автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модель упругопластического деформирования ГЦК-поликристаллов

На правах рукописи

ии3487668

ШВЕЙКИН Алексей Игоревич

МОДЕЛЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГЦК-ПОЛИКРИСТАЛЛОВ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ К ОПИСАНИЮ ФОРМИРОВАНИЯ ТЕКСТУРЫ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ДЕК 2009

Пермь - 2009

003487668

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете.

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель: профессор Петр Валентинович Трусов

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Александр Васильевич Вахрушев доктор физико-математических наук, профессор Игорь Николаевич Шардаков Пермский государственный университет

Защита состоится 22 декабря 2009 г. в 16-00 на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при Пермском государственном техническом университете по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, ауд. 425.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан «20» ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Л.Н.Кротов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Процессы неупругого деформирования и свойства поликристаллических материалов на макроуровне, как показывают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, весьма чувствительны к изменению мезо- и микроструктуры материала. Поэтому при разработке математических моделей в нелинейной механике деформируемого твердого тела одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов. Наряду с зарубежными исследователями (Тейлор, Шмид, Хилл, Бишоп, Линь, Хоникомб и др.) существенный вклад в развитие данного направления внесли отечественные ученые: Р.З.Валиев, Я.Д.Вишняков, В.А.Лихачев,

B.В.Рыбин, Т.Д.Шермергор, уральская школа механиков, основанная

C.Д.Волковым (Е.А.Митюшов, Ю.В.Соколкин и др.), томская школа В.Е.Панина (П.В.Макаров, С.Г.Псахье, И.Ю.Смолин и др.).

В настоящее время при построении подобных моделей для описания поведения поликристаллов все большее признание находят подход, основанный на явном введении в структуру определяющих соотношений параметров, отражающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными, являющихся носителями информации об истории воздействий. В контексте данного подхода в настоящее время неупругое деформирование представительного объема поликристалла обычно описывают с использованием прямых или статистических моделей.

Прямые модели, основанные, как правило, на использовании метода конечных элементов, позволяют более точно находить распределение напряжений и деформаций в области, учитывать ближнее и дальнее взаимодействие зерен. Однако применение данного подхода ввиду чрезвычайно больших вычислительных затрат чаще всего ограничено модельным двумерным случаем.

Статистические модели в вычислительном плане более эффективны и активно применяются для моделирования упругопластического деформирования реальных материалов (Anand, Gurtin, Horstemeyer, McDowell, Van Houttc и др.); в этих моделях, как правило, рассматривается один механизм пластического деформирования - внутризеренное скольжение краевых дислокаций (ВДС),

описываемое законом Шмида; большинство моделей этого класса восходят к пионерской работе Тейлора или к модели Линя.

В качестве серьезного недостатка существующих работ следует отметить отсутствие в них учета взаимодействия соседних зерен в поликристалле, по существу, зерна рассматриваются обособленно. В то же время экспериментально подтверждено (например, в работах В.Е.Панина, В.В.Рыбина), что существенную роль в поворотах решетки играет несовместность скольжения дислокаций в соседних зернах.

Таким образом, актуальным является построение статистических моделей, детально учитывающих физику процессов неупругого деформирования, в частности - описывающих взаимодействие зерен и другие (помимо ВДС) моды деформации.

Цель работы - разработка и реализация математической модели представительного объема однофазного поликристаллического ГЦК-металла, позволяющей описывать упругопластическое изотермическое деформирование, в том числе - эволюцию характеристик мезоструктуры: распределения ориентации решеток зерен, упрочнение по системам скольжения.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• Формализован подход к построению определяющих соотношений, основанный на учете предыстории деформирования за счет введения внутренних переменных и эволюционных уравнений для них.

• Разработана структура двухуровневой математической модели деформирования поликристаллов.

• Разработана модель описания упругопластического деформирования зерна (монокристалла), в рамках которой

- учтена геометрическая нелинейность;

- предложено решение проблемы неединственности определения активных систем скольжения для модели Линя в специальных случаях нагру-жения;

- предложена модель для мягкого нагружения с последовательной активацией систем скольжения;

- разработан алгоритм для случая произвольного нагружения.

• Разработана конститутивная модель упругопластического деформирования поликристалла, в которой

- предложен способ учета механизма зернограничного скольжения;

- дано описание эволюции ориентации решеток зерен, включая учет взаимодействия соседних зерен за счет несовместности скольжения дислокаций в них;

- разработан алгоритм для случая произвольного нагруження.

• Получены результаты моделирования для монокристалла с использованием различных моделей поворота решетки.

• Получены результаты моделирования (в т.ч. эволюция функции распределения ориентации решетки) для поликристалла при нагружениях, соответствующих осадке, стесненной осадке и равноканалыюму угловому прессованию.

Практическая ценность работы заключается в возможности применения построенной модели при расчетах реальных процессов обработки металлов давлением для описания эволюции мезоструктуры и, следовательно, анизотропии механических свойств материалов на макроуровне.

Достоверность результатов подтверждена численными экспериментами по оценке сходимости, аналитическими решениями и удовлетворительным соответствием результатов расчета экспериментальным данным.

Апробация работы. Основные результаты исследований, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на

- XV, XVT, XVII, XVIII Всероссийских школах-конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2006-2009),

- Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов «Int. Conference Mesomech2006» (Томск, 2006),

- XV и XVI Зимних школах-конференциях по механике сплошных сред (Пермь, 2007, 2009),

- Всероссийской конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Пермь, 2008),

- V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (Екатеринбург, 2008),

- Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов «Int. Conference Mesomech2009» (Томск, 2009).

Полностью диссертация обсуждалась на семинарах кафедр «Математическое моделирование систем и процессов» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В.Трусов), «Механика композиционных материалов и конструкций» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор Ю.В. Соколкин), на научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. академик РАН В.П. Матвеенко).

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации представлены в 16 публикациях; основные публикации приведены в списке [1-6], две статьи ([5],[6]) опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка сокращений и обозначений, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 54 рисунка, библиографический список - 138 наименований, изложена на 139 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, содержится общая характеристика решаемой проблемы, приводится краткое описание диссертации.

В первой главе приводятся некоторые экспериментальные данные об изменении физико-механических свойств поликристаллических материалов при упругопластическом деформировании, связанных с эволюцией микроструктуры. Отмечается, что любая пластическая деформация, за исключением деформации по схеме всестороннего сжатия, сопровождается образованием кристаллографической текстуры - неоднородного распределения ориентации решеток зерен в представительном объеме, наличие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических решеток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела (Я.Д. Вишняков).

Вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает анизотропию свойств. Приведены примеры положительного (например, пресс-эффект при прессовании) и отрицательного (образование фестонов при

листовой штамповке) влияния текстуры на механические характеристики. Таким образом, актуальность построения модели текстурообразования подтверждается достаточно острой необходимостью её применения для исследования технологических процессов с целью улучшения свойств материала и предотвращения негативных эффектов.

Приведено краткое описание методов теоретического описания текстур, основанных па рассмотрении двух систем координат: фиксированной лабораторной (JICK) и кристаллографической (КСК), оси которой связываются с решеткой.

Глава 2 посвящена обзору теоретических работ по теме исследования. В п. 2.1 проводится анализ существующих подходов к построению моделей неупругого деформирования. В настоящий момент интенсивно развивается моделирование в рамках подхода с использованием внутренних переменных. Например, большинство так называемых физических теорий пластичности построено с использованием внутренних переменных, которые характеризуют состояние материала в текущий момент времени: размеры и форму зерен, накопленные сдвиги по различным системам скольжения, текущее критическое напряжение сдвига. Проводится формализация указанного подхода, рассмотрены преимущества и недостатки, отмечается перспективность данного подхода для построения конститутивных моделей, особенно в свете развития вычислительных технологий.

П. 2.2 посвящен обзору моделей неупругого деформирования, описывающих эволюцию структуры поликристаллических металлов. В первой части параграфа приведен обзор физических теорий пластичности. Плоскости залегания и ориентация векторов Бюргерса, вдоль которых осуществляется трансляционное движение (скольжение) краевых дислокаций известны, ими являются наиболее плотно упакованные плоскости и направления. Так, в ГЦК-металлах скольжение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях системы {111} по направлениям <1 Ю>. В качестве критерия активности сдвига (скольжения дислокаций) по системе скольжения используется закон Шмнда

г, = М*:<т = <, (1)

где ts - действующее в системе скольжения 5 касательное напряжение, М* =1/2(Ь^п' + пЪ5) - ориентационный тензор, n\ Ь' - единичные векторы нормали и направления скольжения (вдоль направления вектора Бюргерса) для

системы скольжения, <т - напряжение в рассматриваемом зерне, х]~ критическое напряжение сдвига в той же системе скольжения, в общем случае зависящее от накопленных сдвигов по всем системам скольжения.

Отмечается, что большинство моделей восходят к моделям типа Тейлора и Бишопа-Хилла (которые с точки зрения линейного программирования являются эквивалентными); отмечены их недостатки, наиболее существенными являются неединственность определения набора активных СС, предлагаемый принцип минимума сдвига не позволяет разрешить эту проблему, и неучет упругих деформаций, что не дает возможности определения остаточных напряжений.

Наиболее известной упругопластической моделью поликристаллического агрегата является модель Линя, которая принимается базовой для описания внутризеренного деформирования в настоящей работе и достаточно подробно описана в п.3.3.

Рассмотрены основные направления развития физических теорий пластичности: вязкопластические и упруговязкопластические модели (последние при низких гомологических температурах сводятся к упругопластическим моделям), модификации известных моделей включением описания эволюции дислокационных субструктур, использование моделей обобщенных континуумов (градиентные теории).

Завершает п. 2.2 обзор двухуровневых моделей, ориентированных на описание текстурообразования. Отмечается, что основная часть существующих моделей основана на гипотезе Фойгта (полная деформация отдельного зерна равна деформации представительного объема поликристалла), в частности - все модели типа Тейлора-Бишопа-Хилла; напряжения на макроуровне в этом случае определяется осреднением (по объему или статистически в ориентационном пространстве) напряжений в элементах-зернах.

Более точными являются так называемые самосогласованные и прямые модели, но их применение для решения реальных задач сдерживается значительными затратами машинного времени.

Большая часть исследователей, следуя пионерской работе Тейлора, определяет тензор спина решетки зерна как несимметричную часть тензора скоростей пластических сдвигов:

где у1 - скорости сдвигов. Согласно модели (2) зерно представляется заключенным в жесткую оболочку.

В ряде работ используется другой подход (M.F. Horstemeyer и др.): для описания кинематики используется мультипликативное разложение Ли градиента места, поворот решетки связывается с материальным поворотом, который определяется ортогональным тензором Re, сопровождающим упругую деформацию:

F = (Vr)T = Fc • Fp, Fe =RC Ue = Vе Rc, (3)

о

где F, Fc, Fp - полный, упругий и пластический градиенты деформации, V — оператор Гамильтона в отчетной конфигурации, г - радиус-вектор частицы в текущей конфигурации, U', Vе - симметричные правый и левый тензоры искажения.

Видно, что в обоих подходах никак не учитывается взаимодействие сосед-ешх зерен за счет несовместности движения дислокаций в них. Попытки рассмотрения как элемента выборки совокупностей двух или нескольких зерен предпринимались P.Van Houtte, однако и в этих моделях явного учета несовместности движения дислокаций в соседних зернах нет; предлагаемые модели ориентированы на описание процесса прокатки.

Третья глава посвящена построению конститутивной модели представительного объема ГЦК-поликристалла, которая является основной частью предлагаемой работы. В п. 3.1 приведена содержательная постановка задачи.

Структура двухуровневой модели и идеология применения её при решении краевых задач описаны в п. 3.2. Определяющие соотношения макроуровня представляет собой, по существу, (анизотропный) закон Гука в скоростной релаксационной форме

£'=C:(D-DP), (4)

где — независящая от системы отсчета производная тензора напряжений, С -тензор модулей упругости, D, Dp- тензор деформации скорости и его пластическая составляющая, индекс г означает коротационную производную. Пластическая составляющая тензора деформации скорости Dp и анизотропные упругие свойства С в каждый момент деформирования зависят от микроструктуры (а через нее - от истории нагружения), являясь явными внутренними переменными модели макроуровня. Предлагается алгоритм решения краевых задач с ис-

пользованием двухуровневой модели, отмечается возможность проведения параллельных вычислений.

Для определения 1)Р, С используется модель деформирования представительного объема ГЦК-поликристалла, которая излагается последовательно в п.3.3-3.5.

В п. 3.3 приводится описание модели Линя, проведен её анализ, отмечены преимущества по сравнению с моделями типа Тейлора-Бишопа-Хилла. Обобщение модели Линя на случай геометрической нелинейности осуществляется за счет введения коротациоиной производной, подвижная система координат связывается с поворотом решетки (КСК) зерна. Предлагается следующая схема (с позиции подвижного наблюдателя, связанного с КСК) определения неизвестных приращений сдвигов на шаге Ayj, ]~\,...,Ка по активным системам скольжения произвольного зерна:

-IX аур)=/ъ&ьу", ^=

Р-I р-1 р)

Р=1

где су7Н - известные компоненты тензора упругих характеристик ГЦК-кристалла, М* - известные компоненты ориентационных тензоров систем скольжения, а\к - компоненты тензора напряжений для рассматриваемого зерна на начало шага, с,у - компоненты тензора напряжений на конец шага, Аг^ск -

приращение деформаций (все введенные выше компоненты - в КСК), д£лскподписанное _ д; _ заданное согласно гипотезе Фойгта (скорость деформаций зерна совпадает со скоростью деформации представительного объема с! = Э) приращение деформаций (в ЛСК), Д/ - шаг по времени, Ой - компоненты тензора поворота, совмещающего КСК с ЛСК, на конец шага.

К системе (5) необходимо добавить уравнения для определения поворота на шаге (т.е. для определения Ой), однако интегрирование такой совместной

системы для нетривиальной модели поворота (когда Ой зависит от Дуу, у = 1 ,...,Ка) представляется затруднительным ввиду сложности уравнений для определения поворота на шаге. Предлагается итерационная процедура (подроб-10

но алгоритм расчета описывается в п.3.6), предполагающая выполнение в цикле следующих операций (до снижения разности между приращениями сдвигов на соседних итерациях до заданной величины):

1) решение (5) с текущим значением 0Л,

2) нахождение 0;А =0,А(Дуу) согласно модели поворота (п. 3.5).

В п. 3.4 предлагается способ учета механизма зернограничного скольжения (ЗГС), который играет существенную роль при развитых деформациях. Для модели поворотов решетки и учета ЗГС вводятся границы зерен, которые для простоты полагаются кусочно-плоскими; элементами статистической выборки становятся зерна с набором 26 нормалей к границам.

По текущему напряжению с для зерна т на каждой границе с единичной нормалью определяется касательная составляющая вектора напряжений т-Ч™ Х(Ч™ ■®)Х(1",5 определяется аналог вектора Бюргерса =т/||т||, соответствующий наиболее вероятному направлению проскальзывания. Т.о., для каждой границы можно определить ориентационный тензор для «системы скольжения». Пользуясь аналогом закона Шмида (1), «системы скольжения» ЗГС можно рассматривать в рамках модифицированной модели Линя так же, как системы скольжения ВДС. Можно заметить, что с применением данной гипотезы сдвиг на границе «переносится» на всё зерно, это можно назвать «кон-тинуализацией» сдвига по границам зерен. Однако, поскольку модель статистическая, такой подход, как представляется, пригоден для описания эффектов, возникающих за счет ЗГС, о чем свидетельствуют результаты, приведенные в п.4.2.

В п. 3.5, посвященном описанию ротационной моды пластичности (поворотов решеток зерен), предлагается модель поворота решетки, учитывающая несовместность движения дислокаций в соседних зернах. Согласно предлагаемой модели поворот решетки (эволюция ортогонального тензора, связывающего КСК и ЛСК) представляется суммой двух составляющих:

- поворота решетки зерна в предположении его изолированности, который определяется ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию (3),

- поворота только решетки зерна при сохранении конфигурации зерен в физическом пространстве, движущая сила этого поворота - несовместность движения дислокаций в соседних зернах.

При описании второй составляющей поворота для каждого зерна вводится еще одна внутренняя переменная - действующее на зерно моментное напряжение ц. Предполагается аддитивность скоростей моментов:

и

А = (6)

где цт - составляющая скорости моментиых напряжений в результате несовместности сдвига в данном зерне со сдвигами в соседнем т-м зерне, М - число соседних зерен. Эволюция вектора-момента т (индекс опущен), ассоциированного с тензором цт, определяется из анализа несовместности движения дислокаций на границе зерен следующим соотношением:

т=^х[ьрТ]-1Ч, (7)

где ц = X в - параметр модели, характеризующий реакцию системы на несовместность сдвигов, в - модуль сдвига, а - экспериментально определяемый (безразмерный) параметр, N - внешняя для анализируемого зерна нормаль к границе с соседним зерном (N=q'"), [ьрТ] - скачок пластической составляющей градиента скорости, определяемый согласно

[Ьрт] = ¿у'п'Ь' - , (8)

' у

где у', уЯт) ~ скорости сдвигов, Ь', ЬЯт) - единичные векторы вдоль векторов

Бюргерса, п', пу(т) - нормали для систем скольжения в исследуемом и соседнем зерне соответственно, К - число систем скольжения.

В соотношении (8) явно учитывается несовместность сдвигов и ориентация границы. Векторную часть (7)-(8), порождаемую операцией векторного умножения « N х » можно трактовать как вектор линии дислокации ориентационного несоответствия, залегающей в границе, т.е. скорость момента, действующего на зерно, направлена вдоль этой линии. Скалярные произведения » характеризуют ориентацию сдвига по СС по отношению к границе. Например, в случае, когда направление сдвига по СС перпендикулярно границе, соответствующая составляющая будет нулевой, что согласуется с физическим анализом.

Спин чУ, соответствующий рассматриваемой составляющей поворота решетки, определяется согласно соотношению:

№Ы = )^ПРИ М = ие и (9)

О в противном случае, где \\,</;) - спин решетки, ||ц|| = ,/ц: ц - интенсивность тензора моментных на-

пряжений, | с1х -1

• накопленный «пластическии» решеточныи

х=0

поворот, |.1с=цс(Ч') - текущее критическое моментное напряжение, определяемое экспериментально.

Таким образом, в п. 3.2-3.5 представлены концептуальная и математическая постановки задачи; завершает главу описание алгоритм численной реализации конститутивной модели (п. 3.6).

В четвертой главе приведены основные результаты, в качестве моделируемого материала принималась чистая медь.

В п. 4.1 для верификации предложенной модификации модели Линя рассматривается одноосное растяжение и сжатие монокристалла. Предложен соответствующий алгоритм, попутно предложена модель для мягкого нагружения с последовательной активацией систем скольжения.

Полученные для различных ориентировок оси растяжения (сжатия) относительно КСК монокристалла результаты согласуются с известными данными о действующих системах скольжения. Отмечено, что при изотропных законах упрочнения в случаях специальной ориентировки оси растяжения (когда активными являются две и более системы скольжения) проявляется проблема неединственности выбора активных систем скольжения; кроме того, система уравнений становится вырожденной. Если принимать за исходное положение теории критерий Шмида (1) как физический критерий движения дислокаций по системам скольжения, то все системы скольжения, для которых он выполнен, равноправны и, по существу, искусственное ограничение движения дислокаций по некоторым системам скольжения противоречит принятой физике процесса пластического деформирования. Физически обоснованным вариантом устранения указанного противоречия является предположение о равенстве скоростей сдвигов по всем одновременно активируемым системам скольжения (до выхода той или иной системы скольжения из числа активных). Предлагается соответствующая модификация модели Линя.

При использовании моделей поворота решетки (2), (3) для монокристаллов получаются результаты, согласующиеся с опытными данными: при растяжении ось растяжения, изначально близкая к направлению [001 ] монокристалла, стремится к направлению [001], в остальных начальных ориентировках - стремится

стереографическом треугольнике (обращенное движение) В п. 4.2 рассматривается осадка и стесненная осадка поликристалла. Предлагается алгоритм для обеспечения соответствующего нагружения на макроуровне. Полученные с использованием предложенной модели поворота решеток зерен (п. 3.5) текстуры находятся в хорошем соответствии с опытными данными1.

Рис.2. Прямые полюсные фигуры после стесненной осадки вдоль ОХъ и запрете деформаций вдоль оси ОХ | для направлений [111], [100], [110] (su = 1, проецирование вдоль ОА"3)

В п. 4.3 рассматривается применение модели для процесса равноканаль-ного углового прессования. Аналогично работам 1л, I. .1. Веуег1ет (и др.) реализуется жесткое нагружение поликристалла, полученные полюсные фигуры находятся в удовлетворительном соответствии с опытными данными.

' Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. -193(2004). -Pp. 5359-5383

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Для построения модели выбран и формализован подход к построению определяющих соотношений, основанный на учете предыстории за счет введения внутренних переменных и эволюционных уравнений для них.

2. Разработана структура двухуровневой модели деформирования поликристаллов, предложен алгоритм решения краевых задач с её помощью.

3. Проведен анализ существующих физических моделей пластичности поликристаллов, на основе которого в качестве базовой для модели зерна выбрана модель Линя. Последняя модифицирована для учета геометрической нелинейности, предложено решение проблемы неединственности определення активных систем скольжения в специальных случаях нагружения; предложена модель для мягкого нагружения с последовательной активацией систем скольжения. Разработаны алгоритмы для случая произвольного нагружения и поворотов решетки, реализована соответствующая программа.

4. Предложена модификация модели Линя за счет учета механизма зерногра-ничного скольжения, разработана программа реализации алгоритма.

5. Предложена модель описания эволюции ориентации решеток зерен, учитывающая взаимодействия соседних зерен за счет несовместности скольжения дислокаций в них, отмечаются ее возможности для описания фрагментации зерен. Разработан алгоритм для случая произвольного нагружения, реализована соответствующая программа.

6. Полученные результаты моделирования для монокристалла с использованием различных моделей поворота решетки удовлетворительно согласуются с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

7. Результаты моделирования (в т.ч. эволюция функции распределения ориентации решетки) для поликристалла при нагружениях, соответствующих осадке, стесненной осадке и равноканалыюму угловому прессованию соответствуют опытным данным.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Швейкин А.И. Конститутивная модель упругопластического деформирования металлов // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. - 2007. - № 8 (6). - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007. - С.42-53.

2. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. О физических теориях пластичности и их применении для описания эволюции микроструктуры// Современные проблемы термовязкопластичности: Труды II школы-семинара. - М.: МАМИ, 2007. -СЛ 28-147.

3. Трусов П.В., Швейкин А.И.. Конститутивная модель упругопластического деформирования поликристаллов с использованием внутренних переменных // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. В 3-х частях. — Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - Часть 3. С. 234-237.

4. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И.. Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического деформирования. Часть 1. Алгоритм// Вычислительная механика сплошных срсд. - 2008- Т. 1, № 3. - С. 15-24.

5. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И.. Конститутивные соотношения и их применение для описаиия эволюции микроструктуры// Физическая мезомеханика. - 2009. -Т.12. ->°3. -С.61-71.

6. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования полнкристалллических материалов//Механика композиционных материалов н конструкций. - 2009. -Т.15. -№3. - С.327-344.

Подписано в печать 18.11.2009. Формат 60 х 90/16. Набор компьютерный. Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз. Заказ № 2374/2009.

Издательство

Пермского государственного технического университета. Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, к. 113. Тел. (342)219-80-33.

Обозначения и сокращения

Введение

1. Большие пластические деформации поликристаллических материалов: изменение физико-механических свойств и методы описания эволюции структуры

2. Подходы и модели поликристаллических материалов, описывающие эволюцию структуры

2.1. Подход к построению определяющих соотношений с использованием внутренних переменных

2.2. Обзор моделей поликристаллических материалов, описывающих эволюцию структуры

3. Конститутивная модель представительного объема ГЦК-поликристалла

3.1. Содержательная постановка

3.2. Структура двухуровневой модели деформирования поликристаллов 50 3.3 Описание внутризеренного деформирования

3.4. Описание зернограничного скольжения

3.5. Описание ротационной моды пластичности

3.6. Алгоритм реализации модели мезоуровня

4. Результаты моделирования некоторых технологических процессов

4.1. Деформирование монокристалла

4.2. Осадка, стесненная осадка

4.3. Равноканальное угловое прессование 122 Заключение 125 Литература

СОКРАЩЕНИЯ

ВДС - внутризеренное дислокационное скольжение (по системам скольжения) ЗГС - зернограничное скольжение

ИТН - изображающая точка нагружения в пространстве напряжений КСК - кристаллографическая система координат

J1CK - лабораторная система координат (единая для всех конфигураций декартова ортогональная система координат)

МДТТ - механика деформируемого твердого тела

МСС - механика сплошной среды

ОС - определяющие соотношения

ПКА - поликристаллический агрегат

ПО - представительный объем

СК - система координат

СС - система скольжения

ФРО - функция распределения ориентаций (КСК зерен в представительном объеме)

ФТТ - физика твердого тела

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

• У - обозначение объективной производной

•(' )Р ~~ индексы, обозначающие упругую и пластическую составляющую

Х]Х2Х3 - оси ЛСК t - время (или его аналог) Е — единичный тензор

Обозначения величин мезоуровня К — общее число СС кристалла Ка - число активных СС Kz - число активных СС ЗГС М- число соседних зерен s - длина дуги траектории деформации (пластической деформации) Тс - критическое напряжение по СС ЗГС у* - пластический сдвиг по СС к е - средняя деформация еи - интенсивность деформации а0 - начальное критическое моментное напряжение дс - текущее критическое моментное напряжение тк - касательное напряжение в СС к хкс - критическое напряжение в СС к хк0 - начальное (сдвиговое) напряжение течения в СС к о - среднее напряжение аи - интенсивность напряжений

0 — температура т - индикатор активации СС ЗГС т

Ьк - единичный вектор по направлению вектора Бюргерса СС к пк - нормаль СС к qm - нормаль к границе с соседним зерном т d - тензор деформации скорости е -девиатор тензора деформации М* - ориентационный тензор СС к рт - ориентационный тензор СС ЗГС т (с соседним зерном т ) О - тензор поворота, совмещающий JICK с КСК s - девиатор тензора напряжений Коши w - спин решетки (тензор, описывающий скорость поворота КСК) Z - тензор, описывающий форму и размеры зерна с - тензор деформации ц - тензор моментных напряжений о - тензор напряжений Коши с - тензор (четвертого ранга) упругих свойств

Обозначения величин макроуровня N- число зерен представительного объема D - тензор деформации скорости S - девиатор тензора напряжений Коши в - тензор деформации £ - тензор напряжений Коши

С - тензор (четвертого ранга) упругих свойств

Процессы неупругого деформирования и свойства поликристаллических материалов на макроуровне, как показывают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, существенным образом определяются состоянием мезо- и микроструктуры материала. Наряду с зарубежными исследователями (Тейлор, Шмид, Хилл, Бишоп, Линь, Хоникомб и др.), существенный вклад в развитие исследований микроструктуры и построение соответствующих математических моделей внесли отечественные ученые: Р.З.Валиев, Я.Д.Вишняков, В.А.Лихачев, В.В.Рыбин, Т.Д.Шермергор, уральская школа механиков, основанная С.Д.Волковым (Е.А.Митюшов, Ю.В.Соколкин и др.), томская школа В.Е.Панина (П.В.Макаров, С.Г.Псахье, И.Ю.Смолин и др.) и другие.

Мезо- и микроструктура материала, в свою очередь, существенным образом трансформируются в процессе деформирования. С одной стороны, макро-нагружения (макродеформации) являются источником, движущей силой изменения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо- и микроструктуры является фактором, определяющим поведение материала на макроуровне. Таким образом, управляя мезо- и микроструктурой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне. Поэтому в настоящее время при разработке математических моделей технологических процессов, в нелинейной механике деформируемого твердого тела (МДТТ) одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов.

Так, известно, что практически любая пластическая деформация, за исключением деформации по схеме всестороннего сжатия, сопровождается образованием кристаллографической текстуры того или иного типа и той или иной интенсивности. Под кристаллографической текстурой понимается неоднородное распределение функции распределения ориентаций (ФРО) [9] решеток зерен в представительном объеме, наличие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических решеток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела. Вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает анизотропию свойств. Существуют примеры как положительного (например, пресс-эффект при прессовании), так и отрицательного (образование фестонов при листовой штамповке) влияния текстуры на механические характеристики. Таким образом, актуальность построения модели текстурообразования подтверждается достаточно острой необходимостью её применения для исследования технологических процессов с целью улучшения свойств материала и предотвращения негативных эффектов.

Имеются, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры: неявным или явным способом [35]. В первом случае в структуру определяющих соотношений (ОС) вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации), без использования соответствующих параметров, описывающих собственно эволюцию мезо- и микроструктуры [13, 14]. Как правило, при этом трудно выявить и обосновать физический смысл и механизмы деформирования; описываемые различными операторами модели материала. В последние десятилетия все большее признание находит второй подход — явное введение в структуру определяющих соотношений параметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными [37]. Необходимо заметить, что при этом история воздействий не отбрасывается - она содержится во внутренних переменных.

В контексте данного подхода в настоящее время упругопластическое деформирование представительного объема поликристалла описывают с использованием прямых [1, 72 и др.] или статистических [123, 131, 54, 55 и др.] моделей.

Прямые модели, основанные, как правило, на использовании метода конечных элементов, позволяют более точно находить распределение напряжений и деформаций в области, учитывать ближнее и дальнее взаимодействие зерен. Однако применение данного подхода ввиду чрезвычайно больших вычислительных затрат чаще всего ограничено модельным двумерным случаем.

Статистические модели в вычислительном плане более эффективны и активно применяются для моделирования упругопластического деформирования реальных материалов. В рамках этих моделей поликристалл рассматривается как совокупность различно ориентированных зерен-монокристаллов, воздействие на каждое зерно реализуется с использованием гипотезы Фойгта (для большинства моделей) или Рейсса [35], отклик представительного объема определяется тем или иным осреднением откликов отдельных зерен. Следует отметить, что до настоящего времени в рамках этих моделей рассматривается лишь один механизм пластического деформирования - внутризеренное скольжение краевых дислокаций (ВДС). Плоскости залегания и ориентация векторов Бюргерса, вдоль которых осуществляется трансляционное движение (скольжение) краевых дислокаций известны, ими являются наиболее плотно упакованные плоскости и направления. Так, в ГЦК-металлах скольжение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях системы {111} по направлениям <110>. В качестве критерия активности сдвига (скольжения дислокаций) по системе скольжения используется закон Шмида описываемое законом Шмида [35].

Большинство физических моделей основаны на теории Тейлора-Бишопа-Хилла [67, 123] описания ВДС, которой присущи некоторые существенные недостатки:

- вычислительные сложности, связанные с необходимостью решения оптимизационной задачи для определения приращений сдвигов согласно применяемому принципу минимума сдвигов,

- неединственность определения набора активных систем скольжения [131], которая не всегда разрешима использованием принципа минимума сдвигов,

- невозможность определения тензора напряжений по деформациям в силу наложения связи - несжимаемости (упругие деформации в модели не учитываются), невозможность определения остаточных напряжений.

При описании текстурообразования большая часть исследователей, также следуя пионерской работе Тейлора [123], определяет тензор спина решетки как несимметричную часть тензора скоростей пластических сдвигов. Согласно этой модели зерно представляется заключенным в жесткую оболочку.

В ряде работ используется другой подход ([85] и др.): для описания кинематики используется мультипликативное разложение Ли градиента места, поворот решетки связывается с материальным поворотом, который определяется ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию.

Видно, что в обоих подходах никак не учитывается взаимодействие соседних зерен за счет несовместности движения дислокаций в них. Попытки рассмотрения как элемента выборки совокупностей двух или нескольких зерен предпринимались P.Van Houtte, однако и в этих моделях явного учета несовместности движения дислокаций в соседних зернах нет; предлагаемые модели ориентированы на описание частного случая деформирования - процесса прокатки.

В то же время из физического анализа, основанного на экспериментальных данных [31], следует, что существенную роль в поворотах решетки играет несовместность скольжения дислокаций в соседних зернах. Действительно, в реальном поликристалле происходят весьма сложные процессы: при больших деформациях появляются субзерна, фрагменты, которые начинают разворачиваться, начиная от границ с соседними зернами - работает так называемая ротационная мода пластичности [31].

Таким образом, актуальным является построение статистических моделей, детально учитывающих физику процессов неупругого деформирования, в частности - описывающих взаимодействие зерен и другие (помимо ВДС) моды деформации.

Целью работы являлась разработка и реализация математической модели представительного объема однофазного поликристаллического ГЦК-металла, позволяющей описывать упругопластическое изотермическое деформирование, в том числе - эволюцию характеристик мезоструктуры: распределения ориен-таций решеток зерен, упрочнение по системам скольжения.

В качестве платформы модели мезоуровня использована физическая теория Линя [19], основанная также на гипотезе Фойгта, но, в отличие от моделей типа Тейлора-Бишопа-Хилла, учитывающая упругие деформации зерна, дающая возможность определения последовательности вовлечения в пластическое деформирование активных СС, что позволяет в значительной мере «смягчить» проблему неединственности определения набора активных СС.

При анализе модели Линя предложено решение проблемы вырождения разрешающих уравнений: когда изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) располагается на ребре или в вершине многогранника текучести, то сдвиги по активным СС принимаются равными, что соответствует физическим посылкам и опытным данным. Также предложено решение проблемы неединственности выбора активных СС при одновременной их активации (например, в случае, когда изображающая точка нагружения выходит на многогранник текучести в вершине): активными принимаются все СС, на которых выполнен критерий Шмида. Кроме того, учтена анизотропия материала зерен, осуществлен переход к геометрически нелинейным ОС для зерен, квазитвердое движение [28] связывается с поворотом решетки. Предложена модель ВДС для мягкого нагружения с последовательной активацией систем скольжения <

В работе предлагается способ учета зернограничного скольжения (ЗГС), который играет существенную роль при развитых деформациях. Для этого в предлагаемой модели элементом выборки принимается не просто зерно, как в существующих статистических моделях, а зерно с приписанным набором границ с соседними зернами, что позволяет выделить плоскость сдвига ЗГС, направления сдвига ЗГС определяется как направление максимальных касательных напряжений по границе.

Основное внимание в работе было уделено описанию поворотов решетки зерен при деформировании. Поворот решетки зерна представляется суммой двух составляющих:

- Поворота решетки, вызванного макродеформациями. В этом случае решетка зерна связывается с материальными отрезками, поворот описывается ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию.

- Поворота только решетки зерен, вызванного несовместностью движения дислокаций в соседних зернах. При описании этой составляющей для каждого зерна вводится еще одна (неявная) внутренняя переменная - действующее на зерно моментное напряжение, для которого предложено эволюционное уравнение на основе анализа несовместности движения дислокаций (сдвигов) по системам скольжения в соседних зернах, затем спин решетки связывается с мо-ментными напряжениями.

Для предложенной модели разработан алгоритм, для численной реализации разработана программа.

Полученные результаты моделирования для монокристалла с использованием различных моделей поворота решетки удовлетворительно согласуются с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

Результаты моделирования (в т.ч. эволюция функции распределения ори-ентаций решетки) для поликристалла при нагружениях, соответствующих осадке и стесненной осадке, соответствуют опытным данным, при рассмотрении процесса равноканального углового прессования тенденции текстурообразова-ния также находятся в соответствии с экспериментальными результатами.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка сокращений и обозначений, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 54 рисунка, библиографический список -138 наименований, изложена на 139 страницах.

Основные результаты и выводы диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Для построения модели выбран и формализован подход к построению определяющих соотношений, основанный на учете предыстории за счет введения внутренних переменных и эволюционных уравнений для них.

2. Разработана структура двухуровневой модели деформирования поликристаллов, предложен алгоритм решения краевых задач с её помощью, описана возможность использования при реализации параллельных вычислений.

3. Проведен анализ известных физических моделей пластичности поликристаллов, на основе которого в качестве базовой для модели зерна выбрана модель Линя. Последняя модифицирована для учета геометрической нелинейности, предложено решение проблемы неединственности определения активных систем скольжения в специальных случаях нагружения; предложена модель для мягкого нагружения с последовательной активацией систем скольжения. Разработаны алгоритмы для случая произвольного нагружения, различных видов законов упрочнения и поворотов решетки, реализована соответствующая программа.

4. Предложена модификация модели Линя за счет учета механизма зернограничного скольжения, разработана программа реализации алгоритма.

5. Предложена модель описания эволюции ориентаций решеток зерен, учитывающая взаимодействия соседних зерен за счет несовместности скольжения дислокаций в них, отмечаются ее возможности для описания фрагментации зерен. Разработан алгоритм для случая произвольного нагружения, реализована соответствующая программа. В качестве моделируемого материала выбрана чистая медь, проведена идентификация параметров модели.

6. Полученные результаты моделирования для монокристалла, в том числе с учетом поворота решетки, удовлетворительно согласуются с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

7. Результаты моделирования (в т.ч. эволюция функции распределения ориентаций решетки) для поликристалла при нагружениях, соответствующих осадке, стесненной осадке, равноканального углового прессования соответствуют опытным данным. Для каждого из этих процессов характерно образование ярко выраженной текстуры.

В соответствии с поставленной целью выполнены все этапы построения математической модели.

Заключение

Вследствие образования текстуры - неоднородного распределения ориентаций решеток зерен в представительном объеме - поликристаллический материал приобретает анизотропию свойств на макроуровне. Целью диссертационной работы была разработка и реализация математической модели представительного объема однофазного поликристаллического ГЦК-металла, позволяющей описывать упругопластическое изотермическое деформирование, в том числе - эволюцию характеристик мезоструктуры: распределения ориентаций решеток зерен, упрочнение по системам скольжения.

1.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне //Физическая мезомеханика. -2002. - T.5. - №3. - С.37-51.

2. Ашихмин В.Н., Трусов П.В., Швейкин А.И. Двухуровневая модель текстурообразования в стационарных процессах ОМД// Зимняя школа по механике сплошных сред (шестнадцатая). Пермь. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.-с. 37.

3. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. -Л.: Машиностроение. Ленинград, отд-е. 1980. - 247 с.

4. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4.1. Малые деформации (600 стр.); 4.2. Конечные деформации (432 стр.). М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит. 1984.

5. Вайнштейн А.А., Митюшов Е.А., Гальперина Б.А. Влияние рассеивания ориентировок зерен на упругие свойства аксиальных текстур с ГЦК и ОЦК решетками// ФММ.-1980.-Т.50, в.6.- С. 1339-1343.

6. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности: В 2-х ч. Уфа: Гилем. 1998. - Ч. 1. - 280 с.

7. Вассерман Г. Гревен И. Текстуры металлических материалов. М.: Металлургия, 1969. - 654 с.

8. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие/ Под. ред. П.В.Тру сова. М.: Логос, 2004. - 440 с.

9. Вишняков Я.Д. Теория образования текстур в металлах и сплавах/ Я.Д.Вишняков, А.А.Бабарэко, С.А.Владимиров, И.В.Эгиз М: Наука, 1979. -344 с.1

10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975. -542 с.

11. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. 1986.-318 с.

12. Зубчанинов В.Г.Механика сплошных деформируемых сред. Тверь: Изд-во ТГТУ, Чу До, 2000. - 703 стр.

13. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР. 1963. - 272 с.

14. Ильюшин А.А. Пластичность. 4.1. Упруго-пластические деформации. -М.: Логос. 2004.-388 с.

15. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. -М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001, 2003. - 704 с.

16. Кайбышев О.А., Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. М.: Металлургия, 1987. - 214 с.

17. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. -М.: Наука, 1977. 400 с.

18. Кудрявцев И.П. Текстуры в металлах и сплавах, М: Металлургия, 1965. - 292 с.

19. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности// Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып.7.- М.: Мир. 1976. -С.7-68.

20. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука. 1993. - 471 стр.

21. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне// Изв. РАН. МТТ.-1999.- №5.-С. 109-130.

22. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне// Физическая мезомеханика. -2003. Т.6. - №4. - С.111-124.

23. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования// Физическая мезомеханика. 2005.- Т.8.-№6 С.39-56.

24. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т./В.Е.Панин, В.Е.Егорушкин, П.В.Макаров и др. Новосибирск: Наука. Сибирская издат. фирма РАН. 1995. Т.1. 298 стр. Т.2. 320 стр.

25. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1978. 352 с.

26. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. М.: Наука. 1982. 112 с.

27. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука. 1986. - 232 с.

28. Полухин П.И. Сопротивление пластической деформации металлов и сплавов / П.И. Полухин, Г.Я. Гун, А.М.Галкин. М.: Металлургия, 1983 -352 с.

29. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1988. - 712 стр.

30. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. -М.: Металлургия. 1986. -224 стр.

31. Самарский А.А. Численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука, 1989. -432 с.

32. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Статистические модели деформирования и разрушения композитов // Механика композиционных материалов. -1984 №5. - С.844-849.

33. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. - 592 стр.

34. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория определяющих соотношений. Ч.Н. Теория пластичности. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та.2008. 243 с.

35. Трусов П.В. Конститутивные соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры/ П.В.Трусов, В.Н.Ашихмин, П.С.Волегов, А.И.Швейкин// Физическая мезомеханика. 2009. - Т. 12 - №3. - С.61-71.

36. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического деформирования. Часть 1. Алгоритм // Вычислительная механика сплошных сред.- 2008 Т.1, № 3 — С. 15-24.

37. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристалллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций 2009. - Т. 15 - №3. -С.327-344.

38. Трусов П.В., Швейкин А.И. Двухуровневая модель деформирования ГЦК-металлов// Тезисы докладов Всероссийской конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела». Пермь: НИСО УрО РАН, 2008.- С.101.

39. Трусов П.В., Швейкин А.И. Конститутивная модель упругопластического деформирования металлов // Тезисы докладов 16-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007. - С.94 -95.

40. Трусов П.В., Швейкин А.И. Конститутивная модель упругопластического деформирования ГЦК-металлов// Тезисы докладов V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение». -Екатеринбург: НИСО УрО РАН, 2008. С. 159.

41. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. М.: Мир.-1972.

42. Шарифуллина Э.Р., Швейкин А.И. Исследование поверхности текучести ГЦК-монокристалла// Тезисы докладов 18-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. - С. 109-110.

43. Швейкин А.И. Конститутивная модель упругопластического деформирования металлов // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. 2007. - № 8 (6). - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007. - С.42-53.

44. Швейкин А.И. Модель упругопластического деформирования ГЦК-металлов// Тезисы докладов 17-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2008. - С.80-81.

45. Швейкин А.И. Модель упругопластического деформирования ГЦК-металлов// Тезисы докладов 18-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. - С. 110-111.

46. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука. - 1977.-400с.

47. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. -193(2004). -Pp. 5359-5383.

48. Anand L., Kothari M. A computational procedure for rate-independent crystal plasticity// J. of the Mechanics and Physics of Solids. -1996 Vol.44. - No.4-Pp.525-558.

49. Arruffat-Massion R. Experiments and modelling of ECAE textures of f.c.c. polycrystals/ R. Arruffat-Massion, S. Suwas, L.S. Toth, W. Skrotzki, J.J. Fundenberger, A. Eberhardt // ICOTOM 14 Leuven. Belgium. -2005. - Pp. 839844.

50. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals// Advances in Applied Mechanics. 1983. - Vol.23. - Pp. 1-115.

51. Asaro R.J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals// Acta Metall. 1985. - Vol.33.- No.6 - Pp.923-953.

52. Ashby M.F. The deformation of plastically non-homogeneous materials// Phil. Mag. 1970. - Vol.21. - Pp.399^124.

53. Balasubramanian S., Anand L. Elasto-viscoplastic constitutive equations for poly crystalline fee materials at low homologous temperatures// J. Mech. and Phys. Solids. 2002. - Vol.50. - Pp. 101-126.

54. Barlat F. Plastic flow for non-monotonic loading conditions of an aluminum alloy sheet sample/ F.Barlat, Duarte J.M. Ferreira, Gracio J.J., A.B. Lopes, E.F.Rauch//Int. J. Plasticity.- 2003. Vol.19-Pp. 1215-1244.

55. Batra R.C., Zhu Z.G. Effect of loading direction and initial imperfections on the development of dynamic shear bands in a FCC single crystal// Acta Mechanica.- 1995.-Vol.113.-No.1-4.-Pp. 185-203.

56. Beausir B. Analysis of texture evolution in magnesium during equal channel angular extrusion / B.Beausir, S.Suwas, L.S.Toth, K.W.Neale, J.J.Fundenberger //Acta Materialia 56 (2008) - Pp.200-214.

57. Beyerlein I.J., Lebensohn R.A., Tome C.N. Modeling texture and microstructural evolution in the equal channel angular extrusion process// Materials Science and Engineering A345 (2003) -Pp.122-138.

58. Beyerlein I.J., Tome C.N. A dislocation-based constitutive law for pure Zr including temperature effects//Int. J. Plasticity. 2008. - Vol.24. -Pp. 867-895

59. Bilby В.A., Gardner L.R.T., Stroh A.N. Continuous distributions of dislocations and the theory of plasticity// In: Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech. Bruxelles, 1956. -Universiter de Bruxelles. 1957. - Vol. 8. - Pp.35-44.

60. Bishop, J., Hill, R., A theoretical derivation of the plastic properties of a polycrystalline center-faced metal. Philisophical Magazine.- 1951.-Vol. 42.- Pp. 414-427.

61. Bunge H.J. Texture analysis in material science. London: Butterworths. -1982.

62. Busso E.P., Cailletaud G. On the selection of active slip systems in crystal plasticity// Int. J. of Plasticity. 2005. -Vol. 21.-Pp. 2212-2231.

63. Cailletaud G., Diard O., Feyel F., Forest S. Computational crystal plasticity: from single crystal to homogenized polycrystal // Technische Mechanik. 2003. -Band 23. Heft 2-4. - Pp. 130-145. !

64. Clayton J.D., McDowell D.L. A multiscale multiplicative decomposition for elastoplasticity of polycrystals// Int. J. Plasticity- 2003. Vol.19 - Pp. 14011444. 1

65. Evers L.P., Parks D.M., Brekelmans W.A.M., Geers M.G.D. Crystal plasticity model with enhanced hardening by geometrically necessary dislocation accumulation// J. Mech. and Phys. Solids. 2002. - Vol.50. - Pp.2403-2424.

66. Fleck N.A., Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity// Adv. Appl. Mech. -1997. Vol.33. - Pp. 295-362.

67. Gurtin, M.E. On the plasticity of single crystals: free energy, microscopic forces, plastic strain gradients// J. Mech. Phys. Solids. 2000. - Vol. 48. - Pp. 989-1036.

68. Gurtin, M.E. A gradient theory of single-crystal viscoplasticity that accounts for geometrically necessary dislocations// J. Mech. Phys. Solids. 2002. - Vol. 50.-Pp. 5-32.

69. Gurtin, M.E. On a framework for small-deformation viscoplasticity: free energy, microscopic forces, strain gradients// Int. J. Plasticity. 2003. - Vol. 19 -Pp. 47-90.

70. Gurtin, M.E. A gradient theory of small-deformation isotropic plasticity that accounts for the Burgers vector and for dissipation due to plastic spin// J. Mech. Phys. Solids. 2004. - Vol. 52 - Pp. 2545-2568.

71. Gurtin, M.E. The Burgers vector and the flow of screw and edge dislocations in fmite-deformation single crystal plasticity// J. Mech. Phys. Solids. 2006. -Vol. 54.-Pp. 1882-1898.

72. Gurtin M.E., Anand L. A theory of strain-gradient plasticity for isotropic, plastically irrotational materials. Part I: Small deformations// J. Mech. Phys. Solids. 2005. - Vol. 53. - Pp. 1624-1649.

73. Gurtin M.E., Anand, L. A theory of strain-gradient plasticity for isotropic; plastically irrotational materials. Part II: Finite deformations// Int. J. Plasticity. -2005. Vol 21. - Pp. 2297-2318.

74. Habraken A.M. Modelling the Plastic Anisotropy of Metals//Arch. Comput.' Meth. Engng. 2004. -Vol. 11. - No. 1. - Pp. 3-96.

75. Hill R. Generalized constitutive relations for incremental deformation of metal crystals for multislip// J. Mech. Phys. Solids. 1966. - Vol. 14. - Pp.95-102.

76. Hill R, Rice J R. Constitutive analysis of elastic-plastic crystals at arbitrary strain//J. Mech. Phys. Solids. 1972. -Vol. 20.-Pp. 401-413.

77. Horstemeyer M.F., Potirniche G.P., Marin E.B. //Handbook of Materials Modeling: Springer, 2005. Printed in the Netherlands. Pp. 1133-1149.

78. Huang X. Grain orientation effect on microstructure in tensile strained cooper. //Scripta Materialia.-1998.-Vol. 38.-No. 11.- pp. 1697-1703.

79. Hutchinson, J.W. Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystalline materials// Proc.R. Soc. Lond. 1976. - 348 (A). - Pp. 101-127.

80. Kalidindi S.R., Anand L. Macroscopic shape change and evolution of crystallographic texture in pre-textured FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. -1994. Vol.42. - No.3. - Pp.459-490.

81. Kalidindi S.R., Bronkhorst C.A., Anand L. Crystallographic texture evolution in bulk deformation processing of FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. 1992. -Vol.40. -No.3. -Pp.537-569.

82. Kocks U.F. The relation between polycrystal deformation and single crystal deformation// Metal. Trans. -1970. -Vol.1. -No.5. Pp.1121-1143.

83. Kok S., Beaudoin A.J., Tortorelli D.A. A polycrystal plasticity model based on the mechanical threshold// Int. J. of Plasticity. 2002. - Vol.18. - Pp.715-741.

84. Kratochvil J., Tokuda M. Plastic response of polycrystalline metals subjected to complex deformation history// Trans. ASME. J. Engng. Mater. Technol. 1984. - Vol.106.-Pp.299-303.

85. Kroner E. Allgemeine kontinuumstheorie der versetzungen und eigenspannungen// Arch. Rational Mech. Anal. 1960. - B.4.- S.273-334.

86. Lee E.H., Liu D.T. Elastic-plastic theory with application to plane-wave analysis// J. Appl. Phys. 1967. - Vol. 38. - Pp. 19-27.

87. Lee E.H. Elasto-plastic deformation at finite strains.//Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1969.-Vol. 36-No. 1 - Pp. 1-6.

88. Leffers Т., Ray R.K. The brass-type texture and its deviation from the copper-type texture// Prog. Mater. Sci. 2008. - Vol. 17. - Pp.98-143.

89. Li S. Orientation stability in equal channel angular extrusion. Part I: Face-centered cubic and body-centered cubic materials// Acta Materialia. 56 (2008) -Pp. 1018-1030

90. Lin Т.Н. Analysis of elastic and plastic strains of a face centered cubic crystal//J. Mech. Phys. Solids. - 1957. - Vol.5. - No. 1. - Pp. 143-149. :

91. Ma A., Roters F., Raabe D. A dislocation density based constitutive model for crystal plasticity FEM including geometrically necessary dislocations// Acta Materialia. 2006. - Vol. 54 -Pp. 2169-2179.

92. Ma A., Roters F., Raabe D. On the consideration of interactions between dislocations and grain boundaries in crystal plasticity finite element modeling

93. Theory, experiments, and simulations// Acta Materialia. 2006. - Vol. 54 -Pp. 2181-2194.

94. Ma A., Roters F., Raabe D. A dislocation density based constitutive law for BCC materials in crystal plasticity FEM// Computational Materials Science. -2007.-Vol. 39. Pp. 91-95

95. Ma A., Roters F.A. A constitutive model for fee single crystals based on dislocation densities and its application to uniaxial compression of aluminium single crystals//Acta Materialia. 2004. - Vol. 52 - Pp. 3603-3612.

96. Masima M. und Sachs G.O. Mechanische Eigenschaften von Messingkristallen. HZ. Physik. 1928. -B.50. - S.161-186.

97. Mayeur J.R., McDowell D.L. A three-dimensional crystal plasticity model for duplex Ti-6A1-4V// Int. J. Plasticity. 2007. - Vol. 23. - Pp. 1457-1485.

98. McDowell D.L. Viscoplasticity of heterogeneous metallic materials//Mater. Sci. Eng. R. 2008. - Vol.62. - Pp. 67-123.

99. McDowell D.L. Simple experimentally motivated cyclic plasticity model// J. Eng. Mech.- 1987.-Vol. 113.-No.3.-Pp.378-397.

100. Miehe C. Multisurface thermoplasticity for single crystals at large strains in terms of Eulerian vector updates// Int. J. Solids and Struct. 1996. - Vol. 33. -No.20-22. - Pp.3103-3130.

101. Miehe C., Rosato D. Fast texture updates in fee polycrystal plasticity based on a linear active-set-estimate of the lattice spin// J. Mech. Phys -2007. Vol. 55. -Pp. 2687-2716.

102. Miyamoto, H., Sumikawa, M., Miyoshi, T. Interpretation of mechanical behavior of pure aluminum in terms of microstructures //In: The 1971 Conference on Mechanical Behavior of Materials. -1972. -Pp. 140-151.

103. Neale K. W. Use of Crystal Plasticity in Metal Forming Simulations// Int. J. Mech. Sci.- 1993. Vol.35(12).-Pp.1053-1063.

104. Nicola L., Van der Giessen E., Gurtin M. E. Effect of defect energy on strain-gradient predictions of confined single-crystal plasticity// J. Mech. Physics Solids'. 2005. - Vol. 53 - Pp. 1280-1294.

105. Nye J.F. Some geometrical relations in dislocated crystals// Acta Metall. -1953.-Vol.1.-Pp. 153-162.

106. Orowan E. Problems of plastic gliding// Proc. Phys. Soc. 1940. - Vol.62. -Pp. 8-22.

107. Ortiz M., Repetto E.A. Nonconvex energy minimization and dislocation structures in ductile single crystals// Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1999. - Vol. 49. - Pp.397^162.

108. Pan, J., Rice, J.R. Rate sensitivity of plastic flow and implications for yield-surface vertices// Int. J. Solids Struc. 1983. - Vol. 19. - Pp. 973-987.

109. Raabe D., Roters F. Using texture components in crystal plasticity finite element simulations// Int. J. Plasticity. 2004. - Vol.20. - Pp. 339-361.

110. Shu J. Y., Fleck N. A. Strain gradient crystal plasticity: size-dependent deformation of bicrystals// J. Mech. and Phys. Solids. 1999. - Vol. 47. - Pp; 297-324.

111. Svendsen B. Continuum thermodynamic models for crystal plasticity including the effects of geometrically-necessary dislocations//!. Mech. Phys. Solids. 2002. -Vol.50.-Pp.1297- 1329.

112. Taylor, G.I. Plastic strain in metals. Journal of the Inst. Metals. 1938. 6 Vol.2! Pp.307-324.

113. Tinga Т., Brekelmans W.A.M., Geers M.G.D. A strain-gradient crystal plasticity framework for single crystal nickel-based superalloys// Report National Aerospace Laboratory NLR-TP-2005-628. Amsterdam. - 2005. - 35 p.

114. Tokuda M., Kratochvil J. Prediction of subsequent yield surface by a simple mechanical model of polycrystal// Arch. Mech. 1984. - Vol.36. - No.5-6. -Pp.661-672.

115. Tokuda M.5 Kratochvil J., Ohashi Y. On mechanism of induced plastic anisotropy of polycrystalline metals// Bull. JSME. 1982. - Vol.25. - No.208. -Pp.1491-1497.

116. Tokuda M., Ohno N., Kratochvil J. Unified constitutive equations for inelastic behaviours of polycrystalline metals based on a semi-micro approach// Proc. Int. Conf. On Creep. Tokyo. -1986. - Pp.411-416.

117. Tokuda M., Kratochvil J., Ohno N. Inelastic behaviour of polycrystalline metals under complex loading condition// Int. J. of Plasticity. -1985. Vol.1. -Pp.141-150.

118. Toth L.S., Gilormini P., Jonas J.J. Effect of rate sensitivity on the stability of torsion textures // Acta metal. 1988. Vol. 36. P. 3077.

119. Van Houtte P. Calculation of the yield locus of textured polycrystals using the Taylor and the relaxed Taylor theory// Textures and Microstructures. 1987. -Vol.7.-Pp. 29-72.

120. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel model// Int. J. Plasticity. 2005. -V.21. - Pp. 589-624.

121. Van Houtte P., Mols K., Van Bael A., Aernoudt E. Application of yield loci calculated from texture data// Textures and Microstructures. 1989. - Vol.11. -Pp. 23-39.

122. Van Houtte P., Peeters B. Effect of deformation-induced intragranular microstructure on plastic anisotropy and deformation textures // Mater. Sci! Forum. 2002. - Pp. 408-412, 985-990.

123. Viatkina E. M., Brekelmans W. A. M., Geers M. G. D. Numerical analysis of strain path dependency in FCC metals// Comput Mech. 2008. - Vol.41. - Pp. 391^05.

124. Wagner F., Canova G., Van Houtte P., Molinari A. Comparison of simulated and experimental deformation textures for BCC metals// Textures and Microstructures.- 1991.-Vol.14-18.-Pp. 1135-1140.

125. Wang G. Orientation Evolution During Equal Angular Channel Extrusion of Copper Single Crystal/ G.Wang, S.D. Wu, Q.W. Jiang, Y.D. Wang, Y.P. Zong, C. Esling, L. Zu//ICOTOM 14. Leuven. Belgium. - 2005. - Pp. 815-820.

126. Weng G.J. The yield surface of single crystals at arbitrary strain// Acta Mechanica. 1980. - Vol.37. - No.3-4. - Pp.231-245.

127. Weng G.J. Dislocation theories of work hardening and yield surfaces of single crystals// Acta Mechanica. 1980. - Vol.37. - No.3-4. - Pp.217-230.