР на каждом шаге нагружения производится при помощи ортогонального тензора, определяющего поворот кристаллографической системы координат вокруг мгновенной оси вращения е с угловой скоростью ф, при этом направление е считается соосным вектору объемного момента, а для величины угловой скорости разворота принимается гипотеза об аддитивности обратимых и необратимых разворотов:

—|м| +—|М|, |М| = МС иМ-М>0,

ИГ ±1

.А1

в противном случае,

где А, Н - экспериментально определяемые константы; критическое значение Мс вычисляется как Мс = — ^ | rK х (if Ng) |, где rg - радиус-вектор, проведенный от центра масс ЭР к средней точки фасетки g, S — площадь фасетки, lgc

- среднее по СС критическое напряжение граничного фрагмента; суммирование проводится по «граничным» фрагментам ЭР.

В п. 2.5 рассматриваются вопросы перехода от величин мезоуровня на макроуровень, в частности - подходы к определению макроповорота. Показано, что если принять гипотезу о некоррелированности отклонения тензора упругих свойств от среднего по представительному объему (ПО) и отклонения пластических составляющих скорости деформации от среднего по ПО, то согласование определяющих соотношений макро- и мезоуровня приводит к определению спина на макроуровне W как среднего тензоров спина мезоуровня w: W=<w>. Рассмотрен вариант согласования моделей без гипотезы о некоррелированности.

В третьей главе обсуждаются вопросы описания упрочнения в поликристалле.

В п. 3.1 дается краткий обзор существующих в отечественной и иностранной литературе теорий упрочнения. Отмечается, что существуют два основных варианта построения таких соотношений: первый - без явного учета эволюции дефектной структуры материала, второй - на основе подхода к построению определяющих соотношений с использованием внутренних переменных, характеризующих микроструктуру материала; при этом, как правило, необходимо использовать переменные микроуровня - плотности дислокаций, что приводит к проблеме замыкания эволюционных уравнений.

В п. 3.2 рассматриваются некоторые физические механизмы упрочнения, предлагается разделение упрочнения на неориентированное и ориентированное. Первое описывает упрочнение независимо от направления деформирования (образование пересечений дислокаций, жгутов, кос, барьеров Ломера - Коттрелла); такое упрочнение приводит к увеличению критического напряжения сдвига сразу на многих СС. Второе связано с накоплением упругой энергии на «поджатых дислокациях» (на различных барьерах), эта энергия может высвобождаться при «развороте» направления деформирования. Запасаемую на микродефектах энергию, в свою очередь, можно разделить на два типа: не высвобождаемая на микро- и мезодеформациях и высвобождаемая; доля «высвобождаемости» зависит от сложности нагружения. Это разделение учитывается, например, при описании эффекта Баушингера.

П. 3.3 посвящен описанию неориентированного упрочнения за счет образования барьеров Ломера-Коттрелла. Определяются внутренние переменные, дополнительная функция упрочнения принимается в виде:

JnK\l3!jy> I >1 / Sllc f ^ 1 Ъду V* H / \ J Уэду -1 ( N- ^

^ ' ЭДУ J у 1*ЭДУУ Vo J I J*> У

гДе Ъду ~ критическое значение энергии дефекта упаковки (ЭДУ) материала, Тэду ~ ЭДУ материала, N* - число СС, сопряженных к данной, т''1 - текущее критическое напряжение, "/J - малая константа, - материальная константа, Н - функция Хэвисайда.

В п. 3.4 рассматривается ориентированное упрочнение за счет аннигиляции дислокаций, «поджатых» на препятствиях, при смене направления деформирования, а также за счет взаимодействия внутризеренных дислокаций с границами зерен в случае деформирования поликристалла.

Подробно рассмотрены физика процесса аннигиляции и факторы, влияющие на уменьшение критического касательного напряжения на данной СС в результате аннигиляции дислокаций. Для учета высвобождаемой упругой энергии в соотношение для введен дополнительный множитель, учитывающий сложность нагружения по всем СС:

i

где ^УУ) - суммарный накопленный сдвиг, "fo - малый параметр, -

1

материальная константа.

При описании зернограничного упрочнения принимается модель прохождения дислокации через границу с образованием в ней дислокации ориентационного несоответствия. Дополнительное зернограничное упрочнение описывается при помощи соотношения:

k= 1 'о

где Sk - площадь зерна, «приходящаяся» на данную СС, Va - объем зерна , Р -количество плоских участков, аппроксимирующих границы зерна, мера разори-ентации t,Jk определяется по минимальному значению для рассматриваемой СС

данного зерна j, плоского участка границы к и всех СС / соседнего зерна:

I\Jk = mm{n(*' • (b(,) - Ь(л )}, где n(i) - нормаль к плоскому участку границы.

В главе 4 приведены основные алгоритмы реализации предложенной математической модели, процедуры идентификации и верификации модели,

выбора эффективных численных методов, результаты численных экспериментов по деформированию моно- и поликристаллов; в качестве моделируемого материала принималась чистая медь.

В п. 4.1 приводятся общая система уравнений несимметричной физической теории пластичности моно- и поликристаллов с ГЦК-решеткой, проверяется ее математическая замкнутость и корректность.

В п. 4.2 рассматривается алгоритм численной реализации модели, для интегрирования скоростных соотношений модели используется неявная схема второго порядка точности, приводятся оценки ее погрешности, сходимости и устойчивости по сравнению с явной схемой первого порядка [8]. Приводится последовательность расчетов для определения параметров напряженно-деформированного состояния на мезо- и макроуровне и совокупности внутренних переменных на каждом шаге интегрирования.

В п. 43 приведены основные результаты, полученные при моделировании деформирования монокристалла без учета ротаций кристаллических решеток фрагментов. Приводятся значения всех материальных параметров, используемых в соотношениях модели.

Отдельно рассматриваются вопросы идентификации и верификации модели, проверки ее адекватности на основе данных натурного эксперимента. Приведен общий алгоритм идентификации параметров модели, алгоритм проиллюстрирован на примере модели упрочнения, для идентифицированных параметров проведена процедура верификации, при этом получено удовлетворительное соответствие результатам натурного эксперимента.

Проведено исследование модели с целью сравнения симметричной и несимметричной теорий. На рис.1 приведены диаграммы деформирования монокристалла при осадке с использованием симметричной (рис. 1, пунктирная линия) и несимметричной (рис. 1, сплошная линия) упруговязкопластической физической теории; принято, что различия в несимметричных компонентах тензора упругих свойств нет: cm2=ci22i> упрочнение не учитывается.

Следует отметить, что кривая, соответствующая несимметричному случаю (сплошная линия), всегда лежит ниже кривой, соответствующей симметричной теории (пунктир) (рис. 1). Исследованы также зависимости накопленных сдвигов по СС от интенсивности накопленных деформаций; можно отметить различный характер поведения диаграмм: в одних системах скольжение идет более интенсивно в случае несимметричной теории, в других - наоборот; тем не менее, суммарный сдвиг по всем СС в несимметричной теории несколько больше.

Ичтжшосш нашпекхьо: оефоыщий

Рис. 1. Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности накопленных деформаций при одноосном сжатии монокристалла П. 4.4 посвящен вопросам, связанным с корректным описанием одноосного напряженного состояния на макроуровне. На примере задачи исследования осадки предлагается алгоритм определения компонент меры скорости деформации на макроуровне на каждом шаге интегрирования для обеспечения од-ноосности макронапряжений.

П. 4.5 посвящен анализу основных результатов по моделированию упрочнения в моно- и поликристаллах.

Рис. 2. Диаграммы напряжение-деформация для одноосного деформирования ГЦК-поликристалла: а) - с учетом описания упрочнения на барьерах. Ломера-Коттрелла;

б) - с учетом аннигиляции дислокаций Проведена серия численных экспериментов по деформированию моно-и поликристаллов с учетом различных дополнительных слагаемых в законе упрочнения. На рис.2 а) отчетливо видно начало второй стадии упрочнения, связанное с введением в законы упрочнения слагаемого, описывающего дополнительное упрочнение за счет реакций на расщепленных дислокациях и образования барьеров Ломера-Коттрелла. Благодаря введению соответствующего слагаемого удалось описать эту стадию упрочнения, причем полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Представлены результаты по реверсивному деформированию с учетом слагаемого, описывающего аннигиляцию дислокаций (рис.2 б)). На диаграмме видно, что при смене

направления деформирования (с одноосного растяжения на одноосное сжатие в том же направлении) предел текучести материала снизился с -33 МПа до-30 М Па.

Проведены численные эксперименты по циклическому деформированию: представительный объем поликристалла подвергали кинематическому нагружению (растяжение-сжатие) при различном числе циклов нагружения. На рис. 3 показана диаграмма «интенсивность напряжений - интенсивность деформаций», полученная при 6 циклах нагружения; в законе упрочнения учитываются слагаемые для аннигиляции и барьеров Ломера-Коттрелла. С увеличением количества циклов отчетливо проявляется эффект Баушингера, наблюдается явление «размывания» второй стадии упрочнения по всему участку пластического течения. Исследование изменения дефектной структуры материала при большом числе циклов показывает на постепенный выход всех СС на одинаковую плотность барьеров Ломера-Коттрелла.

5*

с5»

!5

Рис. 4. Диаграмма напряжение-деформация ГЦК-поликристалла в случае одноосного растяжения с учетом слагаемого, описывающего зернограничное упрочнение На рис. 4 представлена диаграмма одноосного сжатия поликристалла при учете слагаемого, описывающего зернограничное упрочнение. Заметен переход с некоторого момента деформирования от линейного упрочнения к нелинейному участку; нелинейность здесь обусловлена совместным влиянием на скорость дополнительного упрочнения как скорости сдвига по данной СС, так и накопленного сдвига по этой же СС (в отличие от других дополнительных слагаемых).

П. 4.6 -4.7 посвящены описанию основных результатов, полученных при моделировании стесненной осадки и равноканального углового прессования. Для стесненной осадки предлагается алгоритм определения компонент меры скорости деформации на макроуровне для обеспечения соответствующих условий нагружения (равенства нулю всех компонент макронапряжений, кроме 2.1 и £33).

Рис. 3. Диаграмма напряжение-деформация ГЦК-поликристапла в случае циклического нагружения типа растяжения-сжатия, всего показано 6 циклов

Для равноканального углового прессования аналогично известным работам1 реализуется жесткое нагружение поликристалла. Определенные с использованием предложенной модели поворота решеток зерен текстуры (рис.5) находятся в хорошем соответствии с опытными данными2.

Рис.5. Прямые полюсные фигуры при стесненной осадке вдоль ОХз и запрете деформаций

вдоль оси ОХ1 для направлений [111] , [100], [110] (Qi( =1, проецирование вдоль ОХз) В заключении сформулированы основные результаты диссертационной

работы:

1. Разработана структура двухуровневой математической модели деформирования поликристаллов, позволяющей описывать эволюцию внутренней структуры.

2. На основе анализа некоторых проблем физических теорий пластичности в качестве базовой для модели зерна выбрана упруговязкопластическая модель, использующая несимметричные меры напряженного и деформированного состояния. Последняя модифицирована для учета геометрической нели- J нейности.

3. В рамках математической модели деформирования на мезоуровне предложен способ описания эволюции ориентаций решеток зерен, учитывающий 1 взаимодействия соседних зерен за счет несовместности скольжения дислокаций в них и несимметрии тензора напряжений Коши; представлена модель 1 для описания фрагментации зерен в процессах интенсивной пластической де- , формации.

4. Предложены классификация механизмов упрочнения кристаллических тел при пластической деформации и подход к описанию этих механизмов. В качестве иллюстраций предлагаемого подхода рассмотрены три известных эффек- 1 та, связанные с упрочнением. 1

1 Li S. Orientation stability in equal channel angular extrusion. Part I: Face-centered cubic and body-centered cubic materials// Acta Materialia. - 56 (2008) - Pp. 1018-1030.

2 Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. -193(2004). Pp. 5359-5383.

5. Реализован комплекс прикладных проблемно-ориентированных программ [9] для проведения вычислительного эксперимента по произвольному жесткому нагружению поликристаллического агрегата, в рамках которого поставлена и решена задача о выборе эффективных численных методов и алгоритмов.

6. Реализован алгоритм проверки адекватности математической модели на основе данных натурного эксперимента; результаты моделирования (в т.ч. упрочнение и эволюция функции распределения ориентаций решетки) для поликристалла при нагружениях, соответствующих осадке, стесненной осадке и равноканальному угловому прессованию, удовлетворительно согласуются с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры// Физическая мезомеханика. - Томск, 2009. - Т.12, №3. - С. 61-71. (Trusov P.V., Ashikhmin V.N., Volegov P.S., Shveykin A.I. Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution// Physical Mesomechanics. - Tomsk, 2010. - Vol. 13, Is. 1-2. - Pp. 3846.)

2. Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах// Физическая мезомеханика. - Томск, 2009. - Т.12, №5. - С. 6572. (Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals // Physical Mesomechanics. - Tomsk, 2010. - Vol. 13, Is. 3-4. - Pp. 152-158.)

3. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах// Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки. - Тамбов, 2010. - Т. 15, Вып. 3, ч. 1. - С. 983-984.

4. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов// Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. -СПб, 2010. - №2(98). - С.110-119.

5. Волегов П.С., Шулепов А.В. Упругие константы монокристалла в несимметричной физической теории пластичности// Вестник ПГТУ. Механика. -Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. - №1. - С. 19-34.

6. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Двухуровневая модель для описания эволюции структуры поликристаллических материалов при неупругом деформировании// Упругость и неупругость. - М.: Изд-во Москов. ун-та. - 2011. - С.240 - 244.

7. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Несимметричная физическая теория пластичности для описания эволюции микроструктуры поликристаллов// Физическая мезомеханика. - Томск, 2011. - Т.14, №1. -С.19-31.

8. Волегов П.С., Янц А.Ю. Несимметричная физическая теория пластичности ГЦК-поликристаллов: особенности численной реализации некоторых схем деформирования// Вестник ПГТУ. Механика. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2011.-№1.-С. 121-137.

9. Волегов П.С., Янц А.Ю. Расчет напряженно-деформированного состояния представительного объема ГЦК-поликристалла. - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011611840 от 28.02.2011.

Подписано в печать 19.05.2011г. Формат 60 х 90/16. Набор компьютерный. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 1211/2011.

Издательство

Пермского государственного технического университета. Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, к. 113. Тел. (342) 219-80-33.

Обозначения и сокращения

Введение

1. Подходы и методы исследования неупругого деформирования моно- и 16 поликристаллических материалов

1.1. Обзор экспериментальных исследований неупругого 16 деформирования моно- и поликристаллов

1.2. Физические теории пластичности

1.3. Многоуровневые модели для описания деформирования и 30 эволюции микроструктуры моно- и поликристаллов

2. Конститутивная модель неупругого деформирования поликристалла 35 2.1. Структура двухуровневой конститутивной модели

2.2. Несимметричные меры напряженного и деформированного 39 состояния

2.3. Несимметричный закон упругости на мезоуровне

2.4. Описание процессов разворотов кристаллической решетки 54 материала и фрагментации

2.5. Согласование определяющих соотношений мезо- и макроуровня

3. Описание упрочнения в моно- и поликристаллах

3.1. Обзор теорий упрочнения, их классификация

3.2. О физических механизмах упрочнения

3.3. Описание неориентированного упрочнения

3.4. Описание ориентированного упрочнения

4. Моделирование некоторых технологических процессов: постановки, 91 алгоритмы, анализ результатов

4.1. Система уравнений несимметричной физической теории 91 пластичности ГЦК-моно- и поликристаллов

4.2. Алгоритм численной реализации модели

4.3. Идентификация и верификация модели на примере 99 деформирования монокристалла

4.4. Одноосное напряженное состояние. Моделирование осадки

4.5. Упрочнение моно- и поликристаллов

4.6. Стесненная осадка

4.7. Равноканальное угловое прессование 125 Заключение 128 Литература

СОКРАЩЕНИЯ

ДОН - дислокация ориентационного несоответствия ЗГУ - зернограничное упрочнение

ИТН - изображающая точка нагружения в пространстве напряжений ИПД - (процессы) интенсивной пластической деформации КСК - кристаллографическая система координат ЛК - (дислокационные барьеры) Ломера-Коттрелла

ЛСК - лабораторная система координат (единая для всех конфигураций декартова ортогональная система координат)

МДТТ - механика деформируемого твердого тела

МСС - механика сплошной среды

НДС - напряженно-деформированное состояние

ОС - определяющие соотношения

ПКА - поликристаллический агрегат

ПО - представительный объем

СК - система координат

СС - система скольжения

ФРО - функция распределения ориентаций (КСК зерен в представительном объеме)

ФТТ — физика твердого тела ЭДУ - энергия дефекта упаковки ЭР - элемент ротации

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

• )г - обозначение объективной производной

- индексы, обозначающие упругую и пластическую составляющую

Х1Х2Х3 - оси ЛСК ? - время (или его аналог) Е - единичный тензор

Обозначения величин мезоуровня в - число соседних фрагментов К — общее число СС кристалла К„ — число активных СС Мс - критический момент Б — площадь поверхности (фасетки, ЭР, т.д.) у® — пластический сдвиг по СС к т® - касательное напряжение в СС к т^ - критическое напряжение в СС к тдк)- начальное критическое (сдвиговое) напряжение в СС к аи — интенсивность напряжений

Ь<*> - единичный вектор по направлению вектора Бюргерса СС к п ® - нормаль СС к

Ч^ - внешняя нормаль к границе с соседним фрагментом т т - поверхностный момент М - объемный момент г(т) - радиус вектор, проведенный из центра масс ЭР к центру фасетки т О - тензор поворота, совмещающий ЛСК с КСК в - девиатор тензора напряжений Коши с - тензор (четвертого ранга) упругих свойств д - мера деформированного состояния £ - мера скорости деформации а - тензор напряжений Коши (несимметричный)

Обозначения величин макроуровня

N - число зерен представительного объема

Z- мера скорости деформации

2 - мера деформированного состояния

8 - девиатор тензора напряжений Коши

Е - тензор напряжений Коши

С - тензор (четвертого ранга) упругих свойств

Хорошо известным является факт, что процессы интенсивного пластического деформирования (ИПД) поликристаллических тел не могут происходить без существенной эволюции микро- и мезоструктуры материала. Под эволюцией мезоструктуры здесь понимаются процессы разворотов кристаллических решеток зерен или фрагментов зерен, а также их фрагментация и дробление. Под эволюцией микроструктуры в первую очередь понимаются изменения в дефектной структуре материала, приводящие к существенным изменениям его макроскопических свойств. Попытки построения математических моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры в широком диапазоне воздействий на материал, предпринимаются еще с 30-50-х гг. XX века (Дж. Тейлор, Дж. Бишоп, Р. Хилл, Т.Г. Линь и др.); значительных успехов в описании процессов неупругого деформирования достигли и отечественные ученые (Я.Д. Вишняков, O.A. Кайбышев, В.А. Лихачев, П.В. Макаров, А.Н. Орлов, В.Е. Панин, В.В. Рыбин и др.).

Мезо- и микроструктура материала существенным образом эволюционируют в процессе деформирования. С одной стороны, макронагружения (макродеформации) являются источником, движущей силой изменения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо- и микроструктуры является фактором, определяющим поведение материала на макроуровне. Таким образом, управляя мезо- и микроструктурой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне. Поэтому в настоящее время при разработке математических моделей технологических процессов, в нелинейной механике деформируемого твердого тела (МДТТ) одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов.

Так, известно, что практически любая пластическая деформация, за исключением деформации по схеме всестороннего сжатия, сопровождается образованием кристаллографической текстуры того или иного типа и той или иной интенсивности. Под кристаллографической текстурой понимается неоднородность функции распределения ориентаций (ФРО) [8] решеток зерен в представительном' объеме, наличие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических решеток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела. Вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает анизотропию свойств. Существуют примеры как положительного (например, пресс—эффект при прессовании), так и отрицательного (образование фестонов при листовой штамповке) влияния текстуры на механические характеристики-. Таким образом, актуальность построения модели текстурообразования подтверждается достаточно острой необходимостью её применения для исследования технологических процессов с целью улучшения свойств материала и предотвращения негативных эффектов.

Имеются, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры: неявным или явным способом [53]. В первом случае в структуру определяющих соотношений- (ОС) вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации), без использования соответствующих параметров, описывающих собственно эволюцию мезо- и микроструктуры [20, 21]. Как правило, пр^ этом трудно выявить и обосновать физический смысл и механизмы деформирования, описываемые различными операторами модели материала. В последние десятилетия все большее признание находит второй подход — явное введение в структуру определяющих соотношений параметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетических) уравнений для* этих параметров, называемых внутренними переменными [2, 40, 41, 45]. Необходимо заметить, что при этом история воздействий не отбрасывается — она содержится во внутренних переменных.

Широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах, и появление которых во многом предопределили работы перечисленных выше ученых, будем называть физическими теориями пластичности [50, 53, 137]. Вместе с тем, несмотря на интенсивное развитие в последние годы физических теорий, многие проблемы теорий пластичности, построенных на симметричных мерах напряженного и деформированного состояния, до сих пор остаются неразрешенными: это и внесение не соответствующих кристаллографии систем скольжения в определение (симметричного) ориентационного тензора, и проблемы, возникающие в упругопластических моделях при определении активных систем скольжения, и некоторые другие вопросы [10, 14, 51,139].

В большинстве современных физических теорий, нацеленных на описание процессов разворотов зерен, рассматривается т.н. «материальный поворот» ([93] и др.): для описания кинематики используется мультипликативное разложение Ли градиента места, поворот решетки связывается с материальным поворотом, который определяется ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию; при этом наличие соседних зерен фактически- не учитывается. При описании текстурообразования большая часть исследователей, следуя работе Тейлора [130], определяет тензор спина решетки« как несимметричную часть тензора скоростей пластических сдвигов. Согласно этой модели зерно представляется заключенным в жесткую оболочку.

Вместе с тем, в литературе [37] имеются многочисленные данные о том, что процессы разворотов связаны и с несовместностью сдвигов по системам скольжения соседних зерен при скольжении дислокаций (В.В. Рыбин, И.М. Жуковский, Н.Ю. Золоторевский и др.). В ряде работ предпринимались попытки рассмотрения в качестве элемента выборки совокупности двух или нескольких зерен [140-144], однако и в этих моделях явного учета несовместности движения дислокаций в соседних зернах нет; предлагаемые модели ориентированы на описание частного случая деформирования — t¡ процесса прокатки. При описании процессов фрагментации, как правило, не рассматривается известный эффект изменения характерных размеров разворачивающихся областей в кристалле, хотя этот эффект также достаточно хорошо описан в физическом металловедении (В.В. Рыбин и др.).

Отдельным вопросом физических теорий является описание упрочнения -как правило, его описывают при помощи так называемой «матрицы модулей упрочнения», при этом вопрос о физике механизмов упрочнения в большинстве работ не рассматривается. Вместе с тем, законы упрочнения отражают изменения в дислокационной структуре деформируемого материала, поэтому в этих соотношениях важно учитывать по возможности большее число механизмов неупругого деформирования на микроуровне.

Таким образом, актуальным является построение математических моделей процессов неупругого деформирования поликристаллов, учитывающих несимметрию мер напряженного и деформированного состояния и описывающих эволюцию микро- и мезоструктуры материала в части разворотов кристаллических решеток зерен, фрагментации и упрочнения.

Целью работы является разработка, исследование и обоснование математической модели неупругого деформирования поликристаллического агрегата, качественно и количественно адекватно описывающую эволюцию микроструктуры и физико-механических характеристик моно- и поликристаллов.

Задачи работы: разработка двухуровневой физической теории неупругого деформирования моно- и поликристалла на базе несимметричных мер напряженного и деформированного состояния, позволяющей описывать в т.ч. внутризеренное и зернограничное упрочнение, процессы обратимых и необратимых разворотов кристаллических решеток, процессы формирования текстуры;

- реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по произвольному жесткому нагружению представительного объема поликристалла.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• Выявлен ряд проблем физических теорий, использующих симметричные меры напряженного и деформированного состояния при описании процессов глубокой пластической деформации: неоднозначность в определении активных СС; внесение в основные соотношения теорий физически необоснованных величин; противоречия в уравнениях баланса при рассмотрении процессов, связанных с интенсивными ротациями кристаллической решетки. Показано, что при использовании несимметричных мер некоторые из проблемных вопросов можно разрешить без введения дополнительных гипотез.

• Разработана структура двухуровневой (макро- и мезоуровни) упруговязкопла-стической физической теории пластичности, использующей несимметричные меры напряженного и деформированного состояния, в рамках которой: о разработан алгоритм определения формы и размеров элементов ротации — объемов материала, в данный момент деформирования испытывающих развороты; о предложен способ описания эволюции ориентаций решеток зерен как следствия несовместности пластических деформаций в соседних элементах ротации, а также несбалансированных усилий на границе элемента ротации вследствие несимметрии тензора напряжений Коши.

• Показано отличие диаграмм нагружения моно- и поликристалла для одинаковых схем деформирования в случае использования симметричной и несимметричной теорий; выяснено, что причиной различия диаграмм могут быть как различия в значениях компонент тензора упругих свойств, так и переход к несимметричной мере скорости деформаций.

• Предложен способ введения в законы упрочнения физических механизмов взаимодействия дислокаций друг с другом и с границами зерен.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка сокращений и обозначений, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 41 рисунок, библиографический список - 150 наименований, изложена на 144 страницах.

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Разработана структура двухуровневой математической модели деформирования поликристаллов, позволяющей описывать эволюцию внутренней структуры.

2. На основе анализа некоторых проблем физических теорий пластичности в качестве базовой для модели зерна выбрана упруговязкопластическая модель, использующая несимметричные меры напряженного и деформированного состояния. Последняя модифицирована для учета геометрической нелинейности.

3. В рамках математической модели деформирования на мезоуровне предложен способ описания эволюции ориентаций решеток зерен, учитывающий взаимодействия соседних зерен за счет несовместности скольжения дислокаций в них и несимметрии тензора напряжений Коши; предложена модель для описания фрагментации зерен в процессах интенсивной пластической деформации.

4. Предложены классификация механизмов упрочнения кристаллических тел при пластической деформации и подход к описанию этих механизмов. В качестве иллюстраций предлагаемого подхода рассмотрены три известных эффекта, связанные с упрочнением.

5. Реализован комплекс прикладных проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по произвольному жесткому нагружению поликристаллического агрегата, в рамках которого поставлена и решена задача о выборе эффективных численных методов и алгоритмов.

6. Реализован алгоритм проверки адекватности математической модели на основе данных натурного эксперимента; результаты моделирования (в т.ч. упрочнение и эволюция функции распределения ориентаций решетки) для поликристалла при нагружениях, соответствующих осадке, стесненной осадке и равноканальному угловому прессованию, удовлетворительно согласуются с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

В соответствии с поставленной целью выполнены все этапы построения математической модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрены вопросы, связанные с разработкой и применением методов и подходов математического моделирования, численных методов и комплексов программ для решения проблемы построения физической теории пластичности поликристалла, учитывающей развороты кристаллических решеток зерен и упрочнение в моно- и поликристаллах, на базе несимметричных мер напряженного и деформированного состояния.

Целью работы являлась разработка, исследование и обоснование математической модели неупругого деформирования поликристаллического агрегата, качественно и количественно адекватно описывающую эволюцию микроструктуры и физико-механических характеристик моно- и поликристаллов.

1.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов. - М.: Наука. 1983. - 280 стр.

2. Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Трусов П.В. Модель пластического деформирования и текстурообразования поликристаллических материалов // Сб. статей 15 Зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. С.65-68.

3. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне //Физическая мезомеханика. — 2002. — Т.5. №3. — С.37-51.

4. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4.1. Малые деформации (600 стр.); 4.2. Конечные деформации (432 стр.). — М.: Наука. Гл. ред. физ,- мат. лит. 1984.

5. Бровман М.Я. Применения теории пластичности в прокатке — М: Металлургия, 1965.-247 с.

6. Вассерман Г. Текстуры металлических материалов, — М: Металлургия, 1969.— 654 с.

7. Вишняков Я. Д. Теория образования текстур в металлах и сплавах/ Я.Д.Вишняков, А.А.Бабарэко, С.А.Владимиров, И.В.Эгиз М: Наука, 1979. — 344 с.

8. Волегов П.С. Конститутивные модели с внутренними переменными и их применение для построения законов упрочнения для монокристалла. Научные труды Международной молодежной конф. «XXXIV Гагаринские чтения» в 8 томах. Т.1. М.:МАТИ, 2008. С.114-115.

9. Волегов П.С., Никитюк A.C., Янц А.Ю. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности // «Вестник ПГТУ», Серия «Математическое моделирование систем и процессов». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. N17. - С. 25-33.

10. Волегов П.С., Трусов П.В. Использование конститутивных моделей с внутренними переменными при построении законов упрочнения для монокристалла // Прикладная математика и механика, сб. науч. статей, № 8 (6) Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007. С.11-23.

11. Волегов П.С., Трусов П.В. Несимметричные меры деформаций и напряжений и физическая теория пластичности гцк-поликристаллов // Сборник трудов всероссийской конф. молодых ученых «НПСС-2010» (Пермь, 26-27 ноября 2010). Пермь: ПГУ, 2010. С.67-70.

12. Волегов П.С., Шулепов А.В'. Упругие константы монокристалла в несимметричной физической теории пластичности // Вестник ПГТУ. Механика. Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. N1. - С. 19-34.

13. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести поликристаллов. Томск: Изд-во Томского ун-та. 1988. - 256 стр.

14. Дударев Е.Ф., Почивалова Г.П., Бакач Г.П. Масштабные уровни потери сдвиговой устойчивости на стадии зарождения, формирования и распространения полос Людерса-Чернова// Физическая мезомеханика. 1999. Т.2. №1-2. С.105-114.

15. Жуковский И.М., Рыбин В.В., Золоторевский Н.Ю. Теория пластических ротаций в деформируемых кристаллах // ФММ, 1982, т.54, №1, стр. 17-27.

16. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа. - 1990. -368 с.

17. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. — М.: Изд-во АН СССР. 1963. - 272 с.

18. Ильюшин A.A. Пластичность. 4.1. Упруго-пластические деформации. — М.: Логос. 2004. 388 с.

19. Кайбышев O.A., Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. — М.: Металлургия, 1987. -214 с.

20. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука. - 1969. - 420 с.

21. Коттрелл А. Дислокации и пластическое течение в кристаллах М: Ме-таллургиздат, 1958. - 267 с.

22. Кудрявцев И.П. Текстуры в металлах и сплавах, М: Металлургия, 1965. -292 с.

23. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности// Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып.7.- М.: Мир. — 1976. — С. 7-68.

24. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

25. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне//Изв. РАН. МТТ.-1999.-№5.-С.109-130.

26. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне// Физическая мезомеханика. 2003. -Т.6. - №4. - С.111-124.

27. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования// Физическая мезомеханика. 2005 Т.8.— №6 — С.39-56.

28. Мак Лин Д. Механические свойства металлов М: Металлургиздат, 1965. - 432 с.

29. Миркин Л.И. Физические основы прочности и пластичности, М: Изд-во МГУ, 1968.-538 с.

30. Нелинейная механика геоматриалов и геосред. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., Трубицын A.A., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П., Ворошилов Я.С./ Отв. ред. Л.Б.Зуев. Новосибирск: Академическое изд-во «Гео». 2007. 235 с.

31. Новиков И.И. Дефекты кристаллического строения металлов. М.: Металлургия, 1983.-232 с.

32. Орлов, А.Н. Введение в теорию дефектов в кристаллах. — М.: Высшая школа, 1983 144 с.

33. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. — М.: Металлургия. 1986. - 224 стр.

34. Рыбин В.В., Золоторевский Н.Ю., Жуковский И.М. Эволюция структуры и внутренние напряжения на стадии развитой пластической деформации кристаллических тел// ФММ, 1990, Т.69, вып.1, с.5-26.

35. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. - 592 стр.

36. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Конститутивные соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физическая мезомеханика. 2009. - Т. 12 - №3. - С.61-71.

37. Трусов П.В., Ашихмин В.А, Волегов П.С., Швейкин А.И. О физических теориях пластичности и их применении для описания микроструктуры // Современные проблемы термовязкопластичности. Труды II школы-семинара. М.: МАМИ, 2007. С.128.

38. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С. Двумерная модель пластического деформирования монокристалла // Математические модели и методы механики сплошных сред, сб. науч. статей, Владивосток, 2007. С. 259.

39. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С. Моделирование формирования текстуры в пластически деформируемом поликристалле // Упругость и неупругость, сб.науч.статей М.: Изд. Москов. ун-та, 2006.- С.242-248.

40. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физическая мезомеханика, т.12, №3, Томск: ИФПМ СО РАН, 2009. С. 61-71.

41. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упругопластичности// Физическая мезомеханика. -2010. Т.13, №3. - С. 21-30.

42. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического деформирования. Часть 1. Алгоритм // Вычислительная механика сплошных сред 2008 - Т.1, № 3 - С. 15-24.

43. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов// Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. —Т. 15. -№3. - С.327-344.

44. Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физическая мезомеханика. 2009. Т.12, №5. - С. 65-72.

45. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбовского университета, Серия «Естественные и технические науки». Тамбов, 2010, т. 15, вып. 3, ч. 1. С. 983-984.

46. Трусов ILBí, Волегов П.С., Янц А.Ю. Несимметричная физическая теория пластичности для. описания эволюции микроструктуры поликристалла // Физическая мезомеханика. Томск, 2011. - Т. 14, №1. - С. 19-31.

47. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зерно-граничного упрочнения моно- и поликристаллов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2010. - №2(98). - С.110-119.

48. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория определяющих соотношений. 4.2. Теория пластичности. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та. - 2008. - 243 с.

49. Урцев В.Н. Анализ текстур кубических поликристаллов М: Уральский региональный центр, 1997. - 160 с.

50. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т./В.Е.Панин, В.Е.Егорушкин, П.В.Макаров и др. Новосибирск: Наука. Сибирская издат. фирма РАН. 1995. Т.1. 298 стр. Т.2. 320 стр.

51. Черных К. Ф. Введение в анизотропную, упругость, М.: Наука, 1988. -192 с.

52. Шарифуллина Э.Р., Швейкин А.И. Исследование поверхности текучести. ГЦК-монокристалла// Тезисы докладов 18-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». -Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. С.109-110.

53. Швейкин А.И., Ашихмин В.Н., Трусов П.В. О моделях ротации решетки при деформировании, металлов // Вестник ПГТУ. Механика. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. - №1. - С. 111-127.

54. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука. - 1977.-400с.

55. Янц А.Ю., Волегов П.С. Законы упрочнения в несимметричной теории пластичности // Сборник трудов всероссийской конф. молодых ученых «НПСС-2010» (Пермь, 26-27 ноября 2010). Пермь: ПГУ, 2010. С.242-245.

56. Янц А.Ю., Волегов П.С. Законы упрочнения в несимметричной теории пластичности // XXXIX Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научно-практической конф. Ч. V. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2010. - С. 147148.

57. Янц А.Ю., Волегов П.С. Упруговязкопластическая модель деформационного упрочнения поликристаллического агрегата: учет зернограничного упрочнения // Молодежная наука Прикамья, сб. науч. трудов. Вып. 11. Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. С.393-398.

58. Alankar A., Mastorakos I., Field D. P. A dislocation-density-based 3D crystal plasticity model for pure aluminum // Acta Materialia. 2009. - Vol.57. — Pp. 59365946.

59. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polyciystalline metals at large strains // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. -193(2004). -Pp. 5359-5383.

60. Anand L., Kothari M. A computational procedure for rate-independent crystal plasticity// J. of the Mechanics and Physics of Solids. -1996- Vol.44. No.4-Pp.525-558.

61. Arruffat-Massion R. Experiments and modelling of ECAE textures of f.c.c. po-lycrystals/ R. Arruffat-Massion, S. Suwas, L.S. Toth, W. Skrotzki, J.J. Fundenberger, A. Eberhardt // ICOTOM 14 Leuven. Belgium. -2005. - Pp. 839-844.

62. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals// Advances in Applied Mechanics. 1983. - Vol.23. - Pp. 1-115.

63. Asaro R J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals// Acta Metall. 1985. - Vol.33.- No.6 - Pp.923-953.

64. Baczmanski A., Hfaiedh N., François M., Wierzbanowski K. Plastic incompatibility stresses and stored elastic energy in plastically deformed copper// Mater. Sci. Eng.-2009. A 501. - Pp.153—165.

65. Balasubramanian S., Anand L. Elasto-viscoplastic constitutive equations for po-lycrystalline fee materials at low homologous temperatures// J. Mech. and Phys. Solids. 2002. - Vol.50. - Pp. 101-126.

66. Barlat F. Plastic flow for non-monotonic loading conditions of an aluminum alloy sheet sample/ F.Barlat, Duarte J.M. Ferreira, Gracio J.J., A.B. Lopes, E.F.Rauch // Int. J. Plasticity.- 2003.-Vol.19-Pp. 1215-1244.

67. Batra R.C., Zhu Z.G. Effect of loading direction and initial imperfections on the development of dynamic shear bands in a FCC single crystal// Acta Mechanica. -1995.- Vol. 113. No. 1-4. - Pp. 185-203.

68. Beausir B. Analysis of texture evolution in magnesium during equal channel angular extrusion / B.Beausir, S.Suwas, L.S.Toth, K.W.Neale, J.J.Fundenberger //Acta Materialia 56 (2008) - Pp.200-214.

69. Beyerlein I.J., Lebensohn R.A., Tome C.N. Modeling texture and microstructural evolution in the equal channel angular extrusion process// Mater. Sci. and Eng. -2003.-Vol.A345.-Pp. 122-138.

70. Beyerlein I.J:, Tome C.N. A dislocation-based constitutive law for pure Zr including temperature effects//Int. J. Plasticity. 2008. - Vol.24. -Pp. 867-895.

71. Bilby B.A., Gardner L.R.T., Stroh A.N. Continuous distributions of dislocations and the theory of plasticity// In: Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech. Bruxelles, 1956. -Universiter de Bruxelles. 1957. - Vol. 8. - Pp.35^4.

72. Bishop J.F., Hill R. A theory of the plastic distortion of a polycristalline aggregate under combined stresses// Phil. Mag. Ser.7. 1951. - Vol.42. -No.327. -Pp.414-427.

73. Bishop J.F.W., Hill R. A theoretical derivation of the plastic properties of a polycristalline face centered metal// Phil. Mag. Ser.7. - 1951. - Vol.42. -No.334.-Pp. 1298-1307.

74. Böhlke T., Risy G., Bertram A. A texture component model for anisotropic po-lycrystal plasticity// Comput. Mater. Sei. 2005. - Vol. 32. - Pp. 284-293.

75. Bunge HJ. Texture analysis in material science. London: Butterworths. 1982.

76. Clayton J.D., McDowell D.L. A multiscale multiplicative decomposition for elastoplasticity of polyciystals// Int. J. Plasticity. 2003. - Vol.19 - Pp. 1401-1444.

77. Deshpande V.S., Needleman A., Van der Giessen E. Finite strain discrete dislocation plasticity// J. Mech. and Physics Solids. 2003. - Vol.51. -Pp. 2057 - 2083.

78. Fajoui J., Gloaguen D., Courant B., Guillén R. Micromechanical modelling of the elastoplastic behavior of metallic material under strain-path changes// Comput. Mech. 2009. - Vol.44. - Pp.285-296.

79. Follansbee P.S., Kocks U.F. A constitutive description of copper based on the use of the mechanical threshold stress as an Internal State Variable// Acta Metall. -1988. Vol.36. - Pp. 81-93.

80. Franciosi P. The concepts of latent hardening and strain hardening in metallic single crystals//Acta Metall. 1985. Vol. 33. - Pp. 1601-1612.

81. Franciosi P., Berveiller M., Zaoui A. Latent hardening in copper and aluminium single crystals // Acta Metall. 1980. - Vol.28. - Is. 3 - Pp. 273-283.

82. Franz G., Abed-Meraim F., Ben Zineb T. Strain localization analysis using a multiscale model// Computational Materials Science. 2009. Vol.45. - Pp. 768-773.

83. Gérard C., Bacroix B., Bornert M., Cailletaud G., Crépin J., Leclercq S. Hardening description for FCC materials under complex loading paths// Comput. Mater. Sei. 2009. - Vol.45. - Pp.751-755.

84. Habraken A.M. Modelling the plastic anisotropy of metals//Arch. Comput. Meth. Engng. 2004. -11. - No. 1. - Pp. 3-96.

85. Harder, J. FEM-simulation of the hardening behavior of FCC single crystals // ActaMechanica. 2001. Vol. 150-Pp. 197-217.

86. Harren S.V., Asaro R.J. Nonuniform deformations in polycrystals and aspects of the validity of the Taylor model// J. Mech. Phys. Solids. 1989. - Vol.37. - No. 2. -Pp.191-232.

87. Horstemeyer M.F., Potirniche G.P., Marin E.B. Crystal plasticity// In Handbook ( ^ of Materials Modeling. S. Yip (ed.) Springer: Netherlands. - 2005. - Pp. 1133— \ 1149.5

88. Hutchinson, J.W. Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystal-line materials// Proc.R. Soc. Lond. 1976. - 348 (A). - Pp. 101-127.

89. Kadiri H. El, Oppedal A.L. A crystal plasticity theory for latent hardening by glide twinning through dislocation transmutation and twin accommodation effects// J. Mech. Phys. Solids. 2010. - Vol. 58. - Pp. 613-624.

90. Kalidindi S.R., Anand L. Macroscopic shape change and evolution of crystallo-graphic texture in pre-textured FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. 1994. - Vol.42. -No.3. - Pp.459—490.

91. Kalidindi S.R., Bronkhorst C.A., Anand L. Crystallographic texture evolution in bulk deformation processing of FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. 1992. - Vol.40. -No.3. -Pp.537-569.

92. Km H.-K., Oh S.-I. Finite element analysis of grain-by-grain deformation by crystal plasticity with couple stress// Int. J. Plasticity. 2003. - Vol.19. - Pp. 12451270.

93. Kok S., Beaudoin A.J., Tortorelli D.A. A polycrystal plasticity model based on the mechanical threshold// Int. J. of Plasticity. 2002. - Vol.18. - Pp.715-741.

94. Kratochvil J. A theory of non-proportional cyclic plasticity based on microme-chanical approach// Proc. of IMMM-93. Int. Sem. On Microstruct. And Mech. Properties of New Enineering Mater. Mie Academic Press. - 1993. - Pp. 89-94.

95. Kratochvil J., Tokuda M. Plastic response of polycrystalline metals subjected to complex deformation history// Trans. ASME. J. Engng. Mater. Technol. 1984. -Vol.106.-Pp.299-303.

96. Kroner E. Allgemeine kontinuumstheorie der versetzungen und eigenspannun-gen// Arch. Rational Mech. Anal. 1960. -B.4.- S.273-334.

97. Kuhlmann-Wilsdorf D., Kulkarni S.S., Moore J.T., Starke E.A., JR. Deformation Bands, the LEDS Theory, and Their Importance in Texture Development: Part I.

98. Previous Evidence and New Observations//Metallurgical and materials Transactions A 1999 - Vol.30A.September - Pp.2491-2501. 1999.

99. Le K. C., Stumpf H. A model of elastoplastic bodies with continuously distributed dislocations // Int. J. Plasticity. 1996. - Vol.12. - Is. 5 - Pp. 611-627.

100. Lebensohn R.A., Tomé C.N. A self-consistent anisotropic approach// Acta Metall. 1993. - Vol. 41. - Pp. 2611-2624.

101. Lee E.H. Elastic plastic deformation at finite strain// ASME J. Appl. Mech. -1969.-Vol. 36.-Pp. 1-6.

102. Leffers T., Ray R.K. The brass-type texture and its deviation from the copper-type texture// Prog. Mater. Sci. 2008. - Vol. 17. - Pp.98-143.

103. Li S. Orientation stability in equal channel angular extrusion. Part I: Face-centered cubic and body-centered cubic materials// Acta Materialia. 56 (2008) - Pp. 1018-1030.

104. Lin T.H. Analysis of elastic and plastic strains of a face centered cubic crystal// J. Mech. Phys. Solids. - 1957. - Vol.5. - No. 1. - Pp. 143-149.

105. Mahesh S. A hierarchical model for rate-dependent polycrystals// Int. J. Plasticity. 2009. - Vol. 25. -Pp. 752-767.

106. Masima M. und Sachs G.O. Mechanische Eigenschaften von Messingkristallen// Z. Physik. 1928. -B.50. - S. 161-186.

107. Mayeur J.R., McDowell D.L. A three-dimensional crystal plasticity model for duplex Ti-6A1-4V// Int. J. Plasticity. 2007. - Vol. 23. - Pp. 1457-1485.

108. Menzel A., Steinmann P. On the continuum formulation of higher gradient plasticity for single and polycrystals // J. Mech. and Physics Solids. 2000. - Vol.48. - Is. 8-Pp. 1777-1796.

109. Méric L., Cailletaud G., Gaspérini M. F.E. calculations of copper bicrystal specimens submitted to tension-compression tests // Acta Metall. 1994. - Vol.42. - Is. 3 -Pp. 921-935.

110. Miehe C. Multisurface thermoplasticity for single crystals at large strains in terms of Eulerian vector updates// Int. J. Solids and Struct. 1996. - Vol. 33. -No.20-22. - Pp.3103-3130.

111. Naghdi P. M., Srinivasa A. R. A Dynamical Theory of Structured Solids. I Basic Developments // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 15 December 1993 vol. 345 no. 1677 425-458

112. Neale K. W. Use of Crystal Plasticity in Metal Forming Simulations// Int. J. Mech. Sci. 1993. - Vol.35(12). - Pp. 1053-1063.

113. Nye J.F. Some geometrical relations in dislocated crystals// Acta Metall. -1953. -Vol.1.-Pp. 153-162.

114. Ortiz M., Repetto E.A. Nonconvex energy minimization and dislocation structures in ductile single crystals// Journal of the Mechanics and Physics of Solids.1999. Vol. 49. - Pp.397—462.

115. Pan, J., Rice, J.R. Rate sensitivity of plastic flow and implications for yield-surface vertices//Int. J. Solids Struc. 1983. - Vol. 19. - Pp. 973-987. MM

116. Pipard J.-M., Nicaise N., Berbenni S., Bouaziz O., Berveiller M. A new mean field micromechanical approach to capture grain size effects//Comput. Mater, sci. — 2009. Vol.45. - Pp.604—610.

117. Raabe D., Roters F. Using texture components in crystal plasticity finite element simulations// Int. J. Plasticity. 2004. - Vol.20. - Pp. 339-361.

118. Rusinek A., Rodriguez-Martinez J.A., Arias A. A thermo-viscoplastic constitutive model for FCC metals with application to OFHC copper // Int. J. Mech. Sci.2000.-V.52.-Pp. 120-135.

119. Shiekhelsouk M.N., Favier V., Inal K., Cherkaou M. Modelling the behaviour of polycrystalline austenitic steel with twinning-induced plasticity effect/Tint. J. Plast. -2009. Vol: 25. - Pp. 105-133.

120. Steck E. A., Harder J. Finite element simulation of local plastic flow in poly-crystals// IVTAM Symposium on Micro- and Macrostructural Aspects of Thermoplas-ticity/ O. T. Bruhns and E. Stein (eds.). 1999. - Pp. 79-88.

121. Tanaka E., Murakami S., Ooka M. Effect of strain paths shapes on nonproportional cyclic plasticity // J. Mech. Phys. Solids. -1985. Vol.33. No.6. -Pp.559-575.

122. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. 1938. - Vol.62. - Pp. 307-324.

123. Taylor G.I., Elam C.F. The distortion of an aluminium crystal during a tensile test // Proc. Roy. Soc. (London). 1923. - Ser. A 102. - Pp. 643-647.

124. Taylor G.I., Elam C.F. The plastic extension and fracture of aluminum crystals // Proc. Roy. Soc. (London). 1925. - Ser. A 108. - Pp. 28-51.

125. Tokuda M., Kratochvil J. Prediction of subsequent yield surface by a simple mechanical model of polycrystal// Arch: Mech. 1984. - Vol.36. - No.5-6. - Pp.661672.

126. Tokuda M., Kratochvil J., Ohashi Y. On mechanism of induced plastic anisotro-py of polycrystalline metals// Bull. JSME. 1982. - Vol.25. - No.208. - Pp. 14911497.

127. Tokuda M., Kratochvil J., Ohno N. Inelastic behaviour of polycrystalline metals under complex loading condition// Int. J. of Plasticity. -1985. Vol.1. - Pp.141—150.

128. Tokuda M., Ohno N., Kratochvil J. Unified constitutive equations for inelastic behaviours of polycrystalline metals based on a semi-micro approach// Proc. Int. Conf. On Creep. Tokyo. -1986. - Pp.411^16.

129. Trusov P.V., Ashikhmin V.N., Volegov P.S., Shveykin A.I. Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution// Physical Me-somechanics, Volume 13, Issues 1-2, January-April 2010, Pp. 38-46.

130. Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals // Physical Mesomechanics. -2010. Vol. 13, Is. 3-4. - Pp. 152-158.

131. Van Houtte P. Calculation of the yield locus of textured polycrystals using the Taylor and the relaxed Taylor theory// Textures and Microstructures. 1987. - Vol.7. - Pp. 29-72.

132. Van Houtte P., Delannay L., Samajdar I. Quantitative prediction of cold rolling textures in low-carbon steel by means of the LAMEL model// Textures and Microstructures. 1999. - Vol.31. - Pp. 109-149.

133. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel model// Int. J. Plasticity. 2005. -V.21. — Pp. 589-624.

134. Van Houtte P., Mols K., Van Bael A., Aernoudt E. Application of yield loci calculated from texture data// Textures and Microstructures. — 1989. — Vol.11. Pp. 2339.

135. Van Houtte P., Peeters B. Effect of deformation-induced intragranular microstructure on plastic anisotropy and deformation textures // Mater. Sci. Forum. — 2002. -Pp. 408-412, 985-990.

136. Viatkina E. M., Brekelmans W. A. M., Geers M. G. D. Numerical analysis of strain path dependency in FCC metals// Comput Mech. 2008. - Vol.41. - Pp. 391405.

137. Wang G., Wu S.D. , Jiang Q.W., Wang Y.D., Zong Y.P., Esling C., Zu L. Orientation Evolution During Equal Angular Channel Extrusion of Copper Single Crystal// ICOTOM 14. Leuven. Belgium. - 2005. - Pp. 815-820.

138. Wang H., Beyerlein I.J., LeSar R. Plastic anisotropy in fee single crystals in high rate deformation // Int. J. Plasticity. 2009. - V.25. - Pp. 26-48.

139. Wang H., Wu P.D., Tome C.N., Huang Y.A finite strain elastic-viscoplastic self-consistent model for polycrystalline materials// J. Mech. and Phys. Solids. 2010. - Vol.58-Pp.594-612.

140. Weng G.J. Dislocation theories of work hardening and yield surfaces of single crystals // Acta Mechanica. 1980. - Vol.37. - No.3^. - Pp.217-230.

141. Weng G.J. The yield surface of single crystals at arbitrary strain// Acta Mechanica. 1980.- Vol.37. -No.3-1- Pp.231-245.