автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель и алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния разномодульной среды

Введение.

0.1. Актуальность. Цели работы.

0.2. Содержание работы.

Глава 1. Исследования материалов и некоторые модели разномодульных сред. 1.1 Экспериментальные исследования разномодульных материалов.

1.2. Модель Амбарцумяна-Хачатряна разномодульной среды.

1.3. Модель Джонса взвешенной матрицы податливостей.

1.4. Модель Шапиро поведения разномодульной среды.

1.5. Модель Толоконникова-Матченко разномодульной среды.

1.6. Модель Ломакина-Работнова изотропной разномодульной среды.

1.7. Одномерная модель колебаний разномодульных стержней.

1.8. Модель Мясникова изотропной разномодульной среды.

Глава 2. Определяющие соотношения модели Мясникова изотропно-упругой разномодульной среды. 2.1 Определяющие соотношения между деформациями и напряжениями.

2.2. Соотношения между инвариантами тензоров деформаций и напряжений.

2.3. Определение упругих параметров среды по значениям коэффициентов потенциала.

2.4. Определение коэффициентов потенциала по значениям упругих параметров среды.

2.5. Положительная определенность потенциала тензорно-линейный случай).

2.6. Положительная определенность потенциала в случае /3 ^ 0.

2.7. Напряжения при изменении температуры (уравнения термоупругости).

2.8. Явление дилатации разномодульной среды при сдвиговом напряженном состоянии.

Глава 3. Численное моделирование поведения разномодульной среды методом конечных элементов.

3.1. Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии разномодульной среды методом конечных элементов.

3.2. Двумерная задача о плоском деформированном состоянии.

3.3. Двумерная задача об осесимметричном напряженном состоянии.

3.4. Трехмерная задача о напряженном состоянии.

3.5. Итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений.

3.6. Решение линейной системы уравнений.

Глава 4. Результаты численных расчетов.

4.1. Одноосное растяжение и сжатие тонкостенных трубок из серого чугуна.

4.2. Параметрическая зависимость модуля Юнга и коэффициента Пуассона разномодульной среды от коэффициентов потенциала.

4.3. Упругий шар под действием однородного давления.

4.4. Упругая сферическая оболочка под действием внутреннего и наружного однородных давлений.

4.5. Упругий цилиндр под действием радиального и осевого однородных напряжений.

4.6. Бесконечная упругая цилиндрическая оболочка под действием внутреннего и наружного давлений.

4.7. Температурные деформации и напряжения в длинном цилиндре.

4.8. Явление дшатации при сдвиговом напряженном состоянии.

4.9. Численная оценка скорости сходимости итерационного процесса.

0.1. Актуальность. Цели работы.

Исследования упругих свойств многих материалов указывают на отличие в их поведении от линейного закона Гука при малых деформациях. Основными отличиями являются зависимость модулей упругости от напряженного состояния и их скачкообразное изменение при переходе от растяжения к сжатию. Таким образом, полученные в экспериментах значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона при растяжении Et, V, и при сжатии Ес, V, могут различаться. Это свойство, именуемое разномодульностью, в той или иной степени присуще практически всем материалам [3]. У различных материалов разномодульность проявляется в разной степени, у некоторых весьма существенно влияет на их поведение при нагружении.

Материалы, обладающие существенно различным сопротивлением растяжению и сжатию, часто встречаются в технических приложениях. К ним относятся многие естественные (грунты, горные породы, лед) и искусственные материалы (полимеры, асбоцемент, бетон, керамики, композиционные материалы и многие другие). В справочнике [31] содержатся сведения о некоторых разномодульных материалах. Здесь приводятся графические диаграммы нагружения для случаев одноосного растяжения и сжатия (при различных значениях гидростатического давления) для серого чугуна, графитов типа АРВ, МГ, полимерных материалов (фенопластов). С,А. Амбарцумян в [3] приводит обширный обзор экспериментальных исследований материалов, обладающих свойством разномодульности.

Разномодульность установлена для многочисленных сплавов: чугуна, бронзы и стали [3,32]. У стали разномодульность проявляется незначительно, различие в значениях модуля Юнга при растяжении и сжатии не более 3-5%, у чугуна может достигать 30% и более.

Свойством разномодульности обладают некоторые конструкционные материалы, в частности армированные и неармированные полимеры. Установлена существенная разномодульность капрона и фторопласта, а также изотропного неармированного полистирола (оргстекло) [3].

Композиционные материалы, армированные волокнами или зернами, как правило, существенно анизотропны и обладают свойством разномодульности. Этим свойством обладают тканевые стеклопластики, некоторые боропластики. Исключительно высокую степень разномодульности проявляют хаотически армированные стекловолокном полиамиды [3]. P.M. Джонс приводит результаты исследований конструкционных графитов, у которых свойство разномодульности выражено весьма значительно [89].

Композиционные материалы нашли широкое применение в авиационном, автомобильном и строительном производствах. Графитовые композиты используются при изготовлении регулирующих стержней в атомных реакторах. Обладание достоверной картиной напряженного состояния этих материалов помогает предотвратить возможные аварийные ситуации, когда выход из строя регулирующих стержней будет приводить к остановкам атомных электростанций [89].

Существует классический подход в механике композиционных материалов [29,86].

Вводятся в рассмотрение осредненные по объему значения напряжений (О",,) и деформаций (£ ). Определяются эффективные жесткости линейно-упругого тела в законе

Однако при этом не учитывается собственно свойство разномодульности. Модель разномодульной анизотропной среды предложена Е.В. Ломакиным [35-38].

Сильно выраженным свойством разномодульности обладает такой распространенный строительный материал, как бетон. Для некоторых видов мелкозернистого бетона модуль Юнга при растяжении в два-три раза меньше, чем при сжатии [3]. Столь существенные различия в значениях параметров, очевидно, будут приводить к значительным расхождениям в результатах расчетов деформаций для бетона без учета его свойства разномодульности. Получение точной картины напряженно-деформированного состояния бетона чрезвычайно важно при расчетах строительных сооружений.

Свойство разномодульности также характерно для грунтов и горных пород. Для различного типа гранитов модуль Юнга при сжатии превосходит модуль Юнга при растяжении до 1,5 раз, а для осадочных пород (известняки, песчаники и др.) - до 4 раз [69]. Исследования зависимости между давлением в граните Вестерли и относительным изменением его объема показывают существенное расхождение с линейным законом Гука [95]. Линейно-упругая модель среды не учитывает явления дилатации грунтов при сдвиговом напряженном состоянии, которое наблюдается в экспериментах [59]. Объемное расширение может происходить в условиях сдвига, а также под действием сжимающих напряжений, так, что среднее напряжение и объемная деформация могут иметь различные знаки [39]. Явление дилатации во многих случаях служит признаком перехода хрупкого материала к сильному увеличению нарушенности, оно играет, как считают, важную роль в возникновении землетрясений [19].

В расчетах напряженного состояния грунтов, как правило, свойством разномодульности пренебрегают и рассматривают обыкновенную линейно-упругую модель сплошной среды, что может приводить к принципиальным расхождениям с экспериментальными данными. При строительстве подземных сооружений, укреплении стенок подземных выработок обнаруживается существенное расхождение в поведении грунтов с расчетными оценками при проектировании. В некоторых случаях, когда расчеты на прочность предсказывали разрушение, подземные галереи не имели никаких следов разрушений. Напротив, во многих случаях, когда по первоначальному проекту усиление и облицовка стенок не предусматривались, обнаруживались признаки больших деформаций и опасность разрушений [55].

В классическом подходе к решению этой и сопутствующих проблем обычно принимается, что горная порода ведет себя как линейно-упругий материал, разрушение ее прогнозируется на основе оценки напряжений на стенке скважины, рассчитываемых в соответствии с линейной теорией упругости. Максимальная прочность породы измеряется в лабораторных условиях при испытании на сжатие. В процессе детальных исследований поведения модельных туннелей в пластинах угля, подвергаемых воздействию двухосных нагрузок, установлено, что с помощью теории линейной упругости невозможно надежно прогнозировать поведение туннеля в условиях близких к разрушению пород [71]. Необходимость осуществления непредусмотренных при проектировании мер по укреплению стенок туннелей приводит к удорожанию работ и уменьшению полезного диаметра подземных сооружений.

При бурении нефтяных и сверхглубоких скважин с научными целями вопросы прочности являются жизненно важными и иногда являются условием продолжения работ [55]. Проблемы, связанные с прочностью стенок скважин, могут приводить к заклиниванию и поломкам буровой колонны, операциям их извлечения, потери части или всей скважины [17]. Проведение любых исправительных мероприятий приводит к снижению экономических показателей и даже безопасности б}ровых работ. Следовательно при оценке напряженного состояния грунтов вблизи скважин невозможно игнорировать особенности механического 5 поведения фунтов.

В [71] предложена инженерная методика оценки напряженного состояния фунтов около скважин. Здесь предполагается, что модуль упругости является функцией давления обжима (радиального напряжения) Е = Е(<Т)Г ). Авторы утверждают, что при при анализе устойчивости ствола скважины не следует пренебрегать даже самой слабой зависимостью параметров упругости от давления обжима. При этом предлагаются различного вида, зависимости для модуля упругости, но без необходимого обоснования. Критерием пригодности методики является совпадение результатов расчетов с опытнами измерениями. Данная инженерная методика основана на решении осесимметричной задачи и применима только к исследованиям вертикальных скважин. Для наклонных скважин с повышенным зенитным углом проблема устойчивости ствола стоит особенно остро. Здесь картина напряженного состояния значительно сложнее. С увеличением угла отклонения ствола скважины от вертикали концентрация напряжений на стенке ствола скважины возрастает в одном направлении и снижается в другом, перпендикулярном первому [18]. Это подтверждает необходимость разработки универсальной методики при решении такой задачи.

А. Гено в [17] указывает, что для решения этих задач применялась также упругопластическая модель. Однако автор считает, что данная модель пригодна только для моделирования поведения породы a posteriori в период после разрушения, напротив, никогда не позволяет предвидеть разрушение стенок скважины, а часто даже вводит в заблуждение.

Таким образом, использование при строительстве сооружений разномодульных материалов, широкое внедрение композитных материалов, проблемы, возникающие при бурении скважин и строительстве подземных хранилищ делают актуальной задачу разработки адекватной модели поведения разномодульных материалов, а также прфаммного комплекса для численного решения подобных задач.

Были предложены различные механические модели разномодульных сред: модели изотропной упругой разномодульной среды [2,42,52,77,84], модели анизотропной разномодульной среды для исследования поведения композитных материалов [36-38], модели упруго-пластической разномодульной среды [12,25,26,34,54,64].

Данная работа основана на модели В.П. Мясникова. Модель изотропно-упругой разномодульной среды была предложена в работах В.П. Мясникова и соавторов [45,58]. В этой модели потенциал разномодульной среды зависит от трех инвариантов тензора деформаций, в его определение входит до пяти коэффициентов. Благодаря этому возможен выбор таких коэффициентов потенциала, чтобы точным образом моделировались параметры среды

Et,vt,Ec,vc, модуль сдвига. G, полученные из экспериментов. Модель разномодульной среды [58] учитывает явление дилатации при сдвиговых напряжениях, при этом может иметь место объемная деформация при сдвиговых напряжениях, а также могут различаться знаки у средних значений деформаций и напряжений.

Зависимости напряжений от деформаций в модели В.П. Мясникова получены в общем виде, таким образом не предполагаются заранее известными главные направления деформаций и напряжений. Это позволяет решать задачи с произвольной геометрией, а также использовать существующие подходы в применении численных методов для этой модели разномодульной среды [20,76].

Целью данной работы является разработка математической модели, алгоритма и профаммного комплекса для расчета напряженно-деформированного состояния среды на основе предложенной модели.

Ниже перечислены основные задачи, которые необходимо решить в процессе разработки алгоритма и профаммного комплекса.

Необходимо, исходя из общих соотношений работы [58], определить связь между упругими параметрами разномодульной среды (при растяжении, при сжатии и при деформации сдвига), которые получены из экспериментов, и коэффициентами упругого потенциала. Это требуется для проведения численных расчетов и сравнения их с результатами экспериментов.

Необходимо, используя общие соотношения из [58], получить связь между инвариантами тензора деформаций и тензора напряжений. Это требуется для анализа поведения разномодульной среды и качественных отличий от линейно-упругой среды.

Необходимо определить область допустимых значений коэффициентов, при которых сохраняется положительная определенность потенциала и, следовательно, допускается применение данной модели.

Необходимо сформулировать и решить задачу температурных напряжений в разномодульной среде.

Необходимо сформулировать и определить все требуемые соотношения для численного решения задачи методом конечных элементов, найти форму матрицы жесткости системы уравнений, найти форму матрицы якобиана для решения системы нелинейных уравнений для случаев двумерных и трехмерных задач.

Необходимо, на основе численных расчетов, выявить качественные возможности данной модели и ее принципиальные отличичия от линейно-упругой модели Гука. Особый интерес представляет численное исследование явления дилатации при сдвиговом напряженном состоянии разномодульной среды. Используя только соотношения линейно-упругой среды данное явление невозможно моделировать, однако оно наблюдается при деформациях горных пород [59]. Соотношения разномодульной среды В.П. Мясникова позволяют моделировать и численно исследовать это явление при малых деформациях. Представляют интерес экспериментальные исследования цилиндрических образцов гранита Вестерли с помощью трехосного прибора. Эти опыты демонстрируют существенное отличие в поведении гранита от законов линейно-упругого тела [95]. Численное моделирование этих опытов показывает качественные отличия и возможности модели разномодульной среды, демонстрирует применимость модели В.П. Мясникова к исследованию поведения горных пород.

Необходимо получить аналитические решения для простейших модельных задач или привести их к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Сравнение результатов численннош решения с аналитическим или численным решением задачи иным, известным методом позволит провести верификацию программного комплекса.

Все перечисленные вопросы рассматриваются в данной диссертационной работе.

0.2. Содержание работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

Основные результаты опубликованы в работах [13-16].

Заключение.

В многочисленных работах указывается на существование природных и исскуственных материалов, поведение которых при нагружении существенным образом отклоняется от линейно-упругого закона Гука. С такими явлениями приходится сталкиваться при строительстве зданий (бетон), при бурении скважин, строительстве подземных сооружений (грунты, горные породы). Применение линейно-упругой модели не позволяет точным образом предсказать реакцию подземного сооружения или скважины на нагружение. Проблема не решается при использовании упруго-пластической модели [54]. Это все подтверждает необходимость разработки разномодульной упругой модели, качественно воспроизводящей поведение таких материалов.

В работах [45,56,58] В.П. Мясниковым и соавторами разработана модель изотропно-упругой разномодульной среды, предложены основные соотношения между деформациями и напряжениями.

В данной диссертационной работе, исходя из основных соотношений [58], определены соотношения между упругими параметрам-1 разномодульнош материала (при растяжении, при сжатии и при деформации сдвига), полученными из экспериментов, и коэффициентами потенциала. Определены необходимые для решения задач соотношения между инвариантами тензоров деформаций и напряжений.

Определены допустимые значения коэффициентов, при которых сохраняется положительная определенность потенциала.

Сформулирована и решена задача температурных напряжений в разномодульной материале.

Качественно исследовано явление дияатации в разномодульной среде при сдвиговом напряженном состоянии.

В данной работе представлена математическая модель расчета напряженно-деформированного состояния сплошной среды, основанная на этой модели. Также разработан программный комплекс, который позволяет решать задачи о напряженно-деформированном состоянии разномодульной сплошной среды для тел с достаточно сложной геометрией, с различными граничными условиями. Предполагаются двумерные задачи для случаев плоской деформации, осесимметричной геометрии, также трехмерные задачи. Программный комплекс разработан на основе метода конечных элементов. Для этого определена матрица жесткости системы уравнений. Для решения нелинейной системы уравнений методом Ньютона определена матрица Якоби системы.

С помощью данного программного комплекса проведены расчеты для некоторых модельных задач. Эти задачи показывают качественные возможности модели разномодульной среды В.П. Мясникова, отличия от линейно-упругой модели. Расчеты для цилиндрических образцов из гранита Вестерли показывают качественное совпадение с результатами экспериментов [95]. Расчеты для цилиндрических оболочек показывают хорошое совпадение с результатами расчетов по специализированной инженерной методике [71 ], разработанной для расчета состояния грунта около вертикальной скважины.

Рассмотрены модельные задачи, имеющие аналитическое решение. Получено хорошое совпадение аналитического и численного решений, что подтверждает работоспособность пргораммного комплекса.

Все расчеты показывают возможность применения модели и программного комплекса для исследования напряженно-деформированного состояния разномодульных сред.

1. Амбарцумян С.А. Теория симметрично нагруженных, слабомоментных оболочек вращения,изготовленных из разномодулъных материалов. /./ Инж. ж. МТТ. 1967, №6. С.33-46.

2. Амбарцумян С.А. Основные уравнения и соотношения разномодульной теории упругостианизотропного тела. // Изв. АН СССР. МТТ. 1969, №3. С.51-61.

3. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982.

4. Амбарцумян С.А., Хачатрян A.A. Основные уравнения теории упругости для материалов,разносопротивляющихся растяжению и сжатию. /7 Инж. ж. МТТ. 1966, №2. С.44-53.

5. Амбарцумян С.А., Хачатрян A.A. К разномодульной теории упругости. И Инж. ж. МТТ.1966, №6. С.64-67.

6. Белякова Т.А., Ломакин Е.В. Трещина нормального разрыва в упругой среде сизменяющимися свойствами в условиях плоской деформации. /У Изв. РАН. МТТ. 1999, №3. С,97-105.

7. Белякова Т.А., Ломакин Е.В. Трещина в поле сдвига в упругой среде с изменяющимисясвойствами при плоской деформации. //Изв. РАН. МТТ. 2000, №2. С. 142-152.

8. Бероичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.

9. Бероичевский В.Л. Пространственное осреднение периодических структур. // ДАН СССР.1975. Т.222, №3. С.565-567.

10. Бетонные и железобетонные конструкции. СНиП 2.(33.01-84. ГК СССР по деламстроительства. М. 1985.

11. Бригадиров Г.В., Матченко U.M. Вариант построения основных соотношений разномодульной теории упругости. /7 Изв. АН СССР. МТТ. 1971, №5. С.109-111.

12. Быков Д.Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейнойсреды. /7 Инж. ж. МТТ. 1966, №4. С.58-64.

13. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент АХ., Резник A.A. Математическоемоделирование напряженно-деформированного состояния горных пород на основе разномодульной модели сплошной среды. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1997, №112.

14. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент АХ Применение разномодульноймодели сплошной среды к анализу поведения горных пород под действием больших напряжений. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1998, №50.

15. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент А.Х. Анализ напряженнодеформированного состояния горных пород на основе разномодульной модели сплошной среды. //Математическое моделирование. 1999. Т. 11, №1. С.39-44.

16. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент АХ Применение разномодульноймодели сплошной среды к анализу поведения горных пород под действием больших напряжений. //Изв. РАН. МТТ. 2000, №2. С,86-92.

17. Гено А. Напряжения и разрушения в стенках нефтяных скважин. В кн. Механика горныхпород применительно к проблемам разведки и добычи нефти. М.: Мир, 1994. С. 73-87.

18. Гено А. Проблема неустойчивости ствола скважины на больших глубинах. В кн. Механикагорных пород применительно к проблемам разведки и добычи нефти. М.: Мир, 1994. С. 97-107.

19. Дыскин A.B., Салганик Р.Л. Модель дилатансии хрупких материалов с трещинами присжатии. /7 Изв. АН СССР. МТТ. 1987, №6. С. 169-178.

20. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

21. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.

22. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978.

23. Ковароакова А.Ю., Ломакин Е.В. Пластическое течение при изгибе полос из материала,чувствительного к виду напряженного состояния. /7 Изв. РАН. MIT. 1994, №5. С. 102112.

24. Ковардакова А.Ю. Ломакин Е.В. Пластический изгиб полос из материала, свойствакоторого зависят от вида напряженного состояния. /7 Изв. РАН. МТТ. 1995, №5. С. 109115.

25. Коврижнъгх A.M. Пластическое деформирование упрочняющихся материалов при сложномнагружении. /7 Изв. АН СССР. МТТ. 1986, №4. С, 140-146.

26. Коврижных A.M. К теории пластичности, учитывающей вид напряженного состояния присложном нагружении. /7 Изв. АН СССР. МТТ. 1987, №6. С.98-106.

27. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978.

28. Косте Ж., Самглера Г. Механика фунтов. М.: Стройиздат, 1981.

29. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

31. Лебедев A.A., Ковальчук Б.И., Гигиняк Ф.Ф., Лалшшевский Б.П. Механические свойстваконструкционных материалов при сложном напряженном состоянии. Справочник. Киев: Наук, думка, 1983.

32. Леонов М.Я., Паняев В.А., Русинко К.Н. Зависимость между деформациями инапряжениями для полухрупких тел. // Инж. ж. МТТ. 1967, №6. С.26-32.

33. Ломакин Е.В. О единственности решения задач теории упругости для изотропногоразномодульного тела. //Изв. АН СССР. МТТ. 1979, №2. С.42-45.

34. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит отвида напряженного состояния. //Изв. АН СССР. МТТ. 1980, №4. С,92-99.

35. Ломакин Е.В. Разномодульность композитных материалов. /7 Механика композит.материалов. 1981, №1. С. 23-29.

36. Ломакин Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационныехарактеристики которого зависят от вида напряженного состояния. 7/ Изв. АН СССР. МТТ. 1983, №3. С.63-69.

37. Ломакин Е.В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материаловот вида напряженного состояния. Ч. 1. Экспериментальные зависимости и определяющие соотношения. /7 Механика композит, материалов. 1988, №1. С.3-9.

38. Ломакин Е.В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материаловот вида напряженного состояния. 4.2. Плоская деформация. // Механика композит, материалов. 1988, №2. С.247-253.

39. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения деформационной теории для дтшатирующихсред. /7 Изв. АН СССР. МТТ. 1991, №6. С.66-75.

40. Ломакин Е.В. Деформирование дилатирующей среды вблизи вершины трещины вусловиях плоского напряженного состояния. /7 Изв.РАН. МТТ. 1996, №5. С.99-109.

41. Ломакин Е.В. Пластическое течение дилатирующей среды в условиях плоскойдеформации. Изв.РАН. МТТ. 2000, №6. С.58-68.

42. Ломакин Е.В., Работное ЮЛ. Соотношения теории упругости для изотропногоразномодульного тела. /7 Изв. АН СССР. МТТ. 1978, №6. С.29-34.

43. Ляховский В.А. Эффективная вязкость среды с микронарушениями. /У Изв. АН СССР.

44. Физика земли. 1988, №4. C.94-9S.

45. Ляховский В.А. Применение разномодульной модели к анализу напряженно-деформированного состояния горных пород. /7 Изв. АН СССР. Физика земли. 1990, №2. С, 89-94.

46. Ляховский В.А., Мясников В. П. О поведении упругой среды с микронарушениями. /7 Изв.

47. АН СССР. Физика земли. 1984, №10. С.71-75.

48. Ляховский В.А., Мясников В.П. Поведение вязкоупругой среды с микронарушениями прирастяжении и сдвиге. // Изв. АН СССР. Физика земли. 1985, №4. С.28-35.

49. Ляховский В.А., Мясников В.П. Разномодульность, анизотропия и отражающие границы. /У

50. Изв. АН СССР. Физика земли. 1986, №11. С.69-73.

51. Маслов В. П., Мосолов П.П. Колебания разномодульных стержней. // УМН. 1981. Т.36, вып.3 (219). С.240-241.

52. Маслов В.П., Мосолов П.П. Общая теория решений уравнения движения разномодульнойупругой среды. I1V1M. 1985. Т.49, вып.З. С\419-437.

53. Маслов В.П., Мясников В.П., Данилов В.Г. Математическое моделирование аварийногоблока Чернобыльской АЭС. М.: Наука, 1987.

54. Маслянкин В.К, Мухина ММ., Резник A.A. К решению системы линейных уравнений сразреженной матрицей итерационными методами. /У Математическое моделирование. 1992. Т.4, №5. С.100-108.

55. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями вразномодульных изотропных средах. /7 Инж. ж. МТТ. 1968, №6. С.108-110.

56. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трегцев A.A. Определяющие соотношения изотропныхразносопротивляющихся сред. Квазилинейные соотношения. /7 Изв. РАН. МТТ. 1995, №1. С. 73-78.

57. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трегцев A.A. Определяющие соотношения изотропныхразносопротивляющихся сред.Ч. 2. Нелинейные соотношения. /7 Изв. РАН. МТТ. 1999, №1. С, 87-95.

58. Мори В. Механизмы разрушения в стенках скважин, подземных сооружений и выработок.

59. В кн. Механика горных пород применительно к проблемам разведки и добычи нефти. М.: Мир, 1994. С, 361-411.

60. Мясников В.П., Ляховский В.А., Подладчиков Ю.Ю. Нелокальная модель разномодульноговязкоупругого тела. //ДАН СССР. 1990. Т.312, №2. С,302-305.

61. Мясников В.П., Олейников AM. Деформационная модель идеально сыпучей зернистойсреды. /У ДАН СССР. 1991. Т.316, №3. С.565-568.

62. Мясников В.П., Олейников АЛ. Основные общие соотношения модели изотропно-упругойразносопротивляющейся среды. /У ДАН СССР. 1992. Т.322, №1. С.57-60.

63. Николаевский В.Н. Граница Мохоровичича как предельная глубина хрупко-дилатансионного состояния горных пород. . /У ДАН СССР. 1979. Т.249, №4. С.817-821.

64. НоеацкийВ. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

65. ОденДж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.

66. Олейников AM. О модели разномодульной среды с ограничениями. /У ДАН РАН. 1994.1. Т.334, №3. С.314-316.

67. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравненийсо многими неизвестными. М.: Мир, 1976.

68. Панферов В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для твердых телс разными свойствами на сжатие, растяжение и кручение. /У ДАН СССР. 1968. Т. 180, №1. С. 41-44

69. Партон В. 3., Перлин ПЛ. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981.

70. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.; Мир, 1988.

71. Работное ЮМ. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1988.

72. Ржевский В.В. Физико-технические параметры горных пород. М.; Наука, 1975.

73. Ржевский В.В%Новик Г.Я. Основы физики горных пород. 4-ое изд. М.: Недра. 1984.

74. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

75. Саркисян М.С. К теории упругости изотропных тел, материал которых по-разномусопротивляется растяжению и сжатию. /'/'Изв. АН СССР. МТТ. 1971, №5. С.99-108.

76. Саркисян М.С. О соотношениях теории упругости изотропных тел, материал которых поразному сопротивляется растяжению и сжатию. /7 Изв. АН СССР. МТТ. 1987, №5. С. 8794.

77. Саркисян М.С. Упруго-пластическое равновесие полого шара, материал которых поразному сопротивляется растяжению и сжатию. /7 Изв. АН СССР. МТТ. 1988, №3. 0.111115.

78. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.2. М.: Наука, 1976.

79. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

80. Туровцев Г.В. О построении определяющих уравнений для изотропных сред сусложненными свойствами. /7 Динамические задачи сплошной среды. Новосибирск: Инт гидродинамики СО АН СССР. 1981. Вып. 53. С, 132-143.

81. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. М.: изд-во МФТИ, 1994.

82. Физические величины. Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1991.

83. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.:1. Физматпзз, 1962.

84. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., ПолиаГ. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

85. Хачатрян А.А. О продольных колебаниях призматических стержней, изготовленных изразномодульного материала. /У Инж. ж. МТТ. 1967, №5. С.140-145. . Хейгеман Л., Янг. Д. Прикладные итерационные методы. М. : Мир, 1986.

86. Цвелодуб И.Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов. /7

87. Динамические задачи сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. J977. Вып. 32. С. 123-131.

88. Шапиро Г.С. О деформациях тел, обладающих различным сопротивлением растяжению исжатию. /7 Инж. ж. МТТ. 1966, №2. С. 123-125.

89. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977.

90. Jones R.M. Buckling of cylindrical shells with different moduli in tension and compression. /7

91. AIAA Journal. 1971. Vol. 9, №1. P.53-61.

92. Jones KM. Buckling of stiffened raultilayered cylindrical shells with different orthotropic moduliintension and compression. //AIAA Journal. 1971. Vol. 9, №5. P.917-923.

93. Jones R.M. Stress-strain relations for materials with different moduli in tension and compression.

94. AIAA Journal. 1977. Vol. 15, №1. P. 16-23. (Рус. перев.: /7 Ракетная техника и космонавтика. 1977. Т. 15, №1. С. 16-25.)

95. Jones R.M. A nonsymmetric compliance matrix approach to nonlinear multimodulus orthtropicmaterials. /7 AIAA Journal. 1977. Vol. 15, №10. P.1436-1443.

96. Jones R.M. Morgan H.S. Analysis of nonlinear stress-strain behavior of fiber-reinforcedcomposite materials. /7 AIAA Journal. 1977. Vol. 15, №12. P. 1669-1676.

97. Jones R.M., Nelson D.A.R. Jr. Material models for nonlinear deformation of graphite. // AIAA

98. Journal 1976. Vol. 14, №6. P.709-717. (Рус. перев.: .// Ракетная техника и космонавтика. 1976. Т. 14, №6. С,7-18.)

99. Jones R.M., Nelson D.A.R. Jr. Theoretical-experimental correlation of material models fornonlinear deformation of graphite. //AIAA Journal. 1976. Vol. 14, №10. P. 1427-1435.

100. Lempriere B.M. Poisson's ratio in orthotropic materials. /7 AALA Journal. 1968. Vol. 6, №11.1. P 2226-2227

101. Schock R.N. The response of rocks to large stresses. In: Impact and explosion cratering. N.Y.:

102. Pergamon Press. 1977. P.657-688. (Рус. перев.: Шок P. Поведение горных пород под действием больших напряжений. В кн. Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. №26. Удар, взрыв и разрушение. М.: Мир, 1981. С. 116-130.)

103. Zienkiewicz (1С. The Finite Element Method. 3-rd. eel. McGraw-Hill, London, 1977.