автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Многоуровневая конститутивная модель неупругого деформирования частично кристаллического полимерного материала: структура, алгоритмы, приложения

00500556О

НЕЧАЕВА Елена Сергеевна

МНОГОУРОВНЕВАЯ КОНСТИТУТИВНАЯ МОДЕЛЬ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЧАСТИЧНО КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛИМЕРНОГО МАТЕРИАЛА: СТРУКТУРА, АЛГОРИТМЫ, ПРИЛОЖЕНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-■8 ЛЕК 2011

Пермь-2011

005005565

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель: профессор Трусов Петр Валентинович

Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты: профессор Митюшов Евгений Александрович

доктор физико-математических наук Фрейдин Александр Борисович

Ведущая Учреждение Российской академии наук

организация Институт физики прочности и материаловедения Сибирского отделения РАН

Защита состоится _20 декабря 2011 года в 16.00 на заседании

диссертационного совета Д 212.188.08 при ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» по адресу: 614990, г. Пермь, пр. Комсомольский, 29, ауд. 4236.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет».

Автореферат разослан » ноября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Л.Н.Кротов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Частично кристаллические полимерные материалы широко используются во многих отраслях промышленности, составляя в последние годы реальную конкуренцию металлам, в частности, в условиях, где имеет место контакт конструкций с химически агрессивными средами (в силу их химической инертности). В связи с этим в настоящее время все более актуальной становится задача построения моделей подобных материалов, применимых для описания процессов их неупругого деформирования при больших неупругих деформациях.

На сегодняшний день в литературе представлено большое число моделей частично кристаллических полимерных материалов (в частности, полиэтилена низкого давления) различных типов - макрофеноменологические (предлагаемые, например, в работах С. Regrain, A.D. Drozdov, J.de С. Christiansen и др.), структурномеханические (например, уральская школа механиков - В.В. Мошев, A.JI. Свистков, O.K. Гаришин и др., зарубежные исследователи - N. Dusunceli, O.U. Colak, D. Lai, I. Yakimets, M. Guigon и др.), микрокомпозитные (L. Lin, J.A.W. Van Dommelen, D.M. Parks, S. Nikolov, R.A. Lebensohn, D. Raabe, Z. Bartczak, R.E. Cohen, A.S. Argon, B.J. Lee, I. Doghri, S. Ahzi, A. Galeski и др.).

Необходимо отметить, однако, что для частично кристаллических полимеров существенным фактором, влияющим на процессы их неупругого деформирования при больших деформациях, является переориентация структурных элементов в представительном объеме материала, ведущая к формированию наведенной анизотропии свойств. Многие из перечисленных выше моделей и подходов не позволяют явным образом учитывать этот факт при создании математических моделей процессов обработки. Вместе с тем, в последние годы в теории пластичности моно- и поликристаллов очень интенсивно развиваются и находят широкое применение физические теории пластичности, берущие свое начало еще в пионерских работах Дж. Тейлора, Дж. Бишопа, Р. Хилла, Т.Г. Линя. Кроме того, как российским учеными (уральская школа механиков, основанная С.Д. Волковым - Е.А. Митюшов, Ю.В. Соколкин, томская школа-В.Е. Панин, В.П. Макаров, С.Г. Псахье, И.Ю. Смолин и др.), так и зарубежными исследователями (L. Anand, M.F. Horstemeyer, D.L. McDowell, P. Van Houtte и др.) в последние десятилетия активно развивается идеология многоуровневого подхода к описанию сложных структурно-неоднородных сред с введением в рассмотрение иерархии структурно-масштабных уровней, что дает, в частности, возможность описания процессов локализации пластических деформаций в подобных средах на различных масштабах.

В данной работе автором предложено применить физические теории пластичности поликристаллов и принципы многоуровневого моделирования для описания неупругого деформирования частично кристаллического полимерного материала. Представляется, что выбранный подход обладает преимуществом по сравнению с вышеперечисленными, поскольку дает возможность прямого включения в модель механизмов деформирования и их носителей, присущих различным структурно-масштабным уровням деформирования в реальном материале, которые в данном случае явным образом вводятся в структуру

модели.

Целью работы являлась разработка и реализация многоуровневой математической модели представительного объема частично кристаллического полимерного материала высокой степени кристалличности (например, полиэтилен низкого давления), позволяющей описывать вязкоупругое (упруговязкопластическое) изотермическое деформирование рассматриваемого материала, в том числе - эволюцию характеристик мезоструктуры: распределения ориентации решеток кристаллитов, упрочнение по системам скольжения в ламелях и по межламеллярной прослойке, изменение ориентации кристаллитов и сферолитов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Разработана структура трехуровневой математической модели неупругого деформирования частично-кристаллического полимерного материала на примере полиэтилена низкого давления, позволяющей осуществлять учет предыстории деформирования за счет введения в структуру модели на каждом масштабном (структурном) уровне внутренних переменных и эволюционных уравнений для них.

• Предложены условия согласования определяющих соотношений на различных масштабных уровнях и способ определения явных внутренних переменных модели на каждом уровне, обусловливающий выбор независящей от наложенного жесткого движения конвективной производной в определяющем соотношении вышележащего масштабного уровня; предложенные условия согласования обобщены на случай использования в рамках модели произвольного числа структурно-масштабных уровней.

• Разработан алгоритм численной реализации предложенной модели на всех масштабных уровнях с обеспечением условий согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней.

• Получены результаты моделирования для представительного объема частично-кристаллического полимерного материала поликристалла в численных экспериментах на простой сдвиг и одноосное растяжение-сжатие, а также при нагружениях, соответствующих осадке и стесненной осадке. Результаты вычислительных экспериментов демонстрируют хорошее качественное и количественное соответствие данным экспериментальных работ, в том числе, с точки зрения формирования в материале наведенной анизотропии свойств в процессе неупругого деформирования.

Практическая значимость работы обусловлена широким применением рассматриваемого класса материалов в различных отраслях промышленности и возможностью использования разработанной математической модели для описания процессов их неупругого деформирования в рамках решения геометрически и физически нелинейных задач, в том числе описания эволюции микроструктуры материала в процессе деформирования, и, следовательно, эволюции его свойств на макроуровне. Разработанный комплекс проблемно-ориентированных программ может быть использован для анализа напряженно-деформированного состояния широкого класса конструкций, изготовленных из полукристаллических полимеров.

Диссертационная работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №07-08-96024-р-Урал а, № 10-08-96010-р_Урал_а, 10-08-00156_а).

Достоверность результатов подтверждается полученными в вычислительных экспериментах оценками сходимости и удовлетворительным соответствием результатов расчетов известным экспериментальным данным (в процессе идентификации и верификации модели рассматривались опыты на одноосное растяжение, сжатие, простой сдвиг).

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, доложены и обсуждены на Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006), V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (Екатеринбург, 2008), Международной конференции «Актуальные проблемы механики» (Санкт-Петербург, 2008), Международной школе-семинаре «Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения» (Томск, 2008), XVI, XVII, XIX, XX Всероссийских конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2007, 2008, 2010, 2011), XV, XVI, XVII Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 2007, 2009, 2011), Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011) и отражены в публикациях трудов и тезисов докладов конференций.

Полностью диссертация обсуждалась на семинарах кафедр «Математическое моделирование систем и процессов» ПНИПУ (руководитель д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов), «Механики композиционных материалов и конструкций» ПНИПУ (руководитель д.ф.-м.н., профессор Ю.В. Соколкин), семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (руководитель академик РАН, д.т.н., профессор В.П. Матвеенко).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 научных работы, в том числе 10 статей [1-10], из которых 3 ([7-9]) опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных исследований, и 12 тезисов докладов конференций.

Личный вклад автора заключается в разработке трехуровневой конститутивной модели частично-кристаллического полимерного материала на основе физических теорий пластичности с применением многоуровневого подхода, построении алгоритма ее численной реализации, разработке комплекса проблемно-ориентированных программ, позволяющих осуществлять расчет напряженно-деформированного состояния представительного макрообъема материала при различных условиях нагружения, анализе полученных результатов.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (139 наименований). Работа содержит 131 страницу, включая 26 рисунков и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели и задачи исследования, перечислены основные результаты, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертационной работы.

В первой главе диссертационной работы описывается структура частично кристаллических полимерных материалов высокой степени кристалличности, основные механизмы деформирования данного класса материалов на мезоуровне, приводится обзор моделей и подходов к описанию процессов их неупругого деформирования при больших деформациях.

Вторая глава диссертационной работы носит обзорный характер. В ней приводится обзор работ по физическим теориям пластичности поликристаллических материалов, по многоуровневым моделям, описывается подход к построению определяющих соотношений, основанный на использовании в структуре модели каждого масштабного уровня внутренних переменных - параметров, отражающих микроструктуру материала и являющихся носителями предыстории воздействий.

В третьей главе осуществляется постановка задачи математического моделирования для описания процессов неупругого деформирования частично кристаллического полимерного материала (на примере полиэтилена низкого давления). На основе анализа структурно-масштабных уровней деформирования в рассматриваемом материале и механизмов неупругого деформирования, вносящих наиболее существенный вклад в макродеформацию, вводятся масштабные уровни модели. Формулируются основные гипотезы модели, приводится содержательная, концептуальная и математическая постановки задачи на каждом из рассматриваемых масштабных уровней.

В модели вводятся три структурно-масштабных уровня: а) макроуровень -уровень представительного объема материала, б) мезоуровень I, элементом которого является сферолит (поликристаллический агрегат, состоящих из направленных по радиусу ламелей и аморфных участков), в) мезоуровень II, элементом которого является пакет из нескольких параллельных ламелей (широких тонких пластинок-кристаллитов) с прослойками аморфной фазы материала. В рамках модели представительный объем макроуровня рассматривается состоящим из N сферолитов, представительный объем мезоуровня I - из п блоков ламелей. При построении модели материала используются три системы координат: условно неподвижная лабораторная система координат (ЛСК); система координат, связанная со сферолитом -система координат сферолита (СКС), которая в недеформированном состоянии полагается совпадающей с ЛСК; и система координат, связанная с кристаллитом - кристаллографическая система координат (КСК), ориентация осей которой относительно СКС в начальный момент времени выбирается случайной с заданным законом распределения.

Для каждого из рассматриваемых масштабных уровней введены, описаны и обоснованы основные механизмы деформирования, вносящие наибольший вклад в макродеформацию и учитываемые в работе для данного класса материалов: сдвиг по кристаллографическим системам скольжения в кристаллите, мода межламеллярного деформирования (межламеллярный сдвиг и пространственное

6

раздвижение-сжатие ламелей), поворот групп нескольких параллельных ламелей как жесткого целого.

Связь уровней осуществляется за счет включения в структуру определяющих соотношений на каждом масштабном уровне явных внутренних переменных, которые определяются из замыкающих уравнений в результате моделирования процесса неупругого деформирования на более глубоких по отношению к рассматриваемому масштабных уровнях и использования той или иной кинематической гипотезы. В работе используется расширенная гипотеза Фойхта об однородности полного градиента вектора скорости перемещений в рамках представительного объема каждого масштабного уровня:

Уу,(г) = УУ(/); 4(0 = ^(0, (1)

где ? - время (или неубывающий параметр нагружения), УУ (, ) - тензор полного градиента скорости перемещений представительного объема материала макроуровня (элемента мезоуровня I, элемента мезоуровня II, соответственно), определенные в актуальной конфигурации.

В рамках представительного объема каждого масштабного уровня принимается гипотеза об аддитивности упругих и неупругих скоростей деформаций:

о(0=вЕ(0+1У"(0; б!(1)=й<1(1)+й>"((У, М')=«»И0+<(')> (2)

где Б, 0е и Б'" - тензоры скоростей полных, упругих и неупругих деформаций на уровне представительного макрообъема материала, <1/; й) и (Г/ (с1я, йеп и (Г7") - тензоры скоростей полных, упругих и неупругих деформаций мезоуровня I (мезоуровня II).

В качестве определяющего соотношения на каждом масштабном уровне используется обобщенный закон Гука в скоростной релаксационной форме

Ег=С:(0-0'"), £г = Ё + Аг • Е + Е • А, (3)

(о,)'^,:^,-«!?), (о/)г=о/ + аг-о/ + о/-а, (4)

(оя)'=ед:(с1я-0, (оя)г=6л-1*г-вг+ояч¥. (5)

где И.О/.Оу - тензор напряжений Коши на макро-, мезоуровне I и мезоуровне II, соответственно, Б, - соответствующие тензоры деформации скорости на

разных масштабных уровнях модели, w - тензор спина элемента мезоуровня II (блока ламелей), А, а - тензоры, входящие в состав не зависящей от наложенного жесткого движения производной, на макроуровне и на мезоуровне I, С, с7, с/7 - тензоры упругих характеристик элементов макроуровня, мезоуровня I и мезоуровня II, соответственно.

В соотношениях (3)-(5) в качестве явных внутренних переменных на каждом масштабном уровне входят тензоры скоростей неупругих деформаций, тензоры А, а,\у и тензоры четвертого ранга упругих свойств элементов представительного объема соответствующего масштабного уровня (макроуровня, мезоуровня I или мезоуровня И), определяемые с более глубоких масштабных уровней из замыкающих уравнений. Следует отметить, что использование в качестве базового определяющего соотношения обобщенного

закона Гука в скоростной релаксационной форме позволило рассмотреть существенно нелинейную (физически и геометрически) задачу за счет использования второй составляющей тензора скоростей деформаций - скоростей неупругих деформаций - и независящей от наложенного жесткого движения производной (в общем случае конвективной).

Для описания поворотов блоков ламелей в работе используется модель полностью стесненного поворота Тейлора, в результате чего в определяющем соотношении на мезоуровне II (5) появляется коротационная производная с тензором спина, определяемым из соотношения:

;=1 2 2 где у/" - тензор вихря элемента мезоуровня II.

Вид независящей от наложенного жесткого движения производной в определяющем соотношении каждого масштабного уровня устанавливается исходя из условий согласования определяющих соотношений соседних масштабных уровней. Принимается, что согласование определяющих соотношений подразумевает выполнение для характеристик напряженно-деформированного состояния элементов соседних масштабных уровней следующих равенств (на примере мезоуровня I и мезоуровня II):

с,=<С//>, =<©„>, Аг=<й„>. (7)

Так, для обеспечения согласования определяющих соотношений мезоуровня II и мезоуровня I в работе получены следующие выражения для явных внутренних переменных в определяющем соотношении (4) мезоуровня I:

< =< < > - с;1: < с/: (< - а?;') >; (8)

а =< > <о/• >; ат =-<>-<V/' о/> о;1, (9)

где знак <•> используется для обозначения операции осреднения, штрихами обозначено отклонение от средних (на рассматриваемом уровне).

Таким образом, на мезоуровне I в результате использования условий согласования в общем случае получаем конвективную производную вида (4)2, так как тензор а не является антисимметричным (9). В работе показано, что полученная на промежуточном масштабном уровне конвективная производная является объективной, то есть индифферентной по отношению к наложенному жесткому движению:

а/" =От -о/ О. (10)

Аналогичным образом условия согласования получены для определяющих соотношений мезоуровня I (4) и макроуровня (3), для более общего случая также показана индифферентность полученной производной в определяющем

соотношении макроуровня (3):

Э =< (17 > - С-1: < с/: ((1/ - <\";') >; (11)

А =< а > +2Г1- < <т/ • а' >; Ат =<а >т + <я'т-о/ > -2Г1; (12)

Г* = Ог Г О. (13)

В результате серии вычислительных экспериментов с разработанной трехуровневой конститутивной моделью показано, что в ряде процессов (например, одноосное растяжение, сжатие) для рассматриваемого типа

8

кристаллической решетки (орторомбическая) для тензоров а и А, входящих в состав конвективных производных в определяющих соотношениях мезоуровня I (4) и макроуровня (3), справедливы соотношения (в символической форме)

АХ«А^, (14)

гдеа5=^(а + аг), а,=^(а-аг), А,=^(А + АГ), А^Л(А-Аг),

что позволяет в этом случае использовать в определяющих соотношениях на мезоуровне I и макроуровне вместо конвективных производных коротационные с тензорами спина элемента соответствующего масштабного уровня, определенными из условий

£1 = АЛ: Ег=Ё-П-£ + £-£1

В то же самое время, в некоторых процессах нагружения (например, простой сдвиг) соотношения (14) не выполняются, что свидетельствует о необходимости использования в определяющих соотношениях конвективной производной.

В таблице 1 приведены и классифицированы внутренние переменные модели по отношению к различным масштабным уровням.

Таблица 1.

Параметры трехуровневой конститутивной модели на различных масштабах

Параметры воздействия Параметры, определяемые на данном масштабном уровне

Явные внутренние переменные Неявные внутренние переменные Реакция материала

Макроуровень 17(0 = ^(0 С Б А С/ <1? а £

Мезоуровень I уу, (о^у« с, а са < № д о, а;

Мезоуровень II С (1" № *-н "и "

Здесь <2 - ориентационный тензор сферолита, ортогональный тензор, характеризующий ориентацию сферолита по отношению к лабораторной системе координат и переводящий лабораторную систему координат в систему координат сферолита; О* - ориентационный тензор кристаллита, ортогональный тензор, характеризующий ориентацию кристаллита по отношению к системе координат сферолита и переводящий последнюю в кристаллографическую систему координат. Ориентационные тензоры элементов О* (на мезоуровне II) и <3 (на мезоуровне I) относятся к неявным внутренним переменным соответствующих масштабных уровней. В качестве эволюционных уравнений для них выступают соотношения, описывающие изменение ориентации решеток элементов соответствующего масштабного уровня. Например, на мезоуровне II изменение ориентации (ротация) элемента определяется по его спину в результате интегрирования соотношения:

* = 0#-(0*)Г. (16)

На мезоуровне II в качестве базовой модели деформирования кристаллита используется физическая вязкоупругая модель:

гМ

г<<>

(17)

где у0 - скорость деформирования, являющаяся параметром материала и характеризующая скорость сдвига по системе скольжения при касательном напряжении, равном критическому напряжению сдвига; т^ - сдвиговое напряжение, действующее в системе скольжения к; т[к> > 0 - сопротивление сдвигу в системе скольжения к, являющееся материальной функцией параметров

- величина, обратная чувствительности кристаллитов к

нагружения; пс

1

скорости приложения нагрузки тпс, которая полагается константой материала.

Касательные напряжения для каждой из СС пакета определяются из соотношения:

(л¥ + ь¥)

(18)

где к - номер системы скольжения, м'*' - ориентационный тензор к-ой системы скольжения, п'*' - единичный вектор нормали к плоскости скольжения, ь'*' -единичный вектор, коллинеарный вектору Бюргерса, характеризующему

направление скольжения. Значения компонент векторов п1 ' и Ьи для всех систем скольжения в кристаллите ПЭНД в КСК приведены в таблице 2, где а -

угол между направлениями [010] и [110] в кристаллите, а = агсвт[а/^а2 + Ъг |;

а,Ьяс - размеры ячейки периодичности кристаллита ПЭНД (орторомбическая решетка), являющиеся параметрами материала.

Таблица 2.

Номер системы Тип сдвига Система скольжения п«> Ь(Ч

1. сдвиг в кристаллите вдоль направления цепей (100)[001] (1; 0; 0) (0;0;1)

2. (010)[001] (0; 1; 0) (0;0; 1)

3. (110)[001] (сое«; этот; 0) (0;0;1)

4. (П0)[001] (-сова; вша; 0) (0;0; 1)

5. поперечный сдвиг в кристаллите (100)[010] (1;0;0) (0; 1; 0)

6. (010)Г1001 (0;1;0) (1;0;0)

7. (И0)[П0] (с(«йг; вт«; 0) (втог; -совог;0)

8. (110X110] (-сова; вта; 0) (вша; «мйг; 0)

Таким образом, в кристаллитах ПЭНД присутствует восемь систем скольжения, по которым может быть реализован сдвиг в процессе деформирования (табл.2), лишь четыре из которых являются линейно независимыми, что означает, что полимерные кристаллы являются кинематически дефицитными. Однако необходимо отметить, что присутствие в

материале аморфной фазы в качестве прослоек в пространстве между пластинками-кристаллитами позволяет рассматривать в качестве дополнительной моды деформирования сдвиг между кристаллитами, который в силу аморфности прослойки может происходить в произвольном направлении.

В модели для реализации произвольного сдвига по межламеллярной прослойке в ней вводятся две дополнительные системы скольжения с вектором нормали, совпадающим с нормалью к поверхности ламели п и двумя взаимно ортогональными векторами, характеризующими направление сдвига в межламеллярной плоскости:

п = (-8тД 0; со а/?); Ь(/>±Ь|£); Ь(2ч±п, (19)

/? = ^(п,с) - материальный параметр, угол между направлением нормали к поверхности ламели п и направлением молекулярных цепей в кристаллите с. В силу того, что межламеллярная прослойка является аморфной, в ней может быть реализован сдвиг в произвольном направлении, который при моделировании раскладывается по двум взаимно ортогональным векторам ь{1) и Ь(/', что приводит к появлению в элементе мезоуровня II двух дополнительных (межламеллярных) систем скольжения (табл.3, системы 1-2). Необходимо отметить, что для реализации возможности описания процессов реверсивного нагружения число введенных в модель межламеллярных систем удваивается (вводятся две дополнительные системы скольжения с векторами сдвига, направленными противоположно первым двум - системы 3-4, табл.3). При этом на все межламеллярные системы накладывается ограничение неотрицательности сдвигов.

Таблица 3.

Направления сдвига, введенные в межламеллярной плоскости_

Номер системы Ь(Ч Номер системы ьм

1. (0;1;0) 3. (0;-1; 0)

2. (со5(п,с); 0; $ш(и,с)) 4. (- со5(п, с); 0; - 8т(п, с))

Таким образом, на мезоуровне II трехуровневой математической модели неупругого деформирования частично кристаллического полимерного материала полная система уравнений выглядит следующим образом: о„ = с„ : {йд - сф + • о - о •

7м =

Д*)

ДА)

Уу = Уу •

V Уя — V V¡,

уравнение (6) для определения спина решетки

Система (20) включает эволюционные уравнения для критических напряжений сдвига по внутриламеллярным (20)4 и межламеллярным (20)5 системам скольжения в элементе мезоуровня II, которые в (20) представлены в общем виде. В рамках разработанной конститутивной модели сопротивление сдвигу для внутриламеллярных систем скольжения определятся тремя составляющими: начальным критическим напряжением сдвига по системе скольжения (г,'*'), зависимостью критического напряжения сдвига от нормального напряжения (с^) в системе скольжения, которая является

характерной именно для полимерных кристаллов (определяется

(к)

чувствительность щ' критического сдвигового напряжения к нормальному напряжению в плоскости скольжения - <т'*'), и зависимостью критического напряжения сдвига от сдвигов, накопленных по системам скольжения в кристаллите (?£'), которая в модели вводится в виде нелинейного степенного закона. Эволюционное уравнение для критических напряжений сдвига по введенным межламеллярным системам включает в себя описание трех эффектов, реализующихся в процессе деформирования элемента мезоуровня II в аморфной фазе материала:

1) изменения критического напряжения сдвига по межламеллярной прослойке в зависимости от сдвигов, накопленных в процессе неупругого деформирования материала по межламеллярным системам скольжения в элементе мезоуровня Н (?£'), - с ростом суммарного накопленного сдвига критическое сдвиговое напряжение возрастает вследствие вытягивания проходных полимерных цепей в пространстве между кристаллитами;

2) механизма пространственного раздвижения-сжатия ламелей - за счет изменения критического напряжения сдвига в зависимости от нормального напряжения в межламеллярной плоскости (сг„, критическое нормальное напряжение - а *„);

3) разупрочнения при реверсивном нагружении, связанного с тем, что сдвиг по противоположно направленной системе в межламеллярной плоскости является облегченным (при условии, что накоплен сдвиг по системе скольжения (к+2) с противоположно направленным вектором сдвига (индекс взят по модулю 2) при прямом нагружении), так как большая часть молекулярных цепей межламеллярного пространства уже вытянулась при прямом нагружении и не требуются дополнительные усилия для их распутывания; для описания этого эффекта в эволюционное уравнение для критического напряжения сдвига вводится дополнительное слагаемое, связывающее скорость изменения критического напряжения (г**') сдвига со скоростью сдвига по рассматриваемой системе и суммарным накопленным сдвигом по противоположно направленной системе (^+2)).

Систему уравнений (20) замыкают соотношения для определения спинов \у элементов мезоуровня II и эволюционные уравнения для ориентационных тензоров соответствующих элементов (20)9.

В четвертой главе представлены разработанные алгоритмы реализации предложенной конститутивной модели на различных масштабных уровнях, изложены особенности численной реализации модели, приведены результаты исследований по оценке сходимости при использовании различных схем интегрирования.

Описаны алгоритмы реализации модели на всех масштабных уровнях для случая жесткого нагружения (предписанными являются все компоненты тензора градиента скорости перемещений). Предложена процедура реализации модели для случая одноосного (на макроуровне) нагружения, когда заданной является лишь одна компонента градиента скорости перемещений на макроуровне, а остальные определяются из условия обеспечения одноосного напряженного состояния для представительного объема макроуровня. Разработана процедура численной реализации эксперимента на стесненную осадку для представительного объема материала, когда одна компонента градиента вектора скорости перемещений является заданной, и, кроме того, запрещены деформации вдоль одной из осей.

Проанализированы случаи использования различных схем интегрирования (схема Эйлера и схема Адамса-Моултона 2-го порядка) для определения параметров процесса нагружения. Показано, что использование схемы Адамса-Моултона позволяет существенно повысить эффективность вычислительных процедур за счет увеличения шага по времени при аналогичных значениях погрешности, что приводит к существенному сокращению времени расчета.

В пятой главе приведены результаты вычислительных экспериментов с использованием многоуровневой конститутивной модели частично кристаллического полимерного материала. Рассмотрены эксперименты на одноосное растяжение и сжатие для представительного объема материала, реализованы опыты на простой сдвиг и стесненную осадку.

В результате проведенных вычислительных экспериментов показано, что при использовании разработанной многоуровневой модели использование условий согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней при определении явных внутренних переменных и вида независящей от наложенного жесткого движения производной является необходимым, поскольку в ином случае (при использовании прямого осреднения скоростей неупругих деформаций и, например, производной Яуманна на макроуровне, рис. 1-2 (справа)) наблюдаются существенные отличия напряжений, полученных при решении задачи на макроуровне и осреднением по элементом на нижележащем мезоуровне I, что противоречит постулируемым условиям согласования вида (7).

В результате серии вычислительных экспериментов, проведенных с разработанной математической моделью, показано, что введенные в модель механизмы деформирования материала на мезоуровне и, соответственно, их математическое описание, позволяют достаточно корректно описывать ряд эффектов, наблюдаемых на макроуровне в процессе неупругого деформирования для рассматриваемого класса материалов. В частности, показано, что учет влияния нормального напряжения в плоскостях скольжения в элементе

13

Рис.2. Согласование мезоуровня I и мезоуровня II в опыте на одноосное растяжение (слева - с использованием (8)-(9), справа - без согласования), Dn=I*10 сек.

- напряжения на мезоуровне I; - осредненные напряжения с мезоуровня II.

Рис.1. Согласование макроуровня и мезоуровня I в опыте на одноосное растяжение (слева - с использованием (11)-(12), справа - без согласования), '01=1*10 сек.

напряжения на макроуровне; -е- -е- - осредненные напряжения с мезоуровня I.

мезоуровня II на критическое сдвиговое напряжение в данной плоскости позволяет объяснить различие пределов текучести на растяжение и на сжатие, экспериментально наблюдаемых для полиэтилена низкого давления.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе:

1. Разработана структура трехуровневой математической модели деформирования частично кристаллического полимерного материала (на примере полиэтилена низкого давления), базирующейся на использовании физических теорий пластичности, многоуровневого моделирования и подхода к построению определяющих соотношений, основанного на введение в структуру моделей каждого масштабного уровня внутренних переменных, являющихся носителями информации об эволюционирующей микроструктуре и предыстории деформирования.

2. Предложены алгоритмы расчетов с использованием разработанной математической модели деформирования представительного объема материала для случая кинематического нагружения и одноосного деформирования.

3. Предложен, обобщен на произвольное количество уровней и реализован подход к определению явных внутренних переменных модели на каждом масштабном уровне, обеспечивающий выполнение условий согласования определяющих соотношений соседних масштабных уровней.

4. Исходя из условий согласования, получен вид не зависящей от наложенного жесткого движения производной (в общем случае, конвективной) в геометрически и физически нелинейном определяющем соотношении на макроуровне, показана ее объективность.

5. В рамках разработанной математической модели предложены подходы к описанию ряда эффектов, наблюдаемых при деформировании рассматриваемого класса материалов (например, различие пределов текучести на растяжение и на сжатие); получены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующих возможности модели при использовании ее в процессе интерпретации данных натурного эксперимента.

6. Разработан комплекс прикладных проблемно-ориентированных программ, позволяющих проводить вычислительные эксперименты с разработанной конститутивной моделью в условиях пространственного кинематического и одноосного нагружения.

7. Получены результаты вычислительных экспериментов в опытах на одноосное растяжение, сжатие, простой сдвиг, стесненную осадку, позволяющие описать и объяснить ряд важных эффектов, наблюдаемых в экспериментах для рассматриваемого класса материалов (например, различие пределов текучести на растяжение и на сжатие; формирование наведенной анизотропии свойств на макроуровне в результате эволюции структуры материала на мезоуровне).

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Нечаева Е.С., Сальников А.Ф., Трусов П.В. Построение определяющих соотношений для описания поведения матриц полимерных армированных труб при различных скоростях приложения нагрузки и различных температурах // Сборник статей научной конференции «Зимняя школа по механике сплошных сред» в 3-х томах. - Пермь: 2007. - Т.З. - С.42-45.

15

2. Нечаева Е.С., Сальников А.Ф., Трусов П.В. Применение структурного подхода при оценке работоспособности полимерных армированных труб // Динамика сплошной среды: Сборник научных трудов / РАН Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. - Новосибирск: 2007. -Вып.125. -С.73-75.

3. Нечаева Е.С., Сальников А.Ф., Трусов П.В. Конститутивная модель деформирования полиэтилена низкого давления // Молодежная наука Прикамья. Сборник научных трудов. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - Вып.9. - С.132-136.

4. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Разработка конститутивной модели для описания поведения полиэтилена низкого давления, учитывающей эволюцию микроструктуры // Математ. моделир. систем и процессов: межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - Спецвыпуск. - С. 119-127.

5. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель полиэтилена низкого давления с внутренними переменными: общая структура и механизмы деформирования // Математ. моделир. систем и процессов: межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Изд-во Перм, гос. техн. ун-та, 2008. - №16. - С.87-99.

6. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель с внутренними переменными и ее применение для частично кристаллического полимерного материала // Механика сплошных сред как основа современных технологий: XVI Зимняя школа по механике сплошных сред: сб. статей. - Пермь-Екатеринбург: УрО РАН, 2009. (статья на эл. носителе)

7. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Многоуровневая конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации модели мезоуровня // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т.4. - №1. -С.74-89. (из перечня ВАК)

8. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Многоуровневая конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала: согласование уровней и проблема замыкания // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред: сб. статей. -Пермь-Екатеринбург: УрО РАН, 2011. (статья на эл. носителе)

9. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Многоуровневая конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации для представительного объема макроуровня // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т.4. - №2. - С.82-95. (из перечня ВАК)

Ю.Трусов П.В., Волегов П.С., Нечаева Е.С. Многоуровневые физические модели пластичности: теория, алгоритмы, приложения // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. -№4. -Часть 4. - С.1808-1810. (из перечня ВАК)

Подписано в печать 16.11.2011.

Формат 60 х 90/16. Набор компьютерный.

Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз. Заказ № 2378/2011.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии центра «Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета». Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113. Тел. (342)219-80-33.

Сокращения.

Основные обозначения.

Введение.

1. Частично кристаллические полимерные материалы: структура, свойства, моделирование.

1.1. Структура частично кристаллических полимеров высокой степени кристалличности и ее эволюция в процессах неупругого деформирования.

1.2. Механизмы деформирования частично кристаллических полимеров на мезоуровне.

1.3. Моделирование поведения частично кристаллических полимеров.

2. Физические теории пластичности моно- и поликристаллов и многоуровневый подход.

2.1. Физические теории пластичности.

2.2. Многоуровневое моделирование.

2.3. Конститутивные модели с внутренними переменными.

2.4. Использование многоуровневого подхода при описании процессов неупругого деформирования частично кристаллических полимеров.

3. Многоуровневая конститутивная модель представительного объема частично кристаллического полимерного материала.

3.1. Базовые структурные элементы модели частично кристаллического полимерного материала.

3.2. Содержательная постановка задачи моделирования.

3.3. Структурно-масштабные уровни в модели материала.

3.4. Концептуальная постановка задачи. Основные гипотезы модели.

3.5. Физическая упруговязкопластическая модель деформирования элемента мезоуровня II.

3.5.1. Законы упрочнения при сдвиге по кристаллографическим системам скольжения в кристаллитах.

3.5.2. Законы упрочнения при межламеллярном сдвиге.

3.6. Математическая постановка задачи моделирования на различных масштабных уровнях.

3.7. Описание ротационной моды деформации.

3.7.1. Модель описания поворотов решетки кристаллитов

3.7.2. Согласование определяющих соотношений масштабных уровней модели. Выбор типа независящей от наложенного жесткого движения производной в законе Гука.

4. Алгоритмы реализации модели частично кристаллического полимерного материала.

4.1. Алгоритм реализации модели при кинематическом нагружении.

4.2. Особенности алгоритма реализации модели для задачи одноосного и двухосного нагружения представительного объема материала.

4.3. Выбор схемы интегрирования.

4.3.1. Схема Эйлера.

4.3.2. Схема Адамса-Моултона.

5. Результаты моделирования процессов неупругого деформирования полиэтилена низкого давления.

5.1. Задачи одноосного растяжения и сжатия.

5.2. Простой сдвиг.

5.3. Влияние поворотов решетки кристаллитов. Формирование наведенной анизотропии свойств материала на макроуровне

Частично кристаллические полимерные материалы широко используются во многих отраслях промышленности, составляя в последние годы реальную конкуренцию металлам, в частности, в условиях, где имеет место контакт конструкций с химически агрессивными средами (в силу их химической инертности). В связи с этим в настоящее время все более актуальной становится задача построения моделей подобных материалов, применимых для описания процессов их неупругого деформирования при больших неупругих деформациях.

На сегодняшний день в литературе представлено большое число моделей частично кристаллических полимерных материалов (в частности, полиэтилена низкого давления) различных типов - макрофеноменологические (предлагаемые, например, в работах С. Regrain, A.D. Drozdov, J.de С. Christiansen и др.), структурномеханические (например, уральская школа механиков - В.В. Мошев, A.J1. Свистков, O.K. Гаришин и др., зарубежные исследователи - N. Dusunceli, O.U. Colak, D. Lai, I. Yakimets, M. Guigon и др.), микрокомпозитные (L. Lin, J.A.W. Van Dommelen, D.M. Parks, S. Nikolov, R.A. Lebensohn, D. Raabe, Z. Bartczak, R.E. Cohen, A.S. Argon, B.J. Lee, I. Doghri, S. Ahzi, A. Galeski и др.).

Необходимо отметить, однако, что для частично кристаллических полимеров существенным фактором, влияющим на процессы их неупругого деформирования при больших деформациях, является переориентация структурных элементов в представительном объеме материала, ведущая к формированию наведенной анизотропии свойств. Многие из перечисленных выше моделей и подходов не позволяют явным образом учитывать этот факт при создании математических моделей процессов обработки. Вместе с тем, в последние годы в теории пластичности моно- и поликристаллов очень интенсивно развиваются и находят широкое применение физические теории пластичности, берущие свое начало еще в пионерских работах Дж. Тейлора, Дж. Бишопа, Р. Хилла, Т.Г. Линя. Кроме того, как российскими учеными уральская школа механиков, основанная С.Д. Волковым - Е.А. Митюшов, Ю.В. Соколкин, томская школа - В.Е. Панин, В.П. Макаров, С.Г. Псахье, И.Ю. Смолин и др.), так и зарубежными исследователями (L. Anand, M.F. Horstemeyer, D.L. McDowell, P. Van Houtte и др.) в последние десятилетия активно развивается идеология многоуровневого подхода к описанию сложных структурно-неоднородных сред с введением в рассмотрение иерархии структурно-масштабных уровней, что дает, в частности, возможность описания процессов локализации пластических деформаций в подобных средах на различных масштабах.

В данной работе автором предложено применить физические теории пластичности поликристаллов и принципы многоуровневого моделирования для описания неупругого деформирования частично кристаллического полимерного материала. Представляется, что выбранный подход обладает преимуществом по сравнению с вышеперечисленными, поскольку дает возможность прямого включения в модель механизмов деформирования и их носителей, присущих различным структурно-масштабным уровням деформирования в реальном материале, которые в данном случае явным образом вводятся в структуру модели. Вышесказанное определяет актуальность выбранной темы исследования.

Целью работы являлась разработка и реализация многоуровневой математической модели представительного объема частично кристаллического полимерного материала высокой степени кристалличности (например, полиэтилен низкого давления), позволяющей описывать вязкоупругое (упруговязкопластическое) изотермическое деформирование рассматриваемого материала, в том числе - эволюцию характеристик мезоструктуры: распределения ориентаций решеток кристаллитов, упрочнение по системам скольжения в ламелях и по межламеллярной прослойке, изменение ориентаций кристаллитов и сферолитов.

Научная новизна работы заключается в следующем: ® Разработана структура трехуровневой математической модели неупругого деформирования частично кристаллического полимерного материала на примере полиэтилена низкого давления, позволяющей осуществлять учет предыстории деформирования за счет введения в структуру модели на каждом масштабном (структурном) уровне внутренних переменных и эволюционных уравнений для них.

• Предложены условия согласования определяющих соотношений на различных масштабных уровнях и способ определения явных внутренних переменных модели на каждом уровне, обусловливающий выбор независящей от наложенного жесткого движения конвективной производной в определяющем соотношении вышележащего масштабного уровня; предложенные условия согласования обобщены на случай использования в рамках модели произвольного числа структурно-масштабных уровней.

• Разработан алгоритм численной реализации предложенной модели на всех масштабных уровнях с обеспечением условий согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней.

• Получены результаты моделирования для представительного объема частично кристаллического полимерного материала поликристалла в численных экспериментах на простой сдвиг и одноосное растяжение, а также при нагружениях, соответствующих осадке и стесненной осадке. Результаты вычислительных экспериментов демонстрируют хорошее качественное и количественное соответствие данным экспериментальных работ, в том числе, с точки зрения формирования в материале наведенной анизотропии свойств в процессе неупругого деформирования.

Практическая значимость работы обусловлена широким применением рассматриваемого класса материалов в различных отраслях промышленности и возможностью использования разработанной математической модели для описания процессов их неупругого деформирования в рамках решения геометрически и физически нелинейных задач, в том числе - описания эволюции микроструктуры материала в процессе деформирования, и, следовательно, эволюции его свойств на макроуровне. Разработанный комплекс проблемно-ориентированных программ может быть использован для анализа напряженно-деформированного состояния широкого класса конструкций, 9 изготовленных из полукристаллических полимеров.

Диссертационная работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №07-08-96024-р-Урал а, № 10-08-96010-рУрала, 10-08-0015 6а).

Достоверность результатов подтверждается полученными в вычислительных экспериментах оценками сходимости и удовлетворительным соответствием результатов расчетов известным экспериментальным данным (в процессе идентификации и верификации модели рассматривались опыты на одноосное растяжение, сжатие, простой сдвиг).

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, доложены и обсуждены на Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006), V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (Екатеринбург, 2008), Международной конференции «Актуальные проблемы механики» (Санкт-Петербург, 2008), Международной школе-семинаре «Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения» (Томск, 2008), XVI, XVII, XIX, XX Всероссийских конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2007, 2008, 2010, 2011), XV, XVI, XVII Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 2007, 2009, 2011), Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011) и отражены в публикациях трудов и тезисов докладов конференций.

Полностью диссертация обсуждалась на семинарах кафедр «Математическое моделирование систем и процессов» ПНИПУ (руководитель д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов), «Механики композиционных материалов и конструкций» ПНИПУ (руководитель д.ф.-м.н., профессор Ю.В. Соколкин), семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (руководитель академик РАН, д.т.н., профессор В.П. Матвеенко).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 научных работы, в том числе 10 статей [22-23, 25-27, 34, 37-39, 65], из которых 3 ([37, 39, 65]) опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных исследований, и 12 тезисов докладов конференций [24, 28-33, 35-36, 40-42].

Личный вклад автора заключается в разработке трехуровневой конститутивной модели частично кристаллического полимерного материала на основе физических теорий пластичности с применением многоуровневого подхода, построении алгоритма ее численной реализации, разработке комплекса проблемно-ориентированных программ, позволяющих осуществлять расчет напряженно-деформированного состояния представительного макрообъема материала при различных условиях нагружения, анализе полученных результатов.

На защиту выносятся:

1. Физически и геометрически нелинейная трехуровневая конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала высокой степени кристалличности, позволяющая описывать его поведение при больших неупругих деформациях с учетом формирования в процессе деформирования наведенной анизотропии свойств.

2. Способ согласования определяющих соотношений моделей различных масштабных уровней в рамках многоуровневой модели, обеспечивающий соответствие характеристик напряженно-деформированного состояния, определенных в результате интегрирования ОС модели на макроуровне и в результате осреднения соответствующих характеристик с ниже лежащего масштабного уровня.

3. Способ определения не зависящей от наложенного жесткого движения производной в определяющем соотношении модели на макроуровне.

4. Алгоритмы реализации разработанной математической модели на всех структурно-масштабных уровнях для кинематического и одноосного нагружения.

5. Результаты описания ряда процессов деформирования ПО материала с использованием соотношений разработанной конститутивной модели одноосное растяжение, сжатие, простой сдвиг, стесненная осадка).

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (139 наименований). Работа содержит 131 страницу, включая 26 рисунков и 5 таблиц.

Заключение

Таким образом, основные результаты и выводы по диссертационной работе заключаются в следующем:

1. Разработана структура трехуровневой математической модели деформирования частично кристаллического полимерного материала (на примере полиэтилена низкого давления), базирующейся на использовании физических теорий пластичности, многоуровневого моделирования и подхода к построению определяющих соотношений, основанного на введении в структуру моделей каждого масштабного уровня внутренних переменных, являющихся носителями информации об эволюционирующей микроструктуре и предыстории деформирования.

2. Предложены алгоритмы расчетов с использованием разработанной математической модели деформирования представительного объема материала для случая кинематического нагружения и одноосного деформирования.

3. Предложен, обобщен на произвольное количество уровней и реализован подход к определению явных внутренних переменных модели на каждом масштабном уровне, обеспечивающий выполнение условий согласования определяющих соотношений соседних масштабных уровней.

4. Исходя из условий согласования, получен вид не зависящей от наложенного жесткого движения производной (в общем случае, конвективной) в геометрически и физически нелинейном определяющем соотношении на макроуровне, показана ее объективность.

5. В рамках разработанной математической модели предложены подходы к описанию ряда эффектов, наблюдаемых при деформировании рассматриваемого класса материалов (например, различие пределов текучести на растяжение и на сжатие); получены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующих возможности модели при использовании ее в процессе интерпретации данных натурного эксперимента.

6. Разработан комплекс прикладных проблемно-ориентированных программ, позволяющих проводить вычислительные эксперименты с разработанной конститутивной моделью в условиях пространственного кинематического и одноосного нагружений.

7. Получены результаты вычислительных экспериментов в опытах на одноосное растяжение, сжатие, простой сдвиг, стесненную осадку, позволяющие описать и объяснить ряд важных эффектов, наблюдаемых в экспериментах для рассматриваемого класса материалов (например, различие пределов текучести на растяжение и на сжатие; формирование наведенной анизотропии свойств на макроуровне в результате эволюции структуры материала на мезоуровне).

1. Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. 411 с.

2. Бартенев Г.М. Прочность и механизм разрушения полимеров. М.: Химия, 1984.-280 с.

3. Бартенев Г.М., Бартенева А.Г. Релаксационные свойства полимеров. М.: Химия, 1992.-383 с.

4. Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. Физика и механика полимеров. М.: Высшая школа, 1983. - 391 с.

5. Бленд Д.Р. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965. - 390 с.

6. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов (теория и приложения). -М.: Наука, 1973.-288 с.

7. Вишняков Я.Д. Теория образования текстур в металлах и сплавах/ Я.Д.Вишняков, А.А.Бабарэко, С.А.Владимиров, И.В.Эгиз М: Наука, 1979.-344 стр.

8. Гаришин O.K., Мошев В.В. Структурная перестройка дисперсно наполненных эластомерных композитов и ее влияние на механические свойства // Высокомолекулярные соединения. 2005. - Т.47. №4. - С. 669-675.

9. Каргин В.А. Избранные труды. Структура и механические свойства полимеров. М.: Наука, 1979. - 452 с.

10. Качалов Л.М. Теория ползучести. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. - 390 с.

11. П.Козлов Э.В., Трушкина Л.И., Попова H.A., Конева H.A. Место дислокационной физики в многоуровневом подходе к пластической деформации // Физическая мезомеханика. 2011. - Т.14. - №3. - С.95-110.

12. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. -277с.

13. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. -338 с.

14. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып.7. М: Мир, 1976.-С.7-68.

15. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 стр.

16. Макаров П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных материалов// Изв. вузов. Физика. 1992. - №4. - С.42-58.

17. П.Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. 1999. - №5. - С. 109-130.

18. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физическая мезомеханика. 2003. - Т.6. - №4. - С. 111-124.

19. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования // Физическая мезомеханика. 2005. -Т.8.- №6. - С.39-56.

20. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., Трубицын A.A., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П., Ворошилов Я.С. Нелинейная механика геоматериалов и геосред / Отв. ред. Л.Б. Зуев. Новосибирск: Академическое издательство «Гео», 2007. - 235 с.

21. Макаров П.В. Самоорганизованная критичность деформационных процессов и перспективы прогноза разрушения // Физическая мезомеханика. -2010. Т. 13.-№5. -С.97-112.

22. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Разработка конститутивной модели для описания деформационного поведения полиэтилена низкого давления с учетом эволюции микроструктуры // Тезисы докладов 16-й

23. Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007. -С.67.

24. Нечаева Е.С., Сальников А.Ф., Трусов П.В. Конститутивная модель деформирования полиэтилена низкого давления // Молодежная наука Прикамья. Сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. унта, 2008. - Вып.9. - С. 132-136.

25. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации модели мезоуровня // Вычислительная механика сплошных сред. 2011. - Т.4. -№1. - С.74-89. (из перечня ВАК)

26. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации дляпредставительного объема макроуровня // Вычислительная механика сплошных сред. 2011. - Т.4. - №2. - С.82-95. (из перечня ВАК)

27. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой // Изв. вузов. Физика. 1992. - Т.35. - №4. - С. 5-18.

28. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т./ Под ред. В.Е. Панина. Новосибирск: Наука, 1995. - Т.1. - 298 с.

29. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т./ Под ред. В.Е. Панина. Новосибирск: Наука, 1995. - Т.2. - 320 с.

30. Панин В.Е. Влияние эволюции пластического течения в шейке на масштабные уровни разрушения поликристаллов. Эксперимент и моделирование / В.Е.Панин, Р.Р.Балохонов, Л.С.Деревягина, В.А.Романова // Физическая мезомеханика. 2010. - Т.13.- №2. - С.11-19.

31. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин A.B. Эффект каналирования пластических сдвигов и нелинейные волны локализованной пластической деформации и разрушения // Физическая мезомеханика. 2010. - Т. 13.-№5. - С.7-26.

32. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Деформируемое твердое тело как нелинейная иерархически организованная система // Физическая мезомеханика. 2011. - Т. 14. -№3. - С.7-26.

33. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука. 1986. - 232 с.

34. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. -752 с.

35. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Изд-во литературы по строительству, 1968. -415 с.

36. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. -М.: Металлургия, 1986. 224 стр.

37. Свистков A.JL, Комар JI.A. Моделирование релаксационных процессов в наполненных эластомерных материалах // Высокомолекулярные соединения. 2005. - Т.47. №4. - С. 630-636.

38. Теплякова J1.A., Козлов Э.В. Формирование масштабно-структурных уровней локализации пластической деформации в металлических монокристаллах. I. Макроуровень // Физическая мезомеханика. 2005. -Т.8. - №6. - С.57-66.

39. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

40. Трусов П.В. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры/ П.В.Трусов, В.Н.Ашихмин, П.С.Волегов, А.И.Швейкин // Физическая мезомеханика. 2009. - Т. 12 - №3. - С.61-71.

41. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. - Т. 15. -№3. - С.327-344.

42. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. 4.1. Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика. 2011. - №1. - С.5^5.

43. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. 4.2. Вязкопластические и упругопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика.-2011.-№2.-С. 101-131.

44. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч.З. Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник ПГТУ. Механика. -2011.-№3.-С. 146-197.

45. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория определяющих соотношений. 4.2. Теория пластичности.- Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. 243 с.

46. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехи, ун-та, 2011. - 419 стр.

47. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физическая мезомеханика. -2011. Т.14. - №4. - С.17-28.

48. Уорд П. Механические свойства твердых полимеров. М.: Химия, 1975. -350 с.

49. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - 536 с.

50. Швейкин А.И., Ашихмин В.H., Трусов П.В. О моделях ротации решетки при деформировании металлов// Вестник ПГТУ. Механика.- Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. №1. - С. 111-127.

51. Энциклопедия полимеров. В 3-х т. Т.З. / Под ред. В.А. Картина. М.: Советская энциклопедия, 1974. - 575 с.

52. Ясний П.В. Масштабные уровни деформации и разрушения и механические свойства стали 25Х1М1Ф до и после неизотермического нагружения / П.В.Ясний, П.О.Марущак, С.В.Панин, Р.Т.Бищак // Физическая мезомеханика. 2010. - Т.13.- №2. - С.87-96.

53. Addiego F., Dahoume A., G'Sell С., Hiver J.-M. Characterization of volume strain at large deformation under uniaxial tension in high-density polyethylene // Polymer. 2006. - V.47. - P. 4387-4399.

54. Albano C., Papa J., González E., Navarro O., González R. Temperature and crystallinity profiles in polyolefines isothermal and non-isothermal solidification processes // European Polymer Journal. 2003. - V.49. - P. 1215-1222.

55. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. -2004. Vol.193. - Pp. 5359-5383.

56. Asaro R.J. Micromachanics of crystals and polycrystals // Advances in Applied Mechanics. 1983,- Vol.23. - P. 1 -115.

57. Asaro R.J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals // Acta Metall. 1985. - Vol.33, No.6. - P.923-953.

58. Bartczak Z., Argon A.S., Cohen R.E. Deformation mechanisms and plastic resistance in single-crystal-textured high density polyethylene // Macromolecules. 1992. - Vol.25. - Pp. 5036-5053.

59. Bartczak Z., Argon A.S., Cohen R.E. Texture evolution in large strain simple share deformation of high density polyethylene // Polymer. 35. - V.16. -P.3427-3441.

60. Bartczak Z., Cohen R.E., Argon A.S. Evolution of the crystalline texture of high-density polyethylene during uniaxial compression // Macromolecules. -1992. Vol.25., №18. - Pp. 4692-4704.

61. Bédoui F., Diani J., Régnier G. Micromechanical modeling of elastic properties in polyolefins // Polymer. 2004. - Vol.45. - 2433-2442.

62. Bédoui F., Diani J., Régnier G., Seiler W. Micromechanical modeling of isotropic elastic behavior of semicrystalline polymer // Acta Materialia. 2006. -Vol.54. - 1513-1523.

63. Beijer J.G.J., Spoormaker J.L. Modelling of creep behaviour in injection-moulded HDPE // Polymer, 2000. Vol.41, p.5443-5449.

64. Bergstrôm J.S., Kurtz S.M., Rimnac C.M., Edidin A.A. Constitutive modeling of ultra-high molecular weight polyethylene under large-deformation and cyclic loading conditions // Biomaterials. 2002. - V.23. - C. 2329-2343.

65. Bishop J.F., Hill R. A theory of the plastic distortion of a polycristalline aggregate under combined stresses // Phil. Mag. Ser. 7. 1951. - Vol. 42. -No. 327.-P. 414^127.

66. Bishop J.F.W., Hill R. A theoretical derivation of the plastic proporties of a polycristalline face-centered metal // Phil. Mag. Ser. 7. 1951. - Vol. 42. -No. 334.-P. 1298-1307.

67. Brinson L.C., Gates T.S. Effects of physical aging on long term creep of polymers and polymer matrix composites // Int. J. Solids Structures, 1995. Vol.32. № 6/7, p. 827-846.

68. Brusselle-Dupend N., Cangemi L. A two-phase model for the mechanical behaviour of semicrystalline polymers. Part I: Large strains multiaxial vakidation on HDPE // Mechanics of Materials. 2008. - V.40. - P.743-760.

69. Bunge H.J. Texture Analysis in Materials Science. Mathematical Methods. -London: Butterworths, 1982. 591 p.

70. Clayton J.D., McDowell D.L. A multiscale multiplicative decomposition for elastoplasticity of polycrystals // Int. J. Plasticity. 2003. - V.19. - P.1401-1444.

71. Deshpande V.S., Needleman A., van der Giessen E. Finite strain discrete dislocation plasticity // J. Mech. Phys. Solids. 2003. - V. 51. - P.2057-2083.

72. Drozdov A.D., Christiansen J.deC. Cyclyc viscoplasticity of high-density polyethylene: Experiments and modeling // Computational Materials Science. 2007.-V.39.-P. 465-480.

73. Drozdov A.D., Christiansen J.C. Viscoelasticity and viscoplasticity of semicrystalline polymers: structure-property relations for high-density polyethylene // Comput. Mat. Sci. 2007. - V.39. P.729-751.

74. Duffour E., Malfreyt P. Structure and thermodynamic properties from molecular dynamics simulations of the polyethylene crystal // Polymer. 2002. -V.43.-P. 6341-6349.

75. Dusunceli N., Colak U.O. Modelling effects of degree of crystallinity on mechanical behavior of semicrystalline polymers // Int. J. Plasticity. 2008. -V.24. - P.1224-1242.

76. Galeski A. Strength and toughness of crystalline polymer systems // Prog. Polym. Sci. 2003. - V.28. -P.1643-1699.

77. Habraken A.M. Modelling the plastic anisotropy of metals // Arch. Comput. Meth. Engng. 2004. - V. 11. - No. 1. - P.3-96.

78. Hiss R., Hobeika S., Lynn C., Strobl G. Network stretching, slip processes and fragmentation of crystallites during uniaxial drawing of polyethylene and related copolymers. A comparative study // Macromolecules. 1999. - Vol.32. - Pp. 4390-4403.

79. Horstemeyer M.F., Potirniche G.P., Marin E.B. //Handbook of Materials Modeling: Springer, 2005. Printed in the Netherlands. Pp. 1133-1149.

80. Hutchinson J.W. Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystalline materials // Proc.R. Lond. 1976. - 348(A). - P. 101-127.

81. Kok S., Beaudoin A.J., Tortorelli D.A. A polycrystal plasticity model based on the mechanical threshold // Int. J. Plasticity. 2002. - Vol.18. -P.715-741.

82. Kubát J., Petermann J., Rigdahl M. Internal stresses in polyethylene as related to its structure // Materials Science and Engineering. 1975. - V.19. -P. 185-191.

83. Lai J., Bakker A. Analysis of the non-linear creep of high-density polyethylele //Polymer, 1995. Vol.36. №1. p.93-99.

84. Lai D., Yakimets I., Guigon M. A non-linear viscoelastic model developed for semi-crystalline polymer deformed at small strains with loading and unloading paths // Mater Sci. and Engrg. A — 2005. Vol.405. - Pp.266271.

85. Lin L., Argon A.S. Structure and plastic deformation of polyethylene // J. Mater. Sci. 1994. - V.29, №2. - P. 294-323.

86. Lin L., Argon A.S. Rate mechanism of plasticity in the crystalline component of semicrystalline nylon // Macromolecules. 1994. - Vol.27, 6903-6914.

87. Lee B.J., Argon A.S., Parks D.M., Ahzi S., Bartczak Z. Simulation of large strain plastic deformation and texture evolution in high density polyethylene // Polymer. 1993. - V.34, №17. - P. 3555-3575.

88. Lee B.J., Parks D.M., Ahzi S. Micromechanical modeling of large plastic deformation and texture evolution in semi-crystalline polymers // J. Mech. Phys. Solids. 1993.-V.41,№ 10.-P. 1651-1687.

89. Leffers T., Ray R.K. The brass-type texture and its deviation from the copper-type texture// Prog. Mater Sci. — 2009. Vol.54. - Pp.351-396.

90. Mano J.F., Sousa R.A., Reis R.L., Cunha A.M., Bevis M.J. Viscoelastic behaviour and time-temperature correspondence of HDPE with varying levels of process-induced orientation // Polymer, 2001. Vol.42, p.6187-6198.

91. Mareau C., Favier V.„ Berveiller M. Micromechanical modeling coupling time-independent and time-dependent behaviors for heterogeneous materials // Int. J. Solids and Structures. 2009. - Vol. 46. - Pp.223-237.

92. Masima M., Sachs G.O. Mechanische Eigenschaften von Messingkristallen // Z. Physik. 1928. - B.50. - S.161-186.

93. McDowell D.L. Viscoplasticity of heterogeneous metallic materials//Mater. Sci. Eng. R. 2008. - Vol.62. - Pp. 67-123.

94. Nikolov S., Doghri I., Pierard O., Zealouk L., Goldberg A. Multi-scale constitutive modeling of the small deformations of semi-crystalline polymers // J. Mech. Phys. Solids. 2002. - V.50. - P. 2275-2302.

95. Nikolov S., Lebensohn R.A., Raabe D. Self-consistent modeling of large plastic deformation, texture and morphology evolution in semi-crystalline polymers // J. Mech. Phys. Solids. 2006. - V.54, №7. - P. 1350-1375.

96. Nikolov S. Raabe D. Yielding of polyethylene through propagation of chain twist defects: Temperature, stem length and strain-rate dependence // Polymer. 2006. - V.47. - P. 1696-1703.

97. Ou X., Cakmak M. Influence of biaxial stretching mod on the crystalline texture in polylactic acid films // Polymer. 2008. - V.49. - P. 5344-5352.

98. Pan J., Rice J.R. Rate sensitivity of plastic flow and implications for yield-surface vertices // Int. J. Solids Struc. 1983. - Vol.19. - P.973-987.

99. Petermann J., Gohil R.M. Observation of screw dislocations in lamellar stacks of polyethylene and isotactic polystyrene // Polymer. 1979. - V.20. -P. 596-598.

100. Raabe D., Roters F. Using texture components in crystal plasticity finite element simulations // Int. J. Plasticity. 2004. - Vol.20. - Pp. 339-361.

101. Radi M., Abdul-Latif A. Grain shape effect on the biaxial elastic-inelastic behavior of polycrystals with a self-consistent approach // Proc. Eng. -2009.-Vol.1.-Pp. 13-16.

102. Regrain C., Laiarinandrasana L., Toillon S., Sai K. Multi-mechanism models for semi-crystalline polymer: constitutive relations and finite element implementation // Int. J. Plasticity. 2009. - Vol.25. - Pp. 1253-1279.

103. Ritchie S.J.K. A model for the large-strain deformation of polyethylene //Journal of materials science, 2000. Vol.35, p.5829-5837.

104. Sheth J.P., Xu J., Wilkes G.L. Solid state structure-property behavior of semicrystalline poly(ether-Z?/ocA:-amide) PEBAX thermoplastic elastomers // Polymer. 2003. - V.44. - P. 743-756.

105. Sweeney J., Caton-Rose P., Coates P.D. The modeling of large deformations of pre-oriented polyethylene // Polymer, 2002. Vol. 43. p. 899907.

106. Taylor G.I. Plastic strain in metals// Journal of the Inst. Metals. 1938. - Vol.2. Pp.307-324.

107. Tagawa T., Mori J., Aita S., Ogura K. Application of the high resolution SEM to the fine structure study of polyethylene // Micron. 1978. - V.9. - P. 215-221.

108. Van Bael A., van Houtte P., Aernoudt E., Hall F.R., Pillinger I., Hartley P., Sturgess C.E.N. Anisotropic fmite-element analysis of plastic metalforming processes // Texture Microstruct. 1991. - V. 14-18. - P. 1007-1012.

109. Van Dommelen J.A.W., Brekelmans W.A.M., Baaijens F.P.T. Micromechanical modeling of particle-toughening of polymers by locally induced anisotropy // Mechanics of Materials. 2003. - V.35. - P. 845-863.

110. Van Dommelen J.A.W., Parks D.M., Boyce M.C., Brekelmans W.A.M., Baaijens F.P.T. Micromechanical modeling of intraspherulitic deformation of semicrystalline polymers // Polymer. 2003. - V.44. - P. 6089-6101.

111. Van Dommelen J.A.W., Parks D.M., M.C. Boyce, Brekelmans W.A.M., Baaijens F.P.T. Micromechanical modeling of the elasto-viscoplastic behavior of semi-crystalline polymers // J. Mech. Phys. Solids. 2003. - V .51. - P. 519-541.

112. Van Houtte P. Calculation of the yield locus of textured polycrystals using the Taylor and the relaxed Taylor theory // Texture Microstruct. 1987. V.7. - P.29-72.

113. Van Houtte P., Delannay L., Samajdar I. Quantitative prediction of cold rolling textures in low-carbon steel by means of the LAMEL model// Textures and Microstructures. 1999. - Vol.31. - Pp. 109-149.

114. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel model// Int. J. Plasticity. 2005. - V.21. - Pp. 589-624.

115. Wunderlich B., Sullivan P. Interference microscopy of solution-grown polyethylene single crystals // Polymer. 1962. - V.3. - P. 247-250.

116. Wunderlich B. Reversible crystallization and the rigid-amorphous phase in semicrystalline macromolecules // Prog. Polym. Sci. 2003. - V.28. -P.383-450.

117. Zairi F., Aour B., Gloaguen J.M., Nait-Abdelaziz M., Lefebvre J.M. Numerical modeling of elastic-viscoplastic equal channel angular extrusion process of a polymer // Computational Materials Science. 2006. - V.38. - P. 202-216.